Государственное казенное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Российская таможенная академия»

Владивостокский филиал

Кафедра управления

Решение задач оптимизации логистических цепей

движения товарных потоков

Практикум-тренинг

для студентов заочной формы обучения

специальности 080115.65 Таможенное дело

специализации «Таможенная логистика»

Владивосток 2011 Рецензенты Е.И. Убанкин, к.т.н. доцент, директор Центра технологий дистанционного обучения, И.Н. Вольнов, к.ф.-м.н, декан факультета таможенного дела Решение задач оптимизации логистических цепей движения товарных потоков: практикум-тренинг для студентов 6 курса заочной форм обучения специальности 080115.65 Таможенное дело специализации «Таможенная логистика» / Т.Е. Маликова, А.А. Янченко. — Владивосток: Владивостокский филиал РТА, 2011. — 56 с.

Программа практикума-тренинга рассмотрена и утверждена на заседании кафедры управления протокол № 8 от 25 марта 2011 г.

© Владивостокский филиал Российской таможенной академии,

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ………………………………..……….……………………….…… 1. Методические рекомендации по использованию учебного пособия… 2. Транспортная задача (Модуль 1) ………………………………..………. 2.1. Способы составления исходного опорного плана транспортной задачи 2.1.1. Метод северо-западного угла ………………………………… 2.1.2. Метод минимального элемента …………………….………… Индивидуальные задания для самоподготовки ………………….…. 2.2. Получение оптимального плана транспортной задачи 2.2.1. Метод потенциалов ………………………….……….…..…….. Индивидуальные задания для самоподготовки ……………….…….. 2.2.2. Распределительный метод решения …………….……………. Индивидуальные задания для самоподготовки…………………….. 3. Решение задачи оптимизации логистических цепей движения товарных потоков (Модуль 2)……………………….……………….…….

Индивидуальные задания для самоподготовки……………….….……. 4. Транспортная задача по критерию времени (Модуль 3)….…….….….. Индивидуальные задания для самоподготовки.…………….….…..….. Рекомендуемая литература……………………………………….….……... Приложение. Таблица расстояний между портами…..………………….. Введение Практикум-тренинг представляет собой комплекс методических материалов, предназначенных для самостоятельной подготовки студентов заочной формы обучения специальности 080115.64 Таможенное дело специализации «Таможенная логистика».

Выпускник специальности 080115.65 Таможенное дело должен быть подготовлен к выполнению работ, направленных на осуществление функций федеральной службы, уполномоченной в области таможенного дела, связанных с обеспечением непосредственной реализации в таможенных целях задач в области таможенного дела; к работе в органах государственной власти субъектов Российской Федерации и органах местного самоуправления, связанных с внешнеэкономической деятельностью.

Кроме того, выпускник по специализации «Таможенная логистика» должен быть подготовлен к выполнению работ, направленных на выполнение функций логиста на предприятиях-участниках ВЭД. Выпускник должен понимать необходимость единого управления сквозными материальными потоками, ориентироваться на целостное видение процессов в логистике. Понимать необходимость эффективной деятельности международной цепи поставки и роли таможни внутри нее, для «импорта и экспорта, нужд составляющих частей и возможностей для эффективного контроля и содействия торговле»1.

Применение логистического подхода к управлению материальными потоками рассматривается на задачах, наиболее часто встречающихся в практике.

Данные задачи были рассмотрены при изучении дисциплин специализации, таких как «Основы логистики», «Математические методы и модели в логистике», «Управление транспортными системами», «Транспортная логистика» и другие.

Некоторые из них включены в практическую часть государственного экзамена «Теория и практика таможенного дела».

Профессиональные стандарты всемирной таможенной организации / WCO Professional Standards, PICARD Итоговая государственная аттестация является заключительным этапом обучения студентов специальности 080115.65 Таможенное дело во Владивостокском филиале Российской таможенной академии. Она направлена на установление соответствия уровня профессиональной подготовки выпускников требованиям ГОС ВПО.

Выпускник специализации «Таможенная логистика» должен обладать общекультурными, общепрофессиональными компетенциями, а также профессиональными по видам деятельности.

Выпускник должен знать концептуальные основы логистики; принципы построения таможенных логистических систем; функции и функциональные элементы логистических систем; отличительные особенности логистического подхода к решению проблем управления материальными потоками от традиционного. Должен уметь: выявлять проблемы управления движением материальных, информационных и финансовых потоков и осуществлять постановку логистических задач; использовать логистические подходы и методы для решения проблем управления материальными, информационными и финансовыми потоками. Должен владеть навыками проведения логистических расчетов и нахождения оптимального коммерческого решения; осуществлять разработку оптимизационных мероприятий с целью совершенствования различных направлений деятельности таможенных органов и предприятий-участников ВЭД.

Целью данного практикума-тренинга является закрепление практических навыков решения логистических задач студентами заочной формы обучения.

Задачи практикума-тренинга:

— закрепить теоретические знания, полученные при изучении логистических дисциплин;

— научиться решать задачи нахождения оптимального плана перевозок — научиться строить логистические цепи движения товаропотоков;

— научиться решать задачи по оптимизации логистических цепей движения товарных потоков с точки зрения величины издержек в зависимости от выбираемых организационных вариантов.

Данный тренинг предназначен для самостоятельной подготовки студентов, обучающихся по специализации «Таможенная логистика», к сдаче государственного экзамена «Теория и практика таможенного дела».

Практикум-тренинг состоит из трех модулей, взаимосвязанных друг с другом, методических рекомендаций по работе с данным пособием, а также списка рекомендуемой литературы.

1. Методические рекомендации по использованию Охарактеризуем структуру пособия и методику его использования.

Весь практический материал разделен на три модуля, в каждом из которых даются необходимые теоретические сведения (основные определения, понятия, формулировки теорем, формулы), используемые при решении задач.

Изложение этих сведений иллюстрируется решенными примерами. Начало решения примеров обозначается символом y, а конец — p. Затем даются подборки задач для практических самостоятельных занятий.

Для успешной самостоятельной подготовки к государственному экзамену студенту необходимо последовательно проработать все представленные модули.

Начинать необходимо с Модуля 1 «Транспортная задача», в котором представлены методические основы решения транспортной задачи, способы составления исходного опорного плана транспортной задачи, методы получения оптимального плана транспортной задачи. Данный модуль является базовым для дальнейшей подготовки к решению задач оптимизации логистических цепей движения товарных потоков.

После изучения теоретического материала по п. 2.1 (способы составления опорного плана транспортной задачи), необходимо в обязательном порядке решить несколько практических задач самостоятельно.

Затем необходимо изучить теоретический материал, представленный в п. 2.2 (методы получения оптимального плана транспортной задачи). Далее также необходимо в обязательном порядке решить несколько практических задач по каждому из методов.

Только когда Модуль 1 будет полностью изучен и проработан, можно переходить к изучению Модуля 2 «Решение задач оптимизации логистических цепей движения товарных потоков». В данном модуле также представлены методические основы решения задач, а также даны задания для самостоятельной подготовки.

В Модуле 3 представлена методика решения транспортной задачи по критерию времени. Необходимо также сначала проработать теоретический материал, рассмотреть приведенный пример решения данной задачи, а затем самостоятельно выполнить индивидуальные задания.

Последовательное изучение представленных методик дает возможность студенту качественно усвоить изучаемый материал.

В заключение отметим, что пособие в основном ориентировано на студента средних способностей и усвоение содержащегося в нем материала гарантирует удовлетворительные и хорошие знания при подготовке к практической части государственного экзамена.

Данная задача может быть решена с помощью симплексного метода для случая ограничений-равенств. Данный метод трудоемок, поэтому из-за особенности ограничений транспортной задачи (ограничения-равенства) были созданы более легкие методы решения, которые будут рассмотрены в этой главе.

Напомним, в чем заключается транспортная задача линейного программирования.

Имеется m пунктов отправления А1, А2,..., Аm, из которых надо вывезти однородный груз в количествах а,, а2 …,am т (соответственно). Этот груз нужно доставить в n пунктов назначения B1, B2,..., Вn, потребности которых составляют соответственно b1, b2,... bn т. Известно, что расход по перевозке 1 т груза из пункта Аi в пункт Bj составляет сij руб. Требуется составить такой план перевозок, при котором суммарные расходы по перевозке были бы минимальными, весь груз из пунктов отправления был бы вывезен, все пункты назначения получили бы требуемый груз.

Два последних условия могут быть выполнены только в том случае, если количество груза во всех пунктах отправления равно общей потребности во всех пунктах назначения:

За параметры управления примем такой план, при котором из пункта Аi в пункт Bj перевозится xij т (i =1, 2, …,m, j = 1, 2, …, n). Тогда математическая модель задачи выглядит следующим образом:

— система ограничений:

— план перевозок неотрицателен, т. е. xij 0 (i =1, 2,..., m, j = 1,2,..., n).

В такой постановке задача называется транспортной по критерию стоимости.

Условие 2.1 называется условием баланса, а транспортная задача, для которой выполняется условие баланса, — сбалансированной транспортной задачей.

Теорема. Для того чтобы транспортная задача была разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы она была сбалансированной.

Условие баланса не всегда выполняется. Возможны два случая:

— запасы превосходят потребности, т. е. когда — потребности превосходят запасы, т.е. когда В этих случаях модель задачи называется открытой, в случае баланса закрытой. Легко перейти от открытой модели транспортной задачи к закрытой.

Для этого поступают следующим образом.

В первом случае (для условия 2.2) вводим фиктивный (n + 1)-й пункт назначения Вn+1 с потребностью и положим транспортные издержки по перевозкам в пункт Bn+1 равными нулю:

B расширенной совокупности пунктов отправления и пунктов назначения {A1, A2,...,Am; В1, В2,..., Вn, Вn+1} выполняется условие баланса, целевая функция остается прежней и модель задачи становится закрытой.

Получив оптимальный план хij (i =1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n, n+1) для расширенной задачи, одновременно получаем оптимальный план исходной задачи по числам хij (i=l, 2, …,m; j = 1,2,..., n), а числа xi n+1 (i = 1, 2,...,m) покажут, каковы будут остатки в пунктах отправления при реализации оптимального плана.

Во втором случае (для условия 2.3) вводим фиктивный (m + 1)-й пункт отправления А m+1 с запасом и положим транспортные издержки по перевозкам из пункта Am+1 равными нулю:

В расширенной совокупности пунктов отправления и пунктов назначения {А1, A2,..., Am, Am+1; B1, В2,..., Вn} выполняется условие баланса, целевая функция остается прежней и модель задачи становится закрытой.

Получив оптимальный план хij (1, 2,..., m, m+1; j = 1, 2,..., n) для расширенной задачи, одновременно получаем оптимальный план исходной задачи по числам хij (i =l, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), а числа x m+1j (j = 1, 2,..., n) покажут, каковы будут недоборы в пунктах назначения при реализации оптимального плана.

Число переменных xij транспортной задаче с m пунктами отправления и n пунктами назначения равно mn, а число уравнений в системе ограничений транспортной задачи равно m + n. Дополнительно должно выполняться условие баланса (2.1), тогда число линейно независимых уравнений равно m + n – 1.

Следовательно, опорный план транспортной задачи может иметь не более m + n – 1 отличных от нуля неизвестных.

Для определения опорного плана существует несколько методов. Два из них — метод северо-западного угла, метод минимального элемента — будут рассмотрены ниже.

Определение. Если в опорном плане число отличных от нуля переменных равно в точности т + п – 1, то план является невырожденным, а если меньше, то вырожденным.

Определение. Если все опорные планы транспортной задачи невырожденные, то задача называется невырожденной; она называется вырожденной, если среди ее опорных планов имеется хотя бы один вырожденный опорный план.

Теорема (признак вырождения транспортной задачи). Для того чтобы транспортная задача была вырожденной, необходимо и достаточно, чтобы в множестве ее пунктов отправления и назначения было такое подмножество, в котором соблюдается условие баланса (иначе говоря, чтобы из множества пунктов отправления и назначения можно было выделить «автономную часть»).

Пример. Имеется три пункта отправления А1, А2, А3, из которых надо вывезти однородный груз в количествах a1 = 10, а2 = 20, а3 = 30 т (соответственно). Этот груз нужно доставить в четыре пункта назначения B1, B2, В3, В4, потребности которых составляют соответственно b1 = 20, b2 = 20, b3 = 10, b4 = 10 т.

В этой задаче можно выделить автономную часть, например {А1, А3; В1, В2}, так как a1 + а3 = b1+ b2 = 40. Можно выделить и другие автономные части, например {А1, А2; В1, В3} или {А2, А3; В1, В2, В3} и др.

Алгоритм решения транспортной задачи (рисунок 1) состоит из четырех этапов.

1. Представление данных в форме стандартной таблицы и поиск любого допустимого* распределения ресурсов 2. Проверка полученного распределения ресурсов 3. Перераспределение ресурсов (снижая стоимость 4. Повторная проверка оптимальности полученного Рис. 1. Алгоритм решения транспортной задачи Данный процесс повторяют до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.

При решении транспортной задачи используются прямоугольные таблицы из m строк, соответствующих пунктам отправления, и n столбцов, соответствующих пунктам назначения. В данных таблицах компактно записывается вся информация о данной транспортной задаче. В правой стороне таблицы записываются запасы аi в пунктах отправления и снизу — потребности bj в пунктах назначения. В центре каждой клетки таблицы записывают хij (число единиц груза, намечаемых по плану к перевозке из пункта Аi в пункт Bj), а в одном из углов — соответствующую издержку сij (стоимость перевозки единицы груза из пункта Ai в пункт Bj) (табл. 1).

* Допустимым называется такое распределение ресурсов, которое позволяет удовлетворить весь спрос в пунктах назначения и вывезти весь запас продуктов из пунктов отправления.

Улучшение опорного плана задачи до оптимального производят с помощью пересчета по циклу. Рассмотрим какую-нибудь матрицу с m строками и n столбцами.

Определение. Любую совокупность клеток этой матрицы назовем набором клеток. Набор клеток вида называется цепью клеток. Замкнутая цепь клеток называется циклом.

Цепь клеток характеризуется тем, что каждые две соседние клетки расположены либо в одной строке, либо в одном столбце, а каждые три соседние клетки уже не расположены в одной строке или в одном столбце (табл. 2).

Теорема. В наборе занятых клеток любого опорного плана не может содержаться ни одного цикла (опорный план транспортной задачи всегда ациклический).

Теорема. Для любой свободной клетки опорного плана существует такой цикл, и притом единственный, который, кроме этой свободной клетки, содержит только занятые клетки данного опорного плана (не обязательно все).

Для улучшения опорного плана одну из свободных клеток вводят в план.

Для этого пользуются правилом пересчета по циклу.

Правило пересчета по циклу.

1. В матрице перевозок намечаем какой-нибудь цикл, состоящий из одной свободной клетки и остальных занятых клеток.

2. Отправляясь от свободной клетки данного цикла, последовательно обойдем все его клетки, отмечая их знаками «+» и «–» (чередуя знаки, свободную клетку отмечаем знаком «+»).

3. Рассмотрим перевозки в клетках, отмеченных знаками «–» («минусовые» клетки), и выберем из этих перевозок минимальное число, обозначим его через.

4. После этого ко всем перевозкам в «плюсовых» клетках добавляем число, а от перевозок в «минусовых» клетках отнимаем число.

2.1. Способы составления исходного опорного плана транспортной задачи 2.1.1 Метод северо-западного угла Суть способа заключается в стремлении на каждом шаге полностью «насытить» какую-нибудь потребность (столбец) или полностью «исчерпать» какой-нибудь запас (строку). Начинаем с клетки (1,1)2 — самой «северозападной» клетки.

Обозначение клетки (m,n): первая цифра m — номер строки, вторая n — номер столбца Алгоритм метода 1. В клетку (1,1) записывают наибольшее возможное количество груза.

2. Производится корректировка оставшихся объемов запасов и потребностей. При этом строка или столбец, для которой объем исчерпан, вычеркивается.

3. В оставшейся части таблицы вновь выбирается самая «северозападная» клетка, и в нее записывают наибольшее возможное количество продукта и возвращаются к п. 2.

Алгоритм продолжают до тех пор, пока не будут исчерпаны все имеющиеся запасы и удовлетворены все потребности.

Рассмотрим данный алгоритм на конкретном примере.

Пример. Пусть задана транспортная задача с З х 4 пунктами, в которых запасы равны а, = 30, а2 = 40, а3 = 30 т, а потребности равны в1 = 10, в2 = 20, в = 20, в4 = 50 т.

yЗапишем исходные данные в табл. Начинаем с клетки (1,1) — самой «северо-западной» клетки. Запасы поставщика А1, равные 30 единицам, превышают потребности потребителя В1, равные 10 единицам груза. Следовательно, запишем в клетку (1,1) число 10, т.е. планируем перевозку из А1 в В1 в объеме 10 единиц груза и тем самым полностью удовлетворяем потребности В1, а запасы А1 уменьшаем на 10 единиц груза. Первый столбец исключаем из рассмотрения (потребности B1 удовлетворены) и переходим к табл. 4.

Теперь самая «северо-западная» клетка — (1,2). Запасы А1, равные 20, равны потребностям В2. Следовательно, запишем в клетку (1,2) число 20, полностью удовлетворяем запасы А1 и потребности В1. Первую строку и второй столбец исключаем из рассмотрения и переходим к табл. 5.

Теперь самая «северо-западная» клетка — (2,3). Запасы поставщика А2, равные 40 единицам, превышают потребности потребителя В3, равные 20 единицам груза. Поэтому запишем в клетку число 20, тем самым полностью удовлетворяем потребности В3, а запасы А2 уменьшаем на 20 единиц груза.

Третий столбец исключаем из рассмотрения (потребности В3 полностью удовлетворены). Переходим к табл. 6.

Теперь самая «северо-западная» клетка — (2,4). Потребности В4 составляют 50 единиц груза и превосходят запасы А2, составляющие 20 единиц груза.

В клетку (2,4) записываем число 20 и исключаем из рассмотрения вторую строку. Потребности В4 уменьшаем до 30. Получили табл. 7.

В таблице остается одна пустая клетка (3,4). В эту клетку запишем единиц груза, тем самым одновременно удовлетворим потребности пункта В4 и исчерпаем запасы пункта А3 (табл. 8).

Таким образом, составлен начальный план задачи методом северозападного угла.p 2.1.2 Метод минимального элемента Как и в способе северо-западного угла, будем стремиться на каждом шаге полностью исчерпать какой-нибудь запас (строку) или полностью насытить какую-нибудь потребность (столбец).

1. В клетку с минимальной единичной стоимостью записывают наибольшее возможное количество груза.

2. Производится корректировка оставшихся объемов запасов и потребностей.

3. Выбирается следующая клетка с наименьшей стоимостью, в которую помещается наибольшее возможное количество груза, и т. д. До тех пор, пора запасы и потребности не станут равными нулю.

4. Если наименьшее значение стоимости соответствует более чем одной клетке таблицы, выбор осуществляется случайным образом.

Рассмотрим данный алгоритм на конкретном примере.

Пример. Составить исходный план перевозок. Стоимость перевозки единицы груза, его запасы и потребности указаны в табл. 9.

yНаименьшая стоимость, равная 1, находится в клетке (2,2). Запасы поставщика А2, равные 40 единицам, превышают потребности потребителя В2, равные 20 единицам груза. Следовательно, запишем в клетку (2,2) число 20, т.е. планируем перевозку из А2 в В2 в объеме 20 единиц груза и тем самым полностью удовлетворяем потребности В2, а запасы А2 уменьшаем на 20 единиц груза. Второй столбец исключаем из рассмотрения (потребности В2 удовлетворены) и переходим табл. 10.

Теперь минимальная стоимость, равная 2, будет в клетках (1.1) и (2,4).

Выберем любую из них, например (1,1). Запасы А1 равные 30, превышают потребности В1 равные 10 единицам груза. Следовательно, запишем в клетку (1,1) число 10, полностью удовлетворяем потребности В1 а запасы A уменьшаем на 10 единиц груза. Первый столбец исключаем из рассмотрения и переходим к табл. 11.

Теперь минимальная стоимость, равная 2, будет в клетке (2,4). Потребности В4 равные 50, превышают запасы А2, равные 20. Поэтому запишем в клетку число 20, полностью исчерпываем запасы А2, а потребности В4 уменьшаем на 20 единиц. Вторую строку исключаем из рассмотрения (запасы А полностью исчерпаны). Переходим к табл. 12.

Теперь наименьшая стоимость, равная 3, находится в клетках (1,3) и (1,4). Выбираем любую из них, например (1,3). Запасы A1 составляют 20 единиц груза и совпадают с потребностями В3. В клетку (1,3) записываем число и исключаем из рассмотрения первую строку и третий столбец. Переходим к табл. 13.

Теперь в клетку (3,4) записываем число 30. Таким образом, составлен начальный план задачи (табл.14).

Для данного плана суммарная стоимость перевозок составит:

Индивидуальные задания для самоподготовки Требуется построить исходные опорные планы методами северозападного угла и минимальной стоимости для приведенных ниже задач. Для каждого из двух методов вычислить суммарные издержки и сравнить их между собой. По результатам сравнения сделать вывод, какой из методов нахождения исходного плана рациональней для данной задачи.

Задача 1. Из трех пунктов отправления необходимо доставить однородный груз в четыре пункта назначения. Стоимость перевозки единицы груза, его запасы и потребности в них указаны в табл. 15.

Значение тарифов Сij указаны ниже (1–4).

2.2. Получение оптимального плана транспортной задачи Полученный исходный опорный план транспортной задачи нужно проверить на оптимальность. Проверка производится для того, чтобы определить, является ли данный вариант наиболее дешевым для транспортировки и, если это не так, какие изменения следует внести в данное распределение.

Ниже будут изложены два метода для проверки опорного плана на оптимальность.

2.2.1. Метод потенциалов Решение транспортной задачи, основанное на привлечении потенциальности в качестве признака оптимальности, называется методом потенциалов.

Теорема. Для того чтобы опорный план перевозок был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа и i (i = 1,2,...,т), vj (j = 1,2,...,п), для которых выполняется:

1) vj – ui = cij (для всех занятых клеток);

2) vj – ui cij (для всех свободных клеток).

Замечание. Числа и i и vj для которых выполняется только первый пункт, называются квазипотенциалами. Числа и i и vj для которых выполняются оба пункта, называются потенциалами.

Для определения m + n квазипотенциалов и i и vj всегда есть (m + n – 1) уравнение вида vj – ui = cij. Так как число квазипотенциалов на единицу больше, чем число уравнений, из которых они определяются, то один из квазипотенциалов полагают равным произвольной константе.

Метод потенциалов состоит в том, что задача решается с помощью конечной последовательности итераций.

Алгоритм метода 1. По одному из известных способов (северо-западного угла, минимального элемента) находим исходный опорный план перевозок; проверяем полученный план на вырожденность (т. е. должно быть ровно (m + n – 1) занятых клеток в опорном плане) (с. 12).

2. Если опорный план вырожденный, то одну из свободных клеток заполняем нулевой перевозкой, но так, чтобы опорный план остался ацикличным;

3. Для найденного опорного плана вычисляем соответствующие ему квазипотенциалы (пользуясь уравнениями u1 = const, для занятых vj – ui = cij клеток данного плана).

4. Проверяем квазипотенциалы найденного плана на потенциальность, т. е. проверяем, выполняется ли соотношение в свободных клетках vj – ui cij плана.

5. Если проверка на потенциальность дает положительный результат для всех свободных клеток, то данный опорный план оптимальный и задача решена; если же обнаружены свободные клетки, в которых потенциальность не имеет места (т.е. vj – ui > cij ), то с помощью одной из этих клеток производим улучшение опорного плана перевозок по правилу пересчета по циклу (с. 15).

6. Для улучшения опорного плана перевозок повторяем шаги пп. 3, 4, 5.

Замечание. Если на шаге 4 обнаружится несколько непотенциальных клеток, то вводят в план ту из свободных клеток, в которой расхождение между разностью квазипотенциалов и транспортной издержкой наибольшее.

Рассмотрим решение транспортной задачи с помощью метода потенциалов на конкретном примере.

Пример. Найти оптимальный план перевозок, при котором транспортные издержки были бы минимальными. Стоимость перевозки единицы груза, его запасы и потребности в них указаны в табл. 16.

yИсходный опорный план найдем методом северо-западного угла (с. 15). Получим табл. 17.

В невырожденном плане данной транспортной задачи должно быть шесть занятых клеток (3 + 4 – 1), а у нас пять. Значит, план вырожденный и нужно одну из свободных клеток заполнить нулевой перевозкой, так чтобы не образовалось цикла, состоящего из одних занятых клеток. Для заполнения можно выбрать одну из следующих клеток: (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2). Возьмем клетку (2,2) и назначим в эту клетку перевозку, равную нулю, получим невырожденный опорный план (табл. 18).

Для этого плана квазипотенциалы найдем из системы уравнений для занятых клеток:

клетки откуда, полагая u1 = 0, получим: v1 = 3; v2 = 4; v3 = 10; u2 = 3;v4 = 5; u3 = –1.

Найденные квазипотенциалы занесем в таблицу (табл. 19).

Проверим свободные клетки опорного плана на потенциальность:

клетки Непотенциальными оказались клетки (1,3) и (3,3), причем расхождение в этих клетках одинаковое, поэтому можно выбрать любую из них. Возьмем, например, клетку (1,3) и введем ее в план. Соответствующий цикл показан пунктиром, а пересчет по этому циклу производим на величину = min {20,20} = 20. При этом освободим клетку (1,2). Одновременно две клетки освобождать нельзя, так как получим вырожденный план, поэтому в клетке (2,3) запишем нулевую перевозку. Получим табл. 20.

Для этого плана квазипотенциалы найдем из системы уравнений для занятых клеток:

клетки откуда, полагая u1 = 0, получим: v1 = 3; v3 = 3; u2 = –4; v2 = –3; v4 = –2; u3 = –8.

Найденные квазипотенциалы занесем в таблицу (табл. 20).

Проверим свободные клетки опорного плана на потенциальность:

клетки Непотенциальными оказались клетки (2,1), (3,1) и (3,3), причем наибольшее расхождение приходится на клетку (3,3), поэтому введем ее в план.

Соответствующий цикл показан пунктиром, а пересчет по этому циклу производим на величину = min {30,0} = 0. При этом освободим клетку (2,3) (табл. 21).

Для этого плана квазипотенциалы найдем из системы уравнений для занятых клеток:

клетки откуда, полагая u1 = 0, получим: v1 = 3; v3 = 3; u3 = –1; v4 = 5; u2 = 3; v2 = 4.

Найденные квазипотенциалы занесем в таблицу (табл. 21).

Проверим свободные клетки опорного плана на потенциальность:

клетки Таким образом, все клетки потенциальны. Значит, оптимальный план перевозок достигнут и задача решена.

Вычислим суммарные издержки по оптимальному плану перевозок:

Индивидуальные задания для самоподготовки Требуется решить предложенную задачу методом потенциалов.

Из трех пунктов отправления необходимо доставить однородный груз в четыре пункта назначения. Стоимость перевозки единицы груза, его запасы и потребности в них указаны в табл. 22.

Значения тарифов Сij указаны ниже (1–10).

2.2.2. Распределительный метод решения транспортной задачи В основе этого метода лежит признак оптимальности, отличный от признака оптимальности в методе потенциалов.

Теорема (признак оптимальности). Если для некоторого опорного плана перевозок алгебраическая сумма издержек неотрицательная ( 0) для циклов пересчета всех свободных клеток этого плана, то этот план оптимальный.

Где = ± cij — алгебраическая сумма издержек по клеткам цикла, взятых со знаками этих клеток.

Пользуясь этим признаком, можно установить следующий алгоритм решения транспортной задачи:

1) по одному из известных способов (северо-западного угла, минимального элемента) находим исходный опорный план перевозок; проверяем полученный план на вырожденность (т. е. должно быть ровно (m + n – 1) занятых клеток в опорном плане);

2) если опорный план вырожденный, то одну из свободных клеток заполняем нулевой перевозкой, но так, чтобы опорный план остался ацикличным;

3) для каждого из циклов, соответствующих свободным клеткам данного опорного плана, вычисляем величину (алгебраическую сумму издержек по клеткам цикла, взятых со знаками этих клеток), и тогда:

а) если 0 для всех свободных клеток, то оптимальный план достигнут;

б) если для некоторой свободной клетки < 0, то выполнив пересчет по циклу этой свободной клетки (с. 15), улучшим опорный план; продолжаем этот процесс, пока не возникнет ситуация «а».

Замечание. Если < 0 для нескольких свободных клеток, то пересчет выполняют для той свободной клетки для которой значение наибольшее по абсолютной величине.

Рассмотрим данный алгоритм решения транспортной задачи на конкретном примере.

Пример. Найти оптимальный план перевозок, при котором транспортные издержки были бы минимальными. Стоимость перевозки единицы груза, его запасы и потребности в них указаны в табл. 23.

yНа первом этапе мы должны составить начальный план, на втором этапе начальный план нужно последовательно улучшить до оптимального.

Начальный план найдем методом минимального элемента (с. 18). Получим табл. 24.

Свободные клетки табл. 24 соответствуют свободным неизвестным общего решения системы ограничений, по которому найден указанный план. Как известно, для нахождения базисного решения системы уравнений нужно в общем решении приравнять свободные неизвестные к нулю. Поэтому свободная клетка в табл. 24 означает отсутствие перевозки от соответствующего поставщика к соответствующему потребителю.

Занятые клетки табл. 24, а их число равно суммарному числу поставщиков и потребителей без единицы, соответствуют базисным неизвестным общего решения системы ограничений. Из сказанного видна разница между клеткой с нулевой перевозкой (в нашем плане (3,3)) и свободной клеткой. Первая соответствует базисной переменной, а вторая — свободной.

Найдем суммарные транспортные расходы согласно построенному начальному плану Переходим теперь к процессу последовательного улучшения начального плана до оптимального, который будем осуществлять распределительным методом.

Для построенного плана будем последовательно вычислять оценки свободных клеток. Если оценки всех свободных клеток неотрицательны, то план будет оптимальным.

Первая свободная клетка (1,2), цикл которой выглядит так:

Вторая свободная клетка (1,4), цикл которой выглядит так:

Третья свободная клетка (2,1), цикл которой выглядит так:

Четвертая свободная клетка (2,3), цикл которой выглядит так:

Пятая свободная клетка (3,1), цикл которой выглядит так:

Шестая свободная клетка (3,2), цикл которой выглядит так:

Следовательно, за счет перераспределения груза по циклу одной из клеток (1,2), (1,4), (3,2), мы можем улучшить план перевозок. Все три клетки равноценные (для всех = –2), поэтому для пересчета по циклу можно взять любую из них.

Возьмем, например, клетку (1,2). Построим для этой клетки цикл (табл.

24). Среди «отрицательных» клеток цикла (1,3), (3,4) и (2,2) выберем ту из них, в которой стоит наименьшая величина перевозки. Таких клеток две — (1,3) и (2,2), в которых стоит число 20. Возьмем одну из них, например (1,3).

Новый, улучшенный план получим, перераспределив 20 ед. груза по циклу клетки (1,2). Для этого от величин перевозок, стоящих в «отрицательных»

клетках цикла, вычтем 20, а к величинам перевозок, стоящих в «положительных» клетках цикла, прибавим 20. При этом выбранная клетка (1,3) станет свободной, а клетка (1,2) — занятой, т.е. количество занятых клеток не изменилось. Получим новый, улучшенный план (табл. 25):

Суммарные транспортные расходы по опорному плану Находим оценки свободных клеток для второго плана.

Клетка (1,3). Ее цикл: (1,3) – (1,2) + (2,2) – (2,4) + (3,4) – (3,3).

Клетка (1,4). Ее цикл: (1,4) – (1,2) + (2,2) – (2,4).

Клетка (2,1). Ее цикл: (2,1) – (1,1) + (1,2) – (2,2).

Клетка (2,3). Ее цикл: (2,3) – (2,4) + (3,4) – (3,3).

Клетка (3,1). Ее цикл: (3,1) – (1,1) + (1,2) – (2,2) + (2,4) – (3,4).

Клетка (3,2). Ее цикл: (3,2) – (2,2) + (2,4) – (3,4).

Нашли свободную клетку (3,2) с отрицательной оценкой, т. е. полученный план неоптимален. Построим для этой клетки цикл (табл. 25). Среди «отрицательных» клеток (2,2) и (3,4) возьмем ту, в которой стоит наименьшая величина перевозки. Это клетка (2,2) с перевозкой, равной 0. Новый план получим, переместив нуль из клетки (2,2) в клетку (3,2). Остальные величины перевозок останутся без изменений. Получаем третий план (табл. 26).

Суммарные транспортные расходы по третьему плану такие же, как и по второму плану, но третий план ближе к оптимальному, чем второй.

Находим оценки свободных клеток для третьего плана.

Клетка (1,3). Ее цикл: (1,3) – (1,2) + (3,2) – (3,3).

Клетка (1,4). Ее цикл: (1,4) – (1,2) + (3,2) – (3,4).

Клетка (2,1). Ее цикл: (2,1) – (1,1) + (1,2) – (3,2) + (3,4) – (2,4).

Клетка (2,2). Ее цикл: (2,2) – (2,4) + (3,4) – (2,2).

Клетка (2.3). Ее цикл: (2,3) – (2,4) + (3,4) – (3,3).

Клетка (3,1). Ее цикл: (3,1) – (1,1) + (1,2) – (3,2).

Клетка (1,4) имеет отрицательную оценку. Следовательно, план не оптимален. Построим для этой клетки цикл (табл. 26).

Среди «отрицательных» клеток (1,2) и (3,4) цикла наименьшая величина перевозки равна 10, находится в клетке (3,4). Перераспределим 10 единиц груза по циклу клетки (1,4). При этом клетка (3,4) станет свободной, а величины перевозок в клетках (1,2), (3,2) и (1,4) станут соответственно равны 10, 10 и 10.

Таким образом, мы построили четвертый план (табл. 27).

Суммарные транспортные расходы по четвертому плану на 10 х 2 = 20 у. д. е. меньше, чем по третьему. Следовательно, Проверим полученный план на оптимальность. Находим оценки свободных клеток для четвертого плана.

Клетка (1,3). Ее цикл: (1,3) – (1,2) + (3,2) – (3,3).

Клетка (2,1). Ее цикл: (2,1) – (1,1) + (1,4) – (2,4).

Клетка (2,2). Ее цикл: (2,2) – (2,4) + (1,4) – (1,2).

Клетка (2,3). Ее цикл: (2,3) – (2,4) + (1,4) – (1,2) + (3,2) – (3,3).

Клетка (3,1). Ее цикл: (3,1) – (1,1) + (1,2) – (3,2).

Клетка (3,4). Ее цикл: (3,1) – (1,4) + (1,2) – (3,2).

Все свободные клетки получили положительные оценки, тогда полученный план оптимален для задачи на минимум. p Индивидуальные задания для самоподготовки Требуется, решить предложенные задачи распределительным методом.

Найти оптимальный план перевозок, при котором транспортные издержки были бы минимальными. Стоимость перевозки единицы груза, его запасы и потребности в них указаны в табл. 28.

Значения тарифов Сij указаны ниже (1–10).

3. Решение задач оптимизации логистических цепей движения Логистические цепи имеют различные содержание, направления движения, протяженность, количество звеньев и уровни управления. Однако построение всех без исключения логистических цепей должно предусматривать их рационализацию с позиции пространственного расположения и количества входящих звеньев, а также оптимизацию логистических цепей с точки зрения величины логистических издержек в зависимости от выбираемых организационных вариантов. Одним из критериев оптимизации величины логистических издержек для транспорта можно выбрать минимизацию балластных пробегов.

В качестве примера можно привести задачу оптимизации логистических цепей движения товарных потоков по минимуму балластных пробегов.

Исходными данными задачи являются:

1) данные о структуре товарных потоков;

2) планы перевозки грузов.

При решении данной задачи выполняют последовательно несколько этапов (алгоритм решения):

1) строят таблицы товарных потоков;

2) определяют пункты с избытком и недостатком грузооборотной тары;

3) решают транспортную задачу, для которой пунктами отправления являются пункты с избытком грузооборотной тары, а пунктами назначения — пункты с недостатком грузооборотной тары; критерием оптимизации является минимизация суммарного расстояния при перевозке грузов; полученный оптимальный план задачи вносят в таблицу товарных потоков;

4) используя полученную таблицу товарных потоков, строят прямую логистическую цепь движения товарных потоков и обратную логистическую цепь движения грузооборотной тары.

Рассмотрим решение задачи на конкретном примере.

Пример. Пусть в плане перевозок заданы следующие товарные потоки (в тыс. т):

Предполагается, что:

1) все товарные потоки являются транспортно-однородными, т. е. они могут перевозиться последовательно на одном и том же судне без затраты времени для специальной подготовки судна при смене груза;

2) товарные потоки поступают в порты равномерно на протяжении всего 3) все грузы тяжелые (т. е. их погрузочный объем u не больше, чем удельная грузовместимость w любого из выделенных для данных перевозок судов);

4) при перевозке товаров используется укрупненная грузовая единица — yСтроим таблицу товарных потоков (табл. 29).

Дополним эту таблицу данными об обеспеченности каждого порта необходимым количеством грузооборотной тары (контейнеров). Для этого в диагональных клетках таблицы запишем разность между суммарным количеством груза, прибывающего в данный порт, и суммарным количеством груза, отправляемого из данного порта. Получим табл. 30. Диагональные клетки этой таблицы содержат данные о портах с избытком грузооборотной тары (плюсовые клетки) и портах с недостатком грузооборотной тары (минусовые клетки), т. е. данные о том, откуда и куда будет совершаться транспортировка грузооборотной тары (обратная логистическая цепь). Необходимо составить план транспортировки грузооборотной тары.

Порты приВсего (отправлеИльичевск Порты отправления Составим оптимальный план транспортировки грузооборотной тары. Для этого решим следующую транспортную задачу. Имеется два порта отправления судов в балласте (пустые контейнеры на борту) — Жданов и Новороссийск — и три пункта назначения — Ильичевск, Поти и Николаев. Запасы в пунктах отправления равны 535 и 155 тыс. т, а потребности — 40, 390 и 260 тыс. т соответственно (табл. 31). Требуется минимизировать суммарное число тоннажемиль в балласте.

Задача сбалансированная, так как сумма запасов равна сумме потребностей. Построим исходный опорный план методом минимального элемента (табл. 32). В правом верхнем углу каждой клетки табл. 4 находится расстояние между соответствующими портами в милях.

отправления Проверим полученный план на оптимальность распределительным методом (можно использовать также метод потенциалов).

Клетка (2,1). 21 = 362 – 454 + 424 – 227 = 105 > 0.

Клетка (2,3). 23 = 401 – 483 + 424 – 227 = 115 > 0.

Данный план оптимальный (если план неоптимальный, выполняют пересчет по циклу). Значение целевой функции для этого плана Z = 40 454 + 235 424 + 260 483 + 155 227 = 278 565 тоннаже-миль Далее увяжем полученный оптимальный план балластных пробегов с планом груженых переходов. Для этого перенесем оптимальный план балластных пробегов (табл. 32) в таблицу корреспонденции товарных потоков (табл. 30). Получим табл. 33. В этой таблице оптимальный план для грузооборотной тары обведены рамкой.

Порты прибыВсего (отправление), отправления Построение схем движения рекомендуется начинать с уравновешивания товарных потоков и строить простые схемы с двусторонней загрузкой. Сплошная стрелка в схемах показывает переход в грузу (прямая логистическая цепь), пунктирная — возврат грузооборотной тары (обратная логистическая цепь), в данном случае контейнеров. В нашем примере такими товарными потоками будут Ильичевск — Поти и Поти — Ильичевск.

Таким образом, первая прямая логистическая цепь движения товарного потока, не содержащая обратной логистической цепи, будет:

При этом остаются не включенными в схему 300 тыс. т в Ильичевске.

Других логистических цепей движения товарных потоков с двусторонней загрузкой построить нельзя. Получим табл. 34.

Построение логистических цепей движения товарных потоков, включающих обратную логистическую цепь возврата грузооборотной тары, начинают с порта, в котором образовался излишек грузооборотной тары. Построенные логистические цепи должны быть круговыми, и порты в них не должны повторяться.

В порту Жданов образуется излишек контейнеров. Начнем с него строить вторую логистическую цепь движения товарного потока.

Порты прибыВсего (отправНовороссийск Порты отправления Из Жданова освободившиеся контейнера общей грузовместимостью тыс. т должны быть отправлены под погрузку в Ильичевск. Ильичевск связан товарным потоком только с портом Поти, а порт Поти только со Ждановом.

Следовательно, вторая логистическая цепь движения следующая:

После построения второй схемы получим табл. 35 без учета 40 тыс. т, перевезенных на второй логистической цепи.

Порты прибыВсего (отправление), тыс. т Порты отправления тие), тыс. т Для построения третьей логистической цепи вновь выбираем Жданов. Из Жданова освободившиеся контейнера грузовместимостью 235 тыс. т должен следовать под погрузку в Поти. Поти связан товарным потоком только с портом Жданов. Следовательно, третья логистическая цепь движения товарного потока следующая:

После построения третьей цепи получим табл. 36, в которой не учитываются 235 тыс. т, перевозимых на третьей цепи.

Порты прибытия Порты отправления Для построения логистической цепи вновь выбираем Жданов. Из Жданова освободившиеся контейнера грузовместимостью 260 тыс. т должен следовать под погрузку в Николаев. Николаев связан товарным потоком только с портом Ильичевск, а порт Ильичевск — только с Поти. В свою очередь, Поти связан товарным потоком с портом Жданов. Следовательно, четвертая логистическая цепь движения следующая:

После построения четвертой цепи получим табл. 37 корреспонденции товарных потоков без учета 260 тыс. т, перевезенных на четвертой цепи.

Порты прибыНовороссийск отправления Для построения последней, пятой, линии выбираем Новороссийск. Из Новороссийска освободившиеся контейнера грузовместимостью 155 тыс. т должен следовать под погрузку в Поти. Поти связан товарным потоком с портом Жданов, а порт Жданов — с Новороссийском. Следовательно, пятая цепь движения товарного потока следующая:

Вывод: Всего построено 5 логистических цепей движения товарного потока:

первая прямая логистическая цепь движения товарного потока не содержит обратной логистической цепи:

остальные четыре содержать обратную логистическую цепь возврата грузооборотной тары:

Все запланированные перевозки включены в соответствующие логистические схемы движения товарных потоков, при этом возврат грузооборотной тары осуществляется с минимальными балластными пробегами для задействованного под перевозку флота.p Индивидуальные задания для самоподготовки Построить оптимальные логистические схемы движения судов (по минимуму балластных пробегов) для следующих товарных потоков.

(Таблица расстояний между портами представлена в приложении).

1. Находка — Иокогама….…….. 1300 2. Владивосток — Магадан…..… Петропаловск-Камчатский...… 500 Ванино — Ниигата …………... Бангкок — Находка...………... 3. Находка — Магадан...…….….. 1200 4. Находка — Корсаков………… Владивосток — Индия (Бомбей).... Камчатский — Далянь..….…... 300 Петропавловск-Камчатский….

Петропавловск-Камчатский. 1500 Иокогама — Владивосток…… 9. Владивосток — Ниигата..….... 1300 10. Находка — Владивосток…….. Ниигата — Владивосток..….... 1450 Владивосток — Находка…….. Владивосток — Цуруга….…... 560 Владивосток — Шанхай……... 4. Транспортная задача по критерию времени (Модуль 3) В транспортной задаче, которая рассматривалась выше, критерием оптимизации служили транспортные расходы. Но в случае, например, перевозки скоропортящихся грузов минимизация транспортных расходов будет играть второстепенную роль, и на первый план выходит требование как можно больше сократить время доставки. В такой постановке задача называется транспортной задачей по критерию времени.

Точная постановка этой задачи выглядит следующим образом.

Имеется m пунктов отправления А1, А2,..., Аm с запасами a1, а2 …,am единиц некоторого груза и n пунктов назначения B1, B2,..., Вn, с потребностями b1, b2,... bn единиц того же груза, причем имеет место баланс запасов и потребностей, т.е.

транспортные средства при этом неограниченны.

Известно время tij (суток, часов и т.д.), необходимое для доставки груза из i- го пункта Ai в пункт Вj, т.е. задана матрица Требуется найти такой план перевозок, при котором:

а) все пункты отправления полностью разгружаются, б) все пункты назначения полностью получают груз, в) время, необходимое для осуществления плана перевозок, минимизируется (в сравнении с другими возможными планами перевозок).

Алгоритм решения задачи (способ запрещенных клеток).

1. Находим исходный опорный план (по способу северо-западного угла или по способу минимального элемента).

2. Простым перебором перевозок xij > 0 (записанных в занятых клетках) находим «потолок» = max tij для исходного плана и вычеркиваем те клетки, в которых tij.

Вычеркнутые клетки в дальнейших расчетах игнорируются: их будем называть запрещенными клетками.

3. Среди невычеркнутых свободных клеток стремимся найти такую, у которой соответствующий цикл содержит занятую клетку с «потолковым» значением tij = как «минусовую» клетку. Ясно, что при пересчете по этому циклу «потолок» снизится и мы получим «лучший» план.

4. Описанный в пп. 2 и 3 процесс продолжаем до тех пор, пока улучшение плана становится невозможным.

Рассмотрим данный алгоритм решения транспортной задачи по критерию времени на конкретном примере.

Пример. Требуется доставить из трех пунктов отправления в четыре пункта назначения скоропортящийся груз. Количество груза в каждом пункте отправления и потребности в пунктах назначения, а также время, затрачиваемое на перевозку груза, известны; эти данные указаны в табл. 38.

yЗадача сбалансированная. Строим опорный план методом северозападного угла (табл. 39).

При этом плане 1 = max {7, 8, 4, 5, 1, 2} = 8, и поэтому клетка (2,4), в которой t24 = 9 > 1, запрещается для введения в дальнейшие планы — она вычеркивается. Теперь ищем такую свободную клетку, у которой соответствующий ей цикл содержит клетку (1,2) с «потолковым» значением 1 = 8 как «минусовую» клетку. Интересующей нас клеткой является клетка (1,3); соответствующий ей цикл показан пунктиром. Выполним пересчет по этому циклу на число = min (5, 10) = 5 (табл. 40).

При этом плане 2 = max {7, 5, 4, 5, 1, 2} = 7, и поэтому клетка (1,2), в которой t12 = 8 > 2, запрещается для введения в дальнейшие планы — она вычеркивается. Теперь ищем такую свободную клетку, у которой соответствующий ей цикл содержит клетку (1,1) с «потолковым» значением 2 = 7 как «минусовую» клетку. Интересующими нас клетками являются клетки (2,1) или (3,1); возьмем, например, клетку (2,1) соответствующий ей цикл показан пунктиром. Выполним пересчет по этому циклу на число = min (5, 5) = (табл. 41).

При этом плане 3 = max {5, 3, 4, 5, 1, 2} = 5, и поэтому клетка (1,1), в которой t11 = 7 > 3, и клетка (3,1), в которой t31 = 6 > 3, запрещаются для введения в дальнейшие планы — они вычеркиваются. Теперь ищем такую свободную клетку, у которой соответствующий ей цикл содержит клетку (1,3) с «потолковым» значением 3 = 5 как «минусовую» клетку. Интересующей нас клеткой является клетка (1,4) соответствующий ей цикл показан пунктиром.

Выполним пересчет по этому циклу на число = min (10, 15) = 10 (табл. 42).

При этом плане 4 = max {4, 3, 4, 5, 1, 2} = 5, и поэтому клетка (1,3), в которой t13 = 5 = 4, запрещается для введения в дальнейшие планы — она вычеркивается. В клетке (2,3) с «потолковым» значением 4 = 5 нулевая перевозка, поэтому можно считать эту клетку в данном случае свободной клеткой и тем самым еще раз понизить «потолковое» значение 5 = max {4, 3, 4, 1,2} = 4. Клетка (2,3), в которой t23 = 5 > 5, запрещается для введения в дальнейшие планы — она вычеркивается.

Занятых клеток в опорном плане данной задачи должно быть шесть, поэтому если мы считаем клетку (2,3) свободной, то должны заполнить нулевой перевозкой одну из оставшихся невычеркнутых свободных клеток, но так, чтобы полученный план остался ацикличным. Такая клетка одна. Это клетка (3,2), заполним ее нулевой перевозкой (табл. 43).

Дальнейшее снижение уже невозможно. Таким образом, задача решена:

tопт = 4.

Индивидуальные задания для самоподготовки Требуется доставить из трех пунктов отправления в четыре пункта назначения скоропортящийся груз. Количество груза в каждом пункте отправления и потребности в пунктах назначения, а также время, затрачиваемое на перевозку груза, известны; эти данные указаны в табл. 44.

Время tij, затрачиваемое на перевозку, указано ниже (1–10).

1. Маликова Т.Е. Математические методы и модели в управлении на морском транспорте. — Владивосток: Морс.гос.ун-т им. адм. Г.И.Невельского, 2005. — 368 с.

2. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы: учебник. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007. — 464 с.

3. Экономико-математические методы и модели в логистике: потоки событий и системы обслуживания : учеб. пособие / Г.Л. Бродецкий. — М.: Академия, 2009. — 272 с.

Таблица расстояний между портами Порт отправления Порт назначения Владивосток Петропавловск-Камчатский Для заметок Для заметок Решение задач оптимизации логистических цепей для студентов заочной формы обучения специальности 080115.65 Таможенное дело специализации «Таможенная логистика»

Подписано в печать 21.10.2011. Формат 6084/16.

Усл. печ. л. 3,25. Уч.-изд. л. 1,51. Тираж 50 экз. Заказ 504.

Владивостокский филиал Российской таможенной академии Редакционно-издательское отделение 690034, г. Владивосток, ул. Стрелковая, 16в.