«В.В. КОВАЛЕНКО ТЕОРИЯ КА ТА СТРО Ф И ЭВОЛЮ ЦИЯ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РУ ЕМ Ы Х М Н О ГО О БРА ЗИ Й В ЧА СТИ ЧН О И Н Ф И Н И ТН О Й ГИ ДРО ЛО ГИ И Монография С а н к т -П е т е р б у р г 2008 У Д К 5 5 6.0 1 :5 1 7 :0 0 4 Б ...»

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГО С У Д А Р С Т В Е Н Н О Е О Б РА ЗО В А Т Е Л Ь Н О Е У Ч РЕ Ж Д Е Н И Е

В Ы С Ш Е Г О П РО Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г О О Б РА ЗО В А Н И Я

РОССИЙ СКИ Й ГО СУ ДА РСТВЕН Н Ы Й ГИ ДРО М ЕТЕО РО ЛО ГИ ЧЕСКИ Й УНИ ВЕРСИ ТЕТ

В.В. КОВАЛЕНКО

ТЕОРИЯ КА ТА СТРО Ф И ЭВОЛЮ ЦИЯ

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РУ ЕМ Ы Х М Н О ГО О БРА ЗИ Й

В ЧА СТИ ЧН О И Н Ф И Н И ТН О Й ГИ ДРО ЛО ГИ И

Монография С а н к т -П е т е р б у р г У Д К 5 5 6.0 1 :5 1 7 :0 Б Б К 2 6.2 2 :2 2.1 6 1 :3 2. К Теория катастроф и эволюция дифференцируемых мно­ Коваленко В.В.

гообразий в частично инфинитной гидрологии. - СПб.: изд. РГГМУ, 2008.- 178 c.

IS B N 978-5 -8 6 8 13-202- Рецензент: доктор Эфраин Домингес (Колумбия) В м о н о г р а ф и и р а с с м а т р и в а е тс я м о д е л и р о в а н и е э в о л ю ц и о н н ы х г и д р о л о ­ ги ч е ск и х процессов. О с н о в н ы м объ ектом исслед ования является диф ф еренци­ р у е м о е м н о г о о б р а з и е и и з м е н е н и е е го р а зм е р н о с ти. О п р е д е л е н во д о р азд е л м е ж д у к л а с с и ч е с к о й те о р и е й к а т а с тр о ф и ч а с т и ч н о и н ф и н и т н о й ги д р о л о ги е й.

П р о в о д я т с я п а р а л л е л и м е ж д у п а р а д и г м а м и я з ы к а C + + и а л го р и т м и з а ц и е й г н о ­ с е о л о г и ч е с к и х п е р е х о д н ы х п р о ц е с с о в, б а з и р у ю щ и х с я н а д а р в и н о в с к о й триад е:

и з м е н ч и в о с т ь, н а с л е д с тв е н н о с т ь, отб ор.

П р е д н а з н а ч е н а с п е ц и а л и с т а м -г и д р о л о г а м, с т у д е н т а м и л и ц а м, и н т е р е ­ с у ю щ и м с я м е т о д о л о ги е й н а у к и.

Catastrophe theory and evolution of differentiable manifolds Kovalenko V. V.

in partially infinite hydrology. - St. Petersburg, RSHU Publishers, 2008. pp.

I n the m o n o g r a p h m o d e lin g o f e v o lu tio n a ry h y d ro lo g ic a l p ro c e sse s is c o n s id ­ ered. T h e b a sic object o f re se arch is d iffe re ntial v a rie ty a n d ch a n ge o f its d im e n sio n.

T h e d iv id e betw een the c la ssic a l th e o ry o f a ccid en ts a n d p a rtia lly infin ite h y d r o lo g y is determ ined. T h e p a ra lle ls b etw ee n p a ra d ig m s o f la n g u a g e С + + a n d a lg o rith m p re se ntation o f e p iste m o lo g ic a l tran sients b a se d o n D a r v i n ’s triad is ca rrie d out:

v a ria b ility, heredity, selection.

T h e b o o k is inten ded to h y d r o lo g y experts, students a n d a ll those interested in m e th o d o lo g y o f science.

IS B N 978-5 -8 6 8 13-202- О Коваленко В. В., О Х а у с то в В. А., обложка, © Российский государственный гидрометеорологический Российский государственный Hpwmwcvyujiuj ическаи гидрометеорологический униада-да би и т к бл о е а В ведение Данная монография продолжает серию книг [31-37], посвящен­ ных частично инфинитному подходу к гидрологии. С одной стороны, она содержит сжатое изложение сути данного направления, «сверты­ вая» предшествующую информацию, а с другой - дополняет его новы­ ми аспектами.

Историческая подоплека появления некоторых из них носит внутриуниверситетский (имеется в виду РГГМУ) характер. Несколько лет назад декан гидрологического факультета проф. А. М. Догановский в рамках Международного гидрологического года побывал в Париже.

В то время Западная Европа находилась под сильным впечатлением от наводнений, затопивших многие города. Был велик интерес к катаст­ рофическим явлениям. Деканат предложил организовать подготовку (в рамках магистратуры) специалистов по «Прогнозу катастроф».

«А что, - рассуждали гидрологи. - Существует математическая теория катастроф. Почему бы ее не применить к гидрологии».

Я (как заведующий кафедрой гидрофизики и гидропрогнозов) со­ противлялся как мог, приводя следующие доводы:

1. Гидрологическая катастрофа (например, наводнение) может вообще не иметь никакого отношения к теории катастроф (каспоидным и омбилическим). В гидропрогнозах в настоящее время вообще не культивируются прогностические модели, имеющие хоть какое-то от­ ношение к сборкам и складкам Уитни, на которые «рассыпаются»

структурно неустойчивые особенности. В основе подавляющего боль­ шинства прогностических методик (см. [5, 8, 16, 59, 64, 72-74]) лежат либо уравнения множественной регрессии, либо воднобалансовые со­ отношения. Последнее отражает тот факт, что наводнение - результат дисбаланса между ускоренным поступлением воды в речные бассейны (ливни, интенсивное снеготаяние) и замедленной их разгрузкой (зато­ ры, зажоры, насыщение влагой почво-грунтов). Этот дисбаланс может привести к повышению уровня воды и затоплению населенных пунктов, но данный природный катаклизм не имеет никакого отношения к теории катастроф как таковой.

2. Когда гидролог-прогнозист дает прогноз, он использует обыч­ ные методики. Ему даже не придет в голову мысль: «Дай-ка я спрогно­ зирую катастрофу». Он просто прогнозирует численное значение гид­ Введение рологической величины (уровня воды, например), а будет при этом ка­ тастрофа или нет - это вопрос не методики, но чисто «бытовой»: зато­ пит или нет при таком наполнении русла (поймы) населенные пункты.

Причем тут теория катастроф?

Эта теория имеет дело с анализом математического объекта, име­ нуемым «многообразием». На одних многообразиях могут быть катаст­ рофы (т. е. резкие изменения «выхода» при плавном изменении «вхо­ да»), на других - нет. Модели, порождающие многообразие катастроф, могут соответствовать какой-либо реальности (такие примеры будут приведены в первом разделе), а могут и не соответствовать. Но в лю­ бом случае классические катастрофы происходят на многообразиях, которые уже заданы. Варьируется положение изображающей точки, меняющей в определенной ситуации скачком свою траекторию. Имен­ но для отражения этого факта («неустойчивости» траектории на много­ образии) первый раздел монографии назван «Классическая теория ка­ тастроф на многообразиях». Частично инфинитное моделирование и прогнозирование «имеет в виду» совсем другое: изменение размерно­ сти многообразия.

Во втором разделе «Динамика гидрологических многообразий»

показывает, как возникают «тупики», выбраться из которых можно, только увеличив размерность многообразия (расширив фазовое про­ странство для моделирования и прогнозирования процесса).

В третьем разделе описывается методология выхода из подобных «тупиков». Методология не может быть полностью рационализирована, так как в ней есть место таким трудно формализируемым понятиям, как интуиция, практический опыт, физическая картина мира и т. п.

Примеры эволюционных изменений многообразий в гидравлике и многолетнем речном стоке даются в четвертом разделе. Там же проводят­ ся параллели между механизмами эволюции в природе и в мышлении.

Математически «тупики» часто проявляются как стремление фа­ зовых переменных к бесконечности или как «деление на нуль». Поэто­ му в пятом разделе рассмотрены особенности численной реализации моделей в условиях расширяющегося фазового пространства.

Определенных комментариев требует пятый раздел, связанный с программным обеспечением частично инфинитного моделирования.

Само слово «программа» в ее классическом понимании подразумевает наличие некоего алгоритма действия. Но ведь в частично инфинитном моделировании есть шаги, не подлежащие алгоритмизации (на то оно и «частично инфинитное»). И тем не менее многое в нем алгоритмизуется. Оно претендует на изучение механизмов развития (в широком смысле этого слова), а значит, в нем присутствуют элементы теории эволюции Дарвина (неодарвинизм) с его ключевыми понятиями: из­ менчивость, наследственность, отбор. Язык C++ предоставляет широ­ кие возможности для их «использования». Не алгоритмизируемые мо­ менты могут перехватывать исключения try {throw...} catch (...) {...}, дающие пользователю возможность проявить свой опыт и интуицию для возобновления работы программы в нужном направлении. А что такое интуиция и опыт, как не умение мозга (находясь в критической ситуации выбора) формировать новые пути развития. Поэтому, на мой взгляд, любая методологическая работа, претендующая на новизну, просто обязана включать субъект-объектные взаимодействия в процес­ се познания. Этому посвящен п. 4.4.

Данная книга — учебник и не учебное пособие. Поэтому ее ди­ дактическая сторона осталась не «зачищенной». Предполагается, что читатель знаком с работами автора или прослушал курс «Моделирова­ ние гидрологических процессов» в объеме, предусмотренном програм­ мой для высших учебных заведений по направлению 510900 - гидро­ метеорология (специальность 073200 - гидрология).

1. Классическая теория катастроф на многообразиях 1.1. М ногообразия, неустойчивости и биф уркации Прежде чем перейти к более или менее систематическому изло­ жению механизмов катастроф, имеет смысл бегло остановиться на ис­ тории вопроса. Рассматриваемая теория - раздел механики, современ­ ный этап развития которой заложил И. Ньютон (1643-1727). В ее осно­ ве лежало предположение, что на плавное внешнее воздействие систе­ ма должна реагировать также плавно (экспериментально исследованное Ньютоном поведение маятника было асимптотически устойчивым).

Однако окружающий нас мир «кишит» скачками и резкими изме­ нениями. Их математическим «репрезентом» является неустойчивость (одно из ключевых понятий теории катастроф). Эту неустойчивость впервые начали исследовать JI. Эйлер (1707-1783) - для траекторий, а Ж. Лагранж (1736-1813) - для состояний.

У. Гамильтон (1805-1865) стал описывать векторное поле фазовых траекторий системой дифференциальных уравнений первого порядка. А.

Пуанкаре (1854-1912) заложил основы современных взглядов на бифур­ кации (это понятие также является ключевым в теории катастроф).

Внесли свою лепту и наши отечественные ученые. А. М. Ляпунов Рис. 1.1. П рим еры двумерного м ногообразия в R3 (а) и множества с неправильным локальным устройством (б).

гость (введенные им обобщенные энергетические функции носят его имя). А. А. Андронов (1901-1952), действуя в русле работ Пуанкаре, предложил программу, мало чем отличающуюся от реализуемой в на­ стоящее время современной теорией катастроф. В частности, он (со­ вместно с Л. С. Понтрягиным) ввел понятие «грубости», положенное в основу классификаций структурно устойчивых особенностей (еще одно ключевое понятие теории катастроф) современными ведущими специа­ листами в этой области (Р. Том, Е. Зиман, С. Смейл, В. И. Арнольд).

Теория катастроф является сложной математически и может из­ лагаться на разных уровнях строгости. В данном случае она представ­ лена в инженерном аспекте, соответствующем работам [6, 60, 86, 93].

При любом способе изложения этой теории ключевым ее звеном является многообразие. Его суть состоит в том, что оно обобщает по­ нятие линии и поверхности на любое число измерений [52, 79]. Более «строго»: подмножество М в и-мерном евклидовом пространстве R” называется йг-мерным многообразием, если пересечение его с открытым множеством U (в R”) с точностью до диффеоморфизма (взаимно одно­ значного и непрерывно дифференцируемого отображения f. U— где >V, V - открытое множество в R”) есть часть пространства Rk х {0}. Для двумерного многообразия ситуацию поясняет рис. 1.1, а.

В этом определении заложена идея, что «локально многообразие устроено как R"», а значит, возможно представление пространства со­ стояния изучаемой системы (его строение может быть топологическим и вообще любой природы) областью числового пространства, т. е. на­ бором чисел (так называемая параметризация).

Множество может и не быть многообразием, если оно локально устроено «неправильно» (рис. 1.1, б). У нас многообразия будут возни­ кать как совокупности решений невырожденных систем уравнений и часто будут служить фазовыми пространствами.

Рассмотрим так называемые статические и динамические неус­ тойчивости на примере линейного осциллятора с затуханием:

где х - перемещение; т - масса осциллятора; г - коэффициент, учиты­ вающий амортизирующие свойства демпфера; S - жесткость пружины (рис. 1.2, а).

1. Классическая теория катастроф на многообразиях В фазовом пространстве переменных х и х = dx/dt можно наблю­ дать различные типы движения в зависимости от корней характеристи­ ческого уравнения X2 +ЬХ + с = 0 (здесь b = г/т - затухание, с = S/m жесткость). В зависимости от знака дискриминанта D = b 2 - Ас корни будут действительными или комплексными, что и определяет возмож­ ные типы поведения осциллятора (см. рис. 1.2, б, на котором частично представлены возможные фазовые портреты).

Статическая потеря устойчивости (рис. 1.2, в) возникает при пе­ реходе жесткости через нулевое значение. При больших ее значениях имеем замкнутый цикл, который «сплющивается» по мере приближе­ ния значения с к нулю.

Рис. 1.2 Л инейны й осциллятор (а) и его фазовый портрет при полож ительны х значениях жесткости с (при с < 0 траектории им ею т седловой характер) (б); на рис. 1.2, в показан фазовый портрет, возникаю щ ий при медленной (по сравнению с частотой колебаний осциллятора) «протяжке» параметра с из положительной области в отрицательную (при b = const = 0 ), а на рис. 1.2, г - при аналогичной «протяжке» параметра Ъ из отрицательной области в полож ительную (при с = const > 0 ).

1.1. Многообразия, неустойчивости и бифуркации Динамическая неустойчивость возникает при отрицательном зату­ хании (рис. 1.2, г). Этот рисунок соответствует ситуации, при которой протяжка по параметру с проведена снизу вверх: амплитуда колебаний стала увеличиваться, однако скорость протяжки была больше, чем это увеличение, а при переходе через центр (6 = 0 ) процесс стал затухать.

В реальности за счет нелинейных эффектов (например, жесткость начинает зависеть от х) бесконечных перемещений не будет. Поэтому линейную теорию устойчивости надо рассматривать как возможный «предупредительный звонок»: что-то должно произойти с системой (в том числе и ее возможное разрушение).

Нелинейные эффекты приводят к так называемым бифуркациям.

В широком смысле слова этот термин употребляется для обозначения качественных изменений объектов при варьировании коэффициентов, характеризующих их свойства и входящих в математические модели как задаваемые параметры. В буквальном же смысле этот термин озна­ чает раздвоение.

Так же как и неустойчивости, бифуркации бывают статические и динамические. Для того чтобы понять, что собой представляют стати­ ческие бифуркации, вернемся к модели осциллятора (1.1). Это уравне­ ние - прямое следствие одного из законов Ньютона: md'o/dt =, где и - скорость; Fz - действующие силы. Величину Fs можно предста­ вить в виде суммы силы трения FT = -ru и «движущей силы» F(x), которую (в случае линейного осциллятора) представляют, в соответст­ вии с законом Гука, пропорциональной смещению х от положения рав­ новесия F(x) = - S x (знак минус указывает на то, что пружина возвра­ щает тело массой т в положение равновесия). С учетом обозначения х = и мы и получаем уравнение (1.1), из которого следует, что при не­ устойчивости смещение стремится к бесконечности, чего в реальности не бывает.

Изменим модель осциллятора, считая, что т очень мала, а коэф­ фициент демпфирования настолько велик, что позволяет пренебречь первым слагаемым в (1.1). Приходим к уравнению х - - к х, где к - S/r. Интеграл по смещению х от правой части представляет собой «работу», отрицательное значение которой называется потенциалом V = 0,5кх2 ( F( x) = - d V / d x ). Потенциальную кривую (рис. 1.3) можно 1. Классическая теория катастроф на многообразиях интерпретировать (метафорически) как склон холма, по которому ска­ тывается частичка, пытаясь занять положение с наименьшей энергией.

При к > Оэто положение устойчиво, при к < 0 - нет.

Вид потенциальной кривой деформируется при изменении при­ ложенной нагрузки, т. е. силы F(x). Например, в случае ангармоничного осциллятора ( р ( х ) = - к х - к 1х 3) при к < 0, к\ > 0 имеем потенциальную кривую, представленную на рис. 1.3, в (при к > 0, к\ > 0 потенциальная кривая похожа на таковую, представленную на рис. 1.3, б, но с более крутыми склонами). В этом случае имеем три решения: х = 0 (неустой­ чивое); х Х1 - ~''\\к\!к\ (устойчивые).

Существуют три типичные статические бифуркации, представ­ ленные на рис. 1.4. Рисунок 1.4, а соответствует так называемой асим ­ м етричной то ч ке биф уркации: минимум и максимум при изменении нагрузки Ъ (снизу вверх) сначала сливаются, а затем меняются местами.

Рисунок 1.4, б (устойчиво си м м етри чн ая то ч к а биф уркации) соот­ ветствует ситуации, когда исходный минимум переходит в широкую яму с бугром посредине.

Рисунок 1.4, в иллюстрирует случай, обратный предыдущему (не­ устойчиво си м м етри чн ая то ч к а биф уркации). Во всех этих типах бифуркаций наступает смена устойчивых и неустойчивых состояний.

Существуют и так называемые д ин ам ические бифуркации, кото­ рые рассмотрим на примере модернизированного уравнения (1.1):

Рис. 1.3; Ф орм а потенциальны х кривы х при различны х вариантах нагрузки:

а и 6 - для линейного «осциллятора» при пренебрежении одним из слагаемых;

в - для ангармоничного осциллятора.

Рис. 1.4. Т р и типичны е статические бифуркации:

а - асимметричная; 6 - устойчиво симметричная; в - неустойчиво симметричная [86].

где D - коэффициент нелинейности (все величины безразмерные).

В данном случае имеем семейство растущих предельных циклов, рассматриваемых в фазовом пространстве ( х, х ) при изменении значе­ ний параметра нагрузки Ъ от +Ь до -Ъ при фиксированных значениях а и Ь, равных единице.

При D > 0 (рис. 1.5, а) имеем динамический аналог устойчиво сим­ метричной точки бифуркации: при b > 0 состояние х = 0 является аттрак­ тором (устойчивый фокус), а при Ь < 0 появляется неустойчивый фокус и траектории стремятся к устойчивому предельному циклу, амплитуда ко­ торого увеличивается по мере уменьшения b (увеличения | Ъ\).

При D < 0 (рис. 1.5, б) имеем динамический аналог неустойчиво симметричной точки бифуркации. Равновесное решение теряет устой­ чивость при b < 0. Область притяжения ограничена неустойчивым пре­ дельным циклом (подобные бифуркации называются бифуркациями Хопфа).

1. Классическая теория катастроф на многообразиях Рис. 1.5. В ар иан ты динамических биф уркаций нелинейного осциллятора при коэффициенте нелинейности D > 0 (а) и D < 0 (б).

1.2. С тати чески е биф уркац ии и катастр о ф ы. С кл ад ки и сборки.

Статические бифуркации имеют прямое отношение к теории ка­ тастроф, так как формы потенциальных функций определяют поведе­ ние нелинейных систем. Существует классификация наблюдаемых форм неустойчивости в зависимости от характера потенциала и числа управляющих параметров.

Рис. 1.6. Появление особенности при отображении поверхности на плоскость.

Для того чтобы осознать суть ситуации, предположим, что пове­ дение изучаемого объекта описывается переменной состояния х (на­ пример, расходом воды) и задаваемыми параметрами а и Ь, характери­ зующими свойства объекта и воздействия на него. Поверхность (х, а, Ь) представляет собой многообразие, а плоскость (а, Ь) - ее проекцию.

Отображение (х, а, b) на {а, Ь) может быть однозначным (рис. 1.6, а), Рис. 1.7. К образованию складки (а) и сборки (б), возникаю щ их при проектировании многообразий на плоскость [6].

1. Классическая теория катастроф на многообразиях Рис. 1.8. М а ш и н а катастроф Зимана [6].

заключается в том, что существует только две устойчивые особенности гладкого (дифференцируемого) отображения поверхности на плоскость (складка и сборка), а всякая другая - «рассыпается» на эти составляю­ щие при малом «шевелении» параметров.

Рисунок 1.7 проясняет механизм образования двух указанных особенностей с помощью отображений у х = х \, у 2 = х 2 (для складки) и Ух = Л]3 + x ix 2, y 2 = х 2 (для сборки).

Механизм образования сборки обычно иллюстрируют с помощью так называемой машины катастроф Зимана (рис. 1.8).

На доске А прикреплен диск В иголкой С. Иголка D втыкается в диск, а иголка Е - в доску А. Буквами G и F обозначены резиновые ленты, к концу одной из которых крепится карандаш Н. При движении карандаша диск поворачивается, причем на контуре К (кривая «катаст­ роф») малое (плавное) изменение положения карандаша может вызвать «катастрофу» (дергание диска, скачки). Механизм возникновения «ка­ тастрофы» поясняется следующим образом (подробнее см. [60]).

Для энергии (потенциальной функции) системы (машины катаст­ роф Зимана) можно получить следующее уравнение:

Рис. 1.9. Изменение потенциальной ф ункции ЕаЬ{х) в зависимости от параметров а и Ъ [60].

16:

(здесь переменная х связана с уг­ лом поворота диска, а параметры а и Ъ - с координатами каранда­ ша). В зависимости от значений а и b вид потенциальной функции будет меняться (рис. 1.9).

в пространстве xab удовлетворяет + ax + b = 0 и называется много­ образием катастр о ф, а полукубическая парабола, получающаяся при проектировании этой поверх­ ности на плоскость управляющих параметров а и b (рис. 1.10), б иф уркац ион н ы м м нож еством.

Причем вид кривой на рис. 1. зависит от того, где находится (рис. 1.10, б). В зависимости от, этого имеются одно, два или три Рис. 1.10. Отображение многообразия N положения равновесия, которые катастрофы в пространстве xab ^ могут быть устойчивыми или не­ на плоскость параметров ab [60].

устойчивыми (рис. 1.9).

Существуют и другие наглядные механизмы, поясняющие обра­ зование особенностей (так называемые «качалки», см. [60]).

«Э кологи ческая ниш а» теори и катастроф Рассмотренная ситуация со сборкой, которую имитирует машина Зимана, лишь частный случай в общей классификации катастроф. По­ следняя основана на анализе разложения в ряд Тейлора потенциальной функции [93] (ряд Тейлора вообще играет исключительную роль в ма­ тематике, им занимался даже К. Маркс [3]):

БИ БЛИ О ТЕКА

1. Классическая теория катастроф на многообразиях Отрицательная производная потенциальной функции - просто правая часть динамической модели, для которой изучаются катастрофы dx/dt = - д У / д х, а ее равновесная поверхность определяется уравнени­ Коэффициенты разложения с возмущаются либо внешними воздействиями, либо внутренними свойствами системы (в теории ка­ тастроф эти возмущения называют «дефектами» или «деформация­ ми»; в модели машины Зимана они были представлены параметрами а и Ъ). Сравнительно подробная классификация типичных катастроф дана в табл. 1.1.

В этой таблице представлены все структурно устойчивые осо­ бенности, которые наблюдаются при манипулировании четырьмя па­ раметрами и при взаимодействии максимум двух переменных. (Все ос­ тальное - за пределами современной науки.) Л асточкин хвост Гиперболическая омбилика Эллиптическая омбилика Параболическая омбилика Рис. 1.11, П роекции биф уркационного множества «ласточкин хвост».

Возникают самые причудливые ситуации. На рис. 1.11 показаны (в разных вариантах из книг [60, 93]) проекции бифуркационного мно­ жества под названием «ласточкин хвост». Вникать во всю. эту экзотику (далекую пока от гидрологии) смысла нет.

Указанные в табл. 1.1 устойчивые особенности гладких отобра­ жений можно применять к совершенно различным явлениям окружаю­ щего мира. В каком-то смысле теория катастроф отвечает на мучивший К. Маркса вопрос о возможности математического описания кризисов в экономике (известно [3], что именно этот вопрос явился побудитель­ ным мотивом его интереса к изучению математики, что нашло отраже­ ние в его переписке с Ф. Энгельсом, опубликованной позже под назва­ нием «Математические рукописи», М., 1968).

Однако, наряду с бесспорным применением теории катастроф в тех случаях, когда отображение доподлинно известно (теория упруго­ сти, геометрическая оптика и др.), существует соблазн ее спекулятив­ ного использования. Слово «спекуляция» не имеет того негативного оттенка, который ему придается в быту. Спекулятивный - значит умо­ зрительный. Гегель свою философию называл спекулятивной. Попытка применения теории катастроф в тех случаях, когда отображение, при­ водящее к той или иной особенности, известно не достоверно (или во­ обще неизвестно) и есть спекуляция. Подобный пример приводит В. И. Арнольд [6] со ссылкой на английского математика К. Зимана.

В этом примере речь идет о деятельности творческой личности, характеризуемой такими свойствами, как «техника» (7), «увлечен­ 1. Классическая теория катастроф на многообразиях Рис. 1.12. К модели творческой личности [6].

ния спекулятивны? Потому что это не более чем правдоподобные рас­ суждения. Творческий процесс не рационализируем (иначе любого «дурака» можно было бы сделать творцом). «Творческое многообра­ зие» неизвестно, в отличие, например, от многообразия катастроф уп­ ругих конструкций типа арок. Поэтому у теории катастроф есть своя «экологическая ниша»: если известно гладкое отображение с типичной (устойчивой) особенностью, т. е. зафиксировано многообразие катаст­ роф, то есть и предмет разговора.

«Продвинутый» читатель поинтересуется: «А где “трансверсаль­ ность”, “коразмерность”, лемма Морса, “каустика” и т. п.?». Где, где...

Там, где нужно. Теория катастроф - это и инженерные приложения, и глубокая математика (в «несколько слоев»).

2. Д и н ам и к а ги др ол оги ч еск и х м н огообр ази й 2.1. Д ин ам ические модели гидрологического ц и к л а Рассмотрим основные звенья гидрологического цикла (рис. 2.1).

В приземном слое атмосферы формируются осадки, которые вместе с другими метеорологическими факторами (температурой воздуха, скоро­ стью ветра и т. д.) оказывают внешнее воздействие на речной водосбор.

Выпавшие осадки формируют склоновый сток, который, поступая в ру­ словую сеть, трансформируется в русловой. Часть выпавших осадков испаряется, часть инфильтруется в почву, подпитывая ненасыщенную зону. Взаимодействие насыщенной и ненасыщенной зон, положение на­ порного горизонта и русловой сток определяют уровень грунтовых вод.

Рис. 2.1. Основные звенья гидрологического цикла.

2. Динамика гидрологических многообразий Запишем основные модели с распределенными параметрами, ко­ торыми в настоящее время описывают гидрологические процессы, со­ ответствующие рис. 2.1.

Русловой сток в одномерной гидравлической идеализации под­ чиняется уравнению неразрывности:

где F - площадь живого сечения; Q - расход воды; е - внешнее воз­ действие [например, известный боковой приток q(x, t ) \, x - продольная координата; t - время.

Уравнение (2.1) дополняется эмпирической зависимостью:

что приводит к диффузионной модели (здесь к - эмпирический коэффициент). Если не учитывать влияние на расход градиента дР/дх, то уравнение (2.2) превращается в модель ки­ нематической волны, описывающей только снос волны вниз по течению.

Аналогичные по своей сути рассуждения приводят к двумерной параболической модели для слоя склонового стока,:

где qx и qy - проекции единичного расхода воды на оси координат х, у;

Яж и I —соответственно интенсивность осадков и фильтрации; к\ и кг — эмпирические коэффициенты.

Разумеется, диффузионная модель может быть записана и для уровней или расходов воды. Она находит широкое применение в гид­ рологии. На рис. 2.2, а в качестве примера приведена временная дина­ мика многообразия единичных расходов при неустановившемся дви­ жении воды в канале [70].

Ненасыщенная зона (зона аэрации) описывается следующим уравнением (ограничимся одномерным случаем):

где 0 —объемная влажность; MQ) — коэффициент влагопроводности;

Рис. 2.2. Примеры одномерных (а) и двумерных (б) гидрологических многообразий.

2. Динамика гидрологических многообразий D(0) - коэффициент почвенной влаги (аналог коэффициента диффу­ зии); 8(0, z,t ) - функция источников (стоков), например поглощение влаги корнями растений; z - вертикальная ось.

Таким же типом уравнения описывается насыщенная зона и на­ порные горизонты:

где р. - удельная водоотдача; Н - уровень грунтовых вод для безнапор­ ного движения и пьезометрический напор для напорного движения.

Динамика многообразия Н(х, у) может приводить к самым причудли­ вым формам (см. рис. 2.2, б из работы [3]).

Основная модель механики жидкости в виде системы НавьеСтокса (здесь р - плотность; р - давление; г| - динамическая вязкость жидко­ сти; V - градиент ( Vo = div 6 )) также может рассматриваться как урав­ нение конвективного и диффузионного переноса отдельной компонен­ ты скорости и( для определения давления р привлекается уравне­ ние (2.9)). Если из (2.8) исключить давление, то получаемое уравнение для завихренности w = rot и также определяет «специфические» [75] конвективный перенос и диффузию.

Разумеется, динамические модели гидрологических процессов не ограничиваются уравнениями параболического типа. Широко использу­ ется гиперболическая система Сен-Венана для изучения динамики мно­ гообразий в руслах рек при существенном влиянии сил инерции:

где го- уклон дна; С - коэффициент Шези; R - гидравлический радиус;

- ускорение свободного падения; а - коэффициент неравномерности распределения скоростей по живому сечению.

Возможны также различные варианты нелинейных систем урав­ нений, связанных с пространственной динамикой волн в водоемах, хотя они, скорее, являются предметом интереса океанологов.

Кроме классического применения моделей для решения различ­ ных краевых задач, когда их постоянные или переменные параметры известны заранее, существует область использования моделей в так на­ зываемом реальном времени, когда информация о параметрах модели и внешних воздействиях поступает с измерительных приборов непо­ средственно при решении уравнения. Возможность измерять те или иные характеристики изучаемых гидрологических процессов часто позволяет существенно упростить математическую модель. Обратимся к гидрометрии.

Для учета речного стока широко используются модели расхода, основанные на связи Q = /(//), например в виде полинома Q = a о + а х + а2Н 2 +... Однако эта связь может быть и неоднознач­ ной. Последнее можно установить, опираясь на систему уравнений Сен-Венана. Она довольно полно описывает в одномерной гидравличе­ зультате ее решения находят функции вестных начальных и граничных условиях. Однако в гидрометрии имеют дело с конкретными закрепленными створами (т. е. координата х фиксированная, х = х 0 ) и предполагают, что морфометрические харак­ теристики створа (В, F, R и др.) и ход уровня во времени Н = 'fit) легко измерить. Если предположить, что для фиксированного створа с коор­ динатой х0 из классических формул речной гидравлики и измерений известны зависимости С = / ( / / ) и 1 = М то, подставив (учитывая тот, кто быстрее плодится, находится в выигрыше.

Рано или поздно наступает селективное равновесие:

Е (t) — max г? и dxjdt = 0. Система уравнений (2.16) работает как фильтр, выделяющий информацию (фазовые переменные) с наибольшей ценностью. Чтобы сдвинуться с точки равновесия, должен появиться му­ тант с 7)° > maxг,°, т. е. необходимо рождение новой информации.

Коэффициенты р,у учитывают влияние одних популяций (или фа­ зовых переменных) на другие. Причем могут быть разные ситуации:

Р,у< 0, р,у = 0, Р,у > 0. В зависимости от знака Р в системе могут проис­ ходить разные типы взаимодействий, общая классификация которых сводится к следующему.

Запишем систему уравнений в общем виде dx-t I d t - / ; (х,,..., х п), i = \,...,п. Переменные х (популяции) взаимодействуют друг с другом 2. Динамика гидрологических многообразий (d fj ! dXj )\4 X = Cjj(t) няться со временем.

Если есть п видов, то исчерпывающую характеристику парных взаимодействий дает матрица (Су (/))". Всего известно шесть типов парных взаимодействий (табл. 2.1).

Если пользоваться введенной нами терминологией, то нейтра­ лизм характеризует две инфинитные друг другу «предметные области»;

аменсализм и комменсализм - частично инфинитные; конкуренция, жертва-эксплуататор и мутуализм - финитные.

Н аименование взаимодействия Примечание (характер влияния): 0 нейтральное, - отрицательное, + положительное.

Рассмотренная популяционная модель Лотки-Вольтера известна с 20-х годов XX в. М. Эйген подобной моделью описывал зарождение жизни на Земле (х, - конкурирующие и объединяющиеся макромолеку­ лы). Ею же описываются и другие процессы, связанные с теорией эво­ люции Дарвина, например, борьба идей в науке или «борьба» испаре­ ния и стока за выпадающие осадки (см. п.4.2).

Рассмотрим конкретный численный пример системы из трех уравнений:

где a, bh с„ - константы (/ = 1,3 ).

В данном примере: с, = с2 = c3; b2 = b3; b x < Ь 2, т. е. селективная ценность переменной Х\ больше, чем переменных х2 и х3. Результаты интегрирования системы (2.17), (2.18) и (2.19) представлены на рис. 2.5, а, б и в. Как и следовало ожидать, система (2.17)— (2.19) от­ фильтровывает переменные с низкой селективной ценностью. А пере­ менная Х\ захватывает всю экологическую нишу. Рисунки 2.5 г, д и е повторяют предыдущую ситуацию, но при этом параметры с ь с2 и с испытывают периодические (причем с разной частотой) незначитель­ ные колебания. (Это «баловство» делает картину более красочной, но сути дела не меняет. Ниже, (в разд. 3) показано, что это «дрожание»

будет иметь ключевое значение для пробуждения «спящих» фазовых переменных.) В заключение дадим «вывод» уравнения (2.15). Ограничимся в системе (2.17)-(2.19) первым уравнением (xi и хг «проигнорируем»).

Пусть x x = Q, а = Х, bx = W Q, сх = W0/c. Тогда уравнение (2.17) при­ мет вид:

Рис. 2.5. Выделение селективно ценны х переменных при постоянны х (а, б, в) и изменяю щ ихся (с разной частотой) переменных с( (г, д, е).

2. Динамика гидрологических многообразий Рис. 2.6. Схем а двухъемкостной структуры формирования стока (а), реакция одноемкостной (б) и двухъемкостной (в) модели на «ступенчатое» воздействие осадков (тангенсы углов наклона пропор­ циональны временам релаксации хх и ij).

(рис. 2.6, а). В формировании стока участвуют два резервуара: поверх­ ностный (параметры к и ii) и подземный, который, в конечном итоге, разгружается в реку с временем релаксации х2. Балансовое уравнение для верхнего резервуара dWx l d t = ( X - Q I к ), учитывая, что Wx ~ x xQx, запишем так:

Аналогично для второго резервуара ( dW2 / dt = Qx- Q 2):

Объединяя (2.21) и (2.22), получаем:

(при x2 = 0, естественно, приходим к одномерной модели линейного фильтра).

Из математики (см. [51]) известно, что уравнение Риккати (2.20) может быть преобразовано в линейное однородное уравнение второго порядка. Именно таковым и является двухъемкостная модель 2.2. Моделирование динамики вероятностных распределений (2.23), если считать X = const и сделать подстановку Q* = Q - k X. По­ этому нелинейное обобщение модели линейного фильтра - это просто учет возможности влияния второй емкости. Решение обобщенного уравнения усложняется (рис. 2.6, в). При стохастическом обобщении обе модели приводят к похожим асимметричным распределениям, хотя в случае нелинейной модели возникают нюансы и определенные про­ блемы [34].

Заметим, кстати, что уравнения, аналогичные (2.14) и (2.15) (ра­ зумеется, с другими коэффициентами и внешними воздействиями), применяются для изучения колебаний уровня воды в водоемах [56].

2.2. М оделирование д и н ам и к и вероятн остны х распределений Решить уравнение, соответствующее динамической модели, зна­ чит найти зависимость искомой величины, например площади живого сечения в модели кинематической волны, от независимых аргументов (продольной координаты и времени). Но раз выясняется, что режим рек подчиняется вероятностным закономерностям, то естественна попытка дать полное статистическое описание речного потока. Оказывается, это можно сделать с помощью так называемых характеристических функ­ ционалов [55].

Если речь идет, например, о площади живого сечения в вероятно­ стном смысле, то необходимо, чтобы ее значение F(x, t) в любой точке (х, f) было случайной величиной, т. е. каждой паре (я:, t) должна быть сопоставлена плотность вероятности р х, (F). Более того, наличие /V-мерной плотности вероятности определяемой соотношением 2. Динамика гидрологических многообразий позволяет говорить о ее полном вероятностном описании. Вместо плотности вероятности (2.24) можно рассматривать преобразование Фурье (характеристическую функцию):

где i - лГТ, а черта означает статистическое осреднение.

Преимущество подхода, основанного на характеристических функциях, а не на плотностях вероятности, состоит в том, что случай­ ный процесс можно задать с помощью одной величины - характери­ стического функционала, определяемого по (2.25) при N -> со:

где пределы интегрирования определяются областью изменения х и ( и могут быть конечными.

Для случайной функции F(x, t) характеристический функционал можно определить, зная все конечномерные плотности вероятности (2.24). Для этого необходимо в качестве аргумента 0(х, t) характери­ стического функционала ф[©(х, f)] взять функцию где ©j,..., @N - значения аргумента 0(х, t) ; 8(х, t) - функция Дирака.

Подставив (2.27) в (2.26), получим:

Рассмотрев случайную площадь живого сечения в фиксированный момент времени t, можно использовать характеристический функционал:

2.2. Моделирование динамики вероятностных распределений а рассмотрев, например, площадь живого сечения и боковую приточность, можно использовать совместный функционал:

Ф[Qf (*)> ©,(x),t]= expj i °|[0 ^(x)F(x; t) + & q(x)q(x, t)\dx В параболической модели примем Q = - k d F /дх. Как поi=i казали данные многочисленных расчетов, часто можно ограничиться формулой:

причем при подстановке (2.29) в уравнение неразрывности можно счи­ тать в первом приближении д а / дх ~ 0, дк /д х « 0 и д Ь / д х ~ 0, хотя а = а(х), к = к(х) и Ь = Ь(х). Тогда, пренебрегая пока q(x, t), получаем:

Для характеристического функционала (2.28), учитывая, что получаем:

где D - вариационные производные.

Характеристический функционал ф[©(х),г] находится из (2.31) по значению Ф[©(*)Л ] = ф о[©(*)]• 2. Динамика гидрологических многообразий На рис. 2.7, а показана динамика многообразия, соответствующего модели (2.30), а на рис. 2.7, б - модели (2.31). В последнем случае имеем некое «эволюционирующее корыто», которое на каждый момент време­ ни дает исчерпывающую информацию о вероятностных свойствах пло­ щадей в каждом створе с координатой х. Разумеется, реальная форма по­ добных многообразий может быть асимметричной (как по F, так и по х).

Однако на сегодняшний день потенциальная возможность мате­ матического описания подобной динамики многообразий социально не востребована: во-первых, экспериментальная проверка достоверности изменения формы (р, F, х) «не по зубам» как чисто технически, так и с точки зрения существующих методов оценки статистической досто­ верности; во-вторых, самой практической потребностью не сформули­ рованы задачи, в которых требовалась бы такая «тонкая» и подробная информация о процессах в реках.

Более востребована практикой возможность описания динамики одномерных плотностей вероятности, что допускает применение широ­ ко известных статистических методов для сравнения теоретических результатов и эмпирических данных. Исходная динамическая модель с сосредоточенными параметрами может быть линейным или нелиней­ ным дифференциальным уравнением Q = f ( Q, t), которое «зашумлено»

как аддитивно (через неоднородный член, учитывающий внешние воз­ действия на моделируемую систему), так и мультипликативно (через коэффициенты). В теории случайных процессов уже давно известна процедура стохастического обобщения подобных моделей, приводящая в конечном итоге к уравнению, описывающему эволюцию плотности 2.2. Моделирование динамики вероятностных распределений вероятности уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова где A(Q, t) и B(Q,t) - коэффициенты сноса и диффузии, определяемые физико-статистическими свойствами изучаемого объекта и внешних воздействий на него, представленных задаваемыми параметрами, вхо­ дящими в выражения для А и В.

Наиболее широкое практическое применение находит подобная модель, основанная на линейном фильтре и приводящая к хорошо изу­ ченному в математической статистике семейству кривых Пирсона, ко­ торое в основном и применяется в гидрологии. Примером может слу­ жить уравнение Q = - { c + c )Q + (n + N^, которое приводит к модели ФПК с коэффициентами сноса и диффузии, имеющих следующий вид:

где с 1/kx, N = Х / х (здесь к - коэффициент стока, т - время релакса­ ции); си N - математические ожидания; сиN - белые шумы с ин­ тенсивностями шумов G-и G - соответственно; GL- - взаимная ин­ тенсивность шумов.

Имеется определенный опыт применения подобного варианта модели (2.32) для прогнозирования вероятностных распределений ме­ сячного притока воды к водохранилищам ГЭС (Волховская - Россия, Бетания - Колумбия). Оба исследования выполнены на кафедре гидро­ физики и гидропрогнозов РГГМУ в рамках кандидатских диссертаций Е. В. Шевниной и Эфраина Домингеса под руководством автора.

Рассмотрим некоторые результаты, связанные с водохранилищем Бетания. Набор годовых реализаций суммарного притока (в основном за счет притока р. Магдалены) представлен на рис. 2.8, аНесмотря на то что автокорреляционная функция имеет периодическую составляю­ 2. Динамика гидрологических многообразий щую (см. рис. 2.8, б), процесс формирования месячного притока может рассматриваться как простой марковский (так как источник периодич­ ности не в механизме образования стока, а во внешнем воздействии внутригодовом ходе осадков и температуры воздуха в Колумбии), т. е.

описываться моделью линейного формирующего фильтра. Выполнив параметризацию с использованием эмпирических распределений (см.

рис. 2.8, в) и зная распределение p ( Q, t 0) и осадки на дату (месяц) вы­ пуска прогноза to (или прогнозные осадки, если такая возможность бу­ дет реализована), можно численно (см. п. 5.1) решить уравнение (2.32) и получить прогнозное распределение p{Q, t ), допускающее сравне­ ние с фактическим p(Q, ) (см. рис. 2.8, г).

Проблемы, возникающие при таком подходе, обсудим в п. 2.3, Рис. 2.8. Статистический «пучок», характеризую щ ий приток к водохранилищ у (а), автокорреляционная ф ункция (б), вероятностные распределения сечений «пучка»

(в) и пример прогноза (г).

2.2. Моделирование динамики вероятностных распределений а сейчас перейдем к дальнейшему упрощению модели. На практике оперируют несколькими начальными моментами, так как старшие мо­ менты бессмысленно привлекать при ограниченности наблюдений. По­ этому разумно аппроксимировать модель ФПК системой обыкновен­ ных дифференциальных уравнений для начальных моментов [37]:

В таком виде система (2.33) справедлива, по крайней мере, для граничных условий p (Q — ±со) = 0. Если интегрирование уравнения (2.32) приводит к бесконечному процессу расползания плотности веро­ ятности, то решение системы (2.33) довольно быстро стремится к ат­ трактору из любой области его притяжения (рис. 2.9, а).

С помощью подобной системы уравнений можно наглядно изу­ чать переходные гидрологические режимы при резком (скачкообраз­ ном) изменении внешнего воздействия N на водосборы (рис. 2.9, б).

Из этого рисунка видно, что начальные моменты апериодически при­ ближаются к установившимся значениям (в случае нелинейной систе­ мы это не так, см. [34]).

Однако и такая динамическая модель часто оказывается излишне сложной для многих задач гидрометеорологии. Возьмем (например) задачу, связанную с оценкой долгосрочных последствий антропогенно­ го изменения климата. Обычно задается стационарный климатический сценарий, т. е. новые нормы осадков и температура воздуха, и требует­ ся под эти потенциальные внешние воздействия на водосборы получить такой же стационарный (в статистическом смысле) прогнозный гидро­ логический режим на заданной территории (т. е. построить сценарные карты расчетных гидрологических характеристик многолетнего речно­ го стока). При этом, естественно, эксцесс (а значит, и четвертый на­ чальный момент) отпадает сам по себе как ненадежная статистическая характеристика. Система из четырех дифференциальных уравнений (2.33) превращается при этом в систему из трех алгебраических уравДинамика гидрологических многообразий нений относительно начальных моментов. Ее хватает с избытком, так Рис. 2.9. Стремление к точечном у аттракто­ р у трехмерной проекции решения системы (2.33) (а) и реакция м оментов на скачкооб­ разное изменение осадков (б).

Не исключено, что в перспективе от стационарных моделей во­ обще придется отказаться: если климатическая система выведена из равновесия, то еще неизвестно, сколько нужно времени, чтобы ее ста­ билизировать. Это повлечет за собой пересмотр традиционного подхо­ да к оценке надежности гидротехнических сооружений и вообще - ос­ воение нестационарных случайных процессов. (Мы не останавливались на подробном описании практического применения стационарного ва­ рианта модели (2.33), так как он стал практически классикой и вошел в учебные программы для вузов [38]).

Затронем еще вопрос о вероятностных распределениях уровней воды в озерах. До настоящего времени превалирует точка зрения, что в озерах существует так называемый уровень тяготения. Это означает, что распределения плотности вероятности уровней воды одномодальны (что подтверждается данными по многим озерам), и до недавнего вре­ мени подобное допущение особых дискуссий не вызывало.

2.3. Гносеологические «тупики»

Выявим проблемы, которые возникают, если ограничиваться только динамикой многообразий, задаваемых моделями из п. 2.1 и п. 2.2. Термин «гносеологические тупики» («высокопарный» синоним слова «проблема») поясним по ходу изложения.

Начнем с классических уравнений речной гидравлики —системы Сен-Венана (2.11), (2.12). Известны многочисленные примеры ее ре­ зультативного использования (часто в упрощенных вариантах). И тем не менее в гидравлике уже давно обсуждались две, на первый взгляд, разные проблемы, связанные с их «некорректностью».

Первая проблема. На протяжении многих десятилетий в разных странах появлялись сообщения, что в реках существуют низкочастотные колебания скорости с периодом порядка 10-20 мин (этот диапазон варь­ ируется в зависимости от размеров реки и конкретной гидравлической ситуации). Эти результаты подтверждаются и более фундаментальными синхронными измерениями на разных вертикалях (см. табл. 2.2).

Особого внимания заслуживают наблюдения на р. Тверце, на ко­ торой проводились специальные исследования неустановившегося движения [38]. В одном из створов была оборудована рама с 25-ю вер­ 2. Динамика гидрологических многообразий тушками с записью сигналов на самописцы. Обработка данных наблю­ дений однозначно указывает на синхронность (относительную, разуме­ ется) низкочастотных колебаний в разных точках живого сечения (см. рис. 2.10, а). Однако все попытки, использовав систему Сен-Венана, построить замкнутые циклы на фазовой плоскости [27], окончились неудачей: циклов нет (см. рис. 2.10, б).

Рис. 2.10. П рим ер взаимной корреляционной ф ункции скоростей в различны х точках ж ивого сечения на р. Тверце (а) и фазовый портрет при отсутствии зам кнуты х циклов (б).

например, теоремы Гурвица, задачу можно свести [26, 29] к исследова­ нию перемен знака в ряду чисел: 1, V2, V4,..., V(, где V,. - определи­ тели, составленные из некоторого алгебраического многочлена. Если принять обычный для гидравлики закон гидравлических сопротивле­ ний, то получим:

где i - уклон при «равномерном» режиме; со - частота; Fr - число Фруда; |д = (h / К )( дК / dh) ; К - пропускная способность; а - коэффициент неравномерности распределения скоростей по сечению (Кориолиса).

Всегда V2 >0, поэтому для устойчивости необходимо, чтобы V4 >0, что приводит к следующему критерию:

При невыполнении этого неравенства устойчивость теряется, но периодических решений получить не удается (построить замкнутые фазовые траектории безуспешно пытался Н. А. Картвелишвили [27]), хотя «цепочки волн» повсеместно наблюдаются на быстротоках. Одна­ ко если принять, что X = / ( d U / d t ), то получим:

Если a = 0, то приходим к критерию (2.34). Если, например, а = = 60 (это подтверждается данными по р. Тверце и соответствует 10 %-му отличию Хист от Х ст), то при i = 1 % и Fr = 0,05 получим /a/ Fr>l, т. е. V2 со (с м. рис. 2.11, который обобщает рис. 2.9 на неустойчивую ситуацию; на рис. 2.11, б величина G~ меняется скачком, делая неустойчивым третий момент, но оставляя устойчивым второй и первый). Если обозначить р = G ~ / c, то неустойчивость для момента и-го порядка т возникает при р > 2fn ( ъ Р > 2/3; т - Р > 1 т\ — - Р > 2 ). Спектр этого критерия дискретен и сгущается в сторону стар­ ших моментов.

Рисунок 2.12, а интерпретирует (несколько метафорично) приро­ ду этой неустойчивости: по мере стремления величины (с - 0,5nG^ ) к нулю потенциал V [если можно говорить о таковом для уравнений системы (2.33)] все более «раскрывается», пока устойчивая точка ми­ нимума не заменится точкой максимума.

Таким образом, чем старше момент, тем меньшая относительная интенсивность шума G~/c требуется для его неустойчивости. По Рис. 2.12. М е ха н и зм неустойчивости моментов (а) и зоны неустойчивости начальны х моментов в Западной Аф рике (карта получена совместно с Е. В. Гайдуковой и аспирантом из К о т -Д ’И вуара К уасси Б и Гессан А р м а н ) (6).

2. Динамика гидрологических многообразий старшим моментам речной сток практически всегда неустойчив. Гид­ рологи вынуждены строить распределения с использованием второго и третьего моментов (т. е. часто заведомо неустойчивые распределения).

В этом и заключается парадоксальность ситуации. Это - нефеномено­ логический, т. е. сущностный, парадокс (гносеологический «тупик»).

Не надо думать, что неустойчивость — некая экзотика на фоне устойчивой картины формирования стока [36]. Для годового стока поч­ ти половина территории СНГ (в основном южные районы) неустойчи­ вы по третьему моменту, 40 % - по третьему и второму, 12 % - по нор­ ме стока (по другим видам многолетнего стока ситуация аналогичная).

И это не только на территории Европы и Азии. В Западной Африке си­ туация ничуть не лучше: стандартной методикой гидрорасчетов (а зна­ чит, и Атласом мирового водного баланса) можно пользоваться с большими оговорками (см. рис. 2.12, б).

Важными гидрологическими объектами являются озера. Наивное предположение об обязательном наличии некоего уровня тяготения, т. е.

возможности одномодального приближения при вероятностных расче­ тах, опровергли не какие-то теоретики от гидрологии или математики, а сама жизнь, когда уровень Каспийского моря стал подниматься вопреки всем гидрологическим прогнозам. И это на фоне огромных затрат на проектно-изыскательские работы и на уже начавшиеся реальные меро­ приятия по подготовке к переброске стока северных рек. «Тупик» был, конечно, гносеологический, но резонанс - общеполитический.

Возникает вопрос о природе всех этих «тупиков». На наш взгляд, она одна и та же (хотя внешне это выглядит не так): если происходит что-то новое (с точки зрения существующей модели - низкочастотные колебания, неуправляемый рост решения, выброс из потенциальной ямы), значит существуют обстоятельства, действующие за пределами предметной области, фиксируемой моделью. И объяснить это новое из самой модели (например, объяснить турбулентность из системы Навье-Стокса) нельзя.

3. Частично инфинитная методология выхода из гносеологических «тупиков»

3.1. П остнеодарвинизм в эволю ционной эпистем ологии Итак, мы имеем «тупики»: неспособность классических моделей, используемых в гидравлике, речном стоке и лимнологии описывать некоторые реальные ситуации, встречающиеся на практике. Но задача состоит не просто в том, чтобы их преодолеть (часть из них уже пре­ одолена), а в попытке обрисовать некую общую методологию выхода из тупика. Кроме этого, необходимо отделить «экологические ниши»

этой методологии и теории катастроф на многообразиях. Сейчас будет немного философии, и имеет смысл пояснить - зачем. Есть ли уж такая острая необходимость «философствовать», ведь (например) выход из «тупика», связанного с отсутствием периодических решений уравнений Сен-Венана, был найден более 20 лет назад, причем без всякой фило­ софии? На самом деле, это так только кажется. Те термины, которые сейчас появятся, тогда действительно не употреблялись, но само миро­ ощущение было именно таким, каким мы его представим. Связано это с тем, что обоснование любого фрагмента знания (а тем более нового) требует выхода за пределы этого фрагмента, рефлексии, взгляда со сто­ роны. Это означает, что подобное объяснение становится проблемой философской.

Разумеется, конечной целью является не философствование само по себе, а выход на какие-то модели или, по крайней мере, элементы рационального мышления (а не просто ссылки на «творческое озаре­ ние», хотя без таких ссылок полностью не обойтись). В нашем подходе базисом является марксистско-ленинская философия (диалектический материализм, если более конкретно), которую сейчас стыдливо пыта­ ются замалчивать. Но что есть у современной философии, хоть отда­ ленно напоминающее набор мощных категорий и законов диалектики, присущих марксизму-ленинизму. Однако его онтологический базис слишком широк и не всегда определен конкретно (это его и сила, и сла­ бость), поэтому на вооружение будет взято одно из направлений совре­ менной философии - постнеодарвинизм, который, как представляется, наиболее последовательно приводит к поставленной цели.

3. Частично инфинитная методология выхода из гносеологических «тупиков»

Действительно, ключевая ленинская фраза в теории познания («От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике таков диалектический путь познания истины, познания объективной ре­ альности» - цитирую по памяти, могут быть неточности) верна сама по себе и хорошо иллюстрируется (см. рис. 3.1, а). Однако, что конкретно понимается под «абстрактным мышлением», не раскрывается.

В этом отношении постнеодарвинизм в определенном смысле на­ сыщает некоторой информацией блок «абстрактное мышление». Рас­ смотренная в п. 2.1 система Эйгена и есть упрощенная его модель. По существу, Эйген дарвинские идеи эволюции и отбора распространил на «популяции» макромолекул. Их самоорганизация и селекция возможны при наличии метаболизма (открытость системы; приток вещества, об­ ладающего избытком свободной энергии), самовоспроизведения (авто­ катализ) и мутагенеза, необходимого для создания новой информации.

Для того чтобы система была дарвиновской, необходимо еще «посто­ янство общей организации»: суммарное число всех видов молекул в системе должно поддерживаться на постоянном уровне.

Конкуренция за «пищу» (высокоэнергетические мононуклеоти­ ды) и отбор происходили среди первых информационных биомолекул РНК, способных к самовоспроизведению. Выигрывает молекулярная структура, готовая генетически управлять своим синтезом. Оказалось, что существует верхний предел для количества информации (длина ге­ на), содержащейся в устойчивой самопродуцирующейся системе. Его увеличение возможно при кооперации молекул РНК в так называемый гиперцикл на основе взаимной каталитической активности. Гиперцик­ лы (так же как и их альтернатива - сайзеры [66]) обеспечивают устой­ чивое и контролируемое сосуществование участников, гарантируя их когерентный рост. Они могут развиваться за счет включения новых участников (если это дает селективное преимущество), конкурировать и объединяться.

Мутации совершенствуют генетическую информацию, которая передается следующему поколению делением компартмента на две единицы. Отбираются компартменты более приспособленные к усло­ виям окружающей, среды. Происходит ветвление на генотип и фенотип;

эволюцию можно рассматривать как автоволновой процесс в «про­ странстве фенотипов». Движение «волн» обеспечивает репродукция:

точная - усиливает, ошибочная - распространяет.

1 - цель действий (например, выжить); 2 - финитное управление (корректировка действий);

3 —инфинитная реальность, в которую погружен субъект; 4 —внешнее воздействие (то, что вообще способен воспринять субъект и инфинитного окружения); 5 - обратная связь ( О С ь О С 2);

6- семантический фильтр, основанный н Ф К М ; 7 - паранормальная наука (или управление) в обход семантического фильтра и ФКМ (например, через биополе, н уровне эмоций).

3. Частично инфинитная методология выхода из гносеологических «тупиков»

Посмотрим, каким образом подобные рассуждения можно пере­ нести на науку (развитие знания) как продолжение биологической эво­ люции с книгами вместо генов. Концепции эволюционной эпистемоло­ гии базируются на постнеодарвинизме и сводятся примерно к следую­ щему [77].

Возникающий на основе определенного генотипа организм (фе­ нотип) не полностью обусловливается действием генов. Устойчивые траектории развития организма определяются и воздействием среды.

Естественный отбор, связанный с требованиями окружающей среды, через фенотип действует на генофонд. Приобретенные свойства имеют отношение к эволюционному изменению, идущему в пользу генотипа, снабжающего наследников способностью адаптивно реагировать на окружение (обладающих большей приспосабливаемостью). Тем самым возникает обратная связь окружающей среды с генотипом в формиро­ вании фенотипа.

Генотип сопоставляется с теоретическим знанием, фенотип с на­ учной практикой. Система научных знаний обладает особой устойчи­ востью наподобие гиперциклов, но, как и они, способна эволюциони­ ровать. Новые понятия (мутации) должны вписаться в «научный гипер­ цикл» (модернизировать его), а новый гиперцикл (геном) проверен на практике (эффективность научного фенотипа в новой предметной об­ ласти). Существующий гиперцикл для своей устойчивости в новых предметных областях должен постоянно совершенствоваться, выбирая из популяций идей наиболее эффективную для доступа к новым сферам реальности (предметным областям). Наука (как сознание социума) раз­ вивается в конечном счете только через действие. В научном языке (ге­ нофонде) генерирование мутаций (концептуальные нововведения) про­ исходят через образование метафор, т. е. через нелинейность [28].

Реально постнеодарвинизм (в рамках приведенных выше рассуж­ дений) раскрывает блок «абстрактное мышление», заменив их набором конкурирующих шаблонов х; (см. рис. 3.1, б), в который неизвестно ка­ ким образом могут проникать мутанты хм с большей селективной цен­ ностью. Конечно, можно искусственно промоделировать их появление.

Например, так. Дополним систему (2.17) - (2.19) четвертой переменной (шаблоном) х4 : х4 = f ( x 1, x 2, x 3, x 4, a, b 4, c 4), причем пусть b4 - d - x (здесь d постоянная). Тогда при х3 -> 0 просыпается шаблон х4 и «заДинамические, статистические и частично инФинитиые закономерности Рис. 3.2. М у т а н т у «захватывает» систему: временные развертки (а, б, в, г) и проекции ф азовых портретов (Э, е).

владевает» системой (рис. 3.2). Но существуют ли общие закономерно­ сти формирования новых шаблонов?

3.2. Д ин ам ические, статистически е и части чн о и н ф и н и тн ы е законом ерности Дифференциальные уравнения, представляющие шаблоны на рис. 3.1, б, являются примером так называемой динамической законо­ мерности. Между причиной (ресурсами) и следствием (jcf) существует жесткая однозначная связь, определяемая услови ям и, т. е. таким на­ чальным состоянием и численными значениями коэффициентов, при которых могут реализовываться причинно-следственные связи, дик­ туемые системой (2.17) - (2.19).

Сравнительно легко можно выполнить стохастическое обобще­ ние этой динамической системы и привести ее к многомерному урав­ нению ФПК для совместной «-мерной плотности вероятности р(х, t ) :

3. Частично инфинитная методология выхода из гносеологических«тупиков»

Уравнение (3.1) представляет собой действие уже статистической закономерности, которую прокомментируем для одномерного случая.

Эта закономерность действует при выполнении обычных предельных теорем теории вероятностей S„ = 2 х, — S (при условии, что случайi ные величины х ( одинаково распределены; не путать х с компонента­ Действие статистической закономерности прекращается, если limМ[и / т„] = const, где тп = тах{х1, х 2,...,хп}. В этом случае по­ следовательности S n и тп эквивалентны, т. е. сумма эффектов опреде­ ляется лишь одним максимальным числом тп (не действует предельная теорема Чебышева). А что это означает? Метафорически - следующее.

Некий «термостат», обеспечивающий «закрытость» предметной облас­ ти, «прокололся». Система открылась влиянию инфинит­ ной реальности и стала в статистическом смысле неустойчивой.

Возникает вопрос: если статистические закономерности не дей­ ствуют, тогда, что «действует»? Каким закономерностям подчиняется потерявшая устойчивость система? Для нее есть два пути:

1. «Заклеить» дырку в термостате и вернуться в прежнее стати­ стически устойчивое состояние.

2. Соорудить новый (уже расширенный) термостат и описывать ситуацию двумерным (но устойчивым) распределением.

Эти возможности призывают вернуться к известным в науке (ста­ тистическим) закономерностям. Но как? Существуют ли закономерно­ сти, по которым система переходит из одного статистически неустой­ чивого состояния в другое, статистически устойчивое. Наша гипотеза заключается в том, что существуют. Именно: переход в новое устойчи­ вое состояние связан с превращением одного из условий (коэффициен­ тов модели) «старого» термостата в новую фазовую переменную рас­ 3.2. Динамические, статистические и частично инфинитные закономерности ширенного устойчивого термостата. Подобные закономерности мы и называем частично инфинитными. Они действуют в переходных гно­ сеологических (познавательных) режимах, когда старое уже разрушено, а новое еще не создано.

Этот класс закономерностей назван частично инфинитным, так как он, с одной стороны, определяется свойствами разрушенной сис­ темы - финитностью (нельзя из сломанной машины собрать корабль), а с другой - зависит от разрушающего фактора: если машины «лома­ ются» от того, что на глубоком броде в систему зажигания попала во­ да, то ее расширенным (и устойчивым к воде) вариантом будет амфи­ бия. Но это уже постфактум, а в начале, когда двигатель глохнет, ва­ риант амфибии и в голову еще не приходит (может быть, достаточно герметизировать катушку зажигания) - отсюда инфинитность («неоп­ ределенность»), Переведем эти метафорические рассуждения на язык научной терминологии.

Корректная постановка задач в классическом моделировании ис­ ключает неустойчивость решения. Но ведь неустойчивость - атрибут развития, поэтому в «обычном» моделировании изучаются системы, в которых не происходит никаких качественных изменений: все, что можно сказать о системе (на качественном уровне), уже сказано в стар­ товой позиции. Происходят только количественные изменения вектора состояния системы (появление новых компонентов у этого вектора ис­ ключается). Недаром математики часто доказывают существование ре­ шений без его конкретного нахождения.

Развитие интерпретируется нами как усложнение фазового про­ странства системы, появление у вектора, описывающего ее состояние, новых компонентов. Произойти подобное расширение может только через неустойчивость, т. е. прекращение действия условий, обеспечи­ вающих корректность решения.

Любая модель связывает вектор состояния Y с векторами из­ вестных внешних воздействий \ и задаваемых параметров А :

L(Y, А) = 0, где L - оператор, включающий также граничные и на­ чальные условия, задание и согласование которых как раз и обеспечи­ вает корректность. Вектор параметров А обеспечивает интерфейс сис­ темы с окружением, и именно «оживление» его составляющих (пре­ вращение в фазовые переменные, живущие в одном темпомире с уже 3. Частично инфинитная методология выхода из гносеологических «тупиков»

существующими фазовыми переменными) является задачей частично инфинитного моделирования. Его этапы: 1) выявление условий, при которых происходит потеря устойчивости решения; 2) определение не­ обходимого числа фазовых переменных для устойчивого описания раз­ вивающейся системы (осуществляется методами фрактальной диагно­ стики, см. [35]); 3) определение качества этих переменных (что они из себя представляют конкретно) - этот этап наиболее творческий, так как он не поддается «полной» формализации; 4) «обычное» моделирование устойчивого функционирования расширенной системы; 5) выявление условий потери ее устойчивости и т. д. («по кругу»).

Рассмотрим подробнее основные понятия, используемые в нашем подходе: предметная область; сущность и явление; иррациональный шаблон - «дерево»; финитность, инфинитность, частичная инфинитность. В качестве примера возьмем самую простую модель речного бассейна:

где Q - расход воды в замыкающем створе; к - коэффициент стока; т время релаксации; X —интенсивность осадков.

Основываясь на уравнении (3.2), мы выделяем (фиксируем) с по­ мощью к их (это и есть составляющие вектора Л ) такие свойства реч­ ного бассейна, как проницаемость почво-грунтов, потери на испарение, инерционность. Но ведь бассейн как материальный объект гораздо сложнее, чем мы его представили (там и люди, и города, и биомасса и т. п.). Однако нам (как гидрологам) важны только те стороны этого объекта, которые: 1) отражают процесс формирования речного стока;

2) уже нами «освоены», т. е. рационализированы с помощью искусст­ венно созданных понятий (расход воды, время релаксации и т. д.).

Можно сказать, что выделена изучаемая предметная область. В нашем конкретном случае — гидрологическая предметная область; причем только в ней то, что нам интересно или «под силу» изучать (вне поля зрения остались ледовые явления, деформация русел и многое другое).

В этом смысле мы интересуемся не объектами вообще, а конкретными предметными областями.

Таким образом, можно дать следующее «размытое» определение:

предметная область —это субъективно рационализированный «кусок»

3.2. Динамические, статистические и частично инфинитные закономерности объективной реальности, используемый в «корыстных» целях. Поэтому и любая модель предназначена для описания только конкретных пред­ метных.областей. Причем для описания только сущности. (Явления, в широком смысле этого слова, никакой моделью описать невозможно:

осадки могут сопровождаться молнией, громом и т. п. - уловить какието аспекты явления может только искусство, очень субъективно и очень неточно с точки зрения «точных» наук.) Парадоксальность си­ туации заключается в том, что в зафиксированной предметной области ее сущность ненаблюдаема (не может «взаимодействовать» с органами чувств и приборами).

Воднобалансовую сущность, определяемую моделью (3.2), «по­ трогать» нельзя — умозрительное понятие. Потеря решением устой­ чивости означает, что не «бьет» баланс. Модель надо модифицировать, искать новую сущность. Как? Путем новой фиксации предметной об­ ласти (бассейна), затрачивая при этом энергию, и путем нового умозре­ ния, расходуя интеллектуальную (эмоциональную) энергию.

Какой-то «логики умозрения» нет - это процесс творческий (не формализуемый), иррациональный, интуитивный. Интуиция просыпа­ ется, когда из-под ног уходит сущность. Математическим индикатором этого является неустойчивость решения модели. Она показывает, что прежнее умозрительное понятие (модель), описывающее сущность, на­ до заменять новым (по-новому фиксировать предметную область, что­ бы новое решение было устойчивым).

Попробуем наглядно представить действие интуиции (логики чувств по П. Пикассо). Любое чувственное восприятие явления - это неповторимое событие (философская категория - единичное), т. е.

«точка»: а\ - этот конкретный стул, а2 — этот конкретный стол (рис. 3.3). Для того чтобы сформировалось понятие о чем-либо (фило­ софская категория - общее), надо иметь что-то общее как минимум в двух чувственных восприятиях: \|/j - понятие мебель (рис. 3.3).

А теперь забудем про «стулья». Пусть двумерные существа (жи­ тели плоскости), наблюдая, как ветер раскачивает ветки, установили для единичных восприятий (точек а,) общность их перемещения, т. е.

сформулировали понятия \|/;. Пусть подрастающая ветка протыкает плоскость. В рамках логики, основанной на двумерных понятиях \|/f, это событие не объяснить. Но если некоторые двумерные сущест­ ва («творческие») обладают (бессознательно) интуицией и «видят»

3. Частично инфинитная методология выхода из гносеологических «тупиков»

«иррационального шаблона».

В. В. Налимова [58]) - это постулирование (кем-то на небесах) понятий-смыслов v/,-, которые мы раскрываем («раскупориваем вакуум», по Налимову), соприкасаясь с налично данным а,. Линия материалистов (включая марксистов) - это создание нами самими понятий \|/, о чем-то а„ т. е. того, что «уже пред-существует и требует своего осмысления».

Возникает ощущение, что обе эти линии мало чем отличаются.

Обе они «располагаются на плоскости», на которой уже что-то задано («материальные» объекты а,- или «идеальные» понятия \|/;). Понятие (общее) изображается линией, точками (их «бесконечно» много) кото­ рой являются единичные объекты. Но так как любой единичный объект для своего описания требует бесконечного числа понятий, то «мощно­ сти» единичного и общего одинаковы. Недаром между идеалистами и материалистами идет нескончаемый диалог - они просто не могут друг без друга (победителей в этом споре не может быть в принципе).

Представителем «не плоского» течения является, например, Ж. Делёз [18], принцип философии которого - «созидание понятий о том, что еще только должно стать объектом, только еще нарождает­ 3.2. Динамические, статистические и частично иифииитные закономерности ся». Это философия становления, которая соединила прошлое и буду­ щее в ускользающее настоящее.

Теперь можно ввести ряд важных понятий [45]. Будем называть любые объекты (и связи между ними) на «плоскости» —финитными, т. е. выразимыми в рациональных структурах (понятиях \|/), а объекты (связи) на всем «дереве» - инфинитными, т. е. невыразимыми в рацио­ нальных понятиях \|/. Инфинитная реальность - это все «дерево» или «лес» (короче - шаблон). Опираясь на эти понятия, можно сказать, что зафиксированная предметная область всегда является финитной реаль­ ностью (самим фактом фиксации). Эта фиксация может осуществлять­ ся либо практической деятельностью (на уровне явлений), либо умо­ зрительными понятиями (на уровне сущности). Таким образом, вся познанная окружающая нас реальность - это взаимосвязанная система предметных областей: Но выделение предметной области означает, что все другие предметные области частично или полностью инфинитны (т. е. невыразимы в ее рациональных структурах). Следова­ тельно, финитная реальность («плоскость») задается при помощи ре­ альности инфинитной («дерева»). Граница между финитным и инфинитным всегда частично инфинитна (только частично выразима в ра­ циональных структурах). Например, для «плоскости», пересекающей крону дерева, частично инфинитным понятием будет «расширение дырки» («перемещение существующей» - финитным, «появление но­ вой» - инфинитным).

Дадим наглядный образ частично инфинитного моделирования как перехода из возможности в действительность. Можно предло­ жить такое достаточно общее определение: частично инфинитное мо­ делирование - это гносеологический переходный процесс из возмож­ ности в действительность с затратой энергии. Ниже расшифруем это определение.

Пусть мы спроектировали инфинитную реальность на «плос­ кость» (точка зрения № 1) и построили «обычную» модель (рис. 3.4).

Если ее решение оказалось неустойчивым, то надо менять точку зре­ ния, т. е. по-новому фиксировать проекцию (материальный объект дерево» - при этом не меняется, хотя в общем случае может и менять­ ся). Если в расширенной области (с новыми фазовыми переменными) решение устойчиво, то можно временно «остановиться» до появления новой «неустойчивости». (На языке диалектического материализма 3. Частично инфинитная методология выхода из гносеологических «тупиков»

Рис. 3.4. Н аглядны й образ частично инф инитного моделирования:

1 - точка зрения № 1; 2 —точка зрения № 2.

[2, 71] это можно сформулировать следующем образом. В построенной модели или, более широко, научной теории невозможно обнаружить диалектические противоречия методами логики, заложенной в эту тео­ рию. Хотя они есть всегда - формально-логических может и не быть, но появляются только при развитии «ситуации», а это может произой­ ти, если мы пытаемся применить известную теорию или модель в но­ вых условиях и она не срабатывает.) Как может возникнуть эта новая неустойчивость? Только в про­ цессе деятельности по освоению материального объекта («дерева»шаблона). В результате этой деятельности мы выходим за рамки рас­ ширенной предметной области (например, оказываемся в новом диапа­ зоне прежних параметров). Расширенная (например, двухфазная) мо­ дель может «не сработать» и снова надо менять точку зрения. Следова­ тельно, частично инфинитное моделирование предполагает, что мате­ риальный объект («инфинитный») может оставаться и прежним, а ме­ няется только точка зрения ученого, пытающегося по-новому объяс­ нить сущность (т. е. построить модель) вновь расширенной предметной области. Это расширение происходит не умозрительно, а в результате практической деятельности (умозрением уже потом пытаются объяс­ нить сущность). Таким образом, частично инфинитное моделирова­ ние - это гносеологический (относящийся к теории познания) переход­ 3.2. Динамические, статистические и частично инфинитные закономерности ный процесс от одной точки зрения к другой (расширенной), например, от одномерной проекции (№ 1) к двумерной (№ 1 + № 2).

Вопрос: переход откуда и куда?

Ответ: из возможности в действительность (есть такие философ­ ские категории в диалектическом материализме).

Новая действительность - это расширенная предметная область (новая «плоскость» на «дереве»). Но она не может возникнуть из ниче­ го. Должны быть предпосылки этой новой действительности, т. е. ее возможность. Эти предпосылки заложены, с одной стороны, в самой инфинитной реальности («дереве», иначе откуда вообще возьмется чтото новое), а с другой - в существующей (фактической) действительно­ сти, т. е. в освоенных проекциях. Только опираясь на них познающий субъект может действовать, т. е. фиксировать инфинитную реальность.

Можно выразиться и так: возможность новой действительности зало­ жена в действительности существующей.

Таким образом, чтобы оказаться в новой действительности (т. е.

получить новые знания) надо:

1) действием (т. е, затратой обычной энергии) зафиксировать «по-другому» предметную область (действовать могут и другие «субъ­ екты-объекты», поместив тебя в новые условия), 2) умозрением (т. е. затратой интеллектуальной энергии) объяс­ нить сущность этой расширенной предметной области.

Так как и действие, и умозрение - это иррациональные творче­ ские процессы, т. е. из сферы инфинитности, то все новое (рационали­ зированное финитное) достигается путем «выжигания» инфинитности.

Отсюда, в частности, следует глупость вопроса о том, познаваем ли мир (чтобы его познать, надо этот мир зафиксировать в качестве пред­ метной области, а для этого не хватит никакой энергии). Мы познаем только отдельные предметные области.

Попытаемся графически (см. рис. 3.1, в) представить рассматри­ ваемый процесс познания и место, которое в нем занимает частично инфинитное моделирование.

Если субъект отклоняется от цели, то с помощью контура обрат­ ной связи ОС] выбирается подходящий шаблон (модель), который кор­ ректирует его траекторию. Но если субъект в результате своих (или чужих) действий оказался в новой предметной области, то подходящего шаблона (модели) нет (неустойчивость). Тогда есть два пути: либо по­ 3. Частично инФинитная методология выхода из гносеологических «тупиков»

гибнуть, либо сформировать новый шаблон (добавить фазовую пере­ менную в частично инфинитном блоке с помощью контура ОС2.

Семантический фильтр (основанный на физической картине мира познающего субъекта, ФКМ) предохраняет от «бредовых идей» как в сторону частично инфинитных моделей, так и от них (ФКМ играет селективную роль). Но возможно и прямое (в обход «здравого смысла») влияние интеллектуальных эмоций на обычную энергию (см. волни­ стую линию на рис. 3.1, в).

Для прояснения ситуации вернемся к гидрологии (рис. 3.5).

Пусть некий субъект прогнозирует приток воды в водохранилище, имея определенный набор прогностических моделей (шаблонов). Если ни одна из моделей не дает S / ст < 0,8 (здесь S - средняя квадратическая погрешность поверочных прогнозов; ст - среднее квадратическое от­ клонение предсказываемой переменной от нормы), то прогнозист на­ чинает выдумывать дополнительные шаблоны («оживлять» коэффици­ енты уже известных моделей), чтобы добиться успеха.

Семантический фильтр - это знание прогнозистом того, что, на­ пример, Q > 0, X > 0 и что новый придуманный им шаблон (модель) не Рис. 3.5. Гидрологический пример процесса познания. рактерной для «динами­ 3.2. Динамические, статистические и частично инфинитные закономерности ческой онтологии» Од „, которая предполагает жесткую однозначную связь между причиной (в нашем случае - это осадки X и начальное условие Q\,=q= Qo) h следствием Q(t).

Для того чтобы произошла замена динамической онтологии, не­ обходимо появление парадоксов (в рамках логики, порожденной Од „). и Парадоксы могут появиться только из инфинитной реальности через частично инфинитные параметры: т и к. Мы их считаем частично инфинитными, так как, с одной стороны, они осмыслены в рамках онто­ логии ОдИ (финитность, причем Од н может быть нелинейной, много­ мерной и т. д.), но с другой - породить их может «что угодно» (о про­ цессах, стоящих, например, за коэффициентом к, можно только дога­ дываться - это инфинитность). Ну а в результате - это и есть частичная инфинитность.

Такая неопределенность порождает шумы, размывающие траек­ торию Q(t), и поэтому логично заменить Од н на «стохастическую онто­ логию» Остох- В этой онтологии, представленной уравнением ФоккераПланка-Колмогорова (3.1), шумы уже рационализованы с помощью интенсивностей G~,G~ и взаимной интенсивности G~~ (здесь с = 1/ кх = с + с, N = X / t = N + N, где с и N - нормы, а с u N белые шумы; в данном случае имеется в виду, что динамическим ядром уравнения ФПК служит модель (3.2)). Но и она сталкивается с парадок­ сами (неустойчивостью): при с < 0,5nG~ возникает неустойчивость моментов п-го порядка и в итоге - всего распределения в целом. По­ этому эту онтологию (оставляя ее стохастической) надо «уточнять», например делать распределение плотности вероятности многомерным (расширять фазовое пространство). Замена онтологий Одан — Осто — ?

и есть гносеологический переходный процесс.

Эти две онтологии соответствуют динамической и статистиче­ ской закономерностям, которые используются сейчас в науке. А можно ли построить «онтологию переходной гносеологии»? Ведь и динамиче­ ский, и статистический взгляд на мир - это не более чем обобщенный стиль мышления. А можно ли частично инфинитный стиль мышления сопоставить с частично инфинитной онтологией, т. е. получить законо­ мерности, соответствующие не только уже готовым знаниям - ступень­ кам, но и переходу с одной ступеньки на другую?

3. Частично инфинитная методология выхода из гносеологических «тупиков»

В теории познания все категории связаны друг с другом (каждая зависит от других, т. е. носит эмерджентный характер, или, в научно­ естественной терминологии, требует полевого мышления). Поэтому в принципе нельзя вырывать какую-либо пару категорий и обсуждать их, как будто других не существует. Кроме того, есть определенная ие­ рархия категорий. Поэтому сделаем несколько предварительных шагов, прежде чем перейдем к уже упоминавшимся категориям «возмож­ ность» и «действительность».

Развитие - это расширение фазового пространства, новая фикса­ ция предметной области. Подойдем к этому понятию, опираясь на геге­ левские категории.

Предметная область - это, во-первых, бытие, а во-вторых, бытие не только «вообще», но бытие конкретное. У всего конкретного есть мера как единство количества и качества. Следовательно, развитие есть смена мер.

Конкретизируя часть бытия, мы мысленно (и с затратой энергии) выделяем предметную область из контекста окружающей реальности;

навязываем этому для-себя-бытию (как сказал бы Гегель) определенное качество, отличающее его от окружающего мира. Например, речной бассейн (речную сеть определенного порядка п) с расходом воды как его отличительной особенностью. Но расходы воды Q могут быть раз­ ные (большие и маленькие), появляется категория «количество». Но они (п и Q) не могут быть произвольными: пока часть реальности су­ ществует как обособленная предметная область, сохраняется мера его бытия - единство количества (Q) и качества («), выражаемая, например, законом Хортона: п = 2,2 lg Q + 6,35.

Эта мера соответствует динамической онтологии Од „, так как ко­ личество («причина») однозначно определяет качество («следствие»).

Но меры обнаружения «бытия речного бассейна» могут быть разные.

Аппроксимируем уравнение ФПК системой уравнений для начальных моментов (2.33). Мера такого «статистического бытия» бассейна увязка дискретно теряющих устойчивость моментов (качество) с не­ прерывно меняющимся параметром Р - G - / с (количество) через усло­ вие нормировки §p(Q)dQ = l и его нарушение (узловая линия мер).

Причем «количеством» (а значит, и «качеством») управляет смежная предметная область (испарительная).

3.2. Динамические, статистические и частично инФинитные закономерности Возникает странная ситуация: мера (точнее управление ею) бас­ сейна лежит не в нем! Как же тогда устроена эта предметная область?

Для ответа на этот вопрос надо обратиться к категориям «сущность» и «явление». Сток формирует не сам по себе бассейн. Он лишь элемент глобальной гидрометеорологической системы. Только в контексте этой «всеобщности» осмысленно явление речного стока (примерно это соот­ ветствует крылатой фразе: свита делает короля). Мы уже упоминали, что сущность надо искать в «другой» предметной области. В данном случае ею является испарительная область, которая сама осмыслена только в контексте более общей гидрометеорологической системы.

Хороший пример для прояснения ситуации приводится в работе [87]. «То, что я живу, допустим, работая учителем, имеет своим осно­ ванием то, что общество производит знания о мире и передает их своим подрастающим поколениям. Следовательно, основанием моего сущест­ вования (явления - В. К.) в качестве учителя является сущность обще­ ства как тотальности, которой я принадлежу». Их единство (сущности и явления) дает категорию действительности, т. е. того, что действует.

Но чтобы действовать, нужна возможность для этого.

Категории «возможность» и «действительность» можно пояснить наглядно (рис. 3.6). В стартовой позиции (1) имеем стационарное состоя­ ние бассейна p ( Q, t 0), моделируемое уравнением ФПК. Эта модель опи­ сывает сущность, в которой заложена возможность разрушения меры (за счет члена [ - ( с - 0,5G- )]). Чтобы возникла новая («двухфазная») дей­ ствительность, одной модели мало: нужно действие (действительность то, что действует). Любой прогноз - это гносеологическая имитация дей­ ствия. Если мы на интервале от (1) до (2) меняем окружение («свиту ко­ роля»), т. е. сущность (соотношение с и G -, т. е. Р), то в момент на­ рушения меры (1') селективные ценности явной (Q) и скрытой () фа­ зовых переменных сравниваются (скрытую переменную нельзя считать константой: d Q / d t a d E I d t ).

В позиции (2) имеем двумерное уравнение ФПК с решением p(Q, Е; t) и новой мерой сущность Е — (c-0,5G~) ста­ Рис. 3.6. Н овы е возможности м огут ла псевдоявлением). (Е - интенсивность испарения).

3. Частично инфинитная методология выхода из гносеологических «тупиков»

Если в состоянии (Q, Е) система закрыта для мультипликативных шумов, то возможностей для перехода в состояние (3) у нее нет. Ника­ кими действиями без нарушения меры \ \ p ( Q, E ) d Q d E = 1 устойчивую систему не вывести в новое качество (король оказывается голым).

Развалить новую меру может только новая сущность, а чтобы она себя проявила, надо действовать, по-новому фиксировать (и менять эту фиксацию) предметную область (мультипликативно открываться). Для модели это означает - в нее надо вводить шумящие параметры, а коэф­ фициент сноса делать переменным [-(с - 0,5(7-) = /(/)] Сущность то, что разрушает меру и становится новым явлением (если под явлени­ ем понимать Q и Е).

Мы сейчас описали (пользуясь своим «стилем») процесс разви­ тия. Но пользуется ли этим же «стилем» и природа? Ведь никаких «шумов», «мультипликативного открывания» и т. п. нет (руками их не потрогать). Но руками нельзя «потрогать» и все, что связано с динамиРис. 3.7. Действие частично инф инитной закономерности при переходе от динамических закономерностей {а, в) к статистическим (6, г) и при расш ирении фазовых пространств динамических (а, в) и статистических (б, г) систем.

_ 3.3. Н екоторы е матем атические аспекты методологии ческой или статистической закономерностями. Просто статистический (например) взгляд на мир, вероятностный стиль рассуждений позволяет более адекватно отражать какие-то стороны реальности. Поэтому и имеют эти закономерности онтологический статус. Что отражает час­ тично инфинитная гносеология? Условия появления неустойчивости и переход в устойчивое, но более многоразмерное фазовое пространство.

Можно возразить: переход в малоразмерное пространство также может обеспечить «устойчивость». Например, в системе уравнений для на­ чальных моментов (2.33) можно отбросить третий и четвертый моменты и все, что с ними связано. Получим нормальное распределение, так как о неустойчивости третьего момента нет смысла говорить (раз его «нет»), а второй момент более устойчив, чем третий (р2 = 1, Рз = 0,67). Но нам важно не просто устойчивость, а развитие системы, переход ее в более «развитое» состояние.

На рис. 3.7 показано место частично инфинитной онтологии Оч „ и при переходе от динамического описания к статистическому и при расширении фазовых пространств в динамической и статистической онтологиях.

3.3. Н екоторы е м атем ати ч ески е асп екты методологии Теперь посмотрим, откуда появляются потаенные тропы в откры­ тый (инфинитный) мир из финитной реальности. Новая переменная по­ является не с Луны, иначе ни о какой, даже частичной, рационализации прогнозирования нового и речи бы не было. Она скрыта в самой моде­ ли и «кто-то» ее «пробуждает».

Вернемся к системе популяционных моделей:

В обычных условиях эта система описывает взаимодействие двух популяций хх и х2. «Огидрологичим» ситуацию и будем считать:

3. Частично инфинитная методология вы хода из гносеологических «тупиков»

=E; r =X/W,,где Wj - емкость для г-й переменной. Теперь x { =Q;x вспомним, что Г = 1/т,-, и пусть т2 » х,, т.е. селективная ценность у Е очень мала (Е = const, dE/dt ~ О Тогда Pl2^ значим r,° = г, - const[. Следовательно, систему (3.3), (3.4) мы воспри­ нимаем как одно уравнение dQ/dt = (r,° - Рп !й) б (Если рассуждать «мультипликативно», то придем к уравнению dQ/dt = (г{ ~P>uq )Q-) Наблюдая за расходом, мы идентифицируем численные значения г° и Рп (или Р п )• Нам даже невдомек, что за величиной г,° = (x/ W {)° еще что-то стоит, кроме селективной ценности расхода (точнее, то, что сто­ ит за г® и определяет его селективную ценность: в зависимости от зна­ ка Р1 увеличивает или уменьшает ее). Испарение Е есть, но оно не воспринимается нами как искомая функция. Это просто потери, учиты­ ваемые коэффициентом стока. (Если в уравнении dQ/dt = - Q / k x + х/x считать, что т = W j Q, то получим dQ/dt = ( x / w i - c Q / W ^ Q, где па­ раметр с = \/к и учитывает наличие испарения.) Таким образом, медленная фазовая переменная просто включена в состав частично инфинитных параметров: X / w t (тогда величину X следует считать «эффективной», т. е. осадки минус потери) или чаще c/W! (рис. 3.8).

Реально испарение имеет смысл рассматривать как «ожившую»

фазовую переменную, если ее внутригодовые вариации (интенсивность белого шума G- ) сравнимы с нормой: G- « с. В этом случае величина х 2 в (3.3) отнюдь не константа и надо рассматривать систему (3.3), (3.4) совместно для расхода и испарения. Испарение «оживает» и подавляет рост расходов (при G ~ ~ с система становится статистически неустой­ чивой по расходу). Говорят, что они стали жить в одном темпомире.

А сколько всего таких «затаившихся» фазовых переменных? От­ вет на этот вопрос дает фрактальная диагностика. Ее смысл заключается в том, что, наблюдая за одной фазовой переменной (доступной измере­ нию), можно сделать вывод о количестве других (оказывается, что временная реализация ной в известном смысле эквивалентна «простран­ ственному» срезу много­ Частично образия фазовых пере­ щтица менных: ведь эволюция одномерной проекции (см. рис. 3.7) инфинитной реальности происхо­ дит не сама по себе, а с учетом влияния бли­ жайших соседей). Мето­ дика фрактальной диаг­ Рис. 3.8. Включение медленной фазовой ностики гидрологических переменной Е в состав частично инфинитных процессов подробно опи­ сана в работах [33, 37].

Из изложенного следует, что основные модели гидрологических процессов (включая уравнение ФПК) - это уравнения параболического типа конвекции-диффузии. Их математические свойства (существова­ ние решений, их единственность и устойчивость) хорошо изучены [47, 75, 83]. С помощью соответствующих преобразований их можно приво­ дить к различному виду. Например, уравнение (3.1) можно записать так (для одномерного случая):

где А 1= - А + д В / д х. Это так называемая дивергентная форма уравне­ ния конвекции-диффузии, подробно рассмотренная в работе [75].

В уравнениях может преобладать либо конвекция (Ре » 1), либо диффузия (Ре « 1), критерием чего выступает число Пекле:

где Ад, х 0, В0 - характерные значения соответствующих величин (в случае, например, уравнения Навье-Стокса в роли Ре выступает чис­ 3. Ч астично инфинитная методология вы хода из гносеологических «тупиков»

ло Рейнольдса Re = и0h0 / v, где и0 и h0- характерные скорость и глу­ бина, v - вязкость).

При сильном доминировании конвекции (это важный для нас случай, который и создает предпосылки для открытия «тайных троп»

в инфинитную реальность) приходим к так называемым сингулярно возмущенным задачам с малым параметром Ре-1 при старших произ­ водных, что приводит к наличию областей сильного изменения момен­ тов (в частности - к толстым «хвостам», см. разд. 4). Если частично инИ финитная среда несжимаема (например, для (3.1) divA = J^8A/! dxi = 0 ;

это будет, в частности, для одномерного случая, при 2 с = G- ), то ста­ ционарное распределение (конечная инвариантная мера, как сказали бы математики) вообще отсутствует. В гидрологии обычно пытаются иметь дело с семейством кривых Пирсона, к которому придем, если в (3.1) принять:

причем для стационарности необходимо, чтобы а\ < 0, Ь2 > 0. Неустой­ чивость - это нарушение законов сохранения, т. е. появление из инфи­ нитной реальности своеобразной «тележки» (см. п. 4.4), «трясущей»

распределение плотности вероятности.

Основной тезис частично инфинитной гидрологии заключается в том, что при расширении фазового пространства частично инфинитную реальность (ее размерность равна разности размерности пространства вложения и числа реально учитываемых фазовых переменных) сжать проще. Это означает, что, например, толстый «хвост», возникающий при неустойчивости по дисперсии, можно «размазать» по вновь вводи­ мой фазовой переменной, сделав тем самым двумерное распределение устойчивым. Эта процедура предполагает умение прогнозировать по­ явление неустойчивости и зарождение новой фазовой переменной, ко­ торая эту неустойчивость и создала.