Главная >> Методички

Pages: |

| 2 |

«А.Н. Малахов, Н.И. Максюков, В.А. Никишкин Высшая математика Учебно-методический комплекс Москва 2008 УДК – 517 ББК – 22.11 В – 937 Малахов А.Н., Максюков Н.И., Никишкин В.А. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: Учебно-методический ...»

-- [ Страница 1 ] --

Международный консорциум «Электронный университет»

Московский государственный университет экономики,

статистики и информатики

Евразийский открытый институт

А.Н. Малахов, Н.И. Максюков,

В.А. Никишкин

Высшая математика

Учебно-методический комплекс

Москва 2008

УДК – 517

ББК – 22.11

В – 937

Малахов А.Н., Максюков Н.И., Никишкин В.А. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА:

Учебно-методический комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 315 с.

В пособии представлены основные разделы математики, необходимые для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин в области экономики, менеджмента, статистики, бизнеса и информационных технологий.

Пособие предназначено для студентов и слушателей, обучающихся на всех формах обучения с использованием дистанционных образовательных технологий, а также для преподавателей высших и средних специальных учебных заведений.

Авторы: Малахов Александр Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент Максюков Николай Иванович, доцент Никишкин Валерий Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент ISBN 978-5-374-00101-3 © Максюков Николай Иванович, © Малахов Александр Николаевич, © Никишкин Валерий Александрович, © Евразийский открытый институт, Издание 3-е Выпуск 5-й

Учебное пособие Знания, приобретаемые студентом в результате изучения математики, играют важнейшую роль в процессе его обучения в институте. Они необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин в области экономики, менеджмента, статистики, бизнеса и информационных технологий. Математические методы широко используются для решения самых разнообразных задач техники, экономики и финансов, планирования и прогнозирования, анализа финансовой и экономической деятельности.

Поэтому студент не должен забывать, что и после окончания вуза он не раз столкнется с необходимостью применения математики в практической деятельности.

Учебные планы инженерно-экономических, экономических специальностей, специальностей в области статистики, менеджмента, бизнеса, информационных технологий и юриспруденции предусматривают изучение курса «Высшая математика».

Объем и содержание этого курса определяются программами, утвержденными Учебно-методическим управлением министерства общего и профессионального образования Российской Федерации и не зависит от формы обучения (дневное, вечернее, заочное, дистанционное).

Данное учебное пособие соответствует учебной программе по курсу высшей математики.

При написании данного пособия была использована следующая литература:

1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1987 г.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Тт. 1–2. – М.: Наука, 1979 г.

3. Овчинников П.Ф. и др. Высшая математика К.: Высшая школа, 1989 г.

4. Коровин Ю.В., Никишкин В.А. Введение в математический анализ. – М.:

МЭСИ, 1983 г.

5. Коровин Ю.В., Никишкин В.А. Методические указания по изучению курса «Высшая математика».

6. Малахов А.Н. Высшая математика. – М.: МЭСИ, 1997 г.

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами Геометрическим вектором, или просто вектором, будем называть направленный отрезок.

Обозначать вектор будем либо как направленный отрезок символом AB, где точки A и B обозначают соответственно начало и конец данного вектора, либо символом a.

Начало вектора называют точкой его приложения. Длину вектора будем обозначать символом модуля: AB или a.

Вектор называется нулевым, если совпадают его начало и конец. Нулевой вектор имеет длину равную нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

Точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, поэтому изучаемые векторы называют свободными.

Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.

Определение 1. Суммой a + b двух векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a.

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Это правило называют “правилом треугольника”.

Доказательство. Приложим два произвольных вектора a и b OBCA.

Из определения 1 и OAC следует, что OC = a + b, а из OBC следует, что OC = b + a, ч.т.д.

Замечание. При доказательстве свойства 1 нами получено правило сложения векторов, называемое “правилом параллелограмма”: если векторы a и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма a + b ( b + a ) этих векторов представляет собой диагональ этого параллелограмма, идущую из общего начала векторов a и b.

Доказательство. Приложим вектор a к произвольной точке 0, вектор b к концу вектора a и вектор c к концу вектора b.

Обозначим буквами A, B, C концы векторов a, b и c, тогда a + (b + c) = OA + ( AB + BC) = OA + AC = OC, ч.т.д.

3. Существует нулевой вектор 0 такой, что a + 0 = a для любого вектора a. Это свойство вытекает из определения 1.

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

4. Для любого вектора a существует противоположный ему вектор - a такой, что Для доказательства этого свойства определим вектор - a, противоположный вектору a, как вектор, коллинеарный вектору a, имеющий с ним одинаковую длину и противоположное направление.

Взятая по определению 1 сумма вектора a с таким вектором - a дает нулевой вектор.

Определение 2. Разностью a b вектора a и вектора b называется такой вектор c, который в сумме с вектором b дает вектор a.

Из определения 2 и из правила треугольника (определение 1) сложения векторов вытекает правило построения разности a b : разность a b приведенных к общему началу векторов a и b представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора b в конец уменьшаемого вектора a.

Определение 3. Произведением a ( a ) вектора a на вещественное число называется вектор b, коллинеарный вектору a, имеющий длину a, и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора a в случае >0 и противоположное направлению вектора a в случае 0, если a - ненулевой вектор, и ( a a ) = 0, если a - нулевой вектор.

Свойство 1. Следует из формулы (1).

Второе свойство получается из определения 2 (формула 2) скалярного произведения:

Свойство 3. получаем из свойств линейности проекции вектора на ось Четвертое свойство вытекает из формулы (1):

1.2.4. Выражение скалярного произведения (СП) в декартовых Теорема 2.4. Если два вектора a и b определены своими ДПК то СП этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

Используя алгебраические свойства СП имеем

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов a = {X 1, Y1, Z 1 } и b = {X 2, Y2, Z 2 } является равенство Следствие 2. Угол между векторами a и b определяется по формуле 1.3.1. Правые и левые тройки векторов и системы координат Определение 1. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано какой из них является первым, какой- вторым и какой- третьим.

Т.е. запись a b c означает, что первым элементом является вектор a, вторым - b, третьим- c.

Определение 2. Тройка некомпланарных векторов a b c называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, откуда кратчайший поворот от a к b виден совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Определение 3. Аффинная или декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат.

Определение. ВП вектора a на вектор b называется вектор c = a b, удовлетворяющий трем условиям:

1) длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними:

2) вектор с ортогонален к каждому из векторов a и b ;

3) вектор с направлен так, что тройка векторов a b c является правой.

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Теорема 3.3. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их ВП.

Доказательство.

1) Необходимость вытекает из определения ВП.

2) Достаточность. Пусть a b = 0. Докажем, что векторы a и b коллинеарны. Если хотя бы один из векторов a или b является нулевым, то он коллинеарен любому вектору.

Если же оба вектора a и b ненулевые, то a >0, b > 0 и поэтому из равенства [ a b ] = a b sin = 0 следует, что sin=0, =0, т.е. векторы a и b коллинеарны, ч.т.д.

Заметим, что так как площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними, то из определения ВП(пункт 1) получим, что длина (или модуль) ВП a b равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.

1.3.4. Алгебраические свойства векторного произведения (ВП) Из определения ВП получаем следующие четыре свойства ВП:

4. [ a a ] = 0 для любого вектора a.

1.3.5. Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую m строк и n столбцов называют матрицей.

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется квадратной.

Числа, входящие в состав матрицы называют ее элементами.

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:

Определителем второго порядка, соответствующим этой матрице называется число, равное a 1 b 2 a 2 b 1 и обозначаемое символом Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов:

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Определителем третьего порядка, соответствующим этой матрице называется число, обозначаемое символом и равное Последнюю формулу для удобства запоминания можно записать в виде:

Такая запись называется разложением определителя по элементам первой строки.

1.3.6. Выражение векторного произведения (ВП) в декартовых Теорема. Если два вектора a и b определены своими ДПК то их ВП имеет вид Для запоминания этой формулы удобно использовать символ определителя (см.

предыдущий пункт) и переписать ее в виде Доказательство теоремы. Учитывая, что базисные векторы i, j, k взаимно ортогональны, образуют правую тройку i, j, k и i = j = k, имеем Перемножая векторно a и b, получим Из этого равенства и соотношений (2) получаем разложение (1).

Следствие. Если два вектора a = {X 1, Y1, Z 1 } и b = {X 2, Y2, Z 2 } коллинеарны, то их координаты пропорциональны:

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Доказательство. Из равенства нулю векторного произведения и из формулы 1 имеем Пусть даны три вектора a, b и c. Если вектор a векторно умножается на вектор b, а затем полученный вектор a b скалярно умножается на вектор c, то в результате получается число Из определения следует геометрический смысл смешанного произведения трех векторов:

Смешанное произведение a b c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b и c, взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если же векторы компланарны, то a b c = 0.

Поэтому можно записать смешанное произведение трех векторов a, b и c просто в виде не указывая какие именно два вектора перемножаются векторно.

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

1.3.8. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах Теорема. Если три вектора a, b и c определены своими ДПК то смешанное произведение a b c равно определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Доказательство. Т.к.

то скалярное произведение этих векторов равно ч.т.д.

Следствие. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a = {X 1, Y1, Z 1 }, b = {X 2, Y2, Z 2 }, с = {X 3, Y3, Z 3 } является равенство нулю определителя, строками которого являются координаты этих векторов:

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Пусть на плоскости заданы декартова прямоугольная система координат Oxy и некоторая линия L. Рассмотрим уравнение, связывающее переменные x и y Определение. Уравнение (1.1) называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты x и y ни одной точки, не лежащей на линии L.

Т.е. линия L представляет собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.1).

1). Уравнение ( x a ) + ( y b) = r 2 является уравнением окружности радиуса r 0 с центром в точке 0 (a, b ).

2). Уравнение x 2 + y 2 = 0 определяет на плоскости Oxy только одну точку (0,0).

3). Уравнение x 2 + y 2 + 4 = 0 вообще не определяет никакого геометрического образа.

Для аналитического представления линии L возможно выражать координаты x и y точек этой линии при помощи параметра t :

где функции ( t ) и ( t ) непрерывны по параметру t в области {t} изменения этого параметра. Исключение из двух уравнений (2.1) параметра t приводит к уравнению вида (1.1).

Пример. Найдем параметрические уравнения окружности радиуса r 0 с центром в начале координат.

Эти уравнения представляют собой параметрические уравнения нашей окружности. Чтобы точка ( x, y) один раз обошла окружность, t должно изменяться в пределах: 0 t 2. Для исключения параметра t из уравнения (2.2), нужно возвести в квадрат и сложить уравнения (2.2); получим x 2 + y 2 = r 2.

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Введем на плоскости полярные координаты. Выберем на плоскости точку O (полюс) и выходящий из нее луч Ox; укажем единицу масштаба.

Полярными координатами точки M называются два числа: (полярный радиус) равное расстоянию точки M от полюса O и (полярный угол)- угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч Ox до совмещения с лучом OM. Точку M обозначают символом (, ) и обычно считают, что 0 < +, 0 < 2.

Если начало декартовой прямоугольной системы находится в полюсе, а ось абсцисс совпадает с полярной осью, то очевидна связь между полярными координатами точки (, ) и ее декартовыми координатами M ( x, y) :

Возводя эти уравнения в квадрат и складывая их, получим = x 2 + y 2. Разделив одно на другое, получим, что tg =, а также используя знаки x и y, определим четx верть, в которой находится точка M. Т.е., зная декартовы координаты точки x и y можно найти ее полярные координаты.

Если ( x, y) = 0 представляет собой уравнение линии L в декартовой прямоугольной системе координат Oxy, то достаточно подставить на место x и y их выражения в полярных координатах (3.1): получим 1 (, ) = 0, где использовали обозначение 1 (, ) = ( cos, sin ).

Задача о нахождении точек пересечения двух линий L 1 и L 2, заданных уравнениями 1 ( x, y) = 0 и 2 ( x, y) = 0, состоит в нахождении координат точек, удовлетворяющих каждому из этих уравнений.

Т.е. нужно решить систему уравнений Если эта система не имеет решений, то линии L 1 и L 2 не пересекаются.

Пример. Найти точки пересечения окружностей x 2 + y 2 1 = 0 и ( x -1) + y 2 2 = 0.

Решаем систему уравнений

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Вычитая из первого уравнения второе, получим M 1 (01) и M 2 (0,1).

1.4.4. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве Пусть нам заданы декартова прямоугольная система координат Oxyz и некоторая поверхность S.

Определение 1. Уравнение называется уравнением поверхности S (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x, y, z любой точки, лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют координаты x, y, z ни одной точки, не лежащей на поверхности Пример. Уравнение сферы радиуса R>0 с центром в точке 0 ( x 0, y 0, z 0 ) в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz имеет вид Действительно, точка ( x, y, z) лежит на указанной сфере тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между точками ( x, y, z) и 0 ( x 0, y 0, z 0 ) Определение 2. Линия в пространстве есть геометрическое место точек, лежащих одновременно на двух поверхностях.

Таким образом линия в пространстве рассматривается как линия пересечения двух поверхностей.

Если 1 ( x, y, z) = 0 и 2 ( x, y, z) = 0 - уравнения двух поверхностей, пересечением которых является данная линия L, то два уравнения совместно определяют линию L.

Как и в случае плоской линии (п.2) можно линию в пространстве представить параметрически, задав координаты x, y, z любой точки данной линии как непрерывные функции некоторого параметра t :

определенные в некотором промежутке изменения параметра {t}.

Для отыскания точек пересечения поверхностей и линий следует решить совместно уравнения, определяющие указанные линии и поверхности.

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.5. Различные виды уравнений прямой на плоскости с произвольными коэффициентами A, B и C такими, что A и B не равны одновременно нулю, называется общим уравнением прямой L.

Уравнение (6.1) имеет хотя бы одно решение x 0, y 0, т.е. существует точка 0 ( x 0, y 0 ), координаты которой удовлетворяют уравнению (6.1):

Вычитая из уравнения (6.1) тождество (6.2), получаем уравнение эквивалентное уравнению (6.1).

Если точка ( x, y) лежит на прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнеn = {A, B}, 0 = {x x 0, y y 0 } перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю. Если же точка ( x, y) не лежит на прямой L, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (6.3).

Итак, уравнение (6.3) определяет прямую L, проходящую через точку 0 x, y 0 и перпендикулярную вектору n = {A, B}. Этот вектор будем называть нормальным вектором прямой (6.1).

Замечание. Если два уравнения Ax + By + C = 0 и A 1 x + B1 y + C1 = 0 определяют одну и ту же прямую, то существует такое вещественное число t, что справедливы равенства A 1 = At, B1 = Bt, C1 = Ct.

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Если прямая параллельна оси Ox, то угол наклона будем считать равным нулю.

Угловым коэффициентом прямой назовем тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox, = tg.

Для прямой, параллельной оси Ox, угловой коэффициент равен 0, а для прямой, перпендикулярной оси Ox, угловой коэффициент не существует ( = ).

Из уравнения (6.3) и того, что n = {A, B} - нормальный вектор прямой следует, что Отсюда получим уравнение прямой с угловым коэффициентом в виде y y 0 = ( x x 0 ). Если обозначить b = y 0 kx 0, то последнее уравнение примет вид Это уравнение и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Здесь k- угловой коэффициент данной прямой, а b - отрезок, отсекаемый данной прямой на оси Oy, начиная от начала координат (при x = 0, y = 0 ).

Рассмотрим полное (все коэффициенты A, B и C отличны от нуля) уравнение прямой Его можно записать в виде (т.к. A 0, B 0, C 0 ) Последнее уравнение называется уравнением прямой “в отрезках”. Числа a и b равны соответственно величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox и Oy соответственно.

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, назовем направляющим вектором этой прямой.

Найдем уравнение прямой, проходящей через данную точку 0 ( x0, y 0 ) и имеющей заданный направляющий вектор q = {l, m}.

Точка ( x, y ) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы 0 = {x x0, y y 0 } Џ q = {l, m} коллинеарны, т.е. когда их координаты пропорциональны Это уравнение обычно называют каноническим уравнением прямой.

В уравнении (6.5) одно из чисел l или m может равняться нулю, т.к. это есть коорx0 y Примем за параметр t величину, стоящую в правой и левой частях соотношения (6.5), < t <.

Это и есть искомые параметрические уравнения прямой.

1.5.6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности 1). Пусть прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями Задача об определении угла между прямыми сводится к определению угла между нормальными векторами n 1 = {A 1, B1 } и n 2 = {A 2, B 2 } этих прямых:

Условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно коллинеарности их нормальных векторов n 1 и n 2 :

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 получаем из формулы (6.6) при cos=0:

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2) Если прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями то рассматривая их направляющие векторы q 1 = {l1, m 1 } и q 2 = {l 2, m 2 }, аналогично случаю 1) имеем:

Условие параллельности прямых L1 и L2 :

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 :

3). Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом Отсюда Т.е. угол между прямыми L1 и L2 определяется по формуле:

Если в этой формуле поменять местами k1 и k2, то формула определит нам угол между прямыми, смежный к прежнему углу. Т.к. эти два угла в сумме равны и их тангенсы отличаются только знаком.

Прямые параллельны, если tg=0, т.е. k1=k2.

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 получим из формулы (6.8), т.к. tg не существует при k 1 k 2 + 1 = 0.

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 запишем в виде:

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.5.7. Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой На прямой n возьмем единичный вектор n, направление которого совпадает с направлением отрезка O P (если точки O и P совпадают, то направление вектора n выбираем произвольно).

Выразим уравнение прямой L через два параметра:

1) длину p отрезка O P и 2) угол между вектором n и осью Ox.

Вектор n - единичный, следовательно его можно записать в виде Точка ( x, y) лежит на прямой L тогда и только тогда, когда проекция вектора O M на ось, определяемую вектором n, равна p:

В силу определения 2 скалярного произведения, учитывая, что n = 1 имеем:

Учитывая, что O M = {x, y} и равенство (6.9), получим Из соотношений (6.9), (6.10) и (6.11) получаем, что точка ( x, y) лежит на прямой L тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению Это уравнение называется нормированным уравнением прямой.

Пусть число d обозначает расстояние от точки M до прямой L.

Определение. Отклонением точки M от прямой L называется число +d в случае, когда точка M и начало координат O лежат по разные стороны от прямой L, и число -d в случае, когда точки M и О лежат по одну сторону от прямой L. Если же начало координат О лежит на прямой L, положим отклонение равным +d в случае, когда точка М лежит по ту сторону от прямой L, куда направлен вектор n, и равным -d в противоположном случае.

Теорема. Геометрический смысл левой части уравнения (6.13) состоит в том, что левая часть этого уравнения равна отклонению точки ( x, y) от прямой L, определяемой уравнением (6.13).

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Из рисунка видно, что но OQ = п р n O M, а в силу (6.11) и (6.12) получаем Из последнего равенства и (6.14) имеем Отсюда получаем возможность находить расстояние от точки 0 ( x 0, y 0 ) до прямой 1.5.8. Приведение общего уравнения прямой к нормированному виду Пусть нам дано общее уравнение прямой Ax + By + C = 0. Требуется привести его к виду (6.13).

Т.к. эти уравнения должны определять одну и ту же прямую, то найдется число t такое, что tA = cos, tB = sin, tC = p.

Возводя в квадрат два первых равенства и складывая их, получим Т.к. по условию задачи p0, то из равенства tC=-p заключаем, что знак t противоположен знаку С.

Таким образом, для приведения общего уравнения прямой Ax + By + C = 0 к нормированному виду следует умножить его на нормирующий множитель t = ±, знак которого противоположен знаку С.

Отсюда очевидна формула для вычисления расстояния d от точки 0 ( x 0, y 0 ) до прямой Ax + By + C = 0:

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Будем рассматривать линии, уравнения которых в декартовой системе координат являются алгебраическими уравнениями второй степени, то есть будем рассматривать алгебраические кривые второго порядка. Будут рассмотрены три вида линий второго порядка: эллипсы, гиперболы и параболы. Основной целью является ознакомление с важнейшими геометрическими свойствами указанных линий.

2.1.1. Определение эллипса и вывод его канонического уравнения Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина.

Возьмем произвольную точку М(x,y), лежащую на эллипсе. Соединим точку М с фокусами F1F2. Длины отрезков MF1 и MF2 обозначим соответственно через r1 r2: МF1=r1;

MF2=r2. Числа r1 и r2 называются фокальными радиусами точки М эллипса. Учитывая, что сумма r1 и r2 есть величина постоянная (это следует из определения эллипса) обозначим:

r1+r2=2a, следует 2а>2c или a>c. В противном случае либо не существует точек, удовлетворяющих поставленным требованиям, либо совокупность этих точек сводится к отрезку F1F2.

На основании определения эллипса как геометрического места точек, можно утверждать, что для всех точек эллипса, и только для них, должно выполняться равенство:

Определим r1 и r2 по формулам расстояния между двумя точками:

Поставляя найденные значения r1 и r2 в уравнение (1), получим:

Уравнение (4) является уравнением эллипса. Однако полученная форма уравнения является неудобной для пользования, поэтому обычно уравнение эллипса дается в ином виде.

Преобразуем уравнение (4). Пусть М(x,y) – точка эллипса, то есть равенство (4) имеет место. Перенесем первый радикал в правую часть и затем возведем обе части в квадрат:

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

или выделим отсюда оставшийся радикал:

Возведя обе части последнего равенства в квадрат, получим:

откуда Так как по условию a>c, то a c >0. Обозначим разность a c, как величину положительную, через b2= a2 – c2. Очевидно, что Подставляя b2= a2 – c2 в равенство (8), получим:

и разделив последнее равенство на a2b2, окончательно получим:

Пусть теперь x и y – любые действительные числа. Рассмотрим уравнение (9). По доказанному, всякая пара чисел x, y, удовлетворяющая уравнению (4), удовлетворяет и уравнению (9). Можно доказать, что и наоборот, всякая пара чисел х, у, удовлетворяющая уравнению (9) удовлетворяет уравнению (4). Произведя предыдущие выкладки в обратном порядке, мы из равенства (9) получим сначала равенство (8), затем равенство (7), которое сейчас запишем в виде:

Извлекая корень из обеих частей этого равенства, получим Заметим теперь, что в силу равенства (9) должно быть |x| a. Так как |x| a и c < a, то |cx| < a2, следовательно, число a2 – cx положительно. Поэтому в правой части равенства (10) необходимо взять знак плюс. Так мы приходим к равенству (6), после чего получим равенство (5); последнее мы напишем в виде:

Исследуем величину В силу равенства (9) имеем x2 a2. Далее |cx| < a2, следовательно, число -2cx по абсолютному значению меньше 2a2. Наконец, также из равенства (9) заключаем, что y b2, то есть y2 a2 – c2 или с2 + y2 a2. В силу этих неравенств вся сумма в правой части (12) меньше 4а2, значит, корень из этой суммы меньше 2а. Поэтому величина, стоящая внутри скобок в правой части (11), положительна, следовательно, в равенстве (11) перед скобками нужно брать знак плюс. Таким образом мы получаем:

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

откуда сразу следует равенство (4).

Итак, уравнение (4) выводится из уравнения (9), как и уравнение (9) выводится из уравнения (4). Тем самым доказано, что уравнение (9) есть уравнение данного эллипса, так как оно эквивалентно уравнению (4).

Уравнение (9) называется каноническим уравнением эллипса, это уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Приступим к изучению формы эллипса. В уравнении эллипса содержатся только члены с четными степенями текущих координат. Отсюда следует важная геометрическая особенность: эллипс, определяемый уравнением симметричен как относительно оси Ox, так и относительно оси Oy. Другими словами, если точка М0(x0;y0) лежит на эллипсе, то точки М1(x0;-y0), M3(-x0;y0), M4(-x0;-y0), симметричные точке М0 соответственно относительно оси Ox, оси Oy и начала О, также лежат на эллипсе. Это позволяет изучение формы и построения эллипса ограничиться первым квадрантом, а затем получившуюся кривую с помощью зеркального отражения построить во всех четырех квадрантах. В случае канонического задания эллипса координатные оси являются осями симметрии эллипса. Точка пересечения осей симметрии называется центром эллипса.

Из канонического уравнения эллипса 2 + 2 = 1 выразим y через х:

Так как изучение формы эллипса достаточно провести в первом квадранте, то в этом равенстве надо взять лишь знак плюс, то есть и полагать, что х 0.

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Дадим переменной х несколько значений, 00, построим ряд точек, принадлежащих эллипсу. Учитывая высказанные ранее соображения и соединив найденные точки эллипса плавной линией, получим дугу эллипса В1А1 в первом квадранте. Произведя зеркальное отображение дуги В1А1 относительно координатных осей, получим весь эллипс. Отсюда следует, что эллипс представляет собой замкнутую кривую, с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии.

Отрезок А2А1 и его длина 2а называется большой осью эллипса, отрезок ОА1 и его длина а называется большой полуосью эллипса. Отрезок В2В1 и его длина 2b называются малой осью эллипса; отрезок ОВ1 и его длина b называется малой полуосью эллипса.

Длина отрезка F2F1, то есть число 2с, называется фокусным расстоянием. Точки пересечения эллипса с его осями А1, А2, В1, В2 называются вершинами эллипса, а точка пересечения его осей называется центром эллипса.

Примечание. Если a=b, то уравнение эллипса имеет вид 2 + 2 = 1 или x2+y2=a2.

Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным а. Можно сказать, что окружность является частным случаем эллипса.

2.1.3. Эксцентриситет и фокальные радиусы эллипса Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси эллипса; обозначив эксцентриситет буквой, получим:

Так как с0, является кривой, расположенной справа от оси ординат.

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Кривая, уравнение которой у2=-2рх, р>0, будет также параболой. Вершина этой параболы лежит в начале координат, осью симметрии является ось абсцисс. Все точки этой параболы лежат слева от оси ординат (Рис. 9, а) Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что уравнение х2=2ру, р>0, является уравнением параболы, вершина которой лежит в начале координат, осью симметрии является ось ординат (Рис. 9, б). Эта парабола лежит выше оси абсцисс. Уравнение же вида х2=-2ру, р>0, является уравнением параболы, лежащей ниже оси абсцисс, с вершиной в начале координат. Осью симметрии этой параболы является ось ординат. (Рис. 9, в).

Примечание. Условимся, наглядности ради, говорить, что “ветви” параболы у2=2рх (р>0) “направлены вправо”, “ветви” параболы х2=2ру (р>0) “направлены вверх” и т. д.

2.4. Общее свойство кривых второго порядка – эллипса, 2.4.1. Директриса эллипса гиперболы и параболы Построим эллипс, заданный каноническим уравнением 2 + 2 = 1. Затем построa b им две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса, на расстоянии (Рис. 10).

При их построении следует учесть, что

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Правая директриса, уравнение которой х =, будет проходить правее вершины эллипса А1, а левая директриса, уравнение которой х = -, – левее вершины эллипса А2 (Рис. 10).

Построим гиперболу, заданную каноническим уравнением и две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и симметрично распоа ложенные относительно центра на расстоянии, равном (Рис. 11):

Эти прямые (их уравнения х = и х=- ) называются директрисами гиперболы (соответственно, правой и левой).

При их построении следует учесть, что Правая директриса гиперболы х = будет проходить левее правой вершины гиа перболы А1, а левая директриса гиперболы х = - будет проходить правее левой вершины гиперболы А2.

С помощью директрис и эксцентриситета можно выявить общее свойство, присущее кривым второго порядка: эллипсу, гиперболе и параболе. Имеет место следующая теорема: отношение расстояний от произвольной точки М(х;у) любой из этих кривых до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету кривой. Докажем эту теорему последовательно для эллипса, гиперболы и параболы.

Доказательство. Пусть у эллипса F1 – правый фокус, прямая D1L1 – правая директриса. F2 – левый фокус, D2L2 – левая директриса (Рис. 1). Возьмем на эллипсе произвольную точку М(х;у), соединим ее отрезками MF1 и MF2 (MF1=r1, MF2=r2) c фокусами и опустим из нее перпендикуляры МК1 и МК2 на обе директрисы (МК1=d1 и MK2=d2) и на ось ОХ. Требуется доказать, что

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

На основании выведенных ранее формул имеем:

(Здесь N – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось ОХ) Вычисляя отношения Таким образом, данная теорема для эллипса доказана.

Пусть у гиперболы F1 – правый фокус, D1L1 – соответствующая ему правая директриса, F2 – левый фокус, D2L2 – соответствующая ему левая директриса (Рис. 11). Возьмем на гиперболе произвольную точку М(х;у), соединим ее c фокусами F1М=r1, F2М=r2, затем из точки М опустим перпендикуляры на обе директрисы К1М=d1 и K2М=d2. Требуется доказать, что Применяя выведенные ранее формулы, получим:

и, следовательно Таким образом, данная теорема доказана и для гиперболы.

Что касается параболы, являющейся геометрическим местом таких точек, которые равноудалены от фокуса и директрисы, то для любой точки параболы будет справедливо равенство = 1, где d – расстояние от точки параболы до директрисы. Иначе, отношение

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

расстояний от любой точки параболы до фокуса и до директрисы равно единице. По аналогии с остальными кривыми второго порядка, это постоянное отношение называют эксцентриситетом параболы. Следовательно, эксцентриситет параболы равен единице. Теорема полностью доказана.

Следствие. Для рассматриваемых кривых второго порядка можно дать следующее общее определение: кривые второго порядка есть геометрические места точек на плоскости, отношение расстояний которых до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная, причем у эллипса 1, у параболы =1.

Пользуясь общим свойством эллипсов, гипербол и парабол, выведем общее уравнение этих кривых второго порядка в полярных координатах при некотором специальном выборе полярной системы координат.

Пусть дана произвольная из указанных линий (эллипс, ветвь гиперболы или парабола). Возьмем фокус F кривой (любой, если их два) и соответствующую ему директрису L (если рассматривается ветвь гиперболы, то берется фокус и директриса, ближайшие к этой ветви).

Введем полярную систему координат так, чтобы полюс О совпал с фокусом F, а полярная ось была направлена по оси симметрии кривой в сторону, противоположную директрисе L.

Возьмем на кривой произвольную точку М(;), соединим ее отрезком FM с фокусом и опустим перпендикуляр МК на директрису. Кроме того, из точки F проведем перпендикуляр FR к полярной оси до пересечения с кривой в точке R, а из точки R опустим перпендикуляр RQ на директрису (Рис. 12).

Подставим найденные выражения для FM и КМ в равенство Уравнение (3) называется уравнением кривой второго порядка в полярных координатах. При 1 – ветвью гипиерболы, при =1 – параболой.

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Фокальный параметр Р из уравнения параболы определяется непосредственно. Для того, чтобы фокальный параметр выразить через параметры эллипса и гиперболы, следует заметить, что фокальный параметр Р является ординатой точки кривой, абсцисса которой равна абсциссе соответствующего фокуса (в выбранной при выведении канонического уравнения соответствующей кривой системе ХОY).

Подставляя вместо координат точки М(х;у) в уравнение эллипса 2 + 2 = 1 коорa b динаты точки (-с;р), получим:

откуда следует Аналогично, подставляя в уравнение гиперболы координаты точки (с;р), получим:

откуда следует соотношение Рассмотрим несколько задач на кривые второго порядка:

Дано уравнение гиперболы 16х2-9у2=144. Найти длины ее осей, координаты фокусов, эксцентриситет; составить уравнения директрис и асимптот гиперболы.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду и определим как параметры гиперболы, так и расстояние с от начала координат до фокуса:

откуда а=3, b=4, с = а 2 + b 2 = 5, эксцентриситет = =.

Действительная ось 2а=6; мнимая ось 2b=8.

Уравнения директрис: х = ±.

Уравнения асимптот: у = ± х.

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, зная, что он проходит через точки М1(2;3) и М2 1;.

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Учитывая симметричность эллипса относительно осей координат, его каноничеx2 y ское уравнение будет иметь вид: 2 + 2 = 1 и вместо текущих координат подставим в это уравнение сначала координаты точки М1, а затем координаты точки М2. Из получившейся системы уравнений:

определим параметры эллипса а и b.

получим следующую систему уравнений:

Решая ее, получим, что:

откуда а2=16, b2=12.

Следовательно, искомое уравнение эллипса будет:

Найти вершину, фокус, ось и директрису параболы Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Обозначив х`= х-4 и у`= у-3, перейдем к новой системе координат O`x`y`, начало которой находится в точке O`(4;3), а оси O`x` и O`y` сонаправлены с осями Ох и Оу. В результате получим простейшее уравнение данной параболы

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Отсюда 2р =, то есть =. Итак, вершина параболы находится в точке O`(4;3);

координаты фокуса то есть F 4; ; уравнение оси параболы x = xO` = 4, то есть х-4=0; уравнение директрисы нию вида Решение:

Найдем из данного уравнения параметры a, b, c, затем найдем эксцентриситет = и фокальный параметр эллипса p = :

Искомое уравнение будет иметь вид:

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Данное уравнение кривой в полярных координатах Привести его к каноническому уравнению в прямоугольных координатах.

данное уравнение является уравнением гиперболы, у которой b2=c2-a2. Таким образом, данные параметры могут быть записаны в виде системы двух уравнений Из этой системы находим, что а=1, с=3, b2=8. Следовательно, уравнение гиперболы имеет вид:

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3. Аналитическая геометрия в пространстве 3.1. Плоскость как поверхность первого порядка Теорема. В декартовой прямоугольной системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени.

Доказательство. Рассмотрим произвольную плоскость П и докажем, что эта плоскость определяется уравнением первой степени. Возьмем на плоскости какую-нибудь точку М0(x0; y0; z0); выберем кроме этого, произвольный вектор (не нулевой) перпендикулярный к плоскости П. N П. N ={А; В; С}. Пусть М(x; y; z) – произвольная точка. Она лежит на плоскости тогда и только тогда, когда вектор М 0М перпендикулярен вектору N:

Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

М 0М ={x- x0; y- y0; z- z0}; N ={А; В; С}.

Это и есть искомое уравнение плоскости П, т.к. ему удовлетворяют координаты x;

y; z точки М тогда и только тогда, когда М лежит на плоскости П.

Раскрывая скобки, представим уравнение (1) в виде Аx+Вy+Сz+(-Аx0-Вy0-Сz0)=0.

Далее, обозначая число -Аx0-Вy0-Сz0 буквой D, получим:

Аx+Вy+Сz+D=0.

Мы видим, что плоскость П действительно определяется уравнением первой степени. Теорема доказана.

Произвольный ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным к ней вектором. Употребляя это название, мы можем сказать, что уравнение А(x- x0)+В(y- y0)+С(z- z0)=0 есть уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0; y0;

z0) и имеющей нормальный вектор N={А; В; С}.

Уравнение вида называется общим уравнением плоскости.

Теорема. В декартовых координатах каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Доказательство. Рассмотрим произвольное уравнение первой степени Аx+Вy+Сz+D=0 (А, В, С одновременно не равны нулю).

Пусть x0, y0, z0 произвольная тройка чисел, удовлетворяющая уравнению (2):

Вычтем и уравнения (2) тождество (3), получим А(x-x0)+В(y-y0)+С(z-z0)=0, которое по предыдущему представляет собой уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0; y0; z0) и имеющей нормальный вектор N={А; В; С}. Но уравнение (2) равноАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ сильно уравнению (1), т.к. уравнение (1) получается из уравнения (2) путем почленного вычитания тождества (3), а уравнение (2) в свою очередь получается из уравнения (1) путем почленного прибавления тождества (3). Следовательно, уравнение (2) является уравнением той же плоскости. Теорема доказана.

Докажем теперь следующее важное утверждение: если два уравнения А1x+В1y+С1z+D1=0 и А2x+В2y+С2z+D2=0 определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты их пропорциональны. Действительно N1 ={А1; В1; С1} и N 2 ={А2; В2; С2} перпендикулярны к одной и той же плоскости, следовательно вектора N1 и N 2 – коллинеарны, тогда А1=А2m; В1=В2m; С1=С2m.

Пусть М0(x0; y0; z0) – любая точка плоскости: ее координаты должны удовлетворять каждому из данных уравнений, таким образом А1x+В1y+С1z+D1=0 и А2x+В2y+С2z+D2=0.

Умножим второе из этих равенств на m и вычтем из первого: получим Тем самым наше утверждение доказано.

Здесь будем рассматривать частные случаи уравнения первой степени, когда какие-либо из коэффициентов A, B, C, D обращаются в нуль:

1) D=0: Аx+Вy+Сz=0 – определяет плоскость, проходящую через начало координат, т.к.

числа x=0; y=0; z=0 удовлетворяют уравнению Аx+Вy+Сz=0. Следовательно начало координат принадлежит плоскости.

2) С=0: Аx+Вy+D=0 определяет плоскость, параллельную оси Oz (или проходящую через эту ось). В этом случае нормальный вектор N ={А; В; С} имеет нулевую проекцию на ось Oz (С=0); следовательно, этот вектор перпендикулярен оси Oz, а сама плоскость параллельна ей (или проходит через нее).

3) В=0 и С=0: Аx+D=0 – определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oyz (или совпадающую с ней). В этом случае нормальный вектор N ={А; В; С} имеет нулевые проекции на оси Oy и Oz (В=0 и С=0); следовательно, вектор N перпендикулярен к осям Oy и Oz, а сама плоскость параллельна им (или проходит через каждую из них). Но это и означает, что плоскость, определяемая уравнением Аx+D=0, параллельна плоскости Oyz или совпадает с ней.

По аналогии с предыдущим легко установить, что:

1. Уравнение Аx+Сz+D=0 задает плоскость, параллельную оси Oy (или проходящую через нее). Уравнение Вy+Сz+D=0 задает плоскость, параллельную оси Oх (или проходящую через нее).

2. Уравнение Вy+D=0 задает плоскость, параллельную плоскости Oхz (или совпадающую с ней). Уравнение Сz+D=0 задает плоскость, параллельную плоскости Oхy (или совпадающую с ней).

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть в уравнении плоскости Аx+Вy+Сz+D=0 ни один из коэффициентов A, B, C, D не равен нулю. Сделав следующие преобразования:

Аx+Вy+Сz=-D;

Это специальный вид уравнения плоскости называемый уравнением плоскости «в отрезках». Здесь числа a, b, c имеют простой геометрический смысл, а именно a, b, c – это величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти точки пересечения плоскости с координатными осями.

Точка пересечения плоскости с осью Ox определяется из уравнения этой плоскости xyz + + = 1 при условии y=z=0. Отсюда х=а. Таким образом, величина отрезка, отсекаеabc мого плоскостью на оси Ox, действительно равна а. Аналогично, отрезки отсекаемые плоскостью на осях Oy и Oz, имеют величины, равные соответственно b и c.

Пример. Составить уравнение плоскости, зная, что она отсекает на координатных осях отрезки a=3; b=-4; c=2.

Решение. На основании предыдущего получаем искомое уравнение сразу:

Возьмем в пространстве XYZ некоторую плоскость П. Проведем через начало координат прямую n, перпендикулярную к плоскости П. Назовем эту прямую нормалью, – и отметим буквой Р точку пересечения нормали с плоскостью П. На нормали введем положительное направление от начала координат О к точке Р. Если точка Р совпадает с О, т.е. данная плоскость проходит через начало координат, то положительное направление нормали выберем произвольно. Обозначим через,, углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат, через р – длину отрезка ОР.

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Из равенств (1) и (2) следует, что x cos + ycos + zcos = р или Это уравнение плоскости, оно носит специальное название: нормальное уравнение плоскости; в этом уравнении cos, cos, cos суть направляющие косинусы нормали, р – расстояние плоскости от начала координат.

Пусть как и ранее n нормаль к произвольной плоскости П, М*- произвольная точка пространства, d- ее расстояние отданной плоскости (см. рис. 1).

Условимся называть отклонением точки М* от данной плоскости число +d, если М* лежит по ту сторону от плоскости, куда идет положительное направление нормали, d, если М* лежит с другой стороны от данной плоскости. Отклонение точки от плоскости обозначим буквой ; таким образом, =± d, причем полезно заметить, что =+d, когда точка М* и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и =-d, когда точка М* и начало координат лежат по одну сторону от плоскости (для точек, лежащих на плоскости, =0).

Теорема. Если точка М* имеет координаты (x*; y*; z*), а плоскость задана нормальным уравнением x cos + ycos + zcos – р=0, то отклонение точки М* от этой плоскости задается формулой Доказательство. Спроектируем точку М* на нормаль; пусть Q – ее проекция (рис.

1); тогда где PQ, OQ, OP – это величины направленных отрезков нормали: PQ, OQ и OP. Но OQ= n юn OM *, ОР=р; следовательно Из ранее доказанного Из равенств (5) и (6) получаем:

Теорема доказана.

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Покажем, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Пусть общее уравнение некоторой плоскости, а ее нормальное уравнение. Так как уравнения (7) и (3) определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты этих уравнений пропорциональны, т.е.

Чтобы найти множитель µ, возведем первые три из этих равенств в квадрат и сложим. Получим:

µ2(А2+В2+С2)= cos2 + cos2 + cos2.

Число µ называется нормирующим множителем. Для определения знака нормирующего множителя используем последнее из равенств (8): µD= -р. Следовательно: знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Если D=0, то знак нормирующего множителя можно выбирать по желанию.

Пример. Даны плоскость 12х-4y+3z+14=0 и точка М(1; 3; 4). Найти отклонение точки М от данной плоскости.

Решение. Приведем данное уравнение к нормальному виду. Найдем нормирующий множитель: µ = =. Умножая данное уравнение на µ, получим исходное нормальное уравнение плоскости: (12x 4y + 3z + 14) = 0. Подставляя в левую = (12 1 4 3 + 3 4 + 14 ) = 2. Итак, точка М имеет отрицательное отклонение от данной плоскости и удалена от нее на расстояние d=2.

Рассмотрим произвольную прямую, обозначим ее буквой а. Обозначим через П1 и П2 какие-нибудь две различные плоскости, пересекающиеся по прямой а и предположим, что уравнения этих плоскостей будут: А1x+В1y+С1z+D1=0 и А2x+В2y+С2z+D2=0. Так как прямая а представляет собой пересечение плоскостей П1 и П2, то она определяется совместным заданием двух уравнений:

Поставим задачу: всегда ли два уравнения первой степени совместно определяют некоторую прямую? Очевидно, это будет только в том случае, когда соответствующие им плоскости не параллельны и не совпадают друг с другом, т.е. когда нормальные векторы этих плоскостей N1={А1, В1, С1} и N2={А2, В2, С2}не коллинеарны. Два уравнения вида (1)

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

совместно определяют прямую в томи только в том случае, когда коэффициенты А1, В1, С1 одного из них не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2 другого.

3.6. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения Рассмотрим произвольную прямую. Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Указанные векторы называются направляющими именно потому, что любой из них, будучи задан, определяет направление прямой.

точку М0(x0; y0; z0) и имеющей данный направляющий вектор l ={m; n; p}.

Пусть М(x; y; z) – произвольная ("текущая") точка прямой (рис. 2). Вектор М 0М ={x- x0; y- y0; z- z0} коллинеарен направляющему вектору l ={m; n; p}. Следовательно, координаты вектора М 0М пропорциональны координатам вектора l :

Этим соотношениям удовлетворяют координаты каждой точки М(x; y; z), лежащей на рассматриваемой прямой, напротив, если точка М(x; y; z) не лежит на прямой, то ее координаты не удовлетворяют соотношениям (1), так как в этом случае векторы М 0М и l не коллинеарны и координаты их не пропорциональны. Таким образом, уравнения (1) представляют собой уравнения прямой, проходящей, через точку М0(x0; y0; z0) в направлении вектора l ={m; n; p}.

Уравнения (1) прямой мы будем называть каноническими. Пусть некоторая прямая задана двумя общими уравнениями:

Покажем, как составить канонические уравнения этой прямой. Обозначим плоскости, определяемые данными уравнениями, через П1 и П2, нормальные векторы этих плоскостей через N1 и N 2. Для составления канонических уравнений данной прямой, нужно:

1) найти произвольную ее точку М0(x0; y0; z0); для этого следует задать численное значение одной из неизвестных координат x0, y0, z0 и подставить его вместо соответствующей переменной в уравнения (2); после этого две остальные координаты определяются из уравнений (2) путем их совместного решения;

2) найти направляющий вектор l ={m; n; p}. Так как данная прямая определена пересечением плоскостей через П1 и П2, то она перпендикулярна к каждому из векторов N1 и N 2. Поэтому в качестве вектора l можно взять любой вектор, перпендикулярный к

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

векторам N1 и N 2, например, их векторное произведение: l = N1 N 2. Поскольку координаты векторов N1 и N 2 известны: N1 ={А1; В1; С1}, N 2 ={А2; В2; С2}, для вычисления координат вектора l ={m; n; p} достаточно применить формулу для нахождения координат векторного произведения.

Пример. Найти канонические уравнения прямой Решение. Полагая, например, х0=1, находим из данной системы: y0=6, z0=4; таким образом, мы уже знаем одну точку прямой: М0(1; 6; 4). Теперь найдем направляющий вектор. Имеем: N1 ={2;1;-1}, N 2 ={3;-1;2}; отсюда l = N1 N 2 ={1; -7; -5}, т.е. m=1, n=-7, p=-5.

Каноническое уравнение данной прямой мы получим, подставляя найденные значения x0, y0, z0, m, n, p в равенства (1):

Пусть даны канонические уравнения какой-нибудь прямой. Обозначим буквой t каждое из парных отношений, которые участвуют в этих канонических уравнениях; мы получим:

Это – параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М0(x0; y0; z0) в направлении вектора l ={m; n; p}. В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр, x, y, z – как функции от t; при изменении t величины x, y, z меняются так, что точка М(x; y; z) движется по данной прямой. Параметрические уравнения прямой удобно применять в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Пример. Даны прямая x 2 = y 3 = z 4 и плоскость x+2y+z-6=0. Найти точку их пересечения.

Решение. Задача сводится к определению координат точки x, y, z из трех данных уравнений (мы имеем два уравнения прямой и одно уравнение плоскости). Полагая x2 y3 z = t, отсюда x=2+t, y=3+2t, z=4+t. Подставляя эти выражения в левую часть уравнения данной плоскости получим (2+t)+2(3+2t)+(4+t)-6=0.

Решая это уравнение, находим: t=-1, следовательно, координаты искомой точки будут x=1, y=1, z=3.

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3.7. Некоторые дополнительные предложения и примеры 1) В аналитической геометрии часто требуется составить уравнение прямой, зная две ее точки. Решим эту задачу в общем виде, считая данными две произвольные точки:

М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2).

Для решения задачи достаточно заметить, что в качестве направляющего вектора рассматриваемой прямой можно взять вектор l = М 1М 2 ; отсюда m=x2 – x1; n=y2 – y1; p=z2 – z1, окончательно получим Это и есть искомые (канонические) уравнения прямой, проходящей через две данные точки: М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2).

2) Решим также в общем виде задачу: составить уравнение плоскости, проходящей через три различные точки: М1(x1; y1; z1); М2(x2; y2; z2); М3(x3; y3; z3).

Обозначим через x, y, z координаты произвольной точки М пространства и рассмотрим три вектора:

Точка М лежит на плоскости М1М2М3 в том и только в том случае, когда векторы М 1М, М 1М 2 и М 1М 3 компланарны; условием компланарности этих трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения или равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из их координат.

В нашем случае имеем:

Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2, М3, так как ему удовлетворяют координаты x, y, z точки М в том и только в том случае, когда она лежит в этой плоскости.

3) Угол между двумя прямыми.

Углом между двумя прямыми в пространстве называют любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными из одной точки, параллельно данным прямым. Если прямые параллельны, то угол между ними считается равным нулю или.

Пусть даны уравнения двух прямых:

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Обозначим угол между прямыми через, а угол между их направляющими векторами l 1 и l 2 – через. При этом Так как = или = –, то cos=±cos. Следовательно, или в координатной форме:

Формулы (2) и (3) являются формулами для определения угла между двумя прямыми в пространстве.

4) Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Для того, чтобы две прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы их направляющие векторы l 1 и l 2 были коллинеарны, т.е. соответствующие координаты векторов l 1 и l 2 были пропорциональны:

Условие (4) является условием параллельности двух прямых в пространстве.

Для того, чтобы прямые были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы направляющие их векторы l 1 и l 2 были ортогональными.

Условие ортогональности двух векторов l 1 и l 2 :

является условием перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(3; 2; -1) перпендикулярно двум прямым:

Составим уравнение любой прямой, проходящей через точку М:

Используя условие перпендикулярности искомой прямой к прямой а1, а затем к прямой а2 получим 2m-3n+5p=

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Из этой однородной структуры линейных уравнений с неизвестными m, n, p найдем отношения неизвестных:

Подставляя в уравнения прямой (6) вместо m, n, p пропорциональные им величины, получим искомые уравнения:

5) Углом между прямой и плоскостью называют любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Пусть дано уравнение плоскости П:

Ax+By+Cz+D= и уравнение прямой l :

N ={А; В; С}- нормальный вектор плоскости l ={m; n; p} – направляющий вектор прямой Обозначим угол между векторами N и l через, а угол между плоскостью П и прямой l – через. Найдем косинус угла между векторами N и l :

При этом sin=±cos. Следовательно, или, в координатной форме, Для того, чтобы плоскость П была параллельна прямой l необходимо и достаточно, чтобы векторы N ={А; В; С} и l ={m; n; p} были ортогональны между собой.

Условие ортогональности двух векторов N и l может быть записано как равенство нулю их скалярного произведения:

или в координатной форме:

Для того, чтобы прямая l была перпендикулярна плоскости П, необходимо и достаточно, чтобы вектор l был коллинеарен вектору N.

Условие коллинеарности двух векторов N и l может быть записано как равенство нулю их векторного произведения:

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

или Пример. Составить уравнение плоскости П, проходящей через точку М(-1; 2; -3) параллельно двум прямым:

Напишем уравнение связки плоскостей с центром в точке М:

Используем условие параллельности плоскости П и прямой l 1, а затем к прямой l2:

3А+4В+5С= Из этой системы однородных уравнений определим отношения коэффициентов А, В, С и затем в уравнение (4) вместо коэффициентов А, В, С подставим пропорциональные им величины:

11(x+1)+13(y-2)+17(z+3)=0;

11x+13y+17z+36=0.

6) Пучок плоскостей.

Через всякую прямую в пространстве можно провести бесчисленное множество плоскостей. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей.

Пусть дано уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей:

Составим уравнение:

где – произвольное число. При любом это уравнение первой степени, кроме того, при любом это уравнение определяет плоскость, проходящую через прямую (1).

Действительно, если точка М0 принадлежит прямой (1), то:

и следовательно A1x0+B1y0+C1z0+D1+(A2x0+B2y0+C2z0+D2)=0.

Уравнение (2) называется уравнением пучка плоскостей, проходящих через прямую (1).

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Уравнение (2) дает любую плоскость пучка, за исключением плоскости A2x+B2y+C2z+D2=0.

Пример. Найти проекцию прямой На плоскость 3x-4y+z-8=0 (П).

Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую ( l ) или (2+)x+(5-3)y+(4-2)z+(3-1)= Определим, используя условие перпендикулярности плоскостей: 3(2+)-4(5Откуда = 22. Подставив значение в уравнение (3), найдем уравнение проектирующей плоскости:

Уравнения искомой проекции можно записать как уравнения линии пересечения плоскостей:

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 3x+ 2y+ 5z+ 6= 0 параллельно прямой x 1 y 5 z +1.

Решение. Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через первую из данных прямых:

Преобразуем это уравнение: (3+)x+(2+4)y+(5+3)z+(6+4)=0. Используя условие параллельности прямой и плоскости получим: 3(3+)+2(2+4)-3(5+3)=0. Отсюда =1.

Подставляя найденное значение в уравнение (*), найдем: 4x+6y+8z+10=0 или 2x+3y+4z+5=0.

Пример. Найти расстояние от точки М(1; 1; 1) до прямой Решение. Проведем через М плоскость П, перпендикулярную к данной прямой и найдем точку Р, где эта плоскость пересекает данную прямую. Искомое расстояние от точки М до данной прямой будет равно расстоянию от точки М до точки Р.

Искомое уравнение плоскости П можно записать в виде:

A(x-1) + B(y-1) + C(z-1)=0;

эта плоскость должна быть перпендикулярна к данной прямой. По условию перпендикулярности прямой к плоскости имеем:

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Выбирая здесь множитель пропорциональности для простоты равным единице, находим А=2, В=5, С=-2. Итак, плоскость имеет уравнение 2(x-1)+5(y-1)-2(z-1)=0 или 2x+5y-2z=0.

Теперь мы должны найти точку Р, в которой эта плоскость пересекается с данной прямой. Для этого нужно уравнение данной прямой решить совместно с найденным уравнением плоскости П.

Отсюда x=2t+11, y=5t+18, z=4-2t. Подставляя эти уравнения в уравнение найденной плоскости 2x+5y-2z-5=0 получим:

Координаты точки Р будут равны x=5, y=3, z=10.

Искомое расстояние d от точки М до данной прямой, равное расстоянию между точками М и Р, найдется по формуле нахождения расстояния между двумя точками Пример. Определить условие, при котором две прямые лежат на одной плоскости.

Решение. Пусть l 1 ={m1; n1; p1} и l 2 ={m2; n2; p2} направляющие векторы данных прямых, М1(a1; b1; c1) и М2(a2; b2; c2) – точки, принадлежащие прямым l 1 и l 2. Вектор М 1М 2 ={a2-a1; b2-b1; c2-c1} и направляющие векторы прямых l 1 и l 2 компланарны в том и только в том случае, когда прямые l 1 и l 2 лежат в одной плоскости. Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

М 1М 2 l 1 l 2 =0, что в координатной записи может быть представлено в следующем виде:

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4.1. Основные понятия о множествах, логическая символика Множество – есть исходное, начальное (а следовательно, и неопределяемое) понятие. Можно лишь сказать, что множество есть собрание объектов, при этом не будем уточнять, какие собрания объектов являются множествами. Объекты этого собрания называются элементами множества.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если множество состоит из n элементов, то это обозначают следующим образом:

Часто приходится сталкиваться с другими, неконечными, или, как принято говорить, бесконечными множествами. Таковы, например, множества всех натуральных чисел, всех нечетных чисел и т.д.

К числу конечных множеств мы будем относить и пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента; число элементов пустого множества есть нуль.

Такое множество обозначим символом.

Если элемент x принадлежит множеству А, то пишут xA.

Запись x A, или xA означает, что x не есть элемент множества А.

Запись (или ) означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В или, другими словами, множество А есть подмножество множеств В (или множество А включено в множество В).

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов: запись А=В.

Если А есть подмножество В, причем множество А не совпадает с множеством В, Если множество А не принадлежит множеству В, то пишут, A B. Знаки,,,, называются знаками включения.

разберем некоторые понятия математической логики. Прежде всего, что такое математическая логика?

Математическая логика- наука о законах логического вывода.

В математической логике под предложением понимают то же самое, что вкладывают в смысл этого термина в грамматике любого естественного языка.

Высказыванием называется предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно. Истинному высказыванию будем ставить в соответствие единицу, а ложному - логический ноль (1;0).

Пример: (10=15)=0 (высказывание “10 равно 15” ложно) (5>-1)=1 (высказывание “5 больше -1” истинно).

Будем обозначать высказывания буквами какого-либо алфавита:

X, Y,L,.........; А, В,......

Высказывательная форма – это выражение, содержащее одну или несколько переменных и становящееся высказыванием при подстановке чисел или элементов каких-либо множеств вместо своих переменных.

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

При записи математических рассуждений будем использовать следующую экономную символику, описывающую различные алгебраические операции (операции алгебры логики).

а) Отрицание (негоция) : X; X -“не X”. Отрицанием высказывания X называется X или X (“не X” или “неверно, что X”), которое означает высказывание, утверждающее, что X ложно.

б) Коньюнкцией (логическим произведением) высказываний X, Y называется высказывание X Y (“X и Y”), истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания, X и Y, истинны.

в) Дизьюнкция (логическое сложение) высказываний X, Y- XY (“X или Y”) – высказывание истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний X и Y.

г) Импликация (логическое следствие) X Y (“если X, то Y “ или “из X следует, что Y”) есть высказывание, ложное тогда и только тогда, когда X истинно, Y ложно. В остальных случаях X Y истинно.

X Y означает: X является достаточным условием для Y. Y является необходимым условием для X.

д) Эквивалентность двух высказываний X и Y (“X тогда и только тогда, когда Y”) – есть высказывание X Y, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания X и Yсразу истинны или ложны.

X Y – “X” является необходимым и достаточным условием “Y”.

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Иногда удобно представить некоторые словесные выражения посредством символов.

– каково бы ни было, для любого (квантор всеобщности).

– существует (квантор существования).

(x A ):

-для любого x выполняется предложение.

Символом “:” будем обозначать следующую группу слов: “такое, что”, “удовлетворяет условию”, выполняется”.

Отрицание высказываний, содержащих кванторы Отрицание под знаком или превращает его, соответственно, в знак или и переносится на свойство, стоящее после двоеточия.

Пример 1.

Пусть имеем высказывание: (x): x (для любого x из множества А имеет место неравенство x ). Если высказываемое утверждение не имеет место, то следовательно, неравенство x выполняется не для каждого x, значит существует элемент x, для которого неравенство x не выполняется.

Пример 2.

Используя закон Моргана, построить отрицание предела функции f(x) в точке x=а.

Сформулируем определение предела функции f(x) в точке x=a по Коши с использованием введенной символики Здесь на языке алгебры записано: вещественное число a называется пределом функции f(x) в точке x=a, если для любого вещественного положительного числа E найдется вещественное положительное число, что для всех значений аргумента x из области определения таких, что, если выполнены неравенства 0 < x a <, будет следовать неравенство f ( x) b <.

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств, называется объединением множества А и В. Указанное определение легко распространяется на случай трех и более множеств Пример 1.

А{1,2,3,4,5}, АВ={1,2,3,4,5}.

Множество АВ по определению не содержит неразличимых элементов и, следовательно, элементы 1 и2, входящие в множества А и В, входят в АВ один раз.

Пересечение АВ множеств А и В есть множество элементов, принадлежащих и А и В.

Пример 2.

А{1,2,3,4,5}; В{1,2} АВ={1,2} Два множества А и В называются непересекающимися, если АВ=0.

Разностью множеств А и В называется совокупность тех элементов А, которые не содержатся в В.

Пример 3.

А={1,2,3,4,5}, В={1,2} А\В={3,4,5}.

Взаимно однозначное соответствие и эквивалентность множеств Если каждому элементу множества А сопоставлен единственный элемент множества В и при этом всякий элемент множества В сопоставляется одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие.

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Множества, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными. Это записывается следующим образом : А~В. Eсли два множества эквивалентны, то говорят, что они равномощны, или имеют одну и ту же мощность.

Пусть имеются два множества А и В и пусть аА, bB. Совокупность всевозможных упорядоченных пар (а,b) составляет новое множество, называемое прямым произведением А и В. Прямое произведение обозначается АВ.

4.1.2.Вещественные числа и их изображение на числовой оси Основным понятием математики являются числа натурального ряда:

N 12,3,..., n,... которые появились в результате счета предметов.

Целые числа: z...3,2,1,01,2,3,...

Рациональным числом называется число, представимое в виде отношения двух цеp лых чисел (q0; p и q- целые числа).

Отметим при этом, что одно и то же рациональное число представимо в виде отношения различных целых чисел = = =.... Множество всех рациональных чисел будем обозначать через Q, тогда В курсе элементарной математики вводились определения операций сложения и умножения рациональных чисел, давалось правило сравнения этих чисел, доказывались простейшие свойства.

Поэтому перечислим без доказательства основные свойства рациональных чисел, вытекающие из соответствующих свойств целых чисел.

Главную роль среди свойств играют три правила:

правило сравнения;

правило образования суммы;

правило образования произведения.

1. Правило сравнения: любые два рациональные числа а и b связаны одним и только одним из трех знаков >, b, то b< а.

Правило сравнения рациональных чисел формулируется так: два неотрицательных рациональных числа a = 1 и b = 2 связаны тем же знаком, что и два целых числа p 1q 2 и p 2 q 1 ; два неположительных рациональных числа а и b связаны тем же знаком, что и два неотрицательных числа |b| и |а| ; если а – неотрицательное, а b – отрицательное число, то а>b.

Правило сравнения обладает следующим свойством:

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1. (из а>b и b>с) а>с (свойство транзитивности знака >);

(из а=b и b=с) а=с (свойство транзитивности знака =).

II. Правило образования сумм.

Существует правило, посредством которого любым двум рациональным числам а и b ставится в соответствие определенное рациональное число с, называемое их суммой и обозначаемое символом с=а+b.

Правило образования суммы рациональных чисел a = 1 и b = 2 определяется формулой 1 + 2 = 1 2. Операция нахождения суммы называется сложением.

Правило сложения рациональных чисел обладает следующими свойствами:

2. а+b=b+а (коммутативность, или переместительное свойство);

3.(а+b)+c=а+(b+c) (ассоциативность, или сочетательное свойство);

5. (a Q) a 1 Q : a + a 1 = 0 ; число а1 называется противоположным для числа а.

III. Правило образования произведения.

Существует правило, посредством которого любым двум рациональным числам а и b ставится в соответствие определенное рациональное число с, называемое их произведение и обозначаемое символом с=аb.

Правило образования произведения рациональных чисел a = 1 и b = 2 определяется формулой 1 2 = 1 2.

Операция нахождения произведения называется умножением. Свойства правила умножения рациональных чисел:

6. (a, b Q ) : [ab = ba ] (переместительное свойство);

7. (a, b, c Q): (ab)c = a ( bc) (сочетательное свойство);

8. ( 1 Q): (a Q)[a 1 = a ] (особая роль единицы);

9. ( a 0 a Q )( a 1 Q ): a a 1 = 1 рациональное число а- a называется обратным рациональному числу а.

Свойство, связывающие правила сложения и умножения:

10. (a, b, c Q) (a + b)c = ac + bc (распределительное свойство умножения относительно суммы).

Свойства, связывающие знак > со знаком сложения и умножения:

Последнее свойство, называемое аксиомой Архимеда, формулируется следующим образом.

Каково бы ни было рациональное число а, можно число 1 повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма превзойдет а.

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Из вышеперечисленных основных свойств рациональных чисел могут быть получены как следствие все другие алгебраические свойства этих чисел, относящиеся как к арифметическим действиям, так и к сочетанию равенств и неравенств.

Пусть имеется числовая ось, т.е. прямая, на которой выбраны определенная точка О- начало отсчета, масштабный отрезок ОЕ, длина которого считается равной единице, и положительное направление (обычно направление слева-направо) Попытаемся поставить в соответствие каждой точке М числовой оси некоторое число, выражающее длину отрезка ОМ. Это число считается положительным, если точка М лежит справа от точки О и отрицательным – в противоположном случае.

Очевидно, что каждому рациональному числу соответствует на числовой оси определенная точка.

В самом деле, из курса элементарной математики известно, как построить отрезок, длина которого составляет часть длины масштабного отрезка ОЕ (nN). Тогда легко построить отрезок АВ, длина которого относится к длине масштабного отрезка ОЕ, как Отложив отрезок АВ вправо (влево) от точки О, получим точку М1(М2),соответствующую рациональному числу + Однако, из курса элементарной математики известно, что наряду с соизмеримыми отрезками (отрезками, отношение длин которых выражается рациональным числом) существуют и несоизмеримые отрезки (примером несоизмеримых отрезков могут служить сторона и высота равностороннего треугольника). Это позволяет утверждать, что не все точки числовой оси соответствуют рациональным числам.

Естественно, возникает потребность расширить область рациональных чисел и ввести в рассмотрение такие числа, которые соответствовали бы всем точкам числовой оси и позволяли бы при помощи масштабного отрезка ОЕ измерить любой отрезок.

Опишем процесс, позволяющий измерить любой отрезок ОМ числовой оси. Будет показано, что этот процесс позволяет также поставить в соответствие любой точке М этой оси некоторую вполне определенную бесконечную десятичную дробь.

Пусть М – любая точка числовой оси. Для определенности предположим, что т.М лежит правее О (см. рис.)

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Будем измерять отрезок ОМ при помощи масштабного отрезка ОЕ.

Выясним, сколько раз целый отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ. Могут представиться два случая.

1). Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ целое число 0 раз с некоторым остатком NM, меньшим ОЕ (см.рис.). В этом случае целое число 0 есть приближенный результат измерения по недостатку с точностью до единицы.

2). Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ целое число 0 +1 раз без остатка. В этом случае 0 также представляет собой приближенный результат измерения по недостатку с точностью до единицы, ибо отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ 0 раз с остатком NM, равным ОЕ (на практике в этом случае процесс измерения считают законченным и полагают длину отрезка ОМ равной 0+1 ).

Выясним теперь, сколько раз часть масштабного отрезка ОЕ укладывается в остатке NM. Опять могут представиться два случая.

часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке NM целое число 1 раз с некоторым остатчасти отрезка ОЕ (см. рис.). В этом случае рациональное число 0, ком РМ, меньшим 1 есть результат измерения по недостатку с точностью до.

часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке NM целое число 0+1 раз без остатка. В этом случае рациональное число 0, 1 также есть результат измерения по недостатку с РМ, равным части отрезка ОЕ.

Продолжая неограниченно указанные рассуждения, мы получим бесконечную совокупность рациональных чисел каждое из которых представляет собой результат измерения отрезка ОМ по недостатку с соответствующей степенью точности. Вместе с тем каждое из чисел (1) может быть получено посредством обрывания на соответствующем знаке бесконечной десятичной дроби.

Если точка М лежит левее точки О, то, применяя аналогичные рассуждения, получим, что все числа (1) и бесконечная десятичная дробь будут иметь отрицательный знак.

Таким образом, мы установили, что посредством описанного измерения отрезка ОМ любой точке М числовой оси можно поставить в соответствие вполне определенную бесконечную десятичную дробь.

Итак, описанный выше процесс приводит нас к рассмотрению чисел, представимых в виде бесконечных десятичных дробей.

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Вместе с тем каждая бесконечная десятичная дробь (2) полностью характеризуется бесконечной совокупностью (1) рациональных чисел, приближающих эту дробь.

Рассмотрим множество всевозможных бесконечных десятичных дробей. Числа, представимые этими дробями, будем называть вещественными. Множество всех вещественных чисел будем обозначать через R.

Данное вещественное число мы будем считать положительным (отрицательным), если оно представимо в виде положительной (отрицательной) бесконечной десятичной дроби.

В состав множества вещественных чисел входят и все рациональные числа, ибо все они представимы в виде бесконечных десятичных дробей. Так, рациональному числу ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь 0,4999...9..., рациональному числу – бесконечная десятичная дробь 1,333...3....

Вещественные числа, не являющиеся рациональными, называют иррациональными.

На случай привольных вещественных чисел переносятся три правила и все основные свойства рациональных чисел, перечисленные выше. Тем самым для вещественных чисел обосновываются все правила элементарной алгебры, относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств и неравенств.

4.1.3. Ограниченные множества вещественных чисел Рассмотрим произвольное множество вещественных чисел, которое будем обозначать символом {x}. Будем предполагать, что множество {x} содержит хотя бы одно число (непустое множество). Обозначение: {x}.

Определение 1. Множество вещественных чисел {x} называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число М (число m), что каждый элемент x множества удовлетворяет неравенству x М. (x m).

Класс ограниченных сверху (снизу) множеств вещественных чисел будем обозначать символом m ( m ), так что запись {x} m ({x} m ) означает, что множество вещественных чисел {x} является ограниченным сверху (снизу).

На языке алгебры логики данные определения формулируются следующим образом:

Числа М и m называются, соответственно, верхней гранью (нижней гранью) множества {x}.

Замечание. Если вещественное число М является верхней гранью множества {x}, то и любое вещественное число М1, большее М, также является верхней гранью этого

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

множества. Отсюда вытекает, что любое ограниченное сверху множество {x} имеет бесконечно много верхних граней.

Аналогичные выводы можно сделать и в отношении нижних граней ограниченного снизу множества {x}.

Пример 1. Множество всех целых отрицательных чисел -1,-2,-3,... ограничено сверху. В качестве верхней грани этого множества можно взять любое вещественное число М, удовлетворяющее неравенству М-1.

Пример 2. Множество всех положительных вещественных чисел ограничено снизу. В качестве нижней грани этого множества можно взять любое неположительное вещественное число.

Определение 2. Точной верхней гранью ограниченного сверху множества {x} называется наименьшая из всех верхних граней этого множества. Точная верхняя грань {x} обозначается символом x = sup{x} (sup – первые три буквы латинского слова supremum (“супремум”), которое переводится как “наивысшее”).

Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества {x} называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом x = inf {x} (от латинского слова infimum (“инфимум”), которое переводится как “наинизшее”).

Определение 2 формулируют чаще и по-другому:

Число x (число x ) называется точной верхней (точной нижней) гранью ограниченного сверху (снизу) множества {x}, если выполнены следующие два требования:

1) каждый элемент x{x} удовлетворяет неравенству x x( x x) ;

2) каково бы ни было вещественное число x1 меньшее x (большее x ), найдется хотя бы один элемент x 0 {x}, удовлетворяющий неравенству x 0 > x1 x 0 < x1.

В этом определении требование 1 означает, что число x (число x ) является одной из верхних (нижних) граней, а требование 2 показывает, что эта грань является наименьшей (наибольшей) и уменьшена (увеличена) быть не может.

x = sup{x} x = sup{x} x = inf {x} x = inf {x} Пример 3. У множества всех целых отрицательных чисел -1,-2,-3,... существует точная верхняя грань x= -1, которая принадлежит этому множеству (т.е. является наименьшим элементом этого множества).

У множества всех положительных вещественных чисел существует точная нижняя грань- число 0, причем это число не принадлежит указанному множеству.

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.

Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число x( x), которое является точной верхней (точной нижней) гранью этого множества.

Доказательство данной теоремы можно найти в некоторых работах. 4.1.4. Некоторые конкретные множества вещественных чисел Пусть имеется произвольное множество вещественных чисел {x}, будем говорить, что точка x1 множества{x} отлична от точки x2 этого множества, если вещественные числа x1 и x2 не равны друг другу. Если при этом справедливо неравенство x1>x2 (x10.

6. Числовая (бесконечная) прямая- символическая запись (-, + ) См., например: Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – М.: Наука, 1971 (и последующие издания), ч.1.

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

8. Открытая полупрямая – (а, +) или (-, b).

Определение 1. Пусть каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,3,...,n поставлено в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число xn (при этом может оказаться, что разным натуральным числам n ставятся в соответствие и одинаковые числа). Тогда множество занумерованных вещественных чисел называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Каждое отдельное число xn называется элементом или членом последовательности.

Сокращенно последовательность с элементами xn будем обозначать{ xn }.

Арифметические операции над числовыми последовательностями вводятся следующим образом.

Пусть даны две произвольные последовательности {xn} и {yn}.

Суммой, разностью, произведением и частным этих последовательностей называются соответственно последовательности:

{xn+yn}, {xn-yn}, {xn yn}, {xn / yn}.

При определении частного предполагается, что либо все yn от 0, либо все yn отличны от нуля начиная с некоторого номера. Тогда частное {xn / yn} определяется с этого номера.

4.2.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Определение 1. Последовательность xn называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое вещественное число M (число m), что все элементы последовательности {xn} удовлетворяют неравенству Число M(m) называется верхней (нижней) гранью последовательности {xn}.

Замечание 1. Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность {xn} имеет бесчисленное множество верхних (нижних) граней.

Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной ({xn}m), если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если существуют такие вещественные числа M и m, что для каждого элемента последовательности xn выполняются неравенства m xn M Замечание 2. Пусть {xn}m, и M и m- ее верхняя инижняя грани, тогда, обозначая A = max M, m, имеем | xn | A для всех элементов последовательности { xn }. НаобоВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ рот, если для всех элементов последовательности { xn } выполнено неравенство | xn | A, то справедливы неравенства -А xn А. Таким образом, определение ограниченной последовательности можно сформулировать следующим образом:

Определение 3. Последовательность { xn } называется неограниченной ({xn}m), если для любого положительного числа А найдется элемент xn последовательности {xn}, удовлетворяющий неравенству | xn |>А.

1. Последовательность {n3}=1, 8, 27,... ограничена снизу (нижняя грань- любое действительное число m 1) и неограничена сверху.

2.{1, -n}=1, -1, 1, -2, 1, -3,...,1, -n,... ограничена сверху и не ограничена снизу, т.е. неограниченна, т.к. для любого положительного действительного числа А, среди элементов последовательности с четными номерами найдутся такие, для которых выполняется неравенство | xn |>А.

Определение 4. Последовательность { xn } называется бесконечно большой последовательностью ({xn}Б), если для любого положительного числа А (сколь бы большим оно не было) можно указать такой номер n0 (в силу зависимости n0 от А иногда пишут n0= n0 (А)), что при n n0 все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству | xn |>А В заштрихованной на рис. области содержится лишь конечное число членов последовательности {xn}.

Если ({xn}Б)( {xn}m). Действительно, Следовательно, найдется по крайней мере один такой элемент xn, что | xn |>А. Обратное, вообще говоря, неверно. Неограниченная последовательность {1, – n} не является бесконечно большой, т.к. при А>1 для всех элементов xn с нечетными номерами неравенство | xn |>А не имеет места.

Определение 5. Последовательность {xn} называется бесконечно малой последовательностью ({xn}), если для любого положительного числа (сколь бы малым мы его ни взяли) можно указать номер n0 такой, что при n n0 все элементы xn этой последовательности удовлетворяли неравенству | xn |< Так как номер n0, вообще говоря, зависит от, то часто пишут n0=n0() В незаштрихованной на рисунке области останется лишь конечное число элементов последовательности {xn}.

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4.2.3. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 2. Бесконечно малая последовательность ограниченна.

Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Замечание 1. Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть последовательностью любого типа и даже может не иметь смысла:

1. Если, например, n = 1/n и n = 1/n, то все элементы последовательности {n / n } равны 1.

2. Если n = 1/n, n = 1/n2, то {n / n }Б.

3. Если n = 1/n2, n = 1/n, то {n / n }.

При определении частного двух последовательностей предполагается, что у последовательности {n } все элементы n отличны от нуля, начиная с некоторого номера.

Теорема 4. Если все элементы бесконечно малой последовательности {n} равны одному и тому же числу с, то с= Теорема 5. Если последовательность {xn} является бесконечно большой, то начиная с некоторого номера n определена последовательность {1/xn}, которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности {n} не равны 0, то последовательность {1/n} является бесконечно большой.

4.2.4. Сходящиеся последовательности. Основные определения Определение 1. Последовательность {xn} называется сходящейся ({xn}с), если существует такое действительное число а, что последовательность {xn – а} является бесконечно малой последовательностью Замечание. Исходя из этого определения следует, что всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом 0.

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Определение 2.

Очевидно, что неравенство | xn – а|0 следует выбрать номер n0 такой, чтобы выполнялось условие 1/n Определение 4. Последовательность {xn} называется фундаментальной ({xn}), если для любого положительного числа найдется номер n0 такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n n0, и для всех натуральных чисел р(р=1, 2,... ), все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству x n + p x n < строго монотонными.

Замечание. Отметим, что неубывающие и невозрастающие последовательности ограничены сверху и снизу соответственно своими первыми элементами. Поэтому неубывающая (невозрастающая) последовательность будет ограничена с двух сторон, если она ограничена сверху (снизу).

Введем следующие обозначения:

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

{xn} – невозрастающая последовательность {xn}, {xn} – неубывающая последовательность {xn}, {xn} – возрастающая последовательность{xn}, {xn} – убывающая последовательность {xn}.

Пример 1. Последовательность {n,n}=1,1,2,2,...n,n,... неубывающая монотонная. Снизу она ограничена первым элементом – “1”, а сверху не ограничена.

эта последовательность ограничена своим первым элементом, а сверху, например, своим пределом- единицей, т.е. эта последовательность ограничена.

Теперь рассмотрим основную теорему о сходимости монотонной последовательности.

Теорема. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.

В силу замечания, сформулированного выше, неубывающие (невозрастающие), ограниченные сверху (снизу) последовательности являются ограниченными с обеих сторон. Поэтому последнюю теорему можно сформулировать так:

Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности есть необходимое и достаточное условие ее сходимости.

В самом деле, если монотонная последовательность ограничена, то в силу доказанной теоремы она сходится.

Если же монотонная последовательность (да и, вообще, любая последовательность) сходится, то она ограничена (см. теорему 2).

Замечание 2. Если последовательность сходится, то она может и не быть монотонной. Так, последовательность {x n } = ( 1) n / n сходится и имеет пределом “0”. Однако эта последовательность не является монотонной, т.к. знаки элементов этой последовательности чередуются.

Рассмотрим пример последовательности, для нахождения предела которой будет использована вышеуказанная теорема (п. 2.7.) о пределе монотонной последовательности.

Пусть дана последовательность т.е. каждый элемент этой последовательности x n = (1 + 1 n ). Покажем, что эта последовательность возрастает и ограn ничена сверху.

Используя формулу бинома Ньютона

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

получим или или Аналогично этому 2) все члены последовательности {x n } строго положительны;

3) xn+1 по сравнению с хn содержит лишний положительный член.

Поэтому хnb, то предел а этой последовательности может все же оказаться равным b.

Так, члены последовательности {x n } = {1 n} строго положительны (1 n > 0), а предел этой последовательности равен нулю.

Pages: |

| 2 |

Главная >> Методички

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«Минобрнауки России Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет в г. Кирово-Чепецке Кафедра экономики и управления УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой экономики и управления, канд. экон. наук О. С. Агалакова Подпись 06 февраля 2013 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС учебной дисциплины Логистика для специальности 080507.65 Менеджмент организации Кирово-Чепецк Учебно-методический комплекс...»

«Министерство транспорта и связи Украины Государственный департамент по вопросам связи и информатизации Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова Кафедра экономики предприятий и корпоративного управления В год 75-летия ОНАС им А.С. Попова Н.Е. Потапова-Синько ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ХОЗЯЙСТВЕННЫХ РЕШЕНИЙ Одесса 2006 1 УДК 338.27 План НМР на 2006 г. Потапова–Синько Н.Е. Экономическое обоснование хозяйственных решений. Учебное пособие для студентов экономических специальностей....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ И.А. Зикратов, В.Ю. Петров ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В УПРАВЛЕНИИ Учебное пособие Санкт-Петербург 2010 Зикратов И.А., Петров В.Ю. Информационные технологии в управлении. Учебное пособие. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. -64 с. Учебное пособие преследует цель - практическое усвоение студентами лекционного материала по...»

«Л.Н. Краснова, М.Ю. Гинзбург ОрГаНизация, НОрМирОваНие и ОпЛата труда на преДприятиях нефтянОй и газОвОй прОМышленнОсти Допущено УМО по образованию в области производственного менеджмента в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 080502 Экономика и управление на предприятии (по отраслям) УДК 331(075.8) ББК 65.24я73 К78 Рецензенты: А.Д. Галеев, начальник отдела инвестиций НГДУ Азнакаевскнефть ОАО Татнефть, канд. экон. наук,...»

«Министерство образования Московской области государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Московской области Всероссийский аграрный колледж заочного образования (ГБОУ СПО МО ВАКЗО) РАССМОТРЕНО УТВЕРЖДАЮ На заседании цикловой (предметной) комиссии Заместитель директора по учебной работе _ _Н.В.Ильина _дисциплин Протокол № от _ _20 г. Председатель _ _ 20 г. Методические указания и контрольные задания по изучению дисциплины МЕНЕДЖМЕНТ студентами...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ С. М. КИРОВА КАФЕДРА ТЕХНОЛОГИИ ДЕРЕВООБРАБАТЫВАЮЩИХ ПРОИЗВОДСТВ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ИЗДЕЛИЙ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по специальности 250403...»

«ПРОГРАММА дня мастер-классов по дипломатии и международным отношениям 29 мая 2013 г. 12-00 – 18-00 Красноярской международной Модели ООН СФУ-2013 и других глобальных организаций Центр геополитики и международных отношений УМС СФУ Кафедра глобалистики и геополитики ГИ СФУ Кафедра всеобщей истории ГИ СФУ Кафедра истории России ГИ СФУ Совет молодых ученых СФУ Утверждено Секретариатом Красноярской Модели ООН 19.05.2013 Сибирский федеральный университет Никуленков Василий Валентинович Справки и...»

«DESIGNER'S PRINTING COMPANION by Heidi Tolliver-Nigro National Association for Printing Leadership Paramus, New Jersey Хайди Толивер-Нигро ТЕХНОЛОГИИ ПЕЧАТИ Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области полиграфии и книжного дела в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности издательское дело и редактирование. Москва 2006 Книга Технологии печати - пятое издание, подго товленное ПРИНТ-МЕДИА центром при поддержке...»

«Институт инноватики ii.spb.ru Перечень учебных пособий и других публикаций по направлению Инноватика Материал структурирован по вузам, ведущим подготовку или лицензирующимся по инноватике. Полный список таких вузов имеется на сайте: www.ii.spb.ru. Если Вас заинтересовала та или иная публикация, обращайтесь по электронной почте в секретариат УМС. Если Вы сочтете целесообразным внести исправления и дополнения в приведенные материалы, направьте их по электронной почте. Адрес электронной почты:...»

«Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный университет Н.В. Волженина ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ В ПРОЦЕССЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 1 ББК 74.580(2Рос)+37.02 В 673 Рецензент доктор педагогических наук, профессор В.А. Стародубцев В 673 Волженина, Н.В. Организация самостоятельной работы студентов в процессе дистанционного обучения : учебное пособие / Н.В. Волженина. – Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2008. – с. ISBN Рассматриваются теоретические...»

«ВОЕННО-МЕДИЦИНСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ в учреждении образования Белорусский государственный медицинский университет Кафедра военно-полевой терапии УТВЕРЖДАЮ Начальник кафедры военно-полевой терапии доктор медицинских наук, профессор полковник м/с А.А.Бова 5 марта 2010 г. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для проведения практического занятия по дисциплине Медицина экстремальных ситуаций Тема: Основные патологические синдромы острых отравлений: клиника, диагностика, принципы лечения Учебная группа: студенты БГМУ...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра Мосты и транспортные тоннели ОРГАНИЗАЦИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА МОСТА Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов специальности 270201 Мосты и транспортные тоннели Казань 2009 УДК 624.19/8+624.21/8 Организация строительства моста. Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов специальности 270201 / Казанский государственный архитектурно-строительный...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра теплоэнергетики АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ЧАСТНОГО ЖИЛОГО ДОМА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению курсового проекта для студентов специальности 270109 Казань 2010 УДК 696/697 ББК 38.762.2;38.763 К57 К57 Автономные системы частного жилого дома : Методические указания к выполнению курсового проекта для студентов специальности 270109 / Сост. А.В.Кодылев. Казань: КазГАСУ, 2010.- Зб.с. Печатается по...»

«Составитель А.Б. Мельников (кафедра экономики, бухгалтерского учета и аудита Краснодарского университета МВД России). Рецензенты: А.Б. Цукахин, кандидат экономических наук, (Краснодарский университет МВД России); Программа для сдачи конкурсного вступительного экзамена в адъюнктуру по Экономической теории / сост. А.Б. Мельников. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2013. – 33 с. Программа для сдачи конкурсного вступительного экзамена в адъюнктуру по Экономической теории, определяет...»

«ВЛАДИМИРСКОЕ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВЛАДИМИРСКОЙ ОБЛАСТИ МУРОМСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ ВКР ПРОЕКТНОГО ХАРАКТЕРА МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ 2011 Одобрено НМС Муромского педагогического колледжа Составители: Тимошина А.А., Иванцова Т.И., Алексеева О.Г., Балуева И.М. Метод проектов - способ достижения дидактической цели через детальную разработку проблемы (технологию), которая должна завершиться вполне реальным, осязаемым...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ С. Э. Батищева, Э. Д. Каданэр, П. М. Симонов КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ Допущено методическим советом Пермского государственного национального исследовательского университета в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению...»

«Министерство образования, науки, молодежи и спорта Украины Севастопольский национальный технический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ для выполнения контрольных работ по дисциплине Организация и методика экономического анализа для студентов направления подготовки 6.030509 Учет и аудит заочной формы обучения Севастополь Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК [657:005.52](07) Методические указания и задания для выполнения...»

«1 Иствуду Атватеру – душевно щедрому человеку, гуманисту и мудрецу SIXTH EDITION л о Psychology for Living Adjustment, Growth, and Behavior Today Eastwood Atwater Karen Grover Duffy ИСТВУД ATBATEP KAPEH ДАФФИ ПСИХОЛОГИЯ ДЛЯ ЖИЗНИ УПОРЯДОЧЕНИЕ ОБРАЗА МЫСЛЕЙ, РАЗВИТИЕ И ПОВЕДЕНИЕ ЧЕЛОВЕКА НАШИХ ДНЕЙ Рекомендовано Редакционно-издательским Советом Российской Академии образования в качестве учебного пособия для студентов высших и средних учебных заведений непсихологических специальностей УДК...»

«Выбор логистического посредника записка для преподавателя Учебная дисциплина Основы логистики Логистика Логистика снабжения Тема Выбор логистического посредника: критерии и причины выбора Решение: учебное видео Санкт-Петербург 2011 к.э.н. Лукин М.А. Выбор логистического посредника. Записка для преподавателя. – СПб.: Решение: учебное видео, 2011. – 40 c. Научные рецензенты: к.э.н. Левяков О.М., к.э.н., доц. Малевич Ю.В. Записка предназначена для преподавателей дисциплин Основы логистики и...»

«1 СОДЕРЖАНИЕ 1. Пояснительная записка 4 1.1. Характеристика спорта лиц с поражением ОДА 6 1.2. Особенности отдельных дисциплин в спорте лиц с поражением ОДА 13 1.3. Требования к лицам, проходящим обучение 18 1.4. Структура системы многолетней подготовки 21 2. Учебный план 25 2.1. Продолжительность и объемы реализации Программ 25 2.2. Соотношение объемов тренировочного процесса 30 2.3. Навыки в других видах спорта 32 3. Методическая часть 3.1. Содержание и методика работы по предметным областям,...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)