В. И. Водопьянов

А. Н. Савкин

А. А. Белов

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ:

руководство к выполнению контрольных работ

ВНЕШНИЕ СИЛЫ

1

ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ

НАПРЯЖЕНИЯ ДЕФОРМАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Волгоградский государственный технический университет В. И. Водопьянов А. Н. Савкин А. А. Белов

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ:

РУКОВОДСТВО К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Учебное пособие РПК «Политехник»

Волгоград

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие включает программу основного содержания курса сопротивления материалов, необходимого для ознакомления студентов с основами расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость В нем рассматриваются основные методы расчетов на прочность, широко используемые в дальнейшем в курсах "Детали машин" и специальных дисциплинах. Основой курса являются разделы, включающие простые виды деформаций, (растяжение, сжатие, кручение, изгиб), механические свойства материалов, теории напряженного и деформированного состояний и теории прочности, расчеты при сложном сопротивлении, энергетические методы расчета упругих систем, динамическое действие нагрузок, расчет сжатых стержней на устойчивость и др.

Материал некоторых разделов курса не охвачен задачами контрольных работ и изучается студентами самостоятельно. При сокращенном числе учебных часов в программе должны быть сделаны соответствующие изменения за счет уменьшения объема или исключения некоторых разделов Для более глубокого и успешного усвоения учебного материала в условиях обучения без отрыва от производства данное пособие включает методические рекомендации по выполнению каждого раздела и подробные решения типовых задач, включаемых в контрольные работы.

В пособии даны справочные материалы, необходимые для решения задач.

Методы сопротивления материалов базируются на упрощенных гипотезах, которые позволяют решать широкий круг инженерных задач с приемлемой, с инженерной точки зрения, точностью. Поэтому важное значение имеет осмысление полученных численных результатов, что необходимо для формирования инженерного мышления и подготовки кадров высокой квалификации по техническим направлениям Настоящее пособие предназначено для студентов, обучающихся по безотрывной форме обучения для механических специальностей. Пособие включает задачи, объединенные в четыре контрольные работы.

ПРОГРАММА КУРСА

1.1. Основные понятия Введение в курс Определения. Реальный объект и расчетная схема.

Виды тел, изучаемых в сопротивлении материалов. Внешние силы и внутренние усилия Метод мысленных сечений Классификация типов нагружения Понятия о напряжениях и их связь с усилиями. Перемещения и деформации Основные предпосылки науки о сопротивлении материалов [1, гл 1]; [6, §1.2; §3 1-3.2] 1.2. Растяжение и сжатие Определение внутренних усилий, напряжений, деформаций (продольных и поперечных). Условные и истинные напряжения и деформации. Механические свойства материалов Основные параметры прочности и пластичности, определяемые в опытах на растяжение (сжатие). Допускаемые напряжения. Расчет на прочность.

Понятие о статически определимых и неопределимых системах. Расчет статически неопределимой стержневой системы. Местные напряжения [1, гл. 2]; [6, §1.3-1.4].

1.3. Теория напряженного и деформированного состояний Виды напряженного состояния. Круги Мора Главные напряжения Экстремальные касательные напряжения. Обобщенный закон Гука. Относительное изменение объема. Потенциальная энергия деформации [1, гл. 3, 6,гл 5].

1.4. Понятие о геометрических характеристиках поперечных сечений Центр тяжести; статические моменты, моменты инерции - осевые, центробежный полярный, моменты сопротивления; радиусы инерции. Главные оси и главные моменты инерции Моменты сопротивления, радиусы инерции [1, гл. 5,6, гл 2] 1.5. Сдвиг и кручение Чистый сдвиг Внутренние усилия, напряжения и деформации при кручении. Закон Гука для сдвига. Модуль сдвига. Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге. Кручение прямого стержня круглого поперечного сечения. Внутренние усилия и напряжения в поперечном сечении.

Полярный момент инерции. Главные напряжения. Угол закручивания. Расчет на прочность и жесткость вала круглого поперечного сечения. Статически неопределимые задачи. Приближенный расчет цилиндрических витых пружин с малым шагом витков. Формула для осадки пружин [1, гл. 4, гл 6, §6.1гл. 8-9].

1.6. Изгиб прямых стержней Плоский поперечный изгиб балок. Определение опорных реакций.

Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Нормальные и касательные напряжения при изгибе. Расчет на прочность и полная проверка прочности. Рациональные сечения балок при изгибе.

Деформация балок при изгибе. Метод начальных параметров [1, гл. 4, гл. 7, § 7.1-7 10, §7.14; 6, гл 10].

1.7. Теория прочности Основные теории прочности. Расчет на прочность при сложном напряженном состоянии [1, гл. 8; 6, гл. 7].

1.8. Сложное сопротивление Косой изгиб. Внецентренное растяжение - сжатие. Ядро сечения. Совместное действие кручения и изгиба. Расчеты по различным теориям прочности [1, гл. 9; 7, гл. 14, гл. 15, гл. 16].

1.9. Энергетические методы расчета упругих систем Потенциальная энергия деформации. Обобщенные силы и обобщенные перемещения. Теорема Кастильяно. Метод фиктивной силы. Интеграл Максвелла - Мора [1, гл. 11; 7, гл. 17].

1.10. Статически неопределимые системы: рамы и фермы Метод сил. Установление степени статической неопределимости. Основная система. Канонические уравнения метода сил. Примеры расчета. Учет симметрии. Проверка результатов расчета [7, гл. 18].

1.11. Продольный и продольно-поперечный изгиб прямого стержня Понятие об устойчивости систем. Формы и методы определения устойчивости. Задача Эйлера. Условия закрепления концов стержня. Критические напряжения. Расчет на устойчивость. Расчет на устойчивость стержня при упругопластических деформациях. Расчет составной колонны. Продольно-поперечный изгиб [I, гл. 13; 7, гл. 19].

Динамическое действие сил. Силы инерции. Расчет кругового кольца.

Техническая теория удара. Динамический коэффициент при ударе [1, гл. 14;

7, гл. 20, гл. 21].

Современные представления о сопротивлении материалов циклическим нагрузкам. Природа усталости металлов. Предел выносливости. Влияние концентрации напряжений, качества поверхности, абсолютных размеров, окружающей среды и других на величину предела выносливости. Проверка усталостной прочности. Диаграмма предельных амплитуд напряжений. Расчет на прочность при переменных напряжениях при одноосном напряженном состоянии и при симметричном и несимметричном действии кручения и изгиба. Закон линейного суммирования напряжений Малоцикловая усталость.

Повышение выносливости конструктивными и технологическими мероприятиями [1, гл. 15; 7, гл. 22].

1.14. Тонкостенные оболочки и толстостенные цилиндры Безмоментная теория тонкостенных оболочек вращения. Уравнение Лапласа. Расчет тонкостенных сосудов, находящихся под давлением.

Определение напряжений и радиальных перемещений в толстостенных цилиндрах, нагруженных внутренним давлением Задача Ламе [6, гл. 13] Современные проблемы расчета на прочность, жесткость, устойчивость и колебания Вопросы надежности и долговечности. Хрупкое разрушение тел с трещинами. Коэффициент интенсивности напряжений и его критическое значение как характеристики трещиностойкости материала. Влияние пластической деформации на развитие трещин.

2. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

• Приступать к выполнению задания необходимо лишь после изучения соответствующего учебного материала.

• Студенты заочного отделения выполняют работу в тетради или на листах формата А 4 чернилами, разборчивым почерком, с полями 4 см для замечаний рецензента. Требования по оформлению работы сообщаются студентам вечернего отделения на практических занятиях.

• На титульном листе контрольной работы следует четко написать, наименование министерства, вуза, кафедры, номер контрольной работы и ее название, шифр (номер варианта), номер группы, ф. и. о. Студенты заочного обучения дополнительно указывают дату отсылки работы и точный почтовый адрес.

• Исходные данные варианта для решения задачи следует брать из приведенных по тексту таблиц в соответствии со своим личным номером (шифером), определяемым двумя последними цифрами (номера зачетной книжки), причем предпоследнюю четную принимать равной 0 или 2, а нечетную - 1. Например: 123456 - вариант 16, 123446 - вариант 6. Номер варианта студентам безотрывной формы обучения сообщается преподавателем на практических занятиях.

• Перед решением каждой задачи надо записать полностью ее условие, привести все числовые значения исходных данных с указанием размерностей, составить аккуратно схему в масштабе и указать на ней величины, необходимые для расчета, отразить цель работы.

• Решение должно сопровождаться краткими и грамотными, без сокращения слов, пояснениями и чертежами, ссылкой на чертежи и использованную литературу. Необходимо избегать механического пересказа учебника.

• Расчет рекомендуется писать в следующей форме: сначала должна быть записана формула в обозначениях, затем эту формулу без всяких преобразований записывают в цифрах, после этого писать результат вычислений.

Все вычисления следует проводить с обоснованной точностью, соответствующей практической целесообразности. Чаще всего в прочностных расчетах достаточно в числовых ответах иметь три значащих цифры.

• Необходимо указывать размерность всех величин, получаемых в результате вычислений, расчеты проводить, за некоторым исключением, в единицах СИ - в м, Н, Па, МПа.

• При достаточном уровне усвоения учебного материала студенту полезно воспользоваться методическими рекомендациями к решению и оформлению конкретных задач (части I и II), где изложена последовательность ведения расчетов основных типов задач с необходимыми пояснениями; при затруднении решения задач можно обратиться к примерам решения данного типа задач, приведенных в приложении.

• После выполнения контрольная работа предъявляется для проверки и защиты. При защите студент должен уметь решать задачу по соответствующему разделу курса. Работа должна выполняться в установленные графиком сроки и регистрироваться в деканате не позднее недели до начала зачетно-экзаменационной сессии.

• В зависимости от специальности и объема курса преподаватель может варьировать количество контрольных задач.

• В первом семестре изучения курса сопротивления материалов выполняются контрольные работы № 1 и № 2, во втором - № 3 и № 4.

3. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ (ЧАСТЬ I)

Расчеты на прочность при растяжении и кручении Задача Ml. Стальной стержень, показанный на рис. 1, находится под действием сил Fj, F2, F3 и имеет ступенчато изменяющиеся площади поперечного сечения по длине, соотношение между которыми показано на рисунке. Определить площадь поперечного сечения А из расчета на прочность по допускаемым напряжениям и полное удлинение стержня. Коэффициент запаса прочности я принять равным 2,5, механические свойства материала взять в табл. 2, 3.

Примечание. Числовые значения исходных данных для контрольных работ. 1 и № 2 в соответствии с вариантом принимать из 1абл. 1.

Задача М°2. Шарнирно закрепленная абсолютно жесткая балка с помощью шарниров связана с двумя стальными стержнями и нагружена силой F=F/ (рис. 2). Требуется выполнить проектировочный расчет - найти диаметры поперечных сечений стержней. Коэффициент запаса прочности п принять равным 2,5.

Задача №3. К стальному валу приложены крутящие моменты Tt, T2, Г?

(рис. 3). Определить диаметры d и D вала при условии D/d—2; построить эпюру углов закручивания. Коэффициент запаса прочности принять равным двум.

Задача №4. Для балки, изображенной на рис. 4, а, из условия прочности по допускаемым напряжениям подобрать следующие поперечные сечения: круг, кольцо (d/D=0, 5), прямоугольник (отношение высоты h к ширине 8 равно двум), двутавр, два швеллера ( ] [ ), геомегрические характеристики для швеллеров и двутавров приведены в габл. 4 и 5 соответственно. Построить эпюры распределения нормальных напряжений по высоте прямоугольного поперечного сечения. Сравнить расход материала балки для рассчитанных поперечных сечений. Принять коэффициент запаса прочности равным двум.

Задача №5. Для схемы рис. 4, б подобрать чугунное поперечное сечение (рис. 5) согласно варианту задания, приняв п= 2, 5. Механические свойства чугуна взять из табл. № 3.

Механические характеристики углеродистых сталей качественных Коэффициент линейного расширения а = ( 11,6 -14,6)-10"6 "С" Механические характеристики чугунов серых Рис. Рис

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

1 Определить число участков и показать для каждого участка сечение, для которого будет записываться выражение внутренних усилий.

1. Записать аналитические выражения продольной (нормальной) силы для каждого участка. Построить эпюры внутренних усилий 2 Записать выражения нормальных напряжений на каждом участке, принимая площадь поперечного сечения А неизвестной, и установить участок с максимальным напряжением.

3 Записать для этого участка условие прочности и определить площадь поперечного сечения А.

4. Определить значения напряжений на всех участках и построить эпюру напряжений.

5. Определить величины линейных деформаций, перемещение конца стержня и построить эпюру перемещений по длине стержня.

1. Показать все реакции. Определить степень статической неопределимости 2. Записать независимые уравнения статики (статическая сторона задачи).

3 Показать деформированную систему, обозначить'деформации всех стержней, установить зависимость между деформациями стержней (геометрическая сторона задачи).

4. Записать величины деформаций согласно закону Гука через соответствующие внутренние усилия (физическая сторона задачи) 5. Получить дополнительные уравнения из совместного рассмотрения п. 3 и 6. Определить все внутренние усилия (реакции), ретив систему уравнений, составленную из уравнений статики и п. 5 (рекомендуется использовать метод Гаусса и вычислительную технику).

7 Определить площадь поперечного сечения стержней из условия прочности и с учетом заданного соотношения между площадями 8. Определить необходимые диаметры стержней.

Порядок выполнения тот же, что и для задачи № 1. Принять т = ^- т 1. Вычертить схему балки, определить число участков и показать сечения, для которых будут записыва? ься выражения внутренних усилий.

2. Записать аналитические выражения поперечной силы Q и изгибающего момента Mz для каждого участка Подсчитать значения О и М2 в характерных точках (начало и конец участка, экстремальные значения) 3. Построить эпюры Q и Mz.

4. Проверить правильность построения эпюр, используя известные правила проверки 5 Записать условие прочности и определить осевой момент сопротивления Wz.

Коэффициент запаса прочности п принять равным 6. По известному Wz подобрать размеры требуемых в задаче форм поперечного сечения 7 Построить эпюры распределения нормальных напряжений по высоте прямоугольного поперечного сечения 8. Сравнить расход материала для выбранных поперечных сечений, указав самые выгодные и самые нерациональные.

1. Вычертить схему балки (см. рис 4, б) и определить реакции опор Проверить правильность определения реакций, записав дополнительно уравнения статики, которые не использовались при определении реакций.

2 Определить количество участков и показать сечения для каждого участка.

3. Записать аналитические выражения поперечной силы Q и изгибающего момента Wz для каждого участка Подсчитать значения Q и Mz в характерных точках (начало и конец участка, экстремальные значения).

4. Построить эпюры Q и М2.

5 Проверить правильность построения эпюр Q и Мг.

6 Определить положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции для чугунной балки (рис. 5):

• выбрать исходную систему координат, например у/, Zj, и вычислить статические моменты инерции относительно этих осей, найти положение центра тяжести сечения, • провести через центр тяжести оси, например ус, zc, параллельные yi, zi и вычислить осевые Jzc, JYC И центробежные JzcYc моменты инерции относительно этих осей;

• определить положение центральных осей U, V и величины главных центральных моментов инерции относительно этих осей Ju и Jy 7. Произвести расчет на прочность При этом величина наибольших нормальных напряжений (по модулю) определяется из следующих выражений" где Утах' У max ~ координаты точек сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии, в которых соответственно возникают растяжение и сжатие.

5. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ (ЧАСТЬ II)

Расчеты на прочность при сложном сопротивлении Задача № 6а. Для балки на двух опорах (рис. 6, а), плоскость действия внешних сил Р-Р для которой наклонена к вертикальной оси под углом а, подобрать поперечное сечение (номер двутавра или размеры прямоугольника с отношением сторон //?)• Построить эпюру нормальных напряжений по опасному сечению.

Задача № 66. Короткий стержень, поперечное сечение которого (двутавр или прямоугольник) показано на рис. 6, б, нагружен продольной силой F, параллельной геометрической оси стержня.

К - точка приложения сжимающей силы. Проверить прочность по допускаемым напряжениям (размеры поперечного сечения известны). Номер двутавра соответствует высоте сечения (в см), t прямоугольника определить из соотношения / Д. Построить эпюру напряжений в поперечном сечении.

Задача № бе. Для стержневой конструкции круглого поперечного сечения, схема которой, размеры и действующие на нее усилия приведены на рис. 6, в, подобрать сечение стержня.

Энергетические методы расчета упругих систем Задача М 7а. Для плоской статически определимой рамы (рис.7, а) подобрать номер двутавра, приняв допускаемое напряжение cradm = 160 МПа.

Выполнить проверку прочности с учетом продольного N внутреннего усилия.

Проверить прочность по максимальным касательным напряжениям Примечание Числовые значения исходных данных для контрольных работ № 3, 4 в соответствии с вариантом выбирать из табл 6.

Задача №76. Подобрать номер двутавра для статически неопределимой плоской рамы (рис. 7, б) при допускаемых напряжениях aadm -160 МПа.

Сравнить расход материала статически определимой и статически неопределимой рам (рис. 7, а, б), принимая во внимание, что в обоих случаях нагрузки одинаковые и расчетные схемы отличаются лишь добавлением дополнительной связи.

Задача №8.Yfa. незагруженную внешними силами упругую систему (рис 8) с высоты h падает груз Q Подобрать размеры круглого поперечного сечения.

Массу упругой системы не учитывать.

Задача № 9. Стальной ступенчатый вал диаметрами D и d и радиусом галтели г (рис. 9) испытывает переменный изгиб с кручением: нормальные 4. Физическая сторона задачи 5. Математическая сторона задачи.

Получаем дополнительное уравнение из совместного решения уравнения (7) и (8):

Определение внутренних усилий в стержнях. Решая совместно уравнение (3) и (9) получим' Здесь tgor = - = 1; а = 45°; cos 45° - 0,707а Перейдем к числовым значениям коэффициентов [JV2-l,5+tfi-4,5-0,707-20-3,5=O, -3,18Решая эту систему уравнений методом подстановки или методом Гаусса, получаем следующие значения усилий в стержнях' #1=19,02 кН; //2=6,34 кН 7. Расчет на прочность Зная усилия в стержнях и соотношение площадей поперечного сечения, установим, какой из стержней будет наиболее опасным. Запишем выражение напряжений в стержнях:

Как видно, наибольшее напряжение будет в стержне 1.

Подбор сечения проводится из условия прочности: (используя табл 2, находим для стали. 50, сг02 = 380МПа)