БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Регистрационный.ЬГ.

Учебная программа вступительного экзамена

в магистратуру для специальности

1-31 80 04 Механика

2013

2

СОСТАВИТЕЛИ:

М.А. Журавков, зав. кафедрой теоретической и прикладной механики,

первый проректор БГУ, доктор физ.-мат. наук, профессор;

Г.И. Михасев, зав. кафедрой био- и наномеханики, доктор физ.-мат. наук, профессор;

А.С. Кранчук, профессор кафедры био- и наномеханики, доктор физ.-мат.

наук, профессор;

П.Н. Конон доцент кафедры теоретической и прикладной механики, кандидат физ.-мат. наук, доцент;

д.Г. Медведев, декан механико-математического факультета, кандидат физ.

мат. наук, доцент.

РЕКОМЕIIдОВАНА К УТВЕРЖДЕI1ШО:

Учебно-методической комиссией мехашiко-математического факультета (протокол ! от 2013 г.);

Советом механико-математического факультета (протокол М 2013 г.);

от €4€ Ответственный за редакцию: П.Н. Конон Ответственный за выпуск: П.Н. Конон з

ПОЯСIШТЕЛЫI{АЯ ЗАШIСКА

На встулительном экзамене в магистратуру студент должен знать:

основополагающие понятия механики и математики;

— формулировки математических лемм и теорем;

— точные формулировки законов и теорем механики и математики и их — доказательство;

решения классических задач теоретической механики и механики — сплошных сред.

уметь:

применять теоршо к решению задач механики и математики и — иллюстрировать свои знания простыми практическими примерами из области механики.

Члены экзаменационной комиссии могут предлагать студенту в качестве дополнительных вопросов разбор простых примеров, определения и формулировки теорем из программы.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

МЕХАШIКА

РАЗДЕЛ 1. Теоретическая механика Тема 1.1 Кинематика точки Основные понятия кинематики. Скорость точки и ускорение точки.

Равномерное и равнопеременное движение. Юiнематика точки в криволинейных координатах.

Тема 1.2 Кинематика твердого тела Определение и свойства поступательного движения твердого тела.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение. Равномерное и равнопеременное вращение. ГIлоско параллельное движение тела. Геометрическое и аналитическое исследование.

движение твердого тела около неподвижной точки. Теорема даламбера Эйлера. Аксоиды. Скорости и ускорения точек тела. Теорема Ривальса.

Кинематические уравнения Эйлера. движение свободного твердого тела.

Теорема Шаля. Сложное движение точки. Сложное движение твердого тела.

Сложение мгновенных вращений. Общий случай. Винт. Центральная винтовая ось.

Тема 1.3 динамика точки Законы и задачи динамики. Общие теоремы динамики точки.

Прямолинейное движение точки. Прямолинейные колебания точки.

Свободные, затухающие, вынужденные колебания, движение точки в поле центральных сил. Формулы Бинэ. Задача Ньютона. Уравнение Кеплера.

Искусственные спутники Земли. движение несвободной материальной точки. Математический маятник. Брахистохрона. Сферический маятник.

Относительное движение материальной точки. Относительный покой и движение вблизи поверхности Земли. Маятник Фуко.

Тема 1.4 динамика системы Основные понятия и основные динамические величины. Общие теоремы динамики системы. динамика тел переменной массы. Уравнение Мещерского. Задачи Циолковского.

Тема 1.5 динамика твердого тела Геометрия масс. Тензор инерции, эллинсоид инерции. Вращение тела вокруг неподвижной оси. давление на ось. Физический маятник. Плоское движение твердого тела. движение тела около неподвижной точки.

динамические уравнения Эйлера. движение тяжелого твердого тела.

Проблема четвертого интеграла. Случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалевской.

Элементарная теория гироскопа. Теория удара. Удар по телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Центр удара.

Тема 1.6 Аналитическая механика Принцип возможных перемещений. Принцип даламбера. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа первого рода. Уравнения Лагранжа второго рода. Канонические уравнения Гамильтона. Малые колебания механических систем. Устойчивость равновесия. Теорема Лежен Дирихле. Уравнения движения неголономных систем. Уравнения Рауса, Чаплыгина, Аппеля. Вариационньие принципы. Принцип Гамильтона, принцип Гаусса, принцип Мопертюи Лагранжа.

РАЗДЕЛ II. Механика сплошных сред Тема 2.1 Основные понятия, используемые для описания движения и деформации сплошных сред Предмет механики сплошной среды. Область приложений, перспективные направления. Понятие сплошной средьт. Гипотеза сплошности. Эйлерово и лагранжево описание движения. Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера и обратно. Индивидуальная производная по времени. Вектор перемещения. Тензор малых деформаций.

Главные оси, главные значения, инварианты тензора деформаций.

Механический смысл компонент тензора деформаций. Уравнения совместности для компонент тензора малых деформаций. Тензор скоростей деформаций. Выражение его компонент через компоненты скорости. Теорема Коши-Гельмгольца. Вектор вихря. Циркуляция скорости, теорема Стокса.

Потенциал скорости.

Тема 2.2 Фундаментальные законы механики сплошной среды и терм одинамики Закон сохранения массы. Уравнение неразрьивности. Закон сохранения количества движения. Силы, действующие на сплошную среду. Вектор напряжения, формула Коши. Тензор напряжений. Уравнения движения сплошной среды. Закон сохранения момента количества движения в классическом случае. Симметрия тензора напряжений. Идеальная непроницаемости. Примеры движений идеальной несжимаемой жидкости (твердотельное вращение в цилиндрическом сосуде, плоско-параллельное потенциальное течение в окрестности критической точки). Вязкая жидкость.

Опыт Ньютона. Закон Навье-Стокса. Уравнения Навье-Стокса. Полная система уравнений несжимаемой линейно-вязкой жидкости. Граничные условия. Слоистые течения и их примеры (течения Пуазейля и Куэггта и другие). Упругая среда. Опыт Гука. Закон Гука. Полная система уравнений линейно-упругой среды. Типичные граничные условия. Первый закон термодинамики. Энергия. Внутренняя энергия. Теорема об изменении кинетической энергии. Уравнение энергии и уравнение притока тепла. Закон теплопроводности Фурье. Второй закон термодивамики. Понятие энтропии.

Условия на поверхностях сильного разрыва в сплошных средах. Ударные волны, тангенциальные разрывы, контактные поверхности.

Тема 2.3 Классические модели сплошных сред Идеальная сжкмаемая жидкость или газ. Полная система уравнекий.

Типичные граничные условия. Совершенный газ. Примеры движений идеального сжимаемого совершенного газа(звуковые волны, волны Римана).

Ивтегральи Бернулли и Коши-Лагранжа и их применение. Теоремы о вихрях в идеальной жидкости. Потенциальное движение однородной несжимаемой жидкости. Уравнение Лапласа для потенциала скорости. Граничные условия на поверхности твердого тела и на свободной поверхности жидкости.

Примеры плоских потенциальных движений однородной несжимаемой жидкости. Функция тока. Плоско-параллельное течение, обтекание угла, источник и сток, диполь, обтекание цилиндра. Вязкая теплопроводная жидкость. Полная система уравнеiшй. Число Рейнольдса. Понятие о пограничном слое. Опыт Рейнольдса. Понятие об устойчивости течения и турбулентности. Линейная термоупругая среда. Полная система уравнений.

Типичные граничные условия. Постановка задач линейной теории угтругости в перемещениях и в напряжениях. Теорема единственности задач линейной теории уГIругости. Принцип Сен-Венана. Задача об одноосном растяжении упругого бруса. Неупругое поведение деформируемых твердых тел.

Пластичность, ползучесть, релаксация.

Тема 2.4 Равновесие жидкостей и твердых деформируемых тел Уравнения гидростатики. Барометрическая формула. давление на твердую поверхность. Закон Архимеда. Равновесие вращающейся несжимаемой жидкости. Уравнения равновесия линейно-упругого тела.

Бигармоническое уравнение для вектора перемещения. Задача Ламе.

Определение перемещений, распределение напряжений в стенке трубы.

Задача о кручении стержия круглого поперечного сечения.

Тема 2.5 Применение методов теории функций комплексного переменного к решению задач механики сплошной среды Плоские потенциальные течения идеальной несжимаемой жидкости.

Комплексная скорость, комплексный потенциал. Примеры комплексного потенциала (точечньтй вихрь, диполь, обтекание кругового цилиндра с циркуляцией). Формулы Чаплыгина для гидродинамических реакций.

Формула Жуковского для подъемной силы. Парадокс даламбера.

Поступательное движение цилиндра и шара в безграничной жидкости, присоединенная масса. Плоские задачи теории упругости. Компоненты перемещений в плоской задаче. Уравнения Бельтрами-Мичелла. Условие на внешние массовые и поверхностные силы. Постановка плоских задач теории угтругости. Плоское деформированное и плоское напряженное состояния упругой среды. Функция напряжений Эри. Бигармоническое уравнение и граничные условия для функции Эри. Формула Гурса. Выражения компонент тензора напряжений и вектора перемещений через функции комплексного переменного. Граничные условия и классификация краевых задач для определения функций комплексного переменного.

Тема 2.6 Волновые движения сплошной среды Линейная теория волн. Волновое уравнение. Бегущие волны.

Собственные колебания. Волны на поверхности тяжелой несжимаемой идеальной жидкости. Стоячие волны. Прогрессивные волны. Характеристики системы квазилинейньтх уравнений в частных производных первого порядка.

Звуковые волны в сжимаемом газе. Нелинейные волны малой конечной амплитуды в вязком теплопроводном газе. Уравнение Бюргерса.

Установившееся сверхзвуковое обтекание тонкого профиля. Вывод волнового уравнения для потенциала скорости. Число Маха. Граничные условия. Взрывные волны. Задача о сильном взрыве в совершенном газе.

Упругие ВОЛНЫ В И3ОТрОПНОЙ среде. Система уравнений линейной теории упругости в случае адиабатических процессов. Продольные и поперечные плоские волны. Волны Релея.

Тема 2.7 Модели пластических тел Пластические деформации. Поверхность нагружения (текучести).

i4деально-пластические тела с упрочнением. Условия пластичности Треска и Мязеса. Принцип минимума работы истинных напряжений на приращениях пластических деформаций. Ассоциированный закон. Полная система уравнений для упруго-идеально-пластической среды в теории Прандтля Рейсса.

Тема 2.8 Движения сплошной среды в электромагнитных полях Плотность заряда и плотность тока. Сила Лоренца. Закон Ома.

Уравнения Максвелла. Уравнения магнитной гидродинамики. Уравнешiя электродинамики.

РАЗДЕЛ III. Сопротивление материалов Тема 3.1 Растяжение и сжатие стержия Продольная сила. Условия прочности при растяжении. Расчет простейших плоских стержневых систем Напряжения и деформации при плоском напряженном состоянии Тема 3.2 Кручение стержия Кручение стержня круглого поперечного сечения. Крутящий момент.

Условия прочности и жесткости при кручении. Кручение брусьев некруглого сечения.

Тема 3.2 Изгиб балки Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки.

Тема 3.3. Принцип возможных перемещений для вычисления перемещений при изгибе балок Формула Максвелла-Мора для случая изгиба. Вычисление перемещения в общем случае нагружения бруса. Энергетические методы определения перемещений. Теорема Кастилиано. i4ятеграл Мора. Правило Верещагина.

Тема 3.4 Стержневые конструкции Стержневые конструкции: фермы и рамы. Расчет статически неопределимых систем по методу сил. Канонические уравнения метода сил при изгибе балок и рам.

Тема 3.5 Устойчивость упругих стержней Основы теории колебаний угiругих систем. Устойчивость упругих стержией. Критическая сила.

РАЗДЕЛ IУ. Компьютерная механика Тема 4.1 обзор аналитических и численных методов решения задач механики Обзор современных прикладных систем автоматизированного инженерного анализа для персональных ЭВМ. Сравнительньий анализ программных комплексов для конечно-элементного анализа механики систем на базе пэвм: алзу$, пагав, раiтал, сiуЁгап, 1$-сiугIа, рго/епiпеег (рго/шесiiапiса), саiа, сошоз Уог1$ (со$iтiо/ш), $оiii\Уог1$, шiсгоаiоп, iлiiцгарЫс, i-аеаз; пакетов кинематического и динамического анализа механизмов асiаiр$, уi$ца1пагал, алу ‘уогiЬепсi-i, чог1сiпц шосiеi, систем генерации инженерно-изобретательских идей iлуепiоп шасiiiле, есЬорiшiег идр.

Тема 4.2 Основы метода конечных элементов и особенности программной реализации мкэ для персональных ЭВМ Основные понятия и определения мкэ. определение и свойства матриц жесткости, упругости, функций формы, градиентов. Вариадионная формулировка метода конечных элементов в механике деформируемого твердого тела.

Тема 4.3 Решение практических задач конечно-элементного анализа с использованием компьютерных систем апу, пагап Исследование напряженно-деформированного состояния плоского уголкового кронштейна при статическом нагружении. Модальный анализ крыла самолета. Затвердевание слитка в форме уголка. Ламинарное и турбулентное течение в двумерном расширяющемся канале. Анализ напряженно-деформированного консольной особенностью. Расчет плоских ферм при статической нагрузке в узлах.

Плоский изгиб балок. Расчет плоских рам при статической нагрузке и прямых стержней при кручении. Расчет стержней с криволинейной осью.

расчет несимметричньтх балок переменного сечения и балок на упругом основании.

Тема 4.4 Пакеты кинематического и динамического анализа механизмов Особенности использования систем компьютерного моделирования ‘УогiсВепсi-i, ‚Тогiiii Моаеi.динамический и кинематический анализ механических систем. Основы моделирования механических систем в пакете АВАМ$ Решение практических задач анализа кинематики и динамики механических систем с использованием компьютерного пакета Уi8паП4а$гаг1.

МАТЕМАТИКА

РАЗДЕЛ У. Алгебра и геометрия Тема 5.1 Элементы алгебры Группа, кольцо, поле, их простейшие свойства. Кольцо многочленов от одной переменной. Корни многочлена. Разложение многочлена на неприводимьие множители над Р и С. Основная теорема алгебры.

Тема 5.2 Матрицы и векторы Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства. Обратная матрица. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Метод Крамера. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Нормальные формы матрицы линейного оператора.

Квадратичные формы и их матрицы. Канонический вид квадратичной формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичных форм. Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис.

Размерность.

Тема 5.3 Кривые и поверхности второго порядка Кривые второго порядка и их канонические уравнения. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

РАЗДЕЛ УI. Дифференциальная геометрия Тема 6.1 Кривизна и кручение кривой Понятие кривой. Натуральная параметризация кривой. Репер Френе.

Формулы Френе. Кривизна кривой. Кручение кривой.

РАЗДЕЛ УII. Математический анализ Тема 7.1 Последовательность функций. Формула Тейлора Предел последовательности функций одной и нескольких переменных.

Критерий Коши существования предела последовательности функций.

Непрерывность функций одной и нескольких переменных. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора, Теоремы Вейерштрасса. Формула Тейлора и ее остаточный член.

Тема 7.2 Интегралы и ряды Фурье Несобственные интегралы и признаки их сходимости. Признаки сходамости знакопостоянньтх числовых рядов. Абсолютная и условная сходимости рядов. Знакочередующиеся ряды. Признаки Вейерштрасса.

Степенньие ряды и их свойства. I4ятервал и радиус сходимости. Ряды Фурье.

Основные свойства коэффициентов Фурье. Достаточные условия сходимости рядов Фурье. Неравенство Бесселя.

Тема 7.3 Элементы теории поля Элементы теории поля. Поток, дивергенция, ротор вектора. Теорема Гаусса-Остроградского. Теорема Стокса.

РАЗДЕЛ УIII. Теория функций комплексного переменного Тема 8.1 Аналитические функции Производная функции комплексного переменного и ее геометркческий смысл. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция. I4ятегральная теорема Коши. I4ятегральная формула Коши.

Тема 8.2 Степенные ряды и вычеты. Конформные отображения Степенной ряд, радиус сходимости, формула Коши-Адамара для радиуса сходимости. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Изолированньие особые точки и их классификация. Основная теорема о вычетах. Конформньие отображения.

Отображения, осуществляемые дробно-линейной, степенной, показательной, логарифмической функциями.

РАЗДЕЛ IХ. Функциональный анализ Тема 9.1 Метрические и нормированные пространства Метрические пространства. Полнота. Непрерывные отображения.

Принцип сжимающих отображений. Нормированные пространства.

Линейные ограниченные операторы и функционалы в нормированньих пространствах.

Тема 9.2 Гильбертовы пространства Гильбертовьи пространства. Полные ортонормировашiые системы в гильбертовых Фредгольма.

РАЗДЕЛ Х. Теория вероятностей Тема 10.1 Основные понятия и законы теории вероятностей Классическая вероятность. Теоремы сложения и умножения. Формула полной вероятности. Биномиальное, нормальное и пуассоновское распределения. Случайные величины и их полные характеристики.

Характеристическая функция случайной величины и ее свойства. Закон больших чисел.

РАЗДЕЛ ХТ. Дифференциальные уравнения Тема 11.1 Основные понятия. Уравнения 1-го порядка Обыкновенные решение, дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, линейные, Риккати и в полных дифференциалах.

Тема 11.2 Системы и уравнения п—го порядка Фундаментальная дифферетщиальных уравнений п -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородных линейных дифференциальньтх уравнений п го порядка.

РАЗДЕЛ ХII. Уравнения в частных производных Тема 12.1 Уравнения в частных производных Классификация линейных уравнений в частных производных 2-ого порядка. Примеры уравнетшй основных типов. Постановка начальных и граничных задач. Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны методом характеристик. Формула даламбера. Решение смешанной задачи для уравнения колебаний струны методом Фурье. Уравнения Лапласа и Пуассона. Постановка граничных задач. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Функции Грина. Уравнение теплопроводности.

Постановка основных задач. Задача Коши. Решение смешанных задач для уравнения теплопроводности методом Фурье.

РАЗДЕЛ ХIII. Вычислительная математика Тема 13.1 Линейные и нелинейные алгебраические у равнения и системы.

Численное решение уравнений. Метод итераций, его сходимость.

Метод }{ьютона, его геометрический смысл. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод исключения. Метод итераций и теорема о сходимости. Методы численного решения систем нелинейных уравнений.

Тема 13.2 Разностные схемы и их применение Численное решение ОДУ. Метод Рунге-Ку’тга четвертого порядка точности. Разностные схемы для уравнений математической физики.

Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Явные и неявные разностные

ЛИТЕРАТУРА

1. Аппель П. Теоретическая механика: В 2-х т.-М.: Физматгиз, 1960.

2. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики: В 2-х ч. М.:

3. Вильке В.Г. Теоретическая механика. М.: Изд-во МГУ, 1991.

4. Вярьвильская О.Н. и др. Теоретическая механика: Курс лекций, Мн.:

Мещерский Н.д. Сборник задач по теоретической механике. М., 6. Петкевич В.В. Теоретическая механика. М.: Наука,1981.

Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.: Наука, 8. Айзенберг Т.Б. Руководство к решению задач по теоретической механике. М.: Наука, Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1,2. М.: Наука, 1994.

10. Ландау Л.д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

11. Ландау Л.д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

12. Механика сплошных сред в задачах. Под ред. М.Э.Эглит.

М.: Московский лицей, тг. I 11,1996.

14.

Т. 1,2. М.: Физматгиз, 1963.

15. Черный Г.Г. Газовая динамика.

16. Лейбензон Л.С. Теория упругости.

Александров А.В., Державин Б.П., Лащеников Б.Я. и др. Сборник 17.

задач по сопротивлению материалов. М.: 1977.

Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.:1999.

18.

Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева Е.А. АЫ$У$ в руках 19.

инженера. Практическое руководство. Москва, 2003.

20. М.А.Журавков, С.А.Гляков, Компьютерная механика, динамический и кинематический анализ механических систем: курс лекций. Минск: БГУ, 2006. 375 с.

}{икольский С.М. Курс математического анализа. М., Наука, Т.1, Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального 22.

исчисления. М., Наука 1969 и др. издания.

23.

анализу. М., Наука 1977 и др. издания.

дифференциальных уравнений. Минск: Вьтшэйшая школа, 1974.

Федорюк М.В. Обыкновенных дифференциальные уравнения.

25.

Москва: Наука, 1985.

Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.

26.

Москва: Наука, 1992.

Тихонов, Самарский Уравнения математической физики. М., Наука, 27.

28. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1989.

29. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

30. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1988.