МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ

ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ

И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ

Академия Государственной противопожарной службы

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА

Часть I. Механика недеформируемого твердого тела

Пособие для слушателей и курсантов высших

пожарно-технических образовательных учреждений МЧС России Утверждено Редакционно-издательским советом Академии ГПС МЧС России Москва 2007 УДК 539.318(07) Р е ц е н з е н т ы:

кафедра Динамики и прочности машин Московского энергетического института;

кафедра Общенаучных дисциплин Академии ГЗ МЧС России.

Ильин В.Н., Полянин В.Д. Прикладная механика. Часть I.

Механика недеформируемого твердого тела. Пособие для слушателей и курсантов высших пожарно-технических образовательных учреждений МЧС России. М.: Академия ГПС МЧС России, 2007. 90 с.

Пособие разработано в соответствии с программой курса "Прикладная механика" и предназначено для слушателей и курсантов высших пожарно-технических образовательных учреждений МЧС России. Представлены варианты заданий контрольных расчетно-графических работ и методика их выполнения.

c Академия Государственной противопожарной службы МЧС России, Содержание ВВЕДЕНИЕ Общие замечания Рабочая программа дисциплины "Прикладная механика". Раздел I. Механика недеформируемого твердого тела Выбор варианта задания Требования, предъявляемые к содержанию и оформлению расчетно-графических работ по прикладной механике Рекомендуемая литература Таблица выбора варианта задания ЗАДАНИЕ 1. Кинематика точки ЗАДАНИЕ 2. Простейшие движения твердого тела:

поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси ЗАДАНИЕ 3. Плоское движение твердого тела ЗАДАНИЕ 4. Сложное движение точки ЗАДАНИЕ 5. Равновесие тела, находящегося под действием плоской системы сил ЗАДАНИЕ 6. Равновесие системы двух тел, находящейся под действием плоской системы сил ЗАДАНИЕ 7. Равновесие тела, находящегося под действием произвольной пространственной системы сил ЗАДАНИЕ 8. Динамика материальной точки ЗАДАНИЕ 9. Принцип Даламбера ЗАДАНИЕ 10. Общее уравнение динамики ЗАДАНИЕ 11. Уравнения Лагранжа 2-го рода ЗАКЛЮЧЕНИЕ Что делать, если контрольная работа не зачтена? ПРИЛОЖЕНИЕ Основные понятия статики

ОСНОВНЫЕ

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Общие замечания Дисциплина "Прикладная механика" является основой естественнонаучной, общетехнической и общепрофессиональной подготовки инженера пожарной безопасности. Она тесно связана с другими математическими, естественнонаучными и общепрофессиональными дисциплинами:

"Высшая математика", "Информатика", "Физика", "Инженерная графика", "Материаловедение и технология материалов", "Детали машин".

Материалы курса "Прикладная механика" необходимы при изучении специальных дисциплин: "Здания и сооружения и их устойчивость при пожаре", "Пожарная безопасность в строительстве", "Расследование и экспертиза пожаров", "Пожарная техника", "Пожарная безопасность технологических процессов", "Теория горения и взрыва", "Гидравлика и противопожарное водоснабжение" и непосредственно используются в последующей профессиональной деятельности инженера пожарной безопасности.

Дисциплина "Прикладная механика" состоит из двух частей, первой из которых является Механика недеформируемого твердого тела. В ней рассматриваются вопросы статики, кинематики и динамики механических систем.

Изучение первой части заканчивается дифференцированным (с оценкой) зачетом, на котором слушатель должен показать:

знание понятий, определений, аксиом и основных законов механики;

умение определять кинематические характеристики точек и твердых тел при различных способах задания их движения; составлять расчетные схемы несущих конструкций, исследовать их равновесие при различных случаях пространственной ориентации систем сил; исследовать поведение материальных систем в простейших случаях, а также иметь представление о методах изучения сложных механических систем.

Для изучения предмета необходимо иметь достаточную математическую подготовку. В дисциплине широко используется векторная алгебра, поэтому необходимо знать, как вычисляются проекции вектора на координатные оси, как аналитически и геометрически (построением) находится сумма векторов, как вычисляются векторное и скалярное произведения двух векторов. Необходимо также свободно пользоваться системой прямоугольных декартовых координат, уметь исследовать поведение функций и строить их графики, уметь дифференцировать функции, а также находить определенные и неопределенные интегралы от простейших функций.

Изучать материал рекомендуется по учебникам (их список приводится на стр. 11 Пособия), ориентируясь на приводимую ниже рабочую программу. Особое внимание необходимо обратить на формулировки определений и теорем, в них существенно каждое слово. Заучивать их наизусть не следует, достаточно понять смысл, а также уметь изложить суть определения или теоремы своими словами.

Необходимо приобрести навыки решения задач. Для этого, изучив теоретический материал какой-либо темы, надо обязательно разобраться в примерах, приведенных в настоящем методическом пособии, а также в других учебниках и учебных пособиях, указанных в списке литературы.

';

Приводимая рабочая программа предназначена для слушателей факультета заочного обучения. Она определяет содержание и структуру дисциплины, составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 330400 "Пожарная безопасность", и в значительной степени учитывает потребности специальных дисциплин.

Рабочая программа дисциплины "Прикладная механика" Раздел I. Механика недеформируемого твердого тела Введение Место механики в ряду естественных наук. Роль механики в технике.

Структура современной механики. Роль отечественных и зарубежных ученых в развитии механики.

Тема 1. Основные понятия статики Абсолютно твердое тело. Сила, эквивалентные системы сил, равнодействующая. Силы внешние и внутренние. Связи и силы реакций связей.

Аксиомы статики. Момент силы относительно точки. Главный вектор и главный момент системы сил. Теорема Вариньона для системы сил, приложенных к точке.

Тема 2. Теория пар сил Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, образующих пару, относительно центра. Момент пары сил как вектор. Теоремы об эквивалентности пар. Сложение пар. Условия равновесия системы пар.

Тема 3. Произвольная система сил Теорема о параллельном переносе сил. Основная теорема статики о приведении системы сил к центру. Классификация систем сил. Условия равновесия. Теорема Вариньона для произвольной системы сил. Сходящаяся система сил; условия равновесия. Плоская система сил; условия равновесия. Нахождение реакций связей при действии на тело плоской системы сил. Равновесие конструкций, состоящих из нескольких тел.

Статически определимые и статически неопределимые конструкции. Момент силы относительно оси. Условия равновесия пространственной системы сил. Нахождение опорных реакций пространственных конструкций. Приложения к пожарной технике.

Тема 4. Центр параллельных сил и центр тяжести тела Условия равновесия системы параллельных сил. Центр параллельных сил. Формулы для определения координат центра параллельных сил.

Центр тяжести тела, способы его нахождения. Статический момент плоской фигуры. Примеры из пожарной техники.

Тема 5. Кинематика точки Векторный способ задания движения точки. Траектория точки. Вектор скорости и вектор ускорения точки. Координатный способ задания движения точки. Определение траектории точки. Определение скорости и ускорения точки по их проекциям на координатные оси. Естественный способ задания движения точки. Алгебраическая величина скорости точки. Определение ускорения по его проекциям на оси естественного трехгранника касательное и нормальное ускорения точки.

Тема 6. Простейшие виды движения твердого тела Поступательное движение твердого тела. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек тела при поступательном движении. Вращательное движение твердого тела, уравнение вращательного движения тела. Угловая скорость и угловое ускорение тела, их представление в виде векторов. Нахождение скоростей и ускорений точек тела.

Тема 7. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела Плоскопараллельное движение твердого тела и движение плоской фигуры. Угловая скорость и угловое ускорение. Связь между скоростями двух точек плоской фигуры. Теорема о проекциях скоростей. Мгновенный центр скоростей. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Определение ускорений точек плоской фигуры.

Тема 8. Произвольное движение твердого тела Сферическое движение твердого тела. Понятие о мгновенной оси вращения и мгновенной угловой скорости. Формула Эйлера для скоростей точек тела при сферическом движении. Понятие об общем случае движения твердого тела.

Тема 9. Сложное движение точки Системы отсчета. Абсолютное и относительное движения точки. Абсолютные, относительные и переносные скорости и ускорения точки. Теорема о сложении скоростей. Теорема Кориолиса о сложении ускорений.

Кориолисово ускорение, его нахождение. Применение понятий сложного движения при изучении специальных дисциплин.

Тема 10. Динамика материальной точки Законы динамики Галилея-Ньютона. Две задачи динамики материальной точки. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки. Начальные условия. Относительное движение материальной точки. Переносная и кориолисова силы инерции. Принцип относительности классической механики. Случай относительного покоя.

Тема 11. Механическая система Механическая система. Классификация сил, действующих на механическую систему. Свойства внутренних сил. Масса системы. Центр масс системы, радиус-вектор и координаты центра масс. Момент инерции относительно оси. Радиус инерции тела. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей. Главные центральные оси инерции тела.

Момент инерции тела относительно плоскости и полюса. Примеры вычисления моментов инерции.

Тема 12. Принцип Даламбера Силы инерции материальной точки. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Приведение сил инерции точек твердого тела к центру, главный вектор и главный момент сил инерции.

Использование принципа Даламбера для нахождения динамических реакций связей. Примеры из пожарной техники.

Тема 13. Общее уравнение динамики Элементарная работа силы. Работа силы на конечном перемещении.

Работа силы тяжести, силы упругости. Механические связи, налагаемые на систему. Возможные перемещения материальной точки и механической системы. Число степеней свободы. Работа сил на возможном перемещении. Идеальные связи. Общее уравнение динамики (принцип ЭйлераЛагранжа-Даламбера). Принцип возможных перемещений. Применение общего уравнения динамики для расчета движения механических систем (в частности для расчета движения противопожарного занавеса). Применение принципа возможных перемещений для определения реакций связей.

Тема 14. Уравнения Лагранжа 2-го рода Кинетическая энергия механической системы. Формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела. Обобщенные координаты системы, обобщенные скорости. Выражение элементарной работы сил через обобщенные перемещения. Обобщенные силы и их вычисление. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа 2-го рода). Начальные условия.

Дифференциальные уравнения вращательного и плоскопараллельного движения твердого тела. Движение балки при обрушении. Принцип Гамильтона - Остроградского. Малые свободные колебания механической системы. Собственные частоты и формы. Элементарная теория удара.

Тема 15. Общие теоремы динамики Теорема о движении центра масс механической системы. Теорема об изменении количества движения системы, импульс силы. Теорема об изменении кинетического момента системы относительно точки и оси. Теорема об изменении кинетической энергии системы. Законы сохранения.

Применение общих теорем динамики системы для нахождения характеристик пожарной техники. Элементарная теория гироскопа.

В первой части курса прикладной механики изучаются три раздела:

статика, кинематика и динамика.

В соответствии с учебным планом слушатели и курсанты должны выполнить расчетно-графические работы (РГР), относящиеся к этим разделам.

Количество, содержание и сроки выполнения РГР на факультетах очной формы обучения назначаются преподавателями кафедры во время проведения занятий.

Слушатели факультета заочного обучения должны выполнить две расчетно-графические работы. В первой РГР необходимо решить задания 1, 2, 3, 4, 5 и 6 из настоящего пособия, во второй задания 7, 8, 9, и 11. Сроки выполнения РГР определены учебным планом факультета.

К каждому заданию дается 10 рисунков (исключение составляет задание 1: к нему рисунков нет, и задание 9: к нему дается один рисунок) и таблица, содержащая дополнительные к общему тексту условия. Таблица имеет тот же номер, что и задание, а нумерация рисунков двойная, например рис. 4.7 это рисунок 7 к заданию 4.

Слушатели и курсанты выбирают из таблицы данные в соответствии со СВОИМ вариантом задания, который определяется совокупностью трех цифр, условно обозначаемой буквами АБВ так, что первой цифре соответствует буква А, второй Б, а третьей В.

Слушателям и курсантам факультетов очной формы обучения варианты задания АБВ назначаются преподавателями кафедры во время проведения первого практического занятия.

Слушатель заочного факультета вариант АБВ выбирает из Таблицы выбора варианта задания (с. 1215) по трем последним цифрам номера своей зачетной книжки НЗК. Если НЗК > 499, то предварительно из номера зачетной книжки следует вычесть 500.

В таблицах исходных данных в левом столбце стоят номера строк, а буквами А, Б или В помечены снизу столбцы. Из столбцов таблицы выбираются данные (числа, функции), находящиеся в той строке, номер которой соответствует букве столбца.

Приведем пример выбора варианта заданий для слушателя заочного факультета, у которого номер зачетной книжки 990507. Три последние цифры номера 507 дают число, большее 499, поэтому из 990507 вычитаем 500, получаем число 990007, откуда НЗК=007. Из таблицы Выбор варианта задания находим АБВ=342, т.е. А=3, Б=4 и В=2. Теперь при выполнении, например, задания 2 необходимо из табл. 2 выбрать номер рисунка на пересечении столбца Номер рисунка и строки 3, поскольку столбец помечен снизу буквой А=3. Аналогично описанному выбираем остальные данные к этому заданию. Для наглядности они заключены в табл. 2 в фигурные скобки.

При выполнении работы необходимо учесть следующее. Большинство рисунков дано без соблюдения масштаба. Всегда считается, если не оговорено противоположное, что все нити (веревки, тросы) являются нерастяжимыми, невесомыми, идеально гибкими; нити, перекинутые через блоки, а также намотанные на катки или колеса, не проскальзывают;

катки и колеса катятся по плоскостям без проскальзывания. Все связи, если не сказано иное, считаются идеальными.

Когда на рисунке звенья механизма пронумерованы, то в условиях задач и в таблицах данных величины P1, 1, R1, r1, 1, 1 и т.п. относятся к телу 1; аналогично величины P2, 2, R2, r2, 2, 2 к телу и т.д. VB, aB обозначают скорость и ускорение точки B ; а VC и aC скорость и ускорение точки C.

Следует иметь в виду, что некоторые из заданных в таблицах величин при решении задачи конкретного варианта могут не понадобиться, т.е.

оказаться лишними. Необходимо внимательно разобраться с условием, отобрав из таблицы только то, что относится к конкретному варианту.

Требования, предъявляемые к содержанию и оформлению расчетно-графических работ по прикладной механике Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради 12- страниц или на сброшюрованных листах формата А4, строго по варианту своего индивидуального шифра.

Все страницы должны иметь поля 20-25 мм.

Перед выполнением задания необходимо записать его условие, выбранные исходные данные и в соответствии с ними изобразить расчетную схему.

Решение записывается подробно и аккуратно со всеми вычислениями, вспомогательными чертежами и пояснениями.

Расчетные схемы рисуются крупно на отдельной странице (на развороте) с помощью чертежных инструментов, строго в масштабе, с указанием всех размеров, числовых данных и осей. Углы должны вычерчиваться точно с использованием транспортира.

Исправления после проверки преподавателем записываются в конце РГР на чистых листах (а не в тексте решения), или в отдельной тетради. Пометки преподавателя не убираются. Следует иметь в виду, что преподаватель при проверке работы отмечает, как правило, лишь место появления ошибки и ее характер.

Разобравшись по учебнику с теоретическим материалом, слушатель должен исправить допущенную ошибку, а затем внести исправления во все расчеты, оказавшиеся ошибочными, начиная с места появления ошибки и до конца решения задачи.

К работе, высылаемой на повторную проверку, в обязательном порядке должен прилагаться ее первоначальный (незачтенный) вариант.

Работа, не соответствующая своему варианту, или выполненная с нарушением изложенных требований, не зачитывается и возвращается для исправления.

Основная 1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1995.

2. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Высшая школа, 1981.

3. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 1, 2. - М.: Высшая школа, 1984.

4. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Под редакцией Яблонского А.А. - М.: Высшая школа, 1978.

5. Настоящее методическое пособие Дополнительная 6. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1, 2 - М.: Наука, 1990, 1991.

7. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1990.

8. Полянин А.Д., Полянин В.Д., Путятин Б.В. и др. Справочник для студентов технических вузов. - М.: ООО"Издательство Астрель", 2005.

Таблица выбора варианта задания (НЗК=000 124)

НЗК АБВ НЗК АБВ НЗК АБВ НЗК АБВ НЗК АБВ

Таблица выбора варианта задания (НЗК=125 249)

НЗК АБВ НЗК АБВ НЗК АБВ НЗК АБВ НЗК АБВ

Таблица выбора варианта задания (НЗК=250 374)

НЗК АБВ НЗК АБВ НЗК АБВ НЗК АБВ НЗК АБВ

Таблица выбора варианта задания (НЗК=375 499)

НЗК АБВ НЗК АБВ НЗК АБВ НЗК АБВ НЗК АБВ

ЗАДАНИЕ 1. Кинематика точки Точка B движется в плоскости xy. Закон движения точки задан в табл. 1 зависимостями x=f1 (t), y=f2 (t), где x и y выражены в сантиметрах, t в секундах. Найти уравнение траектории и построить ее на чертеже. Для момента времени t1 определить и показать на чертеже:

а) положение точки на траектории, б) вектор ее скорости, в) векторы касательного, нормального и полного ускорений, и г) радиус кривизны трактории в соответствующей точке.

Указания Задание 1 выполняется c использованием формул для определения скорости и ускорения точки при координатном способе задания ее движения. Численные значения всех искомых величин нужно определить только для момента времени t1.

В некоторых вариантах задачи окажутся полезными тригонометрические формулы: cos 2=12 sin2 =2 cos2 1; sin 2=2 sin cos.

Пример Движение точки в плоскости xy задано уравнениями:

x=2 cos(t/4)+3, y=2 sin(t/8)1, (x, y в см, t в с).

Определить уравнение траектории и построить ее на чертеже. Для момента времени t1 =1с найти и показать на рисунке положение точки, векторы ее скорости, касательного, нормального и полного ускорений, а также центр и радиус кривизны траектории.

Решение Найдем траекторию точки, исключив из заданных уравнений движения время t.

Сначала находим cos(t/4)=(3x)/2, sin(t/8)=(y+1)/2. Подставляя полученные выражения в формулу cos 2=12 sin2, получим уравнение траектории: (3x)/2=1(y+1)2/2, которое после упрощений принимает вид x=(y+1)2+1. Это парабола, изображенная на рис. 1. Положение точки на траектории при t1 =1 определяем, вычисляя ее координаты из уравнений движения при t1 =1: x(1)=1,59 см, y(1)=0,23 см.

Скорость точки V найдем по ее проекциям на координатные оси, дифференцируя функции x и y по времени t:

Vx =x= sin(t/4)/2, Vy =y= cos(t/8)/4, V = Vx2 + Vy2.

Здесь и далее используются общепринятые компактные обозначения первой и второй производных по времени: одна точка над символом функции обозначает первую производную, две точки над символом вторую производную.

При t=t1 : Vx(1)=1,11 см/c, Vy (1)=0,73 см/c, V (1)=1,33 см/с.

Вектор скорости V построим по проекциям Vx и Vy (с учетом их знаков), он направлен по касательной к траектории.

Далее определяем вектор ускорения a :

ax =Vx == 2 cos(t/4)/8, ay =Vy == 2 sin(t/8)/32, a= a2 +a2.

При t=t1 : ax (1)=0,87 см/c, ay (1)=0,12 см/c, a(1)=0,88 см/c 2.

Вектор a построим по его проекциям ax, ay. Касательное a и нормальное an ускорения найдем по формулам:

При t=t1 : a (1)=0,66 см/c, an (1)=0,58 см/c.

Векторы a и an построим на рис. 1 в соответствии с векторным равенством a = a + an. Вектор an всегда направлен в сторону вогнутости траектории, а a по касательной к траектории, причем, если a > 0, то направления V и a совпадают, и движение точки в данный момент времени является ускоренным. Если a < 0, то направления V и a противоположны, а движение точки замедленное.

Найдем радиус кривизны траектории =V 2/an. При t=t1 : =3,05 см.

Ответ :

при t=t1 =1с : V =1,33 см/c, a=0,88 см/c2, a =0,66 см/c2, an =0,58 см/c2, =3,05 см, точка в рассматриваемый момент времени t=t1 =1 с движется ускоренно.

ЗАДАНИЕ 2. Простейшие движения твердого тела: поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси Механизм состоит из двухступенчатых колес 1, 2, 3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, движущегося поступательно и привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. 2.0-2.9). Радиусы ступеней колес 13 равны соответственно: r1=2 см, R1 =4 см, r2=6 см, R2 =8 см, r3=12 см, R3 =16 см.

На ободах колес расположены точки A, B и C.

В фигурных скобках стоят данные, соответствующие варианту АБВ= (см. правило выбора варианта во ВВЕДЕНИИ).

В столбце Дано табл. 2 указан закон движения одного из звеньев механизма, причем под i =f (t), рад подразумевается закон вращения колеса, а Si =f (t), см обозначает закон поступательного движения рейки или груза; время t измеряется в секундах.

Положительным для i считается направление против хода часовой стрелки, а для Si вертикально сверху вниз.

Для механизма, изображенного на рисунке, по заданному закону движения одного из звеньев найти в момент времени t1 величины скоростей и ускорений точек A, B, C, рейки 4, груза 5, а также угловые скорости и угловые ускорения колес 1, 2, 3.

Указания Задание 2 на исследование поступательного и вращательного движения твердого тела. При решении задачи необходимо учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорости их точек контакта равны, поскольку зацепление предполагает отсутствие проскальзывания. Аналогично, если два колеса связаны ременной передачей так, что проскальзывание отсутствует, скорости всех точек ремня и точек, лежащих на ободе каждого из колес, численно одинаковы.

Пример По заданному уравнению x=x(t) прямолинейного поступательного движения груза 1 (время t измеряется в секундах) определить скорость, а также касательное, нормальное и полное ускорения точки M механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом, равен L (рис. 2):

Решение Найдем момент времени t1, когда путь L, пройденный грузом, равен 40 см: L=x(t1)x(0) = 70 t2, откуда t1 = L/70=0,76 с. Затем, дифференцируя x по времени, найдем скорость груза: V1=x=140 t. Изобразим вектор V1 на рисунке.

Так как нить, связывающая груз 1 и колесо 2, нерастяжима и движется поступательно, скорости груза и точки, лежащей на ободе малого радиуса второго колеса, одинаковы, т.е. V1 =2 r2, где 2 угловая скорость звена 2, откуда 2 =V1 /r2=4,67 t. Так как ветвь нерастяжимой нити, связывающей колеса 2 и 3, движется поступательно, скорости точек, лежащих на внешних ободьях колес 2 и 3, одинаковы, т.е. 2 R2 =3 R3, откуда следует 3 =2 R2 /R3=3,89 t.

Найдем угловое ускорение: 3=3=3,89 c2. С учетом знаков изобразим на рисунке дуговые стрелки 2, 3, 3.

Вычислим скорость точки M : V =3 r3 =156 t, она направлена перпендикулярно радиусу в сторону, соответствующую вращению колеса 3.

При t=t1 : V =119 см/с.

Касательное ускорение точки a =3 r3 =156 см/с 2 от времени не зависит и имеет одинаковое со скоростью направление, так как знаки 3 и 3 совпадают (вращение колес ускоренное).

Нормальное ускорение точки найдем по формуле an =3 r3=605 t2, оно направлено по радиусу к центру колеса.

Вычислим полное ускорение точки M : a= a2 +a2 =383 см/с 2.

Ответ :

при t=t1 =0,76 с: 3=2,94 c1, 3 =3,89 c2, V =118 см/c, a=383 см/с2.

ЗАДАНИЕ 3. Плоское движение твердого тела Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна B или E (рис. 3.03.9), соединенных шарнирами друг с другом и с неподвижными опорами O1, O2 ; шарнир D находится в середине стержня AB.

Длины стержней равны соответственно: 1 =0,4 м, 2 =1,2 м, 3 =1,4 м, 4 =0,6 м. Положение механизма определяется углами,,,,. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. 3а (для вариантов, в которых А Б) или в табл. 3б (для вариантов, в которых А < Б).

Определить скорости всех точек механизма, обозначенных буквами на схемах, а также угловые скорости всех стержней.

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол на рис. 3.6 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 3.9 против хода часовой стрелки).

Построение чертежа необходимо начинать со стержня, направление которого определяется углом ; ползун с направляющими для большей наглядности изображать так, как в примере 3 (см. рис. 3, б).

Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость VB от точки B к K (на рис. 3.53.9).

Рис. 3.03. Указания Задание 3 на исследование плоского (плоскопараллельного) движения твердого тела. При его выполнении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о равенстве проекций скоростей двух произвольных точек твердого тела на соединяющую их прямую, а также понятием мгновенного центра скоростей. Применять эту теорему (или понятие) необходимо к каждому звену механизма в отдельности.

Методика нахождения скоростей точек плоского механизма приводится ниже. Прежде чем приступить к решению подобных задач, надо хорошо усвоить кинематику простейших движений твердого тела поступательного и вращательного вокруг неподвижной оси.

Пример Плоский механизм (рис. 3,а) состоит из стержней 1, 2, 3 и 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами O1 и O шарнирами.

Найти VB, VE и угловые скорости всех стержней, если =60, =150, =90, =30, =30, AD=DB, 1 =0,4 м, 2 =1,2 м, 3 =1,4 м, 4 =0,6 м, 1=2 c1 (направление 1 против хода часовой стрелки).

Решение Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. 3,б).

Определяем VB. Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти VB, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление VB. По данным задачи, учитывая направление 1, можем определить VA :

Так как точка B стержня AB принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно, то направление VB известно. Теперь, зная VA и направление VB, строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня AB : это точка C3, лежащая на пересечении перпендикуляров к VA и VB, восстановленных из точек A и B. По направлению вектора VA определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС C3, а также находим его угловую скорость 3 :

3 =VA /C3A=VA /(3 cos 30)=0,66 c1, изображаем на рисунке дуговую стрелку угловой скорости 3. Тогда Определим VE : точка E принадлежит стержню DE, следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить VE, надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержням AB и ED. Вектор VD перпендикулярен отрезку C3D, соединяющему точки D и C3, и направлен в сторону, соответствующую повороту стержня AB. BC3 D является равносторонним, поскольку C3B=AB sin 30=AB/2. Поэтому C3B=C3 D и VD =3 C3D=0,46 м/с.

Точка E принадлежит также стержню O2 E, вращающемуся вокруг O2, поэтому VE O2 E. Проводя из точек E и D перпендикуляры к скоростям VE и VD, найдем точку C2 МЦС стержня DE. По направлению найденного ранее вектора VD определяем направление поворота стержня DE вокруг центра C2. Вектор VE направлен в сторону, соответствующую повороту этого стержня. Из рис. 3,б видно, что C2 ED= C2 DE=30, следовательно C2E=C2D=2 /(2 cos 30). Далее находим угловую скорость стержня DE и скорость точки E :

2 =VD /C2D=0,67 c1, VE =2 C2E=0,46 м/с.

Определяем далее 4 =VE /O2 E=0,77 c1. Направление вращения стержня вокруг неподвижной точки O2 изображаем дуговой стрелкой 4, согласовав её с вектором VE.

Ответ :

ЗАДАНИЕ 4. Сложное движение точки Прямоугольная (рис. 4.04.4) или круглая пластина радиуса R= (рис. 4.54.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону =f1(t), заданному в табл. 4.

Рис. 4.04. Положительное направление отсчета угла показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 4.0, 4.1, 4.2, 4.5, 4.6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку O (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 4.3, 4.4, 4.7, 4.8, 4.9 ось вращения OO1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD (рис. 4.04.4) или по окружности радиуса R (рис. 4.54.9) движется точка M. Закон ее относительного движения (зависимость S=AM = f2 (t), где S выражено в сантиметрах, t в секундах) задан в таблице отдельно для рис. 4.04.4 и для рис. 4.54.9; там же даны размеры b и. На рисунках точка M показана в положении, при котором S=AM>0 (при S 0.

Величину переносной скорости Ve определим по формуле где радиус вращения MK=BM sin =6,5 см.

Вектор Ve направлен перпендикулярно плоскости пластинки и согласован с направлением ее вращения.

Абсолютную скорость точки Va теперь можно найти, использовав теорему о скоростях точки при сложном движении:

Проектируя последнее векторное соотношение на оси x, y, z (рис. 4,а), получим:

По найденным проекциям можно определить модуль скорости точки M :

Вектор скорости Va на рис. 4,а не изображён (чтобы не загромождать чертёж). Его легко построить по найденным проекциям Va x, Va y и Va z.

Это построение может стать дополнительным вопросом на зачёте, поэтому желательно его выполнить заранее.

Ускорение точки a найдём при помощи теоремы об ускорениях точки при сложном движении.

Найдем величину касательного относительного ускорения:

ar =Vr =S= 2 sin (t/3)/45, при t=1 с : ar =0,19 см/с 2.

Знак минус показывает, что при t=1 с вектор ar направлен по гипотенузе BC от M к B (рис. 4,б ), т.е. в сторону уменьшения дуговой координаты.

Так как относительное движение точки прямолинейное (r =), ее нормальное относительное ускорение равно нулю: ar n =Vr2/r =0.

Переносное ускорение удобно разложить на касательное ae и нормальное ae n.

Нормальное переносное ускорение направлено к оси вращения пластинки по MK, причем Так как и одного знака, то направление касательного переносного ускорения совпадает с направлением переносной скорости. При этом Найдем величину и направление ускорения Кориолиса:

В соответствии с определением векторного произведения вектор ac перпендикулярен обоим сомножителям (векторам и Vr ) и направлен так, что если посмотреть ему навстречу, то ближайший поворот от первого сомножителя ( ) ко второму ( Vr ) должен казаться происходящим против хода часовой стрелки (т.е. ac в рассматриваемом случае параллелен оси x).

Модуль ускорения Кориолиса будет равен:

Для нахождения абсолютного ускорения точки M при t=1 с запишем теорему о сложении ускорений точки при ее сложном движении:

и спроектируем векторное соотношение на оси x, y, z. Используя рис. 4,б, получим:

Находим модуль ускорения точки M :

Ответ :

ЗАДАНИЕ 5. Равновесие тела, находящегося под действием плоской системы сил Жесткая рама (рис. 5.05.9) закреплена в точке A шарнирно, а в точке B прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.

В точке C к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз P = 25 кН. На раму действует пара сил с моментом M = 60 кН·м и две силы, значения, направления и точки приложения которых указаны в табл. 5.

Определить реакции связей в точках A и B, вызванные действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять a=0,5 м.

В таблице приняты обозначения: k (k=1,2) угол между горизонтальной осью x, идущей слева направо, и направлением силы Fk, отсчитываемый против хода часовой стрелки.

Указания Задание 5 на равновесие тела, находящегося под действием произвольной плоской системы сил.

Перед решением задачи (а также во время подготовки к зачёту) полезно вспомнить основные понятия и теоремы статики.

Рис. 5.05. Для этой цели подойдёт любой учебник, приведенный в списке литературы. Кроме этого очень краткие "выжимки" теории приведены в Приложении настоящего пособия, оно не заменяет учебника, но может помочь в разрешении возникающих вопросов.

Добавим к этому, что натяжения в ветвях нитей, переброшенных через блок, будут одинаковы (предполагается, что силами трения в оси блока можно пренебречь в силу их малости).

Кроме того, уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если в качестве моментной точки выбрать точку пересечения линий действия двух сил реакций связей.

Пример Найти реакцию жесткой заделки B изогнутой невесомой балки BDE (рис. 5,а), находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности q=2 кН/м и силы F =20 кН при следующих данных: =30, a=0,4 м, b=0,3 м.

Решение Рассмотрим равновесие балки, показав на рисунке: силу F, равнодействующую распределенной нагрузки Q (Q=qa), приложенную в середине отрезка CD, реакцию в заделке, состоящую из трех силовых факторов: XB, YB и MB (рис. 5,б). Эта система сил уравновешена, т.е.

Cоставим уравнения равновесия полученной системы сил:

При составлении последнего уравнения моментов была использована теорема Вариньона: сила F была заменена двумя составляющими F1 и F2, моменты которых легко найти. При этом F1 = F cos, F2 = F sin.

Решая систему, находим после подстановки численных значений :

XB =F cos =17,3 кН, YB =Q+F sin =10,8 кН, MB =Q 1, 5a+F sin 2aF cos b=3,28 кН·м.

RB = XB + YB = 20,4 кН.

Ответ :

ЗАДАНИЕ 6. Равновесие системы двух тел, находящейся под действием плоской системы сил Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке C или соединены друг с другом шарнирно (рис. 6.06.5), или свободно опираются друг на друга (рис. 6.66.9). Внешними связями, наложенными на конструкцию в точке, являются шарнир, или жесткая заделка; в точке B невесомый стержень BB (рис. 6.0 и 6.1), или гладкая плоскость (рис. 6.2 и 6.3), или шарнир (рис. 6.46.9), в точке D невесомый стержень DD (рис. 6.1, 6.2, 6.7), или шарнирная опора на катках (рис. 6.8).

На конструкцию действуют: пара сил с моментом M=60кН·м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q=20кН/м и еще две силы F1 и F2. Направления сил и точки их приложения указаны в табл. 6; там же в столбце Участок указано, на каком участке действует распределенная нагрузка.

Определить реакции связей в точках A, B, C (для рис. 6.1, 6.2, 6.7, 6.8 еще и в точке D), вызванные заданными нагрузками. При окончательных расчетах принять a=0,2 м. Вектор q равномерно распределенной нагрузки перпендикулярен отрезку, к которому она приложена, при