ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Физический факультет

Кафедра общей и теоретической физики

“УТВЕРЖДАЮ”

Проректор по учебной работе СамГУ

_ В.П. Гарькин “_” _ 2011 г.

ПРОГРАММА

государственного экзамена по подготовке магистра по направлению «Теоретическая и математическая физика» (010700.68) Самара 2011 I. Принципы симметрии и теория представлений групп 1. Группы движений. Транзитивность и интранзитивность. Инвариантная подгруппа точки. Однородные пространства группы движений. Классические матричные группы.

2. Группа трехмерных вращений. Изоморфизм трехмерной группы вращений и фактор - группы SU(2)/Z2.

3. Однородные пространства группы Лоренца SO(3,1).

4. Группы Ли. Однопараметрические подгруппы. Алгебры Ли.

5. Векторные поля на многообразии. Скобка Пуассона векторных полей.

Производные Ли.

6. Унитарные представления. Лемма Шура. Инвариантные операторы. Операторы Казимира.

7. Спинорные и тензорные представления групп SO(3) и SU(2) и квантовая теория углового момента.

8. Представления групп SL(2,C) и SO(4).

9. Квантовомеханический формализм и преобразования симметрии. Правила суперотбора. Проективные (лучевые) представления.

10.Метод индуцирования Макки. Малая группа. Метод ковариантных функций.

11.Группа Пуанкаре, ее орбиты и представления. Релятивистские уравнения движения. Унитарные представления группы Пуанкаре и релятивистский парциальный анализ.

12.Физическая группа Галилея и нерелятивистская квантовая механика.

Уравнение Шредингера и галилеевская инвариантность. Правило суперотбора по массе.

13.Динамическая симметрия гармонического осциллятора.

14.Динамическая симметрия атома водорода. Ридберговские состояния водородоподобных атомов.

15.Алгебры, генерирующие спектр. Квантовые системы с линейной группой динамической симметрии и оператор эволюции. Когерентные состояния.

16.Суперсимметрия в квантовой физике.

II. Теория рассеяния 1. Оператор эволюции в представлении взаимодействия.. S-матрица, разложение в ряд теории возмущений. Т-матрица. Сечение рассеяния.

Волновая функция задачи рассеяния, ее асимптотика. Амплитуда рассеяния.

Унитарность S-матрицы. Оптическая теорема и ее следствия.

3.

Борновский ряд. Диаграммы Фейнмана. Первое борновское приближение.

Формализм спина S=1/2. Т-матрица и потенциал взаимодействия частиц 5.

спина 1/2 с бесспиновой мишенью.

Смешанные состояния. Статистический оператор. Спиновая матрица 6.

плотности (поляризационная матрица). Частичная поляризация частиц.

7. Поляризационные эксперименты. Лево-правая асимметрия. Поляризация частиц в конечном состоянии.

8. Парциальные амплитуды и сечения. Фазовые сдвиги.

9. Аналитические свойства радиальных волновых функций в комплексной p-плоскости. Регулярное решение.

10. Аналитическое продолжение, аналитические свойства функции Йоста и S-матрицы. Нули функции Йоста, полюсы S-матрицы и связанные состояния.

11. Резонансное рассеяние. Резонансы и полюсы S-матрицы, поведение сечения и фаз рассеяния.

12. Симметрия и расположение особенностей матрицы рассеяния на комплексной p-плоскости.

13. Теорема Левинсона. Асимптотическое поведение амплитуд рассеяния и фазовых сдвигов. Длина рассеяния. Эффективный радиус.

III. Квантовая теория поля и физика высоких энергий 1. Операторы полей в картинах Шредингера и Гейзенберга. Уравнения движения в гейзенберговском представлении.

2. Трансформационные свойства полевых операторов и векторов состояний, связанные с внутренними симметриями.

3. Основной постулат квантования полей. Физический смысл положительно– и отрицательно- частотных частей операторов свободных полей.

Операторы рождения и уничтожения частиц.

4. Определение вакуума. Построение вектора состояния произвольной системы свободных частиц.

5. Типы перестановочных соотношений. Трансляционная инвариантность перестановочных функций.

6. Установление перестановочных соотношений для полей с целым и полуцелым спином. Симметрия между частицами и античастицами. Теорема Паули о связи спина со статистикой.

7. Квантование скалярного поля. Перестановочные функции и их частотные части. Операторы энергии, импульса и заряда.

8. Квантование векторного поля. Перестановочные функции. Операторы энергии, импульса, спина и заряда.

9. Квантование спинорного поля. Перестановочные функции. Операторы основных динамических переменных.

10.Квантование электромагнитного поля. Перестановочные функции. Поперечные, продольные и временные фотоны. Операторы основных динамических переменных.

11.Причинные функции Грина различных полей и их связь с хронологическими произведениями полевых операторов.

12.Виково и дайсоново хронологические произведения.

13.Приведение операторных выражений к нормальной форме. Теорема Вика для обычных произведений полевых операторов.

14.Лагранжианы различных типов взаимодействия и принципы симметрии.

Сильные, электромагнитные и слабые взаимодействия.

15.Преобразования полевых операторов и векторов состояний при зарядовом сопряжении, инверсии пространства и обращении времени. СРТтеорема.

16.Амплитуды и вероятности процессов взаимодействия частиц. Релятивистски инвариантное определение амплитуды реакции. Инвариантные фазовые объемы.

17.Представление S-матрицы в виде виковской и дайсоновской Т-экспонент.

18.Правила Фейнмана для вычисления матричных элементов S-матрицы в квантовой электродинамике и других квантовополевых моделях.

19.Перенормировки в квантовой электродинамике. Уравнения ДайсонаШвингера.

20.Лагранжиан квантовой хромодинамики. Цветовая симметрия. Асимптотическая свобода в КХД. Киральная симметрия и ее спонтанное нарушение. Соотношение 21.Понятие вакуумного конденсата. Инстантоны. Глюонный конденсат.

Операторное разложение Вильсона. Физический смысл операторного разложения.

22.Метод правил сумм КХД. Вычисление степенных пертурбативных и непертурбативных поправок.

23.Пропагатор легкого кварка во внешнем поле. Правила сумм КХД для нуклона. Радиационные распады тяжелых мезонов.

24.Вычисление магнитных моментов протона и нейтрона методом правил сумм КХД. Гибридные мезоны и барионы.

IV. Квантовая оптика и квантовая информатика 1. Взаимодействие квантовой системы с излучением. Дипольное приближение.

Динамика квантовой системы, взаимодействующей с излучением возмущения и переходы между уровнями.

2. Двухуровневый атом в классическом поле. Частота осцилляций Раби.

3. Гамильтонова форма уравнений Максвелла и квантование электромагнитного поля. Квантование поля в резонаторе.

4. Глауберовские когерентные состояния (КС) и их свойства. Представление электромагнитного поля по когерентным состояниям. Хаотические и тепловые состояния. Квантовые корреляционные функции.

5. КС для произвольной группы Ли в смысле Переломова. Группы SO(2,1), SU(1,1) и когерентные состояния.

6. Квантовый осциллятор в поле внешней силы. Параметрическое возбуждение гармонического осциллятора.

7. Периодические во времени квантовые гамильтонианы и квазиэнергетические состояния. Концепция геометрической фазы Берри и ее расчет для систем с линейной группой динамической симметрии. Фаза Ааронова – Анандона.

8. Теория возмущений и многофотонные процессы. Уравнение Дайсона и диаграммная техника. Квазиэнергии в методе функций Грина.

9. Квантовая механика и формализм интегралов по траекториям (континуальных интегралов). Интегралы по траекториям в представлении КС.

10.Континуальные интегралы и теория возмущений. Диаграммная техника в теории взаимодействующих бозонов и фермионов.

11.Гипотеза необратимости и редуцированная матрица плотности. Релаксация эквидистантных квантовых систем.

12.Кооперативные квантовые числа. Многоатомное спонтанное излучение и сверхизлучательный распад.

13.Модель Джейнса - Каммингса и ее свойства. Квантовая модель Дикке и фазовый переход в сверхизлучающее состояние.

14.Сжатый свет и коррелированные когерентные состояния. Генерация и детектирование сжатого света. Квантовый параметрический усилитель.

15.Связь кооперативных и нелинейных процессов. Сверхтекучесть слабонеидеального Бозе - газа и метод квазисредних Боголюбова.

16.Бозе - Эйнштейновская конденсация. Атомные конденсаты и атомный лазер.

17.Основные положения квантовой информатики. Запутанные состояния. Невозможность клонирования квантовых состояний. Квантовая нелокальность и эксперименты Цайлингера.

18.Квантовые вычисления и квантовый когерентный компьютер. Квантовая коррекция ошибок. Алгоритмы Шора и Китаева. Возможная физическая реализация квантовых компьютеров V. Квантовая теория конденсированного состояния 1. Адиабатический принцип Борна-Эренфеста. Пространственная решетка кристаллов. Обратная решетка кристалла. Зоны Бриллюэна. Собственные значения и собственные функции оператора трансляций. Общие свойства стационарных состояний кристалла.

2. Фононы. Акустические и оптические фононы. Фононы в трехмерном кристалле. Фонон-фононное взаимодействие. Теплопроводность. Поглощение звука.

3. Взаимодействие света с фононами. Определение спектра колебаний решетки с помощью рассеяния нейтронов.

4. Плазмоны. Спиновые волны в ферромагнетиках. Магноны. Взаимодействие магнонов с фононами. Теплоемкость газа магнонов.

5. Метод эффективной массы. Приближения почти свободных и сильно связанных электронов. Метод псевдопотенциала. Классификация твердых тел на основе энергетического спектра их одноэлектронных состояний.

6. Расчет проводимости для металлов и полупроводников. Электронфононные взаимодействия в ионных кристаллах. Поляроны.

7. Зонная структура полупроводников. Собственное поглощение фотонов в полупроводниках. Экситоны.

8. Куперовские пары. Модель БКШ. Метод Боголюбова в теории сверхпроводимости. Основное состояние сверхпроводника и спектр элементарных возбуждений. Температура сверхпроводящего перехода. Теплоемкость.

Эффект Джозефсона.

9. Нормальные жидкости. Элементарные возбуждения в нормальных жидкостях, фононы. Квантовая бозе-жидкость. Элементарные возбуждения в квантовой бозе-жидкости. Фононы и ротоны.

10.Сверхтекучесть. Вырожденный почти идеальный бозе-газ. Преобразование Боголюбова. Волновая функция конденсата.

1. Функции распределения для классических систем. Корреляционные функции. Цепочка уравнений Боголюбова для корреляционных функций.

Иерархия времен и принцип сокращенного описания Боголюбова.

2. Уравнение Больцмана. Методы решения уравнения Больцмана. Н- теорема Больцмана. Вычисление кинетических коэффициентов.

3. Матрица плотности. Равновесные квантовые распределения. Вычисление наблюдаемых. Квазисредние. Квантовое уравнение Лиувилля. Условия необратимости. Марковские процессы.

4. Квантовое уравнение релаксации неравновесной системы. Секулярное приближение. Основное обобщенное кинетическое уравнение. Магнитный резонанс. Уравнения Блоха. Механизмы продольной и поперечной релаксации.

5. Временные корреляционные функции и статистические средние. Определение двухвременных температурных функций Грина.

6. Сокращенное описание квантовых неравновесных состояний. Метод проектирования. Обобщенное кинетическое уравнение Цванцига. Проекционный оператор для логарифма статистического оператора.

7. Квантовая H - теорема Больцмана. Усреднение по начальным состояниям.

Метод неравновесного статистического оператора Зубарева.

8. Метод исключения бозонных переменных Н.Н. Боголюбова.

1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М., Наука, 1979.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., Наука, 3. Ляховский В.Д., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные частицы.

Учебное пособие. Изд. СПбГУ, 2004.

4. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. М.: Наука, 1986.

5. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М., Наука, 1979.

6. Переломов А.М. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.

Наука. 1986.

7. Менский М.Б. Метод индуцированных представлений. Пространство - время и концепция частиц. М., Наука, 2003.

8. R. Gilmore, Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists. Cambridge Univ. Press, 2008.

9. Давыдов А.С.Квантовая механика. М.: Наука, 1978.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.. Квантовая механика. М.: Физматлит, 2004.

11. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И.. Задачи по квантовой механике. М.:

Наука, 12. Тейлор Дж. Теория рассеяния. М.: Мир, 1975.

13. Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике. – Ижевск:

НИЦ «Регулярная и хаотич. динамика», 2001.

14. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М., Наука, 1976.

15. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика.

М., Наука, 1980.

16. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М., Наука, 1981.

17. Райдер Л. Квантовая теория поля. М., Мир, 1987.

18. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. М.-Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

19. Вайнберг С. Квантовая теория поля. Т.1. Общая теория. Т.2. Современные приложения. М., Физматлит, 2003.

20. Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. М. Физматлит. 2000.

21. Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика, М.: Мир, 2003.

22. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Кооперативные явления в оптике: Сверхизлучение. Бистабильность. Фазовые переходы. М., Наука, 1988.

23. Попов В.Н., Ярунин В.С. Коллективные эффекты в квантовой статистике излучения и вещества. Учебное пособие. Ленинград. Изд. ЛГУ, 1984.

24. Попов В.Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. М., Атомиздат, 1976.

25. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. М.: Ред. Журн. УФН, 1997.

26. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Москва. Ижевск. НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2001.

27. Шляйх В.П. Квантовая оптика в фазовом пространстве. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

28. Белинский А.В. Квантовые измерения. БИНОМ. Лаборатория знаний. 2008.

29. Давыдов А.С. Теория твердого тела, 1976.

30. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика, часть 2, Наука 1978.

31. Марч Н., Паринелло М. Коллективные эффекты в твердых телах и жидкостях.

М.: Мир, 1986.

32. И.А.Квасников. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. М., Изд-во МГУ, 1991.

33. И. А. Квасников. Теория неравновесных систем. М., Изд-во МГУ, 1987.

34. Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П. Лансберга. М.:

Мир, 1974.

35. Башкиров Е.К. Неравновесная статистическая механика. Самара: Изд-во «Самарский университет», 1992.

36. Башкиров Е.К. Задачи по неравновесной квантовой статистической физике.

Самара: Изд-во «Самарский университет», 2008.

Научный руководитель магистратуры по теоретической и математической физике А.В. Горохов