Главная >> Монографии

Pages: |

| 2 | 3 |

«МАТЕМАТИКА УДК 512.5 О СЕРИИ ПОДМНОГООБРАЗИЙ МНОГООБРАЗИЯ, ПОРОЖДЕННОГО ПРОСТОЙ БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЙ АЛГЕБРОЙ КАРТАНОВСКОГО ТИПА ОБЩЕЙ СЕРИИ W2 О. А. Богданчук Аспирант, ассистент кафедры алгебро-геометрических вычислений, ...»

-- [ Страница 1 ] --

О. А. Богданчук. О серии подмногообразий многообразия, порожденного алгеброй W2

МАТЕМАТИКА

УДК 512.5

О СЕРИИ ПОДМНОГООБРАЗИЙ МНОГООБРАЗИЯ,

ПОРОЖДЕННОГО ПРОСТОЙ БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЙ

АЛГЕБРОЙ КАРТАНОВСКОГО ТИПА

ОБЩЕЙ СЕРИИ W2

О. А. Богданчук Аспирант, ассистент кафедры алгебро-геометрических вычислений, Ульяновский государственный университ, [email protected] В работе изучаются числовые характеристики многообразий алгебр Ли над полем нулевой характеристики, в основном экспонента многообразия. Автором была построена дискретная серия алгебр Ли с различными дробными экспонентами роста коразмерностей, принадлежащая многообразию, порожденному простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии W2.

Ключевые слова: многообразие алгебр Ли, экспонента многообразия, полиномиальные тождества.

Работа посвящена изучению многообразий алгебр Ли и их числовых характеристик. Все использованные, но не объясненные понятия можно найти в монографиях [1, 2]. Характеристика основного поля предполагается равной нулю. На протяжении всей работы в относительно свободных алгебрах, а также при записи тождественных соотношений запись лиевской операции ведется без коммутаторных скобок. Кроме того, будем использовать левонормированную запись произведений, опуская скобки, т. е. (ab)c = abc. Коммутаторные скобки используем только в конкретных алгебрах Ли, которые построены из соответствующих ассоциативных алгебр, в которых ab обозначает результат ассоциативного умножения элементов алгебры.

Пусть V — многообразие алгебр Ли, а F (V) — его относительно свободная алгебра счетного ранга, порожденная элементами x1, x2,.... Обозначим через Pn (V) подпространство полилинейных элементов от x1,..., xn в F (V), а через cn (V) = dim Pn (V) — его размерность. Рост числовой последовательности cn (V) называют ростом многообразия V. Если последовательность cn (V) мажорируется экспонентой an для подходящего a, то существуют пределы n n LEXP (V) = lim inf cn (V), HEXP (V) = lim sup cn (V), n n которые называют нижней и верхней экспонентой многообразия V.

Если предел последовательности n cn (V) существует, то он называется PI-экспонентой или просто экспонентой многообразия V:

EXP (V) = LEXP (V) = HEXP (V).

Пусть Rk = [t1, t2,..., tk ] — кольцо многочленов от переменных t1, t2,..., tk над полем. Всякий элемент бесконечномерной простой алгебры Ли картановского типа общей серии Wk может быть записан c Богданчук О. А., 2014 Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. k fi i, где i — оператор взятия частной производной по ti, а fi Rk, i = 1,..., k. В этой алв виде i= гебре лиевской операцией является коммутирование операторов. Обозначим через Wk многообразие, порожденное соответствующей алгеброй Wk. В работе [3] было доказано, что для верхних экспонент многообразий Wk выполняются неравенства HEXP (Wk ) k(1 + k)(1 + 1/k)k.

В этой же статье была высказана гипотеза о том, что экспонента многообразия, порожденного алгеброй Wk, существует и равна верхней оценке из приведенного выше неравенства, т. е.

EXP (Wk ) = k(k + 1)(1 + 1/k)k. Давно известно, что экспонента многообразия W1 равна 4 (см.

[4]). В случае же многообразия, порожденного алгеброй W2, экспонента целым числом не является. В работе [3] доказано, что в случае поля нулевой характеристики экспонента многообразия W является дробной:

13, 1 < LEXP (W2 ) HEXP (W2 ) < 13, 5.

Напомним еще раз строение простой бесконечномерной алгебры Ли картановского типа общей серии W2. Пусть R2 = [t1, t2 ] — кольцо многочленов от переменных t1, t2. Алгебра W2 состоит из дифференциальных операторов первого порядка вида f1 1 + f2 2, где i — оператор взятия частной производной по ti, а fi R2, i = 1, 2. Относительно операции коммутирования множество W2 является алгеброй Ли, причем результат коммутирования двух операторов первого порядка будет также оператором первого порядка. Проверим этот хорошо известный факт в явном виде. Действительно, выпишем результат коммутирования двух дифференциальных операторов, каждый из которых состоит из одного слагаемого. Для этого применим коммутатор к многочлену h R h h [f1 1, f2 2 ](h) = f1 1 (f2 2 (h)) f2 2 (f1 1 (h)) = f1 1 f2 f2 2 f1 = t2 t 2h 2h f2 h f1 h = f1 + f1 f2 f2 f2 f1 = t1 t2 t2 t1 t2 t1 t1 t f2 h f1 h f2 f = f1 f2 = f1 2 f2 1 (h).

t1 t2 t2 t1 t1 t Итак, f2 f [f1 1, f2 2 ] = f 2 f2 1.

t1 t Договоримся опускать в произведениях элементов алгебры W2 коммутаторные скобки в случае их левонормированной расстановки, т. е.

[[[a, b], c], d] = [a, b, c, d], где a, b, c, d — некоторые элементы алгебры W2. В работе [5] была получена дискретная серия алгебр Ли Ls, где s = 3, 4,..., с различными дробными экспонентами роста их коразмерностей. Дадим определение алгебры Ls. Пусть A2 — многообразие всех метабелевых алгебр Ли, определенное тождеством (x1 x2 )(x3 x4 ) 0, а Ms = Fs (A2 ), s = 3, 4,... — относительно свободная алгебра ранга s этого многообразия с множеством свободных образующих {z0, z1,..., zs1 }. Рассмотрим линейное преобразование d векторного пространства z0, z1,..., zs1, действующее по правилу zi d = zi1, i = 1, 2,..., s 1, z0 d = 0. Так как Ms — относительно свободная алгебра, то отображение d можно продолжить до дифференцирования алгебры Ms, которое мы обозначим той же буквой. Напомним, что дифференцированием d некоторой алгебры A называется линейное отображение алгебры в себя, удовлетворяющее условию О. А. Богданчук. О серии подмногообразий многообразия, порожденного алгеброй W где x, y — элементы алгебры A. Вернемся к построению алгебры Ls. Линейная оболочка построенного дифференцирования d алгебры Ls относительно операции коммутирования является одномерной алгеброй Ли с нулевым умножением. Поэтому можно определить полупрямое произведение (см. [1, п. 1.4.4, с. 16]) алгебр Ms и d, которое обозначим Ls = Ms d. Отметим, что алгебра Ms является метабелевым идеалом коразмерности 1 алгебры Ls. Поясним, что как векторное пространство алгебра Ls является прямой суммой пространств Ms и d, т. е. Ls = Ms d. Элементы алгебры Ls умножаются следующим образом:

где x, y — элементы относительно свободной метабелевой алгебры Ms, xy — их лиевское произведение, а xd и yd — результаты действия дифференцирования d на элементы x и y соответственно.

Многообразие, порожденное алгеброй Ls, обозначим как Ls, s = 3, 4,..., и сформулируем доказанную в работе [5] теорему об экспонентах этих многообразий. Для экспонент роста коразмерностей алгебр Ли Ls выполняются строгие неравенства:

Хорошо известно, что в алгебре W1 выполняется стандартное лиевское тождество степени пять, которое имеет вид где S4 — симметрическая группа, а (1)p — четность перестановки. Однако это тождество не выполняется в алгебрах Ls, где s = 3, 4,..., поэтому алгебры Ls не лежат в многообразии W1. Действительно, для проверки этого факта достаточно подставить элементы z0, z1, z2, z3, d алгебры L4 вместо переменных тождества x0, x1, x2, x3, x4 соответственно и получить ненулевой результат подстановки.

Оказалось, что многообразию W2 рассматриваемая серия алгебр уже принадлежит. Сформулируем основной результат этой работы.

Теорема. Дискретная серия алгебр Ли Ls с различными дробными экспонентами роста коразмерностей принадлежит многообразию, порожденному простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии W2.

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно проверить, что любое тождество, которое не выполняется в алгебре Ls, также не выполняется в алгебре W2. Предположим, что произвольное тождественное соотношение степени n + 1 не выполняется в алгебре Ls. Тогда существуют такие элементы этой алгебры, после подстановки которых вместо переменных тождества получаем ненулевой элемент алгебры Ls. Пусть вместо k образующих был подставлен элемент d. Обозначим эти образующие буквой b. А вместо остальных m (m = n + 1 k) образующих подставлены некоторые zi или их произведения, которые мы, в свою очередь, переобозначим как y0, y1,..., ym. Так как ad b является дифференцированием алгебры и действует по правилу (1), то дифференцируя образующую b необходимое число раз, перепишем наше тождественное соотношение в виде суммы левонормированных произведений элементов вида ys (ad b)p. После подстановки базисных элементов алгебры Ls мы можем менять местами скобки начиная с третьей, так как алгебра Ms является метабелевой. Это же свойство перестановки скобок выполняется и после подстановки элементов из алгебры W2, что будет следовать из того типа подстановки, о которой будет рассказано ниже. Сделаем подстановки вместо образующих элементов алгебры Ls и W2 и, производя одинаковые преобразования в обоих случаях, перепишем полученное выражение, считая, что элементы алгебр уже подставлены, но не производя вычислений. При этом еще раз заметим, что мы одновременно производим преобразования, переставляя скобки начиная с третьей и приводя подобные.

В базисе алгебры Ls, кроме zi и d, есть еще произведения свободных образующих метабелевой алгебры Ms, но произведение может быть подставлено только один раз. Так как если мы подставим произведение два раза, то по свойству метабелевости алгебры Ms получим ноль. Любой из ys (ad b)p можно «вынести» на первое место, так как мы работаем в алгебре Ли. Будем считать, что если вместо одного из yi мы подставили произведение, то именно его мы вынесем на первое место. Упорядочим скобки начиная с третьей, по возрастанию индекса i элементов yi. Тогда тождественное соотношение после подстановки элементов из Ls или из W2 будет иметь вид Так как результат подстановки элементов из Ls, по нашему предположению, отличен от нуля, то хотя бы один из коэффициентов в сумме (2) отличен от нуля. Без ограничения общности будем считать, что таким ненулевым коэффициентом является i,k0,k1,...,km.

Обозначим через подстановку элементов алгебры W2 и определим ее следующим образом:

Докажем, что в результате такой подстановки элементов алгебры W2 в сумму (2) остается единственное ненулевое слагаемое вида Рассмотрим любое другое слагаемое. Возможны два случая. В первом случае слагаемое имеет вид Чтобы такое слагаемое не было равно нулю, требуется выполнение следующих неравенств: p0 k0, pl = kl, l = 0,..., m. Другими словами, приходим к слагаемому вида (3). Во втором случае слагаемое такое, что первые два сомножителя имеют вид (y0 bp0 )(yj bpj ), где i = j. Здесь возможны три подслучая. Если p0 > k0, то, исходя из вида подстановки, y0 bp0 = 0. Аналогично, если pj > kj, то yj bpj = 0. Остается третий вариант, когда p0 k0 и pj kj. В этом случае результат произведения первых двух скобок равен Таким образом, в результате такой подстановки элементов алгебры W2 в сумму (2) остается единственное ненулевое слагаемое. Заметим, что оно имеет вид 1, где = (1)m · m! · i=0 (ki )!. А это значит, что тождество не выполняется в алгебре W2. Теорема доказана.

Выражаю благодарность моему научному руководителю профессору Сергею Петровичу Мищенко за постановку задачи, постоянное внимание и интерес к работе.

Библиографический список 1. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М. : На- 4. Кириллов А. А., Молев А. И. Об алгебраической 2. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and № 16. М. : Ин-т прикл. математики им. М. В. КелAsymptotic Methods // Mathematical Surveys and Mono- дыша АН СССР, 1985. 23 с.

graphs. Providence, RI : American Math. Soc., 2005.

Vol. 122. 352 p.

3. Мищенко С. C. Новый пример многообразия алexponents // Compt. rend. Acad. Bulg. Sci. 2013. Vol. 66, гебр Ли с дробной экспонентой // Вестн. Моск. ун-та.

Сер. 1. Математика и механика. 2011. № 6. С. 44—47.

Ulyanovsk State University, 42, Leo Tolstoy str., 432970, Ulyanovsk, Russia, [email protected] We consider numerical characteristics of Lie algebras variety over a eld of characteristic zero, basically, the exponent of variety.

Here, was constructed the innite series of varieties of Lie algebras with different fractional exponents, which belong to variety generated by a simple innite Lie algebra of Cartan type general series W2.

Key words: variety of Lie algebras, identity, exponent of variety.

С. С. Волосивец, Р. Н. Фадеев. Весовая интегрируемость сумм рядов References 1. Bakhturin Iu. A. Tozhdestva v algebrakh Li [Identities [Moscow Univ. Math. Bull.], 2011, vol. 66, pp. 264–266.

in Lie algebras]. Moscow, Nauka, 1985, 448 p. (in 4. Kirillov A. A., Molev A. I. On the algebraic structure 2. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities Moscow, In-t prikl. matematiki im. M. V. Keldysha AN and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys and SSSR, 1985, 23 p. (in Russian).

Monographs. Providence, RI, American Math. Soc., 5. Malyusheva O. A., Mishchenko S. P., Verevkin A. B.

3. Mishchenko S. S. New example of a variety of exponents. Compt. rend. Acad. Bulg. Sci., 2013, vol. 66, Lie algebras with fractional exponent Russian Math. no. 3, pp. 321–330.

УДК 517.

ВЕСОВАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СУММ РЯДОВ

ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected] Аспирант кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected] Получены необходимые и достаточные условия Lp -интегрируемости со степенным весом функции f, представимой рядом по мультипликативной системе с обобщенно-монотонными коэффициентами. Интегрируемость мажоранты частичных сумм представляющего функцию ряда описывается теми же условиями. Кроме того, мы изучаем интегрируемость разностного отношения (f (x) f (0))/x.

Ключевые слова: весовая Lp -интегрируемость, мультипликативная система, степенной вес, обобщенно-монотонная последовательность.

ВВЕДЕНИЕ

in Lie algebras]. Moscow, Nauka, 1985, 448 p. (in Russian).

2. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities Moscow, In-t prikl. matematiki im. M. V. Keldysha AN and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys and SSSR, 1985, 23 p. (in Russian).

Monographs. Providence, RI, American Math. Soc., 5. Malyusheva O. A., Mishchenko S. P., Verevkin A. B.

3. Mishchenko S. S. New example of a variety of Lie algebras with fractional exponent Russian Math. no. 3, pp. 321–330.

УДК 517.

ВЕСОВАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СУММ РЯДОВ

ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

ВВЕДЕНИЕ

Пусть {pn }n=1 N, 2 pn N. По определению m0 = 1, mn = pn mn1, n N, тогда каждое x [0, 1) имеет разложение вида Разложение (1) будет единственным, если для x = k/ml, k, l Z+, 0 < k < ml, брать разложение с Система {n (x)} является ортонормированной на [0, 1) и полной в L1 [0, 1). Подробнее о ее свойn= ствах см. [1, § 1.5]. Измеримая на [0, 1) функция f (x) принадлежит пространству Lr [0, 1), 1 r <, Сумма Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. при x = 0 (лемма 5). Класс GM, введенный С. Ю. Тихоновым [2], включает в себя класс последовательностей RBV S, введенный Л. Лейндлером (L. Leindler) [3] и определяемый неравенством |ak ak+1 | Can, n Z+. Он содержит также класс QM квазимонотонных последовательностей, k=n рассматривавшийся А. А. Конющковым [4]. Далее, aj = aj aj+1, 2 aj = aj 2aj+1 + aj+2, j Z+.

Обзор ранних работ по проблеме Lr -интегрируемости со степенным весом суммы тригонометрического ряда можно найти в [5]. В том числе в [5] даны критерии принадлежности сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами указанным выше классам. В последнее время много работ посвящено ослаблению условия монотонности при сохранении критерия интегрируемости. Отметим в этой связи работы [2, 3, 6]. В статье Ф. Морица [7] было дано условие Lr -интегрируемости не суммы ряда (2), а мажоранты его частичных сумм M (x) для ряда по системе Уолша с монотонными коэффициентами. Там же были даны оценки Lr -нормы подобных рядов снизу. Другие результаты типа теоремы Харди – Литтлвуда для рядов (2) с монотонными коэффициентами были приведены в статье [8] без доказательства. В статье С. С. Волосивца [9] аналог теоремы Харди – Литтлвуда был получен для рядов (2) с коэффициентами классов RBV S и QM. В нашей работе [10] даны оценки наилучших приближений функций сверху в Lr и пространстве Харди, при условии, что разности коэффициентов удовлетворяют некоторому условию, близкому к изучавшимся Р. Аски (R. Askey) и С. Вейнгером (S. Wainger) [11]. Следует также отметить работу Т. М. Вуколовой и М. И. Дьяченко [12], в которой получены двусторонние одинаковые по порядку оценки Lr -нормы косинус-ряда с выпуклыми коэффициентами и синус-ряда с монотонными коэффициентами, причем r (0, ).

Далее, выражение A(f ) B(f ) означает, что C1 A(f ) B(f ) C2 (f ), где C1, C2 > 0 не зависят от f. Константы C, C1, C2,... являются разными в различных случаях.

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

n Z+, где XE — характеристическая функция множества E.

2) Для любых n N и x (0, 1) имеет место неравенство |Dn (x)| N/x, где pi N для всех Лемма 2. [2] Пусть {an } GM, тогда справедливы неравенства В леммах 3 и 4 приведены знаменитые неравенства Харди – Литтлвуда [14, теорема 346].

С. С. Волосивец, Р. Н. Фадеев. Весовая интегрируемость сумм рядов Аналогично как в статье [2], с помощью лемм 1 и 2 показывается F (x) = x1 0 f (t) dt, x (0, a). Тогда при r < p 1 справедливо неравенство Неравенство леммы 6 принадлежит Г. Харди [14, теорема 330].

Последовательность {an } называется квази убывающей, если an Can+j при 1 j n.

Лемма 7. 1) Пусть последовательность {an } квази убывает, а последовательность {n } не отрицательна. Тогда имеет место неравенство жительна, p 1. Тогда имеет место неравенство Лемма 7 доказана Л. Лейндлером (L. Leindler) в [15, теорема 1] и [16].

ство |nFn (x)| Cx2.

Лемму 8, доказанную С. С. Волосивцом, можно найти в [17].

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Доказательство. Отметим, что в силу условия < r 1 из неравенства Sr, (a) < по нераaj /j < и по лемме 5 ряд (2) сходится при x = 0. Пусть венству Гельдера следует, что x [1/(p + 1), 1/p), p N. Тогда с помощью преобразования Абеля и лемм 1, 2 имеем:

Если n 1 2p, то an1 C2 ap по лемме 2. Если же n 1 > 2p, то справедливо неравенство aj /j C3 an1. Таким образом в правой части (4) можно убрать an1 и тогда j=[(n1)/2] При 2 + > 1 применяем лемму 3 и получаем:

При r 2 > 1, т.е. при < r 1, по лемме 4 находим, что Объединяя неравенства (5), (6) и (7), получаем:

ряда (2) принадлежит Lr [0, 1), то Sr, (a) C f r, <.

Доказательство. Рассмотрим F (x) = 0 f (u) du. В силу ортонормированности системы {k (x)} и леммы 1 имеем:

С. С. Волосивец, Р. Н. Фадеев. Весовая интегрируемость сумм рядов Чтобы получить последнее неравенство, надо заметить, что Наконец, согласно части 1 леммы 7 и ввиду второго свойства {ak } GM из леммы 2 находим при 2 < 1, т.е. при > 1, что равна сумме ряда Доказательство. Учитывая, что n (x) = 1 при n < mk1 на [1/mk, 1/mk1 ), получаем, что при x [1/mk, 1/mk1 ) поэтому С другой стороны, при x [1/mk, 1/mk1 ) и n [mk1, 2mk1 ) верно неравенство так как xk из разложения (1) принадлежит [1, pk 1] Z. Поэтому Но в силу квази убывания {ai } Аналогично теореме 2 доказывается, что Из полученных неравенств следует утверждение теоремы.

Следствие 1. Пусть {ai }, r удовлетворяют условию теоремы 3, < r 1, f (x) — сумма ряда (2). Тогда функция (f (x) f (0))/x принадлежит Lr [0, 1) в том и только в том случае, когда Замечание 1. Теоремы 1 и 2 обобщают результаты из [9], теорема 3 является мультипликативным аналогом теоремы 6.7 из [5].

Доказательство. В силу условия имеем ak = Абеля и используя леммы 1 и 8, стандартным образом получаем f (x) = x (0, 1). Поэтому С другой стороны, по лемме 4 и лемме 8 при 2r 2 > 1 находим, что Из (8) и (9) вытекает неравенство теоремы.

С. С. Волосивец, Р. Н. Фадеев. Весовая интегрируемость сумм рядов Замечание 2. Теорема 4 близка по своему содержанию к оценке сверху в теореме из [12], однако в последней работе оценка для косинус-ряда была получена в терминах первых разностей выпуклых коэффициентов.

Библиографический список 1. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды 10. Volosivets S. S., Fadeev R. N. Estimates of best 2. Tikhonov S. Trigonometric series with general mono- Math. 2011. Vol. 37, № 3. P. 215–238.

tone coefficients // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 326, 11. Askey R., Wainger S. Integrability theorems for 3. Leindler L. A new class of numerical sequences and P. 223–228.

its application to sine and cosine series // Analysis Math. 12. Вуколова Т. М., Дьяченко М. И. О свойствах сумм 2002. Vol. 28, № 4. P. 279–286. тригонометрических рядов с монотонными коэффициКонюшков А. А. Наилучшее приближение тригоно- ентами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика и метрическими полиномами и коэффициенты Фурье // механика. 1994. № 3. C. 22–31.

Мат. сб. 1958. Т. 44, № 1. С. 53–84.

6. Dyachenko M., Tikhonov S. Integrability and continuity of functions represented by trigonometric series: coefficients criteria // Studia Math. 2009.

Vol. 193, № 3. P. 285–306.

7. Moricz F. On Walsh series with coefficients tending monotonically to zero // Acta Math. Hung. 1983. Vol. 38, № 1–4. P. 183–189.

8. Тиман М. Ф., Рубинштейн А. И. О вложении класP. 279–285.

сов функций, определенных на нуль-мерных группах // 9. Волосивец С. С. О некоторых условиях в теории ряand Lp norm // East J. Approximations. 2009. Vol. 15, дов по мультипликативным системам // Analysis Math.

2007. Vol. 33, № 3. P. 227–246.

Weighted Integrability of Sums of Series with Respect to Multiplicative Systems Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, [email protected], [email protected] A necessary and sufcient condition for Lp -integrability with power weight of a function f represented by the series with respect to multiplicative systems with generalized monotone coefcients is obtained. The integrability of the majorant of partial sums of a representing series is also described by the same conditions. In addition we study the integrability of difference quotient (f (x) f (0))/x.

Key words: weighted Lp -integrability, multiplicative system, power weight, generalized monotone sequences.

References 1. Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A. 4. Konyushkov A. A. Nailuchshee priblizhenie trigonoWalsh series and transforms. Theory and applications. metricheskimi polinomami i koefficienty Fur’e [The best 2. Tikhonov S. Trigonometric series with general monoin Russian).

tone coefficients. J. Math. Anal. Appl., 2007, vol. 326, no. 1, pp. 721–735.

3. Leindler L. A new class of numerical sequences and its application to sine and cosine series. Analysis Math., 6. Dyachenko M., Tikhonov S. Integrability and Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. series: coefficients criteria. Studia Math., 2009, vol. 193, of trigonometric series sums with monotone coefficients.

no. 3, pp. 285–306.

7. Moricz F. On Walsh series with coefficients tending no. 3, pp. 22–31 (in Russian).

monotonically to zero. Acta Math. Hung., 1983, vol. 38, 13. Agaev G. N., Vilenkin N. Ya., Dzhafarli G. M., 8. Timan M. F., Rubinstein A.I. On embedding of function garmonicheskii analiz na nul’-mernyh gruppah [Multiclasses defined on zero-dimensional groups. Izvestiya plicative systems of functions and harmonic analysis on vuzov. Matematika. [Soviet Math.], 1980, no. 6, pp. 66– zero-dimensional groups]. Baku, Elm, 1980 (in Russian).

9. Volosivets S. S. On certain conditions in the theory Cambridge, Cambridge University Press, 1934.

of series with respect to multiplicative systems. Analysis Math., 2007, vol. 33, no. 3, pp. 227–246 (in Russian).

10. Volosivets S. S., Fadeev R. N. Estimates of best approximations in integral metrics and Fourier coeffiandf Littlewood. Acta Sci. Math. (Szeged), 1970, vol. 31, cients with respect to multiplicative systems. Analysis Math., 2011, vol. 37, no. 3, pp. 215–238.

rier series. Duke Math. J., 1966, vol. 33, no. 2, pp. 223– 228.

12. Vukolova T. M., Dyachenko M. I. On the properties УДК 517.937, 517.

О СОСТОЯНИЯХ ОБРАТИМОСТИ

ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Кандидат физико-математических наук, научный сотрудник кафедры математических методов исследования операций, Воронежский государственный университет, [email protected] Исследуемому линейному дифференциальному оператору (уравнению) с неограниченными периодическими операторными коэффициентами, действующему в одном из банаховых пространств векторных функций, определенных на всей оси, сопоставляется разностный оператор (разностное уравнение) с постоянным операторным коэффициентом, определенный в соответствующем банаховом пространстве двусторонних векторных последовательностей. Для дифференциального и разностного оператора доказаны утверждения о совпадении размерностей их ядер и кообразов, одновременной дополняемости ядер и образов, одновременной обратимости, получены утверждения о взаимосвязи спектров.

Ключевые слова: дифференциальные операторы, разностные операторы, состояния обратимости, спектр.

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается линейное дифференциальное уравнение где A(t) : D(A(t)) X X — семейство линейных замкнутых операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X.

Предполагается корректная разрешимость задачи Коши [1] для однородного дифференциального уравнения c Диденко В. Б., Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. series: coefficients criteria. Studia Math., 2009, vol. 193, of trigonometric series sums with monotone coefficients.

no. 3, pp. 285–306.

7. Moricz F. On Walsh series with coefficients tending no. 3, pp. 22–31 (in Russian).

9. Volosivets S. S. On certain conditions in the theory Cambridge, Cambridge University Press, 1934.

of series with respect to multiplicative systems. Analysis Math., 2007, vol. 33, no. 3, pp. 227–246 (in Russian).

rier series. Duke Math. J., 1966, vol. 33, no. 2, pp. 223– 228.

12. Vukolova T. M., Dyachenko M. I. On the properties УДК 517.937, 517.

О СОСТОЯНИЯХ ОБРАТИМОСТИ

ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Ключевые слова: дифференциальные операторы, разностные операторы, состояния обратимости, спектр.

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Предполагается корректная разрешимость задачи Коши [1] для однородного дифференциального уравнения c Диденко В. Б., В. Б. Диденко. О состояниях обратимости линейных дифференциальных операторов Она ведет к существованию семейства эволюционных операторов U : End X, где = {(t, s) R2 : s t} и End X — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X.

Определение 1. Отображение U : End X называется сильно непрерывным семейством эволюционных операторов («вперед»), если выполнены следующие условия:

1) U (t, t) = I — тождественный оператор для любого t R;

3) отображение (t, s) U (t, s)x : X непрерывно для любого x X;

4)существуют такие постоянные M 1 и R, что U (t, s) M exp((t s)), (t, s).

Если для U выполняется условие периодичности то семейство U называется периодическим периода w (w-периодическим).

Будем говорить, что семейство эволюционных операторов U : End X решает абстрактную задачу Коши (2), (3), если для любого s R существует плотное в X подпространство Xs из D(A(s)) такое, что для каждого x0 Xs функция x(t) = U (t, s)x0 дифференцируема при всех t s, x(t) D(A(t)), и выполнены равенства (2), (3). При наличии такого семейства эволюционных операторов U будем говорить, что задача Коши корректно разрешима.

Отметим, что если функция A из уравнений (1), (3) периодична периода w (A(t + w) = A(t), t R) и семейство U решает задачу Коши (2), (3), то семейство эволюционных операторов U также периодично (выполнено условие 5 из определения 1).

Если функция f : R X принадлежит линейному пространству L1 (R, X) локально суммируеloc мых измеримых по Бохнеру (классов) функций, определенных на R со значениями в X, то слабым решением уравнения (1) (при условии, что семейство U решает задачу Коши (2), (3)) называется любая непрерывная функция x : R X, удовлетворяющая при всех (t, s) равенствам В дальнейшем слово «слабое» будет опускаться.

В статье рассматриваются следующие функциональные пространства. Символом Cb = Cb (R, X) будем обозначать банахово пространство непрерывных и ограниченных на всей вещественной оси R функций, принимающих свои значения в пространстве X, с нормой, определяемой равенством x = suptR x(t). Через C0 (R, X) обозначим замкнутое подпространство из Cb (R, X) функций, стремящихся к нулю на бесконечности. Символом Cw = Cw (R, X) будем обозначать замкнутое подпространство из Cb (R, X) периодических периода w функций. Через Lp = Lp (R, X), p [1, ], обозначим банахово пространство измеримых по Бохнеру функций, действующих из R в X, для которых коp нечна величина (принимаемая за норму в соответствующем пространстве) x p = R x( ) p d, p =, x = ess sup R x( ), p =. Символом S (R, X), p [1, ), обозначим пространство Степанова локально суммируемых со степенью p измеримых на R со значениями в X функp ций, для которых конечна величина (принимаемая за норму) x S p = suptR 0 x(s + t) p ds.

Через Lw = Lw (R, X), p [1, ], обозначим банахово пространство измеримых по Бохнеру периодических периода w (классов) функций, действующих из R в X, для которых конечна велиp чина (принимаемая за норму в соответствующем пространстве) x p = 0 x( ) p d, p =, x = ess sup [0,w] x( ), p =. Отметим, что Lw (R, X), p [1, ) — замкнутое подпространство в пространстве Степанова S p (R, X).

Далее символом F = F (R, X) обозначается одно из перечисленных выше пространств Lp (R, X), p [1, ], S p (R, X), p [1, ), Cb (R, X), C0 (R, X), Lp (R, X), p [1, ], Cw (R, X). Через Fw = Fw (R, X) обозначим пространства периодических функций Lp (R, X), p [1, ], Cw (R, X).

Символом F = F (R, X) будем обозначать пространства непериодических функций Lp (R, X), p [1, ], S p (R, X), p [1, ), Cb (R, X), C0 (R, X).

Пусть U : End X — семейство эволюционных операторов, обладающее описанными выше свойствами 1)–4) и не обязательно порожденное задачей Коши для дифференциального уравнения (3).

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. Определим линейный замкнутый оператор LU : D(LU ) F (R, X) F (R, X) по следующему правилу. Непрерывная функция x из F включается в область определения оператора LU, если существует функция f F такая, что для пары функций (x, f ) выполняются равенства (4). Функция f определяется однозначно, при этом полагается LU x = f.

Отметим, что введенное определение для оператора LU применимо к произвольному(не обязательно периодическому) семейству U : End X, если F (R, X) совпадает с одним из банаховых пространств непериодических функций F (R, X). Для корректности его определения в пространствах периодических функций требуется свойство периодичности семейства U.

Для рассматриваемого оператора LU, построенного по периодическому семейству эволюционных операторов U, получены необходимые и достаточные условия конечномерности ядра и кообраза, инъективности, сюръективности, дополняемости ядра и образа, непрерывной обратимости, фредгольмовости, получены формулы для обратного оператора, представление спектра.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Символом S(t), t R, обозначим изометрическую группу операторов сдвигов функций из F, т. е.

Непосредственно из определения оператора LU вытекает следующая Лемма 1. Для любого R оператор S( )LU S( ) совпадает с оператором LS( )U, где семейство эволюционных операторов S( )U определяется по формуле Имеет место (вытекающая из леммы 1) следующая Лемма 2. Для того, чтобы оператор LU : D(LU ) F F обладал свойством (перестановочности LU с S(w)) для некоторого числа w > 0, необходимо и достаточно, чтобы семейство U было периодическим периода w.

Оператор LU, удовлетворяющий равенству (5), назовем периодическим. Оператор LU, действующий в пространстве Fw (R, X) периодических функций будем обозначать символом Lw. В дальнейшем (за исключением теорем 1, 2) рассматривается оператор LU, порожденный периодическим семейством эволюционных операторов.

По семейству U построим полугруппу операторов Хоулэнда TU : R+ = [0, ) End F (R, X), определяя ее равенствами Полугруппа TU была введена в рассмотрение Хоулэндом (J. S. Howland) [2] в гильбертовом пространстве L2 (R, X), где X — гильбертово пространство, при условии, что операторы U (t, s), (t, s) R, унитарны. Следующие две теоремы позволяют использовать теорию полугрупп операторов, а также теорию разностных операторов.

Теорема 1 [3, 4]. Оператор LU является генератором (инфинитезимальным оператором [5]) сильно непрерывной полугруппы TU в любом из банаховых пространств Lp (R, X), Lp (R, X), w p [1, ), C0 (R, X), Cw (R, X).

Пусть A : D(A) Y Y — линейный замкнутый оператор с областью определения D(A) из комплексного банахова пространства Y. Он называется непрерывно обратимым, если его ядро Ker A = {x D(A) : Ax = 0} состоит только из нуля и образ Im A = {Ax, x D(A)} оператора A совпадает со всем пространством Y. По теореме Банаха о замкнутом графике оператор A непрерывно обратим тогда и только тогда, когда обратный оператор A1 принадлежит банаховой алгебре End Y.

Теорема 2. Спектр (LU ) оператора LU и спектр {(TU (t))} операторов TU (t), t > 0, связаны соотношением В. Б. Диденко. О состояниях обратимости линейных дифференциальных операторов В частности, оператор LU непрерывно обратим тогда и только тогда, когда обратим разностный оператор DU = I TU (w), имеющий вид Важно отметить, что в теореме 2 отсутствуют ограничения на пространство F (R, X), которое может совпадать с одним из следующих пространств Cb (R, X), C0 (R, X), Lp (R, X), p [1, ], S p (R, X), p [1, ). Теорема 2 была доказана в работе [4].

Лемма 3. Следующие условия эквивалентны:

1) семейство U периодично с периодом w;

2) оператор LU периодичен с периодом w > 0;

3) операторы TU (t), t 0, перестановочны с оператором S(w).

Пространство двусторонних последовательностей Fd = F (Z, X) будем называть ассоциированным с пространством F (R, X), если оно совпадает с банаховым пространством последовательностей lp (Z, X), суммируемых со степенью 1 p <, в случае, когда F совпадает с пространством L p ;

совпадает с банаховым пространством ограниченных последовательностей l (Z, X) в случае, когда F совпадает с одним из пространств S p, 1 < p <, L или Cb ; совпадает с подпространством из l (Z, X) стремящихся к нулю на бесконечности последовательностей c0 (Z, X) в случае, когда F совпадает с C0 ; совпадает с банаховым пространством s(Z, X) стационарных последовательностей, т. е. таких последовательностей x, что x(n) = x(k), для всех k, n Z, если F совпадает с одним из пространств периодических функций Cw или Lp. Пространство s(Z, X) изометрически изоморфно пространству X, поэтому в дальнейшем они будут отождествляться.

Введем в рассмотрение разностный оператор D : Fd Fd, определяемый равенствами Замечание 1. Оператор D (при указаном выше отождествлении пространства s(Z, X) c X) для Fd = s(Z, X) будет совпадать с оператором I U (w, 0).

В статьях [3, 4] были доказаны следующие теоремы.

Теорема 3. Оператор LU, действующий в пространстве F, обратим тогда и только тогда, когда обратим разностный оператор D End Fd.

Теорема 4. Спектр оператора LU в пространстве непериодических функций F (R, X) имеет вид В частности, оператор LU непрерывно обратим тогда и только тогда, когда выполнено условие (U (w, 0)) T =, где T — единичная окружность на комплексной плоскости.

Далее, всюду считается, что семейство эволюционных операторов U будет периодическим периода w.

Периодическую периода w сильно непрерывную функцию P : R End X, P(t) = U (t, t w) I, t R назовем функцией Пуанкаре (в монографии [6] операторы U (t, t w) I, t R, назывались операторами Пуанкаре, а оператор U (w, 0) назывался оператором монодромии).

Теорема 5. Следующие условия в пространстве F (R, X) {Lp (R, X), Cb (R, X)} эквивалентны:

1) оператор LU непрерывно обратим;

Доказательство этой теоремы можно вывести как из основных результатов статьи, так и из статей [4, 7]. Важно отметить, что оператор TU (w) End Fw (R, X) имеет вид (TU (w)x)(s) = U (s, s w)x(s), s R, x Fw (R, X), т. е. является оператором умножения на операторнозначную функцию (P + I)(s) = U (s, s w) = U (s + w, s), x R.

Определение 2. Пусть A : D(A) Y Y — замкнутый линейный оператор. Рассмотрим следующие условия:

1) Ker A = {0} (т. е. оператор A инъективен);

3) Ker A — бесконечномерное подпространство из Y (dim Ker A = );

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4) Ker A — дополняемое подпространство либо в D(A) (с нормой графика), либо в Y ;

5) Im A = Im A, что эквивалентно положительности величины (минимального модуля оператора A) где dist(x, Ker A) = inf 6) оператор A корректен (равномерно инъективен), т. е. Ker A = {0} и (A) > 0;

7) Im A — замкнутое дополняемое в Y подпространство;

8) Im A — замкнутое подпространство из Y конечной коразмерности codim Im A = m < ;

9) Im A — замкнутое подпространство из Y бесконечной коразмерности;

10) Im A = Y, т. е. A — сюръективный оператор;

12) оператор A непрерывно обратим.

Если для A выполнены все условия из совокупности условий S = {i1,..., ik }, где 1 i1 < < i2 <... < ik 12, то будем говорить, что оператор A находится в состоянии обратимости S.

Множество состояний обратимости оператора A обозначим символом Stinv (A).

Согласно классификации спектра (A) оператора A, принятой в [8], он представляется в виде (A) = d (A) c (A) r (A) взаимно непересекающихся трех множеств: дискретного спектра (совокупность собственных значений оператора A) d (A) = { (A) : Ker (A I) = {0}}, непрерывного спектра c (A) = { (A)\d (A) : Im (A I) = Y, Im (A I) = Y }, остаточного спектра r (A) = { (A)\d (A) : Im (A I) = Y }. Таким образом, r (A) {1, 11} Stinv (A I), (A) {1, 10} Stinv (A I).

Далее используются Определение 3. Будем говорить, что линейный оператор A : D(A) Y Y перестановочен с оператором B End Y, если BD(A) D(A) и ABx = BAx для любого x D(A).

Определение 4. Два линейных оператора A1 : D(A1 ) Y Y, A2 : D(A2 ) Z Z, где Y, Z — банаховы пространства, называются подобными, если существует обратимый оператор U Hom(Y, Z), где Hom(Y, Z) — банахово пространство ограниченных операторов, действующих из Y в Z такой, что U D(A1 ) = D(A2 ) и A2 U x = U A1 x, x D(A1 ). Оператор U называется оператором преобразования оператора A1 в оператор A2.

Непосредственно из определения 4 следует, что для подобных операторов A1, A2 имеют место равенства U Ker A1 = Ker A2 и Im A2 = U Im A1. Поэтому имеет место Лемма 4. Если Ai : D(Ai ) Y Y, i = 1, 2, — подобные операторы, то Stinv (A1 ) = Stinv (A2 ).

Следствие 1. Если A1 : D(A1 ) Y Y, A2 : D(A2 ) Z Z — подобные операторы, то (A1 ) = (A2 ).

Замечание 2. Из леммы 1 следует, что операторы LU и LS( )U подобны и, значит, из леммы вытекает, что множества их состояний обратимости совпадают.

Определение 5. Линейный замкнутый оператор A : D(A) X X называется фредгольмовым, если его ядро Ker A конечномерно, образ Im A замкнут и имеет конечную коразмерность. Число ind A = dim Ker Acodim A называется индексом фредгольмова оператора A. Оператор A называется полуфредгольмовым, если он находится в одном из состояний {2, 7, 9} или {3, 4, 8}.

Следующие две теоремы содержат основные результаты статьи.

Теорема 6. Для операторов LU и DU имеет место равенство их состояний обратимости В частности, оператор LU фредгольмов (полуфредгольмов) тогда и только тогда, когда фредгольмовым (полуфредгольмовым) является оператор DU, их индексы совпадают:

ind LU = ind DU, dim Ker LU = dim Ker DU, codim Im LU = codim Im DU.

Отметим что в случае, когда эволюционное семейство U может быть продолжено на множество R R с сохранением свойств 1)–5), результаты теоремы 6 могут быть получены из статей [9] и [10].

В. Б. Диденко. О состояниях обратимости линейных дифференциальных операторов Теорема 7. Для оператора Lw справедливы следующие равенства:

В частности, оператор Lw фредгольмов (полуфредгольмов) тогда и только тогда, когда фредгольмовым (полуфредгольмовым) является один из операторов P(t), t [0, w] (и, следовательно, все эти операторы будут фредгольмовы), их индексы совпадают: ind Lw = ind P(t), dim Ker Lw = dim Ker P(t), codim Im Lw = codim Im P(t).

Замечание 3. Из равенств (4), определяющих оператор LU, следует, что для любого C оператор LU I задается (с помощью тех же равенств) по семейству эволюционных операторов U : End X вида Из сделанного замечания и теоремы 7 следует Теорема 8. Пусть Fw = Fw (R, X) {Cw, Lp, p [1, ]}. Тогда для полугруппы операторов TU : R+ End Fw имеют места равенства Равенства (U (w, 0))\{0} = (U (t + w, t))\{0} были получены в монографии [6, лемма 7.2.2].

Из равенств (6) следует, что экспоненциальная устойчивость решений дифференциального уравнения (3) имеет место тогда и только тогда, когда спектральный радиус r(U (w, 0)) оператора монодромии U (w, 0) меньше единицы.

Определение 6. Будем говорить, что эволюционное семейство U : EndX из алгебры EndX допускает экспоненциальную дихотомию на R с показателем > 0 и коэффициентом M > 0, если существует ограниченная сильно непрерывная проекторозначная функция P такая, что 1) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s) при t s;

2) U (t, s)P (s) M exp((t s)) при t s;

3) при t s сужение U (t, s)|Im Q(s) оператора U (t, s) на образ Im Q(s) проектора Q(s) = I P (s) является изоморфизмом подпространств Im Q(s) и Im Q(t);

4) U (t, s)Q(s) M exp((t s)) при s t.

Теорема 9. Оператор LU непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимым является оператор D. Обратный оператор в пространстве непериодических функций может быть представлен в виде где функция (Грина) G : R2 End X имеет вид а проекторы P (s), Q(s), s R, можно найти по формулам где U (t, s)x = U 1 (s, t)x для всех x Im Q(s), s > t. Под U 1 (s, t)x понимается значение обратного оператора к сужению U (s, t)|Im Q(t) (которое является изоморфизмом пространств Im Q(t) и Im Q(s)) на векторе x.

В этой теореме новым является представление проекторнозначной функции P в виде (7).

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. Теорема 10. Для обратимости оператора Lw : D(Lw ) Fw Fw необходимо и достаточно, чтобы был обратим оператор Пуанкаре P(w) = U (w, 0) I. Если он обратим, то обратный к Lw оператор определяется формулой где функция Грина G : [0, w] [0, w] End X имеет вид Отметим, что формула для обратного оператора была приведена в [11].

Используя интегральные представления обратного оператора в виде (8), можно получить оценки обратного оператора Lw в разных функциональных пространствах. Отметим, что по аналогии со статьями А. И. Перова [12, 13] можно получить условия разрешимости нелинейных уравнений с периодическими коэффициентами.

Пусть A(t) A : D(A) X X — генератор(инфинитезимальный оператор [5]) сильно непрерывной полугруппы операторов T : R+ End X. Тогда соответствующее семейство эволюционных операторов U : End X представимо в виде U (t, ) = T (t ), t, R, t. Поэтому оператор монодромии U (w, 0) совпадает с оператором T (w), а операторная функция Пуанкаре P : R End X является постоянной функцией P(t) T (w) I, t R. В этом случае функция Грина приобретает вид Полученные результаты позволяют использовать теорию разностных операторов при исследовании линейных параболических дифференциальных операторов с переменными периодическими коэффициентами и, следовательно, для дифференциальных операторов с частными производными. Например, к рассматриваемым операторам относятся примеры из статей [14, 15], если дополнительно потребовать периодичность коэффициентов.

Отметим, что полученные в работе результаты могут быть распространены на дифференциальные операторы с периодическими коэффициентами, определенных в пространстве функций на полуоси, при этом используются результаты статей [14–19].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-00378, № 14-01-31196).

Библиографический список 1. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения 7. Баскаков А. Г., Пастухов А. И. Спектральный анав банаховом пространстве. М. : Наука, 1967. 464 c. лиз оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами // Сиб. мат. журн.

2. Howland J. S. Stationary scattering theory for timeТ. 42, № 6. С. 1231–1243.

dependent Hamiltonians // Math. Ann. 1974. Vol. 207, 3. Баскаков А. Г. Спектральный анализ линейных дифc.

ференциальных операторов и полугруппы разностных операторов // Докл. РАН, 1995. Т. 343, № 3. С. 295– 9. Диденко В. Б. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, определяемых линейным отношеБаскаков А. Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов // Функц. анализ и его прил. 1996. Т. 30, 10. Диденко В. Б. О непрерывной обратимости и фредC. 1–11. гольмовости дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями. // Изв. РАН.

5. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и поСер. математическая. 2013. Т. 77, № 1. С. 5–22.

лугруппы. М. : Изд-во иностр. лит., 1962. 830 c.

6. Хенри Л. Геометрическая теория полулинейных па- 11. Баскаков А. Г., Кобычев К. С. Оценки оператора раболических уравнений. М. : Мир, 1985. вложения пространства Соболева периодических функНаучный отдел В. Б. Диденко. О состояниях обратимости линейных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами // Дифференциаль- раторы с неограниченными операторными коэффициные уравнения, 2011. Т. 47, № 5. C. 611–620. ентами и полугруппы разностных операторов // Мат.

12. Перов А. И. Частотные признаки существования заметки. 1996. Т. 59, № 6. C. 811–820.

ограниченных решений // Дифференциальные уравнеБаскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциния. 2007. Т. 43, № 7. C. 896–904.

ченных решений нелинейных дифференциальных уравC. 1299–1306.

нений n-го порядка (существование, почти периодичность, устойчивость) // Дифференциальные уравнения. 18. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциТ. 48, № 5. C. 663–673. альных операторов и полугруппы разностных оператоБаскаков А. Г. О корректности линейных диффе- ров II. // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, C. 3–28.

19. Баскаков А. Г., Синтяев Ю. Н. Разностные опеБаскаков А. Г. Исследование линейных диффераторы в исследовании дифференциальных операторенциальных уравнений методами спектральной теоров; оценки решений // Дифференциальные уравнения.

рии разностных операторов и линейных отношений // УМН. 2013. Т. 68, № 1. С. 77–128.

Voronezh State University, 1, Universitetskaya pl., 394006, Voronezh, Russia, [email protected] For investigated linear differential operator (equation) with unbounded periodic operator coefcients dened at one of the Banach space of vector functions dened on all real axis difference operator (equation) with constant operator coefcient dened at appropriate Banach space of two-side vector sequences is considered. For differential and difference operators propositions about kernel and co-image dimensions coincidence, simultaneous complementarity of kernels and images, simultaneous reversibility, spectrum interrelation are proved.

Key words: differential operators, difference operators, reversibility states, spectrum.

This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 13-01-00378, no. 14-01-31196).

References 1. Krein S. G. Linear Differential Equations in Banach 8. Dunford N., Schwartz J. T. Linear Operators: General 2. Howland J. S. Stationary scattering theory for time- 9. Didenko V. B. On the spectral properties of diffedependent Hamiltonians. Math. Ann., 1974, vol. 207, rential operators with unbounded operator coefficients 3. Baskakov A. G. Spectral analysis of linear differential operators and semi-groups of difference operators.

Doklady Mathematics, 1995, vol. 343, no. 3, pp. 295– 10. Didenko V. B. On the continuous invertibility and the 4. Baskakov A. G. Semigroups of difference operators in spectral analysis of linear differential operators.

Functional Analysis and Its Applications, 1996, vol. 30, no. 3, pp. 149–157. DOI: 10.1007/BF02509501. 11. Baskakov A. G., Kobychev K. S. Estimates for the groups. American Math. Soc., 1957, 808 p.

6. Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Springer, 1993. 350 p.

7. Baskakov A. G., Pastukhov A. I. Spectral Analysis of a Weighted Shift Operator with Unbounded Operator Coefficients. Siberian Math. J., 2001, vol. 42, no. 6, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. ded solutions of nonlinear nth -order differential equations operators. Math. Notes, 1996, vol. 59, no. 6, pp. 586–593.

(existence, almost periodicity, and stability). Differential DOI: 10.1007/BF02307207.

Equations, 2012, vol. 48, no. 5, pp. 670–680. DOI: 17. Baskakov A. G. Spectral analysis of differential 14. Baskakov A. G. On correct linear differential ope- Differential Equations, 1996, vol. 33, no. 10, pp. 1299– rators. Sbornik : Mathematics, 1999, vol. 190, no. 3, 1306 (in Russian).

pp. 323–348. DOI: 10.1070/SM1999v190n03ABEH 390.

15. Baskakov A. G. Analysis of linear differential equaDifferential Equations, 2001, vol. 37, no. 1, pp. 1–10.

tions by methods of the spectral theory of difference operators and linear relations. Russian Math. Surv., 2013, vol. 68, no. 1, pp. 69–116. DOI: RM2013v068n01ABEH 004822.

16. Baskakov A. G. Linear differential operators with unpp. 214–223. DOI: 10.1134/S0012266110020072.

bounded operator coefficients and semigroups of bounded УДК 517.

ОДИН ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ПРИМЕР

ФОРМОСОХРАНЯЮЩЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected] Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected] Пусть даны 2s точек yi : y2s <... < y1 <. Отправляясь от этих точек, определим точки yi для всех целых i при помощи равенства yi = yi+2s + 2. Будем писать f (1) (Y ), если f (x) — 2-периодическая непрерывная функция и f (x) не убывает на [yi, yi1 ], если i нечетное; f (x) не возрастает на [yi, yi1 ], если i четное. Обозначим через En (f ; Y ) величину наилучшего равномерного приближения функции f (1) (Y ) тригонометрическими полиномами из того же множества (1) (Y ). В статье доказан следующий контрпример формосохраняющего приближения.

Пример. Для любых k N, k > 2, и n N существует функция f (x) := f (x; s, Y, n, k) такая, что f (1) (Y ) и где BY =const, зависит только от Y и k; k — модуль непрерывности порядка k функции f.

Ключевые слова: тригонометрические полиномы, аппроксимация полиномами, формосохранение.

Получение оценки уклонения при равномерном приближении непрерывных функций алгебраическими многочленами и тригонометрическими полиномами является одной из основных задач в теории приближения функций. Наиболее широкое применение в теоретических исследованиях и в прикладных областях математики получили неравенства типа Джексона – Зигмунда – Стечкина [1–3], Никольского – Тимана – Дзядыка – Фройда – Теляковского – Брудного [4–9]. Особый интерес представляет случай, когда приближение является формосохраняющим (Shape-preserving Approximation), т. е.

когда аппарат приближения сохраняет некоторые свойства приближаемой функции (монотонность, выпуклость и т. д.). В 1969 г. G. G. Lorentz и K. L. Zeller [10] построили пример, который показывает, что величина наилучшего монотонного приближения алгебраическими многочленами монотонной функции по порядку, вообще говоря, «хуже» величины наилучшего приближения без ограничений.

В работах И. А. Шевчука [11] и А. С. Шведова [12, 13] построены примеры, показывающие, что оценки типа Джексона – Стечкина величины приближения монотонной функции монотонными многочленами через модуль непрерывности порядка 3 и выше вообще неверны, в отличие от приближения без ограничений.

Однако результаты по комонотонному приближению периодических функций тригонометрическими полиномами, за исключением результата, полученного G. G. Lorentz и K. L. Zeller 1968 г. и касающегося так называемых «колоколообразных» функций, долгое время не были известны.

c Плешаков М. Г., Тышкевич С. В., Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. ded solutions of nonlinear nth -order differential equations operators. Math. Notes, 1996, vol. 59, no. 6, pp. 586–593.

(existence, almost periodicity, and stability). Differential DOI: 10.1007/BF02307207.

pp. 323–348. DOI: 10.1070/SM1999v190n03ABEH 390.

15. Baskakov A. G. Analysis of linear differential equaDifferential Equations, 2001, vol. 37, no. 1, pp. 1–10.

tions by methods of the spectral theory of difference operators and linear relations. Russian Math. Surv., 2013, vol. 68, no. 1, pp. 69–116. DOI: RM2013v068n01ABEH 004822.

16. Baskakov A. G. Linear differential operators with unpp. 214–223. DOI: 10.1134/S0012266110020072.

bounded operator coefficients and semigroups of bounded УДК 517.

ОДИН ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ПРИМЕР

ФОРМОСОХРАНЯЮЩЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Ключевые слова: тригонометрические полиномы, аппроксимация полиномами, формосохранение.

c Плешаков М. Г., Тышкевич С. В., М. Г. Плешаков, С. В. Тышкевич. Один отрицательный пример формосохраняющего приближения В данной статье построен контрпример, указывающий, что величина наилучшего комонотонного приближения периодических функций тригонометрическими полиномами по порядку, вообще говоря, «хуже» величины наилучшего приближения без ограничений.

Пусть C — пространство непрерывных 2-периодических действительнозначных функций f с равномерной нормой f := max |f (x)|; (f ; t) — модуль непрерывности функции f ; Tn, n N, — пространство тригонометрических полиномов порядка n.

Пусть на промежутке [, ) заданы 2s точек yi : y2s < y2s1 <... < y1 <. Отправляясь от этих точек, при помощи равенства yi = yi+2s + 2 определим точки yi для всех целых индексов i;

в частности, y0 = y2s + 2, y2s+1 = y1 2 и т. д. Обозначим Y := {yi }iZ. Множество всех таких наборов обозначим Y2s. Будем писать f (1) (Y ), если f (x) — 2-периодическая непрерывная функция и f (x) не убывает на [yi, yi1 ], если i нечетное; f (x) не возрастает на [yi, yi1 ], если i четное.

Обозначим и заметим, что Ts, т. е. (x) — тригонометрический полином порядка s.

Зафиксируем s N и набор {yi }iZ = Y Y2s. В силу периодичности без потери общности будем считать, что точка 0 принадлежит набору Y, т. е. yi = 0 при некотором i Z.

Обозначим Для определённости будем считать, что i — нечётное число. Тогда (0) > 0.

Обозначим через 2d расстояние от yi до ближайшей точки набора Y, заметим, Положим Отправляясь от набора Y, определим натуральное число N. А именно обозначим через N наименьшее из чисел, удовлетворяющих неравенству Тогда Следовательно, Выберем натуральное число j из условия Обозначим d := + j и заметим, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. При построении контрпримера будет использовано ядро Джексона Напомним (см. например [14, с. 127]) некоторые свойства ядра Джексона:

а) JN (t) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2N 2;

в) для любой непрерывно дифференцируемой периодической функции g в каждой точке x имеет место неравенство Обозначим и заметим, что m > 0. Наконец, положим Всюду далее в главе предполагаем, что число b удовлетворяет неравенствам Пример. Для любых k N, k > 2, и n N существует функция f (x) := f (x; s, Y, n, k) такая, что f (1) (Y ) и где BY = const, зависит только от Y и k.

Доказательство. Для каждого b обозначим и заметим, что М. Г. Плешаков, С. В. Тышкевич. Один отрицательный пример формосохраняющего приближения Поэтому в силу (4), (5), (7) и (1) Аналогично Поэтому в силу (4), (5), (7) и (1) Следовательно, существует число b [0, 1] такое, что Положим Q(x, b) := Q(x) := b Qr (x) + (1 b )Ql (x). Равенство (9) означает, что Q(x) есть тригонометрический полином, порядок которого в соответствии с а) равен s+2N 2. Чтобы построить функцию f докажем лемму.

Лемма. Для любого b существует число b0 такое, что Доказательство. Заметим, что Q(2b) < 0. Кроме того, справедлива оценка Откуда Лемма доказана.

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. Продолжим доказательство примера. Пусть Kb (x) — 2-периодическая функция такая, что Положим Равенство (11) вкупе с (10) означает, что g есть 2-периодическая функция, более того, ясно, что g (1) (Y ). Очевидны следующие неравенства где Mk = const, не зависит от b и n.

Возьмём произвольный полином n Tn (1) (Y ), n > s + 2N 2, положим и заметим, что Применяя неравенство Бернштейна получаем:

откуда т. е.

Теперь для доказательства (8) при каждом n > N0 возьмем где N0 выбрано из условий M bN0 < Для случая n > N0 неравенство (8) доказано. Для случая n < N0 оно следует из неравенства En (f ; Y ) E1+N0 (f ; Y ). Пример доказан.

М. Г. Плешаков, С. В. Тышкевич. Один отрицательный пример формосохраняющего приближения Библиографический список 1. Jackson D. On approximation by trigonometric sums 8. Теляковский С. А. Две теоремы о приближении and polynomials // Trans. Amer. Math. Soc. 1912. Vol. 13. функций алгебраическими полиномами // Мат. сб.

P. 491–515. DOI: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947- 1966. Т. 70 (112), № 2. С. 252–265.

3. Стечкин С. Б. О наилучшем приближении периоди- 10. Lorentz G. G., Zeller K. L. Degree of Approximation ческих функций тригонометрическими полиномами // by Monotone Polynomials. II // J. Approx. Theory, 1969.

4. Копотун К. А. Равномерные оценки ковыпуклого приближения функций многочленам // Мат. заметки.

1992. Т. 51, № 3. С. 35–46.

5. Тиман А. Ф. Усиление теоремы Джексона о наилучШведов А. С. Теорема Джексона в Lp, 0 < p < 1, шем приближении непрерывных функций на конечном Т. 78, № 1. С. 17–20.

6. Дзядык В. К. О приближении функций обыкновенШведов А. С. Комонотонное приближение функций ными многочленами на конечном отрезке вещественмногочленами // Докл. АН СССР. 1980. Т. 250, № 1.

ной оси // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1958.

Т. 22, № 3. С. 337–354.

7. Freud G. Uber die Approximation Reelen Stetiger Functionen Durch Gewohnliche Polinome // Math. Ann.

1959. Т. 137, № 1. С. 17–25.

Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, [email protected], [email protected] Let 2s points yi = y2s <... < y1 < be given. Using these points, we dene the points yi for all integer indices i by the equality yi = yi+2s + 2. We shall write f (1) (Y ) if f is a 2-periodic function and f does not decrease on [yi, yi1 ] if i is odd; and f does not increase on [yi, yi1 ] if i is even. We denote En (f ; Y ) the value of the best uniform comonotone approximation. In this article the following counterexample of comonotone approximation is proved.

Example. For each k N, k > 2, and n N there a function f (x) := f (x; s, Y, n, k) exists, such that f (1) (Y ) and where BY =const, depending only on Y and k; k is the modulus of smoothness of order k, of f.

Key words: trigonometric polynomials, polynomial approximation, shape-preserving.

References 1. Jackson D. On approximation by trigonometric sums and polynomials. Trans. Amer. Math. Soc., 1912, vol. 13, 1992, vol. 51, no. 3, pp. 245-–254.

pp. 491–515. DOI: http://dx.doi.org/10.1090/S0002Timan A. F. Usilenie teoremy Dzheksona o nailuchshem priblizhenii nepreryvnykh funktsii na konechnom 2. Zygmund A. Smooth Functions. Duke Math. J., 1945, otrezke veshchestvennoi osi [The strengthening of the 3. Stechkin S. B. O nailuchshem priblizhenii periodichesDokl. Akad. Nauk SSSR, 1951, vol. 78, no. 1, pp. 17– kikh funktsii trigonometricheskimi polinomami [On the best approximation of periodic functions by trigonometric polynomials]. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1952, vol. 83, 6. Dzyadyk V. K. O priblizhenii funktsii obyknovennymi 4. Kopotun K. A. Uniform estimates of the coconvex osi [On the approximation of functions by ordinary Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. polynomials on a finite interval of the real axis]. Izvestiia nepreryvnykh na otrezke funktsii [Approximation by AN SSSR. Ser. matematicheskaia, 1958, vol. 22, no. 3, polynomials and traces continuous on the interval 7. Freud G. Uber die Approximation Reelen Stetiger Russian) Functionen Durch Gewohnliche Polinome. Math. Ann., 12. Shvedov A. S. Jackson’s theorem in Lp, 0 < p < 1, 8. Teljakovskii S. A. Two theorems on approximation approximations. Math. Notes, 1979, vol. 25, no. 1, pp. 57– of functions by algebraic polynomials. Mat. Sb. (N. S.), 63.

1966, vol. 70(112), no. 2, pp. 252–265 (in Russian).

9. Brudnyi Yu. A. The approximation of functions by algebraic polynomials. Mathematics of the USSRby polynomials]. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1980, vol. 250, Izvestiya, 1968, vol. 2, no. 4, pp. 735–743. DOI:

10.1070/IM1968v002n04ABEH 10. Lorentz G. G., Zeller K. L. Degree of Approximation by Monotone Polynomials. II. J. Approx. Theory, 1969, vol. 2, no. 3, pp. 265–269.

11. Shevchuk I. A. Priblizhenie mnogochlenami i sledy УДК 512.

О ТОЖДЕСТВАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В АЛГЕБРАХ ПУАССОНА

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационной безопасности и теории управления, Ульяновский государственный университет, [email protected] В работе рассматриваются так называемые customary и extended customary тождества в алгебрах Пуассона. Показано, что последовательность коразмерностей {rn (V )}n1 любого extended customary пространства многообразия алгебр Пуассона V над произвольным полем либо ограничена полиномом, либо не ниже показательной функции с основанием степени, равной 2. При этом если данная последовательность ограничена полиномом, то найдется такой многочлен R(x) с рациональными коэффициентами, что rn (V ) = R(n) для всех достаточно больших n. Приводится нижняя и верхняя границы для многочленов R(x) произвольной фиксированной степени.

Ключевые слова: алгебра Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.

Векторное пространство A над полем K с двумя K-биллинейными операциями умножения «·»

и «{, }» называется алгеброй Пуассона, если относительно операции «·» пространство A является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции «{, }» — алгеброй Ли, и данные операции связаны правилом Лейбница:

Алгебры Пуассона возникают в различных разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физики и т. д.

Пусть F (X) — свободная алгебра Пуассона, где X = {x1, x2,...} — счетное множество свободных образующих. Обозначим через Pn пространство в F (X), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных x1,..., xn.

Выделим в пространстве P2n подпространство Q2n, порожденное элементами вида Тогда данное пространство есть линейная оболочка следующих элементов:

c Рацеев С. М., Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. polynomials on a finite interval of the real axis]. Izvestiia nepreryvnykh na otrezke funktsii [Approximation by AN SSSR. Ser. matematicheskaia, 1958, vol. 22, no. 3, polynomials and traces continuous on the interval 7. Freud G. Uber die Approximation Reelen Stetiger Russian) Functionen Durch Gewohnliche Polinome. Math. Ann., 12. Shvedov A. S. Jackson’s theorem in Lp, 0 < p < 1, 8. Teljakovskii S. A. Two theorems on approximation approximations. Math. Notes, 1979, vol. 25, no. 1, pp. 57– of functions by algebraic polynomials. Mat. Sb. (N. S.), 63.

1966, vol. 70(112), no. 2, pp. 252–265 (in Russian).

10.1070/IM1968v002n04ABEH 10. Lorentz G. G., Zeller K. L. Degree of Approximation by Monotone Polynomials. II. J. Approx. Theory, 1969, vol. 2, no. 3, pp. 265–269.

11. Shevchuk I. A. Priblizhenie mnogochlenami i sledy УДК 512.

О ТОЖДЕСТВАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В АЛГЕБРАХ ПУАССОНА

Ключевые слова: алгебра Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.

Векторное пространство A над полем K с двумя K-биллинейными операциями умножения «·»

c Рацеев С. М., С. М. Рацеев. О тождествах специального вида в алгебрах Пуассона Обозначим через T2n множество перестановок из S2n, которые удовлетворяют указанным выше свойствам. Пространство Q2n было введено Д. Фаркашом (D. R. Farkas) в работах [1,2]. Важность рассмотрения данных пространств показывает следующая теорема.

Теорема 1 [1]. Пусть V — многообразие алгебр Пуассона над полем нулевой характеристики, в котором выполнено нетривиальное тождество. Тогда в V выполняется нетривиальное тождество вида Определим также подпространство Rn в Pn, порожденное элементами вида Тогда пространство Rn является линейной оболочкой элементов следующего вида:

Пусть V — некоторое многообразие алгебр Пуассона (все необходимые сведения о многообразиях PI-алгебр можно найти, например, в монографиях [3,4]), Id(V) — идеал тождеств многообразия V.

Обозначим:

Лемма 1. Пусть F = F (X), X = {x1, x2,...}, основное поле произвольно и элементы образуют базис пространства Q2n, n > 0. Тогда полилинейные элементы от переменных x1,..., xn вида будут образовывать базис пространства Rn.

Доказательство. Очевидно, что любой элемент из Rn является линейной комбинацией элементов вида (2).

Покажем, что элементы вида (2) линейно независимы в Rn. Предположим противное. Пусть выполнено нетривиальное линейное соотношение:

Поэтому при = 0, когда re±i = t > 0, получим при =, когда re±i = t < 0, будем иметь:

Краевое условие (2) запишем в виде где Принимая во внимание (3), (6), (7), постоянные, формул (4) выберем так, чтобы 2 = +, Тогда формула (9) примет вид причем ln G1 (t) HL.

Р. Б. Салимов, Э. Н. Карабашева. Новый подход к решению краевой задачи Римана Далее находим аналитическую и ограниченную в областях D+, D функцию [2, с. 119] значения которой на L как слева, так и справа удовлетворяют условию HL [1, с. 66, 68]. Затем определяем аналитические в областях D+, D функции соответственно:

где + (z) = (z) при z D+, (z) = (z) при z D, причем X + (z), X (z) отличны от нуля всюду в областях D+, D соответственно, включая границу L.

Найденные функции удовлетворяют краевому условию:

Учитывая последнее, краевое условие (8) запишем так Отсюда видно, что функция является аналитическим продолжением функции + (z)E + (z) для точек соответственно D+, D, включая L.

Обозначим тогда согласно (5) имеем:

Для отличных от нуля функций X + (z), X (z) имеем для всех z области соответственно D+, D, включая L. Кроме того, поскольку решения + (z), (z) относятся к классу ограниченных функций, то для всех z области соответственно D+, D, включая L. Поэтому согласно (13), (14) будем иметь:

Следовательно, порядок F целой функции F (z) [11, с. 217] не превышает :

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. С учетом (10) формулу (5) запишем так:

Отсюда при = 0, когда r = t > 0, получаем:

при =, когда re±i = |t| = t < 0, будем иметь:

Теперь, принимая во внимание (15), (16), на основании (13) получаем:

где C = const.

Таким образом, нами доказана следующая теорема.

Теорема 1. Если однородная задача (2) имеет ограниченные решения + (z), (z), то они представляются формулами в которых F (z) — любая целая функция порядка F, удовлетворяющая условию (20).

Справедлива также обратная теорема.

Теорема 2. Если F (z) — любая целая функция порядка F, удовлетворяющая условиям (20), то ограниченные решения задачи (2) определяются формулами (21).

В самом деле, используя указанную в этой теореме функцию F (z), мы по формулам (21) находим функции + (z), (z), удовлетворяющие краевому условию (2).

Кроме того, согласно (18)–(21), замечая, что X + (t), X (t) — ограниченные функции на L, получим для t L Примем во внимание, что X + (z), X (z) — функции, ограниченные в областях соответственно D+, D согласно (17) где r > 0, 0, кроме того, для всех достаточно больших r, здесь > 0 — малое число, при котором F + < 1, где 1 — число, удовлетворяющее условию < 1 < 1.

Тогда с учетом (21)–(23) будем иметь:

для всех достаточно больших r > r, поскольку для указанных r > r справедливо неравенство Поэтому согласно теореме Фрагмена – Линделёфа [11, с. 206, 211] всюду в области D± будем иметь |± (z)| < C. Теорема доказана. Утверждение теоремы 2 можно сформулировать также следующим образом.

Теорема 3. Общее решение краевой задачи (2) в классе ограниченных функций выражается формулами (21), в которых F (z) есть любая целая функция порядка F, удовлетворяющая условиям (20).

Р. Б. Салимов, Э. Н. Карабашева. Новый подход к решению краевой задачи Римана

3. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ

Полученный результат нуждается в уточнении в связи с тем, что в некоторых случаях однородная краевая задача (2) будет иметь только нулевое решение. В самом деле, пусть < 1/2 и выполняется условие в этом случае согласно (20) имеем:

и в силу теоремы Фрагмена – Линделёфа для полуплоскости с разрезом по положительной части действительной оси получим F (z) = const = 0.

Такой же результат мы получим в случае < 1/2, когда выполняется условие Таким образом, приходим к следующей теореме.

Теорема 4. Пусть < 1/2, тогда однородная краевая задача (2) имеет только нулевое решение, если Если < 1/2 и выполняется условие где > 0, или условие где + < 0, мы придем к заключению, что F (z) = A = const, тогда на основании (21) получим искомое решение:

Итак, справедлива Теорема 5. Пусть < 1/2. Если выполняются условия (24) или (25), то однородная краевая задача (2) имеет решение, определяемое формулами (26).

Пусть + < 0. Тогда в силу (17) имеем:

и |E ± (re±i/2 )| 0 при r +. Тогда согласно (13), (15), (16) получим:

Поэтому в силу теоремы Фрагмена – Линделёфа, замечая, что F < 1, будем иметь |F (z)| C, как для Re z > 0, так и для Re z < 0, поэтому |F (z)| C1 = const = 0. Следовательно, справедлива Теорема 6. Если + < 0, то краевая задача (2) имеет только нулевое решение при Пусть выполняются условия В этом случае имеем + > 0, кроме того, при 1/2 будут справедливы неравенства > 0, + < 0. При выполнении неравенств (27) условия (20) имеют место для любой целой функции порядка F <. Действительно, при любом, 0 < < F и r > r, обозначая Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. получим:

где C = const > 0. Поэтому для всех достаточно больших r, для которых r > r, будут выполняться неравенства т. е. будет иметь место (20).

Следовательно, в рассматриваемом случае приходим к следующей теореме.

Теорема 7. Если имеют место неравенства (27), то общее решение однородной краевой задачи (2) в классе ограниченных функций определяется формулами (21), в которых F (z) есть любая целая функция порядка F и при F = удовлетворяющая соотношениям (20) для достаточно больших |t|.

Пусть 1/2. Если обе разности левых частей неравенств (27) отрицательны или одна из них отрицательна, а другая неположительна, то будет выполняться условие + < 0, и задача (2) в силу теоремы 6 будет иметь только нулевое решение; к такому же выводу мы придем в случае, когда выполняются неравенства так как в силу последнего неравенства имеем + < 0.

В случае, когда при 1/2 выполняются соотношения в формулах (21) под F (z) нужно понимать целую функцию порядка F =. В самом деле, при 1/2 F <, когда выполняются соотношения (28) и, например, cos + < 0, поэтому + cos > 0, + 0, согласно первому условию (20) будем иметь:

но тогда будет выполняться соотношение [12, с. 74, 75] при + cos < 0 рассуждения аналогичны. Следовательно, F (t) 0 при t и t +, поэтому F (z) 0, и по формулам (21) получаем нулевое решение задачи (2). При F < 1/ условие F (z) 0 является следствием равенства + cos < 0 или cos + < 0. Таким образом, не нулевое решение этой задачи мы можем получить, считая F =. Поэтому справедлива Теорема 8. Пусть 1/2 и выполняются неравенства (28). Тогда общее решение однородной краевой задачи (2) в классе ограниченных функций определяется формулами (21), в которых F (z) есть любая целая функция порядка, удовлетворяющая соотношениям (20) для достаточно больших |t|.

Утверждение этой теоремы остается в силе для 1/2, если условия (28) заменить на соотношения Р. Б. Салимов, Э. Н. Карабашева. Новый подход к решению краевой задачи Римана или В этих случаях под F (z) нужно понимать любую целую функцию порядка F, которая при F < условию (20) с положительной разностью в правой части удовлетворяет автоматически.

Здесь надо учесть, что при = 1/2 решение задачи (2) будет определяться формулами (26), если в соотношениях (21) F (z) означает целую функцию порядка минимального типа [11, с. 256].

Приведенная выше картина разрешимости задачи содержит общие утверждения, но не полностью совпадает с полученной в работах [4, 5]. Причины такого отличия требуют отдельного рассмотрения;

здесь надо принять во внимание, в частности, что в отдельных деталях постановок задач в настоящей статье и в последних цитированных работах имеются отличия, и это может отразиться на результатах исследования в задачах с бесконечным индексом.

Таким образом, используемый здесь подход позволяет сравнительно простыми средствами провести достаточно полное исследование однородной краевой задачи (2).

4. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ

Рассмотрим решение неоднородной задачи (1) при вышеуказанных условиях, которым удовлетворяют коэффициент G(t) и свободный член g(t) HL.

По аналогии с предыдущим условие (1) представим в виде где G1 (t) — функция, определяемая по формулам (7), (9), и принимая во внимание соотношение (12), связывающее функции (11), краевое условие (29) запишем так При cos + > 0, + cos > 0, как это видно из формул (18), (19), |E + (t)| при t, следовательно, в указанном случае на основании (30) не удается непосредственно найти искомые функции ± (z), поступая, как это сделано в [2, с. 120]; появляется необходимость устранить отмеченную особенность функции E + (t) в соотношении (30). Нетрудно убедиться в том, что в случае, когда вышеуказанные разности формул (18), (19) отрицательны и E ± (t) обращаются в нуль в точке t =, целесообразно в условии (30) эти нули устранить. Покажем, что упомянутой цели можно добиться, деля соотношение (30) на значения в точках L целой функции F0 (z) с нужными свойствами.

Возьмем целую функцию в которой 0 — фиксированная величина, 0 < 0 <, {rk } — возрастающая последовательность положительных чисел, которая будет определена ниже. Примем, что порядок этой функции равен (т. е. показатель сходимости ее нулей равен ). Предположим, что существует предел где n(r) — число нулей функции F0 (z) в круге |z| r. Логарифмируя равенство (30), получим ряд причем под arg(1+z/rk ei0 ) будем понимать ветвь, непрерывную и однозначную в плоскости, разрезанной по лучу z = rei(0 +), r > rk, принимающую нулевое значение на луче z = tei0, rk < t < +.

Поступая аналогично тому, как это сделано в статье [13], получим:

Отсюда, замечая, что заменяя здесь z на zei0, будем иметь:

Поступая, как в книге [3, с. 127] и статье [13], примем:

здесь в первой формуле правая часть означает целую часть стоящей там суммы, тогда будем иметь:

Рассмотрим свойства входящей в формулу (32) функции При t > 0 имеем:

поэтому где для x/t = x1 имеем:

Нас интересует поведение интеграла I(t, 0 ) при t. В связи с этим в формулах (35), (36) будем считать t > r1. Тогда для 0 < x < будем иметь 0 < x1 <. В последнем интервале функции U (x1, 0 ), V (x1, 0 ) непрерывны, обращаются в ноль при x1 = 0, последние соотношения справедливы при любом фиксированном t > r1 и x.

Легко проверить, что в интервале 0 < x1 < функции U (x1, 0 ) и V (x1, 0 ) имеют не более шести и пяти экстремумов соответственно, поэтому существуют конечные значения max |U (x1, 0 )| тогда существует функция f AC(), что интерполяционный процесс Лагранжа расходится всюду на |z| = 1, причем Если же для 0 справедливо тогда существует f AC (), для которой интерполяционный процесс Лагранжа неограниченно расходится всюду на |z| = 1, причём справедливо (1).

Перед доказательством теоремы приведем несколько лемм.

Лемма 1. Пусть {np } — последовательность простых чисел. Тогда для любого, 0 < < 1, можно указать число q = q() > 2, что для каждого натурального числа µ существует натуральное число, для которого Доказательство. Необходимо воспользоваться следующим асимптотическим равенством для последовательности простых чисел:

где a — абсолютная константа [4].

Замечание 1. Пусть M — матрица, n-я строка которой является корнями n-й степени из 1;

{np }, µ,, q, удовлетворяют условиям леммы 1. Тогда для всех i, j, µ i = j, и для всех индексов k, 0 k ni 1 и s, 0 s nj 1, за исключением двух k и s, для которых узлы zk,ni = zs,nj = {1}, справедливо С. В. Тышкевич, А. В. Шаталина. Расходимость всюду на единичной окружности Предположим, что это не так, т. е. существуют l, t: 0 (k +l) ni 1, 0 (s +t) nj 1, такие, что |zk +l,ni zs +t,nj | n2q. Так как zk,np = exp i последнее равенство перепишется:

Отсюда:

Получили противоречие.

Лемма 2. Пусть M {|z| = 1} — матрица равноотстоящих узлов, r > 2 — действительное число, l N — фиксировано. Тогда для каждого n N, n > l, можно построить множество линейная мера которого mes Fn,r = 2 такое, что для всех z Fn,r выполняется неравенство где штрих означает отсутствие произвольных l слагаемых.

Доказательство приведено в работе [3].

Лемма 3. Пусть M {|z| = 1}, l, {np }, µ,, q — такие, как описано выше. Тогда для каждого nµ {np } найдутся n0, 0 <, множество Eµ {|z| = 1} и конечное семейство дуг 0j,µ+j, в) для любой точки z Eµ 0j,µ+j справедливо Lnµ+j (M, l, z) c1 ln(nµ+j /l), где c1 = const.

Доказательство леммы 3 подробно изложено в работе [3], приведём здесь лишь его схему.

Множество Eµ строилось за 0 µ шагов. На каждом (j 1)-м шаге, 1 j o µ, было построено множество, состоящее из j непересекающихся дуг Eµ 0p,nµ+p Fnµ+p,r, 0 p j, (Fnµ+p,r из лемt 0 t0 nµ, а r > 2 — фиксировано.

На следующем j-м шаге к построенному множеству присоединяли либо:

а) целую дугу если мера наименьшей дуги j = (ztj1 +1,nµ+j1 ; ztj,nµ+j ) не превосходила входила в множество Eµ, т. е. при построении множества Eµ на j-м шаге выбросили дугу единичной окружности, мера которой не больше j = + +, а узел ztj1 +1,nµ+j принадлежит выброшенной дуге;

б) частичную дугу если мера j больше. В этом случае выбрасывали дугу единичной окружности меры, не большей rnµ+j rnµ+j множества Eµ проверяется выполнение пунктов а), б) из условия, а с учетом леммы 2 получаем выполнение пункта в).

Лемма 4. Для любого µ N существует N, что для любой точки z {|z| = 1} найдется номер tj {nµ, 2nµ,..., n, 2n }, при котором где C — абсолютная константа, а штрих у знака означает отсутствие одного произвольного слагаемого.

Доказательство. Положим r = 24. Заметим, что строки с номерами nµ, nµ+1,..., n не имеют ни одного общего узла, за исключением точки 1. Более того, в силу замечания 1 расстояние между любыми другими двумя узлами любых двух строк из этой пачки не меньше, чем n2q. Строки сµ номерами nk и 2np, µ k, p, вообще не имеют общих узлов. По лемме 3 для номеров nµ и n существуют 0 <, множество Eµ, конечное семейство дуг 0j,µ+j, для которых выполняются пункты а), б), в); причем можно положить l = 1. Для каждого «выброшенного» из множества Eµ узла ztj +1,nµ+j, j = 0, 0 µ (см. доказательство леммы 3) найдем дугу 0,2nµ+j, такую, что этот узел будет серединой найденной дуги. Получим еще одно семейство дуг:

Обозначим это семейство A. Так как r = 24, то очевидно, что j > j, где j из леммы 3. То есть дуги, входящие в семейство A и во множество Eµ, полностью покрывают единичную окружность, и для любой точки z {|z| = 1} найдется индекс tj (z), tj {nµ, 2nµ,..., n, 2nnu }, такой, что в силу лемм 2 и 3 имеем (3).

Пусть везде в дальнейшем {np }, µ,, q — такие, как мы определили выше. Числа Wk,ni, 0 |Wk,ni | 1 — произвольные, причем если для каких-то узлов из матрицы M не выполняется условие (2), то считаем соответствующее число Wk,ni = Ws,nj = 0.

Лемма 5. Пусть даны {np }, µ,, q, Wk,ni. Тогда существует функция f AC(, |z| 1) такая, что причем Доказательство. Приведем схему доказательства.

Введем функцию Выбираем показатель степени sk так, чтобы С. В. Тышкевич, А. В. Шаталина. Расходимость всюду на единичной окружности Для этого достаточно положить sk = n38q. Это легко проверяется, если использовать свойства функции Pk,nt (z) и арифметические преобразования. В ходе проверки, пользуясь интегральной формулой Коши, оценками полиномов на линиях уровня, принципом максимума модуля аналитической функции получаем:

Положим теперь:

где штрих у знака суммы означает, что отсутствуют слагаемые, для которых Wk,nt = 0.

Очевидно, что функция f (z)- аналитическая в |z| < 1 и непрерывная в |z| 1. Подсчитав значение f (z) в произвольном фиксированном узле zk0,nj, будем иметь:

второй штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемого с индексом (k0, nj ). Теперь, учитывая оценки (7), (8), выбор точек Wk,nt и того факта, что мы имеем не более чем nq строк, а значит, не более чем n2q узлов, получаем (4)–(6).

Лемма 6. Пусть M — матрица равноотстоящих узлов, np0 — произвольная строка, 0 — j,p одна из частичных дуг, z0 = exp(i0 ) 0. Положим где числа Тогда для всех z 0 справедливо:

Доказательство следует из представления и равенств (8).

Замечание 2. Рассмотрим множество Eµ из леммы 3. Как уже говорилось, оно состоит из конечного (0 µ) числа непересекающихся открытых дуг. На каждой такой дуге зафиксируем по точке zp = exp(ip ), 0 p 0 µ 1, определим числа Wk,np по формулам (9). Тогда в силу леммы существует функция fµ (z) со свойствами (4)–(6). Кроме того, для любого z Eµ существует j(z), 0 j 0 µ, такой, что выполняется в) из леммы 3. Отсюда и условия (4):

C1, C2 — абсолютные константы.

Лемма 7. Пусть M — матрица корней n-й степени из 1. Тогда каждого µ, nµ N существует функция fµ AC такая, что справедливо (5),(6), и для любой точки z {|z| = 1} найдется номер nt {nµ, 2nµ,..., n, 2n }, для которого справедливо:

где C, C — абсолютные константы.

Доказательство. В ходе доказательства леммы 4 строились две системы дуг: дуги, входящие во множество Eµ, и дуги, перекрывающие {|z| = 1} \ Eµ, т. е. A. На дугах из Eµ зафиксируем произвольную точку и определим числа Wk,nt как показано в замечании 2 (если какой-то узел равен 1, тогда полагаем соответствующую точку Wk,nt = 0). На дугах семейства A выбираем и фиксируем центральную точку (см. доказательство леммы 4) и по ней, аналогично (9), определяем числа Wk,2nj. Заметим, что расстояние между узлами из пачки {nµ, 2nµ,..., 2n } не меньше (см. замечание 1). Дословно повторяя рассуждения леммы 5, получаем, что существует функция fµ (z) со свойствами (4)–(6). Осталось проверить (11). Если z {|z| = 1} \ {1}, то z принадлежит либо Eµ, либо A. В силу рассуждений, приведенных в замечании 2, оценка (11) становится очевидной.

В работе [3] была доказана следующая лемма.

Pages: |

| 2 | 3 |

Главная >> Монографии

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«ЛИНГВИСТИКА И АКСИОЛОГИЯ ЭТНОСЕМИОМЕТРИЯ ЦЕННОСТНЫХ СМЫСЛОВ Коллективная монография МОСКВА ТЕЗАУРУС 2011 УДК 81.0 ББК 81 Л55 Монография выполнена в соответствии с Тематическим планом научно-исследовательских работ ГОУ ВПО Иркутский государственный лингвистический университет, проводимых по заданию Министерства образования и науки РФ, регистрационный номер 1.3.06. Руководитель проекта доктор филологических наук, профессор ИГЛУ Е.Ф. Серебренникова Печатается по решению редакционно-издательского...»

«Д.Г. Красильников ВЛАСТЬ И ПОЛИТИЧЕСКИЕ ПАРТИИ В ПЕРЕХОДНЫЕ ПЕРИОДЫ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ИСТОРИИ (1917-1918; 1985-1993): опыт сравнительного анализа Издательство 1998 Пермского уни- верситета 2 ББК 66.6 К 78 Красильников Д.Г. К 78 Власть и политические партии в переходные периоды отечественной истории (1917-1918; 1985-1993): опыт сравнительного анализа. - Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1998. - 306 с. ISBN 5-8241-0157-4 Монография посвящена исследованию сущностных черт власти в 1917-1918 гг. и 1985-1993...»

«Майкопский государственный технологический университет Бормотов И.В. Лагонакское нагорье - стратегия развития Монография (Законченный и выверенный вариант 3.10.07г.) Майкоп 2007г. 1 УДК Вариант первый ББК Б Рецензенты: -проректор по экономике Майкопского государственного технологического университета, доктор экономических наук, профессор, академик Российской международной академии туризма, действительный член Российской академии естественных наук Куев А.И. - заведующая кафедрой экономики и...»

«1 Валентина ЗАМАНСКАЯ ОН ВЕСЬ ДИТЯ ДОБРА И СВЕТА. (О тайнах художественного мышления Александра ШИЛОВА – разгаданных и неразгаданных) Москва - 2008 2 УДК 75.071.1.01+929 ББК 85.143(2)6 З-26 ISBN 978-5-93121-190-9 Первая монография о творчестве Народного художника СССР, Действительного члена Академии художеств Российской Федерации Александра Максовича ШИЛОВА – исследование не столько специально искусствоведческое, сколько культурологическое. Автор применяет обоснованный им в прежних работах...»

«Светлана Замлелова Трансгрессия мифа об Иуде Искариоте в XX-XXI вв. Москва – 2014 УДК 1:2 ББК 87:86.2 З-26 Рецензенты: В.С. Глаголев - д. филос. н., профессор; К.И. Никонов - д. филос. н., профессор. Замлелова С.Г. З-26 Приблизился предающий. : Трансгрессия мифа об Иуде Искариоте в XX-XXI вв. : моногр. / С.Г. Замлелова. – М., 2014. – 272 с. ISBN 978-5-4465-0327-8 Монография Замлеловой Светланы Георгиевны, посвящена философскому осмыслению трансгрессии христианского мифа об Иуде Искариоте в...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Витебский государственный университет имени П.М. Машерова БИОЛОГИЧЕСКОЕ РАЗНООБРАЗИЕ БЕЛОРУССКОГО ПООЗЕРЬЯ Монография Под редакцией Л.М. Мержвинского Витебск УО ВГУ им. П.М. Машерова 2011 УДК 502.211(476) ББК 20.18(4Беи) Б63 Печатается по решению научно-методического совета учреждения образования Витебский государственный университет имени П.М. Машерова. Протокол № 6 от 24.10.2011 г. Одобрено научно-техническим советом...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ОМСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ В СЕРВИСЕ Монография Под общей редакцией доктора экономических наук, профессора О.Ю. Патласова ОМСК НОУ ВПО ОмГА 2011 УДК 338.46 Печатается по решению ББК 65.43 редакционно-издательского совета С56 НОУ ВПО ОмГА Авторы: профессор, д.э.н. О.Ю. Патласов – предисловие, вместо послесловия, глава 3;...»

«Федеральное агентство по образованию Тверской государственный технический университет В.А. Миронов, Э.Ю. Майкова Социальные аспекты активизации научно-исследовательской деятельности студентов вузов Монография Тверь 2004 УДК 301:378:001.45 ББК 60.543.172+60.561.8 Миронов В.А., Майкова Э.Ю. Социальные аспекты активизации научноисследовательской деятельности студентов вузов: Монография. Тверь: ТГТУ, 2004. 100 с. Монография посвящена выявлению и анализу факторов, оказывающих влияние на...»

«В.В. Макаров, В.А. Грубый, К.Н. Груздев, О.И. Сухарев СТЕМПИНГ АУТ В ЭРАДИКАЦИИ ИНФЕКЦИЙ Часть 2 Деконтаминация МОНОГРАФИЯ Владимир Издательство ВИТ-принт 2012 УДК 619:616.9 С 79 Стемпинг аут в эрадикации инфекций. Ч. 2. Деконтаминация: монография / В.В. Макаров, В.А. Грубый, К.Н. Груздев, О.И. Сухарев. – Владимир: ФГБУ ВНИИЗЖ, 2012. – 96 с.: ил. Часть 2 монографии посвящена деконтаминации – третьему, завершающему элементу политики и тактики стемпинг аут в эрадикации особо опасных эмерджентных...»

«РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А.В. КЛИМЕНКО ОСНОВЫ ЕСТЕСТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА Рекуррентная теория самоорганизации Версия 3.0 Ответственный редактор Доктор биологических наук Е.П. Гуськов Ростов-на-дону Издательство Ростовского университета 1994 2 К 49 УДК 001.5+001.2:168.2 Печатается по решению редакционной комиссии по биологическим наукам редакционно-издательского совета Ростовского государственного университета Рецензенты: доктор биологических наук А....»

«П.Ф. Забродский, С.В. Балашов Иммунопатология острой интоксикации тетрахлорметаном (четыреххлористым углеродом). Фармакологическая коррекция МОНОГРАФИЯ © П.Ф. Забродский, 2012 © В.А. Балашов, 2012 ISBN 978–5 –91272-254-70 УДК 612.014.46:616–045 ББК 52.84+52.54+52.8 Я 21 З–123 САРАТОВ – 2012 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Перечень сокращений.. 5 Введение.. 6 Глава 1. Токсикологические свойства тетрахлорметанаю. Нарушения физиологической регуляции иммуногенеза Глава 2. Материал и методы итсследований. 2.1. Объект...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО Сыктывкарский государственный университет Д.П. Кондраль, Н.А. Морозов СТРАТЕГИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ТЕРРИТОРИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ СЕВЕРА РОССИИ: ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ Монография Сыктывкар Изд-во Сыктывкарского госуниверситета 2014 1 УДК 332.14 ББК 65.04 К 64 Рецензенты: кафедра гуманитарных и социальных дисциплин Сыктывкарского лесного института (филиала) ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный...»

«Н. А. ЧИСТЯКОВА ЭЛЛИНИСТИЧЕСКАЯ ПОЭЗИЯ ЛИТЕРАТУРА, ТРАДИЦИИ И ФОЛЬКЛОР ЛЕНИНГРАД ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1988 ББК 83.3(0)3 468 Р е ц е н з е н т ы : засл. деятель науки Молд. ССР, д-р филол. наук, проф. Н. С. Гринбаум, канд. филол. наук, доц. Е. И. Чекалова (Ленингр. ун-т) Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Ленинградского университета Чистякова Н. А. Ч 68 Эллинистическая поэзия: Литература, традиции и фольклор. — Л.: Издательство Ленинградского...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра Социально-экономической статистики Верещака Е.Г., Гладышев А.В., Давлетшина Л.А., Игнатов И.В., Карманов М.В., Пеньковская Т.С., Смелов П.А. ПРИКЛАДНОЙ АНАЛИЗ ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ СИТУАЦИИ НА РЕГИОНАЛЬНОМ УРОВНЕ Коллективная монография г. Москва, 2010 УДК 314.06, 314.8 Прикладной анализ демографической ситуации на региональном уровне. Коллективная монография. – М.: МЭСИ, 2010 – 142 с. Рецензенты: д.э.н., проф....»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ С.В. Белоусова СОЦИАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВО КАК ИНСТРУМЕНТ ОБЕСПЕЧЕНИЯ КАЧЕСТВА ЖИЗНИ ИРКУТСК 2012 1 УДК 316.334.2 ББК 60.56 Б 43 Рекомендовано к изданию редакционным советом ИрГУПС Рецензенты зав. кафедрой Мировая экономика и экономическая теория, д. э. н., профессор Г.И. Новолодская; главный советник отдела социологических исследований и экспертного обеспечения экспертного управления губернатора...»

«И. Б. Медведев, Е. И. Беликова, М. П. Сямичев ФОТОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕРАПИЯ В ОФТАЛЬМОЛОГИИ Москва 2006 УДК ББК И. Б. Медведев, Е. И. Беликова, М. П. Сямичев Фотодинамическая терапия в офтальмологии. – М.:, 2006. – с. Монография посвящена крайне актуальному вопросу современной клинической офтальмологии – лечению больных с наличием субретинальной неоваскулярной мембраны методом фотодинамической терапии. Особо следует подчеркнуть, что в отечественной литературе практически отсутствуют работы на эту...»

«Российская академия наук Кольский научный центр Мурманский морской биологический институт Н. М. Адров ДЕРЮГИНСКИЕ РУБЕЖИ МОРСКОЙ БИОЛОГИИ к 135-летию со дня рождения К. М. Дерюгина Мурманск 2013 1 УДК 92+551.463 А 32 Адров Н.М. Дерюгинские рубежи морской биологии (к 135-летию со дня рождения К. М. Дерюгина) / Н.М. Адров; Муман. мор. биол. ин-т КНЦ РАН. – Мурманск: ММБИ КНЦ РАН, 2013. – 164 с. (в пер.) Монография посвящена научной, организаторской и педагогической деятельности классика морской...»

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В. Д. Бордунов МЕЖДУНАРОДНОЕ ВОЗДУШНОЕ ПРАВО Москва НОУ ВКШ Авиабизнес 2007 УДК [341.226+347.82](075) ББК 67.404.2я7+67ю412я7 Б 82 Рецензенты: Брылов А. Н., академик РАЕН, Заслуженный юрист РФ, кандидат юридических наук, заместитель Генерального директора ОАО Аэрофлот – Российские авиалинии; Елисеев Б. П., доктор юридических наук, профессор, Заслуженный юрист РФ, заместитель Генерального директора ОАО Аэрофлот — Российские авиалинии, директор правового...»

«Владимир Век СТРУКТУРА МАТЕРИИ В РАМКАХ КОНЦЕПЦИИ МАКРО-МИКРОБЕСКОНЕЧНОСТИ МИРА Монография Пермь, 2011 УДК 1 ББК 87.2 В 26 Рецензенты: Доктор философских наук С.Н. Некрасов, заведующий кафедрой философии Уральской государственной сельскохозяйственной академии, профессор Уральского федерального университета имени первого президента России Б.Н. Ельцина Кандидат физико-математических наук С.А. Курапов, ведущий научный сотрудник ЗАО Уральский проект Кандидат технических наук В.Р. Терровере, старший...»

«Арнольд Павлов Arnold Pavlov Стратегии терморегулирования при различных видах стресса Монография Популярность шумна и изменчива, По натуре она такова. Только слава – надёжная женщина, Но она не жена, а вдова. (Н.К.Доризо) Донецк 2011 1 УДК: 612.55:616.45-001.1/.3 ББК: 52.5 П 12 Павлов А.С. Стратегии терморегулирования при различных видах стресса. - Донецк: Издательство Донбасс, 2011. – 112 стр. Рецензенты: Доктор биологических наук, профессор А.В.Колганов Доктор биологических наук, профессор...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

МАТЕМАТИКА

О СЕРИИ ПОДМНОГООБРАЗИЙ МНОГООБРАЗИЯ,

ПОРОЖДЕННОГО ПРОСТОЙ БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЙ

АЛГЕБРОЙ КАРТАНОВСКОГО ТИПА

ОБЩЕЙ СЕРИИ W2

ВЕСОВАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СУММ РЯДОВ

ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

ВВЕДЕНИЕ

ВЕСОВАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СУММ РЯДОВ

ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

ВВЕДЕНИЕ

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

О СОСТОЯНИЯХ ОБРАТИМОСТИ

ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

О СОСТОЯНИЯХ ОБРАТИМОСТИ

ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ОДИН ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ПРИМЕР

ФОРМОСОХРАНЯЮЩЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

ОДИН ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ПРИМЕР

ФОРМОСОХРАНЯЮЩЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

О ТОЖДЕСТВАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В АЛГЕБРАХ ПУАССОНА

О ТОЖДЕСТВАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В АЛГЕБРАХ ПУАССОНА

3. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ

4. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)