#18

Памяти В ЭТОМ ВЫПУСКЕ

Ю.Н.Макарычева

Компьютер на уроке

1—31 декабря 2007 г.

математики Л. Бурнос Формы и методы работы с применением информационных технологий

А. Гнатюк График гармонического колебания

Официальные документы Демоверсия ЕГЭ-2008....5– Экзамены С. Дворянинов Две дюжины задач для подготовки к ЕГЭ-2008

ВНИМАНИЕ, АНОНС!

Тема № 1: Математическая статистика Педагогическая общественность понесла тяжелую утраСтатистика – одна ту, 9 ноября 2007 г. на 86-м году жизни скончался известный из тем вероятностноученый, внесший большой вклад в развитие школьного мате- статистической линии матического образования, Юрий Николаевич Макарычев. курса математики, которая постепенно Юрий Николаевич принимал активное участие в совервходит в школу, вызывает шенствовании математического образования, начиная с ре- и большой интерес, и формы 60-х годов до наших дней. множество вопросов.

Ю.Н. Макарычев — автор многочисленных трудов по Учителя используют разные варианты проблемам преподавания математики. Он активно участвоосвоения новой темы, вал в разработке различных методических и дидактических ищут адекватные материалов, которые оказали существенную помощь учите- методические подходы лям математики в их работе. Важнейшим делом его жизни и решения. Любой опыт здесь значителен и было создание учебно-методических комплектов по алгебЭлектронный информационный спутник газеты «Математика»

полезен ре для 7–9-х классов. Он был неизменным руководителем авторского коллектива, подготовившего учебники алгебры Тема № 2: Софизмы для 7, 8 и 9-го классов под редакцией С.А. Теляковского, Рассуждение, в котором допущена автором учебников алгебры для 7, 8 и 9-го классов с углубошибка, в большинстве ленным изучением математики. случаев легко довести В педагогическую науку Юрий Николаевич пришел, хо- до получения явно рошо зная школьную практику. В течение 10 лет, в 1951– неверного вывода.

Получается видимость 1961 гг., он работал учителем математики в московской доказательства явной школе № 578. Диапазон его научных интересов был дос- нелепости, или так таточно широким. Он является автором книги «Система называемый софизм.

изучения элементарных функций в старших классах сред- Разобрать софизм – это значит указать ту ней школы», одним из авторов серии книг «Математика в ошибку, которая была начальной школе». Научные труды Юрия Николаевича по допущена в рассуждении праву получили высокую оценку, они отмечены премией и из-за которой получился К.Д. Ушинского Академии педагогических наук, знаком нелепый вывод «Отличник просвещения РСФСР». Под его руководством Начиная с № 1 читайте:

защитили кандидатские диссертации 14 соискателей, кото- Ю. Садовничий рые успешно трудятся на просторах нашей страны, в ближ- Решаем конкурсные задачи нем и дальнем зарубежье. В 9 лекциях будут разобраны все основные Ю.Н. Макарычев был участником Великой Отечественной темы, встречающиеся войны. С 1942 г. он защищал нашу Родину в рядах Советской на вступительных Армии. Проявленные им мужество и самоотверженность экзаменах в вузы отмечены правительственными наградами.

Е. Потоскуев Каждый, кому выпало счастье общаться с Юрием Рекомендации по изучению Николаевичем, помнит его как высоко интеллигентного, стереометрии скромного, приветливого и доброго человека. Светлая па- Серия методических мять о Юрии Николаевиче навсегда останется в сердцах статей, которые помогут учителю выстроить тех, кому посчастливилось общаться с ним.

систему преподавания стереометрии А. Абрамов, Т. Бурмистрова, Н. Миндюк, С. Теляковский // #18 (1—31 декабря 2007 г.)  электронный информационный спутник газеты «Математика»

Л. БурНоС, г. Королев, Московская обл.

Формы и методы работы с применением информационных технологий Постепенно в школьных кабинетах появляются ному экзамену по геометрии за курс 9-го класса. Это компьютеры, а также проекторы, позволяющие де- была вынужденная мера, так как весь год мы готовимонстрировать на экран все, что есть в компьютере. лись к сдаче экзамена по старым билетам, а в марте В моем кабинете мультимедийная установка поя- появились новые, и, чтобы ускорить процесс подговилась незадолго до Нового года, но за полгода я смог- товки, мы сделали так: каждый из сдающих этот экзала оценить резкое повышение эффективности уроков мен подготовил план ответа на вопросы 1–2 билетов с благодаря применению компьютерных технологий. помощью программы PowerPoint. Затем мы обсудили Расскажу о некоторых формах работы, которые мы все достоинства и недостатки, выполнили работу над Во-первых, это устный счет и устные упражнения, ученик мог сверить свою подготовку с тем, как должен способствующие активизации знаний, необходимых звучать билет на экзамене.

для дальнейшего изучения нового материала. Эти уп- А на последней консультации мы просмотрели все ражнения продумываются и набираются учителем на эти работы, еще раз повторив весь материал и отрабокомпьютере дома, а в классе остается только перене- тав речевое сопровождение. Что удивительно, но пясти их в школьный компьютер. Не секрет, что во время терым из 13 человек достался на экзамене тот билет, перемены часто не хватает времени, чтобы все необхо- презентацию которого он делал, поэтому ответы были димые материалы появились на доске. Теперь остает- блестящими. Эту работу мы разместили на сайте шкося только открыть нужный файл. лы (http://edu.of.ru/teresh13) и готовы предложить Во-вторых, и при первичном закреплении, и на ее всем нашим гостям. Получилось пособие «Экзамен этапе первичного контроля я предлагаю ученикам за- на 5», но не купленное в магазине, а придуманное и дания по новой теме и по их реакции сразу вижу сте- продуманное самими учениками.

пень усвоения нового материала. Эти виды работы мо- Во внеклассной работе применение современной гут применяться практически ежедневно. техники трудно переоценить. Все прекрасно понимают, Еще одна идея — это проверка домашнего задания. как непросто провести полноценный урок в предпраздЯ предлагаю кому-нибудь из учеников выполнить до- ничные дни или в последние дни четверти, когда учамашнюю работу или ее часть в форме презентации. щиеся мыслями уже на каникулах. Чтобы вернуть их На этапе проверки домашнего задания он показывает в класс, нужно провести какой-нибудь нестандартный, и озвучивает свое решение. Это не ежедневная проце- занимательный урок. Моим ребятам нравятся урокидура, так как достаточно трудоемка, но самые важные соревнования или уроки-сказки. И то и другое можно домашние работы или наиболее проблемные задания сделать с помощью компьютерных технологий.

можно так проверить, при этом происходит экономия К встрече Нового года — года Свиньи я подготовремени и выступающий ученик не «выпадает» из вила сказочный урок. Причем готовила я его для 5-го урока, пока готовит презентацию на доске. класса, но и 9-й, и 10-й классы с удовольствием соС пятиклассниками тему «Обыкновенные дроби» вершили путешествие по стране Математики, решая мы осваивали с помощью диска «Нескучная матема- задачи, связанные с хрюшками, и даже посмотрели тика с Мудрым Вороном. Учим дроби» из серии «1С — мультик «Новый год у трех поросят».

Образовательные коллекции». Общаясь с мультяшными воронятами, ребята не только наглядно представляют себе дроби, но и получают заряд положительных эмоций. Воронята делят сыр, наглядно показывая и основное свойство дроби, и правила сравнения дробей, и действия с ними. При помощи этого диска, практически устно, были отработаны навыки сокращения дробей, приведения дробей к новому знаменателю, сложение и вычитание обыкновенных дробей и смешанных чисел, задачи на части. И теперь, как только у ребят появляются затруднения, одно напоминание «Вспомни сыр» позволяет сразу исправить ошибки.

К этому же диску можно будет обратиться в 6-м классе при изучении рациональных чисел.

Большой интерес вызвало у ребят предложение сделать мультимедийное пособие для подготовки к устПодписка на газету «Математика» принимается по каталогам «Роспечать» (газеты, журналы) и «Вся пресса». Индекс подписки: // #18 (1—31 декабря 2007 г.) Это занятие было насколько увлекательно, на- тия. Это всевозможные интеллектуальные соревновастолько и заразно. К 23 февраля девятиклассники ния и игры, когда вопрос или задание проецируется проявили инициативу и сделали сказочный урок про на экран для всеобщего обозрения. В этом году широжизнь Пифагорика, Виетика и Тригонометрика. При- ко отмечался День славянской письменности и кульчем если я анимационные картинки скачивала из Ин- туры. Я сделала подарок десятиклассникам и в этот тернета, то ребята героев сделали сами, и меня потом день провела лингвистическую викторину «Словесная научили. Наградой юным аниматорам было восхище- перестрелка». Быстро, весело и занимательно эта викние и бурные и продолжительные аплодисменты одно- торина прошла именно благодаря применению мульклассников. Вот вам и положительные эмоции, кото- тимедийного проектора. А на дне открытых дверей рые лишними не бывают. школы родители увидели, услышали и даже поучастПомог мне компьютер и при повторении планимет- вовали в научно-практической конференции «Числа рии в 10-м классе. Начала стереометрии даются детям правят миром». Доклады готовили пятиклассники, а с большим трудом, и времени на повторение материа- техническую поддержку их выступлений выполнили ла 7–9-х классов практически не остается. Но хорошо, десятиклассники. И эти материалы можно найти на если к моменту, когда ребята научатся выделять в про- сайте школы.

странстве нужную плоскость, знания планиметрии не Все, о чем я рассказала, наработано только за ползабываются окончательно. Поэтому раньше я предла- года. Мы только осваиваем применение компьютергала ученикам задачи, которые просила решить раз- ных технологий, но интерес детей к новому для них ными способами. И полученные решения вывешива- виду деятельности очень высок. И хочется его поддерлись на стенд. Но далеко не все проявляли интерес к жать всеми силами. Литературы о применении новых чужим решениям. В этом году я разбила класс на бри- информационных технологий на уроках пока немногады и каждую бригаду попросила оформить решение го, поэтому, может быть, найдутся учителя, желаюодной и той же задачи различными способами, каждой щие на страницах газеты «Математика» рассказать о своим, в виде презентации. Получилось 6 способов ре- том, какие формы работы они используют. Давайте шения одной задачи. Двое ребят из класса вызвались делиться опытом!

свести все презентации в один проект, который мы назвали «История одной задачи» и отправили на фесДомашнее задание тиваль творческих работ «Портфолио». В следующем году планируем повторить это с другой задачей. Расскажите о том, как вы используете информационные Интереснее проходят с применением мультимедий- технологии на уроке математики.

ной установки и внеклассные творческие мероприяА. ГНАТюк, График гармонического колебания Большая нагрузка на уроках их активность на протяжении всего к обучению. Важно и то, что мaтематики заставляет задуматься урока. Работа в компьютерном компьютер позволяет организовать над тем, как поддержать у учащихся классе позволяет создать ситуацию, процесс обучения по индивидуальной интерес к изучаемому предмету и стимулирующую интерес учащихся программе.

Цель урока: научить учащихся строить графики где А и k — коэффициенты сжатия (растяжения) графика функции относительно осей координат, b и с — гармонического колебания на компьютере и решать уравнения, используя мультимедийное приложение «Функции и графики»*.

Учитель. Сегодня на уроке мы с помощью компьЗадание 1. Построить график функции ютера будем строить графики гармонических колебаний, заданных функциями вида * Компакт-диск «Программы Физикона» «Открытая математика. 2.5. Функции и Графики», авторы курса — учитель Р.П. Ушаков.

Подписка на газету «Математика» принимается по каталогам «Роспечать» (газеты, журналы) и «Вся пресса». Индекс подписки: // #18 (1—31 декабря 2007 г.) А=2 — растяжение графика функции y = cos x b=1.05 — смещение графика функции y = 2cos x с=–1 — смещение графика функции 2. Начнем работу с мультимедийным приложением пьютере. Работа одного из учащихся демонстрируется на экране с помощью проектора, это дает возможность учащимся при затруднении отследить последовательПостройте график гармонического колебания ное построение графика функции.

• в верхнем окне выбираем раздел «Графер»;

• в разделе «Графер» выбираем закладку «ТриРешите уравнение cos x = | x | -1.

гонометрические функции»;

• в меню функций выбираем функцию cos;

• последовательно вводим коэффициенты:

• сохраняем построенный график функции на дисфункции необходимо хорошо владеть знаниями по макете или выводим его на печать.

Результат построения:

Задание . Постройте график функции II. Решение уравнений графическим методом Для решения уравнения графическим методом необходимо ввести в программу уравнение, используя стандартный набор символов:

a^2 — возведение числа в квадрат — a sqrt(a) — квадратный корень из числа а — a abs(a) — модуль числа а — | a | sin(x) — sin x cos(x) — cos x Подписка на газету «Математика» принимается по каталогам «Роспечать» (газеты, журналы) и «Вся пресса». Индекс подписки: // #18 (1—31 декабря 2007 г.) Демонстрационный вариант КИМ представляет возможный вариант (образец) экзаменационной работы 2008 года, содержит инструкцию по выполнению работы, дает примеры типов заданий, критериев оценивания ответов экзаменуемых.

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) при- вступительных экзаменах в вузы. Поэтому в эту часть зван заменить собой два экзамена — выпускной за работы включаются задания как по курсу алгебры и насреднюю школу и вступительный в высшие учебные чал анализа 10–11 классов, так и по некоторым вопрозаведения (вузы). В связи с этим в рамках ЕГЭ осу- сам курса математики основной школы и по курсу геоществляется проверка овладения материалом курса метрии основной и средней (полной) школы.

алгебры и начал анализа 10–11 классов, усвоение Часть 3 включает три самых сложных задачи которого проверяется на выпускном экзамене за (две — алгебраических и одну — геометрическую), среднюю школу, а также материалом некоторых тем при решении которых учащимся надо применять свои курсов алгебры основной школы и геометрии основ- знания в новой для них ситуации. При этом от учаной и средней школы, которые традиционно контро- щихся потребуется проанализировать ситуацию, салируются на вступительных экзаменах в вузы. При мостоятельно разработать ее математическую модель этом в содержание проверки включаются только те и способ решения, привести обоснования, доказательвопросы, которые входят в основной нормативный ства выполненных действий и математически грамотно записать полученное решение.

документ — минимум содержания основной и средней школы по математике.

1.  Назначение  экзаменационной  работы — оце- На выполнение экзаменационной работы отводитнить общеобразовательную подготовку по математике ся 240 минут (4 часа). Часть 1 включает 13 заданий с выпускников ХI (ХII) классов общеобразовательных выбором ответа базового уровня сложности. Эти задаучреждений с целью итоговой аттестации и зачисле- ния составляют самую легкую часть работы. На их выния в ссузы и вузы. полнение ориентировочно отводится 40 минут. Часть . Условия применения на два из которых требуется записать решение. Эти заРабота рассчитана на выпускников средних обще- дания доступны для более подготовленных учащихся.

образовательных учреждений (школ, гимназий, лице- Ориентировочное время их выполнения — 90 минут.

ев), изучивших курс математики, отвечающий обяза- Часть 3 содержит 3 задания высокого уровня сложнотельному минимуму содержания среднего (полного) сти, которые рассчитаны на самых подготовленных общего образования по математике в объеме курса В. выпускников. На выполнение этих заданий отводится . Структура экзаменационной работы Структура работы отвечает двоякой цели ЕГЭ — обеспечивать аттестацию выпускников и их отбор в вузы. Работа состоит из 3 частей, которые различаются Ответы на задания с выбором ответа (А) и кратким по назначению, а также по содержанию, сложности, ответом (В) автоматически обрабатываются после скачислу и форме включаемых в них заданий. нирования бланков ответов № 1.

Ответы к заданиям с развернутым ответом, вклюХарактеристика заданий в трех частях работы  ченным в Части 2 и 3, проверяются экспертной комисЧасть 1 содержит 13 алгебраических заданий базово- сией, в состав которой входят работники вузов, метого уровня (А1–А10, В1–В3), соответствующих миниму- дисты и опытные учителя.

му содержания курса «Алгебра и начала анализа 10–11 Оценка результатов выполнения работы с целью классов» (курс В), обеспечивающих достаточную полно- аттестации выпускников школы и зачисления в вузы ту проверки овладения соответствующим материалом. проводится раздельно.

При выполнении этих заданий от учащегося требуется Тестовый балл — оценка общей математической применить свои знания в знакомой ситуации. подготовки, которая фиксируется в свидетельстве для Часть 2 включает 10 заданий повышенного (по срав- поступления в вузы, подсчитывается по 100-балльной нению с базовым) уровня (В4–В11, С1, С2), при решении шкале на основе первичных баллов, выставленных за которых от учащегося требуется применить свои знания выполнение всех заданий работы.

в измененной ситуации, используя при этом методы, Аттестационная отметка выпускника школы за известные ему из школьного курса. Содержание этих освоение курса алгебры и начал анализа 10–11 классов заданий отвечает как минимуму содержания средней определяется по 5-балльной шкале. Она выставляется (полной) школы, так и содержанию, предлагаемому на на основе первичных баллов, выставленных за выполнеПодписка на газету «Математика» принимается по каталогам «Роспечать» (газеты, журналы) и «Вся пресса». Индекс подписки: // #18 (1—31 декабря 2007 г.) при этом не учитывается выполнение 4 оставшихся заданий, составленных на материале курса алгебры основ- Структура работы, назначение каждой из ее трех ной школы (см. задание В9), курсов геометрии основной частей, число и типы используемых в них заданий, и средней школы (см. задания В10, В11 и С4). время на выполнение остались без изменения.

Инструкция по выполнению работы частей и содержит 26 заданий.

Часть 1 содержит 13 заданий (А1–А10 и В1–В3) обязательного уровня по материалу курA.  На одном из рисунков изображен график четса «Алгебра и начала анализа» 10–11 классов.

К каждому заданию А1–А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнеy К заданиям В1–В3 надо дать краткий ответ.

анализа» 10–11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. К заданиям В4–В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 — записать решение.

Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два — За выполнение работы выставляются две оценки:  аттестационная отметка и тестовый балл. Аттестационная отметка за усвоение курса алгебры и начал анализа  10–11  классов  выставляется  по  пятибалльной  A. Найдите производную функции y = x6 – 4sin x.

шкале. При ее выставлении не учитывается выполне- 1) yR = 6x5 + 4cos x 2) yR = 6x5 – 4cos x ние четырех заданий (В9, В10, В11, С). В тексте работы номера этих заданий отмечены звездочкой. x Тестовый  балл  выставляется  по  100-балльной  шкале  на  основе  первичных  баллов,  полученных  за  выполнение всех заданий работы.

к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время.

Желаем успеха!

ветствует номеру выбранного вами ответа.

A. Найдите значение выражения 4 3log3 5.

Подписка на газету «Математика» принимается по каталогам «Роспечать» (газеты, журналы) и «Вся пресса». Индекс подписки: // #18 (1—31 декабря 2007 г.) A10. Найдите область определения функции в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Ка- C1. Найдите наибольшее значение функции ждую цифру, знак минус отрицательного числа дельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

B1. Найдите значение выражения 3sin2 – 5cos2, если cos = –0,5.

B. Решите уравнение 7x + 1 – 5ж7x = 98.

B. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y = f(x) в точке A(–7; 14).

B.  Найдите количество целочисленных решений неравенства 6 – 5x – x2 0, удовлетворяющих неравенC. Решите уравнение f(g(x)) + g(3 + f(x)) = 30, если (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке А. 4. А. 1. А. 1. А. 2. А. 1. А7. 2. А8. 3. А9. 4.

прямой и является четной периодической функцией с В1. 1. В. 2. В. –2. В. –3. В. –2. В. 6. В7. 0,4. В8. 4.

формулой f(x) = 2 + 2x – x2. Определите количество ну- Ответы к заданиям с развернутым ответом:

лей этой функции на отрезке [–5; 4].

одно и то же число процентов от предыдущей цены.

Подписка на газету «Математика» принимается по каталогам «Роспечать» (газеты, журналы) и «Вся пресса». Индекс подписки: // #18 (1—31 декабря 2007 г.) Критерии проверки и оценки выполнения заданий –1 x 1. При этих значениях х 1 - x2 - 2 < 0. Следовательно, Приведена верная последовательность всех шагов решения:

1) найдена область определения функции и упрощена формула, задающая функцию;

2) найдено наибольшее значение функции.

Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущены описка и/или вычислительная ошибка 1 в шаге 2, не влияющие на дальнейший ход решения.

В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

 Приведена верная последовательность всех шагов решения:

1) уравнение сведено к равносильной ему системе, состоящей из уравнения и двух неравенств;

Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

1 Приведена верная последовательность всех шагов решения.

Допущена вычислительная ошибка или описка в шаге 2, не влияющие на правильность дальнейшего хода В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

Подписка на газету «Математика» принимается по каталогам «Роспечать» (газеты, журналы) и «Вся пресса». Индекс подписки: // #18 (1—31 декабря 2007 г.) C.  Найдите все значения a, для которых при ка- ординат лежит ниже оси абсцисс (так как f(0) = –2).

ждом x из промежутка (–3; –1] значение выражения Поэтому квадратный трехчлен f(t) имеет два корня t1 < где t = x и f(t) = t2 – (a + 8)t – 2. Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение f(t) = 0 не имело корней Ответ: a < –9, a.

на промежутке [(–1)2; (–3)2) = [1; 9).

2. График функции y = f(t) (относительно перемен- Замечание. В работах выпускников в шаге 2 могут ной t Э R) есть парабола, изображенная на рисунке: ее отсутствовать словесные описания, а корни квадратветви направлены вверх, а точка пересечения с осью ного трехчлена f(t) могут быть вычислены.

Приведена верная последовательность всех шагов решения:

1) задача сведена к исследованию корней квадратного уравнения f(t) = 0 на соответствующем промежутке;

2) показано (возможно, только с помощью рисунка), что квадратный трехчлен f(t) имеет два корня разного знака, и получены два условия на параметр a, система которых необходима и достаточна для того, чтобы квадратное уравнение f(t) = 0 имело корень на соответствующем промежутке;

3) полученные неравенства решены и найдены оба множества, составляющие искомое множество значений параметра a.

Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.

Приведена верная последовательность всех шагов решения.

Допускается, что не показано (ни словесно, ни с помощью рисунка), что квадратный трехчлен f(t) имеет два корня разного знака.

В шаге 2, возможно, содержатся неточности, состоящие в том, что строгие (нестрогие) неравенства заменены нестрогими (строгими).

Ответ получен и либо верен, либо отличается от верного из-за допущенных в шаге 2 неточностей.

Приведена верная последовательность всех шагов решения.

В шаге 2 получены неравенства на параметр a, система которых необходима и достаточна для того, чтобы квадратное уравнение f(t) = 0 имело корень на соответствующем промежутке. Возможно, что при этом допущены неточности, состоящие в том, что строгие (нестрогие) неравенства заменены нестрогими (строгими).

В шаге 3 найдено (возможно, неверно из-за допущенных в шаге 2 неточностей):

• либо множество значений параметра а, при которых квадратное уравнение f(t) = 0 имеет корень на соответствующем промежутке, • либо хотя бы одно из двух множеств, составляющих искомое множество значений параметра а.

Приведены шаги 1 и 2 решения, а шаг 3 отсутствует, содержит ошибки или не доведен до конца.

В шаге 2 получено хотя бы одно из неравенств на параметр а, необходимое для того, чтобы квадратное уравнение f(t) = 0 имело корень на соответствующем промежутке, при этом в нем, возможно, строгое (нестрогое) неравенство заменено нестрогим (строгим).

0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1–4 балла.

Подписка на газету «Математика» принимается по каталогам «Роспечать» (газеты, журналы) и «Вся пресса». Индекс подписки: // #18 (1—31 декабря 2007 г.) лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наи- и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и больший. Найдите синус угла между прямой NT и плоскости PMN B OL. Пусть K — середина МО. Проплоскостью PMN, если T — середина ребра ML. ведем KТ — среднюю линию треугольника OLM. ТоРешение. 1. Пусть О — центр сферы, а R — ее ра- гда KT C OL. Значит, KT B PMN, и поэтому KN — продиус. Тогда PN = 2R как диаметр сферы. Поскольку екция NT на плоскость PMN и F TNK — угол между Сечения сферы плоскостями PLN и PMN — окT вписанные углы, опирающиеся на диаметр PN.

ная из вершины M, и h — высота треугольника PLN, проведенная к стороне PN. Поскольку точка M лежит на сфере, а плоскость PLN содержит центр сферы, то поскольку точка L лежит на сфере, то h R, причем Так как треугольники LON, LOM, NOM равны по h = R, если LO B PN. Отсюда для объема пирамиды двум катетам, то треугольник MNL — правильный со PNML имеем дикулярных плоскостях.

Приведена верная последовательность шагов решения:

1) установлено, что треугольники PLN и PMN — прямоугольные;

2) установлено, что в пирамиде PMNL, имеющей наибольший объем и вписанной в данную сферу, треугольники PLN и PMN — равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях;

4) вычислен синус угла между прямой NT и плоскостью PMN.

а) вид пирамиды, имеющей наибольший объем, вписанной в данную сферу;

б) построение угла между прямой NT и плоскостью PMN.

Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения: явно описан вид искомой пирамиды и построен искомый угол.

3 Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях1, но не грубые ошибки.

Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ.

Допустимо отсутствие утверждений, составляющих ключевые моменты а) и б) решения.

Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок.

Получена искомая величина синуса угла между прямой NT и плоскостью PMN.

Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения.

Ход решения правильный, но решение не завершено: имеется шаг 2 решения, который описан словесно или ясно отражен и виден на чертеже (в соответствующих треугольниках обозначены углы, равные 90°, и равные стороны).

Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1–4 балла.

Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение или на признак или наоборот, а также неверные названия теорем или формул.

Подписка на газету «Математика» принимается по каталогам «Роспечать» (газеты, журналы) и «Вся пресса». Индекс подписки: // #18 (1—31 декабря 2007 г.) Решение. 1. Так как Если x < 2, то fR(x) < 0, а если x > 2, то fR(x) > 0.

 Приведена верная последовательность всех шагов решения:

а) нахождение fнаим обосновано исследованием знака производной;

в) отсутствие корней уравнения g(x) = 0 обосновано положительностью функции g;

г) единственность корня x = –1 обоснована проверкой возрастания функции g при x < 4.

Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.

 Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 3 допустима лишь констатация возрастания Допустима 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в одном из шагов 2 или 3, в результате чего  Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Выполнены верно шаги 1 и 2: задача сведена к решению уравнения g(x) = 2. Обоснован ключевой момент а). Допустимо, что Допустимо, что дальнейшее исследование уравнения не завершено.

Допустимы 1–2 негрубые ошибки или описки в вычислениях в шаге 3, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате решение может быть не завершено.

1 Ход решения верный. Выполнен верно шаг 1: найдена точка минимума и наименьшее значение функции f.

Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено, а остальные ключевые моменты не обоснованы.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, Подписка на газету «Математика» принимается по каталогам «Роспечать» (газеты, журналы) и «Вся пресса». Индекс подписки: // #18 (1—31 декабря 2007 г.) В статье П. Семенова «Кому нужен демонстрацион- высокую стоимость этого мероприятия, на которую им ный вариант ЕГЭ?» (№ 16/2007) обсуждается существо- жалуются родители одиннадцатиклассников. Но что вание демонстрационного варианта ЕГЭ по математике могут поделать учителя, даже сочувствующие и пов современной школе. Сегодняшняя практика такова, нимающие родителей, если это предприятие поддерчто этот вариант является востребованным. Вот свежий живается администрацией школы? На заре введения пример. 8–12 октября в нашем СИПКРО проходили оче- ЕГЭ одной из достойных особенностей такого экзамередные курсы для учителей математики. Как раз в эти на провозглашалась возможность по его результатам дни появилась на сайте демонстрационная версия ЕГЭ. поступить в столичный вуз. Экономия, мол, получаОна была немедленно распечатана, новые задачи были ется — никуда ехать не надо, за билет не платить. Но решены, началось их обсуждение. Это сказалось и на ра- если посчитать: книжку с вариантами ЕГЭ школьник боте курсов: запланированные в учебной программе во- купи (а то и не одну!), за пробно-репетиционный экзапросы преемственности иллюстрировались не абстракт- мен заплати (и, возможно, не один раз!)… ными задачами, а новыми заданиями демоверсии. Тем Возвращаясь к математике, следует сказать, что в самым наличие демоверсии уменьшает разобщенность «доегэшные» времена самым популярным вопросом на учителей, которая является следствием работы по раз- курсах, на учительских семинарах был такой: как офорным программам, по разным учебникам. мить решение? Особенно, как оформить медальную раОбсуждение демоверсии оказывается интересным боту. Сейчас это уже никого не интересует. Интересует наиболее квалифицированным учителям, работаю- то, как решить задачу. Наверное, это неплохо.

щим в классах с углубленным изучением предмета, П. Семенов отмечает, что к октябрю – ноябрю половина и положительно влияет на уровень теоретической и учебного материала еще не пройдена, и, соответственно, практической подготовки учителя. А в последний 30–40% заданий демоверсии ученику просто не понятны.

день работы курсов одна учительница обратилась с Но понятны сильным ученикам. Для других здесь возмопросьбой помочь составить по образцу этого варианта жен такой выход. Задачу, содержащую, скажем, логарифпохожие задачи. И не просто похожие, а своеобразную мы, следует модифицировать — логарифмическую функлесенку, с нарастанием технических трудностей, но со- цию заменить другой, известной ученику. Но при этом храняющую постановку задачи и способ ее решения. следует сохранить идею задачи. Можно также предложить Поскольку каждый год появляются задачи, осно- ученику для решения технически облегченную версию заванные на сравнительно новых идеях, то, конечно, дачи. Если, например, в демонстрационном варианте признакомить с этими идеями учеников следует. Демон- сутствует кубическая функция, требующая для исследовастрационный вариант может явиться законодателем ния производную, то заменяем ее квадратичной.

моды (в хорошем смысле этого слова) современных На основе этих соображений и составлены некотозадач. Как при этом исключить «долбежку перели- рые из предлагаемых задач. Для их решения можно цованных копий демоверсии»? Возможно, напри- воспользоваться рекомендациями, которые сопровожмер, в демоверсии ЕГЭ-2008 в задании С1 давать не дают задачи демонстрационного варианта.

одну конкретную функцию, а формулировать эту заВ дачу так: упростите формулу, задающую функцию, и определите какую-либо характеристику этой функ- 1. Прямая касается графика функции y = f(x) в точции. Затем приводятся два-три примера подобного ке A(2; –3) и параллельна прямой, проходящей через упрощения (сокращение дроби, избавление от знака точки B(–1; 4) и C(4; 4). Найдите fR(2).

модуля и т.п.) и исследование функции на монотон- Ответ: 0. Указание. Прямая, проходящая через ность, периодичность и прочее. Быть может, для ис- точки В и С, параллельна оси абсцисс, ее угловой коключения натаскивания на определенный тип задач эффициент равен нулю.

следует предлагать не один вариант демоверсии, а, скажем, три? Задачи при этом будут разнообразнее, . Касательная к графику функции y = f(x) в точке а вариант интереснее. A(2; –4) параллельна прямой, проходящей через точП. Семенов отмечает тех, кто извлекает наиболь- ку B(4; –5) и начало координат. Найдите значение вышую выгоду от раннего появления демоверсии. Но не ражения f(2) + fR(2).

всех, по нашему мнению. Существуют фирмы и фир- Ответ: –5,25. Указание. Угловой коэффициент мочки, предлагающие школам тренировочные, репе- прямой, проходящей через точки В и начало коордитиционные и прочие контрольные работы по типу ЕГЭ.

Подписка на газету «Математика» принимается по каталогам «Роспечать» (газеты, журналы) и «Вся пресса». Индекс подписки: // #18 (1—31 декабря 2007 г.) y = f(x) в точке с абсциссой 3, проходит через начало координат и точку A(4; –2). Найдите f(3).

через начало координат и точку А, имеет уравнение отрезке 0 x 4, на котором она задается формулой y(x) = –0,5x. По условию f(3) = y(3) = –0,5ж3 = –1,5. y = 3 – x3 + 48x. Применяя производную, найдем, что наименьшее значение эта функция принимает при x = 0.

. Прямая, которая касается графика функции y = f(x) в точке А с ординатой 4, проходит через точки . Найдите наименьшее значение функции B(–1; 0) и C(5; 6). Найдите абсциссу точки А.

Ответ: 3. Указание. Прямая ВС задается уравнением y(x) = x + 1. По условию в точке касания Ответ: 2. Указание. В своей области определения f(x) = y(x) = 4. Отсюда находим абсциссу точки касания. (которая задается неравенством sin x 0) эта функция 1. Решите уравнение . Решите уравнение ния полученное уравнение следует записать в виде (x - 2)2 + x - 2 = 0. Последнее означает, что каждое Рассматривая эту квадратичную функцию на упомянутых выше отрезках, можно установить, что наислагаемое равно нулю.

Ответ: –3. Указание. После очевидного упрощеидеи, в нем имеющиеся, отражают. Для решения зания полученное уравнение следует записать в виде (3x + 9)2 = - sin2. Последнее означает, что обе час- ответствующую данной функции, и затем с учетом области определения получить ответ на вопрос задачи.

ти уравнения равны нулю.

1. Найдите наибольшее значение функции Ответ: 92. Указание. Область определения функx | 2 — f(x) = x2 + 2x + 8.

ции — отрезок –3 x 3. На этом промежутке радикал принимает значения из отрезка [0; 3], следовательно, выОпределите количество нулей функции ражение под знаком модуля является отрицательным.

В результате приходим к равенству y = 7x2 – 8x + 5. Наиf ( x) = 16 + x2 - sin 2x + x2 + 2 cos 3x.

большее значение этой функции получается при x = –3.

Подписка на газету «Математика» принимается по каталогам «Роспечать» (газеты, журналы) и «Вся пресса». Индекс подписки: // #18 (1—31 декабря 2007 г.) Ответ: 0. Указание. Решение задачи сводится к Ответ: да. Указание. В области определения которое не имеет корней, так как значения его левой части не меньше четырех, а значения левой – не больf (x) = log2 cos2 x + log2 ?

ше трех.

. Является ли периодической функция . Является ли четной функция Ответ: нет. Указание. Область определения этой Ответ: нет. Указание. Рассмотрите область опрефункции не является симметричной относительно деления этой функции x 3.

точки x = 0.

. Является ли монотонной функция Ответ: да. Указание. В области определения при x 2 f(x) = x2 + 8x + 1 возрастает.

. Является ли монотонной функция Ответ: да. Указание. В области определения при x 3 f (x) = x2 + 2x + 4 + x - 3 и является суммой возотрезок [–3; 3].

растающих функций.

7. Является ли четной функция Ответ: нет. Указание. Область определения – x 4 этой функции не симметрична относительно точки x = 0.

8. Является ли монотонной функция Шеф-редактор С. Островский Корректор Л. Громова Компьютерная верстка: С. Сухарев Подписка на газету «Математика» принимается по каталогам «Роспечать» (газеты, журналы) и «Вся пресса». Индекс подписки: