Министерство образования и науки Украины

ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

Л.В.Васильева, Е.А.Клеваник

ЭКОНОМЕТРИКА: НАЧАЛЬНЫЙ КУРС

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ.

СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

Учебное пособие

для студентов высших учебных заведений Утверджено на заседании Ученого совета ДГМА.

Протокол № 6 от 24.02.05г.

Краматорск 2005 ББК 60.6 УДК 330.43(075.8) В 19 Рецензенты:

А.А.Каргин, д.т.н., проф. (Донецкий национальный университет);

П.И.Сагайда, к.т.н, доц. государственная (Донбасская машиностроительная академия).

Васильева Л.В., Клеваник Е.А.

В19 Эконометрика: начальный курс. Построение линейных и нелинейных моделей. Системы одновременных уравнений: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений – Краматорск:

ДГМА, 2005. – 100 с.

ISBN 966-7851-87- Учебное пособие содержит теоретические сведения и практическую часть по следующим разделам эконометрики: линейная и нелинейная однофакторная регрессия, проверка адекватности модели, доверительный интервал и доверительная область для линейной и нелинейной регрессии, прогноз по выбранной модели; модель многофакторной регрессии, коллинеарность и мультиколлинеарность факторов; эластичность модели; системы одновременных уравнений, эндогенные и экзогенные переменные.

Пособие рассчитано на студентов и аспирантов экономических специальностей, а также будет полезно лицам, желающим самостоятельно освоить эконометрические расчеты.

ББК 60. © Васильева Л.В., Клеваник Е.А., ISBN 966-7851-87- © ДГМА,

СОДЕРЖАНИЕ

Часть 1

1 ПРЕДМЕТ ЭКОНОМЕТРИКИ……………………..………

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ЭКОНОМЕТРИКИ………

1.1 ЭТАПЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.....

1.2

КЛАССИФИКАЦИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ

1. МОДЕЛЕЙ………………………………………....

ИНФОРМАЦИОННАЯ БАЗА ЭКОНОМЕТРИКИ.

1.4

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИОННЫХ ДАННЫХ..

1.5 2 ОДНОФАКТОРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ...….........

3 ПОДБОР ПАРАМЕТРОВ ПРЯМОЙ РЕГРЕССИИ

ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК)............. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ………..… 3.1 СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ………...… 3.2

4 СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ. СВЕДЕНИЯ ИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ…………………...

НУЛЕВАЯ И КОНКУРИРУЮЩАЯ ГИПОТЕЗЫ....

ОШИБКИ 1 И 2 РОДА

СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ..............….............

НАБЛЮДАЕМЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КРИТЕРИЯ...........

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ

КРИТЕРИЙ ПРИНЯТИЯ ГИПОТЕЗЫ.........…….....

5 ПРОВЕРКА ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ НА

КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ………….…

ПРОВЕРКА МОДЕЛИ НА АДЕКВАТНОСТЬ С

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ

6 ПРОГНОЗ НА ОСНОВАНИИ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

ПОНЯТИЕ О ДОВЕРИТЕЛЬНОМ ИНТЕРВАЛЕ…

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ПОЛУШИРИНЫ

ВИДЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ…..…

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

9 ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ

ПОНЯТИЕ МНОГОФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ И

10. СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ......……….................

АНАЛИЗ ФАКТОРОВ НА

10.

ПОСЛЕДСТВИЯ

10.

СПОСОБЫ УСТРАНЕНИЯ

10. НАХОЖДЕНИЕ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ......

ПРОГНОЗ НА ОСНОВАНИИ ЛИНЕЙНОЙ

10.

11 ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛАСТИЧНОСТИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ

КОЭФФИЦИЕНТ ЭЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ

11.

КОЭФФИЦИЕНТ ЭЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ

11.

МНОГОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ

Часть 2

ВВЕДЕНИЕ

1 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОМ

НАСТРОЙКА ПАКЕТА АНАЛИЗА……………… ВВОД ДАННЫХ

ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ РАССЕИВАНИЯ

НАХОЖДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА

НАХОЖДЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЧИСЛОВЫХ

НАХОЖДЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ

РЕГРЕССИИ

НАХОЖДЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ

2 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ..

ЗАДАНИЕ №3 (1). ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ ЗАДАНИЕ №3 (2). ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНОЙ ОДНОФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ…

ЗАДАНИЕ №3 (3). ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ

ЛИНЕЙНОЙ ДВУХФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ……

Часть 3

1 ВЫБОР ВАРИАНТА.........…………

2 ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 2

ЗАДАНИЕ 3

4 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

ЛИТЕРАТУРА

1 ПРЕДМЕТ ЭКОНОМЕТРИКИ

Потребность в способах статистического анализа данных в экономической практике очень большая. Для успешного функционирования в условиях жесткой конкуренции предприятия, банки, страховые компании испытывают потребность в анализе имеющейся информации и получении обоснованных выводов. Анализ такой информации осуществляется с помощью методов, объединенных в дисциплину «Эконометрика».

';

Буквальный перевод слова «эконометрика» означает «измерение экономики».

Эконометрика – это наука, которая изучает количественные закономерности и взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математико-статистических методов и моделей. Т.е. эконометрика восстанавливает неизвестные экономико-математические зависимости по статистическим данным и рассматривает возможность использования этих моделей в экономических исследованиях.

Модель – это искусственное воссоздание некоторого экономического процесса для исследований. В эконометрии под моделью подразумевают математическую модель, т.е. описание экономического процесса с помощью математических формул.

Эконометрические модели количественно описывают связь между входными факторами экономической системы X и результирующим показателем (откликом) Y плюс влияние случайной компоненты.

По модели получают прогноз.

Прогноз – это расчет неизвестного показателя по заданным факторам на основе модели.

1.1 Основные задачи эконометрики Эконометрика должна решать пять основных задач:

1 Выбор конкретного вида функции для некоторого экономического процесса. Например, зависимость между доходом и расходом можно описать так: y = 1 x + 0.

2 Сбор и подготовка экономической информации. Важно выбрать правильные обозначения для переменных и правильные единицы измерения. Например, если речь идет об изменении дохода с течением времени, то функция будет иметь вид y = f(t), где y – доход, t – время. Если речь идет о национальном доходе, то в качестве единиц измерения принимаем: для y – млн. грн., для t – год. Если речь идет о предприятии, то для y – грн., для t – месяц.

3 Оценка на основании имеющихся статистических данных значений параметров модели.

4 Проверка модели на адекватность, оценка качества выбранной модели, ее простоты, точности описания данных.

5 Экономический анализ модели.

1.2 Этапы эконометрического анализа Чтобы провести эконометрический анализ, нужно:

статистическим данным в соответствии с набором факторов.

2 Провести оценку неизвестных параметров модели.

3 Проверить модель на адекватность.

4 Использовать модель в экономических прогнозах и исследованиях.

1.3 Классификация эконометрических моделей 1 Однофакторные y = f (x).

b) Нелинейные:

1) сводящиеся к линейным;

2) существенно нелинейные.

2 Многофакторные y = f ( x1, x2,..., x p ).

1.4 Информационная база эконометрики Решение задач эконометрики проводится на базе статистических данных. Статистические данные – это данные, собранные на реальных экономических объектах.

В эконометрике статистические данные можно подразделить на 2 типа: динамические (временные) и вариационные ряды.

Временные ряды – это последовательность наблюдений за одним и тем же процессом или явлением в различные промежутки времени. Например, данные о динамике уровня инфляции за определенный период.

Вариационные ряды – последовательность наблюдений по какому-либо экономическому показателю для разных однотипных объектов. Все замеры производятся в одно и то же время.

Значения вариационного ряда располагают в порядке возрастания.

1.5 Обработка информационных данных Совокупность данных динамических и вариационных рядов обрабатывается по правилам, разработанным в математической статистике.

Генеральная совокупность – все возможные реализации интересующего нас показателя. На практике наблюдаем случайно выбранные значения этого показателя (выборка). По генеральной совокупности можно получить точные значения параметров, по выборке – приближенные, или оценки.

Объем выборки n – суммарное количество наблюдений.

Объемы выборок могут быть небольшими (n10), большими (n100) и очень большими (n104). На практике чаще всего приходится иметь дело с большими и очень большими выборками, поэтому расчет проводится с помощью компьютера.

Во всех случаях всю совокупность выборочных данных xi (i=1…n) стараются охарактеризовать некоторыми усредненными параметрами, которые учитывают особенности выборки. По выборкам производится расчет основных статистических характеристик:

1 Среднее значение x = xi.

Дисперсии характеризуют, как сильно рассеяны значения выборки относительно среднего значения:

D(X) большая Среднеквадратическое отклонение x = Var (x) или стандартное отклонение.

Эта величина характеризует отклонение выборочных значений в среднем от x.

2 ОДНОФАКТОРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Изучение зависимостей экономических показателей начинают со случая двух переменных – X и Y: Y = f (X). Этот метод наиболее прост и может быть представлен графически.

функциональная зависимость между фактором X и откликом Y, и если существует, то определить формулу связи.

Для анализа данные представляют в виде таблицы:

По таблице строится корреляционное поле (диаграмма рассеивания).

Корреляционным полем называют систему точек (xi,yi), (i = 1, …, n), изображенную на координатной плоскости XOY (рис.1).

Точка с координатами ( x, y ) называется центром рассеяния.

По виду корреляционного поля выдвигается предположение, является ли зависимость между y и x линейной или нелинейной.

Значения x (большие или малые) еще не дают характеристику того, есть ли связь между х и у. На рис.2, 3, показаны ситуации, когда x, y малы, но в случае рис. зависимости вида y = f(x) нет, в случае рис.3 зависимость есть, и она линейная, в случае рис.4 есть явно нелинейная зависимость.

Поэтому вводится еще одна статистика – коэффициент корреляции. Вначале считается ковариация х, у – cov(x,y) (совместная вариация):

Ковариация обладает тем свойством, что для случаев рис. и рис.4 равна 0, а для случая рис.3 не равна 0, и тем больше по модулю, чем ближе корреляционное поле к прямой.

Если корреляционное поле начинает размываться (рис.5), ковариация уменьшается.

Для удобства работы ковариацию делят на произведение x, y и называют коэффициентом корреляции. Обозначают rxy.

Коэффициент корреляции между переменными х и у вычисляется по формуле Коэффициент корреляции является показателем плотности линейной взаимосвязи.

Свойства коэффициента корреляции:

2 Если rxy >0, то зависимость между фактором х и y прямая, т.е. с ростом х показатель y также возрастает.

3 Если rxy 0, то относительное изменение показателя у происходит медленнее, чем изменение фактора. Если b всегда).

Если rxy > 0, то b1 > 0, угол острый (рис.8), связь между х и у – прямая, т.е. с ростом х возрастает у.

Если rxy< 0, то b1< 0, тупой, связь между х и у обратная (рис.9).

4 СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ.

СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Статистическая гипотеза – это предположение либо о виде распределения случайной величины, либо о значении числовой характеристики случайной величины.

Например:

1 Выдвигается гипотеза: случайные отклонения еi выборочных значений yi от расчетных значений yi = b0 + b1 xi распределены по нормальному закону. Это гипотеза о виде распределения.

2 Гипотеза: две выборочные дисперсии D1 = 12 и D2 = равны между собой, т.е.

числовых характеристиках.

4.1 Нулевая и конкурирующая гипотезы Гипотеза, выдвинутая первой, называется нулевой и обозначается Н0.

Например, Н0: b1 = 0 означает, что у(х) = b0, т.е. между y и x нет зависимости.

Гипотеза, противоположная гипотезе Н0, называется конкурирующей, или альтернативной, и обозначается Н1.

При проверке выполнения гипотез возникают две ошибки.

Ошибка 1 рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность отвергнуть правильную гипотезу обозначают и называют уровнем значимости гипотезы. Обычно принимают = 0,01 0,05.

Например: = 0,05 означает, что в 5 случаях из 100 будет отвергнута правильная гипотеза.

Величина = (1–) называется уровнем доверия.

неправильная гипотеза.

4.3 Статистические критерии проверки нулевой гипотезы сконструированная случайная величина.

Например, для проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий используют критерий Фишера.

Критерий Фишера – это специально сконструированная случайная величина, равная отношению двух дисперсий:

График плотности распределения вероятности этой случайной величины приведен на рис.10.

При этом важную роль играет понятие числа степеней свободы.

Число степеней свободы – это разница между объемом выборки, по которой вычисляется выборочная численная характеристика, и числом связей, наложенных на выборочные значения.

Пример. Имеется выборка объема n: x1, x2,... xn.

По ней вычисляется среднее значение x = xi. Эта величина имеет n степеней свободы.

Рассмотрим выборочную дисперсию Выборочные значения xi можно изменить (уменьшить или увеличить), причем так, что дисперсия не изменится, но на изменение значений xi наложена одна связь – это выборочное среднее x. Оно входит в формулу для вычисления дисперсии (8), и значит xi должно меняться так, чтобы x не изменялось дисперсия D имеет (n – 1) степеней свободы. Обычно выборочную дисперсию вычисляют по формуле Т.к. в критерий Фишера входит 2 дисперсии – D1 и D2 – и каждая имеет свою степень свободы k1 и k2, то критерий Фишера зависит от двух степеней свободы – k1 и k2.

Получаем функцию F (x, k1, k2).

При увеличении k1 и k2 распределение приближается к нормальному.

4.5 Наблюдаемые значения критерия Наблюдаемое значение критерия вычисляется по имеющимся данным. Предположим, что проверяется нулевая гипотеза Н0:

По выборкам находятся дисперсии D1 и D2 и соответствующие им степени свободы k1 и k2. Наблюдаемое значение критерия Фишера: Fнабл ( x, k1, k 2 ).

Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу Н0, необходимо знать наблюдаемое и критическое значения статистического критерия.

Критическое значение – заранее рассчитанное значение критерия с определенным уровнем значимости. Это значение определяется как абсцисса на графике плотности распределения с заданным уровнем значимости и степенями свободы k1 и k2.

Критическая точка имеет следующий смысл:

Приведем рисунок, поясняющий критическое значение критерия (рис.11).

На графике – это площадь заштрихованной области. Для критерия Фишера рассчитаны таблицы критических точек Fкр.

Каждому значению соответствует своя таблица. Например, для = 0,05 таблица имеет вид:

Эти таблицы приводятся в учебниках по математической статистике.

Принять или отвергнуть гипотезу Н0 можно, сравнив критическое и наблюдаемое значения критерия. Если наблюдаемое значение меньше критического, то гипотеза Н принимается. Если наблюдаемое значение больше критического, то гипотеза Н0 отвергается.

Для этого нужно знать уровень значимости. В экономике, как правило, принимают = 0,05. Если уменьшать уровень значимости, то возрастает вероятность совершить ошибку второго рода.

5 ПРОВЕРКА ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ НА

АДЕКВАТНОСТЬ

После того как была построена модель линейной регрессии y = b0 + b1x, необходимо проверить ее на адекватность, т.е.

соответствует ли построенная модель имеющимся статистическим данным.

Вначале рассмотрим вариацию (разброс) зависимого показателя Y относительно своего среднего значения. Отклонение равно yi y. Можно записать: yi yi + yi y, где yi = b0 + b1 xi – расчетные значения. Т.е. вариацию зависимого показателя Y вокруг своего среднего значения можно разделить на два слагаемых: yi y – вариация расчетных значений вокруг среднего; yi yi – вариация расчетных значений вокруг фактических.

Обозначим:

2 = ( yi y )2 – вариация, объясняемая регрессией, с числом степеней свободы k1 = 1;

= ( yi yi )2 – остатки, необъясненный разброс, с числом степеней свободы k2 = n 2 ;

y = ( yi y )2 – общая вариация с числом степеней свободы k3 = n 1.

Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии обычно используют коэффициент детерминации:

В числителе стоит сумма квадратов отклонений линии регрессии от фактических значений, в знаменателе – от среднего значения. Значит, чем меньше отклонение расчетных значений от фактических, тем меньше дробь и тем ближе значение коэффициента детерминации к 1. Поэтому считается, что чем ближе значение коэффициента детерминации к 1, тем лучше модель описывает статистические данные.

Обычно в экономике для вариационных рядов величина коэффициента детерминации не превышает 0,6…0,7. Считается, что общее качество такой модели хорошее. Ответ на вопрос об адекватности модели R 2 не даёт.

5.2 Проверка модели на адекватность с помощью Если рассматривается линейная зависимость у от фактора х вида y = b0 + b1 x, то могут встретиться ситуации, показанные на рис.12.

Проверка линейной регрессии на адекватность означает выяснение наличия зависимости у от х. В случае рис.12, г такой зависимости нет. Фактически это означает, что угловой коэффициент b1 = 0. В случае рис.12, а,б,в, b1 0.

Постановка задачи Выдвигаем гипотезу: Н0: (b1 = 0). Уравнение регрессии будет иметь вид y = b0 = y. Т.е. функциональной зависимости между x и y нет.

Для проверки этой гипотезы сравниваются между собой две дисперсии:

Т.е. вычисляем дисперсию остатков ei и дисперсию расчетных значений y i, взятых с регрессионной прямой (рис.13).

Вычисляем k1, k2 – количество степеней свободы для статистик D1 и D2. Число степеней свободы дисперсии D2 равно k2 = n – 2 (n – объем выборки).

Число степеней свободы статистики D1 для однофакторной регрессии всегда равно 1, т.к. прямая регрессии всегда обязана проходить через центр регрессии, для нее можно только слегка изменить угол наклона прямой.

представляет собой случайную величину, распределенную по закону Фишера со степенями свободы k1, k2:

Проанализируем, что дает отношение дисперсий в случае рис.12,г.

Так как yi берется с регрессионной прямой, которая в случае рис.12, г – горизонтальная, то yi = y, т.е. все слагаемые в D равны 0, и наблюдаемое значение критерия Фишера тоже равно В случае рис.12, в Fнабл. 0.

Переход от случая, когда можно признать Fнабл= 0 (а, следовательно, b1= 0, и зависимость у от х отсутствует), к случаю, когда следует признать Fнабл 0 (b1 0, т.е. есть зависимость у от х), производят, сравнивая Fнабл с теоретически вычисленным критическим значением для критерия Фишера Fкр (см. п. 4.6).

Рассчитывают точку Fкр при некотором уровне значимости гипотезы. Если Fнабл < Fкр, то делаем заключение, что b1 = 0, значит, у от х не зависит, следовательно, модель неадекватна.

Если же Fнабл > Fкр, то гипотеза Н0 отвергается, значит, b1 0, у зависит от х, следовательно, модель y = b0 + b1 x адекватна (с гарантией (1 – )*100%).

Наблюдаемое значение критерия Фишера можно записать через коэффициент детерминации:

Для многофакторной регрессии:

5.3 Статистическая значимость коэффициентов модели Найденные по МНК параметры модели b0 и b1 являются не точными, а случайными величинами. При изменении даже одной точки выборки получим другие коэффициенты b и b и т. д.

МНК гарантирует, что найденные с его помощью параметры:

- не смещенные. Это означает, что b0 и b1 случайны, так как найдены по выборке, но в среднем они такие, как если бы они были найдены по генеральной совокупности;

- эффективные. МНК обеспечивает быструю сходимость параметров модели к точным значениям, которые можно было бы рассчитать по генеральной совокупности;

- состоятельные. С увеличением объема выборки увеличивается точность рассчитанных параметров.

Так как b0 и b1 являются случайными величинами, то необходимо проверить их статистическую значимость. Это можно сделать с помощью специально сконструированной статистики, распределенной по закону Стьюдента.

Распределение Стьюдента T(x, k) возникает каждый раз, когда сравниваются два математических ожидания (два средних).

Распределение Стьюдента симметрично относительно начала координат (рис.14).

S=(1-)/ Число степеней свободы для критерия Стьюдента k = n – 2.

Рассчитывают для каждого коэффициента наблюдаемое значение t набл = i, для всех і = 0... p и сравнивают с критическим значением критерия t кр. Если t набл > t кр, то соответствующий коэффициент статистически значим. Если t набл < t кр, то соответствующий коэффициент статистически не значим (является статистическим “нулем”). В модель включаются только статистически значимые параметры.

Для рассматриваемой однофакторной регрессии:

5.4 Проверка статистической значимости коэффициента Коэффициент корреляции r xy, рассчитанный по выборке, сам является случайной величиной. Значит, необходимо проверить статистическую значимость коэффициента корреляции.

Эту проверку выполняют аналогично проверке статистической значимости параметров модели b0 и b1 с помощью критерия Стьюдента. Фактическое значение t – критерия Стьюдента определяется по формуле если выборка большая и rxy не близок к 0, либо по формуле Если t r > t kp (, n 2), то коэффициент корреляции rxy статистически значим.

6 ПРОГНОЗ НА ОСНОВАНИИ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Если построенная модель y = b0 + b1 x адекватна исходным статистическим данным, то по этой модели можно рассчитать прогноз в любой точке xпр из области прогнозов. Областью прогнозов называется отрезок прямой, заключенный между xmin и xmax (рис.15).

Такой прогноз y ( x пр ) = b 0 + b1 x пр называется точечным.

6.1 Понятие о доверительном интервале Если бы имелись сведения по всей генеральной совокупности (X), то можно было бы довольно точно найти статистические характеристики, например x *. Но, как правило, имеется выборка, в которой порядка десятка точек. По выборке рассчитывают выборочное среднее x.

Истинное значение x * может быть как больше, так и меньше выборочного x, т.е. точное значение x * попадает в некоторый интервал, центром которого является выборочное значение x.

Если задаться вероятностью (например: 0,9; 0,99; 0,95) попадания x * в интервал, то чем больше будет задана вероятность, тем шире будет получаться интервал. Если начать уменьшать, интервал будет сужаться.

Описанный интервал называется доверительным интервалом, а – коэффициентом доверия. Чаще всего на практике берут = 0,95. Это означает, что в 95% случаев точное значение параметра попадет в интервал.

Доверительный интервал – это интервал, в который с заданной вероятностью попадет истинное значение неизвестного параметра.

Коэффициент доверия – это вероятность, с которой доверительный интервал накроет неизвестный параметр.

6.2 Алгоритм нахождения полуширины доверительного По генеральной совокупности для конкретного х можно было бы довольно точно найти прогноз y ( x) = 0 + 1 x. По выборке строится линейная регрессия y = b0 + b1 x, и за y (x) принимают y (x), снятое с прямой регрессии.

Доверительный интервал, в который попадает неизвестное y (x) с некоторым коэффициентом доверия, в случае линейной регрессии оказывается симметричным относительно y (x) (рис.16). Поэтому достаточно найти полуширину доверительного интервала.

Полуширина доверительного интервала в точке прогноза xпр вычисляется по формуле где е – среднеквадратическое отклонение выборочных точек от линии регрессии e = ei2, здесь ei = yi yi ;

t – критическая точка распределения Стьюдента с числом степеней свободы k = n – 2;

n – объем выборки;

xпр – точка из области прогнозов.

Прогнозируемый доверительный интервал для любого х из области прогнозов записывается: ( y, y + ).

Совокупность доверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область. Для линейной однофакторной регрессии она симметрична относительно линии регрессии (рис.17). Наиболее узкое место доверительной области в точке ( x, y ).

Прогноз для произвольного х дает интервал, в который с вероятностью попадает неизвестное y (x). Т.е. прогноз при заданном х составит от y до y + с надежностью 100%.

Это прогноз с учетом доверительного интервала.

7 НЕЛИНЕЙНАЯ ОДНОФАКТОРНАЯ МОДЕЛЬ

Многие экономические процессы не могут быть адекватно описаны линейной зависимостью вида y = b0 + b1x.

Примером таких экономических процессов могут служить:

жизненный цикл товаров, процесс накопления капитала, маркетинговые усилия фирм и др.

Наиболее часто используются 5 нелинейных зависимостей, которые предпочтительней других зависимостей тем, что их удается линеаризовать (свести к линейным).

7.1 Виды нелинейных зависимостей 1 Степенная зависимость: y = Axb.

Кривые могут иметь вид, показанный на рис. 18, а и 18, б.

показатель y, если фактор х изменится на 1%.

моделей:

1 Линейная:

Так как коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от значения фактора х, то обычно рассчитывают средний показатель эластичности по формуле Для степенной модели коэффициент эластичности постоянный и равен показателю степени.

3 Экспоненциальная:

Так как коэффициенты эластичности представляют коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии:

Вид функции Производная Коэффициент эластичности Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит в тех случаях, когда для рассматриваемых признаков не имеет смысла определение изменения значений в процентах (например, если х – стаж работы, измеряемый в годах, или х – качество почвы, измеряемое в баллах).

11.2 Коэффициент эластичности для многомерных моделей Если показатель зависит от нескольких факторов, то, используя коэффициент эластичности, можно определить степень влияния каждого фактора на показатель.

y – формула для расчета коэффициента частной эластичности.

Коэффициент частной эластичности показывает, на сколько процентов изменится y при изменении фактора xi на 1% при прочих неизменных факторах.

Например: для моделирования зависимости между объемом выпущенной продукции y, трудозатратами x1 и объемом основных средств производства x2 используется функция Кобба-Дугласа y = Ax1 1 x 2. Так как эта функция степенная, то коэффициенты частной эластичности равны степени соответствующего фактора: