ТЕХНОЛОГИЯ ИНТЕНСИВНОГО

ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Введение

Данные пособия являются частью курса ускоренного обучения геометрии и разработаны для 7, 8, 9 классов. Материал изданий соответствует учебным программам для учреждений общего среднего образования. Пособия могут быть использованы как приложения к действующим учебникам для быстрого и эффективного изучения курса геометрии.

В каждом пособии предлагается следующий набор инструментов обучения:

• опорный конспект по теме;

• контрольные вопросы к теме;

• краткий рассказ (7 класс) и ответы на контрольные вопросы к теме;

• развивающие устные вопросы с ответами;

• ключевые задачи с решениями;

• материал для тех, кому нравится математика;

• задачи на готовых чертежах;

• контрольная работа по теме.

Опорный конспект по теме дает возможность зрительно представить теоретический материал большой части учебного материала. Видна логика следования теорем. Это позволяет лучше понять теорию и увидеть все взаимосвязи между геометрическими фигурами и их свойствами. При ответах у доски учащиеся опираются на графический образ темы. Поэтому такой конспект и назван «опорным».

Контрольные вопросы к теме и ответы на них дают возможность учащимся усвоить теоретическую часть курса геометрии на высоком уровне. Согласитесь, что без знания свойств геометрических фигур сложно рассчитывать на высокую отметку по математике.

Важнейшим требованием предлагаемого курса является умение учащихся доказывать теоремы. Знание доказательств теорем позволяет научиться думать и говорить на языке математики. Доказательства всех теорем изложены предельно ясно, без второстепенных деталей, буквально в несколько предложений. Поэтому запоминаются и воспроизводятся они достаточно легко. Причем даже теми учащимися, которым трудно дается математика.

Задачи на готовых чертежах позволяют ученикам не тратить время на чтение условия, его восприятие, построение чертежа. Все время идет на поиск решения.

Количество решаемых задач увеличивается в 3—4 раза. Это, в свою очередь, дает возможность сформировать уверенный навык решения задач. Как показывает практика, научившись решать задачи на готовых чертежах, ученики без особого труда решают задачи по текстам в учебнике, самостоятельно выполняя достаточно сложные чертежи. Отметим, что все задачи в пособиях снабжены ответами, а наиболее трудные — и решениями.

Опорные конспекты по темам, знание учащимися доказательств теорем, решение многочисленных задач на готовых чертежах значительно ускоряют процесс обучения геометрии, делая его более интенсивным, насыщенным, интересным.

Учащиеся могут использовать пособия для самоподготовки по геометрии. Например, курс геометрии 9 класса может быть изучен любым учеником самостоятельно с помощью соответствующего пособия за 2—3 месяца.

Для учителя предоставляются очень широкие возможности работы с пособиями: опорный конспект позволяет видеть всю тему целиком и лучше определять стратегию и тактику изучения теоретического материала; контрольные вопроВведение сы к теории и «образцовые» ответы на них помогают структурировать материал, развивать логическую составляющую мышления учащихся, организовать оперативный контроль за усвоением теоретических знаний; система устных вопросов углубляет знания учащихся и носит побуждающий характер; задачи на готовых чертежах значительно экономят время учителя, дают возможность научить большинство учеников класса решению стандартных задач по геометрии.

Учителя, которые хотят добиться значительных успехов в обучении школьников геометрии, могут использовать технологию интенсивного обучения в полном объеме.

Краткое пояснение к технологии интенсивного обучения геометрии Психологической основой обучения по данной технологии являются принципы развивающего обучения Л. В. Занкова:

1) принцип обучения на высоком уровне трудности;

2) принцип ведущей роли теоретических знаний;

3) принцип обучения быстрым темпом;

4) принцип осознанности учащимися процесса обучения;

5) принцип систематической работы над развитием всех учащихся, в том числе и слабых.

Во главу угла ставится знание теоретического материала, т. е. всех теорем вместе с их формулировками и доказательствами. Усвоению этого материала способствуют и опорный конспект, и контрольные вопросы по темам, и лаконичные, но вместе с тем исчерпывающие ответы на них, многократное проговаривание доказательств теорем другими учащимися и учителем. Поэтому от учеников требуется одно — понять доказательства теорем и научиться их воспроизводить! Это даст колоссальный скачок как в их математическом образовании, так и в развитии мышления.

Опорный конспект — это не просто некоторая таблица, в которой кратко изложена теория. Это специально разработанный, состоящий из условных обозначений набор текстового и графического материала, в котором закодировано содержание 2—3 пунктов учебника (у нас, как правило, это материал целой главы).

Работа с опорным конспектом является элементом нескольких технологий:

а) технологии укрупнения дидактических единиц (УДЕ);

б) технологии развивающего обучения (РО);

в) технологии фреймового обучения (ФО).

Примерная методика работы с опорным конспектом 1-й урок. Учитель рассказывает в течение 15—25 минут материал данного опорного конспекта, сопровождая рассказ записями на доске с использованием цветного мела. Во время первого рассказа можно опустить несущественные детали.

В конце урока учитель повторяет рассказ более сжато, используя рисунки на доске (плакат с опорным конспектом, мультимедийные изображения) и делая акцент на доказательстве наиболее трудных теорем. Задачи по материалу данного опорного конспекта на этом уроке не решаются (кроме тех, что включены в этот опорный конспект). В оставшееся от изложения теории время (это 7—12 минут) учитель вместе с классом решает несколько задач по ранее изученному материалу. В конце урока ученики открывают пособие и знакомятся с готовым опорным конспектом (получают черно-белые копии конспекта), с которым будут работать дома. Дома учащиеся вспоминают рассказ учителя, читают вопросы к теме и ответы на них, используют учебник для уточнения доказательств теорем, раскрашивают цветПримерная методика работы с опорным конспектом ными карандашами блоки конспекта (обычно таких блоков 3—4 в одном опорном конспекте).

2-й урок. Ученики в начале урока по памяти на чистых листах воспроизводят как можно точнее данный опорный конспект. Это самый трудный этап. Формальное запоминание не дает возможности точно воспроизвести весь конспект. Но без умения сделать чертеж к доказательству теоремы трудно добиться серьезных результатов при обучении геометрии. Во время написания опорного конспекта учащиеся (по выбору учителя) поочередно присаживаются за учительский стол и рассказывают вполголоса материал одного из блоков конспекта или одну из теорем данной темы непосредственно учителю. Кроме этого, учащиеся еще одной группы (также по выбору учителя) за отдельным столом поочередно надиктовывают свой рассказ на магнитофон (диктофон, МП3-плейер и т. д.). После того как все сдадут свои листы с воспроизведенным опорным конспектом, происходит «озвучивание» опорного конспекта у доски теми учениками, которые пожелают.

Основное требование: теоремы вместе с доказательствами должны быть выучены всеми (!) учениками класса. Основные силы направляются на изучение «трудной» теории. Любая теорема является задачей на доказательство. Поэтому фактически учащиеся разбираются с готовыми решениями задач на доказательство и учатся их воспроизводить. Для того чтобы учащиеся смогли в дальнейшем самостоятельно решать задачи по геометрии (на доказательство, на вычисление и на построение), они должны запомнить и повторить готовое решение, т. е. воспроизвести теорему. При данном подходе к обучению как раз и реализуются указанные выше принципы развивающего обучения. Принцип осознанности процесса обучения проявляется в том, что учащиеся, имея вопросы к теме и ответы на них, четко осознают, что от них требуется: знать ответы на поставленные к теме вопросы.

К доске на «озвучивание» опорного конспекта, как правило, вызывается несколько наиболее сильных учеников. После этого доказательства теорем повторяют у доски другие ученики класса. Так происходит многократное изложение теоретического материала.

3-й урок. В начале урока (5—7 минут) ученики по парам проговаривают весь опорный конспект по вопросам к нему (один задает вопрос, второй — дает краткий ответ). Затем происходит фронтальное решение задач по готовым чертежам на доске. Задачи решаются устно или «полуустно», с двойным проговариванием хода решения. За урок решается 8—12 задач. При меньшем количестве у учащихся не сформируется навык решения задач. Решения 1—2 задач (по выбору учителя) очень кратко записываются в тетради. Некоторые задачи из тех, что устно решены на уроке, могут быть заданы на дом.

4-й урок. Урок можно начать с трудной задачи. Затем в течение 5 минут ученики в парном режиме «прогоняют» весь опорный конспект по самым трудным вопросам. После этого продолжается решение задач. При этом задачи на готовых чертежах чередуются с задачами из учебника геометрии. Решения 1—2 задач (по выбору учителя) записываются в рабочие тетради в предельно лаконичной форме.

5-й урок. Решение задач повышенной трудности, т. е. на 9—10 баллов (25— 30 минут), проговаривание учителем всех теорем данной темы для подготовки класса к зачету (15 минут).

6-й урок. Зачет.

Подготовка к зачету. Как сказано выше, учитель на 5-м уроке предельно четко дает образцы ответов на все вопросы конспекта. Ученики дома (лучше группами) готовятся к зачету, проговаривая ответы на вопросы.

Сдача зачета. Во время зачета желающие выходят в первой группе отвечающих к доске и поочередно дают ответы на вопросы к данной теме: первый ученик отвечает на первый вопрос, второй — на второй и т. д. Каждому из вышедших к доске придется ответить на 3—4 вопроса. Далее выходят ребята второй группы отвечающих, затем — третьей и т. д., пока все ученики не побывают у доски. Если ученик не готов к зачету или не желает выходить к доске, то он сдает зачет позже в индивидуальном порядке.

Учащиеся, которые сдали зачет в первой группе, по желанию учителя могут помочь принимать зачет у других.

Примерная методика работы с опорным конспектом 1. Учитывая, что опорные конспекты, предлагаемые в данных пособиях, довольно объемные, их для удобства изучения можно разбить на 2—3 части. Тогда зачет будет проводиться после изучения всего материала данной темы.

2. От всех учащихся следует добиваться знания теорем и их доказательств.

3. Воспроизведение опорных конспектов учащимися на уроке можно опустить ввиду высокой трудности этого элемента обучения.

4. К ответам на вопросы в печатном виде учитель может приложить: а) аудиозапись ответов на вопросы;

б) видеозапись ответов на вопросы или всего урока нового материала. Указанные записи распространяются среди учеников, что позволяет им гораздо эффективнее подготовиться к зачету.

излагать доказательства теорем кратко, чисто, четко. Но это можно сделать. Следует исключить из своего рассказа все лишнее, повторы, слова-паразиты (вроде Пример. Теорема о свойстве смежных углов. Засеките время и проведите доказательство самостоятельно, вслух или мысленно проговаривая текст. Сколько Возможный ответ на зачете ученика, претендующего на 10 баллов (через 5 уроков после начала изучения темы):

есть теоремы, доказательство которых требует больше времени. Но таких теорем не серединного перпендикуляра к отрезку и теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника (доказательство их состоит из двух частей), а также признаки параллельности прямых и теорема о свойстве углов при параллельных К доске приглашаются пятеро учеников. Первый доказывает «Свойство касательной», второй — «Признак касательной», третий рассказывает «Построение касательной при помощи циркуля и линейки», четвертый — «Свойство касательных, проведенных из одной точки», пятый — «Свойство окружностей, вписанных И все! Никаких «дано», «доказать», «доказательство». Все излагается словесно.

Речь — мощнейший развивающий фактор. Ученик говорит приблизительно следующее:

«Теорема. Свойство касательной. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной. Доказательство. Касательная имеет единственную общую точку с окружностью. Остальные точки касательной лежат вне окружности (рисует несколько точек). Поэтому они расположены дальше от центра, чем точка касания (соединяет центр с нарисованными точками). Значит, расстояние от центра до точки касания — кратчайшее. А кратчайшее расстояние измеряется длиной перпендикуляра. Поэтому радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной».

«Хорошо», — говорит учитель и выставляет отметку «10». Если ученик докажет еще одну теорему, то он получит еще одну отметку «10 баллов». В случае неточностей, заминок, небольшой помощи со стороны учителя могут быть выставлены отметки «7»—«9». Отметки выставляются прямо на доске, или в рабочей тетради учителя, или на листе бумаги. Итоговая отметка является средним арифметическим всех отметок, полученных учащимся на уроке. При этом нужно следить, чтобы учащиеся доказывали примерно одинаковое количество теорем, и поощрять тех, кто доказывает больше.

По большому счету, следует за каждую доказанную теорему ставить «10». Доказал ученик три теоремы — получил три «десятки».

Максимальное время для медленного проговаривания доказательства теоремы первым учеником — 30 секунд. На 5 теорем все 5 учеников потратят 2 минуты 30 секунд.

Первому ученику досталось одно из самых длинных доказательств. Большинство доказательств короче. Например, теорема об окружностях, вписанных в угол, звучит так: «Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.

Доказательство. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам угла. Значит, центр окружности равноудален от сторон угла. А все точки, равноудаленные от сторон угла, лежат на биссектрисе угла». (Если ученик докажет теорему через равенство прямоугольных треугольников — это его право.) Максимальное время на эту теорему — 15 секунд.

Конечно, на практике все идет медленнее. Но, даже увеличив время в 2 раза, мы получаем 5 минут на доказательство 5 теорем.

Следующие 6 вопросов занимают при ответах также около 6 минут.

6. Взаимное расположение двух окружностей (5 случаев и вообще нет доказательств).

7. Длина общей внешней касательной к двум окружностям — задача, которая сводится к нахождению катета по гипотенузе (R + r) и второму катету (R - r).

8. Градусная мера дуги (равна градусной мере центрального угла).

9. Свойство вписанного угла (рассматриваем три случая: когда сторона угла проходит через диаметр, когда стороны угла по разные стороны от диаметра и когда стороны угла проходят по одну сторону от диаметра).

10. Следствие о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу (равны).

11. Следствие о вписанном угле, опирающемся на диаметр (прямой).

Последняя группа вопросов также занимает не более 5—6 минут.

12. Угол между касательной и хордой.

13. Угол между хордами.

а) Угол между секущими.

б) Угол между секущей и касательной.

в) Угол между касательными.

14. Свойство отрезков пересекающихся хорд.

15. Свойство отрезков касательной и секущей.

Таким образом, даже в самом медленном темпе учащиеся имеют возможность за 32 минуты урока 2 раза ответить у доски на каждый из 16 вопросов. Останется еще 10 минут на доказательство в третий раз у доски наиболее сложных теорем:

• Свойство касательной.

• Признак касательной.

• Теорема о величине вписанного угла (три случая).

Примерная методика работы с опорным конспектом Если ученик, который добровольно вышел к доске, не знает (забыл) доказательство, он просто, без комментариев, отправляется учителем на место и на его место без промедления приглашается другой. Зная такую ситуацию, ученики, которые остаются на местах, внимательно следят за ответами у доски, так как могут быть вызваны в любую минуту. И все-таки, по крайней мере на первых порах использования данной методики, лучше приглашать добровольцев. Иногда их может быть трое, двое или даже один. Тогда этот один и доказывает все 5 теорем, а если хочет, то — и оставшиеся. Никаких жестких правил здесь нет. Учитель сам решает, как наиболее эффективно провести этот этап обучения. Важно, чтобы на доске многократно повторялись доказательства теорем данного блока.

После 2-го урока на дом задается весь блок домашних задач, определенных учителем для этой темы. Учащиеся к каждому уроку решают из него столько задач, сколько пожелают. Желательно в конце темы провести контрольную работу по домашним задачам.

В течение 3-го, 4-го, 5-го уроков эти 16 вопросов первой темы будут повторяться при работе учащихся в парах, в конце 5-го урока — во время подготовки учителем класса к зачету, во время самостоятельной подготовки каждого ученика к зачету, на 6-м уроке — во время самого зачета. Все всякого сомнения, такая массированная атака на теорию позволяет практически всем ребятам понять и запомнить как сами свойства, так и их доказательства.

Повторим еще раз. Теоремы — это наиболее важные задачи на доказательство.

Поэтому, разучивая и повторяя доказательства теорем, ученик учится мыслить математически, он перестраивает свой мыслительный аппарат в сторону логической стороны решения любой задачи. Такая математизация мышления неизбежно увеличивает скорость и качество решения задач. Причем не только геометрических.

Очевидно, что не все учащиеся сразу и до конца осознают сущность излагаемых ими доказательств. Но пройдут недели, месяцы, и ученик начнет верить в свои силы. Он будет иметь багаж твердых теоретических знаний — останется научиться применять все это на практике. Учителю необходимо помочь ему заговорить, научить мыслить, научить решать задачи. Тщательное изучение теории — начальный шаг. Конечная же цель, как результат, — умение решать задачи.

После изучения всей теории за учебный год можно приступать к массовому решению задач по всему курсу, периодически обращаясь к теоретическому материалу, углубляя и усиливая его свойствами, возникающими при решении задач.

В конце учебного года учащиеся сдают зачет по теории, а также большой SUPER тест на спаренном уроке.

Мы привели совсем краткое примерное изложение основных положений технологии интенсивного обучения геометрии. При этом стоит подчеркнуть слово «примерное». Творчески работающий учитель сможет использовать предложенный материал с наибольшей эффективностью в соответствии с собственными предпочтениями.

Следует сделать ряд предупреждений.

1. Если учащиеся не будут выходить к доске и доказывать теоремы, то ни о каком качественном скачке в обучении геометрии не может быть и речи.

2. Если ученики вместо поиска решения задачи, изображенной на доске, начнут переписывать в тетради условие, решение и т. д., можно отложить в сторону эту книгу, взять в руки учебник и вернуться к привычному методу «необучения».

3. Если у вас возникнет желание сделать сотню возражений автору (а календарно-тематическое планирование? а записи в журнале? а что скажет завуч? …), вспомните следующие замечательные слова:

В конце хочется отметить, что большое влияние на педагогические воззрения автора оказали работы Л. В. Занкова, П. М. Эрдниева, М. Минского.

Марвин Минский — известный американский ученый в области искусственного интеллекта, основатель Лаборатории искусственного интеллекта в Массачусетском технологическом институте. Ввел понятие «фрейма» (от англ. frame — «каркас» или «рамка») как специальной формы представления информации. Он является создателем теории фреймов. М. Минский написал ряд книг по этому вопросу, в частности: Minsky, Marvin. A framework for representing knowledge. MIT AI Laboratory Memo 306, June, 1974.

Но самое непосредственное отношение к предложенной технологии обучения имеет, без всякого преувеличения, великий педагог современности Виктор Федорович Шаталов. Его идеи, его взгляды на процесс обучения и даже отдельные фрагменты опорных конспектов лежат в первооснове разработанного курса интенсивного обучения геометрии.

Я все-таки надеюсь, что данные книги окажутся полезными как для учащихся, к которым я отношусь с большим интересом и уважением, — это молодой народ нашей страны и нашей планеты, так и для учителей, которых я тоже люблю и которые иногда напоминают мне учеников, особенно когда доказывают у доски теоремы на лекциях, которые я читаю.

Все мы чьи-то ученики в этом мире. Так и должно быть.

Заключение