«СТРАХОВАЯ МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Москва, 2007 Евгений Самаров esamarov +7 (926) 294 – 67 – 44 К читателю История развития страховой математики неразрывно связана с ...»

10. Заемщик 01.01.07. взял в банке кредит на сумму $ 500000 сроком на год с годовой процентной ставкой 20%. Погашение кредита (вместе с процентными деньгами) должно осуществляться ежемесячно в равных долях. Банк застраховал риск непогашения кредита. Предел ответственности страховщика – 70%, страховой тариф – 4%. Страховая премия уплачивается в рассрочку при помощи ежемесячных страховых взносов, комиссия за рассрочку не взимается.

Составить график страховых взносов.

Ответ: График страховых взносов приведен в Таблице.

11. Объект, стоимостью 1 млн. у. е., застрахован на условиях сострахования четырьмя страховщиками, доли которых равны 400, 200,100 и 50 тысяч у. е.

соответственно. Ущерб, возникший в результате страхового события, составил 600 тысяч у. е. Найти страховое возмещение, выплачиваемое каждым из страховщиков, если применяется система пропорциональной ответственности.

Ответ: 320 тыс. у. е.,160 тыс. у. е.,80 тыс. у. е.,40 тыс. у. е.

12. Страхователь застраховал объект, стоимостью 900000 у.е., у двух страховщиков на суммы 400000 у.е., и 600000 у.е. соответственно. В результате наЕвгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – 44 Евгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – ступления страхового события объект был уничтожен полностью. Найти страховое возмещение, выплачиваемое каждым из страховщиков.

Ответ: 360000 у.е., 540000 у.е.

13. По договору квотного перестрахования перестраховщик принимает на свою ответственность 40% страховой суммы по каждому договору страхования имущества предприятий, но не более 5 млн. у.е. Цедент заключил три договора страхования имущества на суммы 11, 12 и 13 млн. у.е. соответственно. Определить участие цедента и цессионария в покрытии рисков.

Ответ. Цедент покрывает 4,4 ( млн.у.е.), 4,8 ( млн.у.е.), 5 ( млн.у.е.), цессионарий покрывает 5,6 ( млн.у.е.), 7,2 ( млн.у.е.), 7 ( млн.у.е.).

14. Приоритет цедента установлен в размере 20 тыс. у.е. Эксцедент составляет 5 линий. Лимит ответственности цессионария – 80 тыс. у.е. Найти размер ответственности цессионария в договорах страхования на суммы: а) 50 тыс.

у.е., б) 100 тыс. у.е, в) 150 тыс. у.е., и определить требуется ли ретроцессия?

Ответ: а) 40 тыс. у.е., ретроцессия не требуется; б) 80 тыс. у.е., ретроцессия не требуется; в) 80 тыс. у.е., в ретроцессию нужно передать 40 тыс. у.е..

15. Приоритет цедента 1 млн. долл. Лимит ответственности цессионария – 4 линии. Лимит ответственности ретроцессионария – 6 линий (сверх покрытия цессионария). Найти распределение ответственности в процентах между цедентом, цессионарием и ретроцессионарием по договору страхования со страховой суммой 10 млн. долл.

Ответ: 10%, 40%, 50%.

16. По договору перестрахования эксцедента убытка приоритет цедента предусмотрен в размере 4 млн. рублей, а лимит перестраховочного покрытия цессионария – 3 млн. рублей. Цедент в результате наступления страхового события выплатил страхователю страховое возмещение в сумме 6 млн. рублей.

Найти сумму возмещения убытков цессионарием цеденту.

Ответ: 2 млн. рублей.

Евгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – 44 Евгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – 17. По условиям договора о перестраховании эксцедента убыточности перестраховщик обязан произвести страховую выплату цеденту в случае, если выплаты страховщика по возмещению ущерба превысят за год уровень в 100%.

Лимит ответственности перестраховщика – 115%. За год страховщик собрал страховую премию в объеме 50 млн. долларов, а выплатил страховое возмещение в объеме 58 млн. долларов. Какую сумму выплатит перестраховщик цеденту?

Ответ: 5 млн. долларов.

18. Автомобиль, стоимостью 18000 у.е., страхуется по системе каско. Вероятность наступления страхового события 3%. Найти рисковую премию.

19. Страховая стоимость объекта 100 млн. рублей. Вероятность повреждения объекта от одной опасности 2%, от другой опасности – 1%. Опасности независимы друг от друга. Найти:

рисковую премию, в случае, если объект страхуется от наступления хотя бы одной из опасностей;

рисковую премию, в случае, если объект страхуется от одновременного наступления обеих опасностей.

Ответ: 1) 2980000 рублей, 2) 20000 рублей.

20. Вероятность наступления страхового события 0,02. Размер ущерба, возникающего в случае, если страховое событие произошло, имеет распределение Найти рисковую премию.

Евгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – 44 Евгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – 21. Вероятность наступления страхового события 0,02. Размер ущерба, возникающего в случае, если страховое событие произошло, распределен равномерно на отрезке 0, 40000 ( у.е.). Найти рисковую премию.

Ответ: 400 у.е.

22. Вероятность наступления страхового события 0,02. Размер ущерба, возникающего в случае, если страховое событие произошло, распределен равномерно на отрезке 0, 40000 ( у.е.). Лимит ответственности страховщика 30000 у.е.. Найти рисковую премию.

Ответ: 375 у.е.

23. Вероятность наступления страхового события 0,01. Размер ущерба, возникающего в случае, если страховое событие произошло, имеет показательное распределение с параметром. = 0,001 Лимит ответственности страховщика 1000 у.е. Найти рисковую премию.

Ответ: 6,32 ( у.е.) 24. Найти вероятность для женщины 45 лет умереть в течение года.

Ответ: 0,0049.

25. Найти вероятность для женщины 50 лет дожить до 70 лет.

Ответ: 0,7132.

26. Найти округленную среднюю продолжительность оставшейся жизни для женщины в возрасте 70 лет.

Ответ: 10,94 года.

27. Женщина (страхователь) в возрасте 50 лет, родившаяся 31 декабря, заключила со страховщиком 31 декабря 2006 года страховой договор на дожитие сроком на 5 полных лет со страховой суммой 200000 рублей. По условиям договора страховая премия вносится в рассрочку при помощи одинаковых страховых взносов, осуществляемых 1-го января каждого года в период действия договора. За пользование рентными суммами страховщик начисляет на них процентные деньги с годовой процентной ставкой 6%. В случае смерти страхоЕвгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – 44 Евгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – вателя в период действия договора страховая сумма не выплачивается, а выгодоприобретателю выплачивается сумма накопленных к этому моменту страховых платежей (без начисленных процентных денег). В случае дожития страхователя до указанного в договоре срока выгодоприобретателю выплачивается страховая сумма. Найти величину страхового взноса, если при начислении процентов используется:

Ответ: 1) 32 259,19 рублей; 2) 31 827,63 рублей.

28. Страховая компания планирует заключить 9000 договоров страхования имущества. Вероятность наступления страхового случая 0,04. Средняя страховая сумма 450000 рублей. Среднее страховое возмещение при наступлении страхового события 150000 рублей. Данных о разбросе возможных страховых возмещений нет. Возможные страховые возмещения не должны превысить собранных страховых премий с вероятностью 0,95. Доля нагрузки в структуре страхового тарифа 35%. Рассчитать страховой тариф, пользуясь первой методикой Росстрахнадзора.

Ответ: 1,83 рублей.

29. Страховая компания планирует заключить 8000 договоров страхования граждан от несчастных случаев. Вероятность наступления страхового случая 0,04. Средняя страховая сумма 20000 рублей. Среднее страховое возмещение при наступлении страхового события 8000 рублей. Средний разброс возможных страховых возмещений 4000 рублей. Возможные страховые возмещения не должны превысить собранных страховых премий с вероятностью 0,95. Доля нагрузки в структуре страхового тарифа 35%. Рассчитать страховой тариф, пользуясь первой методикой Росстрахнадзора.

Ответ: 2,65 рублей.

Евгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – 44 Евгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – 30. Страховая компания проводит оба вида страхования, описанные в задачах 28 и 29. Рассчитать страховые тарифы, пользуясь первой методикой Росстрахнадзора.

Ответ: 1,71 рублей для страхования имущества, 2,74 рублей для страхования от несчастных случаев.

30. Рассчитать с помощью второй методики Росстрахнадзора страховой тариф на 2007 год по данным страховой статистики, приведенным в следующей Таблице.

Ответ: 4,98 рубля.

31. 2500 женщин–страхователей в возрасте 55 лет, родившихся 31 декабря, заключили 31 декабря со страховщиком страховой договор на дожитие сроком на 1 год со страховой суммой 80000 рублей. В случае смерти страхователя в период действия договора страховая сумма не выплачивается, а выгодоприобретателю выплачивается рисковая премия (без начисленных процентных денег). При дожитии страхователя до 31 декабря следующего года выгодоприобретателю выплачивается страховая сумма. Найти нетто-премию, воспользовавшись нормальным приближением для схемы Бернулли, если уровень устойчивости = 0,97.

Ответ: 1203,28 рублей.

Евгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – 44 Евгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – 32. Страховая компания заключила 300 одинаковых страховых договоров, каждый из которых предусматривает выплату страховой суммы 50000 в случае наступления страхового события. Вероятность наступления страхового события 0,001. Найти нетто-премию, воспользовавшись Пуассоновским приближением для схемы Бернулли, если уровень устойчивости = 0,97.

Ответ: 500 рублей.

Евгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – 44 Евгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – Баланова Т.А., Алехина Е.С. Сборник задач по страхованию. – М.: Проспект, 2004.

Бойков А.В. Страхование и актуарные расчеты. – М.: РОХОС, 2004.

Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.:

Наука, 1983.

Бурроу К. Основы страховой статистики. – М.: Анкил, 1992.

Гвозденко А.А. Основы страхования. – М.: Финансы и статистика, 2003.

Захаров В.К., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Теория вероятностей. – М.:

Наука, 1983.

Касимов Ю.Ф. Введение в актуарную математику (страхования жизни и пенсионных схем). – М.: Анкил, 2001.

Корнилов И.А. Основы страховой математики.– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. – М.: Дело, 10. Распоряжение Федеральной службы РФ по надзору за страховой деятельностью от 8 июля 1993 г. № 02-03-36.

11. Рябикин В.И. Актуарные расчеты. – М.: Финстатинформ, 1996.

12. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. – М.: МГУ, 2002.

13. Фалин Г.И, Фалин А.И. Теория риска для актуариев в задачах. – М.: МГУ, 14. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – СПб.: Лань, 2006.

15. Четыркин Е.М. Актуарные расчеты в негосударственном пенсионном страховании. – М.: Дело, 1999.

16. Шахов В.В. Страхование. – М.: ЮНИТИ, 2001.

17. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: МЦМНО, 2004.

Евгений Самаров www.samarov.ru [email protected] +7 (926) 294 – 67 – 44 К читателю

1 Системы страхового возмещения ущерба

1.1 Принцип страхового возмещения ущерба

1.2 Возмещение ущерба по системе первого риска

1.3 Система пропорционального возмещения ущерба в случае неполного страхования...... 1.4 Система возмещения ущерба, предусматривающая франшизу

1.5 Страхование предпринимательского риска по системе предельной ответственности.... 1.6 Сострахование

1.7 Двойное (множественное) страхование

2 Взаиморасчеты Сторон в договорах о перестраховании

2.1 Основные определения и термины

2.2 Типы договоров о перестраховании

2.3 Пропорциональная система ответственности перестраховщика

2.3.1 Квотный договор

2.3.2 Договор о перестраховании эксцедента суммы (эксцедентный договор)................ 2.3.3 Квотно-эксцедентный договор

2.4 Непропорциональная система ответственности перестраховщика

2.4.1 Договор о перестраховании эксцедента убытка

2.4.2 Договор о перестраховании эксцедента убыточности

3 Справочные сведения из теории вероятностей

3.1 Дискретное вероятностное пространство

3.2 Случайные величины и их числовые характеристики

3.3 Основные виды распределений дискретных случайных величин

3.4 Общее определение вероятностного пространства

3.5 Основные виды распределений непрерывных случайных величин

4 Принцип эквивалентности рисков и его применения

4.1 Структура единовременной страховой премии

4.2 Простейший вариант принципа эквивалентности рисков

4.3 Усиленный вариант принципа эквивалентности рисков

4.4 Страхование жизни

5 Расчет страховых тарифов

5.1 Методики расчета, рекомендованные Росстрахнадзором

5.1.1 Первая методика

5.1.2 Вторая методика

5.2 Применения схемы независимых испытаний Бернулли

6 Таблицы

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Список использованных источников