Министерство образования и науки Российской Федерации

Сибирский федеральный университет

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЭНЕРГЕТИКИ

Часть 1

Учебно-методическое пособие

Электронное издание

Красноярск

СФУ

2012

УДК 621.311.1(07)

ББК 31.27я73

М34

Составитель: А.А. Герасименко

Рецензент: А.В. Бастрон, канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой «Электроснабжение сельского хозяйства» КрасГАУ М34 Математические задачи энергетики. Ч.1: учеб.-метод. пособие [Электронный ресурс] / сост. А.А. Герасименко. – Электрон. дан. – Красноярск:

Сиб. федер. ун-т, 2012. – Систем. требования: PC не ниже класса Pentium I; 128 Mb RAM; Windows 98/XP/7; Adobe Reader V8.0 и выше. – Загл. с экрана.

Учебно-методическое пособие содержит математическую постановку, математическое моделирование ряда задач электроэнергетики и основные методы их решения, реализуемые на ЭВМ.

Предназначено для студентов заочной формы обучения специальности 140200.65 «Электроэнергетические системы и сети» и бакалавров направления 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника».

УДК 621.311.1(07) ББК 31.27я © Сибирский федеральный университет, Учебное издание Подготовлено к публикации редакционно-издательским отделом БИК СФУ Подписано в свет 03.04.2012 г. Заказ 8587.

Тиражируется на машиночитаемых носителях.

Редакционно-издательский отдел Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, Тел/факс (391)206-21-49. E-mail [email protected] http://rio.sfu-kras.ru  

1. ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЭНЕРГЕТИКИ»

1.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Настоящая программа отражает содержание прикладной математической подготовки студентов электроэнергетических специальностей, обучающихся по направлению инженер (специалист) и бакалавр, а также может использоваться магистрантами смежных инженерных и бакалаврских специальностей, экономических и педагогических специальностей энергетического профиля.

Программа составлена на основе учебного плана и типовой программы курса «Математические задачи энергетики» (индекс УМУ-Т-6/223), утверждённой учебно-методическим управлением по высшему образованию, и отражает многолетний опыт преподавания данной дисциплины на кафедре «Электрические станции и электроэнергетические системы» Сибирского федерального университета.

Цель курса – связать чистую (теоретическую) математику как общетехническую дисциплину с прикладкой (инженерной) математикой, подготовить студентов к углублённому изучению специальных инженерных дисциплин, базирующихся на прикладной математике, изучить теоретические основы математических задач, встречающихся в электроэнергетике, дать представления о математических методах и приёмах решения важнейших задач эксплуатации и развития электрических систем.

Курс содержит математическую постановку, математическое моделирование ряда задач электроэнергетики и основные методы их решения, реализуемые на ЭВМ.

В соответствии с учебным планом-графиком часы и формы контроля по курсу распределяются следующим образом:

Порядок выполнения заданий Количество часов по месяцам лабор. практ. завсего лекций 2 3 4 5 занятий нятий – 1 зад. 2 зад.

Уст.

68 10 – 10 Зач. (экз.) зан. Тек. консультации В настоящее время отсутствует учебник или учебное пособие, полностью отражающее все разделы типовой программы, поэтому необходимо обращаться к приводимому ниже расширенному перечню литературы.

Рекомендуемая литература 1. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний.

2003. – 632 с.

2. Устинов, С. М. Вычислительная математика / С. М. Устинов, В. А. Зимницкий. – СПб.: БХВ-Петербург, 2009. – 336 с.

3. Лапчик, М. П. Численные методы / М. П. Лапчик, М. И. Рагулина, Е. К. Хеннер; под ред. М. П. Лапчика. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 334 с.

4. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. – 7-е изд., стер.

– М.: Наука. – 2007. – 576 с.

5. Герасименко, А. А. Математические методы решения инженерных задач электроэнергетики. Учебное пособие/ А.А. Герасименко. – Красноярск:

КГТУ, 1995. –160 с.

Дополнительная:

6. Герасименко, А. А. Передача и распределение электрической энергии / А. А. Герасименко, В. Т. Федин. – 3-е изд., перераб. – М.: КНОРУС, 2012. – 7. Герасименко, А. А. Применение ЭЦВМ в электроэнергетических расчётах. Учебное пособие / А. А. Герасименко. – Красноярск: КрПИ, 1983. – 8. Липес, А. В. Математические задачи энергетики. Учебное пособие / А. В. Липес. – Свердловск: УПИ, 1980. – 84 с.

9. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики / Под ред. В. А. Веникова. – М.: Высшая школа, 1981. – 288 с.

10. Фаддеев, М. А. Основные методы вычислительной математики / М. А. Фаддеев, К. А. Марков. – Санкт-Петербург–Москва–Краснодар: Лань, 2008. – 156 с.

11. Копчёнова, Н. В. Вычислительная математика в примерах и задачах / Н. В. Копчёнова, И. А. Марон. – Санкт-Петербург–Москва–Краснодар: Лань, 2009. – 368 с.

12. Аоки, М. Введение в методы оптимизации / М. Аоки. – М.: Наука.

1997. – 344 с.

13. Идельчик, В. И. Расчёты установившихся режимов электрических систем / Под ред. В. А. Веникова. – М.: Энергия, 1977. – 192 с.

14. Щуп, Т. Решение инженерных задач на ЭВМ / Т. Щуп. – М.: Мир, 1982. – 238 с.

15. Программно-вычислительный комплекс расчёта установившихся режимов электрических систем / А. Э. Бобров, А. А. Герасименко, В. Н. Гиренков, В. В. Нешатаев. – Красноярск: КГТУ, 1999. – 112 с.

16. Венттцель, Е. С. Теория вероятностей и её инженерные приложения / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – 4-е изд., стер. – М.: Наука, 2007. – 492 с.

17. Идельчик, В. И. Электрические системы и сети. Учебник / В. И. Идельчик. М.: Издательский дом Альянс, 2009. – 592 с.

1.2. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Для улучшения организации самостоятельной работы, в частности, при изучении дисциплины заочно, разделы рабочей программы сопровождаются адресацией с указанием параграфов или страниц учебного материала в рекомендуемой литературе.

РАЗДЕЛ 1. Решение уравнений установившегося режима Уравнения узловых напряжений (УУН) и контурных токов (УКТ), описывающие установившийся режим работы электрической системы.

Матрицы, используемые для записи и решения УУН и УКТ. Матрицы соединений, независимых контуров, взаимных проводимостей и сопротивлений.

Графы схем и графы матриц. Дуальные преобразования графов. Деревья и хорды графа. Анализ электрической цепи по свойствам графа схемы цепи и графа матрицы её параметров.

Решение системы уравнений узловых напряжений. Линеаризация системы уравнений узловых напряжений.

Решение линеаризованных уравнений узловых напряжений с помощью обращения матриц проводимостей. Матрица сопротивлений. Трудности получения и использования обратной матрицы.

Применение метода Гаусса для решения линеаризованных уравнений узловых напряжений. Использование слабой заполненности матрицы.

Применение методов простой итерации, Зейделя и Ньютона для решения нелинейной и линейной системы УУН.

Сравнение различных методов решения уравнений установившегося режима электрической системы. Учёт случайных колебаний нагрузки в методах расчётов установившихся режимов.

Литература: [1, с. 250–261, гл. 6: §§ 3, 4, 7; гл. 7: с. 325–337], [2, §§ 2.1–2.3, 3.1, 3.2], [3, §§ 2.1–2.3, 2.4.2, 2.4.4, 3.1, 3.2, 3.4, 3.5], [5, гл. 3], [6, гл. 8], [7, гл. 1, 2], [8, §§ 1.1, 1.2, 2.6, 2.7, 3.1–3.6, 3.9, 4.12], [9, §§ В1–В5, §§ 1.1–1.5, гл. 2], [10, гл. 4, 6, 7], [11, гл. 3: §§ 1, 2, 4, 7–10; гл. 4: §§ 3, 4 ], [13, гл. 2, 3; §§ 6.2, 6.3], [14, §§ 1.4–1.5; гл. 2], [17, гл. 9].

Расчёт установившихся режимов электрических систем (ЭС) требует решения нелинейных уравнений, описывающих эти режимы. Выделите следующие способы описания установившихся режимов ЭС:

а) непосредственно по первому и второму законам Кирхгофа. Система таких уравнений содержит n (число независимых узлов) уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа и k (число независимых контуров) уравнений, записываемых по второму закону Кирхгофа. Число уравнений равно числу ветвей: m = n + k;

б) уравнения установившихся режимов (УУР), записываемые через матрицы соединений (инциденций). Последние представляют предыдущие уравнения в матричной форме;

в) уравнения узловых напряжений (УУН), получаемых из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Токи в ветвях выражаются через напряжения узлов по закону Ома. Число таких уравнений равно числу независимых узлов n;

г) уравнения контурных токов (УНТ). Эти уравнения формируются по второму закону Кирхгофа. Число таких уравнений равно числу независимых контуров k.

Уясните, каким образом формируются УУР по первому и второму законам Кирхгофа, используя формальный подход с помощью аналитического представления схем ЭС элементами теории графов и матричной алгебры.

Научитесь составлять матрицы соединений, изучите их свойства, запишите первый и второй законы Кирхгофа, обобщённое уравнение состояния, используя матрицы инциденций узлов-ветвей и контуров-ветвей.

Сформируйте и запишите матрицы узловых проводимостей и контурных сопротивлений, используя матрицы инциденций и без них в обычной форме непосредственно по схеме ЭС. Основные свойства этих матриц – слабая заполненность и симметричность относительно главной диагонали.

Изучите уравнения узловых напряжений как наиболее широко используемые для описания установившихся режимов ЭС и легко реализуемые на ЭВМ.

Выведите УУН в форме баланса токов и баланса мощностей, представьте эти уравнения в канонической (координатной) и матричной формах.

Отметим, что контурные уравнения хотя и имеют меньшее число неизвестных, в отличие от УУН, выделение независимых контуров для сложных ЭС более трудоёмко, чем формирование матрицы проводимостей. Контурные уравнения отражают только элементы замкнутой ЭС. Укажите наиболее целесообразную область применения контурных уравнений. УУН и УКТ обладают одинаковой структурой, что позволяет использовать одинаковые методы их решения.

Для определения параметров установившихся режимов ЭС необходимо решить нелинейные УУН. Рассмотрите факторы, обуславливавшие нелинейность УУН и решение полученных систем линейных уравнений (СЛУ) прямыми (точными) или итерационными (приближёнными) методами. Для выполнения линеаризации УУН воспользуйтесь разложением нелинейных функций нагрузки в ряд Тейлора, ограничиваясь только линейными элементами. Выделите прямые и итерационные методы решения СЛУ, отметьте главное отличие методов этих групп друг от друга.

Методы ZY - матрицы, Зейделя и Ньютона нашли широкое применение в расчётах режимов ЭС на ЭВМ. Применение матрицы собственных и взаимных сопротивлений узлов ZY наиболее эффективно в расчётах ЭС с неизменными (или мало изменяющимися) схемой и параметрами сети и изменяющимися нагрузками в узлах. Укажите недостатки применения матрицы ZY.

Из прямых методов решения СЛУ наиболее эффективным при расчёте режимов ЭС является метод Гаусса и алгоритмически аналогичные ему методы.

Рассмотрите основы применения итерационных методов Зейделя, Ньютона, т. е. условия существования, единственности и сходимости решения УУР.

Уясните преимущества и недостатки методов, показатели которых характеризуют указанные качества, области и условия наиболее эффективного применения различных методов решения нелинейных УУР.

При изучении итерационных методов решения нелинейных УУР особое внимание следует уделить методу Ньютона, как наиболее эффективному и широко применяемому в практических алгоритмах расчёта режимов ЭС. Главное его преимущество перед другими – высокая сходимость к решению. Сначала рассмотрите метод решения нелинейного уравнения одной переменной (метод касательных), затем получите рекуррентное выражение метода для решения системы нелинейных уравнений и запишите его в матричном виде. Получите матрицы Якоби и укажите их свойства для УУН в форме баланса токов и баланса мощностей. Основное свойство этих матриц, как и матриц проводимостей – слабая заполненность (высокая разрежённость). Сравните матрицы Якоби и узловых проводимостей, проанализируйте их свойства.

Необходимо уяснить, что в практических алгоритмах расчёта режимов ЭС предусматривается учёт слабой заполненности названных матриц, отметить цели такого учёта и возникающие при этом особенности при применении прямых и итерационных методов.

Изучая численные методы решения УУР, следует сравнить методы по сходимости (числу итераций), трудоёмкости каждой итерации, требуемой памяти ЭВМ. Дайте краткую характеристику наиболее широко распространённым программам расчёта установившихся режимов, использующим различные численные методы решения УУР.

РАЗДЕЛ 2. Применение понятий функционального анализа для исследования уравнений установившегося режима Линейные преобразования и нормированные векторные пространства.

Определение и свойства линейного пространства. Определение нормы вектора как обобщённого понятия длины. Расстояние в нормированных пространствах.

Норма матрицы. Различные способы определения нормы. Скалярное произведение векторов. Ортогональные векторы. Операция проецирования вектора на подпространство, матрица проектирования. Операция проецирования и метод наименьших квадратов.

Применение нормы матрицы и проецирования на подпространство для анализа УУН. Применение нормы матрицы узловых напряжений для оценки сходимости итерационных процессов решения уравнений узловых напряжений.

«Переопределённые» системы уравнений узловых напряжений и их решение методами наименьших квадратов. Применение метода «наименьших квадратов» для решения уравнений узловых напряжений при вероятностно заданных нагрузках.

Собственные числа и векторы линейного преобразования. Определение и физический смысл собственных чисел и векторов линейного преобразования.

Представление линейного преобразования в виде суммы преобразований, соответствующих собственным векторам. Проецирование на подпространство первых собственных векторов. Приближённое представление матрицы узловых проводимостей с помощью собственных векторов и приближённое решение уравнений узловых напряжений.

Литература: [1, §§ 12, 13]; [2, §§ 2.5; прил. 2, П3.1–3.3]; [5, гл. 2];

[8, § 3.10, 4.1–4.11]; [12, §§ 1.1, 1.3, 1.5]; [13, § 3.1];

[14, §§ 3.1–3.3]; [9, прил. 1]; [10, гл. 5, 6].

Изучение этого раздела базируется на основных понятиях линейных пространств, позволяющих выявить некоторые новые свойства матриц и векторов, часто используемых в прикладном анализе для решения и исследования систем линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений. Рассмотрите и уясните определения линейного и евклидова пространств. Если ни один из векторов не является линейной комбинацией остальных, то эти векторы называются независимыми. Число последних определяет размерность линейного пространства. Отразите аналитически свойство независимых векторов, приведите определение базиса пространства.

Уясните понятие нормирования, определение скалярного (малого) произведения векторов, условия ортогональности векторов. Вектор нормализован, если он имеет единичную длину. Либо вектор можно нормализовать путём деления каждого из его элементов на длину вектора. Малое произведение представляет собой скаляр, равный сумме произведений одинаковых по расположению элементов двух исходных векторов. Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

Метод наименьших квадратов является одним из способов определения вектора математических ожиданий случайных величин и основан на минимизации суммы квадратов отклонений.

Характер итерационного процесса решения УУН зависит от свойств матрицы коэффициентов уравнений. Эти свойства достаточно ёмко выражаются через собственные числа (значения) матриц коэффициентов (линейных преобразований). Процесс простой итерации и метода Зейделя сходится, если все собственные числа по модулю меньше единицы.

Научитесь вычислять собственные числа и соответствующие им собственные векторы. Кратко свойства собственных чисел и соответствующих собственных векторов можно сформулировать так:

а) сумма собственных чисел равна сумме элементов главной диагонали матрицы;

б) произведение собственных чисел равно определителю матрицы;

в) количество ненулевых собственных чисел равно рангу матрицы;

г) собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, ортогональны между собой.

Геометрически собственные векторы можно интерпретировать как оси эллипсоида. При этом максимальному собственному вектору соответствует максимальная по длине ось эллипсоида. Выделите полезные обобщения указанной интерпретации собственных чисел и собственных векторов.

Симметричные матрицы, например, матрицу узловых проводимостей Y, можно разложить по собственным числам и векторам. Ценность такого разложения состоит в возможности приближённого представления (моделирования) матриц большой размерности вместо их непосредственного хранения в ЭВМ, чем достигается экономия памяти ЭВМ. В этом случае матрица представляется взвешенной суммой матриц. Каждая, обладая аппроксимационными свойствами, элементарно определяется главным (внешним) произведением собственных векторов. В качестве весов, учитывающих вклад этих матриц в моделируемую, служат соответствующие собственные числа. Преимущества такого моделирования особенно ощутимы для ЭС большой размерности. Достаточная точность моделирования при учёте ограниченного числа собственных векторов: p 2–5, причём p m, то СЛУ имеет не одно, а множество решений. Каждое решение определяется компонентами подвектора независимых (небазисных) переменных. Размер подвектора Y определяется числом d = n – m. Последнее называется количеством степеней свободы. В связи с этим дайте определение независимых и базисных переменных. В случае n < m СЛУ не имеет решений. Такие системы уравнений называются переопределёнными или противоречивыми.

РАЗДЕЛ 3. Решение уравнений электромеханических переходных Дифференциальные уравнения электромеханических переходных процессов в одномашинной и многомашинной системах. Их численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутта.

Точки равновесия, система дифференциальных уравнений движения ротора. Исследование устойчивости движения в окрестности этих точек. Метод малых колебаний. Линеаризация дифференциальных уравнений. Применение первого метода Ляпунова для оценки устойчивости положения равновесия.

Понятие о структурном анализе системы дифференциальных уравнений.

Структурные схемы и характеристики её элементов. Получение передаточной функции системы по её структурной схеме, влияние обратной связи. Частотные коэффициенты усиления, частотные характеристики системы.

Методы оценки статистической устойчивости состояний равновесия линеаризованных систем дифференциальных уравнений. Характеристический определитель и его корни. Методы приближённого определения корней.

Алгебраические критерии устойчивости Гаусса и Гурвица. Принцип аргумента и частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста. Критерий D-разбиения. Применение алгебраических и частотных критериев для анализа устойчивости положения равновесия электромеханической системы.

Определение характера протекания переходных процессов в малом и их оценка. Построение переходного процесса по заданной передаточной функции системы. Оценка переходного процесса по расположению нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы. Степень устойчивости. Метод корневых годографов. Построение переходного процесса по частотным характеристикам. Метод приближённого построения переходного процесса по вещественным частотным характеристикам.

Понятие об устойчивости простейшей электромеханической системы в большом. Анализ устойчивости вторым методом Ляпунова. Пример использования этого метода для определения динамической устойчивости одномашинной системы. Предел устойчивости передачи. Влияние случайного характера исходных данных на точность определения предела устойчивости.

Литература: [1, гл. 8: §§ 1–4]; [2, §§ 4.1–4.3]; [3, §§ 6.1, 6.3–6.5];

[5, гл. 4]; [9, гл. 4, 5, 7]; [11, гл.8: §§ 1–7]; [14, §§ 4.1–4.3].

При изучении данной темы необходимо уяснить условия возникновения переходных процессов, их виды и свойства. Переходные процессы в ЭС возникают при действии возмущения. По своей природе эти возмущения могут иметь характер малых естественных колебаний (флуктуаций) режима ЭС. Например, включение и отключение электропотребителей небольшой по отношению к ЭС мощности, отключение слабозагруженных линий электропередачи и т. п. Наряду с малыми возмущениями в ЭС могут возникать и большие возмущения: короткие замыкания, приводящие к отключению элементов ЭС, резкие толчковые нагрузки, отключения загруженных элементов ЭС и т. п.

Статическая устойчивость (устойчивость в малом) – это способность ЭС восстанавливать исходный нормальный режим работы при малых возмущениях. Способность ЭС восстанавливать режим, близкий к нормальному при резких возмущениях, свидетельствует о динамической устойчивости (устойчивости в большом).

Математические модели, описывающие переходные процессы в ЭС, как правило, представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения. Нелинейность последних обусловлена нелинейностью физических закономерностей, описывающих процессы. Общий анализ системы сильно затруднён, поэтому основным методом исследования задач устойчивости является метод малых колебаний, основанный на линеаризации нелинейной системы уравнений.

Эта процедура может выполняться при малых отклонениях от исходного режима с помощью разложения нелинейности в ряд Тейлора. Рассмотрите условия, при которых возможны линеаризация и изучение поведения ЭС по линеаризованным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Уясните общий подход к решению дифференциальных уравнений численными методами. Геометрически метод численного решения дифференциальных уравнений можно интерпретировать как замену реальной интегральной кривой конечным числом прямолинейных отрезков. Уменьшение возникающей в результате такой аппроксимации ошибки достигается за счёт уменьшения шага интегрирования. При неизменном полном времени интегрирования это ведёт к удлинению счёта. Уясните отличия одношаговых и многошаговых методов интегрирования.

Наиболее простым методом интегрирования является метод Эйлера (метод первого порядка), использующий только линейные члены разложения ряда Тейлора. Рассмотрите способы совершенствования и модификации метода, отметив при этом, что существует семейство методов Рунге-Кутта; последние согласуются с разложением Тейлора до членов более высоких порядков, чем метод Эйлера, что позволяет более полно описать переходный процесс. Отметьте недостатки методов, способ автоматического выбора шага интегрирования.

Великий русский математик А. М. Ляпунов обосновал правомерность суждения об устойчивости реальных ЭС по упрощённым линеаризованным системам уравнений. Усвойте определение устойчивости по Ляпунову, согласно которой анализируются общие свойства решений этих уравнений.

Если корни характеристического уравнения являются вещественными и отрицательными, то состояние ЭС асимптотически устойчиво.

Следует обратить внимание, что значения корней характеристического уравнения указывает не только на устойчивость или неустойчивость системы, но и позволяют определить характер протекания переходных процессов во времени. Однако определение корней характеристического уравнения третьего и более высоких порядков задача достаточно трудная. Анализ статической устойчивости значительно упрощается с помощью ряда критериев и методов, не требующих трудоёмкого решения характеристического уравнения для определения величины его корней. В этой связи необходимо рассмотреть алгебраические критерии устойчивости (Гурвица, Рауса), позволяющие по знакам и соотношениям коэффициентов характеристического уравнения провести анализ устойчивости. Статическая устойчивость системы обеспечивается, если все корни характеристического алгебраического уравнения располагаются в левой полуплоскости. Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы были положительными все левые диагональные миноры определителя Гурвица, составленного из коэффициентов рассматриваемого алгебраического уравнения. Изучите правило составления такого определителя. Условие устойчивости ЭС, положительности самого определителя Гурвица, соответствует условию положительности всех коэффициентов характеристического уравнения и предпоследнего определителя Гурвица. Уясните различные формулировки частотного критерия Михайлова, свойства годографа (кривой Михайлова), очертания которого позволяют судить об устойчивости и границах устойчивости системы.

Отметьте основное отличие метода D-разбиения от алгебраических и частотных методов, укажите область целесообразного его применения. Обратите внимание на штриховку границ разбиения, проверку выбранной области на принадлежность её к области устойчивости.

Изучив методы анализа и синтеза устойчивости, систематизируйте основные положения и критерии устойчивости.

Основной характеристикой звеньев регулируемой ЭС является передаточная функция, которая определяет соотношение между входными и выходными величинами звена. Рассмотрите передаточные функции элементарных звеньев систем автоматического регулирования. Имея передаточные функции отдельных звеньев, можно получить передаточную функцию для системы автоматического регулирования.

Линеаризованные уравнения приемлемы для анализа устойчивости ЭС в узких (малых) пределах изменения её параметров, что является недостатком таких уравнений. Для решения вопроса об устойчивости ЭС переходят к более полному её описанию. В этом случае включают в рассмотрение неучтённые ранее члены высших порядков малости или используют методы анализа устойчивости движения, не связанные с уравнениями первого приближения. В частности, используют прямой метод анализа динамической устойчивости ЭС (устойчивости В большом) – второй метод Ляпунова. Его применение возможно, если для рассматриваемой системы известен вид некоторой функции реальных переменных – функции Ляпунова. Рассмотрите пример использования этого метода для определения динамической устойчивости одномашинной системы.

Одномашинной называется электрическая система, в которой синхронный генератор работает через передачу на шины неизменного напряжения.

РАЗДЕЛ 4. Основные понятия математического программирования Выпуклые функции и множества. Определение выпуклой функции и выпуклого множества. Различные способы проверки выпуклости. Совпадение локального и глобального экстремумов выпуклой функции, заданной на выпуклом множестве.

Основные понятия линейного программирования и его применения в энергетике. Формулировка задачи линейного программирования. Каноническая форма. Базисное решение. Симплекс – алгоритм улучшения базисного решения. Вспомогательная задача линейного программирования. Блок-схема алгоритма симплекс-метода решения общей задачи линейного программирования с ограничениями вида равенств. Учёт неравенств в задаче линейного программирования. Ограниченные сверху переменные. Транспортная задача линейного программирования для решения энергетических задач. Понятие о задачах распределения топливно-энергетических ресурсов, размещения новых электростанций, разбиение сети системы на подсети.

Задача выпуклого программирования. Необходимые и достаточные условия решения задачи выпуклого программирования (условия Куна-Таккера).

Применение итерационных методов решения нелинейных уравнений для решения задачи выпуклого программирования без ограничений. Применение штрафных функций для сведения задачи нелинейного программирования к задаче без ограничений. Двойственность и множители Лагранжа. Алгоритмы градиентных методов решения задачи нелинейного программирования. Применение методов выпуклого программирования для минимизации функций произвольного вида. Применение методов выпуклого программирования для решения энергетических задач. Понятие о решении задачи развития электрической сети, оптимизации установившегося режима системы и т. д.

Задача дискретного программирования и её применение в энергетике.

Применение метода ветвей и границ для решения дискретных задач. Динамическое программирование. Применение методов дискретного программирования для решения задачи развития сети электрической системы.

Вероятностный характер оптимизационных электроэнергетических задач.

Применение методов математической статистики для прогнозирования нагрузок и стоимостей элементов электрической системы в оптимизационных задачах. Применение методов стохастического программирования для решения оптимизационных задач.

Литература: [2, гл. 5]; [8, гл. 5]; [12, §§ 1.2, 1.4, 1.7, с. 115–126, §§ 4.4, 4.6, с. 191–196, § 5.6]; [14, §§ 6.1–6.4, 7.1–7.5, 7.10–7.13].

Математическое программирование – область математики, объединяющая различные математические методы и дисциплины, позволяющие решать задачи отыскания наилучшего (оптимального) по какому-либо критерию объекта или процесса. Примером таких задач могут быть следующие задачи эксплуатации и развития ЭС: определение оптимального режима работы генераторов электрических станций, компенсирующих и регулирующих устройств, оптимальный выбор мест расположения электрических станций, конфигурации сетей ЭС и многие другие. За критерий качества (целевую функцию) принимают функции, характеризующие, например, материальные, денежные, трудовые ресурсы, надёжность функционирования ЭС, влияние на окружающую среду и др. Таким образом, общая задача математического программирования состоит в нахождении оптимального (в зависимости от вида задачи максимального или минимального) значения целевой функции, причём значения переменных, определяющие оптимальное значение целевой функции, должны принадлежать некоторой допустимой области. В названных задачах электроэнергетики такими переменными можно назвать, например, параметры состояния ЭС (напряжения, токи, мощности), параметры схемы ЭС (сечения проводов, мощности трансформаторов, генераторов, диапазоны изменения коэффициентов трансформации) и др. Естественно, что переменные в практических задачах не могут принимать произвольных, неограниченных значений. Они должны находиться в определённых (допустимых) диапазонах или принимать ограниченное число значений, т. е. наилучшее (оптимальное) значение целевой функции отыскивается на допустимом множестве значений определяющих её переменных.

Приведите формулировку задачи математического программирования, записав её в наиболее общей форме. Большинство практических задач имеет несколько или множество решений. Целью оптимизации является нахождение наилучшего решения среди многих потенциально возможных в соответствии с некоторым критерием эффективности или качества. Совокупность оптимальных значений переменных и оптимального значения целевой функции составляют оптимальное решение задачи математического программирования. Главная особенность задач такого класса, качественно усложняющая процедуру нахождения экстремума – наличие ограничений. Аппарат математического анализа позволяет находить безусловный локальный экстремум функции, не учитывая ограничений.

Опишите свойства целевых функций и ограничений. Дайте определение унимодальной (одноэкстремальной) и мультимодальной (многоэкстремальной) функций, локального (относительного) и глобального (абсолютного) экстремумов, выпуклости и вогнутости функций множеств.

В задачах математического программирования различают следующие виды ограничений: линейные и нелинейные, простые и функциональные, строгие и нестрогие, активные (связывающие) и пассивные.

Учитывая свойства целевых функций функциональных ограничений, можно произвести классификацию задач математического программирования и используемых для их решения методов линейного, нелинейного и динамического программирования. Задача, в которой все фигурирующие при её описании функции линейны, называется задачей линейного программирования. В противном случае имеет место задача нелинейного программирования. В ряде задач линейного и нелинейного программирования оптимальное решение зависит от времени – от нескольких периодов (этапов). При решении таких задач (они называются многоэтапными) необходимо учитывать поэтапное развитие процесса. Это, например, задача распределения ресурсов между энергопредприятиями по годам планируемого периода. Метод решения задач такого рода составляет сущность динамического программирования. В зависимости от вида и свойств оптимизируемых переменных разделяют методы непрерывного, дискретного, целочисленного и стохастического программирования.

Одним из универсальных методов линейного программирования является симплексный метод, который эффективен при исследовании математической модели общей задачи линейного программирования, заданной в канонической форме. Последняя записывается в виде задачи минимизации (максимизации) целевой функции на множестве решений, ограниченных функциональными ограничениями типа равенства при неотрицательности переменных. Симплексный метод основан на решении СЛУ, описывавших ограничения типа равенства, и выделении подмножества решений с неотрицательными значениями переменных. Рассмотрите приёмы, позволяющие произвольную задачу линейного программирования свести к канонической форме. Дайте определение базисных (зависимых) и небазисных (независимых) переменных, базисного решения. Допустимые базисные решения лежат на вершинах допустимого многоугольника.

Необходимо отметить, что у задачи линейного программирования в канонической форме количество базисных – решений, среди которых только одно оптимальное – может быть очень большим. Поиск оптимального решения осуществляется упорядоченным перебором допустимых базисных решений.

Одной из самых распространённых разновидностей задач линейного программирования специального вида является транспортная задача. Приведите геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования. Для более глубокого понимания и усвоения методов запишите математическую постановку прикладной задачи линейного программирования, например, оптимальной перевозки топлива от угольных бассейнов к станциям.

Большинство реальных задач не может быть адекватно описано с помощью моделей линейного программирования из-за нелинейности целевой функции и ограничений. Приведите характеристику задачи выпуклого программирования, её основные свойства, отметьте глобальность локального минимума в этой задаче.

Прежде чем рассматривать методы решения задач нелинейного программирования, усвойте алгоритмы нахождения экстремума функций без учёта ограничений, т. е. отыскания безусловного экстремума функций одной и многих переменных, отметьте необходимые и достаточные условия наличия безусловного локального экстремума одной и многих переменных.

Условия экстремума позволяют не только проверить, представляют ли некоторые точки экстремум функции, но и служат инструментом для эффективного отыскания её экстремума. Уясните условия стационарности, позволяющие свести задачу отыскания экстремумов функции к задаче отыскания корней нелинейных уравнений. Последние получаются путём приравнивания к нулю частных производных от целевой функции по оптимизируемым переменным. Численные методы решения систем нелинейных уравнений рассмотрены в разд. 1. Численные методы решения задачи отыскания безусловного экстремума представляют не только самостоятельный интерес, но и процедуру решения задач с ограничениями.

Различают два подхода к решению задачи об отыскании экстремума.

Один из них основан на использовании необходимых условий экстремума.

Второй – требует получения сходящейся убывающей (возрастающей) последовательности и использует различные методы спуска, отличающиеся выбором направления спуска и длины шага вдоль этого направления. Выделите методы возможных направлений: градиентные с постоянным и оптимальным шагом (наискорейшего спуска), покоординатного спуска, метод оврагов, обобщённый метод Ньютона, метод сопряжённых градиентов.

Обратите внимание, что в ряде методов отыскания экстремума функции многих переменных в качестве важного элемента присутствует поиск минимума функции одной переменной. Рассмотрите определения оптимального шага на основе необходимых условий экстремума. Наиболее эффективные методы одномерной оптимизации – это метод дихотомии (половинного деления), метод Фибоначчи, метод золотого сечения, квадратичного параболического интерполирования.

Необходимо отметить особенность прикладных задач оптимизации, качественно усложняющих процедуру нахождения экстремальных значений. Наряду с ограничениями типа равенства эти задачи могут содержать условия типа неравенств. Метод множителей Лагранжа, позволяет определить экстремум функции с учётом ограничений типа равенств. Метод штрафных функций: получил наиболее полное распространение для учёта ограничений в форме неравенств, а также позволяет определить решение на основе необходимых условий экстремума.

Полезно при рассмотрении методов оптимизации привести их геометрическую интерпретацию. Сформулируйте в терминах нелинейного программирования задачи оптимального развития ЭС, оптимизации установившегося режима системы; приведите физическую характеристику целевых функций и ограничений этих задач.

2. АТТЕСТАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

ВВЕДЕНИЕ

1. Назначение и структура курса МЗЭ. Характеристика основных разделов. Взаимосвязь с другими курсами.

2. Роль математики в инженерной работе.

3. Особенности прикладной математики.

4. Некоторые сведения о электроэнергетических системах.

Литература: [1, с. 7–16], [6, гл. 1]; [9, предисловие, введение].

ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

5. Характеристика (классификация) погрешностей при вычислениях.

6. Характеристика погрешностей исходных данных при решении задач электроэнергетики.

7. Приближённые числа. Абсолютная и относительная погрешности. Использование их для описания приближённых чисел.

8. Приближённые числа и значащие цифры. Количество верных знаков.

Нормализованная запись; округление чисел; правило чётной цифры.

9. Правила подсчёта цифр при приближённых вычислениях. Соответствие погрешностей исходных данных и результатов.

10. Действия над приближёнными числами. Правила определения погрешностей при приближённых вычислениях.

11. Вычисление погрешности функции n аргументов. Общий подход.

12. Иллюстрация правил приближённых вычислений на примерах электротехники. Составление характерных примеров.

Литература: [1, гл. 1], [3, §§ 1.1–1.9.1], [5, гл. 1], [11, гл. 1].

МАТРИЧНЫЙ АППАРАТ

В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ РАСЧЁТАХ

13. Элементарные операции с векторами и матрицами. Виды матриц и векторов, определения, способы записей. Сложение, вычитание векторов, матриц.

14. Произведение векторов. Скалярное (внутреннее) произведение.

Внешнее произведение. Геометрическая иллюстрация с помощью диаграммы.

Координатно-скалярная и матричная записи. Иллюстрационные (числовые) примеры из электротехники.

15. Произведение матриц. Координатно-скалярная и матричная записи.

Геометрическая иллюстрация с помощью диаграммы. Свойства произведения.

Привести числовой пример.

16. Операция деления в матричной алгебре. Обращение диагональной матрицы. Классический способ обращения матрицы с помощью миноров. Проверка операции обращения. Привести числовой пример.

17. Координатно-скалярная и матричная записи системы линейных уравнений (СЛУ). Матричные преобразования. Непосредственное выражение решения СЛУ. Матричная подстановка. Преимущества и необходимость использования матричного аппарата.

18. Анализ, чтение матричных выражений. Геометрическая иллюстрация диаграммой. Получение эквивалентных матричному выражений в координатноскалярной форме. Иллюстрация правил на примере.

19. Синтез (составление) матричных выражений. Проверка корректности (правильности) составленной матричной формулы с помощью диаграммы, анализа размерности, физической сути результата. Пример.

Литература: [2, прил. П3.1–П3.5], [5, гл. 2], [9, прил. 1].

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УСТАНОВИВШИХСЯ

РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

20. Некоторые сведения об электрических системах (ЭС), определение ЭС, характеристика элементов ЭС. Параметры режима, виды режимов ЭС и условия их возникновения.

21. Общая характеристика методов и математическая постановка задачи расчёта установившихся режимов ЭС.

22. Электрическая система. Принципиальная схема, схема замещения и характеристика её элементов.

23. Описание установившихся режимов ЭС с помощью непосредственного использования законов Кирхгофа. Обобщённые уравнения электрического состояния и их характеристика.

24. Описание установившегося режима ЭС уравнениями контурных токов и контурных мощностей. Получение уравнений, свойства уравнений, определение параметров электрического состояния, алгоритм расчёта.

25. Уравнения узловых напряжений (УУН) в форме баланса токов. Вывод уравнений, свойства уравнений.

26. Линейные УУН, выраженные через отклонения напряжений узлов относительно балансирующего. Получение уравнений. Матричная и координатно-скалярная запись уравнений.

27. Нелинейные УУН в форме баланса токов. Причины нелинейности. Запись уравнений в координатно-скалярной и матричной формах.

28. Получение УУН с действительными коэффициентами в форме баланса токов. Вывод уравнений в матричной и координатно-скалярной формах.

29. Линеаризация УУН с помощью разложения их в ряд Тейлора.

30. Уравнения УУН в форме баланса мощностей. Запись уравнений в координатно-скалярной и матричной формах.

31. Получение УУН в форме баланса мощностей с действительными коэффициентами. Вывод уравнений при записи комплексов в полярной системе координат.

32. Получение УУН в форме баланса мощностей с действительными коэффициентами. Вывод уравнений при записи комплексов в прямоугольной системе координат.

33. Взаимосвязь параметров электрического режима и схемы. Получение и обоснование зависимостей.

34. Расчёт параметров установившегося режима разомкнутой ЭС постоянного тока с учётом потерь мощности. Иллюстрация алгоритма в общем виде на примере разомкнутой ЭС небольшой размерности.

35. Расчёт параметров установившегося режима замкнутой ЭС в системе постоянного тока с учётом потерь мощности. Иллюстрация алгоритма в общем виде на примере замкнутой ЭС небольшой размерности.

36. Расчёт параметров установившегося режима замкнутой ЭС в системе постоянного тока с учётом потерь мощности. Иллюстрация алгоритма в общем виде на примере замкнутой ЭС небольшой размерности.

37. Математические модели, описывающие установившиеся режимы ЭС.

Характеристика уравнений по размерности, применению. Координатноскалярная и матричная формы записи уравнений.

38. Сравнительная эффективность решения обобщённых уравнений, контурных уравнений и уравнений узловых напряжений.

Литература: [5, гл. 3], [6, § 8.1.1], [7, гл. 1], [8, §§ 1.1, 1.2, 2.6, 2.7], [9, гл. 1, с. 31–54], [13, с. 10–22, с. 46–52, §§ 1.8, 2.1, 4.1, 4.2], [15, гл. 1].

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШИХСЯ

РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

39. Постановка задачи расчёта установившихся режимов ЭС. Общая характеристика методов решения УУР. Критерии окончания решения УУР.

40. Прямые методы решения систем линейных уравнений (СЛУ). Метод определителей Крамера применительно к УУН.

41. Метод обратной матрицы. Метод ZY - матрицы применительно к УУН и контурным уравнениям.

42. Метод Гаусса решения СЛУ применительно к УУР.

43. Применение метода Гаусса-Жордана для решения УУР.

44. Метод Зейделя применительно к УУР. Необходимые условия сходимости метода.

45. Итерационный метод обращения матрицы. Вывод рекуррентного выражения итерационного процесса.

46. Составление УУН в форме баланса токов и выполнение одного приближения (итерации) к решению прямым методом (на любом примере трёхузловой (ni = 3) сети).

47. Решение систем уравнений методом Зейделя с ускоряющими коэффициентами (метод релаксации).

48. Выполнение одной итерации на произвольной системе УУН или общей системе нелинейных уравнений.

49. Графические иллюстрации сходимости итерационных процессов решения СНУ. Критерии решения СНУ.

50. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений. Необходимость применения ньютоновских методов для решения УУР. Общая характеристика метода.

51. Идея метода Ньютона. Метод касательных. Получение рекуррентного выражения метода.

52. Решение нелинейного уравнения методом хорд. Получение выражения для итерационного процесса.

53. Решение нелинейного уравнения методом деления отрезка пополам.

54. Метод и алгоритм Ньютона решения СНУ.

55. Необходимые условия сходимости метода Ньютона.

56. Применение метода Ньютона для решения УУН в форме баланса токов (применительно к ЭС постоянного тока).

57. Применение метода Ньютона для решения УУН в форме баланса мощностей (применительно к ЭС постоянного тока).

58. Градиентный метод решения СНУ. Достоинства и недостатки метода.

Общность с методом Ньютона.

Литература: [5, гл. 3], [6, §§ 8.1.2, 8.2–8.6], [7, гл. 2], [8, §§ 3.1–3.6, 3.9, 4.12], [9, гл. 2], [13, §§ 1.6, 1.7, 2.3–2.5], [15, гл. 2 ], [17, гл. 9].

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ

59. Общая характеристика задачи математического программирования (МП). Классификация задач МП. Свойства целевой функции.

60. Линейное МП. Общая постановка и графическая интерпретация задачи линейного МП. Степень свободы задачи оптимизации. Математическая постановка (формулировка) транспортной задачи.

61. Нелинейное МП. Общая постановка и геометрическая интерпретация задачи нелинейного МП.

62. Методы одномерной оптимизации в алгоритмах МП. Общий подход к определению оптимального шага.

63. Метод квадратичной аппроксимации для определения оптимального шага.

64. Метод упорядоченного и половинного деления для локализации минимума.

65. Золотое деление (сечение) и его использование в задаче одномерной оптимизации.

66. Метод сплошного перебора (метод сеток) в оптимизационных задачах.

67. Метод покоординатной оптимизации.

68. Градиентные методы с малым шагом и наискорейшего спуска решения оптимизационных задач.

69. Проблемы овражности при оптимизации. Метод оврагов.

70. Проблема многоэкстремальности в оптимизационных задачах.

71. Метод Лагранжа решения задачи МП. Идея метода и произвольная численная иллюстрация его применения.

72. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Идея метода и произвольный численный пример его применения.

73. Метод штрафных функций. Идея метода и произвольный численный пример его применения.

74. Обобщённый метод Ньютона минимизации функций.

Литература: [2, гл. 5], [8, гл. 5], [12, § 1.2, 1.4, 1.7, с. 115–126, §§ 4.4, 4.6, с. 191–196, § 5.6], [14, §§ 6.1, 6.4, 7.1–7.5, 7.10-7.13].

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ

75. Событие, вероятность события. Определения. Единица измерения вероятностей.

76. Классическое определение вероятности или непосредственный подсчёт вероятности. Условия, требования к случайным событиям для использования классического определения вероятности.

77. Частота (частность) или статическая вероятность события. Закон (теорема) больших чисел. Произвольный пример использования статического определения вероятности.

78. Законы (теоремы) вероятности сложных событий. Понятие сложения событий. Теоремы сложения вероятностей для совместимых и несовместимых событий. Следствия из теоремы.

79. Понятия произведения событий. Теорема умножения вероятностей.

80. Шкала классификации вероятностей. Произвольный пример применения классического определения вероятности.

81. Шкала классификации вероятностей. Применение теорем вероятностей для определения надёжности, отказа (повреждения) схемы ЭС.

82. Случайные величины и законы их распределения. Непрерывная и дискретная (прерывная) случайные величины. Ряд и многоугольник распределения как характеристика дискретной случайной величины.

83. Функция распределения как характеристика непрерывных и дискретных случайных величин.

84. Плотность распределения непрерывной случайной величины.

85. Законы распределения случайных величин. Равномерное (равновероятное) распределение.

86. Статический ряд. Гистограмма случайных величин. Нормальное (Гаусса-Лапласа) распределение.

87. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, среднее арифметическое дискретной и непрерывной случайных величин.

88. Характеристики вариации (изменения) случайных величин. Вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, стандартное (среднеквадратичное) отклонение.

Литература: [4, гл. 1–3, 5 –7], [9, гл. 3, прил.3], [16, гл. 1 – 4, 6].

3. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

С целью более углублённого усвоения теоретического материала курса и практического овладения некоторыми математическими методами и приёмами, применяемыми для решения электроэнергетических задач, каждый студент должен выполнить два контрольных задания. Номер варианта выбирают в соответствии с указаниями к соответствующему контрольному заданию. Проработав теоретический материал, рекомендуется рассмотреть решение типовых примеров, приведённых в [5–7] и в части 2 (гл.3) данных методических указаний.

Контрольные задания выполняют в соответствии со следующими общими правилами.

1. Записывают условия задачи, затем приводят решение; задачи решают в указанном в задании порядке.

2. В соответствии с физической сутью задач точность данных (относительную погрешность) следует принять в пределах 0,5–1,0 %.

3. Количество цифр данных должно соответствовать точности исходных данных; расчёты представляются в соответствии с правилами приближённых инженерных вычислений.

4. Решения задач сопровождают подробными пояснениями. Для проверки правильности расчётов в решения включают результаты промежуточных расчётов.

5. В конце контрольного задания приводят список использованной литературы и дату его выполнения.

6. Контрольные задания представляют в виде расчётно-пояснительной записки на стандартных листах бумаги формата А4 (210297 мм), оставляя поля для замечаний рецензента, в рукописном виде с чёткими аккуратными записями контрастными чернилами или пастой и эскизным представлением рисунков; сокращения слов допускаются только общепринятые.

Контрольные задания, выполненные с нарушением приведённых правил или по другим вариантам, возвращаются без проверки.

Получив прорецензированную работу, необходимо исправить в ней отмеченные ошибки и недочёты, привести письменные ответы на вопросы и замечания рецензента. Незачтённое контрольное задание выполняют заново и посылают (доставляют) в институт вместе с исправленным заданием до экзаменационный сессии.

К аттестации допускают студентов, выполнивших контрольные задания.

Зачтённые контрольные задания предъявляют преподавателю при аттестации.

Математическое моделирование и расчётный анализ установившихся режимов ЭС в системе постоянного тока Для электрической системы, параметры которой приведены на рис. и в табл. 1, выполнить следующее.

1. Составить для ЭС матрицы проводимостей Y и Y. Сформулируйте свойства матриц проводимостей. Определить заполнение (разрежённость) матриц.

2. Вычислить указанным методом матрицу узловых сопротивлений ZY = Y–1, обратную к исходной Y. Проверить выполнение свойства коммутативности перемножения матриц Y Y–1 = Y–1Y = E, а также сохраняются ли у матриц сопротивлений ZY свойства матрицы проводимостей Y.

3. Сформулировать задачу расчёта напряжений в узлах ЭС. Составить уравнения установившегося режима для данной ЭС в виде уравнений узловых напряжений (УУН) в формах баланса токов и баланса мощностей, в готовом к решению виде.

4. Определить напряжения в узлах ЭС, решив УУН баланса токов указанными прямыми (точными) методами.

5. Найти напряжения в узлах ЭС, решив УУН итерационными (приближёнными) методами.

6. Определить напряжения в узлах ЭС, решив УУН указанным методом 7. Решить УУН баланса мощности методом Ньютона 8. Сравнить использованные методы решения УУН по сходимости (количеству итераций). Проиллюстрировать графически итерационные процессы решения УУН по каждому методу изменением небалансов или напряжений.

9. Вычислить токо- и потокораспределение в схеме ЭС через найденные напряжения и известные проводимости (сопротивления) участков сети.

10. Нанести параметры режима на схему замещения ЭС. Проставить направления токов и мощностей. Проверить выполнение классических законов теории электрических цепей: законов Кирхгофа, Ома, Джоуля-Ленца.

11. Выполнить расчёт установившегося режима на ЭВМ, результаты которого рассматривать как эталонные. Нанести параметры режима на схему замещения, выделив их в отличие от параметров п. 10 другим цветом.

В табл. 1 мощности генерации указаны отрицательными величинами; номинальное напряжение электрической сети 10 кВ; напряжение балансирующей электрической станции UБ = 11 кВ.

Данное контрольное задание следует выполнять после усвоения основных понятий о векторах и матрицах, их свойствах, приобретения определённых навыков элементарных векторно-матричных преобразований, изучения материала темы 2. В этом контрольном задании для составления уравнений установившегося режима (состояния) электрической системы и их решения используют элементы алгебры матриц.

Номер варианта задания выбирают по двум последним цифрам регистрационного номера (задаётся преподавателем) или зачётной книжки студента.

Первая цифра является номером схемы ЭС (рис. 1), вторая – номером варианта нагрузок в узлах схемы (табл. 1). На примере выбранной таким образом ЭЭС выполняют все задачи соответствующего задания.

Методы решения задач выбирают по следующим правилам.

1. В задаче 2 обращение матрицы Y выполнить любым прямым методом при чётном шифре и итерационным методом при нечётном шифре.

2. Решение УУН в задаче 4 получить методами ZY - матрицы и Гаусса, в задаче 5 – методами Зейделя и Ньютона, в задаче 6 – методом Гаусса-Жор–дана при чётном шифре. При нечётном шифре в задаче 4 использовать методы ZY матрицы и Гаусса-Жордана, а в задаче 5 – методы простой итерации и Ньютона, в задаче 6 – метод Зейделя.

3. Погрешности решения нелинейных уравнений установившихся режимов 0,02 кВ, 0,02 кА.

Краткая характеристика некоторых способов описания установившихся режимов, матричных методов их расчётов, сопровождающихся численными примерами, аналогичными приведённым в настоящем контрольном задании, даны в [5, 7]. Для получения ЭВМ-результата можно воспользоваться любым программно-вычислительным аппаратом, например, ПВК «REGIM», RASTR, SETI, нашедшими на кафедре «Электрические станции и электроэнергетические системы» широкое применение в учебной и исследовательской практике [7, 15].

Для усвоения теоретических основ задач настоящего задания и практического его выполнения рекомендуется следующая литература:

[6, гл. 8], [8, §§ 3.6, 4.1], [9, §§ 1.2–1.4, гл. 2], [13, §§ 1.4–1.7, 2.2–2.4], [14, § 2.4–2.5], [15, разд. 2].

Уравнения установившихся режимов электропередачи Для электропередачи переменного тока, параметры которой даны на рис. 2 и в табл. 2, выполнить следующее.

1. Составить УНН баланса токов с комплексными коэффициентами. Преобразовать комплексное уравнение в систему уравнений с действительными коэффициентами в прямоугольной системе координат.

2. Решить полученную систему методом Зейделя.

3. Решить систему УУН с действительными коэффициентами методом Ньютона.

4. Вычислить электрические параметры установившегося режима электропередачи на основе напряжений – решения УУН, полученного в предыдущих задачах.

5. Нанести параметры электрического режима на схему замещения ЭЭС переменного тока. Проверить выполнение баланса токов и мощностей в узле и баланса мощностей ветви.

6. Выполнить расчёт установившегося режима электропередачи инженерным методом. Сопоставить параметры электрического режима со значениями, полученными в предыдущем пункте.

7. Выполнить расчёт установившегося режима на ЭВМ. Сформулировать заключение о качестве предыдущих расчётов, рассматривая ЭВМ-результаты в качестве эталонных.

Номер варианта задания выбирают по двум последним цифрам регистрационного номера или зачётной книжки студента. Первая цифра (0, 1, 2 – схема а; 3, 4 – схема б; 5, 6, 7 – схема в; 8, 9 – схема г) является вариантом схемы электропередачи (рис. 2), вторая – номером варианта параметров электропередачи (табл. 2). Напряжение балансирующего источника принять равным номинальному напряжению электропередачи. Электропередачи вариантов в и г – двухцепные. Фазы воздушных линий 330 кВ принять расщепленными, выполненными двумя указанными проводами. На примере выбранной таким образом электропередачи выполняют все задачи данного задания.

Выполнению данной работы должно предшествовать усвоение материала и выполнение контрольного задания № 1. Основные теоретические сведения и расчётные примеры, полезные для выполнения данного приведены в [6, гл. 8], [15, разд. 2], [17, гл. 9].

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЭНЕРГЕТИКИ».......... 1.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.2. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ............. 2. АТТЕСТАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

3. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

3.1. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

3.2. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 1

3.3. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 2