«Электротехника и электроника Ч. 1. Электротехника Учебно-методический комплекс Институт машиностроительно - технологический Специальности: 151001.65 технология машиностроения 150104.65 литейное производство черных и ...»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Северо-Западный государственный заочный технический университет

Кафедра электротехники и электромеханики

Электротехника и электроника

Ч. 1. Электротехника

Учебно-методический комплекс

Институт машиностроительно - технологический

Специальности:

151001.65 технология машиностроения 150104.65 литейное производство черных и цветных металлов 150202.65 оборудование и технология сварочного производства 150501.65 материаловедение в машиностроении 261001.65 технология художественной обработки материалов 240401.65 химическая технология органических веществ 240301.65 химическая технология неорганических веществ Институт приборостроения и систем обеспечения безопасности Специальности:

200101.65 приборостроение 280202.65 инженерная защита окружающей среды 200402.65 инженерное дело в медико-биологической практике 200501.65 – метрология и метрологическое обеспечение Институт автомобильного транспорта Специальности:

190205.65 подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование 190601.65 автомобили и автомобильное хозяйство 190701.65 организация перевозок и управление на транспорте Институт информационных систем и вычислительной техники Специальность:

230101.65 – вычислительные машины, комплексы, системы и сети Институт радиоэлектроники Специальности:

210201.65 – проектирование и технология радиоэлектронных средств Институт энергетический Специальности:

140101.65 – тепловые электрические станции 140104.65 – промышленная теплоэнергетика Направления подготовки бакалавра:

151000.62, 200100.62, 150100.62, 280200.62, 200500.62, 210200.62, 140100.62, 230100.62, 220100. Санкт-Петербург Издательство СЗТУ Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 621.3(07) Электротехника и электроника. Ч. 1. Электротехника.: учебно-методический комплекс / сост.: А.Л. Виноградов, М.Е. Евсеев Прокофьев.

, В.Н.

СПб.: Изд-во СЗТУ, 2007. 376 с.

Учебно-методический комплекс (УМК) разработан в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования.

В УМК рассмотрены основы анализа и расчета электрических и магнитных цепей, электрические измерения и электрические машины.

Рассмотрено на заседании кафедры электротехники электромеханики 19 октября 2007 г., одобрено методической комиссией энергетического института 25 октября 2007 г.

Рецензенты: кафедра электротехники и электромеханики (зав кафедрой В. И. Рябуха, д-р техн. наук, проф.); Ю. В. Куклев, канд. техн. наук, доц; С. И. Джаншиев канд. техн. наук, доц.

Составители: А.Л. Виноградов, канд, техн. наук, доц.;

М.Е. Евсеев, канд. техн. наук, доц.;

В.Н. Прокофьев канд, техн. наук, доц.

© Северо-Западный государственный заочный технический университет, © А.Л. Виноградов, М.Е. Евсеев, В.Н. Прокофьев, 1. Информация о дисциплине 1.1. Предисловие Электротехника является областью науки, которая занимается изучением электротехнических и магнитных явлений и их техническим использованием в практических целях.

Дисциплина "Электротехника и электроника" для специальностей 240301.65, 240401.65, 190701.65, 261001.65, 280202.65, 150104.65, 190205.65, 140101.65, 140104.65, 190601.65, 151001.61, 151001.65, 150202.65, 150501.65, 230101.65, 200501.65, 210201.65 состоит из двух частей – часть 1 и часть 2.

Часть 1 изучается в первом семестре третьего курса. Областью изучения этой части является электротехника. Часть 2 изучается в следующем семестре третьего курса. Областью изучения этой части является электроника. Данный комплекс посвящен электротехнике.

Специальности 220100.62, 200102.65, 200102.65, 200402.65 изучают дисциплину «Общая электротехника», которая достаточно близка к дисциплине «Электротехника и электроника. Ч. 1». Специальность 080502 изучают дисциплину «Электротехника», которая также близка к дисциплине «Электротехника и электроника. Ч. 1». В дальнейшем в тексте эти дисциплины будем называть общим названием «Электротехника и электроника. Ч. 1» или «Электротехника».

Изучение первой части дисциплины согласно рабочей программе осуществляется с дифференциацией по специальностям (см. рабочую программу).

Целью изучения дисциплины является изучение основных вопросов теории электротехнических цепей, магнитных цепей и электрических машин.

Задачи изучения дисциплины усвоение и понимание явлений, происходящих в электрических и магнитных цепях и в электрических машинах.

В результате изучения дисциплины студент должен овладеть основами знаний по дисциплине, формируемыми на нескольких уровнях.

Иметь представление:

об устройстве и принципе действия разнообразной электротехнической аппаратуры, электрических машин и оборудования.

методы расчета цепей постоянного и переменного тока;

методы расчета магнитных цепей;

устройство, принцип действия электротехнической аппаратуры, электрических машин постоянного и переменного тока.

Уметь применять полученные знания для изучения последующих дисциплин, использующих теорию электротехники.

методами расчета цепей постоянного и переменного тока;

методами расчета магнитных цепей;

особенностями эксплуатации электрических машин.

Для изучения дисциплины необходимы знания следующих дисциплин и их разделов:

по физике электричество и магнетизм, колебания и волновое движение, физику твердого тела, физические величины и единицы их измерения;

по высшей математике дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения и методы их решения, ряды, функции комплексной переменной;

по вычислительной математике и программированию приближенные вычисления, численные методы решения;

по вычислительной технике основы программирования и функционирования ЭВМ;

по основам метрологии и стандартизации международную систему единиц (СИ), методы и средства измерения электрических и магнитных величин, условное графическое изображение электрических, магнитных и полупроводниковых элементов, схемы и их выполнение;

по экономике экономические критерии в электротехнике, повышение коэффициента полезного действия и коэффициента мощности электротехнических устройств, надежность.

Приобретенные знания студентами будут непосредственно использованы при изучении следующих дисциплин: «Электротехника и электроника. Ч. 2», «Метрология, стандартизация и сертификация, взаимозаменяемость» и др. в зависимости от специальности студента.

Изучение дисциплины осуществляется с дифференциацией по специальностям, указанной в табл. 1 и 2.

Структура учебно-методического комплекса представлена на рисунке.

Рабочая программа разбита на 7 разделов, каждый из которых состоит из нескольких тем. Все темы состоят из параграфов, отмеченных соответствующими цифрами 1, 2, 3… В зависимости от специальности студенты изучают только те параграфы, которые указаны в соответствующем столбце рабочей программы, представленной в виде табл. 2. Так же в зависимости от специальности студенты выполняют лабораторные работы и практические занятия только те, которые указаны в начале каждого раздела опорного конспекта.

В начале каждой темы перечислены ключевые понятия, на которые особенно необходимо обратить внимание.

Для проверки усвоения материала каждая тема опорного конспекта заканчивается промежуточным тестированием.

Контролем знания дисциплины является контрольная работа, которая состоит из задач, для решения которых необходимо изучить соответствующие разделы. Номера задач с дифференциацией по специальностям указаны в табл. 1. Студенты специальности 080502 контрольные работы не выполняют.

При изучении дисциплины следует руководствоваться табл. 1 и табл. 2.

В табл. 2 приведена рабочая программа.

В столбце 1 табл.1 указан номер шифра специальности.

В столбце 2 указано количество часов, необходимое для изучения дисциплины согласно ГОС.

В столбце 3 указан номер, под которым соответствующая специальность представлена в табл. 2. Например, номеру 4 в табл. 2 соответствует согласно табл. 1 две специальности 140101.65 и 140104.65.

Для студентов различных специальностей в начале каждого раздела указаны темы и номера параграфов, которые необходимо изучить.

В начале каждой темы перечислены ключевые понятия, на которые особенно необходимо обратить внимание.

Для проверки усвоения материала каждая тема опорного конспекта заканчивается промежуточным тестированием.

Итоговым контролем является экзамен или теоретический зачет (зависит от специальности).

Вопросы к экзамену и зачету приведены в разделе «Блок контроля освоения дисциплины».

Специаль- Объем часов для дневной специально- Номера «Электротехника и электроника. Ч. 1»

Глоссарий Электронный учебник Методические указания к выполнению лабораторных работ Методические нению контроль- Промежуточный ных работ 1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы Государственный образовательный стандарт (ГОС) Общая электротехника и электроника. Введение. Электрические и магнитные цепи. Основные определения, топологические параметры и методы расчета электрических цепей. Анализ и расчет линейных цепей переменного тока. Анализ и расчет электрических цепей с нелинейными элементами. Анализ и расчет магнитных цепей. Электромагнитные устройства и электрические машины. Электромагнитные устройства. Трансформаторы. Машины постоян-ного тока МПТ. Асинхронные машины. Синхронные машины. Электрические измерения.

Выше приведен ГОС для специальности 200501.65, который наиболее полно отражает ГОС других специальностей. Вопросы электроники не указаны в этом ГОС, так как они являются предметом изучения второй части дисциплины электротехника и электроника. Имеющаяся дифференциация в ГОС для других специальностей отражена в рабочей программе. Поэтому рабочая программа составлена с учетом этой дифференциации по специальностям.

по дисциплине «Электротехника и электроника. Ч. 1» для специальностей, имеющих количество часов по дневной форме обучения в пределах 136–170 часов (220100-62, 200102.65, 200102.65, 150501.65, 200402.65, 230101.65, 200501.65, 2100201.65).

Вид учебной работы Общая трудоемкость дисциплины (включая ДОТ) лабораторные работы (ЛР) семинары (С) другие виды аудиторных занятий Самостоятельная работа студента Промежуточный контроль, количество Вид итогового контроля (зачет, экзамен) Экзамен по дисциплине «Электротехника и электроника. Ч. 1» для специальностей, имеющих количество часов по дневной форме обучения в пределах 80–120 часов (150202.65, 151001.65, 151001.61, 190601.65, 190205.65, 150104.65, 140104.65, 140101.65).

Вид учебной работы Общая трудоемкость дисциплины Работа под руководством преподавателя (включая ДОТ) лабораторные работы (ЛР) семинары (С) другие виды аудиторных занятий Самостоятельная работа студента Промежуточный контроль, количество Вид итогового контроля (зачет, экзамен) Экзамен по дисциплине «Электротехника и электроника. Ч.1» для специальностей, имеющих количество часов по дневной форме обучения в пределах 52–72 часов (150202.65, 151001.65, 151001.65, 190601.65, 190205.65, 150104.65, 140104.65, 140101.65).

Общая трудоемкость дисциплины  Работа под руководством преподавателя (включая ДОТ)            лекции  лабораторные работы (ЛР) другие виды аудиторных занятий Самостоятельная работа студента  Промежуточный контроль, количество  РАЗДЕЛ 1. Электрические цепи постоянного Введение 1. Электрическая цепь и ее характеристики Идеальные элементы и соотношения в них между током и напряжением.

1. Особенности цепей постоянного тока. 2. Законы 3. Цепи синусоидального тока 1. Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Амплитуда, частота и фаза колебаний. 2. Изоб-ражение синусоидальных величин вращающимися векторами. Векторные диаграммы, 3. Действующие значения синусоидальных процессов. 4. Элементы в цепи 1 1 1 1 1 1 1 мощности. Коэффициенты мощности и КПД. 6. Эквивалентные параметры линейного пассив-ного двухполюсника.

РАЗДЕЛ 2. Методы расчета электрических цепей 4. Комплексный метод расчета электрических цепей синусоидального тока 1. Изображение синусоидальных ЭДС напряжений и токов комплексными числами. Сущность комплексного метода расчета электрических цепей. 2. Изображение в комплексной форме уравнений связи между мгновенными синусоидальными током и напряжением противление, проводимость, мощность. 4. Расчет электрической цепи при последовательном, параллельном и смешанном соединении элементов.

5. Методы расчета сложных цепей синусоидального вых потенциалов). 4. Метод эквивалентного источника. – – – – – – 5 соидального тока.

РАЗДЕЛ 3. Резонанс, индуктивно связанные цепи 6. Резонансные явления. Индуктивно-связанные цепи 3. Частотные характеристики. 4. Индуктивно связанные 5 5 5 5 5 5 5 катушки. 5. Расчет электрической цепи при наличии взаимной индуктивности.

7. Трехфазные электрические цепи [1], с. 94…110 или [2], с. 107… 1. Трехфазная система ЭДС. Соединение трехфазной 1 1 1 1 1 цепи звездой и треугольником и их особенности. Фаз- 2 2 2 2 2 имущества трехфазных цепей по сравнению с однофаз- – 4 4 4 4 работы трехфазной цепи. 4. Мощность трехфазной электрической цепи. 5. Общее понятие о вращающемся магнитном поле.

РАЗДЕЛ 4. Несинусоидальные токи и напряжения и 8. Расчет линейных электрических цепей с несинусоидальными периодическими ЭДС, напряжениями [1], с. 121…134 или [2], с. 123… 1. Особенности установившихся процессов в линейных –––––– цепях с несинусоидальными периодическими ЭДС. Основы гармонического анализа. Ряды Фурье. Методика расчета цепи при воздействии на нее несинусоидальных периодических ЭДС. Действующие и средние значения несинусоидальных периодических ЭДС, напряжений и токов.

9. Переходные процессы в электрических цепях [1], c. 111…121 или [2], c. 130… переходных процессов. 4. Расчет переходных процесссов в линейных электрических цепях постоянного тока с элементами R,L,C. 5. Преобразование Лапласа для анализа цепей.

РАЗДЕЛ 5. Нелинейные цепи и основы теории электромагнитного поля 10. Нелинейные электрические и магнитные цепи 1. Особые свойства нелинейных электрических цепей. – – Нелинейные элементы: нелинейные сопротивления, не- – – линейные индуктивности, нелинейные емкости. Их па- – – раметры и характеристики. 2. Расчет электрических цепей постоянного тока графическим, аналитическим и численным методами. 3. Параметры магнитных цепей.

Законы Кирхгофа для магнитных цепей. 4. Закон полного тока. Расчет магнитных цепей.

11. Нелинейные электрические цепи никах из ферромагнитного материала. 4. Уравнения, векторная диаграмма и эквивалентная схема катушки с замкнутым ферромагнитным сердечником.

РАЗДЕЛ 6. Электрические машины трансформатора. 3. Нагрузка трансформатора. 4. Схема – – 2 2 2 2 2 коэффициент мощности. 6. Механическая характеристика. 7. Пуск асинхронных двигателей.

[1], с. 300…312 или [2], с. 376… синхронного двигателя. 6. U-образные характеристики. – – – – 7 – – – 7. Пуск синхронного двигателя.

[1], с. 226…256 или [2], с. 297… коллекторе. Добавочные полюса. 5. Спосо-бы возбуждения машин постоянного тока. 6. Область применения машин постоянного тока.

РАЗДЕЛ 7. Электрические измерения и приборы 16. Электрические измерения и приборы [1], с. 190…225 или [2], с. 252… 3. Измерения электрических, магнитных и неэлектрических величин. 4. Правила выбора измерительных приборов при проведении измерений. Оценка точности результатов измерений.

2.2.1. Тематический план дисциплины «Электротехника и электроника. Ч. 1»

п/п Раздел 1. Электрические соидального тока Тема 1. Электрическая цепь и ее характеристики Раздел 2. Методы расчета электрических цепей Тема 5. Методы расчета дального тока трехфазные цепи связанные цепи переходные процессы Тема 8. Расчет линейных дическими ЭДС, напряжениями и токами Раздел 5. Нелинейные цепи Тема 10. Нелинейные ные цепи постоянного тока Тема 11. Нелинейные цепи переменного тока Тема 13. Асинхронные Тема 14. Синхронные машины Тема 15. Машины постоянного тока Раздел 7. Электрические измерения и приборы Тема 16. Электрические измерения и приборы 2.2.2. Тематический план дисциплины «Электротехника и электроника. Ч. 1»

п/п Раздел 1. Электрические соидального тока Тема 1. Электрическая цепь и ее характеристики Раздел 2. Методы расчета электрических цепей Тема 4. Комплексный метод расчета электрических Тема 5. Методы расчета дального тока трехфазные цепи связанные цепи переходные процессы Тема 8. Расчет линейных дическими ЭДС, напряжениями и токами Раздел 5. Нелинейные цепи Тема 10. Нелинейные ные цепи постоянного тока Тема 11. Нелинейные цепи переменного тока Тема 13. Асинхронные Тема 14. Синхронные машины Тема 15. Машины постоянного тока Раздел 7. Электрические измерения и приборы Тема 16. Электрические измерения и приборы 2.2.3. Тематический план дисциплины «Электротехника и электроника. Ч.1»

п/п Раздел 1. Электрические соидального тока Тема 1. Электрическая цепь и ее характеристики Раздел 2. Методы расчета электрических цепей Тема 5. Методы расчета сложных цепей синусоидального тока трехфазные цепи связанные цепи переходные процессы Тема 8. Расчет линейных дическими ЭДС, напряжениями и токами Раздел 5. Нелинейные цепи Тема 10. Нелинейные ные цепи постоянного тока Тема 11. Нелинейные цепи переменного тока Тема 13. Асинхронные Тема 14. Синхронные машины Тема 15. Машины постоянного тока Раздел 7. Электрические измерения и приборы Тема 16. Электрические измерения и приборы 2.3. Структурно-логическая схема дисциплины «Электротехника и электроника. Ч. 1»

2.4. Временной график изучения дисциплины для очной формы обучения при использовании информационно-коммутационных технологий Раздел 1. Электрические цепи постоянного и синусоидального тока Раздел 2. Методы расчета электрических цедн.

Раздел 3. Резонанс, индуктивно связанные цепи и трехфазные цепи Раздел 4. Несинусоидальные токи и напряжедн.

ния и переходные процессы Временной график изучения дисциплины для очно-заочной при использовании информационно-коммутационных технологий Раздел 1. Электрические цепи постоянного и синусоидального тока Раздел 2. Методы расчета электрических цедн.

Раздел 3. Резонанс, индуктивно связанные цепи и трехфазные цепи Раздел 4. Несинусоидальные токи и напряжедн.

ния и переходные процессы Временной график изучения дисциплины для заочной формы обучения при использовании информационно-коммутационных технологий Раздел 1. Электрические цепи постоянного и синусоидального тока Раздел 2. Методы расчета электрических цедн.

Раздел 3. Резонанс, индуктивно связанные цепи и трехфазные цепи Раздел 4. Несинусоидальные токи и напряжедн.

ния и переходные процессы Раздел 1. Электрические цепи постоянного и синусоидального тока Тема 3. Цепи си- 1. Исследование линейных цепей синунусоидального соидального тока, содержащих только 2 2 2 2 2 тока сопротивление, только индуктивность Раздел 2. Методы расчета электрических цепей Тема 4. Ком- 2. Исследование разветвленной цепи плексный метод синусоидального тока с одним источрасчета электри- ником энергии ческих цепей синусоидального тока Раздел 3. Резонанс, индуктивно связанные цепи и трехфазные цепи нансные явления. цепи с последовательным соединением Индуктивно свя- активного сопротивления, индуктивнозанные цепи сти и емкости ные электриче- осветительной цепи ские цепи Раздел 4. Несинусоидальные токи и напряжения и переходные процессы Тема 9. Пере- 5. Исследование переходных процессов ходные процессы в электрических цепях, содержащих в электрических один реактивный элемент цепях Раздел 6. Электрические машины Тема 12. ТрансИсследование однофазного двухобформаторы Тема 14.

7. Исследование трехфазного асинСинхронные машины Лекционные занятия Весь материал разбит на 16 лекционных тем. По каждой теме имеется тест из десяти вопросов. Количество тестов для разных специальностей не одинаково. Поэтому оценка ответов в баллах ведется следующим образом. Студент, ответивший правильно на все вопросы тестов, получает максимальную оценку – 100 баллов, за 90 % правильных ответов – 90 баллов, за 80 % правильных ответов – 80 баллов и т. д.

Практические, лабораторные занятия, контрольная работа Количество практических, лабораторных занятий и задач в контрольной работе для разных специальностей не одинаково. Поэтому оценка ответов в баллах ведется по каждому виду занятий аналогично оценке за лекционные занятия.

Правильное выполнение всех практических занятий оценивается в баллов. Правильное выполнение всех лабораторных занятий оценивается в баллов. Правильное выполнение всех задач в контрольной работе оценивается в 100 баллов. Количество баллов снижается в процентах за каждое не правильно выполненное задание, зависит от процента выполнения и округляется в большую сторону. Например, за 5 правильно выполненных задач из контрольной работы, состоящей из 6 задач, будет получено 100 5 6 84 баллов Дополнительно, активно работая на занятиях, выполняя творческие задания, студент может заработать еще 50 баллов. Они складываются из следующих видов работ (табл. 3).

Выполнение научной работы дополнительно оценивается в 50 баллов.

Итого каждый студент может получить не более 500 баллов Оценка результатов обучения проводится в соответствии со следующей схемой (табл. 4) 3. Информационные ресурсы дисциплины Основной:

1. Иванов, И.И. Электротехника: учеб. пособие. 2–е изд., доп. / И.И. Иванов, Г.И. Соловьев, В.С. Равдоник. – СПб.: Лань, 2003. 496 с.

2. Касаткин, А.С. Электротехника: учеб. пособие. 6-е изд., перераб. / А.С.

Касаткин. М.: Academia, 2003. 538 с.

3. Евсеев, М.Е. Теоретические основы электротехники. Установившиеся процессы в линейных электрических цепях. Анализ линейных электрических цепей при установившихся режимах работы: учеб. пособие / М.Е. Евсеев.

СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006. 240 с.

4. Виноградов, А.Л. Теоретические основы электротехники. Методы расчета переходных процессов в линейных электрических цепях. Нелинейные цепи : письменные лекции / А.Л. Виноградов, В.Н. Прокофьев. СПб.: СЗТУ, 2003. 135 с.

Дополнительный:

5. Воробьев, В.Е. Электротехника. Электрические машины/ В.Е. Воробьев, В.В. Леонтьев. СПб.: СЗПИ, 1997. 54 с.

6. Брандина, Е.П. Общая электротехника. Электротехника. Электрические машины: метод. указ. к выполнению расчетно-графических работ / Е.П.

Брандина. СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006. 35 с.

ВВЕДЕНИЕ

Электрические и магнитные явления были известны в глубокой древности. Начало развития науки об электрических и магнитных явлениях принято считать, со времени опубликования Гильбертом результатов исследований электрических и магнитных явлений (1600 г.).

Важным этапом в развитии науки об электричестве были исследования атмосферного электричества, выполненные М. В. Ломоносовым совместно с академиком Г. В. Рихманом. Работы М. В. Ломоносова и работы Б. Франклина вскрывают природу атмосферного электричества.

Открытие явления электромагнитной индукции М. Фарадеем (1831 г.) знаменует начало эры электричества. В 1833 г. академик Э. X. Ленц формулирует фундаментальный принцип электромагнитной инерции и положение об общности и обратимости явлений электромагнитной индукции и воздействия магнитного поля на проводники с током.

Разработка теории электромагнитных явлений Д. К. Максвеллом в «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873 г.) завершает создание классической теории электромагнетизма.

Опыты Г. Герца (1887—1889 гг.), работы П. Н. Лебедева (1895 г.) и изобретение радио А. С. Поповым (1895 г.) экспериментально подтверждают выводы теории о распространении электромагнитных волн.

Этим заканчивается начальный период развития классической теории электромагнитных явлений.

Академиком В. Ф. Миткевичем в течение ряда лет развивались и углублялись основные положения теории электромагнетизма. Ближайшие ученики В. Ф. Миткевича - П. Л. Калантаров и Л. Р. Нейман создали один из первых учебников по теоретическим основам электротехники. Теория электрических и магнитных явлений и теоретические основы электротехники излагались в книгах А. А. Эйхенвальда, К.

А. Круга, К. М. Поливанова и других авторов.

Очень большой вклад внесли также русские ученые и в практическое развитие электротехники.

Электротехника как наука является областью знаний, которая занимается изучением электротехнических и магнитных явлений и их техническим использованием в различных областях техники.

В результате работы с данным курсом Вы овладеете научными знаниями по основным вопросам электротехники и тем самым обеспечите себе базовую электротехническую подготовку, необходимую для изучения последующих дисциплин.

Изучение дисциплины в соответствии с рабочей программой осуществляется с дифференциацией по специальностям (см. рабочую программу). Каждая специальность в рабочей программе обозначена соответствующей одной цифрой 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (см. предисловие к УМК табл. 1).

Прежде чем начать изучать раздел, ознакомьтесь с нижеприведенной информацией, оформленной в виде таблиц к каждому разделу опорного конспекта, где указаны для каждой специальности номера тем, параграфов, входящих в соответствующую тему, задач, практических занятий и лабораторных работ, подлежащих к изучению и выполнению.

Требования к оформлению лабораторных работ, практических заданий и контрольных работ приводятся в руководствах по выполнению контрольных работ, практических занятий и лабораторных работ.

После теоретического материала каждой темы раздела приводятся вопросы для самопроверки. Они не оцениваются, но включают те же вопросы, на которые Вам придется отвечать при сдаче тестов, а потом и экзаменов. Поэтому советуем Вам отвечать на все вопросы для самопроверки. Для многих тем приводятся тренировочные тесты с ответами для пробного самотестирования. Они также не оцениваются, но помогают ответить на вопросы тестов по теме.

Каждая тема завершается сдачей контрольного теста. Тесты предоставляются Вам по Вашему запросу тьюторами, и время ответа на них ограничено. В случае превышения контрольного времени ответа набранные Вами баллы обнуляются.

Для более четкого понимания содержания раздела в начале приводится схема содержания раздела, а в начале каждой темы указываются ключевые вопросы этой темы, входящие в экзаменационные билеты.

Для оценки знаний студента разработана рейтинговая система. Поэтому, прежде чем приступать к изучению дисциплины, ознакомьтесь с этой системой, которая находится в блоке «Рабочие учебные материалы» в параграфе 2.6.

При изучении дисциплины необходимо учесть дифференциацию в зависимости от специальности студента. Это отражено в начале каждого раздела (1, 2…7) после структурной схемы «Схема работы с разделом».

РАЗДЕЛ 1. Основы теории электрических цепей Опорный конспект Тема Опорный конспект Тема Опорный конспект Тема работа Контрольная работа - задача Практическое задание Глоссарий Специальность Часы 1. Электрическая цепь и ее характеристики Эта тема охватывает первый раздел рабочей программы.

Для изучения данной темы следует использовать материал темы. Кроме этого, может быть использованы учебники по электротехнике [1-3].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

направления токов, напряжений, ЭДС;

законы Кирхгофа;

соотношения между током и напряжением в идеальных элементах цепи.

Начинайте осваивать компьютерную программу EWB, предназначенную для выполнения лабораторных работ.

Электрической цепью называется совокупность электротехнических устройств, создающих замкнутый путь электрическому току. Она состоит из источников (генераторов) энергии, приемников энергии (нагрузки) и соединительных проводов. В цепи могут быть также различные преобразователи, защитная и коммутационная аппаратура.

В источниках неэлектрические виды энергии преобразуются (в соответствии с законом сохранения энергии) в энергию электромагнитного поля. Так, например, на гидроэлектростанциях энергия падающей воды преобразуется в энергию электромагнитного поля. В приемниках энергия электромагнитного поля преобразуется в тепловую энергию и механическую работу. Кроме того, некоторая часть энергии запасается в электрических и магнитных полях цепи.

Электромагнитные процессы в электрической цепи описываются с помощью понятий о токе, напряжении, электродвижущей силе (ЭДС), сопротивлении, индуктивности и емкости. Заметим здесь, что ЭДС, токи и напряжения, изменяющиеся во времени, обозначаются строчными латинскими буквами е, i, u, а ЭДС, токи и напряжения, неизменные во времени, обозначаются заглавными латинскими буквами E, I, U.

1.2. Графическое изображение электрической цепи и ее элементов Графическое изображение электрической цепи называется ее схемой. В схеме различают ветви, узлы и контуры. Ветвь – это часть схемы, состоящая только из последовательно соединенных источников и приемников (элементов цепи). Узел – точка схемы, в которой гальванически соединены не менее трех ветвей (ветви начинаются и заканчиваются на узлах цепи). Контур – замкнутая часть схемы, образованная ветвями. На рис. 1.1 даны структурные схемы трех электрических цепей и указано количество ветвей узлов и контуров в каждой из них.

I II III

наимен.

Принятые в настоящем учебном пособии графические обозначения основных элементов цепи показаны на рис. 1.2.

На этом рисунке: 1 источник ЭДС; 2 источник тока; 3 соединительный провод; 4 сопротивление R цепи; 5 индуктивность L цепи; 6 емкость С цепи; 7 двухполюсник (цепь с неизвестной структурой, имеющая два входных зажима).

1.3. О направлениях действия ЭДС, токов и напряжений Для расчета электрических цепей необходимо принять направления для токов, напряжений и ЭДС. Эти направления указывают на схемах стрелками (рис. 1.3).

В цепях постоянного тока (рис. 1.3,а) направление действия ЭДС источника принято указывать от отрицательного потенциала к положительному потенциалу.

За направление тока принято направление движения положительных зарядов, т.е. стрелка у тока направлена от большего потенциала к меньшему потенциалу. Направление напряжения в приемнике всегда указывают в ту же сторону, что и направление тока.

В цепях синусоидального тока (рис. 1.3,б) принято обозначать направления ЭДС, тока и напряжения, используя положительный полупериод тока, при котором ток не изменяет своего направления. При этом картина этих направлений получается аналогичной с цепью постоянного тока.

Ими являются первый и второй законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа относится к узлам цепи: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

где К – число ветвей, подходящих к узлу (три и более).

Токи, подходящие к узлу, и токи, отходящие от узла, имеют противоположные знаки. Будем считать подходящие к узлу токи положительными и брать их в уравнениях первого закона Кирхгофа со знаком (+), а отходящие от узла, – отрицательными и брать их со знаком ().

Пример 1.1. На рис. 1.4,а показан узел цепи с пятью подходящими к нему ветвями. Требуется составить для этого узла уравнение по первому закону Кирхгофа.

Решение. На основании формулы (1.1) имеем Таким образом, всегда сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, отходящих от узла.

Второй закон Кирхгофа относится к контурам цепи: в любой момент времени алгебраическая сумма ЭДС всех источников энергии контура равна алгебраической сумме напряжений на всех участках этого контура.

где Q – число источников ЭДС в контуре; N – число приемников контура.

Для составления уравнения по второму закону Кирхгофа необходимо предварительно (произвольно) выбрать направление обхода этого контура. Те ЭДС и напряжения, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода, считаются положительными и берутся в уравнении со знаком (+), а остальные со знаком ().

Пример 1.2. На рис. 1.4,б показан один из контуров сложной электрической цепи. Направления действия ЭДС источников и напряжений на приемниках известны. Требуется составить для этого контура уравнение по второму закону Кирхгофа.

Решение. Для этого предварительно выбираем (произвольно) направление обхода контура и в соответствии с формулой (1.2) составляем следующее уравнение:

Здесь е2 и е3, u1 и u2 взяты со знаком (), так как их направление действия не совпадает с направлением обхода контура; е1, u4 и u3 взяты со знаком (+), так как их направление действия совпадает с направлением обхода контура.

Любая электрическая цепь и каждый ее элемент в отдельности обладают тремя параметрами: сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С.

Сопротивление R характеризует способность цепи преобразовывать электромагнитную энергию в тепловую. Количество тепловой энергии WТ, выделяющееся в сопротивлении R при протекании тока i в течение времени t, определяется соотношением (1.3) и измеряется в джоулях (Дж):

Величина сопротивления любого элемента цепи определяется как отношение постоянного напряжения на этом элементе к постоянному току в нем и измеряется в омах (Ом):

Индуктивность L характеризует способность цепи накапливать энергию магнитного поля. Такой способностью обладает любой проводник с током или система проводов. Количество этой энергии WM, накопленной в цепи, зависит от величины тока i и измеряется в джоулях (Дж):

Эта энергия не преобразуется в тепло, а существует в цепи в виде некоторого запаса. Когда ток в цепи равен нулю, запаса энергии магнитного поля в ней нет.

Величина индуктивности определяется как отношение потокосцепления цепи к току i и измеряется в генри (Гн):

Потокосцеплением называется сумма магнитных потоков всех витков катушки. В простейшем случае для катушки на замкнутом стальном сердечнике можно считать, что ее потокосцепление есть магнитный поток Ф, умноженный на число витков w: = Ф w.

Емкость С характеризует способность цепи накапливать энергию электрического поля. Такой способностью обладают любые два провода, разделенные диэлектриком, например провод, висящий над землей, любые два провода линии передачи.

Количество энергии электрического поля WЭ, накопленной в цепи с емкостью С, зависит от величины напряжения между проводами и измеряется в джоулях (Дж):

Эта энергия не может преобразовываться в тепловую, а существует в цепи в виде некоторого запаса. Если напряжение между проводами отсутствует, то и запаса энергии электрического поля в цепи нет.

Величина емкости С определяется как отношение электрического заряда q одного из проводов к напряжению u между ними и измеряется в фарадах (Ф):

Если R, L и С являются постоянными величинами и не зависят от тока (или напряжения), то такие элементы называются линейными, а цепи, их содержащие, называются линейными цепями.

Элементы, параметры которых зависят от тока или напряжения, называются нелинейными, а цепи, их содержащие, также называются нелинейными цепями.

Свойства нелинейного элемента электрической цепи не могут быть выражены одним постоянным числом и поэтому описываются его характеристикой.

Для сопротивлений это зависимости напряжения от тока (вольтамперные характеристики); для индуктивностей это зависимости потокосцепления от тока (веберамперные характеристики); для емкостей это зависимости электрического заряда от напряжения (кулонвольтные характеристики).

На рис. 1.5 показаны примеры характеристик некоторых линейных (ЛЭ) и нелинейных (НЭ) элементов цепи.

Заметим, что характеристики всех линейных элементов цепи являются прямыми линиями, а нелинейных элементов – кривыми.

Любое электротехническое устройство содержит все три параметра:

сопротивление R, индуктивность L и емкость С. Рассмотрим (рис. 1.6) катушку, выполненную из провода с конечной проводимостью (это может быть и нить лампы накаливания, и обмотка трансформатора или электродвигателя).

При подаче на ее зажимы напряжения u на концах катушки появляются разноименные заряды (+)q и ()q и в обмотке начинает протекать ток i. При этом вокруг витков обмотки возникает магнитное поле, характеризуемое потокосцеплением. Таким образом, в соответствии с формулами (1.4), (1.6) и (1.8) рассматриваемая катушка обладает всеми тремя вышеуказанными параметрами.

Для удобства анализа и расчета электрических цепей вводят в рассмотрение такие элементы, которые при всех условиях обладают только одним параметром: только сопротивлением, только индуктивностью, только емкостью.

Они называются идеальными.

Графическое изображение идеальных элементов электрической цепи показано на рис. 1.2 позициями 4, 5 и 6. В природе таких элементов не существует, но есть устройства, по своим свойствам близкие к идеальным. Реостат (резистор) при низких частотах обладает практически только сопротивлением R, а индуктивностью L и емкостью С этого устройства можно пренебречь. Катушка индуктивности на замкнутом ферромагнитном сердечнике с малыми тепловыми потерями в нем обладает на низких частотах практически только индуктивностью L, а сопротивлением R и емкостью С такой катушки можно пренебречь. Конденсатор с малыми внутренними тепловыми потерями обладает практически только емкостью С, а его активной проводимостью G и индуктивностью L можно пренебречь.

Любое реальное электротехническое устройство можно изобразить в виде электрической схемы, состоящей из комбинации идеальных элементов и, следовательно, произвести его электрический расчет.

1.7. Соотношение между током и напряжением в идеальных элементах Прежде чем приступать к расчету сколько-нибудь сложных электрических цепей, следует выяснить, каким образом связаны между собой ток и напряжение в каждом из идеальных элементов цепи. Эти соотношения, называемые уравнения элементов, известные из курса физики, приведены в табл. 1.1. Они имеют всеобщий характер и справедливы для цепей, у которых ток и напряжение изменяются во времени по любому закону.

Из табл. 1.1 видно, что только в сопротивлении R ток и напряжение связаны между собой алгебраическим соотношением. Между током и напряжением в индуктивности и емкости имеют место интегродифференциальные соотношения.

Формулы для определения тока и напряжения в идеальных элементах           i        L  Пример 1.3. В цепи с идеальной индуктивностью (рис. 1.7,а) действует пилообразный периодический ток (рис. 1.7,б). Требуется определить форму приложенного напряжения.

Решение. Для нахождения графика напряжения используем соотношение u L di dt, из которого следует, что форма кривой напряжения соответствует производной от тока по времени.

В нашем примере на участке от 0 до T/2 кривая тока представляет собой прямую, проходящую через начало координат под острым углом 1 90 к оси t, и поэтому производная di / dt на этом участке есть постоянная и положительная конечная величина.

На участке от T/2 до Т ток представляет собой прямую, составляющую тупой угол с осью t 2 90, и поэтому производная di / dt на этом участке есть постоянная и отрицательная величина. При этом tg 2 tg (180 1 ) tg 1.

Таким образом, график искомого напряжения представляет собой отрезки прямых, меняющих каждую половину периода свой знак, как это показано на рис. 1.7,б.

Сколько ветвей в данной цепи?

источника тока:

ляется энергия магнитного поля В теме 2 рассматриваются вопросы, входящие в первый раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует иcпользовать материал темы 2.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [3].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

особенности реактивных элементов в цепях постоянного тока;

законы Ома и Кирхгофа в цепях постоянного тока;

мощность в цепях постоянного тока;

расчет при последовательном, параллельном и смешанном соединении сопротивлений;

расчет простых цепей с одним источником;

расчет сложных цепей методом непосредственного применения законов Кирхгофа.

2.1. Некоторые особенности цепей постоянного тока Цепи, у которых ЭДС источников, а также токи и напряжения на всех ее элементах остаются неизменными во времени, называются цепями постоянного тока. Цепи постоянного тока содержат все три параметра: сопротивление, индуктивность и емкость. Однако при неизменных ЭДС напряжения на индуктивностях и токи в емкостях равны нулю. В самом деле, при IL = const и UC = const напряжение U L dI L dt 0 и ток I C dU C dt 0.

Получается так (рис. 2.1), что в цепи постоянного тока все индуктивности закорочены (UL = 0), а ветви с емкостями разомкнуты (IC = 0) и в работе цепи участия не принимают. Поэтому расчетным параметром цепи постоянного тока является только сопротивление R её элементов.

2.2. Закон Ома и законы Кирхгофа для цепей постоянного тока Закон Ома для любой ветви цепи постоянного тока определяется соотношением, показанным в табл. 2.1, поз. 1, в котором вместо мгновенных значений u и I используются значения постоянного напряжения U и тока I Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью. Она обозначается как G и измеряется в сименсах (См):

Первый закон Кирхгофа для любого узла цепи постоянного тока записывается аналогично общей формуле (1.1), у которой переменные во времени токи iк заменены на постоянные токи Iк.

где К – число ветвей, подходящих к данному узлу цепи (не менее трех).

Токи, направленные к узлу, будем считать положительными и вводить в уравнение (2.3) со знаком (+), а токи, направленные от узла, – отрицательными и вводить в уравнение со знаком ().

Второй закон Кирхгофа для любого контура цепи постоянного тока записывается аналогично формуле (1.2), у которой переменные во времени величины еq и un заменены постоянными величинами Eq и Un. При этом в соответствии с формулой (2.1) Как и прежде (глава 1), ЭДС и токи, совпадающие с принятым направлением обхода контура, будем считать положительными и вводить их в уравнение (2.4) со знаком (+), а несовпадающие с обходом контура, отрицательными и вводить в уравнение со знаком ().

Энергия электромагнитного поля, вырабатываемая в источниках постоянного тока, преобразуется в приемниках в тепло и другие виды энергии, в том числе и в механическую работу.

Количество энергии, выделяемой в приемнике с сопротивлением R за время t при протекании тока I, определяется формулой (1.3) и измеряется в джоулях (Дж) WT I 2 R t. Энергия, отнесенная к единице времени, представляет собой мощность приемника и измеряется в ваттах (Вт):

К ним относятся цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединением сопротивлений. Их расчет осуществляется с помощью закона Ома и законов Кирхгофа.

а) Цепь с последовательным соединением сопротивлений (рис. 2.2,а).

Эта неразветвленная одноконтурная цепь, по которой протекает один и тот же ток I во всех ее сопротивлениях. При этом на каждом из них возникает напряжение, определяемое законом Ома в соответствии с формулой (2.1). К такой цепи применяем 2-й закон Кирхгофа. Выбрав (произвольно) направление обхода контура по часовой стрелке, получаем Таким образом, в последовательной цепи постоянного тока общее напряжение цепи U складывается из суммы напряжений всех ее элементов, а общее сопротивление цепи RЭ складывается из суммы всех ее сопротивлений.

б) Цепь с параллельным соединением сопротивлений (рис. 2.2,б). В такой цепи напряжение одинаково на всех её сопротивлениях, но токи в них в общем случае различны. Применяем к такой цепи первый закон Кирхгофа для узла «а», получаем I I 1 I 2 0 или Токи I1 и I2 можно выразить и через проводимость G в соответствии с формулами (2.2) и (2.1) Таким образом, в параллельной цепи постоянного тока общий ток I есть сумма токов, а общая проводимость GЭ цепи есть сумма проводимостей всех ее ветвей. Общее сопротивление цепи из двух параллельных ветвей определяется формулой (2.9) 1 / RЭ 1 / R1 1 / R2, откуда получаем 2.5. Расчет сложных цепей постоянного тока непосредственно Сложными называются разветвленные электрические цепи со многими источниками энергии. Пример такой цепи показан на рис. 2.3.

Для ее расчета, т. е. для определения токов во всех ее ветвях, необходимо составить систему уравнений по законам Кирхгофа. Общее число уравнений в системе должно соответствовать числу неизвестных токов, т. е. числу ветвей. Для нашей цепи это пять неизвестных токов. При этом а) по первому закону Кирхгофа составляется число уравнений, на единицу меньшее числа узлов цепи, поскольку уравнение для последнего узла есть следствие всех предыдущих уравнений и не дает ничего нового для расчета. В нашем примере по 1-му закону Кирхгофа надо составить 2 уравнения, так как в цепи три узла;

б) по второму закону Кирхгофа составляются все недостающие уравнения для любых произвольно выбранных контуров цепи. В нашем примере по 2-му закону Кирхгофа надо составить три уравнения ( 5 2 = 3 ).

Предварительно следует задаться (произвольно) направлением токов во всех ветвях цепи и направлением обхода выбранных контуров. При составлении уравнений по 1-му закону Кирхгофа в соответствии с формулой (2.3) токи, подходящие к узлу, будем считать положительными и брать со знаком (+), а токи, отходящие от узла – отрицательными и брать со знаком (). При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в соответствии с формулой (2.4) ЭДС и токи, совпадающие с выбранным направлением обхода контура будем брать со знаком (+), а несовпадающие – со знаком ().

Заметим, что произвольность выбора направлений токов в ветвях цепи и направлений обхода контуров не влияет на конечный результат расчета.

Если в результате расчетов некоторые из найденных токов будут иметь знак (), то это будет означать, что их истинное направление противоположно предварительно принятому.

Приняв для нашей цепи направление токов в ветвях и направление обхода трех выбранных контуров, как показано на рис. 2.3, составляем следующую систему уравнений:

Решив полученную систему уравнений, определим токи во всех пяти ветвях этой цепи.

Расчет сложных цепей другими методами будет рассмотрен ниже в разделе 2 для цепей синусоидального тока. Отметим, что методы расчета цепей постоянного тока и цепей синусоидального тока комплексным методом аналогичны.

Для любой, сколько угодно сложной цепи постоянного тока, можно составить энергетический баланс, вытекающий непосредственно из закона сохранения энергии: алгебраическая сумма всех мощностей источников энергии равна сумме всех мощностей приемников энергии:

В этой формуле К число источников энергии цепи; N – число приемников энергии цепи.

Во всех приемниках энергии токи и напряжения имеют одно и то же направление. Поэтому правая часть уравнения (2.11) является арифметической суммой мощностей всех приемников цепи. Что касается левой части этого уравнения, то в некоторых ветвях сложной цепи ток ветви может оказаться направленным противоположно действию ЭДС источника энергии. Тогда произведение EI получается отрицательным. Физически это означает, что при таком режиме работы рассматриваемый источник не генерирует энергию, а потребляет ее (например, аккумулятор при его зарядке).

1. U IR Для изучения данной темы следует использовать материал темы 3. Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [3].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

характеристики синусоидального тока, напряжения;

графическое изображение синусоидальных токов и напряжений (векторные диаграммы);

применение векторных диаграмм к расчету цепей синусоидального тока;

законы Кирхгофа в векторной форме записи;

действующие значения синусоидальных токов и напряжений;

элементы R, L и C в цепи синусоидального тока;

цепь с последовательным соединением элементов R, L и C;

цепь с параллельным соединением элементов R, L и C;

             мощность цепи синусоидального тока;

понятие о двухполюсниках и об эквивалентных цепях.

Выполнить на компьютере лабораторную работу 1.

3.1. Основные понятия о синусоидальных процессах Синусоидальный ток – это периодический ток, изменяющийся во времени по закону синуса. График этого тока представлен на рис. 3.1 в виде кривой, полученной на экране осциллографа.

На этом рисунке ось времени t (ось абсцисс) проведена между наибольшим и наименьшим значением тока. Ось тока (ось ординат) проведена перпендикулярно оси времени. Пересечение ее с осью начала отсчета времени t можно выбирать произвольно. Значение тока i в любой момент времени t называется мгновенным значением. Все значения i выше оси t считаются положительными, а ниже оси – отрицательными. Максимальное значение тока (относительно оси t) называется амплитудой и обозначается Im. Синусоидальный ток изменяется во времени от +Im до –Im.

Наименьшее время Т, по истечении которого значения тока повторяются, называется периодом тока. На осциллограмме период наиболее удобно измерять между двумя амплитудами. Число периодов, совершаемых током за одну секунду, называется частотой тока f. Частота тока и период тока – величины взаимообратные. Частота f имеет физическую размеренность 1/c и названа "герц" (Гц):

При теоретических расчетах часто используют понятие об угловой (круговой) частоте. Угловая частота связана с частотой f (1/с) соотношением Все сказанное выше о синусоидальном токе справедливо и по отношению к синусоидальному напряжению и синусоидальной ЭДС.

3.2. Аналитическая запись синусоидальных токов и напряжений Синусоидальные токи и напряжения выражаются аналитически следующим образом:

В этих формулах:

i и u мгновенные значения тока и напряжения; Im и Um – амплитуды тока и напряжения; угловая частота тока и напряжения; t – время; (t +i) и (t + u) – фазы тока и напряжения, измеряемые в градусах (град) или радианах (рад); i и u начальные фазы тока и напряжения это фазы (t +i) и (t + u) при t = 0. Их численные значения зависят от выбора момента начала отсчета времени.

Для полного определения синусоидального тока или напряжения необходимо знать три величины: амплитуду, частоту и начальную фазу, Если известно приложенное к цепи синусоидальное напряжение, то это значит, что заданы Um, и u. Следовательно, для определения синусоидального тока этой цепи надо определить только две величины: Im и i, так как частота тока такая же, как и у приложенного напряжения.

3.3. Способы графического изображения синусоидальных токов Существует два способа графического изображения синусоидальных токов и напряжений: с помощью графиков i(t) и u(t) в декартовых координатах (подобно рис. 3.1) и с помощью вращающихся векторов в полярных координатах.

На рис. 3.2,а показано изображение тока в виде вектора длиной Im, вращающегося (как принято в теории цепей) против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью (соответствующей угловой частоте тока) относительно полюса 0 полярной системы координат. Его положение на этом рисунке зафиксировано в момент времени t = 0, при котором угол его наклона к полярной оси Р составляет величину, равную начальной фазе + i (положительные начальные фазы откладывают от полярной оси против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой).

При вращении вектора I m против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью проекция этого вектора на ось, перпендикулярную полярной оси (рис. 3.2,б), совершает синусоидальные колебания во времени. В самом деле, пусть за время t, прошедшее от начала отсчета вектор I m при своем вращении против часовой стрелки повернулся на угол = t (рис. 3.2,б). Тогда проекция этого вектора на ось, перпендикулярную полярной оси, составит i = Imsin (t + i), что является мгновенным значением тока.

Пример 3.1. Известны синусоидальные ток и напряжения некоторой цепи (рис. 3.3): i = 2sin (314t+60) A; u = 30sin (314t – 30) B. Требуется изобразить графически ток и напряжение в полярных и декартовых координатах.

Решение. Вначале изображаем ток i и напряжение u цепи в полярных координатах (рис. 3.3,а) в виде вращающихся векторов, зафиксированных на плоскости при t = 0. Для этого выбираем произвольно направление полярной оси Р и располагаем вектор тока длиной Im =2А под углом i = +60 к ней, а вектор напряжения длиной Um=30 В располагаем под углом u = 30 к полярной оси.

Для изображения тока и напряжения в декартовых координатах (рис. 3.3,б) устанавливаем ось абсцисс (ось t) так, чтобы она располагалась на одной прямой с полярной осью (Р). Затем вращаем векторы I m и U m против часовой стрелки с угловой скоростью и фиксируем проекции этих векторов на декартовой плоскости через каждые 30 их поворота. В результате получаем графики изменения синусоидального тока и напряжения во времени, как это показано на рис. 3.3,б.

Заметим, что величины начальных фаз тока и напряжения определяются отрезками на оси абсцисс между началом координат и ближайшими точками ее пересечения синусоидами при переходе значений от отрицательных к положительным. При этом положительные начальные фазы (в нашем примере i = +60) располагаются левее точки 0, а отрицательные (в нашем примере u = 30) – правее точки 0.

3.4. Векторные диаграммы и их применение к расчету цепей Графики токов i (t) и напряжений u (t) в декартовых координатах иногда используются для иллюстрации электромагнитных процессов в электрических цепях, но для практических расчетов не пригодны.

При решении электротехнических задач широко используется изображение токов и напряжений в виде вращающихся против часовой стрелки векторов, положение которых на плоскости зафиксировано для момента времени t = 0.

Пример 3.2. Известны (рис. 3.4,а) синусоидальные токи двух параллельно включенных двухполюсников 1 и 2: i1=3 sin (628t + 30) A; i2 = 4 sin (628t – 60) A. Требуется: определить синусоидальный ток i в неразветвленной части цепи.

Решение. Для узла а цепи справедлив первый закон Кирхгофа: i – i1 – i2 = или i = i1 + i2. Следовательно, для нахождения тока в неразветвленной части цепи необходимо сложить синусоиды i1 и i2. Это легко сделать если воспользоваться изображением токов в виде векторов по образцу рис. 3.2,а. Для определения общего тока надо определить только две характеризующие его величины – амплитуду Im и начальную фазу i, поскольку частота тока = 628 1/с задана. Эти величины можно легко найти графически, сложив векторы Im1 и Im2 так, как это делают в механике при нахождении вектора результирующих сил:

Векторы исходных токов и результат их сложения показан на рис. 3.4,б.

Здесь длина суммарного вектора равна амплитуде общего тока Im, а угол наклона к полярной оси (Р), есть начальная фаза i общего тока.

Путем непосредственных измерений находим, что Im = 5A и i = – 23 (знак ”– ” взят потому, что он расположен по часовой стрелке от полярной оси Р).

Таким образом, искомый ток i = 5sin (628t – 23) А.

Совокупность векторов токов и напряжений цепи, называется векторной диаграммой этой цепи. Она позволяет заменить алгебраическое сложение (вычитание) синусоидальных токов и напряжений графическим сложением (вычитанием) векторов и тем самым значительно облегчить расчет цепей синусоидального тока.

3.5. Закон Кирхгофа в векторной форме записи При расчете цепей можно использовать законы Кирхгофа в векторной форме записи.

Геометрическая сумма векторов всех токов, подходящих к любому узлу цепи, равна нулю.

Геометрическая сумма векторов всех ЭДС любого контура цепи равна сумме векторов напряжений на всех участках этого контура. В формуле (3.6) К – число источников энергии в контуре, N – число участков в контуре.

3.6. Фазовые соотношения между синусоидальными токами и напряжениями Если две или несколько синусоид имеют одинаковые начальные фазы, то это значит, что они совпадают по фазе. На векторной диаграмме такие синусоиды располагаются на одной прямой или параллельно друг другу.

Если две синусоиды имеют неодинаковые начальные фазы, то это значит, что они не совпадают по фазе или, иначе говоря, сдвинуты по фазе. Та из двух синусоид, фаза которой больше (с учетом знака), называется опережающей по фазе, тогда как другая – отстающей по фазе.

Так, из векторной диаграммы, показанной на рис. 3.4,б, следует, что ток i опережает общий ток цепи i по фазе на 53, а ток i2 отстает от тока i по фазе на 37. Заметим, что угол сдвига фаз между синусоидами не является произвольной величиной. Он зависит от соотношения между параметрами R, L и C электрической цепи, о чем подробно будет изложено ниже.

В электроэнергетике большое значение придается углу сдвига фаз между напряжением и током цепи. Он определяется как разность начальных фаз напряжения и тока (с учетом их собственных знаков) и обозначается греческой буквой :

На рис. 3.5 показано соотношение между углом сдвига фаз и начальными фазами напряжения u и тока i (здесь они взяты положительными). От величины угла сдвига фаз зависит эффективность работы электрической цепи.

3.7. Действующие значения синусоидальных токов и напряжений В цепях синусоидального тока для измерения действующих значений токов и напряжений используют амперметры и вольтметры.

Понятие о действующем значении тока сложилось исторически при переходе электроэнергетики от использования сетей постоянного тока к сетям переменного синусоидального тока. Новый для того времени переменный ток сравнивали с постоянным током по его способности преобразовывать электромагнитную энергию в тепловую. Условились считать синусоидальный ток эквивалентным (равноценным) в этом смысле постоянному току, если он в сопротивлении R за время T одного периода выделяет такое же количество тепла, что и постоянный ток. При этих условиях количество тепла, выделяемого постоянным током, Wпост = I2RT, а количество тепла, выделенного синуT соидальным током, Wсин i 2 R dt. Полагая Wпост = Wсин, находим, что:

Полученное соотношение определяет величину постоянного тока I, эквивалентного синусоидальному току по тепловому действию. Эта величина называется действующим значением синусоидального тока i. Подставив i = Im sin(t+i) в формулу (3.8) и произведя интегрирование, получаем Таким образом, действующие значения синусоидального тока в 2 раз меньше его амплитуды.

Аналогичная формула существует и для определения действующего значения синусоидального напряжения:

В настоящее время действующие значения синусоидального тока и напряжения являются основными расчетными величинами. Поэтому при дальнейшем изложении будем использовать, главным образом, действующие значения этих величин.

Рассмотрим амплитудные и фазовые соотношения между током и напряжением в элементах R, L и C. Для этого приложим к этим элементам синусоидальное напряжение u = Um sin(t+u) и рассчитаем мгновенное значение тока в каждой из них (т. е. найдем его амплитуду и начальную фазу).

1. Сопротивлением R. В этом элементе Анализ полученного выражения:

Сопротивление R в цепи синусоидального тока называется активным, так как в нем проходит процесс преобразования электромагнитной энергии в тепловую. В большом диапазоне частот активное сопротивление R практически постоянно. Величина, обратная активному сопротивлению, называется активной проводимостью: G 1 R. Тогда формула для тока приобретает вид Это закон Ома для цепи синусоидального тока с активным сопротивлением.

б) Начальная фаза тока i u или = u – i = 0, т. е. в цепи с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе.

2. Индуктивностью L. В этом элементе Анализ полученного выражения:

Выражение X L L, Ом, стоящее в знаменателе – это реактивное индуктивное сопротивление цепи. Величина, обратная индуктивному сопротивлению, называется индуктивной проводимостью Тогда формула для тока в индуктивности приобретает вид Это закон Ома для цепи синусоидального тока с индуктивным сопротивлением.

индуктивностью ток отстает от напряжения по фазе на 90.

3. Емкостью C. В этом элементе Анализ полученного выражения:

Выражение X C 1 С, Ом, стоящее в знаменателе – это реактивное емкостное сопротивление цепи. Величина, обратная емкостному сопротивлению, называется емкостной проводимостью Тогда формула для тока в емкости получает вид Это закон Ома для цепи синусоидального тока с емкостью.

б) Начальная фаза тока i = u + 90, т. е. в цепи с емкостью ток опережает приложенное напряжение по фазе на 90°. При этом = u – i = – 90.

Результаты исследования простейших цепей синусоидального тока представлены в табл. 3.1. Там же показаны их векторные диаграммы, а на рис. 3.6 даны осциллограммы токов и напряжений для цепей с R, L и С.

Амплитудные и фазовые соотношения между током и напряжением 3.9. Зависимость активного, индуктивного и емкостного Эти зависимости представлены в виде графика на рис. 3.7.

Активное сопротивление R в при низких частотах практически не зависит от частоты и остается неизменной величиной, но индуктивное и емкостное сопротивления цепи синусоидального тока, в принципе, зависят от частоты приложенного напряжения.

Индуктивное сопротивление XL=L изменяется прямо пропорционально частоте. При частоте 0, XL 0, что подтверждает положение о том, что индуктивность в цепи постоянного тока не обладает сопротивлением.

Емкостное сопротивление X C 1 C изменяется обратно пропорционально частоте: при 0 емкостное сопротивление XC, что соответствует отсутствию тока в емкости в цепи постоянного тока.

Частота = 0 имеет место в цепи постоянного тока.

u=Umsin(t+u) и параметры R, L, C цепи (рис. 3.8,а). Требуется определить ток цепи i, т. е. его амплитуду Im и начальную фазу i.

В цепи с последовательным соединением R, L, C ток во всех ее элементах одинаков, а напряжения на элементах различные. В такой цепи действует 2-й закон Кирхгофа, который в векторной форме записи в соответствии с формулой Решим поставленную задачу с помощью векторной диаграммы. Она показана на рис. 3.8,б для случая, когда UL UC. Диаграмму начинаем строить с вектора тока I, откладывая его на плоскости чертежа вертикально вверх (выбор произвольный).

В соответствии с табл. 3.1 вектор UR совпадает с вектором I по фазе, вектор UL опережает вектор I по фазе на 90, а вектор UC отстает от вектора I по фазе на 90.

Применяя правило многоугольника для сложения векторов и откладывая векторы UR,UL иUC друг за другом, находим векторU приложенного к цепи напряжения. Полученный результат показывает, что действующие значения напряжений этой цепи (длины векторов) соотносятся между собой как стороны прямоугольного треугольника. Этот треугольник напряжений показан на рис. 3.8,в. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, находим где UX = (UL – UC). Учитывая (табл. 3.1), что UR = IR, UL = IXL и UC = IXC, получаем Эта формула является законом Ома для цепи синусоидального тока с последовательным соединением активного и реактивных сопротивлений. Здесь полное сопротивление данной цепи.

Из формулы (3.20) следует, что активное R, реактивное X и полное z сопротивления рассматриваемой цепи также соотносятся между собой как стороны прямоугольного треугольника. Этот треугольник сопротивлений показан на рис. 3.8,г.

Заметим, что треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений: поделив все стороны треугольника напряжений на величину действующего значения тока I цепи, получаем треугольник сопротивлений.

Из векторной диаграммы видно, что ток и напряжение цепи не совпадают по фазе. Угол сдвига фаз определяется из треугольника напряжений или треугольника сопротивлений:

U UC X XC

Этот угол по абсолютному значению меньше 90. В нашем примере UL UC, угол 0 и цепь имеет индуктивный характер. Если UL UC, то 0 и цепь имеет емкостной характер. Если же UL = UC, то = 0 и цепь ведет себя как чисто активная.

Известно приложенное к цепи (рис. 3.9,а) синусоидальное напряжение u = Um sin(t+u) и ее параметры R,L,C. Требуется определить ток цепи i (Im и i).

В цепи с параллельным соединением R, L, C напряжение на всех ее элементах одинаково, а токи разные. Здесь действует 1-й закон Кирхгофа в векторной форме I = IR +IL +IC. Для решения задачи построим векторную диаграмму цепи. Она показана на рис. 3.9,б при условии, что IL IC. Диаграмму начинаем строить с общего для всей цепи вектора напряжения U, откладывая его на плоскости вертикально вверх (произвольный выбор).

Затем строим векторы IR IL и IC. Вектор IR откладываем по одной линии (параллельно) с вектором U, так как ток и напряжение в активном сопротивлении R совпадают по фазе. Вектор IL откладываем под углом 90 по часовой стрелке к вектору U, так как в индуктивности ток отстает от напряжения на 90. Наконец, вектор IC откладываем под углом 90 против часовой стрелки к вектору U, поскольку в цепи с емкостью ток опережает напряжение по фазе на 90.

IR IL IC

U R L C IC

Складывая эти векторы по правилу многоугольника (предварительно выстроив их друг за другом), находим результирующий вектор I. Из полученной диаграммы следует, что действующие значения токов ветвей (длины векторов) соотносятся между собой, как стороны прямоугольного треугольника (рис. 3.9,в). Применяя теорему Пифагора, получаем Подставляя эти значения токов в формулу (3.22), находим Эта формула является законом Ома для цепи с параллельным соединением активных и реактивных сопротивлений. Здесь полная проводимость исследуемой цепи.

Из формулы (3.24) следует, что активная G, реактивная b и полная y проводимости цепи соотносятся между собой, как стороны прямоугольного треугольника (рис. 3.9,г), подобного треугольнику тока: его можно получить, если все стороны треугольника тока поделить на действующее значение напряжения цепи U. Сравнивая между собой формулы (3.24) и (3.19), замечаем, что полная проводимость y и полное сопротивление z цепи являются взаимообратными величинами: y I U ; z U I. Отсюда Из векторной диаграммы на рис. 3.9,б, следует, что ток и напряжение цепи не совпадают по фазе. Угол сдвига фаз определяется либо из треугольника напряжений, либо из треугольника токов:

Этот угол, как видно из диаграммы, по абсолютному значению меньше 90. Здесь возможны три варианта. Если IL IС (bL bC), этот угол положителен и цепь имеет индуктивный характер. При IL IC (bL bC) угол сдвига фаз отрицателен и цепь имеет емкостной характер. Если IL = IC (bL = bC), то = 0 и цепь ведет себя как чисто активная.

На этом поставленная в условии задача нахождения тока цепи решена.

Результаты, полученные при рассмотрении данной задачи, позволяют рассчитывать цепи, содержащие параллельно соединенные элементы в любой комбинации.

3.12. Мощность цепи синусоидального тока.

Электрическая мощность в цепи синусоидального тока определяет количество электроэнергии, поступающее в нагрузку в единицу времени. Она равна произведению действующего значения напряжения U на действующее значение тока I. Ее физическая размерность – вольт-ампер (ВА). Различают три вида мощности: активную (P), реактивную (Q) и полную (S).

Мощность в активных сопротивлениях цепи называется активной (Р). Она характеризует скорость преобразования электромагнитной энергии в тепловую энергию и механическую работу и измеряется в ваттах (Вт).

Мощность в реактивных сопротивлениях цепи называется реактивной (Q) и измеряется (для ее отличия от активной мощности) в вольт-амперах реактивных (вар). Она характеризует скорость изменения запаса энергии в электрическом и магнитном полях цепи и не связана с преобразованием энергии электромагнитного поля в тепловую энергию.

Мощность на зажимах всей цепи, состоящей из различных комбинаций соединений R, L и C, называется полной мощностью (S) и измеряется в вольтамперах (ВА). Она характеризует скорость поступления электрической энергии в данную цепь.

Заметим, что активная Р, реактивная Q и полная S мощности соотносятся между собой как стороны прямоугольного треугольника. Для цепи с последовательным соединением R, L, C его легко получить, если все стороны треугольника напряжений умножить на действующее значение тока I цепи. Для цепи с параллельным соединением R,L,C треугольник мощностей получается, если все стороны треугольника токов умножить на действующее значение U приложенного напряжения.

3.13. Понятие о коэффициенте мощности и коэффициенте В энергетике широко распространено понятие о коэффициенте мощности цепи, под которым понимают отношение ее активной мощности Р к полной S:

Этот коэффициент показывает, какая доля полной мощности преобразуется в тепло и другие виды энергии. Энергетики стремятся эту долю свести к единице, т.е. иметь P = S или cos = 1, при котором угол сдвига фаз между напряжением и током цепи равен нулю. Иначе говоря, наиболее эффективным режимом работы цепи является резонанс токов. С этой целью на зажимы заводских и районных подстанций подключают батареи конденсаторов, подбирая их емкость так, чтобы в цепи имел место резонанс. Энергетики называют такие действия компенсацией реактивной мощности.

Не следует путать коэффициент мощности (cos) и коэффициент полезного действия ( ) электроустановок. Коэффициент мощности показывает, какая доля полной мощности S источника преобразуется в активную мощность, а коэффициент полезного действия показывает, насколько эта активная мощность эффективно используется в конкретных электрических установках, например в электродвигателях.

Известно (рис. 3.10), что мощность (РВЫХ), которую электродвигатель развивает на валу, меньше потребляемой из сети активной мощности (РВХ) за счет внутренних потерь (Р) на нагрев обмоток и сердечников, трение в подшипниках, работу вентилятора.

Коэффициент полезного действия электротехнической установки это отношение активной мощности на ее выходе к активной мощности на входе. Измеряется он в относительных единицах (или в процентах) и всегда меньше единицы (меньше 100 %).

Р ВХ Р ВХ

Коэффициент полезного действия мощных электродвигателей достигает 80 % и более.

3.14. Понятие о двухполюсниках и об эквивалентных цепях Двухполюсником называется электрическая цепь любой сложности, имеющая два выходных зажима. Двухполюсник является активным, если содержит внутри себя источники энергии, и пассивным, если не содержит. Заметим, что все рассмотренные нами ранее электрические цепи были пассивными двухполюсниками.

Два или несколько двухполюсников являются эквивалентными (равноценными), если на их зажимах одинаковы синусоиды тока и синусоиды напряжения (иначе говоря, внешние характеристики цепи должны остаться неизменными). Эти условия означают, что на зажимах всех эквивалентных двухполюсников одинаковы действующие значения токов, напряжений и углы сдвига фаз между напряжением и током. Такие двухполюсники можно заменять друг на друга без изменения режима работы остальной цепи. Из этого положения, в частности, следует, что пассивный двухполюсник любой сложности можно эквивалентно заменить простейшей цепью с последовательным или параллельным соединением активного и реактивного сопротивлений, как это показано на рис. 3.11. Такие преобразования широко используются в теоретической электротехнике для упрощения расчетов сложных цепей.

Если двухполюсник, показанный на рис. 3.11, эквивалентен по отдельности схемам (б) и (в), то эти схемы также эквивалентны друг другу.

РАЗДЕЛ 2. Методы расчета электрических цепей Опорный конспект Тема Опорный конспект Тема Контрольная ра- Контрольная работа – задача 2 бота – задача Глоссарий Специальность Часы 4. Комплексный метод расчета простых цепей В теме 4 рассматриваются вопросы, входящие во второй раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует использовать материал темы 4.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [3].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

основы комплексного метода расчета цепей синусоидального тока;

комплексные токи, напряжения, сопротивления, проводимости;

законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме;

комплексная мощность;

расчет простых цепей комплексным методом По этой теме следует выполнить лабораторную работу 2.

Расчет разветвленных цепей синусоидального тока с помощью векторных диаграмм весьма затруднен. Выход из этих затруднений состоит в том, что вектора можно математически представить в виде комплексных чисел. В результате геометрические действия с векторами можно заменить алгебраическими действиями с комплексными числами.

Таковы исходные положения комплексного (символического) метода. Он позволяет заменить геометрические действия с векторами токов и напряжений алгебраическими действиями с комплексными числами. При этом следует всегда помнить, что каждому вектору на плоскости соответствует комплексное число, а каждому комплексному числу соответствует вектор на плоскости.

Рассмотрев ниже комплексный метод, убедимся в том, что все его формулы окажутся внешне тождественными расчетным формулам цепей постоянного тока, что значительно упрощает освоение этого метода.

Применяя комплексный метод, будем пользоваться всеми известными из курса математики правилами действия с комплексными числами. Сводка наиболее важных из них представлена в табл. 4.1.

Главными положениями комплексного метода являются понятия о комплексных токах и напряжениях, о комплексном сопротивлении, комплексной проводимости и комплексной мощности.

Положение векторов токов и напряжений на комплексной плоскости показано на рис. 4.1. Здесь: U комплексное действующее значение напря-жения (сокращенно – комплексное напряжение); I комплексное действующее значение тока (сокращенно – комплексный ток).

Аналитическая запись U и I имеет вид Формулы (4.1) представляют собой алгебраическую, тригонометрическую и показательную формы записи. В этих формулах: а1 и а2 вещественные части комплексных величин; b1 и b2 мнимые части комплексных величин; U и I модули комплексных величин (действующие значения); u и i аргументы комплексных величин (начальные фазы).

Заметим, что складывать и вычитать комплексные токи или комплексные напряжения удобно в алгебраической форме записи, а умножать и делить – в показательной форме.

При построении векторных диаграмм сложных цепей (трансформатор, асинхронный двигатель) комплексные токи и напряжения могут располагаться в любом из четырех ее квадрантов, как это показано для тока на рис. 4.2.

Основные действия с комплексными числами применительно изображение и формулы перехода ной к алгебраической форме записи Некоторые широко используемые формулы:

Здесь же даны формулы, определяющие его алгебраическую и показательную форму записи (номера квадрантов указаны римскими цифрами I, II, III и IV).

На этом рисунке I a 2 b 2 одинаков для всех квадрантов.

Те же соотношения справедливы и для комплексного напряжения U, расположенного в различных квадрантах комплексной плоскости.

4.3. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость а) Комплексное сопротивление Z есть отношение комплексного напряжения U к комплексному току I :

Это показательная форма записи. Здесь z – полное сопротивление цепи, а угол сдвига между напряжением и током.

Переходя к алгебраической форме записи Z через тригонометрическую, находим, что его вещественная часть zcos соответствует активному сопротивлению цепи R, а его мнимая часть zsin соответствует реактивному сопротивлению Х. Поэтому Таким образом, комплексное сопротивление содержит в себе полное сопротивление цепи z, активное сопротивление R, реактивное сопротивление Х и угол сдвига фаз между напряжением и током.

б). Комплексная проводимость Y есть величина, обратная комплексному сопротивлению Z и равная отношению комплексного тока к комплексному напряжению:

Это показательная форма записи. Здесь y – полная проводимость цепи, а угол сдвига фаз между напряжением и током (знак минус появился здесь чисто формально в результате взятия обратной величины от Z ). Аналогично находим, что ее вещественная часть ycos соответствует активной проводимости цепи G, а ее мнимая часть y sin реактивной проводимости b. Поэтому Таким образом, комплексная проводимость содержит в себе полную проводимость у, активную проводимость G, реактивную проводимость b и угол сдвига фаз между напряжением и током.

Заметим, что формулы (4.2) и (4.3) представляют собой закон Ома в комплексной форме записи для участка цепи с Z или Y.

Эти формулы имеют обобщенный характер и справедливы для комплексных сопротивлений и проводимостей, имеющих как активные, так и реактивные составляющие. Однако в теории цепей важно знать также комплексную форму записи чисто активных, чисто индуктивных и чисто емкостных сопротивлений, проводимостей и формулы закона Ома для цепей, содержащих такие сопротивления и проводимости. Все эти соотношения представлены в табл. 4. и 4.3.

Из табл. 4.3 вытекают следующие соответствия между мгновенными и комплексными значениями напряжений и токов:

где () – принятый здесь знак соответствия.

Активные, индуктивные, емкостные сопротивления и проводимости Комплексная форма записи закона Ома для цепей с активным, индуктивным, емкостным сопротивлениями

U Z R I RI

Комплексная мощность есть произведение комплексного напряжения на сопряженный комплексный ток цепи Это показательная форма записи комплексной мощности. Здесь S – полная мощность цепи; угол сдвига фаз между напряжением и током;

I Ie j i комплексный ток, сопряженный заданному комплексному току I Ie j i. Переходя от показательной к алгебраической форме записи находим, что ее вещественная часть Scos соответствует активной мощности цепи Р а ее мнимая часть Ssin реактивной мощности цепи Q. Поэтому Знак над комплексной мощностью носит название «тильда» и ставится вместо точки потому, что мощность не является синусоидой.

Таким образом, комплексная мощность цепи содержит в себе полную мощность S, активную мощность Р, реактивную мощность Q и угол сдвига фаз между напряжением и током.

Заметим, что полная мощность S равна модулю комплексной мощности 4.5. Законы Кирхгофа в комплексной форме записи Законы Кирхгофа в комплексной форме записи и алгоритмы составления уравнений по этим законам выполняются.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов в узле равна нулю:

где К число ветвей подходящих к данному узлу цепи Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных ЭДС контура равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех комплексных сопротивлениях этого контура:

где Q – число источников ЭДС контура; N – число комплексных сопротивлений контура.

Сравнивания формулы закона Ома и законов Кирхгофа для цепей постоянного тока с соответствующими формулами для цепей синусоидального тока в комплексной форме записи, легко убеждаемся в том, что они формально тождественны (аналогичны) друг другу, хотя физические процессы в сравниваемых цепях различны. Таким образом, если в формулах для цепей постоянного тока заменить U, I, E, R и G на U, I, E, Z и Y, то получаем формулы, записанные в комплексной форме. Это позволяет все методы расчета цепей постоянного тока применять для расчета комплексных токов, на основании которых находятся действующие и мгновенные значения искомых токов.

Расчет цепей комплексным методом рекомендуется вести в следующей последовательности:

1. Изображаем заданные синусоидальные напряжения и параметры реактивных элементов комплексными числами (4.3), (4.4).

2. Используя законы Ома (4.2) и Кирхгофа (4.5, 4.6) в комплексной форме, составляем уравнения для определения комплексных токов (напряжений).

3. Определяем комплексные токи в ветвях в результате решения алгебраических уравнений п. 2. Основные алгебраические действия с комплексными числами, которые используются на этом этапе, приведены в приложении.

4. С учетом соответствия преобразуем найденные комплексные токи в ветвях в соответствующие мгновенные значения.

Пример 4.1. Определить мгновенные и действующие значения токов во всех ветвях цепи (рис. 4.3), у которой С = 200 мкФ, L = 10 мГн, R1 = R2 = u =12sin(314t + /6). Решение. 1. Вычислим индуктивное и емкостное Ом, сопротивления, включенные в параллельно соединенные ветви:

2. Изобразим синусоидальное входное напряжение и параметры реактивных элементов L и C комплексными числами:

Если начальная фаза u входного напряжения в условии задачи не задана, то ее рекомендуется взять равной нулю (u = 0).

3. Используя закон Ома в комплексной форме, составим уравнение для определения комплексной амплитуды тока на входе цепи:

где Z – комплексное сопротивление цепи определяется по аналогичным правилам расчета полного сопротивления резистивной цепи постоянного тока:

4. Определим амплитуду и действующее значение комплексного тока на входе цепи:

5. Преобразуем амплитуду комплексного тока на входе цепи в мгновенное значение синусоидального тока:

Дальнейший расчет цепи комплексным методом ведем по правилам расчета цепей постоянного тока.

6. Комплексное действующее значение напряжения на резисторе R 7. Комплексное действующее значение напряжения на участке разветвления цепи 8. Комплексное действующее значение токов в ветвях, соединенных параллельно:

9. Действующие и мгновенные значения токов в ветвях, соединенных параллельно:

10. Если рассчитанные комплексные токи и напряжения переместить на комплексную плоскость, то получим векторную диаграмму.

1) Дано: = 5e j 53 А. Какова алгебра- 6) Дано: = (80 j 60) A. Какова ическая форма записи тока? показательная форма записи тока?

4. 5cos53 + j 5sin

II I IV III

5. Методы расчета сложных цепей синусоидального тока В теме 5 рассматриваются вопросы, входящие в третий раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует иcпользовать материал темы 5.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [3].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

метод контурных токов;

метод узловых напряжений (узловых потенциалов);

метод эквивалентного источника;

баланс мощностей цепи синусоидального тока;

Сложной называют электрическую цепь, имеющую разветвленную структуру и содержащую несколько источников энергии.

В основу расчета (определения токов) будет положено изображение исходных данных цепи комплексными числами. Напомним, что законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме выполняются. Поэтому все рассмотренные ниже методы можно использовать для расчета цепей постоянного тока.

Метод расчета, основанный на непосредственном применении 1-го и 2-го законов Кирхгофа, рассматривался во второй лекции для цепей постоянного тока, и поэтому он здесь не представлен.

В основе метода лежит представление о независимых контурах, по которым протекают не зависимые друг от друга контурные токи.

Независимым называется контур, который содержит хотя бы одну новую ветвь, не входящую в другие контура.

На рис. 5.1 показана схема сложной цепи, в которой можно насчитать семь контуров. В ней можно выбрать только три независимых контура, например, контуры I, II, III. Остальные контуры окажутся зависимыми поскольку каждый из них содержит новые ветви, не входящие в другие контура.

В каждом из трех независимых контуров цепи протекает свой контурный ток. На рис. 5.1 показаны произвольно (по часовой стрелке) принятые направ-ления действия контурных токов I, II и III в независимых контурах цепи.

Контурные токи – промежуточные неизвестные данного метода расчета. Относительно них составляется система уравнений (используется второй закон Кирхгофа). Легко заметить, что контурных токов меньше, чем токов в ветвях цепи. Это позволяет понизить порядок системы уравнений по сравнению с решением задачи по 1-му и 2-му законам Кирхгофа.

III I III

Методику составления уравнений для контурных токов рассмотрим на примере контура I. Составим для него уравнения по второму закону Кирхгофа:

В левой части этого уравнения представлены все напряжения первого контура. Здесь I (Z1+Z2+Z5) – напряжение, создаваемое первым контурным током во всех сопротивлениях первого контура; IIZ2 – напряжение, создаваемое в сопротивлении Z2 первого контура током II второго контура, действующим противоположно току I и поэтому взятое со знаком (); IIIZ5 – напряжение, создаваемое в сопротивлении Z5 первого контура током III третьего контура, действующим противоположно току I и поэтому также взятое в уравнении со знаком ().

Правая часть уравнения (5.1) состоит из алгебраической суммы ЭДС первого контура. Здесь 1 направлена согласно (в одну сторону) с направлением тока I и, следовательно, входит в уравнение со знаком (+), а 2 направлена встречно контурному току I и имеет знак ().

Уравнение (5.1) можно записать так:

где Z11 = Z1+Z2+Z5; Z12 = Z2; Z13 = Z5; 11 = 1 2.

Аналогично можем записать уравнения для остальных контуров, которые образуют систему:

(5.2) Сумму сопротивлений каждого контура будем называть собственным сопротивлением контура и обозначать для сокращения записи одним сопротивлением с двойным индексом вида ZКК. Для нашего примера имеем следующие собственные сопротивления контуров: Z11=Z1+Z2+Z5; Z22=Z2+Z3+Z6;

Z33=Z5+Z6+Z4. Все собственные сопротивления входят в уравнения (5.2) со знаком (+).

Сумму сопротивления общих для любых двух смежных независимых контуров будем называть взаимным сопротивлением контуров и обозначать его двойной индексацией вида ZКМ. Взаимные сопротивления входят в уравнение для каждого независимого контура со знаком (+), если контурные токи смежных контуров направлены в них в одну сторону (согласно) и со знаком (), – если в разные стороны (встречно). В нашем примере взаимное сопротивление первого и второго контуров Z12 = Z21 = Z2; взаимное сопротивление первого и третьего контуров Z13 = Z31= Z5; взаимное сопротивление второго и третьего контуров Z23 = Z32 = Z6. Все они взяты со знаком () потому, что контурные токи в каждом из смежных контуров направлены встречно друг другу.

Алгебраическую сумму ЭДС каждого независимого контура будем обозначать одной буквой с двойным индексом вида Е КК. Решая полученную систему уравнений, находим контурные токи I,II и III. Однако на этом решение задачи не завершается, поскольку надо найти еще токи во всех ветвях цепи.

Во внешних ветвях (в нашем примере это ветви с сопротивлением Z1, Z и Z4) их токи равны контурным (с учетом знака).

Во внутренних (смежных) ветвях (Z2, Z5 и Z6) токи ветвей равны алгебраической сумме контурных токов смежных контуров. В нашем примере (рис. 5.1): токи внешних ветвей 1=I, 3= I II, 4 = III ; токи внутренних ветвей 2 = II I, 5 = III I, 6 = III II.

Пример 5.1. Два источника энергии (рис. 5.2) работают параллельно на одну нагрузку. Параметры источников и нагрузки известны: Е1 = 120 В;

2=115 В; Z01 = Z02 = (1+j2) Ом; ZН =10 Ом. Требуется определить комплексные токи всех ветвей цепи, используя метод контурных токов.

1. Выбираем (произвольно) направления токов во всех ветвях цепи (1, 2, Н ), как это показано на рис. 5.1.

2. Выбираем в качестве независимых контуры I и II и направления контурных токов I и II в них, как это показано на рис. 5.1.

3. Составляем систему уравнений по образцу системы (5.2) Z11 = Z01+Z02=(1+j2) + (1+j2)= (2+j4) Ом; Z22=Z02+ZН (1+j2)+10 = (11+j2) Ом;

Z12=Z21= Z02= (1+j2) Ом.

4. Рассчитываем контурные токи I и II, воспользовавшись теорией определителей.

Главный определитель системы Первый дополнительный определитель получаем из главного заменой первого столбца свободными членами уравнений:

Второй дополнительный определитель получаем из главного заменой второго столбца свободными членами уравнений.

Теперь определяем контурные токи цепи II = 2 / = 525,5 е j63,4/47,2 j68,8=11,1 е j5,4=11,06 j1,04 А.

5. Находим токи во всех ветвях цепи. Ток 1 в левой ветви цепи равен контурному току, так как совпадает с ним по направлению: 1=I= (6,04j1,25) А. Ток Н в правой ветви цепи равен контурному току II, поскольку совпадает с ним по направлению: Н =II=(11,06j1,04) А. Ток в средней ветви 2 равен алгебраической сумме контурных токов: 2=III = (11,06 j1,04) (6,04 j1,52) = (5,02 + j0,48). Здесь ток II взят со знаком (+), так как он совпадает по направлению с током ветви 2, а контурный ток I взят со знаком (), так как его направление противоположно 2.

5.3. Метод узловых напряжений (узловых потенциалов) Метод основан на положении о том, что токи во всех ветвях сложной цепи можно рассчитать, если известны напряжения на всех ее ветвях.

На рис. 5.3,а представлена схема некоторой сложной цепи, имеющей шесть ветвей. Рассмотрим одну из ветвей этой цепи, расположенную между любыми двумя узлами "k" и "m" (рис. 5.3,б). Применив второй закон Кирхгофа и учитывая, что Ykm = 1/Zkm, получаем kmZkm U km =km или (5.4) В этой формуле ток, напряжение и ЭДС обозначены двойными индексами. При этом все они направлены (для удобства записи) от узла "k" к узлу "m". Если реальные токи, напряжения и ЭДС окажутся направлены в противоположную сторону, то они войдут в уравнение (5.4) с обратным знаком (со знаком ""). Здесь km и Zkm – известные из условия задачи величины. Если, кроме того, найти напряжение U km, то ток km в этой ветви также будет найден.

В нашей схеме шесть ветвей и, следовательно, шесть неизвестных напряжений. Для их нахождения необходимо предварительно найти только те из них, которые действуют между каждым из улов цепи и опорным узлом "О" (выбираются произвольно). Они называются узловыми напряжениями.

Все они направлены к опорному узлу "О". Если узловые напряжения известны, то напряжения между всеми остальными узлами легко находятся в соответствии со вторым законом Кирхгофа (рис. 5.3,б) по формуле Заметим, что если опорный узел "0" заземлить, т.е. принять его электрический потенциал равным 0, то тогда узловые напряжения U 10, U 20 и U 30 будут являться также электрическими потенциалами узлов 1, 2 и 3.

Узловые напряжения являются промежуточными неизвестными данного метода расчета. Относительно них составляется система уравнений. При этом используется первый закон Кирхгофа. Очевидно, что узловых напряжений меньше, чем токов ветвей. Поэтому данный метод позволяет существенно понизить порядок системы уравнений по сравнению с непосредственным применением 1-го и 2-го законов Кирхгофа. Рассмотрим составление системы уравнений по методу узловых напряжений.

Согласно 1-му закону Кирхгофа, алгебраическая сумма комплексных токов, подходящих к любому узлу цепи, равна нулю. Каждый из этих токов определяется формулой (5.4). Тогда для каждого узла цепи имеем где kmYkm – сумма произведений ЭДС на проводимость всех ветвей, подходящих к рассматриваемому узлу цепи. Эти величины известны из условий задачи; Ykm( U k 0 U m 0 ) – сумма произведений проводимости ветвей на напряжения ветвей, где Ykm известные из условий задачи величины, а U k 0 и U m 0 – неизвестные узловые напряжения.

Опуская ряд несложных промежуточных преобразований получаем в результате систему уравнений относительно неизвестных узловых напряжений цепи в следующем виде:

(5.5) где U 10, U 20, U 30 – неизвестные узловые напряжения; Y11 Y22 Y33 – собственные проводимости узлов, т.е. сумма проводимости всех ветвей, подходящих к данному узлу цепи (в уравнения (5.5) они всегда входят со знаком +);

Y12 = Y21; Y13 = Y31; Y23 = Y32 – взаимные проводимости узлов, т.е. сумма проводимости всех ветвей цепи, находящихся между узлами 1-2, 1-3 и 2-3; их численные значения всегда входят в уравнения (5.5) со знаком ();

J 11, J 22, J 33 – известные из условий задачи величины, представляющие собой сумму произведений ЭДС на проводимость (Y) всех ветвей, подходящих к данному узлу. Если при этом направлена к узлу, то произведение Y этой ветви берется со знаком (+), а если направлена от узла, – со знаком (). Заметим, что произведение Y каждой ветви можно рассматривать как ток эквивалентного источника тока этой ветви.

Решая полученную систему уравнений, находим узловые напряжения U 10, U 20, U 30, затем напряжения на всех ветвях цепи в соответствии с формулой (5.4 а) и, наконец, токи во всех ее ветвях, используя формулу (5.4).

Если разветвленная цепь имеет только два узла (например, трехфазная цепь, соединенная звездой), то система (5.5) превращается в одно уравнение следующего вида:

Метод эквивалентного источника применяется для расчета тока в какой-либо одной выделенной ветви сложной цепи. В его основе лежит теорема об эквивалентном источнике, суть которой состоит в следующем: любая сколь угодно сложная электрическая цепь относительно выделенной ветви может быть представлена одним эквивалентным источником ЭДС или одним эквивалентным источником тока.

Рассмотрим здесь метод расчета, основанный на эквивалентном преобразовании сложной цепи в эквивалентный источник ЭДС. На рис. 5.4,а представлена сложная цепь со многими источниками и многими сопротивлениями в виде активного двухполюсника. Требуется определить ток в выделенном из этой цепи сопротивлении Z.