«А.Н. ГОЛУБЕВ, В.А. МАРТЫНОВ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ Учебное пособие для студентов факультета заочного обучения Иваново 2011 1 УДК 621.3 Г 62 Голубев А.Н., Мартынов В.А. Теоретические основы электротехники: ...»

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.И. ЛЕНИНА»

А.Н. ГОЛУБЕВ, В.А. МАРТЫНОВ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Учебное пособие

для студентов факультета заочного обучения Иваново 2011 1 УДК 621.3 Г 62 Голубев А.Н., Мартынов В.А. Теоретические основы электротехники: Учеб. пособие для студентов факультета заочного обучения / ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина». Иваново, 2011. – 140 с.

ISBN В учебном пособии приводятся контрольные работы по курсу ТОЭ (часть 2) и методические указания по их выполнению, а также необходимые теоретические сведения по соответствующим разделам дисциплины. В зависимости от профиля специальности и степени подготовленности студентов предусмотрена возможность формирования заданий разного уровня сложности.

Содержание контрольных работ ориентировано на студентов всех специальностей электротехнического и электромеханического профилей Табл. 27. Ил. 191. Библиогр. 12 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»

Научный редактор доктор технических наук Б.С. КУРНЫШЕВ Рецензенты:

А.Ф. СОРОКИН; М.Г. МАРКОВ (ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина») ГОЛУБЕВ Александр Николаевич МАРТЫНОВ Владимир Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Учебное пособие для студентов факультета заочного обучения Редактор Н.С. Работаева Подписано в печать Формат 60х84 1/16.

Печать плоская. Усл. печ. л. 8,13. Уч.-изд. л. 9,2.

Тираж 250 экз. Заказ № ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»

153003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, 34.

Отпечатано в УИУНЛ ИГЭУ © А.Н. ГОЛУБЕВ, В.А. МАРТЫНОВ, ISBN

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие предназначено для самостоятельного изучения основных разделов курса ТОЭ (часть 2):

переходные процессы в линейных электрических цепях;

установившиеся и переходные процессы в цепях с распределенными параметрами;

нелинейные электрические и магнитные цепи при постоянных токах и магнитных потоках;

нелинейные электрические цепи при переменных токах и магнитных потоках.

Пособие включает в себя варианты контрольных заданий по указанным разделам дисциплины, методические указания по их выполнению, а также необходимые теоретические сведения. Содержание пособия, последовательность изложения материала в нем, а также объем задания к контрольным работам в целом соответствуют программе курса ТОЭ для электротехнических специальностей вузов.

Цель, которая стояла перед авторами при написании данного пособия, заключалась в том, чтобы дать студентам необходимый уровень знаний об электрических и магнитных цепях, основных методах анализа и расчета этих цепей в статических и динамических режимах работы, т.е. в создании базы для последующего изучения различных специальных электротехнических дисциплин. В результате изучения курса студент должен знать основные методы расчета переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами, основные методы анализа и расчета установившихся процессов в нелинейных электрических и магнитных цепях при постоянных и переменных токах и магнитных потоках и уметь применять их на практике. Необходимый теоретический материал изложен сжато с использованием его табличного представления, что придает пособию элементы справочной литературы. Каждое контрольное задание сопровождается формулированием основных этапов его выполнения и разбором решения соответствующих задач.

При изучении дисциплины предполагается, что студент имеет соответствующую математическую подготовку в области дифференциального и интегрального исчислений, линейной и нелинейной алгебры, комплексных чисел и тригонометрических функций, а также знаком с основными понятиями и законами электричества и магнетизма, рассматриваемыми в курсе физики.

Знания и навыки, полученные при прочтении данного учебного пособия, а также при выполнении расчетных заданий, являются базой для освоения таких дисциплин, как «Теория автоматического управления», «Переходные процессы в электрических системах», «Электропривод», «Промышленная электроника» и т.д.

Список рекомендуемой учебно-методической литературы 1. Бессонов, Лев Алексеевич. Теоретические основы электротехники:

Электрические цепи: учеб. для студ. электротехн., энерг. и приборостроит. спец.

вузов. / Л.А.Бессонов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528 с.

2. Основы теории цепей: учеб. для вузов / Г.В.Зевеке [и др.]. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. –528 с.

электротехники: учеб. для вузов. В 3 т. Т. 1. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными / К.М.Поливанов. –М.: Энергия, 1972. –240 с.

4. Теоретические основы электротехники: учеб. для вузов. В 3 т. Т. 2.

Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи / Б.Я.Жуховицкий, И.Б.Негневицкий. –М.: Энергия, 1972. –200 с.

5. Матханов, Платон Николаевич. Основы анализа электрических цепей.

Линейные цепи: учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. вузов / П.Н.Матханов. –3-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400 с.

6. Матханов, Платон Николаевич. Основы анализа электрических цепей.

Нелинейные цепи: учеб. для электротехн. спец. вузов / П.Н.Матханов. –2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352 с.

электротехники: учеб. пособие для электротехн. и энерг. спец. вузов / А.Е.Каплянский, А.П.Лысенко, Л.С.Полотовский. –Изд. 2-е. –М.: Высш. шк., 1972. – 448 с.

8. Теоретические основы электротехники. В 2 т. Т. 1. Основы теории линейных цепей: учеб. для электротехн. вузов / П.А.Ионкин [и др.]; под ред.

П.А. Ионкина. –Изд. 2-е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976. –544 с.

9. Теоретические основы электротехники. В 2 т. Т. 2. Нелинейные цепи и основы теории электромагнитного поля: учеб. для электротехн. вузов / П.А.Ионкин [и др.]; под ред. П.А.Ионкина. –Изд. 2-е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976. –383 с.

10. Голубев, Александр Николаевич. Переходные процессы в линейных электрических цепях: учеб. пособие / А.Н.Голубев, В.А.Мартынов; ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина». – Иваново, 2008. –196 с.

11. Голубев, Александр Николаевич. Методы расчета нелинейных цепей:

учеб. пособие / А.Н.Голубев; Иван. гос. энерг. ун-т. –Иваново, 2002. –212 с.

12. Голубев, Александр Николаевич. Теория линейных и нелинейных цепей:

курс лекций. –2-е изд., перераб. и доп. / А.Н.Голубев; ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина». –Изд. 2-е, перераб. и доп. –Иваново, 2007. –348 с.

Авторы выражают глубокую благодарность программисту Н.Н. Дыдыкиной за активную и добросовестную работу при подготовке рукописи к печати.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Во всех заданиях выбор варианта осуществляется по двум последним цифрам шифра. При выполнении заданий и оформлении полученных решений необходимо придерживаться следующих правил:

1. Текст задания должен быть переписан полностью со всеми рисунками и числовыми значениями параметров своего варианта.

2. Решения задач должны сопровождаться объяснениями. При использовании готовых формул необходимо дать ссылку на соответствующую страницу учебника или учебного пособия. Необходимо приводить все основные этапы вычислений.

3. При записи формул уравнений, оформлении графиков, вычерчивании схем следует применять стандартные обозначения величин, единиц измерений, элементов схем. При вычислениях необходимо пользоваться системой единиц СИ. После каждого числового результата необходимо указывать единицу измерения.

4. Графики и диаграммы необходимо выполнять на миллиметровой бумаге с указанием отложенных на осях величин и единиц их измерения.

ЗАДАНИЕ 1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ

ПАРАМЕТРАМИ

Задание 1 имеет два уровня сложности. Первый уровень включает в себя две задачи по расчету переходных процессов в цепи с двумя накопителями энергии: 1.1 классическим или операторным методом расчета (задача 1.1); 1.2 методом переменных состояния (задача 1.2).

Второму уровню соответствует задача по расчету переходных процессов в цепи с одним накопителем энергии классическим методом (задача 1.3).

Задача 1.1. Задана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис. 1.1 1.20). В цепи действует постоянная ЭДС Е. По данным, помещенным в табл. 1.1, необходимо:

1) рассчитать классическим или операторным методом зависимости напряжения на конденсаторе и токов в ветвях с катушкой индуктивности и резистором R, отмеченным в заданной схеме, в функции времени;

2) построить график найденных зависимостей.

Примечание: при вычерчивании схемы цепи необходимо провести нумерацию ее элементов и задать положительные направления токов в ветвях.

Задача 1.2. Задана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис. 1.1 1.20). В цепи действует синусоидально изменяющаяся ЭДС e( t ) 2E sin( 2 ft ). По данным, помещенным в табл. 1.1, выполнить следующее:

1) записать уравнения состояния цепи в матричной форме;

2) вычислить элементы матриц [A], [B], [C], [D], [X(0)] и [U], если искомыми величинами являются напряжение на конденсаторе и токи в ветвях с катушкой индуктивности и резистором R, отмеченным в заданной схеме.

Задача 1.3. Задана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис.1.21 1.40). В цепи действует синусоидально изменяющееся напряжение u( t ) U m sin( 314t ). По данным, помещенным в табл. 1.2, выполнить следующее:

1) рассчитать зависимость указанной в табл. 1.2 переменной в функции времени;

2) построить график найденной зависимости.

Таблица 1.1. Значения параметров электрических цепей к задачам 1.11. Номер Таблица 1.2. Значения параметров электрических цепей к задаче 1.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ К ЗАДАНИЮ

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ

ПРОЦЕССОВ

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.3.

Таблица 1.3. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах Резистор (идеальное Катушка индуктивности Конденсатор активное сопротивление) (идеальная (идеальная емкость) Подставив в (1.1) значение тока через конденсатор получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно u C :

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); f t – известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); а к – к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением где n L и nС – соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; к L – число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); к С – число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (1.2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (1.2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение хпр, соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для t ).

Частное решение хпр уравнения (1.2) определяется видом функции f t, стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая х св общего решения х уравнения (1.2) – решение (1.2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь опосредовано через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная хсв – свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, общее решение уравнения (1.2) имеет вид Соотношение (1.4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

В соответствии с определением свободной составляющей хсв в ее выражении имеют место постоянные интегрирования Аk, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени t 0 (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 1.4).

Таблица 1.4. Законы коммутации Первый закон Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности коммутации (закон контура, в момент коммутации сохраняет то значение, сохранения которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно потокосцепления) Второй закон Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к коммутации (закон любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, сохранения заряда) которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения u L d dt и iC dq dt, что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 1.42, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи). Действительно, при переводе в схеме на рис. 1.42,а ключа из положения 1 в положение трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа uC1 0 uC 2 0. Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 1.42,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа i1 0 i2 0. Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для t 0. Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (1.2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при t 0.

Пример. Определить токи и производные di2 dt и duC dt в Кирхгофа для момента коммутации имеет место откуда 3. Для известных значений i1 0 и i2 0 из уравнения определяется.

4. Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1.3) Корни характеристического уравнения. Постоянная времени Выражение свободной составляющей хсв общего решения х дифференциального уравнения (1.2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 1.5).

Таблица 1.5. Выражения свободных составляющих общего решения Вид корней характеристического Выражение свободной составляющей уравнения и различные Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях хсв монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексносопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения называемым логарифмическим декрементом колебания, где Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени, определяемая для цепей первого порядка как где р – корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при t 34.

Способы составления характеристического уравнения Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:

непосредственно на основе дифференциального уравнения вида (1.2), т.е. путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании первого и второго законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение (1.2);

путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе;

на основе выражения главного определителя.

Согласно первому способу ранее было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения u C на конденсаторе для последовательной R L C-цепи, на базе которого записывается характеристическое уравнение.

Следует отметить, что, поскольку линейная цепь охвачена единым переходным процессом, корни характеристического уравнения являются общими для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение.

Поэтому по первому способу составления характеристического уравнения в качестве переменной, относительно которой оно записывается, может быть выбрана любая.

сопротивления заключается в следующем:

записывается входное сопротивление цепи на переменном токе;

j заменяется на оператор р;

полученное выражение Z p приравнивается к нулю.

Уравнение совпадает с характеристическим.

Следует подчеркнуть, что входное сопротивление может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить их предварительное развязывание.

Для цепи на рис. 1.44 относительно зажимов источника Заменив j на р и приравняв полученное выражение к нулю, запишем или При составлении характеристического уравнения на основе выражения главного определителя число алгебраических уравнений, на базе которых он записывается, равно числу неизвестных свободных составляющих токов. Алгебраизация исходной системы интегродифференциальных уравнений, составленных, например, на основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов, осуществляется заменой символов дифференцирования и интегрирования соответственно на умножение и деление на оператор р. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания записанного определителя к нулю.

Поскольку выражение для главного определителя не зависит от правых частей системы неоднородных уравнений, его составление можно производить на основе системы уравнений, записанных для полных токов.

Для цепи на рис. 1.44 алгебраизованная система уравнений на основе метода контурных токов имеет вид Отсюда выражение для главного определителя этой системы:

Приравняв D к нулю, получим результат, аналогичный (1.5).

Общая методика расчета переходных процессов В общем случае методика расчета переходных процессов классическим методом включает следующие этапы:

1. Запись выражения для искомой переменной в виде 2. Нахождение принужденной составляющей общего решения на основании расчета установившегося режима послекоммутационной цепи.

3. Составление характеристического уравнения и определение его корней (для цепей, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, вместо корней можно находить постоянную времени – см. далее). Запись выражения свободной составляющей в форме, определяемой типом найденных корней.

4. Подстановка полученных выражений принужденной и свободной составляющих в соотношение (1.6).

5. Определение начальных условий и на их основе – постоянных интегрирования.

Примеры расчета переходных процессов классическим методом 1. Переходные процессы в R L-цепи при ее подключении к источнику напряжения Согласно рассмотренной методике для тока в цепи на рис. 1. можно записать Тогда для первого случая принужденная составляющая тока Характеристическое уравнение имеет вид откуда p R L и постоянная времени L 1 p L R.

Таким образом, Подставляя (1.8) и (1.9) в соотношение (1.7), запишем:

В соответствии с первым законом коммутации i0 0. Тогда откуда A U 0 R.

Таким образом, ток в цепи в переходном процессе описывается уравнением полученным решениям, представлен на рис. 1.46.

При втором типе источника принужденная составляющая рассчитывается с использованием символического метода:

Выражение свободной составляющей не зависит от типа источника напряжения. Следовательно, Таким образом, окончательно получаем Анализ полученного выражения (1.10) показывает следующее.

интегрирования А=0. Таким образом, в этом случае коммутация не повлечет за собой переходного процесса и в цепи сразу возникнет установившийся режим.

модулю. В этом случае ток переходного процесса достигает своей наибольшей величины.

Если L значительна по величине, то за полпериода свободная Таким образом, для линейной цепи максимальное значение тока переходного режима не может превышать удвоенной амплитуды принужденного тока: i L max 2 I m.

Аналогично для линейной цепи с конденсатором: если в момент коммутации принужденное напряжение равно своему амплитудному значению и постоянная времени С цепи достаточно велика, то примерно через половину периода напряжение на конденсаторе достигает своего максимального значения uC max, которое не может превышать удвоенной амплитуды принужденного напряжения: uC max 2U Cm.

индуктивности от источника питания При размыкании ключа в цепи на рис.

1.48 принужденная составляющая тока через катушку индуктивности iпр 0.

Характеристическое уравнение имеет В соответствии с первым законом коммутации Таким образом, ток в переходном режиме и напряжение на катушке индуктивности Анализ (1.11) показывает, что при размыкании цепей, содержащих индуктивные элементы, могут возникать большие перенапряжения, которые без принятия специальных мер могут вывести аппаратуру из строя. Действительно, при n R Rк 1 модуль напряжения на катушке индуктивности в момент коммутации будет во много раз превышать напряжение источника: u к 0 nU 0. При отсутствии гасящего резистора R указанное напряжение прикладывается к размыкающимся контактам ключа, в результате чего между ними возникает дуга.

3. Заряд и разряд конденсатора напряжения на конденсаторе uС пр U 0.

Из характеристического уравнения При t=0 напряжение на конденсаторе равно uC 0 (в общем случае к моменту коммутации конденсатор может быть заряженным, т.е.

Соответственно для зарядного тока можно записать 3 – uC 0 0 ; 4 – uC 0 U 0 – возможны четыре вида кривых переходного процесса, которые иллюстрирует рис. 1.50.

При разряде конденсатора на резистор R2 (ключ на рис.1. переводится в положение 2) uС пр 0. Постоянная времени C 2 R2 C.

Тогда, принимая, что к моменту коммутации конденсатор был заряжен до напряжения uC 1 0 (в частном случае uC1 0 U 0 ), для напряжения на нем в переходном режиме можно записать:

Соответственно разрядный ток Как видно из (1.12), во избежание значительных бросков разрядного тока величина R2 должна быть достаточно большой.

В заключение отметим, что процессы заряда и разряда конденсатора используются в генераторах пилообразного напряжения, широко применяемых в автоматике. Для этого ключ в схеме на рис. 1. заменяется на электронный.

Переходные процессы в цепи с одним накопителем энергии и произвольным числом резисторов Как отмечалось ранее, линейная цепь охвачена единым переходным процессом. Поэтому в рассматриваемых цепях с одним накопителем энергии (катушкой индуктивности или конденсатором) – цепях первого порядка – постоянная времени будет одной и той же для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение.

Общий подход к расчету переходных процессов в таких цепях основан на применении теоремы об активном двухполюснике: ветвь, содержащую накопитель, выделяют из цепи, а оставшуюся часть схемы рассматривают как активный двухполюсник А (эквивалентный генератор) (см. рис.1.51,а) со схемой замещения на рис. 1.51,б.

Совершенно очевидно, что постоянная времени здесь для цепей с индуктивным элементом определяется как где Rвх – входное сопротивление цепи по ветви, содержащей накопитель энергии.

Например, для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 1.52 можно Рис. 1. записать:

где в соответствии с вышеизложенным Переходные процессы при подключении последовательной Рассмотрим два случая:

Тогда для первого случая принужденная составляющая этого напряжения Характеристическое уравнение цепи имеет вид решая его, получаем В зависимости от соотношения параметров цепи возможны три типа корней и соответственно три варианта выражения для свободной составляющей:

сопротивление контура, меньше которого свободный процесс носит колебательный характер.

2. R Rкр – предельный случай апериодического режима.

3. R Rкр – периодический (колебательный) характер переходного процесса.

угловая частота собственных колебаний; T0 – период собственных колебаний.

Для апериодического характера переходного процесса после подстановки (1.14) и (1.15) в соотношение (1.13) можно записать Для нахождения постоянных интегрирования, учитывая, что в общем случае uC 0 0 и в соответствии с первым законом коммутации duC решая которые, получим и напряжение на катушке индуктивности На рис. 1.54 представлены переходному процессу при uC 0 0.

основании (1.14) и (1.16) можно записать:

Для колебательного переходного процесса в соответствии с (1.14) и (1.17) имеем Для нахождения постоянных интегрирования запишем t На рис. 1.55 представлены качественные кривые uC t и it, где Таким образом, Здесь также возможны три режима:

Наибольший интерес представляет третий режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой 0. При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, три характерные на рис. 1.56,а,б,в соответственно.

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Сущность операторного метода заключается в том, что функции f t вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция F p комплексной переменной p s j, которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что, в свою очередь, определяет переход от системы интегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение F p заданной функции f t определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается как Следует отметить, что если оригинал f t увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1.18) необходимо более быстрое убывание модуля е St. Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1.6 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 1.6. Изображения типовых функций 1. Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

2. При умножении оригинала на коэффициент, на тот же коэффициент умножается изображение:

С использованием этих свойств и данных табл. 1.6 можно показать, например, что В курсе математики доказывается, что если df dt pF p f 0, где f 0 – начальное значение функции f t.

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать:

или при нулевых начальных условиях Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

или при нулевых начальных условиях откуда операторное сопротивление конденсатора Пусть имеем некоторую ветвь m n (см. рис. 1.57), выделенную из некоторой сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим где Z p R Lp – операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление Z p соответствует комплексному сопротивлению Z ( j ) ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на j.

Уравнение (1.19) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1.57 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 1.58.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура:

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде:

выражение для изображений токов в цепи на В первом случае в соответствии с законом Ома Во втором случае, т.е. при uC 0 0, для цепи на рис. 1. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например методом контурных токов:

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа которое представляет собой решение интегрального уравнения (1.18) и сокращенно записывается как На практике этот способ применяется редко.

изображениями.

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Тогда в соответствии с данными табл. что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения.

Пусть изображение F p искомой переменной определяется отношением двух полиномов:

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей:

где р к – к-й корень уравнения F2 p 0.

Для определения коэффициентов Ак умножим левую и правую части соотношения (1.20) на ( р рк ):

Рассматривая полученную неопределенность типа 0 0 по правилу Лапиталя, запишем:

Таким образом, учитывая, что еt, окончательно получаем Соотношение (1.21) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения F2 p 0 равен нулю, т.е. F2 p рF3 p, то уравнение (1.21) сводится к виду В заключение отметим, что для нахождения начального f 0 и конечного f значений оригинала можно использовать предельные соотношения которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.

Некоторые важные замечания к формуле разложения 1. При наличии в цепи синусоидальной ЭДС еt Em sint для перехода от комплекса к функции времени от правой части формулы разложения берется мнимая часть, т.е. выражение при j. Если при этом в цепи также имеют место другие источники, например постоянной Е и экспоненциальной Е0 е t ЭДС, и начальные условия для токов в ветвях с индуктивными элементами и напряжений на конденсаторах ненулевые, то они должны быть все введены в формулу предварительно умноженными на j, поскольку только в этом случае они будут учтены при взятии мнимой части от формулы разложения, т.е.

синусоидальной ЭДС в формуле разложения соответствует слагаемое, определяемое корнем p j. Для сложных схем такое ее вычисление может оказаться достаточно трудоемким, в связи с чем принужденную составляющую в этих случаях целесообразно определять отдельно символическим методом, а свободную – операторным.

3. Комплексно-сопряженным корням уравнения F2 p 0 в формуле разложения соответствуют комплексно-сопряженные слагаемые, которые в сумме дают удвоенный вещественный член, т.е. для к-й пары комплексно-сопряженных корней имеет место Последовательность расчета переходных процессов операторным 1. Определение независимых начальных условий путем расчета докоммутационного режима работы цепи.

2. Составление операторной схемы замещения цепи (для простых цепей с нулевыми начальными условиями этот этап может быть опущен).

3. Запись уравнений по законам Кирхгофа или другим методам расчета линейных цепей в операторной форме с учетом начальных условий.

4. Решение полученных уравнений относительно изображений искомых величин.

5. Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц соответствия оригиналов и изображений) по найденным изображениям.

В качестве примера использования операторного метода определим ток через катушку индуктивности в цепи на рис. 1.62.

С учетом нулевого начального условия операторное изображение этого тока Для нахождения оригинала it воспользуемся формулой разложения при нулевом корне:

Подставляя найденные значения слагаемых формулы разложения в (1.23), получим Воспользовавшись предельными соотношениями, определим i0 и Формулу разложения можно использовать для расчета переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые, то при подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать формулы включения, вытекающие из формулы разложения.

1. Формула включения на экспоненциальное напряжение где Z p – входное операторное сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви с ключом (при расчете тока в произвольной ветви это – операторное сопротивление, определяющее ток в ней по закону Ома); p к – к-й корень уравнения Z p 0.

2. Формула включения на постоянное напряжение U 0 (вытекает из (1.24) при 0 ):

ut U m sint (формально вытекает из (1.24) при j и В соответствии с заданной формой напряжения источника для решения следует воспользоваться формулой (1.23). В ней Z p Lp R.

Тогда корень уравнения Z p 0 p1 R L 10 c 1. Производная Сведение расчета переходного процесса к расчету с нулевыми Используя принцип наложения, расчет цепи с ненулевыми начальными условиями можно свести к расчету схемы с нулевыми начальными условиями. Последнюю цепь, содержащую пассивные элементы, можно затем с помощью преобразований последовательнопараллельных соединений и треугольника в звезду и наоборот свести к виду, позволяющему определить искомый ток по закону Ома с использованием формул включения.

Методику сведения цепи к нулевым начальным условиям иллюстрирует рис. 1.64, на котором исходная схема на рис. 1.64,а заменяется эквивалентной ей схемой на рис. 1.64,б, где еt u12 t.

Последняя в соответствии с принципом наложения раскладывается на две схемы, при этом в схеме на рис. 1.64,в составляющая i общего тока i равна нулю. Таким образом, полный ток i равен составляющей тока i в цепи на рис. 1.64,г, где исходный активный двухполюсник АД заменен пассивным ПД, т.е. схема сведена к нулевым начальным условиям.

Следует отметить, что если определяется ток в ветви с ключом, то достаточно рассчитать схему на рис. 1.64,г. При расчете тока в какой-либо другой ветви АД в соответствии с вышесказанным он будет складываться из тока в этой ветви до коммутации и тока в ней, определяемого подключением ЭДС еt к пассивному двухполюснику.

Аналогично можно показать, что отключение ветви, не содержащей индуктивных элементов, при расчете можно имитировать включением в нее источника тока, величина которого равна току в ветви до коммутации и который действует навстречу ему.

МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ

Уравнения электромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.

Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники.

Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.

К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования:

независимость уравнений;

возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных.

Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее.

Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах.

Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени, их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е.

в общем случае рассчитываются проще других.

При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные d dt diL dt и dq dt duC dt с самими переменными iL и q uC и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.

Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид Здесь Х и Х – столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени; U – матрица-столбец источников внешних воздействий; Y – столбцовая матрица выходных (искомых) величин; А – квадратная размерностью nn (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; B – прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); C – прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин к, а столбцов – n); D – прямоугольная размерностью кm матрица связи входа с выходом.

Начальные условия для уравнения (1.25) задаются вектором начальных значений Х (0).

Методика составления уравнений состояния Первый этап данной методики заключается в замене на основании теоремы о компенсации всех конденсаторов источниками напряжения, а всех катушек индуктивности – источниками тока. В результате исходная цепь трансформируется в резистивную, в которой помимо заданных источников действуют также вновь введенные источники.

На втором этапе с использованием метода наложения определяются выражения производных переменных состояния, а также искомых величин через напряжения и токи всех источников.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Первому уровню сложности соответствуют примеры 1.1, 1.2 и 1.3, а второму 1.4.

виде 2. Принужденная составляющая напряжения 3. Выражение входного сопротивления цепи относительно места разрыва ветви с индуктивным элементом запишем следующим образом:

откуда характеристическое уравнение имеет вид или после подстановки численных значений параметров Корни уравнения чему соответствует выражение свободной составляющей Таким образом, 4. Уравнения для нахождения постоянных интегрирования имеют вид Расчет начальных условий начнем с определения iL 0 и uC 0 по схеме на рис. 1.66,а, из которой имеем Для расчета duC dt 0 и diL dt 0 воспользуемся схемой на рис. 1.66,б, где катушка индуктивности заменена источником тока iL 0, а конденсатор источником напряжения uC 0. Для данной схемы справедлива система уравнений решая которую относительно iC 0 и uL 0, получаем: iC 0 0,6 A, uL 0 30 B. Из последнего вытекает:

уравнения (1.27), (1.28), получим: A1 31 B, A2 40 B.

Таким образом, 5. Решение для тока в ветви с индуктивным элементом ищем в виде где 6. Выражение свободной составляющей запишем в виде Таким образом, 7. Постоянные интегрирования находим из уравнений решая которые, получаем: B1 0,464 A, B2 0,2 A.

Следовательно, 8. Для определения тока i t составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура E R1 L C :

Решая его относительно i1 t, получаем 150 1 0,5 0,505e75t sin 97t 2030 100 50,6e 75t sin 97t 52, 0,5 0,253e75t sin 97t 23,30 A.

Решить предыдущую задачу операторным методом.

справедлива следующая система операторных уравнений, записанных по методу контурных токов:

или после подстановки численных значений входящих в них параметров:

Решением этой системы являются:

откуда изображения искомых переменных Используя формулу разложения (1.22), для которой корни F p 2 p 150, записываем выражения оригиналов:

Как видно, полученные зависимости совпадают с результатом решения задачи классическим методом.

В цепи на рис. 1.65 действует источник синусоидально Записать для данной схемы уравнения состояния и для численных значений примера 1.1 определить матрицы А, В, С, D и вектор Х(0).

1. Векторы Х и Y для данной схемы запишем в виде Тогда уравнения состояния имеют вид 2. Для нахождения элементов матриц А, В, С и D заменим катушку индуктивности в коммутационной цепи на источник тока iL, а конденсатор на источник ЭДС u. В результате получим резистивную схему на рис. 1.68.

Используя принцип суперпозиции, рассмотрим три частичные схемы, в каждой из которых действует только один источник ЭДС или тока.

3. Первая частичная схема приведена на рис. 1.69. В ней оставляем только источник ЭДС, соответствующий напряжению u на конденсаторе.

Из анализа схемы следует, что i 1 u R2 ; uL1 u ; i11 0 или 4. Вторая частичная схема представлена на рис. 1.70. В ней оставляем только источник тока, соответствующий току iL катушки индуктивности.

5. Третья частичная схема приведена на рис. 1.71. В ней оставляем только источник ЭДС е(t).

d11 d12 0, имеем Для расчета вектора Х(0) начальных значений переменных состояния запишем систему уравнений по методу контурных токов для цепи на рис. 1.72:

где I IIm 0,24 j0,8 ; I IIIm 0,38 j0,83. Тогда iL 0 I m I Lm 0,03. Таким образом, Х(0)= 12,1 0,03.

конденсаторе после замыкания ключа, если 1. Ищем напряжение на конденсаторе в виде 2. Для определения принужденной составляющей напряжения рассчитаем комплекс амплитуды этого напряжения в соответствии с соотношением где 3. Свободную составляющую напряжения на конденсаторе имеем в виде где 4. Подставив (1.33) и (1.34) в (1.32), получим:

5. Для определения постоянной интегрирования запишем (1.35) для В соответствии со вторым законом коммутации u 0 определяется в результате расчета цепи на рис. 1.71 до коммутации. На основании теоремы об активном двухполюснике для тока в ветви с конденсатором можно записать:

Отсюда комплексная амплитуда напряжения на конденсаторе до коммутации и, следовательно, Тогда, решив с учетом найденного значения u 0 уравнение (1.36) относительно постоянной интегрирования, получим Таким образом, искомое выражение напряжения на конденсаторе имеет вид

ЗАДАНИЕ 2. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ

С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Задание 2 имеет два уровня сложности. Первый уровень включает в себя задачу по расчету переходных процессов в цепи с распределенными параметрами (рис. 2.1 2.20), содержащей реактивный элемент (табл. 2.1).

Второму уровню соответствует задача по расчету переходных процессов в цепи с распределенными параметрами, содержащей только резистивные элементы (рис. 2.21 2.40) (табл. 2.2).

При выполнении задания первого уровня сложности номер схемы берется из табл. 2.1; при выполнении задания второго уровня сложности номер схемы берется из табл. 2.2.

Задача. В длинной линии без потерь в момент времени t происходит коммутация – включение или отключение источника постоянного напряжения, участка линии или нагрузки. Требуется рассчитать и построить графики распределения тока и напряжения вдоль линий для момента времени t0.

Таблица 2.1. Значения параметров электрических цепей для первого уровня Номер Таблица 2.2. Значения параметров электрических цепей для второго уровня Номер

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ К ЗАДАНИЮ

ОСНОВЫ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Электрическими цепями с распределенными параметрами (другое название – длинные линии) называют такие линии, в которых ток и напряжение между проводами не остаются постоянными вдоль линии. Токи и напряжения в этих цепях являются функциями двух независимых переменных: времени t и пространственной координаты х. Эффект изменения тока и напряжения вдоль линии имеет место вследствие того, что линии обладают распределенными продольными и поперечными параметрами.

При этом продольные параметры образованы активными сопротивлениями проводов линии и индуктивностями двух противостоящих друг другу участков линии, а поперечные параметры – проводимостями утечки, появляющейся вследствие несовершенства изоляции, и емкостями между противостоящими друг другу участками линии.

Под первичными параметрами длинной линии понимают сопротивление R0, индуктивность L0, проводимость G0 и емкость 0, отнесенные к единице ее длины. Для большинства практических задач допустимо считать, что параметры длинной линии распределены вдоль цепи равномерно, это является некоторой идеализацией действительных условий.

Такую линию принято называть однородной.

В длинных линиях, как и в цепях с сосредоточенными параметрами, переходные процессы возникают при различного вида коммутациях, а также при атмосферных (грозовых) разрядах. В линиях электропередачи высокого напряжения во время переходного режима возможны перенапряжения и сверхтоки. При неправильном выборе оборудования перенапряжения могут привести к пробою изоляции, а сверхтоки – к срабатыванию защиты и отключению установок, перегоранию приборов и аппаратов, обгоранию контактов.

В общем случае расчет переходных процессов в цепях с распределенными параметрами представляет сложную математическую задачу.

Поэтому изучение физической картины переходных процессов в этих цепях и основных расчетных приемов их анализа принято проводить для линий без потерь при R0 0 и G0 0. Практически это оправдано для реальных линий в начальных стадиях переходного процесса, часто наиболее важных при определении возможных перенапряжений и сверхтоков.

В общем случае в однородной линии без потерь в момент времени t для пространственной координаты х мгновенные значения напряжения u x,t и тока i x,t могут быть представлены следующими выражениями:

где V скорость волнового фронта или скорость волны;

волновое сопротивление линии без потерь.

Первая слагающая напряжения или тока в (2.1) представляет собой напряжение или ток волны, движущейся со скоростью V в сторону возрастания координаты х (от начала к концу линии), так как с течением времени t одно и то же значение аргумента t наблюдается в точV ках, координаты х которых растут линейно. Такая волна называется прямой. Вторая слагающая напряжения или тока в (2.1) представляет собой волну, движущуюся со скоростью V в сторону убывания координаты х (от конца линии к началу). Такая волна называется обратной. Поэтому выражения (2.1) можно представить в виде Знак минус у тока обратной волны связан с тем, что выбранные положительные направления токов i и i совпадают с направлением тока i в линии (2.2). Вопрос о выборе положительного направления тока i непринципиален, и в некоторых учебниках использованы выражения i i i ; i. Соотношения (2.3) говорят о пропорциональности токов и напряжений для каждой из волн (аналог закона Ома для резистора), следствием чего является возможность расчета распределения токов волн по распределениям напряжений (и наоборот) простым изменением масштабов соответствующих кривых. Однако это относится только к токам и напряжениям отдельных волн, результирующее напряжение в линии u x,t и ток в ней i x,t непропорциональны.

В соответствии с (2.2) переходный процесс в линии можно представить в виде наложения напряжения и тока прямой и обратной волн, которые движутся со скоростью V. Для воздушных линий она равна примерно скорости света в вакууме ( V 3 10 8 ); в кабельных линиях скорость распространения волн примерно вдвое меньше. Формы волн напряжения и тока зависят от граничных и начальных условий и сохраняются неизменными при движении волн вдоль однородной линии без потерь.

Волны при движении по линии падают на оборудование, на точки присоединения линий и другие места электрической неоднородности, где они испытывают отражение и преломление. Эти вновь образовавшиеся волны, накладываясь на волны исходные, изменяют распределение напряжения и тока в линиях и присоединенных к ним нагрузках.

Таким образом, переходный процесс в линии является результатом наложения на докоммутационный режим волн напряжения и тока, возникающих при коммутациях или атмосферных разрядах. В линиях конечной длины этот первичный процесс усложнен появлением волн, обусловленных многократными отражениями и преломлениями на стыках линий и точках подключения оборудования и нагрузок.

РАСЧЕТ ВОЛН, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ КОММУТАЦИЯХ

Под коммутацией применительно к переходным процессам в длинных линиях понимается, как и в цепях с сосредоточенными параметрами, включение и отключение пассивных и активных ветвей, отдельных линий или их участков, внезапные изменения параметров, разного рода переключения и т.д. Как и в цепях с сосредоточенными параметрами, коммутация считается мгновенной, и, соответственно, остаются справедливыми законы коммутации. Однако изменения электрического состояния различных участков линии, обусловленные коммутацией, начинаются не одновременно с коммутацией, а лишь после прихода волны, возникшей в том сечении линии, где эта коммутация произошла. Формы волн, образовавшихся при коммутации, зависят только от электрических характеристик той части линии, где произошла коммутация. Поясним этот момент на примере подключения двух незаряженных линий, имеющих волновые сопротивления Z C1 и ZC 2, к источнику постоянной ЭДС 0 с внутренним сопротивлением R0 (рис. 2.41).

После подключения источника в первой линии возникают обратные волны тока i1 и напряжения u1 ZC1i1, которые двигаются от конца первой линии к ее началу, а во второй линии – прямые волны тока i2 и напряжения u2 ZC 2i2, которые двигаются от начала второй линии к ее концу. В соответствии с первым и вторым законами Кирхгофа и с учетом (2.3) будут справедливы соотношения Этим уравнениям соответствует эквивалентная схема с сосредоточенными параметрами, представленная на рис. 2.42, в которой линии с движущимися по ним волнами тока и напряжения представлены резисторами, сопротивления которых равны волновым сопротивлениям соответствующих линий. Следует отметить, что нагрузка в начале и конце соответственно первой и второй линий не оказывает влияние на волны, возникшие после коммутации.

Допустим в приведенном примере E0 100 кВ; ZC1 500 Ом;

ZC 2 60 Ом; R0 10 Ом; скорости распространения волн в линиях V 1 3 10 5 км/с; V 2 1,5 10 5 км/с. Требуется найти распределение токов и напряжений в линиях к моменту времени t0 2 10 4 с после коммутации. Из решения (2.4) следует:

Рассчитанные в месте коммутации (конец первой и начало второй линий) по эквивалентной схеме волны токов и напряжений перемещаются без затуханий вдоль линий с соответствующими скоростями. К моменту времени t0 волны тока и напряжения в первой линии пройдут расстояние x1 V 1t0 60 км от конца линии, а во второй линии – расстояние x2 V 2t0 30 км от начала линии. Полученные волны называются волнами с прямоугольным фронтом. Распределение волн тока и напряжения в линиях к моменту времени t0 приведено соответственно на рис. 2.43.

-1, В рассмотренном примере определены волны прямоугольной формы при включении источника постоянного напряжения. Следует отметить, что в тех случаях, когда длина линии мала по сравнению с длиной волны, аналогичный результат будет получен и при включении источника синусоидальной ЭДС. Например, длина волны в воздушной линии при частоте f =50 Гц составляет 6000 км. Для линии длиной l =300 км фазы напряжения в начале и конце линии будут отличаться на 18 o и распределение напряжения волны по линии будет практически постоянным и равным значению напряжения источника в момент коммутации.

При коммутациях в длинных линиях действуют те же законы, что и в цепях с сосредоточенными параметрами. При этом для расчета волн тока и напряжения необходимо составить эквивалентную схему, в которой линии представляются их волновыми сопротивлениями. При всех коммутациях, где участвуют только резисторы, будут возникать только волны с прямоугольным фронтом. Если же в месте коммутации присутствуют катушки индуктивности и конденсаторы, фронт волн будет формироваться процессами в этих накопителях энергии и уже не будет прямоугольным.

Определение зависимостей токов и напряжений в месте коммутации от времени в этом случае ведется по эквивалентной схеме любым известным методом расчета переходного процесса в цепи с сосредоточенными параметрами.

В тех случаях, когда различного рода переключения происходят в линиях, находящихся под напряжением, с протекающими по ним токами, для определения волн, возникающих при коммутации, целесообразно воспользоваться методом суперпозиции (наложения). Пусть на стыке двух заряженных линий (рис. 2.44) подключается активная нагрузка. В соответствии с принципом суперпозиции режим в этой цепи можно представить как результат наложения на докоммутационный режим волн, возникающих при подключении к незаряженным линиям источника с ЭДС, равной напряжению U X на разомкнутом рубильнике в схеме рис. 2.44.

Для расчета этого режима справедлива эквивалентная схема с сосредоточенными параметрами (рис. 2.45). Допустим в схеме на рис. 2.44 E кВ; ZC1 400 Ом; ZC 2 350 Ом; R1 50 Ом; R2 100 Ом; R3 200 Ом;

длина первой линии l1 80 км, длина второй линии l2 120 км; скорости распространения волн в линиях V 1 V 2 V 3 10 5 км/с. Требуется найти распределение токов и напряжений в линиях к моменту времени t0 2 10 4 с после коммутации.

Так как падения напряжения в линиях без потерь и на идеальном индуктивном элементе на постоянном токе нет, то до коммутации напряжения и токи в линиях были равны:

При этом напряжение на разомкнутом рубильнике U X U кВ. Распределения напряжений и токов до коммутации изображены графически соответственно на рис.2.46,а и 2.47,а.

- При размыкании ключа в линиях возникают прямые и обратные волны тока и напряжения, которые распространяются по линиям вправо и влево от точки коммутации. Для определения этих волн составляется эквивалентная схема с сосредоточенными параметрами (рис. 2.45). Поскольку в этой схеме присутствуют только резисторы, волны будут иметь прямоугольный фронт, при этом К моменту времени t0 волны тока и напряжения в обеих линиях пройдут расстояние x1 x2 V t0 60 км от точки коммутации. Распределения волн напряжения и тока в линиях к моменту времени t0 приведены графически соответственно на рис. 2.46,б и 2.47,б. Сложив эти волны с напряжениями и токами линий до коммутации, получим результирующее распределение токов и напряжений вдоль линий к моменту времени t после коммутации:

Для сечений первой и второй линий, куда волны, возникшие при коммутации, к моменту времени еще не дошли, напряжения и токи будут равны их докоммутационным значениям. Графики распределения результирующих напряжений и токов в линиях к моменту времени t0 приведены соответственно на рис. 2.46,в и 2.47,в.

Если рубильник не замыкается, а размыкается, то режим в цепи представляется как результат наложения на докоммутационный режим волн, возникающих при подключении к концам отключаемой ветви источника тока, равного по величине току в рубильнике до коммутации и противоположного ему по знаку. Например, если в рассмотренной выше схеме (см. рис. 2.44) рубильник не включается, а отключается (рис. 2.48), то эквивалентная схема для определения волн, возникающих при коммутации, будет иметь вид, представленный на рис. 2.49. При этом до коммутации После коммутации из расчета эквивалентной схемы с сосредоточенными параметрами (рис.2.48) будем иметь Графики распределения результирующих напряжений и токов в линиях к моменту времени t0 для данного случая приведены соответственно на рис. 2.50,а и 2.50,б.

РАСЧЕТ ОТРАЖЕННЫХ И ПРЕЛОМЛЕННЫХ ВОЛН

Пусть возникшая при коммутации волна (например, прямая с прямоугольным фронтом) движется по однородной линии с волновым сопротивлением Z C1. В конце линии она падает на узел, к которому может подключаться другая линия (или ряд линий), а также произвольная сосредоточенная нагрузка. На рис. 2.51 падение волны происходит на узел соединения двух линий с параллельной емкостью.

При указанных положительных направлениях токов волна в первой линии является прямой. Прямой будет и волна, прошедшая (преломившаяся) через узел во вторую линию. В первую же линию пойдет отраженная от узла обратная волна. Согласно этому описанию прямая волна в первой линии может быть названа падающей волной, прямая волна во второй линии преломленной волной, а обратная волна в первой линии – отраженной волной. Соответственно распределения напряжения и тока в первой линии будут получаться как результат наложения на напряжение и ток падающей волны напряжения и тока отраженной волны. Для второй линии напряжение и ток будут равны напряжению и току преломленной волны. Таким образом, задачей расчета переходного процесса в длинных линиях при падениях волн является определение отраженных и преломленных волн. Этот расчет выполняется по эквивалентной схеме с сосредоточенными параметрами на основе правила удвоения волны. В соответствии с этим правилом при падении на узел волны с напряжением u, движущейся по линии с волновым сопротивлением Z C, напряжение и ток в этом узле будут такими же, как и при подключении источника с ЭДС, равной напряжению 2u, и внутренним сопротивлением Z C непосредственно к рассматриваемому узлу.

uпр1 uпад Рассмотрим это правило на примере схемы рис. 2.51. Эквивалентная схема с сосредоточенными параметрами для расчета отраженных и преломленных волн приведена на рис. 2.52. Из расчета переходного процесса в схеме на рис. 2.52 классическим методом получаем:

По этому закону изменяется результирующее напряжение в конце первой линии и напряжение прямой (преломленной) волны во второй линии, т.е. uC t u1 t u2 t. При этом за время t 0 принимается время падения волны на узел включения линий. Закон изменения обратной волны в первой линии для точки соединения линий и конденсатора определится из (2.2):

В произвольных сечениях линий с координатами x1 и x2, если отсчитывать x1 и x2 от узла включения линий (рис. 2.51), напряжения волн u1 t и u2 t будут изменяться по тем же законам, но с запаздыванием t 1 x1 V 1 для обратного напряжения в первой линии и запаздыванием t 2 x2 V 2 для прямого напряжения во второй линии:

Эти волны напряжений сопровождают волны токов, определение которых выполняется по соотношениям (2.3):

Результирующее распределение напряжений и токов в линиях получится как результат наложения отраженных и преломленных волн на напряжения и токи, имевшие место в линиях к рассматриваемому моменту времени.

Если движущаяся по однородной линии с волновым сопротивлением Z C1 волна напряжения падает на узел, к которому подключается резистивная нагрузка с сопротивлением R (или другая линия с волновым сопротивлением ZC 2 ), то эквивалентная схема с сосредоточенными параметрами для расчета отраженных волн будет иметь вид, приведенный на рис. 2.53. Из расчета этой схемы следует:

где коэффициенты являются коэффициентами отражения соответственно по току и напряжению.

Если линия разомкнута на конце (режим холостого хода), то R ;

замкнута на конце накоротко (режим короткого замыкания), то R 0 ;

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Ранее для определения волн, возникающих при коммутациях, была рассмотрена схема, приведенная на рис. 2.44. Пусть в данной схеме требуется найти распределение токов и напряжений в линиях в момент времени t0 5 10 4 с после коммутации. Параметры схемы: E0 300 кВ;

ZC1 400 Ом; ZC 2 350 Ом; R1 50 Ом; R2 100 Ом; R3 200 Ом;

L =2510-3 Гн; длина первой линии l1 80 км, длина второй линии l км; скорости распространения волн в линиях V 1 V 2 V 3 10 5 км/с.

1. Вначале определим, какие волны токов и напряжений в линиях будут иметь место к заданному моменту времени t0. При коммутации в линиях возникают прямые и обратные волны тока и напряжения, которые распространяются по линиям вправо и влево от узла соединения линий.

Время распространения волн соответственно по первой t1 и второй t2 линиям определится по формулам Так как t1 t0, то обратные волны в первой линии достигнут ее начала и в первой линии возникнут прямые (отраженные) волны, которые к моменту времени t0 пройдут расстояние x 1 t0 t1 V 1 70 км от ее начала. Аналогичным образом, так как t2 t0, прямые волны, образовавшиеся после коммутации во второй линии, достигнут ее конца и во второй линии возникнут обратные волны, которые к моменту времени t0 пройдут расстояние x 2 t0 t2 V 2 30 км от ее конца. Положение фронтов волн в линиях к моменту времени t 0 поясняет рис. 2.54.

2. Как было рассмотрено выше, до коммутации напряжения и токи в линиях были равны:

3. Для определения волн, возникающих при коммутации, составляется эквивалентная схема с сосредоточенными параметрами, которая приведена на рис. 2.45. Расчет волн, возникающих в линиях при замыкании рубильника, был произведен ранее, при этом 4. Для определения прямых (отраженных) волн напряжения и тока в первой линии составляем эквивалентную схему, представленную на рис.

2.55. Так как источник с ЭДС E0 был уже учтен при определении токов и напряжений докоммутационного режима, то в эквивалентной схеме в соответствии с принципом суперпозиции необходимо положить E0 0, то есть заменить источник ЭДС проводом, не имеющим сопротивления. Тогда, согласно (2.5), k1i 1 ; k1u 1. При этом 5. Для определения обратных волн вивалентная схема будет иметь вид, при- 2uпр веденный на рис. 2.56. Из расчета переL ходного процесса этой схемы при нулевых начальных условиях находим В полученном выражении i2 t за время t 0 принимается время падения прямой волны на конец второй линии. Если за время t 0 принять момент коммутации в схеме рис. 2.44, то в зависимости i2 t нужно учесть время движения волны по второй линии, т.е. формально заменить t на t t2. Тогда Закон изменения во времени тока обратной (отраженной) волны в конце второй линии определится по формуле (2.2):

Для получения зависимости i2 x2,t, т.е. выражения тока обратной волны в произвольном сечении второй линии, нужно учесть время запаздывания t 2 x2 V 2 :

В последнем выражении x2 отсчитывается от конца второй линии к ее началу. Необходимо отметить, что это выражение справедливо только начиная с момента времени, когда обратная волна тока достигнет точки x2, т.е. для момента времени t 4 10 4 x2 V 2.

Обратная волна напряжения во второй линии определится по формуле 6. Зная токи и напряжения в линиях до коммутации и все волны токов и напряжений в линиях, найдем распределение токов и напряжений в линиях к моменту времени t0 5 10 4 с.

Первая линия. В первой линии на расстоянии 0 x1 x 1 70 км (х отсчитывается от начала первой линии) результирующие токи и напряжения будут складываться из токов и напряжений до коммутации, обратных волн токов и напряжений, возникших после коммутации, а также прямых (отраженных) волн, которые дойдут до точки x 1 к моменту времени t0.

На расстоянии x 1 x1 l1 в первой линии к моменту времени t0 прямых (отраженных) волн тока и напряжения еще не будет. Таким образом, Поскольку все волны в первой линии имеют прямоугольный фронт на соответствующих отрезках линии все токи и напряжения имеют постоянные значения, не зависящие от координаты к моменту времени x1.

Вторая линия. Если по аналогии с первой линией x2 отсчитывать от начала второй линии, то на расстоянии 0 x2 l2 x 2 90 км к моменту времени t0 будут иметь место только токи и напряжения докоммутационного режима и прямые волны, возникшие при коммутации. На расстоянии l2 x 2 x2 l2 к этим значениям добавятся обратные (отраженные) волны. Поскольку обратные волны тока и напряжения имеют непрямоугольный фронт, то, чтобы получить их зависимость от x2, отсчитываемого от начала линии, к моменту времени t0, нужно в выражениях (2.6) и (2.7) x заменить на l2 x2, а вместо t подставить t0. Таким образом, Распределение значений тока и напряжения обратных волн, а также их результирующих значений на участке второй линии l2 x 2 x2 l2 к моменту времени t0 приведено в табл. 2.3.

Таблица 2.3. Результаты расчета волн на втором участке Распределение токов и напряжений в первой и второй линиях к моменту времени t0 приведено на рис. 2.57.

ЗАДАНИЕ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ

И МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ТОКАХ

И МАГНИТНЫХ ПОТОКАХ

Задание 3 имеет два уровня сложности. Первый уровень включает в себя две задачи по расчету нелинейных цепей: первая электрической цепи при постоянных токах (рис. 3.13.8) (задача 3.1), вторая магнитной цепи при постоянных потоках (задача 3.2). Второй уровень включает в себя одну задачу по расчету нелинейной электрической цепи при постоянных токах (задача 3.1).

Задача 3.1. По данным, помещенным в табл. 3.1, выполнить следующее 1. Определить ток в ветви с нелинейным резистором (НР).

2. Определить ток в ветви с линейным резистором, указанным в крайнем справа столбце табл. 3.1.

Примечание: вольт-амперная характеристика (ВАХ) нелинейного резистора задана аналитической функцией I aU 2, приведенной под расчетной схемой, где I в амперах (A), U в вольтах (B).

Таблица 3.1. Значения параметров нелинейных электрических цепей ВАХ НР: I 0,0035U Задача 3.2. По данным, приведенным в табл. 3.2, выполнить следующее 1. Для указанных на рис. 3.9 направлений потоков определить намагничивающие силы (НС) обмоток.

2. В соответствии с найденными значениями НС обмоток определить действительные направления токов в обмотках.

3. Рассчитать магнитные сопротивления Rм1,Rм2 и Rм3 участков магнитопровода.

4. Нарисовать эквивалентную электрическую схему замещения магнитной цепи.

5. Записать уравнение состояния магнитной цепи по законам Кирхгофа для магнитной цепи.

Примечания: 1. Кривая намагничивания В(Н) стали, из которой изготовлен магнитопровод, задана в табл. 3.3.

2. Расчетная схема магнитной цепи рисуется с указанием обмоток и воздушных зазоров, соответствующих конкретному варианту задания.

средней и правой ветвей магнитопровода соответственно.

Таблица 3.2. Значения параметров нелинейной магнитной цепи Таблица 3.3. Зависимость В(Н) для материала сердечника

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ К ЗАДАНИЮ

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Нелинейными называются цепи, в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент.

Нелинейными называются элементы, параметры которых зависят от величины и (или) направления связанных с этими элементами переменных (напряжения, тока, магнитного потока, заряда, температуры, светового потока и др.). Нелинейные элементы описываются нелинейными характеристиками, которые не имеют строгого аналитического выражения, определяются экспериментально и задаются таблично или графически.

По количеству полюсов, с помощью которых нелинейные элементы подсоединяются к электрической цепи, их можно разделить на двух- и многополюсные. В зависимости от того, являются или нет их характеристики функциями скорости изменения переменных нелинейные элементы делятся соответственно на инерционные и безынерционные. По типу характеристик нелинейные элементы различаются на элементы с однозначной и неоднозначной характеристиками.

Нелинейные свойства электрических цепей постоянного тока определяет наличие в них нелинейных резисторов.

В связи с отсутствием у нелинейных резисторов прямой пропорциональности между напряжением и током их нельзя охарактеризовать одним параметром (одним значением R ). Соотношение между этими величинами в общем случае зависит не только от их мгновенных значений, но и от производных и интегралов по времени.

В зависимости от условий работы нелинейного резистора и характера задачи различают статическое, дифференциальное и динамическое сопротивления.

Если нелинейный элемент является безынерционным, то он характеризуется первыми двумя из перечисленных ниже параметров.

бесконечно малого приращения напряжения к соответствующему приращению тока:

Следует отметить, что у неуправляемого нелинейного резистора Rст 0 всегда, а R может принимать и отрицательные значения (участок 2-3 ВАХ на рис. 3.10).

В случае инерционного нелинейного резистора вводится понятие динамического сопротивления определяемого по динамической ВАХ. В зависимости от скорости изменения переменной, например тока, может меняться не только величина, но и знак Rин.

Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока Электрическое состояние нелинейных цепей описывается на основании законов Кирхгофа, которые имеют общий характер. При этом следует помнить, что для нелинейных цепей принцип наложения неприменим. В этой связи методы расчета, разработанные для линейных схем на основе законов Кирхгофа и принципа наложения, в общем случае не распространяются на нелинейные цепи.

Общих методов расчета нелинейных цепей не существует.

Известные приемы и способы имеют различные возможности и области применения. В общем случае при анализе нелинейной цепи описывающая ее система нелинейных уравнений может быть решена следующими методами:

графическими;

аналитическими;

графоаналитическими;

итерационными.

При использовании этих методов задача решается путем графических построений на плоскости. При этом характеристики всех ветвей цепи следует записать в функции одного общего аргумента.

Благодаря этому система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению с одним неизвестным. Формально при расчете различают цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями.

а) Цепи с последовательным соединением резистивных элементов.

При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ U i I отдельных резисторов в системе декартовых координат U I строится результирующая зависимость U I U i I. Затем на оси напряжений откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на входе цепи, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью U I. Из точки пересечения перпендикуляра с кривой U I опускается ортогональ на ось токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению которого с использованием зависимостей U i I определяются напряжения U i на отдельных резистивных элементах.

Применение указанной методики иллюстрируют графические построения на рис. 3.11,б, соответствующие цепи на рис. 3.11,а.

Графическое решение для последовательной нелинейной цепи с двумя резистивными элементами может быть проведено и другим методом – методом пересечений. В этом случае один из нелинейных строится путем вычитания абсцисс ВАХ U 1 I из ЭДС Е для различных значений тока.

Использование данного метода наиболее рационально при последовательном соединении линейного и нелинейного резисторов. В этом случае линейный резистор принимается за внутреннее сопротивление источника и линейная ВАХ последнего строится по двум точкам.

б) Цепи с параллельным соединением резистивных элементов.

При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ I i U отдельных резисторов в системе декартовых координат U I строится результирующая зависимость I U I i U. Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ I i U ), из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью I U. Из точки пересечения перпендикуляра с кривой I U опускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостей I i U определяются токи I i в ветвях с отдельными резистивными элементами.

Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 3.13,б, соответствующие цепи на рис. 3.13,а.

в) Цепи с последовательно-параллельным (смешанным) соединением резистивных элементов.

Расчет таких цепей производится в следующей последовательности.

1. Исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов, как это показано в пункте «б».

2. Проводится расчет полученной схемы с последовательным соединением резистивных элементов (см. пункт «а»), на основании которого затем определяются токи в исходных параллельных ветвях.

Для цепей, содержащих два узла или сводящихся к таковым, можно применять метод двух узлов. При полностью графическом способе реализации метода он заключается в следующем.

1. Строятся графики зависимостей I i U mn токов во всех i-х ветвях в функции общей величины – напряжения U mn между узлами m и n, для чего каждая из исходных кривых I i U i смещается вдоль оси напряжений параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей ЭДС Ei в i-й ветви, а затем зеркально отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке.

2. Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа I i U mn = 0. Соответствующие данной точке токи являются решением задачи.

В качестве примера рассмотрим схему на рис. 3.14.

Таблица 3.4. ВАХ НР U1( 2 ),B 1. Выразим все токи в функции одного переменногонапряжения U mn, для чего в соответствии с законом Ома для участка цепи с источником ЭДС запишем U1,U 2 и U 3 в функции Ei и U mn :

значениями U mn, на основании построенных кривых, например следующее. Для точки d I1 = 0 и U1 = 0 ; следовательно, U mn = E1, т.е.

начало кривой I1 U mn сдвинуто в отображением кривой I1 U1 - E1, получаемой путем переноса кривой оси абсцисс на отрезок od. На основании изложенного на практике кривая зависимости I1 U mn строится в соответствии с приведенной выше методикой:

смещаем кривую I1 U 1 вдоль оси абсцисс параллельно самой себе так, чтобы ее начало находилось в точке d U mn = E1 (см. пунктирную кривую I1 U1 - E1 на рис. 3.15);

проводим через точку d ортогональ и зеркально отражаем относительно ее пунктирную кривую I1 U1 - E1 получаем кривую Аналогично строится зависимость I 3 U mn.Поскольку средняя ветвь не содержит источника ЭДС, кривая I 2 U mn тождественна кривой 4. Поскольку в соответствии с первым законом Кирхгофа I1 U mn + I 3 U mn = I 2 U mn, точка a пересечения кривых I U mn и I 2 U mn определяет рабочий режим цепи. Проекция точки на ось ординат соответствует току во второй ветви: I 2 = 2,04A. Проекции точки b и c пересечения перпендикуляра, опущенного из точки, с графиками зависимостей I 3 U mn и I1 U mn на ось ординат определяют соответственно токи I 3 = 1,1 A и I1 = 0,94 A.

5. Искомому напряжению соответствует проекция точки a на ось абсцисс, т.е. U mn = 2,65 B.

Метод двух узлов может быть реализован и в другом варианте, отличающемся от изложенного выше меньшим числом графических построений.

В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 3.14.

Задаемся током, протекающим через один из резисторов, например во второй ветви I 2, и рассчитываем U mn, а затем по U mn с использованием (3.1) и (3.3) находим U 1 и U 3 и по зависимостям I 1 U и I 3 U 3 соответствующие им токи I 1 и I 3 и т.д. Результаты вычислений сводим в табл. 3.5, в последней колонке которой определяем сумму токов:

Таблица 3.5. Таблица результатов расчета методом двух узлов Алгебраическая сумма токов в соответствии с первым законом Кирхгофа должна равняться нулю, поэтому получающаяся в последней колонке табл. 3.5 величина I i указывает, каким значением I 2 следует задаваться на следующем шаге.

точке ее пересечения с осью напряжений определяем напряжение U mn между точками m и n. Для найденного значения U mn по (3.1)…(3.3) рассчитываем напряжения на резисторах, после чего по заданным зависимостям I i U i определяем токи в ветвях схемы.

Если в сложной электрической цепи имеется одна ветвь с нелинейным резистором, то определение тока в ней можно проводить на основе теоремы об активном двухполюснике (методом эквивалентного генератора). Идея решения заключается в следующем. Ветвь, содержащая нелинейный резистор, выделяется из исходной цепи, а вся остальная, уже линейная, схема представляется в виде активного двухполюсника (АД).

Согласно теореме об АД схему линейного АД по отношению к зажимам 1 2 выделенной ветви (см. рис. 3.16,а) можно представить эквивалентным генератором (см. рис. 3.16,б) с ЭДС, равной напряжению U xx 1 2 на зажимах 1 2 при разомкнутой ветви с нелинейным резистором, и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению линейного двухполюсника. Последняя схема рассчитывается, например, графическим методом как цепь с последовательным соединением элементов.

Если необходимо также найти токи в линейной части исходной цепи, то после расчета нелинейной схемы на рис. 3.16,б в соответствии с теоремой о компенсации нелинейный резистор заменяется источником ЭДС или тока, после чего проводится анализ полученной линейной цепи любым известным методом.

рассмотрим схему на рис. 3.17.

К выходу моста подключен нелинейный резистор (НР), ВАХ которого представлена на рис. 3.18. Определить напряжение и ток на выходе моста.

1. В соответствии с изложенной выше методикой разомкнем ветвь с НР и определим параметры U xx и R АД, эквивалентного линейной части схемы:

2. Решая задачу методом пересечений (кривая I U xx U на рис.

3.18 внешняя характеристика АД; I =U xx R = 30 ), получаем напряжение и ток на выходе моста: U 3 = 13 B и I = 20.

Исследования общих свойств нелинейных цепей удобно осуществлять на основе математического анализа, базирующегося на аналитическом выражении характеристик нелинейных элементов, т.е. их аппроксимации. На выбор аналитического метода влияют условия поставленной задачи, а также характер возможного перемещения рабочей точки по характеристике нелинейного элемента: по всей характеристике или в ее относительно небольшой области.

К аналитическим методам относятся:

метод аналитической аппроксимации;

метод кусочно-линейной аппроксимации;

метод линеаризации.

Метод аналитической аппроксимации основан на замене характеристики (или ее участка) нелинейного элемента общим аналитическим выражением. Применяются следующие виды аналитической аппроксимации:

степенным многочленом (см. рис. 3.19,а);

трансцендентными (экспоненциальными, гиперболическими и др.) функциями (см. рис. 3.19,б).

Выбор коэффициентов (а,b,c,…) осуществляется исходя из наибольшего соответствия аналитического выражения рабочему участку нелинейной характеристики. При этом выбираются наиболее характерные точки, через которые должна пройти аналитическая кривая. Число точек равно числу коэффициентов в аналитическом выражении, что позволяет однозначно определить последнее.

Необходимо помнить, что при получении нескольких корней нелинейного уравнения они должны быть проверены на удовлетворение задаче. Пусть, например, в цепи, состоящей из последовательно соединенных линейного R и нелинейного резисторов, ВАХ последнего может быть аппроксимирована выражением U I aI bI 2. Определить ток в цепи, если источник ЭДС Е обеспечивает режим работы цепи в первом квадранте.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для данной цепи имеет место уравнение или Корни уравнения Решением задачи является I I 1, поскольку второе решение I не удовлетворяет условиям, исходя из физических соображений.

представлении характеристики нелинейного элемента отрезками прямых линий (см. рис. 3.20), в результате чего нелинейная цепь может быть описана линейными уравнениями с постоянными (в пределах каждого отрезка) коэффициентами.

При наличии в цепи двух и более нелинейных резисторов реализация метода затруднена, так как в общем случае изначально неизвестно, на каких участках ломаных кривых находятся рабочие точки.

Кусочно-линейная аппроксимация может быть реализована методом секционных кусочно-линейных функций, позволяющим описать ломаную кривую общим аналитическим выражением. Например, для кривой, представленной на рис. 3.21 и определяемой коэффициентами K0, K1 и K 2, характеризующими наклон ее отдельных прямолинейных характеризующими координаты точек, где значения функции изменяются скачками, данное выражение будет иметь вид Здесь два первых слагаемых в правой части определяют первый наклонный участок аппроксимируемой кривой; три первых слагаемых первый наклонный участок и участок первого скачка; четыре первых слагаемых первый и второй наклонные участки с учетом участка первого скачка и т.д.

В общем случае аппроксимирующее выражение по методу секционных кусочно-линейных функций имеет вид Рассмотрим пример применения данного метода.

Пусть в цепи на рис 3.16,б ВАХ НР, аппроксимированная ломаной, приведена на рис. 3.22.

Определить ток цепи методом секционных кусочно-линейных функций.

1. Запишем уравнение ВАХ НР параметров, получаем 3. По второму закону Кирхгофа для цепи на рис. 3.16,б можно записать или с учетом (3.5) 4. Для первого наклонного участка кривой имеем I 0,002 A, на основании чего I - 0,002 = 0,002 - I. Таким образом, для данного участка уравнение (3.6) может быть записано как откуда I = 0,0047A.

Соответственно для второго наклонного участка I >0,002 A.

Тогда I - 0,002 = I - 0,002, и соотношение (3.6) трансформируется в уравнение корнем которого является I = 0,006 A.

Кривой на рис. 3.22 удовлетворяет второе значение тока, которое и является решением задачи, т.е. I = 0,006 A.

Метод линеаризации применим для анализа нелинейных цепей при малых отклонениях рабочей точки Р (см. рис. 3.23) от исходного состояния.

В окрестности рабочей точки P (см. рис. 3.23) Здесь U Rд I (закон Ома для малых приращений), где Rд Идея метода заключается в замене нелинейного резистора линейным с сопротивлением, равным дифференциальному в заданной (или предполагаемой) рабочей точке, и либо последовательно включенным с ним источником ЭДС, либо параллельно включенным источником тока. Таким образом, линеаризованной ВАХ (см. прямую на рис. 3.23) соответствует последовательная (рис. 3.24,а) или параллельная (рис. 3.24,б) схема замещения нелинейного резистора.

Если исходный режим определен и требуется рассчитать лишь приращения токов и (или) напряжений, обусловленные изменением напряжения или тока источника, целесообразно использовать эквивалентные схемы для приращений, получаемые на основании законов Кирхгофа для малых приращений:

-первый закон Кирхгофа: I 0 ;

-второй закон Кирхгофа: IRд E.

При составлении схемы для приращений необходимо:

1) все ЭДС и токи источников заменить их приращениями;

2) нелинейные резисторы заменить линейными с сопротивлениями, равными дифференциальным в рабочих точках.

Следует помнить, что полная величина какого-либо тока или напряжения в цепи равна алгебраической сумме исходного значения переменной и ее приращения, рассчитанного методом линеаризации.

Если исходный режим работы нелинейного резистора неизвестен, то следует задаться рабочей точкой на его ВАХ и, осуществив соответствующую линеаризацию, произвести расчет, по окончании которого необходимо проверить, соответствуют ли его результаты выбранной точке. В случае их несовпадения линеаризованный участок уточняется, расчет повторяется, и так до получения требуемой сходимости.

НЕЛИНЕЙНЫЕ МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ ПРИ ПОСТОЯННЫХ

ПОТОКАХ

Основные понятия и законы магнитных цепей При решении электротехнических задач все вещества в магнитном отношении делятся на две группы:

ферромагнитные (относительная магнитная проницаемость 1 );

неферромагнитные (относительная магнитная проницаемость 1 ).

Для концентрации магнитного поля и придания ему желаемой конфигурации отдельные части электротехнических устройств выполняются из ферромагнитных материалов. Эти части называют магнитопроводами или сердечниками. Магнитный поток создается токами, протекающими по обмоткам электротехнических устройств, реже – постоянными магнитами. Совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела и образующих замкнутую цепь, вдоль которой замыкаются линии магнитной индукции, называют магнитной цепью.

Магнитное поле характеризуется тремя векторными величинами, которые приведены в табл. 3.6.

Основные скалярные величины, используемые при расчете магнитных цепей, приведены в табл. 3.7.

Таблица 3.6. Векторные величины, характеризующие магнитное поле Наименование Обозначение Единица намагниченности магнитного поля Таблица 3.7. Основные скалярные величины, характеризующие магнитную цепь Магнитодвижущая (намагничивающая) F сила МДС (НС) напряжение Характеристики ферромагнитных материалов Свойства ферромагнитных материалов характеризуются зависимостью BH магнитной индукции от напряженности магнитного поля. При этом различают кривые намагничивания, представляющие собой однозначные зависимости BH, и гистерезисные петли неоднозначные зависимости BH (см. рис. 3.25).

Основные понятия, характеризующие зависимости приведены в табл. 3.8.

Таблица 3.8. Основные понятия, характеризующие зависимости BH Магнитный гистерезис Явление отставания изменения магнитной Статическая петля гистерезиса Начальная кривая Кривая намагничивания предварительно намагничивания размагниченного ферромагнетика (B=0;H=0) при Основная кривая Геометрическое место вершин петель магнитного Предельная петля гистерезиса Симметричная петля гистерезиса при максимально Коэрцитивная (задерживающая) Напряженность магнитного поля Нс, необходимая Остаточная индукция Значение индукции магнитного поля Вr при Магнитомягкие и магнитотвердые материалы Перемагничивание ферромагнитного материала связано с расходом энергии на этот процесс. Как уже указывалось, площадь петли гистерезиса характеризует энергию, выделяемую в единице объема ферромагнетика за один цикл перемагничивания. В зависимости от величины этих потерь и соответственно формы петли гистерезиса ферромагнитные материалы подразделяются на магнитомягкие и магниВ тотвердые. Первые характеризуются относительно узкой петлей гистерезиса и круто поднимающейся основной кривой намагничивания;

вторые обладают большой площадью гистерезисной петли и полого поднимающейся основной кривой намагничивания.

Магнитомягкие материалы (электротехнические стали, железоникелевые сплавы, ферриты) определяют малые потери в сердечнике и применяются в устройствах, предназначенных для работы при переменных магнитных потоках (трансформаторы, электродвигатели и др.). Магнитотвердые материалы (углеродистые стали, вольфрамовые сплавы и др.) используются для изготовления постоянных магнитов.