«Лекционные курсы НОЦ Выпуск 5 Издание выходит с 2006 года Ю. Н. Дрожжинов, Б. И. Завьялов Введение в теорию обобщенных функций Москва 2006 УДК 517.5 ББК (В)22.161.2 Д75 Редакционный совет: С. И. Адян, Д. В. Аносов, О. ...»

Математический институт им. В. А. Стеклова

Российской академии наук

Лекционные курсы НОЦ

Выпуск 5

Издание выходит с 2006 года

Ю. Н. Дрожжинов, Б. И. Завьялов

Введение в теорию обобщенных

функций

Москва

2006

УДК 517.5

ББК (В)22.161.2

Д75

Редакционный совет:

С. И. Адян, Д. В. Аносов, О. В. Бесов, И. В. Волович, А. М. Зубков, А. Д. Изаак (ответственный секретарь), А. А. Карацуба, В. В. Козлов, С. П. Новиков, В. П. Павлов (заместитель главного редактора), А. Н. Паршин, Ю. В. Прохоров, А. Г. Сергеев, А. А. Славнов, Д. В. Трещев (главный редактор), Е. М. Чирка Д75 Лекционные курсы НОЦ / Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2006.

Вып. 5: Введение в теорию обобщенных функций / Дрожжинов Ю. Н., Завьялов Б. И. – 164 с.

ISBN 5-98419-017- Серия “Лекционные курсы НОЦ” – рецензируемое продолжающееся издание Математического института им. В. А. Стеклова РАН. В серии “Лекционные курсы НОЦ” публикуются материалы специальных курсов, прочитанных в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук в рамках программы Научно-образовательный центр МИАН.

Настоящая брошюра содержит полугодовой курс Ю. Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова “Введение в теорию обобщенных функций”, прочитанный в весеннем семестре 2006 года.

c Математический институт ISBN 5-98419-017- им. В. А. Стеклова РАН,

ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ

Оглавление 1. Предварительные сведения и основные определения.. 2. Топологические и метрические пространства....... 3. Топологические векторные пространства (ТВП)..... 4. Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) 5. Теорема Хана–Банаха.................... 6. Бочечные и борнологические пространства........ 7. Индуктивные пределы.................... 8. Пространства основных функций. Примеры....... 9. Пространство обобщенных функции D.......... 10. Обобщенные функции медленного роста. Пространство S (Rn )............................. 11. Преобразование Фурье обобщенных функций...... 12. Преобразование Лапласа обобщенных функций.... 13. Асимптотически однородные обобщенные функции.. Предисловие Это записи лекций, прочитанных весной 2006 года в научнообразовательном центре при Математическом институте им. В. А. Стеклова. Предлагаемый курс состоит из двух частей:

элементы функционального анализа, § 1–§ 7, и теория обобщенных функций, § 8–§ 13, и представляет собой неформальное введение в теорию обобщенных функций с примерами и задачами.

Хотя прочитанный курс назывался “Обобщенные функции и некоторые их приложения в математической физике”, однако краткость курса не позволила в полной мере изложить весь намеченный материал. В частности, мы совсем не касались теории двойственности, определяющей топологию пространств обобщенных функций. Также осталась почти совсем незатронутой область приложений теории к конкретным задачам математической физики. С этими вопросами в дальнейшем можно ознакомиться, изучая монографии, приведенные в литературе. Лекции рассчитаны на студентов, начиная с третьего курса и предполагают знание основ математического анализа и желательного (хотя бы начального) знакомства с теорией интеграла Лебега.

Теория обобщенных функций – область функционального анализа, которая возникла и развивалась в связи с потребностями современной математической физики и позволила правильно поставить и решить ряд теоретических и прикладных задач. Если вы хотите серьезно заниматься исследованием математических моделей физических явлений, то вам обязательно потребуется изучить основной язык современной математической физики – теорию обобщенных функций.

Желаем успеха на этом трудном пути. Авторы.

§ 1. Предварительные сведения и основные определения Множества Множество, класс, семейство, совокупность элементов – синонимы. Это неопределяемые понятия. Пишем a A тогда и только тогда, когда a является элементом (или членом, или точкой) множества A. Объединение множеств A и B обозначается через A B, а через A B – пересечение этих множеств.

Операции объединения (сложения) и пересечения множеств комПредварительные сведения и основные определения мутативны, ассоциативны и взаимно дистрибутивны, то есть Разностью C = A\B (пишут еще A B) двух множеств A и B называют множество тех элементов из A, которые не содержатся в B. Симметрическую разность множеств A и B определим как Упражнение. Докажите, что AB = (A B)\(A B).

В том случае, если множество M считают основным множеством, а все другие множества его подмножествами (например, A M), то разность M\A называют дополнением множества A (до M) и пишут CA. Принцип двойственности состоит в том, что из любого равенства, относящегося к системе подмножеств фиксированного множества M, может быть получено другое (двойственное) равенство путем замены всех рассматриваемых множеств их дополнениями, сумм множеств – их пересечением, а пересечений – их суммами. Он основывается на двух соотношениях:

1. Дополнение суммы равно пересечению дополнений 2. Дополнение пересечений равно сумме дополнений Пустое множество (множество не содержащее элементов) обозначаем так.

Отношения. Функции Пусть A и B – множества. Декартовым произведением A B этих множеств называют совокупность упорядоченных пар {(a, b) : a A, b B}. Отношение – это некоторое подмножество (этих пар) из A B. Область определения Предварительные сведения и основные определения отношения – совокупность всех первых координат этих пар. Область значений – совокупность их вторых координат.

Далее мы будем рассматривать бинарные отношения, то есть отношения на X X и полагать, что их области определения все X. Тогда обратным отношением к отношению R называется отношение R1 с измененным порядком координат, R1 = {(y, x) : (x, y) R}. Композицией RS отношений R и S называется отношение, состоящее из всех пар (x, z) таких, что (x, y) S и (y, z) R для некоторого y. Заметим, что операция композиции, вообще говоря, не коммутативна, но Упражнение. Доказать, что (RS)1 = S 1 R1 ). Диагональ (X) = {(x, x) : x X}.

Если (X) R, то отношение R называется рефлексивным.

Отношение R называется симметричным, если R = R1. Отношение R называется антисимметричным, если (x, y) R и (y, x) R, то x = y. Отношение R называется транзитивным, если RR R.

Отношение эквивалентности – это рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение.

Рефлексивное, антисимметричное, транзитивное бинарное отношение называют частичной упорядоченностью, а про множество X в этом случае говорят, что оно частично упорядочено.

Частным случаем отношения является функция. Пусть M и N – два произвольных множества. Будем говорить, что на M определена функция f, принимающая значения из N, если каждому элементу x M поставлен в соответствии один и только один элемент y = f (x) N. Пишем f : M N. Таким образом, f есть отношение на M N, (то есть совокупность пар {(x, f (x)) :

x M, f (x) N }) такое, что 1) его область определения есть M ;

2) если (x, y) и (x, z) – элементы f, то y = z.

Пусть множество A M ; множество {y = f (x) N, x A} назовем образом множества A и обозначим f (A). Пусть теперь множество B N ; через f 1 (B) обозначим совокупность всех тех элементов из M, образы которых принадлежат B. Множество f 1 (B) M называется прообразом множества B.

Если f (M ) = N, то будем говорить, что f есть отображение множества M “на” N (сюрьекция). Если же f (M ) N, то f есть 8 Предварительные сведения и основные определения отображение множества M “в” N. Если для любых двух различных элементов x1 и x2 из M элементы f (x1 ) и f (x2 ) из N различны, то f называется иньекцией. Функция f : M N, которая одновременно есть сюрьекция и иньекция, называется биекцией или взаимно однозначным соответствием между M и N.

Упражнение. Будет ли f 1 функцией на f (M )? А если f – биекция? Пусть A и B некоторые множества из M. Докажите следующие свойства:

Верно ли f (A B) = f (A) f (B); f (A B) = f (A) f (B)?

Разбиение множества. Упорядочения Если множество M представлено как сумма своих попарно непересекающихся подмножеств, то говорят о разбиении множества M на классы.

Множество чаще всего разбивается на классы на основе какого либо свойства (признака), по которому элементы M объединяются в подмножества M (классы). Не любой “признак” позволяет разбить множество на классы. Например, попробуйте разбить прямую на непересекающиеся подмножества по следующему “признаку”: две точки принадлежат разным подмножествам, если расстояние между ними больше 1. Всякое разбиение множества на классы определяет между элементами этого множества некоторое отношение R. Пара (a, b) R, если a и b находятся в одном классе. Легко проверить, что это отношение будет отношением эквивалентности. Рефлексивность и симметричность очевидны, а транзитивность докажите сами.

при 1 = 2, то множество и будет отношением эквивалентности. Обратно, пусть R некоторое отношение эквивалентности между элементами множества M и множество Ma = {y M : (a, y) R}. Тогда либо два множества Ma и Mb совпадают, либо не пересекаются. Докажите сами.

Предварительные сведения и основные определения Итак, справедливо следующее Утверждение 1.1. Для того чтобы множество разбивалось на классы (на попарно не пересекающиеся подмножества) необходимо и достаточно, чтобы отношение (“признак”), по которому элементы множества объединяются в классы, было отношением эквивалентности.

Пусть теперь M – частично упорядоченное множество, то есть на нем задано некоторое бинарное отношение R MM частичной упорядоченности. Принято частичную упорядоченность обозначать символом, то есть a b означает, что пара (a, b) R.

Про элемент a в этом случае говорят еще, что он подчинен b или a предшествует b. В случае, когда a b и a = b пользуются символом a < b и говорят, что a меньше b или b больше a.

Примеры:

1. Всякое множество можно тривиальным образом частично упорядочить, если положить a b тогда и только тогда, когда a = b.

2. Пусть C[a, b] – множество всех непрерывных функций на отрезке [a, b]. Положим f g тогда и только тогда, когда f (x) g(x) для всех x, a x b. Очевидно (докажите?), что получим частичную упорядоченность.

3. Множество всех подмножеств некоторого фиксированного множества частично упорядочено по включению: (M1 M2 означает, что M1 M2 ).

Элемент x частично упорядоченного множества M называется верхней (нижней) гранью его подмножества A, если для любого y A всегда y x (всегда x y). Множество M может иметь много верхних (нижних) граней подмножества A. Верхняя (нижняя) грань a M называется наименьшей верхней (наибольшей нижней) гранью множества A, если для любой верхней (нижней) грани y этого множества a y(a y). Нетрудно видеть, что наибольшие нижние и наименьшие верхние грани, если они существуют, единственны. Если множество имеет верхнюю (нижнюю) грань, то мы говорим, что оно ограничено сверху (снизу).

Элемент a A называется максимальным (минимальным) в A, если в A нет элемента большего a, то есть если x A и x a, то x = a (если в A нет элемента меньшего a, то есть если 10 Предварительные сведения и основные определения Утверждение 1.2. Если у каждого ограниченного сверху подмножества множества M есть наименьшая верхняя грань, то у каждого его подмножества, ограниченного снизу, есть наибольшая нижняя грань.

Действительно, пусть A M и B – множество всех его нижних граней (оно не и ограничено сверху любым элементом y A). По условию у B есть наименьшая верхняя грань, скажем b. Следовательно, b меньше любой (не равной ему) верхней грани множества B. В частности, b предшествует произвольному не равному ему элементу из A, то есть b – нижняя грань A.

Но b – верхняя грань B, то есть b больше или равно произвольной не равной ему нижней грани A. Следовательно, b – наибольшая нижняя грань A.

Будем говорить, что множество M является линейно упорядоченным или цепью, если оно частично упорядоченно и для любых двух его элементов a, b M, обязательно либо a b, либо b a. Цепь называется максимальной, если она не содержится в качестве собственного подмножества ни в какой другой цепи, принадлежащей M, другими словами, максимальная цепь – это максимальный элемент в множестве всех цепей, содержащихся в M.

Очевидно, что любое подмножество линейно упорядоченного множества есть линейно упорядоченное множество. Например, множество натуральных чисел, множество чисел отрезка [0, 1] и т.п.

Линейно упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество содержит минимальный элемент.

Теорема Хаусдорфа. В частично упорядоченном множестве всякая цепь содержится в некоторой его максимальной цепи.

(Это утверждение иногда называют еще леммой Куратовского).

Лемма Цорна. Если всякая цепь в частично упорядоченном множестве M имеет верхнюю грань, то всякий элемент из M подчинен некоторому максимальному элементу.

Теорема Цермело. Каждое множество может быть вполне упорядочено.

Каждое из этих утверждений эквивалентно следующей аксиоме Аксиома выбора. Пусть A – некоторое множество индексов и пусть для каждого A задано некоторое подмножество M M. Тогда можно построить функцию f на A со значениями в M, сопоставляющую каждому A некоторый элемент x M.

§ 2. Топологические и метрические Топологические пространства Топологическое пространство есть множество X вместе с выделенным семейством его подмножеств T, называемими открытыми множествами, которое обладает следующими свойствами:

1) пустое подмножество T и X T;

3) если A T при всех из некоторого множества индексов I, Семейство T называется топологией в X. Итак, топологическое пространство – это пара (X, T). Простейшими примерами тополгий в X являются тривиальная топология (множество T состоит только из и самого X) и дискретная топология (T есть семейство всех подмножеств множества X). Семейство всех топологий в X частично упорядочено по включению. Говорят, что топология T1 слабее топологии T2, если T1 T2, то есть подмножеств в T2 больше (точнее, не меньше), чем в T1 ).

Подмножество V X называется окрестностью точки x V, если существует открытое множество U такое, что x U V.

Утверждение 2.1. Подмножество A X открыто тогда и только тогда, когда оно содержит окрестность каждой своей точки.

Действительно, если A открыто, то оно же является окрестностью каждой своей точки, x A A. Если A содержит окрестность Vx A каждой своей точки, то для любого x A существует открытое множество Ux Vx A. Поэтому xA Ux = A.

Точка x называется предельной точкой (или точкой накопления) подмножества A топологического пространства (X, T), если любая окрестность точки x содержит отличную от x точку множества A.

Подмножество A топологического пространства называется замкнутым, если его дополнение CA = X\A открыто.

Утверждение 2.2. Подмножество A X замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Действительно, если A замкнуто и x A, то x CA вместе с некоторой своей окрестностью, ибо CA открыто, то есть x – не предельная точка A. Следовательно, A содержит все свои предельные точки. Обратно, пусть A X и содержит все свои предельные точки. Для x CA Ux : Ux A =, ибо x A и / найдется окрестность, в которой нет точек A. Поэтому Ux CA и, следовательно, CA открыто. Но тогда A замкнуто.

Из принципа двойственности (1.1) и (1.2) следует, что объединение конечного семейства замкнутых множеств, как и пересечение любого семейства замкнутых множеств есть замкнутое множество. Ясно, что пересечение всех замкнутых множеств, содержащих множество A X, – замкнутое множество. Оно называется замыканием A и обозначается A. Это наименьшее замкнутое множество, содержащее A.

Утверждение 2.3. Замыкание множества A есть объединение этого множества и множества всех его предельных точек.

Это следует из того, что предельная точка множества предельных точек A есть предельная точка A. Докажите.

Точка x некоторого множества A топологического пространства X называется внутренней точкой A, если A является окрестностью этой точки. Совокупность внутренних точек A называется внутренностью множества A и обозначается int A. Граница множества A (обозначается A) состоит из всех точек, которые не являются внутренними ни для A, ни для X\A, то есть A = A\ int A.

Множество замкнуто тогда и только тогда, когда ему принадлежит его граница; множество открыто тогда и только тогда, когда оно не имеет общих точек со своей границей. Докажите сами.

По определению топологического пространства (X, T) пустое множество и само X одновременно и открыты, и замкнуты.

Пространство, в котором нет никаких других множеств, одновременно открытых и замкнутых, называется связным.

Определение. Точка x X называется пределом последовательности {xn X}, если для любой окрестности точки x все точки этой последовательности, начиная с некоторой, находятся в этой окрестности. В этом случае говорят, что последовательность {xn } сходится к x.

В произвольном топологическом пространстве у одной и той же последовательности может быть много пределов.

Упражнение. На числовой оси назовем открытыми множествами всю ось с удаленным конечным числом точек оси. Топология ли это? Опишите сходящиеся последовательности. Например, сходятся ли последовательности xn = n или xn = n. Если да, то к какой точке?

Чтобы обеспечить единственность предела, достаточно потребовать, чтобы X было отделимым.

Определение. Топологическое пространство называется отделимым (или Хаусдорфовым), если для любых точек x, y, x = y, существуют открытые множества O1 и O2 такие, что x O1, Упражнение. Докажите, что в отделимом топологическом пространстве предел любой последовательности, если он существует, определен однозначно.

Семейство множеств B называется базой топологии T, если B содержится в T и для любой точки x X и любой ее окрестности U существует элемент V B такой, что x V U.

Утверждение 2.4. Подсемейство B T тогда и только тогда является базой топологии T, когда каждый элемент из T есть объединение элементов из B.

Действительно, пусть B база топологии T и U T. Положим V = { : B, U }, так что V U. Возмем теперь любой x U ; тогда в B существует элемент W такой, что x W U. Отсюда следует, что x V, следовательно, U V, так что U = V. Обратно. Пусть B T и каждый элемент T является объединением элементов семейства B. Если U T и x U, то в совокупности элементов из B, объединением которых является множество U, найдется такой элемент V, что x V U. А потому B – база топологии T.

Семейство подмножеств Nx множества X называется базой окрестностей точки x X, если любой элемент U Nx есть окрестность точки x и для любой окрестности Vx этой точки существует элемент U Nx такой, что U Vx. Ясно, что если B – база топологии T, то совокупность всех элементов B, содержащих точку x, будет базой окрестностей точки x.

Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, если система окрестностей произвольной его точки обладает счетной базой.

Про топологическое пространство, топология которого обладает счетной базой, говорят, что оно удовлетворяет второй аксиоме счетности.

Пусть задано семейство множеств B и пусть X = {U : U B}. Вопрос. Будет ли это семейство базой какой либо топологии на X? Ответ. Не всегда!

Упражнение. Пусть X состоит из точек 1, 2, 3, а семейство B из множеств A = {1, 2}, B = {2, 3},, X. Докажите, что это семейство множеств не может служить базой никакой топологии на X.

Теорема 2.1. Семейство множеств B является базой некоторой топологии на множестве X = {U : U B} в том и только в том случае, если для любых двух элементов U, V этого семейства и любой точки x U V существует такой Действительно, пусть B база какой то топологии, U, V элементы базы и x U V. Тогда множество U V открыто, а потому в B существует элемент, содержащий точку x и содержащийся в U V. Обратно, пусть семейство множеств B удовлетворяет нужными свойствами и T – семейство всевозможных объединений элементов из B. Докажем, что T есть топология на X.

1) Обьединение любой совокупности элементов из T является (по построению) объединением некоторой совокупности элементов из B, а потому само принадлежит T.

2) Покажем, что пересечение двух элементов U, V из T снова принадлежит T. Возьмем любую точку x U V, тогда в B найдутся элементы U и V такие, что x U U и x V V.

Теперь (по условию) в B найдется элемент W, для которого x W U V U V. Следовательно, множество U V является объединением элементов семейства B. Но 1) и 2) означают, что T – топология.

Пусть (X, T) – топологическое пространство и дано семейство множеств B T. Когда оно будет базой именно этой топологии?

Для этого необходимо и достаточно, чтобы для каждего открытого множества U и каждой точки x U существовало такое Ux B, что x Ux U. Действительно, если это условие выполнено, то каждое открытое множество U = xU Ux, то есть B – база топологии T. Обратное утверждение следует из определения базы.

Пусть A некоторое семейство подмножеств множества X.

Можно ли на X построить наименьшую топологию, так чтобы A было подсемейством этой топологии?

Теорема 2.2. Пусть A – произвольное семейство подмножеств X, так что X = {U : U A}. Тогда семейство всевозможных конечных пересечений элементов из A образует базу некоторой топологии на X.

Действительно, пусть B – семейство всевозможных конечных пересечений элементов A, тогда пересечение любых двух элементов из B снова элемент из B. По предыдущему утверждению заключаем, что B является базой некоторой топологии. Ясно, что эта топология будет слабейшей из всех топологий, содержащих A.

Такое семейство A называется предбазой топологии B.

Непрерывные отображения Пусть X и Y – два топологических пространства. Отображение (функция) f пространства X в Y называется непрерывным в точке x0 X, если для любой окрестности Vy0 точки y0 = f (x0 ) найдется такая окрестность Ux точки x0, что f (Ux0 ) Vy0. Отображение f : X Y называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке x X.

Теорема 2.3. Пусть (X, T) и (Y, B) – топологические пространства. Для того чтобы отображение f : X Y было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз A = f 1 (B) всякого открытого (в топологии B) множества B Y был открыт (в топологии T).

Доказательство. Пусть f непрерывно и B Y – открытое множество. Пусть теперь x – произвольная точка A = f 1 (B) и y = f (x), тогда B – окрестность y, и по определению непрерывности существует окрестность Ux точки x, так что f (Ux ) B, то есть Ux A. Значит, A открыто. Обратно. Пусть A = f 1 (B) открыто, если B Y открыто. Пусть x X и Vy – любая окрестность точки y = f (x). Точка x f 1 (Vy ) и, следовательно, множество f 1 (Vy ) служит той окрестностью точки x, образ которой содержится в Vy.

Отметим, что прообраз топологии B (то есть совокупность всех множеств f 1 (B), где B B) будет топологией в X. Обозначим ее G (G = f 1 (B)).

Упражнение. 1. Докажите, что отображение f : X Y непрерывно тогда и только тогда, когда топология G не сильнее топологии T.

2. Докажите, что отображение f : X Y непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз всякого замкнутого множества из Y замкнут в X.

Указание. Перейдите к дополнениям.

3. Будет ли при непрерывном отображении образ всякого открытого (замкнутого) множества открыт (замкнут)?

Указание. Рассмотрите пример: отображение X = [0, 1) на окружность и множество A = 1, 1.

Отображение f топологического пространства X на топологическое пространство Y называют гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно, причем f и f 1 непрерывны. При этом пространства X и Y называют гомеоморфными.

Сходимость и направленности Как вы знаете из анализа, если x – предельная точка множества A Rn, то всегда в A имеется последовательность xn, n = 1, 2,..., сходящаяся к x. В произвольном топологическом пространстве, это, вообще говоря, не так.

Пример 2.1 (Гельфанд И. М.). Пусть X – совокупность ограниченных вещественных функций (t) на отрезке [0, 1].

Окрестностями U = U(0,t1,...,tn,) в X любого элемента 0 (t) X зададим указанием конечного числа точек t1, t1,..., tn, и числа > 0, как совокупность всех функций X, для которых Нетрудно видеть, что это – топологическое пространство. Множество A есть совокупность элементов X (то есть функций (t)), каждая из которых всюду равна 1, кроме конечного числа точек отрезка [0, 1], где она равна 0. Очевидно, что элемент 0 (t) есть предельная точка для множества A. Но никакая последовательность элементов (t) A не может сходиться к 0 (t), ибо всегда можно указать точку t0, в которой все (t) равны 1 (из за несчетности точек отрезка), а потому ни один из элементов последовательности не попадет в окрестность U(0,t0, 2 ).

Определение. Частично упорядоченное множество, для любых двух точек a и b которого найдется следующая за ними точка c (a c, b c), называется направленным множеством.

Пусть I направленное множество. Направленность в топологическом пространстве X есть отображение (функция) из направленного множества I в X. Будем ее обозначать {x }I.

Пример 2.2. Пусть X – топологическое пространство и x X. Тогда совокупность всех окрестностей точки x есть направленное множество.

Направленное множество играет роль множества индексов.

Например, если I есть множество натуральных чисел, то направленностями будут просто последовательности элементов из X.

Направленность есть обобщение понятия последовательности.

Определение. Направленность {x }I сходится к точке x X (пишут x x), если для любой окрестности U точки x существует I такое, что x U при любом.

Если же для любого I существует 0 такое, что x U, то говорят, что x – предельная точка направленности x.

Упражнение. Пусть X – отделимое пространство. Тогда направленность {x }I в X может иметь не более одного предела (то есть если x x и x y, то x = y).

Утверждение 2.5. Пусть A – некоторое множество в топологическом пространстве X. Тогда точка x A в том и лишь в том случае, если существует направленность {x }I, так Доказательство. Пусть x A и I – система окрестностей точки x с упорядочиванием по вложению (U1 U2, если U1 U2 ).

Для каждого U I существует точка xU AU. Теперь {xU }U I есть направленность и xU x. Обратное очевидно.

Определение. Направленность {x }I называется поднаправленностью направленности {y }J, если существует функция F : I J со свойствами:

Утверждение 2.6. Точка y0 в топологическом пространстве X есть предельная точка направленности {y }J тогда и только тогда, когда какая-нибудь поднаправленность этой направленности сходится к y0.

Указание. Возьмите в качестве направленного множества I = {(, U ) : J, U y0 : y U }, где y0 – семейство окрестностей точки y0. Докажите, что поднаправленность {x(,U ) = y }(,U )I будет искомой.

Утверждение 2.7. Пусть X и Y топологические пространства. Функция f : X Y непрерывна тогда и только тогда, когда для любой сходящейся направленности {x }I в X, такой, что x x, направленность {f (x )}I сходится в Y к y = f (x).

Указание. Если f непрерывна, то утверждение очевидно. В обратную сторону доказваем от противного и воспользуемся идеей, рассмотренной при доказательстве теоремы 2.3.

Компактность Топологическое пространство X называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Отделимое (хаусдорфово) компактное пространство называют компактом.

Определение. Систему подмножеств G множества X назыn вают центрированной, если любое конечное пересечение i=1 Ai элементов этой системы не пусто.

Теорема 2.4. Для того чтобы топологическое пространство X было компактным, необходимо и достаточно, чтобы любая центрированная система его замкнутых подмножеств имела непустое пересечение.

Доказательство. Пусть X компактно и G – центрированная система. Множества U = X\G открыты, и из факта центрированности следует, что никакая конечная система множеств Ui не покрывает X; но X компактно, следовательно все U не образуют покрытия, то есть G не пусто. Обратно, пусть условие теоремы выполнено и U – открытое покрытие X. Положив G = X\U, получим, что G =, откуда следует, что система {G } не может быть центрированной. Другими словами существуют такие Gi, i = 1, 2,..., n, пересечение которых пусто, но тогда Ui образуют конечное покрытие.

Следствие 1. Если X компактно, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.

Действительно, пусть это не так и у множества A = {x1, x2,... }, нет предельных точек. Тогда множества An = {xn,... } образуют центрированную систему замкнутых множеств, имеющих пустое пересечение, то есть X не компактно.

Следствие 2. Замкнутое подмножество компактного пространства само компактно.

Действительно, пусть X – компактное пространство и F X – замкнутое множество. Возмем любую центрированную систему F F. При этом F замкнуты в F, а следовательно, и в X, а тогда F =. И по теореме F – компактное множество.

Утверждение 2.8. Компакт замкнут в любом содержащем его отделимом пространстве.

Действительно, пусть K – компакт в X и точка y K. Для любой точки x K найдутся окрестности Ux точки x и Vy,x, так что Ux Vy,x =. Окрестности Ux образуют открытое покрытие K и в силу его компактности существует его конечное покрытие Ux1, Ux2,..., Uxn. Положим но V не пересекается с Ux1 Ux2 · · · Uxn K. Следовательно, y не предельноя точка K, и потому K = K.

Теорема 2.5. Непрерывный образ компактного пространства есть компактное пространство.

Доказательство. Пусть X – компактное топологическое пространство и f – его непрерывное отображение в топологическое пространство Y. Пусть {V } – покрытие образа f (X) Y открытыми в f (X) множествами. Положим U = f 1 (V ). Множества {U } открыты как прообразы открытых множеств и образуют покрытие X. Из этого покрытия (в силу компактности) выделим конечное покрытие U1, U2,..., Un. Теперь множества Vi, i = 1, 2,..., n, покрывают весь образ f (X). Следовательно, f (X) компактно.

Следствие. Взаимно однозначное и непрерывное отображение f компакта X на отделимое пространство Y есть гомеоморфизм, то есть f 1 тоже непрерывно.

Действительно, пусть F – замкнутое множество в X и V = f (F ) – его образ в Y. Согласно теореме V – компакт и, следовательно, замкнуто в Y, так что прообраз при отображении f всякого замкнутого множества F X замкнут. Это и означает непрерывность f 1.

Определение. Топологическое пространство (X, T) называется локально компактным, если всякая его точка имеет компактную окрестность.

Упражнения. 1) Докажите, что непрерывное отображение компакта X в R1 (то есть непрерывная вещественная функция, заданная на компакте) достигает на нем своего максимума и минимума.

2) (Одноточечная компактификация). Пусть X – локально компактное хаусдорфово пространство. Построим новое пространство. Положим X = X {}, где – точка, не принадлежащая X. Назовем O открытым в X, если либо точка O и O открыто в X, либо O и X \O компактно (в X). Докажите, что X с так введенной топологией компактно.

Задание топологии на множестве Пусть X некоторое множество. В этом пункте мы разберем несколько способов задания топологии на этом множестве в различных, часто встречающихся ситуациях.

Пусть для любого x X задана система подмножеств Ax такая, что: 1) любой элемент A Ax содержит точку x; 2) если A, B Ax, то существует элемент C Ax такой, что C A B.

Построим в X топологию. Назовем множество O открытым в X тогда и только тогда, когда для любого x O существует элемент A Ax, такой что A O.

Утверждение 2.9. Так построенная система открытых множеств делает X топологическим пространством.

Проверьте это. Будут ли в этой топологии множества из Ax окрестностями точки x? Другими словами, будет ли Ax базой окрестностей точки x? Вообще говоря, это не всегда так. Проверьте справедливость следующего утверждения.

Утверждение 2.10. Если для любого A Ax существует множество C A такое, что x C и для любого y C найдется элемент B Ay такой, что B C, то Ax будет базой окрестностей точки x.

Напомним, что если A – произвольное непустое семейство множеств такое, что X = {U : U A}, то семейство всевозможных конечных пересечений множеств из A образуют базу B некоторой топологии на X. Семейство A называется предбазойэтой топологии.

Упражнения. Пусть дано некоторое семейство {T, I} топологий на множестве X.

1) Докажите, что T = I T – наибольшая топология, которая не больше любой из топологий данного семейства. (Может случиться, что T = ).

2) Покажите, что объединение двух топологии может не быть топологией.

Указание. Рассмотрите X, состоящее из трех точек.

3) Существует единственная наименьшая из всех топологий, которая не меньше каждой из топологий этого семейства. Докажите.

Указание. Предбазой исходной топологии может служить семейство G = I T.

Задачи 1) и 3) показывают, что семейство всех топологий на множестве X образует полную решетку, то есть любое подсемейство топологий обладает наименьшей верхней гранью и наибольшей нижней гранью.

Пусть X – множество, {(X, T ), I} – семейство топологических пространств и {f, I} – семейство отображений f :

X X. Проективной топологией на X относительно семейства {(X, f ), I} называется слабейшая топология, в которой каждое f непрерывно. В качестве предбазы этой топологии можно взять семейство множеств {f (U ), I, U T }.

Двойственным образом, если {g, I} – семейство отображений g : X X, то индуктивной топологией на X относительно семейства {(X, g ), I} называется сильнейшая топология на X, в которой каждое g непрерывно. В качестве базы этой топологии можно взять все множества V X, для которых Определение. Пусть (X, T) – топологическое пространство и пусть A X. Индуцированная топология на A есть семейство множеств TA = {U A : U T}. Подмножество A с топологией TA называется подпространством X.

Пусть A X; рассмотрим отображение f : A X, которое отождествляет точки (точку из A рассматриваем как точку в X);

оно называется вложением A в X. Ясно, что индуцированная топология – это слабейшая топология, в которой f непрерывна.

Свойство “универсальности”. Пусть E – топологическое пространство и задано отображение g : E X такое, что g(E) A.

Рассмотрим коммутативную диаграмму:

Легко видеть,что h непрерывно тогда и только тогда, когда g непрерывно.

Задание метрики – один из важнейших способов задания топологии.

Метрические пространства Пусть задано множество X.

Метрика – это неотрицательная вещественная функция (x, y), x, y X, (определенная на X X,) обладающая свойствами:

1) (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;

2) (x, y) = (y, x) (симметричность);

3) (x, y) (x, z) + (z, y) для любых x, y, z из X (аксиома треугольника).

Число (x, y) называется расстоянием от точки x до точки y.

Пусть r > 0; множество Br (x) = {y X : (y, x) < r} называется открытым шаром радиуса r с центром в точке x. Положим Bx = B n (x), n = 1, 2,.... Ясно, что если множества U1 и U2 принадлежат Bx, то найдется U3 Bx такое, что U3 U1 U2. Построим топологию, обьявив открытими все множества O X такие, что x O, если найдется U Bx : U O. Покажем, что шары Br (x) – открытые множества. Действительно, если y Br (x), то есть (x, y) < r, то для < r (x, y) шар By () Br (x), ибо для ясно, что Bx – база окрестностей точки x. Замечая, что каждая точка z Br (x) Bs (y) принадлежит пересечению шаров вместе с шаром Bt (z) радиуса t = min{r (x, z), s (y, z)}, видим, что множество всех открытых шаров в X образует базу некоторой топологии T (слабейшей топологии, содержащей все открытые шары). Эту топологию называют метрической, а (X, T) – метрическим пространством с метрикой (x, y).

Отметим, что множества B r (x) = {y : (y, x) r} – замкнутые множества (шары) в этой топологии. Покажите.

Пусть A, B – некоторые множества точек из X. Расстоянием от точки x до множества A называется число (A, x) = inf{(y, x) : y A}, а расстоянием между этими множествами – (A, B) = inf{(x, y) : x A, y B}. Диаметром множества A называется sup{(x, y) : x A, y A}.

Упражнения. Докажите, что:

1) (Неравенство четырехугольника). Разность двух противоположных сторон не больше суммы двух других сторон, то есть Выведите отсюда, что |(x, y) (y, z)| (x, z).

2) Отображение (A, x) – непрерывная функция на X со значениями в R1.

3) Если x предельная точка множества A, то существует последовательность xn x, xn A.

Указание. Воспользуйтесь задачей 1.

5) Каждое метрическое пространство гомеоморфно метрическому пространству, диаметр которого не превосходит единицы.

Указание. Совокупность всех шаров радиуса r 1 образует базу топологии. Если (X, ) метрическое пространство, то таково же и (X, d(x, y)), где d(x, y) = min{1, (x, y)}. Если неотрицательные числа a + b c, то min{1, a} + min{1, b} min{1, c} и полагая a = (x, z), b = (y, z) и c = (x, y), получим для d(x, y) неравенство треугольника.

6) Каждое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности (для x X существует счетная база окрестности этой точки).

Указание. Базой каждой точки x X могут служить шары с центром в этой точке, радиусы которых рациональны.

Заметим, что бывают метрические пространства, в которых не выполняется вторая аксиома счетности (счетность базы топологии).

7) Пусть f (t) – непрерывная неубывающая (вещественная) функция определенная на [0, +), причем f (t) = 0 только при t = 0, и выпуклая к низу. Это означает, что ее подграфик – (множество {(t, y) : y f (t)}) – выпуклое множество. Докажите, что тогда f (t + ) f (t) + f ( ) при всех t, [0, ). Отметим, что если f (t) дифференцируема, то ее производная положительна и не возрастает.

8) Пусть f (t) – (вещественная) функция такая же, как в задаче 7). Пусть (X, (x, y)) – метрическое пространство; тогда (X, f ((x, y))) – метрическое пространство, топология которого совпадает с топологией (X, ). В частности, рассмотрите случай f (t) = 1+t.

9) Пусть X – некоторое множество; положим (x, y) = 0, если x = y и (x, y) = 1, если x = y. Будет ли X метрическим пространством? Если да, то какова в нем топология?

10) Пусть n (x, y), n = 1, 2,..., – метрики на множестве X.

Будет ли метрикой? Что за топологию определяет эта метрика?

Пусть X – векторное пространство (см. далее). Метрика (x, y) на X называется инвариантной относительно сдвигов, если для любых x, y, z X, (x z, y z) = (x, y).

11) Если d(x, y) инвариантная относительно сдвигов метрика на векторном пространстве X, то для любого x X и любого натурального n имеем d(nx, 0) nd(x, 0).

Указание. Имеем 12. Если {xn } 0 в метризуемом топологическом векторном пространстве X с инвариантной относительно сдвигов метрикой d(x, y), то существуют такие положительные скаляры an, Указание. Так как d(xn, 0) 0, то найдется такая возрастающая последовательность целых чисел nk, что d(xn, 0) < k при n nk n < nk+1. Теперь если n удовлетворяет последним неравенствам, то Мы вопользовались результатами предыдущей задачи.

Пусть на множестве X заданы две метрики 1 (x, y) и 2 (x, y).

Если они определяют на X одну и ту же систему открытых множеств, тогда они называются эквивалентными. Другими словами, тождественное отображение (X, T1 ) – топологического пространства, определяемого первой метрикой, на (X, T2 ), определяемого второй метрикой, является гомеоморфизмом.

Последовательность {xn } в метрическом пространстве (X, ) называется фундаментальной или последовательностью Коши, если она удовлетворяет условию Коши: для любого > 0 существует число N такое, что (xn, xm ) < для любых n > N и Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна. Докажите.

Если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность, то она сама сходится к тому же пределу. Докажите.

Определение. Метрическое пространство (X, ), в котором всякая фундаментальная последовательность сходится, называется полным.

Упражнение (Пространство C[a, b]). Докажите, что множество всех непрерывных вещественных функций, определенных на отрезке [a, b], с метрикой есть полное метрическое пространство.

Указание. Если последовательность {xn (t)} фундаментальна, то есть то она равномерно сходится. Поэтому (как известно из анализа) ее предел x(t) будет непрерывной функцией.

Аналогом леммы о вложенных отрезках, известной в анализе, в метрическом пространстве (X, ) служит лемма о вложенных шарах.

Лемма 2.1. Метрическое пространство полно тогда и только тогда, когда всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение.

Доказательство. Пусть X полно и B r1 (x1 ) B r2 (x2 ) B r3 (x3 ) · · · – последовательность вложенных друг в друга шаров с центрами xn и радиусами rn 0. Последовательность {xn } фундаментальна, ибо (xn, xm ) < rn при m > n. В силу полноты существует x = limn xn, причем x n Bn, ибо Bn содержит все точки xi при i > n. То есть точка x – предельная точка для каждого шара B n и, в силу их замкнутости, x B n для всех n.

Обратно, пусть {xn } – фундаментальная последовательность;

покажем, что она имеет предел. Выберем из последовательности элемент xn1 так, чтобы (xn, xn1 ) < 1 при всех n n1, и пусть B1 замкнутый шар радиуса 1 и с центром в xn1. Далее, выберем xn2 так, чтобы n2 > n1 и (xn, xn2 ) < 22 при всех n n2.

Примем точку xn2 за центр замкнутого шара B2 радиуса 1. Если точки xn1, xn2,..., xnk уже выбраны (n1 < n2 < · · · < nk ), то выберем xnk+1 так, чтобы nk+1 > nk и (xn, xnk+1 ) < 2k+1 при всех n xnk+1. Пусть Bk+1 – замкнутый шар с центром в точке xnk+ и радиусом 21 Продолжая этот процесс, получим последовательk ность замкнутых шаров Bk, вложенных друг в друга, и шар Bk имеет радиус 2k1. Эта последовательность шаров по предположению имеет общую точку x и ясно, что эта точка служит пределом подпоследовательности {xnk }. Итак, фундаментальная последовательность содержит сходящуюся подпоследоватнльность, следовательно она сама сходится, так что limn xn = x.

Утверждение 2.11. Для того чтобы метризуемое пространство X было компактно, необходимо и достаточно, что бы любая последовательность {xn X, n = 1, 2,... } имела хотя бы одну предельную точку.

Доказательство. Необходимость уже доказана, см. следствие 1 к теореме 2.4. Докажем достаточность. Итак, пусть задано покрытие G пространства X и любая последовательность имеет предельную точку (хотя бы одну). Сперва покажем, что найдется такое, что любой шар с произвольным центром радиуса будет полностью содержаться хотя бы в одном из открытых множеств покрытия. Пусть это не так; тогда для любого n найдется точка xn такая, что шар радиуса n с центром в xn не лежит целиком ни в одном из открытых множеств покрытия G.

Бесконечная последовательность {xn } имеет предельную точку, скажем, a. Пусть U G – то открытое множество, в которое попало a. Как открытое множество в нем существует открытый шар B (a) некоторого радиуса с центром в a. При n достаточно больших n найдутся шары с центрами в xn радиуса, целиком лежащие в B (a), а следовательно, и в U. Это проn тиворечие и доказывает сформулированное утверждение. Теперь заметим, что при любом > 0 метрическое пространство X может быть полностью покрыто конечным числом шаров радиуса. Действительно, выберем точку x1 и шар B (x1 ) с центром в этой точке и радиусом. Если X = B (x1 ), то процесс завершаем, если нет, то найдется точка x2 = B (x1 ). Берем шар B (x2 ) и рассматриваем множество B (x1 ) B (x2 ). Если оно равно X, то мы пришли к нужному результату, если нет, то существует точка x3 = B (x1 ) B (x2 ). Берем третий шар B (x3 ) радиуса с центром в точке x3 и т. д. Мы получим последовательность шаров {B (xn ), n = 1, 2,..., }. Если X = i=1 B (xi ), то процесс завершен, если нет, то продолжаем его дальше. На каком то шаге процесс завершится, ибо в противном случае мы получим последовательность {xn }, которая не может иметь предельной точки (каждая точка отстоит от любой другой на расстоянии, что 28 Топологические векторные пространства (ТВП) противоречит предположению. Поскольку каждый шар лежит в некотором открытом множестве покрытия, то мы и возьмем это конечное число таких открытих множеств. Ясно, что они покрывают все X.

Замечание. Пусть X – метрическое пространство. Множество M X компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности в M можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу из M.

Определение. Множество M X называется предкомпактным (в X), когда его замыкание в пополнении X компактно.

Ясно, что множество M X предкомпактно тогда и только тогда, когда из всякой последовательности в M можно выделить фундаментальную подпоследовательность.

Пусть (X, )) и (Y, ) – два метрических пространства и f – взаимно однозначное соответствие между X и Y, причем (x, z) = (f (x), f (z)) для любых x, z X. Такое f называют изометрией, а пространства изометричными.

Определение. Пусть (X, ) – метрическое пространство.

Полное метрическое пространство (X, ) называется пополнением пространства (X, ), если:

1) (X, ) является подпространством пространства (X, );

Теорема 2.6. Каждое метрическое пространство имеет пополнение, единственное с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки этого метрического пространства.

Доказательство см., например, в [1].

Упражнение (Диагональная последовательность).

Пусть в метрическом пространстве имеется система сходящихся последовательностей и последовательность предельных элементов {y n } сама сходится к элементу y. Тогда можно, выбрав должным образом по одному элементу из каждой строки, получить последовательность x1 1, x2 2,..., xk k,..., сходящуюся к y. Докажите.

Топологические векторные пространства (ТВП) § 3. Топологические векторные пространства Через K будем обозначать либо поле вещественных чисел R, либо поле комплексных чисел C.

Линейные (векторные) пространства Определение. Множество L элементов x, y, z,... называется векторным (иногда линейным) пространством над полем K, если 1) определена операция на элементах называемая суммой (и обозначаемая +) такая, что для любых двух элементов x L и y L определен элемент x + y L, причем:

a) x + y = y + x (коммутативность);

b) x + (y + z) = (x + y) + z (ассоциативность);

c) в L существует элемент {0} такой, что x L x + {0} = x (существование нуля);

d) для каждого x L существует элемент x L такой, что x + (x) = {0} (существование противоположного элемента).

2) для любого числа K и любого x L определен элемент x L (произведение элемента на число), причем a) (x) = ()x;

d) (x + y) = x + y (дистрибутивность).

Заметим, что 0 · x = {0}. Действительно, x + {0} = x = 1 · x = (1 + 0)x = x + 0 · x. Прибавляя теперь к обеим частям этого тождества по противоположному к x элементу, получим требуемое.

Поэтому всюду далее обозначают {0} как 0.

Если K = C, то говорят о комплексном векторном пространстве, если K = R, то о вещественном векторном пространстве.

Например, пространство C[a, b] всех непрерывных на отрезке [a, b] функций с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа является линейным пространством.

Множество A L называется линейно независимым, если 30 Топологические векторные пространства (ТВП) для любого n и при любом выборе элементов x1, x2,..., xn из A.

Линейно независимое множество такое, что любой элемент из L есть линейная комбинация конечного числа элементов из A, называется алгебраическим базисом (или базисом Гамеля) линейного пространства L.

Теорема 3.1 (базис Гамеля). Пусть A линейно независимое подмножество линейного пространства L. Тогда существует алгебраический базис B пространства L такой, что A B.

Доказательство. Пусть M – множество всех линейно независимых подмножеств из L. Ясно, что A есть элемент этого множества. Это множество частично упорядочено по включению. Ясно, что если N – цепь в M, то объединение всех множеств из N есть ее верхняя грань. По лемме Цорна A находится в некотором максимальном элементе B. Каждая точка из L является линейной комбинацией точек из B, ибо, если бы хоть одна точка, скажем, x, не обладала этим свойством, то можно было бы к N присоединить элемент B {x} в противоречии с максимальностью B. Теорема доказана.

Множество M L называется подпространством линейного пространства L, если для любых x, y M и числа, x + y M, числа. Например, пусть S – некоторое подмножество векторного пространства L. Множество всевозможных конечных линейi i xi, где i – числа, а xi S является ных комбинаций линейным подпространством пространства L порожденным множеством S. Отметим, что в любом L имеется подпространство, состоящее только из одного нуля – нулевое подпространство.

Факторпространство Пусть L0 – подпространство линейного пространства L. Определим отношение эквивалентности R на LL следующим образом: пара (x, y) R, если xy L0. (Докажите, что это отношение действительно есть эквивалентность).

Оно определяет разбиение множества L на попарно не пересекающиеся подмножества (классы смежности). Совокупность всех таких классов называется факторпространством и обозначается L/L0. В нем можно ввести операции сложения (выберем в каждом из классов, L/L0 по представителю x и y и назовем суммой этих классов тот класс, куда попадет элемент x + y, а произведением класса на число тот класс, который содержит элемент x). Докажите, что после этого L/L0 становится линейным пространством. Размерность факторпространства L/L0 называется коразмерностью подпространства L0 в пространстве L.

Пусть L0 имеет конечную коразмерность, скажем, m; тогда в L существуют элементы x1, x2,..., xm такие, что любой элемент x L однозначно представим в виде x = i=1 i xi + y. Здесь i, i = 1, 2,..., m – числа, а y L0. Действительно, в L/L0 существует базис, состоящий из m элементов 1,..., m. Теперь, если x любой элемент из L и тот класс эквивалентности, который содержит этот x, то ясно, что = i=1 i i. Выберем по одному элементу xi i. Согласно определению каждый элемент из, в том числе и x, отличается от любого другого (в том числе и от линейной комбинации i=1 i xi ) на элемент из L0.

Линейные функционалы. Гиперплоскости Числовая функция f, определенная на некотором векторном пространстве L называется функционалом. Его числовое значение на элементе x L обозначаем как f (x). Функционал f называется линейным, если 1) f (x + y) = f (x) + f (y) x, y L (аддитивность);

2) f (x) = f (x) для любого числа (однородность).

Пример 3.1. Пусть y(t) – фиксированная, а x(t) – произвольная непрерывные функции на отрезке [a, b]; тогда f (x) = y(t)x(t) dt задает линейный функционал на линейном проa странстве C[a, b]. Другой линейный функционал f (x) = x(0) носит специальное название “-функции”. (Предполагается, что отрезок [a, b] содержит 0).

Упражнение. Докажите, что множество всех линейных функционалов на линейном пространстве тоже будет линейным пространством. Оно называется алгебраически сопряженным к L и обозначается L#.

Пусть f (x) – линейный функционал, совокупность элементов x L, для которых f (x) = 0, является подпространством. Проверьте. Оно называется ядром функционала f и обозначается Ker f. Если f 0, то подпространство Ker f имеет коразмерность 1. Действительно, пусть f (x0 ) = 1; положим для любого x L, y = x f (x)x0. Тогда f (y) = 0, то есть y Ker f.

32 Топологические векторные пространства (ТВП) Упражнение. Докажите, что представление элемента x в виде x = x0 + y, где y Ker f, при фиксированном x0 единственно.

Отсюда следует, что x1 и x2 тогда и только тогда принадлежат одному классу смежности по подпространству L0, когда f (x1 ) = f (x2 ). Таким образом, пространство L/L0 одномерно.

Подпространство Ker f определяет линейный функционал, обращающийся на нем в нуль, с точностью до постоянного множителя. Обратно, для любого подпространства L0 коразмерности 1, можно указать такой функционал f, что Ker f = L0. Действительно, пусть x0 = L0. Представим любой x L в виде x = x0 + y, где y L0. Такое представление единственно. Убедитесь. Теперь положим f (x) =. Получаем требуемый линейный функционал. Докажите.

Определение. Пусть L0 – какое-то подпространство L коразмерности 1; тогда всякий класс смежности линейного пространства L по подпространству L0 называется гиперплоскостью, параллельной подпространству L0 (само L0 – гиперплоскость, содержащая 0).

Гиперплоскость M параллельная L0 – это множество, получающееся из L0 параллельным переносом на какой нибудь вектор x0 L:

Если f (x) 0, то Mf = {x : f (x) = 1} – гиперплоскость, параллельная подпространству Ker f. Обратно, если M – какая-то гиперплоскость, параллельная подпространству L0 и не проходящая через 0, то существует единственный линейный функционал f такой, что M = {x : f (x) = 1}.

Действительно, пусть M = L0 + x0, x0 L. Тогда всякий x L однозначно представим в виде x = x0 + y, где y L0.

Положим f (x) =. Докажите, что это требуемый функционал.

Таким образом, имеет место следующее Утверждение 3.1. Между всеми нетривиальными линейными функционалами, определенными на L, и всеми гиперплоскостями в L, не проходящими через начало координат установлено взаимно однозначное соответствие.

Топологические векторные пространства (ТВП) Топологические векторные пространства. (ТВП) Пусть задано векторное пространство X над полем K, где K – поле вещественных или комплексных чисел, и топология T на нем.

Пара (X, T) называется топологическим векторным пространством, если 1) отображение (x, y) x + y пространства X X в X непрерывно;

2) отображение (, x) x пространства K X в X непрерывно.

Другими словами, для любых x и y из X и любой окрестности U точки x + y найдутся окрестности Ux и Uy точек x и y соответственно, такие, что из того, что x Ux и y Uy, следует, что x + y U. Точно также, для любых K и x X и любой окрестности U точки x существуют такая окрестность Ux точки x и такое число, что, из того что x Ux и | | <, следует, что x U.

Перечислим некоторые свойства, которые вытекают из этих определений. Для каждого a X перенос f : f (x) = x + a есть гомеоморфизм пространства X на себя, и если B – базис окрестностей нуля, то a + B – базис окрестностей точки a.

Таким образом, топологическая структура в X определяется базисом окрестностей нуля. Если U – окрестность (нуля), то U + a – окрестность точки a, и точка x U + a тогда и только тогда, когда x a U. Топологии, обладающие таким свойством, называются топологиями, инвариантными относительно сдвигов.

Для любого = 0 отображение f : f (x) = x есть гомеоморфизм X на себя, и если U – окрестность нуля, то U – тоже окрестность нуля.

Определение. Подмножество A векторного пространства X называется поглощающим, если для любого x X существует такое, что x µA для всех µ.

Определение. Множество A в линейном пространстве L называется уравновешенным, если каково бы ни было x A элементы x A для всех таких, что || 1. (Уравновешенные множества иногда называют еще “закругленными”).

Уравновешенная оболочка множества A – это множество {x :

x A, || 1}.

34 Топологические векторные пространства (ТВП) Упражнения. Докажите, что: объединение и пересечение любого семейства уравновешенных множеств – уравновешенное множество; если A и B уравновешенны, то и множество A + B уравновешенно.

Теорема 3.2. X – ТВП тогда и только тогда, когда множество X – линейное пространство с топологией, инвариантной относительно сдвигов и обладающей свойствами: существует база B окрестностей нуля такая, что для любого U B:

1) U – поглощающее и уравновешенное множество;

Доказательство. Пусть X – ТВП и пусть x X и f () = x. Так как f непрерывна в точке = 0, то для любой окрестности нуля U существует окрестность { : || < }, отображаемая этой функцией в U. Итак x U, так что x U при || 1.

Таким образом любая окрестность нуля – поглощающее множество.

Так как h(, x) = x непрерывна в точке (, x) = (0, 0), то для любой U существует окрестность V и > 0 такие, что x U для всех при || и всех x V. Следовательно, V U для всех || <. Положим теперь W = || 0. Из условия 2 следует, что найдется Wn B такое, что 2n Wn W. Теперь если x Wn, то 0 x = 2n 2n Wn W (в силу уравновешенности W ). Полагая теперь V = Wn и = min{1, 0 }, завершим доказательство.

Утверждение 3.2. ТВП X отделимо тогда и только тогда, когда для любого x X, x = 0, существует окрестность нуля U B такая, что x U.

Действительно, если X отделимо и x = 0, то существует U B, не содержащее x. Если же выполнено это условие и x = y, то U B, не содержащее x y, и по теореме 3.2 существует уравновешенная окрестность V такая, что V + V U. Теперь x + V и y + V – непересекающиеся окрестности точек x и y, ибо, Утверждение 3.3. В топологическом векторном пространстве X точка x и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.

Доказательство. Достаточно рассмотреть точку x = 0 и замкнутое множество F, такое что x = F. Положим U = X\F. Так как 0 U, по теореме 3.2 найдется уравновешенная окрестность нуля W такая, что W W U. Проверим, что W U. Пусть y W ; тогда каждая окрестность точки y, в частности, y + W, содержит какую либо точку z W. Следовательно, z y W, то есть y W W U. Итак, W и X\W искомые окрестности точки 0 и замкнутого множества F.

Замечание. Пусть X – топологическое пространство. Говорят, что X удовлетворяет аксиоме T1, если для любых его точек x1 = x2 существует окрестность U точки x1 такая, что x2 U.

Если в X выполнена аксиома T1, то любая точка в нем есть замкнутое множество. (Докажите).

Говорят, что X удовлетворяет аксиоме T2, если для любых двух точек x1 = x2 существуют окрестности U1, x1 U1, и U2, x2 U2, такие, что U1 U2 =. (Эта аксиома – уже знакомая нам аксиома отделимости или хаусдорфости.) Говорят, что X удовлетворяет аксиоме T3, если для любой точки x X и замкнутого множества K X такого, что x K, существуют открытые множества U1, x U1, и U2, K U2, такие, что U1 U2 =.

Наконец, говорят, что X удовлетворяет аксиоме T4, если для любых двух замкнутых множеств K1 и K2 таких, что K1 K2 =, существуют открытые множества U1, K1 U1, и U2, K2 U2, такие, что U1 U2 =.

Утверждение 3.2 означает, что в ТВП из T1 вытекает T2.

Утверждение 3.3 означает, что в ТВП аксиома T3 выполняется всегда. Аксиома T4 в ТВП может не выполняться, однако всегда имеет место следующее Утверждение 3.4. Пусть K и C – подмножества топологического векторного пространства X, причем K компактно, а C замкнуто и K C =. Тогда существует такая окрестность нуля V, что (K + V ) (C + V ) =.

Действительно, пусть x K, и так как x C, то существует уравновешенная окрестность нуля Ux такая, что x+Ux C =. Из теоремы 3.2 следует, что существует окрестность нуля Vx такая, что Vx + Vx + Vx Ux. Легко видеть, что (x + Vx + Vx ) (C + Vx ) =. В силу компактности K найдется конечное множество точек x1, x2,..., xn такое, что K i=1 (xi + Vxi ). Положим V = i=1 Vxi. Тогда Так как ни одно из множеств (xi + Vxi + Vxi ) не пересекается с C + V, получаем требуемое.

Определение. Подмножество A топологического векторного пространства X называется ограниченным, если оно поглощается любой окрестностью нуля, то есть для каждой окрестности нуля U в X найдется такое число s > 0, что A tU при всех t > s.

Упражнения. 1) Если окрестность V ограничена в топологическом векторном пространстве X и 1 > 2 > · · ·, n 0 при n, то семейство {n V : n = 1, 2,... } является базой окрестностей нуля. Докажите.

Решение. Действительно, пусть U окрестность нуля, найдется s > 0, так что V tU при всех t > s. Если n достаточно велико, что sn < 1, то V 1 U. Поэтому U содержит все мноn жества n V, кроме конечного числа.

2) Каждое компактное подмножество K топологического векторного пространства X ограничено. Докажите.

Решение. Действительно, пусть U – окрестность нуля и V – уравновешенная окрестность нуля такая, что V U. Согласно теореме 3.2 K n=1 nV. Поскольку K компактно, найдутся (Последнее равенство следует из уравновешенности V.) Отсюда Полнота ТВП Пусть (X, T) – топологическое векторное пространство и B – база окрестностей нуля.

Определение. Направленность {x X, I} называется направленностью Коши, если для любой окрестности U B существует 0 I такое, что x x U, если, > 0.

Определение. Отделимое ТВП называется полным, если всякая направленность Коши сходится.

Утверждение 3.5. Всякое отделимое ТВП изоморфно вкладывается в полное ТВП как плотное подпространство.

(Доказательство опускаем).

Докажем, что в метрическом пространстве так определенная полнота эквивалентна ранее определенной полноте (для метрического пространства). Для этого достаточно доказать, что если в X всякая последовательность Коши сходится, то сходится и всякая направленность Коши.

Действительно, пусть X – ТВП и топология задана метрикой (x, y). Пусть, далее, {x X, I} – направленность Коши. Построим (по индукции) последовательность {n I, n = 1, 2,... } со свойствами 38 Топологические векторные пространства (ТВП) (Отметим, что {xn } – не обязательно поднаправленность {x, I}.) Нетрудно видеть, что {xn, n = 1, 2,... } – последовательность Коши. По условию выбираем n > max N, 1, имеем что и доказывает сходимость направленности Коши.

Утверждение 3.6. Если X – отделимое ТВП и M – его полное подпространство, то M замкнуто в X.

Доказательство. Пусть x M, тогда по утверждению 2. существует направленность {x, I} – сходящаяся к x и x M. Тогда {x, I} – направленность Коши в M и в силу полноты M должна сходиться к элементу из M. Следовательно, Замечание. Если в условиях утверждения 3.6 X – полное, а M – его замкнутое подпространство, то M – полное подпространство X. (Докажите).

Упражнение. 1. Докажите, что последовательность Коши (а следовательно и любая сходящаяся последовательность) ограничена.

Решение. Действительно, пусть {xn, n = 1, 2,... } – последовательность Коши и V и W – уравновешенные окрестности нуля такие, что V +V W. Тогда существует N такое, что xn xN +V для всех n N. Выберем такое s > 1, чтобы xN sV (окрестности нуля поглощающие); тогда xn sV + V sV + sV sW ибо n N. Следовательно, если t достаточно велико, то xn tW для всех n.

2. Для того чтобы множество A топологического векторного пространства X было ограничено, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности xn A и любой сходящейся к нулю последовательности чисел n 0, n, последовательность n xn 0 при n. Докажите.

Топологические векторные пространства (ТВП) Решение. Действительно. Пусть A ограничено и V уравновешенная окрестность нуля, тогда для некоторого t имеем A tV.

так как n 0, то найдется N такое, что tn < 1 при n > N.

Пусть xn A, так как t1 A V и V уравновешена, то n xn V при всех n > N. Следовательно, n xn 0.

Обратно. Пусть множество A не ограничено, тогда найдутся окрестность нуля V и последовательность чисел rn такие, что ни одно из множеств rn V не содержит A. Выберем xn A такие, что xn rn V. Но тогда ни одна из точек rn xn не принадлежит V, следовательно, rn xn не сходится к нулю.

n = 1, 2,... }. Докажите, что множество A не ограничено (отсюда будет следовать, что никакое подпространство, кроме {0}, топологического векторного пространства X не может быть ограниченным).

Указание. Существует окрестность нуля V такая, что x V, при этом nx nV. Следовательно, A не содержится ни в одном из nV.

Пусть X и Y – топологические векторные пространства и F :

X Y – линейное отображение. Это отображение называется ограниченным, если оно переводит ограниченные множества в ограниченные. Оно называется открытым, если оно открытые множества переводит в открытые.

4. Докажите, что ненулевой линейный функционал f на топологическом векторном пространстве X отображает открытые множества из X на открытые множества скаляров K.

Решение. Действительно, пусть A открыто и x A. Тогда A x – окрестность нуля и потому поглощающее множество.

Пусть f (a) = 1, найдется > 0 такое, что a A x для всех при ||. Каждое f (x) для x A входит в f (A) с некоторой окрестностью. Значит, f (A) открыто.

Утверждение 3.7. Если M – подпространство топологического векторного пространства X, то его замыкание M – также подпространство X.

Доказательство. Пусть x, y M и U – окрестность. Существует уравновешенная окрестность V такая, что V + V U.

40 Топологические векторные пространства (ТВП) Ясно, что x + V и y + V пересекаются с M, а потому x + y + U пересекается с M + M = M. Значит, x + y M.

Вспоминая, что такое гиперплоскость, отсюда выводим: в топологическом векторном пространстве X всякая гиперплоскость либо замкнута, либо плотна. Действительно, если L – гиперплоскость, то ее коразмерность равна 1, но L L и, следовательно, либо L Теорема 3.3. Пусть F – линейный нетривиальный функционал на топологическом векторном пространстве X. Тогда следующие свойства эквивалентны:

a) F (x) – непрерывен;

b) Ker F – замкнуто;

d) F – ограничен в некоторой окрестности нуля.

Доказательство. a)b). Так как Ker F = F 1 (0), а {0} – замкнутое подмножество поля скаляров, то из непрерывности F следует замкнутость Ker F.

b)c). Так как F – нетривиальный функционал, то Ker F = X, а потому и выполняется c).

c)d). По условию c) дополнение к Ker F имеет непустую внутренность, поэтому для некоторого x X и некоторой уравновешенной окрестности V. При этом F (V ) – уравновещенное подмножество поля скаляров (C или R), поэтому либо F (V ) ограничено, и тогда d) справедливо, либо F (V ) = C, но тогда найдется y V такая, что F (y) = F (x). А это противоречит (3.2).

d)a). По условию |F (x)| < M для всех x V (где V некоторая окрестность нуля) и некоторого числа M. Пусть > 0 и W = M V ; тогда |F (x)| < для всех x W. Таким образом, отображение F непрерывно в нуле, а следовательно, и всюду.

Топологических векторных пространств не всегда хватает для нужд анализа функций. Следующий пример показывает, что существуют топологические векторные пространства функций, в которых вообще нет линейных непрерывных функционалов (кроме тривиального), а следовательно, над ними нельзя строить теорию обобщенных функций.

Пример 3.2 Пространство Lp (R1 ), 0 < p < 1. Через C0 (R1 )обозначим совокупность всех финитных (отличных от нуля только на компактах R1 ) бесконечно дифференцируемых функций. Такие функции существуют, например “шапочка” где постоянная C подобрана так, что (t) dt = 1. Будем считать 1 (t) = (t). Положим µ(f ) = |f (t)|p dt. Обозначим Lp (R1 ), 0 < p < 1, пространство C0 (R ) с метрикой (f, g), задаваемой формулой (f, g) = µ(f g). То, что это метрика вытекает из неравенства µ(f +g) µ(f )+µ(g), которое легко следует из неравенства ( + )p p + p, справедливого при 0 < p < 1, > 0, > 0. Базой окрестностей нуля являются шары Нетрудно видеть, что выполнены все условия теоремы 3.2, а потому Lp – топологическое векторное пространство (метризуемое, с первой аксиомой счетности). Покажем, что в этом пространстве нет ни одного нетривиального линейного непрерывного функционала.

Шаг 1. Пусть n (t) = n(nt), где (t) – “шапочка”, см. (3.3).

Имеем Откуда следует, что n (t ) 0 в Lp равномерно по.

Шаг 2. Возьмем теперь произвольную функцию f Lp и покажем, что свертка Имеем 42 Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) Откуда ясно, что свертка сходится к f (t) поточечно, а так как подынтегральные функции ограничены постоянной, не зависящей от n и сосредоточены все на одном компакте (следовательно, ограничивающая функция интегрируема), то по теореме Лебега свертка сходится и в Lp.

Шаг 3. Пусть F [f ] – линейный непрерывный функционал в Lp.

Покажем, что для любого n = 1, 2,...

Действительно, фиксируя n, представим интеграл как предел интегральных сумм Римана; имеем Интегральная сумма справа поточечно по t сходится, и все слагаемые в ней находятся на одном и том же компакте и ограничены постоянной, не зависящей от разбиения и от t. Пользуясь теоремой Лебега, видим, что интегральная сумма сходится и в Lp.

Применяя F к обеим частям этого неравенства, получим (3.6).

Шаг 4. Учитывая непрерывность функционала F, имеем В последнем равенстве мы учли непрерывность функционала и соотношения (3.4) и (3.6).

§ 4. Локально выпуклые топологические Пусть x и y – две какие то точки линейного пространства L.

Множество всех его элементов вида называется замкнутым отрезком в L, а без концевых точек x и y – открытым отрезком (интервалом).

Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) Определение. Множество M L называется выпуклым, если вместе с любыми своими двумя точками оно содержит и соединяющий их замкнутый отрезок.

Упражнения. Пусть L – линейное пространство, s, t – скаляры, A, B – подмножества L.

1) Пусть все M – выпуклые множества. Докажите, что M = M – тоже выпуклое множество, и что объединение линейно упорядоченного (относительно включения) семейства выпуклых множеств выпукло.

2) 2A A + A. Может случится, что 2A = A + A.

3) A выпукло тогда и только тогда, когда (s + t)A = sA + tA для всех положительных s и t. В частности, если 2A = A + A.

Пусть L – векторное пространство. Если A L, то пересечение всех выпуклых множеств, содержащих A, называется выпуклой оболочкой множества A. Это наименьшее выпуклое множество, содержащее A, обозначают ch A. Выпуклая оболочка A это мнои {x } пробегает множество всех непустых конечных подмножеств множества A, то есть Определение. Топологическое векторное пространство называется локально выпуклым (ЛВП), если в нем всякая окрестность нуля содержит выпуклую окрестность нуля.

Нетрудно видеть, что если векторное топологическое пространство локально выпукло, то в нем существует базис выпуклых уравновешенных поглощающих окрестностей нуля.

Действительно, пусть X – ЛВП и B – базис окрестностей нуля, состоящий из уравновешенных и поглощающих окрестностей нуля (следствие того, что X – ТВП). Теперь любая окрестность нуля U B содержит выпуклую окрестность нуля V U, которая, в свою очередь, содержит уравновешенную окрестность нуля V1 V. (Это следует из того, что функция h(, x) = x непрерывна в точке (, x) = (0, 0), см. доказательство теоремы 3.2.) Возьмем теперь выпуклую оболочку V1 и получим выпуклую уравновешенную поглощающую окрестность нуля.

44 Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) Одновременно выпуклое и уравновешенное множество называется абсолютно выпуклым.

Упражнение. Докажите, что множество A абсолютно выпукло тогда и только тогда, когда каковы бы ни были x и y из A, элементы x+µy A для всех чисел и µ таких, что ||+|µ| 1.

Пусть V, I абсолютно выпуклые множества. Тогда через I V будем обозначать абсолютно выпуклую оболочку объединения множеств V. (Это выпуклая оболочка уравновешенной оболочки этого объединения.) Упражнение. Докажите, что Теорема 4.1. X – ЛВП тогда и только тогда, когда X – линейное пространство с топологией, инвариантной относительно сдвигов, такой, что существует базис B окрестностей нуля:

1) каждое U B абсолютно выпуклое и поглощающее;

2) для любого U B найдется V B такое, что V 1 U.

Действительно, в силу сказанного выше достаточно доказать выполнение свойства 2 теоремы 3.2. Но оно непосредственно следует из 2) и того факта, что если U выпукло, то 2 U + 1 U U.

Замечание 1. Eсли в векторном пространстве X задано семейство B подмножеств X, инвариантное относительно сдвигов, обладающее свойствами 1), 2) и 3) для любых U B и V B существует W B такое, что W U V, то в построенной по этому множеству топологии X – ЛВП, причем B – базис окрестностей нуля.

Действительно, за множество окрестностей точки x X примем множество x + B. Нетрудно проверить, что выполнены все аксиомы топологического пространства и условия утверждения 2.10. Так же, как при доказательстве теоремы 3.2, проверяется, что эта топология согласуется с линейной структурой.

Замечание 2. Пусть – произвольное множество абсолютно выпуклых поглощающих подмножеств векторного пространства X. Тогда в X существует слабейшая топология, согласующаяся с алгебраической структурой, в которой каждое множество из Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) является окрестностью нуля. В этой топологии X – локально выпуклое пространство с базисом окрестностью нуля, образованным множествами вида Действительно, множество B всех подмножеств вида (4.2) удовлетворяет всем условиям теоремы, так что B – базис окрестностей, в которой X – локально выпуклое пространство. С другой стороны, что это слабейшая топология, очевидно.

Утверждение 4.1. В топологическом векторном пространстве замыкание выпуклого множества выпукло, уравновешенного множества уравновешенно и абсолютно выпуклого множества абсолютно выпукло.

Действительно, покажем это, например, для абсолютно выпуклого множества. Пусть A абсолютно выпукло, a, b A и || + |µ| 1. Для любой окрестности U существует уравновешенная окрестность V такая, что V + V U. Тогда существуют Это и означает, что a + µb A, а потому A абсолютно выпукло.

Полунормы. Функционалы Минковского Неотрицательная (конечная) вещественная функция p на векторном пространстве L называется полунормой, если для всех x, y L и для всех C или R (в зависимости от того, L – комплексное или вещественное пространство):

1) p(x) 0;

2) p(x) = ||p(x);

3) p(x + y) p(x) + p(y).

Отметим, что p(0) = 0, но может случится, что для некоторого x = 0, p(x) = 0. Вообще говоря, множество прообразов нуля {p1 (0)} – линейное подпространство в L. Если из того, что p(x) = 0 вытекает, что x = 0, то p(x) называется нормой.

46 Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) Отметим также, что из 3) вытекают соотношения а потому Между полунормами и абсолютно выпуклыми поглощающими множествами существует связь, а именно, Теорема 4.2. Пусть p – полунорма на линейном пространстве L. Тогда для любого > 0 множества абсолютно выпуклые и поглощающие.

Обратно. Пусть A L – абсолютно выпуклое поглощающее множество; тогда функция p(x), определяемая формулой является полунормой, при этом Доказательство. Пусть p – полунорма. Рассмотрим множество A, задаваемое одной из формул (4.4), и пусть x, y A и r + t = 1, r, t 0. Тогда в силу свойств 2) и 3) p(rx + ty) rp(x) + tp(y), то есть A выпукло. Его уравновешенность вытекает из 2). Покажем, что A – поглощающее. Пусть y L и y = p(y) ; тогда при > y, p(y), то есть y A.

Обратно. Пусть функция p определяется формулой (4.5); тогда, так как A поглощающее множество, то p(x) для любого x L конечна. Условия 1) и 2) очевидны. Проверим выпуклость.

Пусть даны xi L, i = 1, 2, и > 0. Выберем ri так, чтобы p(xi ) < ri < p(xi ) +, тогда xi A. Положим r = r1 + r2 и рассмотрим отрезок с концами r1 и x2. Так как A выпуклое мноx1 жество, то этот отрезок принадлежит ему, а потому точка Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) следовательно, Откуда и вытекает выпуклость p(x). Теперь отношение (4.6) очевидно.

Полунорма p, сопоставленная абсолютно выпуклому поглощающему множеству A формулой (4.5), называется функционалом Минковского множества A. Мы будем обозначать его pA (x); таким образом, Из его определения непосредственно следует, что если = 0, то функционалом Минковского множества A будет функционал || p(x). Пусть B – также абсолютно выпуклое и поглощающее множество, функционалом Минковского которого пусть будет pB (x), тогда функционал Минковского множества AB равен sup{pA (x), pB (x)}. Если A B, то pB (x) pA (x) x L.

Упражнения. Докажите:

длина вектора x.

Пусть X – ЛВП. Напомним, что для каждой полунормы p(x) > 0 абсолютно выпуклые и поглощающие. И обратно, каждому абсолютно выпуклому и поглощающему множеству A X соответствует функционал Минковского (его называют еще калибровочной функцией), определяемый формулой (4.7), причем справедливо соотношение (4.6). Эта связь наводит на мысль описывать топологии локально выпуклых пространств с помощью полунорм.

Пусть B – база из абсолютно выпуклых поглощающих окрестностей нуля ЛВП X и пусть A – подсемейство B такое, что для любого U B существует конечный набор окрестностей V1, V2,..., Vn, принадлежащих A, и 0 такие, что (V1 · · · Vn ) U. Обозначим через Q множество полунорм вида {pV (x), V A}. Ясно, что базой окрестностей нуля может служить множество вида 48 Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) где pi (x), i = 1, 2,..., n, – любой конечный набор полунорм из Q.

Итак, в любом ЛВП топология может быть задана семейством полунорм, причем базу окрестностей нуля образуют множества (4.8).

Верно и обратное. Если X – векторное пространство и Q некоторое семейство полунорм, то в X существует топология, базу окрестностей нуля которой образуют множества (4.8).

Ясно, что X отделимо тогда и только тогда, когда для любого x X, x = 0, существует полунорма p(x) Q такая, что p(x) = 0.

Если X удовлетворяет первой аксиоме счетности, то множество Q можно считать счетным. В этом случае X называют счетно нормированным пространством. Перенумеровав полунормы Q и введя новую эквивалентную систему полунорм {qi (x), i = 1, 2,... } по формуле qi (x) = maxj i pj (x), i = 1, 2,..., добьемся того, что эти новые полунормы обладают свойством монотонности qi+1 qi, i = 1, 2,....

Утверждение 4.2. Множество A X ограничено тогда и только тогда, когда каждая полунорма p(x) Q ограничена на A.

Действительно, предположим, что множество A X ограничено. Фиксируем некоторую полунорму p Q. Так как V = {x :

p(x) < 1} – окрестность нуля при = 1, n = 1 и p = p1, то A kV для некоторого k. Но тогда p(x) < k для всех x A. Обратно.

Пусть каждая полунорма p Q ограничена на множестве A и U – окрестность нуля. Пусть также pi, i = 1, 2,..., n, и выбраны так, чтобы окрестность начала, определяемая формулой (4.9) с этими pi и содержалась в U. Существуют такие числа Mi, что pi (x) < Mi для x A, 1 i n. Отсюда следует, что A mU при m > · max{M1,..., Mn }. Откуда и следует, что A ограничено.

Утверждение 4.3. В локально выпуклом пространстве X полунорма p(x) непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна в нуле.

Функция Минковского pU (x) абсолютно выпуклого поглощающего множества U непрерывна тогда и только тогда, когда U – окрестность. При этом {x : pU (x) < 1} есть внутренность U, а {x : pU (x) 1} – замыкание.

Доказательство. Если p непрерывна в нуле, то для любого > 0 существует окрестность нуля V, для всех точек которой Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) p(x) <. Теперь, если a произвольная точка X, то |p(x) p(a)| Если U – абсолютно выпуклая окрестность, то для любого рывна в нуле и по предыдущему во всем X. Обратно. Пусть pU непрерывна, тогда множество V = {x : pU (x) < 1} открыто (как прообраз (1, 1)) и V U. Поэтому U – окрестность. Покажем, что V = {x : pU (x) 1}. Действительно, это множество замкнуто и содержит V. Если x – точка этого множества и W – любая окрестность нуля, то существует µ такое, что 0 < µ < 1 и µx W (ибо W – поглощающее). Отсюда так что (1 µ)x V, а следовательно, x + W пересекается с V.

Итак, x V. Теперь покажем, что V есть внутренность V. Действительно, если x принадлежит внутренности V, то существует окрестность W такая, что x + W V, и существует µ такое, что 0 < µ < 1 и µx W. А тогда (1 + µ)x V, откуда p((1 + µ)x) 1.

Поэтому pU (x) < 1, и тем самым x V. Наконец, V U V и, следовательно, V есть внутренность U и U = V.

Замечание. Пусть p(x) – полунорма и множество Ap = {x :

p(x) < 1} содержит открытое множество O, то есть O Ap, тогда p(x) непрерывна.

Действительно, пусть x O, тогда x Ap, и потому 1 x + 1 O Ap (ибо Ap – абсолютно выпуклое и поглощающее).

Следовательно, Ap содержит выпуклую уравновешенную поглощающую окрестность нуля U. Поэтому p(x) pU (x) для x X.

Следовательно, p(x) непрерывна в нуле, а потому и всюду.

Напомним, что вещественнозначная функция f (x) на топологическом пространстве X называется полунепрерывной сверху, если для любого числа c множество {x : f (x) < c} открыто. Таким образом, мы получили, что полунорма p(x) непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна сверху.

Пусть, по-прежнему, Q – семейство полунорм, задающее топологию в X. Ясно, что любая полунорма p(x) Q непрерывна.

С другой стороны, если q(x) – произвольная полунорма, то она непрерывна тогда и только тогда, когда существует конечный набор полунорм {p1 (x), p2 (x),..., pn (x)} из Q и константа C такие, 50 Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) что Отметим, что если X – счетно нормированное пространство и p1 (x) p2 (x) в X топологию, то условие (4.9) можно переформулировать следующим образом.

Полунорма q(x) непрерывна тогда и только тогда, когда существует номер N и число C такие, что Пусть f (x) – линейный функционал на X; тогда q(x) = |f (x)| – полунорма на X. Ясно, что f (x) непрерывен тогда и только тогда, когда q(x) непрерывна. Таким образом, мы получили следующее Утверждение 4.4. Линейный функционал f (x) в ЛВП X непрерывен тогда и только тогда, когда существует конечный набор pi (x) Q, i = 1, 2,..., n, и число C такие, что Аналогичный результат справедлив и для линейных отображений.

Утверждение 4.5. Пусть E и X – ЛВП, а Q1 и Q2 – семейства полунорм, задающих топологии в E и X, соответственно.

Пусть также A – линейное отображение E в X. Отображение A : E X непрерывно тогда и только тогда, когда для любой полунормы p(x) Q2 существуют число C и полунорма q(x) Q такие, что Факторпространство Пусть X – ЛВП и M – его подпространство. Тогда существует каноническое отображение f :

X X/M, отображающее X на факторпространство X X/M так, что f (x) – это класс эквивалентности, которому принадлежит x, то есть f (x) = x + M. Это отображение называется каноническим отображением. Пусть B – базис абсолютно выпуклых окрестностей; тогда {f (U ) : U B} образуют базис топологии в X/M, называемой фактортопологией. Пространство X/M, наделенное этой топологией, будет локально выпуклым пространством. Проверьте. А так как U f 1 (f (U )) для каждого U B, Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) то f непрерывно и открыто. При этом фактортопология – сильнейшая из топологий в X/M, при которых f непрерывно. Пусть pU – функция Минковского абсолютно выпуклой окрестности U ;

тогда функция Минковского q(), = x + M, окрестности f (U ) выражается формулой Замечание. Факторпространство, наделенное фактортопологией, отделимо тогда и только тогда, когда M – замкнутое подпространство.

Действительно, если X/M отделимо, то ноль в нем замкнут, а потому его прообраз, f 1 (0) = M, замкнут, ибо f непрерывно.

Обратно, пусть M замкнуто в X и = 0 – произвольная точка в X/M ; тогда из x следует, что x M. Поэтому найдется абсолютно выпуклая окрестность U такая, что x + U M =.

Следовательно, x M + U, и потому f (U ), что и означает отделимость X/M.

Если X метризуемо (обладает счетным базисом окрестностей нуля), а M замкнуто, то X/M отделимо и обладает счетным базисом окрестностей, а потому метризуемо. Если X нормируемо, а M замкнуто, то X/M тоже нормируемо с нормой = inf{ x :

Пусть теперь g – линейное отображение векторного пространства X в векторное пространство E, причем g отображает M в нуль. Тогда g представляется в виде композиции двух линейных отображений g = h · f, где h : X/M E. (Заметьте, что g(x) = g(x + M ) = g(f (x)) h().) Другими словами, следующая диаграмма коммутативна:

Отображение g непрерывно тогда и только тогда, когда какова бы ни была окрестность V в E, множество 52 Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) является окрестностью в X, то есть h1 (V ) – окрестностью в X/M. Так что g непрерывна тогда и только тогда, когда h непрерывно. Итак мы получили следующее Утверждение 4.6. Линейное отображение g локально выпуклого пространства X в локально выпуклое пространство E представляется композицией g = h · f, где h – взаимно однозначное линейное отображение X/g 1 (0) в E, а f – каноническое отображение X на X/g 1 (0). Причем g непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно h.

Произведение пространств Пусть для каждого индекса из некоторого множества индексов I задано векторное топологическое пространство (X, T ). Декартово произведение {X :

I} определяется как множество всех функций x = {x() :

I} (писать будем x = x : I) таких, что “координата” x X для каждого из I. Множество X называется -м координатным множеством. Проектирование P (x) на -е координатное множество определяется формулой P (x) = x. Чтобы обеспечить непрерывность отображений проектирований рассмотрим в декартовом произведении совокупность следующих множеств:

фиксируем 0 и пусть U T0 – произвольное открытое множество в X0, положим множество P0 (U ) открытым в произведении (заметим, что это “цилиндрическое” множество – по 0 -й координате оно U, а по каждой из остальных оно все – соответствующее пространство X, I, = 0 ). Совокупность всех таких “открытых” множеств (и по всем 0, и по всем U ) будем рассматривать как предбазу некоторой топологии на так определенном произведении. Базу топологии произведения B образует семейство всевозможных конечных пересечений элементов указанной предбазы. Произвольный элемент этой базы имеет вид где J – конечное подмножество множества I и U – открытое множество пространства X для каждого из J.

Декартово произведение с так введенной топологией называется произведением пространств. Отметим, что эта топология слабейшая из топологий, в которых все проектирования непрерывны. Проектирования P (x) пространства произведений на координатные пространства есть открытые отображения.

Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) Ясно, что произведение отделимых пространств – отделимое пространство (вспомните, как определялись открытые множества на произведении пространств). Нетрудно показать, что направленность в произведении сходится к точке в том и только в том случае, если ее проекция в любое координатное пространство сходится к соответствующей проекции этой точки.

Легко видеть, что если все X, I, – ЛВП, то и {X :

I} – ЛВП.

Далее мы считаем все X локально выпуклыми пространствами.

Свойство универсальности. Пусть E – ЛВП, и задано семейство линейных отображений g : E X, I; тогда существует единственное линейное отображение h : E I X такое, что диаграмма коммутативна. h непрерывно тогда и только тогда, когда все g, I, непрерывны.

Нормированные пространства Напомним, что в векторном пространстве полунорму p(x), для которой из того, что p(x) = 0, следует, что x = 0, называют нормой. Норму принято обозначать так: p(x) x. Линейное пространство, в котором задана норма, называется нормированным пространством.

Заметим, что в нем всегда можно ввести метрику по формуле (x, y) = x y. Это – инвариантная относительно сдвигов метрика. Следовательно, нормированное пространство обладает всеми свойствами метрического пространства. В частности, если оно полно, то оно называется банаховым пространством. Нетрудно видеть, что базой окрестностей нуля будут шары Br = {x X :

x < r, r > 0}, при этом можно считать, что r = n, n = 1, 2,....

Непосредственно из теоремы 3.3 следует, что для того чтобы линейный функционал f (x) был непрерывен на нормируемом пространстве X, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен на единичном шаре ( x 1). По определению число 54 Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) f = sup x 1 |f (x)| называется нормой функционала. В нормируемом пространстве справедливы следующие соотношения:

Упражнение. В пространстве непрерывных на отрезке [1, 1] функций C([1, 1]) с нормой x = supt |x(t)| вычислите норму функционала (t), определяемого формулой ((t), x) = x(0).

В векторном пространстве X две нормы называются эквивалентными, если соответствующие им метрики эквивалентны, то есть определяют эквивалентные базы окрестностей нуля. Докажите, что две нормы x 1 и x 2 на векторном пространстве X эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют постоянные k1 и k2 такие, что Отметим, что если выполнено только первое из этих неравенств, то топология, порождаемая первой нормой сильнее (точнее, не слабее) топологии, порождаемой второй нормой. В этом случае говорят о сравнимости норм. Если X1 и X2 – векторные пространства X с соответствующими сравнимыми нормами · и · 2, то вложение пространства X1 в X2 непрерывно. Покажите это.

Пусть X – ТВП, а M – его N -мерное подпространство. Напомним, что через K мы обозначаем поле либо вещественных чисел R, либо поле комплексных чисел C. Всегда можно установить взаимно однозначное соответствие (изоморфизм) между M и K N.

Однако топологии в них разные. В M топология наследуется топологией пространства X, а в K N – евклидова топология. (K N – это либо RN, либо CN.) Утверждение 4.7. Пусть X – отделимое ТВП над полем K и M – его N мерное подпространство. Тогда любой линейный изоморфизм K N (RN или CN ) на M является гомеоморфизмом.

Доказательство проведем индукцией по N. Пусть сперва N = 1 и F : R M – линейное взаимно однозначное отображение, задаваемое формулой F (1) = u M ; F (a) = au. Из непрерывности операций векторного пространства в M, следует, что F – Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) непрерывное отображение, причем F 1 – линейный функционал с ядром {0}, которое в силу отделимости X (а значит, и M ) является замкнутым множеством в X (а следовательно и в M ). По теореме 3.3 этот функционал непрерывен.

Предположим теперь, что для N 1 утверждение справедливо. Отсюда, в частности, следует, что любое N 1 мерное подпространство в любом отделимом ТВП, как пространство, изоморфное K N, полно, а потому замкнуто в нем (см. утверждение 3.6).

Значит, любой линейный функционал на N -мерном подпространстве непрерывен, ибо его ядро есть N 1 мерное подпространство (см. теорему 3.3). Пусть F : K N M – изоморфизм. Пусть непрерывности операций векторного пространства в M следует, что F непрерывно. Поскольку F – изоморфизм, то {u1,..., uN } – базис в M. А потому существуют такие линейные функционалы i (u), i = 1,..., N на M, что каждый вектор u M единственN ным способом представим в виде u = i=1 i (u)ui. Как замечено выше, каждый i непрерывен. Поскольку для каждого u M ;

F 1 (u) = (1 (u),..., N (u)), то F 1 – непрерывное отображение.

Что и доказывает справедливость утверждения для N.

Следствие 1. Единственная топология, в которой конечномерное пространство X есть отделимое ЛВП, – это стандартная (евклидова) топология.

Следствие 2. В конечномерном векторном пространстве любые две нормы эквивалентны.

Нормируемость и метризуемость ЛВП Пусть X – ЛВП.

Когда оно нормируемое пространство? А когда метризуемое? Ответ на эти вопросы дают следующие утверждения.

Утверждение 4.8. Топологическое векторное пространство X нормируемо тогда и только тогда, когда в нем существует выпуклая ограниченная окрестность нуля.

Доказательство. Если X нормируемо, то {x : x < 1} – открытый единичный шар – является выпуклой ограниченной окрестностью нуля. Обратно. Пусть V выпуклая ограниченная окрестность нуля в X. Она содержит выпуклую уравновешенную окрестность нуля U, которая (как очевидно) тоже ограничена.

56 Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП) Тогда множество {rU, r > 0} – база окрестностей нуля. Положим x = p(x), x X, где p – функционал Минковского для U.

Если x = 0, то x rU для некоторого r > 0 и, следовательно, r p(x) = x. Итак, эта функция Минковского определяет норму.

Утверждение 4.9. Локально выпуклое пространство X метризуемо тогда и только тогда, когда оно отделимо и обладает счетным базисом окрестностей нуля. Причем топология метризуемого пространства X может быть задана метрикой, инвариантной относительно переносов.

Доказательство. Если X метризуемо, то очевидно, что оно отделимо и обладает счетным базисом окрестностей нуля. Обратно. Пусть X обладает счетным базисом. Тогда существует счетный базис абсолютно выпуклых окрестностей {Un }. Пусть pn (x) – их функции Минковского.

Положим f (x) = n=1 2n inf{pn (x), 1}; тогда и если f (x) = 0, то pn (x) = 0 для всех n и, значит, x = 0 (поскольку X отделимо). Теперь d(x, y) = f (x y) – инвариантная относительно переносов метрика. В этой метрике множества Vn = {x :

f (x) < 2n } образуют базис окрестностей. Но Vn открыто в исходной топологии (ибо pn, а значит, и f, непрерывны). С другой f (x) 2n ). А значит, d(x, y) определяет в X исходную топологию.

Определение. Полное отделимое метризуемое локально выпуклое пространство X называется пространством Фреше.