xn x2n 0 при n и последовательность xn не является фундаментальной, а значит, и сходящейся в C[0; 1].

4.1. Выяснить смысл сходимости в пространствах:

а) C[a; b];

б) C (n) [a; b];

4.2. Как в пространстве C (n) [a; b] можно ввести норму, чтобы сходимость по этой норме имела тот же смысл, что и сходимость по норме из приложения 2?

22 4. Сходимость в метрических и нормированных пространствах 4.3. Пусть X линейное нормированное пространство, xn, x, yn, y X и n, константы. Доказать, что если:

а) xn x, то последовательность xn ограничена;

4.4. Пусть xn (t), x(t), yn (t), y(t) C[a; b] и xn (t) x(t).

Доказать, что xn (t)yn (t) x(t)y(t).

4.5. Сходится ли последовательность в пространствах:

а) C[0; 1];

б) C (1) [0; 1]?

4.6. Исследовать на сходимость последовательность в пространствах l, lp, c0.

4.7. Исследовать на сходимость в L2 [0; 1] последовательность xn (t) = n2 tent.

4.8. В каких из пространств lp, l, s сходятся последовательности:

4. Сходимость в метрических и нормированных пространствах 4.9. Исследовать на сходимость в пространстве l2 последовательность 4.10. Исследовать на сходимость в пространствах c0 и lp последовательности:

4.11. Какие последовательности сходятся в C[0; 1]:

б) xn (t) = sin nt;

Пусть X метрическое пространство. Пространство X будем называть полным, если в нем сходится всякая фундаментальная последовательность.

Полное линейное нормированное пространство называют банаховым пространством. Любое метрическое пространство (необязательно полное) можно включить в некоторое полное метрическое пространство. Всякое подмножество M X метрического пространства (X, X ), такое, что M (x, y) = X (x, y) для любых x, y M, является метрическим пространством, называемым подпространством пространства (X, X ). Полное метрическое пространство X называется пополнением метрического пространства X, если X является подпространством X и X всюду плотно в X, т. е. X = X.

Взаимно однозначное отображение f : (X, X ) (Y, Y ) называется изометрией, если X (x, y) = Y (f (x), f (y)) для любых x, y X.

Метрические пространства называются изометричными, если между ними существует изометрия.

Теорема 1. Любые два пополнения метрического пространства изометричны.

Одной из характеристик полного метрического пространства является следующая теорема.

Теорема 2 (о вложенных шарах). Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет общую точку.

Пример. Доказать полноту пространств:

б) C[a; b].

Решение a) Пусть x(k) = x1,..., xn Rn и {x(k) } некоторая фунk= го > 0 найдется такое натуральное число N = N (), что для любых k, m > N выполняется неравенство Отсюда следует, что для любых k, m > N Тогда для каждого j = 1,..., n и для всех k, m > N выполняется Таким образом, для каждого j числовая последовательность {xj } является фундаментальной. А так как всякая фундаментальная чисk) ловая последовательность сходится, то существует lim xj. Обознаk чим и положим x = (x1, x2, · · ·, xn ). Тогда очевидно lim x(k) = x.

Таким образом, пространство Rn полно.

б) Пусть {xk } фундаментальная последовательность в C[a; b].

Покажем, что эта последовательность сходится.

Так как {xn } фундаментальная последовательность в C[a; b], то для любого > 0 существует натуральное число N = N (), такое, что для любых n, m > N выполняется неравенство Это означает, что для каждого t [a; b] и n, m > N Пользуясь критерием Коши равномерной сходимости последовательности функций, получим, что последовательность {xn (t)} сходится равномерно на [a; b]. Как известно, ее предел x(t) в этом случае будет непрерывной функцией. Устремляя в последнем неравенстве m к, получим причем x(t) C[a; b]. А это и означает, что {xn (t)} сходится к x(t) в смысле метрики пространства C[a; b].

Таким образом, пространство C[a; b] полно.

5.1. Доказать, что s полное метрическое пространство.

5.2. Доказать, что l полное метрическое пространство.

5.3. Пусть нормы · 1 и · 2 в линейном пространстве X эквивалентны. Доказать, что нормированное пространство (X, · 1 ) полно тогда и только тогда, когда полно линейное нормированное пространство (X, · 2 ).

5.4. Доказать, что пространство C1 [a; b] не является полным.

5.5. Доказать, что пространство C2 [a; b] не является полным.

5.6. Доказать полноту пространства lp.

5.7. Доказать полноту пространства Lp [a; b].

5.8. Является ли полным пространство P [0; 1] всех многочленов на [0; 1] c метрикой пространства C[a; b]? Если нет, найти его пополнение.

5.9. Какой вид имеют фундаментальные последовательности в пространстве с дискретной метрикой Xd ?

5.10. Является ли полным пространство с дискретной метрикой Xd ?

5.11. Какой вид имеют фундаментальные последовательности в пространстве N с метрикой из приложения 1?

5.12. Является ли полным пространство из задачи 5.11?

5.13. Показать, что если опустить одно из условий:

а) полноту пространства, б) замкнутость шаров, в) стремление к нулю радиусов шаров, г) вложенность шаров друг в друга, то теорема о вложенных шарах перестанет быть верной.

5.14. Что можно сказать о полноте пространств (X, i ), i = 1, 2, 3, с метриками задачи 1.10?

5.15. Каким условиям должна удовлетворять определенная на R непрерывная функция u = f (v), чтобы на R можно было задать метрику формулой и в этой метрике пространство было полным?

5.16. Пусть xn X – фундаментальная последовательность, xnk – ее сходящаяся подпоследовательность. Доказать, что последовательность xn сходится к тому же пределу, что и подпоследовательность.

зать, что xn – фундаментальная последовательность. Верно ли обратное?

5.18. Пусть xn, yn X – фундаментальные последовательности. Доказать, что последовательность n = xn yn сходится.

5.19. Будет ли полным метрическое пространство R с метриками:

а) (x, y) = | arctg x arctg y|;

Если нет, найти пополнение.

Отображение y = Ax метрического пространства (X, ) в метрическое пространство (Y, d) называется сжимающим, если существует такое число (0; 1), что для любых x, y X выполняется неравенство Точка x пространства X называется неподвижной точкой отображения A, если Ax = x. Очевидно, что неподвижная точка x отображения A представляет собой решение уравнения Ax = x.

Сформулируем теорему, которая лежит в основе метода, позволяющего доказывать существование и единственность решений различных уравнений.

Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение A : X X, определенное в полном метрическом пространстве X, имеет единственную неподвижную точку.

Теорема Банаха гарантирует не только существование и единственность в данных условиях решения уравнения Ax = x, но и дает метод построения этого решения (метод последовательных приближений). Этот метод заключается в следующем: пусть X полное пространство, A : X X сжимающее отображение. Возьмем произвольную точку x0 X и построим сходящуюся последовательность {xn } следующим образом:

Ее предел и является решением уравнения Ax = x.

Пример. В пространстве C[0; 1] решить интегральное уравнение Решение. Обозначим Заметим, что отображение A действует в пространство C[0, 1]. Таким образом, задача сводится к решению уравнения x = Ax в пространстве C[0, 1], т. е. к нахождению неподвижной точки отображения A : C[0, 1] C[0, 1].

Покажем, что отображение A является сжимающим. Рассмотрим Используя известное свойство интеграла, получим, что последнее выражение не превосходит величины Таким образом, для любого t [0; 1] Значит, для любых x, y C[0; 1] выполняется неравенство Следовательно, отображение A является сжимающим.

Будем искать решение методом последовательных приближений.

Возьмем произвольный элемент x0 C[0; 1] и построим сходящуюся последовательность {xn } приближенных решений уравнения Ax = x.

Пусть x0 = x0 (t) 0, тогда Найдем предел этой последовательности:

6.1. В пространстве C[0; 1] решить интегральные уравнения:

б) x(t) = в) x(t) = д) x(t) = 6.2. Показать, что в теореме Банаха условие нельзя заменить одним из более слабых условий:

а) (Ax, Ay) (x, y);

б) (Ax, Ay) < (x, y).

6.3. Доказать обобщенный принцип сжимающих отображений: если A : X X, X – полное пространство, отображение An = A... A является сжимающим, то A имеет единственную неподвижную точку.

6.4. Доказать, что последовательность цепных дробей является сходящейся, и найти ее предел.

7. Гильбертовы пространства Линейное пространство X над числовым полем K (K = C или K = R) называется пространством со скалярным произведением, если каждой паре его элементов x, y поставлено в соответствие число из поля K, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением, для любых x, y, z X удовлетворяющее условиям:

1) (x, x) 0, (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = ;

2) (x, y) = (y, x) (черта означает комплексное сопряжение);

3) (x, y) = (x, y) для любого K;

Если K = R, то X называют евклидовым пространством, если K = C унитарным пространством.

В пространстве X со скалярным произведением верно неравенство из которого следует, что в X можно ввести норму равенством Эту норму будем называть нормой, порожденной заданным скалярным произведением.

Пространство H со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно является полным по отношению к этой норме.

Теорема. Для того чтобы нормированное пространство X было пространством со скалярным произведением, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух его элементов x и y выполнялось равенство параллелограмма Углом между ненулевыми элементами x и y вещественного гильбертова пространства называется угол, заключенный между 0 и, Элементы x, y H называют ортогональными и записывают x y, если (x, y) = 0.

Говорят, что элемент x H ортогонален некоторому множеству L H, и пишут x L, если x ортогонален каждому элементу из L, т. е. для любого y L выполняется равенство (x, y) = 0. Множество всех элементов x H, ортогональных данному множеству L H, обозначается L и называется ортогональным дополнением множества L.

Система ненулевых элементов h1, h2,... H называется ортогональной, если (hj, hk ) = 0 при j = k, и ортонормированной, если Система элементов x1, x2,... H называется линейно независимой, если при любом натуральном n система x1, x2,..., xn линейно независима, т. е. линейная комбинация c1 x1 + c2 x2 +... + cn xn, где c1,..., cn K, равна нулевому элементу пространства H тогда и только тогда, когда c1 =... = cn = 0.

7.1. Доказать, что Rn и Cn являются гильбертовыми пространствами.

7.2. В какиx из перечисленных пространств можно ввести скалярное произведение, согласующееся с нормой этого пространства: c, c0, l2, C (n) [0; 1], L2 [a; b]?

7.3. Доказать, что в пространстве lp (p = 2) нельзя ввести скалярное произведение, согласующееся с нормой этого пространства.

7.4. Показать, что в пространстве Lp [a; b] (p = 2) нельзя ввести скалярное произведение, согласующееся с нормой этого пространства.

7.5. Доказать, что условие (x, x) = 0 x = в определении скалярного произведения можно заменить на более слабое условие (x, x) = 0 x =.

7.6. Доказать, что в евклидовом пространстве x y тогда и только тогда, когда x + y 2 = x 2 + y 2.

7.7. Проверить, что в евклидовом пространстве выполняется теорема косинусов 7.8. Доказать, что равенство в неравенстве Коши Буняковского выполняется тогда и только тогда, когда x и y линейно зависимы.

7.9. Доказать, что в гильбертовом пространстве справедливо поляризационное тождество 7.10. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением для любых элементов x, y, z имеет место тождество Апполония 7.11. Пусть X линейное нормированное пространство и для любых его элементов x и y выполняется равенство параллелограмма. Доказать, что следующие формулы задают в X скалярное произведение, согласующееся с нормой в X:

а) если X вещественное пространство, то б) если X комплексное пространство, то 7.12. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением элементы x и y ортогональны тогда и только тогда, когда для любых, µ K выполняется равенство 7.13. Пусть x1, x2,... и y1, y2,... – биортогональные системы в H, т. е. такие системы, что Доказать, что каждая из этих систем линейно независима.

7.14. Доказать, что в линейном пространстве непрерывных на [0; +) функций x(t), таких, что сходится интеграл изведение.

7.15. Найти угол между элементами x(t) = sin t и y(t) = t в пространстве L2 [0; ].

7.16. В пространстве L2 [1; 1] найти углы треугольника, вершинами которого являются x1 (t) 0, x2 (t) 1 и x3 (t) = t.

7.17. Провести ортогонализацию линейно независимой системы 1, t, t2 в пространстве из задачи 7.14.

7.18. Провести ортогонализацию элементов x0 (t) 1, x1 (t) = t, x2 (t) = t2 в пространствах:

а) L2 [1; 1]; б) L2 [0; 1].

7.19. Проверить, что система элементов является ортонормированной в L2 [0; 2]:

7.20. Доказать, что система элементов является ортонормированной в L2 [0; ]:

8. Наилучшее приближение Пусть (X, ) метрическое пространство.

Расстоянием от точки x X до множества M X называется число Пусть x X. Если существует такой элемент x M, что (x, M ) = = (x, x ), то x называется элементом наилучшего приближения x элементами множества M.

Теорема 1 (об элементе наилучшего приближения в гильбертовом пространстве). Пусть H гильбертово пространство, MH замкнутое выпуклое множество. Тогда для любого элемента x H существует единственный элемент наилучшего приближения элементами из M.

Для нахождения элемента наилучшего приближения в гильбертовом пространстве удобно пользоваться следующей теоремой:

Теорема 2 (о разложении элемента на проекции). Пусть M замкнутое линейное подпространство гильбертова пространства H, тогда любой элемент x H единственным образом представим в виде x = x + x, где x M, x M. При этом (x, M ) = Элементы x, x называются проекциями элемента x на M и M соответственно. Таким образом, x и будет элементом наилучшего приближения x элементами M H.

Для банахова пространства теорема 1 уже неверна.

8.1. Пусть X линейное нормированное пространство, L замкнутое подпространство X, x X, y L. Доказать, что (x, L) = (x + y, L).

8.2. Пусть X евклидово пространство, x, y X. Доказать, что функция (t) = x ty достигает своей точной нижней грани на R.

8.3. Доказать, что в пространстве c2 множество элементов наилучшего приближения элемента x = элементами подпространства L = , R имеет вид 8.4. В пространстве C[0, 1] рассмотрим подпространство L = {x(t) C[0, 1] : x(0) = 0}. Пусть x(t) 1. Описать множество элементов наилучшего приближения x элементами множества L.

8.5. В пространстве C[0, 1] найти расстояние от элемента x(t) = t до подпространства постоянных функций.

8.6. В пространстве L2 [0; 1] найти расстояние от элемента x(t) = tn до множества 8.7. В пространстве l2 найти расстояние от элемента x = (1, 0, 0,...) до подпространства 8.8. В пространстве L2 [0; 1] найти расстояние от элемента x(t) = t2 до подпространства P1 всех линейных функций.

Найти элемент наилучшего приближения x в P1.

1.4. Нет.

1.7. Да.

1.8. а) нет, б) да.

1.9. Да.

1.13. Функция f должна быть строго монотонной.

1.14. Нет.

1.15. 2) нет, 3) нет.

1.16. Нет.

2.5. а) да, б) нет, в) да, г) нет, д) да, е) нет, ж) да, з) нет, и) нет, 2.6. а) да, б) нет, в) да, г) нет, д) нет, е) да, ж) да, з) да.

2.7. Нет.

2.8. а) да, б) да.

2.9. Нет.

x(t) = 1. В остальных случаях x(t) Lp [0; 1].

3.1. Если C = (x, y) центр шара и r 0, то:

а) B[C, r] (B(C, r)) замкнутый (открытый) круг на плоскости с центром в точке C радиусом r;

б) B[C, r] (B(C, r)) замкнутый (открытый) квадрат на плоскости с вершинами в точках (x r, y), (x + r, y), (x, y r) и в) B[C, r] (B(C, r)) замкнутый (открытый) квадрат на плоскости с вершинами в точках (xr, y r), (x+r, y r), (xr, y +r) B[x, r] множество непрерывных на отрезке [a; b] функций, 3.3. Если 0 r < 1, то B[x, r] = x; если r 1, то B[x, r] = Xd ;

3.4. Каждое множество является открытым; каждое множество является замкнутым.

3.5. Да.

3.7. Нет.

3.14. Не всегда.

3.15. Да.

3.16. Да.

3.17. Да.

3.18. Нет.

3.19. Да.

3.23. а) нет, б) да, в) да, г) да, д) да, е) да, ж) да, з) нет, и) да, к) да, л) нет, м) да, н) нет, о) да.

4.1. а) равномерная сходимость на [a; b];

б) равномерная сходимость на [a; b] производных порядка в) покоординатная сходимость, равномерная относительно номера координаты;

г) покоординатная сходимость.

4.5. а), б) сходится к x(t) 0.

4.6. Во всех указанных пространствах сходится к (0, 0,...).

4.7. Не сходится.

4.8. а) в lp, l не сходится, в s сходится к (1, 2, 3,...);

б) в lp, l не сходится, в s сходится к (1, 1,...);

в) в l1 не сходится, в lp (p > 1), l, s сходится к (0, 0,...);

г) при = 1 см. в); при < 0 расходится в каждом пространстве; при > 0 сходится к (0, 0,...) в lp при p >, в l и в s.

4.9. Не сходится.

4.10. а) в lp p > 1 и c0 сходится к 1, 1, 3,... ; в l1 не сходится;

4.11. а) не сходится;

5.8. Нет, пополнение изоморфно C[0; 1].

5.9. Начиная с некоторого номера N элементы последовательности совпадают.

5.10. Да.

5.11. Начиная с некоторого номера N элементы последовательности совпадают.

5.12. Да.

5.14. Пространство (X, i ), i = 1, 2, 3, является полным, если (X, ) полное.

5.15. f должна быть биекцией между R и R.

5.19. а) не является полным, пополнение изоморфно ; ; б) не является полным, пополнение изоморфно [0; +);

6.1. а) x(t) = t;

6.4. 1 + 2.

7.2. В l2 и L2 [a; b].

7.15. = arccos 6.

7.17. e1 (t) = 1, e2 (t) = t 1, e3 (t) = 26 (t2 6t 2).

8.4. {x (t) C[0; 1] : x (0) = 0, 0 x (t) 2, t [0; 2]}.

8.5. 1.

8.6. n+1.

8.7..

Метод последовательных приполное, Метрика, выпуклое, замкнутое, ограниченное, открытое, Неподвижная точка, Норма, Ортогональное дополнение, Ортогональность элемента и множества, элементов, Пополнение метрического Сходимость Предельная точка, Принцип сжимающих отоб- Теорема Предметный указатель Шар замкнутый, открытый, Эквивалентные нормы, Элемент наилучшего приближения, 1. Антоневич A. Б. Задачи и упражнения по функциональному анализу / А. Б. Антоневич, П. Н. Князев, Я. В. Радыно. М. : КомКнига, 2006.

2. Бородин П. А. Задачи по функциональному анализу : в 2 ч. / П. А. Бородин, А. М. Савчук, И. А. Шейпак.

М. : Изд-во ЦПИ, 2009.

3. Ганенкова Е. Г. Функциональный анализ / Е. Г. Ганенкова, К. Ф. Амозова. Изд-во ПетрГУ, 2011.

4. Городецкий В. В. Методы решения задач по функциональному анализу / В. В. Городецкий, Н. И. Нагнибида, П. П. Настасиев. М. : Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2010.

5. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. М. : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва Наука, 1984.

6. Кириллов А. А. Теоремы и задачи функционального анализа / А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани. М. :

Главная редакция физико-математической литературы изд-ва Наука, 1979.

7. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М. : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва Наука, 1976.

8. Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу: Общая теория множеств и функций / Ю. С. Очан.

М. : Просвещение, 1981.

9. Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу / В. С. Пугачев. М. : Изд-во МАИ, 1996.

10. Треногин В. А. Задачи и упражнения по функциональному анализу / В. А. Треногин, Б. М. Писаревский, Т. С. Соболева. М. : Главная редакция физикоматематической литературы изд-ва Наука, 1984.

11. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. М. : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва Наука, 1980.

Приложение 1. Основные метрические дискретной метриd(x, y) = множество X с метрикой d(x, y) Из любого нормированного пространства можно получить метрическое введением метрики (x, y) = x y Приложение 2. Основные нормированные ранство x = x(t), непрерывных на промежутке [a; +), для которых Приложение 3. Основные гильбертовы L2 [a; b] Ганенкова Екатерина Геннадьевна Функциональный анализ:

основные классы пространств Компьютерная верстка Е. Г. Ганенковой, К. Ф. Амозовой Издание подготовлено с использованием стилевой опции Подписано в печать 30.11.13. Формат 60 84 1/16.

Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 1,5.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ