«Н.И. Глущенко, Е.Н. Гладченко, О.И. Петрова СБОРНИК ПРИМЕРОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ШКОЛ Харьков ХАИ 2005 УДК 53 (076.5) Сборник примеров решения задач по физике для физикоматематических школ ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского

«Харьковский авиационный институт»

Н.И. Глущенко, Е.Н. Гладченко, О.И. Петрова

СБОРНИК ПРИМЕРОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ

ДЛЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ШКОЛ

Харьков «ХАИ» 2005

УДК 53 (076.5)

Сборник примеров решения задач по физике для физикоматематических школ / Н. И. Глущенко, Е.Н. Гладченко, О.И. Петрова. - Учеб. пособие. - Харьков: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2005. – 102 с.

Приведены примеры решения задач в соответствии с программой по физике для слушателей физико-математической школы ХАИ и ее филиалов, а также для специализированных физико-математических классов, входящих в учебный комплекс «Харьковский центр авиационно-космического образования».

Для слушателей физико-математической школы Национального аэрокосмического университета им. Н.Е. Жуковского «ХАИ» и других вузов.

Ил. 50. Библиогр.: 10 назв.

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. А. Л. Литвинов, канд. физ.-мат. наук, проф. В. М. Ванцан © Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт», 2005 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Качественная подготовка слушателей по физике в одногодичной физико–математической школе возможна лишь при тщательном подборе задач, отражающих изучаемые физические явления и законы, и применении методик к их решению.

Ввиду ограниченности времени на практических занятиях не удается полно рассмотреть все основополагающие типы задач и методы их решения. Поэтому возникла необходимость в создании учебного пособия, которое может быть использовано в самостоятельной работе при решении задач. В нем приведены составленные авторами наиболее характерные и типичные задачи и краткие методические рекомендации к их решению, которые предлагались в течение ряда лет слушателям физикоматематической школы ХАИ по всем разделам физики.

Наряду с этим предложены также задачи и методики, взятые из существующих учебников, задачников и другой специальной литературы по физике. В пособие включены 79 задач по всем разделам курса физики и 50 рисунков.

Основная цель пособия – оказать слушателям помощь в целенаправленном применении изучаемых законов при самостоятельном решении задач.

При подборе задач, предлагаемых в пособии, авторы исходили из необходимости иметь определенную классификацию задач, которая позволяет упорядочить подход по решению им подобных.

Анализ всех задач разделов осуществляется по единой схеме.

Каждая тема начинается с основных положений и методических рекомендаций. Поэтому вначале необходимо внимательно изучить методические указания и примеры решения задач, а после этого приступать к самостоятельному решению домашних задач из рабочей тетради этого же раздела.

Авторы надеются, что предлагаемое пособие позволит слушателям быстрее освоить школьный курс физики. Желаем удачи.

В заключение авторы выражают благодарность заведующему кафедрой физики доц. А.А. Тарану за постоянный интерес к работе над пособием и его критические замечания, способствовавшие улучшению качества пособия.

1. КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Закон движения материальной точки считается известным, если задано ее положение в выбранной системе отсчета в любой момент времени.

При решении задач по кинематике рекомендуется пользоваться методикой:

1. Выбрать систему отсчета с учетом условия рассматриваемой задачи.

материальной точки:

3. Исключая из этих уравнений параметр t, получить уравнение траектории движения точки в аналитическом виде.

4. При решении задач на прямолинейное равнопеременное движение необходимо использовать формулы:

рассматривая их как систему уравнений.

5. Решить полученную систему уравнений относительно искомых величин.

Замечание. Одной из распространенных ошибок, допускаемых в разделе «Основы кинематики», является отождествление пути и модуля вектора перемещения. Эти величины не совпадают при непрямолинейном движении. Например, в случае возвращения тела в исходную точку перемещение обращается в нуль, а путь будет равен длине замкнутой линии, пройденной телом по траектории.

Пример 1. Самолет летит из пункта А со скоростью относительно воздуха в пункт В, расположенный к v = северу от пункта А на расстоянии S = 1000 км. На всем пути дует северо-восточный ветер под углом = 135 С к меридиану со скоростью v2 = 100 км. Через какое время после вылета самолет прибудет в пункт назначения, если будет лететь по прямой, и по какому курсу летчик должен направлять самолет?

Найти: t -?, - ?

Решение: За тело отсчета примем поверхность Земли. Скорость самолета v относительно Земли (рис. 1п) будет равна векторной сумме скорости v относительно воздуха и скорости v 2 воздуха относительно Земли, т.е.

будет диагональю параллелограмма, стороны которого равны v1 и v 2. Вектор v 2 направлен с северо–запада на юго–восток, а вектор v = v1 + v 2 – с юга на север. Определим искомое время полета Модуль скорости v найдем из ACD, у которого известны две стороны СD и АD, а также угол = 135о. По теореме косинусов, учитывая, что СD = v1, запишем уравнение:

Из выражения (2п) следует квадратное уравнение относительно скорости v :

Применяя формулу (1п), вычислим время полета самолета:

Угол упреждения найдем по теореме синусов Пример 2. Мимо наблюдателя, стоящего на платформе, проходит поезд. Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя за время t1 = 1 с, второй - за t 2 = 1,5 с. Определить скорость поезда в начале и конце наблюдения, а также ускорение поезда, считая движение поезда равнопеременным. Длина каждого вагона l = 12 м.

Поэтому следует записать:

Решая совместно (1п) – (3п), получаем Из выражения (3п) находим Ускорение вычислим по формуле Знак « - » указывает на то, что поезд двигался замедленно.

Пример 3. Велосипедист проехал первую треть пути со скоростью v1 = 10, затем половину всего пути – со скоростью v2 = 6 и оставшуюся часть пути – со скоростью v 3 = 2. Чему равна средняя путевая скорость велосипедиста?

Решение: По определению, средняя скорость движения равна где Sполн полный путь, пройденный телом, tобщ – общее время движения. В нашем случае tобщ = t1 + t 2 + t3, где поэтому Подставив числовые значения, определим среднюю путевую скорость движения велосипедиста Ответ:

Пример 4. Зависимость координаты тела от времени выражается уравнением x = 6 3t + 2t 2 (м). Найти: 1) зависимость скорости v от времени t; 2) расстояние S, пройденное телом; 3) скорость и ускорение через 2 с после начала движения; 4) среднюю скорость в интервале времени от нуля до 2 с.

Решение: Мгновенная скорость тела определяется, как производная от координаты по времени, т.е.

Координату тела x за время движения t = 2 c найдем, подставив в уравнение движения время t = 2 c:

Вычислим скорость тела в момент времени t = 2 c:

Ускорение точки найдем как производную от скорости (1п) по времени:

Средняя скорость точки определяется по формуле Откуда получим:

Пример 5. Тело, имея начальную скорость v o = 4, прошло за шестую секунду движения путь S = 2,9 м. Найти ускорение тела.

Дано:

Найти: а – ?

движения:

Из выражения (1п) определяем ускорение:

Ответ: a = 0,2. Тело двигалось замедленно с ускорением, направленным противоположно скорости.

Пример 6. Два тела брошены вертикально вверх из одной точки с одинаковой начальной скоростью vo = 29,4 м/c с промежутком по времени t = 0,5 с. Через какой промежуток времени после начала бросания первого тела и на какой высоте они встретятся?

Дано: v o = 29, Решение: Выберем за начало отсчета времени момент бросания первого тела. Высота поднятия этого тела в момент времени t определяется по формуле формулой, но так как оно брошено на t позднее, то для этого момента времени имеем Тела встретятся в тот момент, когда высоты поднятия первого и второго тел будут одинаковыми, т.е. h1 = h2 = h. Приравнивая правые части выражений (1п) и (2п), получаем Откуда Высота, на которой встретятся тела:

2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО

ДВИЖЕНИЯ

Основной задачей динамики поступательного движения является определение траектории материальной точки по известной силе F и заданным начальным условиям.

При решении задач по динамике прямолинейного движения тела под действием нескольких сил рекомендуется пользоваться методикой:

1. Изобразить все силы, действующие на тело.

результирующую силу FR = Fi и направить ее вдоль движения тела (движение ускоренное) или в противоположную сторону (движение замедленное).

3. Записать в векторной форме уравнение второго закона Ньютона :

4. Проецируя силы на оси, записать уравнения в скалярной форме совместно с уравнениями кинематики:

5. Решая эти уравнения как систему, определить все неизвестные величины.

Пример 1. Брусок находится на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 45 0 (рис.2п). С какой наименьшей силой F, направленной перпендикулярно этой плоскости, нужно прижать брусок, чтобы он оставался в покое? Масса бруска m = 1,0 кг, коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью µ = 0,2.

Решение: На брусок действуют: сила тяжести mg, сила трения Fтр, сила плоскости. Для равновесия бруска на наклонной плоскости необходимо, чтобы сумма всех сил, действующих на брусок, была равна нулю:

Расположим оси координат: ох – вдоль, а оу – перпендикулярно наклонной плоскости.

В проекции на оси координат уравнение (1п) имеет вид:

Из выражений (2п) – (4п) получаем искомую величину Ответ: F = 27,7 H.

Пример 2. Тело движется по горизонтальной плоскости под действием силы F, направленной под углом к горизонту (рис. 3п). Найти ускорение тела, если его масса равна m, а коэффициент трения между телом и плоскостью µ. При какой величине силы F1 движение тела будет равномерным?

Решение: На тело действуют: сила тяжести mg, сила F, сила трения Fтр, сила реакции опоры N, численно равная силе нормального давления Fд = N. Расположим ось ох вдоль направления движения тела, а ось оу – перпендикулярно к нему.

уравнение (1п) имеет вид:

где Fд = mg F sin - сила нормального давления. Решая совместно (3п) – (5п), получим значение ускорения в общем виде:

В проекции на оси координат уравнение (2п) имеет вид:

Решая совместно (6п) - (8п), получим искомую силу F1 :

При решении задач по динамике прямолинейного движения для нескольких тел, связанных друг с другом, рекомендуется пользоваться методикой:

1. Изобразить все силы, действующие на каждое из тел.

2. Записать уравнение второго закона Ньютона для каждого из тел системы в векторной форме.

3. Выбрать систему координат и записать систему уравнений в скалярной форме.

4. Решив систему уравнений, определить неизвестные величины.

Пример 3. На нити, перекинутой через блок, подвешенный к потолку, закреплены два груза общей массой m = 30 кг. Грузы движутся относительно Земли с ускорением а = 0,3g, направленным для правого груза вниз. Найти массы обоих грузов. Массой блока и нити, а также трением оси блока пренебречь.

Дано: m1 + m2 = 30 кг, a = 0,3g.

Решение: Рассмотрим движение левого груза (рис. 4п). К нему приложены сила тяжести m1 g и сила натяжения нити T. Запишем уравнение движения тела по второму закону Ньютона в векторной форме: r В проекции сил на ось х имеем Аналогично для правого груза:

что в проекции на ось х дает:

Вычитая (4п) из (2п), после преобразований получим Таким образом, Ответ: m1 = 10,5 кг, m2 = 19,5кг.

Пример 4. Тепловоз массой m1 = 3000 т тянет два вагона, Найти силу тяги тепловоза и силу натяжения сцепок, если коэффициент сопротивления движению равен µ = 0,01.

Решение: Выберем одну для всех тел систему координат.

Определим проекции результирующих сил на ось х :

Запишем для тепловоза и каждого из вагонов уравнения движения в проекции на ось ох:

Складывая уравнения (1п) – (3п), получим трения тепловоза и двух вагонов соответственно равны:

Fтр1 = µ m1 g ; Fтр 2 = µ m2 g и Fтр 3 = µ m3 g. Тогда выражение (4п) с учетом сил трения можно записать в виде:

Fтяги = ( a + µg) ( m1 + 2m2 ) = (5 2 + 0,01 9,8 2 ) ( 3106 кг + 2 5104кг) =15,8106 Н.

воспользуемся уравнениями (1п) и (3п):

Ответ: Fтяги = 15,8 106 Н, T1 = 5,1 105 Н, T2 = 2,55 10 5 Н.

При решении задач по динамике равномерного движения тела по окружности рекомендуется пользоваться методикой:

1. Изобразить все силы, действующие на тело при его равномерном движении по окружности.

2. Определить результирующую всегда направлена к центру окружности.

3. Записать второй закон Ньютона для тела, равномерно 4. Подставить в левую часть уравнения (1п) ац.с = = R, а в правую часть силу FR, найденную в соответствии с пунктом 2.

5. Решить полученное уравнение относительно неизвестной величины.

Пример 5. Определить центростремительное ускорение точек земной поверхности, вызванное вращением Земли на экваторе – А, на широте = 45 о – В и на полюсе – С (рис. 6п). Радиус Земли принять равным Rз = 6400 км = 6,4·106 м.

Дано: Т = 24 ч = 8,64·10 4 с, = 45 о, Rз = 6400 км = 6,4 106 м.

Решение: Точка А земной поверхности на экваторе описывает вместе с Землей за сутки один полный оборот.

Найдем линейную скорость точки А:

Центростремительное ускорение точки А определим по формуле Линейная скорость точки В земной поверхности, находящейся на широте, равна описываемый точкой В. Из рис. 6п находим, что r = R з cos.

Тогда ускорение точки В:

Линейная скорость точки С земной поверхности, находящейся на полюсе, v = 0 ; следовательно, aц.С = 0.

Пример 6. На экваторе некоторой планеты любое тело весит в два раза меньше, чем на полюсе (рис. 7п). Плотность вещества планеты = 3 103 кг. Определить период вращения планеты вокруг собственной оси. Гравитационную постоянную считать равной G = 6, Решение: На рис. 7п показано, что на тело, покоящееся в точке А – экватора и в точке С –полюса, действуют: сила тяжести FТ = mg и сила реакции опоры rN. Из третьего закона Ньютона следует, что сила реакции опоры N равна и противоположно направлена весу На экваторе и на полюсе результирующая FR направлена к центру планеты и называется центростремительной силой Fц.С = FR.

Запишем для тела второй закон Ньютона в векторной форме ma = FТ + N. В скалярной форме это уравнение имеет вид где v - линейная скорость точек А и С на поверхности планеты: на экваторе – v =, на полюсе – v = 0 соответственно. Тогда, согласно выражению (1п), на полюсе v = 0 - вес тела равен силе тяжести Рп = FТ, на экваторе Так как по условию задачи Подставляя выражение (3п) в формулу (2п), получим Сила тяжести равна силе радиус планеты, M = R 3 - ее - плотность. С учетом этих выражений, запишем (4п) в масса, а виде Решив (5п) относительно искомой величины, получим период вращения планеты:

Ответ: Т = 9702 с = 2 ч 41,6 мин.

Пример 7. Тело массой m = 0,5 кг вращается на нити в вертикальной плоскости (рис. 8п). Насколько сила натяжения нити Т В будет больше при прохождении тела через нижнюю точку, чем Т А - при прохождении через верхнюю?

по радиусу, но в разные стороны. Результирующая FR этих сил направлена к центру окружности:

Запишем уравнения движения тела в точках А и В по второму закону Ньютона соответственно:

Решая выражения (2п) относительно TA и TB и вычитая из второго первое, получим Из выражения (3п) найдем численное значение T :

В этом разделе рассматриваются условия равновесия твердых тел, форма которых под действием внешних сил существенным образом не меняется.

В статике различают два типа задач: 1) равновесие свободного (незакрепленного) тела; 2) равновесие тела, закрепленного в одной точке или на неподвижной оси вращения.

При решении задач первого типа используют условие:

векторная сумма r всех сил, действующих на тело (т.е.

равнодействующая FR ), равна нулю, т.е.

При решении задач второго типа применяют условие: векторная сумма моментов всех сил, действующих на тело, равна нулю, т.е.

При записи уравнения (2п) в скалярной форме следует помнить, что моменты сил, вращающих тело в противоположные стороны, имеют разные знаки: против часовой стрелки знак «+», а по часовой стрелке знак «-». Это означает, что уравнение представляет собой алгебраическую сумму моментов сил.

При решении задач данного раздела рекомендуется пользоваться методикой:

1. Изобразить все силы, действующие на тело.

2. Выбрать точку, относительно которой предполагается рассматривать моменты сил.

3. Относительно выбранной оси вращения определить плечи всех сил.

4. Записать моменты всех сил с учетом их знаков.

5. Составить алгебраическую сумму моментов всех сил, приравнять ее нулю и из полученного уравнения определить неизвестную величину.

Пример 1. Груз массой m = 200 кг подвешен в точке В к прямоугольному кронштейну АВС (рис. 9п). Определить величину и направление сил, действующих на стержни АВ и ВС, если стержень ВС образует с горизонталью угол = 450.

Решение: В точке В на кронштейн действует сила тяжести тела mg. Разложим силу тяжести груза mg на составляющие FAB и FBC.

Из рисунка видно, что угол ЕDB равен углу ABC = и треугольники EDB и ABC подобны.

Из треугольника EDB имеем Ответ: FAB = 1960 Н, FBC = 2772,3 Н.

Замечание. Из рис. 9п видно, что FAB действует на кронштейн как растягивающая сила, а FBC - как сжимающая.

Пример 2. У стены стоит лестница (рис. 10п). Коэффициент трения скольжения лестницы о стенку µ1 = 0,5, а коэффициент трения о землю µ 2 = 0,4. Центр тяжести лестницы находится на середине ее длины. Определить наименьший угол мин между лестницей и горизонтом, при котором она не будет соскальзывать.

любой точки (например, относительно точки А).

Первое условие равновесия лестницы в векторной форме имеет вид Выберем систему координат, как показано на рис. 10п.

Второе условие равновесия лестницы относительно точки А в Определим плечи сил mg, N1 и Fтр1, приложенных к лестнице, относительно выбранной точки А:

Запишем выражения моментов сил mg, N1, и Fтр1, с учетом знаков:

Тогда уравнение (4п) моментов сил принимает вид Подставляя в уравнение (7п) выражения (5п) и (6п), имеем Из полученного выражения определим неизвестную величину:

Из выражений (2п) и (3п) следует, что Силы трения лестницы о стенку и пол:

Преобразуя (9п) и (10п), найдем Подставляя (10п) и (11п) в выражение (8п), получим Пример 3. Два человека несут трубу массой m = 80 кг. Один поддерживает трубу на расстоянии а = 1 м от ее конца, второй держит противоположный конец трубы (рис. 11п). Определить силы давления, приходящиеся на каждого человека, если длина трубы L= Найти: F1-?, F2 - ?

Решение: Изобразим силы, действующие на трубу, как показано сил относительно оси, проходящей через точку В (можно выбрать любую другую ось), имеет вид где (L a) и - плечи сил F1 и mg соответственно относительно оси в точке В. Из выражений (1п) и (2п) вычислим искомые силы:

Пример 4. Где находится центр тяжести вала с двумя шкивами (рис. 12п)? Длина вала между шкивами равна l = 1,0 м, толщина шкивов d = 0,2 м. Масса вала m1 = 20 кг и масса шкивов соответственно составляет m2 = 50 кг, m3 = 70 кг.

Дано: l = 1,0 м, d = 0,2 м, m1 = 20 кг, m2 = 50 кг, m3 = 70 кг.

Найти: xc -?

Решение: Пусть точка О – центр тяжести системы. Обозначим расстояние от положения центра тяжести до центра симметрии системы через хc и изобразим силы, действующие на вал и шкивы, m1g, m2 g и m3 g.

Относительно выбранной точки О определим плечи сил приложенных к телам рассматриваемой системы:

Равнодействующая параллельных сил m 1 g, m 2 g и m 3 g равна R = m1 g + m 2 g + m 3 g и приложена в точке О справа от центра тяжести вала, т.е. со стороны действия большей силы m3 g.

Уравновешивающая сила N = R удерживает систему в равновесии, которая под действием моментов сил может вращаться относительно оси О.

По правилу моментов сил запишем условие равновесия системы «вал – шкивы» в векторной форме:

Запишем условие равновесия системы (1п) с учетом знаков относительно выбранной точки О:

где M m 2 g, M m1g и M m 3 g - модули моментов сил: вала, первого и второго шкивов:

Подставляя в уравнение (2п) выражения (3п), получим условие равновесия системы:

Из уравнения (4п) определяем xc :

Ответ: xс = 8,6 см справа от центра вала.

Пример 5. В однородной тонкой круглой пластине радиусом R = 0,2 м вырезали круг радиусом r = R/2 (рис.13п). Найти положение центра тяжести пластины.

Найти: x c -?

Решение: Пусть центр тяжести пластины с вырезом находится в точке С на расстоянии хс от центра симметрии О, в которой приложена сила тяжести этой пластины m 2 g. Если в вырез вложить соответствующий его размеру диск, то его сила тяжести m 1 g будет приложена в точке О1 (рис. 13п). Сила тяжести полной пластины m3 g приложена в центре симметрии (в точке О), так что M 2 = m2 gl2 = m2 gxc – момент силы тяжести пластины с вырезом круга;

пластины.

Тогда уравнение (2п) моментов сил принимает вид Подставляя в уравнение (3п) их выражения, получим Отсюда следует:

Массы и объемы дисков:

где V1 = S1h и V2 = S2 h, а S1 – площадь вырезанного диска;

S 2 – площадь пластины, за вычетом вырезанного диска:

S 2 = S S 1. Площади пластин соответственно равны:

Подставляя в формулу (5п) выражения (6п) и (7п) и численные данные из условия задачи, получим Ответ: Центр тяжести пластины с вырезом лежит на расстоянии xc = 0,033 м = 3,3 см от центра симметрии О.

4. РАБОТА И МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Часто тела взаимодействуют таким образом, когда значения действующих сил неизвестны, например, сил взаимодействия ракеты и выбрасываемых газов ее реактивными двигателями. В таких случаях только законы сохранения позволяют по известным параметрам (координаты, скорости) системы в одном состоянии найти ее параметры в другом состоянии.

При решении задач этого раздела рекомендуется пользоваться методикой:

1. Если система тел замкнутая, то необходимо использовать закон сохранения импульса p = m i v i = const. Если взаимодействие тел в системе происходит за малые промежутки времени (удар, взрыв), то применяют закон изменения 2. Если система тел замкнутая или действуют только потенциальные силы (гравитационные, силы упругой деформации и т. д.), то необходимо использовать закон сохранения механической энергии:

3. Если переход системы тел из начального состояния в конечное совершается под действием внешних сил, то следует применить фрмулу взаимосвязи работы А с изменением энергии системы:

4. При необходимости пользуются также кинематическими и динамическими уравнениями, по которым определяют искомые величины.

Пример 1. Из орудия, установленного на платформе массой М, производится выстрел снарядом массой m, который вылетает со скоростью v под углом к горизонту (рис. 14п). Платформа в результате отдачи приходит в движение. Сколько времени платформа находилась в движении, если коэффициент трения о рельсы равен µ и M >> m ?

Найти: t2 – ?

Решение: Физическая система (платформа с орудием) не замкнута, так как во время движения rплатформы, после выстрела снаряда, действует сила трения Fт р. Однако, если ввести упрощающие условия взаимодействий, происходящих в данной системе на разных этапах движения, то решение задачи значительно облегчается.

Будем считать, что время ускоренного движения платформы с орудием в момент выстрела t1 t2 - времени замедленного движения платформы до полной ее остановки.

Из условия задачи m M. Следовательно, пренебрегаем изменением массы системы после выстрела.

Благодаря указанным упрощениям систему в момент выстрела можно считать замкнутой и применить закон сохранения импульса вдоль координатной оси х:

и закон взаимосвязи работы с изменением энергии на этапе замедленного движения платформы:

В выбранной системе координат (рис. 14п), пользуясь выражением (1п), найдем скорость платформы:

применим второй закон Ньютона:

ох: Ma = Fтр, где Fтр = µN, оу: N = Mg.

Тогда платформы и ее скорость вдоль оси х имеют вид:

искомую величину.

Пример 2. Снаряд, летящий горизонтально со скоростью v = 100 на высоте h = 40 м, разрывается на две равные части (рис.

15п). Одна часть снаряда, имея скорость v1, спустя t = 1с падает на землю точно под местом разрыва со скоростью v1. Определить скорость движения другой части снаряда v 2 и направление вектора скорости v 2 по отношению к горизонту.

Решение: Силы, которые возникают при разрыве снаряда, системы в векторной формеrимеет вид r где P = 2m v (m – масса одной части снаряда) - импульс до взрыва, направленный горизонтально; P2 = mv1 + mv2 - импульс системы после взрыва; v1 и v 2 - векторы скоростей обеих частей снаряда после взрыва.

Чтобы от векторного уравнения (1п) перейти к скалярным выражениям, введем оси координат. Запишем импульсы частей снаряда в проекциях на оси до взрыва снаряда и после:

Заменив векторное равенство (1п) двумя скалярными P x = P2 x и P y = P2 y, с учетом выражений (2п) и (3п) имеем:

Движение первой части снаряда после взрыва – падение с начальной скоростью voy = v1. Если пренебречь сопротивлением воздуха, получим Выражения (4п) образуют систему, решение которой следующее:

Откуда = arctg 1 = arctg Ответ: 1. Скорость второй части снаряда 2. Вектор скорости v 2 направлен к горизонту под углом = 10.

Пример 3. Определить работу подъема тела по наклонной плоскости (рис. 16п), среднюю мощность и КПД подъемного устройства. Масса тела m = 100 кг, длина наклонной плоскости l = 2 м, угол ее наклона к горизонту = 30 o, коэффициент трения µ = 0,1, ускорение при подъеме a = 1 2. У основания наклонной плоскости тело находилось в покое.

Решение: 1-й способ. Решим задачу с применением законов Ньютона. На тело, расположенное на наклонной плоскости, действуют силы:

F – сила тяги, Fтр – сила трения, mg – сила тяжести и N – сила реакции перпендикулярно к наклонной плоскости. По rтретьему закону Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторной Выберем систему координат, как показано на рис. 16п.

Спроектируем силы на оси координат:

Решив систему уравнений (2п), получим Работу силы тяги A = F l с использованием (3п) запишем в виде 2-й способ. Теперь решим задачу с применением формулы взаимосвязи работы с изменением энергии:

где А1 - работа внешних сил; Е1 и Е2 – энергия тела в начальном и конечном состояниях.

Сила тяги F и сила трения направлены в разные стороны, тогда где А – искомая работа силы тяги.

По условию задачи Е1 = 0, а E2 = mgh + v2 = 2a l. Подставляя эти значения в (5п), получаем Из выражения (7п) следует формула работы силы тяги для подъема тела:

Подставив численные значения в формулу (8п), определим работу, которая затрачивается для подъема тела по наклонной плоскости:

A = ml(a + g sin + µg cos) = 100 г2м1 2 + 9,8 2 (0,5 + 0,1 0,87) = 1,35кДж Полученное значение времени подставим в формулу средней мощности < N > =. Тогда Коэффициент полезного действия подъемного устройства определим по формуле где Ап = mg l sin – полезная работа подъемного устройства по перемещению тела на высоту Подставляя численные данные в выражение полезной работы подъемного устройства, имеем:

Теперь, применяя формулу (8п), определим КПД устройства:

Пример 4. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v o = 19,8 с поверхности Земли (рис. 17п). На какой высоте Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Решение: За нулевой уровень отсчета потенциальной энергии тела в поле тяготения принимаем поверхность Земли.

По условию задачи сопротивлением воздуха можно пренебречь, поэтому полная механическая энергия в процессе движения остается постоянной и равной начальной кинетической энергии тела в момент бросания, т.е.

где – кинетическая энергия тела на высоте h ; mgh – потенциальная энергия тела на той же высоте. Так как по условию задачи Е к = Е п на высоте h, то Подставляя выражение (2п) и значения величин из условия задачи в формулу (1п), получим Пример 5. Два упругих шара массами m1 = 0,5 кг и m2 = 0,3 кг соответственно подвешены рядом так, что их центры находятся на одном уровне (рис.18п). Отклонив первый шар на высоту H = 0,2 м, его отпускают. На какую высоту поднимется каждый из шаров после столкновения?

Дано: m1 = 0,5 кг, m2 = 0,3 кг, H = 0,2 м.

непосредственно перед столкновением – v o = 2 gH.

Из условия задачи следует, что удар шаров абсолютно упругий.

Применив законы сохранения импульса и энергии, определим скорости шаров после столкновения. Запишем эти уравнения:

Так как v 2 = v 2, то можно записать эти уравнения в виде:

Разделив равенство (2'п) почленно на (1'п), получим Решая совместно систему уравнений (1п) – (3п), находим скорости шаров после столкновения:

Высоту подъема каждого из шаров определим из закона сохранения механической энергии: Ek = Eп, т.е.

Ответ: h1 = 1,3 см, h2 = 31 см.

Замечание. Формулы (5п) и (6п) показывают, что при любых значениях масс шаров h1 < H, а h2 может превышать H.

5. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

При решении задач по теме этого раздела следует обратить внимание на то, что по сравнению с задачами по механике они не имеют принципиальных отличий.

Характерной особенностью колебательных движений является то, что они происходят под действием Fвозвр возвращающей силы, направленной к положению устойчивого равновесия тела.

Основными величинами, характеризующими повторяемость движения, являются: смещение – x = x(t ), скорость – v(t ), ускорение – a (t ).

При решении задач на механические колебания и волны рекомендуется методика:

1. При заданном в условии задачи законе гармонических колебаний записать зависимость x = A sin(t + o ) и сопоставить ее с заданной. Это необходимо сделать для определения A амплитуды, - циклической частоты, o - начальной фазы.

2. Если задан закон смещения колеблющейся точки x(t ) и требуется определить ее скорость v (t ) и ускорение a (t ), то эти величины определяют через производные:

3. Чтобы найти период колебаний тела массой m, которое совершает гармонические колебания, необходимо применить законы Гука F = kx и Ньютона – ma = FR.

4. В случае, если колебательная система, представляющая собой математический или пружинный маятники, совершает гармонические колебания, следует использовать закон сохранения механической энергии:

Замечание. Следует помнить, что для системы, совершающей незатухающие колебания, полная энергия системы равна максимальной кинетической или потенциальной энергии.

Пример 1. Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси x. За время t1 = 0,1 c от начала движения смещение точки от положения равновесия составило: x1 = 0,05м, скорость – v 1 x = 0, 1) амплитуду А, циклическую частоту и начальную фазу о ;

2) смещение x, скорость v, ускорение a в начальный момент времени (t = 0).

Дано: t1 = 0,1 c, x1 = 0,05м, v1x = 0,062, а1 = 5,4 2.

Решение: Смещение x(t ) материальной точки, движущейся по гармоническому закону, описывается уравнением Скорость v(t ) и ускорение a(t ) материальной точки определим с помощью производных от функций x(t ) (1п) и v(t ) (2п) по времени соответственно:

Подставляя в уравнения (1п) – (3п) значения величин x1, v1, a1 и t1, получаем Возведем в квадрат выражения (4п) и (5п) и сложим почленно:

Тогда, поскольку A sin (t1 + o ) + A cos (t1 + o ) = А, получим Чтобы найти начальную фазу, подставим найденные значения А и в уравнение (1п). Начальную фазу принято выражать в долях, поэтому введем в уравнение (1п) период колебаний:

Тогда По найденным значениям А и о определим x(0), vx (0), ax (0) координату, скорость и ускорение точки в начальный момент времени. Для этого подставим в уравнения (1п)–(3п) значение t = 0.

Тогда Пример 2. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2 с, полная энергия частицы Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы, действующей на частицу.

Найти: А – ?, Fмакс ?

Решение: Для определения амплитуды колебаний частицы воспользуемся законом сохранения механической энергии:

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является упругой и, следовательно, может быть выражена законом Гука где k коэффициент упругой силы. Сила F будет максимальной при смещении x макс = А, равном амплитуде: Fмакс = kA.

Коэффициент пропорциональности k выразим через период колебаний:

Подставляя выражения (1п) и (3п) в (2п) и выполнив преобразования, получим Ответ: А = 0,0045 м, Fмакс = 4,44 10 3 Н.

Пример 3. Определить период колебаний столбика ртути в U – образной трубке при выведении его из положения равновесия (рис. 19п). Площадь сечения трубки S = 0,5 10 4 м 2, масса ртути m = 0,2 кг. Плотность ртути = 13, 6 10 3 3.

Решение: Если ртуть в трубке вывести из положения равновесия, то вся ее масса будет совершать гармонические колебания относительно первоначального уровня ОО в коленах трубки. Причем, если уровень ртути в одном колене увеличивается на x, то в другом на столько же опускается. Разность давлений, создаваемых двумя вертикальными столбами ртути, составляет По закону Гука F = kx - возвращающая сила. С учетом выражения (1п) где S – площадь поперечного сечения колбы. Отсюда определяется формулой Ответ: T = 0,77 c.

Пример 4. Человек массой m = 70 кг качается на качелях (рис. 20п). Амплитуда его колебаний А = 1,5 м. За время t1 = 60 с он совершает N = 10 колебаний. Найти кинетическую и колебаний.

Тогда в момент времени t = Т необходимо знать скорость качелей в момент времени t. Воспользуемся уравнением гармонических колебаний x = A sin t и продифференцируем его по времени:

Значение t = T = = 60 o. Подставляя в (2п) выражение (3п) с учетом значения t, получаем Из уравнения (1п) найдем потенциальную энергию в момент времени t :

Ответ: Eполн = 86,3 Дж, Eкt = 21,6 Дж, Eпt = 64,7 Дж.

Пример 5. Человек, находящийся на Земле, наблюдает приближение к нему реактивного самолета, однако не слышит звука двигателей при пролете самолета над ним. Звук двигателей удаляющегося самолета человек услышал в момент, когда направление, вдоль которого виден самолет, образует с горизонталью угол = 15о. Самолет летит прямолинейно, параллельно поверхности Земли.

Объяснить наблюдаемое явление, а также определить скорость самолета uсам. Скорость звука в воздухе равна v = 340.

Найти: uсам – ?

Решение: Самолет в каждой точке пути является источником сферических звуковых волн (рис 21п). Радиус R соответствующей сферической поверхности пропорционален времени t, в течение которого звук распространяется от данной точки. Касательная поверхность к сферическим волнам, испущенным в каждый из предшествующих моментов времени полета самолета, есть боковая поверхность конуса, которая называется фронтом ударной волны.

Человек услышит звук (громкий хлопок), когда поверхность фронта звукового конуса достигнет точки А, который «тянет»

самолет. К этому моменту самолет окажется в точке С. За время, когда волна дойдет до точки А, где находится человек, самолет пролетит расстояние ВС.

Из прямоугольного треугольника АВС найдем выражения (1п) – (2п), получаем Ответ: uсам = 1317,8, т.е. скорость самолета превышает скорость звука в 3,87 раза.

6. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ, ГИДРОДИНАМИКА

При решении задач по гидростатике следует знать основные положения:

1) жидкость находится в равновесии, если действие сил на любой элемент скомпенсированы; 2) законы Архимеда и Паскаля;

3) уравнение Бернулли; 4) уравнение непрерывности.

При решении задач по гидростатике рекомендуется пользоваться методикой:

1. Выполнить рисунок, изобразить границы раздела различных жидкостей.

2. Выбрать нижнюю границу раздела различных жидкостей и принять ее за нулевой (горизонтальный) уровень ОО для отсчета высот столбцов данных жидкостей.

3. Записать условие равновесия в покоящихся жидкостях относительно выбранного нулевого уровня ОО.

4. Решить полученную систему уравнений и найти искомые величины.

5. Использовать рекомендации, приведенные в разделах механики.

Пример 1. В колено U образной трубки площадью S = 5 см 2, содержащей ртуть плотностью 1 = 13,6 10 3 3, налили m2 = 10 г воды плотностью 2 = 1,0 10 3 3 и m3 = 30 г керосина плотностью (рис. 22п). На сколько сантиметров уровень жидкости в одном колене выше, чем в другом?

Решение: На рис. 22п изображен нулевой уровень отсчета ОО, ниже которого находится однородная жидкость - ртуть.

Разность уровней жидкостей в коленах трубки h равна:

запишем условие равновесия на разнородных жидкостей найдем Выразим h2 и h3 через массу воды и керосина:

Подставляя выражения (2п) и (3п) в (1п) и численные данные, находим 5 104 м2 103 кг 13,6 103 кг 5 104 м2 800 кг 13,6 103 кг Ответ: h = 8,9 см.

Пример 2. В сосуд высотой h = 1 м, изображенный на рис. 23п, налита жидкость плотностью = 800 3. Какова площадь клапана величине ее сжатия x = 0,1 м жидкость начинает выливаться через клапан лишь тогда, когда доходит до краев? Масса клапана m = 1,0 кг.

Решение: Из рис. 23п видно, что на клапан действуют: сила упругости пружины Fупр, сила тяжести клапана mg и сила давления воды Fд. Очевидно клапан открывается, когда силы mg и Fд, Подставляя эти выражения в уравнение (1п), получим:

Ответ: S = 0,126 м 2.

Пример 3. На какую глубину погрузится в жидкость плотностью упавшее с высоты h = 10 м над ее поверхностью тело, 1 = имеющее плотность 2 = 200 3, если сила сопротивления жидкости составляет четвертую часть силы тяжести тела?

Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение: Движение тела происходит в двух средах: в воздухе и в жидкости (рис. 24п). Запишем уравнения движения тела по второму закону Ньютона в векторной форме:

Проведем ось у в направлении движения тела. Спроецировав на ось y сили и учтя, что a =, запишем уравнения движения (1п) в скалярной форме соответственно:

где v - конечная скорость тела в воздухе и начальная его скорость в жидкости.

Подставляя эти выражения в уравнение (3п), получим Ответ: h1 = 2,35 м.

Пример 4. Полый медный шар весит в воздухе P1 = 5,0 10 2 Н, а в воде - P2 = 3,5 10 2 Н (рис. 25п). Определить объем внутренней Выталкивающей силой воздуха пренебречь.

Решение: Изr рисунка видно, что на шар действуют силы: сила тяжести шара P = m1g, направленная вниз; выталкивающая сила Архимеда FАрх и сила упругости нити Fупр, направленные вверх.

Объем V1, занятый медью, из которой изготовлен шар, равен разности объемов шара Vш и полости Vп : V1 = Vш Vп, а с другой стороны – Vп = Vш V1 с учетом (1п), а также данные из условия задачи, найдем искомую величину:

Пример 5. Стационарный поток бензина протекает по горизонтальной трубе переменного сечения: на участке трубы А диаметр d1 = 0,2 м, скорость течения v1 = 10,0 и давление p1 = атм., а на участке В диаметр трубы d 2 = 0,15 м (рис.26п). Найти давление р2 и скорость течения v2 в узкой части трубы В. Плотность Дано: d = 0,2 м, v1 =10, Решение: Согласно уравнению Бернули, где p2 искомое давление, а v 2 скорость течения бензина на участке трубы В. Уравнение неразрывности позволяет определить скорость воды в узкой части трубки В:

Запишем площади сечений трубы участков А и В:

Подставляя выражение (3п) в формулу (2п), получим Решая совместно (1п) и (4п), находим Ответ: v 2 = 17,8 ; p2 = 4,14 105 Па.

Замечание. Из решения видно, что скорость потока бензина на узком участке трубы В больше из-за перепада давления.

7. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Из молекулярно-кинетической теории следует, что все макротела состоят из микрочастиц (атомов, молекул и др.). Например, в 1 см идеального газа (при нормальных условиях) содержится 2, молекул. Описание свойств указанной совокупности взаимодействующих частиц в рамках классической физики практически невозможно. Поэтому в молекулярной физике используется статистический метод, с помощью которого вычисляют средние значения физических величин. Например, < v > среднее значение скорости молекул, которая характеризует движение огромной совокупности частиц. В этом методе используют следующие (подтвержденные многочисленными опытами) определения:

1) все тела состоят из структурных микрообъектов (атомов и молекул), которые участвуют в хаотическом движении и взаимодействуют между собой;

2) молекулярная масса вещества µ – это отношение массы атома mo к 3) моль (единица количества вещества) – равен количеству вещества, в котором содержится столько же атомов, сколько их содержится в 0,012 кг изотопа углерода;

4) в моле любого вещества при нормальных условиях находится одинаковое число молекул N A = 6,02 10, называемое числом Авогадро.

Если газ идеальный, то предлагается рассмотреть два типа задач:

неизвестный параметр.

реагирующих между собой идеальных газов.

При решении задач этого раздела рекомендуется пользоваться методикой:

1. Из условия задачи установить тип газа для определения молярной массы.

2. Определить закон (изохорический, изотермический и изобарический и т.п.), по которому происходят изменения состояния системы.

3. Применить уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона). Если же один из параметров остается постоянным, а масса газа не изменяется, преобразовать это уравнение в один из законов идеального газа и решать относительно неизвестного параметра.

4. Использовать уравнения кинетической теории газов и закон Дальтона.

Пример 1. В цилиндре с площадью основания S = 102 м находится воздух. Внутри цилиндра, на высоте h = 0,5 м, расположен поршень. На поршень кладут гирю массой m = 50 кг, при этом он опускается на h = 0,1 м (рис. 27п, а). Найти температуру воздуха после опускания поршня, если в первоначальном состоянии давление было ро = 105 Па, а температура Т1 = 285 К.

Дано: S = 10 2 м 2, h1 = 0,5 м, m = 50 кг, h = 0,1м, ро =1,05105 Па, Решение: Рассмотрим два состояния воздуха под поршнем: до и после опускания поршня. На рис. 27п, б в координатах p, V, состояние воздуха изображается точками и характеризуется макровеличинами: до опускания поршня р1, V1, T1 (состояние 1) и после его опускания р2, V2, T2 (состояние 2), где дополнительное давление, которое оказывает на поршень гиря массой m. Поскольку Применим к этим двум состояниям уравнение Менделеева– Подставляя в формулу (4п) выражения p1, V1, p2 и V2, а также численные значения условия задачи, найдем Ответ: Т 2 = 334,4 К.

Пример 2. Определить концентрацию молекул кислорода, если его давление р = 0,2 МПа, а тепловая скорость молекул < v > = 500.

Решение: В условии задачи указывается, что газ является кислородом, следовательно, молярную массу µO2 находим из таблицы Менделеева.

В основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа p = mо2 n < v 2 > входит концентрация молекул n, поэтому где mо2 = – число Авогадро.

Пример 3. Какое давление рабочей смеси устанавливается в цилиндрах автомобиля, если к концу акта сжатия температура повышается от T1 = 323 K до T2 = 523 K, а объем уменьшается от р = 80 кПа.

Дано: T1 = 323K, T2 = 523K, V1 = 0,75103 м3, V2 = 0,12103 м3, р1 = 80 кПа.

Решение: Рабочая смесь в цилиндрах под поршнями в результате сжатия переходит из состояния 1 в состояние 2.

Воспользуемся объединенным газовым законом:

Ответ: р2 = 810 кПа.

Пример 4. Определить плотность смеси, состоящей из m1 = 4 10 3 кг водорода и m2 = 32 10 3 кг кислорода, при температуре T = 280 K и давлении p = 93 кПа.

Решение: Смесь газа состоит из водорода и кислорода. Из таблицы Менделеева находим их молярные массы соответственно давление смеси определяется где p1 и p2 – парциальные давления водорода и кислорода при данных условиях.

Запишем уравнение Менделеева–Клапейрона для каждого газа в отдельности:

По условию задачи V1 = V2 = V, T1 = T2 = T. Тогда, используя систему уравнений (2п), выразим давление газа соответственно:

Подставляя выражения (3п) в (1п), найдем:

Плотность смеси газов где m = m1 + m2 - масса смеси газов. Решая совместно выражения (4п) и (5п), получим Пример 5. Объем пузырька воздуха по мере всплытия его со дна озера на поверхность увеличивается в три раза (рис. 28п).

давление у поверхности воды равно атмосферному: po = 1,01105 Па.

Дано: = 10 3, V2 = 3V1, po = 1,01105 Па.

Найти: h ?

Решение: Считаем, что температура озера на любой глубине постоянна, т.е. процесс изотермический. Запишем уравнение изотермического процесса для пузырька воздуха, переместившегося со дна озера на его поверхность:

Очевидно, что давление воздуха в пузырьке у поверхности озера p2 = po. Подставив данные из условия задачи в уравнение (1п), получим Следовательно, увеличение давления воздуха в пузырьке у дна озера:

Из гидростатики известно:

Решая совместно систему уравнений (2п) и (3п) относительно искомой величины, находим:

Ответ: h = 20,6 м.

Основной задачей термодинамики является изучение физических свойств систем (тел) путем наблюдения процессов превращения тепловой энергии между изучаемым объектом и окружающей средой.

Необходимо помнить, что внутренняя энергия тела может изменяться в результате двух процессов, т.е. существует два «канала» энергообмена:

1) вследствие совершения над телом работы;

2) вследствие передачи ему теплоты (теплообмена) Q от тела (газа) к окружающим телам или наоборот - от окружающих тел.

В термодинамике применяется термодинамический метод, который базируется на двух экспериментально установленных законах – первом и втором началах.

Задачи в этом разделе можно условно разделить на следующие типы:

1. Определение работы расширения (сжатия) газа по заданному процессу перехода.

2. Определение количества тепла, полученного газом (или отнятого у него), в заданном процессе.

3. Расчет эффективности цикла реальной тепловой машины и сравнение ее с эффективностью идеальной тепловой машины Карно.

При решении задач этого раздела рекомендуется пользоваться методикой:

1. Установить направление энергетического обмена тел в системе, т.е. считать, что тела более нагретые отдают тепло, а менее нагретые получают тепло.

2. Выяснить, происходят ли в системе тел фазовые переходы из одного агрегатного состояния в другое (плавление, испарение, конденсация, кристаллизация и т. д.).

3. Использовать зависимости внутренней энергии U, количества теплоты Q и работы расширения (сжатия) A идеального газа в заданном процессе.

4. Составить уравнение теплового баланса следует помнить, что теплота, получаемая телом, считается положительной, а теплота отдаваемая отрицательной.

5. Если происходит процесс теплообмена тел системы с окружающей средой и совершается механическая работа, то применяется первый закон термодинамики: Q = U + A.

Пример 1. Разогретый до температуры T1 алюминиевый куб, положенный на лед, температура которого T2 = 253 K, полностью в него погрузился. Определить начальную температуру куба.

Изменением объема, при его охлаждении, пренебречь. Удельные алюминия и льда: 1 = 2,7 103 3 и 2 = 0,9 103 3 соответственно.

Решение: Чтобы алюминиевый куб полностью погрузился в лед, достаточно расплавить лед в объеме куба. Будем считать, что система «куб–лед» теплоизолированная и поэтому теплообмен происходит только между ними в пределах того же объема. Куб нагрет до более высокой температуры, следовательно, передает тепло льду. Лед, получая тепло, вначале нагревается до температуры плавления Т пл, затем переходит в другое агрегатное состояние – жидкое.

На основании закона сохранения энергии составим уравнение теплового баланса:

где Q1 = c1 m1 (T1 Tпл ) – количество теплоты, отдаваемое кубом при его охлаждении до температуры плавления льда; Q2 = c2 m2 (Tпл T2 ) – количество теплоты, полученное льдом при его нагревании до температуры Т пл ; Q3 = 2 m2 – количество теплоты, полученное льдом при его плавлении.

Подставляя в уравнение теплового баланса (1п) выражения Q1, Q2, Q3, получим Поскольку m1 = 1V и m2 = 2V (V- объем куба), выражение (2п) принимает вид Решая (3п) относительно искомой величины Т1 и подставляя значения других величин из условия задачи, получаем Ответ: Т 1 = 414,2 К.

Пример 2. Азот нагревается при постоянном давлении р = 10 5 Па. Объем азота изменяется на V = 1,5 м 3. Определить:

1) работу расширения газа; 2) количество теплоты, сообщенное азоту; 3) изменение внутренней энергии, если молярные теплоемкости азота при постоянных объеме и давлении равны соответственно:

Найти: A -?, Q -?, U -?

Решение: Нагревается азот, следовательно, молярную массу газа найдем из таблицы Менделеева: µ N 2 = 0,028. Расширение газа происходит при р = const, т.е. процесс изобарический.

Работу газа определим по формуле Количество теплоты, сообщенное газу, найдем по формуле где с уд – удельная теплоемкость азота, которая связана с молярной теплоемкостью соотношением с уд = р. Тогда выражение (2п) принимает вид Так как масса газа и изменение его температуры не заданы, выразим их через давление и изменение объема, воспользовавшись уравнением Менделеева–Клапейрона для двух состояний газа:

Вычтя из (5п) уравнение (4п), получим где А = pV – работа газа.

Подставив выражение (6п) в (3п), найдем численное значение количества теплоты, переданное азоту при изобарическом процессе:

Для определения изменения внутренней энергии газа воспользуемся формулой выражения (6п), найдем:

Пример 3. Автомобиль «Москвич» расходует m = 5,67 кг бензина на S = 50 км. Найти мощность N, развиваемую двигателем автомобиля, если скорость его движения v = 20 и КПД = 22%.

Удельная теплота сгорания бензина q = 4,5 107.

сгорании бензина, найдем из формулы Из формулы КПД выразим полезную работу двигателя:

Подставляя выражения (1п) и (2п) в формулу мощности двигателя, получаем Ответ: N = 22,5 кВт.

Пример 4. Двигатель внутреннего сгорания имеет КПД = 28% при температуре сгорания топлива Т1 = 1200 К и температуре отходящих газов Т 2 = 720 К. Насколько КПД двигателя меньше КПД идеальной тепловой машины Карно?

Тогда КПД двигателя внутреннего сгорания меньше:

Пример 5. На электроплитке с КПД = 80% нагревается медная кастрюля с водой. Масса кастрюли m1 = 1,0 кг, масса воды m2 = 2,0 кг. Какова мощность электроплитки, если процесс нагревания до кипения воды длится t = 1 ч, и при этом 30% воды испарилось. Начальная температура воды t1o = 20 о С. Удельные теплота парообразования воды – r = 2,3 106.

Найти: N затр – ?

выражением теплота, которую получает вода при нагревании ее до температуры кипения ; Q3 = rm3 – теплота, необходимая для частичного парообразования воды.

Подставляя в выражение (2п) значения Q1, Q2, Q3, определим количество теплоты, полученное системой в процессе нагревания и частичного парообразования:

Затраченная работа Азатр определяется количеством теплоты, отдаваемым электроплиткой:

Тогда, с учетом выражений (3п) и (4п), выражение (1п) принимает вид:

Преобразуя выражение (5п) и подставляя численные значения из условия, получим Ответ: N затр = 723 Вт.

Это раздел электродинамики, в котором изучается взаимодействие зарядов посредством электрического поля, создаваемого заряженными телами, находящимися в покое в выбранной системе отсчета. Основная задача электростатики заключается в расчете основных характеристик электрического поля: напряженности E и потенциала.

Задачи по электростатике условно можно разделить на следующие типы:

1. Расчет напряженности и потенциала электрического поля, созданного системой точечных взаимодействующих зарядов.

2. Расчет напряженности и потенциала электрического поля, созданного системой зарядов, непрерывно распределенных по поверхности тел простой геометрической формы (бесконечная плоскость, сфера, длинный проводник). В этом случае необходимо пользоваться понятиями: поверхностной плотности зарядов ( = – заряд единицы поверхности) и линейной плотности зарядов ( = – заряд единицы длины). Суммарное поле следует рассматривать как результат наложения полей, создаваемых точечными зарядами dq = dS или dq = dl.

3. Расчет сил взаимодействия между зарядами. При решении подобных задач следует помнить, что электрическое поле потенциально, работа сил поля не зависит от формы пути:

4. Расчет электроемкости конденсатора и энергии электрического поля. При решении таких задач необходимо различать:

а) на заряженном и отключенном от источника конденсаторе заряд не изменяется при раздвижении пластин (их сближении), внесении (или удалении) диэлектрика;

б) если же источник не отключен - остается неизменной разность потенциалов, а заряд и емкость конденсатора изменяются.

Для определения энергии необходимо использовать формулу взаимосвязи работы с изменением энергии системы При решении задач этого раздела рекомендуется пользоваться методикой:

1. Выполнить рисунок, указать знак заряда и направление напряженности поля в рассматриваемой точке пространства.

2. Показать направление сил, действующих на данный заряд.

3. Применить принцип суперпозиции, если электрическое поле в интересующей точке пространства создается системой зарядов.

4. Записать условие равновесия, если система зарядов находится в равновесии.

5. Использовать закон сохранения заряда, если в замкнутой системе произошло перераспределение зарядов.

9.1. Расчет напряженности и потенциала Пример 1. В вершинах квадрата со стороной a = 0,1 м расположены три одинаковых положительных заряда q1 = q2 = q3 = 5·10-7 Кл и один отрицательный q4 = - 5·10-7 Кл (рис. 29п).

Определить напряженность поля Ео в центре квадрата, если заряды находятся в воздухе ( 0 = 8,85 0 12 ).

Дано: a = 0,1 м, q1 = q2 = q3 = 5·10-7 Кл, q4 = -5·10-7 Кл, = 1.

Решение: По условию задачи поле создано четырьмя точечными зарядами q1, q2, q3 и q4. Требуется найти напряженность поля в точке О, которая равноудалена от всех четырех зарядов и лежит с ними в одной плоскости. Направления напряженностей полей, создаваемых зарядами, в центре О показаны на рис. 29п.

Согласно принципу суперпозиции, напряженность поля в точке О равна векторной сумме напряженностей каждым зарядом в r отдельности, т.е.

напряженности полей, созданных зарядами q1, q2, q3 и q4 соответственно в точке О.

создаваемого этими зарядами в точке О, выполним с учетом направления векторов E.

Расстояние от любого из зарядов до рассматриваемой точки О равно половине диагонали квадрата:

Из рисунка видно, что напряженности полей, созданных зарядами q1 и q3 в точке О, равны E1 = E2 и направлены в противоположные стороны. Следовательно, напряженность поля в точке О, создаваемая этими зарядами, будет равна нулю.

Действительно, так как заряды, а также расстояния от них до точки О равны ro.

Векторы напряженности Е2 и Е4, создаваемые зарядами q2 и q4, сонаправлены. Тогда результирующая напряженность Ео в точке О будет равна алгебраической сумме напряженностей Е2+ Е4, созданных этими зарядами. Таким образом, с учетом выражения (2п) получим Ответ: Напряженность поля в центре квадрата Eo = 1,8 10 6.

Пример 2. Два маленьких шара массой m = 2 г подвешены на тонких шелковых нитях длиной l = 2 м. Шарам сообщили заряды q = 5·10-8 Кл, при этом они разошлись. Определить расстояние между центрами шаров (рис. 30п).

Дано: m = 0,002 кг, l = 2 м, q = 5·10-8 Кл.

Решение: Из условия задачи следует, что заряженные шары можно принять за точечные заряды. К каждому из шаров приложены три силы: сила тяжести шара mg, кулоновская сила отталкивания Fk и сила натяжения нити Fн. Запишем условие равновесия заряда:

r Условие (1п) r выполняется, если равнодействующая сил Fк и mg равна FR и уравновешивается силой натяжения нити Fн. Из рис. 30п имеем Для малых углов отклонения можно принять, что OA АВ; тогда выражение (2п) принимает вид:

На основании закона Кулона Подставляя выражение (4п) в (3п), найдем искомое расстояние между центрами шаров:

Ответ: r = 0,17 м.

Пример 3. В двух вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 0,5 м расположены два одинаковых положительных заряда по q = 10 мкКл (рис. 31п). Найти потенциал и напряженность электрического поля в третьей вершине треугольника, а также посередине между зарядами.

Дано: a = 0,5 м, q1 = q2 = 10-5 Кл.

напряженностей полей, создаваемых зарядами в третьей вершине треугольника А, показаны на рис. 31п. Заряды, расположенные в вершинах треугольника, точечные, следовательно, напряженность поля, создаваемая каждым зарядом в точке А, равна:

суммарного поля в точке А:

Потенциал поля, создаваемый каждым из зарядов в точке А равен Потенциал суммарного поля в этой точке Напряженность полей, создаваемых каждым зарядом в точке В посередине между зарядами, направлены в разные стороны и равны по модулю. Поэтому напряженность суммарного поля в точке В равна нулю: Ев= 0. Потенциал поля каждого из зарядов в точке В:

Потенциал суммарного поля посередине между зарядами:

Пример 4. Металлический шар радиусом R = 0,1 м (рис. 32п) заряжен до потенциала ш = 300 В. Найти потенциал A и напряженность E A поля в точке А, удаленной от поверхности шара на расстояние d = 10 см.

заряженным шаром в точке А, равен где q – заряд шара, R + d – расстояние от центра О до точки А, = (так как среда, окружающая шар, не указана).

Электроемкость шара С учетом формулы (2п) найдем заряд шара Подставляя выражение (3п) в (1п), получаем Напряженность поля, образованного заряженным шаром в точке А, вычисляют по формуле для точечного заряда, помещенного в Пример 5. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор (рис. 33п) параллельно пластинам со скоростью v = 6·107 м/c.

Расстояние между пластинами d = 10 мм, разность потенциалов U = 600 В. Найти отклонение электрона, вызванное полем конденсатора, если длина его пластин l = 50 мм.

Дано: v = 6·107 м/c, d = 10 мм = 10-2 м, U = 600 В, l = 5·10-2 м.

Найти: h-?

Решение: На электрон, влетающий в электрическое поле, действует сила Если rнапряженность электрического электрическая сила F направлена вниз.

Электрон одновременно движется в горизонтальном и вертикальном направлениях. В горизонтальном направлении он продолжает двигаться равномерно. В вертикальном направлении под действием электрической силы F равноускоренно перемещается вниз. Траекторией движения электрона будет парабола с вершиной в точке влета его в конденсатор.

За время движения в конденсаторе электрон пролетит по горизонтали расстояние l = v t, а по вертикали переместится вниз на расстояние h = Решая совместно эти выражения, получим Ускорение электрона найдем из второго закона Ньютона.

Поскольку на электрон в вертикальном направлении действует только одна сила F (силой тяжести, действующей на электрон, пренебрегаем), то qE = ma, или, с учетом выражения (1п), имеем Подставляя выражение (3п) в (2п), получаем Ответ: h = 3,7 мм.

9.2. Энергия. Работа сил электростатического поля Пример 6. Два небольших шарика с зарядами q1 = 7·10-9 Кл и q = 13·10-9 Кл находятся в воздухе ( = 1) на расстоянии l = 40 см друг от друга. Какую работу необходимо совершить, чтобы приблизить их до расстояния d = 25 см?

Дано: q1 = 7·10-9 Кл, q2 = 13·10-9 Кл, l = 0,4 м, d = 0,25 м.

Решение: Из условия задачи следует, что взаимодействующие заряды являются точечными.

В задачах подобного типа удобно считать один из шаров неподвижным и являющимся источником электрического поля.

Другой шар перемещается в поле первого заряда. Пусть заряд q перемещается из точки, находящейся на расстоянии r1 от шарика q1, в точку, находящуюся на расстоянии r2 от него. Работа, совершаемая силами, определяется соотношением где 1 и 2 – потенциалы, создаваемые точечным зарядом q1 в точках поля 1 и 2, соответственно равны Подставим выражения (2п) в (1п):

Подставив в выражение (3п) численные данные из условия задачи, получим Ответ: А = 1,2 мкДж.

Пример 7. Расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора, присоединенного к источнику питания 1 = 220 В, равно d1 = 2 мм (рис. 34п). Площадь пластин конденсатора S = 200 см2. Найти работу по раздвижению пластин до расстояния d = 12 мм в двух случаях: 1) конденсатор перед раздвижением отключен от источника: 2) конденсатор в процессе раздвижения пластин все время соединен с источником.

Дано: 1 = 220 В, d1 = 2·10-3 м, S = 2·10-2 м2, d2 = = 12·10-3м.

Найти: 1) A1 -? 2) A2 -?

Решение: Работа по раздвижению пластин может быть найдена по формуле взаимосвязи работы и энергии:

где W – изменение энергии конденсатора; А – работа внешней силы.

1. В первом случае заряд q на его пластинах в процессе раздвижения остается постоянным и равным Энергия конденсатора меняется от W1 = до W2 =, т.е.

потенциалов на его обкладках равна U = 1 ЭДС источника. Изменение энергии для этого определим работу по раздвижению пластин:

Во втором случае, когда конденсатор соединен с источником, разность потенциалов на его пластинах остается постоянной и равной При этом емкость конденсатора меняется от C1 = – энергия убывает. Изменение энергии определим по формуле (3п):

Работа по раздвижению пластин, как следует из выражения (1п):

задачи, получим Замечание. Следует обратить внимание на то, что работа внешних сил по раздвижению пластин (при подключенном источнике) меньше, чем в случае, когда он отключен. Это обусловлено тем, что знак работы источника определяется знаком q. При перемещении заряда с положительной обкладки на отрицательную источник совершает отрицательную работу, так как

10. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

В этом разделе рассматриваются явления и процессы, связанные с направленным движением зарядов. Заметим, что основными величинами в разделе постоянного тока необходимо считать силу и плотность тока j = (сила тока на единицу площади тока I = поперечного сечения проводника). Основными законами данного – для однородного участка цепи и закон Джоуля–Ленца Q = I 2 Rt – для определения количества выделяющейся теплоты в проводнике при прохождении тока.

При решении задач этого раздела рекомендуется следующая методика:

1. Изобразить электрическую схему и показать направление токов.

2. В случае простой электрической цепи следует применять закон Ома - для определения силы тока, а затем вычислять другие величины (работу, мощность, количество теплоты, энергию и т. д.).

3. В случае сложной электрической цепи выделять участки последовательного и параллельного соединений элементов.

эквивалентными.

4. Задачи для разветвленных цепей не рекомендуется решать в общем виде из-за громоздкости алгебраических вычислений.

Пример 1. По медному проводнику с поперечным сечением S = 1 мм2 течет ток с силой I = 10 А. Определить среднюю скорость упорядоченного движения (скорость дрейфа) электронов в проводнике ( N a = 6,02·1023 кг/моль – число Авогадро).

Найти: v др ?

В выражении (1п) неизвестной является n - концентрация электронов в единице объема проводника. На каждый атом меди приходится один валентный электрон проводимости, поэтому концентрация электронов проводимости будет равна концентрации атомов меди. Концентрация атомов меди где N – число атомов меди в объеме V. Известно, что Тогда, подставляя выражения (2п) –(4п) в (1п), получим Замечание. Обратить внимание на то, что скорость направленного движения vдр электронов в проводнике значительно меньше скорости распространения сигнала при подключении к проводнику источника тока, которая равна с = 3·108 м/с. Объяснить – почему?

Пример 2. Определить общее сопротивление цепи (рис. 35п, а), если сопротивления отдельных резисторов известны: R1 = 15 Ом, R = 30 Ом, R3 = 40 Ом, R4 = 32 Ом, R5 = 12 Ом, R6 = 45 Ом.

Дано: R1=15 Ом, R2= 30 Oм, R3= 40 Oм, R4= 32 Oм, R5= 12 Oм, R6= 45 Oм.

Найти: Rцепи ?

Решение: Сопротивление цепи складывается из последовательно и параллельно соединенных участков резисторов ab, bc и cd (рис.

35п, а). Вычислим вначале сопротивление участка bc. Он состоит из параллельно соединенных резисторов R3 и R4, а также последовательно подключенного к ним резистора R5. Найдем результирующее сопротивление правой части ветви участка bc:

Тогда сопротивление участка bc, представляющее собой параллельное соединение сопротивлений R2 и R3,4,5, будет равно:

В результате электрическая цепь примет вид, изображенный на рис. 35п, б. Очевидно, что сопротивление цепи участков полученной эквивалентной схемы, состоящей из трех последовательно соединенных резисторов R1, Rbc и R6, равно сумме их сопротивлений:

Ответ: Rцепи= 75 Ом.

Пример 3. Какова ЭДС элемента (рис. 36п), если при подключении его к зажимам вольтметра с сопротивлением Rv=20 Ом он показывает напряжение Uv = 1,37 B, а при замыкании элемента на сопротивление R2 =10 Ом по цепи идет ток I2= 0,132 А?

Дано: Rv = 20 Ом, Uv = 1,37 B, R2 = 10 Ом, I2 = 0,132 А.

Откуда из выражения (2п) определим ток цепи:

Из формулы (1п) найдем внутреннее сопротивление элемента:

Применим закон Ома для замкнутой цепи (рис. 36п, б), когда к элементу подключен резистор R2:

Подставляя в (4п) выражение (3п), найдем ЭДС элемента:

Откуда получим Ответ: = 1,45 В.

Пример 4. ЭДС батареи = 6 В, а величина тока короткого замыкания Iкз= 10 А. Определить полезную максимальную мощность источника тока.

Найти: Nmax -?

Решение: Полезная мощность источника определяется по формуле Из формулы (1п) следует, что мощность является функцией двух переменных I и R. Применим закон Ома для замкнутой цепи I= и выразим сопротивление как функцию тока R = r.

Подставим полученное выражение в формулу (1п):

Теперь задача сводится к нахождению экстремума функции (2п) зависимости мощности источника от тока нагрузки (рис. 37п).

Найдем производную по току I от функции N = N (I ) (2п) и приравняем ее к нулю при токе максимума I = Io :

Подставляя выражение (3п) в (2п), получим максимальную мощность, которую источник выдает в нагрузку:

Внутреннее сопротивление источника найдем по формуле Подставляя (5п) в (4п), определяем искомую величину максимальной мощности:

Ответ: N max = 15 Вт.

Пример 5. При какой постоянной силе тока через поперечное сечение проводника проходит заряд q = 50 Кл за промежуток времени от t1 = 5 до t2 = 10 с от момента включения тока? Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника за то же время, если сила тока в проводнике изменяется со временем по закону I = + 3t?

Дано: q =50 Кл, t1 = 5 c, t2 =10 с, I = 6+ 3t.

Найти: I1 -?, q2 - ?

Решение: 1-й способ решения. Если сила тока постоянна, то где t = t 2 t1. Тогда выражение (1п) принимает вид Сила тока изменяется со временем по закону I = 6 + 3t. Заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за тот же промежуток времени, может быть определен интегрированием, т.к.

2-й способ решения. Из геометрического смысла определенного I 2 = 6 + 3 10 c = 36 А, а заштрихованная площадь является трапецией. Таким образом, величина заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, равна площади трапеции:

Ответ: I 1 = 10 А, q2 = 142,5 Кл.

10.2. Тепловое действие электрического тока Пример 6. Однородный медный проводник длиной l = 200 м в течение десяти секунд t = 10 c был подключен к источнику постоянного тока с напряжением U = 100 В. Как изменится при Дано: l = 200 м, U = 100 В, t = 10 c, меди = 1,7 10 8 Ом·м.

Решение: Для нагревания проводника необходимо передать количество теплоты:

где m = Dм S l – масса проводника; S – площадь его поперечного сечения; смеди – удельная теплоемкость; Dм – плотность меди.

По закону Джоуля–Ленца количество теплоты, которое выделяется при протекании электрического тока в проводнике:

где R = меди - сопротивление проводника.

Пренебрегая потерями тепла и приравнивая правые части выражений (1п) и (2п), получим Подставим в формулу (3п) числовые значения из условия задачи и найдем значение искомой величины:

Пример 7. Кипятильник имеет две одинаковые секции. Если обе секции включить в сеть паралелльно, он нагреет воду за t1 = 10 мин.

За какое время он нагреет до той же температуры такое же количество воды, если обе секции включить последовательно?

Дано: t1 = 10 мин.

Найти: t2 - ?

Решение: Количество тепла, необходимое для нагревания воды, определяется формулой С другой стороны, согласно закону Джоуля–Ленца:

где R1 – сопротивление кипятильника, когда секции включены параллельно. Если обозначить сопротивление одной секции через R, то R1 =. Приравнивая правые части формул (1п) и (2п), получим Из выражения (3п) найдем сопротивление секции кипятильника:

В случае последовательного соединения секций формула (3п) принимает вид так как R2 = 2R, то Подставляя в формулу (6п) значение R по формуле (4п), вычислим искомую величину t2:

Ответ: t 2 = 40 мин.

Пример 8. При серебрении ложек ток I = 1,5 А в течение t = 6 ч пропускают через раствор соли серебра. Катодом служит девять ложек n = 9, из которых каждая имеет поверхность S1 = 50 см2.

Найти толщину слоя серебра. (Атомная масса А = 107,88.

Плотность серебра D = 10,5·10 кг/м ).

Дано: I =1,5 А, t = 21600 с, S1 = 50 см2 = 5·10-3 м2, z = 1; n = 9.

Найти: h- ?

Решение: Толщину слоя серебра определим по формуле где V - объем выделившегося серебра; n - число ложек.

Объем определим по формуле где m – масса выделившегося серебра.

По закону Фарадея найдем массу серебра:

серебра. Подставляя выражение (3п) в (2п), получим затем определим искомую толщину слоя:

Ответ: h = 7,7·10-5 м = 77 мкм.

11. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ. ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ

ИНДУКЦИИ И САМОИНДУКЦИИ.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Источником магнитного поля являются движущиеся заряженные частицы. Протекание тока в проводниках сопровождается возникновением вокруг них магнитного поля, посредством которого они взаимодействуют между собой.

Характеристиками магнитного поля являются: 1) магнитная индукция B ; 2) напряженность поля Н ; 3) магнитный поток Ф.

Все задачи рассматриваемого раздела по электромагнетизму условно можно разделить на следующие типы:

1. Вычисление магнитной индукции и напряженности магнитного поля в любой точке пространства, создаваемого проводниками с током.

2. Определение силовового действия магнитного поля на проводники с током или на движущиеся заряженные частицы в магнитном поле с применением закона Ампера FA = IBl sin или 3. Расчет индуктивности и энергии магнитного поля с применением соответствующих формул.

4. Нахождение ЭДС электромагнитной индукции и самоиндукции в контуре с применением закона Фарадея и правила Ленца:

5. Определение заряда, тока и напряжения в колебательном контуре в зависимости от времени с применением формулы Томсона.

При решении задач этого раздела рекомендуется пользоваться методикой:

1. Выполнить рисунок и показать на нем направление тока в r проводниках, а также вектора магнитной индукции B в рассматриваемой точке поля.

2. Показать направление всех сил, действующих на заряды или проводники с током, применяя правило левой руки.

3. Если магнитное поле в интересующей точке пространства создается системой проводников с токами, то использовать принцип суперпозиции.

4. При расчете ЭДС индукции с применением формулы (1п) в зависимости от условия задачи различают изменение магнитного потока Ф за время t :

а) BS cos – изменяется магнитная индукция во времени, в котором находится контур;

б) BS cos t – измененяется угол ориентации рамки в магнитном поле.

11.1 Сила, действующая на проводник с током вращаться вокруг горизонтальной оси АВ (рис. 39п, а), течет ток I = 20 А. На какой угол отклонится рамка в однородном магнитном поле с индукцией 0,25 Тл, направленной вертикально вверх?

Стороны рамки АС и ВD изготовлены из тонкого провода и их массой можно пренебречь, а сторона провода СD = 5 см имеет массу m = 50 г.

Дано: I = 20 А, В = 0,25 Тл, СD = 5 см = 0,05 м, m = 0,05 кг.

Решение: На участок c током СDr действуют: сила Ампера FA, сила тяжести проводника mg и сила натяr жения нитей Fн. Рамка отклоняется на угол и устанавливается в направлении равнодействующей R сил FA и mg. Из треугольника KDL (рис. 39п, б) найдем:

Пример 2. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл расположен стержень, который вращается перпендикулярно к направлению линий магнитной индукции. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить поток вектора магнитной индукции Ф сквозь поверхность, которую образует стержень при каждом обороте.

Дано: В = 0,1 Тл.

Решение: Поток вектора магнитной индукции, который пронизывает площадку S = l 2, прочерчиваемую вращающимся стержнем, равен Ф = BS cos, где = 0о – угол между вектором индукции и нормалью к площадке, образуемой вращающимся стержнем. Следовательно, Ф = B l 2 = 0,1Тл 3,14 1м 2 = 0,31 Вб.

Ответ: Ф = 0,31 Вб.

11.2. Сила, действующая на движущиеся заряженные Пример 3. Электрон движется в магнитном поле, индукция которого В = 2·10-3 Тл, по винтовой линии радиусом R = 2 см и шагом винта h = 5 см (рис. 40п). Определить скорость электрона.

Масса электрона и его заряд равны соответственно:m = 9,1·10-31 кг, e = 1,6·10-19 Кл.

Дано: В = 2·10-3 Тл, R = 2 см = 2·10-2 м, h = 5 см = 5·10-2 м.

Решение: Вектор скорости электрона, движущегося по винтовой линии в магнитном поле, направлен по касательной к индукции B.

В плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, электрон равномерно движется по окружности со скоростью v под действием силы Лоренца (рис 41п):

Скорость электрона v определим по формуле Перпендикулярную составляющую скорости электрона v найдем из второго закона Ньютона:

Продольную составляющую скорости вдоль магнитного поля v II определим из соотношения h = vT, откуда где Т – период вращения электрона в магнитном поле. С другой стороны, период Т равен времени, в течение которого электрон пройдет со скоростью v расстояние, равное длине окружности, т.е.

Используя соотношения (4п) и (5п), получим Подставляя выражения (6п) и (9п) в формулу (4п), найдем Ответ: v = 1,9·10 м/с.

Пример 4. Перпендикулярно однородному, горизонтально направленному магнитному полю с индукцией В = 10-2 Тл расположена вертикальная рамка из металлических стержней П– образной формы шириной l = 50 см (рис. 42п). По рамке скользит без трения и без нарушения контакта проволочная перемычка ab массой m = 1 г с постоянной скоростью v = 1 м/с. Определить сопротивление R перемычки. Сопротивлением рамки пренебречь.

Дано: В = 10-2 Тл, l = 50 см = 0,5 м, m = 10-3 кг, v = 1м/с.

Решение: При движении в магнитном поле (рис. 42п) проволочной перемычки ab без нарушения контакта с металлическими стержнями П–образной формы в образовавшемся контуре с изменяющейся площадью S возникает ЭДС индукции и по закону Ленца индуктируется ток. По перемычке ab протекает индукционный ток, направленный так, что сила Ампера, действующая на движущийся проводник, тормозит его. Условие равномерного движения перемычки:

где сила Ампера FA = IlB sin = IBl. Величину тока I определим по Ответ: R = 2,6 10 Ом.

Пример 5. В катушке с индуктивностью L=0,4 Гн возникает ЭДС самоиндукции c = 20 В. Найти среднюю скорость изменения тока в катушке.

11.4. Электромагнитные колебания и волны Идеальный электромагнитный колебательный контур представляет собой электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных в замкнутую цепь конденсатора с емкостью C, катушки индуктивности L, в которой период свободных незатухающих колебаний выражается формулой Томсона:

При решении задач по данной теме рекомендуется:

1. Учитывать то, что методика решения задач по теме «Электромагнитные колебания» такая же, как и по теме «Механические гармонические колебания».

2. При рассмотрении процессов, происходящих в идеальном колебательном контуре, использовать закон сохранения энергии.

3. Помнить, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света с = 3·108 м/с, а в среде – со скоростью v = c/n, где n – абсолютный показатель преломления среды.

Пример 1. Конденсатор электроемкостью С = 50 мкФ, заряженный до напряжения U = 10 В, разряжается через катушку с очень малым электрическим сопротивлением и индуктивностью L = 10-4 Гн. Найти максимальное значение силы тока в катушке.

Дано: С = 50 мкФ, U = 10 В, L = 10-4 Гн.

Найти: Imax.- ?

Решение: 1-й способ решения. При разрядке конденсатора происходит превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля катушки. Максимальное значение энергии магнитного поля катушки по закону сохранения и превращения энергии равно максимальной энергии электрического поля конденсатора:

Из равенства (1п) получаем выражение для вычисления максимального значения силы тока:

2-й способ решения. Колебания заряда в контуре происходят по максимальное значение тока в контуре достигается при sint = 1.

Откуда I max = qo, где qo = CU, а =. Окончательно выражение искомой величины максимальной силы тока по модулю равно:

Ответ: I max = 7,1 А.

Пример 2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 100 мкГн, конденсатора емкостью C = 1000 пФ и резистора сопротивлением R = 0,5 Ом. Какую мощность должен потреблять контур, чтобы в нем поддерживать незатухающие колебания, при которых максимальное напряжение в конденсаторе равно U = 5 В?

Дано: L = 100 мкГн = 10-4 Гн, C = 10-9 Ф, R = 0,5 Ом, U = 5 В.

Решение: Для того, чтобы в конденсаторе поддерживались незатухающие колебания, потребляемая мощность должна компенсировать потери энергии на активном сопротивлении:

– действующее значение тока в контуре. Максимальное значение тока в контуре определим из формулы Подставив выражение (3п) в (2п), найдем действующее значение Решая совместно (1п) и (4п), получим значение мощности:

Ответ: N = 62,5 мкВт.

Пример 3. Какую электроемкость должен иметь конденсатор для того, чтобы колебательный контур, состоящий из конденсатора и катушки с индуктивностью L = 4мГ, был настроен на волну = 700 м?

Решение: Для настройки приемника на заданную волну частота собственных колебаний в контуре должна быть равной частоте колебаний принимаемой электромагнитной волны. Период собственных колебаний в контуре определяется из формулы Томсона:

Частота колебаний связана с периодом колебаний (1п) соотношением Длина электромагнитной волны, зависящая от частоты (2п) и скорости ее распространения с, определяется формулой Из выражения (3п) найдем:

Ответ: С = 34,7 пФ.

12. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

Оптика изучает явления и закономерности, связанные с возникновением, распространением и взаимодействием световых волн с веществом.

В геометрической оптике рассматриваются законы распространения света в прозрачных средах как совокупность световых лучей-линий, вдоль которых переносится энергия электромагнитных волн. Видимое излучение находится в диапазоне от 4000 до 7500 (1 = 10-10 м).

Следует помнить, что законы геометрической оптики применяются лишь в случае, если длина волны значительно меньше входных отверстий оптических приборов.

При решении задач по геометрической оптике рекомендуется пользоваться методикой:

1. Построить изображение предмета, показав характерные лучи, которые образуют действительное изображение, или продолжения лучей, если оно мнимое.

2. Вывести соотношения, которые следуют из геометрических построений.

3. Записать формулы, выражающие законы геометрической оптики.

12.1. Фотометрия и геометрическая оптика Пример 1. На высоте h1 = 5 м от поверхности земли висит лампа Решение: Освещенность под каждой лампой получается как сумма освещенностей, создаваемых первой и второй лампами.

Следовательно, на основании закона освещенности имеем:

Значения r1 и r2 можно определить по теореме Пифагора.

Расстояние a между точками А и В определяется соотношением Из соответствующих треугольников на рис. 40п вычислим величины r1 и r2 :

r = h12 + a2 = h12 +l2 ( h2 h1 ) = ( 5м) +(10м) ( 7м5м) =11 м, ( 4п) r2 = h22 + a2 = h22 + l2 ( h2 h1 )2 = ( 7м)2 + (10м)2 ( 7м 5м)2 =12 м. (5п) Подставляя значения величин (4п) и (5п) в выражения (1п) и (2п), определим Е1 и Е2:

Ответ: 1 = = 3,5 раза. Под первой лампой освещенность больше, чем под второй примерно в 3,5 раза.

Пример 2. Автомобиль, движущийся со скоростью v = 252 км/ч, фотографирует с помощью фотоаппарата, объектив которого имеет фокусное расстояние F = 10 см (рис. 44п). Определить наибольшую допустимую экспозицию при условии, что размытость изображения не должна превышать S1 = 0,05 мм. Расстояние от фотоаппарата до предмета d = 200 м. В момент фотографирования оптическая ось объектива перпендикулярна к траектории движения автомобиля.

Дано: v = 252 км/ч = 70 м/с, F = 0,1 м, S1 = 5·10-5м, d = 200 м.

Решение: За время экспозиции t автомобиль переместится на расстояние При этом изображение на фотопленке переместится на расстояние S1. Тогда из рисунка запишем пропорцию:

Из формулы линзы найдем расстояние от линзы до изображения на фотопленке:

Подставляя выражения (1п) и (4п) в (2п), получим Из равенства (5п) найдем искомое время экспозиции, удовлетворяющее качеству изображения объекта:

Ответ: t = 7,1·10 c.

Пример 3. На каком расстоянии от двояковыпуклой линзы нужно поместить предмет высотой h = 3 см, чтобы получить изображение размером H = 12 см (рис. 45п)? Фокусное расстояние F = 20 см. Предмет расположен перпендикулярно оптической оси.

Дано: h = 3 см = 0,03 м, H = 12 см = 0,12 м, F = 0,2 м.

(1п) в формулу линзы, получим Второй случай – изображение мнимое прямое А"В". Формула линзы в этом случае имеет вид:

Ответ: Предмет следует поместить на расстоянии d1 = 25 см или d 2 = 15 см.

Решение задач по интерференции света можно свести в основном к двум типам:

1. Расчет оптической разности хода = n2 r2 n1r1 между когерентными лучами.

2. Определение положения интерференционных полос х усиления и ослабления света при условии, что свет усиливается в точках пространства, если в разности хода лучей укладывается четное число полуволн = ± 2m o, и ослабляется при нечетном числе полуволн, где Пример 1. Два когерентных источника S1 и S2 (рис. 46п) испускают монохроматический свет с длиной волны = 550 нм в воздухе. Определить оптическую разность хода лучей, приходящих от источников S1 и S2 в точку экрана Р, если S1S2 = d = 0,15 мм, OP = x = 16 мм, а расстояние от источников до экрана равно L = 2 м.

Дано: d = 1,5·10-4 м, L = 2 м, х = 1,6·10-2 м.

показатель преломления равен nв = 1, то геометрическая разность хода будет равна оптической Из треугольников S1B1P и S2B2P по теореме Пифагора находим:

вычитая из выражения (3п) выражение (2п), получим Учитывая, что d и x малы по сравнению с L (что всегда имеет место при наблюдении интерференции света), сумма (S1P + S2P) приближенно равна 2 L, а n·(S2P – S1P) есть искомая разность хода лучей.

находим искомую величину Ответ: = 1,2·10-6 м.

Другими определяемыми искомыми величинами в задаче могут быть:

интерференционных максимумов, наблюдаемых на экране;

2) координата х от точки О m –го максимума усиления света;

3) координата х от точки О m –го максимума ослабления света.

При решении задач по дифракции света надо помнить следующее:

1. Если осветить дифракционную решетку белым светом, то на экране по обе стороны относительно центральной (белой) полосы наблюдается ряд полос спектров (рис. 47п), которые называются спектрами первого, второго и т. д. порядков.

2. Углы дифракции, для которых волны, излучаемые всеми щелями, будут усиливать друг друга, определять по формуле d sin = ± m, где (m = 0, 1, 2 …) – порядок дифракционных спектров.

3. По формуле дифракционной решетки определяют длину волны всех лучей спектра, а для малых углов дифракции синус угла заменяют его тангенсом.

Пример 2. Период дифракционной решетки d = 0,016 мм (рис. 47п). Красная линия спектра второго порядка оказалась расположенной на расстоянии hk = 14,2 см от центра дифракционной картины. Расстояние от решетки до экрана L = 1,5 м. Определить длину волны красных лучей и ширину спектра второго порядка.

Длина волны фиолетовых лучей ф = 4 10 7 м.

Дано: d = 1,6·10-5 м, hk = 0,142 м, L = 1,5 м; ф = 4 107 м, m = 2.

Решение: Спектр, создаваемый дифракционной решеткой, имеет вид, изображенный на рис. 47п. Так как угол дифракции очень мал, то Положение красной линии в данном спектре равно hk.

Подставляя значение синуса из выражения (1п) в формулу d sin = mкр, найдем длину волны красных лучей:

Ширина спектра, как видно из рис. 47п, равна Расстояние фиолетовой линии в спектре второго порядка от центра дифракционной картины найдем из формулы дифракционной решетки и с учетом выражения (1п):

Подставляя выражение (3п) в формулу (2п), определим ширину спектра второго порядка:

Ответ: к = 7,6·10-7 м, h = 6,7 см.

Пример 3. Дифракционная решетка содержит N = 600 штрихов на L = 1 мм. Определить длины волн падающего нормально на решетку света от газоразрядной трубки. Дифракционный спектр наблюдают через зрительную трубу. Красная линия в спектре первого порядка видна под углом 1 = 25о, зеленая – под углом 2 = 20о.

Дано: N = 600 штрихов, L =1 мм = 10-3 м, 1 = 25о, 2 = 20о.

Решение: Главные максимумы интенсивности света определим из условия дифракционного спектра; – угол дифракции. Из формулы (1п) найдем искомые длины волн:

Ответ: 1 = 7,0 10 м – красный, 2 = 5,7 10 7 м – зеленый.

Пример 4. Период дифракционной решетки равен d = 2,0 мкм.

Сколько максимумов будет содержать спектр, образующийся при нормальном падении на решетку монохроматического света с длиной волны = 550 нм?

Дано: d = 2,0 мкм = 2,0·10-6 м, = 550 нм = 5,5·10-7 м.

Решение: Условие главных максимумов интенсивности для дифракционной решетки имеет вид где m - порядок дифракционного спектра, - угол дифракции.

Максимальный порядок спектра определяется из условия максимального значения угла max, при котором sin max 1.

Поэтому из уравнения (1п) находим где скобки обозначают максимальное целое число, не превосходящее.

Подставляя в выражение (2п) данные из условия задачи, N = 2mmax + 1 = 7, где учтено, что главные максимумы расположены симметрично относительно центра дифракционной картины и добавлен центральный максимум ( = 0).

Ответ: N = 7.

Согласно корпускулярной теории, свет – поток фотонов, каждый из которых обладает энергий f = hv, массой m f = и импульсом где h = 6,63·10 Дж·с – постоянная Планка; c = 3·10 м/c – скорость света в вакууме. Направление вектора p f совпадает с направлением распространения луча света.

Задачи по квантовым свойствам света можно разделить на две группы:

1. Расчет основных характеристик потока фотонов в пучке:

энергии фотонов f, импульса p f, плотности потока I.

2. Определение величин, характеризующих степень воздействия потока фотонов на вещество: давления на площадку, скорости и кинетической энергии, вырываемых с поверхности металла фотоэлектронов.

При решении задач этого раздела рекомендуется пользоваться методикой:

1. Применять корпускулярно–волновые зависимости f = ; m = 2 ; p f =, которые определяют энергию, массу и импульс фотона соответственно.

2. Применять формулу Эйнштейна hv = Aвых + max для расчета работы выхода электронов из металла и скорости их вылета при поглощении кванта света.

Пример 1. Определить число фотонов, которое ежесекундно испускает источник красного монохроматического света с длиной волны = 630 нм и мощностью N = 64 Вт.

Дано: = 630 нм = 6,3·10-7 м, N = 64 Вт, t = 1 c.

Решение: Энергия источника и мощность связаны между собой соотношением Энергию источника можно выразить как Приравнивая правые части выражений (1п) и (2п), получим Откуда из равенства (3п) найдем число фотонов, испускаемых источником:

Ответ: n = 2·10.

Пример 2. Определить максимальную скорость v max ультрафиолетовым излучением с длиной волны = 155 нм. Работа выхода серебра Авых = 4,7 эВ.

Дано: = 155 нм = 1,55·10-7 м, Авых = 4,7 эВ.

Найти: vmax - ?

Решение: При облучении пластины серебра фотонами с энергией f > Aвых с ее поверхности вырываются электроны.

Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна:

где m = 9,1 10-31 кг – масса электрона. Энергия в 1 эВ равна энергии, которую приобретает электрон при прохождении разности потенциалов = 1 В, т.е. 1 эВ = 1,6·10-19 Кл·1В = 1,6·10-19 Дж.

Тогда Авых = 4,7 эВ·1,6·10-19 Кл = 0,75·10-18 Дж.

Преобразовав формулу (1п), найдем максимальную скорость фотоэлектронов:

Ответ: vmax = 1,1·106 м/с.

Пример 3. Какую наименьшую разность потенциалов необходимо приложить между катодом и анодом (рис.48п), чтобы полностью затормозить фотоэлектроны, вылетающие из катода при освещении его светом с длиной волны = 200 нм, если работа выхода Aвых = 4 эВ? (Заряд электрона e=1,6·10-19 Кл, масса m = 9,1·10-31 кг).

Дано: = 200 нм = 2·10-7 м, Aвых = 4 эВ = 6,4·10-19 Дж.

Найти: U -?

Решение: Чтобы фотоэлектроны не достигали анода, необходимо приложить между катодом и анодом тормозящую разность потенциалов.

перемещении фотоэлектрона от электрических сил, должна быть равна кинетической энергии, приобретаемой электронами при вылете из катода, т.е.

кинетическую энергию электрона:

Подставляя (2п) в равенство (1п) и решая полученное выражение относительно искомой величины U, находим:

Ответ: U = 2,2 В.

13. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Релятивистская механика изучает явления и закономерности, когда скорости движения тел или частиц сравнимы со скоростью света. В качестве исходных позиций специальной теории относительности (СТО) А. Эйнштейн сформулировал два постулата:

1) принцип относительности;

2) независимость скорости света в вакууме от скорости источника и приемника.

Замечание. Во всех задачах по СТО следует рассматривать две системы отсчета, которые условно называются «лабораторией» и «ракетой», движущихся друг относительно друга. Первую систему отсчета считать неподвижной (К–система), а вторую, связанную с движущимся телом, – движущейся (К'–система).

При решении задач по СТО рекомендуется пользоваться методикой:

1. Выбрать систему отсчета. Оси координат Х, Y, Z K– системы параллельны соответствующим осям X', Y', Z' K'системы. Cкорость тела во всех случаях направлена в положительную сторону оси Х: vo = vx.