«Предисловие Пособие адресовано учителю, который ведёт курс геометрии в 7—9 классах по учебнику И. Ф. Шарыгина Геометрия. 7—9 классы, содержащему 13 глав и отражающему авторскую наглядно-эмпирическую концепцию построения ...»

2129330o3.fm Page 3 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

Предисловие

Пособие адресовано учителю, который ведёт курс

геометрии в 7—9 классах по учебнику И. Ф. Шарыгина

«Геометрия. 7—9 классы», содержащему 13 глав и отражающему авторскую наглядно-эмпирическую концепцию построения курса, которая раскрыта в методических рекомендациях к главам и параграфам.

Курс геометрии 7 класса включает в себя первые

четыре главы учебника.

Весь учебный материал курса геометрии 7 класса можно разделить на три части. Первая часть, включающая в себя главу 1, служит введением в «природу геометрии». Во второй части (главы 2, 3 и § 4.1, 4.2) излагается учебный программный материал. Концептуальной особенностью авторского подхода к изложению материала этой части является акцентирование внимания на изучении фигур — треугольников и окружности — и инструментария симметрии. Третья часть (§ 4.3—4.5) посвящена систематизации методов геометрии, с помощью которых уже проводились доказательства во второй части и которые в дальнейшем будут использоваться при изучении теории и решении задач.

Изучение материала, излагаемого в каждой части учебника, формирует три различных э т а п а о б у ч ен и я, которые в силу специфики заложенных целей требуют соответствующих форм организации урока.

Основная цель первого этапа — создание у учащихся устойчивого представления о предмете изучения геометрии и об основных фигурах геометрии: поверхности, линии, точке — как о естественной абстракции. Поэтому основной формой работы является беседа. Учитель раскрывает материал первой главы, привлекая учащихo3.fm Page 4 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ся к участию в ней через вопросы. В это время можно порекомендовать не проводить проверку домашнего задания.

На втором этапе основная часть уроков — это стандартные уроки объяснения нового материала и уроки решения задач.

На третьем этапе все уроки являются уроками систематизации и обобщения знаний, а значит, основная часть учебной деятельности учащихся является самостоятельной.

Курс геометрии 8 класса включает в себя главы 5—8 учебника. Кроме программного материала курс включает в себя и дополнительный материал, который значительно увеличивает номенклатуру содержания и повышает требования, предъявляемые как к уровню усвоения изучаемого материала, так и к уровню знаний и умений учащихся по сравнению с номенклатурой и уровнем требований, задаваемыми федеральным стандартом и примерной программой.

Именно в 8 классе сосредоточено основное содержание курса. Если в 7 классе цель автора была заинтересовать, то цель 8 класса — научить. Весь учебный материал курса 8 класса можно разделить на три части.

Первая часть включает главы 5 (§ 5.1, 5.2), 6 и 7.

Концептуальной особенностью авторского подхода к изложению материала этой части является акцентирование внимания на продолжении изучения свойств основных фигур — треугольника и окружности. Следует обратить внимание на то, что свойства окружности как инструментария для решения задач используются очень активно по сравнению с другими известными курсами геометрии. Кроме того, здесь изучаются и другие фигуры планиметрии, прежде всего четырёхугольники специального вида.

Вторая часть, содержащая главу 8 (кроме § 8.7), посвящена систематизации методов геометрии, с помощью которых уже проводились доказательства в первой части и которые в дальнейшем будут использоваться при изучении теории и решении задач.

Третья часть (§ 8.7) содержит список задач для повторения и завершает курс геометрии.

2129330o3.fm Page 5 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Изучение материала каждой части учебника 8 класса формирует три различных э т а п а о б у ч е н и я, которые в силу специфики заложенных целей требуют соответствующих форм организации урока.

Основная цель первого этапа — формирование у учащихся устойчивых знаний и умений по курсу геометрии, определяемых стандартом и примерной программой. Поэтому основная часть уроков первого этапа — это стандартные уроки объяснения нового материала и решения задач.

На втором этапе все уроки являются уроками систематизации и обобщения знаний, значит, на каждом из них ведётся повторение пройденных методов. Однако в отличие от 7 класса здесь далеко не всегда можно вести уроки с большой долей самостоятельной работы учащихся. В то же время учащиеся накопили уже достаточно геометрических знаний для того, чтобы часть уроков при изучении главы 8 организовать в форме беседы.

На третьем этапе основным видом учебной деятельности учащихся является самостоятельная работа по решению задач.

Курс геометрии 9 класса включает в себя главы 9—13 учебника. Эти главы достаточно сильно отличаются одна от другой по своему методологическому и даже концептуальному значению.

Материал главы 9 является необязательным для изучения, поэтому рекомендации к ней не представлены в настоящем пособии. Учитель самостоятельно определяет необходимость изучения и её методику.

В главе 10, по существу, завершается классическая евклидова геометрия. Эта глава даёт инструмент для повторения материала, изученного в 8 классе. В частности, можно почти дословно воспроизводить условия многих рассмотренных ранее задач, добавляя новое задание по нахождению площади фигуры. В результате концептуальное значение главы 10 возрастает: цель — научить, которая является ведущей при обучении геометрии, объединяется с задачей — повторить, играющей главное методическое значение в 9 классе.

2129330o3.fm Page 6 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Глава 11 находится несколько в стороне от магистральной линии учебника. Её роль почти чисто теоретическая, познавательная. Теоретическая часть главы достаточно чётко дифференцирована и делится на две части. Первая часть — основная. В ней большое значение имеет историко-культурологическая составляющая.

Вопросы, связанные с нахождением длины окружности и площади круга, волновали человечество с древних времён. В учебнике автор пытается некоторым образом повторить путь учёных древности и, основываясь на здравом смысле, вывести соответствующие формулы.

Во второй части, ориентированной на углублённое изучение математики, предлагается более современный подход к решению указанных проблем с использованием основ теории пределов.

Глава 12 посвящена теории координатного и векторного методов. В соответствии с авторской классификацией оба метода являются общими и внешними методами геометрии.

Глава 13 занимает особое место в учебнике. Она вносит значительный вклад в эстетико-художественное оформление курса, придаёт ему законченный вид.

Существенной составной частью учебника является с и с т е м а з а д а ч. Именно в задачах, начиная с главы 2, продолжается тема трёхмерного пространства — основная тема первой главы. Пространственные тела, главным образом многогранники, выступают в качестве объектов для применения теорем планиметрии. Но не это основное. Главное — это создать своего рода «трёхмерный интерьер», не допустить деградации пространственного мышления школьников. Увеличить долю стереометрических задач учитель при желании может и самостоятельно. Но слишком увлекаться пространством тоже не следует: педагогические цели, преследуемые при обучении планиметрии и стереометрии, всё же не полностью совпадают и в чём-то даже противоречат друг другу.

Создание содержательной системы задач по программе геометрии 7 класса серьёзно затруднено ограниченностью теоретического материала. Автором было представлено достаточное количество содержательных задач на доказательство, с помощью которых можно наo3.fm Page 7 Monday, April 1, 2013 3:00 PM чать учить основным подходам, приёмам, идеям и методам, используемым при решении геометрических задач, таким как перебор вариантов, доопределение условия, выделение ключевого треугольника, движение, чётность и т. д.

Большое количество вычислительных задач обусловлено их педагогической значимостью, традиционным преобладанием в большинстве списков геометрических задач, и в частности среди задач конкурсного типа. В основной своей массе вычислительные задачи, предлагаемые в учебнике, достаточно просты и направлены на отработку отдельных технических деталей, некоторых стандартов, типичных ситуаций и др., без чего не обходится решение большинства интересных и содержательных геометрических задач. Конечно, алгебраические возможности школьников пока ещё весьма ограниченны, и поэтому в курсе преобладают вычислительные задачи арифметического типа, решаемые поэтапно, по действиям. Невелико, к сожалению, число задач на составление уравнений: № 62, 75, 139, 360, 420, 421, 428.

В геометрии очень важно научиться видеть различные варианты реализации описанной геометрической ситуации и разумно перебирать эти варианты: № 49, 51, 53, 56, 60, 62, 70, 72, 73, 76, 145, 146, 153, 155, 354, 355, 360, 362, 376, 419, 420, 424.

С умением видеть и перебирать варианты формируется умение строить примеры, подтверждающие или опровергающие то или иное утверждение, это задачи:

№ 99, 106, 110, 192, 193, 202, 205, 220, 229, 250, 297, 434, 435, 437.

Нельзя научиться решать сколько-нибудь интересные и трудные геометрические задачи, не научившись правильно, грамотно и красиво делать геометрические чертежи. Типичными задачами такого рода являются задачи на геометрическое место точек (§ 4.1) и задачи на построение (§ 4.2), а также № 70—72, 76, 85, 201, 214, 215—219, 251, 288, 289, 292.

В учебнике приведено большое количество заданий, что даёт возможность учителю при планировании урока подбирать задачи, учитывая уровень подготовки класса.

2129330o3.fm Page 8 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Часть задач можно использовать позднее при подготовке к контрольным работам, как тематическим, так и итоговым.

Планирование учебного материала рассчитано на 2 ч геометрии в неделю.

Основное назначение методического пособия — помочь учителю в организации учебной деятельности школьников. В нём даются:

• по каждой главе — общая характеристика содержания, места и роли его в курсе, контрольная работа;

• по каждому параграфу — комментарий для учителя, включающий, если необходимо, общую характеристику содержания и методические рекомендации к изучению материала с разбивкой по отдельным вопросам; примерное планирование изучения материала параграфа;

вопросы к домашнему заданию; указания к решению задач из учебного пособия; дополнительные задачи.

В разделе «Методические рекомендации к изучению материала» рассматриваются возможные методические подходы, рекомендуются упражнения для усвоения и закрепления материала. Для некоторых наиболее сложных теорем предлагаются примерные планы проведения их доказательств. Новый материал будет лучше усваиваться учащимися, если они под руководством учителя сделают краткие записи в тетрадях. Методические рекомендации должны быть адаптированы к конкретному классу и к уровню подготовки учащихся, что может привести к уменьшению числа решаемых задач, увеличению числа часов, отводимых на изучение той или иной темы, за счёт часов, отводимых на решение задач, или резерва.

В разделе «Примерное планирование изучения материала» к каждому уроку выделены по принципу их соответствия содержанию изучаемого на данном уроке теоретического материала задачи, а также включены задачи, которые лучше решить с классом не в процессе объяснения нового материала, а в процессе его закрепления. Одна из целей этапа закрепления состоит в том, чтобы научить школьников решать новые задачи, применяя только что полученные сведения, новый аппарат.

2129330o3.fm Page 9 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Как правило, именно эти задачи дублируются задачами домашнего задания.

При изучении каждой главы последние несколько уроков отводятся на решение задач, один урок — на контрольную работу и заключительный урок — на разбор ошибок в контрольной работе и подведение итогов.

На уроках решения задач рекомендуется решить те номера, которые не разбирались в ходе изучения главы, и провести подготовку к контрольной работе. Для того чтобы сориентировать учеников, на что обратить внимание при самостоятельной работе дома, введён раздел «Вопросы к домашнему заданию».

В разделе «Указания к задачам учебника» приведены схемы решения основных (опорных) задач и решения наиболее трудных задач.

Раздел «Дополнительные задачи» образует некоторый резерв заданий для учителя. Одни из них должны помочь при закреплении нового материала, другие — подвести учащихся к решению задач из учебника, третьи — для индивидуальных заданий.

Целью контрольной работы является проверка усвоения учащимися основного материала изученной темы (иногда части темы). При этом результаты проверки контрольной работы позволяют зафиксировать не только достижение учащимися уровня обязательной подготовки, но также достижение повышенного уровня обученности. В работах проверяются умения: понимать условие задачи; владеть соответствующей терминологией и символикой; делать чертежи, сопровождающие условие задачи; выделять на чертеже необходимую при решении задачи конфигурацию.

Варианты контрольной работы содержат пять-шесть заданий. Задания с выбором ответа и со свободным ответом направлены на проверку достижения учащимися уровня обязательной подготовки. Краткие записи при решении этих задач не требуются. В заданиях № 5, (сложных) решения записываются полностью с краткой записью условия и выполнением чертежа. Каждая контрольная работа рассчитана на один урок (45 мин). Аналогичную структуру имеют задания самостоятельных работ.

2129330o3.fm Page 10 Monday, April 1, 2013 3:00 PM При изложении требований к результатам обучения автором настоящего пособия сделан акцент на достижение предметных результатов. Личностные и метапредметные результаты изучения геометрии отражены в рабочей программе «Геометрия. 5—9 классы» к линии учебников И. Ф. Шарыгина, размещённой на сайте издательства «Дрофа» www.drofa.ru. В помощь учителю в настоящем пособии, а также в рабочих тетрадях к УМК И. Ф. Шарыгина «Геометрия. 7—9 классы» специальными значками отмечены задания, направленные на формирование метапредметных умений и достижение личностных результатов.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

№ 15ДЗ — № 15 раздела «Дополнительные задачи»

текущего параграфа методического пособия.

№ 3В — вопрос № 3 из раздела «Вопросы к домашнему заданию» текущего параграфа методического пособия.

СР1 — самостоятельная работа № 1.

КР1 — контрольная работа № 1.

№ 57Т — задание № 57 рабочей тетради.

87У — рисунок 87 учебника.

Задача 2 — задача 2 из текста текущего параграфа учебника.

1050 — в учебнике задача № 1050 отмечена знаком (решение таких задач рекомендуется выполнять в электронном приложении к учебнику, размещённом на сайте издательства www.drofa.ru).

ГМТ — геометрическое место точек.

— метапредметные результаты.

2129330o3.fm Page 11 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Геометрия как наука.

Первые понятия геометрии (5 ч) Эта глава носит вводный характер. Во вступлении автор учебника И. Ф. Шарыгин подробно объясняет её место, цель и задачи. В методических рекомендациях ограничимся советами по проведению уроков, планированию и решению задач. В силу авторской концепции главная цель данной главы — заинтересовать учащихся новым предметом, поэтому учитель при желании может дополнить задачный материал учебника занимательными задачами из рабочей тетради и математической литературы.

В главе систематизируются и обобщаются знания и представления учащихся о простейших геометрических фигурах, накопленные ими в процессе изучения математики в 1—6 классах и жизненного опыта. Поэтому в методическом плане вводимые понятия достаточно просты и, в известной степени, знакомы учащимся, а значит, ни подготовительной работы, ни значительной отработки не требуют.

В процессе изучения данной главы полезно уделить внимание использованию электронного приложения, наглядным средствам обучения и решению задач по готовым чертежам.

При изучении главы 1 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— распознавать на чертежах, рисунках, моделях и в окружающем мире плоские и пространственные геометрические фигуры;

— распознавать развёртки куба, прямоугольного параллелепипеда, правильной пирамиды, цилиндра и конуса;

— строить развёртки куба и тетраэдра.

2129330o3.fm Page 12 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 1.1. Геометрическое тело.

При изучении § 1.1, 1.2 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— изображать и распознавать на чертежах и рисунках известные им геометрические тела, устно их описывать;

— изображать и распознавать на чертежах и рисунках известные поверхности, устно их описывать;

— выполнять и распознавать на чертежах развёртки известных многогранников, цилиндра и конуса;

— формулировать, иллюстрировать и объяснять определение сферы;

— объяснять термины: геометрия, геометрическое тело, поверхность тела, плоскость;

— объяснять размерность геометрического тела, поверхности;

— решать задачи на изображение и распознавание геометрических тел, выполнение и распознавание развёртки известных учащимся многогранников.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 При объяснении понятия «геометрическое тело»

можно использовать геометрические знания учащихся, полученные ими при обучении в 1—6 классах, их пракРис. 2129330o3.fm Page 13 Monday, April 1, 2013 3:00 PM тические знания и жизненный опыт. Здесь можно использовать плакаты такого типа, как на рисунке 1. При этом следует задавать следующие в о п р о с ы.

1. Какие пространственные фигуры изображены на рисунке?

2. Какие тела являются конусами?

3. Какие тела являются пирамидами?

Далее выполнить задания № 1—2Т.

При объяснении понятия геометрического тела следует обратить внимание учащихся на различие между геометрическим телом и физическим телом, на форму и размеры геометрического тела. В ходе беседы полезно использовать вопросы задач № 1, 2.

2 При объяснении понятия «поверхность тела» следует обратить внимание на число размеров поверхности, разнообразие поверхностей и обсудить вопрос о возможности существования поверхности тела отдельно от тела.

3 Для учащихся будет интересной демонстрация разрезания листа Мёбиуса в № 6. Полезно заранее приготовить несколько моделей листа Мёбиуса достаточно большого размера для наглядности.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На уроке: в классе — § 1.1 и 1.2; № 1, 2, 5, 8, 15, 17, 21;

дома — № 3, 4, 6, 10, 13, 22 и № 1—7В.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Что такое геометрическое тело?

2. Объясните, что означает «тело имеет три измерения».

3. Что такое поверхность тела?

4. Что такое сфера?

5. Сколько измерений имеет поверхность?

6. Приведите пример поверхности, имеющей только одну сторону.

7. Объясните, что такое плоскость.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Основная часть задач § 1.1 и 1.2 решается устно с выполнением чертежа на доске и в тетради. № 1, 5, 9, 17, 21.

2129330o3.fm Page 14 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 6. Одна из возможных пробок изображена на рисунке 2.

7. Решение понятно из рисунка 3.

9. Чтобы получить поверхность куба из развёртки, приведённой на рисунке 9У, в, согните по её пунктирным линиям, как на рисунке 4.

13. Решение приведено на рисунке 5.

15. Задача имеет много решений. На рисунке 6 изображён один из возможных вариантов развёртки треугольной пирамиды. Пунктирными линиями показаны линии сгиба.

17. При указанном в условии разрезе получится дважды перекрученное бумажное кольцо. Чтобы лист Мёбиуса распался на две части, можно провести разрез:

отступить от края листа Мёбиуса на -- его ширины и части: большое, дважды перекрученное кольцо, с которым зацеплён меньшего размера лист Мёбиуса.

18. Всех этих измерений недостаточно: надо ещё убедиться, что изготовленная рамка плоская, т. е. все углы 2129330o3.fm Page 15 Monday, April 1, 2013 3:00 PM рамки лежат в одной плоскости. При объяснении полезно сделать несколько рисунков: четырёхугольник с равными противоположными сторонами (рис. 7, а); четырёхугольник с равными противоположными сторонами и равными диагоналями (рис. 7, б); пирамида (рис. 7, в).

22. Нальём в ёмкость небольшое количество воды и постараемся найти такое положение ёмкости, чтобы вода закрывала всё дно. Если такого положения найти нельзя, то дно нельзя считать плоским. Чем меньшим количеством воды можно закрыть всё дно, тем ближе оно к части плоскости.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Длина кольца равна 11. Какова длина пути, который проползёт муравей, если он начнёт и закончит свой путь в точке A и ползти будет всё время по пунктирной 1.3. Линия. 1.4. Точка (1 ч) При изучении § 1.3, 1.4 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— изображать на чертежах и рисунках известные учащимся линии, устно их описывать;

— объяснять получение линии как результат пересечения поверхностей;

— объяснять получение прямой как результат пересечения плоскостей;

— объяснять получение точки как результат пересечения линий;

— объяснять размерность линии и точки;

— решать задачи на изображение и распознавание линий.

2129330o3.fm Page 16 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 При обсуждении понятия «линия» следует обратить внимание учащихся на получение линии как места пересечения поверхностей, на размерность линии и обсудить вопрос о возможности существования линии отдельно от поверхности и от тела. В ходе беседы полезно привлечь учащихся, используя вопросы заданий № 1, 2 При обсуждении понятия «точка» следует обратить внимание учащихся на то, что точка есть последний шаг на пути от реальных тел к математическим абстракциям, путь последовательного уменьшения числа измерений от трёх (тело) до нуля (точка), и обсудить вопрос о возможности существования точки отдельно от линии, от поверхности и от тела.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На уроке: в классе — § 1.3 и 1.4; № 24, 26, 27, 28, 30, 33, 38; дома — № 25, 28, 30, 32 и № 1—5В.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

2. Сколько измерений имеет линия?

5. Сколько измерений имеет точка?

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Все задания решаются устно с выполнением чертежей на доске и в тетради. № 32.

23. Необходимо объяснить на примере модели любого геометрического тела, что значит вид спереди и вид сверху, а иногда дополнить и вид сбоку. Ответ: а) треугольная призма; б) шар; в) конус; г) четырёхугольная пирамида; д) цилиндр.

25. Ответ приведён на рисунке 9. Представлены (слева направо) вид спереди, вид сбоку, вид сверху геометрического тела, изображённого на рисунке 19У.

2129330o3.fm Page 17 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 26. На рисунке 10 изображена пирамида, развёртка которой приведена на рисунке 20У.

27. В задании б) можно отметить прямую с помощью натянутой верёвки. В задании в) отметим две точки, Рис. через которые должна пройти указанная прямая, с помощью двух кольев.

Займём позицию за одним из этих кольев, чтобы второй был невидим.

Отмечая теперь другие невидимые точки, будем получать точки на одной прямой.

нейки линию через какие-нибудь две точки дважды, причём второй раз линейку переверните.

Получившиеся линии должны совпасть.

30. Линия сгиба фактически является линией пересечения двух плоскостей.

32. Например, как на рисунке 11.

1.6. Как изучать геометрию? (1 ч) При изучении § 1.5, 1.6 учащиеся должны достичь предметных результатов:

— объяснять понятия «геометрическая форма» и «геометрическая фигура»; «геометрическое тело» как часть пространства; «плоскость», «линия», «точка» как результат пересечения геометрических форм более высокой размерности;

«линия», «плоскость», «геометрическое тело» как результат движения геометрической формы более низкой размерности;

«равенства фигур» (в том числе формулировать, иллюстрировать);

— решать задачи на равенство фигур.

2129330o3.fm Page 18 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 При объяснении понятия «равенство фигур» полезно выполнить вместе с учащимися № 43, обратить особое внимание на № 43 (е), который (и аналогичные ему) способствует развитию пространственных представлений.

2 По материалу § 1.6 можно провести беседу, причём сделать это в удобное для учебного процесса время.

После разбора № 46 выполнить № 9Т.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На уроке: в классе — параграф; № 43, 44, СР1; дома — № 39, 40, 41 и 1—5В.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Как происходит переход от реального мира к геометрическим абстракциям?

2. Что такое геометрическая форма?

3. Как можно получить геометрические формы как результат движения?

4. Что такое геометрическая фигура?

5. Что понимают под равенством геометрических фигур?

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Все задачи § 1.5 решаются устно с выполнением чертежей 43. Среди пар плоских фигур неравными будут фигуры, которые являются частью круга в г) и два четырёхугольника в в). Остальные три пары являются парами равных фигур. Что касается двух пирамид в е), то их с точки зрения определения, данного в учебнике, нельзя считать равными, так как совместить их в пространстве невозможно.

Решение следует из умения видеть пространственные тела. Возьмём прямоугольный параллелепипед и проведём в нём диагонали двух соседних боковых сторон, причём эти диагонали выходят из общей вершины, не принадлежащей основанию, затем проведём диагональ основания так, как показано на рисунке 12, а. Получили пирамиду (рис. 12, б). Зеркально отобразим пряo3.fm Page 19 Monday, April 1, 2013 3:00 PM моугольный параллелепипед и повторим ту же операцию, что и с первым прямоугольным параллелепипедом (рис. 12, в). Получили вторую пирамиду (рис. 12, г).

Вторая пирамида имеет те же размеры рёбер, ребро 2 так же перпендикулярно рёбрам основания, при этом она является как бы зеркальным отображением первой пирамиды. Такие фигуры (тела) в математике иногда удобно рассматривать как равные.

Вместо предложенной самостоятельной работы можно выполнить контрольные задания в формате ЕГЭ по теме «Первые понятия геометрии» (с. 98—101 рабочей тетради).

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №

1. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед и конус.

2. Какие пары фигур, изображённые на рисунке 13, равны? Перерисуйте равные фигуры в тетрадь.

2129330o3.fm Page 20 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 3. Кусок проволоки изогнули в виде некоторой линии. На рисунке 14 показано, как выглядит этот кусок проволоки с трёх различных точек зрения: а) спереди;

б) сбоку; в) сверху. Определите, как изогнули проволоку. Ответ: рисунок 15.

1. Нарисуйте пирамиду и цилиндр.

2. Какие пары фигур, изображённые на рисунке 16, равны? Перерисуйте равные фигуры в тетрадь.

3. Кусок проволоки изогнули в виде некоторой линии. На рисунке 17 показано, как выглядит этот кусок проволоки с трёх различных точек зрения: а) спереди;

б) сбоку; в) сверху. Попробуйте определить, как изогнули проволоку. Ответ: рисунок 18.

2129330o3.fm Page 21 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Основные свойства плоскости (17 ч) С этой главы начинается систематический курс геометрии. В главе систематизируются и обобщаются знания и представления учащихся о простейших геометрических фигурах, накопленные ими в процессе изучения математики в 1—6 классах и жизненного опыта.

Основной особенностью авторского подхода к изложению начальных понятий планиметрии является раннее введение понятий осевой и центральной симметрии, а также кривых и ломаных линий, многоугольников, окружности и круга.

Изучение главы должно также решить задачу введения терминологии, развития наглядных представлений и навыков изображения планиметрических фигур и простейших геометрических конфигураций по условию задач и в ходе их решения. Всё это необходимо для дальнейшего изучения геометрии, в силу чего важными аспектами изучения темы является работа с чертежами и рисунками. При решении задач следует, прежде всего, опираться на наглядные представления учащихся. Тем не менее решение задач следует использовать для постепенного формирования у учащихся первых навыков применения свойств геометрических фигур как опоры при решении задач. Можно предложить выполнять рисунок к каждой задаче, сопровождая каждый шаг логическими рассуждениями.

Изучение главы ставит перед учителем сложные методические з а д а ч и:

1) начать обучение школьников чётким геометрическим формулировкам и рассуждениям;

2) постепенно подводить учащихся к пониманию необходимости обоснования каждого утверждения, побуждая их вопросами: «Как?», «Почему?», «На каком основании?» и т. д.;

3) формировать у учащихся умение выделять из текста геометрической задачи: «Что дано?», «Что требуется найти (доказать)?», кратко и чётко записывать решение задачи;

4) отражать ситуацию, данную в условии задачи и возникшую в ходе её решения на рисунке.

2129330o3.fm Page 22 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Всему этому учащиеся будут обучаться на протяжении всего курса геометрии, но в этой главе закладываются основы будущих умений.

В главе приведено избыточное количество задач, что даёт возможность учителю при планировании уроков подбирать задачи, учитывая уровень подготовки класса. Часть задач можно использовать позднее при повторении материала перед изучением новых тем, а также при подготовке как к тематической контрольной работе, так и к итоговой.

Многие задачи используют стандартные приёмы решения или представляют собой стандартные задачи, которые в курсе геометрии будут использоваться как фрагменты или подзадачи более сложных задач. Эти задачи требуют внимания со стороны учителя. При этом особенно важно отрабатывать решение этих задач арифметическими (не алгебраическими) способами. Это позволит учащимся лучше справляться с техническими трудностями, возникающими при решении многоходовых геометрических задач. С другой стороны, надо подчеркнуть, что есть два подхода к решению вычислительных задач в геометрии: арифметический (поэтапное решение) и алгебраический (составление уравнений). На начальном этапе геометрического образования ощущается определённый дефицит задач на применение алгебраического метода. Поэтому по возможности полезно показывать оба метода: арифметический и алгебраический.

Хотя в перспективе, когда рассматриваемые задачи превратятся в фрагменты более сложных задач, главным станет арифметический метод.

В процессе изучения полезно уделить внимание использованию мультимедийного приложения, наглядным средствам обучения и решению задач по готовым чертежам.

При изучении главы 2 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— распознавать и изображать на рисунках: прямые, лучи, отрезки, пересекающиеся, параллельные и перпендикулярные прямые;

— распознавать и изображать на рисунках: смежные и вертикальные углы, биссектрису угла;

— описывать ситуацию, изображённую на рисунке, и, наоборот, по описанию ситуации выполнять рисунок;

2129330o3.fm Page 23 Monday, April 1, 2013 3:00 PM — иллюстрировать и объяснять основные свойства простейших геометрических фигур;

— формулировать, иллюстрировать и объяснять понятия «симметрия относительно точки», «симметрия относительно прямой»; теоремы о свойствах смежных и вертикальных углов;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство свойства измерения отрезков и углов, теоремы о свойствах смежных и вертикальных углов, а также перпендикулярных прямых.

2.1. Геометрия прямой линии (2 ч) В параграфе изучается материал, традиционно определяемый как начальные понятия планиметрии, за исключением понятия симметрии относительно точки.

При изучении § 2.1 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— изображать, обозначать и распознавать на рисунках прямые, лучи, отрезки;

— выделять в конфигурации, данной в условии задачи, прямые, лучи, отрезки, углы; пересекающиеся, параллельные и перпендикулярные прямые;

— формулировать, иллюстрировать и объяснять определение симметрии относительно точки; свойства длины отрезка;

— изображать, обозначать и распознавать на рисунках центрально-симметричные точки на плоскости;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство свойства измерения отрезков; понятие симметрии относительно точки.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

отрезка и луча, поэтому достаB по рисунку 19, ответив на в оп р о с ы.

1. Назовите точки, которые лежат между точками A и D.

2. Назовите все отрезки, у которых один конец находится:

а) в точке F; б) в точке D.

2129330o3.fm Page 24 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 3. Назовите все лучи с началом в точке F.

4. Назовите пары дополнительных лучей, используя для обозначения данные на рисунке точки.

Вместо предложенной работы с классом можно выполнить № 47. Затем устно решить № 42, 59 (а, б, в) с выполнением рисунков на доске.

Кроме заявленного обозначения луча прописными латинскими буквами, в учебнике будет использоваться также и обозначение строчной латинской буквой. Если прямая обозначается строчной латинской буквой a, а точка A разбивает прямую на два дополнительных луча, то их в учебнике довольно часто обозначают a1 и a2.

2 При объяснении понятий «длина отрезка», «равенство отрезков» и «отношение отрезков» полезно вспомнить с учащимися известные им единицы измерения длин.

Затем взять отрезок AB за единицу длины и измерить им отрезок CD (рис. 20). Повторить измерения, взяв за единицу длины отрезок MN (рис. 21). Число единиц длины меняется в зависимости от выбранной единицы измерения. В первом случае CD = 4AB, во втором Теперь измерим отрезок GF в тех же единицах, т. е.

в AB и MN (рис. 22). Получим GF = 4AB, GF = 12MN.

Отрезки CD и GF равны. Равенство отрезков записывается CD = GF. Измерим отрезок KL, взяв за единицу длины отрезок MN (рис. 23), KL = 24MV, а отрезок Измерим те же отрезки, т. е. в KL и CD, взяв за единицу длины отрезок PQ. Получим KL = 2PQ, а CD = 6PQ.

Таким образом, получили, что при измерении, когда 2129330o3.fm Page 25 Monday, April 1, 2013 3:00 PM за единицу длины взят отрезок PQ, отрезок KL в 2 раза больше отрезка CD, и в случае, когда за единицу длины взят отрезок MN, отрезок KL в два раза больше отрезка CD. Таким образом, равенство отрезков и отношение отрезков не зависят от выбранной единицы длины.

3 После объяснения свойства длины отрезка на закрепление правила можно решить устно № 1—2ДЗ с выполнением рисунка на доске (задача № 56 обобщает их), затем решить устно № 56, 48. В № 48 достаточно ответа, что точка A лежит между точками B и C, так как из трёх точек на прямой только одна расположена между двумя другими и при этом выполняется равенство Полезно сообщить учащимся, что в формулировках различных задач часто встречаются обороты: «точка A принадлежит отрезку BC», «точка A разделяет точки B и C», «точки B и C лежат по разные стороны от точки A». Все они означают, что «точка A лежит между точками B и C» и при записи обозначается A BC. Запись A BC означает, что точка A не принадлежит отрезку BC.

4 Учащиеся уже умеют откладывать отрезки с помощью циркуля, поэтому полезно предложить им ответить на в о п р о с ы.

1. Сколькими способами можно отложить отрезок RP, равный 2 см, на прямой от точки R?

2. Сколькими способами можно отложить на луче с началом в точке R отрезок RP, равный 2 см?

Затем решить устно № 63 (а, б, в) с выполнением рисунка на доске.

2129330o3.fm Page 26 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 5 Объяснив учащимся понятие симметрии относительно точки на прямой, предложить следующее з а д ан и е.

1) Постройте точку F, симметричную точке F относительно точки A. 2) Какая точка симметрична точке F относительно точки A?

После этого решить устно № 80, 81, 83 с выполнением рисунка на доске.

6 В задачах параграфа есть серия № 85—87, здесь используются знания учащихся о координатной прямой из курса математики. При их решении обобщаются знания об отрезках и лучах, их полезно решить на уроке.

Занимательные задачи — № 74, 89—92 развивают интерес школьников не только к геометрии, но и к математике вообще. В № 52, 53 задания, отмеченные одной буквой, лучше решать одновременно.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — параграф, кроме симметрии; № 48, 49, 52 (б), 53 (б), 56, 59 (а, б, в), 63 (а, б, в), 64; дома — № 52 (а), 53 (а), 60 (а, б), 61, 65 и № 1—6В.

На втором уроке: в классе — понятие симметрии;

№ 80, 81, 83, 85 (б, в), 86 (б), 87 (б); дома — № 85 (а, г), 86 (а, в, г), 87 (а, в), 88 и № 7—9В.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Объясните, что такое отрезок с концами в данных 2. Что такое полупрямая или луч? Какие прямые называются дополнительными?

3. Что означает понятие «отношение отрезков»?

4. Какие отрезки называются равными?

5. Сформулируйте свойство длины отрезка.

6. Объясните, как откладывать отрезки с помощью циркуля.

7. Какие точки на прямой называются симметричными относительно данной точки?

8. Объясните, что такое центр симметрии.

9. Какими свойствами обладает любая точка прямой?

2129330o3.fm Page 27 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Основная часть задач параграфа решается устно с выполнением чертежа на доске и в тетради. № 48, 78, 90.

52. Обозначим BM через x, тогда AM = 3 – x, отсюда:

Для каждого пункта из решения соответствующего уравнения находим BM и AM. Такой подход позволяет в курсе геометрии применить и закрепить знания учащихся о линейных уравнениях, которые изучались в курсе алгебры. Задание № 52 (ж) следует оставить для повторения в конце года.

53. Предположим, что точка M находится на луче AB. Обозначим BM через x, тогда AM = x + 3, отсюда:

Из решения соответствующего уравнения каждого задания находим BM и AM. В заданиях в) и г) получим BM — отрицательное, значит, точка M находится на луче BA.

Замечание. Условия заданий а)—г) позволяют без решения уравнения определить, какому лучу принадлежит точка M.

56. Точку C можно расположить на прямой двумя способами: рисунок 24 к заданию а), рисунок 25 к заданию б). Ответ: а) 9,9 и 1,5; б) 4,9 и 0,7.

2129330o3.fm Page 28 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 58. в) Точки A, B, C и D являются концами отрезков AC и BD, при этом на прямой отрезки могут быть заданы как AC и BD, AC и DB, CA и BD, CA и DB. Достаточно рассмотреть два случая расположения точек A, B, C и D. Первый случай рассмотрен на рисунке 26, а второй случай на рисунке 27.

B A CD A B C D

DA CB D A BC

Первая последовательностей расположения точек A, B, C и D задаётся взаимным расположением отрезков AC и BD. Для определённости пусть AC < BD, тогда A BD и C BD, это первый случай (рис. 26, а). Сдвинем отрезок AC влево так, чтобы A BD, а C BD, это первый случай (рис. 26, б). Ещё сдвинем отрезок AC влево так, чтобы A BD и C BD, это первый случай Вторая последовательность расположения точек A, B, C и D задаётся взаимным расположением отрезков AC и DB. Так же как и в первом случае, во втором случае для определённости положим AC < DB, тогда A DB и C DB, это второй случай (рис. 27, а). Сдвинем отрезок AC влево так, чтобы A BD, а C BD, это второй 2129330o3.fm Page 29 Monday, April 1, 2013 3:00 PM случай (рис. 27, б). Ещё сдвинем отрезок AC влево так, чтобы A BD, а C BD, это второй случай (рис. 27, в).

Точка M является серединой отрезка AB, а точка N — серединой отрезка CD.

Рассмотрим первый случай (см. рис. 26):

– -- (5 + x) – -- (7 – x) = 1; б) пусть BC = 5, тогда AB = справа и слева от точки B. Затем, двигаясь вправо и влево от C, получим возможные положения точки D. Для каждого положения C возможны два положения точки D (рис. 28). К заданиям б) и в) рисунки аналогичны.

В задании в) точки B и C меняются местами. Возможны следующие значения отрезка AD: а) 4,3; 0,9; 1,9; 1,5;

б) 6,2; 1,6; 2,6; 2; в) 6,7; 0,7; 4,1; 1,9.

A B C D D CA B

A DB C CA BD

2129330o3.fm Page 30 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 62. Пусть AM = x. Тогда MK = 2x, KB = 3x. Поступая так же, как при решении № 10, т. е. двигаясь по прямой от A и отмечая последовательно точки M, K и B, получим для AB возможные значения: AB = 6x, AB = 4x, AB = 2x. (4-й случай оказывается невозможным, так как AB = 0.) Возможны три варианта ответа:

B AD C A B D C

70. В первом случае искомые точки являются внутренними точками отрезка, концами которого являются середины отрезков AB и BC. Во втором — луч с началом в середине отрезка BC, содержащего точку B.

71. Обозначим BM через x, тогда AM = 1 – x, где 1 — длина отрезка AB, отсюда: а) 1 – x > x; б) 1 – x > 2;

е) x 2(1 – x) 4x. Для каждого случая из решения соответствующего неравенства находим BM. По-видимому, случаи в) — е) следует оставить для повторения в конце года. На примере случая д) рассмотрим применение арифметического метода решения. Возьмём на отрезке AB точки K и P. BK = -- AB, BP = -- AB.

удовлетворяет условию задачи, а точка P — нет.

72. а) Обозначим через K середину AB. Нам подходят точки луча KB, кроме точек K и B. б) Рассмотрим две точки на прямой AB: точку K на отрезке AB, BK = -- AB, BP = AB. Точки M заполняют отрезок KP, исключая точку B. Концы отрезка включаются. е) Возьмём на прямой точки M1, M2, M3 и M4. Вместе с точками A и B они идут в следующем порядке: M1, A, M2, M3, B, M4.

2129330o3.fm Page 31 Monday, April 1, 2013 3:00 PM При этом выполняются равенства M1A = AB, AM2 = = -- AB, AM3 = -- AB, AM4 = 2AB. Подходят все точки прямой, кроме внутренних точек отрезков M1M 73. Задача имеет два решения: точка M может быть серединой AB, а также лежать на луче BA так, что 74. Если точки движутся в одном направлении, то середина отрезка переместится на величину ------------- = 2.

75. ---------- = ---------- = --. Пусть BM = x. Тогда MC = 1 – x, нение ------------- = -------------, откуда найдём x = --.

76. а) Самый большой отрезок CD, при этом точка C является серединой отрезка AD. Предположим, что точка M принадлежит отрезку BC. Обозначим длину отрезка MC через x, BM = 2 – x, тогда 1 + 2 – x + 2 – x = = x + 3, отсюда MC = --. Точка M лежит на отрезке BC, причём BM = 1 -- (рис. 31, а). б) Решение аналогично заданию а). Подходят все точки отрезка BC, включая его 78. Если длину первого прыжка принять за единицу, то получится, что первый прыжок имеет нечётную длину, а все последующие — чётную.

В развитие этой задачи решить № 43Т.

83. Полезно рассмотреть несколько случаев расположения точки на прямой AB: точка M лежит внутри AB, M вне AB, но близко к точке A и др. Проследите за её перемещением после каждой симметрии, сделайте соответствующие рисунки.

85—88. Решение видно из рисунка, поэтому кажущийся большим объём заданий на самом деле не требует больших временных затрат.

85. Ответ: а) отрезок вместе с концами; б) луч, исключая его начало; в) отрезок без его левого конца;

г) отрезок, исключая его концы.

86. Во всех случаях координата x точки A задаётся формулой x = x2 + (x2 – x1) = 2x2 – x1.

89. После первой минуты червяку остаётся 1 м, после второй — -- м, затем -- м, -- м. Каждое следующее расстояние в два раза меньше предыдущего. Если считать червяка точкой, то он никогда не доберётся до конца 91. Общая длина семнадцати отрезков не меньше 12.

Значит, хотя бы один из них не меньше ----- = 0,7058 > 0,7.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Точка B лежит между точками A и F. Известно, что AB = 3 см, BF = 7 см. Определите: а) длину отрезка AF;

б) длину отрезка BF.

2129330o3.fm Page 33 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 2. Точка K принадлежит отрезку LM, равному 23 см.

Найдите длины отрезков KL и KM, если отрезок KL на 5 см короче отрезка KM.

3. Точка Q принадлежит отрезку PR, равному 21 см.

Найдите отрезки QP и QR, если длины отрезков QP и QR относятся как 4 : 3.

2.2. Основные свойства прямой В параграфе изучается материал, традиционно определяемый как основные свойства прямой на плоскости, за исключением понятия симметрии относительно прямой.

При изучении § 2.2 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— формулировать и иллюстрировать определение параллельных прямых;

— формулировать, иллюстрировать и объяснять определение симметрии относительно прямой; три основных свойства плоскости;

— изображать, обозначать и распознавать на рисунках точки, симметричные относительно прямой;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство три основных свойства плоскости; определение параллельных прямых.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 Формулируя первое основное свойство плоскости, следует обратить внимание учащихся на то, что в нём содержится два утверждения: существование прямой (через любые две точки можно провести прямую) и её единственность (и притом только одну). Кроме введённого в параграфе обозначения прямой двумя прописными латинскими буквами, в учебнике будет использоваться также и обозначение строчной латинской буквой. На закрепление первого основного свойства плоскости можно предложить учащимся следующие 1. Всегда ли можно провести прямую через точки A и B?

2. Сколько прямых можно провести через точки A и B?

2129330o3.fm Page 34 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 2 При объяснении теоремы 2.1 проводится первое доказательное рассуждение методом от противного, однако не следует на этом факте акцентировать внимание учащихся. Говорить о значении этого метода на уроке преждевременно, и неуместным представляется даже сам термин «метод от противного». А пока же представляется единственно возможной в этом отношении задача — научить школьников первоначальным навыкам рассуждений от противного на примерах простых задач.

Полезнее решить устно № 1, 3ДЗ с выполнением рисунка на доске. Это позволит повторить рассуждения, аналогичные доказательству теоремы.

3 Понятие «параллельные прямые» не является для учащихся новым, оно известно из курса математики.

Полезно напомнить учащимся, что для обозначения параллельности прямых используется знак ||.

4 Второе основное свойство плоскости дано в краткой формулировке, удобной для запоминания. При решении задач учащиеся будут пользоваться её о п ис а н и е м: «Две точки плоскости A и B, не лежащие на прямой a этой плоскости, будут располагаться в разных или в одной полуплоскости относительно прямой a в зависимости от того, будет отрезок AB пересекаться с прямой a или нет». На закрепление — в о п р о с ы.

После этого решить устно № 105, 106 с выполнением рисунка на доске, затем № 5ДЗ.

5 При объяснении учащимся понятия центральной симметрии на плоскости сначала попросить их ответить на в о п р о с ы.

1. Какие точки на прямой называются симметричными относительно данной точки?

2. Что такое центр симметрии?

2129330o3.fm Page 35 Monday, April 1, 2013 3:00 PM После введения понятия выполнить з а д а н и я.

1. Дана точка O. Постройте точку A, симметричную данной точке A относительно точки O.

2. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Назовите точку, симметричную точке A (точке B, точке C, точке D) относительно точки O.

6 Понятие осевой симметрии вводится на наглядно-интуитивном уровне, поэтому при подготовке к уроку полезно сделать, а в процессе объяснения использовать модель плоскости с двумя кругами (рис. 47У). Обратить внимание на усвоение учащимися с в о й с т в осевой симметрии, которые будут использоваться при доказательстве теорем в следующем параграфе, а именно:

1) точки оси симметрии переходят сами в себя;

2) фигуры, симметричные относительно данной прямой, равны.

Далее выполнить № 110, 117 и № 52—53Т.

7 В № 115, как и в № 78, используется понятие чётности, полезно их решить на одном уроке.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункты: первое основное свойство плоскости, параллельные прямые, второе основное свойство плоскости; № 105, 106, 109; дома — № 95, 99, 103, 108 и № 1—4В.

На втором уроке: в классе — пункты: центральная и осевая симметрии, третье основное свойство плоскости, № 110, 113, 115, 117 и 78; дома — № 112, 114, 116 и № 5—

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Сформулируйте первое основное свойство плоскости.

2. Сформулируйте и докажите теорему 2.1.

3. Какие прямые называются параллельными?

4. Сформулируйте второе основное свойство плоскости.

5. Объясните, как построить точку, симметричную данной на плоскости.

6. Сформулируйте третье основное свойство плоскости.

7. Какие точки называются симметричными относительно данной прямой?

2129330o3.fm Page 36 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 8. Какие фигуры называются симметричными относительно данной прямой?

9. В какие точки при симметрии относительно данной прямой переходят точки оси симметрии?

10. Что такое ось симметрии фигуры?

11. Каким свойством обладают фигуры, симметричные относительно данной прямой?

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Основная часть задач параграфа решается устно с выполнением рисунка на доске и в тетради. № 105, 109, 116, 117.

105. Плоскость может быть разделена на пять частей (все четыре прямые параллельны); восемь частей (три прямые параллельны, а четвёртая их пересекает; либо все прямые проходят через одну точку); девять частей (две пары параллельных прямых, либо три прямые проходят через одну точку, а четвёртая параллельна одной из них); десять частей (одна пара параллельных прямых, но никакие три в одной точке не пересекаются; либо нет параллельных, но какие-то три проходят через одну точку); одиннадцать частей (никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку).

109. Если один из братьев пересекал дорогу x раз, то другой (x + 3) раза. А так как x и (x + 3) — числа разной чётности, значит, братья находятся по разные стороны дороги.

113. Пусть B — точка пересечения отрезка AA с прямой a. По свойству симметрии AB = BA.

114. Пусть M — точка пересечения прямых AB и a.

При симметрии относительно a прямая AB переходит в прямую AB, а прямая AB в прямую AB. Точка M остаётся на месте, значит, M есть точка пересечения прямых AB и A1B1.

115. Если бы прямая a не проходила ни через одну из отмеченных точек, то их можно было бы разбить на пары точек, симметричных относительно a. Но 1995 — число нечётное.

116. Каждая последовательность символов получается из последовательности цифр 1, 2, 3, 4 присоединением к каждой цифре фигуры, симметричной этой цифре относительно некоторой оси.

2129330o3.fm Page 37 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Точка A принадлежит прямой CB. Различны ли прямые AB и CB?

2. Различные прямые f и e пересекаются в точке G.

Прямая f проходит через точку B. Проходит ли прямая e через точку B?

3. Одна из двух пересекающихся прямых проходит через точку B, принадлежащую другой прямой. Различны ли точка B и точка пересечения данных прямых?

4. На сколько частей разделят плоскость три прямые, пересекающиеся в одной точке?

5. Торт, украшенный семью розочками, тремя прямолинейными разрезами разделили на куски так, что на каждом куске оказалось ровно по одной розочке. Покажите на (рис. 33).

В параграфе изучается материал, традиционный для любого курса планиметрии: определение угла, измерение углов, смежные и вертикальные углы и их свойства, прямой, тупой и острый углы, биссектриса угла и её свойства, перпендикулярные прямые.

При изучении § 2.3 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— формулировать, иллюстрировать и объяснять определения смежных и вертикальных углов, биссектрисы угла;

— распознавать на рисунках смежные и вертикальные углы, биссектрису угла;

— выделять в конфигурации, данной в условии задачи, смежные и вертикальные углы, биссектрису угла;

— формулировать, иллюстрировать и доказывать теоремы о свойствах смежных и вертикальных углов; теоремы о свойствах перпендикулярных прямых;

— формулировать, иллюстрировать и объяснять определение перпендикулярных прямых;

— формулировать и иллюстрировать следствия из теоремы о единственности перпендикуляра;

— строить прямую, перпендикулярную данной;

2129330o3.fm Page 38 Monday, April 1, 2013 3:00 PM — применять при решении задач на вычисление и доказательство свойства измерения отрезков и углов; теоремы о свойствах смежных и вертикальных углов, перпендикулярных прямых; понятие симметрии относительно прямой.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 Из курса математики начальной школы и 5— 6 классов учащимся известно понятие угла, поэтому достаточно ввести все определения, связанные с этим понятием, и закрепить их по рисунку 52У и № 1—5В.

Кроме обозначения угла — AOB (§ 2.3) в литературе часто используется и другое обозначение O, т. е. при знаке угла ставится буква, обозначающая вершину угла.

2 Напомнив учащимся понятие «градусная мера угла», полезно выполнить на доске и в тетрадях у п р а жн е н и е: «Начертите неразвёрнутый угол. С помощью транспортира определите величину этого угла, обозначьте угол и запишите его градусную меру».

В учебнике приводится конструктивное доказательство единственности угла заданной градусной меры («Рассмотрим какой-нибудь угол. Пусть одна его сторона неподвижна, а другая вращается около вершины...»

и т. д.), которое будет использоваться в доказательстве теоремы 2.4. При его объяснении использовать модель (рис. 34) для лучшего усвоения материала.

3 Понятие «смежные углы» в соответствии с идеологией учебника полезно сначала ввести на наглядном уровне. Проведём прямую CK и отметим точку F, лежащую между точками C и K (рис. 35). Проведём луч FA.

Получим два угла: CFA и AFK. Такие углы называют 2129330o3.fm Page 39 Monday, April 1, 2013 3:00 PM смежными. Теперь с целью подведения учащихся к определению смежных углов предложить им в о п р о с ы.

1. Назовите стороны каждого из углов.

2. Как связаны между собой стороны смежных углов?

Затем предложить р а б о т у по готовым чертежам (рис. 36), включив в их набор контрпример е), для проверки правильности усвоения учащимися понятия и умения находить их в стандартных ситуациях.

1. На рисунке найдите и запишите пары смежных углов.

2. Почему эти углы являются смежными?

3. Являются ли углы (рис. 36, е) смежными? Почему?

Вместо работы с плакатом (см. рис. 36) можно предложить учащимся устно выполнить № 119, в котором углы в случаях а), б) и в) (рис. 65У) являются контрпримерами к определению смежных углов.

2129330o3.fm Page 40 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Дополнительно к данному в учебнике понятию смежных углов дать также конструктивное определение смежных углов, т. е. показать учащимся, что смежный угол можно построить путём дополнения одного из лучей, являющихся стороной угла до прямой. Для этого можно устно выполнить № 122.

Традиционная теорема о сумме смежных углов в учебнике является их свойством. Его объяснение можно провести с опорой на рисунок 54У. Углы x и y смежные. В сумме они образуют развёрнутый угол, значит, 4 После введения определений прямого, тупого и острого углов предложить учащимся решить № 3—4 ДЗ, которые связывают понятия смежных углов и определения прямого, тупого и острого углов.

5 Понятие «вертикальные углы» в учебнике дано конструктивно. При пересечении двух прямых CD и AB (F — точка их пересечения) образуются четыре угла.

Рассмотрим AFC, ответив на в о п р о с ы.

1. Назовите стороны этого угла.

2. Как связаны между собой стороны углов AFC и 3. Какие ещё углы образуются при пересечении двух прямых?

Ответ на последний вопрос («любые два угла, которые получаются при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные») довольно часто используется при решении задач как один из логических Для проверки правильности усвоения учащимися понятия «вертикальные углы» и умения находить их в стандартных ситуациях предложить работу по готовым чертежам (рис. 37) с контрпримером (б) с помощью 1. На рисунке найдите и запишите пары вертикальных 2. Объясните, почему эти углы являются вертикальными.

3. Определите, являются ли углы на рисунке 37, б вертикальными и почему.

Полезно показать учащимся, что вертикальный угол можно построить путём дополнения лучей, являющихся 2129330o3.fm Page 41 Monday, April 1, 2013 3:00 PM сторонами данного угла, до прямых, используя у пр а ж н е н и е: «Дан CGD. Начертите угол, вертикальный углу CGD. Сколько таких углов можно построить?»

Вместо работы с плакатом (см. рис. 37) можно устно выполнить № 140, в котором углы а), б) и в) являются контрпримерами к определению смежных углов. На закрепление определений смежных и вертикальных углов, 2129330o3.fm Page 42 Monday, April 1, 2013 3:00 PM свойства смежных углов и теоремы о вертикальных углах полезно устно решить № 128, 129, 133, 144 с выполнением чертежа на доске, или № 64, 65, 66Т, или часть 6 Понятие «перпендикулярные прямые» не является для учащихся новым — известно из курса математики. В учебнике знак, используемый для обозначения перпендикулярности прямых, вводится в § 3.3. Однако учащимся оно знакомо и поэтому его полезно напомнить для применения при записи решения задач.

7 Так как доказательства теорем 2.3 и 2.4 достаточно трудны для восприятия учащихся, то лучше провести его полностью учителю. Включение учащихся во фронтальную работу при первичном разборе теорем может привести не только к значительным потерям времени, но и к тому, что от них ускользнёт основная идея доказательства — логическая последовательность рассуждений.

Рассмотрим доказательство теоремы 2.3. На рисунке 38, а даны перпендикулярные прямые a и b. После симметрии относительно прямой a угол, сторонами которого являются лучи a1 и b1 (рис. 38, б), переходит в равный ему угол в силу свойства симметрии («при симметрии любая фигура переходит в равную ей фигуру»). Таким образом, луч b1 переходит в луч, перпендикулярный прямой a, так как угол, сторонами которого являются лучи a1 и b1, — прямой. Причём в полуплоскости, где лежит луч b2, прямой угол единственный. Луч b2 так же перпендикулярен прямой a. Значит, луч b1 переходит в своё продолжение — луч b2 (рис. 38, в).

Формулируя теорему 2.4, обратить внимание учащихся на то, что в ней содержится два утверждения: суb1 b 2129330o3.fm Page 43 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ществование прямой, перпендикулярной данной (через любую точку плоскости проходит) и её единственность (единственная прямая).

Важнейшими с л е д с т в и я м и из теоремы 2.4 являются доказательство существования параллельных прямых и определяется способ построения прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку вне данной прямой.

На закрепление рекомендуются задачи 165, 166, 168.

8 После введения понятия биссектрисы угла предложить учащимся выполнить следующие з а д а н и я.

1. Чему равен угол между биссектрисой и стороной данного угла, равного: а) 40°; б) 84°; в) 92°; г) 76°?

2. Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный: а) 17°; б) 53°; в) 29°; г) 41°.

На закрепление определения № 130, 137.

Полезно сообщить учащимся, что в формулировках различных задач (не обязательно из данного учебника) довольно часто встречается оборот: «луч проходит между сторонами угла», что означает «луч лежит между сторонами угла».

При работе над понятием «биссектриса угла» основное внимание следует уделить её свойству: «прямая, на которой лежит биссектриса угла, является осью симметрии угла», так как оно будет активно использоваться в дальнейшем. На закрепление № 145.

9 Теорема 2.4, как сказано в учебнике, подсказывает способ построения прямой, перпендикулярной данной, и проходящей через точку вне данной прямой.

Учащиеся ещё не умеют строить точки, симметричные данным относительно прямой, поэтому в условии всех задач § 2.2 и 2.3 все симметричные точки заданы.

10 В «Примерном планировании» как для работы на уроке, так и для работы дома дано большое число задач, для решения многих из них достаточно нарисовать правильный чертёж, после чего само решение становится очевидным. Полезно решать их устно с выполнением чертежа на доске и в тетрадях. Это позволит рассмотреть большое количество геометрических ситуаций, изображая которые учащиеся будут усваивать новые понятия и 2129330o3.fm Page 44 Monday, April 1, 2013 3:00 PM получаются при пересечении двух прямых, равна 36°.

Найдите эти углы».

Решение. Два угла, которые получаются при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные углы (рис. 39).

Углы и не могут быть вертикальными, так как по условию они не равны: их разность равна 36°. Значит, и — смежные углы.

По свойству смежных углов + = 180°, а по условию задачи – = 36°:

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункты: определение угла, развёрнутый угол, измерение углов, вертикальные углы, угол между прямыми; устно № 119, 122, 128, 129, 133, 144; дома — № 1—12В, 118, 121, 134, 141.

На втором уроке: в классе — пункты: перпендикулярные прямые, биссектриса угла; 130, 137, 145, 150, 151, 156, 165, 166 и 168; дома — № 13—18В, № 153, 154, 155, 156, 167, 170.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Объясните, какая фигура называется углом.

2. Объясните, какие точки называются внутренними точками угла.

2129330o3.fm Page 45 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 3. Объясните, что называется вершиной и стороной угла.

4. Как обозначается угол?

5. Объясните, какой угол называется развёрнутым углом.

6. В каких единицах измеряется угол и с помощью какого инструмента? Объясните, как им пользоваться.

7. Какие углы называются смежными углами?

8. Чему равна сумма смежных углов?

9. Какой угол называется прямым, тупым и острым?

10. Какие углы называются вертикальными углами?

11. Сформулируйте и докажите теорему о вертикальных углах.

12. Объясните, какой угол называется углом между прямыми.

13. Какие прямые называются перпендикулярными?

14. Сформулируйте и докажите теорему 2.3.

15. Сформулируйте и докажите теорему 2.4.

16. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

17. Объясните, как провести прямую, перпендикулярную данной, через данную точку вне данной прямой.

18. Объясните, какой луч называется биссектрисой угла.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Основная часть задач решается устно с выполнением чертежа на доске и в тетради. № 118, 148, 149 и 153.

119. а) Углы 1 и 2 имеют общую сторону, но другие стороны не дополняют друг друга до прямой; б) углы и 2 не имеют общую сторону; в) углы 1 и 2 не имеют общую сторону.

137. Даны смежные углы (a1b) и (ab), а c1 и c — их биссектрисы (рис. 40). Обозначим угол (ab) через x, тогда угол (a1b) равен 180° – x. Лучи c1 и c лежат в разных полуплоскостях относительно луча b. Лучи c1, c и b исходят из одной точки O. Откуда луч b проходит между сторонами угла (c1c), значит, (c1c) = (c1b) + (cb).

А так как c1 и c — биссектрисы соответственно углов (a1b) и (ab), то (c1b) = = -- (180° – x), а (cb) = x. Отсюда (c1c) = 90°.

2129330o3.fm Page 46 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 140. а), б) Углы 1 и 2 не получены при пересечении двух прямых; в) углы 1 и 2 являются смежными.

150. 1) Если данные углы, являясь соседними, идут в указанном (или противоположном) порядке, то углы между прямыми равны следующим величинам: 52°, 86°, 16°, 18°, 34°, 70°. 2) Если данные углы идут в порядке 94°, 52°, 16° (рис. 41), то углы между прямыми равны 86°, 52°, 16°, 18°, 34°, 68°. 3) Если данные углы идут в порядке 94°, 16°, 52°, то углы между прямыми равны 86°, 16°, 52°, 18°, 70°, 68°.

151. Пусть из одной точки выходят четыре луча k, l, m и n. Для определённости предположим, что лучи l и n лежат на одной прямой (рис. 42). Тогда каждая пара углов и, и, образованных этими лучами, смежные углы. В каждой паре один угол — тупой, второй — острый, для определённости это углы и. Сумма двух острых углов ( + ) может быть острым углом, прямым углом и тупым углом. Случаи ( + ) < 90° и ( + ) = 90° не подходят по условию. Если ( + ) > 90°, т. е. три тупых угла, и ( + ), сторонами которых являются три

C D C O D C D

2129330o3.fm Page 47 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 155. Даны пересекающиеся прямые AB и CD (рис. 43, а). Рассмотрим смежные углы DOB и BOC (рис. 43, б), для которых OG и OF являются биссектрисами. Пусть BOD =, тогда BOC = 180° –, BOG = --, BOF = -- (180° – ) = 90° – --. Значит, за точку O (рис. 43, в). В силу теоремы о вертикальных углах луч OH, лежащий на одной прямой с лучом OG, является биссектрисой AOC, а луч OE лежит на одной прямой с лучом OF и является биссектрисой AOD.

165. Решение задачи следует из рисунка 44. Пусть — угол между данными прямыми a и b, и — угb 2129330o3.fm Page 48 Monday, April 1, 2013 3:00 PM лы, на которые луч OA разбивает угол, содержащий точку A.

В случае а) точка A принадлежит острому углу между = 2. В случае б) точка A принадлежит углу, смежному с углом между данными прямыми. Точки A1 и A2 лежат в одной полуплоскости относительно прямой b, + = = 180° – ; угол между лучами b2 и OA2 равен –, а между лучами b1 и OA1 равен ; A1OA2 = 180° – ( – – ) – = 2. В случае в) точка A принадлежит тупому углу между данными прямыми. Точки A1 и A2 принадлежат углу между лучами b2 и a1: + = 180° – ; угол между лучами a2 и OA2 равен, а между лучами a1 и OA1 равен – ; A1OA2 = 180° – – ( – ) = 2.

одной прямой. OA = OB и OB = OA1 в силу свойств осевой симметрии.

167. Из № 166 следует, что центральную симметрию можно заменить на две последовательно выполненные осевые симметрии, оси которых взаимно перпендикулярны. А как известно, при осевой симметрии фигура переходит в равную ей фигуру.

168. Задача решается методом от противного, который применялся при доказательстве теоремы 2.1. Пока представляется преждевременным употреблять термин «метод от противного». Пусть в результате симметрии относительно точки O прямая l переходит в прямую l (точка O не лежит на прямой l). Предположим, что прямые l и l пересекаются в точке M, тогда они должны пересечься и в точке M, симметричной M относительно точки O. Значит, точка O должна лежать на прямой l.

2129330o3.fm Page 49 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Но по условию точка O не лежит на прямой l. Следовательно, прямые l и l не пересекаются.

169. При симметрии относительно O точки A и A переходят друг в друга (прямая a переходит в прямую a1, а прямая b переходит в прямую b1). Точно так же друг в друга переходят точки B и B1 (рис. 46).

170. Пусть A1 любая точка на прямой a, O — середина отрезка AA1. При симметрии относительно точки O прямая a перейдёт в прямую a1, параллельную a и проходящую через точку A.

171. Рассмотрим случай, когда луч OB расположен внутри угла AOC, а луч OC внутри угла BOD (рис. 47).

Пусть AOB = 2, BOC = 2, COD = 2. По условию 2 + 2 = 180°. Отметим точки K и M на биссектрисах углов AOC и BOD соответственно. Имеем KOC = = +, BOM = +. Теперь получаем KOM = = + = 90°, что и требовалось доказать. Разберите так же и другие случаи расположения лучей, например: OA, 172. Возьмём какую-либо точку O и построим прямые, симметричные данным относительно точки O (рис. 48).

2129330o3.fm Page 50 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Углы DAB и DAF — смежные. Угол DAB равен 57°.

Чему равен DAF?

2. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

3. Докажите, что если один из смежных углов — острый, то другой угол — тупой.

4. Могут ли быть смежными прямой и острый углы?

5. Могут ли быть смежными прямой и тупой углы?

6. Сумма двух углов равна 148°. Докажите, что эти углы не могут быть смежными.

7. Разность двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 36°. Найдите эти углы.

8. Разность двух углов равна 78°. Докажите, что эти углы не могут быть вертикальными.

9. Луч BD проходит между сторонами угла ABC, градусная мера которого равна 2. Найдите градусную меру угла, образованного биссектрисами углов ABD и DBC.

10. Лучи BD и BF проходят между сторонами угла ABC, градусная мера которого равна 70°. Угол, образованный биссектрисами углов ABD и FBC, равен 47°.

Найдите градусную меру угла DBF.

2.4. Плоские кривые, многоугольники, В параграфе систематизируется материал, известный учащимся из курса математики начальной школы и 5—6 классов, а также из жизненного опыта. Весь теоретический материал параграфа является пропедевтическим, его можно дать в ознакомительном плане.

Основное внимание следует сосредоточить на решении задач на развитие пространственного представления учащихся.

При изучении § 2.4 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— формулировать, иллюстрировать и объяснять определения: многоугольника и его элементов, окружности и её элементов, круга;

— распознавать на чертежах и рисунках многоугольник и его элементы, окружность и её элементы, круг;

2129330o3.fm Page 51 Monday, April 1, 2013 3:00 PM — выделять в конфигурации, данной в условии задачи, многоугольник и его элементы, окружность и её элементы, круг;

— формулировать, иллюстрировать и доказывать теорему об осях симметрии окружности;

— применять при решении задач на вычисления и доказательство: определения многоугольника и его элементов, окружности и её элементов, круга; понятия симметрии относительно точки и относительно прямой.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 Учащимся уже известны виды различных линий, поэтому при их введении можно воспользоваться плакатом (подготовленными рисунками на доске), как на рисунке 49, или устно выполнить № 173—176 и ответить 1. Какие кривые на рисунке — конечные (бесконечные)?

2. Какие кривые на рисунке — замкнутые (незамкнутые)?

3. Какие кривые на рисунке — самопересекающиеся (несамопересекающиеся)?

4. Какой кривой является окружность?

2 При введении понятия ломаной и всех определений, связанных с этим понятием, можно воспольo3.fm Page 52 Monday, April 1, 2013 3:00 PM зоваться рисунком, подобным рисунку 50, и ответить 1. Назовите вершины ломаной.

2. Назовите звенья ломаной.

3 Знакомство учащихся с понятием внешней и внутренней областей можно провести по рисунку и в ходе устного решения № 178 и 180.

4 Понятие многоугольника и определения его элементов вводятся с опорой на рисунок (рис. 51) и в оп р о с ы.

1. Назовите вершины многоугольника.

2. Назовите стороны многоугольника.

3. Назовите диагонали многоугольника.

4. Назовите углы многоугольника.

Учащиеся хорошо знакомы с треугольниками и четырёхугольниками, другие многоугольники им знакомы меньше, поэтому желательно потратить некоторое время на то, чтобы нарисовать несколько разных многоугольников, число сторон которых больше четырёх.

При решении № 191 и 193 такое упражнение очень полезно.

5 Для закрепления понятия «периметр многоугольника» полезно решить № 190 (в, г) и 191 с краткой записью на доске и в тетрадях.

6 При введении понятия «выпуклые многоугольники» можно воспользоваться плакатом (подготовленными рисунками на доске) (рис. 52). Любой треугольник является выпуклым многоугольником.

7 Учащимся уже известны такие фигуры, как окружность и круг, поэтому при их введении можно восo3.fm Page 53 Monday, April 1, 2013 3:00 PM пользоваться рисунками 81—82У. Чтобы подчеркнуть принципиальное отличие окружности от прямой, предложить учащимся устно выполнить № 194 и 200.

В определении окружности основное внимание уделить тому, что все радиусы одной окружности равны.

Это свойство окружности будет активно использоваться в дальнейшем. Одновременно с понятием окружности вводятся понятия, связанные с окружностью: «хорда», «диаметр», «центр окружности», которые также будут широко использоваться.

На применение и закрепление теоремы 2.5 устно решить № 220, используя электронное приложение.

8 На втором уроке решить наиболее трудные и интересные задачи № 191, 193, 200, 202 устно. Задачи № 223—225 выводят из плоскости в пространство.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — параграф; № 173, 174, 175, 176, 178, 180 (а), 190 (в, г), 191, 220; дома — № 1— 10В; № 180 (б), 187, 188, 189, 190 (а, д).

На втором уроке: в классе — № 193, 194, 201, 202, 209, 219, 224; дома — № 205, 210, 211, 213, 222, 223.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Объясните, какая фигура называется ломаной.

2. Объясните, какая область является внешней, а какая — внутренней по отношению к данной фигуре.

3. Какая фигура называется многоугольником?

2129330o3.fm Page 54 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 4. Объясните, что называется периметром многоугольника.

5. Объясните, что называется углом многоугольника.

6. Какой многоугольник называется выпуклым?

7. Объясните, какие треугольники являются выпуклыми многоугольниками.

8. Объясните, какая фигура называется окружностью.

9. Объясните, какая фигура называется кругом.

10. Сформулируйте и докажите теорему 2.4.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

Основная часть задач решается устно с выполнением чертежа на доске и в тетради. № 180, 202, 208, 209, 213, 215, 217, 218, 219, 221, 223, 226 и 227.

180. Решение задачи просматривается из рисунков 53 и 54.

193. Обозначим стороны четырёхугольника через a, b, c, d, а диагональ через x. Тогда a + b + c + d = 118, 2129330o3.fm Page 55 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 194, 195, 200. Задачи имеют аналогичные конструктивные решения. Решение № 194 (рис. 55), № (рис. 56), № 200 (рис. 57).

202. Точки B и D находятся во внешней области, а точка C во внутренней. Если мы соединим точки A и B, то пересечём границу трижды, значит, A и B расположены в разных частях (аналогично пары A и C, A и D).

205. Возможны два объяснения: одна из черепах ошибается, либо они ползут по окружности (или другой замкнутой кривой).

208. Лучи света — прямые. Для того чтобы свет достигал всех уголков комнаты (рис. 58, а), нужно выделить все точки, откуда лучи доходят всюду. Это место — общая часть всех углов комнаты. Потому что внутри каждого угла из любой точки можно провести лучи до вершины угла и всех точек этого угла. Для построения общей части всех углов комнаты продолжим стороны комнаты «внутрь», т. е. продолжим стороны углов до пересечения с какой-нибудь стороной (рис. 58, б). Они 2129330o3.fm Page 56 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ограничат многоугольник, внутри которого следует расположить источник света (рис. 58, в).

209, 210. Любая комната имеет знакомую для учащихся форму прямоугольника. Нарисуем такой прямоугольник. Теперь подправим его так, чтобы создать «укромные» уголки. Один из возможных вариантов дан на рисунке 59. Решение № 210 аналогично (рис. 60).

211. Предположим, что в треугольнике ABC два прямых угла, для определённости пусть это будут ABC и ACB. Отсюда следует, что через точку A к прямой, содержащей сторону BC, проведены два перпендикуляра AB и AC, что противоречит теореме 2.4.

212. Противолежащие вершины при центральной симметрии должны переходить друг в друга. Отсюда следует, что диагонали точкой пересечения должны делиться пополам.

213, 214. Число диагоналей, которые выходят из каждой вершины многоугольника, на три меньше числа вершин. Значит, для n-угольника число диагоналей равно -- n(n – 3). Отсюда следуют решения задач.

o3.fm Page 57 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 218, 219. Эти задачи полезно использовать для пропедевтики решения № 221 и 222. Поэтому выполнить симметрию относительно точки O в двух вариантах.

В одном точка O взята внутри треугольника (четырёхугольника, окружности), в другом — вне фигуры.

220. Проведите прямую, проходящую через центры окружностей.

221. Построим треугольник, симметричный данному относительно точки O. Стороны двух треугольников пересекутся в некоторых точках. Число точек пересечения может быть 2, 4 или 6, они разбиваются на пары точек, симметричных относительно O. В качестве A и B можно взять любую из этих пар (рис. 61).

222. Постройте окружность, симметричную данной относительно O, и проведите хорду через точки пересечения двух окружностей.

223. Решение понятно из рисунC 224. Если у многоугольника есть два центра симметрии P и Q, то центA но Q. Таким образом, мы можем симметрии, лежащих на прямой PQ.

При этом расстояние между соседними центрами равно длине PQ. Значит, наш многоугольник оказывается неограниченно большим, чего не может быть.

228. Невозможно. Получается, что это сечение пересекает прямую, задаваемую передним ребром пирамиды, в двух точках. Значит, эта прямая обязана принадлежать плоскости сечения. А это не так.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА

У ломаной A1A2A3A4: звено A1A2 = 3 см, звено A2A3 = = 4 см, звено A3A4 = 2 см. Чему равна её длина?

2129330o3.fm Page 58 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Вместо контрольной работы можно выполнить из рабочей тетради контрольные задания по теме «Основные свойства плоскости».

1. При некоторой симметрии точка A(–1) переходит в точку A1(3). Определите, в какую точку отобразится точка B(4) при этой симметрии.

2. Определите, сколько решений имеет следующая задача. (Решать задачу не надо.) «На прямой p отмечены точки A, B и C. Отрезок AB равен 7 см, а отрезок AC равен 4 см. Найдите отрезок BC».

1. Одно. Б. Два. В. Три. Г. Решений нет.

3. При симметрии относительно точки O точки A и B перешли соответственно в точки A1 и B1. Определите взаимное расположение прямых AB и A1B1.

А. Перпендикулярны.

Б. Пересекаются, но не перпендикулярны.

Г. Такая ситуация невозможна.

4. Две окружности с центрами в точках O и O1 пересекаются в точках A и B. Радиус окружности с центром в точке O равен 11 см, а радиус окружности с центром в точке O1 равен 7 см. Найдите периметр четырёхугольника AOBO1.

5. Угол, равный 70°, разделён двумя лучами, которые проходят между его сторонами, на три неравных угла.

Средний угол равен 24°. Найдите угол, образованный биссектрисами крайних углов.

6. Стороны треугольника равны 7, 13 и 16. Через вершину треугольника, противолежащую большей его стороне, проведена прямая, делящая его периметр в отношении 1 : 3. В каком отношении эта прямая делит большую сторону?

2129330o3.fm Page 59 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 1. При некоторой симметрии точка A(3) переходит в точку A1(1). Определите, в какую точку отобразится точка B(6) при этой симметрии.

2. Определите, сколько решений имеет следующая задача. (Решать задачу не надо.) «Угол AOB равен 70°, а угол AOC равен 40°. Найдите угол BOC».

А. Одно. Б. Два. В. Три. Г. Решений нет.

3. Отрезки AB и A1B1 симметричны относительно прямой a. Определите взаимное расположение прямых AA1 и BB1.

А. Перпендикулярны.

Б. Пересекаются, но не перпендикулярны.

В. Параллельны.

Г. Такая ситуация невозможна.

4. Две окружности с центрами в точках O и O1 и равными радиусами пересекаются в точках A и B. Найдите периметр четырёхугольника AOBO1, если радиус окружности с центром в точке O равен 6 см.

5. Угол, равный 70°, разделён двумя лучами, которые проходят между его сторонами, на три неравных угла.

Угол, образованный биссектрисами двух крайних углов, равен 47°. Найдите градусную меру среднего угла.

Треугольник и окружность.

Начальные сведения (21 ч) Учебный материал этой главы занимает центральное место во всём курсе геометрии.

Треугольник является одной из основных фигур планиметрии. В главе учащиеся знакомятся также с одним из главнейших методов доказательства теорем и решеo3.fm Page 60 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ния задач во всём курсе геометрии — методом признаков равенства треугольников. Доказываются и признаки равенства прямоугольных треугольников. При работе особое внимание должно быть направлено на формирование у школьников умений находить в заданной конфигурации равные треугольники и доказывать их равенство. Признаки равенства треугольников должны усваиваться учащимися в процессе решения задач. При этом закрепляются формулировки теорем и формируются умения доказывать равенство треугольников, т. е. выделять по три соответственно равных элемента данных треугольников и делать ссылки на изученные признаки.

Здесь же начинается изучение свойств равнобедренных, равносторонних и прямоугольных треугольников. Использование свойств этих треугольников позволяет расширить класс задач для отработки признаков равенства треугольников — задачи становятся более сложными и интересными, а учащиеся приобретают важное умение анализировать условие задачи, т. е. определять, что требуется для доказательства того или иного утверждения и ссылаться на необходимую теорему или определение.

В процессе изучения данной главы полезно уделить внимание использованию электронного приложения, наглядным средствам обучения и решению задач по готовым чертежам.

При изучении главы 3 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— распознавать на чертежах и изображать на чертежах и рисунках равнобедренные треугольники, равносторонние треугольники; касательные к окружности, касающиеся окружности;

— выделять в конфигурации, данной в условии задачи, равные треугольники, равнобедренные и равносторонние треугольники, касательные к окружности, две касающиеся окружности;

— иллюстрировать и объяснять формулировки признаков равенства треугольников, свойств и признаков равнобедренных треугольников, неравенства треугольника, соотношение между сторонами и углами треугольника, свойства хорд окружности;

— иллюстрировать и объяснять понятия «касание и пересечение прямой и окружности», «взаимное расположение двух окружностей»;

2129330o3.fm Page 61 Monday, April 1, 2013 3:00 PM — описывать ситуацию, изображённую на рисунке, и, наоборот, по описанию ситуации выполнять рисунок;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство: определения равнобедренного и прямоугольного треугольников; высоты, медианы и биссектрисы треугольника; признаки равенства треугольников, признаки равенства прямоугольных треугольников, свойства и признаки равнобедренного треугольника; свойства хорд окружности, теоремы о касании и пересечении прямой и окружности, о взаимном расположении двух окружностей; неравенство треугольника, соотношение между сторонами и углами треугольника;

алгебраический аппарат.

3.1. Равнобедренный треугольник (2 ч) Содержание параграфа составляет материал, традиционный для любого курса планиметрии. Изучением свойств и признаков равнобедренных треугольников начинается изучение свойств треугольников различных видов. Кроме того, использование свойств равнобедренных и равносторонних треугольников в дальнейшем позволяет расширить класс задач для отработки признаков равенства треугольников.

При изучении § 3.1 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— распознавать на чертежах и изображать на чертежах и рисунках: равнобедренные треугольники, равносторонние треугольники; высоту, медиану и биссектрису треугольника;

— выделять в конфигурации, данной в условии задачи:

равнобедренные и равносторонние треугольники, высоты, медианы и биссектрисы треугольников;

— иллюстрировать и объяснять формулировки определений: равнобедренного треугольника, медианы, биссектрисы, высоты треугольника;

— формулировать, иллюстрировать и объяснять формулировки определений: равнобедренного треугольника, медианы, биссектрисы, высоты треугольника;

— формулировать, иллюстрировать и доказывать свойства равнобедренного треугольника, теоремы о диаметре, перпендикулярном хорде, о числе точек пересечения окружности и прямой;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство определения: равнобедренного треугольника, меo3.fm Page 62 Monday, April 1, 2013 3:00 PM дианы, биссектрисы, высоты треугольника; свойства равнобедренного треугольника, теоремы о диаметре, перпендикулярном хорде, о числе точек пересечения окружности

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 При определении понятий медианы, биссектрисы и высоты треугольника следует добиваться не столько знания формулировок их определений, сколько умения изображать и распознавать на рисунках и применять эти понятия при решении задач. Для закрепления понятий провести работу, используя плакат или готовые рисунки (рис. 63) с ответами на в о п р о с ы.

1. Среди треугольников, изображённых на рисунке, найдите треугольники, в которых проведены высоты.

2. Среди треугольников, изображённых на рисунке, найдите треугольники, в которых проведены медианы.

3. Среди треугольников, изображённых на рисунке, найдите треугольники, в которых проведены биссектрисы.

Затем предложить учащимся устно выполнить № и № 1ДЗ (как подготовительную к решению № 240).

2 Основное внимание при отработке понятия равнобедренного треугольника должно быть направлено не на запоминание учащимися формулировки определения, а на его понимание. Другими словами, если в условии сказано «Треугольник ABC — равнобедренный 2129330o3.fm Page 63 Monday, April 1, 2013 3:00 PM с основанием AC...», то учащиеся должны уметь выделить равные стороны, т. е. записать AB = BC.

На закрепление устно выполнить несколько упражнений типа № 3—6ДЗ. Частным случаем равнобедренного треугольника является равносторонний треугольник, для него верны все свойства равнобедренного треугольника. При этом за основание равностороннего треугольника можно выбрать любую сторону. Или выполнить одно или два задания из серии заданий № 91— мы 3.1 полезно вспомнить с учащиD мися используемое в доказательстве с в о й с т в о фигур, симметричных относительно данной прямой, быть рисы угла быть осью симметрии угF 1. Прямая BD — ось симметрии угла ABC, равного 58°. Чему равен ABD?

2. Углы DFG и D1F1G1 симметричны относительно оси a. DFG = 23°. Чему равен D1F1G1 (рис. 64)?

4 Для закрепления свойств равнобедренного треугольника, доказанных в теореме 3.1, выполнить упражнения по готовому чертежу № 8—15ДЗ, № 230 с выполнением чертежа в тетрадях или № 88—89Т, заменив ими два задания из выше приведённых. После решения задачи № 230 можно предложить учащимся задачу 90 (б)Т.

При решении № 233—238 реализуется требование «изображать на чертежах и рисунках треугольники, высоты, медианы и биссектрисы треугольника». Их полезно задать на дом.

5 Из теоремы 3.1 выводится важное с л е д с т в и е:

«Любая хорда окружности является основанием равнобедренного треугольника, противолежащей вершиной которого является центр окружности». На закрепление № 16—18ДЗ.

6 После доказательства теоремы 3.2 и перед доказательством теоремы 3.3 рекомендуется решить з а д а ч у.

2129330o3.fm Page 64 Monday, April 1, 2013 3:00 PM «Докажите, что общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров».

Дано: A и B — точки пересечения двух окружностей;

Решение. AOB и AO1B — равнобедренные с общим основанием AB, так как OA = OB и O1A = O1B, как радиусы одной окружности (рис. 65). Из вершин O и O треугольников AOB и AO1B опустим перпендикуляры на общее основание AB. По теореме 3.2 основание каждого перпендикуляра делит отрезок AB пополам (точка C). Лучи CO и CO1 дополняют друг друга до прямой.

В противном случае от луча CA и в полуплоскость, определяемую точкой O, и в полуплоскость, определяемую точкой O1, можно было бы отложить ещё по одному прямому углу, что невозможно. Следовательно, AB OO1, что и требовалось доказать.

Так как доказательство теоремы 3.3 длинное и сложное для восприятия учащихся, лучше провести его полностью учителю.

7 Начиная с этой главы одним из основных объектов изучения становится треугольник, поэтому полезно напомнить учащимся, что для краткости при записях для обозначения треугольника используется знак « ».

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункты: некоторые понятия, связанные с треугольником, равнобедренный треугольник; № 229, 230, 245, 247 и № 1, 3—6, 8—15ДЗ;

дома — № 1—5В, № 233—238, 240, 241, 246, 251.

2129330o3.fm Page 65 Monday, April 1, 2013 3:00 PM На втором уроке: в классе — при проверке домашнего задания обсудить № 251; пункты: свойство хорд окружности и пересечение двух окружностей, а также прямой и окружности; № 248, 249; дома — № 6—7В, № 242, 246, 250.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Объясните, что называется медианой треугольника.

2. Объясните, что называется биссектрисой треугольника.

3. Объясните, что называется высотой треугольника.

4. Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются стороны равнобедренного треугольника?

5. Сформулируйте и докажите теорему о свойствах равнобедренного треугольника.

6. Каким свойством обладает хорда?

7. Сформулируйте и докажите теорему о диаметре, перпендикулярном хорде.