«Яндекс.Директ Все объявления Дать объявление Закрыть [] Курс Инвестирование для всех Секрет самых богатых людей мира! Новая Теория Обучаю схеме, по которой инвестирую сам! 5 заповедей частного инвестора. Как делают ...»

25 Dec 2012 09:58:23

Saved from

no other snapshots from this url

All snapshotsfrom host elenakosilova.narod.ru

Linked fromcyclowiki.org »

Априорность математики

TextIm cyclowiki.org »

Смысл математики

age download.zipreport abusePIN THIS PAGE:other Яндекс.Директ Все объявления Дать объявление Закрыть [] Курс "Инвестирование для всех" Секрет самых богатых людей мира! Новая Теория Обучаю схеме, по которой инвестирую сам! 5 заповедей частного инвестора. Как делают Публикации Результативно. Обучение бесплатно. 300-1000% в год? принимаются.

sekretbogatih.ru academyprivateinvestment.com www.newtheory.ru

МАТЕМАТИКА

И ОПЫТ Под редакцией А. Г. Барабашева Издательство Московского университета УДК 1: ББК 87. М Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда Проект № 02-03- Редакционная коллегия:

А.Г. Барабашев (гл. редактор), С.М. Бычков (зам. гл. редактора), В.А. Бажанов, С.С.Демидов, А.Н. Кричевец, В.Я. Перминов.

Математика и опыт / Под ред. А.Г. Барабашева. — М.: М 33 Изд-во МГУ, 2003. - 624 с.

ISBN 5-2211-04739- В работе предпринята попытка масштабного сравнения различных подходов к соотношению математики и опыта, сложившихся главным образом в рамках априоризма и эмпиризма. Сравнение проведено как в чисто теоретическом ракурсе, так и посредством рассмотрения различных исторических и философских ситуаций.

Исследуются возможные альтернативные подходы, выходящие за пределы дилеммы «априоризм—эмпиризм» в истолковании отношения математики к опыту и опытному знанию.

Книга представляет интерес для математиков, философов, специалистов и преподавателей по истории и философии науки, студентов и аспирантов математических и естественно-научных специальностей.

The attempt of full scale approach to the problem of relation of mathematics and experience is represented in this book mainly in the frame of two general positions, apriorism and empiricism. The comparison of positions of mathematical apriorism and mathematical empiricism here realized as in theoretical form, as in the form of the investigation of different historical and philosophical situations. In the final part of the monograph possible non-aprioristic and non-empiristic alternative approaches to the problem of relations of mathematics and experience are searched.

The book could be useful for mathematicians, philosophers, for specialists in the history and philosophy of science. Students and graduate students in mathematical and natural science specialities could use it in the process of preparation for exams in the field of philosophy of mathematics educational programs and courses.

УДК 1: ББК 87. © Коллектив авторов, © Издательство Московского университета, ISBN 5—2211—04739— Предисловие Проблема соотношения математики и опыта является одной из наиболее давних и разработанных проблем философии математики. Более того, на заре существования математики и задолго до возникновения философии математики как самостоятельной области исследований пифагорейцы уже предложили первое решение этой проблемы, положив число началом всего сущего.

Историческая эволюция математики, равно как и эволюция попыток ее философского обоснования, сопровождались увеличением разнообразия предлагаемых решений проблемы соотношения математики и опыта, а также усложнением этих решений. Постепенно выявилась и структура таких решений, или же, вернее сказать, подходов к решению проблемы. Во-первых, стало ясно, что речь должна идти об исследовании соотношения математических суждений и суждений, полученных в процессе опыта. Во-вторых, постепенно возрастало структурирование самого понятия опыта, и в этом понятии стали выделять повседневный опыт и опыт в виде экспериментального, естественно-научного изучения явлений. В-третьих, оказалось, что возможны раздельно сравнительный анализ формы построения опытных суждений и формы построения математических суждений и сравнительный анализ истинности математических и опытных суждений. В-четвертых, и это стало основным продвижением в исследовании проблемы соотношения математики и опыта, постепенно сложились два как бы конкурирующих подхода к решению проблемы — математический априоризм и математический эмпиризм.

Имеющиеся априористские и эмпиристские работы обычно автономно представляют свой круг идей и не коррелируют друг с другом, зачастую содержатся в сборниках, посвященных иным проблемам философии математики (проблеме существования революций в математике, проблеме содержания социокультурной философии математики, проблеме физикализма, проблеме соотношения чистой и прикладной математики и т.д.), и в лучшем случае фрагментарно спорят с некоторой «избранной»

позицией из спектра противостоящих, не осознавая своего места в ряду сходных концепций. Наконец, среди исследователей нет единства относительно самих формулировок этих двух подходов. Таким образом, при всей важности проблемы соотношения математики и опыта и при всем богатстве и значимости уже разработанных подходов в современной философии математики сложилась парадоксальная ситуация отсутствия рефлексивного (целостного) осознания соотношения математического априоризма и математического эмпиризма.

Такая рефлексия, детальный и многоаспектный анализ соотношении математического априоризма и математического эмпиризма как подходов, предлагающих различные и даже в чем-то противоположные решения проблемы соотношения математических и опитых суждений, не может быть осуществлена одним автором, oбязательно находящимся «в плену» своей индивидуальной теоретической схемы.

Мелодия соотношения математического априоризма и математического эмпиризма может быть исполнена только пи много голосов, звучащих синхронно, но ведущих каждый свою «партию». Именно поэтому было решено посвятить очередной (уже третий) коллективный сборник работ российских авторов, специализирующихся в области философии и истории математики, столь и шестой, хотя и фрагментарно обсуждаемой проблеме. Как и две предыдущие монографии данной серии («Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты». М., 1997; «Стили в математике: социокультурная философия математики». СПб.. 1999), настоящая книга является целостным коллективным произведенном, обладающим особой формой построения и изложения материала, включающего полемику авторов между собой, обнаружение как неустранимых разногласий, так и моментов общности отстаиваемых позиций.

Настоящая книга претендует на то, чтобы стать существенным акладом отечественного сообщества философов математики в рассмотрении проблемы соотношения математики и опыта. Этот вклад, как мне представляется, состоит из двух частей. По содержанию книги видно стремление коллектива авторов эксплицировать проблему соотношения математики и опыта как проблему взаимосвязи математического априоризма и математического эмпиризма. Тнкое уточнение сразу же переводит проблему в техническую плоскость и дает возможность оценивать выдвигаемые позиции как сами ни себе (в контексте априоризма и эмпиризма), так и сравнивать их друг с другом. Но, пожалуй, главным вкладом можно считать форму обсуждения, уникальный механизм совместной организации представляемых материалов. Стиль сборника, при котором коллектив авторов как целое участвует в обсуждении всех разнообразных идей соотношения математики и опыта — от анализа исходных понятий и до рассмотрения различных исторических ситуаций (кейсов), дает искомую полифонию взглядов, то несогласное согласие, которое наиболее полно передает действительное соотношение математического априоризма и математического эмпиризма в их эволюции.

Представляемая читателю книга стала результатом многочисленных докладов и обсуждений на национальном семинаре по философии математики, регулярно проводимом в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова.

Концепция книги, ее содержание, структура и способ построения были определены на ежегодных сентябрьских конференциях по философии математики (2001 и 2002 гг.), традиционно проходящих в Краснови-дово Можайского р-на Московской обл. Перед второй из указанных конференций все предлагаемые доклады были помещены на сайт конференции, что, безусловно, способствовало эффективности обсуждения и подготовке окончательного коллективного текста книги. Мне как редактору этой коллективной монографии хотелось бы выразить признательность всем авторам и членам нашего спорящего, но дружного сообщества философов и историков математики за терпение и энтузиазм в обсуждении и подготовке окончательной редакции книги. История нашей совместной многолетней работы свидетельствует, что достижения коллектива как по глубине, так и по охвату темы могут и должны превзойти достижения любого отдельного исследователя — конечно, при условии нахождения должных, способствующих творческому сомыслию организационных форм и при доброжелательности авторов друг к другу несмотря на все разногласия в их взглядах. Я полагаю, что особая благодарность от всего авторского коллектива должна быть адресована трудолюбивым и настойчивым членам редколлегии — С.Н. Бычкову, вложившему много сил и времени на доработку и редактирование текста книги, А.Н. Кричевцу, контролировавшему поступление и размещение файлов статей, а также получение рецензий и их обработку, С. С. Демидову и В.А. Бажанову, поддерживавшим подготовку рукописи, ее совершенствование и прохождение через разные инстанции на всех этапах работы редколлегии, а также В. Я.

Перминову, последовательно и убедительно вдохновлявшему все наше сообщество на разработку данной темы, глубокой и философски значимой проблемы соотношения математики и опыта.

А Г Барабашев

МАТЕМАТИКА В ОПЫТЕ

ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ

ИССЛЕДОВАНИЙ ПОСЛЕДНИХ

ДЕСЯТИЛЕТИЙ

Чтобы попытаться оценить изменения, произошедшие за тридцать последних лет в тематике и характере историко-математических исследований, я предлагаю сравнить некоторые цифры, отражающие активность историко-математической деятельности международных конгрессов по истории науки, прошедших за это время.

Как некоторые, наверное, еше помнят, 30 лет назад такой конгресс, по счету тринадцатый, прошел в нашей стране — с 18 по 24 августа 1971 г. в Москве в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова на Ленинских (ныне Воробьевых) горах. Истории математики были посвящены: специальная секция, которая провела заседаний, где было заявлено 59 докладов1, симпозиумы «Пути развития функционального анализа» (1 заседание, 7 докладов) и «Античность и современность» ( заседание, 6 докладов), значительная часть симпозиума «Средневековая наука: взаимоотношения Востока и Запада». (I заседание, 5 математических из 8 заявленных в программе), специальное межсекционное заседание, посвященное 150летию со дня рождения П.Л. Чебышева (1 заседание, 3 доклада). Доклады по истории математики звучали также на секциях «История античной науки и техники» (4 из общего числа 16) и «История средневековой науки и техники» (18 из общего числа 46). Один математический доклад (из 22 заявленных в программе) прозвучал также на проходившем 26—28 августа в Ленинграде Кеплеровском симпозиуме — спутнике Московского конгресса.

Можно сказать, что основная работа конгресса протекала на секциях. Таковых, соответствующих по преимуществу основным наукам и отраслям техники — математике, механике, физике, астрономии, химии, наукам о Земле, биологии, медицине, наукам о человеке, технике, авиационной, ракетной и космической науке и технике, — было 122.

Работа секций и симпозиумов (их было 14, они были посвящены узловым вопросам истории науки — например, «Личность ученого в истории науки», «Эволюционная теория и генетика» или «Использование новой техники в развивающихся странах (конец XVIII — XX в.)» — или знаменательным для истории науки датам, например, 100-летию Э.

Резерфорда или 150-летию П.Л. Чебышева) была организована таким образом, что любой историк математики, например, мог посетить большинство интересующих его мероприятий по своей специальности. Центром же историко-математических событий оставалась секция истории математики — здесь было заявлено 59 из 103 (т.е. 57,3%) заявленных докладов по истории математики.

Для сравнения приведем данные по последнему, XXI конгрессу, прошедшему 8— июля 2001 г. в Мехико. Разумеется, работала секция истории математики, которая провела всего 1 заседание, на котором было представлено 6 докладов. И это вовсе не означает, что на мексиканском конгрессе были слабо представлены история математики или историки математики. Они были одними из самых активных на конгрессе. Заседание Международной комиссии по истории математики, на котором состоялось ставшее уже традиционным награждение новых лауреатов премии К. Мэя, вручаемой за достижения в области истории математики, собрало значительное количество участников. Медаль А.

Койре Международной академии истории науки была на этот раз присуждена историкам математики — российскому ученому И.Г. Башмаковой и представителю Франции К.

Узелю. Конечно, доклады по истории математики делались и в рамках других секций и, что особо важно подчеркнуть, на многочисленных симпозиумах. Два из них были организованы непосредственно Международной комиссией по истории математики. Это — «История математики в латиноамериканских странах» (на него было заявлено докладов) и «История взаимоотношений французских и немецких математиков в XVIII— XX вв.» (соответственно 5 докладов). Кроме этого, историко-математические доклады были включены в программы симпозиумов — «Астрономическое наследие неевропейских культурных ареалов» (1 доклад из 19), «Миссионерская активность и распространение европейских наук в Америке и Азии: деятельность иезуитов в XVI—XVIII вв.» (3 доклада из 11), «Замедленное научно-техническое развитие — возможности усиления миссии преподавания» (2 доклада из 9), «От универсализма любителя к институализированному профессионализму: становление профессии ученого (XVIII—XIX вв.)» (2 доклада из 11), «Этнонаука и этноматематика: эволюция стилей мышления в последние 500 лет» ( доклада из 9), «Трансмиссия научных культур и формирование научных языков» ( докладов из 8), «Изменения в интерпретациях и концептуальном содержании» (2 доклада из 22), «Культурное и научное значение памятников науки и техники, находящихся в исторически значимых городах» (1 доклад из 11), «Типологические параллели в доклассических науках» (2 доклада из 13), «Наука и техника в Древней Мексике» ( доклад из 11), а также в специальное заседание Международной ассоциации — «Наука и культурное разнообразие» (1 доклад из 6). Некоторые из этих симпозиумов были организованы историками математики — (У.Д. Амброзио, А.К. Волковым, С.С.

Демидовым, Э. Кноблохом, Р. Рашедом, Я. Фолтой).

Как всегда, доклады по истории математики в древности и в Средние века проходили на соответствующих секциях: на секции «Классическая и восточная древность» было заявлено 8 докладов (из общего числа 12 секционных докладов), на секции «Средние века и Ренессанс» 2 доклада (из 7). Доклады по истории математики звучали также на секциях «Международные научные обмены» (2 из 8), «Эволюция преподавания и популяризации» (1 из 12), «Искусство и наука» (1 из 8), «Наука и общество» (2 из 29), «Наука и культура» (1 из 25) — всего в программе конференции числился 61 доклад. (Общее число докладов меньшее, чем на московском. Напомним, что тогда их было 103, однако не надо забывать, что московский конгресс был рекордным по числу участников — он был одним из первых после падения «железного занавеса», мексиканский же конгресс отпугнул многих потенциальных его участников из Европы дороговизной авиабилетов.) Как видно, секция уже перестала быть средоточием деятельности историков математики (на нее приходится менее 10% от числа всех историко-математических докладов, заявленных в программе, в то время как для московского эта цифра поднимается почти до 60%). Поэтому если на московском конгрессе участник (по крайней мере тот, кто к этому стремился) мог составить себе представление о новых результатах, доложенных на конгрессе, которые по ^большей части сообщались на секциях (любые симпозиумы и мемориальные заседания предполагают приглашение докладчиков по заранее согласованной теме, а вовсе не изложение новых результатов), то мексиканский конгресс такую возможность исключал самой своей организацией. Хочу обратить внимание и на чрезвычайное расширение тематики секций, число которых более чем удвоилось — против прежних 12.

Если раньше, как мы уже говорили, большую часть секций составляли секции по истории тех или иных конкретных наук или областей техники, то теперь к ним добавились и составили при этом большинство секции, посвященные важным проблемам истории науки и техники в их взаимосвязи с обществом, его культурой, экономикой и идеологией.

Если к этому добавить симпозиумы, на которых и протекает ныне основная жизнь конгрессов (объединяющими началами все в большей степени становятся пленарные заседания и заседания комиссий), их число 62 (23 из них организованы различными комиссиями союза, 35 — отдельными учеными и 4 — так называемые специальные сессии) против 14 московских, то можно сделать вывод о произошедшем за эти 30 лет кардинальном изменении тематики и характера историко-научных исследований.

Изменение это произошло не внезапно, однако его смысл и направленность начинают проясняться только сейчас. Я буду говорить об истории математики, так как лучше представляю себе события именно в этой области, но полагаю, что и в других разделах истории науки события проистекали сходным образом (хотя и с разной интенсивностью). Среди участников московского конгресса был Кеннет Мэй. профессор из Торонто (Канада), которого мой учитель Адольф Павлович Юшкевич — один из крупнейших историков науки XX в. и один из организаторов московского конгресса — не знал как ученого. Результаты Мэя по историографии истории математики не представлялись ему особо интересными. А.П. Юшкевич рассматривал его прежде всего как общественного деятеля, занятого полезным делом — хлопотами об организации в рамках Союза истории и философии науки специальной комиссии по истории математики3. Такую комиссию во время московского конгресса К. Мэй организовал4, а в 1974 г. основал и журнат комиссии «Historia Mathematica», который сегодня стал одним из самых распространенных и влиятельных историко-научных журналов в мире. Одним из результатов деятельности комиссии, которая впоследствии стала регулярно собираться в Математическом институте в Обервольфахе, стало резкое усиление активности историков математики на конгрессах. Комиссия стала организовывать в их рамках симпозиумы.

Одним из первых таких симпозиумов стал симпозиум «Историография и история математики» на проходившем в 1989 г. в Гамбурге XVIII конгрессе, организаторами которого выступили известный мюнхенский историк математики М.Фоль-ертс и автор этих строк.

Естественно задаться вопросом: каковы причины, побуждающие ученого возлагать на себя довольно обременительные обязанности по организации таких предприятий?

Попробую ответить на него, опираясь на собственный опыт5. Как тогдашний вице-президент комиссии по истории математики (речь идет о времени, предшествующем конгрессу 1989 г.) я был заинтересован в активизации ее работы. Тема — историография истории математики — казалась мне в высшей степени актуальной6. Это причины объективные. К тому же была причина этой активности, носившая субъективный характер: организуя симпозиум, я увеличивал свои шансы на участие в конгрессе, В это время еще существовал Советский Союз, и этот симпозиум значительно увеличивал вероятность включения моей кандидатуры в состав советской делегации. Подобного рода субъективные соображения играют немалую роль в организации симпозиумов на конгрессах — акции организатора такого предприятии в его собственном университете резко повышаются, к тому же любой западный университет безоговорочно оплатит такому организатору расходы по поездке на сам конгресс; добавим еще открывшуюся перед таким организатором возможность издать материалы такого симпозиума под своей редакцией — это стимулирует активность амбициозной молодежи (хочу обратить внимание на большой процент сравнительно молодых ученых, выступивших в такой роли на мексиканском конгрессе; руководители симпозиумов на московском конгрессе — сплошь маститые ученые).

Все это — важные субъективные причины, которые побуждают ученых браться за организацию симпозиумов. Объективным же фактором, определяющим подобную деятельность, выступает необходимость исследования новых тем и вопросов, которые ставит перед сообществом сам ход развития нашей науки. Ведь только для обсуждения таких тем и вопросов организатор сумеет найти достаточное количество квалифицированных докладчиков, и в необходимости постановки только таких тем он сумеет убедить коллег, от которых зависит включение соответствующего симпозиума в программу конгресса.

Итогом такой деятельности немалого числа активных историков науки и стали изменения в тематике конгрессов (и параллельные перестройки в структуре отделения истории науки Международного союза истории и философии науки — организация комиссий по самым разным вопросам истории науки). Первоначально казалось, что вся эта деятельность служит исключительно удовлетворению личных амбиций. Однако теперь становится ясным, что причины этого феномена находятся значительно глубже, а личные амбиции являются лишь частью того механизма, который осуществляет эту громадную перестройку всего корпуса истории науки.

Описанная нами картина наблюдается не только в практике международных конгрессов по истории науки, но и в деятельности других международных и национальных историко-математических форумов (например, на традиционных конференциях по истории математики в математических институтах в Обервольфахе (ФРГ) и Люмини (Франция), на состоявшейся в 1999 г. 5-й Всероссийской школе по истории математики в Ярославле), в работе ведуших историко-математических семинаров (таких, как семинар на механико-математическом факультете МГУ или в Институте Анри Пуанкаре в Париже). Сходная ситуация и в тематике публикаций ведущих мировых изданий по истории математики — в упоминавшемся журнале «Historia Mathematical или в «Историко-математических исследованиях.

Если 30 лет назад в тематике историке-научных изысканий доминировала история идей, то сегодня мы видим значительное количество исследований, направленных на выяснение того, каким образом математика в своем развитии зависит от социальных факторов (и в какой мере ими определяется), как математические идеи функционируют в обществе, каким образом организованы ее институты и как они взаимодействуют с другими общественными и государственными институтами, как математика, институционально и идейно, связана с проблемами народного образования, как воздействуют на ее развитие идеологические факторы и, наконец, как она сама воздействует на общество, на его философию, культуру и идеологию. И дело здесь даже не в том (хотя и в том тоже), что модные до Второй мировой войны проблемы выявления социальных корней науки (вспомним знаменитый доклад Б.М. Гессена о социальных и экономических корнях ньютоновых «Начал», произнесенный в 1931 г. на Втором международном конгрессе по истории науки в Лондоне), не найдя своего решения в рамках тогдашних историко-научных исследований, вновь вернулись в историю науки на новом витке ее развития (а именно в такой трактовке это изменение тематики историконаучных исследований и было первоначально воспринято по крайней мере советским научным сообществом7), таким пониманием наполнялся и появившийся тогда термин — «социальная история науки».

Дело, на наш взгляд, в другом. Наука в современном обществе заняла особое положение. Конечно, важность науки, а главное, базирующегося на ней научнотехнического прогресса всеми признавались, но решительные перемены в идеологии произошли лишь в последние десятилетия, Не последнюю роль в этом сыграла экспансия компьютерных, космических и ядерных технологий. И факт этот по-настоящему только начинает осознаваться. И хотя он рождает во многих слоях общества неадекватную реакцию активного неприятия — растут антинаучные настроения, принимающие подчас чрезвычайно агрессивные формы, — значимость науки и научной идеологии de facto становится общепризнанной. В такой атмосфере необходимость осознания феномена науки становится одной из центральных задач познания, поэтому вопросы истории и философии науки оказываются в ряду сюжетов, волнующих почти каждого мыслящего человека. А отсюда и чрезвычайное расширение историко-математической проблематики, и увеличение списка специальностей лиц, пишущих на историко-математическиетемы, и, соответственно, читательской аудитории 8.

Мир разделенный европейской культурной традицией Нового времени надвое — Восток и Запад, материя и противостоящее ей сознание, теория и, по сути, противополагаемая ей практика меняются на наших глазах. Такие оппозиции, оказывавшиеся до известной степени удобными для предварительных оценок, мысленных построений и даже практики (например, для номенклатуры специальностей — чистая и прикладная, определившей структуру учебных заведений на добрые две сотни лет), начинают выглядеть сегодня искусственными. Проблема «математика и опыт» приобретает, как убедительно демонстрируют доклады на нашей конференции, новое понимание и новые измерения.

1 Приводимые цифровые данные получены в результате анализа программ X1I1 и XXI конгрессов [1, 2].

2 Некоторые направления делились на подсекции. Например, секция «История физики и астрономии» делилась на две подсекции — «История новой и новейшей физики» и «История физики и астрономии».

3 В отсутствии интереса А.П. Юшкевича к деятельности К. Мэя и его трудам нашло отражение распространенное тогда среди ведущих историков математики отношение к вопросам, которыми оп занимался, как второстепенным. Истинное значение деятельнсти К. Мэя (1915—1977) было оценено лишь после его ранней смерти. В память К. Моя основанной им Международной комиссией по истории математики была учреждена Международная премия, первыми лауреатами которой в 1989 г. стали А.П. Юшкевич и Д.Я. Стройк.

4 Вот состав ее тогдашнего бюро — К. Мэй (Торонто), президент; С.С. Демидов (Москва), вице-президент; П. Дюгак (Париж), секретарь; К.Р. Бирман (Берлин); С. Ито (Токио); Дж.Дж. Уитроу (Лондон).

s Начиная с XVIII конгресса я участвовал в организации симпозиумов на всех последующих конгрессах.

6 Актуальность темы для современной истории математики — вопрос в высшей степени деликатный. В 1972 г., будучи еше совсем молодым историком науки, я участвовал в 3-м конгрессе болгарских математиков с доклатом по истории теории дифференциальных уравнений с частными производными в XIX в. Плохо рассчитав время, я успел рассказать только об изменении идеологии в теории, которое произошло в конце века. Я сам и мои коллеги посчитали, что доклад я загубил: ограничился введением, не рассказав о главном — о конкретных результатах математиков XIX в. Выступая в июне 2001 г. на конференции по истории теории дифференциальных уравнений в Лиссабоне, я (уже сознательно) сделал центром доклада то самое изменение в идеологии, убрав конкретные результаты из доклада вовсе. Доклад вызвал содержательную дискуссию. То, что в начале 70-х годов казалось неинтересным, стадо в высшей степени актуальным в наше время.

7 И его тогдашним лидером — С.Р. Микулинским.

R Отсюда, в частности, и появление курсов истории математики, читаемых ныне студентам самых неожиданных специальностей в многочисленных университетах.

Список литературы 1. XIII Международный конгресс но истории науки. Программа. Москва, IS—24 августа 1971. М.. 1971.

2. XXI International Congress of History of Science, Mexico City, 8—14 July, 2001. Scientific Program. Mexico City, 2001.

КОММЕНТАРИИ

A.A. Григорян В статье С.С. Демидова обращают на себя внимание факты, свидетельствующие о том, что современный историк математики в своих исследованиях стремится существенно выйти за границы «парадигмального поля» историко-математического исследования, ограниченного прежде всего проблемами «истории идей». В частности, историки математики в своих работах затрагивают важнейшие проблемы как философии, так и социологии математики.

В своем комментарии мне хотелось бы сказать о другой, не менее значимой тенденции, характерной для развития исследований в области философии математики.

Было бы ошибкой утверждать, что классические философские проблемы математики — такие как, например, проблема бытия математических объектов, проблема обоснования математики и т.п., близки к своему окончательному разрешению или что интерес к ним, по крайней мере сейчас, резко понизился. По-видимому, справедливо и то, что эвристический потенциал тех идей и направлений в обсуждении данных проблем, которые обходятся без широкого приатечения и достаточно кропотливого анализа соответствующего историко-математического материала, еще далеко не исчерпан. Тем не менее современные исследователи проблем философии математики все чаше не просто привлекают историко-математический материал для иллюстрации своих идей, но и, пусть в достаточно ограниченной области, выступают в роли историка.

Дело не только в том, что историко-математический материал может обеспечить богатую обосновательную базу для выдвигаемых философских концепций. Поскольку эти концепции зачастую основываются на принципиально различных метафизических и гносеологических предпосылках, их собственно философский сравнительный анализ оказывается практически невозможным. Однако в том случае, если каждую из сравниваемых концепций попытаться применить для построения рациональной реконструкции того или иного эпизода в истории математики, понимание которого так или иначе связано с обсуждаемой философско-математической проблематикой, можно говорить о достаточно адекватном «взвешивании» эвристических потенциалов рассматриваемых идей в философии математики. Более того, на этом пути возможна такая коррекция философско-математических построений, которая будет способствовать тому, что историки математики смогут использовать их в качестве своего методологического инструментария, что, надо признать, является не слишком частым явлением в современной практике взаимоотношений историков и философов математики.

В статье С.С. Демидова внимание обращено на феномен смены приоритетов в историко-научных исследованиях вообще и в историко-математических исследованиях, в частности. Анализ тематической структуры международных конгрессов по истории науки позволил автору сделать вывод о том, что традиционные дисциплинарно ориентированные исследования в настоящее время во многом потеряли свою привлекательность. Внимание научного сообщества переключилось на ряд культурологических тем, в рамках которых и изучаются теперь исторические формы той или иной научной дисциплины.

На феномен смены приоритетов в истории математики можно взглянуть шире, попытавшись разобраться в истоках дисциплинарного подхода, с одной стороны, и в движущих силах того развития, которое в настоящее время приводит к его преодолению, с другой. Дисциплинарная форма, которую история науки приняла в XX в., своим источником имела позитивистскую трактовку научного знания. При таком подходе значимыми являются лишь «позитивные» научные результаты, полученные в рамках данной дисциплины. Что же касается вопроса о том, как вообще стала возможной та или иная форма существования науки, то он «выносится за скобки» как не вписывающийся в позитивистскую модель развития (родоначальники позитивизма относили такие вопросы к сфере «метафизики»).

Таким образом, именно к позитивным достижениям науки и было в XX в.

приковано внимание историков соответствующих дисциплин. И если в истории физики или биологии время от времени слышались голоса, считавшие абсурдом попытки обнаружения новейших физических или биологических идей, скажем, у Аристотеля, то в области истории математики идея прогрессивного кумулятивного развития почти не встречала сопротивления. Историки старательно обходили молчанием тот факт, что в подлинной истории идей развитие математики неотделимо от развития общекультурного, прежде всего философского (или ограничивались формальными замечаниями общего характера).

В конце же XX столетия, когда математика утратила лидирующее положение среди прочих наук, модель кумулятивного развития, поддерживавшаяся солидарными усилиями математиков (заинтересованных в пропаганде своих идей посредством исторических обзоров) и историков математики (зачастую работавших в составе математических факультетов и живших проблемами современной им математики), дала трещину. Утратив привычные критерии, историки математики занялись поисками новых методологических ориентиров. К сожалению, общих критериев им сформулировать не удалось. Интуитивно почувствовав, что математика является феноменом, неразрывно связанным с культурой рассматриваемой эпохи» историки математики впали в другую крайность. Оставив без внимания специфику этого феномена, они занялись исследованием самых разных констелляций, в которых могла бы фигурировать математика. Историю математического знания стати «прививать» к истории политических режимов, национальных стилей, научных учреждений, патронажа, миссионерства (одним из популярнейших направлений является сейчас история иезуитской математики) и т.д. Неудивительно, что при этом собственно математическая проблематика, столь ценимая исследователями предыдущего поколения, начала постепенно исчезать из поля зрения исследователей. На смену ей пришли сюжеты, навеянные идеями социологии, политологии, религиоведения и т.д.

Внешне многое изменилось, но, по сути, принципы отбора и интерпретации исторического материала остались столь же произвольными. Если раньше изучению подвергались только те исторические формы математики, в которых видели прообразы новейших математических идей, а все остальное оставалось за скобками, то теперь исследованию подвергается лишь тот материал, который считается релевантным с точки зрения доминирующего подхода — социологического, политологического и т.д.

В этой ситуации возможны два варианта: либо история математики вовсе прекратит свое существование, растворившись в разного рода «исследованиях науки и технологии»

(в США, например, это уже фактически произошло), либо будет наконец осознано то обстоятельство, что математика настолько тесно связана с философскими императивами конкретной эпохи (позитивно или негативно), что исследование ее истории невозможно без анализа соответствующего философского контекста.

ОТВЕТ АВТОРА

Я полностью разделяю мнение Е.А. Зайцева, что исследование истории математики «невозможно без анализа соответствующего философского контекста».

По поводу его соображений, связанных с моим докладом, у меня есть несколько мелких замечаний. Во-первых, я никак не могу согласиться с утверждением, что к концу XX в. математика утратила лидирующее положение среди прочих наук. На мой взгляд, верно, скорее, обратное — ее доминирование в науке и, даже шире, в культуре приобретает все более абсолютный характер. Одним из проявлений этой тенденции стало включение математики в программу обучения студентов по все новым и новым специальностям — вплоть до журналистов, при обучении которых еше вчера ни о какой математике и речи быть не могло. Во-вторых, я не могу согласиться с тем, что история математики в США фактически растворилась «в разного рода "исследованиях науки и технологии"». На мой взгляд, в США произошло иное — пути развития традиционной истории математики и истории науки разошлись. Исследования по традиционной истории математики ведутся в математических департаментах университетов и патронируются Американским математическим обществом (именно оно издает сегодня замечательную серию книг «История математики»), в то время как на многочисленных кафедрах истории науки представительство историков математики минимально, а в Американском обществе историков науки историки математики почти никакой роли не играют. В американских журналах по истории науки (в том числе в «Isis»

и в «Osiris») история математики практически отсутствует. Но не надо при этом забывать, что ведущие журналы по традиционной истории математики — «Historia Mathematical и «Archive for History of Exact Sciences» — издаются, по существу, в США. Такая же тенденция расхождения путей развития истории математики и истории науки начинает прояатяться и в Европе, пожалуй, сильнее всего — во Франции.

Разделяя мысли, высказанные по поводу моей статьи А.А. Григоряном, хочу в дополнение к ним высказать следующее. Конечно, история математики (равно как и любая другая историческая наука) имеет своей целью «поведать о том, как это было». При всей важности этой установки, которая на первый взгляд может показаться даже определяющей цель исторического исследования, существует другая, по моему мнению, куда более важная и значительно более сложная задача историке-мате магического исследования — выявление сущности математики и природы ее метода, постигаемые на пути их исторической реконструкции. Эта задача (или, если угодно, сверхзадача) историкоматематического исследования делает его, по сути, исследованием философским — здесь цели истории и философии математики оказываются идентичными.

ПО СЛЕДАМ КАНТА

РЕГРЕСС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АПРИОРИЗМА*

Математический априоризм можно рассматривать с двух разных позиций — как философскую концепцию математики и как философскую концепцию математики.

Вторая позиция предполагает рассмотрение «приложимости» математического априоризма к математике, его способности эффективно объяснять и предсказывать функционирование и эволюцию математического знания как состоящего из синтетических априорных суждений. Я утверждаю, что история математического априоризма как философской концепции математики начиная со времени его возникновения у Канта представляет собой периоды разработки все более и более слабых версий, каждая из которых, в свою очередь, ставилась под сомнение новыми достижениями математики, плохо укладывающимися в схему априористского истолкования. Поэтому, как я полагаю, следует признать, что история математического априоризма как программы обоснования и исследования математики представляет собой его регресс1.

Чтобы убедиться в неоспоримости выдвинутого тезиса, я предполагаю последовательно рассмотреть сущность и историю математического априоризма в их соотношении с эволюцией математики. Для этого следует:

а) выделить ту проблему и эксплицирующие ее вопросы, которую рассматривает и на которые стремится ответить математический априоризм;

б) указать центральные положения (тезисы) математического априоризма в том виде, в котором они были первоначально сформулированы Кантом, а также кратко осветить предысторию матеРабота выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда (код проекта: 99—03—00078).

матического априоризма (в части формирования этих центральных положений);

в) предъявить аргументацию, с помошью которой Кант обосновывал свою позицию;

г) рассмотреть, что в математике может расцениваться как факты, подтверждающие или опровергающие математический априоризм, и показать, какие факты дальнейшего (после Канта) развития математики вошли в противоречие с исходной версией математического априоризма;

д) выявить, что уцелело в математическом априоризме после открытия этих фактов и какие утверждения и способы аргументации пришлось ослабить в новых, гуссерлевой и неокантианской, версиях математического априоризма;

е) обосновать, что в математике первой половины XX в. были открыты дополнительные факты, заставляющие математический априоризм принять еще более слабую форму. Это подразумевает, во-первых, описание таких фактов и, во-вторых, сравнение гуссерлевой и неокантианской ослабленных версий априоризма с последующими, еще более слабыми версиями — праксеологическим, эволюционистским, структуралистским математическим априоризмом;

ж) выделить в современном состоянии математики те новые тенденции и нарождающиеся факты (находящиеся в процессе принятия математическим сообществом утверждения), которые не укладываются и в последние, постнеокантианские версии математического априоризма. Следствием обнаружения таких тенденций и фактов станет утверждение, что избежать дальнейшего ослабления математического априоризма как программы исследования и обоснования математики вряд ли удастся.

1. Общая проблема, в рамках которой развертываются основные концепции природы математики, может быть сформулирована как проблема соотношения математики и реальности. Эта проблема, если отвлечься от ее понятийного оформления, представляет собой типовой образ ситуаций вопрошания, повсеместно возникающих в тех познавательных эпизодах, в которых математические понятия, утверждения, теории приходится сопостаатять с понятиями, утверждениями, теориями о реальном, чувственно воспринимаемом мире. Математика поставляет только материал для вопрошапия, содержащийся в разных, вполне конкретных эпизодах изучения природы, в которых участвуют, с одной стороны, те или иные математические утверждения (тот аппарат, который математика предлагает исследователю для описания природы), а с другой — реальный опыт человека, встречающиеся человеку объекты внешнего мира. Загадочная гармония математических утверждений и реальных взаимоотношений объектов внешнего мира, проявляющаяся в этих эпизодах, как бы инициирует общую постановку проблемы соотношения математики и реальности, придавая ей жизненность (т.е. проблема соотношения математики и реальности не надуманна, и практика, математики ее постоянно воспроизводит).

Сопряжение значительно отличающихся ситуаций вопрошания, их соединение в одних понятиях предполагает использований столь общих обозначений, что данная выше понятийная формулировка общей проблемы соотношения математики и реальности, несмотря на жизненность самой проблемы как чего-то, стоящего за понятиями, становится малоинформативной, не указующей на концепции-решения или единственную концепцию-решение проблемы. Более того, понятия «математика», «реальность», «соотношение» могут быть наполнены разным смыслом, что затрудняет нахождение подходов к решению проблемы. Другими словами проблема соотношения математики и реальности выступает как условное обозначение (предельно общее наименование), объединяющее все концепции природы математики, но не позволяющее представить их по существу и выделить концепции-решения проблемы.

2. Философия трансформирует проблему соотношения математики и реальности в вопросы, понятийное оформление которых и сам настрой вопрошания подводят к тем или иным концепциям природы математики. Так, некоторые концепции природы математики возникли в результате попыток ответить на вопрос о том, обусловлены ли содержание и истинность математических суждений чем-то отличающимся и от эмпирической, и от индивидуатьной субъективной реальности (например, существуют ли всеобщие субъективные основания математики)? Обращение не к экспериментальному опытy и сенсусу, не к психологическим индивидуальным характеристикам ученых-математиков, не к референтной истинности и приложимости математических суждений, не к эмпирической реальности, а именно к познающему субъекту «как таковому» — вот акценты и исходные понятия, используемые этим кругом концепций.

Наиболее известной разновидностью данного вопроса можно считать его априористскую трактовку. Классическая постановка иопроса в случае априоризма выглядит так: являются ли математические суждения априорными синтетическими2 и благодаря какой человеческой способности такие суждения возможны? Другой вариант — идеалистическая трактовка: являются ли идеи, содержащиеся в математических утверждениях, врожденными, и если это так, то почему мы все обладаем одной и той же версией этих идей?

Две названные трактовки вопросов как бы предрасположены к двум ответам, концепциям природы математики — математическому априоризму и математическому идеализму, причем под последним я понимаю комплекс убеждений о врожденном характере математических истин.

Платон, Лейбниц, Кант, Гуссерль, неокантианцы, равно как и многие современные философы науки и философы математики, мне представляется, тяготеют к данным двум трактовкам вопроса об обусловленности содержания математики не эмпирической реальностью и не индивидуальной субъективной реальностью. У Платона концепции математического априоризма и математического идеализма существуют в неразвито слитном виде в рамках представлений о ноэсисе и дианойе. Лейбниц развернул эти представления в направлении математического идеализма, а Кант использовал фрагменты концепции Лейбница при построении основ собственно математического априоризма. Как я утверждаю, после Канта математический априоризм постоянно ослаблял свои позиции под давлением математической практики, однако в философском плане его позиции все более совершенствовались, становились все более изощренными.

3. Впервые, по-видимому, идея неэмпирического и в то же время не индивидуально-субъективного статуса математических утверждений была высказана Платоном в «Федоне» и «Федре» и развита в диалоге «Государство», книгах V—VII (1].

(Анализ взглядов Платона применительно к существованию математических объектов, см.

[2]. Но я хотел бы обратить внимание именно на статус математических утверждений, а не объектов). Задавая вопрос, как возможны в мире чистых идей математические утверждения, Платон привлекал для ответа концепцию ноэсиса и писал, что одной из разновидностей интеллигибельного выступает такое, в котором предположения вьщвигаются как гипотезы, исходящие не из чувственных объектов, но из чистых идей, они разворачиваются через чистые идеи и заканчиваются в чистых идеях. Утверждения геометрии и арифметики в той части, в которой они имеют дело с идеями числа и фигуры, подпадают под власть ноэсиса. Однако в то же время Платон указывал, что геометры исходят в своих рассуждениях из эмпирических фигур, как бы имея их исходным пунктом.

Поэтому утверждения геометрии остаются на уровне дианойи, не добираясь до ноэсиса — чистой диалектики идей [3]. В частности, геометрические доказательства имеют в виду чертежи, т.е. конкретные (индивидуальные) математические объекты, а не фигуры вообще [4]. Интересно, что важные соображения о соотношении ноэсиса и дианойи в математическом дискурсе, высказанные устами Сократа в контексте разговора об идеальном государстве, о благе и умопостигаемом мире, Платон счел нужным представить в концентрированном виде в окончании этого фрагмента разговора во второй раз, как бы затверживая разбросанные по тексту диалога соображения. Главкон, внимающий Сократу, повторяет то, как он понял его мысль: «Я понимаю, хотя и не в достаточной степени: мне кажется, что ты говоришь о сложных вещах. Однако ты хочешь установить, что бытие и все умопостигаемое при помощи диалектики ("ноэсиса". — А. Б.) можно созерцать яснее, чем то, что рассматривается с помощью так называемых наук, которые исходят из предположений.

Правда, и такие исследователи бывают вынуждены созерцать область умопостигаемого при помощи рассудка («дианойя». — А.Б.), а не посредством ощущений, но поскольку они рассматривают ее на основании своих предположений, не восходя к первоначалу, то, потвоему, они и не могут постигнуть ее умом, хотя она вполне умопостигаема, если постичь ее первоначало. Рассудком же ты называешь, по-моему, ту способность, которая встречается у занимающихся геометрией и им подобных. Однако это еще не ум, так как рассудок занимает промежуточное положение между мнением и умом» [1 (Государство.

Книга VI. Т. 3. С. 294)].

Таким образом, главными моментами платоновской концепции, объединяющей в себе в неразвитом виде и априористскую и идеалистическую трактовки, были: 1) промежуточное существование математических утверждений, расположенных между эмпирией (восхождение вверх, анализ в направлении от эмпирических основоположений) и миром эйдосов (спуск вниз, синтез в направлении от эйдосов числа и фигуры к сочетающим их утверждениям); 2) познание математических истин как обращение к врожденному душе знанию о мире эйдосов; 3) синтетический характер математических суждений. Как будет показано далее, пункты 2 и 3 хорошо совместимы с априористской и идеалистической трактовками вопроса о неэмпирических и несубъективных основаниях математики.

4. Развитие взглядов Платона было осуществлено Лейбницем. Он ввел само понятие «истины априори», относящейся к свойствам некоторой структуры, существующей независимо от того, есть ли чти структура в эмпирическом мире (по Лейбницу, в мире простых субстанций) [5]. Сделано это было следующим образом.

Имеются лиа вида истин — истины разума и истины факта. Истины факта ситуативны, и противоположные к ним возможны при некоторых лругих обстоятельствах. Истины разума необходимы, и противоположные к ним утверждения невозможны, ибо из них выводится противоречие. Истины разума посредством анализа сводимы к все нолее и более простым, покуда мы не приходим к исходным (прими гивным) истинам разума и к составляющим их понятиям. Определение примитивных истин разума не может быть дано, и они не могут быть доказаны.

Тем самым Лейбниц использовал декартовское «непосредственное знание» как прямое усмотрение истины (интеллектуальная интуиция). В то же время противоположные к ним утверждения непосредственно противоречивы. Далее Лейбниц вводит понятие «истины априори». По Лейбницу, априори суть истины, необходимо следующие из исходных истин разума. То есть априори есть логически необходимые (выводимые) истины. Эти истины имеют аналитический характер (хотя сами понятия аналитического и синтетического были введены Кантом). В частности, вся информация, содержащаяся в теоремах геометрии, согласно Лейбницу, содержится в исходном понятии пространства. Естественно, такая точка зрения не удовлетворяла Канта, предполагавшего синтетический характер математических утверждений. По мнению В. Тэйта, «это истолкование Лейбнииа дало основание немотивированному тезису Канта3, высказанному им в Трансцендентальной Эстетике, что пространство не есть понятие» [3, р. 40].

5. При построении концепции математического априоризма Кант использовал представления, разработанные Платоном и Лейбницем. У Платона, как мне кажется, Кантом заимствованы два положения;

1) он воспринял тезис о причастности математических утверждений к сфере внеопытного знания и даже усилил его, отказавшись от промежуточного статуса математических утверждений (отрицая чувственные основания математических утверждений, в частности воплощенные в чертежах эмпирические прообразы геометрических фигур как важные для рассуждений геометров);

2) он признал наличие нового знания в выводимых (из исходных) математических утверждениях, выразив это в тезисе о синтетическом характере математических утверждений.

От Лейбница Кант унаследовал главным образом понятие «истины априори», отказавшись в то же время от ее аналитического характера и от чисто логической выводимости априорных истин из исходных примитивных.

С точки зрения собственно математического априоризма эти заимствования зачастую воспринимаются как источник неясностей, недоразумений и внутренних несогласований. Например, как отмечал Б. Рассел [6], а затем Ф. Китчер и ряд других авторов, важные недоразумения проистекали из смешивания Кантом априорного как процесса познания и как его результата — априорных суждений. Как указывал Рассел, это именно неправомерное смешивание: априорный процесс познания не обязательно влечет за собой априорные суждения, и наоборот (например, априорные суждения могут быть результатом апостериорного познавательного акта) [6, р. 21]. Предложенные Кантом критерии априори — необходимость и непосредственная универсальность — отнесены им не только к суждениям, но и к самому процессу познания. Но в таком случае априорные познавательные акты приобретают черты декартовского и лейбницевского прямого усмотрения интеллектуальной истины, что не только устанашшвает дополнительный мостик между концепциями Канта и Лейбница, но и, в принципе, подводит к лейбницевскому тезису об аналитичности истины априори. Применительно к собственно математическому априоризму в его кантовской (классической) версии эти нестыковки приводят к внутренним предпосылкам развития, предполагают процесс «отлаживания» философских позиций. В частности, в данном случае дальнейшее развитие математического априоризма характеризовалось отказом от априорности процесса математического познания (т.е. стало ясным, что схемы доказательств не являются априорно данными).

6. Концепция синтетического априори как самостоятельная эпистемологическая концепция не сводится к заимствованиям, но имеет свои центральные утверждения. И именно Кант в границах этой концепции сформулировал собственно математический априоризм — ту его версию, которая стала классической и от которой можно отсчитывать историю математического априоризма. Вопрос об обусловленности математики субъектом в рамках этой версии трансформировался в вопрос о том, существуют ли априорные основания познания, обеспечиваюшие именно такие (а не другие) основания математики и структуру математического дискурса. Ответ Канта — ядро программы математического априоризма, его центральный тезис — звучал так: у математики — субъективные основания, и они суть априорные основания человеческого познания. Имеется априорное синтетическое созерцание в формах пространства и времени, и математика единственна именно потому, что единственно это созерцание. Это созерцание, продолжал Кант, реализуется как конструирование4. Такое конструирование начинается с конструирования понятий математических объектов. Так, в геометрии любой теореме об окружностях предшествует конструирование понятия «окружность» через постулаты и аксиомы геометрии (в данном случае особенно важен постулат, что из любой точки на плоскости можно провести окружность любого радиуса). Для этого у нас есть неэмпирическая интуиция, представляющая либо чистое воображение (формальная интуиция), либо, как пишет Кант, чистую форму чувственной интуиции, накладываемую на эмпирию посредством рисования чертежа и т.п. действий. Указанная неэмпирическая интуиция универсально применима при конструировании всех возможных геометрических фигур (скажем, разных треугольников).

Затем следуют доказательства, использующие ранее созданные (сконструированные) понятия. Доказательства, делящиеся в математике на дискурсивные (понятийный вывод) и на демонстрации (при которых в мышлении удерживается его объект, используется «формальная интуиция объекта»), в обоих случаях представляют собой конструирование, т.е. утверждается, что доказательство распадается на два типа конструирования — на понятийный вывод и на демонстрацию с удержанием объекта в мышлении.

Независимость от чувственного опыта в обоих типах конструирования — первая важнейшая черта математических суждений. Кстати, каждое математическое суждение по самой сути конструирования напрямую соотносимо с априорным синтетическим созерцанием (для каждого суждения я созерцаю, что «это именно так»). Соответственно, я полагаю, что Ф. Китчер не прав, когда он при описании «априористской программы»

делит суждения в цепочке доказательного вывода на первичные (соотносимые с априорным созерцанием) и вторичные (вывод, согласно правилам, сохраняющим априорное созерцание первичных суждений) [7]. Вторая важнейшая черта — синтетический характер математических суждений. В отличие от аналитических суждений, в которых предикат содержится в субъекте суждения и используется принцип непротиворечия (скажем, таково суждение «тело протяженно»), синтетические суждения опираются на принцип непротиворечия и на формулу «предикат не содержится в субъекте суждения, но состоит с ним в связи»5. Например, суждение, что площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее оснований, не является аналитической истиной и не имеет логического характера. Наконец, прикладная значимость математики обуслоатена применимостью пространства и времени как формальной интуиции к «внешнему чувственно воспринимаемому миру» в виде чистых форм чувственной интуиции. Тем самым Кант тяготел ко взгляду, что прикладная математика также априорна [3]. Разъясняя это положение, Кант пишет: «Исследуя выше понятия пространства и времени, нетрудно было дать понять, каким образом они, будучи априорными знаниями, тем не менее необходимо должны относиться к предметам и делают возможным синтетическое знание о них независимо от всякого опыта. В самом деле, так как предмет может являться нам, т.е. быть объектом эмпирического созерцания, только с помощью таких чистых форм чувственности, то пространство и время суть чистые созерцания, a priori содержащие условие возможности предметов как явлений, и синтез в пространстве и времени имеет объективную значимость» [8].

7. Концепция математического априоризма, предложенная Кантом, должна учитывать две основные группы факторов. Во-первых, в философском (концептуальном) плане она должна быть представлена как можно более изящно и полно. Все возможные нестыковки, двусмысленное использование понятий должны быть устранены, а отсылки и пересечения с другими философскими концепциями природы математики — четко обозначены. Математический априоризм, как я уверен, успешно справляется с этой задачей, и именно поэтому он пользуется столь большим влиянием среди философов математики. Во-вторых, математический априоризм должен соответствовать математической практике, т.е. тому положению дел, которое наблюдается в реально функционирующей («работающей») математике. Именно в этом своем качестве математический априоризм представляет собой программу исследования и обоснования математики6. Конечно, математическая практика разнообразна, и ни один отдельно взятый факт, утверждение (теорема), пример или контрпример не могут поколебать математический априоризм. Относительно отдельных «сингулярных» фактов он неуязвим.

Однако в математике есть факты и другого рода. К ним относятся значимые кластеры теорий, включая идеологию этих теорий, массивы часто используемых теорем, принятые и распространенные типы математического дискурса, основополагающие приложения и принципы использования математического знания в этих приложениях. Это — интегральные факты математики. С ними любая философская концепция математики вынуждена считаться — в противном случае она будет восприниматься как красивая игрушка философов математики, далекая от реальной жизни. Именно о воздействии таких фактов на математический априоризм и пойдет дальше (начиная с п. 9) речь.

8. Предваряя возможное возражение, выскажу один важный дополнительный тезис.

Однажды возникнув, концепция математического априоризма развивается. В этом плане хотелось бы поспорить с теми кантоведами, которые резко отрицательно относятся к попыткам модернизации взглядов Канта. Мне предстаапяется, что такой подход к Канту не продуктивен. Математический априоризм — не сформировавшаяся единовременно, а затем застывшая концепция. У Канта не следует искать то, что как бы гениальной предусмотрительностью было заложено им в концепцию математического априоризма с целью полностью учесть будущую математическую практику. Не надо полагать Канта провидчески поднявшимся над горизонтом доступного ему современного состояния математики, не надо полагать, что у Канта содержатся ответы на псе вопросы, поставленные математикой последующих эпох. Я исхожу из того, что математический априоризм развивается, что исследователи после Канта не просто читают и разъясняют его взгляды, а делают реальное дело. Они снимают неопределенности во взглядах Канта, истолковывают неясности (о которых сам Кант и не подозревал) в пользу сохранения центральных положений концепции. Кант предупредил возможное будущее развитие математики и сделал математический априоризм достаточно гибким к возможному воздействию открываемых интегральных фактов именно благодаря тому, что он не все предусмотрел и не все ясно расставил по местам. Конечно, по мере развития математики возникают новые неопределенности, неясности в математическом априоризме, появляются новые вопросы, на которые математический априоризм должен давать ответы. Но эти неясности, неопределенности, вопросы характеризуют более глубокие уровни проработки программы математического априоризма.

9. Как расценивать послекантовское развитие математического априоризма в его соотношении с математикой — как прогрессивный или регрессивный сдвиг программы? Я постараюсь показать, что это был именно регресс.

Первый «удар фактами» по математическому априоризму был нанесен открытием неевклидовых геометрий. После открытия первой из них, гиперболической геометрии7, были созданы риманова геометрия, проективная геометрия, барицентрическая геометрия, аффинная геометрия, эрмитова геометрия, геометрия Лаггера, неархимедовы геометрии и т.д. В них варьировались разные постулаты и аксиомы геометрии, вводились вообще другие основания, получались новые, отличающиеся от евклидовых результаты. Факты, представляющие собой целый класс основоположений и результатов в рамках новых геометрических теорий, были таковы:

Указанные факты, как видно, затрагивают важные компоненты математического априоризма в том его прочтении, которое приписывалось Канту. Общее мнение математического сообщества той эпохи, как я полагаю, состояло в том, что по математическому априоризму нанесен серьезный удар. Так. А. Пуанкаре считал, что если бы априорное созерцание действительно имело место, то мы бы и не могли себе представить неевклидовы геометрии. Он писал: «...Мы должны спросить себя, в чем состоит природа геометрических аксиом. Не являются ли они синтетическими априорными суждениями, как говорил Кант? Будь это так, они навязывались бы нам с такой силой, что мы не могли бы ни вообразить себе положение противоположного содержания, ни основать на нем теоретическое построение. Неевклидовых геометрий не могло бы быть» [9]. Действительно, общим местом было отождестатение единства априорного созерцания с единственностью евклидова пространства. Евклидовость пространства возводилась, так сказать, не из практики эмпирического оперирования с фигурами на поверхности земли, твердыми телами, натянутыми веревками, лучами света и т.п., а из наличия формы чистой эмпирической интуиции: другая попросту не могла быть мыслима. Эта форма совпадает с формальной интуицией, так что единственно мыслимая прикладная геометрия суть приложение «чистой» геометрии. Аналогично такая же ситуация полагалась и с соотношением чистой и прикладной арифметики.

10. Реакция математического априоризма на представленные факты развития математики в общих чертах может быть представлена как комбинация уточнений и допущений, сформулированных Гуссерлем и неокантианцами8. Я постараюсь показать, что эта реакция напоминает регрессивный сдвиг программы в том значении, которое приписывалось этому понятию Лакатосом в концепции научных исследовательских программ.

Во-первых, Кант не предсказывал названные новые интегральные факты развития математики. Их пришлось учитывать post factum. С этим были согласны все исследователи послекантовской эпохи. Причем схема такого учета варьировалась. Один из вариантов может быть резюмирован в тезисе «лучшая зашита — нападение». Некоторые неокантианцы интерпретировали открытие неевклидовых геометрий как блестящее подтверждение взглядов Канта: так, Л. Нельсон утверждал, что поскольку астрономически невозможно обнаружить, какая из геометрий верна, то все они должны укладываться в некие более общие посылки неэмпирического происхождения [10, с. 18, 25]. Но аргументацию Л. Нельсона ослабляет то обстоятельство, что у Канта нигде нет прямого утверждения, что наряду с евклидовой геометрией должны исследоваться и другие геометрии, не дается никакого намека на то, что геометры должны строить новые системы, варьируя постулаты и аксиомы (хотя Кант и был в курсе некоторых попыток доказательств пятого постулата). Другой вариант ограничивал априоризм в пользу эмпиризма. Например, Г. Гельмгольц полагал, что пространство — интуитивное понятие, а аксиомы следуют из нашего опыта. Третий вариант сводил дело к соображениям удобства. Обращаясь к словам А. Пуанкаре, мы избираем более замечательные для нас объекты, с которыми чаше имеем дело в нашем опыте [9, с. 81]. Таким образом, «блестящее подтверждение», модернизация тезисов априоризма, конвен-циальные допущения в совокупности составляют, по терминологии Лакатоса, оправдание фактов, а не их предсказание.

Во-вторых, пришлось изменить и уточнить некоторые вспомогательные положения математического априоризма, которые Кант связывал с центральным комплексом утверждений о математических суждениях как априорном синтетическом созерцании в форме пространства и времени. В особенности я бы отметил, что была подвергнута сомнению непреложность априорной интуиции как основания доказательства. Так, Ф.

Клейн пришел к выводу, что чем дальше мы продвигаемся в создании сложных математических теорий, тем более интуиция нам изменяет. Очевидность обманчива. Л.

Больцман эмоционально писал по этому поводу: «Я вполне согласен с тайным советником Клейном в отрицательном отношении к учению Канта. Я совершенно не понимаю, как можно говорить о доказательствах из наглядного представления. Когда я читаю Канта, я совершенно не понимаю, как разумный человек может писать это. Наглядное представление ровно ничего не доказывает. Наглядное представление есть лишь повторение того, что мы воспринимаем чувственным образом. Я не могу совершенно понять того, что человек приносит с собою наглядное представление пространства, которое находится над опытом или до опыта; я не знаю, как это следует себе представить» [10, с. 124]. Конечно, Больцман огрубил ситуацию и сделал из нее сугубо эмпирический вывод. В действительности речь может идти только о не наглядности процедур доказательства, т.е. об отсутствии ясного отбрасывания ложных гипотез внелогическим путем (через наличие априорного созерцания). Схожее соображение об ущербности априорной интерпретации процесса математического доказательства высказывалось также Ф. Китчером в контексте его критики математического априоризма. Китчер указывал, что для длинных доказательств невозможно посредством многократного повторения рассуждений и освежения их в памяти охватить эти доказательства как единый акт. Подходя к концу, мы забываем начало.

«Таким образом, когда мы следуем длинным доказательствам, мы теряем гарантии априорности их начальных шагов» [7, р. 45]. Я согласен с Китчером за исключением упомянутого мною ранее его утверждения, что эти гарантии состоят всего лишь в «сохраняющих априорность правилах» (р. 38): ближе к Канту было бы сказать, что, когда мы следуем длинным доказательствам, мы не можем совместить априорную интуицию отдельных шагов доказательств (промежуточных суждений) с интуицией суждения (теоремы) в целом. Эту ситуацию подметил Пуанкаре, когда в главе «Математическое творчество» книги «Наука и метод» указал, что многие люди не способны принять вывод в целом при понимании его отдельных шагов. Для понимания математического доказательства, считал Пуанкаре, необходимо обладать интуицией порядка расположения элементов доказательства. «Понятно, — писал Пуанкаре. — что это чувство, этот род математической интуиции, благодаря которой мы отгадываем скрытые гармонии и соотношения, не может быть принадлежностью всех людей. Одни не обладают ни этим тонким, трудно оцениваемым чувством, ни силой памяти и внимания выше среднего уровня, и тогда они оказываются совершенно неспособными понять сколько-нибудь сложные математические теории. Другие, обладая этим чувством лишь в слабой степени, одарены в то же время редкой памятью и большой способностью внимания. Они запомнят наизусть частности, одну за другой; они смогут понять математическую теорию и даже иной раз сумеют ее применить, но они не в состоянии творить. Наконец, третьи, обладая в более или менее высокой степени той специальной интуицией, о которой я только что говорил, не только смогут понять математику, не обладая особенной памятью, но они смогут оказаться творцами, и их поиски новых открытий будут более или менее успешны, смотря по степени развития у них этой интуиции» [9, с. 311—312].

Видно, сколь далека эта интуиция от всеобщей и единой синтетической априорной интуиции истинности математических суждений! Я считаю, что можно найти общую почву соображений Клейна, Больцмана, Китчера, Пуанкаре, в чем-то ослабив каждое из них: принять математические утверждения и доказать истинность математических утверждений, принять и обосновать — разные вещи. Совокупность математических суждений («цепочка силлогизмов в доказательстве») обладает качественно иными свойствами по сравнению с каждым отдельном суждением. Поэтому логический аппарат в математике прямым усмотрением истинности отдельных суждений незаменим. Отсюда необходимо ограничение математического априоризма в части отождествления процедуры доказательства с конструированием как ступенчато осуществляемым априорным синтетическим созерцанием. Априоризм должен потесниться и уступить часть своего «царства» логической процедуре. Однако очевидность, собственно априорное созерцание, остается с суждениями, за границы априоризма выводится только процедура их соединения, сведения в систему, доказательного обоснования.

В-третьих, вместо априорного созерцания в форме евклидова пространства возникло допущение о наличии единого фундамента, абсолютного пространства, спецификациями которого являются пространства всех геометрий. Это усовершенствование математического априоризма, предложенное Л. Нельсоном и следующее из отмеченной ранее стратегии «лучшая защита — нападение», получило внутреннее оправдание. Именно синтетические априорные суждения допускают противоположные как осмысленные, хотя у Канта не говорится, что они истинны наряду с евклидовыми. Неопределенности у Канта позволяли принять такую трактовку, а совместимость различных геометрических систем (так, гиперболическая планиметрия выполняется на псевдосфере, расположенной в евклидовом трехмерном пространстве;

«Эрлангенская программа» ф. Клейна устанавливает единые основания различных геометрий через классификацию групп движений; другой вариант взаимосвязи геометрий был предложен в концепции Б. Римана, в которой «основным понятием является не фундаментальная группа, а фундаментальная (произвольная) квадратичная форма, являющаяся обобщением понятия расстояния между двумя бесконечно близкими точками» [11]. Указанная концепция подводила математическое основание под подобную точку зрения9. В то же время сохранялась и более консервативная позиция, согласно которой равноправие различных геометрий есть только в сфере математики (как матемазо тических теорий) и в теоретической физике (как теорий, имеющих приложения в физике), но в фундаменте находится именно евклидова геометрия как схема нашего созерцания (В.

Майнеке). Все остальные геометрии доступны нам постольку, поскольку они ограниченно моделируются с помошью евклидовых образов.

11. Что получилось у Гуссерля и неокантианцев, в чем заключалась модификация математического априоризма?

Г. Гуссерль испытал влияние марбургской школы и Б. Больцано. Основные идеи Гуссерля о математике содержатся в его работе «Начало геометрии» [12]. Гуссерль полагал, что сознание необходимо очистить от эмпирического содержания, поскольку мы конституируем оглушения в мышлении. А так как акты сознания есть оценочные акты, то при очищении сознания от эмпирии в итоге остается последнее неразложимое единство сознания, его интен-циональность как направленность на предмет. Содержание интенциональности, т.е. на что направлено наше сознание, Гуссерль называет ноэмой, а форму интенциональности, т.е. как сознание направляется на предмет, он обозначает как когито («я думаю, что»). Когито обеспечивает интенциональность как таковую, а ноэма обусловливает само содержание сознания, включая возможные вопросы об объекте [13].

Интенциональность задает порядок ощущений (то, что Гуссерль называет феноменологической редукцией), в том числе предполагает отбрасывание одних, возможных, но не реализовавшихся ощущений, и концентрацию на других ощущениях.

Одна из трех разновидностей феноменологической редукции, эйдейтическая редукция (варьирование данных воображения и отбор образов-иллюстраций), лежит в основе математики, логики, этики и эстетики [14]. Как выражается Гуссерль, феноменологическая редукция выводит на разные «онтологические регионы» интенциональности, и в том числе на «онтологический регион» математики (кстати, близкая конструкция была дана в статье Душкина [15]). Можно сказать, что это и будет аналог кантовского ареала математики как области, содержащей суждения, представляющие априорное синтетическое созерцание. Состав математического онтологического региона весьма разнообразен, например, в нем может присутствовать мысленное осуществление некоторых действий по воображаемому скручиванию, склеиванию и т.п. некоторых поверхностей. Р. Трагессер показывает, что при подобных действиях нам обязательно приходится достраивать наше представление объектов, с которыми мы действуем. Понастоящему «у нас есть иллюзия установления синтетических истин априори» [13, р. 97].

Таким образом, у Гуссерля происходит отказ от предзаданности априорных форм созерцания. Ноэмы эволюционируют, что обеспечивает расширение математики.

Попытки усовершенствовать априоризм в его части, предлагающей обоснование математического знания, совершались также представителями неокантианских школ и напраштений. Взгляды сторонников «физиологического» (Ф. Ланге, Г. Гельмгольц) и «психологического» (Л. Нельсон) направлений, внесших значительный вклад в эволюцию математического априоризма, были представлены ранее (см. п. 10). Кроме того, здесь следует упомянуть две школы последователей Канта — Марбургскую и Баденскую.

В Марбургской школе — Г. Коген, П. Наторп, Э. Кассирер [16] — гипотеза занимает место априорных форм, и с ее помощью производится упорядочивание созериания.

Представители Баденской школы (В. Виндельбанд, Э. Ласк, Г. Риккерт, последний в наиболее явной форме [17], — предлагают другой вариант: безличное сознание конструирует математические суждения, которые априорны с позиций отдельного индивидуума.

Видно, что реконструировать общую позицию неокантианцев, обрисовать единое состояние исследовательской программы математического априоризма второй половины XIX — первого десятилетия XX в. крайне тяжело. Внутренние разночтения между ними и даже прямо противоположные взгляды на некоторые вопросы (как, например, Г.

Гельмгольца, Л. Нельсона и В. Майнеке о равноправии различных геометрий с точки зрения наличия их априорного созерцания: Гельмгольц — полностью равноправны, Нельсон — абсолютная геометрия в основании созерцания, а все остальные геометрии производны, Майнеке — евклидова геометрия в основании созерцания) не позволяют построить приемлемую для всех них во всех частях схему. Тем не менее относительно дальнейшего развития математического априоризма можно выделить ряд черт, фиксирующих его регресс. Конечно, ядро программы, утверждения об априорном синтетическом характере математики, о том, что в основе этого знания лежит априорное созерцание, осталось. Однако вспомогательные утверждения и способы их защиты претерпели изменение.

Ослабление программы математического априоризма заключалось, на мой взгляд, в следующем:

— математические утверждения схватываются актом синтетического созерцания, представляющим собой последовательность процедур (конструирование) в соответствии с формальной интуицией пространства и времени. Но доказательство этих утверждений все равно нужно, и логический вывод неустраним. Иными словами, мы «видим», что данное утверждение истинно, что это так на самом деле, мы понимаем смысл утверждения, но такого видения мало. Необходимо также системное представление, обнаружение связи данного утверждения с другими утверждениями, т.е. доказательство. Здесь — простор дедукции. Из доказательства в его «идеальном» исполнении (как последовательности силлогизмов без пробелов и прямых отсылок к интуитивной самоочевидности) априорное созерцание изгоняется;

— представления о пространстве и, в меньшей степени, времени как формах априорного созерцания, данные Кантом, теряют определенность. Например, неясно, что понимается под пространством и насколько можно сохранить его евклидово представление;

— принимается положение, что математика может расширяться и выходить за пределы наглядности, очевидности и единственности теорий;

— априорное созерцание распространяется главным образом на «чистую» математику, но не на приложения (прикладную математику).

12. Одновременно со становлением неокантианства и после его расцвета появились новые факты, требующие дальнейшего изменения программы математического априоризма. Эти интегральные факты были «вписаны» в установившуюся в начале XX в.

картину формально-аксиоматического построения математики. В частности, в ее рамках был создан новый образ геометрии. Такой взгляд на геометрию отчетливо выразил П.К.

Рашевский. Он писал: «Можно сказать, что геометрия как математика — это геометрия, рассматриваемая с точки зрения ее логической структуры» [18]. Конечно, Гильберт не придерживался столь радикальной позиции, считая себя последователем Канта. В своей метаматематике, как известно, он вводил финитные ограничения. Кроме того, разделяя объекты математики на формальные и идеальные, Гильберт соотносил идеальные объекты с априорным синтетическим созерцанием10. Тем не менее установившийся благодаря работам Гильберта и Геттингенской школы общепринятый взгляд на математику существенно сместил акценты. Математика начинает рассматриваться как совокупность формальных структур, основания которых принимаются конвенциальньш путем [19].

Ограничения формализма, установленные теоремами Геделя, сходными результатами Тарского и Куайна и др., не поколебали указанного общего убеждения, развитого далее (как бы в противовес ограничениям) коллективом Н. Бурбаки. Интересно, что сам Гильберт спокойно отнесся к результатам Геделя, считая, что его предсташтения о математике теоремами Геделя поколеблены не были, поскольку его программа не сводится к конвенциально-формальным компонентам. Отмечу также, что предпринятая Ершовым и Самохваловым попытка «спасения» программы Гильберта реабилитирует именно взгляд Гильберта, а не распространенный образ формализма, сложившийся в сознании математического сообщества [20].

13. Совсем новый, постнеокантианский математический априоризм, я полагаю, демонстрирует дальнейшее отступление в качестве программы обоснования и исследования современной математики.

В.Я. Перминов предлагает вариант, предел отступления априоризма в котором положен стабильностью праксеологического конструирования. Граница отмечена двумя соединенными межевыми знаками: стабильность однажды доказанного и принятие суждений не на формально-логических основаниях. Вот, по-моему, центральный тезис данной конструкции: «Подтверждение (проверка доказательства) математической теоремы представляет собой всегда конечный процесс, сводящийся к установлению возможности или невозможности некоторых комбинаций в конечном множестве элементов, т.е. к элементарным праксеологическим констатациям, которые уже не могут быть подвергнуты ревизии со стороны логики или опыта. Доказательства математических теорем являются столь же законченными, сколь законченной может быть наша практическая деятельность по упорядочению конечного числа элементов» [21]. Здесь уже затрагивается происхождение априорных форм в практической деятельности — вещь, не обсуждавшаяся в неокантианстве (я бы сказал, что ближе всего к этой позиции Э. Гуссерль, полагающий из других оснований пластичность ноэм).

Вторая ветвь новейшего математического априоризма, далеко ушедшего от своего «прародителя», хорошо исследована А.Н. Кричевцом. Он считает, что возможно развивать натуралистическую трактовку кантианства, при которой концепция синтетического априори сопоставляется с данными современного естествознания и, более того, синтезируется с некоторыми «философски нагруженными» разделами естествознания, в первую очередь с математическим естествознанием и теорией искусственного интеллекта [22]. А.Н. Кричевец стремится показать, что возникновение и история эволюционизма дают материал для рассмотрения гипотезы об эволюционной нестабильности самих априорных форм [23]. Как утверждает А.Н. Кричевец, «кантовские априорные формы следует, с одной стороны, понимать в гораздо более широком, чем у Канта, смысле, подводя под кантовскую схему все без исключения теории математического естествознания, а с другой стороны, в гораздо более, слабом смысле, связывая их развитие с опытом, хотя и не сводя к нему, т.е. не отказываясь полностью от их априорности (однако смысл априорности придется уточнить)» [23, с. 3]. Основные авторы, работы которых в этой связи привлекает А.Н. Кричевец, — К. Лоренц [24] и Ж. Пиаже [25], а если брать шире, то направления эволюционной эпистемологии и генетической эпистемологии (во втором случае иногда предпочитают употреблять термин «генетическая психология», или «эволюционная психология»). Добавлю, что подходы к признанию изменения априорных форм были, как мне кажется, намечены Гуссерлем (через эволюцию ноэм), однако для неокантианцев убеждение Канта в стабильности априорных форм еще сохранялось непоколебимым.

Третий вариант — совмещение структурализма и формального подхода к математике как совокупности формальных структур, с одной стороны, и трансцендентализма — с другой. Данный вариант развивается Г.Б. Гутнером [2, с. 17].

Суть этого подхода заключается в том, что предполагается априорное сингетическое созерцание не суждений, а математических структур в целом. Г. Гутнер пишет:

«Математический объект существует постольку, поскольку сконструирован. Однако математика не есть простое конструирование объектов. Она представляет собой решение задач, а потому каждый объект появляется в ней в рамках более общей структуры, продуцируемой познавательными способностями для того, чтобы получить такое решение. Значит, объект существует, поскольку встроен в такую структуру в виде ее элемента. Сама структура предстает как конструкция способности воображения, и о ней может быть поставлен вопрос — в рамках какой еще более общей структуры она существует» [2, с. 41]. Интересно, что и у Гутнера, и у Кричевца большое значение придается анализу рефлектирующей способности суждения («Третья критика» Канта).

Для Гутнера, как мне представляется, идея наличия рефлектирующей способности суждения дает возможность избежать предварительной заданности самых общих структур и обосновать тем самым эволюцию математики в направлении возникновения новых и неожиданных теорий.

14. Казалось бы, математический априоризм, усовершенствовав свою аргументацию и ослабив ряд исходных допущений, смог адаптироваться к современной математике. Однако математика не стоит на месте, и возможны, я бы даже сказал, назревают, новые интегральные математические факты, которые могут потребовать дальнейшего ослабления математического априоризма.

Эти факты связаны в первую очередь с изменившимся характером приложений математики. Возникло много качественных приложений, часто наблюдается аллегорическое использование языка математики. Согласно классификации В.В.

Налимова, только в одном из трех направлений математизации (он называет его «эмпирико-математическим») реализуется традиционное построение математических моделей, исходя из эмпирических данных. Построение таких моделей, как писал В.В.

Налимов, «всегда требует определенных априорно задаваемых предпосылок» [26]. В двух других, новых направлениях («параметрическом» и «метафоро-математическом», или даже «мифо-математическом», как предпочитает называть его Налимов) математические модели либо выступают в роли метафор, «существенно облегчающих осмысление наблюдаемых явлений» [26, с. 106], либо «в роли мифа, которому исследователь дает новое раскрытие так же, как когда-то это делал мыслитель древности с мифами своего времени... Так, предметная область обогащается идущими от математики новыми идеями, порождающими новое видение Мира» [26, с. 108]. Здесь уже не просматривается априорное синтетическое созерцание, а посему в новых видах приложений сохранение объясняющей (возможность применения математики к изучению реальности) функции априоризма проблематично.

Во вторую очередь под сомнение ставятся некоторые фундаментальные для целых классов теорий утверждения математики. Я имею в виду тот спор, который сейчас происходит относительно доказательств Кантора в теории множеств. Если, как полагают некоторые исследователи11, рассуждения в доказательстве с так называемой «диагональной процедурой» некорректны по причине допускаемого нарушения определения актуально бесконечного (завершенного) множества и введения не-множеств [27], то большое количество результатов во многих областях математики оказывается под вопросом.

В-третьих, но наверняка не в последних, возник и стремительно разрастается массив «условных» суждений (условно истинных теорем). Так, если какое-либо утверждение относительно простых конечных групп получено с помощью машинного счета, то из него вытекают следствия, чаще всего доказываемые обычным путем, без применения компьютера. Однако истинность всей этой цепочки результатов (суждений) условна, поскольку в обычной процедуре доказательства проверить истинность исходного машинно верифицированного суждения невозможно, а наша интуиция ничего не говорит нам о том, верно это утверждение или нет. Кстати, похожая ситуация складывается с априорным синтетическим созерцанием суждения «для раскраски любой карты на трехмерной сфере достаточно четырех красок»: у нас нет интуиции, так ли это. Возможно, есть случай, когда потребуется пять красок. Доказательство не проясняет эту ситуацию, поскольку критическая фаза доказательства требует применения компьютера, и его «ответ» подменяет собой усмотрение истинности.

15. Осталось сформулировать вывод. Мне представляется, что защитникам математического априоризма, настаивающим на его соотнесении с практикой математики, следовало бы задуматься не о том, как повергнуть другие концепции природы математики, а о том, как отступить дальше без значительных потерь, как еще более трансформировать математический априоризм, пожертвовав второстепенными положениями с целью защиты его центральных тезисов.

1 Как неоднократно отмечалось, априоризм как философская концепция обладает логической устойчивостью (т.е. его утверждениям может быть придана ясная логическая форма и с несогласованностью некоторых утверждений, равно как и с неясностями, можно успешно справляться). Более того, априоризм не устаревает: последователи априоризма успешно модифицировали исходную концепцию Канта и превратили ее в такие конструкции, которые полностью соответствуют философии своего времени, остаются глубокими и привлекательными для читателей, вдохновленных идеями Канта. Однако я хотел бы подчеркнуть, что в данной статье речь идет не о философии синтетического априори в целом и не о ее истории, не о математическом априоризме как о части априоризма, а о математическом априоризме как специализированном «прикладном» (а точнее, прилагаемом к обоснованию реальной математики) фрагменте данной философии. Этот фрагмент, я полагаю, обладает ценностью для математиков и философов (за исключением небольшого числа специалистов по философии математики, очарованных внутренними ландшафтами математического априоризма и технической сложностью, равно как и славной историей его проблем) главным образом в соотнесении с объектом своего изучения — реальной математикой.

2 Как справедливо отметил А.Н. Кричевец, здесь и далее по тексту лучше было бы употреблять понятие «синтезируемые» вместо общепринятого «синтетические». Подчеркивание процессуальной стороны синтеза хорошо совместимо с другим основополагающим аспектом концепции Канта — конструированием, Тезисы об априорном синтезируемом созерцании и о конструировании совместно образуют, я считаю, ядро математического априоризма как программы исследования и обоснования математики. Более подробно математический априоризм как исследовательская программа описан в пункте 6 настоящей статьи.

3 В действительности этот тезис у Канта отнюдь не был немотивированным. Чтобы не умножать объяснения и не повторять других авторов, приведу отрывок из только что вышедшей статьи В.А. Шапошникова, в которой подробно рассматривается позиция Канта о том. что пространство не есть понятие, вкупе с примечательной реакцией Павла Флоренского на взгляды Канта: «В одном из примечаний к «Столпу» (1914) о. Павел пишет: «Огромной заслугою Канта было указание, что могут быть объекты, ничем не различающиеся между собою в понятии, для рассудка, но, тем не менее, различимые — так что разница постигается между ними лишь при их наглядном сравнении». Примером таких объектов могут служить симметричные относительно центра сферы и равные между собой сферические треугольники.

Флоренский не разделяет ни первоначального вывода, который Кант делал на основании этого факта, что «пространство — не понятие, а реальность, независимая от рассудка», ни позднейшего — что «пространство не понятие, а форма созерцания» [28].

4 Отдельным вопросом является то, имеются ли наперед заданные правила (схемы) такого конструирования или нет.

Этот вопрос применительно к подведению эмпирических явлений под одно правило или суждение, как указывает А.Н.

Кричевец, решался Кантом по-разному. В «Критике чистого разума» Кант полагает, что правило или суждение как бы предзаданно и неизменно. В «Критике способности суждения» правило формируется через рефлектирующую способность суждения, оно гибко [23]. Если принимать позднюю позицию Канта, то, как мне кажется, мы вплотную подойдем к взгляду Д. Гильберта, что не существует универсального правила решения всех задач, 5 Значимость нахождения предиката в связи с субъектом суждения особо отмечает М. Леппакоски [29].

6 Собственно говоря, именно в таком ключе рассматривал математический априоризм Ф. Китчер, хотя у него в явном виде разделение математического априоризма как программы обоснования математики и как самостоятельной философской концепции еще не производилось.

7 О драматизме этого открытия свидетельствует, в частности, то обстоятельство, что творцы гиперболической геометрии непременно хотели выяснить ее отношение к действительности. Например, Я. Больяи писал: «...Обе геометрии одинаково доступны воображению, и навсегда останется неразрешимым, какая из них является действительной». [30]. Иная позиция была у Н.И.Лобачевского. Он считал, что «как бы то ни было, новая Геометрия, основание которой уже здесь положено, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем воображении и, оставаясь без употребления для измерений на самом деле, открывает новое, обширное поле для взаимных применений Геометрии и Аналитики» [31].

8 Защитные аргументы неокантианцев собраны в книге В.Я. Перминова [32].

9 Похожая ситуация, кстати, складывалась и с расширением понятия числа (введение кватернионов и других числовых систем). Насколько я знаю, “числовая” сторона эволюции математики рассматривалась в контексте влияния на априоризм Э. Гуссерлем в работах “О понятии числа” (1887) и «Философия арифметики» (1891).

Гуссерль ясно осознал проблему эпистемологического статуса «воображаемых чисел», под которыми он понимал отрицательные, иррациональные, комплексные числа, трансфиниты и актуально бесконечные. Основной вопрос, которым интересовался Гуссерль, заключался в том, как возможны интуиция и озарение в случае замены логического мышления механическим оперированием с символами [33]. А.Н. Кричевец предложил гипотезу о «финальной вариативности» эволюции числовых систем, при которой каждый этап вариативности заканчивается объединенным обшим пониманием. Именно с этих позиций А.Н. Кричевец рассмотрел, как введение отрицательных чисел — промежуточного состояния вариативности нововременных числовых систем, «снятого» в финальном акте введения комплексных чисел, было расценено Кантом. Однако современная эволюция числовых (и алгебраических) систем в плане их соотнесения с математическим априоризмом еще ждет своих исследователей.

l0 Более подробно о том, в каких частях и насколько Гильберт при формировании концепции формализма придерживался взглядов Канта, можно прочесть в работе Е.Д. Смирновой [34].

11 См.: Петросян В.К. Общий кризис теоретике-множественной математики и пути его преодоления. М., 1997;

Зенкин А.А. Ошибка Георга Кантора // Вопросы философии. 2000, № 2. В работах [35; 36] рассуждения Кантора при построении диагональной процедуры оцениваются как противоречивые, хотя авторы не согласны друг с другом относительно соотношения своих позиций и сравнения своего вклада в обнаружение недостатков доказательства Кантора. Хотелось бы отметить, что критика диагональной процедуры Кантора как противоречивого рассуждения, допускающего сначала наличие актуально бесконечного множества. а затем оперирующего с ним как с потенциально бесконечным, присутствовала уже у И.Е. Орлова в его статье [37], что обнаружил В.А. Бажанов [38; 39].

1. Платон. Соч.: В 4 т. М., 1990—1994.

2. Гутнер Г.Б. Онтология математического дискурса. М., 1999. С. 21—23, 3. Tait W.A. Reflections on the concept of a priori truth and its corruption by Karit // Proof and Knowledge in Mathematics / Ed. by M. Detlefsen. N.Y., 1992. P. 40—41.

4. Родин А.В. Теорема // Вопросы философии. 1998. № 9.

5. Leibniz G. W. The monadology and other philosophical writings / Transl. by R. Lotta, London, 1948. P. 33-35.

6. Russell B. A critical exposition of the philosophy of Leibniz. London, 1937.