«ЭКОНОМЕТРИКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИчЕсКИЕ МЕТОды И МОдЕлИ Учебно-методический комплекс для студентов экономических специальностей Минск Изд-воМИУ 2010 1 УДК 338.5 ББК 65.25 П 18 Рецензенты: Г.Г. Болоташвили, кандидат ...»

В.Ф. Паршин

ЭКОНОМЕТРИКА

И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИчЕсКИЕ

МЕТОды И МОдЕлИ

Учебно-методический комплекс

для студентов экономических специальностей

Минск

Изд-воМИУ

2010

1

УДК 338.5

ББК 65.25

П 18

Рецензенты:

Г.Г. Болоташвили, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры информационных технологий и высшей математики МИУ;

А.Ф. Шило, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры коммерческой деятельности и бухгалтерского учета на автотранспорте БНТУ Рекомендован к изданию научно-методическим советом МИУ (протокол № 1 от 30.08.2010 г.).

Паршин, В.Ф.

Эконометрика и экономико-математические методы и модеП ли: учеб.-метод. комплекс для студентов экономических специальностей / В.Ф. Паршин. – Минск: Изд-во МИУ, 2010. – 428 с.

ISBN 978-985-490-695-9.

В учебно-методическом комплексе представлены методические материалы для изучения дисциплины «Эконометрика и экономикоматематические методы и модели». Комплекс является первым изданием подобного рода по эконометрическому и экономико-математическому моделированию экономических процессов в отечественной литературе.

Опорный конспект лекций наряду с теоретическим материалом включает изложение методов моделирования принятия управленческих решений в конкретных хозяйственных ситуациях, а также алгоритмы их реализация на ЭВМ.

Издание предназначено для студентов, обучающихся по экономическим специальностям дневной и заочной форм обучения, представляет практический интерес для преподавателей и специалистов, применяющих экономическое моделирование и прогнозирование.

УдК 338. ББК 65. ISBN 978-985-490-695-9 © В.Ф. Паршин, © Оформление. МИУ, сОдЕРжАНИЕ ВВЕдЕНИЕ

ЦЕлЬ, зАдАчИ, сТРУКТУРА И сОдЕРжАНИЕ дИсЦИПлИНы, ЕЕ МЕсТО В УчЕБНО-ВОсПИТАТЕлЬНОМ ПРОЦЕссЕ

КОНсПЕКТ лЕКЦИй

Введение в дисциплину «Эконометрика и экономико-математические методы и модели»

Раздел I. ЭКОНОМЕТРИКА И ЭКОНОМЕТРИчЕсКОЕ МОдЕлИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ

Тема 1. Эконометрические модели

1.1. Основные понятия эконометрики

1.2. Корреляция, вычисление коэффициентов корреляции........ 1.3. Линейная модель парной регрессии

1.4. Модель множественной регрессии

Тема 2. Эконометрическое моделирование в прогнозировании изменения параметров экономических показателей.......... 2.1. Сущность прогнозирования изменений параметров экономических показателей методами эконометрического моделирования

2.2. Вычисление коэффициентов парной, множественной и частной корреляции параметров экономических переменных.. 2.3. Вычисление количественных характеристик и оценка тесноты связи экономических объектов при нелинейной статистической зависимости

2.4. Прогнозирование с применением уравнения регрессии..... 2.5. Анализ и прогнозирование на основе многофакторных моделей

Тема 3. Производственные функции

3.1. Понятие производственных функций

3.2. Виды производственных функций

3.3. Построение производственных функций

3.4. Экономические характеристики производственных функций

3.5. Применение производственных функций в экономическом анализе и планировании производства

Тема 4. Экономико-статистические методы анализа и прогнозирования временных рядов

4.1. Теория статистического моделирования

4.2. Понятия и определения статистического моделирования временных рядов

4.3. Этапы построения прогноза по временным рядам............ 4.4. Адаптивные модели прогнозирования

4.5. Моделирование экономических процессов, подверженных сезонным колебаниям

4.6. Модели стационарных и нестационарных временных рядов. Модели авторегрессии

Раздел II. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИчЕсКИЕ МЕТОды И МОдЕлИ

Тема 5. Теоретические основы моделирования экономических систем

5.1. Теория использования моделирования в экономическом исследовании

5.2. Экономико-математические методы исследования экономических систем

5.3. Основные понятия моделирования экономических процессов

5.4. Понятие экономической информации

5.5. Виды экономико-математических моделей

5.6. Основные этапы экономико-математического моделирования процессов

Тема 6. Экономико-математические методы и модели принятия управляющих решений

6.1. Экономико-математическое моделирование как способ изучения и оценки хозяйственной деятельности

6.2. Методика построения оптимизационных моделей и экономический анализ решения

6.3. Простейшие экономико-математические модели линейного программирования

6.4. Основные типы линейных экономико-математических моделей

6.5. Решение общей задачи линейного программирования с применением информационных технологий

6.6. Двойственные оценки, их экономический смысл и роль в поиске наилучших вариантов экономических решений........ Тема 7. Принятие рациональных решений в управлении с использованием моделей линейного программирования..... 7.1. Математическое моделирование принятия управленческих решений

7.2. Модель прогнозирования изменения критерия эффективности на основе анализа компромиссов

7.3. Принятие управленческих решений исходя из оценки вероятностного характера складывающейся рыночной ситуации...... 7.4. Планирование ассортиментной политики предприятия в концепции ценовой политики

7.5. Планирование оптимальных нормативов доходности предприятия

Тема 8. Модели транспортной задачи в оптимизации и управлении затратами предприятия

8.1. Формулировки моделей транспортной задачи

8.2. Методика построения модели классической транспортной задачи

8.3. Моделирование минимизации транспортных затрат......... 8.4. Модель транспортной задачи о назначениях

8.5. Модель выбора сбытовой стратегии

8.6. Модель управления запасами

8.7. Модель транспортной задачи при установлении уровня цен в зависимости от местоположения рынков сбыта и различий дифференциальных рент

Раздел III. сПЕЦИАлЬНыЕ МЕТОды ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИчЕсКОГО МОдЕлИРОВАНИя

Тема 9. Балансовые методы и модели в оптимизации межотраслевых связей

9.1. Общие понятия балансового метода и принципиальная схема межотраслевого баланса

9.2. Информационная база построения экономико-математической балансовой модели

9.3. Использование модели межотраслевого баланса в анализе структурных сдвигов

9.4. Модели прогнозирования объема и отраслевой структуры валового выпуска

9.5. Методы исчисления уровней и индексов изменения цен на основе межотраслевого баланса

9.6. Определение изменения действующих цен на основе использования шахматного баланса изменений выручки и затрат.... 9.7. Установление уровней изменения действующих цен на основе матричных вычислений

9.8. Расчет оптимальных нормативов рентабельности по отраслям и индексов изменения действующих цен на базе оптимизационной балансовой модели

9.9. Балансовые методы в расчетах затрат и цен на продукцию (услуги) внутрипроизводственных подразделений предприятия

Тема 10. Модели теории игр: статистические игры.................. 10.1. Основные понятия теории игр

10.2. Общая классификация игр

10.3. Понятие оптимальности стратегии

10.4. Принятие решений на основе вероятностного характера случайных массовых явлений

10.5. Сущность и общая структура статистических игр с природой

10.6. Информационные технологии Excel в играх с природой... 10.7. Оптимизация выбора маркетинговой стратегии предприятия с применением матричных игр

3. УПРАВляЕМАя сАМОсТОяТЕлЬНАя РАБОТА сТУдЕНТОВ дНЕВНОй ФОРМы ОБУчЕНИя

4. ПЕРЕчЕНЬ ВОПРОсОВ для ПОдГОТОВКИ К зАчЕТУ... литература

Учебно-методический комплекс разработан по дисциплине «Эконометрика и экономико-математические методы и модели» в соответствии с типовой учебной программой для высших учебных заведений для специальностей: 1-25 01 10 «Коммерческая деятельность»; 1-26 02 03 «Маркетинг»; 1-26 02 05 «Логистика».

Основные задачи УМК:

– сформировать перечень тем, раскрывающих содержание – определить последовательность изучения дисциплины «Эконометрика и экономико-математические методы и модели»;

– оказать помощь студентам в изучении дисциплины, в краткой и сжатой форме представив основные аспекты функционирования предприятия (опорный конспект лекций);

– оказать помощь студентам-заочникам в работе над дисциплиной в межсессионный период.

УМК содержит опорный конспект лекций по всем темам дисциплины, которые изучаются в Минском институте управления. Кроме того, в него включен комплекс методических материалов, способствующих глубокому изучению дисциплины и рациональной организации труда студента – перечень вопросов для зачета, задания для УСР и самостоятельной работы, расширенный список литературы.

Преподаватели с учетом особенностей рабочего учебного плана конкретной специальности определяют перечень тем и количество часов, необходимых для изучения дисциплины; темы и вопросы, выносимые на УСР; индивидуальные задания.

1. ЦЕлЬ, зАдАчИ, сТРУКТУРА И сОдЕРжАНИЕ дИсЦИПлИНы, ЕЕ МЕсТО В УчЕБНОВОсПИТАТЕлЬНОМ ПРОЦЕссЕ Изучение дисциплины «Эконометрика и экономико-математические методы и модели» нацелено на формирование у студентов системы знаний, практических умений и навыков построения эконометрических и экономико-математических моделей и проведения анализа, состоящего в диагностике и верификации полученных моделей, для разработки прогнозов с помощью методов прикладной математики и последующего принятия научно обоснованных решений.

1.1. Цель преподавания дисциплины Приобретение студентами теоретических знаний и практических навыков, необходимых экономисту-менеджеру для решения задач оптимального управления производством на базе эконометрических и экономико-математических методов с использованием ЭВМ, при принятии управленческих решений, направленных на эффективное использование интеллектуальных, производственных и финансовых ресурсов предприятия с целью получения прибыли.

1.2. задачи изучения дисциплины Изучив дисциплину «Эконометрика и экономико-математические методы и модели», студент должен знать:

– основы эконометрического моделирования, анализа и прогнозирования;

– современные эконометрические пакеты прикладных программ;

– основные проблемы и направления развития теории и практики экономико-математического моделирования;

– область применения современного экономико-математического моделирования;

– модели межотраслевого баланса; методы и модели массового обслуживания, теории игр, теории управления запасами, сетевого планирования и управления, инвестиционные модели;

– проводить идентификацию эконометрических моделей;

– применять теоретические знания при проведении анализа и прогнозирования экономических процессов;

– моделировать экономические ситуации, связанные с оптимизацией исследуемых процессов;

– решать экономические и эконометрические задачи математическими методами с использованием компьютерных и программных средств;

– обосновывать оптимальное решение и проводить экономический и эконометрический анализ полученных результатов и прогнозирование по реальным данным;

– применять полученные знания при научных исследованиях экономических и производственных процессов.

получить навыки:

– системного экономического мышления и проведения оперативных экономических расчетов диагностики ситуационных изменений;

– принятия и обоснования управленческих решений для достижения эффективного функционирования социально-экономических структур.

1.3. связь учебного курса «Эконометрика и экономикоматематические методы и модели» с другими учебными дисциплинами Курс «Эконометрика и экономико-математические методы и модели» находится в тесной связи и базируется на таких учебных дисциплинах, как высшая математика (математическое программирование), экономика предприятия, предпринимательская деятельность на предприятии, менеджмент, маркетинг, производственные технологии, логистика прогнозирование и планирование экономики, анализ хозяйственной деятельности, финансы предприятий, денежное обращение, статистика и другие.

Методологической основой курса является высшая и прикладная математика. Без глубокого знания этих предметов нельзя моделировать конкретные экономические процессы или явления, составлять и решать на ЭВМ реальные экономико-математические задачи, производить глубокий анализ полученных решений.

Глубокому усвоению основных положений изучаемой дисциплины способствует изучение таких дисциплин, как «Информатика и вычислительная техника», «Компьютерные информационные технологии», «Технологии организации, хранения и обработки данных».

Знания и навыки, приобретенные при изучении дисциплины, будут использованы при изучении специальных дисциплин –а также выполнении научных, курсовых и дипломных работ, и в будущей профессиональной деятельности.

1.4. структура и содержание учебно-методического комплекса В первом разделе приведены базовые понятия и методы эконометрики. Даны примеры построения моделей линейной и нелинейной регрессии, производственных функций. Рассматриваются экономико-математические обоснования компьютерных алгоритмов по статистической обработке выборок, выбора подходящего класса и устойчивой оптимальной структуры аппроксимирующих функций, по приближению экономических данных. Детально описаны особенности применения важнейших специальных инструментов Пакета анализа Excel, предназначенных для моделирования количественного и графического анализа и прогнозирования временных рядов.

Во втором разделе приведены методы решения систем линейных уравнений, подробно рассмотрена технология решения задач оптимального использования ресурсов с применением методов линейного программирования. Обсуждаются оригинальные алгоритмы решения дифференциальных уравнений равновесия экономических систем. Большое внимание уделено анализу полученных оптимальных решений и их влиянию на эффективность хозяйствования с помощью надстройки Excel Поиск решения.

Третий раздел содержит описание метода «затраты – выпуск»

и примеры построения моделей межотраслевого баланса, рассмотрена технология выполнения операций над матрицами в среде Excel, приведены методы по моделированию неопределенных (рисковых) ситуаций в экономике с применением нечетких множеств.

Учебно-методический комплекс включает: теоретическую часть, практические рекомендации по решению каждого типа задач, набор упражнений и контрольных вопросов для самостоятельной работы, что в значительной мере упрощает процесс усвоения материала.

содержание УМК Согласно типовым учебным планам всего часов по дисциплине 98, из них всего часов аудиторных 52, в том числе 26 часов лекции, 6 часов лабораторные занятия, 20 часов практические занятия. Рекомендованная форма контроля зачет.

«Эконометрика и экономико-математические методы и модели»

В современной отечественной экономике закономерно возрастает роль эконометрики, экономико-математических методов и моделей в обосновании принятия решений на всех уровнях управления экономическими процессами.

С учетом экономико-управленческой направленности обучения студентов особое внимание в настоящем учебно-методическом комплексе уделяется не углубленному математическому обоснованию методов и алгоритмов, а достаточно строгому изложению материала с рассмотрением вопросов возможного их применения при обосновании наиболее эффективных экономических и управленческих решений.

Основным понятием курса является понятие математической модели. В самом общем понимании модель – это некоторое отражение реального объекта, которое может быть достигнуто различными средствами. Например, экономические связи характеризует экономическая модель, а функциональные связи, выраженные математическим аппаратом – математическая модель.

Любое экономическое исследование всегда предполагает объединение практики (фактографического материала) и теории (экономической модели). Фактические данные составляют реальную основу исследования и собираются с целью эмпирического построения и обоснования моделей. Теоретические модели отражают результат проникновения в сущность изучаемых процессов и используются для описания и объяснения последних. Это обстоятельство открывает широкие возможности для научного предвидения будущих состояний экономических объектов, а также предсказания таких явлений (и проблем, с ними связанных), которые еще не были обнаружены фактически.

Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Построение математической модели экономического объекта позволяет свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.

Процедура построения модели предполагает наличие некоторых знаний о существе того объекта или явления, для изучения которого создается модель. Так, при построении моделей экономических объектов важно хорошо владеть знаниями в области экономической теории и разбираться в объективных экономических законах, управляющих экономическими процессами, которые подлежат моделированию. Для изучения процессов и явлений, происходящих в экономической сфере, наряду со знаниями общетеоретических проблем экономики, необходимо профессионально разбираться в области формирования ресурсного потенциала предприятия, затрат и результатов его деятельности, знать бухгалтерский учет и методы экономического анализа и прогнозирования.

Как правило, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других его сторон, т.е.

конкретная модель может замещать собой оригинал только в рамках, строго ограниченных задачами исследования. Поэтому познавательные возможности экономической модели будут определяться тем, насколько адекватно построенная модель отражает существенные с точки зрения поставленных задач черты объекта-оригинала. Следовательно, создание модели требует обязательной оценки достаточной меры ее сходства с исследуемым экономическим объектом (явлением).

Процедура изучения модели предполагает проведение различного рода «модельных» экспериментов, в результате которых накапливаются и систематизируются данные о поведении модели при различных экономических условиях и ограничениях. Важнейшим достоинством моделирования в данном случае является возможность, не воздействуя и не меняя реальный ход событий, многократно экспериментировать поведение модели, сознательно изменять при этом различные факторы и условия ее функционирования, учитывать случайные возмущения, изменять схемы поведения.

Процедура применения модели связана с использованием полученных с ее помощью знаний для построения обобщающей теории реального экономического объекта, прогнозирования его дальнейшего поведения и управления им. При этом важно помнить, что знания о модели надо обязательно скорректировать с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не были отражены или изменились при построении модели. Перенос какого-либо результата с модели на оригинал будет достаточно обоснованным лишь в том случае, если он жестко связан со сходством модели и оригинала. Если же этот результат связан с отличием модели от оригинала, то переносить его на объект без дополнительных исследований нецелесообразно.

При создании моделей экономических объектов следует учитывать то обстоятельство, что любой из них представляет собой систему взаимодействий объективных и субъективных факторов.

Несовпадение и противоречие целей отдельных субъектов экономических отношений могут привести к существенным искажениям объективности в результатах конкретных исследований. Это требует их многоразового подтверждения и оценки качества построенных моделей, постоянного отслеживания соответствия модели реальному развитию событий.

Характер экономических объектов оказывает влияние на выбор средств построения моделей. Известно, что процесс моделирования в теоретических науках основан на использовании аксиоматических и дедуктивных средств и приемов анализа. Их применение обусловлено определенностью причинно-следственных и функциональных отношений в системе теоретических объектов. В экономических науках, где объектом исследования являются фрагменты реальной действительности, преобладают гипотетико-дедуктивные и индуктивные средства моделирования. Большое место в наборе этих средств занимают статистические и вероятностные методы. Это объясняется, прежде всего, многофакторностью и неопределенностью ситуаций экономической жизни.

Высшим уровнем идеального моделирования является математическое моделирование, в процессе которого средствами математики и логики строится знаковая модель экономического объекта, представляющая его отношения и свойства с помощью знаков и их связей.

Формализация основных особенностей функционирования экономического объекта во многом упрощает процедуру предсказания его будущего развития при изменении каких-либо параметров, оценку возможных последствий воздействия этих параметров на объект и тем самым расширяет возможности экономического прогнозирования. Построение математических моделей для изучения экономических закономерностей называют экономико-математическим моделированием, а использование таких моделей в практике составления прогнозов – экономико-математическими методами прогнозирования.

Разнообразие целей моделирования и используемого для их достижения инструментария вызывает необходимость использования в экономических исследованиях моделей теоретических и прикладных, статических и динамических, детерминированных и стохастических и т.д. При постоянном усложнении и ускорении протекающих в обществе процессов, усилении потоков экономической информации все они помогают не только получать новые знания об экономике, но и оперативно принимать эффективные управленческие решения в реальном бизнесе.

Моделирование предполагает использование методов абстрагирования и идеализации. Построение абстракций и научных гипотез имеет особое значение в тех случаях, когда предметом моделирования являются сложные открытые системы, к числу которых относится большинство экономических объектов. Сложность открытой системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами и взаимоотношениями между системой и внешней средой. Одна из основных трудностей изучения экономических объектов состоит в том, что их невозможно рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы. Огромное число элементов, многообразие внутренних связей и связей с другими системами обусловливают необходимость применения различных форм идеализации при моделировании экономических объектов. Поэтому один и тот же объект экономических исследований может отображаться в разных моделях, дополняющих друг друга. При этом могут иметь место ситуации, когда создаются противоречащие модели одного и того же явления. Такие противоречия требуют дальнейших исследований и «снимаются» на более глубоком уровне моделирования.

содержание экономико-математических моделей Для принятия эффективных решений в планировании и управлении производством экономическая сущность исследуемого экономического объекта формализуется в виде содержания математической модели, отражающей определенную экономическую ситуацию.

Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели.

В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим. Описание экономических условий математическими соотношениями – результат того, что модель устанавливает связи и зависимости между экономическими параметрами или величинами. Наиболее полное законченное определение экономикоматематической модели дал академик В.С. Немчинов: «Экономикоматематическая модель представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме».

По содержанию различают эконометрические и экономикоматематические модели. Различие между ними состоит в характере функциональных зависимостей, связывающих их величины. Так, эконометрические модели связаны с показателями, сгруппированными различными способами. Главным образом эконометрические модели устанавливают зависимость между статистическими показателями и определяющими их факторами в виде линейной и нелинейной функции.

Сложность и многомерность экономических объектов и процессов обусловливают наличие большого количества экономикоматематических моделей. По признаку специфики моделируемого объекта все их можно объединить в две большие группы:

– макроэкономические модели, описывающие экономику как единое целое и связывающее между собой укрупненные материальные и финансовые показатели (размер ВВП, объем потребления, уровень занятости, темпы инфляции, размеры экспорта и др.);

– микроэкономические модели, которые описывают взаимодействие отдельных составляющих экономики или поведение такой составляющей во внешней среде. Поскольку в условиях рынка присутствует большое количество типов экономических элементов и форм их взаимосвязи, эта группа объединяет множество различных видов моделей.

В соответствии с общепринятой классификацией экономикоматематические модели подразделяются на эконометрические (статистические), балансовые и оптимизационные.

Эконометрические (статистические) модели – это модели, в которых описываются корреляционно-регрессионные зависимости результата производства от одного или нескольких независимых факторов, оказывающих на него существенное влияние. Эти модели получили широкое распространение при построении прогнозов развития в практике коммерческой деятельности для построения производственных функций, а также при анализе экономических систем.

Оптимизационные модели представляют систему математических уравнений, линейных или нелинейных, подчиненных определенной целевой функции и служащих для отыскания наилучших (оптимальных) решений конкретной экономической задачи. Эти модели, в отличие от эконометрических и балансовых, относятся к классу экстремальных задач и описывают условия функционирования экономической системы.

Балансовые модели представляют систему балансов производства и распределения продукции и записываются в форме шахматных квадратных матриц. Балансовые модели служат для установления пропорций и взаимосвязей при планировании различных отраслей народного хозяйства.

Классификация экономико-математических моделей может быть различной и условной. Это зависит от того, на базе каких признаков строится модель. В основу классификации кладутся различные признаки. Так, по функциональному признаку модели подразделены на модели планирования, модели бухгалтерского учета, модели экономического анализа, модели информационных процессов.

По признаку размерности модели классифицируются на макромодели, локальные модели и микромодели. Макроэкономические модели строятся для изучения национальной экономики в целом на базе укрупненных показателей. Цель таких моделей состоит в разработке более обоснованных перспективных планов экономического развития на основе познания важнейших экономических пропорций и соотношений, темпов роста производства и уровней потребления, рациональной отраслевой структуры.

Макромодели в зависимости от принятых уровней детализации подразделяются на односекторные, двухсекторные и многосекторные. В двухсекторной модели выделяется группа производства средств производства и группа производства предметов потребления. Однако двухсекторные модели в силу весовой агрегированности показателей не позволяют непосредственно решать задачи, которые возникают в процессе планирования.

Более полная информация о механизме взаимосвязей в народном хозяйстве представляется многосекторными моделями, в которых сфера материального производства представляется состоящей из десятков, а порой и сотен самостоятельных отраслей.

Макромодели могут разрабатываться и для отдельных отраслей национальной экономики.

К локальным экономическим моделям можно отнести также модели, с помощью которых анализируются и прогнозируются некоторые показатели развития отрасли. Например, модель прогноза научно-технического прогресса, модель прогноза производительности труда и т.д.

Микромодели на предприятиях разрабатываются для углубленного анализа структуры производства. Они позволяют выявить резервы роста объемов производства продукции. При построении микромоделей широко используются методы математической статистики – корреляционный и регрессионный, индексный и выборочный методы.

Оптимизационные модели могут носить детерминированный и стохастический характер. В детерминированных моделях результат решения однозначно зависит от входных данных. В стохастических вероятностных моделях – определенный набор входных данных может дать, а может и не дать соответствующего результата. Стохастические модели описывают случайные процессы, в которых результат всегда остается неопределенным в отличие от детерминированных моделей, входная информация которых заранее предопределяет результат решения.

Наиболее разработаны и практически более применимы детерминированные модели, использующие аппарат математического программирования.

Поскольку экономико-математическая модель отражает объективные закономерности воспроизводства определенного объекта или отдельные стороны этого процесса с помощью различных математических средств, то любая модель характеризуется рядом признаков, часть которых относится к отражаемым свойствам моделируемого объекта (процесса), а часть связана с самим аппаратом моделирования.

В основу классификации положен следующий прием: выделены четыре признака объекта и три признака по средствам построения моделей.

Моделируемые объекты рассматриваются с позиций:

1) сущности моделируемых процессов воспроизводства;

2) временных характеристик процессов;

3) уровней управления процессами (объектами);

4) назначения моделей в управлении.

В основу классификации по средствам их построения положены:

1) средства моделирования и методы реализации моделей;

2) структура моделей и характер зависимости ее компонентов;

3) используемая информация.

Каждая из этих совокупностей классификационных процессов отражает математическую и информационную сторону моделей.

Приведенная классификация моделей условна. Она проводится по вполне определенным общим признакам моделей.

Классификация моделей, их анализ являются предпосылкой для построения интегрированной системы моделей.

Предмет изучения дисциплины «Эконометрика и экономико-математические методы и модели»

Предметом изучения названной дисциплины являются количественные характеристики экономических процессов, протекающих в хозяйственной деятельности экономических объектов, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов и моделей. В курсе рассматриваются конкретные задачи и их экономикоматематические модели. Это модели линейного и нелинейного программирования, сетевого планирования и управления, балансовые, игровые, имитационные, модели исследования операций, модели массового обслуживания. Изучаются также модели оптимального использования производственных мощностей, в частности, модели загрузки взаимозаменяемых и невзаимозаменяемых групп оборудования, модели и методы оперативно-календарного планирования.

Особое внимание уделяется методам и моделям прогнозирования конъюнктуры рынка, моделям и методам анализа инвестиционных проектов, моделям в управлении финансами.

Немалое место отводится моделям оптимального регулирования – транспортно-производственным экономико-математическим моделям. Освещаются модели регулирования на основе межотраслевого баланса. Представляется модель взаимосвязи конечного использования и валового продукта.

Представлены экспертные методы прогнозирования в менеджменте при принятии решений в условиях неопределенности и риска.

Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.

Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями или неравенствами.

Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т.д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической или критериальной.

Критерий оптимальности – экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии оптимальности и различные целевые функции. Смешивать понятия критерия оптимальности и целевой функции нельзя. Критерий оптимальности есть понятие модельное, экономическое. Критерии оптимальности могут быть натуральные и стоимостные. Одни из критериев – максимизируемые, другие – минимизируемые.

Из минимизируемых критериев выделяют критерий совокупных затрат потребляемых ресурсов.

Из максимизируемых критериев выделяют: число наборов конечных продуктов, валовая, конечная, чистая и условно чистая продукция, прибыль, рентабельность и др.

Решением экономико-математической модели, или допустимым планом, называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции. Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным. Среди допустимых планов, удовлетворяющих целевой функции, как правило, имеется единственный план, для которого целевая функция и критерий оптимальности имеют максимальное или минимальное значение. Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

Целевая функция, зависящая от переменных величин в заданной области изменения последних, всегда достигает наибольшего и наименьшего значения или вовсе его не имеет. Экстремальные значения целевой функции достигаются внутри, а оптимальные значения достигаются также и на границе области изменения переменных величин. Поэтому экстремальные значения целевой функции могут совпадать с оптимальными, однако это не значит, что все оптимальные значения целевой функции есть экстремальные. Для нелинейных моделей иногда существуют экстремальные значения целевой функции, а для линейных моделей экстремальных планов и экстремальных значений целевой функции быть не может.

Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения.

Материал настоящего учебно-методического комплекса позволит читателям получить достаточно полное представление о возможностях практического применения методов оптимальных решений для реализации экономических, производственных и других задач, в том числе и на ЭВМ.

РАздЕл I. ЭКОНОМЕТРИКА И ЭКОНОМЕТРИчЕсКОЕ

МОдЕлИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ

1.1. Основные понятия эконометрики Термин «эконометрика» появился в литературе в начале XX века и означал «эконометрические измерения», так как объединяет в себе два слова: экономика (наука об экономических системах) и метрика (наука об измерениях).

Эконометрика – наука, объединяющая совокупность математико-статистических моделей и методов, которые позволяют описывать стохастические причинные отношения экономических явлений и процессов в экономическом анализе для проверки правильности экономических теоретических моделей и способов решения экономических проблем.

Многие авторы достаточно часто используют определение эконометрики, которое предложил известный российский ученый С.А. Айвазян.

Эконометрика это самостоятельная научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделей, предназначенная для того, чтобы на базе экономической теории, экономической статистики, математико-статистического инструментария придавать конкретное количественное выражение общим закономерностям, обусловленным экономической теорией взаимосвязей экономических явлений и процессов.

В экономической литературе также используются и другие определения эконометрики.

Эконометрия (эконометрика) наука, изучающая конкретные количественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей (Большой энциклопедический словарь. М.: Изд-во «Большая Российская энциклопедия», 1997).

Эконометрика (Econometrics) совокупность методов анализа связей между различными экономическими показателями (факторами) на основании реальных статистических данных с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики. При помощи этих методов можно выявлять новые, ранее неизвестные связи, уточнять или отвергать гипотезы о существовании определенных связей между экономическими показателями, предлагаемые экономической теорией.

Эконометрика служит для проверки обоснованности (адекватности) моделей микро- и макроэкономики на основе статистических данных и представляет собой своеобразный мост между постулатами экономической теории и принятием решений в бизнесе.

Предметная область эконометрики может быть обозначена через «… объект изучения эконометрики – связи между народнохозяйственным ансамблем и его простейшими компонентами...».

Опосредуя народнохозяйственные связи на уровне микро- и макроэкономики, эконометрика тем самым является интерференцией знаний, представленных экономической теорией и статистикой, взаимосвязь которых можно изобразить с помощью диаграммы следующего вида:

Рисунок 1.1.1 – Взаимосвязь объектов изучения эконометрики В соответствии с диаграммой (рис.1.1.1.) эконометрика призвана решать задачи проверки обоснованности предлагаемых экономической теорией моделей микро- и макроэкономики на основе статистической обработки данных основных экономических показателей.

Эконометрика как обязательная учебная дисциплина при подготовке экономистов-менеджеров произошла от научной дисциплины математическая экономика.

Математическая экономика (mathematical economics) является разделом экономической теории, в котором первоначально рассматривались вопросы проверки экономических теорий на фактическом (эмпирическом) материале с помощью методов математической статистики.

В настоящее время сфера действия математической экономики постоянно расширяется, и хотя в современной классификации ее разделов эконометрика расположена между экономикой, статистикой и математикой, ни одна из этих наук не способна в отдельности заменить эконометрику как науку.

На современном этапе своего развития эконометрика как наука является следствием междисциплинарного подхода к изучению экономики и представляет сочетание трех наук:

1) экономической теории;

2) математики;

3) математической и экономической статистики.

Сложноподчиненные связи между экономическими объектами микро- макроэкономики, как правило, носят случайный характер, в связи с чем, главной задачей эконометрики является предоставление экспертной поддержки в выборе «выгодного» решения при управлении экономическими явлениями и процессами.

К не менее важным основным задачам эконометрики, определяющим ее функции, также можно отнести следующие:

– построение эконометрических моделей, т.е. представление последних в математической форме (проблема спецификации);

– оценка параметров построенной модели (этап параметризации);

– проверка качества найденных параметров модели и самой модели в целом (иногда этот этап называют верификаций);

– использование построенных моделей для объяснения, прогнозирования и предсказания поведения исследуемых экономических показателей.

Структуру перечисленных функций эконометрики представим в виде следующей диаграммы:

Экономическое Рисунок 1.1.2 – Диаграмма взаимосвязи функций эконометрики Обозначая предмет исследования эконометрики как массовые статистические данные, характеризующие явления в экономике, часто обращают внимание на то, что предметы исследования эконометрики и статистики очень схожи. Объясняется это тем, что большинство эконометрических методов изучения социально-экономических закономерностей позаимствованы из статистики. Принципиальное отличие эконометрики от других наук, получивших развитие из математической экономики, заключается в том, что цель эконометрики – это количественная характеристика экономических закономерностей, выявляемых экономической теорией в общих чертах.

Для решения задач описания данных, проверки гипотез, восстановления зависимостей, классификации объектов и признаков, прогнозирования, принятия статистических решений в эконометрике разработаны некоторые дополнительные методы, которые не применяются в статистике.

Эконометрические методы, специально разработанные для эконометрики, базируются на анализе связей между различными экономическими показателями (факторами) на основании статистических данных с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики. При помощи этих методов можно выявлять новые, ранее не известные связи, уточнять или отвергать гипотезы о существовании определенных связей между экономическими показателями, предлагаемые экономической теорией.

Главным инструментом эконометрики для проверки количественных характеристик экономических теорий на основе статистических данных взаимозависимых экономических явлений и процессов с помощью методов математической статистики является эконометрическая модель.

Эконометрическая модель – это система математических соотношений между выходными и входными переменными изучаемого экономического явления, предназначенная для объяснения значений текущих переменных (одной или нескольких) в зависимости от значений заранее определенных других переменных и позволяющая составить описание рассматриваемого процесса.

Переменные эконометрической модели классифицируются как:

Выходные или результирующие переменные (Y) характеризуют результат или эффективность функционирования экономической системы. Результирующая переменная является зависимой или эндогенной – ее значение формируется внутри системы под воздействием ряда других переменных и факторов, часть из которых поддается регистрации, управлению и планированию. В регрессионном анализе результирующая переменная (еще ее называют результативным признаком) играет роль функции, значение которой определяется значениями объясняющих переменных. По своей природе результирующая переменная всегда случайна (стохастична);

Входные или объясняющие переменные X – поддаются регистрации и описывают условия функционирования реальной экономической системы. Они являются независимыми или экзогенными переменными и в значительной мере определяют значения результирующих переменных. Обычно те объекты, которые имеют независимый характер, в экономике называют фактор-признаками.

Независимые переменные поддаются регулированию и управлению. Значения этих переменных могут задаваться вне анализируемой системы (поэтому их и называют экзогенными; другое название факторные признаки). В регрессионном анализе объясняющие переменные это аргументы результирующей функции Y. По своей природе они могут быть как случайными, так и неслучайными.

Переменные, выступающие в системе в роли фактороваргументов, или объясняющих переменных, называют предопределенными. Множество предопределенных переменных формируется из всех экзогенных переменных и так называемых лаговых эндогенных переменных, т.е. таких эндогенных переменных, значения которых входят в уравнения анализируемой эконометрической системы измеренными в прошлые моменты времени, а, следовательно, являются уже известными, заданными.

В исследовании экономических процессов основное место занимают вопросы анализа и прогнозирования экономических данных во временном интервале. В связи с тем, что конкретные экономические данные во времени качественно отличаются от простых статистических выборок, при выборе метода анализа данных в эконометрике следует учитывать их качественные особенности.

В эконометрических исследованиях используют следующие типы экономических данных:

- пространственные характеризуют ситуацию по конкретной переменной (или набору переменных), относящейся к пространственно разделенным сходным объектам в один и тот же момент времени;

- временные отражают изменения (динамику) какой-либо переменной на промежутке времени.

Эконометрические модели в зависимости от соответствующей теории связи между переменными экономических систем принято делить на три основных класса:

1) модели временных рядов;

2) регрессионные модели с одним уравнением;

3) системы эконометрических уравнений.

Модели временных рядов представляют собой модели зависимости результативного признака от времени. Особенности модели временных рядов заключаются в том, что:

1) последовательные по времени уровни временных рядов являются взаимозависимыми, особенно это относится к близко расположенным наблюдениям;

2) в зависимости от момента наблюдения уровни во временных рядах обладают разной информативностью: информационная ценность наблюдений убывает по мере их удаления от текущего момента времени;

3) с увеличением количества уровней временного ряда точность статистических характеристик не увеличивается пропорционально числу наблюдений, а при появлении новых закономерностей развития может даже уменьшаться.

К моделям временных рядов относятся адаптивные модели, модели кривых роста (трендовые) и модели авторегрессии и скользящего среднего. С помощью таких моделей можно решать задачи прогнозирования объема продаж, спроса на продукцию, краткосрочного прогноза процентных ставок и др.

В регрессионных моделях с одним уравнением зависимая (объясняемая) переменная Y может быть представлена в виде функции f(X1, Х2,..., Хk), где X1, Х2,..., Хk независимые (объясняющие) переменные, или факторы; к количество факторов.

В качестве зависимой переменной может выступать практически любой показатель, характеризующий, например, деятельность предприятия или курс ценной бумаги.

В зависимости от вида функции f(X1, Х2,..., Хk) модели делятся на линейные и нелинейные, а в зависимости от количества включенных в модель факторов X – на однофакторные (парная модель регрессии) и многофакторные (модель множественной регрессии).

Примеры задач, решаемых с помощью регрессионных моделей:

– исследование зависимости заработной платы Y от возраста X1, уровня образования Х2, пола Х3, стажа работы Х4:

– прогноз и планирование выпускаемой продукции по факторам производства (производственная функция Кобба Дугласа Y = a 0 K a1 La 2 означает, что объем выпуска продукции является функцией количества капитала К и количества труда L;

прогноз объемов потребления продукции или услуг определенa личина спроса; X среднедушевой доход).

системы эконометрических уравнений применяются в том случае, когда экономические явления настолько сложны, что невозможно адекватно описать их с помощью только одного соотношения (уравнения). Модели с одним уравнением не отражают взаимосвязей между объясняющими переменными или их связей с другими переменными. Кроме того, некоторые переменные могут оказывать взаимные воздействия и трудно однозначно определить, какая из них является зависимой, а какая независимой переменной. Поэтому при построении эконометрической модели прибегают к системам уравнений.

Выделяют следующие три вида эконометрических систем:

1) системы независимых уравнений;

2) системы рекурсивных уравнений;

3) системы взаимосвязанных уравнений.

В системах независимых уравнений каждая зависимая переменная yi (i 1, n) представлена как функция одного и того же набора независимых переменных x j ( j = 1, т):

……………………………………….

Заметим, что отдельные коэффициенты при переменных могут быть равны нулю.

Каждое уравнение этой системы можно рассматривать самостоятельно как уравнение регрессии. В него может быть введен свободный член, и коэффициенты регрессии могут быть найдены МНК методом наименьших квадратов1.

В системах рекурсивных уравнений зависимые переменные yi (i 2, n) представлены как функции независимых переменных j (j 1, ) и определенных ранее зависимых переменных у1, у2,..., yi-1, … yn-1:

y2 = b21y1 +a21x1+ a22x2 + … + a2mxm + ……………………………………….

yn = bn1y1 + bn2y2 + … + bnn-1yn-1 + an1x1 + an2x2 + … + anmxm + n.

Рассмотрим, например, систему из трех уравнений:

Метод предложен Гауссом в XIX веке. Полученные этим методом оценки называют МНК-оценками.

Q количество проданных товаров с использованием льнопродукции;

W индекс погодных условий;

Т налоговые тарифы на льнопродукцию.

Цена на лен определяется погодой, а цена на льнопродукцию ценой на лен и налогами и т.д.

В системах взаимозависимых уравнений каждая зависимая переменная yi (i 1, n) представлена как функция остальных зависимых переменных yk ( k i ) и независимых переменных xi ( j = 1, т) :

y1 = b12y2 + b13y3 + … + b1nyn + a11x1 + a12x2 + … + a1mxm + 1, y2 = b21y1 + b23y3 + … + b2nyn + a21x1 + a22x2 + … a2mxm + …………………………………………………………………………..

yn = bn1y1 + bn2y2 + … + bnn-1yn-1 + an1x1 + an2x2 + … + anmxm + n.

Эта система наиболее распространенная, она получила также название системы совместных, одновременных уравнений. Ее также называют структурной формой модели. В отличие от предыдущих двух систем для нахождения параметров этой модели bjk и aij, (называемых также структурными коэффициентами модели) простой МНК не применим. Название «система одновременных уравнений» подчеркивает тот факт, что в системе одни и те же переменные одновременно являются зависимыми в одних уравнениях и независимыми в других.

Рассмотрим, например, макроэкономическую модель из трех уравнений:

Сt = a0 + a2It + a3Yt + a4Ct-1 + a5Rt + u1t, где Ct совокупное потребление; It полные капитальные вложения; Yt валовой национальный продукт (ВНП); Rt краткосрочная процентная ставка; Mt объем денежного обращения; Gt правительственные расходы.

Здесь Ct, It, Yt эндогенные переменные, а Ct-1, Mt, Rt, Gt объясняющие.

Модель одновременная, несмотря на то, что совокупное потребление Сt не является аргументом в уравнении для инвестиций.

Одновременность возникает из-за того, что оценка Ct и It, в первых двух уравнениях невозможна без знания ВНП, т.е. Yt, который является функцией и Сt, и It. Решение может быть найдено только одновременным решением трех уравнений.

Последнее уравнение тождество, но его можно рассматривать как обычное уравнение со всеми коэффициентами, равными единице.

Для оценивания систем одновременных уравнений используются специальные методы.

Необходимыми этапами построения эконометрической модели являются следующие.

1. Проведение теоретического (вербального) описания изучаемого экономического объекта с отражением существенных факторов, оказывающих преобладающее влияние на функционирование изучаемого элемента экономики.

2. Определение целей исследования, достижение которых требует привлечения модели, введения ограничений и предварительных предположений.

3. Выбор математической модели экономического объекта с фиксацией формы всех зависимостей и обозначением параметров, входящих в модель.

4. Сбор статистических наблюдений над входящими в модель переменными в соответствующие моменты времени.

5. Выбор метода оценивания неизвестных параметров модели в соответствии с особенностями объекта исследования и спецификацией имеющихся данных.

6. Реализация алгоритма оценивания параметров, обеспечивающая адекватность модели. Проверка качества (верификации) модели.

7. Интерпретация полученных результатов, принятие решений относительно следующего цикла исследования и прогноза.

1.2. Корреляция, вычисление коэффициентов корреляции Любая экономическая политика заключается в регулировании определенных экономических параметров и поэтому должна основываться на знании того, как эти параметры влияют на другие составляющие экономической среды. Исследования показывают, что вариация каждого изучаемого признака находится в тесной связи и взаимодействии с вариацией других признаков, характеризующих исследуемую совокупность единиц. Например, вариация уровня производительности труда зависит от степени совершенства применяемого оборудования, технологии, организации производства, труда и управления и других самых различных факторов.

1.2.1. Оценка тесноты линейной связи Простейшей формой зависимости между переменными является линейная зависимость, Рассматривая линейную зависимость между признаками, прежде всего, выделяют два типа связей:

- функциональные характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины: каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака.

Этот тип связи выражается в виде формульной зависимости. Функциональная зависимость может связывать результативный признак с одним или несколькими факторными признаками. Так, величина начисленной заработной платы при повременной оплате труда зависит от количества отработанных часов;

- корреляционные между изменением двух признаков нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем, при массовом наблюдении фактических данных.

Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значений результативного признака, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.

При наличии функциональной зависимости между признаками можно, зная величину факторного признака, точно определить величину результативного признака. Связь одного из показателей с другими в данном случае описывается с помощью функций одной у = f(x) или нескольких y = f ( x1, x2...xn ) переменных. Однако следует иметь в виду, что любая функциональная зависимость в определенной степени является абстракцией, поскольку в окружающем мире, частью которого является экономика, значение конкретной величины не определяется неизменной формулой ее зависимости от некоторого набора других величин. Такой подход для описания взаимосвязей экономических данных применяется там, где вероятностный характер экономических процессов малосущественен для принятия решений.

Большинство случайных факторов, не поддающихся количественному выражению, представляются незначимыми для принятия решений, но они приводят к вариации реальных данных, их несовпадению с величинами, рассчитанными по формуле связи переменной с объясняющими признаками. На случайные факторы также влияет еще множество других факторов, существующих в действительности, но не учитываемых явно в модели. Это обусловливает стохастическую природу как самих экономических показателей, так и взаимосвязей между ними.

Проверка наличия стохастической зависимости при вероятностном характере экономических процессов, оценка ее индикаторов и параметров является одним из важнейших направлений приложения математических методов в прогнозировании экономических показателей. Нахождение формулы стохастической взаимосвязи экономических переменных осуществляется с применением аппарата корреляционного анализа, объединяющего специальные статистические методы и, соответственно, показатели, значения которых определенным образом (и с определенной вероятностью) свидетельствуют о присутствии или отсутствии линейной связи между переменными.

К таким показателям относятся коэффициенты линейной (парной) и множественной корреляции, которые описывают корреляционные характеристики взаимосвязи исследуемых переменных и позволяют получить положительный ответ на вопрос о наличии корреляционной зависимости и при ее наличии устанавливают индикаторы тенденции изменения результативного признака при изменении величины факторного признака.

Изучая взаимосвязи между признаками, их классифицируют по направлению, форме, числу факторов:

- по направлению связи делятся на прямые и обратные. При прямой связи направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака-фактора. При обратной связи направление изменения результативного признака противоположно направлению изменения признака-фактора. Например, чем выше квалификация рабочего, тем выше уровень производительности его труда (прямая связь). Чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость единицы продукции (обратная связь);

по форме (виду функции) связи делят на линейные (прямолинейные) и нелинейные (криволинейные). Линейная связь отображается прямой линией, нелинейная кривой (параболой, гиперболой и т.п.). При линейной связи с возрастанием значения факторного признака происходит равномерное возрастание (убывание) значения результативного признака;

- по количеству факторов, действующих на результативный признак, связи подразделяют на однофакторные (парные) и многофакторные.

Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий и составляет содержание теории корреляции1.

Основная задача корреляционного анализа заключается в выявлении взаимосвязи между случайными переменными путем точечной и интервальной оценки парных (частных) коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации. Кроме того, с помощью корреляционного анализа решаются следующие задачи: отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения тесноты связи между ними;

обнаружение ранее неизвестных причинных связей. Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между параметрами, но устанавливает численное значение этих связей и достоверность суждений об их наличии.

При проведении корреляционного анализа вся совокупность данных рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых содержит п наблюдений.

При изучении взаимосвязи между двумя факторами их, как правило, обозначают Х = (х1, х2,..., хn) и Y= (y1, y2,..., yn).

Ковариация это статистическая мера взаимодействия двух переменных. Например, положительное значение ковариации доходности двух ценных бумаг показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону.

Основоположниками теории корреляции считаются английские статистики Ф. Гальтон (1822–1911) и К. Пирсон (1857-1936). Термин «корреляция» был заимствован из естествознания и обозначает соотношение, соответствие. Представление о корреляции как взаимозависимости между случайными переменными величинами лежит в основе математико-статистической теории корреляции.

Ковариация между двумя переменными Х и Y рассчитывается следующим образом:

где (х1, y1), (х2, у2),..., (хп, уп) фактические значения переменных X и Y;

Ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные Х и Y, она является ненормированной величиной. Поэтому для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая коэффициентом корреляции.

Для двух переменных X и Y коэффициент парной корреляции определяется следующим образом:

где Sx, Sy оценки дисперсий величин Х и Y. Эти оценки характеризуют степень разброса значений (х1, х2 … xn), (y1, у2 … yn) вокруг своего среднего x ( y соответственно), или вариабельность (изменчивость) этих переменных на множестве наблюдений.

Дисперсия (оценка дисперсии) определяется по формуле В общем случае для получения несмещенной оценки дисперсии сумму квадратов следует делить на число степеней свободы оценки (п - р), где n объем выборки, р число наложенных на выборку связей. Так как выборка уже использовалась один раз для определения среднего X, то число наложенных связей в данном случае равно единице (р = 1), а число степеней свободы оценки (т.е. число независимых элементов выборки) равно (n - 1).

Более естественно измерять степень разброса значений переменных в тех же единицах, в которых измеряется и сама переменная.

Эту задачу решает показатель, называемый среднеквадратическим отклонением (стандартным отклонением) или стандартной ошибкой переменной (переменной Y) и определяемый соотношением Слагаемые в числителе формулы (1.2.1) выражают взаимодействие двух переменных и определяют знак корреляции (положительная или отрицательная). Если, например, между переменными существует сильная положительная взаимосвязь (увеличение одной переменной при увеличении второй), каждое слагаемое будет положительным числом. Аналогично, если между переменными существует сильная отрицательная взаимосвязь, все слагаемые в числителе будут отрицательными числами, что в результате дает отрицательное значение корреляции.

Знаменатель выражения для коэффициента парной корреляции [см. формулу (1.2.2)] просто нормирует числитель таким образом, что коэффициент корреляции оказывается легко интерпретируемым числом, не имеющим размерности, и принимает значения от –1 до +1.

Числитель выражения для коэффициента корреляции, который трудно интерпретировать из-за необычных единиц измерения, есть ковариация X и Y. Несмотря на то, что иногда она используется как самостоятельная характеристика (например, в теории финансов для описания совместного изменения курсов акций на двух биржах), удобнее пользоваться коэффициентом корреляции.

Корреляция и ковариация представляют, по сути, одну и ту же информацию, однако корреляция представляет эту информацию в более удобной форме.

Коэффициент парной корреляции является безразмерной величиной и не зависит от выбора единиц обеих переменных. Значение коэффициента корреляции лежит в интервале от –1 (в случае строгой линейной отрицательной связи) до +1 (в случае строгой линейной положительной связи). Соответственно, положительное значение коэффициента корреляции свидетельствует о прямой связи между исследуемым и факторным показателями, а отрицательное – об обратной. Чем ближе значение коэффициента корреляции к 1, тем теснее связь. Для качественной оценки коэффициента корреляции применяются различные шкалы, наиболее известной из которых является специальная шкала значений коэффициентов корреляции шкала чеддока, разработанная профессором Колумбийского университета США Чеддоком, которая позволяет качественно оценить тесноту связи, (табл. 1.2.1).

Оценка тесноты связи двух переменных Размер коэффициента кор- 0,1 – 0,3 0,3 – 0,5 0,5 – 0,7 0,7 – 0,9 0,9 – 0, реляции В зависимости от значения коэффициента корреляции связь может иметь одну из оценок: 0,1–0,3 слабая; 0,3–0,5 заметная;

0,5–0,7 умеренная; 0,7–0,9 высокая; 0,9–1,0 весьма высокая.

Близкий к нулю коэффициент корреляции говорит об отсутствии линейной связи переменных, но не свидетельствует об отсутствии их связи вообще. В случае равенства нулю показателя корреляции нельзя однозначно утверждать о том, что исследуемые показатели независимы. В данном случае можно попытаться найти более сложную модель их связи, которая учтет как нелинейность самой зависимости, так и наличие в ней запаздываний во времени (лагов), а также инерционность динамики анализируемых величин.

Следует отметить, что величина коэффициента корреляции не является доказательством того, что между исследуемыми признаками существует причинно-следственная связь, а представляет собой оценку степени взаимной согласованности в изменениях признаков.

Для того чтобы установить причинно-следственную зависимость, необходим анализ качественной природы явлений.

Так как оценка тесноты связи с помощью коэффициента корреляции проводится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении, то возникает вопрос:

насколько правомерно наше заключение по выборочным данным о наличии корреляционной связи в той генеральной совокупности, из которой была извлечена выборка?

В связи с этим и возникает необходимость оценки существенности (значимости) линейного коэффициента корреляции, дающая возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность. В зависимости от объема выборочной совокупности предлагаются различные методы оценки существенности линейного коэффициента корреляции.

Оценка значимости коэффициента корреляции при малых объемах выборки выполняется с использованием t-критерия стьюдента. При этом фактическое (наблюдаемое) значение этого критерия определяется по формуле Вычисленное по этой формуле значение tнабл сравнивается с критическим значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t-критерия Стьюдента с учетом заданного уровня значимости a и числа степеней свободы (n – 2).

Если tнабл > tтабл, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Если значение ry,x близко к нулю, связь между переменными слабая. Если корреляция между случайными величинами:

- положительная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать;

- отрицательная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем убывать.

Удобным графическим средством анализа парных данных является диаграмма рассеяния, которая представляет каждое наблюдение в пространстве двух измерений, соответствующих двум факторам.

Диаграмму рассеяния, на которой изображается совокупность значений двух признаков, называют еще корреляционным полем.

Каждая точка этой диаграммы имеет координаты xi и уj. По мере того как возрастает сила линейной связи, точки на графике будут лежать более близко к прямой линии, а величина r будет ближе к единице.

Матрица коэффициентов парной корреляции Коэффициенты парной корреляции используются для измерения силы линейных связей различных пар признаков из их множества. Для множества признаков получают матрицу коэффициентов парной корреляции.

Пусть вся совокупность данных состоит из переменной Y = (y1, y2, … yn,) и т переменных (факторов) X, каждая из которых содержит п наблюдений. Значения переменных Y и X, содержащиеся в наблюдаемой совокупности, записываются в таблицу (табл. 1.2.2).

наблюдения На основании данных, содержащихся в этой таблице, вычисляют матрицу коэффициентов парной корреляции R, она симметрична относительно главной диагонали:

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции используют при построении моделей множественной регрессии.

Одной корреляционной матрицей нельзя полностью описать зависимости между величинами. В связи с этим в многомерном корреляционном анализе рассматривается две задачи:

1. Определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ.

2. Определение тесноты связи между двумя величинами при фиксировании или исключении влияния остальных величин.

Эти задачи решаются соответственно с помощью коэффициентов множественной и частной корреляции.

Множественный коэффициент корреляции Расчет коэффициента множественной корреляции производится на основе значений коэффициентов парной корреляции (r) и технически является довольно сложной процедурой, трудоемкость которой возрастает по мере увеличения количества факторов, включенных в модель. Например, решение первой задачи (определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ) осуществляется с помощью выборочного коэффициента множественной корреляции R, который находят по следующей формуле:

где R определитель корреляционной матрицы R [см. формулу (1.2.6)];

Rjj алгебраическое дополнение элемента rij той же матрицы R.

R 2 j1,2,..., j -1 j +1..., m принято называть выборочным множественным коэффициентом детерминации; он показывает, какую долю вариации (случайного разброса) исследуемой величины Хj объясняет вариация остальных случайных величин X1, X2,..., Xm.

Коэффициент множественной корреляции также принимает значения от 0 до 1, но несет в себе более универсальный смысл:

чем ближе его значение к единице, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на зависимую переменную, тем более точной выглядит построенная на основе отобранных факторов модель. При приближении коэффициента R к единице можно сделать вывод о тесноте взаимосвязи случайных величин, но не о ее направлении.

Коэффициент множественной корреляции может только увеличиваться, если в модель включать дополнительные переменные, и не увеличится, если исключать какие-либо из имеющихся признаков.

Учитывая обозначенную смысловую нагрузку, коэффициент множественной корреляции является важной характеристикой, позволяющей проверить общее качество уравнения множественной линейной регрессии.

Проверка значимости коэффициента детерминации осуществляется путем сравнения расчетного значения F-критерия Фишера с табличным Fтабл.

Табличное значение критерия определяется заданным уровнем значимости a и степенями свободы 1= р – 1 и 2 = n – p (где р количество параметров модели). Коэффициент R2 значимо отличается от нуля, если выполняется неравенство частный коэффициент корреляции Если рассматриваемые случайные величины коррелируют друг с другом, то на величине коэффициента парной корреляции частично сказывается влияние других величин. В связи с этим возникает необходимость исследования частной корреляции между величинами при исключении влияния других случайных величин (одной или нескольких).

Выборочный частный коэффициент корреляции определяется по формуле где Rjk, Rjj, Rkk алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы R [см. формулу (1.2.6)].

Частный коэффициент корреляции так же, как и парный коэффициент корреляции, изменяется от –1 до +1.

Выражение (1.2.9) при условии т = 3 будет иметь вид Коэффициент r12(3) называется коэффициентом корреляции между х1 и х2 при фиксированном х3. Он симметричен относительно первичных индексов 1, 2. Его вторичный индекс 3 относится к фиксированной переменной.

1.2.2. Оценка тесноты нелинейной связи При отклонении парной статистической зависимости от линейной коэффициент корреляции теряет свой смысл как характеристика тесноты связи. В этом случае можно воспользоваться таким измерителем связи, как индекс корреляции (корреляционное отношение).

Корреляционное отношение применяется в случае нелинейной зависимости между признаками и определяется через отношение межгрупповой дисперсии к общей дисперсии.

Применение корреляционного отношения возможно, если характер выборочных данных (количество, плотность расположения на диаграмме рассеяния) допускает, во-первых, их группирование по оси объясняющей переменной и, во-вторых, возможность подсчета «частных» математических ожиданий внутри каждого интервала группирования.

Для определения эмпирического корреляционного отношения совокупность значений результативного признака Y разбивают на отдельные группы. В основу группировки кладется исследуемый фактор X.

Когда изучаемая совокупность (в виде корреляционной таблицы) разбивается на группы по одному (факторному) признаку X, то для каждой из этих групп можно вычислить соответствующие групповые средние результативного признака. Изменение групповых средних от группы к группе свидетельствует о наличии связи результативного признака с факторным признаком, а примерное равенство групповых средних об отсутствии связи. Следовательно, чем большую роль в общем изменении результативного признака играет изменение групповых средних (за счет влияния факторного признака), тем сильнее влияние этого признака.

Приведем методику вычисления корреляционного отношения.

Пусть группирование данных произведено, при этом k число интервалов группирования по оси х; mj количество элементов выборки в j-м интервале группирования; п объем совокупk ности n = m j ; y общее среднее.

1. Вычислим среднее значение Y в j-й группе:

2. Вычислим общую среднюю Y, используя средние значения в каждой группе:

3. Найдем межгрупповую дисперсию и общую дисперсию:

Корреляционное отношение зависимой переменной Y no независимой переменной X может быть получено из отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии:

Величина корреляционного отношения изменяется от 0 до 1.

Близость ее к нулю говорит об отсутствии связи, близость к единице о тесной связи.

Как показатель тесноты связи корреляционное отношение имеет более универсальный характер, чем линейный коэффициент корреляции, поскольку его использование не ограничивается случаями линейной связи, а факторный признак может быть не количественным, а ранговым и даже номинальным.

Корреляционный анализ следует проводить до регрессионного анализа, в процессе которого оценивается теснота статистической связи между исследуемыми переменными. От тесноты связи зависит прогностическая сила регрессионной модели.

1.3. линейная модель парной регрессии Регрессионный анализ1 занимает ведущее место в статистических методах эконометрики. Основная задача регрессионного анаТермин «регрессия» (латинское regressio движение назад) введен английским статистиком Ф. Гальтоном, который, изучая зависимость между ростом родителей и их детей, обнаружил явление «регрессии к среднему» у детей, родившихся у очень высоких родителей, рост имел тенденцию быть ближе к средней его величине.

лиза заключается в исследовании зависимости изучаемой переменной от различных факторов и отображении их взаимосвязи в форме регрессионной модели.

В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная Y может быть представлена в виде функции f(X1, Х2,..., Хk), где X1, Х2,..., Хk независимые (объясняющие) переменные, или факторы.

Связь между переменной Y и k независимыми факторами X характеризуется функцией регрессии Y = f (X1, Х2,..., Хk), которая показывает, каково будет в среднем значение переменной Y, если переменные Хi примут конкретные значения. Данное обстоятельство позволяет использовать модель регрессии не только для анализа, но и для прогнозирования экономических явлений.

Прогностическая сила регрессионной модели зависит от тесноты связи между зависимой переменной и независимыми факторами, в связи с чем в обязательном порядке до регрессионного анализа следует проводить корреляционный анализ, в процессе которого оценивается теснота статистической связи между исследуемыми переменными.

1.3.1. Регрессионная задача для случая одного факторного признака Пусть имеется набор значений двух переменных: Y = (y1, у2, … yn) объясняемая переменная и Х= (x1, x2, … xn) объясняющая переменная, каждая из которых содержит п наблюдений. Пусть между переменными X и Y теоретически существует некоторая линейная зависимость Это уравнение будем называть «истинным» уравнением регрессии.

Однако в действительности между Y и X наблюдается не столь жесткая связь. Отдельные наблюдения уi будут отклоняться от линейной зависимости в силу воздействия различных причин. Обычно зависимая переменная находится под влиянием целого ряда факторов, в том числе и неизвестных исследователю, а также случайных причин (возмущения и помехи); существенным источником отклонений в ряде случаев являются ошибки измерения. Отклонения от предполагаемой формы связи, естественно, могут возникнуть и в силу неправильного выбора вида уравнения, описывающего эту зависимость. Учитывая возможные отклонения, линейное уравнение связи двух переменных (парную регрессию) представим в виде где постоянная величина (или свободный член уравнения);

коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений; случайная переменная (случайная составляющая, остаток, или возмущение).

Коэффициент регрессии характеризует изменение переменной уi при изменении значения хi на единицу. Если > 0, переменные xi и yi положительно коррелированны, если < 0 отрицательно коррелированны.

Случайная составляющая i отражает тот факт, что изменение yi будет неточно описываться изменением хi, так как присутствуют другие факторы, не учтенные в данной модели.

Таким образом, в уравнении (1.3.1) значение каждого наблюдения уi представлено как сумма двух частей систематической + xi и случайной i. В свою очередь, систематическую часть можно представить в виде уравнения Можно сказать, что общим моментом для любой эконометрической модели является разбиение зависимой переменной на две части объясненную и случайную.

Свойства коэффициентов регрессии существенным образом зависят от свойств случайной составляющей.

1.3.2. Оценка параметров регрессионного уравнения Для оценки параметров регрессионного уравнения наиболее часто используют метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК) дает оценки, имеющие наименьшую дисперсию в классе всех линейных оценок, если выполняются предпосылки нормальной линейной регрессионной модели.

МНК минимизирует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений уi от модельных значений i.

Оценки, находят путем минимизации суммы квадратов по всем возможным значениям и при заданных (наблюдаемых) значениях х1,..., хп, у1,..., уп. Задача сводится к математической задаче поиска точки минимума функции двух переменных. Точка минимума находится путем приравнивания к нулю частных производных функции z = Q(,) по переменным и. Это приводит к системе нормальных уравнений, решением которой является пара и.

Согласно правилам вычисления производных имеем так что искомые значения и удовлетворяют соотношениям системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и которая может быть легко решена, например, методом подстановки. В результате получаем так называемые оценки наименьших Обратим внимание на полученное выражение для параметра [см. формулу (1.3.2)]. Сюда входят выражения, участвовавшие ранее в определении выборочной дисперсии и выборочной ковариации В матричной форме модель парной регрессии имеет вид где Y вектор-столбец размерности п1 наблюдаемых значений зависимой переменной; X матрица размерности п2 наблюдаемых значений факторных признаков (дополнительный фактор х0, состоящий из одних единиц, вводится для вычисления свободного члена); – вектор-столбец размерности 21 неизвестных, подлежащих оценке коэффициентов регрессии; вектор-столбец размерности п1 ошибок наблюдений.

Таким образом, Решение системы нормальных уравнений в матричной форме имеет вид Для того чтобы регрессионный анализ, основанный на обычном методе наименьших квадратов (МНК), давал наилучшие результаты из всех возможных, должны выполняться следующие условия, известные как условия Гаусса Маркова:

1. Математическое ожидание случайной составляющей в любом наблюдении должно быть равно нулю. Условие записывается следующим образом:

Фактически, если уравнение регрессии включает постоянный член, то обычно условие (1.3.4) выполняется автоматически, так как роль константы состоит в определении любой систематической тенденции Y, которую не учитывают объясняющие переменные, включенные в уравнение регрессии.

2. В модели (1.3.1) возмущение i (или зависимая переменная yi) есть величина случайная, а объясняющая переменная xi величина неслучайная. Если это условие выполнено, то теоретическая ковариация между независимой переменной и случайным членом равна нулю.

3. В любых двух наблюдениях отсутствует систематическая связь между значениями случайной составляющей. Если случайная составляющая велика и положительна в одном наблюдении, это не должно обусловливать систематическую тенденцию к тому, что она будет большой и положительной в следующем наблюдении. Случайные составляющие должны быть независимы друг от друга.

В силу того, что M ( i ) = M ( j ) = 0, данное условие можно записать следующим образом:

Возмущения i и j, не коррелированны (условие независимости случайных составляющих в различных наблюдениях). Это условие означает, что отклонения регрессии (а значит, и сама зависимая переменная) не коррелируют. В случае временного ряда yt условие (1.3.5) означает отсутствие автокорреляции ряда t.

4. Дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна для всех наблюдений. Иногда случайная составляющая будет больше, иногда меньше, однако не должно быть априорной причины для того, чтобы она порождала большую ошибку в одних наблюдениях, чем в других.

Постоянная дисперсия обычно обозначается 2() или 2, а условие записывается следующим образом:

Это условие гомоскедастичности, или равноизменчивости, случайной составляющей (возмущения).

Величина 2, конечно, неизвестна. Одна из задач регрессионного анализа состоит в оценке стандартного отклонения случайной составляющей.

Наряду с условиями Гаусса Маркова обычно также предполагается нормальность распределения случайного члена. Дело в том, что если случайный член нормально распределен, то так же будут распределены и коэффициенты регрессии.

В тех случаях, когда предпосылки выполняются, оценки, полученные по МНК, будут обладать свойствами несмещенности, эффективности и состоятельности.

Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание остатков равно нулю. Если оценки обладают свойством несмещенности, то их можно сравнивать по разным исследованиям.

Оценки считаются эффективными, если они характеризуются наименьшей дисперсией. Поэтому несмещенность оценки должна дополняться минимальной дисперсией.

Достоверность доверительных интервалов параметров регрессии обеспечивается, если оценки будут не только несмещенными и эффективными, но и состоятельными. Состоятельность оценок характеризует увеличение их точности с увеличением объема выборки.

1.3.3. Оценка качества уравнения регрессии Качество модели регрессии связывают с ее адекватностью наблюдаемым (эмпирическим) данным. Проверка адекватности (или соответствия) модели регрессии наблюдаемым данным проводится на основе анализа остатков ei.

После построения уравнения регрессии мы можем разбить значение Y в каждом наблюдении на две составляющие и ei:

Остаток ei представляет собой отклонение фактического значения зависимой переменной от ее значения, полученного расчетным путем:

Если ei = 0 (i = 1, n), то для всех наблюдений фактические значения зависимой переменной совпадают с расчетными (теоретическими) значениями. Графически это означает, что теоретическая линия регрессии (линия, построенная по функции i = + xi) проходит через все точки корреляционного поля, что возможно только при строго функциональной связи. Следовательно, результативный признак Y полностью обусловлен влиянием фактора X.

На практике, как правило, имеет место некоторое рассеивание точек корреляционного поля относительно теоретической линии регрессии, т.е. отклонения эмпирических данных от теоретических (e 0). Величина этих отклонений и лежит в основе расчета показателей качества (адекватности) уравнения регрессии.

При анализе качества модели регрессии используется основное положение дисперсионного анализа, согласно которому общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от среднего значения может быть разложена на две составляющие объясненную и не объясненную уравнением регрессии:

Коэффициент детерминации определяют следующим образом:

Данный коэффициент показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, т.е. определяет, какая доля вариации признака учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов.

Чем ближе R2 к единице, тем выше качество модели.

Для оценки качества регрессионных моделей целесообразно также использовать коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции):

Данный коэффициент универсален, так как он отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных.

Для парной модели регрессии индекс корреляции равен коэффициенту парной корреляции:

Очевидно, что чем меньше влияние неучтенных факторов, тем лучше модель соответствует фактическим данным.

Для оценки качества регрессионных моделей используется также средняя относительная ошибка аппроксимации:

Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации;

Eотн < 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.

После того как уравнение регрессии построено, выполняется проверка значимости построенного уравнения в целом и отдельных параметров.

Во-первых, необходимо оценить значимость уравнения регрессии, т.е. установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между Y и X, фактическим данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных X для описания зависимой переменной Y.

Оценка значимости уравнения регрессии позволяет узнать, пригодно уравнение регрессии для практического использования (например, для прогноза) или нет. При этом выдвигают основную гипотезу о незначимости уравнения в целом, которая формально сводится к гипотезе о равенстве нулю параметров регрессии, или, что то же самое, о равенстве нулю коэффициента детерминации: R2 = 0.

Альтернативная гипотеза о значимости уравнения гипотеза о неравенстве нулю параметров регрессии.

Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера, вычисляемый как отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение c1 = k и 2 = n – k – 1 степенями свободы, где k количество факторов, включенных в модель, больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты S е, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине (n – k – 1), где k количество факторов, включенных в модель. Квадратный корень из этой величины называется стандартной ошибкой:

Для модели парной регрессии Во-вторых, необходим анализ статистической значимости параметров модели парной регрессии yi = + xi + ei.

Значения yi, соответствующие данным xi, при теоретических значениях и, являются случайными. Случайными являются и рассчитанные по ним значения коэффициентов и.

Надежность получаемых оценок и зависит от дисперсии случайных отклонений (ошибок). По данным выборки эти отклонения и, соответственно, их дисперсия не оцениваются в расчетах используются отклонения зависимой переменной yi от ее расчетных значений i.

Так как ошибки (остатки) ei нормально распределены, то среднеквадратическое отклонение ошибок используется для измерения этой вариации.

Среднеквадратические отклонения коэффициентов известны как стандартные ошибки коэффициентов:

где х среднее значение независимой переменной х; Se стандартная ошибка, вычисляемая по формуле (1.3.13).

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t-статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

Затем расчетные значения tрасч сравниваются с табличными tтабл.

Табличное значение критерия определяется при (п – 2) степенях свободы (п число наблюдений) и соответствующем уровне значимости.

Если расчетное значение t-критерия с (п – k – 1) степенями свободы больше его табличного значения при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, должен быть исключен из модели, а оставшиеся в модели параметры пересчитаны.

1.4. Модель множественной регрессии В экономической жизни каждый отдельно взятый фактор, как правило, не определяет изучаемое явление во всей полноте. На состояние любого экономического объекта постоянно воздействует большое количество других, менее важных или трудно идентифицируемых факторов. Это приводит к отклонению значений объясняемой (зависимой) переменной от конкретной формулы ее связи с объясняющими переменными, сколь бы точной эта формула ни была. Только комплекс факторов в их взаимосвязи может дать более или менее полное представление о характере поведения изучаемого явления.

Поиск, исследование и анализ различных связей экономических показателей, идентификация множества объясняющих переменных, построение формул зависимости и оценка параметров модели множественной регрессии являются важнейшими этапами, составляющими суть научного подхода к моделированию экономических процессов.

Множественность и сложность связей экономических переменных создают проблему построения модели множественной регрессии и заставляют исследователя ограничиваться в процессе моделирования совокупностью таких факторов, которые определяют главные тенденции в изменении рассматриваемого явления (показателя).

Процесс создания многофакторной модели является своего рода искусством, творчеством, умением понимать и учитывать внутренние законы развития, причинно-следственные связи и взаимообусловленность экономических явлений, на практике может оказаться достаточно длительным и сложным. Очень редко первое оцененное уравнение зависимости экономических переменных является удовлетворительным во всех отношениях. Обычно исследователю приходится постепенно подбирать состав объясняющих переменных и формулу связи, анализируя на каждом этапе качество оцененной зависимости.

Формально решить задачу построения модели множественной регрессии можно лишь в том случае, когда количество наблюдений n превышает число независимых факторов k и, по крайней мере, выполняется неравенство n k + 1. Положительная разность (n – k – 1) называется числом степеней свободы. Если это число мало, то статистическая надежность оцениваемой формулы не будет высокой.

Поэтому обычно при оценке множественной регрессии требуется, чтобы число наблюдений не менее, чем в 3 раза превосходило количество объясняющих переменных х.

При построении модели множественной регрессии для отображения зависимости между объясняемой переменной Y и независимыми (объясняющими) переменными Х1, Х2,..., Хk могут использоваться показательная, параболическая и многие другие функции.

Однако наибольшее распространение получили модели линейной взаимосвязи, когда факторы входят в модель линейно.

Если установлено, что связь исследуемого показателя и отобранных факторов носит линейный характер (что подтверждают результаты корреляционного анализа), то уравнение линейной модели множественной регрессии имеет вид где k – количество включенных в модель факторов, – остаточная компонента, которая используется для оценки качества построенной модели.

Коэффициент регрессии аj показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную Xj, увеличить на единицу измерения, т.е. аj, является нормативным коэффициентом.

Анализ уравнения (1.4.1) и методика определения параметров становятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи уравнения (1.3.3):

где Y это вектор зависимой переменной размерности п 1, представляющий собой п наблюдений значений уi; X матрица п наблюдений независимых переменных Х1, Х2,..., Хk, размерность матрицы X равна п (k + 1); подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности (k + 1) 1; вектор случайных отклонений (возмущений) размерности п 1.