«6класс СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ПЛАНИРОВАНИЕ УРОКОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ Пособие для учителя Методические рекомендации соответствуют учебнику, рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации ...»

----- ; ----- ; ----- ; ----- (обращаем внимание учителя на то, что учебник - - - при этом закрыт) и предлагает ученикам самостоятельно записать их в виде десятичных дробей.

При выполнении задания ребята применяют основное свойство дроби ----- = ------------------ ; или сначала сокращают дроби, записали обыкновенные дроби в виде десятичных ( ----- = 0,175; Проблема возникает с дробью -----. Учитель предлагает вы ходят к доске, каждый записывает по одной операции до тех пор, пока в остатке не получится число 9. Можно вызвать еще 2 — 3 учеников к доске, но обычно ребята замечают, что циф ры в частном начинают повторяться.

Это тот момент, когда целесообразно открыть учебник и прочитать рассуждения Миши и Маши на с. 37, а также автор ский текст, который следует за их диалогом.

После этого можно выяснить, какие представления имеют шестиклассники о понятии «бесконечность». Учитель обраща ется к ним с вопросами:

• Встречались ли вы раньше с этим понятием?

• Может ли кто нибудь привести примеры, связанные с понятием «бесконечность»?

• Можно ли назвать самое большое натуральное число?

(Нет, обязательно будет следующее, которое больше на 1;

натуральный ряд чисел бесконечен.) • Можно ли назвать самое большое двузначное число?

трёхзначное? (Можно, называют.) • Если выписать все двузначные числа, то этот ряд чисел будет конечным или бесконечным? (Конечным.) • А ряд трёхзначных чисел конечен или бесконечен? (Ко Методические рекомендации • Какие числа можно записать, используя одну цифру 3?

• Можем ли мы назвать и записать самое большое число, используя цифру 3? (Нет.) «Оказывается, — подводит итог учитель, — понятие «беско нечность» используется в математике и по отношению к дро бям. Можно ли, например, назвать и записать самую малень кую дробь, в числителе которой число 1, а в знаменателе число, записанное цифрой 3?»

На доске появляются записи:

-- > ----- > -------- > ------------------------------ (Нет.) - - Педагог продолжает: «В математике говорят о бесконечно больших и бесконечно малых числах. Десятичные дроби тоже могут быть конечными и бесконечными. Выполните деление уголком 1 : 3; 1 : 9 и увидите, с каким интересным фактом вы столкнетесь».

Деление выполняется на доске, и ученики убеждаются в том, что делить можно бесконечно.

• Что вы заметили? (В частном все время повторяется одна • Как можно записать дроби -- и -- в виде бесконечных де - сятичных дробей? ( -- = 0,3333…; -- = 0,1111…).

-- и -- в таком виде:

-- = 0,3333... 0, (3); -- = 0,1111... 0, (1).

(0,3333 0,3; 0,3333 0,33; 0,3333 0,333; 0,1111 0,1;

Затем учащиеся самостоятельно выполняют задание № и обсуждают его в парах.

На доску выносятся только те обыкновенные дроби, в кото рых деление числителя на знаменатель приводит к повторению одного и того же остатка.

Проведённая работа подводит шестиклассников к выводу о том, каким должен быть знаменатель, чтобы обыкновенную дробь можно было записать в виде конечной или бесконечной десятичной дроби.

Этот вывод дети смогут сделать с помощью учителя, кото рый обратит их внимание на то, что обыкновенные дроби мож но разбить на две группы. В ходе небольшой беседы ребята от ветят на вопросы педагога (Чем похожи дроби? Чем отличают ся?), что поможет им выяснить признак, по которому дроби разбиваются на группы. На с. 38 приводятся правила, которые следует прочитать только лишь после того, как школьники вы скажут свои суждения.

В завершение урока можно выполнить № 176 (1 й столбец).

Урок рекомендуем дополнить заданиями 55, 56, 58 из ТПО № 1.

На дом: № 170 (3 й ст.), 169, 176 (2 й ст.).

УРОК 28. ЗАДАНИЯ 173—175, 177—180, Цель. Продолжить формирование умения округлять числа и записывать обыкновенные дроби в виде конечных и беско нечных десятичных дробей.

Советуем в начале урока провести самостоятельную работу, содержание которой аналогично № 167.

Учащимся предлагаются карточки с заданиями, в которых нужно выбрать верный ответ, например:

Выбери и подчеркни правильный ответ:

а) Округли дробь 3,1423 до десятых:

б) Округли дробь 0,07268 до сотых:

1) 0,08; 2) 0,072; 3) 0,07;

в) Округли дробь 2085,98 до десятков:

г) Округли дробь 6,666 до целых:

д) Округли дробь 1,46507 до тысячных:

1) 1,4651; 2) 1,465; 3) 1,466.

В № 173 есть указание на способ действия, поэтому школьники могут справиться с заданием самостоятельно. Уча щиеся выполняют деление в тетрадях, выписывая на доску ре Методические рекомендации зультаты, затем округляя их до десятых:

----- = 0,363636 0,4;

действия (нужно числитель разделить на знаменатель). Дети работают в тетрадях самостоятельно и записывают приближён ные равенства на доске. Полезно выяснить, чем похожи все за писи (дробная часть одинакова), чем отличаются (целой частью).

При выполнении № 177 школьники пользуются способом прикидки, округляя каждую десятичную дробь до целых. Эта работа проводится фронтально.

Например, в пункте а) произведение дробей 3,07 · 3,2 учени ки заменяют выражением 3 · 3, а произведение дробей 3,81 · 3, — заменяют на 4 · 4 и т. д., что позволяет без особых затрудне ний выбрать в каждой паре выражение, значение которого меньше 12. Проверка осуществляется с помощью вычислений.

№ 178 выполняется устно. Для обоснования ответа дети ссылаются на правила округления чисел.

Задачу № 179 ученики решают самостоятельно в тетрадях, на доску выносится только ответ. Возможны варианты: 27,56 р.;

2756 к.

Ориентируясь на задание № 180, учитель записывает на доске дроби ----- и 0,27 и предлагает сравнить их. Фронтально обсуждается способ действия. Одни предлагают 0,27 записать в виде -------- и сравнить две обыкновенные дроби, то есть привес ти их к наименьшему общему знаменателю, найти дополни тельные множители и т. д.

Другие предлагают представить ----- в виде десятичной дро этой несократимой дроби имеются простые множители, отлич ные от 2 и 5. Поэтому её можно записать только в виде беско нечной десятичной дроби.

Налицо проблемная ситуация, которая решается или в про цессе фронтального обсуждения, или в результате анализа рас суждений Миши, приведённых в учебнике.

Следуя за ходом мысли Миши, учащиеся сравнивают дан ные дроби (затем и в пунктах а) — в)) и комментируют свои действия.

а) -- 0,33; -- > 0,31; б) -- 0,67; -- > 0,66; в) ----- 0,42;

61, 62 из ТПО № 1.

На дом: № 180 г), д), е), 184, 174.

УРОК 29. ЗАДАНИЯ 181—183, 185— Цель. Проверить сформированность умения применять правила округления чисел.

№ 181 предлагается для самостоятельной работы. Однако учителю следует предварительно уточнить, как дети будут дей ствовать (скорее всего, как Миша в № 180).

Поэтому, выполняя задание в тетрадях, шестиклассники сначала запишут обыкновенные дроби в виде десятичных, за тем десятичные дроби — в порядке возрастания, а под ними в порядке возрастания — данный ряд чисел.

0, 5; 0,538; 0,54; 0,55; 0,556; 0,56 или № 182 (1 й и 2 й столбцы). Для проверки учитель выносит на доску записи «ловушки» и обращается к классу с вопросом, верно или неверно выполнено задание.

0,091 0,09 = 9%.

0,987 0,98 = 98%.

3,068 3,07 = 30,7%.

Дети отмечают, что во второй строчке неверно выполнено округление, и исправляют запись, а в третьей строке непра вильно выражено в процентах число 3,07.

№ 183 а) — е), как правило, не вызывает затруднений.

Учащиеся выполняют его самостоятельно.

Приближённые равенства из № 185 советуем вынести на доску и в ходе беседы выяснить, какие представления об округ лении чисел (и их записи) имеют учащиеся.

Методические рекомендации • Встречались ли вы с такими записями раньше (5,0; 5, • Что показывают нули в записи приближённых чисел? (До какого разряда округлили число.) Фронтальное обсуждение рекомендуем завершить чтением диалога Миши и Маши.

№ 186 ребята выполняют устно, комментируя свои действия.

При работе с № 187 дети повторяют правило деления деся тичной дроби на натуральное число, а затем округляют резуль тат до сотых. В классе можно выполнить 1–2 й столбцы.

Можно дополнить урок заданиями 67, 68 из ТПО № 1.

Если время урока позволяет, можно выполнить самостоя тельную работу, цель которой — проверить, как шестиклассни ки умеют округлять числа и получать приближённые значения.

Предлагаем подготовить карточки с заданиями, например:

Округлить 437,486 358,0128 17,7117 130,6084 27, числа до десятых до десятков Каждый ученик получает такую карточку. Учитель (по свое му усмотрению) отмечает задания для первого варианта, на пример значком , а задания для второго варианта — во всех остальных клетках.

В урок можно включить задания 63, 64, 68 из ТПО № 1.

На дом: № 187 (закончить), 188.

§ 3. Среднее арифметическое чисел 2 урока, задания 189— В результате изучения темы у шестиклассников форми руется умение находить среднее арифметическое чисел.

Большинство детей интуитивно представляют, о чём идёт речь, когда говорят «средний возраст», «средний рост», «сред ний заработок», «средний балл», «средняя скорость».

Изучение данной темы позволяет уточнить имеющиеся у школьников представления, познакомить их с понятием «среднее арифметическое» и связать его с ранее усвоенными вопросами.

УРОК 30. ЗАДАНИЯ 189— Цель. Познакомить учащихся с правилом нахождения сред него арифметического чисел.

Первый урок целесообразно начать с фронтального обсуж дения словосочетаний «средний возраст», «средний рост», «средний заработок», заранее записанных учителем на доске.

Далее следует перейти к комментарию ситуации из № (учитель выписывает на доску отметки Коли). Лучше сначала выслушать ответы ребят, а затем прочитать рассуждения Миши и Маши. Учитель знакомит ребят с определением среднего арифметического чисел и, записав на доске выражения вида (15,5 + 16,8) · 2; (15,5 + 16,8) · 15,5; (15,5 + 16,8) : 16,8; (15,5 + + 16,8) : 2, предлагает учащимся выбрать и записать в свои тет ради то выражение, в котором находят среднее арифметиче ское двух чисел. Не следует торопиться с вызовом к доске уче ника, который сможет объяснить способ действия. Лучше через 1,5 – 2 минуты выяснить, какое выражение появилось в тетрадях у детей. Для обоснования ответа шестиклассники ссылаются на определение среднего арифметического, данное на с. 42.

№ 190 а), в) учащиеся выполняют самостоятельно в тетрадях.

№ 191, как показывает практика, вызывает затруднения у многих детей. В такой ситуации целесообразно проанализиро вать и объяснить рассуждения Миши и Маши, приведённые в учебнике.

Это позволит учащимся понять, как нужно действовать при решении не только данной задачи, но и № 193.

С № 192 ученики работают самостоятельно, выполняя вы числения в тетрадях.

Предложив задание № 193 для самостоятельной работы, можно проверить, как учащиеся усвоили содержание понятия «среднее арифметическое». Записав решение задачи в тетрадях, ребята выписывают на доске только ответы. Они могут быть верными (6) или неверными (1,4; 5,6). При обсуждении учитель выясняет, как получены ответы 1,4 или 5,6. Полезно уточнить, что обозначают числа 6,4 и 4,8? (6,4 — среднее арифметическое шести чисел, а 4,8 — среднее арифметическое двух чисел) Полученный ответ следует соотнести с определением сред него арифметического, и учащиеся поймут ту ошибку, которую они допустили.

Если большая часть класса не справилась с заданием, то можно использовать приём обсуждения решения задачи и за Методические рекомендации писать на доске действие: 6,4 · 6 = 38,4, а ученики объяснят по лученный результат и продолжат сами решение задачи.

В урок можно включить задания 69, 70 из ТПО № 1.

На дом: № 190 б), г), 194.

УРОК 31. ЗАДАНИЯ 195— Цель. Создать условия для усвоения детьми определения среднего арифметического двух чисел.

После проверки домашнего задания учащиеся самостоя тельно выполняют в тетрадях № 196. На доске они выписыва ют полученные ответы, которые могут быть как верными (3,9), так и неверными. Советуем не записывать решение задачи на доске. Лучше обсудить его фронтально при обосновании отве тов, полученных детьми.

Рекомендуем рассмотреть на уроке задачи «на движение» по течению и против течения реки и подвести учащихся к выводу, что собственная скорость того или иного объекта является средним арифметическим его скорости по течению и против течения.

Ученики уже решали такие задачи в 5 м классе, пользуясь схемой. Поэтому текст задачи № 195 советуем поместить на доске и предложить шестиклассникам записать самостоятель но её решение. Дальнейшую деятельность класса учитель орга низует в зависимости от результатов самостоятельной работы, на выполнение которой отводится 5 — 7 минут.

Вполне возможно, что в тетрадях появятся записи, предло женные Мишей и Машей в учебнике. Однако практика пока зывает, что решение этих задач вызывает у большинства детей затруднения. Поэтому советуем учителю нарисовать на доске такие схемы:

Анализируя каждую схему, ученики обозначают на ней из вестные и неизвестные в задаче величины. После проведённой работы изображённые на доске схемы приобретают такой вид:

Комментируя каждую схему, шестиклассники отмечают, каким отрезком обозначена собственная скорость теплохода, каким — его скорость по течению реки, каким — скорость про тив течения реки.

Пользуясь схемой, большинство учащихся самостоятельно записывают решение задачи тем способом, который предложен в учебнике Машей.

Вполне возможно, что некоторые ребята запишут решение задачи другим способом.

Теперь можно открыть учебник и прокомментировать те спо собы решения задачи, которые предложены Мишей и Машей.

Задачу № 197 ученики решают самостоятельно двумя спо собами.

№ 198 обсуждается устно.

Урок можно дополнить заданием 72 из ТПО № 1.

На дом: задания 71, 73 из ТПО № 1.

§ 4. Дробные выражения 3 урока, задания 199— В результате изучения темы у школьников формируют ся представления о дробных выражениях, о способах их преоб разования и совершенствуются вычислительные умения и на выки.

УРОК 32. ЗАДАНИЯ 199, 200, 201 а), г), е), 202 д), з), 209 а), б), в) Цель. Познакомить шестиклассников с новым понятием «дробные выражения». Повторить правила действий с дробями и решение уравнений.

Методические рекомендации Рекомендуем начать урок с № 199, который большинство учащихся могут выполнить самостоятельно. Задание подготав ливает детей к восприятию нового понятия.

Предложенные учениками варианты выражений выносятся на доску. Затем школьники открывают учебник, выбирают те выражения, которые соответствуют условию, читают определе ние дробного выражения и следующий за ним авторский текст.

С № 200 организуется фронтальная работа. Учащиеся ком ментируют действия Миши и Маши. Они отмечают, что Миша записал частное в виде дроби, предварительно обыкновенную дробь представил в виде десятичной. Затем он умножил и чис литель, и знаменатель на 100, сократил полученную дробь на 3.

Далее Миша представил неправильную дробь в виде смешан ного числа, после чего записал результат в виде десятичной дроби.

Маша применила правило деления числа на обыкновенную дробь. В полученном дробном выражении она выполнила сокра щение, затем — умножение в числителе и записала результат.

Проведённое обсуждение служит подготовкой к работе с № 201.

Рекомендуем, прочитав задание, обсудить различные спо собы вычисления значений выражений.

Например, в пункте а) можно сначала воспользоваться основным свойством дроби, умножив числитель и знамена тель на 10 ------- = -----, затем сократить полученную дробь ----А можно сразу выполнить деление числителя на знаменатель, воспользовавшись правилом деления на десятичную дробь:

Второй способ будет рациональным.

В пункте г) необходимо сначала выполнить действие в чис лителе, затем в знаменателе, а потом разделить результат, полу ченный в числителе, на результат, полученный в знаменателе.

----------------------- = --------------------------- = ---------- ; 11,8 : 0,5 = 118 : 5 = 23,6.

нателе дробного выражения нужно производить вычисления в соответствии с правилами порядка выполнения действий.

№ 202 дети выполняют самостоятельно (в классе пункты а) — г), дома — пункты д) — з)).

Так же самостоятельно ученики могут записать решение уравнений № 209 г) — е), пользуясь правилами нахождения неизвестного компонента и действий с дробями.

Например:

Советуем в каждом уравнении записать корень в виде дроб ного выражения и, выполнив соответствующие преобразова ния, убедиться в том, что получится тот же результат.

Например:

Методические рекомендации x = ------------ ;

На дом: № 202 д) — з), 209 а) — в), задание 74 из ТПО № 1.

УРОК 33. ЗАДАНИЯ 203— Цель. Формировать умение выполнять преобразования дробных выражений.

В начале урока проверяется домашнее задание. Советуем вынести на доску запись корня каждого уравнения в виде дроб ного выражения и выполнить с ним необходимые преобразова ния.

Затем учащиеся самостоятельно находят сумму и разность дробей № 203 а) — в) и значения дробных выражений в № 204 а), б), в) и в № 205.

Преобразование дробных выражений является не только полезным вычислительным упражнением, но и создаёт условия для повторения и закрепления ранее изученных вопросов (ос новное свойство дроби, сокращение дробей, признаки дели мости и пр.).

№ 206 обсуждается фронтально.

В этот же урок советуем включить № 207 в), г), предва рительно обсудив способы действия Миши и Маши (с. учебника).

На дом: № 203 г) — и), 204 г), д), 208 а), б).

УРОК 34. ЗАДАНИЯ 210— Цель. Продолжить формирование умения выполнять дейст вия с дробными выражениями.

№ 210 рекомендуем вынести на доску и обсудить коллек тивно все возможные сокращения, при этом обыкновенные дроби в каждом пункте лучше записать в виде десятичных. На пример:

а) -----------------------------------------... -------------------------------------б) -----------------------------------------... -------------------------------------- Задание № 211 предупреждает типичную ошибку, которая обычно допускается школьниками при сокращении дробных выражений. Следует обсудить каждое дробное выражение и об ратить внимание на то, что сокращать можно только множите ли, так как сокращение — это деление числителя и знаменате ля на одно и то же число.

№ 213 лучше предложить для самостоятельной работы в парах: дети читают условие и обсуждают каждое из дробных выражений, после чего делают вывод. Одни могут заметить, что в первом дробном выражении (а)) и в числителе, и в знамена теле из 10,25 вычитают выражение, значение которого равно 0.

Другие, анализируя данное дробное выражение, обнаружат, что из 10,25 вычитают одинаковые выражения, в которых вы полняются одни и те же действия.

Комментируя пункт б), шестиклассники повторяют пере местительное свойство умножения, запись числа в эквивалент ной форме, запись обыкновенных дробей в виде десятичных (и наоборот).

В № 212 г) и № 214 г) сначала обсуждается способ дейст вия, затем ученики самостоятельно находят значение дробных выражений.

Ввиду того, что преобразование дробных выражений явля ется для учащихся трудоёмкой работой, учитель может распре делить эти упражнения во времени и включить их во все после дующие уроки.

Урок можно дополнить заданиями 75, 76 из ТПО № 1.

На дом: № 212 а) — в), № 214 а) — в).

Методические рекомендации УРОК 35. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № Цель. Проверить сформированность умений: округлять де сятичные дроби, записывать обыкновенные дроби в виде деся тичных, выполнять преобразования в дробных выражениях;

усвоение понятия «среднее арифметическое чисел».

Примерное содержание контрольной работы № 1. Округли числа 54,2874; 2,8469 а) до целых; б) до десятых;

в) до сотых; г) до тысячных.

2. Сравни десятичные дроби, поставив знаки <, > или =.

3. Сравни дроби, поставив знаки > или, < или =.

3. Сравни дроби, поставив знаки > или –22,3, но |–18,9| < |–22,3| или 3,7 > –15, но |3,7| < |–15|, так как модуль — это расстояние ….. и т. д.) В № 460 дети сами, без помощи учителя подчеркивают в каждой паре число, которое расположено правее на коорди натной прямой. Речь идет, конечно, о точке, соответствующей этому числу. Следует иметь в виду, что не все могут переклю читься с предыдущего задания на новое, и поэтому появляют ся ошибки. Чтобы предупредить их, советуем после чтения № 460 выяснить, в чем его отличие от № 459. (В № 459 надо выбрать число, у которого модуль больше, а в № 460 — выбрать в каждой паре большее число).

После проверки задания ученики изображают в тетради ко ординатную прямую и отмечают на ней точки, соответствую щие данным числам (в пунктах а), б), д), е)).

№ 461 обсуждается фронтально. Прав Миша. Надо отме тить 8 точек, так как | 3| = 3 и |–3| = 3 и т. д.

№ 462, 463, 464 обсуждаются устно, а потом дети выполняют записи в тетрадях. В № 462: x = – -- ; – -- = -- ;

противоположных чисел: 7 и –7; –36 и 36 и т. д. В № 464 вычи сляют значения выражений.

В урок можно включить задания 18 и 20 из ТПО № 2.

На дом: задания 18, 19 из ТПО № 2.

УРОК 2. ЗАДАНИЯ 465—474, Цель. Продолжить работу над усвоением понятия «модуль числа». Повторить ранее изученные вопросы.

После проверки домашнего задания устно выполняется № 465, в котором повторяются ранее изученные вопросы.

Выбор верного утверждения обосновывается ссылкой на определение модуля. Например, а) натуральные числа — это целые положительные числа. Каждое целое положительное число показывает, на каком расстоянии от начала отсчета оно находится на координатной прямой. Советуем начертить на до ске координатную прямую, на которой ребята отметят 5—6 то чек, соответствующих натуральным числам.

Утверждение б) неверное, так как целое число может быть как положительным, так и отрицательным. А модуль любого числа — всегда число положительное, так как это расстояние от данной точки до начала отсчета.

Полезно так же, как и в пункте а), отметить на координат ной прямой несколько целых чисел. Вывод: только модуль по ложительного числа и нуля, который является целым числом, равен этому числу.

Затем, ориентируясь на № 466, учитель предлагает открыть тетради, начертить координатную прямую, отметить на ней точку A (5) и точки B и C, равноудаленные от точки A (учебник закрыт), и записать их координаты. Различные варианты коор динат точек B и C выносятся на доску. При проверке учитель выясняет, на каком расстоянии от точки A находятся точки B и C. Ученики дают ответы в единичных отрезках. Например, возможен такой вариант: B (4); C (6). В этом случае точки B и C находятся на расстоянии одного единичного отрезка от точ ки A. Другой ученик предлагает такие координаты B (–3,5) и C (13,5). В этом случае точки B и C находятся от точки A на расстоянии 8,5 единичных отрезков.

Затем ученики открывают учебник и анализируют ответы Миши и Маши в № 466.

№ 467 выполняется устно. Правы и Миша, и Маша, так как лифт мог проехать 2 этажа вниз (ответ Миши), или 2 этажа вверх (ответ Маши).

№ 468. Деятельность учащихся советуем организовать так же, как в № 466. Напоминаем: учебник закрыт, учитель пред лагает начертить в тетради координатную прямую, отметить на ней точку A (–3) и точки K и M, равноудаленные от точки A, и записать модули координат этих точек.

Затем анализируются ответы Миши и Маши в № 468, и де лается вывод, что все способы выполнения этого задания запи сать нельзя, их бесконечно много.

№ 469 советуем обсудить фронтально и выполнить записи на доске.

Методические рекомендации Важно обратить внимание учащихся на то, что данными числовыми значениями следует заменять только букву (пере менную) a. Например:

Преобразуя запись – a = – (– (–1,4)), ученики могут рас суждать так: запишем число, противоположное –1,4, так как пе ред ним стоит знак «–», т.е. – (–1,4) = 1,4. Получаем –a = –1,4.

№ 470 также рекомендуем обсудить, выполнив записи на доске.

В этом задании, как и в предыдущем, надо обратить внима ние шестиклассников на то, что данными числовыми значе ниями следует заменить – a. Для этого можно a записать в ви де – (– a), так как число, противоположное – a равно a. Те перь можно подставлять вместо a числовые значения.

№ 471 а), б) учащиеся выполняют в тетрадях самостоя тельно. Проверяют полученные ответы. Если же возникают за труднения в оформлении записи решения уравнений, следует записать на доске: б) 3 · | x | + 2 · | y | = 3 · | 83,5| + 2 · | –46,3| = = 3 · 83,5 + 2 · 46,3 = 343,1.

№ 472 учащиеся выполняют самостоятельно в тетрадях.

Начертив координатную прямую, ребята отмечают на ней одну точку, так как: – -- = – -- = – --.

ют решение уравнений, которое выполнили Миша и Маша, и комментируют ошибку Маши. Она не учла, что | –4 | — число положительное.

Затем ученики самостоятельно выполняют № 475, отмечая галочкой в учебнике число, которое имеет наибольший модуль.

После проверки задания учитель может предложить детям на звать в каждом ряду наибольшее (наименьшее) число.

На дом: 471 в), г), 474, 476.

УРОКИ 3–5. ЗАДАНИЯ 477— Цель. Совершенствовать умение решать задачи. Повторить ранее изученный программный материал.

Примерное распределение заданий из учебника и из ТПО № 2 на эти уроки приведено в таблице:

УРОК 6. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № Цель. Проверить усвоение понятий «противоположные числа», «модуль числа», сформированность умений: отмечать точку с заданной координатой на координатной прямой, запи сывать координаты точек, отмеченных на координатной пря мой.

Примерное содержание контрольной работы № 1. Даны числа: 7 -- ; –3,5; – (–6); 4 -- ; –2. Запиши для каж 2. Начерти координатную прямую с единичным отрезком в 2 клетки. Отметь на ней точки: A (3,5); B (–3,5); C (–6);

3. Найди модуль каждого из чисел: –2; 24; –3,4; 0; –18. За пиши соответствующие равенства.

4. Найди значения выражений:

числами: – 4,2 и 3,8.

6. Запиши три:

а) целых положительных числа; б) целых отрицательных числа; в) дробных положительных числа; д) рациональ Методические рекомендации 7. Выполни запись без скобок: а) – (–8,2); б) – (+4,5);

1. Даны числа: 5 -- ; – (–4); –2,5; 3 -- ; 4,5. Запиши для каж 2. Начерти координатную прямую с единичным отрезком в 2 клетки. Отметь на ней точки: A (–2,5); B (4); C (2,5);

3. Найди модуль каждого из чисел: –2,8; 31; –7; 0; –5,6. За пиши соответствующие равенства.

4. Найди значения выражений:

числами: – 6,6 и 2,5.

6. Запиши три:

а) натуральных числа; б) целых числа; в) целых положи тельных числа; г) дробных отрицательных числа; д) ра циональных числа.

7. Выполни запись без скобок: а) – (+3,9); б) – (–6,4);

УРОК 7. АНАЛИЗ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.

РАБОТА НАД ОШИБКАМИ

Для проверки умения решать задачи рекомендуем провести самостоятельную работу, включив в нее 5 задач. Правильное решение всех пяти задач оценивается отметкой «5», четырех — «4», трех — «3».

Примерное содержание самостоятельной работы 1. В первый день турист прошел 12 км. Это составило 40% всего пути. Сколько километров осталось пройти туристу?

2. Из одного пункта в противоположных направлениях вы ехали два велосипедиста. Один ехал со скоростью 12 км/ч, что составило 60% от скорости второго велосипедиста.

На каком расстоянии друг от друга они будут через 2 ч?

3. Скорость моторной лодки в стоячей воде 24 км/м. Какое расстояние лодка пройдет за 3 ч по течению реки, если скорость течения реки 4 км/ч?

4. Пенсия бабушки 2700 р. Какова будет пенсия, если она повысится на 20%?

5. Зимой цена помидоров 90 р. Летом — на 80% меньше.

Какова цена помидоров летом?

Для проведения самостоятельной работы можно использо вать задачи из § 10 второй главы «Проверь себя! Чему ты на учился в шестом классе?»

§ 4. Сравнение рациональных чисел 6 уроков, задания 492— В результате изучения темы учащиеся уточняют имею щиеся у них представления о рациональных числах, о коорди натной прямой, о модуле числа; усваивают правило сравнения отрицательных чисел и приобретают опыт сравнения раци ональных чисел.

УРОК 8. ЗАДАНИЯ 492— Цель. Уточнить представления учащихся о рациональных числах и о расположении точек с заданными координатами на координатной прямой. Сформулировать правило сравнения отрицательных чисел.

№ 492 выполняется устно. Одни пары чисел ученики мо гут сравнить с помощью ранее усвоенных знаний, другие — с помощью координатной прямой, которая дана в учебнике.

Например, сравнивая числа в паре 3,87 и, они отмечают, что число 3,87 содержит целую часть, и если его записать в виде обыкновенной дроби, то это будет неправильная дробь, а -- — дробь правильная. А любая неправильная дробь больше, чем любая правильная.

Возможно и другое обоснование: достаточно сравнить це лые части данных дробей.

Сравнивая числа в пункте д), можно воспользоваться коор динатной прямой, где точка, которая находится правее, соот ветствует большему числу. Дети усвоили это правило, работая еще с координатным лучом, поэтому для большинства оно яв ляется основным ориентиром.

Пользуясь этим правилом, ученики самостоятельно выпол няют в тетрадях № 493, анализируя расположение точек на координатной прямой, которая дана в учебнике.

№ 494 лучше обсудить фронтально, изобразив на доске ко ординатные прямые с отмеченными точками. Например:

а) – -- и – -б) – ----- и – ----- в) – -- и – -- г) – -- и – ----- –4 -- и –3 -- При этом обязательно следует отметить дугой расстояние от данной точки до начала отсчета, показав тем самым модуль каждого числа.

Зная, что точка, которая находится на координатной пря мой правее, соответствует большему числу, ученики смогут са мостоятельно выполнить сравнение данных чисел:

Сравнив модули чисел в каждой паре, они делают вывод, что модуль большего отрицательного числа меньше модуля меньшего отрицательного числа.

При выполнении № 495, где во всех парах даны отрица тельные числа, которые легко сравнить, ориентируясь на их целые части.

Советуем не торопиться с формулировкой правила сравне ния отрицательных чисел. Важно, чтобы ученики сами сделали вывод не только о расположении точек, соответствующих дан ным числам на координатной прямой, но и об изображении на ней модулей этих чисел.

Тогда при выполнении № 496—498 они будут пользовать ся правилом сравнения отрицательных чисел с ориентировкой на понятие «модуль». (Меньшему отрицательному числу соответствует больший модуль).

Поэтому работа по усвоению правила сравнения отрица тельных чисел должна продолжаться при выполнении № 496—498. Например, приступая к № 496, полезно выяс нить, какое число среди данных будет наименьшим, то есть ка кое число будет расположено на координатной прямой левее всех данных чисел (–17).

— Теперь будем двигаться по координатной прямой впра во, — говорит учитель. — Какое следующее число из данных вы отметите на координатной прямой? (–11,5) Учащиеся могут от ветить на этот на вопрос по представлению, не изображая ко ординатную прямую.

Выписав отрицательные числа в порядке возрастания (–17;

–11,5; –6; –1) следует обратить внимание на их модули (у само го большого отрицательного числа самый маленький модуль).

Затем выписывается число 0 и положительные числа 0; 2,4;

18,1. Так как модуль положительного числа есть само это число, то большему положительному числу соответствует больший модуль.

Прежде чем выполнять № 498 советуем переформулиро вать задание, то есть вопрос: «Какое из двух чисел расположено левее на координатной прямой?» может выглядеть так: «Какое из двух чисел меньше?».

Отвечая на данный вопрос, ученики представляют располо жение точек на координатной прямой с данными координата ми. Важно, чтобы они понимали, что к понятию «модуль чис ла» целесообразно обращаться только при сравнении отрица тельных чисел (–700 или –700,5; –35,6 или –23). При сравнении отрицательного и положительного чисел «работает»

Методические рекомендации утверждение, что любое положительное число больше любого отрицательного. При сравнении положительных чисел тем бо лее можно не обращаться к понятию «модуль».

Советуем внимательно отнестись к № 499, при выполне нии которого учащиеся не только усваивают новый материал, но и повторяют (уточняют) ранее изученные понятия. Напри мер, в пункте а) необходимо уточнить, какие числа называют рациональными. Тогда для доказательства того, что данное ут верждение неверное, достаточно привести пример, в котором сравниваются два отрицательных числа (–9 < –1), где модуль меньшего числа больше модуля большего числа.

Таким же способом доказательства можно воспользоваться в пункте б), где утверждение тоже неверное. Для доказательст ва утверждения в пункте в) можно изобразить координатную прямую, где будет видно, что любое положительное число рас положено на ней правее нуля.

Аналогично можно доказать, что утверждение г) верное.

В пункте д) следует отметить, что модуль положительного числа равен этому числу. А то, что утверждение е) неверное, также можно доказать с помощью координатной прямой.

На дом: № 513 (при выполнении воспользоваться коорди натной прямой). Из ТПО № 2 задания 29, 30, 31.

УРОК 9. ЗАДАНИЯ 500— Цель. Создать дидактические условия для усвоения правила сравнения отрицательных чисел. Продолжить формирование умения сравнивать рациональные числа.

Для проверки домашнего задания № 513 советуем заранее заготовить на доске рисунки:

Ученики будут показывать на соответствующем рисунке числа, которые они записали в домашнем задании.

№ 500 (устно). а) 1; б) –1; в) назвать нельзя; г) назвать нельзя, так как координатную прямую можно продолжить вле во и вправо до бесконечности.

Рекомендуем предложить № 501 для самостоятельной ра боты. Учащиеся отмечают галочкой ту координатную прямую, которая соответствует данному условию. Правильное выполне ние задания будет свидетельствовать о понимании учениками изучаемых вопросов.

Методические рекомендации Результаты самостоятельной работы обсуждаются фрон тально с демонстрацией ответов на координатных прямых, ко торые учитель заранее изобразит на доске (верный ответ в)).

№ 502 позволяет также проверить представления учащихся о положительных и отрицательных числах и о расположении точек с соответствующими координатами на координатной прямой. Задание выполняется учениками самостоятельно в тетрадях, затем проверяется фронтально с помощью коорди натной прямой, изображенной на доске.

Аналогично организуется деятельность класса при выпол нении № 503, 504 а), в), д), 505 а), в), д), 507.

№ 506 а) — для самостоятельной работы с последующим обсуждением.

№ 508 выполняется устно. Рассуждения учащихся иллюст рируются на координатных прямых, заготовленных на доске.

В урок можно включить задания 32, 33, 34 из ТПО № 2.

На дом: № 504 б), г), е), 505 б), г), е), 506 б), в).

УРОК 10. ЗАДАНИЯ 509—512, 514— Цель. Продолжить формирование умения сравнивать раци ональные числа.

После проверки домашнего задания учащиеся самостоя тельно выполняют в тетрадях № 509 (3 й столбец). Для обо снования ответа они используют правило сравнения отрица тельных чисел, приведение дробей к общему знаменателю, правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями или с одинаковыми числителями, определение противоположных чисел.

Задание № 510 сначала обсуждается фронтально с выпол нением записей неравенств на доске. Например, пункт а):

Можно интерпретировать запись двойного неравенства на координатной прямой. Например:

Пункт б) учащиеся самостоятельно выполняют в тетрадях.

Если возникают трудности, они обращаются к координатной прямой.

№ 511 — самостоятельная работа в тетрадях. Для проверки используются координатные прямые. Их можно изобразить как в тетради, так и на доске.

№ 512 (устно). Для обоснования того, что утверждение в пункте а) неверное, достаточно воспользоваться контрприме Методические рекомендации ром ( -- > 0; то есть при х = -- неравенство х < 0 не выполняет модуль любого числа есть число положительное.

С № 514 ученики работают сами, без помощи учителя (от мечают галочкой в учебнике возможные ответы). Правиль ными будут ответы а) все данные числа целые, так как в виде дроби ----- записано целое число 8; а в виде дроби – -- — целое В № 515 данные числа нельзя назвать целыми положитель ными, т. к. -- и -- — дробные числа, а 0 — целое число; нельзя зя назвать целыми числами. Остается выбрать ответ «раци ональные числа».

№ 516 обсуждается фронтально. Ответы: а) – ----- можно на б) число –5 целое отрицательное; в) – ----- — дробное отрица Таким образом, данное число нельзя только назвать дроб ным положительным (г)).

№ 517 а), в), д) выполняется в тетрадях самостоятельно, а при проверке используется координатная прямая. Ответы к заданию № 517 ученики могут записывают в тетрадях в виде двойного неравенства. Это могут быть разные числа. Напри мер, в записи –1 < … < 3 это может быть:

• число дробное отрицательное: –1 < – -- < 3;

• число натуральное 1 или 2: –1 < 1 < 3; –1 < 2 < 3;

• число дробное положительное: –1 < 1 -- < 3.

ство, то в результате самостоятельной работы вариантов пра вильных ответов окажется много. Поэтому при проверке учи тель может задать детям такие вопросы:

• Кто вставил в запись –1 <... < 3 число 0?

• Дробное положительное число? (Ученики называют число.) • У кого другие дробные положительные числа?

• Кто вставил натуральное число?

• Дробное отрицательное число? И т. д.

Аналогично следует организовать работу и с № 518.

Пусть шестиклассники запишут самостоятельно в тетрадях все целые отрицательные значения, при которых выполняется неравенство | а | < 4.

Приступая к проверке самостоятельной работы, учитель сначала выясняет, сколько чисел записали дети. Должно быть записано три целых отрицательных числа –1; –2; –3. Ответ можно проверить на координатной прямой.

Урок и домашнюю работу можно дополнить 36, 35 из ТПО № 2.

На дом: № 509 (1 й и 2 й столбцы), 517 (2 й столбец), 519, 520.

УРОК 11. ЗАДАНИЯ 521— Цель. Сформировать у учащихся умение сравнивать модули рациональных чисел.

После проверки домашнего задания ребята выполняют № 521 самостоятельно в тетради. В пункте б) они могут либо расположить модули чисел в порядке возрастания, либо снача ла заменить каждый модуль положительным числом. Тогда в пунктах б) и в) будут записаны одинаковые числа.

№ 522 также выполняется самостоятельно. Если будут об наружены ошибки, целесообразно предложить детям найти точ ки, соответствующие данным числам на координатной прямой.

№ 523, 524 могут вызвать у некоторых учеников затрудне ния, если не была проведена достаточная работа на координат ной прямой. В этом случае учащиеся не имеют наглядного представления о модуле числа и в связи с этим не осознают, что модуль любого числа есть число положительное. Если же они усвоили это, то пункты а), б) в № 523 не должны оказать ся сложными, тем более что под знаком модуля в записи одно и то же число (оно обозначено в одном случае буквой x, а в дру гом случае буквой b).

• Утверждения а) и б) — верные.

Методические рекомендации • Утверждение в) — неверное. Для обоснования достаточно воспользоваться примером 2 > –7, но | 2 | < | –7|.

• Утверждение г) также неверное. Для обоснования ответа достаточно сравнить положительные числа: если 2 < 6, то • Утверждение д) — неверное. Здесь нужно сравнить отри цательные числа, если –7 < –5, то | –7| > | –5|.

• Утверждение е) — неверное. Для этого достаточно срав нить положительное и отрицательное числа: если 5 > –3, Аналогично обосновываются утверждения в № 524.

а) для любых рациональных чисел это утверждение невер ное, так как если 3 = | –3|, то 3 > –3.

б) неверное, так как если | –5| > | 3 |, то –5 < 3.

в) неверное, так как если –3 > –5, то | –3| < | –5|.

Работу с № 524 советуем продолжить, выяснив, для каких рациональных чисел могут выполняться утверждения а)—в).

№ 525 а), б) — для самостоятельной работы в тетрадях.

При проверке пункта а) учитель выясняет:

• Какое первое число записали в ряду? (4,8) • Есть ли другие положительные числа в ряду? (3,2 и 2,7) • Какое из этих чисел больше?

• Какое самое маленькое отрицательное число дано в ряду?

• Самое большое отрицательное число? (–1,5) Аналогично проверяется выполнение пункта б).

№ 526, № 527 — для самостоятельной работы в тетрадях.

При проверке № 526 ученики повторяют определение проти воположного числа.

В № 527 школьники подбирают корень уравнения и прове ряют полученное равенство.

Например:

б) –y = 12,5; – (–12,5) = 12,5; y = –12,5;

На дом: 525 в), г), задания 38, 39 из ТПО № 2.

УРОКИ 12—13. ЗАДАНИЯ 528— Цель. Создать дидактические условия для приобретения учащимися опыта в сравнении рациональных чисел; повторить ранее изученные понятия: «модуль числа», «противоположные числа».

На 12 м уроке после прочтения № 528 ученики изображают в тетрадях координатную прямую и отмечают на ней точки, со ответствующие числам (единичный отрезок каждый ученик вы бирает сам) –4,5; –1,5; 3. Затем на этой же координатной пря мой ребята отмечают точки, которые удалены от данных на единицы, и записывают их координаты (должно быть 6 точек).

Учитель наблюдает за работой шестиклассников, оказывая индивидуальную помощь. На доску выносится координатная прямая с точками A (–1,5); B (–4,5); C (3).

Точки, отстоящие от каждой данной на 2 единицы, также отмечаются на доске. Для активизации деятельности учащихся советуем к доске приглашать учеников, которые не до конца справились с заданием (например, в их тетради отмечена толь ко одна точка).

Обозначать получившиеся точки, координаты которых удовлетворяют условию, будем теми же буквами с индексом.

Учитель знакомит шестиклассников с такой записью, напри мер: B1 (–6,5) и B2 (–2,5); A1 (–3,5) и A2 (0,5); C1 (1) и C2 (5).

№ 529. Пункты а), б), в) выполняются самостоятельно.

При фронтальной проверке дети называют результат и фор мулируют определение модуля.

№ 530. Ученики записывают в тетрадях по 3 числа к каж дому пункту. При проверке выходят к доске и отмечают на коор динатной прямой точки, соответствующие выбранным числам.

№ 532. Рекомендуем сначала записать в виде обыкновенных дробей целые положительные числа. Проверяя работу, полезно обратить внимание детей на то, что в числителе должно быть записано число, кратное знаменателю. Действуя по аналогии, шестиклассники обычно справляются самостоятельно и с за писью целых отрицательных чисел в виде обыкновенных дробей. Тем не менее на данном этапе обучения советуем Методические рекомендации акцентировать их внимание на записи знака «минус» перед дробью (– ----- ; – ----- ).

В № 534 а) следует учесть, что в соответствии с требовани ем задания учащиеся сначала записывают:

а) данные числа в порядке убывания (8,7; 1; 0; – -- ; –1,4; В этом случае они используют имеющиеся у них пред ставления о расположении чисел на координатной прямой;

б) модули этих чисел в порядке убывания. В этом случае запись ряда чисел будет такой: | 8 |, | 7 |, | –3,4|, | –1,4|, | 1 |, – --, | 0 |.

ряд целых чисел, которые ему удовлетворяют (–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2). Полезно задать вопросы:

• Сколько целых чисел нужно записать? (8) • Сколько из них целых отрицательных? (5) • Сколько целых положительных? (2) Урок можно дополнить заданием 40 из ТПО № 2.

На дом: № 529 г) — е), 531, 533 б), 535.

На 13 м уроке деятельность учащихся при выполнении № 537—543 а) — г) организуется так же, как на предыдущем уроке.

На дом: № 540 в), г), 541 в), г), 543 д) — з).

§ 5. Сложение и вычитание рациональных чисел 12 уроков, задания 542— В результате изучения темы учащиеся усваивают • правила сложения рациональных чисел с одинаковыми и разными знаками;

• правило вычитания рациональных чисел;

• понятие «алгебраическая сумма» и форму ее записи;

• правило нахождения длин отрезков по координатам их • правила раскрытия скобок.

УРОК 14. ЗАДАНИЯ 544— Цель. Сформулировать правило сложения рациональных чисел с одинаковыми знаками, используя понятие «модуль числа».

Для постановки учебной задачи учитель может ориентиро ваться на задание № 544. Записав на доске пары выражений из этого задания, он обсуждает с учениками ответы на постав ленные вопросы. Если возникнут трудности, можно обратиться к диалогу Миши и Маши. В любом случае этот диалог следует прочитать, хотя вполне возможно, что учащиеся дадут пример но те же ответы и самостоятельно сформулируют правила, при веденные в учебнике на с. 124.

В дополнение к координатной прямой в качестве наглядно го пособия можно воспользоваться моделью термометра с под вижным стержнем, употребляя при демонстрации знакомую детям терминологию («температура повышается», «температу ра понижается»).

Положительные числа шестиклассники складывать умеют.

Поэтому следует рассмотреть как можно больше примеров сло жения отрицательных чисел.

Использование термометра с подвижным стержнем помога ет школьникам самостоятельно сделать обобщение. Например, учитель демонстрирует (с помощью термометра с подвижным стержнем или его модели) ситуацию: днем температура воздуха была –3°, а к вечеру она понизилась до –7°.

На доске выполняется запись: –3 + (–7)= –10. Рассмотрев 5—6 аналогичных ситуаций и выполнив соответствующие им записи, ученики пытаются сами сформулировать правило сло жения отрицательных чисел. На доске можно выполнить № 545, в тетрадях № 547. После чтения правила на с. 124 уче ники самостоятельно выполняют в тетрадях № 548 а), б).

На дом: № 546, 548 в), 549.

УРОК 15. ЗАДАНИЯ 550— Цель. Сформулировать правило сложения рациональных чисел с разными знаками.

Так же, как и на предыдущем уроке, использование термо метра с подвижным стержнем и изображение сложения чисел на координатной прямой помогает учащимся самостоятельно сделать обобщение.

Методические рекомендации Учитель предлагает различные ситуации, демонстрирует их на термометре, а дети записывают в тетрадях соответствующие равенства.

Желательно подбирать пары ситуаций, чтобы числа, полу ченные в результате сложения, были противоположными.

Например, ситуация а): утром температура была –1°, а днем она повысилась на 8°. Ученики выполняют в тетрадях запись: – 1 + (+8) = 7. Ситуация б): днем температура была +1°, а к вече ру она понизилась на 8°. Ученики сами демонстрируют ситуацию на модели термометра и выполняют запись 1 + (–8) = –7. Рас смотрев 4—5 подобных пар ситуаций и выполнив записи вида:

дети пытаются сами сформулировать правило сложения раци ональных чисел с разными знаками.

Пользуясь изображением сложения на координатной пря мой в № 550, учащиеся самостоятельно выполняют задание в тетрадях.

В № 551 и 552 они действуют также с помощью коорди натной прямой.

Справившись с заданием № 553, шестиклассники прихо дят к выводу о том, что сумма двух противоположных чисел равна нулю.

№ 555 обсуждается фронтально. Поясняя ответы в пунктах а), в), д), ж), ученики пользуются правилами сравнения раци ональных чисел, а в пунктах б), г), е), з) — правилами сложе ния рациональных чисел с одинаковыми и разными знаками.

№ 556 лучше сначала предложить учащимся для самостоя тельной работы, чтобы они отметили галочкой верные утверж дения, а после этого в процессе фронтальной беседы обоснова ли свой выбор. Мотивируя свой выбор в пунктах а), б), в), г), е), ж), школьники ссылаются на правило, приводят конкрет ные примеры, подтверждающие данные высказывания.

Для доказательства того, что утверждение д) неверное, ис пользуется контрпример 3 + (–7) = — 4.

Используя таблицу в № 557, ученики самостоятельно со ставляют равенства и записывают их в тетрадь. № 558 а) — г) для устной работы. При его выполнении учащиеся пользуются прикидкой, т. к. достаточно определить знак суммы.

Урок можно дополнить заданиями 41, 43 из ТПО № 2.

На дом: № 554, 558 д) — з).

УРОК 16. ЗАДАНИЯ 559— Цель. Создать школьникам дидактические условия для приобретения опыта в сложении рациональных чисел.

После проверки домашнего задания учащиеся сначала уст но выполняют № 559. Определяя знак каждой суммы, они от мечают, какие числа (с одинаковыми или разными знаками) складываются, сравнивают их модули и делают вывод относи тельно знака суммы. Например:

а) 0,785 + (–1,384); складываем числа с разными знаками;

модуль отрицательного числа больше, следовательно, значение суммы — число отрицательное;

б) (–0,7) + (–0,215); складываем числа с одинаковыми зна ками; нужно сложить их модули и поставить знак «–».

Затем шестиклассники самостоятельно записывают равен ства в тетради и выполняют вычисления (1 столбец).

№ 560 также сначала обсуждается фронтально. Сравнивая выражения в каждой паре (то есть пункте), дети отмечают, что слагаемые в каждой паре отличаются знаками, но модули их одинаковы. Значит, слагаемые в первой строке являются чис лами, противоположными слагаемым во второй строке. Поэто му, вычислив значения первого и второго выражений в каждой паре, получаем числа противоположные. Ученики выполняют самостоятельно вычисления, обмениваются тетрадями и про веряют друг у друга результаты.

В № 561 а)—е) требуется сложить отрицательные числа.

Учащиеся вычисляют их сумму, пользуясь правилом. Это мож но сделать по вариантам (1 й вариант — первый столбец, 2 й вариант — второй столбец), затем проверить ответы друг у друга. Фронтально обсуждается, какое слагаемое нужно заме нить противоположным числом так, чтобы сумма была поло жительной. Для обоснования ответа ученики пользуются пра вилом сложения чисел с разными знаками. Например, в сумме –4 + (–0,57) нужно первое слагаемой заменить числом 4, тогда, складывая числа с разными знаками, мы из модуля большего числа вычтем модуль меньшего числа и поставим знак числа, модуль которого больше, то есть получим число положитель ное. Ученики самостоятельно записывают в тетрадь новые вы ражения и вычисляют их значения.

Из № 562 в классе выполняются пункты а) — е).

Урок можно дополнить заданиями 44, 45 из ТПО № 2.

На дом: № 561 ж) — м), 562 ж) — м), 559 (2 столбец).

Методические рекомендации УРОК 17. ЗАДАНИЯ 563— Цель. Создать школьникам дидактические условия для приобретения опыта в сложении рациональных чисел.

После проверки домашнего задания учащиеся продолжают упражняться в сложении рациональных чисел, выполняя № 563 а) — е); 564 а), б); 565 а), б).

Для сравнения чисел в № 566 шестиклассники используют в пунктах:

а), б) основное свойство дроби;

в) утверждение о том, что любое отрицательное число мень ше положительного;

г) приведение к общему знаменателю.

После сравнения данных в задании чисел полезно продол жить с ними работу и, например, найти их сумму.

При выполнении задания № 567 следует иметь в виду, что возможны различные варианты ответа на пункты а) и б). Напри мер, отрицательной будет сумма чисел –30 и 5; 5 и –17; –30 и – 17; –28 и 5 и т. д. Положительной будет сумма чисел 32 и –17; и –5; 5 и 32. Сумма равна нулю при сложении противо полож ных чисел 5 и –5. После самостоятельной работы с этим задани ем школьники выписывают на доску равенства и обсуждают их.

Аналогично организуется деятельность учащихся при вы полнении № 568. Учащиеся самостоятельно записывают в тетрадях равенства, которые соответствуют пунктам а) 5 + 3 = 8;

б) –7 + (–2) = –9; в) –8 + 0 = –8; г) 9 + (– 9) = 0.

Урок можно дополнить заданиями 46, 47 из ТПО № 2.

На дом: № 563 ж) — и), 564 в), 565 в).

УРОК 18. ЗАДАНИЯ 572— Цель. Сформулировать правила вычитания рациональных чисел. Сформировать умение заменять вычитание рациональ ных чисел сложением.

Для подготовки учащихся к восприятию и пониманию пра вила вычитания рациональных чисел советуем выписать пары выражений:

а) – -- + (–5);

Как показывает практика, все ученики замечают, что в первом выражении выполняется сложение, а во втором — вычитание.

Помимо этого, некоторые дети замечают, что во втором вы ражении каждой пары вычитают число, противоположное вто рому слагаемому. Таким образом, ответ на первый вопрос № 572 не вызывает у школьников затруднений.

Проблема в том, как ответить на второй вопрос этого зада ния: «Верно ли утверждение, что значения выражений в каж дой паре одинаковы?» Возникает проблемная ситуация, для разрешения которой деятельность учащихся можно организо вать по разному.

1 й вариант. Можно выслушать предложения шестиклас сников. Если их не будет, учитель предлагает найти значения первых выражений в каждой паре. С этим ученики могут спра виться самостоятельно, т. к. они научились складывать отрица тельные числа. В тетрадях появляются записи:

— Давайте теперь предположим, что во втором выражении получились такие же результаты. Какие равенства мы запи шем? — обращается учитель к детям. В тетрадях появляются за писи:

— Как можно проверить, верно ли наше предположение?

Учитель может напомнить, что «пока мы умеем только складывать рациональные числа». Если никаких мнений не по ступит, то учитель сам предлагает прибавить к разности вычи таемое и спрашивает: «В каком случае мы можем утверждать, что записанные равенства верные?» (Если в результате сложе ния разности и вычитаемого получится уменьшаемое, значит, равенства верные.) В тетради появляются записи:

Методические рекомендации Дети подводят итог: мы получили уменьшаемое, значит, предположение было верным, значения выражений в каждой паре одинаковы.

— Какой вывод мы можем сделать в результате проделан ной работы? — спрашивает учитель.

Если ученики затрудняются, они открывают учебник на с. 131, где записано правило. (Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вы читаемому.) № 573 позволяет проверить, как учащиеся поняли новое для них правило замены вычитания сложением. Школьники выбирают (отмечают галочкой) пары выражений, в которых вычитание заменяется сложением. Учитель акцентирует их внимание 1) на замене знака действия; 2) на том, что в соответ ствии с правилом нужно прибавить противоположное число.

Например, в паре выражений пункта д) знак действия вычита ния поменяли на сложение, но прибавили то же число, не по меняв знак на противоположный. Аналогичная ситуация рас сматривается в пункте з).

При обсуждении № 574 а) — и) выясняется, что ставить знак «+» перед положительным числом необязательно: если число написано без знака, то оно положительное. Например, выражение в) 16 – 20,7 можно переписать так 16 – (+20,7); вы ражение г) 8,3 – 6,1 можно записать так 8,3 – (+6,1) и т. д.

Советуем выполнить эти записи на доске, т. к. они помогут шестиклассникам лучше понять правило замены вычитания сло жением при выполнении действий с рациональными числами.

В выражении –7,2 – 4,1 перед числом 4,1 стоит знак дей ствия вычитания, то есть из отрицательного числа вычитает ся положительное. Заменив вычитание сложением, запишем –7,2 + (– 4,1).

Заменяя в выражении 25 – (–12) вычитание сложением, можно выполнить запись 25 + 12 (мы складываем два положи тельных числа).

Если перед отрицательным числом стоит знак «–», то мы записываем число, ему противоположное, то есть – (–16) = 16.

В указанном выше задании ученики упражняются в замене вычитания сложением и затем вычисляют результат. Записи в тетрадях имеют вид:

а) 83,2 – (– 3,2) = 83,3 + 3,2 = 86,4;

в) 16 – 20,7 = 16 + (– 20,7) = – 4,7;

ж) –7,2 – 4,1 = –7,2 + (–4,1) = –11,3.

Каждую запись учащиеся комментируют: «Заменяем вычи тание сложением, меняем знак вычитаемого на противополож ный. Вычисляем результат».

При выполнении № 575 советуем использовать демонстра ционный термометр с подвижным стержнем. Наблюдая движе ние стержня, все дети дают правильный ответ «Температура повысилась на 12°».

После этого можно интерпретировать данную ситуацию на графической модели. Учащиеся чертят в тетрадях координат ную прямую и изображают на ней изменение температуры.

Затем обсуждается выражение 2 – (–10), обозначающее раз ность температур (той, которая стала, и той, которая была). За менив в этом выражении вычитание на сложение 2 + 10, школьники получают ответ (12), соотносят его с изображением на координатной прямой и делают вывод: температура повыси лась на 12°.

№ 576 также следует обсудить фронтально. Выбирая коор динатную прямую 2), соответствующую условию задания, уче ники обычно ориентируются на направление стрелки дуги (бы ла +5°, стала –3°). Значит, изменение температуры в виде раз ности нужно записать так: –3 – (+5).

Заменив сложение вычитанием, получаем –3 + (–5) = – 8, то есть температура понизилась на 8°.

Использование предметной (термометр) и графической (координатная прямая) моделей создает благоприятные дидак тические условия не только для понимания и усвоения опера ций, которые выполняются при вычитании рациональных чи сел (замена действия вычитания на сложение с числом, проти воположным вычитаемому), но и подготавливает учащихся к восприятию понятия «алгебраическая сумма».

Можно предложить ученикам выполнить № 576 самостоя тельно. Сначала они отметят в учебнике галочкой координат ную прямую, на которой изображено изменение температуры.

После обсуждения выбранной координатной прямой шести классники записывают в тетрадях изменение температуры в виде разности. Ответы учащихся, как верные, так и неверные, следует вынести на доску и проанализировать. Затем ребята са Методические рекомендации мостоятельно найдут значение разности, заменив вычитание сложением. Работу с заданием можно продолжить, предложив шестиклассникам описать ситуацию, изображенную на рис. в учебнике. (Ночью температура воздуха была –3°, а днем стала +5°. На сколько градусов изменилась температура?) Изменение температуры записывается в виде разности 5 – (–3) и вычисля ется значение этого выражения (5 + 3 = 8). Ответ: температура повысилась на 8°.

Если учитель считает необходимым, он может сам подгото вить аналогичные ситуации и обсудить их с учениками, ис пользуя демонстрационный термометр, координатную прямую и запись изменения температуры в виде разности. В зависи мости от состава класса на разъяснение смысла вычитания ра циональных чисел может уйти больше или меньше времени.

Учитывая это, в планировании даются два резервных урока.

Для ответа на вопрос № 577 достаточно привести конкрет ный пример. Пусть даны числа –2 и –7. Запишем разность этих чисел –2 – (–7). Вычислим значение разности, заменив вычи тание сложением –2 – (–7) = –2 + 7 = 5. Запишем сумму дан ных чисел –2 + (–7) = –9; 5 > – 9. Значит, разность двух раци ональных чисел может быть больше, чем их сумма.

№ 578. Разность двух рациональных чисел может быть больше уменьшаемого (–2 – (–9) = –2 + 9 = 7; 7 > –2.).

№ 579. Разность двух рациональных чисел может равнять ся уменьшаемому (–7 – 0 = –7; 8 – 0 = 8).

Для обоснования ответов в № 578—579 учащиеся записы вают в тетрадях по 2 3 равенства, которые соответствуют усло вию каждого задания. Советуем эти равенства вынести на до ску и обсудить.

№ 580 обсуждается сначала устно. Дети находят правило, по которому составлен каждый ряд:

а) каждое следующее число увеличивается на 3;

б) каждое следующее число увеличивается на -- ;

2 и т. д.;

г) ряд составлен по правилу: уменьшить на 4; увеличить на 3.

Затем ребята записывают в тетрадях данные ряды и продол жают каждый ряд еще на 3 числа.

№ 581. Сначала шестиклассники самостоятельно выпол няют в тетрадях пункты а), б), в); затем проверяют тетради друг у друга и фронтально обсуждают выявленные ошибки.

На дом: № 581 г) — м); 574 к) — п).

УРОК 19. ЗАДАНИЯ 582— Цель. Познакомить учащихся с понятием «алгебраическая сумма».

После проверки домашнего задания обсуждается № 583.

Учитель выясняет: — Чем похожи все уравнения? (В правой час ти уравнений 0, то есть сумма или разность двух чисел равны 0.) — Можно ли найти корни уравнений, не записывая их ре шения?

Предложения учащихся обсуждаются фронтально. Дети мо гут пользоваться способом подбора, подставляя число, которое в сумме с известным слагаемым дает 0. Выбор корня уравнения следует обосновать на координатной прямой. Например:

а) – 3,6 + a = 0; – 3,6 + 3,6 = 0; a = 3,6 (увеличиваем –3,6 на 3,6).

б) 7,8 – у = 0; 7,8 – 7,8 = 0; у = 7,8 (уменьшаем 7,8 на 7,8).

С точки зрения упражнений в сложении и вычитании раци ональных чисел (особенно отрицательных) и повторения пра вил о взаимосвязи компонентов и результатов действий сложе ния и вычитания, полезно выполнить и запись решения неко торых уравнений.

Например:

№ 584 учащиеся выполняют самостоятельно (1 й столбец) и проверяют результаты друг друга, обмениваясь тетрадями в парах.

Затем учитель предлагает записать в тетради сумму чисел (№ 582 а)). Одновременно выполняется запись на доске (учи тель вызывает к доске 2—3 учеников): –3,6 + 2,4 + (–8,4) + 0 + + (+3,6) + (–1,2).

Педагог может сам ввести определение нового понятия, но лучше, если дети прочитают его на с. 134 и запишут выражение на Методические рекомендации доске в виде алгебраической суммы: – 3,6 + 2,4 – 8,4 + 0 + 3,6 – – 1,2. После записи алгебраической суммы следует еще раз уточ нить, какие числа мы складываем. (–3,6; 2,4; –8,4; 0; 3,6; – 1,2) Какие из них положительные числа? Какие из них отрицатель ные? Важно, чтобы дети поняли, что знак, стоящий перед чис лом, относится к этому числу.

— На предыдущих уроках мы узнали, что для рациональных чисел выполняется переместительное и сочетательное свойства сложения. Как, используя эти свойства, можно найти значение данной суммы? — спрашивает учитель.

Предложения учащихся обсуждаются. Например, –3,6 и 3, противоположные числа, их сумма равна нулю, такие числа до говорились зачеркивать. Теперь можно сложить отрицательные числа (–8,4 – 1,2 = –9,6) и к полученному результату приба вить 2,4. Получаем –9,6 + 2,4 = –7,2.

№ 582 б) ученики записывают в виде алгебраической сум мы и вычисляют результат.

Затем приступают к фронтальному обсуждению № 585.

Ответ Миши отличается от ответа Маши тем, что Миша запи сал положительные числа без знака «+».

№ 586 (1 й столбец) и № 587 а), б), в) шестиклассники выполняют самостоятельно с последующей проверкой.

В этот же урок или в домашнюю работу включаются № 588, 589, а также № 49, 50, 51 из ТПО № 2.

На дом: № 582 в), г); 584 (2 столб.), 587 г), д), е).

УРОК 20. ЗАДАНИЯ 590— Цель. Научить шестиклассников записывать алгебраиче скую сумму и вычислять ее значение.

После проверки домашнего задания ученики выполняют самостоятельно в тетрадях № 590 по вариантам.

1 й вариант: а) — е), 2 й вариант: ж) — м).

Перед самостоятельной работой учащимся нужно прочи тать правило на с. 134 (вслух) и выбрать пункты задания, в ко торых сумма равна отрицательному числу (а), б), и т. д.), поло жительному числу (в), е)). Результаты самостоятельной работы проверяются в парах. Допущенные ошибки обсуждаются фронтально.

Начать обсуждение № 591 можно с вопроса: «Верно ли ут верждение, что значение всех сумм будет положительным чис лом?». Ученики анализируют каждое выражение, обращаясь к правилу сложения чисел с разными знаками, и делают вывод.

После этого вслух читается задание. Учитель выясняет, ка кие из слагаемых нужно заменить противоположным числом (положительные). Школьники записывают равенства в тетра дях. Проверка осуществляется фронтально.

В № 592 проверяется, как школьники усвоили правила сложения рациональных чисел и понятие «алгебраическая сум ма». Задание выполняется устно. Полезно задать шестиклас сникам такие вопросы:

• Какие числа складывают в первой строке пункта а)?

• Почему сумма в первой строке равна положительному • Какие числа складывают в третьей строке? (–75,6 и 128,3) • В каких строках пункта а) использовано переместитель ное свойство сложения?

Аналогично организуется деятельность учащихся при вы полнении пункта б). Важно, чтобы ученики поняли, что знак, стоящий перед числом, относится к этому числу, а с данными числами выполняется сложение.

№ 593 а), б) можно использовать для самостоятельной ра боты.

При выполнении № 594 а), в), д), ж) ученики повторяют разряды в десятичной системе счисления и правила сравнения рациональных чисел.

Например, а) 4,15 … 4,0152 (оба числа положительные, це лые части равны; сравниваем десятые: слева 1 десятая, справа десятых; ставим знак сравнения); в) –4,015 … –4,0152 (оба — числа отрицательные; чем больше модуль, тем меньше отрица тельное число. Уравняем количество знаков после запятой в каждой дроби, и запишем нуль в разряде десятитысячных чис ла (получим –4,0150); модуль числа –4,0150 меньше модуля числа –4,0152, значит, –4,015 > –4,0152).

№ 595 (1 й столбец) — самостоятельно в тетрадях. Предва рительно следует обсудить на доске пункт в) 1,6 – (–2) – (–8) – – (+5) и уточнить, что запись – (–2) означает, что нужно запи сать число, противоположное числу –2, то есть – (–2) = 2. За пись выражения 1,6 – (–2) – (–8) – (+5) в виде алгебраической суммы будет выглядеть так: 1,6 + 2 + 8 – 5.

В № 596 а), б) советуем воспользоваться переместительным свойством сложения и сначала упростить данное выражение:

Методические рекомендации 4,8 – х + 1,2 + у – 2,1 = 3,9 – х + у. Затем нужно подста вить вместо х и у их значения: 3,9 – 1,9 – 3 = –1.

№ 597 обсуждается фронтально. Назвав корень уравнения, учащиеся осуществляют устную проверку:

Если они испытывают затруднения, например, при выпол нении пункта б), то данное уравнение лучше записать в таком виде y + 17,2 = 0 (это можно сделать на доске).

Работу с № 598 можно организовать по вариантам.

1 й вариант: отметить галочкой в учебнике те выражения, значения которых будут положительными (ответы: а), г), е), и), к));

2 й вариант — те выражения, значения которых будут от рицательными (ответы б), в), д), ж), з)).

После фронтального обсуждения результатов шестиклас сники находят значения отмеченных выражений, записывая в тетради соответствующие равенства. Затем обмениваются ра ботами и проверяют друг друга в парах.

На дом: № 593 в), г); 594 б), г), е), з); 596 в), г).

УРОК 21. ЗАДАНИЯ 599— Цель. Сформировать умение находить длину отрезка на ко ординатной прямой.

После проверки домашней работы можно приступить к изучению нового материала.

Учитель изображает на доске координатную прямую, отмеча ет на ней две точки, например: а) A (–3); B (6); б) C (–8); D (1);

в) K (–9); M (–2) и спрашивает, чему равно расстояние между ними. Ученики легко справляются с этим заданием, подсчитав число единичных отрезков между точками.

— А если даны точки с координатами A (–174) и B (120), как найти расстояние между ними? — интересуется учитель.

Большинство детей справляются с этой конкретной задачей и обычно рассуждают так: точка A (–174) находится от начала отсчета на расстоянии 174 единичных отрезков, а точка B (120) находится от начала отсчета на расстоянии 120 единичных от резков. Чтобы найти расстояние между точками A и B, надо сложить расстояние от точки A до начала отсчета и расстояние от точки B до начала отсчета.

— Для данной конкретной задачи, — говорит учитель, — можно согласиться с предложенным способом, так как он при водит к правильному результату. А попробуйте рассуждать так же, если нужно найти расстояние между точкой A (500) и B (300).

Можно воспользоваться схемой:

Дети сами обнаруживают, что, складывая расстояния от од ной и другой точки до начала координат, они получат невер ный ответ, и предлагают из большей координаты вычесть меньшую (500 – 300 = 200).

Полезно выяснить, можно ли воспользоваться этим способом при нахождении расстояния между точками A (–174) и B (120).

120 – (–174) = 120 + 174 = Целесообразно рассмотреть пример, когда обе координаты отрицательные, и после этого познакомиться со способами, предложенными Мишей и Машей в № 599 и обсудить их, а за тем прочитать правило на с. 137 и выполнить упражнения, пользуясь правилом и рассуждая, как Маша.

Для самостоятельной работы на уроке рекомендуем № а), б), в); № 603 (1 й столбец), № 604 (1 й столбец).

При проверке результатов самостоятельной работы реко мендуем комментировать полученные результаты, ссылаясь на правила и определения.

На дом: № 598, 599 г), д), е; 604 (2 й столбец) УРОКИ 22—25. ЗАДАНИЯ 601— Цель. Совершенствовать умения складывать и вычитать ра циональные числа, записывать данные выражения в виде ал гебраической суммы, а также повторить ранее изученный мате риал.

На выполнение № 601—631 отводится 4 урока. Ориенти руясь на указанные номера и методические рекомендации, данные к предшествующим урокам, учитель планирует и орга низует работу учащихся.

Советуем в домашнюю работу включать задания (или пунк ты заданий), которые обсуждались на уроке.

Методические рекомендации Занятия можно дополнить решением текстовых задач из раздела: «Проверь себя! Чему ты научился в 6 м классе?» и за даниями 52—57 из ТПО № 2.

УРОК 26. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № Цель. Проверить усвоение понятий «противоположные числа», «модуль числа», сформированность умений сравни вать, складывать и вычитать рациональные числа, строить точ ки с заданными координатами на координатной прямой.

Примерное содержание контрольной работы № 1. Начерти координатную прямую с единичным отрезком в клетки. Отметь на ней точки, соответствующие: а) | 2,5 |;

2. Запиши число 3,7 в виде суммы: а) двух положительных чисел; б) положительного и отрицательного чисел.

3. Запиши данные числа в порядке убывания:

0,4; –1,7; –8; 6,4; –9,2; 13; 9,8; –5.

4. Запиши каждое выражение в виде алгебраической суммы и вычисли её значение:

б) –9 + (–14 + (–1,2) + 4,2 –(–20).

5. Вычисли:

6. Найди значения выражений:

7. Реши уравнения:

8. Сравни числа:

1. Начерти координатную прямую с единичным отрезком в 3 клетки. Отметь на ней точки, соответствующие: а) 3 -- ;

2. Запиши число 7,2 в виде суммы: а) двух положительных чисел; б) положительного и отрицательного чисел.

3. Запиши данные числа в порядке убывания:

0,2; –1,4; –9; 5,4; –8,7; 16; 10,7; –6.

4. Запиши каждое выражение в виде алгебраической суммы и вычисли её значение:

а) 8,5 + (–7) +9 – (–4) + (–5,6);

б) –10 + (–12) +(–2,1) + 0,1 – (–23).

5. Вычисли:

6. Найди значения выражений:

а) | –9,3| – 1,2 + | –4|;

7. Реши уравнения:

8. Сравни числа:

УРОК 27. АНАЛИЗ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ. РАБОТА

НАД ОШИБКАМИ

Методические рекомендации § 6. Умножение и деление рациональных чисел 12 уроков, задания 634— В результате изучения темы учащиеся:

• усваивают правила умножения рациональных чисел с одинаковыми и разными знаками, правила деления раци ональных чисел с одинаковыми и разными знаками, пра вила записи отрицательных обыкновенных дробей;

• уточняют представления о рациональных числах;

• повторяют ранее изученные понятия: «противоположные числа», «модуль», «взаимно обратные числа», правила ум ножения и деления обыкновенных и десятичных дробей, свойства умножения (переместительное, сочетательное, распределительное), степень числа и др.;

• приобретают опыт их использования при выполнении различных заданий.

УРОК 28. ЗАДАНИЯ 634— Цель. Познакомить учащихся с правилами умножения ра циональных чисел.

Урок можно начать с самостоятельной работы в форме ма тематического диктанта. Учитель предупреждает, что во время диктанта не нужно выполнять вычисления. Надо только запи сывать требуемые выражения, одно под другим, четко соблю дая нумерацию. Педагог диктует: «Запишите выражением:

1) произведение двух натуральных чисел;

2) произведение целого отрицательного на целое положи 3) произведение двух положительных обыкновенных дробей;

4) произведение положительной и отрицательной дроби;

5) произведение целого положительного числа на 1; на 0;

6) произведение положительной дроби на 1; на 0;

7) произведение целого отрицательного числа на 1; на 0;

8) произведение отрицательной дроби на 1; на 0;

9) произведение двух целых отрицательных чисел;

10) произведение двух дробных отрицательных чисел».

Результаты математического диктанта проверяются фрон тально.

Дети читают записанные в тетрадях выражения, некоторые из них переносятся на доску: 1) 5 · 4, 12 · 3, 8 · 11 и т. д.; 2) –5 · 6, –13 · 8 и т. д.; 3) -- · --, -- · --, ----- · ----- и т. д.

мы уже умеем вычислять?» Вполне возможно, что некоторые ученики найдут значения во всех десяти пунктах. (Прочитали правило в учебнике или узнали об этом у родителей и т.д.) Можно обсудить, в каком классе они научились вычислять значения тех или иных выражений. Например: 1) в начальной школе; 2) в пятом классе; 3) в начальной школе и т.д. «Какие случаи умножения еще не рассматривали в школе?»

Шестиклассники отвечают, на доске обводятся номера 2, 4, 8, 9, 10. Полезно задать и такой вопрос: «Как называются чис ла, которые использовались при записи выражений?» (Раци ональные числа.) «Сегодня мы познакомимся с правилами умножения раци ональных чисел», — сообщает педагог.

Ребята открывают учебники на с. 142 и читают первое пра вило: «При умножении рациональных чисел произведение двух чисел одного знака положительно, а произведение двух чисел разных знаков — отрицательно».

Для понимания этого правила следует опять возвратиться к записям на доске, начав с известных детям случаев умноже ния 1), 3), 5), 6), а затем перейти к случаям 2), 4), 9), 10) и про анализировать их с точки зрения прочитанного правила. (Учеб ники закрыты.) — Давайте попробуем сформулировать это правило для ум ножения двух отрицательных чисел, используя понятие «мо дуль», — предлагает учитель.

В результате обсуждения формулируется правило: «Произ ведение двух отрицательных чисел …. и т. д.»

— Теперь попытаемся сформулировать это правило умноже ния для чисел с разными знаками, используя понятие «модуль».

После обсуждения предложенных формулировок учащиеся открывают учебник и читают второе и третье правила на с. 142.

— Применим сформулированные правила к вычислению произведений.

№ 634 выполняется устно. Ученики читают выражение, комментируют каждое число в нем и называют результат. На пример, а) 8 · 7, 8 и 7 имеют одинаковые знаки, это целые по ложительные (натуральные) числа, перемножаем их модули;

Методические рекомендации -- · –-- — первый множитель — положительное дробное чис - ло, второй — отрицательное дробное число. Множители имеют разные знаки; записываем в результате знак «минус» и перем ножаем модули множителей. Пункт б) школьники самостоя тельно записывают в тетрадях, результаты проверяются фрон тально.

Аналогично организуется работа с № 635 Рекомендуем вы нести на доску пункты в) (–2)3 · 32... 0; и е) (–4)2 · 23... 0, так как они могут вызвать затруднения у детей. При обсуждении рекомендуем выполнить на доске такие записи: в) (–2) · (–2) · · (–2) · 3 · 3... 0; е) (–4) · (–4) · 2 · 2 · 2... 0, вспомнить определе ние степени числа (5 й класс, с. 95; произведение a · a... a, в котором n множителей, можно записать в виде выражения an) и обратить внимание учащихся на то, что «a» может быть как положительным, так и отрицательным.

№ 636 сначала обсуждается фронтально. Дети самостоя тельно отмечают галочкой выражения, соответствующие усло вию задания, и комментируют их. Обычно ни у кого не вызы вает сомнения знак в пункте а), так как слева число положи тельное, а справа — отрицательное.

Все остальные случаи требуют более сложных рассуждений.

Например, в пункте б) слева и справа получаем отрицательные числа; из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, поэтому надо провести рассуждения, не обращая вни мания на знаки: слева от числа –6 -- находят -- часть, то есть оно чем модуль левого выражения. Значит, –6 -- · -- > –6 -- · 1 --.

е). В пункте г) возможно сравнить выражения, пользуясь прикидкой результата. Если же ученики испытывают труд ности в проведении рассуждений, они вычисляют значения выражений слева и справа и сравнивают полученные результаты.

Из № 637 рекомендуем выполнить и обсудить в классе пункты ж), з), и). На этом же уроке прочитать правила (с. 143) и записать значения выражений, которые связаны с подобны ми случаями умножения (задания 58, 59, 60 из ТПО № 2).

Если времени не хватит, можно работу с № 637 ж), з), и), 638 а) — и) и чтение правил перенести на следующий урок, учитывая резервные уроки, указанные в планировании.

На дом: № 634 в), 636 д), е) — вычислить значения выраже ний, 637 а) — е), 638 к) — м).

УРОК 29. ЗАДАНИЯ 639— Цель. Создать дидактические условия для усвоения шести классниками правила умножения рациональных чисел.

Обращаем внимание учителя на то, что ранее изученный материал учащиеся повторяют в процессе изучения нового.

Система заданий, предложенных в учебнике, способствует ор ганизации такого повторения.

После фронтальной проверки домашнего задания устно вы полняется № 639 Советуем напомнить детям о возможности использования переместительного и сочетательного свойств умножения. Например:

а) (–12) · (–7) · (–4) · 5,2 · 2,8 < 0; в) –2 · (–1,4) · (–3,7) · (–6) > 0.

В случае необходимости можно оформить эти записи на доске.

№ 640 — для устной работы.

№ 641 а), в), д) — для письменной самостоятельной рабо ты с последующей фронтальной проверкой.

№ 642 — для самостоятельного выполнения, после которо го полученные результаты комментируются. Например: а) меж ду числами –11 и –7 расположены целые числа –10, –9, –8.

Запись в тетрадях –10 · (–9) · (–8) = –720.

При выполнении № 643 а), б), в) учащиеся повторяют по нятия «алгебраическая сумма» и «степень числа». Пояснение может быть таким: а) в скобках дана сумма отрицательных чи сел, поэтому результат будет отрицательным, при умножении чисел с одинаковыми знаками получаем положительное число, ставим знак «>».

По усмотрению учителя значения выражений, записанных в неравенстве слева, можно вычислить.

Методические рекомендации № 644 — самостоятельная работа в тетрадях. Варианты вы носятся на доску и обсуждаются.

В урок можно включить задания 61, 62 из ТПО № 2.

На дом: № 641 б), г), е), 643 г), д), е) — вычислить значения выражений, 645.

УРОК 30. ЗАДАНИЯ 646— Цель. Создать дидактические условия для усвоения шести классниками правила умножения рациональных чисел и по вторения свойств умножения.

При выполнении № 646 повторяются правила умножения десятичных дробей на 10, 100, сложения чисел с разными зна ками и сложения отрицательных чисел. Задание выполняется в тетрадях самостоятельно, затем обсуждается. В пункте г) к каждому предыдущему числу прибавляется –2:

1,4 + (–2) = –0,6; –0,6 + (–2) = –2,6; –2,6 + (–2) = –4,6.

В № 647 повторяется правило умножения десятичных дро бей на 10, на 100, на 1000. Школьники приобретают опыт умно жения чисел с разными и одинаковыми знаками.

№ 648 учащиеся выполняют самостоятельно, отмечая га лочкой верные высказывания. В процессе фронтального об суждения они обосновывают свой выбор. Например: а) это верное высказывание, при обосновании ученики ссылаются на правило: «Чтобы сложить числа с одинаковыми знаками, надо сложить их модули, и перед полученным результатом поста вить их общий знак» (с. 124).

При обсуждении результатов самостоятельной работы сле дует не только пояснять, почему высказывание является вер ным, но и доказывать, почему то или иное высказывание — не верное. Способом доказательства в этом случае является контрпример. Например, в пункте г) достаточно привести при мер произведения двух чисел различных знаков и, пользуясь правилом умножения рациональных чисел, найти результат, который всегда меньше нуля (–5 · 4 = – 20). В пункте д) доста точно привести пример суммы чисел разных знаков, которая больше нуля (–2 + 5 = 3). Числовые равенства к верным выска зываниям дети могут составить дома.

В № 649 учащиеся повторяют определения противополож ных и обратных чисел. Учитель может дополнить задание, предложив ребятам найти сумму и произведение двух (трех, че тырех) чисел или разность двух чисел.

На этом же уроке внимание шестиклассников акцентирует ся на том, что умножение рациональных чисел обладает пере местительным, сочетательным и распределительным свойства ми (правила на с. 145). Ученики вспоминают формулировку свойств и самостоятельно выполняют в тетрадях № 650, 651, 652, делая необходимые записи и вычисляя значения некото рых выражений по указанию учителя. Эту работу можно про должить дома.

Из ТПО № 2 рекомендуем задания 63, 64, 65.

На дом: № 650 в), г), 651 д), е), 652 в), г).

УРОК 31. ЗАДАНИЯ 653— Цель. Сформировать умение вычислять значения выраже ний с рациональными числами.

После проверки домашнего задания учащиеся самостоя тельно выполняют в тетрадях № 653 а), в), д), ж). Рекоменду ем обсудить форму записи, используя для этой цели запись пункта на доске. Не лишне напомнить учащимся, что знак «–»

(минус), стоящий перед числом, относится к этому числу, так как при записи числовых выражений мы пользуемся алгебраи ческой суммой.

Работая в тетрадях, ученики могут вычислять значения вы ражений, как устно, так и письменно, записывая промежуточ ные результаты непосредственно над выражением: Например, пункт ж):

1) (6,5 – 3,7) · (–4) = –11,2.

2) 6,5 · (–4) – 3,7 · (–4) = –11,2.

Советуем вынести запись 2) на доску и обсудить, предста вив ее в таком виде:

а) 6,5 · (–4) + (–3,7) · (–4);

б) –26 + 14,8;

в) 6,5 · (–4) – 3,7 · (–4);

г) –26 – (–14,8);

д) –26 + 14,8.

Важно, чтобы учащиеся понимали, что записи а) и в) иден тичны, то есть мы можем поставить между произведениями знак «+» (запись а)) и показать, что знак «–» принадлежит чис лу 3,7. А можем не писать знака «+» (запись в)), то есть рас Методические рекомендации сматривать выражение в) как разность двух произведений 6,5 · (–4) и 3,7 · (–4). Тогда в пункте г) мы запишем разность чисел –26 и –14,8. Воспользовавшись правилом: «Чтобы из од ного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому (с. 131)», получим за пись д).

С пунктами б), г), е), з) учащиеся выполняют дома анало гичную работу.

Таблицу из № 654 заранее заготавливаем на доске, и уче ники коллективно заполняют её, наблюдая и обсуждая законо мерность расположения чисел в таблице (разности a – b и b – a являются противоположными числами).

№ 655 используется для доказательства переместительного свойства умножения. Задание обсуждается фронтально. Затем одно выражение каждой пары записывается в тетрадях, и дети самостоятельно вычисляют результат, повторяя правила сло жения рациональных чисел.

№ 656 обсуждается фронтально. Выражение г) выносим на доску –(–(–(–2,3 · 0,1))).

Учащиеся комментируют: произведение –2,3 · 0,1 — отри цательное, перед ним стоит знак «–», значит, надо записать число, ему противоположное, то есть со знаком «+». Но перед этим положительным числом стоит минус, значит, противопо ложное число будет отрицательным. А перед этим числом опять стоит «минус». Значит, результат будет положительным.

Ответ: 0,23.

№ 657, 658 для самостоятельной работы с последующим обсуждением, в котором принимает участие весь класс.

Рекомендуем дополнить урок заданиями 66, 67, 68 из ТПО № 2.

На дом: № 653 б), г), е, з, 658 б), в).

УРОК 32. ЗАДАНИЯ 659— Цель. Познакомить учащихся с правилами деления раци ональных чисел. Создать дидактические условия для понима ния и приобретения опыта в вычислении значений выражений, содержащих деление рациональных чисел.

После проверки домашнего задания учитель предлагает де тям № 659 (учебники закрыты). Учащиеся вспоминают прави ла умножения рациональных чисел. Записывают соответствую щие им равенства. Можно открыть учебники на с. 142, где при ведены эти правила.

Обобщая высказывания детей, учитель напоминает им о том, что разделить число «a» на число «b», значит найти такое число «c», которое при умножении на «b» даст число «a».

Советуем выполнить на доске запись a : b = c и расставить соответствующие знаки.

№ 660 а) — е) школьники выполняют самостоятельно в тетрадях. Важно обратить их внимание на последовательность выполняемых операций:

1) сначала надо определить знак результата;

2) затем разделить модуль делимого на модуль делителя.

Результаты самостоятельной работы проверяются фрон тально или ученики обмениваются тетрадями и проверяют ра боты друг друга.

Аналогично организуется деятельность учащихся при вы полнении № 662 б), в).

После чтения № 663 шестиклассники сначала анализиру ют пары выражений, выбирают и отмечают галочкой ответы на поставленный вопрос, затем эти ответы обсуждаются фрон тально. Правильные ответы: а), в), г), д).

Пункт б) не подходит, т. к. во втором выражении первой и третьей пары делимое больше делителя. Зачем ученики анали зируют ответы Миши, который записал частное в виде дроби, и ответы Маши, которая считает, что значения выражений в каждой паре одинаковы. Отвечая на вопрос: «Как рассуждала Маша?», учащиеся отмечают, что в первой и второй дробях числители и знаменатели имеют разные знаки, поэтому перед дробью можно поставить знак минус –--.

часть правила на с. 149. Поэтому рекомендуем записать на до ске дробь – -- и, следуя правилу, поменять в ней знаки:

а) перед дробью и в числителе, получим ----- ;

б) перед дробью и в знаменателе, получим -----.

понял новое правило. Поэтому лучше, если в этом задании они сначала самостоятельно отметят пары равных дробей. Пра вильные ответы:

а) Знак поменяли в числителе и в знаменателе, дробь ----- не Дроби не равны.

д) Знак поменяли перед дробью и в числителе: – ----- = -- = --.

теле. Дроби не равны.

В урок можно включить задания 74, 75, 76 из ТПО № 2.

На дом: № 660 ж) — м), 661, 662 а).

УРОК 33. ЗАДАНИЯ 665— Цель. Создать дидактические условия для приобретения детьми опыта в замене знака в отрицательной дроби.

После проверки домашней работы задания а), б), в), г) № 665 выносятся на доску и обсуждаются фронтально.

а) 3 + ----- = 3 – -- = 2 -- (знак поменяли перед дробью и б) 3 + ----- = 3 – -- = 2 -- (знак поменяли перед дробью и в) 3 – ----- = 3 + -- = 3 -- (знак поменяли перед дробью и г) 3 – ----- = 3 + -- = 3 -- (знак поменяли перед дробью и Пункты д), з) выполняются в тетрадях самостоятельно.

№ 666. Ученики самостоятельно отмечают галочкой рав ные дроби. Результаты работы обсуждаются. Ответы учащихся лучше вынести на доску. Обосновывая свой выбор, они прого варивают правило, данное на с. 149.

Аналогично организуется деятельность класса при выпол нении № 668, 669, 670.

В задании № 671 ученики упражняются в сложении и деле нии рациональных чисел и выполняют преобразования полу ченных дробей, пользуясь правилом на с. 149, а также повторя ют ранее изученные вопросы: запись неправильной дроби в ви де смешанного числа, деление десятичных дробей.

Например:

а) ---------------- = ----- = –1;

е) ------------------------- = ----- = -- = 3 -- и т. д.

В урок можно включить задания 77, 78, 80 из ТПО № 2.

На дом: № 667, 665 и) — м), 671 ж) — м).

УРОКИ 34—37. ЗАДАНИЯ 672— Цель. Создать условия для приобретения детьми опыта вы полнения действий с рациональными числами.

На работу с указанными выше заданиями отводится урока. Рекомендуем выполнение каждого задания начинать с самостоятельной работы учащихся. Это позволит выяснить, как ученики усвоили материал, какие вопросы вызывают у них затруднения, на чём следует акцентировать их внимание при обсуждении результатов самостоятельной работы.

Методические рекомендации Советуем задавать на дом только те номера заданий, кото рые обсуждались в классе. Для этого часть пунктов, данных в задании, включается в классную работу, а остальные — в до машнюю.

Подбирая задания к уроку, следует ориентироваться на их последовательность в учебнике, выполняя на каждом уроке не более шести номеров. Продумывая организацию деятельности учащихся, учитель может пользоваться методическими реко мендациями, данными к предшествующим урокам.

На с. 154 приводится правило записи рационального числа в виде дроби, для понимания которого нужно выполнить № 693, 694.

УРОК 38. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № Цель. Проверить сформированность умений выполнять действия с рациональными числами.

Примерное содержание контрольной работы № 1.Выполни умножение:

а) –2,5 · 4 + 3 · (–8); б) 72 : (–9) – (–5);

4. Запиши каждое из чисел –7,8 и 3 -- в виде суммы двух сла 5. Вычисли: а) ------------------ ; б) – -- + --.

телей; б) трех множителей.

7. Запиши число –0,2 в виде частного двух чисел.

8. Найди значения выражений:

1.Выполни умножение:

3. Найди значение выражений:

а) (–120) : (–6) + 36 : (–12); б) –0,03 · 400 + (–4,8) : (–8);

в) –2,9 · 0 – (–75,2) + 0,2.

4. Запиши каждое из чисел 7,5 и –4 -- в виде суммы двух 5. Вычисли: а) --------------------- ; б) ------------------.

телей; б) трех множителей.

7. Запиши число –0,4 в виде частного двух чисел.

8. Найди значения выражений:

- УРОК 39. АНАЛИЗ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ. РАБОТА

НАД ОШИБКАМИ

§ 7. Преобразование числовых и буквенных выражений 9 уроков, задания № 698— В результате изучения темы учащиеся овладевают уме ниями упрощать числовые и буквенные выражения, пользуясь правилами раскрытия скобок, свойствами сложения и умноже ния рациональных чисел, приведением подобных слагаемых.

Методические рекомендации УРОК 40. ЗАДАНИЯ 698— Цель. Познакомить учащихся с правилами раскрытия ско бок в алгебраической сумме.

При выполнении заданий № 698, 699 школьники повто ряют известные им способы преобразования числовых выраже ний, в основе которых лежат понятия «противоположное чис ло» и «алгебраическая сумма».

№ 698 обсуждается фронтально. Дети поясняют, что пока зывает знак «–», стоящий перед скобкой (надо записать число, противоположное числу –18,3, поэтому без скобки запишем число 18,3).

При работе с № 699 учитель предлагает выполнить устно, например: д), е), ж), з), и), л). Остальные выражения записы ваются в тетрадь в виде алгебраической суммы и вычисляются их значения. При фронтальной проверке комментируются только те выражения, в которых допущены ошибки.

Дальнейшую работу учитель организует, ориентируясь на задание № 700. Рекомендуем выписать на доске 3—4 выраже ния из № 700 (например: а), г), д), е) и выяснить: чем похожи выражения в каждой паре? Чем отличаются? Чему равно значе ние каждого выражения? Учащиеся обобщают результаты на блюдений и делают вывод: «Если в алгебраической сумме перед скобками стоит знак +, то скобки можно убрать».

Учитель ставит перед классом вопрос: «Можно ли действо вать так же, если в алгебраической сумме перед скобками стоит знак «–» (минус)?». Ученики высказывают свои предположе ния, пытаются обосновать и проверить их на конкретных при мерах. После этого можно открыть учебник и прочитать диалог Миши и Маши (с. 156), а также правила раскрытия скобок.

№ 701 обсуждается устно с целью проверить, поняли ли учащиеся приведенные выше правила.

№ 702 а) — г), 703 а) — в), 704 а), б) выполняются в тет радях с последующей проверкой. Лучше, если проверка резуль татов самостоятельной работы будет осуществляться поэтапно, через каждые 2—3 выражения. Учащиеся, справившиеся рань ше других с заданием, могут выписать ответы на доску.

Оформляя работу в тетрадях, школьники переписывают данные в учебнике выражения, преобразуют их и находят резуль тат. Например: –99,8 + (17 – 19,2) = –99,8 + 17 – 19,2 = –102.