«КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В. И. ВОДОПЬЯНОВ, А. Н. САВКИН О. В. КОНДРАТЬЕВ КУРС ...»

В. И. ВОДОПЬЯНОВ, А. Н. САВКИН

О. В. КОНДРАТЬЕВ

КУРС

СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. И. ВОДОПЬЯНОВ, А. Н. САВКИН

О. В. КОНДРАТЬЕВ

КУРС

СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ

Учебное пособие Волгоград 2012 1 УДК 539. 3(075) Рецензенты:

зав. кафедрой «Общепрофессиональные дисциплины»

Волгоградского филиала Российского государственного университета туризма и сервиса канд. техн. наук, доцент В. А. Рыгин;

профессор кафедры «Естественно-научные дисциплины, математика и информатика»

Волгоградского кооперативного института Российского университета кооперации д-р техн. наук Е. П. Богданов Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета Водопьянов, В. И.

Курс сопротивления материалов с примерами и задачами : учеб.

пособие / В. И. Водопьянов, А. Н. Савкин, О. В. Кондратьев ;

ВолгГТУ. – Волгоград, 2012. – 136 с.

ISBN 978-5-9948-1099- Содержит основной теоретический материал и примеры практической реализации теоретических положений. Составлены контрольные задания, позволяющие студентам приобрести навыки первых самостоятельных расчетов на прочность и жесткость.

Предназначено для студентов немеханических специальностей безотрывной формы обучения.

Ил. 69. Табл. 4. Библиогр.: 5 назв.

ISBN 978-5-9948-1099-6 © Волгоградский государственный технический университет, © В. И. Водопьянов, А. Н. Савкин О. В. Кондратьев,

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ...................................... 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КУРСА...................... 1.1. Общие определения............................ 1.2. Гипотезы и допущения, принятые в сопротивлении материалов 1.3. Типы схематизаций, используемые в сопротивлении материалов 1.4. Внутренние усилия. Метод сечений................... 1.5. Понятие о напряжениях.......................... 1.6. Виды деформаций и деформирования................. 2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ........................... 2.1. Внутренние усилия, напряжения, деформации............ 2.2. Связь напряжений и деформаций

2.3. Механические характеристики конструкционных материалов... 2.4. Расчеты на прочность при растяжении... .............. 2.5. Расчеты на жесткость при растяжении................ 3. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ........... 3.1. Понятие о напряженном состоянии.................... 3.2. Линейное напряженное состояние.................... 3.3. Плоское напряженное состояние..................... 3.4. Свойства нормальных и касательных напряжений........... 3.5. Графическое определение напряжений на наклонных площадках.. 3.6. Графическое определение главных напряжений........... 3.7. Объемное напряженное состояние................... 3.8. Деформированное состояние...................... 3.9. Обобщенный закон Гука для изотропного тела............ 3.10. Изменение объема тела

3.11. Примеры различных видов напряженного состояния......... 3.12. Понятия о теориях прочности

4. СДВИГ, СМЯТИЕ

5. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

5.1. Внутренние усилия при кручении................... 5.2. Напряжения при кручении.......................

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ

6.4. Зависимости между моментами инерции относительно 9.1. Равноускоренное движение тела. Динамический коэффициент...

ВВЕДЕНИЕ

Сопротивление материалов – практически первая учебная дисциплина общеинженерной подготовки, с которой сталкивается студент. Это наука о прочности и жесткости элементов и деталей конструкций, которая ставит задачу разработать простые, удобные для практического применения методы расчетов типичных, наиболее часто встречающихся элементов конструкций.

Сопротивление материалов относится к фундаментальным дисциплинам общеинженерной подготовки специалистов с высшим техническим образованием. Без фундаментального знания сопротивления материалов немыслимо создание различного рода машин и механизмов, гражданских и промышленных сооружений, мостов, линий электропередач и антенн, ангаров, кораблей, самолетов и вертолетов, турбомашин и электрических машин, агрегатов атомной энергетики, ракетной и реактивной техники и др.

В условиях постоянно сокращающегося в учебных планах времени, отводимого на изучение общетехнических дисциплин, и в то же время необходимости формирования у будущих инженеров базового объема знаний о прочности и надежности создаваемых и находящихся в эксплуатации изделий, важно иметь обеспечение студентов пособиями, небольшими по объему, но охватывающими основные разделы знаний в соответствии с задачами формирования у студентов необходимой подготовки по прочности и надежности конструкций.

Настоящее пособие предназначено преимущественно для студентов, обучающихся по безотрывной форме обучения для немеханических специальностей, включающей в себя курс сопротивления материалов по сокращенной программе или входящей в состав курса «Прикладная механика».

Пособие содержит основной материал по изучаемой дисциплине.

В основные разделы курса включены примеры, позволяющие от задач простейших переходить к более сложным параллельно с изучением теоретического материала. Приложением к изучаемому материалу предлагается контрольная работа с методическими указаниями по ее выполнению. В зависимости от специальности преподаватель может варьировать объем контрольных заданий.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КУРСА

Сопротивление материалов – раздел более общей науки – механики деформируемого твердого тела, в котором излагаются основы и методы инженерных расчетов элементов конструкций на прочность, жесткость, устойчивость и выносливость при одновременном удовлетворении требований надежности, экономичности и долговечности. Кроме сопротивления материалов в механику деформируемого твердого тела входят: теория упругости, теория пластичности и ползучести, теория сооружений, строительная механика, механика разрушения и др.

Прочность – способность материала (образца, детали, элемента конструкции…) не разрушаясь сопротивляться действию внешних сил.

Часто под прочностью понимают способность сопротивляться развитию пластических деформаций под действием внешних сил. Целью расчета на прочность является определение размеров деталей или величины внешних нагрузок, при которых исключается возможность разрушения элемента конструкции.

Жесткость – способность конструктивных элементов деформироваться без существенного изменения геометрических размеров. Целью расчета на жесткость является определение нагрузок и размеров деталей, при которых исключается возможность появления недопустимых с точки зрения нормальной работы конструкции деформаций.

Устойчивость – способность конструктивного элемента сохранять под нагрузкой первоначальную форму равновесия. При потере устойчивости возникает продольный изгиб – изгиб первоначально прямолинейного стержня под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил.

Выносливость или циклическая прочность – способность материала противостоять усталости.

Усталость – процесс постепенного накопления повреждений под действием переменных напряжений, приводящий к изменению свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению.

Надежность – свойство объекта сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или некоторой наработки.

Долговечность – свойство элемента или системы длительно сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при определенных условиях эксплуатации.

В теоретической части сопротивление материалов базируется на математике и теоретической механике, в экспериментальной части – на физике и материаловедении и применяется при проектировании машин, приборов и конструкций. Обе части, относящиеся к этой науке, имеют одинаково большое значение. Практически все специальные дисциплины подготовки инженеров по разным специальностям содержат разделы курса сопротивления материалов, так как создание работоспособной новой техники невозможно без анализа и оценки ее прочности, жесткости и надежности.

Задачей сопротивления материалов, как одного из разделов механики сплошной среды, является определение деформаций и напряжений в твердом упругом теле, которое подвергается силовому или тепловому воздействию. Сопротивление материалов базируется на ряде гипотез геометрического или физического характера. Такой метод позволяет получить, хотя и не во всех случаях, вполне точные, но достаточно простые формулы для вычисления напряжений.

ПРИНЯТЫЕ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

1. Гипотеза сплошности и однородности — материал представляет собой однородную сплошную среду; свойства материала во всех точках тела одинаковы и не зависят от размеров тела. Атомистическая теория дискретного строения вещества во внимание не принимается. Гипотеза позволяет не учитывать особенности кристаллической структуры металла, разный химический состав и прочностные свойства связующего и наполнителей в пластмассах, бетонах (щебень, песок, цемент), наличие сучков в древесине.

2. Гипотеза об изотропности материала – физико-механические свойства материала одинаковы по всем направлениям. В некоторых случаях предположение об изотропии неприемлемо, материал является анизотропным. Так, анизотропными являются древесина, свойства которой вдоль и поперек волокон различны, а также армированные (композиционные) материалы.

3. Гипотеза об идеальной упругости материала – тело способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию.

4. Гипотеза о совершенной упругости материала – перемещения точек конструкции в упругой стадии работы материала прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения (справедлив закон Гука).

В действительности реальные тела можно считать упругими только до определенных величин нагрузок, и это необходимо учитывать, применяя формулы сопротивления материалов.

5. Гипотеза Бернулли о плоских сечениях – поперечные сечения, плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси в деформированном состоянии;

при изгибе сечения поворачиваются не искривляясь.

6. Принцип Сен-Венана – в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа нагружения и определяется только статическим эквивалентом нагрузки. Резко выраженная неравномерность распределения напряжений по сечению 2-2, показанная на рисунке, постепенно выравнивается (сечение 3-3) и на удалении, равном ширине сечения (сечения 4-4 и 5-5), исчезает.

Рис. 1.1. Распределение нормальных напряжений в поперечных сечениях 7. Принцип Д’Аламбера – если к активным силам, действующим на точки механической системы, и реакциям наложенных связей присоединить силы инерции, то получится уравновешенная система сил. Принцип используется в расчетах на прочность при динамическом действии сил.

8. Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции) – результат воздействия нескольких внешних факторов равен сумме результатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности, и не зависит от последовательности их приложения. Это же справедливо и в отношении деформаций.

9. Принцип начальных размеров (гипотеза о малости деформаций) – деформации в точках тела настолько малы по сравнению с размерами деформируемого тела, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу. Допущение применяют при составлении условий статики, считая тело абсолютно твердым.

10. Допущение об отсутствии начальных внутренних усилий в теле до приложения нагрузки. Почти во всех реальных деталях и элементах конструкций указанное допущение полностью не выполняется. Внутренние напряжения возникают в деревянных конструкциях вследствие неравномерного высыхания; в стальных и чугунных отливках – вследствие неравномерного охлаждения; в стальных деталях – вследствие термической (закалка…) и механической (шлифование…) обработок. Формирование колесных пар для железнодорожных вагонов осуществляют путем запрессовки колес на ось. За счет натяга создаются напряжения в ступице колеса и подступичной части оси.

Замечание о точности расчетов и округлении результатов. С учетом изложенных гипотез и допущений, а также разбросов результатов экспериментов по определению механических свойств, точность инженерных расчетов не превышает 3–5 %. В некоторых случаях погрешность 10–15 % считают приемлемой. На практике, если нет специальных указаний, результат округляют до трех значащих цифр. Например, результат 568 234 следует округлить до 568 000, а результат 0,00237648 – до 0, или 2,38·10-3.

1.3. Типы схематизаций, используемые в сопротивлении Железнодорожный вагон ских, механических и других.

Расчет реального объекта в которых применяют упрощения, облегчающие расчет.

Расчетная схема – идеализированная схема, отражающая наиболее существенные особенности реального объекта, определяющие его поведение под нагрузкой. В зависимости от постановки задачи и требуемой точности ее решения для одной и той же конструкции может быть предложено несколько расчетных схем. Так же и одна расчетная схема может соответствовать различным конструкциям.

Основная цель сопротивления материалов – создать практически приемлемые простые приемы (методики) расчета типовых наиболее часто встречающихся элементов конструкций. Необходимость перехода от реального объекта к расчетной схеме (с целью упрощения расчетов) заставляет вводить схематизацию понятий. Выделяют следующие типы схематизации:

физическая схематизация;

геометрическая схематизация;

силовая схематизация.

Физическая схематизация (модель материала) Все изучаемые тела считают выполненными (изготовленными) из материалов, наделенными идеализированными свойствами. Материал элементов конструкций считают сплошным, однородным, изотропным и линейно упругим (см. выше гипотезы 1, 2, 3, 4).

Геометрическая схематизация (модель формы) Виды конструктивных элементов, встречающихся в сооружениях и машинах, при всем их разнообразии, можно свести к четырем основным категориям.

Массивное тело – тело, у которого все три размера величины одного порядка (рис.

1.3). Это – фундаменты сооружений, подпорные стенки, станины станков и т. п.

Брус – тело, одно из измерений которого, значительно больше двух других. Брусья с прямолинейной осью постоянного сечения (а), Рис. 1.3. Массивное тело переменного сечения (б), ступенчатый (в), тонкостенный (толщина стенок значительно меньше габаритных размеров сечения) стержень (г), с криволинейными осями (д), (е), (ж) (рис. 1.4).

Оболочка – тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расположенными на близком расстоянии одна от другой (рис. 1.5).

Геометрическое место точек, равноудаленных от обеих поверхностей оболочки, называют срединной поверхностью. По форме срединной поверхности различают оболочки цилиндрические, конические, сферические и др. К оболочкам относятся тонкостенные резервуары, котлы, купола зданий, обшивки фюзеляжей, крыльев (и других частей летательных аппаратов), корпуса судов и т. п.

Пластина – тело, ограниченное двумя параллельными поверхностями (рис. 1.6). Пластины могут быть круглыми, прямоугольными и иметь другие очертания. Толщина пластин, как и оболочек, может быть постоянной или переменной. Пластинами являются плоские днища и крышки резервуаров, перекрытия инженерных сооружений, диски турбомашин и т. п.

Тела, имеющие эти основные формы, и являются объектами расчета на прочность, жесткость и устойчивость. В настоящем учебном пособии рассматриваются разделы, связанные с расчетом брусьев с прямолинейной геометрической осью.

Схемы реальных опорных устройств можно свести к трем типам.

Шарнирно-подвижная опора балки (рис. 1.7, а) препятствует только вертикальному перемещению конца балки, но ни горизонтальному перемещению, ни повороту. Такая опора при любой нагрузке дает одну реакцию.

Шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.7, б) препятствует вертикальному и горизонтальному перемещениям конца балки, но не препятствует повороту сечения. Дает две реакции: вертикальную и горизонтальную.

Заделка (защемление) (рис. 1.7, в). Опора препятствует вертикальному и горизонтальному перемещениям конца балки, а также повороту сечения. Дает три реакции: вертикальную и горизонтальную силы и пару сил.

Рис. 1.7. Схемы опорных устройств варианты их изображения:

а – шарнирно-подвижная опора; б – шарнирно-неподвижная опора;

в – защемление (жесткая заделка) Силовая схематизация (модель нагружения) В нагруженном теле, находящемся в равновесии, внешние нагрузки стремятся вызвать деформацию тела, а внутренние усилия стремятся сохранить тело как единое целое.

Внешние нагрузки – силы взаимодействия между рассматриваемым элементом конструкции и другими телами, связанными с ним.

Классификация внешних нагрузок производится по трем признакам:

способу приложения, продолжительности действия, характеру изменения.

По способу приложения: сосредоточенные, распределенные.

Сосредоточенными (рис. 1.8, а) называют силы, приложенные к площадкам, размеры которых малы по сравнению с размерами объекта, например, давление обода колеса на рельс. Размерность Н, кгс (ньютон, килограмм силы).

Распределенными по площади (поверхностными) (рис. 1.8, б) называют силы, приложенные к площадкам контакта, например, давление жидкости или газа на стенки сосуда, снеговая нагрузка на кровлю здания.

Давление выражается в единицах силы, отнесенных к единице площади, Н/м2, кгс/см2. Производная единица Паскаль: 1 Па = 1 Н/м2.

Распределенные по длине (рис. 1.9, а) равномерно или по заданному закону (треугольному, параболическому…). Размерность Н/м, кгс/м.

Объемные силы (рис. 1.9, б) непрерывно распределены по объему, занимаемому элементом, например, сила тяжести, сила инерции. Характеризуются интенсивностью, то есть отношением единицы силы к единице объема, Н/м3, гс/см3.

По продолжительности действия: постоянные и временные.

Постоянные действуют в течение всего времени существования конструкции, например, нагрузка на фундамент здания.

Рис. 1.8. Примеры сосредоточенной (а) и равномерно Рис. 1.9. Виды распределенной по длине (а) и объему (б) нагрузок Временные действуют на протяжении отдельных периодов эксплуатации объекта, например, давление газа в баллоне.

По характеру изменения в процессе приложения Статические – постоянные (нагрузка от собственного веса), или медленно изменяющиеся так, что силами инерции вследствие ускорения можно пренебречь (изменение давления от снеговой нагрузки).

Динамические – вызывающие в конструкции или отдельных ее элементах большие ускорения, которыми пренебречь нельзя. Величина этой нагрузки значительно изменяется за малые промежутки времени, например, ударная.

Повторно-переменные – изменяющиеся по некоторому закону.

Примеры: изменение натяжения ветви ремня (или цепи) в зависимости от ее положения в текущий момент времени – сбегающая или набегающая ветвь на ведущий шкив (звездочку). Изменение натяжения спицы велосипедного колеса в зависимости от ее положения (верхнее или нижнее в данный момент вращения колеса).

1.4. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ Величиной внутренних усилий определяется степень деформации элемента конструкции и возможность разрушения в том или ином опасном сечении элемента конструкции.

Внутренние усилия – силы взаимодействия между частицами тела (кристаллами, молекулами, атомами), возникающие внутри элемента конструкции, как противодействие внешним нагрузкам.

Для выявления внутренних усилий пользуются методом сечений.

1. Рассечь нагруженное тело плоскостью Р на две части (рис. 1.10, а).

ставляет собой конгломерат различно F которых в разных направлениях дейа ствуют элементарные внутренние усилия.

теоретической механики: определеб тяжести сечения 0 (рис. 1.10, в). Полученные в результате приведения 4. Уравнения равновесия поF z = 0; Qz =… Поперечное усилие и три момента – проекции главного момента М:

My = 0; My =… Изгибающий момент Mz = 0; Mz =… Изгибающий момент Таким образом, можно сформулировать правило определения внутренних силовых факторов: внутренние силы N, Qy, Qz численно равны алгебраической сумме проекций всех внешних сил (в том числе и реакций), приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Аналогично: внутренние моменты T, My, Mz численно равны алгебраической сумме моментов от внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Какую именно сторону, правую или левую, верхнюю или нижнюю следует рассматривать, зависит от схемы нагружения. Предпочтение следует отдавать более простому варианту.

Принимая во внимание важность описанных выше процедур, запишем кратко последовательность основных этапов метода сечения:

Р – рассечь тело на две части плоскостью;

О – отбросить одну из частей тела;

– заменить действие отброшенной части внутренними усилиями;

У – уравнения равновесия составить.

Единица измерения усилий – ньютон (обозначение: Н). Это производная единица. Исходя из второго закона Ньютона (F = m·a) она определяется как сила, изменяющая за 1 с скорость тела массой 1 кг на 1 м/с в направлении действия силы. Таким образом, 1 Н = 1 кг·м/с2. Измерять силу в ньютонах стали спустя два века после смерти великого ученого, когда была принята система СИ. 1 Н = 0,10197162 кгс; 1 кгс = 9,80665 Н.

Каждая компонента внутренних усилий характеризует сопротивление тела какому-либо одному виду деформации – простому сопротивлению. Например, при N 0, будет растяжение или сжатие. При Q 0 имеет место сдвиг, при Т 0 – кручение, а при М 0 – изгиб. При наличии двух и более компонентов будет сложное сопротивление тела.

Напряжение в точке по сечению – внутренняя сила взаимодействия, приходяy щаяся на единицу площади у этой точки.

щая интенсивность внутренних усилий в точке.

щади сечения. Эти силы характеризуются их Напряжение нормальное – перпендикулярное к сечению, характеризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элементов конструкции.

Напряжение касательное – действующее в плоскости сечения, характеризует интенсивность сил, сдвигающих эти части в плоскости сечения.

Суммируя элементарные усилия ·dA, чению и их моменты относительно координатdА ных осей, получим (рис. 1.14) Единица измерения давления и механического напряжения паскаль (обозначение Па). Паскаль – давление, вызываемое силой 1 Н, равномерно распределенной по поверхности площадью 1 м 2.

1 Па = 1 Н/м2; 1 МПа = 0,102 кгс/мм2; 1 МПа = 10,2 кгс/см2;

1 МПа = 1 Н/мм2; 1 кгс/мм2 = 9,81 МПа.

1.6. ВИДЫ ДЕФОРМАЦИЙ И ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Реальные тела не являются абсолютно твердыми и под действием приложенных сил могут изменять свое положение в пространстве.

Перемещение – изменение положения в пространстве точки или поперечного сечения.

Деформация – изменение формы и сил.

щая после снятия нагрузки (от англ. elastic).

остающаяся после снятия нагрузки (от англ. plastic).

Деформация абсолютная (полная) – S – абсолютный сдвиг.

– относительный сдвиг, угловая деформация, Растяжение (сжатие) – вид сопротивления (деформирования), при котором из шести внутренних усилий не равно нулю одно – продольное усилие N. Стержень – брус, работающий на растяжение или сжатие.

Сдвиг – вид сопротивления (деформирования), характеризующийся взаимным смещением параллельных слоев материала под действием приложенных сил при неизменном расстоянии между слоями. Внутреннее усилие одно – поперечная сила Q.

Кручение – вид сопротивления (деформирования), при котором из шести внутренних усилий не равно нулю одно – крутящий момент Т. Кручение возникает при действии на брус внешних сил, образующих момент относительно его продольной оси. Вал – брус, работающий на кручение.

Вал – вращающаяся (обычно в подшипниках) деталь машины, передающая крутящий момент.

Изгиб – вид сопротивления (деформирования), при котором происходит искривление оси прямого бруса, или изменение кривизны кривого бруса.

2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

2.1. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ, НАПРЯЖЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИИ

Растяжение (сжатие) – вид деформации, при котором из шести внутренних усилий не равно нулю одно – продольное усилие N. Растяжение возникает, если противоположно направленные силы приложены вдоль оси стержня. Растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие – отрицательными.

Стержень – брус, работающий на растяжение или сжатие. Для определения опасного участка строят эпюры внутренних усилий и напряжений.

Эпюра – график, изображающий закон изменения внутренних усилий или напряжений по длине бруса, а также напряжений по поперечному сечению бруса.

Деформация – изменение формы и размеров тела под действием приложенных сил.

Деформация упругая e – исчезающая после снятия нагрузки (от англ. elastic).

Деформация пластическая p – остающаяся после снятия нагрузки (от англ. Plastic).

Деформация абсолютная (полная) = e + p (рис. 2.1).

стержня при его растяжении При растяжении стержня происходит увеличение его длины и уменьшение поперечных размеров (рис. 2.1).

Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) – абсолютная величина отношения поперечной относительной деформации к продольной (упругая постоянная материала)

2.2. СВЯЗЬ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ

На основании гипотезы Бернулли (плоских сечений) и принципа Сен-Венана (о равномерном распределении напряжений по сечению) внутренние усилия:

Закон Гука – нормальное напряжение прямо пропорционально относительной линейной деформации Подставив = N/A и = /, получим иную форму записи закона Гука:

Здесь Е – модуль нормальной упругости, модуль упругости перво- Е = 200 ГПа – стали;

го рода, модуль Юнга – константа Е = 110 ГПа – титановые сплавы;

материала.

Произведение E·A – жестЕ = 70 ГПа – алюминиевые сплавы.

кость сечения при растяжении.

Модуль упругости характеризует сопротивление материала деформированию растяжением (сжатием) в упругой области.

начального участка диаграммы растяжения упругости – напряжение, требующее- Рис. 2.2. Линейный участок ся для удлинения стержня вдвое: Е = диаграммы растяжения при = 1, то есть при =. Реально достижимые напряжения в упругой области деформирования примерно в тысячу раз меньше.

2.3. МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Основные прочностные и деформационные характеристики материалов, используемых в элементах конструкций, определяют экспериментально. Проводят испытания лабораторных образцов на растяжение, сжатие, срез, кручение, изгиб при статическом и циклическом нагружении, на воздухе и в агрессивных средах, при комнатной, высоких и низких температурах. Наиболее распространенным является испытание на растяжение статической нагрузкой, позволяющей определить большинство механических характеристик материала.

Машинная диаграмма – диаграмма растяжения стандартного образца в координатах F –, автоматически записываемая диаграммным аппаратом испытательной машины.

Стандартами предусмотрены образцы плоские и цилиндрические различной длины, размеров поперечного сечения и конструктивного исполнения. Судить лишь о механических свойствах материала, исключая особенности формы и размеров образца, позволяет диаграмма растяжения, представляемая в координатах –.

Здесь – условное напряжение; – относительное удлинение, А0 – начальная площадь поперечного сечения образца; 0 – начальная длина образца.

Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали (рис. 2.3, а) имеет несколько характерных участков: 1 – участок упругих деформаций; 2 – площадка текучести; в 3 – участок упрочнения; 4 – участок образоват ния шейки и разрушения. Диаграммы растяжения большинства конструкционных металлов: легированных и углеродистых сталей в закаленном и нормализованном состоянии, цветных сплавов, полимеров и других материалов площадки текучести не имеют (рис. 2.3, б).

По результатам испытаний определяют 0, характеристики прочности и пластичности.

ности.

Предел текучести физический т – напряжение, при котором образец деформируется при практически постоянной нагрузке Предел текучести условный 0,2 – напряжение, при котором остаточное удлинение достигает 0,2 % расчетной длины образца (рис. 2.3, б).

Временное сопротивление (предел прочности) в – напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, предшествующей разрыву образца Пластичность – способность материала получать большие пластические деформации без разрушения. Мерой пластичности являются относительное остаточное удлинение и относительное сужение.

Относительное удлинение после разрыва – отношение приращения расчетной длины образца ( к 0 ) после разрушения к начальной расчетной длине 0, выраженное в процентах Относительное сужение после разрыва – отношение разности A0 и минимальной Aк площади поперечного сечения после разрушения к начальной площади поперечного сечения образца A0, выраженное в процентах Чем пластичнее материал, тем больше относительное удлинение и относительное сужение после разрыва. Материалы условно подразделяют на пластичные (к > 5 %) и хрупкие (к < 5 %).

2.4. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

Основной задачей расчета конструкции на растяжение является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации.

Условие прочности – оценка прочности элемента конструкции, сводящаяся к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми:

где р и с – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения;

[р] и [с] – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии.

Допускаемое напряжение – наибольшее напряжение, которое можно допустить в элементе конструкции при условии его безопасной, долговечной и надежной работы:

Здесь пред – предельное напряжение (состояние), при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям; им могут быть предел текучести, предел прочности, предел выносливости, предел ползучести и др.

Для конструкций из пластичных материалов при определении допускаемых напряжений используют предел текучести т (рис. 2.4, а). Это связано с тем, что в случае его превышения деформации резко возрастают при незначительном увеличении нагрузки и конструкция перестает удовлетворять условиям эксплуатации.

Рис. 2.4. Диаграммы растяжения и сжатия пластичного (а) и хрупкого (б) Здесь [n] – нормативный коэффициент запаса прочности. В зависимости от той предельной характеристики, с которой сравнивают расчетное напряжение, различают [nт] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести т и [n в ] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности в.

Запас прочности – отношение предельно допустимой теоретической нагрузки к той нагрузке, при которой возможна безопасная работа конструкции с учетом случайных перегрузок, непредвиденных дефектов и недостоверности исходных данных для теоретических расчетов.

Нормативные коэффициенты запаса прочности зависят:

от класса конструкции (капитальная, временная), намечаемого срока эксплуатации, условий эксплуатации (радиация, коррозия, загнивание), вида нагружения (статическое, циклическое, ударные нагрузки) неточности задания величины внешних нагрузок, неточности расчетных схем и приближенности методов расчета и других факторов.

Нормативный коэффициент запаса прочности не может быть единым на все случаи жизни. В каждой отрасли машиностроения сложились свои подходы, методы проектирования и приемы технологии. В изделиях общего машиностроения принимают [nт] = 1,3 – 2,2; [nв] = 3 – 5.

Вероятность выхода из строя приближенно можно оценить с помощью коэффициента запаса в условии прочности:

n=1 соответствует вероятности невыхода из строя 50 %;

n = 1,2 соответствует вероятности невыхода из строя 90 %;

n = 1,5 соответствует вероятности невыхода из строя 99 %;

n=2 соответствует вероятности невыхода из строя 99,9 %.

Для неответственных деталей n = 2 много. Для ответственных – мало.

Так для каната подъемного лифта это означает на 1000 подъемов одно падение.

При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, которые вытекают из условия прочности а) поверочный расчет (проверка прочности). Известны усилие N и площадь A. Вычисляют = N/A и, сравнивая его с предельным т или в (для пластичного и хрупкого материалов соответственно), находят фактический коэффициент запаса прочности который затем сопоставляют с нормативным [n];

б) проектный расчет (подбор сечения). Известны внутреннее усилие N и допускаемое напряжение []. Определяют требуемую площадь поперечного сечения стержня в) определение грузоподъемности (несущей способности). Известны площадь А и допускаемое напряжение []. Вычисляют внутреннее усилие а затем в соответствие со схемой нагружения – величину внешней нагрузки F [F].

2.5. РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

Иногда наряду с условиями прочности добавляют ограничения на перемещение некоторых элементов конструкции, то есть вводят условие жесткости max [], где [] – величина допускаемого перемещения (изменение положения в пространстве) некоторого контролируемого сечения.

Деформацию растягиваемого или сжимаемого элемента вычисляют по формуле (2. 4) закона Гука.

III II I

Рис. 2.5. Схемы к определе- брус на две части в произвольном сечении нию внутренних усилий, участка I. Отбрасываем одну из частей (ленапряжений и перемещевую). Заменяем действие отброшенной части всегда принимаем положительным, растягивающим; его вектор направлен от сечения (рис. 2.5, б). Уравнение равновесия составляем проецируя все силы на продольную ось x бруса Знак минус указывает на то, что усилие является сжимающим.

Аналогично находим внутренние усилия на втором и третьем участках (рис. 2.5, в и г):

Строим эпюру внутренних усилий – график, изображающий закон изменения внутренних усилий по длине бруса. Параллельно оси бруса проводим базисную линию (абсциссу графика) и по нормали к ней откладываем найденные выше значения внутренних усилий (ординаты графика) в выбранном масштабе с учетом знака. Положительные значения откладываем выше базисной линии, отрицательные – ниже (рис. 2.5, д). Поскольку в пределах каждого из участков внутренние усилия неизменны, высоты ординат графика – постоянны и огибающие линии (жирные) – горизонтальны.

Б. Определение напряжений на каждом из участков:

Строим эпюру напряжений.

В. Коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу текучести:

III участок : nт = = = 1,19; прочность недостаточна.

Вывод: недогружен участок I, перегружен участок III. Для этих участков выполняем проектный расчет.

бор размеров поперечных сечений I и III участков, предварительно назначив допускаемое напряжение Нормативный коэффициент запаса прочности выбрали из рекомендуемого диапазона значений [nт] = 1,3–2,2.

А. Удлинения каждого из участков Б. Перемещения сечений. За начало отсчета принимаем сечение d.

Оно защемлено, его перемещение равно нулю d = 0.

Строим эпюру перемещений.

1. Выполнен поверочный расчет ступенчатого бруса. Прочность одного из элементов обеспечена; другого – избыточна; третьего – недостаточна.

2. Из условия прочности при растяжении подобраны площади поперечных сечений двух элементов конструкции.

3. По результатам проектного расчета вычислены деформации каждого элемента конструкции. Крайнее сечение переместится относительно защемления на 217 мкм в сторону от защемления.

Пример 2.2. К стальному брусу постоянного сечеF2 = 60 кН;

ния вдоль его оси приложены две силы. По условиям эксa = 0,5 м;

плуатации введено ограничение на величину перемещеМПа;

ния [] концевого сечения С. Из условий прочности и жемм.

сткости подобрать размер поперечного сечения.

Покажем возникающую в опоре реакцию R; определение внутренних усилий методом сечений начнем вести со свободного конца. Ось х – продольная ось бруса (на рисунке не показана).

Строим эпюру внутренних усилий. Опасным является участок I, на котором действует Nmax = – 40 кН (пластичные материалы одинаково сопротивляются деформации растяжения и сжатия).

Перемещение сечения С является суммой двух слагаемых:

EA EA EA

откуда требуемая площадь поперечного сечения стержня Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений площади поперечного сечения: 2,22 и 1,5 см2, удовлетворяющее обоим условиям: А 2,22 см2.

А. Определение внутреннего усилия в стержне Рассекаем стержень на две части (рис. а). Отбрасываем одну из частей и показываем внешнюю нагрузку F, внутреннее усилие N и две составляющих опорной реакции R (рис. б). Составляем такое уравнение равновесия, в которое не вошли бы опорные реакции:

Усилие в стержне сжимающее.

Фактический коэффициент запаса n т = т = = 1,06 не входит в рекомендуемый (нормативный) диапазон значений [nт ] = 1,32,3. Вывод:

прочность недостаточна.

2. Определение допускаемой нагрузки на конструкцию для заданного размера поперечного сечения стержня каемую нагрузку на стержень [N ] A [ ] = 15 10 4 170 10 6 = 255 кН.

коэффициент запаса по текучести назначили из рекомендуемого диапазона [n т ] = 1,3 2,3.

Из условия равновесия (см. этап 1) находим связь между допускаемой внешней нагрузкой [F] на конструкцию и внутренним усилием [N] в стержне:

3. Проектный расчет из условия прочности Требуемое значение площади поперечного сечения из условия прочности при растяжении:

Под действием внешней нагрузки стержень деформируется; сечения балки изменяют свое положение в пространстве. Установим связь между внутренним усилием, деформацией стержня и перемещением заданного сечения конструкции. Покажем схему в исходном и деформированном (пунктирные линии) состояниях (рис. в). Контролируемое перемещение сечения балки в точке D приложения силы F связано с перемещением узла С точки прикрепления стержня к балке соотношением:

= 3, что следует из подобия треугольников BDD и BCC.

Вследствие перемещения узла С стержень укорачивается на = CC sin.

Здесь – длина стержня, определяется из схемы нагружения (рис. а). Тогда из условия жесткости конструкции:

площади поперечного сечения стержня Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений: 28,2 и 33,3 см2, удовлетворяющее обоим условиям, то есть А 33,3 см2.

1. Выполнен поверочный расчет стержня. Прочность элемента конструкции недостаточна.

2. Для заданного размера поперечного сечения нагрузка F, приложенная к конструкции, не должна превышать 42,5 кН.

3. Из условий прочности и жесткости при растяжении найдено значение площади поперечного сечения элемента конструкции, удовлетворяющее обоим условиям: 33,3 см2.

3. НАПРЯЖЕННО–ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

Если твердое тело нагружено системой сил, то через любую его точку можно провести бесчисленное множество различно ориентированных площадок, по которым действуют нормальные и касательные напряжения, вызывающие линейные и угловые деформации.

3.1. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Напряженное состояние – совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку.

Напряжение – величина, характеризующая интенсивность внутренних усилий, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий, то есть внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в окрестности рассматриваемой точки.

Напряжение полное p – уравновешивающее внешнюю нагрузку. Напряжение р – величина векторная, раскладывается на составляющие: по нормали к сечению и в плоскости сечения, причем p2 = 2 + 2.

Напряжение нормальное – перпендикулярное к сечению.

Рис. 3.1. Нормальные и касаНормальные напряжения вызывают удтельные напряжения, действующие по граням элементарлинение или укорочение граней параллеленого параллелепипеда пипеда. Растягивающие напряжения считают положительными.

Касательные напряжения вызывают смещение граней, их сдвиг, изменение углов прямых на тупые и острые. Касательное напряжение положительно, ес- + ли изображающий его вектор стремится вращать грань по ходу часовой стрелки.

Напряженное состояние характеризуют тензором напряжений.

Тензор (от лат. tensus напряженный, натянутый) – величина особого рода, задаваемая числами и законами их преобразования; является развитием и обобщением векторного исчисления и теории матриц.

В первой строке тензора ставят напряжеx xy xz ния на первой площадке (х); во второй – на площадке у; в последней строке – на площадке z. Тензор содержит девять компонентов.

Параллелепипед, выделенный в окрестности рассматриваемой точки, должен находиться в равновесии при действии сил, приложенных к его граням. Нормальные силы, приложенные к граням параллелепипеда, взаимно уравновешены и, следовательно, три уравнения равновесия тождественно удовлетворяются.

Составив уравнения суммы моментов всех сил относительно координатных осей x, y, z, можно получить следующие три равенства:

Эти равенства называют законом парности касательных напряжений: если по какой-либо площадке действует некоторое касательное напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку.

Вследствие закона парности касательных только шесть.

С изменением ориентации параллелепипеда в пространстве выделенного объема напряженного тела соотношение между нормальными и касательными напряжениями будет изменяться.

Следовательно, и запись тензора для одного и того же напряженного состояния будет различной.

p координат (рис. 3.3). В системе k, : R(3, 4); в системе m, n: R(4, 3); в системе o, p: R(5, 0). Очевидно, Рис. 3.2. Варианты опи- а другая – равна нулю.

сания вектора R в разных системах коор- элементарного объема, чтобы количество дейстдинат вующих по его граням напряжений было минимальным. Можно найти такую ориентацию параллелепипеда, при которой по его граням T = 2 действуют только нормальные напряжения (рис. 3.3).

Количество независимых компонент тензора в этом случае уменьшается до трех.

Главные площадки – площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют.

Главные напряжения – нормальные щадкам.

Главные напряжения – нормальные напряжения, принимающие экстремальные значения.

а – линейное (одноосное); б – плоское (двухосное); в – объемное (трехосное)

3.2. ЛИНЕЙНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Рассмотрим простейший случай нагружения – растяжение (рис. 3.5, а).

Площадь А наклонного сечения (рис. 3.5, в) больше площади А поперечного сечения (рис. 3.5, б):

клонном сечении (рис. 3.5, в) кладывают на проекции Рис. 3.5. Пример линейного напряженного состояния (которые всегда меньше) и (рис. 3.5, г) а) любое из значений напряжений на наклонных площадках p,, меньше напряжения в поперечном сечении, следовательно, не столь опасны;

б) напряжения на наклонных площадках p,, зависят от угла наклона площадки, а таких площадок в нагруженном теле можно выделить бесчисленное множество, значит, и вариантов описания одного и того же напряженного состояния множество.

Для практики интересны площадки, на которых возникают экстремальные значения напряжений. Для их отыскания приравнивают нулю первую производную нормального напряжения по углу.

На этой площадке =0 = 0; max=. Следовательно, эта площадка является главной.

Экстремальные касательные напряжения На площадке под углом = 45° max= /2. Полученным соотношением объясняется связь между допускаемыми напряжениями: [] = 0,5[], которую используют в расчетах при кручении и сдвиге.

Рис. 3.6. Изображение одноосного растяжения (слева), сжатия (справа) и соответствующие им тензоры напряжений и круги Мора

3.3. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Рис. 3.7. Нормальные и касательные напряжения при плоском напряженном состоянии главных напряжения 1 и 2, то, пользуясь принципом суперпозиций, получим Для касательных напряжений только от 1 или только от 2, В случае действия обоих главных напряжений Экстремальные значения нормальных и касательных напряжений находят, приравнивая к нулю первые производные напряжений по углу Получают max = 1 при = 0, = 0. Это – главная площадка.

Площадки, по которым касательные напряжения имеют экстремальные значения, называют площадками сдвига.

3.4. СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Сложив и Сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимно перпен-дикулярным площадкам, инвариантна по отношению к наклону этих площадок и равна сумме главных напряжений.

Получен закон парности касательных напряжений (см. 3.1)

3.5. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ

НА НАКЛОННЫХ ПЛОЩАДКАХ. КРУГ МОРА

ления напряжений на наклонординатой точки D – касательное.

круга равен полуразности главных напряжений Абсцисса центра круга – среднее арифметическое главных напряжений Нормальное напряжение на наклонной площадке равно сумме отрезков Касательное напряжение на наклонной площадке = DE = CD·sin Приведенные формулы по виду и нумерации совпадают формулами в §3.3.

На практике нахождение напряжений на наклонных площадках иногда называют прямой задачей.

Руководствуясь соотношением 1 2 3, присваиваем индексы главным напряжениям: 1 = 200 МПа, 2 = 0, 3 = –400 МПа.

В координатных осях – откладываем напряженное состояние Результаты решений совпали.

3.6. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

По сравнению с материалом, изложенным в § 3.5, такую задачу иногда называют обратной, поскольку на практике чаще встречается ситуация, при которой напряжения на наклонных площадках известны (например, по результатам тензометрических испытаний), а главные напряжения требуется найти. Напряженное состояние грани D (рис. 3.9, а) характеризуется парой координат в системе – (рис. 3.9, б): D (x, xy).

Аналогично для грани F (y, yx).

Прямая DF – диаметр круга с центром в точке С. Круг отсекает на оси абсцисс максимальное 1 и минимальное 2 напряжения:

Рис. 3.9. Напряженное состояние на произвольно выделенных площадках (а) и построение круга Мора (б) для определения величины главных напряжений и положения главных площадок Радиус круга – гипотенуза треугольника CDE Таким образом, величина главных напряжений Положение главных площадок находим с использованием полюса Р. Через точку D на круге проводим вертикальную линию (штриховка), соответствующую вертикальному положению грани D (рис. 3.9, а). Для грани F, ориентированной горизонтально, проводим горизонтальную линию до пересечения с кругом. Точка пересечения этих линий является полюсом Р. Соединив полюс Р с точкой В, найдем положение главной площадки 1, а с точкой А – главной площадки 2.

Направление главного напряжения определяют тангенсом угла Для рассматриваемого случая главное напряжение 1 повернуто по ходу часовой стрелки относительно большего алгебраически напряжения х. Следовательно, в формуле должен быть знак минус:

Примечание. Согласно приведенной формулы значение аргумента 2 функции тангенса не может превышать 90°, следовательно, значение угла не может превышать 45°. Из этого следуют правила:

направление большего из главных напряжений откладывают от большего из заданных напряжений х, или у;

положительное значение угла откладывают против хода часовой стрелки;

направление max всегда проходит через те две четверти осей координат, к которым сходятся стрелки xy и yx;

если одно из главных напряжений окажется отрицательным, то полученные напряжения обозначают 1 и 3; если отрицательны оба, то 2 и 3.

Величины главных напряжений Индексы главным напряжениям присваиваем исходя из соотношения между ними 1 2 3, а также учитывая, что одно из трех напряжений на площадке, обращенной к зрителю, равно нулю.

Изображаем площадку под действием главных напряжений. Знак угла отрицательный, поэтому угол откладываем по ходу часовой стрелки от вертикали, то есть от направления большего алгебраически из заданных напряжений (у направлено вертикально). Линия действия максимальных главных напряжений 1 проходит через I и III квадранты, где расположены ребра параллелепипеда, к которым стягиваются касательные напряжения, стремящиеся сдвинуть грани так, чтобы преобразовать квадрат в ромб.

масштаб, отложим напряженное состояние граней xy D(x, xy) и F(y, yx), то есть D(–200; –250) и F(300; 250).

Р находим, продлевая до пересечения с окружностью линий, соответствующих положению грани D (вертикальная) и грани F (горизонтальная).

Линия, соединяющая полюс Р с точкой, соответствующей 1, определяет положение первой главной площадки, а с точкой, соответствующей 3 – положение второй главной площадки.

Вывод. Аналитическим путем и графическим построением определена ориентация главных площадок в выделенном объеме нагруженного тела. Найдены значения главных нормальных напряжений. Результаты аналитического и графического решения совпали.

3.7. ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

При объемном напряженном состоянии, когда 1 2 3 0 в окрестности исследуемой точки выделяют элементарный кубик с гранями, параллельными главным площадкам. Через кубик проводят площадку (заштирихована) параллельно 3 (рис. 3.10, а). Напряжения, на этой площадке зависят только от 1 и 2. Используют приемы и формулы (3.3–3.8) для плоского напряженного состояния. Диаметр круга напряжений LI (рис. 3.11) равен разности 1 – 2. Аналогично для площадки, параллельной 1 (рис. 3.10, б); диаметр круга напряжений LII определяется разностью 2 – 3. То же для площадки, параллельной 2 (рис. 3.10, в).

Для произвольно ориентированной площадки D напряжения определяют по формулам Рис. 3.10. Выделение в элементе, находящемся в трехосном состоянии, площадок, напряженное состояние которых не зависит от главного для объемного напряженного соесть величина постоянная.

что экстремальные касательные напряжения действуют по площадкам, параллельным главному напряжению 2. Площадки наклонены к главным напряжениям 1 и 3 под углом 45°. Значения экстремальных касательных напряжений:

Наряду с напряженным состоянием различают и деформированное состояние – совокупность относительных удлинений и углов сдвига для всевозможных направлений осей, проведенных через рассматриваемую точку. Нормальные напряжения вызывают удлинение граней, оцениваемое относительной линейной деформацией. Касательные напряжения вызывают сдвиг граней, оцениваемый относительным углом сдвига.

Для главных направлений тензор деформаций имеет вид:

3.9. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

Согласно закону Гука в направлении каждого нормального напряжения 1, 2, 3 происходит продольная деформация 1, 2, 3.

Одновременно согласно эффекту Пуассона, в поперечных направлениях происходят противоположные по знаку деформации. Таким образом, в каждом из трех направлений проходит по одной продольной и по две поперечных деформации.

Деформации ребер Используя принцип суперпозиции и, складывая эти деформации, получим суммарные относительные удлинения в направлениях напряжений:

Если грани элементарного параллелепипеда не совпадают с главными площадками, то по ним действуют касательные напряжения, не удлиняющие или укорачивающие грани, а вызывающие лишь изменение прямых углов между его гранями. На основании инвариантности суммы нормальных напряжений (3.6) обобщенный закон Гука может быть представлен в виде:

Объем параллелепипеда до деформации Объем в деформированном состоянии Изменение объема тела Пренебрегая величинами второго и третьего порядка малости (произведеV Относительное изменение объема равно сумме трех главных деформаций.

Подставив i из обобщенного закона Гука, получим Для произвольно ориентированных площадок Анализ формул приводит к выводам:

для материалов (каучук, парафин) с большим значением = 0,47 деформация будет происходить без изменения объема при любом из способов нагружения;

для любого материала деформация происходит без изменения объема, если 1+2+3 = 0. Например, при кручении 2 = 0, 3 = -1. Изменяется лишь форма (углы между гранями);

изменение объема происходит без изменения формы, если 1 = 2 = 3 = 0 (гидростатическое сжатие);

коэффициент Пуассона не может превышать значения 0,5, поскольку при > 0,5 материал уменьшается в объеме при растяжении.

Примечание: формулы действительны при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности

3.11. ПРИМЕРЫ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Один и тот же материал может проявлять резко различные характеристики прочности и пластичности в зависимости от схемы напряженного состояния.

1. Растяжение гладких образцов ДО образования шейки. Линейное НС 2. Сжатие образцов при смазке торцевых поверхностей. Линейное НС 3. Цистерна, сферическая оболочка под давлением. Плоское НС 4. Вал под действием скручивающих моментов. Плоское НС 5. Растяжение образца с концентратором напряжений (надрезом) Объемное одноименное НС 6. Измерение твердости НВ, закрытая ковка в штампах, прессование Объемное одноименное НС, трехосное сжатие 7. Волочение проволоки, труб. Объемное разноименное НС 8. Быстрый нагрев шара. Трехосное растяжение 9. Гидростатическое сжатие. Трехосное сжатие Теории прочности используются для оценки прочности конструкций в случае плоского и объемного напряженных состояний. При двух- и трехосном напряженном состояниях соотношения между нормальными и касательными напряжениями настолько разнообразны (тензор напряжений содержит девять компонентов, из которых шесть независимы), что экспериментальная проверка опасного состояния для каждого из соотношений практически исключается.

Задача несколько упрощается, если вместо шести компонентов напряжений рассматривать эквивалентные им три главных напряжения и найти такую их комбинацию, которая была бы равноопасной линейному напряженному состоянию, то есть простому растяжению или сжатию. Характеристики прочности и пластичности, полученные при испытании на растяжение, достаточно полно приведены в справочной литературе.

Суть теорий (гипотез, критериев) прочности состоит в том, что, определив главную причину разрушения материала (преимущественное влияние того или иного фактора), можно подобрать соответствующее эквивалентное напряжение при сложном напряженном состоянии, а затем сопоставить его с простым одноосным растяжением, как показано на схеме.

Эквивалентное напряжение экв – напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным с заданным.

Создан ряд теорий (гипотез, критериев) прочности (более 20), позволяющих определить вид функциональных зависимостей, представляющих сложное напряженное состояние эквивалентным ему одноосным напряженным состоянием.

В качестве причин наступления опасного состояния считают: а) нормальные напряжения – разрушение хрупкое, путем отрыва; б) линейные деформации; в) касательные напряжения – разрушение пластичное, путем сдвига; г) энергия деформации и другие.

Следует заметить, что опасное состояние как для пластичных материалов (момент появления больших остаточных деформаций), так и для хрупких (момент появления трещин) лежит на границе области упругого деформирования. Это позволяет при всех дальнейших вычислениях, относящихся к проверкам прочности, пользоваться формулами, выведенными при условии применимости закона Гука.

ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если максимальное нормальное напряжение не превзойдет допускаемого, определенного при простом растяжении:

Здесь [] – допускаемое напряжение при растяжении. Эту гипотезу связывают с именем Г. Галилея (XVII). Гипотеза пренебрегает действием двух других главных напряжений и не учитывает появления пластических деформаций; дает удовлетворительные результаты для хрупких материалов:

стекло, керамика, камень, кирпич, бетон, гипс.

ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ ЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если наибольшее относительное удлинение не превзойдет допускаемого, определенного при простом растяжении:

Гипотеза предложена Э. Мариоттом (1682), развита Б. Сен-Венаном (XIX).

Из первой строки обобщенного закона Гука для объемного напряженного состояния (3.12) Для линейного напряженного состояния, когда 2 = 3 = 0, 2 = 3 = Решая совместно последние три равенства, получим:

Экспериментально гипотеза подтверждается слабо, в расчетной практике применялась в начале прошлого века.

ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если наибольшее касательное напряжение не превзойдет допускаемого, определенного при простом растяжении Гипотеза предложена Ш. Кулоном (1773 г.), развита Б. Сен-Венаном (1871). Для объемного напряженного состояния При простом растяжении (линейном напряженном состоянии, 2 = 3 = 0) Решая совместно последние два равенства, получим:

Гипотеза не учитывает действие второго главного напряжения 2. Хорошо согласуется с опытом для пластичных материалов.

ГИПОТЕЗА УДЕЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ

ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ – ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ

Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если удельная потенциальная энергия деформации, идущая на изменение формы, не превзойдет допускаемого значения, определенного при простом растяжении Согласно гипотезе, высказанной Д. Максвеллом в 1856 г. и разработанной М. Хубером в 1930 г., удельную потенциальную энергию деформации следует разложить на две компоненты, одна из которых отвечает за изменение объема, а другая – формы. В расчетах учитывать лишь одну из них – последнюю. Напряжения 1, 2 и 3, действующие по граням параллелепипеда, тоже можно разложить на две компоненты, как показано на схеме:

Первая компонента – шаровой тензор, по граням которого действует среднее напряжение m, отвечает только за изменение объема (одинаковое удлинение всех ребер). Вторая компонента – девиатор (от лат. deviatio – отклонение) отвечает за изменение формы элементарного параллелепипеда.

Энергия формоизменения для объемного напряженного состояния (вывод опускается):

При одноосном растяжении, когда 2 = 3 = 0, приняв экв = 1, получим:

Тогда условие прочности по четвертой теории можно записать так:

Четвертая теория более точно, чем третья, описывает появление в материале малых пластических деформаций. Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие.

ГИПОТЕЗА КУЛОНА-МОРА (ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА, 1900) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если круг Мора не выходит за пределы огибающих пряжениях при простом растяжении и сжатии.

Гипотеза (ее иногда называют пятой Рис. 3.12. Круги Мора: для осевого растяжения (1); осевого и обозначают римской цифрой V) приме- сжатия (2); опасного напряженняется для материалов, обладающих раз- ного состояния (3); безопасного ным сопротивлением растяжению и сжа- напряженного состояния (4) тию (чугун, бетон…). В случае, если допускаемые напряжения при растяжении [+] и сжатии [-] одинаковы, теория Мора совпадает с третьей теорией прочности.

Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать четвертую или третью теории прочности (строго говоря – теории перехода локального объема в пластическое состояние) для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, то есть пластичных, и теорию Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Пример 3.3. В опасном сечении детали, выполненной из серого чугуна СЧ25, выделен элемент, по граням которого действуют напряжения 20 Напряжениям, показанным на рисунке, дадим обозначение согласно координатной системе xyz:

x = –30 МПа; y = 50 МПа; z = –70 МПа; xy = 20 МПа; yx = –20 МПа.

Назначаем индексы при главных напряжениях:

Проверка результатов расчета с использованием свойства суммы нормальных напряжений:

Угол (положительный) откладывается против хода часовой стрелки от направления большего из заданных напряжений в плоскости x0z, то есть от y.

Назначим допускаемые напряжения, выбрав коэффициент запаса прочности [nв] = 3, рекомендуемый для хрупких материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию Согласно первой гипотезы прочности Прочность обеспечена.

Согласно второй гипотезы прочности Прочность обеспечена Согласно третьей гипотезы прочности Прочность недостаточна.

Согласно четвертой гипотезы прочности экв, IV = Прочность недостаточна.

Согласно теории прочности Кулона-Мора Прочность обеспечена Вывод. Рассмотрены варианты использования различных теорий прочности при выполнении поверочного расчета элемента из хрупкого материала. Третья и четвертая теории прочности, обычно применяемые для пластичных материалов, дали отрицательный ответ.

зующийся взаимным смещением параллельных слоев материала под действием приложенных сил при неизменном расстоянии между слоями.

При сдвиге в поперечном сечении из шести внут- Q ренних усилий действует только одно – поперечная си- Рис. 4. ла Q (рис. 4.1).

Порядок вывода расчетных формул в сопротивлении материалов При выводе любых аналитических зависимостей в сопротивлении материалов рассматривается существование малого элемента тела с целью последовательного определения его перемещений, деформаций и напряжений в нем. Проинтегрировав установленные зависимости по всему объему тела, находят связь перемещений, деформаций и напряжений с внешними силами.

Всякий расчет состоит из четырех этапов:

статический анализ – устанавливает связь напряжений с внешними нагрузками путем интегрирования уравнений равновесия элемента по всему объему тела;

геометрический анализ – устанавливает связь между перемещениями и деформациями малого элемента тела;

физический анализ – устанавливает связь между деформациями элемента и напряжениями в нем. При упругой деформации используется закон Гука;

синтез установленных зависимостей. Подставляя найденные на трех предыдущих этапах выражения одно в другое и упрощая их, получают окончательные расчетные формулы.

Для установления связи внутренних усилий с напряжениями и деформациями при сдвиге рассмотрим несколько этапов.

I. Статическая сторона задачи – условие равновесия (рис. 4.2) В действительности, касательные напряжения распределяются по сечению неравномерно. Однако, если принять допущение о равномерном распределении напряжений, что широко используется на практике, то II. Геометрическая (деформационная) сторона задачи Подставляя (4.1) и (4.2) в (4.3), получим закон Гука для сдвига Рис. 4.2. Внутренние усилия и напряжения, упругими постоянными где – коэффициент поперечной деформации (Пуассона) Мора для определения ны под углом 45° к направлению сдвигаюглавных площадок и вели- щих напряжений (рис. 4.3, б), величины чины главных напряжений главных нормальных напряжений равны касательным напряжениям.

Имеет место чистый сдвиг – частный случай плоского напряженного состояния, при котором по граням элемента действуют только касательные напряжения.

Допускаемые напряжения. Расчет на прочность Эквивалентные напряжения по I гипотезе прочности:

Соотношение справедливо для хрупких материалов.

Эквивалентные напряжения по III гипотезе прочности:

Эквивалентные напряжения по IV гипотезе прочности:

Подставив 1 =, 2 = 0 и 3 = –, получим откуда меры смятого слоя зависят от величины, хаРис. 4.4. Характер распреде- рактера и времени воздействия нагрузки, а ления напряжений в зоне кон- также от температуры нагрева сжимаемых такта шарика с кольцом (а) стичных, но и у хрупких материалов (закаленная сталь, чугун и др.). Смятие возникает в соединениях (болтовых, заклепочных, шпоночных и др.), в местах опирания конструкций и в зонах контакта сжатых элементов. Смятие широко используется для создания заклепочных, врубовых и других плотных соединений; является начальной стадией таких процессов холодной и горячей обработки металлов, как прокатка, вальцовка, ковка. Величину напряжений смятия в конструкциях обычно ограничивают допускаемым напряжением смятия, которое определяется характером соприкасающихся поверхностей, свойствами используемого материала и его ориентацией относительно действующих нагрузок (например, в случае древесины – вдоль или поперек волокон).

Подобрать диаметр заклепок, соединяющих накладки с листом;

проверить прочность заклепок на смятие и листов на разрыв. Материал листов и заклепок – прокат из стали Ст3.

Дано: F = 8 кН; t1 = 5 мм; t2 = 3 мм; b = 50 мм; т= 235 МПа.

Допускаемые напряжения, рассчитанные на основе механической характеристики – предела текучести и нормативного коэффициента запаса:

Допускаемые напряжения согласно рекомендациям табл. П2:

[р] = 125 МПа; [ср] = 75 МПа; [см] = 190 МПа.

меньшие значения допускаемого напряже- F/ ния [ср] = 75 МПа. Из условия прочности при срезе определяем требуемую площадь поперечного сечения заклепок.

Стержень заклепки подвергается перерезыванию в двух плоскостях; средняя часть заклепки сдвигается вправо. Суммарная площадь среза где m = 2 – количество плоскостей среза заклепки;

n = 3 – количество заклепок.

2. Проверка заклепок на смятие Давление, передающееся на поверхность заклепки от листа, распределяется неравномерно, по сложной зависимости, изменяясь от нуля до значиt тельных величин (рис. 4.4). На практике, чтобы вы- F разделить силу, приходящуюся на заклепку, на площадь диаметрального сечения. Эта площадь предсмятие ставляет собой прямоугольник, одной стороной которой служит диаметр заклепки, другая сторона равна толщине листа, передающего давление на стер- Рис. 4.5. Поверхности жень заклепки. Так как толщина среднего листа среза и смятия в заклеменьше суммы толщин обеих накладок, то в худших почном соединении (наиболее опасных) условиях по смятию будет именно средняя часть заклепки. Условие прочности на смятие:

где Тогда Прочность на смятие обеспечена.

Опасным считается сечением листа, прохоb дящее через заклепочные отверстия; здесь рабочая чения листа, ослабленного заклепочными отверстиями (площадь «живого» сечения) разр = = 45,7 МПа, что меньше допускаемого Рис. 4.6. Определение Вывод. Из условия прочности на сдвиг подобран диаметр двухсрезных заклепок. Условия прочности на смятие заклепок и разрыва листа выполняются.

5. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА

КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Кручение – вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент Т. Остальные силовые факторы (N, Qy, Qz, My, Mz) отсутствуют.

Вал – брус, работающий на кручение.

Принято внешние силовые факторы называть вращающими или скручивающими моментами и обозначать М; внутренние усилия – крутящим моментом Т (от англ. torsion, torque) В расчетах на прочность и жесткость при кручении знак крутящего момента значения не имеет, но для удобства построения эпюр принято правило:

Крутящий момент считают положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса он стремится вращать сечение против хода часовой стрелки.

Положительный крутящий момент вызывает положительные касательные напряжения

5.1. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ

На основании метода сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

I II III

Рис. 5.1. Схема нагружения вала и эпюра крутящих моментов (а); определение внутреннего усилия на участке I (б); то же на участке III (в) Эпюра крутящих моментов – график изменения крутящих моментов по длине бруса.

Во всех случаях эпюры внутренних усилий строят на осевой линии бруса.

Величину силового фактора откладывают по нормали к оси.

Теория брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, основана на следующих положениях.

Поперечные сечения бруса плоские до деформации остаются плоскими и в деформированном состоянии – гипотеза твердых дисков (Бернулли).

Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину. Поперечные сечения остаются круглыми.

Расстояния между поперечными сечениями вдоль оси бруса не изменяются.

Для установления связи напряжений с внутренними усилиями рассмотрим несколько этапов решения задачи.

I. Условие равновесия – статическая сторона задачи (рис. 5.2, в).

·dA – элементарное усилие;

·(·dA) – элементарный крутящий момент;

Т – равнодействующий момент касательных напряжений Рис. 5.2. Брус под действием внешнего скручивающего момента М (а); деформация элементарного участка dx (б); внутреннее усилие Т и напряжения в поперечном сечении (в); распределение касательных напряжений в поперечном сечении (г) Для нахождения сдвигающих напряжений рассмотрим физическую сторону задачи.

II. Физическая сторона задачи – закон Гука при сдвиге связывающий касательные напряжения с деформацией сдвига. Деформацию сдвига найдем, рассмотрев геометрическую сторону задачи.

III. Деформационная (геометрическая) сторона задачи Левый торец бруса длиной х (рис. 5.2, а) под действием внешнего скручивающего момента М повернется на угол. В элементе длиной dx аналогичный угол d (рис. 5.2, б). Образующая цилиндра отклоняется от исходного положения на угол. На поверхности элемента радиусом r угол принимает максимальное значение В цилиндре произвольного радиуса внутри элемента угол :

Рассмотренные ранее этапы объединяет математическая сторона задачи.

Уравнение (5.1) подставляем в уравнение (5.3), а уравнение (5.4) – в уравнение (5.2):

Обозначая d A = I p как полярный момент инерции (геометрическая характеристика поперечного сечения), получим:

Относительный угол закручивания элементарного участка d/dx (5.5) подставим в (5.4):

и получим напряжение в произвольной точке сечения Закон распределения касательных напряжений – линейный. В центре = 0, так как = 0, на периферии = max, так как max = r (рис. 5.2, г).

5.3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

чении можно представить как где Wp – полярный момент сопротивления поперечного сечения.

Для круглого сечения где c = – коэффициент пустотелости.

Если сечение некруглое (прямоугольное, треугольное, эллиптическое…), используют Iк, Wк, которые вычисляют по специальным формулам.

Допускаемое напряжение при кручении [] = (0,5–0,6)[].

Виды расчетов на прочность:

а) поверочный – вычисляют max и сравнивают его с [], определяя недогрузку или перегрузку в процентах, либо находят коэффициент запаса прочности и сравнивают его с нормативными значениями;

б) проектный – вычисляют диаметр вала D при известных значениях T и [];

в) определяют допускаемый крутящий момент при известных диаметре вала D и допускаемом касательном напряжении [].

Из уравнения (5.5) находим угол закручивания элементарного участка Угол закручивания всего вала Для вала постоянной жесткости сечения (произведение G·Ip) на длине и постоянного крутящего момента Т угол закручивания вала Полученную зависимость называют законом Гука при кручении.

Произведение GIp называют жесткостью сечения при кручении.

За меру жесткости принимают относительный угол закручивания, то есть угол, приходящийся на единицу длины вала Условие жесткости: = где [] имеет размерность рад/м. Чаще пользуются условием Допускаемое значение угла [°] закручивания зависит от назначения вала. Принимают [°] = (0,3–1,0) град/м.

При расчете валов на прочность и жесткость часто задают мощность N, передаваемую валом и частоту его вращения n. Для вычисления крутящего момента по этим данным удобно воспользоваться таблицей Пример 5.1. Расчета вала на прочность и жесткость Рис. 5.3. Схема нагружения вала (а), эпюра крутящих моментов (б), эпюры равновесия вала: Мх = 0;

углов закручивания сплошного (в) и Мвед – М1 – М2 – М3 = 0, откуда Для расчетов на прочность и жесткость необходимо найти положение опасных сечений и величины крутящих моментов, действующих в этих сечениях вала (рис. 5.3, а). Воспользовавшись методом сечений определим внутренние усилия и построим эпюру крутящих моментов (рис. 5.3, б). Опасными являются все сечения на участке II, где действует Тmax = 12 кН·м.

II. Проектный расчет валов сплошного и полого сечений Предварительно найдем допускаемое касательное напряжение, связанное с допускаемым нормальным напряжением. Принимаем по третьей теории прочности Из условия прочности и жесткости при кручении находим требуемые значения полярных момента сопротивления и момента инерции согласно ГОСТ поперечного Углы закручивания характерных сечений вала сплошного и полого сечений Момент инерции Строим эпюры углов закручивания сплошного и полого валов (рис. 5.3, в и г) Поперечное III. Сопоставление металлоемкости валов двух вариантов Металлоемкость вала определяется его объемом, то есть произведением длины на площадь поперечного сечения. Поскольку длина вала неизменна, сопоставим площади поперечных сечений сплошного вала с полым 1. Из условий прочности и жесткости найдены диаметры вала двух вариантов исполнения, сплошного и пустотелого: 105 и 120 мм соответственно.

2. Вычислены деформации валов на каждом из участков, построены эпюры углов закручивания валов сплошного и пустотелого. Жесткости валов практически одинаковы.

3. Сопоставлены металлоемкости валов двух вариантов исполнения.

Расход металла для вала сплошного сечения вдвое больше, чем для вала пустотелого.

Примечание. Полученный результат по сопоставлению металлоемкости валов ожидаем, поскольку достаточно большой объем материала, сосредоточенный около центра тяжести сечения, испытывает напряжения ниже допускаемого и вклад его в общую прочность конструкции невелик. Поэтому целесообразно убирать неработающий материал из этой области. Конструкции из полого сечения созданы природой: камыш, тростник, бамбук, злаковые культуры, трубчатые кости птиц и млекопитающих. В авиации и космонавтике используют полые валы, в строительстве – пустотные плиты перекрытий.

6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ

При растяжении стержня напряжения во всех точках одинаковы, поэтому его напряженное состояние определяется внешней нагрузкой и площадью поперечного сечения, но не зависит от его формы.

В случае изгиба и кручения брусьев напряжения в точках поперечного сечения зависят от его формы и размеров, а при изгибе еще и от его ориентации к направлению нагрузок. Кроме площади сечение характеризуется:

статическим моментом площади;

моментами инерции;

радиусами инерции;

моментами сопротивления.

У большинства характеристик физического смысла нет, но есть геометрическая интерпретация и аналогия с физическими и механическими понятиями.

6.1. СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ

страненная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на расстояние от них до Рис. 6.1 Это понятие аналогично моменту силы относительно оси. Если предположить, что А – вес пластины, имеющей форму нашего сечения, то статический момент Sz – это момент силы тяжести пластины относительно оси z. Размерность: единицы длины в третьей степени (см3;

нулю.

сечения центральных осей.

Если фигура имеет ось симметрии, то эта А Статический момент составного сечения равен сумме статических моментов элементов Рис. 6.2. Связь знака статического момента площади этого сечения. Это следует из свойства опреде- с его положением в коорленного интеграла, который можно вычислять динатной системе по частям – свойство аддитивности (от англ.

add – прибавлять, присоединять, складывать). При известных статических моментах частей сечения можно найти координаты центра тяжести составной фигуры:

Пример 6.1. Определить положение центральных осей, параллельных основанию и высоте фигуры.

Разбиваем сложную фигуру на две простые, в конкретном примере – на два прямоугольника. Их центры тяжести расположены посредине высоты и посредине ширины.

Через найденную точку проводим центральные оси zC и yC, параллельные основанию фигуры и ее высоте.

Примечание. Центр тяжести фигуры, составленной из двух частей, лежит на линии, соединяющей центры тяжести простых фигур ее составляющих, причем расстояния до них обратно пропорциональны площадям простых фигур. Если сложная фигура составлена из нескольких простых, то общий центр тяжести находится внутри многоугольника, вершинами которого являются центры тяжести простых фигур.

Момент инерции – распространенная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты расстояний от них до этой оси.

Центробежный момент инерции определяется интегралом произведений элементарных площадей на их расстояния до двух взаимно перпендикулярных осей Размерность моментов инерции – единицы длины в четвертой степени. Осевые и полярный момент инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может принимать значения «+», «–» и ноль. Если фигура имеет ось симметрии, то относительно этой оси центробежный момент инерции равен нулю.

угольника относительно центральных осей, паралdy лельных основанию и высоте.

Решение. dA – элементарная площадь;

Аналогичное решение относительно оси у. Таким образом Пример 6.3. Найти моменты инерции круглого и кольцевого сечений.

Решение. Площадь элементарного кольца радиусом и толщиной d:

d A = 2 d. Полярный момент инерции круга:

Поскольку имеется связь I p = I z + I y, а для круга Таким образом, полярный и осевые моменты инерции круга том пустотелости, получим полярный и осевые моменты инерции кольца:

Момент сопротивления – отношение момента инерции к расстоянию до наиболее удаленной точки.

осевые моменты сопротивления Например, для прямоугольника В расчетах на прочность при кручении сечений круглого профиля используют полярный момент сопротивления Так, для круга и кольца соответственно Примечание. Для сечений некруглого профиля, например прямоугольного, моменты инерции и моменты сопротивления вычисляют по специальным формулам, включающим высоту и ширину профиля, а также коэффициент, зависящий от отношения высоты к ширине.

6.4. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ

ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

С – центр тяжести фигуры площадью А; оси z, y – центральные; a, b – расстояния между параллельными осями. Новые координаты для произвольной площадки dA:

I II III

интеграл III – площадь А фигуры.

Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Для центробежного момента инерции

6.5. ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ

ПОВОРОТЕ ОСЕЙ

Таким образом:

Момент инерции в новой системе координат Выполнив аналогичные действия относительно другой оси, получим:

Примечание. Относительно главных осей центробежный момент инерции равен нулю.

Складывая первые два равенства, получим Сумма моментов инерции относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей не меняется (инвариантна) при их повороте.

6.6. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

При изменении угла значения Iz1, Iy1, Iz1y1 (6.13) изменяются, и при некотором значении угла 0 они принимают экстремальные значения. Взяв первую производную по углу от формул (6.13) и приравняв ее нулю, получим:

Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из которых осевой момент максимален, а относительно другой – минимален. Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции. Их вычисляют следующим образом:

Главные оси обладают следующими свойствами:

центробежный момент инерции относительно них равен нулю;

моменты инерции относительно главных осей экстремальны;

для симметричных сечений оси симметрии являются главными.

Главные оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называют главными центральными осями инерции.

Пример 6.4. Определить, каким образом изменяется момент инерции квадратного сечения при его повороте.

Решение. Момент инерции относительно повернутой оси:

Поскольку оси z, y квадрата являются осями симметрии, то есть главными, то центробежный момент инерции относительно них Izy = 0:

любая центральная ось является и главной. Такие фигуры называют фигурами равного сопротивления.

Пример 6.5. Для фигуры, представленной в примере 6.1, определить главные центральные моменты инерции.

центральной осью составной фиyС ными осями элементов a2= y2 – yC = 1 – 3,5 = –2,5 см;

b1= z1 – zC = 1 – 2,5 = –1,5 см;

b2= z2 – zC = 5 – 2,5 = 2,5 см.

тельно центральных осей, паралz лельных основанию и высоте I zc yc = [0 + a1b1 A1 ] + [0 + a2b2 A2 ] = [1,5( 1,5)20] + [( 2,5)2,5 12] = 120 см 4.

Угол 0 (положительный) откладываем против хода часовой стрелки от оси с большим моментом инерции, то есть zC.

Величины главных центральных моментов инерции

7. ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ

Изгиб – вид деформации, при котором происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны кривого бруса.

Изгиб плоский (прямой изгиб) – случай изгиба, при котором внешние силы лежат в главной плоскости инерции и являются перпендикулярными к геометрическим осям. Если сечение имеет ось симметрии, то внешние силы располагаются в плоскости симметрии.

Главная плоскость инерции – плоскость, проходящая через геометрическую ось бруса и главную ось инерции.

Mz или My.

Изгиб поперечный – случай изгиба, при котором в сечениях бруса наряду с изгибающим В нагруженном состоянии балка прогибается так, что часть волокон укорачивается, другая часть волокон удлиняется.

Нейтральный слой – слой волокон, в котором нормальные напряжения отсутствуют.

Нейтральная ось – след пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения.

Балка – конструктивный элемент, с прямолинейной геометрической осью, обычно в виде бруса, работающий главным образом на изгиб.

Балка простая – однопролетная балка без консолей, лежащая на двух опорах: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной. Расстояние между опорами называют пролетом.

Консоль – балка с одним защемленным концом или часть балки, свешивающаяся за опору.

Схемы реальных опорных устройств можно свести к трем типам.

Шарнирно-подвижная опора допускает поворот опорного сечения и перемещение его в одном направлении. Опорная реакция перпендикулярно к плоскости опирания катков.

Шарнирно-неподвижная опора допускает только поворот опорного сечения балки. Реакция имеет две составляющие: горизонтальную и вертикальную.

Жесткая заделка (защемление) не допускает поворота опорного сечения и любых его перемещений. Имеет три реакции: горизонтальную и вертикальную составляющие, а также опорный момент.

Из шести внутренних усилий, действующих в сечении в общем случае, при плоском поперечном изгибе только два не равны нулю: Qy и Mz (индексы часто опускают).

если ее векторы стремятся вращать части рассеченной балки по ходу часовой стрелки (положительная поперечная сила вызывает положительM Изгибающий момент М в сечении положителен, если он вызывает сжатие в верхней части бруса, а растянутая область изгибаемого элемента – в нижней.

Часто эпюры изгибающего момента строят со стороны сжатой зоны элемента, но удобнее – со стороны растянутой.

Пример 7.1. Определить внутренние усилия в поперечном сечении консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой.

Решение. Опора (защемление) накладывает три связи, обусловливающие возникновение трех реакций: вертикальную и горизонтальную составляющие реакции Rx и Ry, а также опорный момент М. В целях упрощения расчета внутренние усилия определяем со Поперечная сила Q(x) – функция от абсциссы х – величина постоянная.

Изгибающий момент M(x) – линейная функция от абсциссы х – описывается уравнением прямой; для ее построения находим значение функции в двух точках – в начале и конце участка:

Поперечная сила Q(x) отсутствует, изгибающий момент M(x) – величина постоянная; имеет место чистый изгиб Общий подход к определению внутренних усилий при изгибе В балке бесконечной протяженности выберем начало координат на левом конце. Внутренние усилия находим методом сечений Рис. 7.2. Схема к определению откуда Здесь Сq – множитель, имеющий смысл координаты центра тяжести распределенной нагрузки.

Изгибающий момент в произвольном сечении равен алгебраической сумме моментов от всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения х, взятых относительно центра тяжести рассматриваемого сечения.

7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ

В балке, находящейся под действием плоской системы сил, двумя Рис. 7.3. Элемент балки с внутq.

нагрузки, перпендикулярной оси балки.

Первая производная от изгибающего момента по абсциссе х равна поперечной силе.

С учетом формул (7.1) и (7.2) получаем дифференциальные зависимости Д. И. Журавского:

Полученные зависимости действительны в правой системе координат, то есть когда х возрастает от левого конца балки к правому. В левой системе координат знаки перед Q и q обратные.

7.3. ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР Q И M

Напомним, геометрический смысл первой производной некоторой функции – тангенс угла наклона касательной к кривой, отображающей эту функцию, и положительным направлением оси абсцисс. На основании дифференциальных зависимостей (7.3) при изгибе установлены следующие правила.

1. На участках, свободных от распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми линиями, параллельными базовой (поперечная сила постоянна), а эпюра М – наклонными (изгибающий момент изменяется по линейному закону).

2. На участке с равномерно распределенной нагрузкой эпюра Q – наклонная прямая, а эпюра М – парабола выпуклостью в направлении действия нагрузки q.

3. В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:

а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил;

б) на эпюре М будут изломы, причем острие излома направлено по действию силы.

4. В сечении балки, где приложен сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачок на величину этого момента. На эпюре Q действие пары сил не отражается.

5. На участках, где Q > 0, момент М возрастает, то есть положительные ординаты увеличиваются, отрицательные – уменьшаются. На участках, где поперечная сила Q отрицательна, момент М убывает.

6. В том сечении, где эпюра Q, изменяясь, пересекает базисную линию (поперечная сила Q = 0), изгибающий момент достигает экстремума (максимума или минимума). Касательная к линии, ограничивающей эпюру М в этом сечении, параллельна оси эпюры.

7. На концевой шарнирной опоре поперечная сила равна реакции этой опоры, а изгибающий момент равен нулю, если в опорном сечении не приложена пара сил.

8. В защемленном конце балки (заделке) значения Q и M равны опорной реакции и опорному моменту.

7.4. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

Рассмотрим простейший случай изгиба – чистый изгиб, при котором в поперечных сечениях бруса действует только одно внутреннее усилие – изгибающий момент. Например, в условиях чистого изгиба работают участки балки, на которых изгибающий момент постоянен, а поперечная сила отсутствует (dM/dx = 0).

При расчете балки на изгиб будем считать справедливыми принятые ранее гипотезы, из которых выделим следующие:

гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сечения бруса плоские до деформации, остаются плоскими и в деформированном состоянии;

гипотеза постоянства напряжений по ширине бруса;

гипотеза отсутствия боковых давлений: боковые волокна бруса не давят друг на друга.

Рис. 7.4. Схемы нагружения, при которых в сечениях возникает чистый изгиб Двумя сечениями ad и bc на расстоянии dx выделим малый элемент (рис. 7.5, а, б) и рассмотрим его деформацию (рис. 7.5, в). Длина отрезка нейтрального слоя dx = ·d. Волокно нейтрального слоя не деформируется = 0, = 0. Любое другое волокно, находящееся на расстоянии у изменит свою длину и станет равным (+y)d. Его относительное удлинение Деформация волокон пропорциональна их расстоянию до нейтрального слоя.

В общем случае нагружения продольная деформация по закону Гука однако в силу гипотезы отсутствия боковых давлений z = 0 и y = 0, то есть волокна бруса испытывают только деформацию растяжения. Имеет место линейное напряженное состояние Рис. 7.5. Схемы к определению связи внутренних усилий с напряжениями:

а – брус до деформации; б – брус в деформированном состоянии; в – элемент a b c d в деформированном состоянии; г – внутренние усилия в сечении х·dA – элементарное усилие; y(х·dA) – элементарный момент.

Момент во всем сечении Приравниваем правые части уравнений (7.4) и (7.5):

Зависимость (7.7) подставляем в (7.6) где I z = y 2 d A – момент инерции, геометрическая характеристика попеA речного сечения. Из последнего равенства найдем отношение и подставим его в (7.7). Опуская индекс при, получим уравнение А. Навье (1826) Центр тяжести сечения является началом координат для анализа Напряжения изгиба зависят от значений изгибающего момента, момента инерции сечения и координаты точки.

на одинаковом расстоянии от нейтральной Из статического анализа (рис. 7.5, г) следует:

В полученное равенство подставляем (7.7): x = y.

Тогда где S z = y d A – статический момент площади, геометрическая характеA ристика. Поскольку отношение нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения. Радиус кривизны нейтрального слоя является и радиусом кривизны изогнутой оси бруса.

Деформация балки при изгибе – кривизна ее геометрической оси.

Это закон Гука при изгибе.

Момент инерции характеризует способность бруса сопротивляться искривлению в зависимости от размеров и формы его поперечного сечения.

Чем больше значение Iz при заданной величине М, тем большим окажется радиус кривизны нейтрального слоя бруса, то есть брус искривляется меньше.

Модуль упругости характеризует способность бруса сопротивляться искривлению в зависимости от его материала.

Произведение E·Iz называют жесткостью сечения при изгибе.

7.5. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ

ПО НОРМАЛЬНЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ

Максимальные напряжения в опасном (где действует Mmax) сечении Принимая отношение где Wz – осевой момент сопротивления сечения.

циент пустотелости. Здесь d – внутренний диаметр полого сечения.

Используя условие прочности (7.11), выполняют три вида расчетов.

Поверочный. Вычисляют max, а затем вычисляют перегрузку или недогрузку в процентах по отношению к допускаемому напряжению, либо находят коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести для пластичных материалов или пределу прочности для хрупких.