[ Академия труда и социальных отношений
Кафедра высшей и прикладной математики
Сахарова Елена Николаевна
«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
для подготовки бакалавров по направлениям 100100 - «Сервис»
и 080200 - «Менеджмент», очная форма обучения
Москва - 2012 г.
1 Математическая теория принятия решений: учебно-методический комплекс.
Сост. Сахарова Е.Н.: АТиСО, 2012 В учебно-методическом комплексе приводятся рекомендации по изучению дисциплины «Математическая теория принятия решений», программа дисциплины, план семинарских занятий, методические указания по выполнению контрольных работ, перечень вопросов к зачету по дисциплине, список основной и дополнительной литературы, самостоятельная работа студентов, методические рекомендации для преподавателей.
Учебно-методический комплекс предназначен для подготовки бакалавров по направлениям 100100 - «Сервис» и 080200 - «Менеджмент» очной формы обучения.
Составитель: кандидат физико-математических наук, профессор Сахарова Е.Н.
Рецензент:
Утверждено Ученым советом АТиСО « » 2012 г.
© Академия труда и социальных отношений, 2012 г.
© Сахарова Е.Н., 2012 г.
Оглавление Введение ……………………………………………………………………. 1. Цели и задачи дисциплины ……………………………………………… 2. Требования к результатам освоения дисциплины …………………….. 3. Программа учебной дисциплины …….. ……………………………….. 3.1 Учебно-тематический план дисциплины ………………………….. 3.2 Содержание дисциплины по темам ……………………………….. 3.3 Методические указания по изучению дисциплины ……………… 4. План практических занятий……………………….…………………….. 5. Контрольные вопросы и задания по темам …….……………………… 6. Методические указания по выполнению контрольных работ ………... 7. Перечень вопросов к зачету по дисциплине …………………………... 8. Список основной и дополнительной литературы ……………………… 9. Словарь терминов (глоссарий) ………………………………………….. 10. Самостоятельная работа студентов …………………………………… 11. Методические рекомендации для преподавателей …………………..
ВВЕДЕНИЕ
Настоящий УМК разработан на основе Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлениям подготовки 100100 - «Сервис» и 080200 - «Менеджмент» (квалификация (степень) "бакалавр") (утв. приказом Министерства образования и науки РФ от декабря 2009 г. N 747) (с изменениями от 31 мая 2011 г.) и рассчитан на подготовку бакалавров в рамках действующих учебных планов Академии.Для разрешения сложных проблем, возникающих в работе специалистов по организации управления, требуется принятие всесторонне продуманных и научно обоснованных решений. Их называют рациональными, наилучшими, эффективными, оптимальными. Принятие именно таких решений диктуется тем, что реализация далёких от оптимальных или просто ошибочных решений приводит, как правило, к тяжёлым и невосполнимым потерям, непоправимым последствиям.
1. Цели и задачи дисциплины Реальный процесс выработки и принятия решений усложняется действием таких факторов, как неопределённость обстановки, множественность возможных исходов при реализации решения, необходимость оценивать каждый исход не одним, а несколькими показателями, противодействие конкурентов и т. п. Всё это связано с большими рисками и обязательно должно учитываться при принятии решений.
Из сказанного следует, что для принятия оптимального решения одного опыта, интуиции и искусства лица, принимающего решение, явно недостаточно.
Требуется глубокий анализ проблемы, всесторонняя количественная оценка возможных исходов при реализации решения, чёткая формулировка и формализация принципа, которому должно удовлетворять оптимальное решение (принципа оптимальности), разработка конструктивных моделей и методов для реализации этого принципа.
Указанные моменты в той или иной степени рассматриваются во всех дисциплинах управленческой направленности. Однако отмечается, что в обосновании принимаемых решений существенную роль играет математическая составляющая, позволяющая использовать для этого количественные методы.
Изучению этих методов и посвящена дисциплина «Математическая теория принятия решений».
«Принятие решения» трактуется как выбор одной альтернативы из некоторого множества (конечного или бесконечного) допустимых альтернатив применительно к следующим условиям: определённости, неопределённости, риска и конфликта.
Следует отметить, что постижение студентом сути рассматриваемых математических моделей и методов невозможно без обращения к конкретным содержательным задачам, без самостоятельного осмысленного решения студентами предлагаемых задач.
2. Требования к результатам освоения дисциплины Необходимо особо подчеркнуть, что дисциплина «Математическая теория фундаментальной подготовке специалистов в области менеджмента и сервиса. При условии её успешного усвоения студенты должны знать наиболее типичные для практики математические модели и методы принятия решений в условиях определённости, неопределённости, риска и конфликта; уметь решать соответствующие несложные практические задачи.
Более конкретно цели изучения дисциплины «Математическая теория принятия решений» сводятся к следующему.
- постановку задачи принятия решений (ЗПР); структуру ее математической модели;
классификацию ЗПР;
- основные понятия и термины, используемые в дисциплине;
- общую постановку задач математического программирования и их классификацию (линейное программирование, дискретное программирование, нелинейное программирование и др.);
- постановку и математическую модель задачи линейного программирования (ЗЛП), общий подход к ее решению;
- основные положения теории двойственности; экономический смысл решений пары взаимно двойственных задач;
- особенности и методы решения транспортной задачи, области возможного применения ее математической модели;
- игровые модели выбора решений, возможности их практического применения;
- основные критерии и правила выбора решений в условиях неопределенности и риска.
- по словесному описанию ЗПР строить ее математическую модель;
- анализировать математическую модель ЗПР, выявлять основные свойства и особенности задачи, выбирать рациональный метод ее решения;
- проводить анализ полученных результатов, выявлять их содержательный смысл (прежде всего экономический).
3. ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
№ Наименование темы Математическая модель Принятие решений в условиях (однокритериальные задачи) Принятие решений в условиях (антагонистические игры) Принятие решений в условиях Тема 1. Математическая модель и классификация задач математической модели задачи принятия решений: множество допустимых решений (альтернатив); множество возможных состояний среды (обстановка); множество возможных исходов; множество критериев (целевых функций); система предпочтений лица, принимающего решение. Понятие принципа оптимальности.Классификация задач и методов принятия решений.
Тема 2. Принятие решений в условиях определённости Общая постановка задачи математического программирования. Линейное программирование. Графоаналитический метод решения. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация пары двойственных задач. Основные теоремы двойственности и их использование. Транспортная задача.
Математическая модель транспортной задачи и её свойства. Определение начального опорного плана перевозок. Распределительный метод решения транспортной задачи. Задача о назначениях и её решение.
Тема 3. Принятие решений в условиях конфликта Математическая модель парной матричной игры с нулевой суммой. Понятие оптимальных стратегий игроков. Нижняя и верхняя цены игры. Ситуация равновесия в игре. Понятие седловой точки и цены игры. Смешанное расширение игры. Основная теорема матричных игр. Упрощение матричной игры путём отбрасывания доминируемых стратегий. Решение матричных игр 2 2, 2 n, m 2 с использованием аналитических и графоаналитических методов.
Тема 4. Принятие решений в условиях неопределённости и риска.
неопределённости. Матрица последствий (доходов) и матрица рисков. Сущность критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа-Бернулли. Математическая модель задачи принятия решений в условиях риска. Правило максимальной вероятности.
Правило максимизации математического ожидания дохода.
3.3 Методические указания по изучению дисциплины Дисциплина «Математическая теория принятия решений» считается довольно сложной для усвоения. Тем более в условиях дефицита учебного времени. Поэтому от преподавателей требуется обеспечить органическую связь лекций с практическими занятиями.
В рекомендуемых учебниках и учебных пособиях (См. «Список основной и дополнительной литературы») каждая глава завершается, как правило, «Упражнениями», где представлен тот минимум задач, который в общем-то достаточен для обеспечения занятий и самостоятельной работы по дисциплине.
Для облегчения понимания смысла математических положений, моделей и методов соответствующий лекционный материал полезно начинать с рассмотрения простых и понятных содержательных задач. Каждой математической модели как абстрактному объекту должна предшествовать постановка задачи в словесной формулировке с конкретным предметным содержанием. Такого подхода следует придерживаться и студентам (как на занятиях, так и на зачете). Это будет способствовать формированию умения логически мыслить, выделять главное, чётко и грамотно излагать словами (устно и на бумаге) смысл того, что далее будет облечено в строгую математическую форму.
При изучении дисциплины следует обратить особое внимание на усвоение студентами понятийного аппарата, имея при этом в виду, что аналогичные понятия встречаются и в других учебных курсах управленческого характера. В этом отношении весьма полезным будет обращение к глоссарию по дисциплине (см.
«Словарь терминов»).
Для текущего контроля усвоения студентами материала дисциплины рекомендуется провести в течение семестра две аудиторные контрольные работы, Полезно также практиковать проведение коротких летучек с целью проверки усвоения студентами основных положений по изучаемой теме.
Для активизации познавательной деятельности студентов лектору рекомендуется в процессе изложения теоретического материала предлагать им короткие и интересные задачи, над которыми они должны подумать дома, а найденные решения представить или к следующей лекции, или на очередном практическом занятии. Безусловно, успешные в этом плане студенты должны быть соответствующим образом поощрены при выставлении итоговой оценки по дисциплине.
Рекомендуется обязательно прорешать на занятиях задачи тех типов, которые затем будут предлагаться в контрольных работах и на экзамене.
Для самоконтроля и закрепления знаний полезно использовать “вопросы и задания для самопроверки”.
В условиях дефицита времени на аудиторные занятия следует широко использовать мультимедийную технику, слайды и презентации по темам дисциплины не только на лекциях, но и на практических занятиях (например, для формулировки условия задачи, изображения сложной расчётной схемы, итогового графика и т.п.).
Так как в рекомендованной литературе не все темы дисциплины могут быть раскрыты желаемым (с точки зрения лектора) образом, то он должен “помогать” студентам вести конспект лекции, делать в нём короткие, чёткие и ясные записи.
В целом изучение дисциплины «Математическая теория принятия решений» в силу её содержания и места в подготовке специалистов должно быть подчинено формированию у студентов “оптимизационного образа мышления”, предполагающего постоянный поиск наилучших способов действий для достижения поставленных целей.
Тема 2. Принятие решений в условиях определённости Построение и анализ математической модели графоаналитическим методом.
Формирование пары симметричных взаимно Построение таблицы перевозок на основе (ТЗ). Запись и анализ математической модели упражнения ТЗ. Решение ТЗ распределительным методом.
Контрольная работа № Математическая модель задачи о назначении.
Тема 4. Принятие решений в условиях конфликта Составление и анализ матрицы игры с нижней и верхней цен игры. Решение игры 2 2 аналитически с графическим пояснением.
Графоаналитическое решение игр 2 n, m 2.
Контрольная работа № 2.
По дисциплине «Математическая теория принятия решений» предусмотрены следующие виды контроля знаний студентов:
- оперативный контроль проводится с целью определения качества усвоения лекционного и практического материала. Он проводится в форме проверки домашних заданий и опроса студентов – еженедельно.
- рубежный контроль проводится в форме контрольных работ (две аудиторные контрольные работы).
- итоговый контроль проводится в виде зачета.
Вопросы и задания для самопроверки:
Тема 2. Принятие решений в условиях определённости 1. Какая фигура является областью решений системы линейных неравенств?
2. Запишите стандартную и каноническую формы ЗЛП.
3. В ЗЛП об использовании ресурсов целевая функция выражает:
а) запас ресурсов;
б) стоимость ресурсов;
в) стоимость произведённой продукции;
г) количество произведённой продукции.
4. Дайте определение допустимого и оптимального планов ЗЛП.
5. Оптимальное значение целевой функции ЗЛП находится среди её........... решений.
6. В треугольнике с вершинами А(2;5), В(8;7), С(7;2) точками минимума функции 3x1 5x2 будут:
а) точка В;
б) весь отрезок ВС;
в) весь отрезок АВ;
г) весь отрезок АС.
7. Если в одной из пары двойственных задач целевая функция минимизируется, то в другой задаче целевая функция
8. В паре двойственных задач число неравенств в одной задаче совпадает с числом
9. Коэффициенты при переменных в целевой функции одной из пары двойственных задач являются
10. Если какое-либо ограничение одной из пары двойственных задач обращается её оптимальным решением в строгое неравенство, то соответствующая переменная в оптимальном решении другой задачи должна равняться
11. Если какая-либо переменная в оптимальном решении одной из пары двойственных задач положительна, то соответствующее ограничение в другой задаче при её оптимальном решении должно обращаться в
12. Указать, какая из приведенных ниже постановок является двойственной к данной ЗЛП:
13. Градиент функции – это вектор, указывающий …………… 14. Для любых допустимых планов x и y пары двойственных задач выполняется неравенство:
15. Транспортная задача называется закрытой, если
16. План перевозок в закрытой транспортной задаче называется допустимым, если
17. Целевая функция транспортной задачи выражает а) стоимость перевозимых грузов;
б) затраты на перевозку грузов;
в) количество груза в пунктах отправления;
г) потребность в грузе в пунктах назначения.
18. В невырожденном плане перевозок транспортной задачи число занятых клеток равно:
19. Сколько циклов существует у одной свободной клетки?
20. В каком случае план можно улучшить?
21. Распределение поставок в транспортной задаче оптимально тогда и только тогда, когда оценки всех свободных клеток 22. Как свести открытую модель транспортной задачи к закрытой модели?
1. Парная матричная игра называется игрой с нулевой суммой потому, что в ней
2. Элемент a i j платежной матрицы равен цене игры, если он............... в своей строке и
3. В матрице игры (платёжной матрице) элемент a i j выражает 4. Нижняя цена игры v1 определяется по правилу:
5. Верхняя цена игры v2 определяется по правилу:
6. Цена игры удовлетворяет неравенству:
7. Для верхней и нижней цены игры справедливо следующее соотношение:
8. Игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, если
9. Нижняя цена игры всегда
14. Цена игры 4 8 5 совпадает с ценой игры 15. Если ко всем элементам платёжной матрицы прибавить одно и то же число, то цена игры
Тема 4. Принятие решений в условиях неопределённости и риска.
1. От матрицы доходов aij к матрице рисков rij можно перейти по формуле 2. Матрице доходов aij 3 8 4 3 соответствует матрица рисков r :
3. Критерию крайнего пессимизма (Вальда) соответствует правило:
4. Критерию крайнего оптимизма соответствует правило:
5. Критерию минимаксного риска (Сэвиджа) соответствует правило:
6. Критерию оптимизма-пессимизма (Гурвица) соответствует правило:
7. Наилучшим по критерию Вальда для матрицы эффективности 8. Наилучшим по критерию Сэвиджа для матрицы эффективности 10. При матрице доходов по правилу максимальной вероятности наилучшим будет решение 11. При матрице доходов по правилу максимизации математического ожидания дохода наилучшим будет решение а) А1, б) А2, в) А3, г) А4.
6. Методические указания по выполнению контрольных работ По дисциплине «Математическая теория принятия решений» в течение семестра проводятся две аудиторные контрольные работы. Темы и время проведения контрольных работ указаны в плане практических занятий (см. выше). В контрольную работу включаются задачи тех типов, которые были разобраны на предшествующих практических занятиях.
Первую часть следующего за аудиторной контрольной работой занятия необходимо посвятить тщательному ее разбору с акцентом на наиболее типичных ошибках. На разбор домашнего задания, как правило, не хватает аудиторного времени. Поэтому проверенное задание следует снабдить подробной рецензией (по аналогии с курсовой работой).
Контрольные работы являются очень важной формой промежуточной аттестации обучающихся. Полученные результаты, как правило, служат хорошими сигналами для всех заинтересованных в конечном результате сторон. Можно рекомендовать следующие виды контрольных работ.
1. Используя теорию двойственности и графический метод, решить следующую задачу линейного программирования:
2. Построив опорные решения методом наименьшей стоимости и методом северозападного угла, взяв за начальный план наилучшее из них, решить транспортную задачу:
1. Используя теорию двойственности и графический метод, решить следующую задачу линейного программирования:
2. Построив опорные решения методом наименьшей стоимости и методом северозападного угла, взяв за начальный план наилучшее из них, решить транспортную задачу:
1. Найти оптимальное назначение специалистов, максимизирующее суммарную эффективность для следующей матрицы эффективности:
2. Используя графический метод, найти решение следующей матричной игры:
1. Найти оптимальное назначение специалистов, максимизирующее суммарную эффективность для следующей матрицы эффективности:
2. Используя графический метод, найти решение следующей матричной игры:
1. Общая постановка задачи математического программирования.
2. Задача о диете. Математическая модель задачи.
3. Задача планирования производства. Математическая модель задачи.
4. Стандартная и каноническая формы постановки задач линейного программирования.
5. Матричная форма записи задач линейного программирования.
6. Графический метод решения задач линейного программирования (область допустимых решений, градиент и линии уровня функции цели).
7. Теорема о разрешимости ЗЛП. Основные случаи, возникающие при решении.
8. Двойственность в линейном программировании. Определение ценности ресурсов в задаче планирования производства.
9. Построение двойственных задач.
10. Экономическая интерпретация пары двойственных задач.
11. Основное неравенство теории двойственности.
12. Основная теорема теории двойственности.
13. Теорема равновесия теории двойственности.
14. Постановка транспортной задачи (ТЗ). Математическая модель задачи.
15. Понятие начального плана ТЗ и различные методы его построения.
16. Циклы и их оценки. Операция сдвига по циклу.
17. Распределительный метод решения ТЗ. Признак оптимальности плана.
18. Открытая модель ТЗ.
19. Задача о назначении. Математическая модель задачи.
20. Алгоритм решения задачи о назначении.
21.Основные понятия теории игр. Классификация игр.
22. Матричные игры. Платежная матрица игры. Примеры.
23.Основные принципы, определяющие поведение игроков в матричной игре.
24. Принцип выбора оптимальных стратегий. Максиминная и минимаксная стратегии. Верхняя и нижняя цены игры.
25.Матричная игра с седловой точкой. Цена игры.
26. Смешанные стратегии игроков. Основная теорема теории игр.
27. Графический метод решения игр 2x2; 2xn; mx2. Линия гарантированного выигрыша (проигрыша).
28. Выбор решений в условиях неопределённости: матрицы выигрышей и рисков.
29. Выбор решений в условиях неопределённости: критерии Вальда и Сэвиджа.
30. Выбор решений в условиях неопределённости: критерии Гурвица и безразличия.
31. Выбор решений в условиях риска: правило максимальной вероятности и правило максимизации ожидаемого выигрыша.
8. Список основной и дополнительной литературы 1. Исследование операций в экономике (учебное пособие)/ Под ред.Н.Ш. Кремера, М.: ЮНИТИ, 1997 (и последующие издания).
2. Математические методы и модели исследования операций (учебник)/ Под ред.
В.А. Колемаева, М.: ЮНИТИ, 2008.
3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов (учебное пособие), СПб.: Питер, 2004.
4. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике (учебное пособие), М.: Высшая школа, 2002.
5. Сахарова Е.Н. Методические указания по изучению темы «Дискретное программмирование», кафедра высшей математики, 1990.
Альтернатива – вариант, способ действий (синонимы: решение, стратегия и т. п.).
противоположными интересами.
Исход – результат реализации решения в конкретных условиях.
Конфликт – явление, в котором участвуют различные стороны, наделённые различными интересами и возможностями выбирать доступные для них действия в соответствии с этими интересами.
Критерий – средство для количественной оценки решений, сравнения их между собой и выбора наилучшего (оптимального). Optimus (лат.) - наилучший.
Критерий оптимальности (эффективности) – определённая на множестве исходов числовая функция, используемая для оценки интенсивности некоторого свойства исходов, важного с точки зрения достижения поставленной цели; является математическим выражением цели операции, позволяющим количественно оценить степень достижения этой цели.
Математическая модель операции – математическое описание цели, процесса и результатов операции; система формальных соотношений, устанавливающих связь принятого критерия эффективности с действующими факторами операции.
Неопределённость – недостаточность сведений об условиях, в которых будет протекать операция, низкая степень предсказуемости, предвидения этих условий.
Неопределённость сопряжена с риском принятия решений.
Операция – совокупность взаимосогласованных действий, направленных на достижение вполне определённой цели.
Определённость – ситуация, когда имеется полная информация об условиях проведения операции и каждому принятому решению отвечает только один исход.
Оптимальное решение – решение, наилучшее в смысле принятого критерия оптимальности.
Принцип оптимальности – правило для выделения наилучшей стратегии, выбора наилучшего решения. В нём находит отражение система предпочтений ЛПР, его отношение к риску.
Принятие решения – сознательный выбор одной из возможных альтернатив.
Решение – рациональный способ достижения поставленной цели при ограниченных ресурсах. Выражается в конкретном наборе значений управляемых параметров.
Синонимы: стратегия, альтернатива и т.п.
Риск:
1. Возможная опасность возникновения непредвиденных потерь ожидаемой прибыли, дохода и др. в связи со случайным изменением обстановки, условий.
2. Действие наудачу в надежде на счастливую случайность.
Ситуация – условия проведения операции, обстановка, среда.
Стратегия – способ использования средств и ресурсов, направленный на достижение цели операции. Синонимы: решение, альтернатива и т.п.
Целевая функция – то же, что и критерий оптимальности.
Самостоятельная работа студентов должна быть направлена на усвоение ими понятийного аппарата, сущности и содержания основных математических моделей и методов принятия решений в сфере менеджмента и сервиса.
Она должна быть органическим продолжением аудиторных занятий и в целом мотивироваться, направляться и стимулироваться лектором и преподавателем, ведущим практические занятия.
Основными взаимосвязанными элементами самостоятельной работы студента являются:
- изучение лекционного материала с использованием конспекта лекций и рекомендованной литературы, глоссария и вопросов и заданий для самопроверки по рассматриваемой теме; пополнение конспекта лекций в ходе этой работы, конспектирование тех разделов, которые были рекомендованы лектором для самостоятельной проработки, работа в библиотеке и в Интернете по поиску нужной информации;
- решение тех задач, которые были предложены лектором на лекции для обдумывания дома, подготовка к объяснению и защите этих решений перед аудиторией;
- уяснение содержания и решений тех задач, которые рассматривались на практическом занятии; анализ и решение задач, заданных на практическом занятии в качестве обязательных;
- проработка теоретического материала к очередному практическому занятию, тема которого объявляется преподавателем заранее с указанием тех вопросов, которым следует уделить особое внимание;
- обдумывание и формулирование тех вопросов, по которым нужна консультация преподавателя;
- подготовка к аудиторной контрольной работе, по которой объявлена дата проведения и указаны типы предлагаемых задач;
- подготовка к итоговому зачету по дисциплине, основными ориентирами в которой являются «Перечень вопросов к зачету», «Вопросы и задания для самопроверки» по темам и указанные преподавателем типы задач и примеров, выносимых на экзамен.
преподавателю, который эту работу мотивирует и направляет. Более того, эти результаты учитываются при выставлении студенту итоговой оценки по дисциплине, о чём преподаватель предупреждает студентов заранее (стимулирование).
В процессе изучения дисциплины и самостоятельной работы по усвоению её основных положений студент должен стремиться к тому, чтобы увидеть её место среди других дисциплин управленческой направленности, почувствовать их взаимосвязь, сделать приобретаемые знания и умения осознанной составляющей в своей фундаментальной подготовке.
11. Методические рекомендации для преподавателей Одной из задач преподавателей, ведущих занятия по дисциплине «Математическая теория принятия решений» является выработка у студентов понимания важности и полезности знания дисциплины для последующего изучения специальных курсов.
Методическая модель преподавания дисциплины основана на применении активных методов обучения. Принципами организации учебного процесса являются:
- выбор методов преподавания в зависимости от различных факторов, влияющих на организацию учебного процесса;
- объединение нескольких методов в единый преподавательский модуль в целях повышения эффективности процесса обучения;
- активное участие слушателей в учебном процессе;
-проведение практических занятий, определяющих приобретение навыков решения проблемы;
- приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
Используемые методы преподавания: лекционные занятия с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов, презентаций; индивидуальные и групповые задания при проведении практических занятий.
В начале каждого практического занятия преподаватель, ведущий практику, напоминает студентам основные формулы и приемы по той теме, которая изучается на данном занятии. Затем начинается решение практических задач (примеров) по теме занятий. Первую задачу по каждому разделу темы решает преподаватель.
Затем преподаватель либо записывает тексты нескольких задач на доске, либо записывает номера этих задач по задачнику, имеющемуся на столах студентов, и предлагает студентам самостоятельно решить эти задачи. Некоторое время преподаватель наблюдает, как студенты решают и, если дела идут успешно, приглашает одного из студентов к доске для решения очередной задачи. Если же у студентов возникают трудности, преподаватель сам приступает к решению задачи на доске, но делает это медленно с подробным разбором каждого шага решения и с обязательным вовлечением студентов группы в процесс обсуждения алгоритма решения задачи. В конце занятия преподаватель, обычно, задает студентам домашнее задание (для закрепления навыков решения). В начале следующего занятия, обычно проходит обсуждение задач, выполненных самостоятельно дома.
Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим результатам должны сопутствовать пояснения об их приложениях к другим разделам математики и к экономическим наукам.
Курс лекций должен строиться на основе четких формулировок и доказательств основных теорем, так как лишь при таком подходе студенты приобретают математическую культуру, необходимую для дальнейшего изучения математиких и экономических дисциплин. Недопустимо сводить чтение лекций только к разбору примеров и алгоритмов их решения.
«Математическая теория принятия решений»
Составитель: Сахарова Е.Н.
Редактор - Ф.И.О.
Компьютерная верстка - СахароваЕ.Н.
Информационно-издательский центр Академии труда и социальных отношений Объем п.л. Тираж _экз. Формат А5 Заказ № подписано в печать Отпечатано в типографии АТиСО Адрес редакции: 119454, Москва, ул. Лобачевского, Тел.: 432-3376, 430-8150. Факс: 432-
«