МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Новокузнецкий институт (филиал)

Факультет информационных технологий

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

(ОПД.Ф.08) Методы оптимизации

для специальности 010501.65 Прикладная математика и информатика

специализаций 010211 «Системное программирование», 010202 «Математическое моделирование»

Новокузнецк 2013 1 Сведения о разработке и утверждении рабочей программы дисциплины Рабочая программа дисциплины (ОПД.Ф.08) Методы оптимизации федерального компонента цикла ОПД составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования второго поколения по специальности 010200 – Прикладная математика и информатика, утвержденному 23 марта 2000 г., номер государственной регистрации 199 ЕН / СП для специализаций «Системное программирование» и «Математическое моделирование»

Автор к.т.н., Грачев В.В.

Рецензент (ы)

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Место и роль курса в системе дисциплин Дисциплина «Методы оптимизации» является одной из важных дисциплин основной образовательной программы (ООП) и необходима для подготовки специалистов, обучающихся по направлению 010500 Прикладная математика и информатика.

Курс «Методы оптимизации» входит в федеральный компонент раздела общепрофессиональных дисциплин учебного плана (ОПД.Ф.08).

Дисциплина «Методы оптимизации» направлена на формирование профессиональных качеств будущих выпускников, позволяющих осуществлять профессиональную деятельность, связанную с использованием математических моделей и методов и реализующих их программных средств, в практических приложениях, в том числе, деятельность, связанную с применением современных методов оптимизации в различных предметных областях.

Выписка из ГОС ВПО Программа составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования (ГОС ВПО) по специальности Прикладная математика и информатика. Выписка из ГОС ВПО:

ОПД.Ф.08 Методы оптимизации Элементы выпуклого анализа;

численные методы математического программирования; оптимальное управление; вариационное исчисление.

Цели изучения дисциплины Целью изучения дисциплины является освоение студентами методологии и технологии применения методов оптимизации в различных предметных областях с использованием современных средств вычислительной техники.

Задачи курса Задачами дисциплины являются:

дать основные понятия теории оптимизации и технологии решения оптимизационных задач;

дать теоретические знания по методам оптимизации статических и динамических объектов;

обучить навыкам решения оптимизационных задач на основе аналитических и численных методов;

дать представление о практических приложениях методов оптимизации в решении инженерных и экономических задач;

познакомить с методикой практической реализации методов оптимизации с использованием персональных компьютеров, универсальных и специализированных программных средств.

Структура курса Теоретические занятия проводятся в форме лекций. Практические занятия проводятся в компьютерном классе путем выполнения индивидуальных заданий по курсу с использованием табличного процессора Microsoft Excel (или OpenOffice Calc), математической системы MathCad, а также одной из систем программирования.

Внеаудиторная самостоятельная работа студентов включает в себя освоение теоретического материала, изучение основной и дополнительной литературы по курсу, изучение публикаций в периодической печати и ресурсах сети Internet, самостоятельную работу на компьютере при выполнении практических заданий.

Текущий контроль – защита практических работ с демонстрацией на компьютере.

Особенности освоения дисциплины Дисциплина читается на четвертом курсе обучения студентов по специальности 010501 Прикладная математика и информатика, в восьмом семестре.

Для успешного освоения курса студенты должны иметь базовые знания по дисциплинам: «Математический анализ» (ЕН.Ф.01.1), «Алгебра и геометрия» (ЕН.Ф.01.2), «Информатика» (ЕН.Ф.02), «Численные методы»

(ОПД.Ф.09).

В результате освоения перечисленных дисциплин студент должен знать базовые, фундаментальные понятия теории множеств, алгебры, геометрии, теории функций одной переменной и многих переменных, основные понятия и теоремы математического анализа, приложения дифференциального исчисления и интегрального исчисления, теорию рядов, основы теории дифференциальных уравнений, основы численных методов; владеть методиками дифференцирования и интегрирования функций, элементарными методами решения экстремальных задач, современными методами программирования, численными методами, а также, их программной реализацией, методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений различных типов.

Объем часов по видам занятий и формам обучения Требования к уровню усвоения программы дисциплины В результате изучения курса студенты должны:

знать классификацию и сущность современных методов оптимизации;

типы оптимизационных задач;

уметь пользоваться точными или приближенными методами одномерной и многомерной оптимизации (условной и безусловной); решать оптимизационные задачи с ограничениями;

владеть методикой практической реализации поисковых алгоритмов оптимизации с использованием готовых программных пакетов и в приложениях собственной разработки.

1 УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

1.1 Учебно-тематический план рабочей программы по формам обучения Текущий контроль – проверка аудиторных практических работ; проверка самостоятельных работ (проверка письменных ответов на теоретические вопросы по темам 2-6, 8, проверка и защита рефератов по темам 1 и 7); проверка отчетов по самостоятельным работам №1-№4.

Итоговый контроль – экзамен в 8 семестре.

2 СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

2.1 Содержание лекционного курса определения. Элементы выпуклого анализа Задачи оптимизации. Цель и критерии оптимизации. Виды критериев и их свойства. Оптимальное решение. Поверхность отклика. Допустимая область. Анализ области экстремума. Выпуклые модели оптимизации.

Процесс нахождения оптимального решения. Начальное приближение.

Методы оценки точности решения. Этапы решения задач оптимизации.

Классификация методов оптимизации. Типовые постановки задач, их геометрическая интерпретация и методы решения.

Тема 2. Методы решения задач безусловной одномерной оптимизации Постановка задачи и ее анализ. Необходимые и достаточные условия экстремума. Классификация численных методов. Поисковые методы одномерной оптимизации. Реализация этапа установки границ интервала.

Численные методы: сканирования, локализации оптимума, половинного деления, золотого сечения, Фибоначчи, обратного переменного шага, квадратичной аппроксимации, Пауэлла. Одномерные методы оптимизации с использованием производных: Ньютона, средней точки, кубической аппроксимации. Сравнение характеристик одномерных методов оптимизации.

Тема 3. Методы безусловной многомерной оптимизации.

Постановка задачи и ее анализ. Необходимые и достаточные условия экстремума. Классификация численных методов. Поисковые методы многомерной оптимизации: сканирования, локализации оптимума, поочередного изменения переменных, Гаусса-Зейделя, Хука и Дживса, Розенброка, симплекс-метод, Нелдера-Мида. Многомерные методы оптимизации с использованием производных: градиентный, наискорейшего спуска (крутого восхождения), сопряженных направлений, Ньютона. Методы случайного поиска: ненаправленный случайный поиск, метод случайных направлений. Методы получения случайных точек и векторов.

Сравнительный анализ многомерных методов оптимизации.

Тема 4. Постановка задачи статической условной оптимизации.

Численные методы математического программирования.

Постановка и особенности задач условной оптимизации.

Классификация и постановки задач математического программирования.

Примеры задач математического программирования. Классификация и характеристика методов решения.

Тема 5. Линейное программирование Линейное программирование. Геометрическая интерпретация и графический метод решения. Каноническая форма задачи. Методы решения задач линейного программирования. Теоретическая основа симплекс-метода и алгоритм его реализации. Постановка и решение двойственной задачи линейного программирования. Специальные задачи линейного программирования. Целочисленная задача линейного программирования.

Постановка и методы решения транспортной задачи.

Тема 6. Нелинейное программирование.

Постановка и геометрическая интерпретация задачи. Классические методы решения с ограничениями типа равенств, метод множителей Лагранжа. Задача выпуклого программирования, необходимые и достаточные условия экстремума, теорема Куна-Таккера. Постановка и методы решения задачи квадратичного программирования. Поисковые методы решения задач нелинейного программирования: линейной аппроксимации, "скользящего" допуска, возможных направлений, штрафных и барьерных функций.

Тема 7. Оптимальное управление. Вариационное исчисление.

Характеристика динамических управляемых систем. Фазовое пространство и фазовая траектория, пространство управления. Цель и критерии управления. Классификация методов. Принцип максимума Понтрягина. Теоретическая основа метода. Схема и алгоритмы решения задач на основе принципа максимума. Прямые методы решения задач динамической оптимизации. Редукция задачи оптимального управления к задаче нелинейного программирования. Оптимизация дискретных систем.

Динамическое программирование. Общая постановка задачи, геометрическая и экономическая интерпретация. Принцип оптимальности. Схема и алгоритмы решения задач с использованием динамического программирования.

Тема 8. Практические приложения методов оптимизации Классификация задач и объектов. Задачи оптимизации при идентификации объектов и планировании эксперимента. Техникоэкономические задачи. Оптимальное проектирование, планирование и анализ функционирования объекта. Задачи о рациональной загрузке оборудования, раскрое материалов, составлении расписаний.

2.2 Содержание практических занятий Перечень практических работ Тема 1. Введение в оптимизацию. Основные понятия и определения. Элементы выпуклого 1. Графический и аналитический анализ функций одной переменной.

Тема 2. Методы решения задач безусловной одномерной оптимизации.

2. Реализация методов одномерной оптимизации:

половинного деления, золотого сечения и Фибоначчи на ПК с использованием табличного процессора Excel и математической системы MathCAD.

Тема 3. Методы безусловной многомерной оптимизации.

3. Графический анализ на экстремумы функций нескольких переменных на ПК с отображением в виде линий уровня и построением поверхностей.

4. Реализация методов многомерной оптимизации:

Гаусса-Зейделя, симплекс- метода и метода крутого восхождения на ПК с использованием табличного процессора и MathCAD.

Тема 4. Постановка задачи статической условной оптимизации. Численные методы математического программирования.

5. Решение оптимизационных задач c использованием надстройки Excel “Поиск решения” и встроенных функций MathCAD.

Тема 5. Линейное программирование.

6. Решение прямой и двойственной задач линейного программирования с использованием встроенных функций MathCAD.

7. Решение транспортной задачи линейного программирования.

Тема 6. Нелинейное программирование.

8. Решение задач нелинейного программирования с 4 [3] использованием надстройки Excel “Поиск решения” и встроенных функций MathCAD.

Итого Для выполнения практических заданий студентам следует воспользоваться следующими методическими указаниями:

1. Шипилов С.А. Методы безусловной одномерной оптимизации [Текст]: Рекомендации к выполнению лабораторных и практических работ по дисциплине "Методы оптимизации". – Новокузнецк: Издательский центр НФИ КемГУ, 2001.- 24 с.

2. Шипилов С.А. Методы безусловной многомерной оптимизации [Текст]: Рекомендации к выполнению лабораторных, практических и курсовых работ по дисциплине "Методы оптимизации". – Новокузнецк:

Издательский центр НФИ КемГУ, 2000.- 31 с.

3. Шипилов С.А. Методы условной оптимизации [Текст]:

Рекомендации к выполнению лабораторных и практических работ по дисциплине "Методы оптимизации".– Новокузнецк: Издательский центр НФИ КемГУ, 2002.- 48 с.

Все практические работы выполняются в компьютерных классах с использованием программных средств Microsoft Excel, OpenOffice Calc и MathCad.

3 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Основная и дополнительная литература Основная:

1. Галеев Э.М. Оптимизация: Теория. Примеры. Задачи [Текст]: учебное пособие. - Москва: URSS, 2012. - 336 с. - Гриф НМС "Рекомендовано".

2. Измайлов А.Ф. Численные методы оптимизации [Текст]: учебное пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 304 с. - Гриф УМС "Рекомендовано".

3. http://e.lanbook.com/view/book/2330/ Сухарев, А.Г.; Тимохов, А.В.; Федоров, В.В Курс методов оптимизации [Электронный ресурс]: Учебное пособие / А. Г. Сухарев, А.В. Тимохов, В.В. Федоров; 2-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. – 384 с.

Дополнительная:

1. Аттетков А.В. Методы оптимизации [Текст]: учебник для ВТУЗов. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 440 с. - (Математика в техническом университете; Вып. XIV). - Гриф МО "Допущено".

2. Бирюков С.И. Оптимизация: Элементы теории. Численные методы [Текст]: учебное пособие. - М.: МЗ-Пресс, 2003. - 248 с. Естественные науки: Математика).

3. Шипилов С.А. Методы безусловной одномерной оптимизации [Текст]:

Рекомендации к выполнению лабораторных и практических работ по дисциплине "Методы оптимизации". – Новокузнецк: Издательский центр НФИ КемГУ, 2001.- 24 с.

4. Шипилов С.А. Методы безусловной многомерной оптимизации [Текст]: Рекомендации к выполнению лабораторных, практических и курсовых работ по дисциплине "Методы оптимизации". – Новокузнецк: Издательский центр НФИ КемГУ, 2000.- 31 с.

5. Шипилов С.А. Методы условной оптимизации [Текст]: Рекомендации к выполнению лабораторных и практических работ по дисциплине "Методы оптимизации".– Новокузнецк: Издательский центр НФИ КемГУ, 2002.- 48 с.

6. Андреева Е.А. Вариационное исчисление и методы оптимизации [Текст]: учебное пособие. - М.: Высшая школа, 2006. - 584 с. - Гриф УМО "Рекомендовано".

7. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах [Текст]: учебное пособие. - М.: Высшая школа, 2006. - 272 с. Прикладная математика для ВТУЗов). - Гриф УМО "Рекомендовано".

Электронные ресурсы:

1. http://e.lanbook.com/view/book/1552/ Лесин, В.В.; Лисовец, Ю.П. Основы методов оптимизации [Электронный ресурс]: Учебное пособие / В.В. Лесин, Ю.П. Лисовец; 3-е изд., испр. – СПб.:

Издательство «Лань», 2011. – 352 с.: ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература).

4 ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО, РУБЕЖНОГО

КОНТРОЛЯ

4.1 Формы и порядок проведения контроля. Критерии оценки знаний студентов Контроль знаний студентов проводится по следующей схеме:

- текущий контроль знаний и умений в течение семестра;

- аттестация по итогам семестра в форме экзамена.

Материалы, определяющие порядок и содержание текущего контроля включают:

- фонд заданий для самостоятельного освоения курса;

- методические указания к выполнению лабораторных работ и заданий, отведенных на самостоятельное выполнение.

Материалы, определяющие порядок и содержание итоговой аттестации по дисциплине включают вопросы на экзамен по темам дисциплины.

Формы текущего, промежуточного и итогового контроля Форма итогового контроля Сдача экзамена в конце семестра При итоговом контроле (экзамен) знания студентов оцениваются на «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно»:

«отлично» – выставляется студенту, показавшему всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины;

«хорошо» – выставляется студенту, показавшему полные знания учебной программы дисциплины, но допустившему в ответе некоторые неточности;

«удовлетворительно» – выставляется студенту, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, но при этом владеющему основными разделами учебной программы, необходимыми для дальнейшего обучения;

«неудовлетворительно» – выставляется студенту, ответ которого содержит существенные пробелы в знании основного содержания учебной программы дисциплины.

4.2 График организации самостоятельной работы студентов по формам обучения Пояснения по освоению курса Программа курса рассчитана на общее количество часов – 102.

Основные темы курса с указанием часов, отведенных на их теоретическое изучение и практическое освоение, приведено по формам обучения в учебнотематическом плане.

Курс включает в себя изучение теоретического материала, которое осуществляется как на лекционных занятиях, так и самостоятельно – с использованием учебной литературы и источников в сети Internet. Основные разделы курса с указанием количества часов, отведенных на аудиторную и самостоятельную работу студентов, приведены в учебно-тематическом плане рабочей программы.

Для успешного освоения теоретических знаний студент должен посещать лекции, конспектировать основные положения, дополнять их содержание, используя основную и дополнительную литературу, задавать вопросы и участвовать в дискуссии.

Отработка и закрепление практических навыков применения методов оптимизации выполняются на практических занятиях, которые проводятся в компьютерном классе. Содержание практических работ приведено в разделе «Содержание практических занятий» учебной программы. Практические работы выполняются с использованием табличного процессора MS Excel (или OpenOffice Calc), системы компьютерной математики Mathcad.

Освоение курса предусматривает, также, самостоятельную работу студентов. Содержание заданий, предназначенных для самостоятельного выполнения, приведено в разделе «Вопросы и задания для самостоятельной работы» учебной программы. В процессе выполнения этих заданий необходимо использовать основную и дополнительную литературу, ресурсы сети Internet, выбранные программные средства (среду или систему программирования, математические пакеты). Самостоятельная работа и контроль ее выполнения осуществляются по графику организации самостоятельной работы студентов, который приведен в соответствующем разделе рабочей программы.

Индивидуальная работа студентов с преподавателем проводится в форме консультаций по темам лекционного курса, практических работ и заданий для самостоятельного выполнения, а также в форме собеседования при защите выполненных практических заданий.

Графики организации и контроля за самостоятельной работой студента по освоению курса приведены в таблицах по каждой форме обучения.

Формы аудиторных учебных занятий (час.) Виды самостоятельной учебной работы (час.) оптимизацию. Основные Элементы выпуклого 3. Методы безусловной 4. Постановка задачи статической условной методы математического программирования программирование программирование 4.3 Вопросы и задания для самостоятельной работы Изучение теоретического материала Письменно ответить на следующие вопросы.

Тема 2. Методы решения задач безусловной одномерной оптимизации.

1. Сравнить эффективность различных методов одномерной безусловной оптимизации, основанных на сужении отрезка унимодальности.

2. Сравнить эффективность методов пассивного и последовательного Тема 3. Методы безусловной многомерной оптимизации.

1. Сформулировать общую задачу квадратичного программирования и описать методы ее решения.

2. Сравнить эффективность различных градиентных методов многомерной безусловной оптимизации.

Тема 4. Постановка задачи статической условной оптимизации.

Численные методы математического программирования.

1. Привести примеры практических задач, являющихся задачами математического программирования.

2. Выполнить сравнительный анализ готовых программных средств решения задач математического программирования.

Тема 5. Линейное программирование.

1. Привести примеры многокритериальных задач линейного программирования и описать методы их решения.

2. Описать алгоритм, лежащий в основе симплексного метода решения задач линейного программирования.

Тема 6. Нелинейное программирование.

1. Привести примеры практических задач, являющихся задачами нелинейного программирования.

2. Выполнить сравнительный анализ эффективности различных методов решения задач нелинейного программирования.

Тема 8. Практические приложения методов оптимизации.

1. Привести примеры практических задач динамического программирования и описать методы их решения.

2. Описать практические приложения методов оптимизации в различных областях экономики.

Подготовить реферат по перечисленным ниже вопросам следующих тем:

Тема 1. Введение в оптимизацию. Основные понятия и определения.

Элементы выпуклого анализа.

1. Некоторые «классические» задачи оптимизации (экстремальные задачи геометрического, физического содержания, известные в древности, или, по крайней мере, достаточно «старые»).

2. Общая классификация задач оптимизации.

3. Классификация методов решения экстремальных задач различных 4. Математики, внесшие значительный вклад в теорию и практику методов оптимизации.

Тема 7. Оптимальное управление. Вариационное исчисление.

1. «Классические» задачи вариационного исчисления и развитие методов их решения.

2. Достаточные условия локального экстремума функционала.

3. Вариационные принципы механики и их практическое применение.

4. Практические примеры задач оптимального управления из различных областей.

5. Принцип максимума Понтрягина в общей задаче оптимального управления. Необходимые и достаточные условия оптимальности управления.

Решение практических задач Задание 1. (Тема 2. Методы решения задач безусловной одномерной оптимизации) Для выбранной на практическом занятии функции решить задачу одномерной безусловной оптимизации, реализовав программным способом методы половинного деления, «золотого сечения», Фибоначчи.

Выполнить задание, используя любую среду программирования, а также литературу [1], [3] (из списка дополнительной литературы).

Задание 2. (Тема 3. Методы безусловной многомерной оптимизации) Для выбранной на практическом занятии функции решить задачу многомерной безусловной оптимизации, реализовав программным способом методы Гаусса-Зейделя, Хука-Дживса, крутого восхождения, а также симплекс-метод (с использованием регулярного симплекса и метод НелдераМида). В программе предусмотреть возможность построения траектории поиска).

Выполнить задание, используя любую среду программирования и литературу [1], [4] (из списка дополнительной литературы).

Задание 3. (Тема 5. Линейное программирование) программирования) симплекс-метод решения задачи линейного программирования, рассмотренной на практическом занятии.

Использовать литературу [5] (из списка дополнительной литературы).

Задание 4. (Тема 8. Практические приложения методов оптимизации) Разработать генетический алгоритм (ГА) решения задачи многомерной безусловной оптимизации, используя типовую схему ГА. Написать программу, реализующую построенный алгоритм, самостоятельно выбрав среду программирования. Проверить работоспособность и эффективность программной реализации ГА на примере задач оптимизации нескольких тестовых мультимодальных функций (например, функций Растригина, Розенброка, Пауэлла, Химмельблау). Решить, используя написанную программу, задачу многомерной безусловной оптимизации;

соответствующие функций взять из практических заданий №3 и №4.

Результаты выполнения заданий оформить в виде отчета.

4.4 Примерный перечень вопросов к экзамену Тема 1. Введение в оптимизацию. Основные понятия и определения.

Элементы выпуклого анализа.

1. Общая постановка задачи оптимизации. Классификация задач оптимизации.

2. Общая классификация методов скалярной оптимизации.

3. Основные этапы решения задач оптимизации.

Тема 2. Методы решения задач безусловной одномерной оптимизации.

4. Необходимые и достаточные условия экстремума функции одной переменной.

5. Классификация численных методов одномерной оптимизации. Методы сканирования и локализации оптимума.

6. Общая схема сужения промежутка унимодальности для одномерной функции. Методы половинного деления, золотого сечения и Фибоначчи.

7. Методы точечного оценивания экстремума одномерной функции. Метод обратного переменного шага, квадратичной аппроксимации, Пауэлла.

Тема 3. Методы безусловной многомерной оптимизации.

8. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.

9. Классификация численных методов многомерной оптимизации. Методы сканирования и локализации оптимума.

10. Методы покоординатного поиска экстремума функции нескольких переменных.

11. Метод Хука и Дживса.

12. Симплекс- метод поиска экстремума функции нескольких переменных.

13. Метод деформируемых многогранников Нельдера- Мида.

14. Обычные градиентные методы.

15. Методы наискорейшего спуска (крутого восхождения).

16. Методы случайного поиска экстремума.

17. Сравнительный анализ численных методов многомерной оптимизации.

Тема 4. Постановка задачи статической условной оптимизации.

Численные методы математического программирования.

18. Постановка задачи условной оптимизации. Классификация задач с ограничениями.

19. Классификация и сравнение методов статической условной оптимизации.

Тема 5. Линейное программирование.

20. Постановка и методы решения задачи линейного программирования. Ее геометрическая и экономическая интерпретации.

21. Каноническая форма задачи линейного программирования. Симплексный метод ее решения.

22. Понятие двойственной задачи линейного программирования. Постановка и экономическая интерпретация.

23. Транспортная задача линейного программирования. Постановка и методы решения.

Тема 6. Нелинейное программирование.

24. Постановка задачи нелинейного программирования. Классические методы ее решения для системы ограничений в виде равенств.

25. Понятие задачи выпуклого программирования. Необходимые и достаточные условия экстремума.

26. Постановка и методы решения задачи квадратичного программирования.

27. Поисковые методы решения задачи нелинейного программирования.

Метод штрафных функций.

Тема 7. Оптимальное управление. Вариационное исчисление.

28. Общая постановка, геометрическая и экономическая интерпретации, принципы решения задачи динамического программирования.

29. Постановка задачи оптимального управления. Примеры задач оптимального управления.

30. Принцип максимума Понтрягина, необходимые и достаточные условия оптимальности управления.

31. Общая постановка задачи вариационного исчисления. Примеры вариационных задач.

32. Необходимое условие экстремума функционала.

Тема 8. Практические приложения методов оптимизации.

33. Классификация задач и объектов. Задачи оптимизации при идентификации объектов и планировании эксперимента.

34. Технико-экономические задачи. Оптимальное проектирование, планирование и анализ функционирования объекта.

35. Задачи о рациональной загрузке оборудования, раскрое материалов, составлении расписаний.