ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по УМР и К _ Бамбаева Н.Я.

« _ »_ 2011 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине Б.2.1 – Математика шифр и название дисциплины Направление подготовки 161000 АЭРОНАВИГАЦИЯ Квалификация (степень) БАКАЛАВР Профиль подготовки УПРАВЛЕНИЕ ВОЗДУШНЫМ ДВИЖЕНИЕМ Факультет ФАСК Кафедра Высшей математики Курс обучения 1, Форма обучения очная Общий объем учебных часов на дисциплину 432 час. 12 з.е.

Семестр 1,2,3 сем.

Объем аудиторной нагрузки 216 час.

Лекции 112 час.

Практические занятия 104 час.

Лабораторные работы Курсовой проект Зачет сем.

Экзамен 2,3 сем.

Объем самостоятельной работы студента 216 час.

Москва – 2011 г.

Рабочая программа составлена на основании Примерной учебной программы дисциплины Математика и в соответствии c требованиями ФГОС ВПО, утвержденного приказом Министра образования и науки Российской Федерации от 22 декабря 2009 г. № 793 по направлению подготовки 161000 АЭРОНАВИГАЦИЯ, квалификация (степень) – бакалавр.

Рабочую программу составил:

Доц., к.ф.-м.н., доц. Дементьев Ю.И.

(должность, степень, звание) подпись (Фамилия, инициалы) Рабочая программа утверждена на заседании кафедры:

Протокол № 2 от 15 сентября 2011 г.

Зав. кафедрой, д.т.н., доц. Самохин А.В.

(должность, степень, подпись (Фамилия, инициалы) звание) Рабочая программа одобрена методическим советом специальности 161000 Аэронавигация (шифр, наименование) Протокол № от « » 2011 г.

Председатель методического совета Нечаев Е.Е.

Д.т.н, профессор.

(должность, степень, подпись (Фамилия, инициалы) звание) Рабочая программа согласована с Учебно-методическим управлением (УМУ) Начальник УМУ, к.э.н., доц. Борзова А.С.

(должность, степень, звание) подпись (Фамилия, инициалы)

1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Целями освоения дисциплины (модуля) «Математика» являются формирование личности студента, развитие его интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению, обучение основным математическим понятиям и методам математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей и математической статистики, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач, методам обработки и анализа результатов численных и натурных экспериментов.

Дисциплина является одной из важнейших теоретических и прикладных математических дисциплин, определяющих уровень профессиональной подготовки современного бакалавра.

Цель преподавания прикладных разделов дисциплины состоит в том, чтобы, используя теорию и методы научного познания, овладеть основными понятиями, определениями и методами теории вероятностей и математической статистики, необходимыми для решения задач в области безопасности технологических процессов; обучить студентов математическим методам принятия решений.

Преподавание дисциплины состоит в том, чтобы на примерах математических понятий и методов продемонстрировать сущность научного подхода, специфику математики и её роль как способ познания мира, общности её понятий и представлений в решении возникающих проблем. При этом решаются следующие задачи:

- раскрыть роль и значение математических методов исследования при решении инженерных задач;

- ознакомить с основными понятиями и методами классической и современной математики;

- научить студентов применять методы математического анализа для построения математических моделей реальных процессов и явлений;

- раскрыть роль и значение вероятностно-статистических методов исследования при решении инженерных задач.

2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП БАКАЛАВРИАТА

Дисциплина Математика относится к учебным дисциплинам базовой части математического и естественнонаучного цикла основной образовательной программы (далее — ООП) направления подготовки 161000,Аэронавигация, квалификация (степень) – бакалавр.

Для успешного освоения данной дисциплины студент должен владеть знаниями, умениями и навыками, сформированными школьной программной по дисциплине Математика.

Приобретенные в результате изучения дисциплины знания, умения и навыки используются во всех без исключения естественнонаучных и инженерных дисциплинах, модулях и практиках ООП.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать:

основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дискретной математики;

основные понятия и методы теории дифференциальных уравнений и уравнений математической физики;

операционное исчисление и численные методы;

основные понятия и методы теории функций комплексного переменного, теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, вариационного исчисления и оптимального управления, линейного программирования;

математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике;

основные математические методы решения профессиональных Уметь:

употреблять математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов;

использовать методы математического анализа, векторной алгебры, линейного программирования, вариационного исчисления для решения прикладных задач;

применять математические методы при решении типовых профессиональных задач.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения В процессе изучения дисциплины Математика у студента формируются следующие компетенции:

общекультурные ( ОК ):

ОК-8 – стремиться к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства;

ОК-12 – понимать роль естественных наук в развитии науки, техники и технологии;

ОК-36 – обладать математической и естественнонаучной культурой как частью профессиональной и общечеловеческой культуры;

ОК-37 – актуализировать все имеющиеся знания, умения и навыки при принятии решения и реализации его в действиях;

ОК-38 – обладать способностью проводить доказательства утверждений, как составляющей когнитивной и коммуникативной ОК-44 – способность и готовность использовать на практике базовые знания и методы математики и естественных наук;

ОК-45 – способность приобретать новые математические и естественнонаучные знания, используя современные образовательные и информационные технологии;

ОК-46 – способность использовать математическую логику для формирования суждений по соответствующим профессиональным, социальным, научным и этическим проблемам;

ОК-47 – владеть методами анализа и синтеза изучаемых явлений и процессов.

профессиональные ( ПК ):

естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при решении профессиональных задач;

ПК-5 – способность использовать методы дифференциального и интегрального исчисления, векторного анализа, дискретной математики, оптимизации, линейного программирования, теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики для решения профессиональных задач, составлять математические модели типовых профессиональных задач, находить способы их решений и интерпретировать профессиональный (физический) смысл полученного математического результата;

ПК-66 – способность выполнять научные исследования по отдельным разделам (этапам, заданиям) темы в соответствии с утвержденными методиками;

ПК-76 – способность обосновывать правильность выбранной модели при решении профессиональных задач, сопоставляя результаты экспериментальных задач и полученных решений;

ПК-78 – способность использовать математические методы обработки, анализа и синтеза результатов профессиональных исследований.

Структура и содержание дисциплины (модуля) Математика Общая трудоемкость дисциплины в 1 семестре составляет 4 зачетные единицы, 144 часа.

п/п РАЗДЕЛ 1. Алгебра Тема 1.1. Алгебра матриц, определители Тема 1.2. Решение систем линейных РАЗДЕЛ 2. Геометрия Тема 2.1 Векторы РАЗДЕЛ 3. Анализ формула Тейлора. Построение графиков.

Условный экстремум РАЗДЕЛ 4. Дискретная математика Тема 4.1 Алгебра логики высказываний Тема 4.2 Ориентированные графы 4. Структура и содержание дисциплины (модуля) Математика Общая трудоемкость дисциплины во 2 семестре составляет 4 зачетные единицы, 144 часа.

п/п РАЗДЕЛ 5. Анализ методы его вычисления Тема 5.2 Определённый интеграл и его приложения Тема 6.2. Функции комплексного переменного.

Тема 6.3 Производная ФКП.

РАЗДЕЛ 7 Дифференциальные ого порядка и системы уравнений 4. Структура и содержание дисциплины (модуля) Математика Общая трудоемкость дисциплины в 3 семестре составляет 4 зачетные единицы, 144 часа.

Тема 8.2 Функциональные ряды РАЗДЕЛ 9 Уравнения мат. физики для уравнений мат. физики РАЗДЕЛ 10. Вероятность и статистика вероятностей данных и проверка гипотез РАЗДЕЛ 11 Численные методы Тема 11.1. Методы решения алгебраических и диф. уравнений.

Матрица соотнесения тем/разделов учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных уравнений формула Тейлора. Построение графиков.

Условный экстремум РАЗДЕЛ 4 Дискретная математика Матрица соотнесения тем/разделов учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных и методы его вычисления приложения переменного комплексного переменного уравнения ого порядка и системы уравнений Матрица соотнесения тем/разделов учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных математической физики мат. физики статистика вероятностей распределения и их интерпретации данных и проверка гипотез алгебраических и дифф. уравнений

ПЕРВЫЙ КУРС

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

Лекции 36 час.

Практические занятия 36 час.

Самостоятельная работа 72 час.

Контрольные домашние задания Контрольные работы Зачет Лекция 1. Определители, их свойства. Миноры, алгебраические дополнения.

Лекция 2. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным методом.

Лекция 3. Решение произвольных систем линейных уравнений. Метод Лекция 4. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора.

Определение базиса. Разложение вектора по базисным векторам.

Лекция 5. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Их свойства и применение.

Лекция 6. Прямая на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Уравнения прямых и плоскостей. Основные задачи о прямых и плоскостях.

Лекция 7. Кривые второго порядка, их свойства.

Лекция 8. Множества. Понятие функции. Элементарные функции.

Определение последовательности и её предела. Определение и геометрический смысл предела функции в точке и в бесконечности.

Лекция 9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Непрерывность функций. Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Лекция 10. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная, ее производную. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Таблица производных.

Лекция 11. Производные высших порядков. Производная неявной функции.

Производные функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование. Дифференциал функции, его геометрический смысл, инвариантность формы дифференциала. Правило Лопиталя.

Лекция 12. Условия возрастания и убывания функций, экстремум.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Лекция 13. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функций. Графики функции.

Лекция 14. Формула Тейлора. Определение функции двух и нескольких переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Частные производные.

Лекция 15. Приращение и дифференциал функции двух переменных.

Производная сложной и неявной функций. Производная по направлению. Градиент.

Лекция 16. Экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.

РАЗДЕЛ 4: ЭЛЕМЕНТЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция 17. Алгебра логики высказываний.

Лекция 18. Ориентированные графы.

ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

В первом семестре 18 практических занятий по 2 часа каждое ПР.1. Определители и их вычисление. Матрицы и действия над ними.

ПР.2. Системы линейных уравнений.

ПР.3. КР по теме «Решение систем».

ПР.4. Линейные операции с векторами. Линейная зависимость и независимость векторов.

ПР.5. Скалярное и векторное произведение векторов. Их применения.

ПР.6. Смешанное произведение векторов.

ПР.7. КР по теме «Векторная алгебра».

ПР.8. Прямая на плоскости. Плоскость в пространстве. Прямая в пространстве.

ПР.9. Построение графиков элементарных функций.

ПР.10. Решение задач на вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей. Применение замечательных пределов для раскрытия неопределенностей. Сравнение бесконечно малых.

Непрерывность функции. Типы разрывов функции.

ПР.11. Дифференцирование функций. Производная сложной функции.

Производная функции, заданной параметрически и неявно.

Дифференциал функции.

ПР.12. КР. по теме «Производная».

ПР.13. Исследование функций на экстремум. Производные и дифференциалы высших порядков.

ПР.14. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Асимптоты кривых.

ПР.15. Построение графиков функций.

ПР.16. Частные производные. Дифференциал. Частные производные высших порядков. Дифференцирование сложных функций.

ПР.17. Производная по направлению, градиент. Экстремум функции двух ПР.18. Алгебра логики высказываний и ориентированные графы.

ПЕРВЫЙ КУРС

ВТОРОЙ СЕМЕСТР

Лекции - 38 час.

Практические занятия – 34 час.

Самостоятельная работа – 72 час.

Контрольные домашние задания – Контрольные работы – Экзамен

РАЗДЕЛ 5: НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ

Лекция 1. Понятие неопределённого интеграла, его свойства. Основная таблица интегралов. Метод подведения функции под знак дифференциала.

Лекция 2. Метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Лекция 3. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций.

Лекция 4. Определённый интеграл, его свойства и геометрический смысл.

Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определённого интеграла.

Лекция 5. Приближённое вычисление определённого интеграла.

Несобственные интегралы.

Лекция 6. Приложения определённого интеграла.

Лекция 7. Двойные интегралы. Определение, свойства и вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Приложение двойного интеграла.

Лекция 8. Криволинейные интегралы, их вычисление. Формула Грина.

Приложение криволинейных интегралов.

РАЗДЕЛ 6: КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ

Лекция 9. Комплексные числа. Формы записи комплексного числа. Операции над комплексными числами.

Лекция 10. Функции комплексного переменного.

Лекция 11. Производная функции комплексного переменного.

РАЗДЕЛ 7: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Лекция 12. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Частное и общее решение. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Лекция 13. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Однородные и линейные уравнения первого порядка Лекция 14. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Лекция 15. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Линейно зависимые и линейно независимые частные решения. Структура общего решения линейного однородного уравнения.

Лекция 16. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями.

Лекция 17. Применение теории линейных дифференциальных уравнений к исследованию механических колебаний. Резонанс.

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений, основные понятия.

Лекция 19. Линейные системы дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Во втором семестре 17 практических занятия по 2 часа каждое ПР.1. Неопределенный интеграл. Вычисление интегралов. Метод подведения под знак дифференциала.

ПР.2. Замена переменного в неопределенном интеграле. Интегрирование по ПР.3. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений.

ПР.4. КР по теме « Неопределенный интеграл»

ПР.5. Вычисление определенных интегралов. Замена переменного в определенном интеграле.

ПР.6. Вычисление несобственных интегралов. Приложения определенного интеграла: вычисление длины дуги, площадей.

ПР.7. Приложение определённого интеграла (продолжение).

ПР.8. Вычисление двойного интеграла. Криволинейные интегралы.

Приложения кратных и криволинейных интегралов.

ПР.9. Комплексные числа. Формы записи комплексного числа. Операции над комплексными числами.

ПР.10. Элементарные функции комплексного переменного. Производная.

Условия Коши-Римана. Геометрический смысл производной.

ПР.11. КР по теме «Комплексный анализ».

ПР.12. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

ПР.13. Линейные уравнения и уравнение Бернулли.

ПР.14. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

ПР.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные ПР.16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями.

Системы линейных дифференциальных уравнений.

ПР.17. КР. по теме «Дифференциальные уравнения».

ВТОРОЙ КУРС

ТРЕТИЙ СЕМЕСТР

Лекции – 38 час.

Практические занятия – 34 час.

Самостоятельная работа – 72 час.

Контрольные домашние задания – Контрольные работы – Экзамен Лекция.1. Числовые ряды. Сходимость. Необходимое условие сходимости.

Свойства сходящихся рядов.

Лекция 2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными Лекция 3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости.

Признак Лейбница. Оценка остатка ряда.

Лекция 4. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды.

Теорема Абеля. Нахождение интервала сходимости. Ряд Тейлора.

Ряды Маклорена для основных элементарных функций. Разложение функций в степенные ряды. Применение рядов.

Лекция 5. Гармонические колебания. Тригонометрические ряды. Ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Ряд Фурье для четных и нечетных функций, для функции с произвольным периодом.

РАЗДЕЛ 9: УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Лекция 6. Уравнения колебаний струны. Метод Фурье.

Лекция 7. Уравнение теплопроводности. Метод Фурье.

РАЗДЕЛ 10: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА

Лекция 8. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события.

Классическое и статистическое определение вероятности.

Основные формулы комбинаторики.

Лекция 9. Алгебра событий. Теорема сложения и умножения вероятностей.

Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Лекция 10. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формулы Лапласа. Формула Пуассона.

Лекция 11. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины (Д.С.В.) Функция распределения Д.С.В.

Числовые характеристики Д.С.В. Основные законы распределения Д.С.В.: биномиальный и закон Пуассона.

Лекция 12. Закон распределения непрерывной случайной величины (Н.С.В.).

Функция распределения и плотность вероятности. Числовые характеристики Н.С.В. Равномерный и показательный законы распределения.

Лекция 13. Нормальное распределение, его свойства. Моменты. Функция Лапласа, правило 3-х сигм. Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

Лекция 14. Системы случайных величин. Закон распределения системы дискретных случайных величин. Условные законы распределения.

Математические ожидания и дисперсии. Корреляционный момент.

Коэффициенты корреляции. Независимые случайные величины.

Нормальный закон распределения на плоскости. Линейная Лекция 15. Типичные задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма. Оценки параметров распределения генеральной совокупности (метод моментов и наибольшего правдоподобия). Свойства оценок.

Лекция 16. Доверительный интервал для математического ожидания при известной и неизвестной дисперсии нормально распределенной величины. Доверительный интервал для среднего квадратического Лекция 17. Статистическая проверка гипотез. Общая постановка задачи.

Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона.

РАЗДЕЛ 11: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Лекция 18. О численных методах. Виды ошибок. Решение функциональных уравнений методами половинного деления, хорд, касательных, комбинированным методом.

Лекция 19. Решение дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта. Метод наименьших квадратов при обработке экспериментальных данных.

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

В третьем семестре 17 практических занятия по 2 часа каждое ПР.1. Числовые ряды. Исследование сходимости рядов с положительными ПР.2. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница.

ПР.3. Интервал сходимости степенного ряда. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

ПР.4. Применение рядов. Разложение функций в ряд Фурье.

ПР.5. КР по теме «Ряды».

ПР.6. Уравнения математической физики. Метод Фурье решения уравнения колебаний струны и уравнения теплопроводности.

ПР.7. Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Комбинаторные формулы. Непосредственный подсчет вероятностей.

ПР.8. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

ПР.9.Независимые испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формулы Лапласа. Формула Пуассона.

ПР.10. КР по теме «Случайные события».

ПР.11. Закон распределения дискретной случайной величины, функция распределения. Числовые характеристики. Основные законы распределения Д.С.В.

ПР.12. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения, функция распределения, числовые характеристики. Нормальное, равномерное, показательное распределение.

ПР.13. КР по теме «Случайные величины».

ПР.14. Закон распределения вероятностей системы двух дискретных случайных величин. Условные законы распределения. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Независимые случайные ПР.15. Выборка и способы её представления. Построение эмпирических функций распределения и гистограмм. Точечные оценки параметров.

ПР.16.Доверительные интервалы для математического ожидания и для среднего квадратического отклонения. Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона.

ПР.17. Численные методы решения функциональных уравнений. Численное решение дифференциальных уравнений.

5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

В процессе преподавания дисциплины «Математика» используются как классические формы и методы обучения (лекции, практические занятия), так и активные методы обучения (компьютерные задания в процессе выполнения КДЗ, индивидуальные задания на обработку реальной статистики и др.). Применение любой формы обучения предполагает также использование новейших IT-обучающих технологий.

При проведении лекционных занятий по дисциплине «Математика»

преподаватель может использовать аудиовизуальные, компьютерные и мультимедийные средства обучения Университета, а также демонстрационные и наглядно-иллюстрационные (в том числе раздаточные) материалы.

6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ

УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ

ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Текущий контроль успеваемости студентов по дисциплине «Математика» включает проверку выполнения ими регулярных домашних заданий, проведение два раза в семестр рубежного контроля знаний (РКЗ), выдачу и приём индивидуальных домашних заданий (по три в каждом семестре) при условии защиты выполненной работы.

Тематика рубежного контроля знаний (РКЗ) и соответствующих индивидуальных контрольных домашних заданий (КДЗ) При прохождении РКЗ студент, кроме теоретического вопроса, получает задачи, аналогичные представленным в соответствующих КДЗ.

Вопросы к РКЗ № 1. 1. Определители 2-го и 3-го порядка, их свойства и вычисление. Миноры и алгебраические дополнения. Примеры.

2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера и методом 3. Основные операции над матрицами. Обратная матрица: определение, условие существования, метод нахождения. Матричный метод решения 4. Определение вектора. Коллинеарные, равные и компланарные векторы.

Линейные операции над векторами. Базис, координаты вектора.

5. Действия над векторами, заданными в координатах. Условие коллинеарности векторов. Направляющие косинусы вектора.

6. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, выражение через координаты. Условие перпендикулярности векторов.

7. Векторное произведение 2-х векторов: определение, свойства, выражение через координаты. Смешанное произведение 3-х векторов, его геометрический смысл и выражение через координаты.

8. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

9. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору, по трём точкам.

Угол между двумя плоскостями.

10.Канонические уравнения прямой в пространстве. Параметрические уравнения прямой. Уравнения прямой по двум точкам.

11. Кривые второго порядка: определение и канонические уравнения.

Рисунок.

Вопросы к РКЗ № 1. 1. Определение функции. Область определения и область значений. Найти область определения и область значений функции y ln(1 x 2 ).

2. Характеристики поведения функции. Сложная функция. Обратная функция. Найти функцию, обратную к y 1 2 x. Построить её график.

3. Определение последовательности. Определение предела последовательности. Доказать по определению, что lim 4. Определение предела функции при x x0. Доказать по определению, что 5. Определение бесконечно большой и бесконечно малой. Теорема о связи между ними. Сравнение бесконечно малых.

6. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Теорема о замене б.м. на эквивалентные.

7. Определение непрерывности функции в точке. Определение точки разрыва. Классификация точек разрыва.

8. Определение производной. Её геометрический и механический смысл.

Таблица производных. Производная суммы, произведения, частного.

9, Производная сложной и обратной функции. Логарифмическая производная. Дифференциал.

10. Правило Лопиталя вычисления пределов.

11. Признаки монотонности функции. Экстремумы. Необходимый признак.

12. Первый и второй достаточные признаки экстремума.

13. Определение выпуклой и вогнутой кривой. Точка перегиба. Правило нахождения точек перегиба.

14.Определение функции многих переменных. Частные производные.

Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных.

15.Экстремум функции двух переменных.

16. Производная по направлению: определение, геометрический смысл, формула для вычисления.

17. Градиент.

Вопросы к РКЗ № 2. 1. Определение первообразной и неопределённого интеграла. Свойства интеграла. Основная таблица интегралов.

2. Замена переменной и интегрирование по частям. Найдите интеграл, используя замену переменной.

3. Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших.

4. Определённый интеграл, геометрический смысл и свойства.

Формула Ньютона-Лейбница.

5. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом 6. Несобственные интегралы I и II рода.

7. Вычисление площадей в прямоугольных и полярных координатах.

8. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл и свойства. Правило расстановки пределов.

9. Приложения двойного интеграла.

10. Работа при движении точки в силовом поле. Определение криволинейного интеграла, его свойства.

11. Вычисление криволинейного интеграла. Теорема Грина.

Приложения криволинейного интеграла.

12. Условие независимости криволинейного интеграла от линии интегрирования.

13. Определение мнимой единицы. Определение комплексного числа.

Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и 14.Три формы записи комплексных чисел. Формула Эйлера.

15. Действия над комплексными числами.

16. Определение функции комплексного переменного. Показательная, тригонометрические и гиперболические функции.

17. Определение производной. Условия Коши-Римана.

Вопросы к РКЗ № 2. 1. Определение дифференциального уравнения, порядок дифференциального уравнения. Какая функция называется решением? Доказать, что y 1 x является решением д. у. yy x 0. Дать понятие общего и частного решений.

2. Что называется д. у. первого порядка? Частное и общее решения д. у.

первого порядка. Задача Коши, её геометрический смысл. График общего и частного решений. Найти и нарисовать интегральную кривую уравнения y 2 y, проходящую через точку M (0, 1).

3. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные. Методы их решения.

4. Что называется д. у. второго порядка? Вид его общего решения. Задача Коши для уравнения второго порядка. Дано: y 3. Найти общее решение.

5. Решение уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка:

6. Линейное уравнение второго порядка, однородное и неоднородное.

Структура общего решения ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка.

7. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Вывод характеристического уравнения. Решения д. у. в случае равных, разных и комплексных корней характеристического уравнения.

коэффициентами и правой частью 9. Системы дифференциальных уравнений. Нормальные уравнения. Общее решение. Задача Коши. Метод исключения.

Вопросы к РКЗ № 3. 1. Числовые ряды. Определение сходимости. При каком условии сходится ряд геометрической прогрессии?

2. Как читается необходимый признак сходимости? Что такое гармонический ряд? Выполняется ли для него необходимый признак?

3. Перечислить достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Примеры.

4. Что такое знакочередующиеся ряды? Признак Лейбница.

5. Знакопеременные ряды. Что такое абсолютная и условная сходимость?

6.Приведите пример, когда знакочередующийся ряд расходится, несмотря на то, что его общий член стремится к нулю.

его первых n членов. В частности оцените точность такого приближения при n=10.

8.Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

9. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложите функцию sin3x в ряд Маклорена.

11. Тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле.

Вопросы к РКЗ № 3. 1. Определение случайного события. Классическое и статистическое определение вероятности.

2. Сумма и произведение случайных событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

3. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формулы 4. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формула Лапласа.

5. Формула Пуассона и условия её применения.

6. Определение дискретной случайной величины. Закон её распределения. Функция распределения.

7. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. Их числовые характеристики.

8. Определение непрерывной случайной величины. Функция распределения и плотность распределения. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

9. Равномерное, показательное и нормальное распределение. Числовые характеристики.

10. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Законы распределения составляющих. Зависимость и независимость составляющих.

11. Числовые характеристики двумерной дискретной случайной величины. Ковариация и коэффициент корреляции. Коррелированные и зависимые величины 12. Статистический закон распределения случайной величины.

Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон.

13. Числовые характеристики статистического распределения. Метод моментов точечной оценки параметров распределения.

14. Интервальная оценка параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины, распределённой по нормальному закону 15. Статистическая гипотеза. Статистический критерий. Проверка гипотезы о виде закона распределения по критерию Пирсона.

16. Задано совместное распределение двух случайных величин Х и Y:

а) найдите вероятность события Х > Y;

б) найдите распределение компонент Х и Y и условный закон распределения случайной величины Х при условии, что Y = 0;

в) найдите корреляционный момент и коэффициент корреляции.

КДЗ № 1. Даны матрицы A, B, C, D. 1) Найти матрицы 2A-B, AB, AC, DC.

Дана система линейных уравнений. Решить её тремя способами:

1) методом Крамера; 2) методом Гаусса; 3) матричным методом.

Даны координаты точек: A, B, C, D.

Найти: 1) длину вектора AB, 5) уравнение плоскости, проходящей через точку C перпендикулярно вектору AB, Найти радиус и координаты центра окружности, заданной уравнением:

КДЗ № 1. 1. Найти пределы функций:

2. Найти точки разрыва функции y arctg, определить вид разрыва и изобразить график функции в окрестности этих точек.

КДЗ № 1. 1.Исследовать функции и построить графики: а) y 2. Найти область определения функции z 1 x 2 y Найти градиент функции z arctg в точке А(1,1) и производную по направлению a 3i 4 j.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции КДЗ № 2. 7) x cos x dx ; КДЗ № 2. 1. Дано комплексное число z =. Требуется а) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

б) найти все значения 3 z и изобразить их радиусами-векторами;

в) найти z 3, ответ записать в тригонометрической, алгебраической и показательной формах.

2.Решить квадратное уравнение z 2 pz q 0 и представить его решения в тригонометрической и показательной форме.

3. Вычислить определённые интегралы:

4. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

5. Найти площадь области, ограниченной данными кривыми:

6. Вычислить длину дуги кривой КДЗ № 2. 3.. Найти общее решение уравнения:

4. Найти общее решение уравнения (без нахождения неопределенных коэффициентов).

5. Решить задачу Коши.

КДЗ № 3. 1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.

2. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать, абсолютно или условно.

3. Найти область сходимости степенного ряда.

4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.

5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y(0) a.

7. Разложить функцию f (x) в указанном интервале в неполный ряд Фурье по косинусам кратных дуг. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье.

КДЗ № 3. 1. Из десяти лотерейных билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов два окажутся выигрышными.

2. Три стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу.

Вероятность попадания в мишень для первого, второго и третьего стрелка соответственно равна 0,6; 0,7 и 0,8. Определить вероятность того, что первый и второй стрелки попали, а третий промахнулся.

3. В мастерской имеется 12 моторов. Вероятность того, что мотор работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что не менее моторов работает с полной нагрузкой.

4. Школа принимает в первые классы 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется не менее 100 девочек, если среди поступивших в школы мальчики составляют в среднем 48%.

5. Трос состоит из 200 отдельных стальных жил (проволок). Вероятность того, что одна жила не удовлетворяет техническим условиям, равна 0,015.

Трос относят ко второму сорту, если в нём более четырех дефектных жил.

Определить вероятность того, что трос второго сорта.

6. По каналу связи передаются последовательно два сообщения, каждое из которых может быть искажено. Вероятности искажения первого и второго сообщения равны 0,2 и 0,1. Дискретная случайная величина – число правильно переданных сообщений. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения F(x). Построить график F(x).

7. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:

Определить параметры a и b, найти выражение для плотности вероятности f (x), математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [1, 4].

Построить графики F(x) и f (x).

8. Случайная величина подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 10. Какова дисперсия этой случайной величины, если с вероятностью 0,8 отклонение от математического ожидания по модулю не превышает 0,2?

КДЗ № 3. 1. Данные наблюдений случайной величины X представлены в виде интервального статистического ряда. Первая строка таблицы – интервалы наблюдавшихся значений с. в. X, вторая – соответствующие им частоты.

Требуется:

(1) Найти эмпирическую функцию распределения и построить её график;

(2) Построить гистограмму и полигон относительных частот;

(3) Найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение;

(4) Предполагая, что исследуемая с. в. X распределена по нормальному закону, найти параметры нормального закона, записать плотность с. в. X и построить её график на одном чертеже с гистограммой (график выравнивающей кривой);

(5) Найти теоретические частоты нормального закона распределения и при уровне значимости = 0,05 проверить по критерию Пирсона гипотезу о нормальном распределении с. в. X;

(6) Найти с надёжностью (доверительной вероятностью) = 0, интервальную оценку параметра a = M[X] случайной величины X.

Интервалы (10; 20) (20; 30) (30; 40) (40; 50) (50; 60) (60; 70) (70; 80) (80; 90) 2. Вычислить интеграл:

а) по формуле трапеций при n = 10, б) по формуле Симпсона при n = 6.

Образцы экзаменационных билетов по высшей математике 1) Определение функции. Область определения и область значений.

2) Признак монотонности функции.

3) Векторное произведение, его свойства, выражение в координатах (вывод).

3а) Найти скалярное и векторное произведения векторов a (2, 1, 1) ;

b (1, 2, 3).

4) Угол между двумя плоскостями.

1. Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольных и полярных координатах.

1а) Найти площадь области, ограниченной линиями y 2 x 2, y x.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент.

Главное значение аргумента.

2а) Найти модуль и главное значение аргумента числа z e 2i.

3. Определение дифференциального уравнения. Порядок уравнения. Какая функция называется решением? Понятие общего и частного решения.

1а) Доказать, что функция y=sin2x является решением уравнения 4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка однородные и неоднородные. Структура общего решения ЛОДУ второго порядка.

4а) Найти общие решения уравнений:

1. Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимости. Условная сходимость. Примеры абсолютно и условно сходящихся рядов.

1а) Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд 2. Определение дифференциальной функции распределения. Её свойства.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

2а) Вероятность того, что самолёт в полёте встретится с грозой, равна 0,02. Найти вероятность того, что в 100 полетах самолёт встретится с грозой ровно 3 раза.

3. Интервальная оценка параметра распределения. Доверительный интервал, доверительная вероятность, точность оценки.

3а) Вычислить с надёжностью 0,95 интервальную оценку математического ожидания нормального распределения, если по выборке объёма 16 вычислена выборочная средняя=20 и исправленное среднее квадратическое отклонение =0,8.

Самостоятельная работа студентов по дисциплине «Высшая математика»

способствует более глубокому усвоению изучаемого курса, формирует навыки исследовательской работы по проблемам естественнонаучных и инженерных дисциплин, ориентирует студента на умение применять полученные теоретические знания на практике и проводится в следующих видах:

Проработка лекционного материала, Подготовка к практическим занятиям, Подготовка к аудиторным контрольным работам, Подготовка к РКЗ, Подготовка к КДЗ, Выполнение индивидуальных КДЗ, Подготовка к защите КДЗ, Подготовка к экзамену.

7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

а) основная литература:

1. Письменный Д.Г. Конспект лекций по высшей математике.

М.:Айриспресс,2007г.

2. Бугров Я.С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения.

Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.- М.:

Наука,2010г.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

М.:В.ш.,2011г.

4. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике.

М.: В.ш.,2006г.

5. Ракитин Р.И. Руководство по методам вычислений и приложения MATHCAD.-М.: В.ш.,2005г.

б) учебно-методическая литература 6.Жукова Е.А., Жулёва Л.Д. Математика. Пособие по изучению дисциплины ч. I,II. М. РИО МГТУГА 2010.

7. Самохин А.В. и др. Сб. задач по высшей математике ч.II Пределы, производные, графики. М: РИО МГТУГА, 2003 г.

8. Самохин А.В. и др. Сб. задач по высшей математике ч. IV Интегралы.

Дифференциальные уравнения. М.: РИО МГТУГА 10. Самохин А.В. и др. Сб. задач по высшей математике ч.V Теория вероятностей. М.: РИО МГТУГА 2003 г.

11. Кислов К.К. Тестовые вопросы по высшей математике. М.: РИО МГТУГА 2008 г.

12. Любимов В.М. и др. Математика. Ряды. М.: РИО МГТУГА 2007 г.

13. Шипачев В.С. Задачи по высшей математике. М.: В.ш.,2011г.

14. Самохин А. В. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебное пособие – М.: МГТУГА, 2003.

в) дополнительная литература 15. Бугров Я.С. Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М: Наука 16. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М: Высшая школа 17. Данко П.Е. и др. Высшая математика в уравнениях и задачах М:

Высшая математика 2005.

19. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике М.

(любой год издания)

8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ДИСЦИПЛИНЫ

- Лекционные аудитории, оснащенные компьютером.

9. СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Компьютерные программы Maple, MathCad и др.