«Н. А. Садовникова Р. А. Шмойлова Анализ временных рядов и прогнозирование Выпуск 2 Учебное пособие Руководство по изучению дисциплины Практикум Тесты Учебная программа Москва 2004 1 УДК 311 ББК 60.6 С 143 Садовникова Н. ...»

Аналогичным путем получают выражения и для других интервалов сглаживания по параболе второго и третьего порядка.

m = 7 yt = 21( 2yt3 + 3yt2 + 6yt1 + 7yt + 6yt+1 + 3yt+2 2yt+3 )

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Согласно приведенным формулам, веса симметричны относительно центрального уровня и их сумма с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

По данным рассмотренного выше примера об объеме платных услуг населению одного из регионов РФ за период январь — декабрь 2002 г. произведем расчет 7 — ми членных скользящих средних и проанализируем на их основе характер тенденции исходного временного ряда (таблица 2.9, гр. 18).

В качестве аппроксимирующего полинома примем параболу второго порядка, параметры которой могут быть определены на основе решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

Отсчет времени в пределах интервала сглаживания произведем от его середины, то система уравнений упростится до следующего вида:

Промежуточные расчеты взвешенных скользящих средних более подробно могут быть представлены следующим образом:

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Взвешенная семичленная скользящая средняя показывает, что на протяжении периода с января по декабрь 2002 г. в РФ наблюдался рост объема платных услуг населению РФ.

Метод плавного уровня по величине среднего абсолютного прироста придает изменению во времени характер изменения по прямой линии, а по величине среднего темпа роста — по показательной кривой. И тот и другой методы не покажут, как происходило развитие, так как их плавный уровень целиком зависит от начального и конечного уровней динамики.

Метод Лагранжа является формальным методом, позволяющим установить математическую зависимость между уровнем временного ряда и временем, к которому он относится.

Обобщением этой типизации и является моделирование (нахождение аналитической функции, выражающий развитие явления за рассматриваемый период времени).

Метод аналитического выравнивания заключается в нахождении аналитической функции, выражающей развитие явления за рассматриваемый период времени. При этом решаются следующие задачи:

a) выбор вида уравнения, отображающего тип развития;

б) анализ схемы сбора фактических данных и определение параметров модели;

в) определение методов преобразования исходных данных с целью сведения сложных уравнений к более простым;

г) выявление степени близости теоретических и фактических данных.

Найденная модель позволяет получить выровненные или, как иногда называют, теоретические значения уровней, которые наблюдались бы при совпадении динамики явления с кривой найденной модели.

По таким принципам можно построить частные модели (субмодели), которые затем объединяются в комплексные модели, или системы моделей.

Пример. Определим основную тенденцию ряда динамики объема платных услуг населению РФ за январь — декабрь 2002 г.

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Расчетная таблица для определения взвешенных скользящих средних объема платных услуг

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим определение тенденции на основе полинома первой и второй степени, то есть прямой и параболы второго порядка, промежуточные расчеты параметров которых приведены в таблице 2.10.

Для уравнения прямой параметры определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

Для уравнения параболы второго порядка параметры могут быть определены на основе решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

Остановимся подробнее на проблеме выбора математической функции описания основной тенденции развития, то есть выбора подобной реальной динамике формы уравнения.

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени или модели этого процесса применяются разные уравнения, полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Динамика объема платных услуг населению РФ за период январь-декабрь 2002 г.

и определение параметров уравнения прямой методом наименьших квадратов

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Полиномы имеют следующий вид:

Наиболее простым путем решения проблемы выбора формы трендовой модели можно назвать графический, на базе общей конфигурации графика фактических уровней ряда. Однако при этом подходе риск ошибочного выбора кривой очень велик. Разные специалисты, исходя из одного и того же графика, могут прийти к разным заключениям по поводу формы уравнения. Правильность выбора уравнения в некоторой мере зависит от масштаба графика. Однако в несложных случаях подход графического выбора может дать вполне приемлемые результаты.

Подбор класса выравнивающих кривых для временного ряда производится на основе качественного анализа представленного им процесса, а также если известны:

1,2,3…….i — первые, вторые, третьи и т.д. разности или абсолютные ускорения;

Tp — темпы роста первых абсолютных приростов уровней;

lgyi — первые абсолютные приросты логарифмов уровней;

В этих случаях критерии выбора типа кривой следующие (табл. 2.11).

Пока- Изменение уровней затель временного ряда Для полиномиальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными приростами и приростами уровней рядов динамики.

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Предполагаемой функцией, отражающей процесс роста явления, может быть и экспонента y t = a 0 a1 или y t = a 0 a1 1t +b2t. Экспоненты характеризуют прирост, зависящий от величины основания функции. Прологарифмировав левую и правую части, найдем lg y t = lg a 0 + t lg a1 ; lg y t = lg a 0 + b1t + b 2 t 2 lg a1, то есть логарифмические кривые. После замены lg a0 = c0 и lg a1 = c1 получим уравнение lg y t = c 0 + c1t, из которого видно, что логарифм ординаты линейно зависит от t.

Вторая функция после логарифмирования дает уравнение логарифмической параболы lg y t = a 0 + b 2 t + b 2 t 2, в котором темп прироста линейно зависит от времени.

Надо помнить, что практика моделирования свидетельствует о том, что выбор тех или иных кривых всегда оказывается под воздействием представлений о желаемой форме кривой, и что на координатном поле, отображающем расстояние точек, можно построить бесконечное множество кривых. При этом необходимо отражать особенности процесса.

Свойства процесса должны соответствовать свойствам функций, используемых для построения моделей.

Надо иметь в виду, что отдельные уравнения выражают определенный тип динамики.

Монотонное возрастание или убывание процесса характеризуют функции:

– линейная;

– параболическая;

– степенная;

– экспоненциальная простая (показательная) и производная от нее логарифмическая линейная;

– сложная экспоненциальная и производная от нее логарифмическая парабола;

– гиперболическая (главным образом убывающих процессов);

– комбинация их видов.

Для моделирования динамических рядов, которые характеризуются стремлением к некоторой предельной величине, насыщением, применяются логистические функции.

Логистическую функцию часто записывают в следующем виде:

где:

е — основание натуральных логарифмов.

Логистическая кривая симметрична относительно точки перегиба и при t = стремится к нулю, а при t = + стремится к некоторой постоянной величине, к которой кривая асимптотически приближается. Если найти вторую производную от yt по t и приравнять ее к нулю, то для логистической кривой, выражаемой через е, место положения точки перегиба кривой равно: t = lg a1 : a 0 ; y t = n : 2.

Тип процессов, характеризующихся наличием экстремальных значений, описывается кривой Гомперца, имеющей следующее выражение:

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Возможны четыре варианта этой кривой. Для экономистов наибольшее значение имеет кривая, у которой lg a0 < 0 и a1 < 1. Развитие уровня такой кривой имеет следующие этапы: если коэффициент a1 меньше единицы при отрицательном значении lg a0, то на первом этапе прирост кривой незначителен. Он медленно увеличивается по мере роста t, но на следующем этапе прирост увеличивается быстрее, а затем, после точки перегиба, прирост начинает уменьшаться; подойдя к линии асимптоты, прирост кривой опять незначителен.

Прологарифмировав функцию Гомперца, получим:

Следовательно, после логарифмирования получим модифицированную экспоненту.

Введя в модифицированной экспоненте величину, обратную yt, получим сходство с кривой Гомперца. Однако различие состоит в том, что изменение во времени первых разностей кривой Гомперца асимметрично, а у логистической кривой их изменение во времени имеет симметричный вид, напоминающий нормальное распределение.

При выборе формы тренда наряду с теоретическим анализом закономерностей развития изучаемого явления используются эмпирические методы, такие как:

– расчет и анализ средней квадратической ошибки;

– критерий наименьшей суммы квадратов отклонений эмпирических и теоретических значений уровней временного ряда.

– метод разностного исчисления;

– метод дисперсионного анализа.

Средняя квадратическая ошибка определяется по формуле:

где:

k — число параметров уравнения.

Чем меньше значение ошибки, тем функция наилучшим образом описывает тенденцию исходного временного ряда.

На основе приведенного выше примера рассмотрим порядок расчета средней квадратической ошибки по линейному тренду и параболе второго порядка показателя объема платных услуг населению РФ.

Так, например, для уравнения линейного тренда, средняя квадратическая ошибка составит:

а для параболы второго порядка:

Анализ приведенных значений средних квадратических ошибок свидетельствует о том, что уравнение параболы второго порядка наиболее точно описывает тенденцию изменения объема платных услуг населению РФ.

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Критерий наименьшей суммы квадратов отклонений эмпирических уровней от денция описывается трендом, которому соответствует наименьшее значение суммы квадратов отклонений.

Так на основе приведенных в таблице расчетов видно, что для уравнения линейного тренда, описывающего тенденцию изменения объема платных услуг населению РФ вательно, уравнение параболы второго порядка наиболее точно описывает тенденцию изменения объема платных услуг населению РФ.

Дисперсионный метод анализа основывается на сравнении дисперсий.

Суть метода в следующем: общая дисперсия временного ряда делится на две части:

• вариация вследствие тенденции Vf(t);

Общая вариация определяется как сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней ряда (yt) от среднего уровня исходного временного ряда ( y ), то есть из выражения вида:

Случайная вариация — это сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней (yt) от теоретических полученных по уравнению тренда ( y t ), и определяется по выражению следующего вида:

Вариация вследствие тенденции определяется как разность общей и случайной вариаций из выражения вида:

На основе рассмотренных показателей вариации определяются различные виды дисперсии:

- дисперсия случайного компонента:

где:

k — число параметров уравнения тренда.

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

- дисперсия тенденции:

Выдвигается и проверяется гипотеза о том, что подходит или не подходит рассматриваемое уравнение тренда для описания тенденции исходного временного ряда.

Гипотеза проверяется на основе F-критерия Фишера-Снедекора, расчетное значение которого определяется по следующей формуле:

Критическое значение критерия определяется по таблице табулированных значений (приложение) следующим образом:

Если Fp > Fкр при заданном уровне значимости и числе степеней свободы (1 = k — 1, 2 = n — k), то уравнение тренда подходит для отражения тенденции исходного временного ряда.

Анализ необходимо начинать с более простого уравнения к сложным, пока не подойдет.

Пример. Проверим с помощью дисперсионного метода анализа, какое из двух рассмотренных выше (таблица 2.12) уравнений тренда наиболее подходит для описания тенденции исходного ряда динамики объема платных услуг населению РФ. Расчеты приведены в таблице 2.13.

Средний уровень исходного ряда динамики составит:

1. Проверим методом дисперсионного анализа, подходит ли уравнение линейного тренда для описания тенденции в изменении объема платных услуг населению РФ:

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Расчетная таблица для определения средней квадратической ошибки

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Следовательно, c вероятностью 95% можно утверждать, что уравнение линейного тренда подходит для описания тенденции исходного ряда динамики объема платных услуг населению РФ.

Расчетная таблица реализации дисперсионного метода анализа в оценке трендовых моделей объема платных услуг населению РФ 2. Проверим методом дисперсионного анализа, подходит ли уравнение параболы второго порядка для описания тенденции в изменении объема платных услуг населению РФ:

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Следовательно, c вероятностью 95% можно утверждать, что уравнение параболы второго порядка подходит для описания тенденции исходного ряда динамики объема платных услуг населению РФ.

Отдельно взятый критерий или метод при выборе формы тренда не обеспечивает правильность ее выбора. Необходим обязательно учет специфики объекта исследования, методов прогнозирования и оценки точности и надежности получаемых прогнозов.

После того, как определена форма трендовой модели (уравнения), необходимо проанализировать наличие, характер и закон распределения отклонений эмпирических значений от теоретических, полученных по уравнению тренда.

Исследование случайного компонента проводится с целью решения двух основных задач:

1. оценки правильности выбора трендовой модели;

2. оценки стационарности случайного процесса.

При верном выборе формы тренда отклонения от него будут носить случайный характер, что означает, что изменение случайной величины t не связано с изменением t.

Для этого определяются отклонения эмпирических значений от теоретических: t = yt — f(t) для каждого уровня исходного временного ряда.

Проверяется гипотеза H0: о том, что значения случайной величины t случайны и величина t не зависят от времени.

Методами проверки данной гипотезы являются следующие:

– коэффициент корреляции;

– критерий серий, основанный на медиане выборки;

– критерий «восходящих» и «нисходящих» cерий;

– критерий min и max.

Наиболее простой сводится к расчету коэффициента корреляции между t (отклонениями от тренда) и фактором времени t, и проверке его значимости.

Критерий серий, основанный на медиане выборки.

Этапы реализации метода:

• рассчитываются отклонения эмпирических значений от теоретических, полученных по • t ранжируются, где:

(1) — наименьшее значение: (1), (2),..., (n) в порядке возрастания или убывания.

• Определяется медиана отклонений med.

• Значения t сравниваются со значением med и ставится знак «+» или «-»:

• Выдвигается и проверяется следующая основная гипотеза H0: если отклонения от тренда случайны, то их чередование должно быть случайным.

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

• Последовательность «+» и «-» называется серией.

• Определяется kmax(n) — длина наибольшей серии.

• Определяется V(n) — число серий.

Выборка признается случайной, если одновременно выполняются неравенства ( = 0,05):

Если хотя бы одно неравенство нарушается, то гипотеза о случайности отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается.

Пример. Произведем оценку случайной компоненты в ряду динамики числа зарегистрированных разбоев (в тыс.) (Российский статистический ежегодник, стр. 243. Госкомстат РФ. – М., 2000 г.).

Необходимо выявить случайную компоненту в данном ряду динамики с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки. В качестве трендовой модели рассмотрим линейный тренд и параболу второго порядка.

1. Первоначально оценим отклонения эмпирических значений числа зарегистрированных разбоев в РФ от теоретических, полученных по уравнению линейного тренда:

Рассчитаем параметры уравнения прямой, используя метод наименьших квадратов.

Промежуточные вычисления отразим в таблице 2.15.

Таким образом, уравнение линейного тренда имеет вид:

Рассчитаем отклонения t эмпирических значений числа зарегистрированных разбоев от выровненных по тренду (таблица 2.16, гр. 4).

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Расчетная таблица для определения параметров линейного тренда, описывающего тенденцию изменения числа зарегистрированных разбоев в РФ за период 1993-2002 гг.

Проранжируем полученные отклонения в порядке убывания (таблица 2.16, гр. 5).

Определим медиану отклонений med :

Cравним значения отклонений t с med :

— если t > med, то ставим «+»;

Получили ряд плюсов и минусов. Отразим результаты в таблице 2.16.

Расчетная таблица для определения параметров критерия серий, основанного на медиане выборки числа зарегистрированных разбоев в РФ за период 1993-2002 гг.

Год

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Выдвигается следующая гипотеза H0: если отклонения от тренда случайны, то и их чередование должно быть случайным.

Для проверки выдвинутой гипотезы определим длину наибольшей серии:

и число серий V(n)=4;

Гипотеза не отвергается, если справедлива следующая система неравенств.

Оба неравенства выполняются, гипотеза о случайности отклонений уровней ряда динамики от тренда в виде прямой y t = 32,37 + 1,16t не отвергается.

1. Произведем оценку случайности отклонений эмпирическихзначений числа зарегистрированных разбоев в РФ от теоретических, полученных по уравнению параболы второго порядка:

Для нахождения неизвестных параметров используем метод наименьших квадратов.

Параметры данного уравнения определим из следующей системы:

Промежуточные вычисления приведены в таблице 2.17.

Расчетная таблица для расчета параметров параболы второго порядка, описывающего тенденцию изменения числа зарегистрированных разбоев в РФ за период 1993-2002 гг.

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Преобразуя исходную систему, получаем:

Подставив в данную систему вычисленные значения, получим следующие значения параметров уравнения параболы.

Полученное уравнение параболы второго порядка выглядит следующим образом:

Рассчитаем отклонения t эмпирических значений признака от выровненных по тренду (таблица 2.18, гр. 4).

Проранжируем полученные отклонения в порядке убывания (графа 5).

Определим медиану отклонений med : med = ( 15,56 23,26) / 2 = 19,41.

Сравним значения отклонений t с med :

Получили ряд плюсов и минусов (графа 6).

Отразим результаты в таблице.

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Выдвигается гипотеза H0: если отклонения от тренда случайны, то и их чередование должно быть случайным.

Для проверки выдвинутой гипотезы определим:

— длину наибольшей серии K max (n ) = 5 ;

— число серий V(n)=3;

Гипотеза не отвергается, если справедлива следующая система неравенств.

Оба неравенства выполняются, следовательно гипотеза о случайности отклонений уровней ряда динамики числа зарегистрированных разбоев от тренда в виде параболы y t = 112,26 + 1,16 t 2,42 t 2 не отвергается.

Пример. Произведем оценку случайности отклонений эмпирических значений объема платных услуг населению от теоретических, полученных на основе трендовых моделей, рассчитанных в таблице.

Промежуточные расчеты приведены в таблице 2.19.

Расчетная таблица для определения параметров критерия серий, основанного на медиане выборки, для моделей линейного тренда и параболы второго порядка, описывающих тенденцию в изменении объема платных услуг населению РФ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

1. Произведем оценку случайности отклонений эмпирических значений объема платных услуг населению от теоретических, полученных на основе линейного тренда:

Оба приведенных неравенства выполняются одновременно, следовательно гипотеза о случайности отклонений эмпирических уровней ряда динамики объема платных услуг населению от теоретических, полученных по уравнению линейного тренда не отвергается.

2. Произведем оценку случайности отклонений эмпирическихзначений объема платных услуг населению от теоретических, полученных на основе параболы второго порядка:

Вывод аналогичен, то есть оба приведенных неравенства выполняются одновременно, следовательно гипотеза о случайности отклонений эмпирических уровней ряда динамики объема платных услуг населению от теоретических, полученных по уравнению параболы второго порядка не отвергается.

Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий.

Этапы реализации метода:

• Последовательно сравниваются каждое следующее значение t+1 с предыдущим и ставится знак «+» или «-»:

i+1 = i — учитывается только одно наблюдение (другие опускаются).

• Определяется kmax(n) — длина наибольшей серии.

• Определяется V(n) — общее число серий.

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

• Выдвигается и проверяется гипотеза H0: о случайности выборки и подтверждается, если выполняются следующие неравенства ( = 0,05):

где:

k0(n) — число подряд идущих «+» или «-» в самой длинной серии.

k0(n) — определяется следующим образом:

Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается.

Пример. Произведем оценку случайности отклонений эмпирических значений числа зарегистрированных разбоев в РФ от теоретических, полученных по уравнениям линейного тренда и параболы второго порядка.

1. В качестве примера рассмотрим отклонения от линейного тренда.

Расчет параметров линейного тренда был произведен ранее и получено уравнение тренда:

Определим отклонения эмпирических значений признака от теоретических, полученных по уравнению тренда.

Последовательно сравним каждое следующее значение t с предыдущим:

Результат отразим в таблице.

Расчетная таблица критерия «восходящих» и «нисходящих» серий

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Выдвигается гипотеза H0 :о случайности отклонений в ряду динамики.

Для проверки выдвинутой гипотезы определим:

– длину наибольшей серии K max (n ) = 3 ;

– число серий V(n)=4;

Оба неравенства выполняются, следовательно гипотеза о случайности отклонений уровней ряда динамики числа зарегистрированных разбоев в РФ от линейного тренда y t = 32,37 + 1,16t не отвергается.

2. В качестве примера рассмотрим оценку случайности отклонений эмпирических значений числа зарегистрированных разбоев РФ от теоретических, полученных по уравнению параболы второго порядка y t = a 0 + a 1 t + a 2 t 2.

Расчет параметров параболы был произведен ранее и получено уравнение тренда Последовательно сравним каждое следующее значение t с предыдущим:

– если t +1 < t, ставится «-». Результат отразим в таблице 2.21.

Выдвигается гипотеза H0: о случайности отклонений эмпирических значений числа зарегистрированных разбоев от теоретических, полученных по уравнению второго порядка.

Расчетная таблица критерия «восходящих» и «нисходящих» серий (по отклонениям от параболы второго порядка)

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Для проверки выдвинутой гипотезы определим:

– длину наибольшей серии K max (n ) = 5 ;

– число серий V(n)=2;

Неравенство V(n)>3,97 не выполняется, гипотеза о случайности отклонений уровней ряда динамики от параболы второго порядка y t = 112,26 + 1,16 t 2,42 t 2 отвергается.

Критерий восходящих и нисходящих серий показал случайность отклонений уровней ряда динамики от тренда в виде прямой, а для тренда в виде параболы показал, что отклонения уровней ряда динамики от тренда являются неслучайными.

При рассмотрении квартальных и месячных данных часто обнаруживаются периодические колебания, вызываемые сменой времен года. Их называют сезонными.

Изучение сезонных колебаний имеет самостоятельное значение как исследование особого типа динамики.

Сезонность можно понимать как внутригодовую динамику вообще.

Во многих случаях сезонность приносит ущерб народному хозяйству в связи с неравномерным использованием оборудования и рабочей силы, с неравномерной нагрузкой транспорта, поставкой сырья для других отраслей, связанных с сезонными отраслями.

Выявление сезонной составляющей может быть произведено на основе следующих методов, примеры на которые приведены ниже (таблицы 2.22 и 2.23).

- для каждого месяца определяется средняя за 5 лет y i :

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

- определяется среднемесячный уровень для пятилетки:

звенья сезонной волны абсолютных разностей = y i y :

II. Метод отношений помесячных средних ( y i ) к средней за весь период где:

y i — средняя для каждого месяца y — общий среднемесячный уровень за весь период.

III. Метод отношений помесячных уровней к средней месячной данного года - для каждого месяца рассчитывается средняя величина показателя за каждый год:

- определяется отношение каждого помесячного фактического уровня к этим средним:

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО - ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Выявление сезонной компоненты в изменении объема строительно-монтажных работ,

I II III

Средний уровень ряда y

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

- определяется сумма по месяцам за 5 лет:

- определяются цепные темпы роста:

- определяется средняя для каждого месяца:

- расчет скорректированных средних (на основе перехода от цепных индексов к базисным):

106,5 (посл.знач) скорректированные средние с учетом поправки:

- сопоставить скорректированные средние со 109,5 (средняя).

– определяются цепные темпы роста помесячно (см.ранее);

цепные Т р ранжируются по возрастанию (помесячно);

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО - ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Выявление сезонной компоненты в изменении объема строительно-монтажных работ,

I II III IV V

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

– определяются цепные темпы роста помесячно (см. ранее);

– цепные Т р ранжируются по возрастанию (помесячно);

– скорректированные медианы:

скорректированные М е с учетом поправки:

сопоставить скорректированное значение М е со средней [110,1] :

I S = ; 84,4; 98,6; 99,6; 115,2; 124,8; 121,2; 114,6; 99,1; 86,2; 98, Итого =1200,00 или 100,0 — средняя.

Можно построить модель сезонной волны и численно определить размах сезонных колебаний, характер их проявления в различных отраслях народного хозяйства.

Моделью периодически изменяющихся уровней служит ряд Фурье:

где:

k — определяет номер гармоники ряда Фурье и может быть взята с разной степенью точности (чаще от «1» до «4»).

Параметры уравнения определяются методом наименьших квадратов, то есть по

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Для изучения сезонности берется (n = 12) по числу месяцев в году.

Как правило, при выравнивании по ряду Фурье рассчитывают не более четырех гармоник и затем уже определяют, какая гармоника наилучшим образом отражает периодичность изменения уровней ряда.

лать вывод, какая гармоника Фурье наиболее близка к фактическим уровням ряда.

Моделирование сезонности проводится в следующей последовательности:

1. Определяется тенденция исходного ряда динамики и ее аналитическое выражение, например, в виде линейного тренда:

Динамика объема строительно-монтажных работ, выполненных собственными силами, наилучшим образом описывается уравнением следующего вида:

2. Определяются y t — теоретические уровни ряда динамики;

3. Определяется ( y i : y t 100% ) — по месяцам года.

4. Определяются средние арифметические по месяцам года. Получается ряд индексов, характеризующих сезонную волну.

6. Определяется модель сезонной волны:

k — порядковый номер гармонии. [= 4]

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Дисперсия общая:

Вклад отдельный :

Модель имеет вид:

Метод наименьших квадратов, используемый в регрессионном анализе для определения коэффициентов регрессии, основывается на предпосылке независимости друг от друга отдельных наблюдений одной и той же переменной. В динамических же рядах существует еще и автокорреляция. Поэтому величина коэффициентов регрессии, полученных по способу наименьших квадратов, не имеет нужных статистических свойств.

Наличие автокорреляции приводит к искажению средних квадратических ошибок коэффициентов регрессии, что в свою очередь затрудняет построение доверительных интервалов по ним и проверку их значимости по соответствующим критериям. Автокорреляция также может привести к сокращению числа наблюдений ввиду невозможности потерять показатели одного и того же объекта за ряд лет, поскольку наблюдение одного объекта за десять лет качественно отличается от наблюдений десяти объектов за одно и то же время. Возникает автокорреляция и в отклонениях от трендов, а также в случайных остатках уравнений регрессии, построенных по многомерным рядам динамики.

Автокорреляция — это наличие сильной корреляционной зависимости между последовательными уровнями временного ряда.

Автокорреляция может быть следствием следующих причин:

• Не учтен в модели существенный фактор, при этом его влияние отражается на величине отклонений, которые в этом случае показывают закономерность в изменении, связанную с изменением неучтенного фактора.

• В модели не учитывается несколько факторов, влияние каждого из которых в отдельности не существенно, но при совпадении изменений этих факторов по направлению и по фазе в отклонениях может возникнуть автокорреляция.

• Автокорреляция в отклонениях может появиться в случае, когда неправильно выбрана форма связи между y и x.

• Неверно выбран порядок авторегрессионой модели.

• Вследствие специфичности внутренней структуры случайного компонента.

Прежде чем делать вывод о тесноте связи между рассматриваемыми рядами динамики, необходимо проверить наличие автокорреляции в них, чтобы оценить степень зависимости между соседними уровнями временного ряда.

Наличие автокорреляции устанавливается с помощью коэффициента автокорреляции, который определяется на основе формулы коэффициента корреляции для парной

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

(линейной) связи между уровнями исходного ряда и того же ряда, но сдвинутого на шагов во времени:

где:

yt — эмпирические значения уровней ряда;

yt+1 — эмпирические значения уровней, сдвинутые на один период времени ( = 1).

Возникает проблема заполнения последнего уровня ряда yt+1. В данном случае возможны два варианта:

1. Если значение последнего уровня мало отличается от первого, то чтобы ряд не укорачивался, его можно условно дополнить y t +1 = y t 1 . Тогда И коэффициент автокорреляции будет равен:

где:

Затем аналогично рассчитывается коэффициент автокорреляции для всех временных рядов, входящих в связный.

Если ra > ra кр при заданном уровне значимости и n, то в исходном временном ряду существует автокорреляция, в противном случае она отсутствует.

Последовательность значений коэффициентов автокорреляции r, вычисленных при = 1, 2,..., l, называют автокорреляционной функцией. Эта функция дает представление о внутренней структуре изучаемого экономического явления.

Для проверки автокорреляции в уровнях ряда также используется и критерий Дарбина-Уотсона. Гипотеза о наличии автокорреляции проверяется с помощью случайной величины:

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Если автокорреляции в ряду нет, то значения критерия d колеблются вокруг 2.

Эмпирическое значение d сравнивается с табличным значением.

В таблице есть два значения критерия — d1 и d2, v и n, где:

d1 и d2 — нижняя и верхняя границы теоретических значений;

v — число факторов в модели;

n — число членов временного ряда.

Если 1) d < d1 — в ряду есть автокорреляция;

3) d1 d d2 — необходимо дальше исследовать автокорреляцию.

Иногда приходится при анализе рядов динамики исследовать вопрос о наличии или отсутствии автокорреляции не между самими уровнями ряда, а между их отклонениями от среднего уровня или от выровненного уровня.

При значении ra 0,3 необходимо проверять наличие автокорреляции в остатках с помощью следующего коэффициента Дарбина-Уотсона для остаточных величин:

где:

t — отклонения эмпирических значений уровней от теоретических, полученных по уравнению тренда.

Существует теоретическое распределение значений dp для положительной автокорреляции с вероятностью 0,95, где:

d1 и d2 — нижняя и верхняя границы теоретических значений;

— число факторов в модели;

n — число членов временного ряда.

При применении критерия Дарбина-Уотсона расчетное значение dp сравнивается с табличными d1 и d2. При этом возникает три исхода:

1) d < d1 => вывод о наличии автокорреляции в отклонениях;

2) d > d2 => вывод об отсутствии автокорреляции;

3) d1 d d2 => необходимо дальше исследовать автокорреляцию.

Возможные значения критерия находятся 0 d 4. Они различны для положительной и отрицательной автокорреляции. Так как при отрицательной автокорреляции d [2;

4], для проверки следует определять величину (4 — d).

Если в рядах динамики или в остаточных величинах имеется автокорреляция, то оценки коэффициентов регрессии, полученные методом наименьших квадратов, будут несмещенными, но неэффективными, так как наличие автокорреляции увеличивает дисперРАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

сии коэффициентов регрессии. Это затрудняет построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии и проверку их значимости.

Из этого следует сделать вывод, что прежде чем проводить корреляционно-регрессионый анализ временных рядов, необходимо исключить из исследуемых рядов автокорреляцию.

После того как установлено наличие автокорреляции следует приступить к построению модели.

Основными моделями связных рядов динамики являются модели авторегрессии.

Для того, чтобы получить эти модели необходимо исключить автокорреляцию.

В настоящее время разработано четыре способа исключения автокорреляции:

1. Основан на использовании, так называемых, последовательных или конечных разностей.

Модель данным методом имеет вид:

Сущность метода заключается в последовательном исключении величины предшествующих уровней из последующих:

При коррелировании разностей измеряется теснота связи между разностями последовательных величин уровней в каждом динамическом ряду.

Показателем тесноты связей между изучаемыми рядами является коэффициент корреляции разностей:

2. По отклонениям эмпирических значений от выравненных по тренду Определяется тенденция исходных рядов динамики. Рассчитывается тренд, и его величина исключается из каждого уровня.

Модель в общем виде может быть представлена следующим образом:

При коррелировании отклонений фактических уровней от выравненных необходимо:

1) произвести аналитическое выравнивание сравниваемых рядов по любому рациональному многочлену;

2) определить величину отклонения каждого фактического уровня ряда динамики от соответствующего ему выравненного значения;

3) произвести коррелирование полученных отклонений.

Коэффициент корреляции отклонений определяется по формуле:

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

где:

dy = yi yt dx = xi xt.

Коэффициент корреляции отклонений характеризует степень связи между отклонениями фактических уровней сравниваемых рядов от соответствующих им выравненных уровней коррелируемых рядов динамики.

3. Метод Фриша-Воу Этот метод заключается в ведении времени как дополнительного факторного признака. Это возможно только в случае, если основные тенденции временных рядов одинаковы. В этом случае парные связи обращаются в связи многофакторные и расчеты коэффициента корреляции и уравнения регрессии проводятся методом многофакторной корреляции.

Коэффициент корреляции рассчитывается как множественный:

где:

— остаточная дисперсия;

2 — общая дисперсия.

При построении многофакторных моделей по динамическим рядам возникает проблема мультиколлинеарности.

Под мультиколлинеарностью в этом случае понимают наличие сильной корреляционной зависимости между факторами рассматриваемых во взаимосвязи рядов динамики.

Мультиколлинеарность возникает вне зависимости от связи между результативным и факторным признаками. Она часто представляет опасность для правильного определения степени тесноты связи и оценки ее значимости.

Мультиколлинеарность затрудняет проведение анализа, так как усложняется процесс выделения наиболее существенных факторов и искажается смысл коэффициента регрессии.

Мультиколлинеарность возникает в том случае, когда факторными признаками выступают синтетические показатели. Например, в качестве факторов рентабельности могут рассматриваться объем реализации, производительность труда, фондоотдача, которые сильно коррелированы между собой.

На практике считают два фактора сильно коррелированными, если парный коэффициент корреляции между ними по абсолютной величине больше 0,8.

Довольно приблизительным методом обнаружения мультиколлинеарности является следующее правило. Фактор можно отнести к числу мультиколлинеарных, если коэфРАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

фициент корреляции, характеризующий зависимость результативного признака от этого фактора больше, чем коэффициент множественной корреляции между результативным признаком и множеством остальных факторов.

Меры по устранению мультиколлинеарности в основном сводятся к следующему:

– построение уравнений регрессии по отклонениям от тренда или по конечным разностям;

– преобразование множества факторов в несколько ортогональных множеств с использованием методов многомерного анализа (факторного анализа или метода главных компонент);

– исключение из рассмотрения одного или нескольких линейно связных факторов. Это исключение следует вести с крайней осторожностью, основываясь на тщательном экономическом анализе.

Очистив таким образом уровни ряда динамики от автокорреляции и мультиколлинеарности, остается еще «подравнять» эти уровни по времени. Для этого необходимо рассмотреть вопрос о временном лаге.

Временным лагом называется запаздывание (или опережение) процесса развития, представленного одним временным рядом, по сравнению с развитием, предоставленным другим рядом.

Временной лаг определяется при помощи перебора парных коэффициентов корреляции между абсолютными уровнями двух рядов динамики. Возможно наличие временного лага и в данных, которые изображают динамику годовых показателей.

Следовательно, приведение данных к сопоставимому виду с точки зрения автокорреляции, коллинеарности и временного лага является предварительным условием построения многофакторной модели динамики.

Построенная с соблюдением этих условий многофакторная регрессионная модель y t = f ( x, x 2, K, x ), (где знак показывает номер этапа) будет характеризовать среднее влияние факторных признаков на результативный признак за рассматриваемый интервал времени. Величина этого влияния, выраженная коэффициентами регрессии, частными коэффициентами эластичности и B — коэффициентами будет изменяться от года к году.

При продолжительном времени (свыше 10 лет) это будет означать недоучет влияния НТР, изменение энерговооруженности труда, замещение одного сырья другим и т.д.

Эти недостатки отражения связи могут быть устранены несколькими способами.

Один из них состоит в разбиении всего периода времени T на пять интервалов. При этом выдвигается гипотеза, что за равные интервалы времени коэффициенты регрессии изменяются несущественно. Исходя из этого, можно построить пять уравнений, аналогичных вышеприведенному. Следовательно, каждое значение коэффициента регрессии ai будет иметь пять оценок. Итак, получается временной ряд для каждого коэффициента регрессии. По этим рядам динамики можно построить временные модели (тренды) для каждого коэффициента по одному динамическому ряду. Так получается модель по уравнениям регрессии.

Но при построении такой модели возникает ряд проблем. Прежде всего, при расчленении экономических динамических рядов и определяющих их факторов на интервалы, число интервалов должно быть достаточно велико, чтобы ряды динамики, составленные из этих интервалов, правильно отражали тенденцию изменения влияния факторных признаков на результативные. Число лет, входящих в один интервал, должно быть в 3– раза больше числа переменных, входящих в регрессионное уравнение.

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Однако мы часто располагаем более короткими рядами динамики, следовательно, практически применять такие модели крайне затруднительно, а иногда и невозможно.

Поэтому рассмотрим другие методы построения многофакторных моделей.

Предположим, что зависимость результативного признака экономического явления от ряда факторных может быть записана уравнением:

(t = 1, 2,..., k) и коэффициенты регрессии изменяются во времени по линейной функции так, что их можно записать уравнениями:

В этом случае уравнение регрессии имеет другой вид:

Раскрывая скобки и производя замену переменных произведения tх через z, так что:

получим новое уравнение:

Параметры этого уравнения находятся по способу наименьших квадратов и показывают, как меняется во времени действие отдельных факторов на результативный признак рассматриваемого социально-экономического явления.

Применение приведенного уравнения с большим числом параметров и факторов требует использования рядов в 6–7 раза длиннее числа параметров.

Однако в данном случае рассматривались линейные тренды параметров уравнения регрессии, а при криволинейных трендах число параметров самого уровня значительно увеличивается и, следовательно, ряд динамики должен быть еще длиннее.

Таким образом, пользоваться только что рассмотренным методом на практике бывает затруднительно. Особенно трудно вести оценку значимости параметров. Обычно имеющиеся в распоряжении исследования временные ряды за 20–25 лет недостаточны.

Они должны быть значительно длиннее, чтобы были получены достаточно достоверные выводы.

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО - ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ II

1. Приведите классификацию статистических моделей.

2. Покажите, что статистическое прогнозирование является частью общей теории прогностики.

3. Дайте классификацию временных рядов и проиллюстрируйте примерами.

4. Сформулируйте понятие «модели» и «моделирования».

5. В чем отличие стационарных от нестационарных временных рядов.

6. Охарактеризуйте составляющие компоненты временного ряда.

7. Сформулируйте основные этапы проведения экономико-статистического анализа.

8. В чем различие понятий «тренд» и «тенденция»?

9. Назовите виды тенденции в рядах динамики.

10. Перечислите методы выявления тенденции в рядах динамики.

11. Сформулируйте сущность метода — кумулятивного Т-критерия.

12. Назовите методы выявления тенденции по видам во временных рядах.

13. Сформулируйте сущность метода сравнения средних уровней временного ряда.

14. Сформулируйте сущность метода Фостера-Стюарта.

15. В чем сущность процедуры центрирования в методе скользящих средних.

16. Чем определяется порядок скольжения в методе скользящих средних.

17. Сформулируйте основные требования реализации метода скользящих средних.

18. Сформулируйте сущность метода аналитического выравнивания.

19. Какие Вы знаете сглаживающие функции? Как происходит выбор функции?

20. Представьте графическое обоснование случайного компонента.

21. Перечислите методы оценки случайного компонента.

22. Сформулируйте гипотезу, проверяемую на основе критерия «восходящих» и «нисходящих» серий.

23. Сформулируйте сущность дисперсионного метода анализа.

24. Что такое связные или многомерные временные ряды?

25. Что понимают под автокорреляцией временных рядов и какие разработаны методы исключения автокорреляции?

26. Перечислите способы построения регрессионных моделей методом наименьших квадратов по динамическим рядам?

27. В чем особенность изучения сезонного компонента?

28. Перечислите методы выявления сезонного компонента.

29. В чем особенность моделирования сезонного компонента?

30. Чем определяется порядок гармоники Фурье?

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

социально-экономических явлений и процессов 3.1. Сущность и классификация статистических прогнозов Статистическое прогнозирование, наряду с другими видами прогнозирования социально-экономических явлений и процессов, является инструментом социально-экономического управления и развития.

Прогнозирование — это вид познавательной деятельности человека, направленной на формирование прогнозов развития объектов, на основе анализа тенденций и закономерностей его развития.

Прогнозирование — это научное, основанное на системе установленных причинно-следственных связей и закономерностей, выявление состояния и вероятностных путей развития явлений и процессов.

Прогнозирование предопределяет оценку показателей и дает характеристику явлений и процессов в будущем. Прогнозирование распространяется на такие процессы управления, которые в момент выработки прогнозов можно определить в весьма малом диапазоне, либо совсем невозможно, либо возможно, но требует учета действия таких факторов, влияние которых не может быть полностью или однозначно определено.

В зависимости от степени конкретности и характера воздействия на ход исследуемых процессов и явлений можно выделить три основные понятия прогнозирования:

— гипотеза;

— предсказание;

— прогноз.

Данные понятия тесно взаимосвязаны в своих проявлениях друг с другом и с исследуемым объектом и представляют собой последовательные ступени познания поведения явления и объекта в будущем.

Гипотеза — это научно обоснованное предположение либо о непосредственно ненаблюдаемом факте, либо о закономерном порядке, объясняющем известную совокупность явлений.

На уровне гипотезы дается качественная характеристика объекта, выражающая общие закономерности его поведения.

Гипотезой является не всякая догадка, а лишь предположение, которое носит вероятный характер. Установив, что группа явлений, закономерная связь которых неизвестна, имеет ряд тождественных черт с другой группой явлений, закономерная связь которых уже установлена, делается вывод о вероятности частичного сходства искомой закономерной связи с уже определенной.

Развиваясь, гипотеза одновременно подвергается проверке, необходимость которой вытекает из самой сущности гипотезы как предположения.

Проверка гипотезы состоит в том, что все следствия, полученные посредством теоретического анализа основного допущения гипотезы сопоставляются с эмпирическими данными.

Если по одной и той же задаче, проблеме и так далее возникает одновременно несколько гипотез и известно, какие гипотезы здесь вообще возможны, а какие — нет, то доказательством истинности одной из рассматриваемых гипотез является установление ложности всех остальных.

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Степень вероятности гипотезы тем выше, чем разнообразнее и многочисленнее ее следствия, подтвержденные эмпирическим путем.

Достаточность условий реализации гипотез, их вероятность теоретически и практически граничит с высокой степенью достоверности. Гипотеза оказывает воздействие на процесс через прогноз, являясь важным источником информации для его составления.

Предсказание — это предвидение таких событий, количественная характеристика которых невозможна или затруднена.

Прогноз — это количественное, вероятностное утверждение в будущем о состоянии объекта или явления с относительно высокой степенью достоверности, на основе анализа тенденций и закономерностей прошлого и настоящего.

Прогноз в сравнении с гипотезой имеет большую определенность и достоверность, так как основывается как на качественных, так и на количественных характеристиках. В отдельных случаях прогноз может носить качественный характер, но в его основе всегда лежат количественные явления.

Для осуществления прогноза, то есть определения понятий, как будет осуществляться и развиваться прогнозируемые явления в будущем, необходимо знать тенденции и закономерности прошлого и настоящего. При этом, следует помнить, что будущее зависит от многих случайных факторов, сложное переплетение и сочетание которых учесть практически невозможно. Следовательно, все прогнозы носят вероятностный характер.

Прогнозы можно подразделить в зависимости от целей, задач, объектов, времени упреждения, источников информации и так далее.

1. В зависимости от целей исследования прогнозы делятся на поисковые и нормативные.

Нормативный прогноз — это прогноз, который предназначен для указания возможных путей и сроков достижения заданного, желаемого конечного состояния прогнозируемого объекта, то есть нормативный прогноз разрабатывается на базе заранее определенных целей и задач.

Поисковый прогноз не ориентируется на заданную цель, а рассматривает возможные направления будущего развития прогнозируемого объекта, то есть выявление того, как будет развиваться объект в будущем полностью зависит от сохранения существующих тенденций.

Таким образом, поисковый прогноз отталкивается при определении будущего состояния объекта от его прошлого и настоящего, а нормативный прогноз осуществляется в обратной последовательности: от заданного состояния в будущем к существенным тенденциям и закономерностям в соответствии с поставленной задачей.

2. В зависимости от специфики области применения прогноза и от объекта прогнозирования прогнозы подразделяются на:

— естественноведческие — это прогнозы в области биологии, медицины и так далее;

— научно-технические — это, например, инженерное прогнозирование технических характеристик узлов, деталей и так далее;

3. В зависимости от масштабности объекта, прогнозы бывают:

— глобальные — рассматривают наиболее общие тенденции и закономерности в мировом масштабе;

— макроэкономические — анализируют наиболее общие тенденции явлений и процессов в масштабе экономики страны в целом;

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

— структурные (межотраслевые и межрегиональные) — предсказывают развитие экономики в разрезе отраслей;

— региональные — предсказывают развитие отдельных регионов;

— отраслевые — прогнозируют развитие отраслей;

— микроэкономические — предсказывают развитие отдельных предприятий, производств и так далее.

4. По сложности прогнозы различают:

— сверхпростые — прогноз на основе одномерных временных рядов, когда отсутствуют связи между признаками;

— простые — прогнозы, предполагающие учет оценки связей между факторными признаками;

— сложные — прогнозы, оценка связей между признаками в которых определяется на основе системы уравнений или многофакторного динамического прогнозирования.

5. По времени упреждения выделяются следующие прогнозы социальноэкономических явлений и процессов:

— текущие — до 1 года;

— краткосрочные — 1 — 3 года;

— среднесрочные — 3 — 5 лет;

— долгосрочные — 5 — 10 лет;

— дальнесрочные — 10 и более лет.

Период упреждения прогноза — это отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз.

Период упреждения прогноза зависит от специфики и особенностей изучаемого объекта исследования, от интенсивности изменения показателей, от продолжительности действия выявленных тенденций и закономерностей, от длины временного ряда и от многих других факторов.

Перечисленные виды прогнозов по времени упреждения отличаются друг от друга по своему содержанию и характеру оценок исследуемых процессов.

Текущий прогноз основан на предположении о том, что в прогнозируемом периоде не произойдет существенных изменений в исследуемом объекте, а если и произойдут, то количественно несущественные.

Краткосрочный и среднесрочные прогнозы предполагают, что произойдут существенные изменения с изучаемым объектом как в количественных, так и в качественных характеристиках. При этом в краткосрочном и среднесрочном прогнозах оценка явлений и процессов дается в разрезе количественно-качественном, а в долгосрочном и дальнесрочном прогнозах — качественно-количественном.

Выбор методов прогнозирования осуществляется в соответствии с характером объекта, требований, предъявляемых к информационному обеспечению, а также на основе сравнения эффективности и оптимальности решения аналогичных задач.

Отличительной чертой социально-экономических явлений и процессов является инерционность, проявляющаяся, с одной стороны в сохранении взаимосвязей прогнозируемого явления с другими явлениями, а с другой — в сохранении тенденции во времени.

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Для обеспечения научной обоснованности и достоверности социально-экономических прогнозов необходимо, чтобы в ходе их составления раскрывались и познавались причинно-следственные связи и факторы, характеризующие развитие процессов и явлений, изучались их внутренние структурные связи, а также внешняя среда, в которой они проявляются.

Основными этапами разработки статистических прогнозов являются:

1. Анализ объекта прогнозирования. На этом этапе рассматривается состояние, основные элементы, взаимосвязи и факторы, формирующие и оказывающие влияние на исследуемых объект; выдвигается основная рабочая гипотеза; выявляются причинно-следственные связи как внутри явления, так и вне его и определяется их статистическое выражение.

2. Характеристика информационный базы исследования.

На данном этапе выдвигаются основные требования, предъявляемые к информационной базе. При этом различают количественную информацию, обработку которой осуществляют статистическими методами, и качественную информацию, сбор и обработка которой производится преимущественно эвристическими и непараметрическими статистическими методами анализа.

3. Выбор метода прогнозирования.

Процесс выбора метода прогнозирования обусловлен объективизацией прогноза, которая обеспечивает реализацию наиболее точного и достоверного прогноза. С этой целью целесообразно использовать различную исходную информацию и несколько методов прогнозирования.

4. Построение исходной модели прогноза и ее реализация. Данный этап предполагает, что основой построения прогноза является разработка достаточно адекватной исходной модели, обладающей прогностическими свойствами.

5. Проверка достоверности, точности и обоснованности прогноза.

На данном этапе дается достоверная оценка процесса прогнозирования на основе расчета и анализа абсолютных, относительных и средних показателей точности прогноза.

Надежность прогноза определяется, как правило, величиной доверительных интервалов.

6. Принятие решений на основе прогнозной модели и выработка рекомендаций о возможностях ее использования для получения прогнозных оценок.

Построение достаточно точных и надежных прогнозов позволяет на практике наиболее четко сформулировать резервы и пути развития изучаемых социально-экономических явлений и процессов.

Одним из наиболее распространенных методов прогнозирования социальноэкономических явлений и процессов является экстраполяция, то есть продление тенденции и закономерностей, связей и соотношений прошлого и настоящего на будущее.

Типичным и наиболее применимым примером экстраполяции является прогнозы по одномерному временному ряду, который заключается в продлении на будущий период сложившейся тенденции изучаемого явления. Основная цель данного прогноза заключается в том, чтобы показать, к каким результатам можно прийти в будущем, если развитие явления будет происходить со скоростью, ускорением и так далее, аналогичным прошлого периода. Если прогнозная оценка окажется неудовлетворительной, то сложившаяся в прошлом тенденция должна быть изменена с учётом тех факторов, под влиянием которых она складывается.

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Широкое практическое применение методов экстраполяции трендов объясняется простотой метода, сравнительно небольшим объемом информации и четкостью механизма реализации, лежащих в его основе предпосылок.

Теоретической основой распространения тенденции на будущее является свойство социально-экономических явлений, называемое инерционностью.

Инерционность — это сохранение тенденций, закономерностей, скорости и характера развития явлений и процессов в будущем, измеренных по данным прошлого периода.

Статистическое прогнозирование предполагает не только качественное предсказание, но и достаточно точное количественное измерение вероятных возможностей, ожидаемых значений признака. Для данной цели важно, чтобы прогностическая модель имела достаточную точность или допустимо малую ошибку прогноза.

Ошибка статистического прогноза будет тем меньше, чем меньше срок упреждения и чем длиннее информационная база прогноза. Оба этих фактора ошибки прогноза имеют следующие условия: состояние и параметры процесса в ближайшем будущем более сходны с фактическими данными и поэтому их предвидеть можно точнее, чем параметры того же процесса в далеком будущем.

Если тенденция динамики сохранялась неизменной 30 лет, есть гораздо большая вероятность ее сохранения и в последующие пять лет, чем если существующая тенденция возникла всего десять лет назад.

Однако из этих условий нельзя однозначно вывести какой-либо универсальный алгоритм определения допустимого срока упреждения при заданной точности прогноза либо наоборот. Приходится на данном этапе ограничиться чисто эмпирическим правилом: в большинстве случаев срок упреждения не должен превышать третей части длины базы прогноза. Иначе говоря, для прогноза на 5 уровней желательно иметь временной ряд для прогноза по длине не менее чем 15 уровней.

В каждом конкретном исследовании соотношение длины базы прогноза и срока упреждения необходимо обосновать, кроме учета вышеперечисленных общих правил, используя еще и всю возможную информацию об особенностях изучаемого объекта.

Прогнозы на основе экстраполяции временных рядов, как и любые статистические прогнозы, могут быть либо точечными, либо интервальными.

Экстраполяцию в общем виде можно представить формулой вида:

где:

yi — текущий уровень исходного временного ряда;

L — период упреждения;

ai — параметр уравнения тренда В зависимости от того, какие принципы и исходные данные положены в основу прогноза, можно выделить следующие группы методов прогнозирования социальноэкономических явлений:

1. прогнозирование на основе простейших методов;

2. прогнозирование на основе экстраполяции трендов;

3. прогнозирование на основе дисконтирования информации;

4. прогнозирование на основе кривых роста.

Данные группы методов прогнозирования наиболее подробно будут рассмотрены в следующих параграфах.

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

3.2. Простейшие методы прогнозной экстраполяции Наиболее простыми методами прогнозирования по одномерным временным рядам, являются:

• прогнозирование в предложении абсолютной неизменности значений предшествующих уровней в будущем;

• метод среднего уровня ряда;

• метод среднего абсолютного прироста;

• метод среднего темпа роста.

Рассмотрим каждый из названных методов.

Прогнозирование в предположении абсолютной неизменности значений предшествующих уровней исходит из утверждения, что каждое следующее прогнозное значение будет равно предыдущему значению признака, то есть:

где:

y* — прогнозное значение на период упреждения L.

y * t + L 1 — прогнозное значение предшествующее периоду упреждения L.

Данный случай прогнозирования является частным и в практике статистического прогнозирования социально-экономических явлений встречается крайне редко.

Другим простейшим методом прогнозирования социально-экономических явлений является метод прогнозирования на основе среднего уровня ряда.

Данный метод прогнозирования используется для случаев, когда изменение значений уровней временных рядов носит стационарный характер.

При построении прогноза данным методом используется принцип, согласно которому значения всех последующих прогнозируемых уровней принимаются равными среднему значению уровней ряда в прошлом, то есть:

Таким образом получают точечный прогноз.

Однако, рассматривая временный ряд как выборку из некоторой генеральной совокупности, сложно предположить, что прогнозная точечная оценка полностью совпадает с эмпирическими значениями признака. В этом случае целесообразно определить доверительный интервал прогноза путем построения интервального прогноза данным методом по выражению вида:

где:

t — табличное значение;

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

t — критерия Стьюдента с (n-1)числом степеней свободы и уровнем значимости;

— средняя квадратическая ошибка средней, которая определяется по формуле:

где:

y — среднее квадратическое отклонение, которое определяется как:

где:

y — эмпирические значения уровней временного ряда;

y — средний уровень исходного временного ряда;

n — число уровней ряда.

Полученный таким образом (3.4) доверительный интервал учитывает колеблемость выборочных средних и предполагает, что каждая следующая прогнозная оценка будет равна среднему уровню ряда динамики. При этом упускается из вида возможность колеблемости эмпирических значений признака вокруг средней, то есть в определении доверительного интервала, в расчете дисперсии необходимо учесть как колеблемость выборочных средних, так и степень варьирования индивидуальных эмпирических значений признака вокруг средней.

В этом случае доверительный интервал прогнозной оценки можно определить по выражению вида:

Как видно, общая вариация прогнозируемого социально-экономического явления, то есть его ошибка, определяется суммой двух дисперсий: общая дисперсия и дисперсия выборочной средней при условии рассмотрения исходного временного ряда как выборки из некоторой генеральной совокупности.

Прогнозирование методом среднего абсолютного прироста предполагает, что общая тенденция развития изучаемого социально-экономического явления наилучшим образом аппроксимируется линейной формой аналитического выражения.

Применение данного метода прогнозирования возможно при предварительной проверке следующих предпосылок:

1. Абсолютные цепные приросты (iy = yi — yi-1, где:

2. yi — значение уровня i-го периода; yi-1 — значение уровня предшествующего i-му периоду времени) должны быть приблизительно одинаковыми;

3. Должно выполняться неравенство вида:

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

где:

2 ост — остаточная дисперсия, определяемая по формуле:

где:

y — эмпирические значения уровней ряда динамики;

— теоретические значения уровней ряда, выравненные методом среднего абсолютного прироста.

n — число уровней исходного ряда динамики.

где:

i — цепные абсолютные приросты уровней исходного временного ряда.

После проверки и подтверждения выполнения данной предпосылки можно приступать к прогнозированию методом среднего абсолютного прироста, общая модель прогноза которого имеет вид:

где:

— последний уровень исходного ряда динамики (для перспективного прогноза) или уровень принятый за базу экстраполяции;

L — период упреждения прогноза;

— средний абсолютный прирост, который определяется по формулам вида:

где:

y — последний уровень исходного ряда динамики;

y 1 — первый уровень исходного ряда динамики.

Как видно из приведенных преобразований, прогнозирование методом среднего абсолютного прироста заключается в непрерывном увеличении последнего уровня исходного ряда динамики на величину среднего абсолютного прироста на всем периоде упреждения.

Пример. По следующим данным об объеме ипотечного кредитования коммерческой недвижимости в одном из регионов РФ за период январь-август 2002 гг. построить прогноз методом среднего абсолютного прироста на сентябрь — ноябрь 2002 г. (таблица 3.1).

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Средний абсолютный прирост составил:

Расчетная таблица для определения прогнозных значений методом Проверим неравенство: 2ост 2.

следовательно, основная предпосылка выполняется, что свидетельствует о том, что данным методом можно прогнозировать объем ипотечного кредитования.

Прогнозные оценки данного показателя на сентябрь — ноябрь 2002 г. составят:

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Прогнозирование методом среднего темпа роста осуществляется в случае если темпы роста цепные, рассчитанные по данным исходного ряда динамики за исследуемый период времени, имеют приблизительно одинаковое цифровое значение, а тенденция развития явления подчиняется геометрической прогрессии и может быть описана показательной (экспоненциальной) кривой.

Модель прогноза методом среднего темпа роста имеет вид:

где:

y t — последний уровень исходного ряда динамики (для перспективного прогноза) или уровень принятый за базу экстраполяции (во всех остальных случаях);

Т р — средний темп роста, который определяется по формулам вида:

где:

yn — последний уровень исходного ряда динамики;

y1 — первый уровень исходного ряда динамики;

ПТр у — произведение цепных темпов роста Сумма теоретических значений у Т р, полученных в результате выравнивания по среднему темпу роста, должна совпадать с суммой эмпирических значений исходного временного ряда y :

Несовпадение данных сумм может быть вызвано следующими причинами:

1. исходному временному ряду свойственна другая закономерность, а не экспоненциальная;

2. существенное и значимое влияние на изучаемое социально-экономическое явление оказывают случайные факторы.

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Пример. По следующим данным об объеме товарооборота по торговым точкам города в январе-мае 2002 г. постройте прогноз на июнь-июль 2002 г. методом среднего темпа роста (таблица 3.2).

Средний темп роста составил:

Прогноз объема товарооборота по торговым точкам города составил:

Расчетная таблица для определения прогнозных значений Рассмотренные методы прогнозирования являются простейшими, и поэтому прогнозы, полученные на их основе, являются приближенными и не всегда надежны при увеличении периода упреждения. Как правило, эти методы используются только при краткосрочном прогнозировании.

Применение этих методов в среднесрочном и долгосрочном прогнозировании нецелесообразно, так как они не только не учитывают вариацию, скачки внутри временного ряда, но и в основе построения их моделей прогноза и получения прогнозных оценок на всем периоде упреждения лежит принцип равномерного увеличения или уменьшения (в зависимости от знака абсолютного прироста или допустимых границ темпа роста) исследуемого явления, в частности его последнего уровня в исходном временном ряду, от одного периода упреждения к другому на постоянную величину, количественно выраженную значением среднего абсолютного прироста или среднего темпа роста.

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

3.3. Прогнозирование на основе экстраполяции тренда Наиболее распространенным методом прогнозирования выступает аналитическое выражение тренда. При этом, для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной времени.

При таком подходе к прогнозированию предполагается, что размер уровня, характеризующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить порознь их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени, то есть:

Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза. Точечный прогноз есть оценка прогнозируемого показателя в точке (в конкретном году, месяце, дне) по уравнению, описывающему тенденцию показателя.

Точечная оценка рассчитывается путем подстановки номера года t, на который рассчитывается прогноз, в уравнении тренда. Она является средней оценкой для прогнозируемого интервала времени.

Совпадение фактических данных и прогностических оценок — явление маловероятное, поэтому целесообразно определить доверительные интервалы прогноза.

Величина доверительного интервала определяется следующим образом:

где:

y — средняя квадратическая ошибка тренда;

y t — расчетное значение уровня;

t — доверительное значение критерия Стьюдента.

Метод прогнозирования на основе экстраполяции тренда базируется на следующих предпосылках:

1. исходный временной ряд должен описываться плавной кривой;

2. общие условия, определяющие тенденцию развития изучаемого явления в прошлом и настоящем не должны претерпевать значительных изменений в будущем;

3. исходный ряд динамики должен иметь достаточное число уровней, с тем, чтобы отчетливо проявилась тенденция.

Трендовые модели выражаются различными функциями y = f t, на основе коt торых строятся модели прогноза и осуществляется их оценка.

На практике наибольшее распространение получили следующие виды трендовых моделей:

1. линейная y * t + L = a + a t ;

2. параболы различных степеней:

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

— 3-го порядка (кубическая) y * t + L = a + a t + a t 2 + a t 3 и т.д.

3. степенная: y * t + L = a + a t 5. логарифмическая: y * t + L = a + a lg t.

При этом наиболее существенным вопросом прогнозирования по трендовым моделям является проблема точного прогноза.

Точная оценка прогноза весьма условна в силу следующих причин:

1. Выбранная для прогнозирования функция дает лишь приближенную оценку тенденции, так как она не является единственно возможной.

2. Статистическое прогнозирование осуществляется на основе ограниченного объема информации, что, в свою очередь, сказывается на величине доверительных интервалов прогноза.

3. Наличие в исходном временном ряду случайного компонента приводит к тому, что любой прогноз осуществляется лишь с определенной долей вероятности.

Рассматривая получение интервальных или точечных оценок прогноза следует учитывать, что в отдельных случаях получение более точных оценок не гарантирует надежности прогноза.

Применение трендовых моделей прогнозирования социально-экономических явлений имеют большую значимость и, несмотря на определенную простоту их реализации, часто применяются для прогнозирования сложных социально-экономических явлений.

Если выбранная модель тренда достаточно правильно отражает тенденцию развития, то полученные на ее основе прогнозы практически всегда надежны.

Прогнозирование методом экстраполяции тренда основывается на анализе тенденций развития одномерных временных рядов социально-экономических явлений и процессов.

Однако прогноз по аналитическому выражению тренда имеет один существенный недостаток, который иногда приводит к большим ошибкам при прогнозировании явления.

Дело заключается в том, что в данном случае прогнозируется только детерминированная составляющая ряда динамики и не учитывается случайный компонент. Чтобы избежать этой ошибки и сделать прогноз более точным, надо отыскать закономерность изменения во времени случайного компонента. Для этого принято вначале находить отклонения от тренда и определять закономерность их изменения во времени, а затем делать прогноз случайной составляющей динамического ряда. Результаты обоих прогнозов объединяются. Рассматриваемый метод тогда дает удовлетворительные результаты, когда в эмпирическом ряду случайные колебания будут небольшими и между ними отсутствует автокорреляция.

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

3.4. Прогнозирование с учетом дисконтирования информации Рассмотренные выше методы прогнозирования на основе временных рядов были основаны на равнозначной оценке исходной информации, независимо от того отражала эта информация последние или прошлые тенденции развития социально-экономических явлений и процессов.

Для получения достоверных прогнозов существенно: какая, по времени отражения прогнозируемых явлений, информация используется для получения прогноза. Практика показывает, что для точных и надежных прогнозных оценок наиболее ценной является информация последних уровней.

Следовательно и оценивать исходную информацию необходимо по-разному: наиболее позднюю (последнюю) информацию необходимо оценивать выше, чем информацию, характеризующую тенденцию явления в прошлом. Такая оценка информации может быть произведена путем взвешивания или дисконтирования.

Принцип дисконтирования предполагает, что для построения точных и надежных прогнозов более поздняя информация имеет больший удельный вес по степени информативности, чем более ранняя информация.

На принципе дисконтирования информации разработаны следующие методы статистического прогнозирования:

1. метод простого экспоненциального сглаживания;

2. метод гармонических весов.

Данные методы могут быть использованы при прогнозировании социальноэкономических явлений и процессов только при условии выполнения следующих предпосылок их реализации:

— исходные ряды динамики должны быть достаточно длинными с тем, чтобы более четко проявилась тенденция изменения социально-экономических явлений;

— в уровнях исходных временных рядов должны отсутствовать скачки в развитии явления;

— должен соблюдаться принцип инерционности, то есть тенденция и закономерности прошлого и настоящего могут продлеваться на будущее и для получения значительных изменений в основных характеристиках социально-экономических явлений необходимо, чтобы существовал значительный период упреждения.

Метод простого экспоненциального сглаживания заключается в том, что уровни исходного временного ряда взвешиваются с помощью скользящей средней, веса которой подчиняются экспоненциальному закону распределения.

Данная скользящая средняя получила название экспоненциальной средней (St(y)) и позволяет проследить закономерности изменения явления в динамике по наиболее существенным, последним уровням.

Особенность метода заключается в том, что при расчете теоретических значений полученных по модели тренда, учитываются только значения предыдущих уровней временного ряда, взятых с определенным весом.

Общая формула расчета экспоненциальной средней имеет вид:

где:

St(y) — значение экспоненциальной средней временного ряда для момента t;

St-1(y) — значение экспоненциальной средней для момента(t-1);

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

yt — значение последнего уровня исходного ряда динамики (для перспективного прогнозирования) или значение уровня временного ряда социально-экономического явления в момент t;

— параметр сглаживания (вес t-го значения уровня временного ряда).

Из формулы (3.18) видно, что при вычислении экспоненциальной средней St(y) используется значение только предыдущей экспоненциальной средней St-1(y) и значение последнего уровня временного ряда, а все предыдущие уровни ряда опускаются.

Одной из проблем практической реализации метода простого экспоненциального сглаживания является определение значения параметра сглаживания.

От значения параметра зависят веса предшествующих уровней временного ряда и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживаемый уровень, а следовательно и значения прогнозных оценок. Чем больше значение параметра сглаживания, тем меньше влияние на прогнозные оценки предшествующих уровней и тем следовательно меньше сглаживающее влияние экспоненциальной средней.

Если стремится к 1 — это означает, что при прогнозе в основном учитывается влияние только последних уровней временного ряда.

Если стремится к 0 — это означает, что при прогнозе учитываются прошлые уровни временного ряда.

Автор метода простого экспоненциального сглаживания Р.Г. Браун предложил следующую формулу расчета :

где:

n — число уровней временного ряда, вошедших в интервал сглаживания.

Пределы изменения установлены эмпирическим путем и изменяются в пределах:

0,1 0,3.

Однако, следует учитывать, что в этом случае параметр полностью зависит от числа наблюдений n.

Часто на практике при решении конкретных задач параметр применяется равным: = 0,1; 0,15; 0,2; 0,25; 0,3.

Параметр сглаживания может быть также определен на основе метода перебора различных его значений. При этом, в качестве оптимального значения выбирается то значение, при котором получена наименьшая средняя квадратическая ошибка прогноза, рассчитанная по данным всего сглаживаемого временного ряда или по данным части временного ряда, специально оставленной для проверки качества прогнозной модели. То есть путем построения ретроспективного прогноза, сущность которого заключается в том, что весь исходный ряд динамики разбивается на две части в соотношении 2/3 к 1/3.

Для различных значений строится модель прогноза по первой части ряда (2/3) и по ней осуществляется прогноз на вторую (1/3 от исходной) часть ряда, по которой определяются отклонения прогнозных значений ( y * ) временного ряда от эмпирических знаt чений уровней (yi) и определяется средняя квадратическая ошибка этих отклонений по формуле:

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Наиболее оптимальным считается тот параметр сглаживания, которому соответствует наименьшее значение средней квадратической ошибки.

Прежде чем приступать к определению экспоненциальных средних, необходимо, кроме парaметра определить St-1(y), то есть возникает проблема определения начальных условий.

Таким образом прогнозирование методом простого экспоненциального сглаживания может быть реализовано в двух возможных вариантах:

— начальные условия (у0) известны.

— начальные условия не известны.

В случае если начальные условия известны также возможны два случая реализации этого варианта:

В качестве начального условия у0 может быть использована средняя арифметическая, определенная по всем значениям уровней исходного временного ряда по формуле вида:

Использование средней арифметической в качестве начального условия возможно только в том случае, когда известны данные о развитии изучаемого социальноэкономического явления в прошлом.

В качестве начального условия у0 возможно использование значения первого уровня исходного временного ряда — у1. При этом вес данного уровня будет уменьшаться по мере скольжения по уровням исходного временного ряда от уровня к уровню, а следовательно будет уменьшаться влияние каждого следующего уровня на величину экспоненциальной средней.

В случае если начальные условия не известны, то они могут быть определены по формулам, разработанным Р.Г. Брауном.

При этом возможны различные модификации их расчета в зависимости от того, какая модель тренда наилучшим образом описывает реально существующую тенденцию развития изучаемого социально-экономического явления.

Так, если тенденция исходного временного ряда описывается уравнением линейного тренда вида:

то прогнозирование методом простого экспоненциального сглаживания осуществляется в следующей последовательности:

1. Определяются параметры линейного тренда а0 и а1, описывающего тенденцию исходного временного ряда:

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Параметры а0 и а1 определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

2. Определяются начальные условия первого и второго порядков (порядок начальных условий определяется числом параметров уравнения тренда — линейного тренда — а0 и а1) по формулам вида:

— начальное условие первого порядка:

— начальное условие второго порядка:

где:

а0 и а1 — параметры уравнения тренда (2.22), полученные методом наименьших квадратов.

3. Рассчитываются экспоненциальные средние первого и второго порядка:

— экспоненциальная средняя первого порядка:

где:

уt — значение последнего фактического уровня исходного временного ряда;

— экспоненциальная средняя второго порядка:

Прогноз строится по модели вида:

где оценки коэффициентов модели определяются по следующим формулам:

4. Ошибка прогноза определяется по следующей формуле:

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

где:

y — средняя квадратическая ошибка, рассчитанная по отклонениям эмпирических значений признака от теоретических, полученных по уравнению линейного тренда, то есть по следующей формуле:

где:

К — число степеней свободы, определяемое в зависимости от длины исходного временного ряда (n) и числа параметров уравнения тренда.

Пример. Построим прогноз объема платных услуг населению методом простого экспоненциального сглаживания, предположив, что тенденция изменения данного показателя наилучшим образом описывается уравнением линейного тренда следующего вида:

Таким образом модель прогноза объема платных услуг населению РФ методом простого экспоненциального сглаживания имеет вид:

Если ряд динамики описывается параболой второго порядка:

параметры которой определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений:

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

то основные показатели экспоненциального сглаживания рассчитываются по следующим формулам.

Начальные условия:

— второго порядка — третьего порядка Экспоненциальные средние:

— первого порядка Оценка параметров модели прогноза:

Ошибка прогноза определяется по формуле:

Пример. Построим прогноз объема платных услуг населению (таблица ) методом простого экспоненциального сглаживания, предположив,что тенденция изменения данного показателя наилучшим образом описывается уравнением параболы второго порядка следующего вида:

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

0,007 = 21, 0,007 = 18, S [t1] (y ) = y t + (1 )S [01] (y ) = 0,15 31,9 + (1 0,15) 24,18 = 25, S [t2 ] (y ) = S [t1] (y ) + (1 )S [02 ] (y ) = 0,15 25,34 + (1 0,15 ) 21,276 = 21, S [t3] (y ) = S [t2 ] (y ) + (1 )S [03 ] (y ) = 0,15 21,88 + (1 0,15) 18,14 = 18, 0 = 3 S [t1] ( y ) S [t2 ] + S [t3 ] ( y ) = 3( 25,34 21,88 + 18,701) = 66, 2(1 0,15) Таким образом модель прогноза объема платных услуг населению РФ методом простого экспоненциального сглаживания имеет вид:

Метод гармонических весов был разработан польским статистиком З. Хелвингом, близок к методу простого экспоненциального сглаживания и использует тот же принцип.

В его основе лежит взвешивание скользящего показателя, но вместо скользящей средней используется идея скользящего тренда. Экстраполяция проводится по скользящему тренду, отдельные точки ломаной линии взвешиваются с помощью гармонических весов, что позволяет более поздним наблюдениям придавать большой вес.

Метод гармонических весов базируется на следующих предпосылках:

1. Период времени, за который изучается экономический процесс, должен быть достаточно длительным, чтобы можно было определить его закономерности.

2. Исходный ряд динамики не должен иметь скачкообразных изменений.

3. Прогнозируемое социально-экономическое явление должно обладать инерционностью, то есть для наступления большого изменения в характеристиках процесса необходимо, чтобы прошло значительное время.

4. Отклонения от скользящего тренда (t) имеют случайный характер.

5. Автокорреляционная функция, рассчитанная на основе последовательных разностей, должна уменьшаться с увеличением уровней временного ряда, то есть влияние более поздней информации должно отражаться на прогнозируемой величине сильнее, чем ранней информации.

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Для получения точного прогноза по методу гармонических весов необходимо выполнение всех вышеуказанных предпосылок для исходного ряда динамики.

Для осуществления прогноза данным методом исходный временной ряд разбивается на фазы (к). Число фаз должно быть меньше числа членов ряда (n), то есть к < n. Обычно фаза равна 3-5 уровням. Для каждой фазы рассчитывается линейный тренд, то есть:

Для оценки параметров используется способ наименьших квадратов.

С помощью полученных (n — k + 1) уравнений определяются значения скользящего тренда. С этой целью выделяются те значения yi(t), для которых t = i, их обозначают yj(t). Пусть их будет qj.

Затем находится среднее значение y (t ) по формуле:

где:

После этого необходимо проверить гипотезу о том, что отклонения от скользящего тренда представляют собой стационарный процесс. С этой целью рассчитывается автокорреляционная функция. Если значения автокорреляционной функции уменьшаются от периода к периоду, то пятая предпосылка данного метода выполняется.

Далее рассчитываем приросты по формуле:

Средняя приростов вычисляется по формуле:

где:

Cn t + 1 — гармонические коэффициенты, удовлетворяющие следующим условиям:

Данное выражение позволяет более поздней информации придавать большие веса, так как приросты весов обратно пропорциональны времени, которое отделяет раннюю информацию от поздней для момента t = n.

РАЗДЕЛ III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

сящейся к следующему моменту времени, равен:

В общем виде ряд гармонических весов определяют по формуле: