МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет механико-математический

Кафедра математического моделирования в механике

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе В.П. Гарькин «_»_2011 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Математическое моделирование (цикл «общие математические и естественнонаучные дисциплины»; раздел «Дисциплины по выбору»; основная образовательная программа специальности 010901.65 Механика) Самара Рабочая программа составлена на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления 010901 Механика, утвержденного 15.03.2000 г.

Составитель рабочей программы:

Степанова Л.В., доцент кафедры математического моделирования в механике, д. ф.-м. н.

Рецензент:

Астафьев В.И., профессор кафедры безопасности информационных систем, д.ф.-м.н.

Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математического моделирования в механике (протокол № от «»2011 г.) Заведующий кафедрой «»2011 г. _Н.И.Клюев_

СОГЛАСОВАНО

Председатель методической комиссии факультета «» 2011 г. _ Е.Я.Горелова

СОГЛАСОВАНО

Декан факультета «» 2011 г. _ _С.Я. Новиков_

СОГЛАСОВАНО

Начальник методического отдела «» 2011 г. _ _Н.В.Соловова 1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины.

1.1.Цели и задачи изучения дисциплины.

Цель дисциплины – воспитание умения математически исследовать явления реального мира, изучение основных понятий, приемов и методов математического моделирования явлений и процессов различной природы.

Задачи дисциплины:

ознакомить студентов с важнейшими понятиями математического моделирования и применением основных методов и приемов математического моделирования для исследования явлений различной природы (для исследования механических и физических явлений, для решения биологических, химических, экономических задач);

рассмотреть базовые понятия математического моделирования;

продемонстрировать основные методы и приемы решения задач.

1.2. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля).

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен:

Иметь представление:

о современном состоянии и основных методах математического моделирования;

об основных понятиях и принципах математического моделирования;

об основных математических моделях физических, биологических, химических, экономических и социальных явлений.

базовую терминологию, относящуюся к математическому моделированию;

основные принципы построения математических моделей;

содержание специализированной литературы, посвященной математическому моделированию;

основные методы исследования математических моделей;

основные математические модели механики, физики, биологии, химии и строить математические модели физических явлений на основе фундаментальных законов природы, вариационных принципов;

анализировать полученные результаты;

строить иерархическую цепочку математических моделей;

применять основные приемы математического моделирования при исследовании задач различной природы;

проанализировать полученные результаты.

Быть способным:

дать классификацию основных математических моделей (непрерывные и дискретные модели, детерминированные и вероятностные модели, жесткие и мягкие модели);

привести примеры математических моделей явлений и процессов различной применить основные методы исследования математических моделей;

показать в "работе" приемы математического моделирования;

решать задачи курса на профессиональном уровне, включая разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования;

самостоятельно математически корректно ставить инженерно-физические задачи;

реализовать математические модели средствами вычислительной техники;

использовать современные достижения науки и передовой технологии в научноисследовательских работах.

1.3. Место дисциплины в структуре ООП.

Дисциплина «Математическое моделирование» входит в цикл профессиональных дисциплин в вариативной части. Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин:

математический анализ, дифференциальные уравнения.

Освоение дисциплины «Математическое моделирование» необходимо при последующем изучении таких обязательных курсов, как «Уравнения в частных производных» («Уравнения математической физики»), «Краевые задачи механики сплошных сред».

2. Содержание дисциплины.

2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы.

2.2. Содержание учебного курса.

Раздел 1. Понятие математической модели. Принципы построения математических моделей.

Тема 1.1 Введение.

Понятие математической модели. Простейшие математические модели. Пример математической модели Солнечной системы. Этапы математического моделирования.

Типы математических моделей: структурные и функциональные модели.

Дискретные и непрерывные модели. Линейные и нелинейные модели. Линеаризация.

Детерминированные и вероятностные модели. Жесткие и мягкие математические модели.

Требования к математическим моделям: требование адекватности математической модели. Универсальность математической модели. Применение аналогий при построении математической модели.

Концептуальная постановка задачи. Построение математической модели. Этапы построения математической модели. Формулировка законов, связывающих основные объекты модели.

Тема 1.2. Фундаментальные законы природы как основа построения математической модели.

Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы. Законы сохранения. Закон всемирного тяготения. Кеплерова задача. Универсальность математических моделей. Совместное применение фундаментальных законов природы.

Примеры иерархии математических моделей. Различные варианты действия внешней силы в модели шарик-пружина. Учет сил трения.

Сплошные среды и уравнения математической физики. О построении математических моделей сплошных сред.

Уравнение колебаний. Уравнение диффузии. Уравнение переноса. Уравнения гидродинамики: уравнения движения идеальной жидкости, уравнения движения линейно вязкой жидкости. Уравнения пограничного ламинарного пограничного слоя. Уравнения Максвелла. Уравнение Шредингера. Уравнение Клейна-Гордона.

Тема 1.3. Вариационные принципы как основа построения математической модели Общая схема принципа Гамильтона. Некоторые приложения принципа стационарного действия: задача о брахистохроне, задача о геодезических линиях.

Уравнения движения, вариационные принципы и законы сохранения в механике.

Уравнения движения в форме Ньютона. Уравнения движения в форме Лагранжа. Законы сохранения и свойства пространства-времени. Модели некоторых математических систем.

Маятник на свободной подвеске. Задача Ампера. Дифференциальное уравнение свободных колебаний струны. Уравнение колебаний прямолинейного стержня.

Электромеханическая аналогия.

Раздел 2. Исследование математических моделей.

Тема 2.1. Теоретическое исследование математических моделей. Методы построения и исследования решений.

Исследование математической задачи, к которой привела математическая модель.

Критерий практики. Последующий анализ модели (накопление данных об изучаемых явлениях и модернизация математической модели).

Точные решения. Приближенные решения. Асимптотические разложения. Методы возмущений (метода малого параметра). Регулярные и сингулярные возмущения. Метод усреднения. Осреднение быстро колеблющихся исходных зависимостей. Метод усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского. Метод Вентцеля-КрамерсаБриллюэна.

Применение методов подобия и размерности в механике. П-теорема. Анализ размерностей и групповой анализ моделей. Автомодельные (самоподобные) процессы.

Решения типа бегущих волн. Метод подобия. Обобщенно-автомодельные решения.

Тема 2.2. Вычислительный эксперимент. Численные методы построения решений.

Необходимость численного моделирования. Элементарные понятия разностных схем. Метод Галеркина. Метод конечного элемента Итерационные методы. Точность решения. Построение разностных схем с помощью вариационных принципов.

Использование иерархического подхода к получению дискретных моделей.

Раздел 3. Верификация математических моделей.

Тема 3.1 Методы самоконтроля при построении решения.

Контроль системы единиц измерения. Контроль законов сохранения. Инвариантные величины. Контроль характера зависимости решения от параметров задачи. Примеры применения методов самоконтроля.

Тема 3.2. Верификация математической модели.

Проблема верификации математической модели. Критерий практики.

Распространенные ошибки. Ошибки в выборе модели. Влияние интерполяции и экстраполяции. Ошибки в выборе метода исследования. Примеры. Задача о движении тела по орбите около двух более значительно более массивных тел. Задача о перевернутом маятнике. Математическая модель цикла истощения атмосферного озона. Задача о распространении волн в среде, в которой скорость распространения колебаний является переменной величиной.

Лабораторные занятия:

1. Задача о математическом маятнике. Движение математического маятника вблизи устойчивого и неустойчивого положений равновесия. Точное решение задачи о математическом маятнике. Динамика точки переменной массы. Дифференциальное уравнение движения материальной точки переменной массы. Уравнение Циолковского. Математическая модель трехступенчатой ракеты. Динамика биологических популяций. Логистическая модель народонаселения. Модель Мальтуса. Логистическое уравнение. Модель соперничества в системе хищник – жертва (уравнения Лотки-Вольтерра). Межвидовая конкуренция. Динамика Ферхюльста. Модель войны или сражения.

2. Законы механики сплошных сред. Уравнение динамики идеальной жидкости.

Уравнения движения линейно вязкой жидкости.

Вывод уравнений ламинарного пограничного слоя при обтекании вязкой жидкостью плоской пластины.

3. Вывод уравнений Лагранжа второго рода. Задача о маятнике на свободной подвеске. Задача о двойном математическом маятнике. Задача о качающейся пружине. Задача Кеплера – задача о движении планет. Обратная задача о движении 4. Асимптотические решения. Метод малого параметра. Методика ЛиндштедтаПуанкаре. Метод усреднения. Метод многих масштабов. Регулярные и сингулярные возмущения. Метод усреднения. Осреднение быстро колеблющихся исходных зависимостей.

5. Подобие, моделирование и различные примеры приложений теории размерности.

Движение математического маятника. Истечение тяжелой жидкости через водослив. Движение жидкости в трубах. Динамическое подобие и моделирование явлений. Задача о планетной атмосфере.

Автомодельные решения уравнений математической физики. Автомодельное решение уравнения теплопроводности. Метод подобия. Групповые методы нахождения автомодельных решений.

6. Численные методы (минимальные сведения) и программное обеспечение. Пакеты прикладных программ.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-КуттыФельберга. Задача об озоне в атмосфере. Задача обтекания тонкой пластины потоком линейно вязкой жидкости. Автомодельное решение. Численное решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, к которому приводит автомодельное решение задачи Блазиуса.

7. Контроль системы единиц измерения. Контроль законов сохранения.

Инвариантные величины. Контроль характера зависимости решения от параметров задачи. Примеры применения методов самоконтроля.

Влияние рассогласования между начальными и граничными условиями. Уравнения гиперболического и параболического типов.

8. Численное решение задачи о простой экосистеме: модель хищник-жертва.

Различные варианты начальных условий задачи. Задача о движении тела по орбите около двух более значительно более массивных тел. Задача о перевернутом маятнике. Математическая модель цикла истощения атмосферного озона. Задача о распространении волн в среде, в которой скорость распространения колебаний является переменной величиной.

3. Организация текущего и промежуточного контроля обучения.

3.1. Организация контроля.

Текущий контроль:

В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем, к каждому семинару. В семестре проводятся по 2 контрольные работы (на семинарах). Зачет выставляется после решения всех задач контрольных работ и индивидуальных заданий.

3.2. Тематика рефератов, проектов и т.п.

Рефераты и проекты по курсу не предусмотрены.

3.3.Курсовая работа.

Курсовая работа по курсу не предусмотрена.

4. Сведения о материально-техническом обеспечении дисциплины.

5. Литература.

5.1.Основная.

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы.

Примеры. М.: Физматлит, 2005. 320 с.

2. Введение в математическое моделирование. Под ред. Трусова П.В. М.:

Университетская книга, Логос, 2007. 336 с.

3. Степанова Л.В. Математическое моделирование. Теория. Задачи и упражнения.

Самара. Изд-во "Самарский университет". 2003. 96 с.

4. Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. М.: Едиториал УРСС, 2011. 282 с.

5. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: ФАЗИС, 2000.

6. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал 5.2. Дополнительная.

1. Пенни Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Моделирование и вычисления с помощью Mathematica, Maple и Matlab. М.: Диалектика, 2008. 1104 с.

2. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Н.Г, Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики. М.: УРСС, 2006. 376 с.

3. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М:

Физматлит, 2002. 256 с.

4. Алешков Ю.З. Математическое моделирование физических процессов. СанктПетербург: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 2001. 264 с.

5. Амелькин В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. Минск: Высшая школа, 1982. 272 с.

6. Бордовский Г.А., Кондратьев А.С., Чоудери А.Д.Р. Физические основы математического моделирования. М.: Издательский центр "Академия", 2005. 320 с.

7. Горстко А.Б. Познакомтесь с математическим моделированием. М.: Знание, 1991.

8. Математическое моделирование. Под. ред. Дж. Эндрюса, Р. Мак-Лоуна. М.: Мир, 9. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях, М.: УРСС. 2003. 10. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.: Эдиториал УРСС, КомКнига, 2007. 192 с.

11. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. М.: Едиториал 12. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. Минск: Высшая 13. Арнольд В.И. "Жесткие" и "мягкие" математические модели. М.: МЦНМО, 2000.

14. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточные асимптотики. Л.:

Гидрометиздат, 1982. 208 с.

15. Векуа Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения к механике. М.: Наука, 1991. 256 с.

16..Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005. 256 с.

17. Н.Ю. Афанасьева. Вычислительные и экспериментальные методы научного познания. М.: Изд-ва КноРУс, 2010. 336 с.

18. Барботько А.И., Гладышкин А.О. Основы теории математического моделирования.

Старый Оскол: ТНТ, 2008. 210 с. (Допущено УМО).

5.3. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины для организации самостоятельной работы студентов.

1. Степанова Л.В. Математическое моделирование. Теория. Задачи и упражнения.

Самара. Изд-во "Самарский университет". 2003. 96 с. (100 экз).

2. Степанова Л.В. Сборник задач по курсу «Автомодельные решения уравнений математической физики». Самара. Изд-во "Самарский университет". 2010. 28 с.

(100 экз).

3. Боголюбов А.Н. Основы математического моделирования. 137 с.

http://www.allmath/appliedmath/mathmet/mathmet9/mathmet.htm 4. Электронная библиотека Попечительского совета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова http://lib.mexmat.ru 5. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. 48 с.

http://books4study.com.ua/doc3002.html 6. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа. М.: Знание, 1991. 48 с.

http://books4study.com.ua/document3381.html 7. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы.

Примеры. М.: Физматлит, 2005. 320 с. http://books4study.com.ua/doc4526.html 8. www.plib.ru/library/book/14944.html.

9. www.libedu.ru.

10. www.twirpx.com.

11. www.ph4s.ru/book_mat_difur.html.

12. Электронная библиотека «Мир математических уравнений» http://eqworld.ipmnet.ru 13. http://www.math.ru 14. http://www.allmath.ru