«ПРОВАЛЫ И ОСЕДАНИЕ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В КАРСТОВЫХ РАЙОНАХ: МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗ ...»

Это явление положено в основу одного из методов крепления массивов подработанных пород [263]. В таком случае вертикальное давление в основании мощной толщи может возрасти вплоть до значений, определяемых весом грунта внутри области ADB (рис. 4.7, б). Тогда на единицу длины карстового рва или трещины приходится давление:

В районах, где мощность покровной толщи невелика, провальный процесс легко проявляется на земной поверхности и поддается изучению прямыми инженерногеологическими и геофизическими методами. Сами эти районы, как отмечалось в разделе 2.5, опасны «по определению» и требуют выполнения защитных мероприятий или вообще не подлежат хозяйственному освоению. Поэтому с точки зрения разработки детерминированных моделей провалов наибольший интерес представляют районы достаточно глубокого залегания закарстованных пород. Для случая h/а >> ctg(/2) уравнение (4.9) заметно упрощается:

Безразмерные напряжения Кz, посчитанные по формулам (4.9), (4.15), приведены в табл. 4.2. Они хорошо отражают известную тенденцию роста опорного давления с увеличением прочности пород () и глубины залегания ослабленного участка (h) и не противоречат данным натурных и модельных измерений [2, 3, 31, 114, 213, 288, 291]. В широком диапазоне прочности (0° 45°) значения /2 в радианах и sin(/2) совпадают с точностью до 0.01 (табл. 4.2). Поэтому для несвязных грунтов выражения (4.9) и (4.15) приводятся к виду:

Если, следуя М.М. Протодьяконову (1933), рассматривать коэффициент внутреннего трения как коэффициент крепости горных пород, в котором фиктивное значение угла * учитывает сцепление пород и величину геостатического давления (см. раздел 3.2), то полученные выше формулы можно использовать не только для сыпучих грунтов. Так, в текучих глинах или плывунах (* 0°) разгружающий и выпадающий своды согласно (4.16), (4.17) вырождаются, и Кz = 1, как если бы полость находилась на дне водоема. В абсолютно твердом теле (* = 90°) высота зон обрушения и разгрузки одинакова (b1 = b2), однако первая имеет форму конуса, вторая – полусферы радиусом b2 = а. При этом наибольшее опорное давление равно Кz = 1.9. В песках ( = 28–36°) при h >> b2 Kz = 1.25– 1.32. (табл. 4.2).

Таблица 4.2. Зависимость коэффициента концентрации вертикальных напряжений (Кz) на кромке полости от угла внутреннего трения грунтов () Для примера, максимальный коэффициент концентрации тангенциальных напряжений на стенках круглой горизонтальной выработки глубокого заложения для случая = 0.25 согласно точному решению теории упругости составляет Кz = 2.75 [115, 291]. Коэффициентом распора = 0.25 обладают твердые и полутвердые глины с коэффициентом Пуассона µ = 0.2, а также пески с углом внутреннего трения = 36.9°, если они находятся в активном ренкиновском состоянии. Основываясь на данных работы [291], можно сделать вывод, что в боках эллиптического выреза с большой полуосью b = 2a, ориентированной по вертикальной оси, опорное давление для этого случая примерно равно Кz = 1.6. Таким образом, значения Kz = 1.25–1.32 вполне соответствуют реальной концентрации напряжений на кромках полости, перекрытой несвязными грунтами ( = 28–36°). Учитывая, что в настоящее время для сечений сложной формы напряжения не могут быть представлены в виде замкнутой системы уравнений [115, 291], и их вычисляют с помощью функций напряжений [187], о которых упоминалось в разделе 2.1, полученные выше результаты, по-видимому, интересны не только с практической, но и теоретической точки зрения.

В заключение заметим, что предложенная модель сводообразования хорошо отражает и тот факт, что с увеличением относительной высоты b/a опорное давление, чрезвычайно опасное для устойчивого состояния массива, уменьшается. А так как в основу модели положены синергетические принципы, то и управляют этой опасностью, как показывает табл. 4.2, сами грунты. Они, будто сообразуясь со своей прочностью (), мощностью (h) и внешними условиями, которые в данном случае сводятся к появлению карстовой полости (выреза с пролетом 2a), создают в окрестности полости наиболее приемлемые для них динамические структуры. Под воздействием приложенных к ним сил эти структуры изменяются в ходе провалообразования, меняя в свою очередь направление и величину действующих усилий.

4.3. Свод обрушения в капиллярно-влажных песках В разделе 4.1 показано, что крупные устойчивые полости в зоне аэрации песчаной экспериментальных данных. Такой анализ может быть выполнен на основании результатов, полученных в разделах 2.4, 4.2.

Логично предположить, что не только в сухих, но и в капиллярно-влажных песках высота зоны разгрузки определяется углом внутреннего трения как основным показателем прочности несвязных грунтов и находится из выражения (4.4): b2 = аctg(/2).

Возникающая у песка связность препятствует проскальзыванию частиц в вершине разгружающего свода ADB и тем более вдоль приуроченных к ней поверхностей DA, DB зоны опорного давления (см. рис. 2.18). При этом единственно возможный путь развития процесса – образование разрывных нарушений внутри ADB.

Действительно, из экспериментов следует, что в слое влажных песков над полостью (рис. 4.8, а) или областью истечения водонасыщенных песков (рис. 4.8, б) появляется субгоризонтальная трещина отрыва. Она ограничивает высоту зоны полных сдвижений, которая формируется в результате сдвиговых деформаций на кромках полости или области истечения. Рост этой трещины, или щели в зоне аэрации (3, 4 на рис. 4.8, б, в), как отмечалось в разделе 4.1, приводит к провалам земной поверхности (рис. 4.8, г).

Рис. 4.8. Образование горизонтальной трещины 1 над промежуточной полостью 2 в крупнозернистых песках (а), рост щели 3, формирование сводообразной полости 4 и “цилиндрического” провала 5 над областью истечения 6 мелкозернистых песков (б, в, г).

Дополнительные обозначения: 7 – жесткое основание, 8 – экранирующий пласт, 9 – кровля «коренных пород», 10 – область выноса и аккумуляции песка, Н – уровень воды в установках моделирования.

Рис. 4.9. Схема к расчету высоты свода обрушения (b1) в слое влажных песков и эпюра вертикальных напряжений (z) по оси пролета отверстия (b2 – высота зоны разгрузки напряжений).

Анализ напряженного состояния показывает, что по осевой линии ниже разгружающей поверхности грунты испытывают только растяжение (рис. 4.9).

Растяжению противостоит прочность влажных песков на разрыв Ср. Чтобы найти стрелу подъема свода обрушения b1, запишем уравнение равновесия осевого столбика высотой находящегося под действием собственного веса = g и сил сцепления (рис. 4.9):

Подставляя в (4.18) значение b2 = aсtg(/2) из (4.4) получаем:

Условие (4.19) хорошо отражает увеличение крутизны выпадающего свода (b1/а = ctg(/2) Cp/a) с ростом ширины полости-приемника. Применительно к сухим пескам этот эффект обсуждался в предыдущем разделе. Видно также, что b1 < 0, если a < Cptg(/2)/, то есть при достаточно малых значениях пролета карстовой полости подошва перекрывающего слоя останется плоской, даже если к ней приложить дополнительное растягивающее усилие. Иными словами, при таком условии грунт обладает некоторым запасом устойчивости. Если же a >> Cptg(/2)/, то b1 b2. В этом случае сцепление не способно блокировать разрушение верхней части разгружающего свода, и в капиллярновлажных песках будет формироваться сужающийся или трубообразный канал, подобный тому, что образуется в несвязных грунтах плотного сложения (см. рис. 4.1, а; 4.3, 9).

Количественное отличие заключается лишь в меньшей интенсивности процесса, а качественное – в периодическом появлении и схлопывании субгоризонтальных трещин или сводообразных промежуточных полостей, абсолютные отметки которых все увеличиваются, а их глубина от земной поверхности соответственно уменьшается.

Между указанными выше значениями радиуса полости-приемника (R = а Cptg(/2)/, R = а >> Cptg(/2)/) в слое влажных песков будут наблюдаться устойчивые своды обрушения. В первом приближении можно считать, что условие a >> Cptg(/2)/ выполняется, если a = 10Cptg(/2)/.

Поскольку пролет промежуточных полостей в капиллярно-влажных песках не превышает диаметра ослабленного участка или канала течения водонасыщенных песков (рис. 4.1, а; 4.2, б; 4.8), то эти полости будут устойчивыми, если их полуширина, равная полуширине полости-приемника или канала истечения, находится в интервале:

В чистых влажных песках Ср 1 кПа, 2104 Н/м3, 30°, поэтому для них этот интервал составляет: а = 0.01 0.13 м. Но, даже принимая в качестве верхнего предела а = 100·Cptg(/2)/, видим, что пролет суффозионной полости не должен превышать 2.68 м.

Таким образом, размеры устойчивых полостей в несвязных грунтах изменяются от первых сантиметров до первых дециметров, максимум до 1–3 м. Примерно такой же вывод сделан в разделе 4.1 только на основании общих положений теории подобия и анализа размерностей. Понятно, что ширина полости в пылеватых или глинистых песках будет больше. Оценить предельные значения ее пролета в каждом конкретном случае можно с помощью выражения (4.20).

Неустойчивость сводообразных трещин или суффозионных полостей в зоне аэрации (4, рис. 4.1, а; 9, рис. 4.2; 2, 4, рис. 4.8) обусловлена еще и тем, что зоной ослабления массива в данном случае является канал течения песков ниже уровня грунтовых вод. Его диаметр в отличие от пролета карстовой полости нельзя считать неизменным даже в самом первом приближении. Встречая компетентный пласт, роль которого может играть зона аэрации, “труба” течения будет расширяться, поэтому провал, скорее всего, обязательно произойдет, тем более что для этого, как следует из выражений (4.19) и (4.20), не требуется существенного увеличения диаметра канала и, следовательно, выноса большого количества материала.

Здесь мы сталкиваемся с еще одной очень важной проблемой. Поскольку процесс обрушения сам по себе достаточно быстрый, а несвязные грунты в принципе неустойчивы, то время и сама возможность его проявления на земной поверхности зависят главным образом от того, способны ли закарстованные отложения принимать и накапливать обломочный материал. Эта способность, или аккумуляционная емкость растворимых пород, упоминавшаяся ранее, является одним из основных, если не главным, условием образования провалов. Подробно этот вопрос обсуждается в разделе 5.6.

4.4. Влияние локальной восходящей фильтрации на развитие массовой В разделе 4.1 отмечалось, что процесс деформирования водонасыщенных песков над полостью приобретает весьма любопытные особенности, если пьезометрический уровень трещинно-карстовых вод H0 находится выше уровня грунтовых вод H (см. рис. 4.1, в). По данным работы [295] этот процесс развивается и при равенстве уровней (H0 = H).

Нетрудно показать, что он может иметь место даже тогда, когда их положение свидетельствует о нисходящей фильтрации (H0 < H). Парадокс объясняется напряженным состоянием грунтовой толщи в окрестности ослабленного участка.

Пусть в основании песчаной толщи залегает слабо деформированный глинистый пласт, бронирующий карстовую полость, и массив характеризуется нисходящей фильтрацией, возникающей вследствие не очень большой разности напоров: Н = Н Н0 0. Поровое давление для этого случая отражает линия 1 на рис. 4.10. Если по какойлибо причине экранирующий слой над полостью внезапно разрушается, то в перекрывающей толще возникают зоны опорного давления и разгрузки напряжений, внутри которых грунты испытывают соответственно сжатие и растяжение (см. рис. 2.18).

Причем наибольших значений растягивающие напряжения достигают в подошве толщи.

Согласно теории К. Терцаги [59, 273, 358] дополнительная сжимающая нагрузка, приложенная к водонасыщенному грунту, в первую очередь воспринимается поровой водой. Очевидно, то же самое будет происходить, если нагрузка растягивающая. Разница заключается лишь в том, что вода не отжимается, а поступает в образец грунта или некоторую область массива пород. Эта область, расположена непосредственно над окном в водоупоре и, как показано в предыдущих главах, имеет форму купола (3, рис. 4.10).

Внутри нее давление воды от вершины к основанию резко уменьшается (2, рис. 4.10), а на контактной поверхности может быть даже отрицательным (ниже атмосферного).

Рис. 4.10. Распределение порового давления по оси карстовой полости до (1) и после (2) образования “окна” в слабопроницаемом слое и схема формирования локального фильтрационного потока и разрушения песчаной толщи: 3 – зона разгрузки напряжений, – растущая полость или перемещающаяся вверх щель, 5, 6 – границы неустойчивой полости и области внезапного разжижения грунта. Стрелками показано направление локального потока подземных вод, размер стрелок отражает интенсивность фильтрации.

Начинается локальная фильтрация по направлению к зоне разгрузки, наиболее интенсивная в подошве песков. Это объясняется не только исходным распределением напряжений в окрестности ослабленного участка, которое сильно зависит от соотношения мощности покровной толщи и радиуса карстовой полости h/R, а также от коэффициента бокового давления песков (см. раздел 2.1), но и тем обстоятельством, что со стороны открытой полости вода не встречает сопротивления движению. Поэтому при определенных значениях h/R, и H восходящий поток может оказаться намного сильнее нисходящего потока.

Направленное вверх гидродинамическое давление временно удерживает свод от обрушения. Только после выравнивания напоров в пограничном слое частицы грунта, слагающие этот слой, оседаюn [100], а в грунтовой толще в зависимости от скорости поступления песка в трещинно-карстовые коллекторы появляется полость или щель (4, рис. 4.10; 7, 8, рис. 4.1, в). Эксперименты свидетельствуют о том, что ширина этой полости или щели увеличивается [295]. То же самое следует и из схемы, показанной на рис. 4.10. После того как частицы некоторого элементарного слоя опустились на дно карстовой полости или исчезли в трещинно-поровом пространстве растворимых пород, реакция опоры, которую временно заменяло гидродинамическое давление, действует уже на уровне кровли первичной полости (4, рис. 4.7). Образуется новый разгружающий свод, приуроченный не к отверстию в водоупоре, а к кромкам этой полости, и процесс повторяется. В данном случае потеря опоры, в отличие от вибрационного разжижения [43, 44], обусловлена не динамическим воздействием, а возникновением карстовой или суффозионной полости. Вероятно поэтому, а также потому, что зерна грунта (элементарные слои) постепенно снизу вверх отделяются от подошвы песчаного слоя, этот процесс, как отмечалось, назван М.Н. Гольдштейном ползучим разжижением [44]. В работах [295, 296] показано, что он может играть главную роль в потере устойчивости закарстованных территорий при снижении уровня грунтовых и повышении напора карстовых вод.

С точки зрения физики явления рассматриваемый процесс представляет собой гравитационное оседание песчаных зерен в воде, несколько осложненное фильтрацией и дилатансионными эффектами. Последние заключаются в том, что над полостью песок разрыхляется, а около ее кромок, возможно, уплотняется. Это приводит к уменьшению градиентов порового давления [100]. Следовательно, несмотря на всё увеличивающиеся размеры перевернутой конической полости, локальный восходящий поток подземных вод становится слабее.

В зависимости от объема вынесенного материала рост промежуточной полости может прекратиться или инициировать цепное, по терминологии М.Н. Гольдштейна [64], разжижение вышележащих грунтов. В первом случае формируются эллиптические или каплеобразные зоны разуплотнения (10 на рис. 4.1, в), аналогичные тем, что наблюдаются при выпуске воздушно-сухих песков. Во втором – направленное вверх гидродинамическое давление, или частичная “реакция опоры”, не способно удержать грунт от обрушения, если полость достигает критического пролета (5, рис. 4.10). В этот момент давление от веса вышележащих песков передается на воду, ее пьезометрический уровень подскакивает, и происходит внезапное разжижение всего “столба” вышележащих водонасыщенных пород (6, рис. 4.10; 9 рис. 4.1, в). После разрушения наблюдатель зафиксирует вертикальный канал течения песков, нижняя часть которого сходится по направлению к отверстию под углом, близким к углу откоса песков под водой. Таким образом, особенности механизма процесса отражаются и на морфологии его подземных проявлений.

Из сказанного выше следует, что возникновение и рост щели или конической полости имеют практическое значение при условно мгновенном разрушении экранирующего слоя или кровли карстовой полости. В противном случае поровое давление, вызванное изменением напряженного состояния песчаной толщи в окрестности ослабленного участка, рассеивается, и массовая суффозия в таких условиях мало отличается от гравитационного истечения сыпучих грунтов. В этой связи большой интерес для оценки устойчивости закарстованных территорий представляет процесс, развивающийся над уже существующими участками ослабления массива при подъеме уровня подземных вод, который характерен для урбанизированных территорий и районов рекультивации подработанных массивов.

4.5. Разрушение несвязных грунтов при подъеме уровня подземных вод Обращает на себя внимание расчетная модель В.П. Хоменко [296], в основу которой положен механизм процесса, наблюдающегося на физических моделях влажной песчаной толщи при восстановлении напора карстовых вод. На рис. 4.11 видно, что этот процесс развивается снизу вверх в форме сменяющих друг друга конических заполненных и параболических незаполненных водой полостей. Важно, что для его развития достаточно образования лишь первичной конической полости высотой s1 и, следовательно, поступления очень небольшого объема песка в трещинно-поровое пространство подстилающих отложений. При образовании последующих конических полостей имеет место переупаковка частиц грунта в результате его ползучего разжижения. Поэтому объем каждой конической полости превышает объем предшествующей параболической полости во столько раз, во сколько раз естественная пористость песков превышает их пористость после уплотнения, которая принимается равной 26 %.

Рис. 4.11. Модель закрытого фильтрационного разрушения восходящим потоком (по В.П.

Хоменко, 2003): о – угол откоса песков под водой; s, r – высота и радиус заполненных водой конических полостей (слева), формирование которых предшествует обрушению сводов (справа); R – радиус подземного или поверхностного проявления процесса (в зависимости от соотношения мощности покровной толщи и величины напора трещиннокарстовых вод).

Из равенства объемов каждой пары сменяющих друг друга полостей следует, что изменение их размеров подчиняется геометрической прогрессии и выражается формулами:

M = si = {[1.79 {e0/(e0 + 1)}1/3]n 1}(r1 a)tgо/{1.79[e0/(e0 + 1)]1/3 1}, (4.23) коэффициент исходной пористости. Остальные обозначения показаны на где e рис. 4.11. Совместное решение уравнений (4.22), (4.23) при условии, что величина пролета карстовой полости пренебрежимо мала (а m [296].

Пусть покровная толща целиком сложена песками, мощность которых не намного больше величины пьезометрического уровня (h H), так как в случае, когда h >> H, процесс, развивающийся над точечным отверстием, скорее всего не отразится на земной поверхности. Учитывая, что e0/(e0 + 1) = n0, перепишем уравнение (4.24) в виде откуда следует, что R = Н, если Поскольку пористость песков чаще всего лежит в пределах 35–45 % [72, с. 628], примем в качестве среднего значения n0 = 0.4. Тогда из выражения (4.25) получаем, что R = Н, если о = 30.4°. Обычно подводный угол откоса песков о < 30.4°, поэтому R > Н. Например, при о = 28° и Н = 5–20 м, радиус провала на земной поверхности согласно (4.24а) составит R = 5.5–22.1 м. Таким образом, общий диаметр карстово-суффозионной воронки для рассмотренного случая (M = H, h H, n0 = 0.4) должен превышать мощность покровной более чем в два раза.

Заметим, что полученные выше значения Dв = 2R характеризуют ширину лишь центральной, собственно провальной, части воронки (Dв1 на рис. 2.19 раздела 2.4; см.

также рис. 4.1, б, в). С учетом формирования боковых клиньев, угол наклона которых к горизонту в самом первом приближении равен /4 + /2, диаметр воронки при h > H будет еще больше: Dв2 = Dв1 + 2(h H)tg(/4 /2). Но и полученное выше значение Dв > 2h, учитывая, что пролет отверстия 2a 1; См = Сн/l 0; н = м) толщ исходные условия подобия выполнялись автоматически.

Однако, как показано в разделе 4.3, пролет ослабленного участка в подошве влажного натурного слоя не может быть меньше 0.1–3 м, а градиент вертикальной фильтрации в водонасыщенном массиве должен быть близок к нулю. В противном случае подобие нарушается в результате сводообразования или влияния гидродинамических сил.

Методика и результаты выпуска воздушно-сухих материалов Опыты проводились в двух цилиндрических емкостях из плексигласа с внутренними размерами 6.117.4 см и 12.224 см. Съемные днища емкостей – это железные пластины толщиной 0.9 мм с круглыми центральными отверстиями разного диаметра D, снабженные специальными задвижками. Модели укладывались из песка и дроби послойно с трамбовкой или насыпью. Соответственно средняя плотность как частное от деления веса уложенного материала на занимаемый им объем была близка к максимальному или минимальному значениям, указанным в табл. 5.1. Мощность осесиметричных моделей h превышала диаметр отверстия D в 10–63 раза (h/D = 10–63).

Таблица 5.1. Состав и свойства материалов воздушно-сухих моделей Характеристика Гранулометрический состав Физико-механические свойства Дробь чугунная, окатанная Песок кварцевый, 0.63–0.4 1. и угловатый 0.2–0.16 22. Примечания: di – размер фракций, a – содержание, d50 – средний диаметр, s – плотность частиц, d – плотность укладки (скелета), n – пористость, о – угол естественного откоса (над чертой – min max, под чертой – ср), Кн = d60/d10 – коэффициент неоднородности.

Материал выпускался порциями, взвешивался и рассчитывался весовой расход (Q).

Замечено, что уменьшение времени выпуска до 0.2–0.6 с приводит к увеличению расхода на несколько процентов (до 10 % для малых отверстий), что объясняется влиянием веса частиц, лежащих в отверстии между поверхностью задвижки и подошвой слоя, на общий вес высыпавшегося материала. Поэтому отверстие открывалось на 1–30 секунд и более в зависимости от вида опыта и стадии процесса. В моделях с отверстиями 0.5 см и 0.7 см после каждого выпуска измерялись также деформации поверхности, по которым строились ее профили и вычислялись скорости оседания в центре (v1) и по краям (v2) воронки. В некоторых опытах малый цилиндр закрывался сверху герметичной крышкой, препятствующей поступлению воздуха. Так моделировалось разрежение воздуха, которое возникает в песчаном слое, залегающем не с поверхности, а на глубине.

Опыты показали, что время выпуска, за которое процесс деформирования достигает кровли слоя сыпучего материала, зависит от его безразмерной мощности и плотности. В моделях одинаковой мощности с переходом от наибольших значений плотности к наименьшим оно увеличивается в несколько раз (в 10–50 раз для h/D = 30–63). Форма проявления процесса на дневной поверхности также определяется этими показателями. В мощных специально утрамбованных и насыпных слоях регистрируются соответственно блюдцевидные понижения, диаметр которых в 3–5 раз больше диаметра отверстия, и плоскопараллельное опускание всей поверхности. Иногда перемещению последней предшествует едва заметная просадка ее центральной части. Воронка, как правило, коническая возникает в рыхлых слоях мощностью h/D 12–16.

Замечен пульсирующий характер истечения песка из малых отверстий. В работе [123] пульсация струи объясняется эжектирующими свойствами мелкодисперсных сыпучих тел. И действительно, при выпуске песка из моделей рыхлого сложения, проведенном без доступа воздуха к их дневной поверхности, расход уменьшался на 20– 40 %. В плотных слоях течение через отверстия диаметром 0.3 и 0.5 см вообще прекращалось на неопределенное время, затем возобновлялось и так вплоть до образования воронки.

На расход дроби эти граничные условия практически не влияли. Устойчивое уменьшение скорости истечения из отверстия диаметром 0.5 см не превышало 0.1 г/с и находилось в пределах экспериментального разброса значений. При D > 0.5 см не удалось обнаружить никаких изменений расхода дроби во времени.

Таким образом, подтверждается вывод [123, 364] о существенном влиянии встречного воздушного потока на движение относительно легких, мелких частиц. Вместе с тем опыты свидетельствуют о быстром рассеянии избыточного давления воздуха и уменьшении его влияния над достаточно большими отверстиями. Следует ожидать, что воздействие локального восходящего потока подземных вод как следствие перепада давлений вблизи ослабленного участка (см. раздел 4.4) будет более сильным, поскольку у воды плотность и вязкость намного больше, чем у воздуха.

На рис. 5.1 видно, что хорошо известное постоянство расхода сыпучего материала нарушается в начале и в конце выпуска. В это же время изменяются и скорости оседания поверхности, что отражается на форме воронки. Слабый подъем средней части этих кривых для песка обусловлен уменьшением мощности слоя и увеличением его газопроницаемости.

Рис. 5.1. Характерные кривые выпуска дроби (а) и песка (б) из моделей плотного сложения: t – время, Q – весовой расход, v - скорость оседания поверхности в центре (1) и по краям (2) воронки, h/D – безразмерная мощность слоя (D – диаметр выпускного отверстия).

Появившаяся в начальной стадии неустановившегося движения плотно уложенного материала блюдцеобразная воронка растет в глубину и в ширину, сохраняя форму или осыпаясь и становясь конической (v1 >> v2, рис. 5.1). Затем (v1 v2) она “застывает” и смещается вниз одновременно с прилегающими плоскими участками поверхности, если ее края не достигают стенок установки. На этой стадии начинается скольжение ранее неподвижных частиц по стенкам. Оно постепенно распространяется сверху вниз до определенной глубины, которая зависит от соотношения диаметров отверстия и емкости.

Скорость этого движения возрастает, но в любой момент времени на низких отметках она меньше, чем на высоких. При этом на поверхности слоя у стенок формируется кольцевое понижение, глубина которого увеличивается до 1 мм, а ширина при d50 = 0.85 мм достигает 2–5 мм.

В моделях из дроби замечено появление вакансий в скользящем по стенкам контактном слое. Создается впечатление, что отдельные частицы затягиваются от стенки вглубь модели, оставляя после себя дырку, которая вскоре схлопывается.

Начиная с мощности h/D = 11 ± 1, расход несколько уменьшается, воронка растет в глубину (v1 > v2, рис. 5.1) и приобретает “суффозионные” очертания с характерным увеличением уклона стенок к центру воронки. В интервале h/D = 5 ± 1 – 2 ± 0.5 скорости v1 и v2 изменяются незначительно, сильно отличаясь по величине, расход заметно увеличивается. В центре воронки часто появляется “клюв”, после чего ее профиль становится параболическим. Затем Q и v падают, а выпуск продолжается очень короткое время только за счет осыпания крутых бортов воронки (рис. 5.1). Если посмотреть на воронку сверху после того, как истечение прекратилось, то видно, что дно у кромки отверстия выступает из-под сыпучего тела на ширину, примерно равную 1d. Эта обнаженная кайма очень неровная, там, где наблюдается скопление более крупных частиц, она шире и наоборот. Местами она вообще пропадает под нависающими зернами.

Таблица 5.2. Зависимость расхода дроби (Д) и песка (П) от диаметра выпускного отверстия (D) Примечания: над чертой – QminQmax, под чертой – Qср; Г – грамм силы.

Кривые изменения расхода, мощности и скорости оседания поверхности при выпуске песка и дроби из моделей рыхлого сложения напоминают те, что показаны на рис. 5.1, только время неустановившегося движения, как и колебания Q и v на этой стадии, для насыпных слоев в 2–3 раза меньше. Кроме того, появление воронки, а следовательно, и разветвление кривых скорости и мощности, регистрируется на более высоких отметках мощности (h/D = 14 ± 2), чем ее рост в специально уплотненных моделях (h/D = 11 ± 1, рис. 5.1). Тем не менее, на стадии установившегося течения (Q const) расход сыпучего материала не зависит от его исходной плотности. Он определяется только размером выпускного отверстия (табл. 5.2).

Относительный объемный расход, или отношение плотности движущейся среды к плотности составляющих ее частиц может служить мерой сыпучести материала. Тогда, судя по цифрам, приведенным в последнем столбце табл. 5.2, песок является более сыпучим телом, чем дробь, хотя угол его откоса больше. Однако устойчивое уменьшение Qпотн/Qдотн с увеличением D свидетельствует о том, что дело здесь не столько в свойствах материалов, сколько в упоминавшемся эжектировании. Так как высота емкости в опытах не меняется, то мощность слоя h/D с ростом D уменьшается, а его газопроницаемость увеличивается. При этом влияние восходящего потока воздуха ослабевает, и в отличие от дроби, для которой пневматические эффекты не существенны, расход песка возрастает.

Методика и результаты выпуска водонасыщенного песка Гравитационное истечение в условиях полного насыщения водой изучалось на моделях мощностью h/D = 6.5–20.4, приготовленных из песка. Гранулометрический состав и свойства использовавшегося песка приведены в табл. 5.3.

Таблица 5.3. Состав и свойства материала водонасыщенных моделей характеристика Песок кварцевый, 0.4 – 0.315 4. полуокатанный 0.16 – 0.1 11. Примечания: c, в – угол естественного откоса песка в воздушно-сухом состоянии и под водой соответственно, Кф – коэффициент фильтрации. Остальные обозначения прежние (см. табл. 5.1).

Все модели укладывались насыпью и характеризовались невысокими средними значениями плотности скелета d = 1.40–1.52 г/см3, чтобы по возможности исключить влияние дилатации и сократить время неустановившегося движения, когда расход скачкообразно меняется. Рабочий цилиндр 1 помещался в заполненный водой стеклянный бак 5 (рис. 5.2), и песок засыпался в воду. В опытах первых 5-ти серий связь внешней и поровой воды осуществлялась только через выпускное отверстие. Замечено, что при истечении песка поровое давление падает на 0.3–1.9 см, поэтому в экспериментах следующих 6-ти серий открывались отверстия диаметром 3 мм, просверленные в верхней части цилиндра по его периметру (6 на рис.5.2). Так моделировался единый водоносный горизонт.

Рис. 5.2. Экспериментальная установка для изучения суффозии (УИС-2): 1 – внутренняя емкость (рабочий цилиндр); 2 – заслонка; 3 – манипулятор (привод заслонки); 4 – приемник материала; 5 – внешняя емкость (заполненная водой камера); 6 – отверстия для поддержания одинаковых уровней воды во внутренней (Н) и внешней (Н0) емкостях; 7 – съемное дно с отверстием в центре; 8 – стойки, регулирующие высоту положения рабочего цилиндра; 9 – термометр.

Поскольку уровень воды во внешней камере (H0) находился выше поверхности засыпок на 1.5–2 см и с помощью сосуда Бойля поддерживался постоянным, таким же оставался и исходный уровень во внутренней емкости (H), то есть модели были затоплены. Песок выпускался порциями вплоть до образования в установке устойчивых откосов. Перед взвешиванием каждая порция песка из приемника 4 высушивалась.

Проведены также опыты, в которых тот же песок (табл. 5.3) выпускался из воздушно-сухих моделей. Для удобства сопоставления полученных данных все они сведены в одну таблицу (табл. 5.4).

В водонасыщенных моделях появление блюдцеобразной воронки диаметром Dв/D = 3–5 (Dв Dк, Dк – ширина канала течения) сопровождалось опусканием плоских участков поверхности. При этом расход быстро увеличивался до некоторого значения, которое в дальнейшем оставалось более или менее постоянным. Затем на фоне общего оседания поверхности засыпок воронка становилась шире, и ее края достигали стенок емкости. На отметках h/D = 9.8–6.3 воронка росла в глубину и приобретала чашеобразную или коническую форму. В интервале h/D = 6.0–2.6 в ее центре появлялась понора – узкий глубокий канал (“клюв”), исчезавший с прекращением выпуска за счет оплывания стенок.

Таблица 5.4. Зависимость расхода водонасыщенного (Q1, Q2) и воздушно-сухого (Q3) песка от диаметра выпускного отверстия (D) Примечания: Q1 – расход, измеренный в условиях понижения порового давления при выпуске; Q – расход в гидростатических условиях; q = Qср/S – средняя весовая скорость истечения (S = D2/4 – площадь выпускного отверстия). В двух последних столбцах – отношения средних значений.

При дальнейшем уменьшении мощности засыпки (h/D 2.5) профиль воронки становился параболическим, а расход песка заметно возрастал и затем резко падал. В этот момент в центре воронки наблюдался восходящий поток воды в виде мутьевого фонтана, поднимающего тонкие и мелкие частицы на высоту до 1–2 см, после чего из-под слоя песка показывалось отверстие, и выпуск прекращался. Таким образом, морфологически процесс выпуска рыхлого водонасыщенного песка во многом напоминает истечение сухого песка из плотно уложенных моделей, хотя имеет и свои особенности.

В отличие от сухих сыпучих материалов, где встречный поток воздуха нельзя увидеть и трудно измерить, в водонасыщенном песке эжектирующие свойства мелкозернистых несвязных грунтов визуализируются. Но главный вывод заключается в том, что скорость истечения водонасыщенных песков не зависит от диаметра выпускного отверстия, если последнее достаточно велико (q1, q2, табл. 5.4). Тогда как скорость движения сухих песков, напротив, увеличивается с ростом D (q3, табл. 5.4).

Установлено, что в опытах с закрытыми боковыми отверстиями уменьшение уровня воды в рабочем цилиндре от Н = Н0 в начале до Нi в конце i-го выпуска прямо пропорциональна весу удаленного сухого песка Рi и обратно пропорциональна среднему объемному весу засыпки (скелета грунта) d = s(1 n) и площади внутреннего сечения цилиндра Sц:

Для среднего значения (Hi)ср = 10.78 мм разность между измеренными и рассчитанными по (5.1) значениями Hi в среднем составляет 1.05 мм. Учитывая, что уровни воды в экспериментах фиксировались визуально, можно утверждать, что ошибка вычисления Hi находится в пределах точности измерений. Если не принимать во внимание дилатацию, которая, несмотря на невысокую плотность засыпок, все-таки должна иметь место над отверстием, то Pi = dhiSц, где hi – уменьшение высоты слоя в конце i-го выпуска. Тогда согласно (5.1) получается, что Hi = hi, то есть, высыпаясь, песок увлекает за собой всю поровую воду.

Уменьшение порового давления приводит к возникновению локального восходящего потока воды над ослабленным участком. Его влияние на расход материала, как и следовало ожидать, оказывается заметным над небольшими отверстиями (q1, q2, табл.

5.4). Однако в опытах с понижением уровня воды в рабочем цилиндре малые отверстия характеризуются диаметром D < 2.12 см (q1, табл. 5.4), а при равенстве ее уровней в цилиндре и внешней камере – D < 1.2 см (q2, табл. 5.4). Поэтому в следующем разделе наряду с результатами выпуска сухих материалов анализируются лишь результаты 6-ти серий опытов с водонасыщенным песком, в которых влияние восходящей фильтрации было сведено к минимуму.

5.2. Кинематика свободного истечения несвязных грунтов в отверстия Результаты моделирования, рассмотренные в разделе 5.1, подтверждают вывод о том, что действительно серьезное отличие свободной суффозии воздушно-сухих и водонасыщенных песков относится лишь к кинематике процесса (см. раздел 4.1).

Принципиально разных механизмов выноса вещества не обнаружено.

Обращает на себя внимание постоянство значений h/D, при которых происходят характерные изменения режима течения на заключительных стадиях выпуска, а также их близость для таких разных материалов, как песок и дробь (см. рис. 5.1). Проще всего это объясняется разрушением области влияния отверстия (см. рис. 2.18), или эллипсоида выпуска (рис. 2.24), который формируется в начальный период неустановившегося движения и в дальнейшем определяет скорость процесса. Если предположить, что его размеры связаны с углом внутреннего трения или естественного откоса как с комплексным прочностным показателем, учитывающим форму, размер и шероховатость зерен, то становится понятной и близость значений h/D в поставленных опытах. Главную роль в постоянстве расхода сыпучих материалов, вероятно, играет нижняя зона области влияния (ACB на рис. 2.18). Ее высота, как следует из опытов, не превышает 2 ± 0.5 h/D.

По данным радиоактивного просвечивания [45] пористость сыпучих материалов над выпускным отверстием может изменяться от n = 0.74 в плоскости последнего на отметке h/D = 0 до n = 0.56 на высоте h/D = 2.5. Учитывая столь сильное разрыхление, допускаем, что частицы могут падать свободно без трения с поверхности ACB, которая для круглого отверстия аппроксимируется поверхностью кругового конуса (рис. 5.3, а). Скорость, с которой отдельно рассматриваемая частица подходит к внешней стороне зоны кинематического разрыва, гасится внутри нее вследствие сходящегося движения зерен и сдавливающего влияния кромки отверстия. Поэтому на выходе из зоны разрыва начальная скорость равна нулю (рис. 5.3, а). Такой подход отвечает гипотезе динамического свода [123, 218, 292]. Отличие состоит лишь в форме свода, который авторы [218] трактовали как параболоид вращения, опирающийся на края круглого отверстия, а авторы [292] – как целую систему таких параболоидов. На одном из рисунков работы [123] он показан в виде поверхности шарового сегмента, ширина основания которого примерно в 3 раза больше диаметра полости, а высота приблизительно равна диаметру. На наш взгляд, динамический свод образован тремя нижними зонами эллипсоида выпуска, которые в статике представляют собой зоны обрушения, разгрузки и опорного давления (см. рис.

2.18). В движущемся материале выделенный конус, является небольшой, но важной частью динамического свода:

Рис. 5.3. Схема определения объемного расхода при истечении сыпучих материалов из отверстия АВ: v – скорость движения частицы, АСВ – нижняя граница зоны кинематического разрыва.

С учетом принятых допущений уравнение скорости каждой частицы на отрезке AB/ записывается в виде (рис. 5.3, а):

где g – ускорение свободного падения. Если рассматривать сыпучее тело как сплошную среду, то объемный расход, или скорость всех частиц, находящихся в плоскости круглого отверстия, описывается интегралом (рис. 5.3, б):

Проведя подстановку и интегрирование, получим Выражение (5.4) по форме идентично общепринятому уравнению для определения объемной скорости истечения [329, 364]:

в котором d = d50 – средний диаметр частиц, С, k – эмпирические коэффициенты. Первый представляет собой безразмерный расход и называется также генеральной константой истечения, а последний отражает тот факт [324], что материал выносится не со всей площади отверстия – кольцо шириной kd/2 у его края всегда остается пустым.

Именно поэтому вместо D в уравнение (5.4) введен истинный диаметр Do = D – kd, хотя непосредственно из модели сплошной среды это не следует. Приравнивая (5.4) и (5.5), получаем:

Таблица 5.5. Значения коэффициентов С и k в уравнении (5.5) и угла в уравнении (5.4) В работе [329] даны значения С и k, предложенные разными авторами. С некоторыми дополнениями они приведены в табл. 5.5. В третьем столбце посчитан полуугол = arctg(2/15С)2 при вершине разрывного конуса. Заметно (табл. 5.5), что диапазон его изменения невелик, и его значение, по-видимому, лежит в пределах минимального и максимального угла откоса наиболее часто используемых материалов.

Перейдем от модели сплошной к модели дискретной среды, составленной из гладких шаров равного (среднего) диаметра d = d50. За исходную примем наиболее вероятную с точки зрения статической устойчивости укладку, где каждый шар контактирует с восемью соседними [118]. Тогда расстояния bd между центрами соседних шаров таковы, что 1 < bx = by < (3/2)1/2, 1/2 < bz < 21/2 (рис. 5.4, а). При этом объемная концентрация (n пористость), описывается выражением и находится в интервале: 2/9 < 1 – n < (3/2)1/2.

Рис. 5.4. Схема учета начальных (а – в статике, б – в движении) и граничных условий (в, г): s1 + s2 = s – площадь проекции сферического зерна диаметром d, центр которого совпадает с кромкой отверстия диаметром D.

Разуплотнение сыпучей среды над отверстием или увеличение расстояний bd (bx= by > (3/2)1/2, 1 – n < 2/9) приведет к формированию структуры с шестью контактами.

Учитывая, что внутри конуса частицы должны падать вниз без столкновений и скорость их падения возрастает по направлению к оси отверстия, расстояния между их центрами в горизонтальных плоскостях не могут быть меньше 21/2d (bz = 1/2). При этом bx = by = bz 1 (рис. 5.4, б), и максимально допустимая объемная концентрация непосредственно над отверстием согласно выражению (5.7) соответствует наиболее рыхлой кубической упаковке: 1 n = /6 0.524 (n 0.476). Но, как видно на рис. 5.4 (в), количество шаров в круглом отверстии не может равняться его безразмерной площади D2/4d2, даже если D/d – целое число. Необходимо исключить те шары, которые не вписываются в большую окружность. Как показывает численный анализ, лучше всего это достигается введением поправки (D/d) в величину безразмерной площади:

Теперь шары в плоскости отверстия могут несколько раздвинуться и занять всю его площадь, чем полностью удовлетворяется условие отсутствия трения для реальных шероховатых частиц. При этом относительное расстояние b между центрами соседних частиц в плоскости XY находится из выражения D2/4d2 D/d = D2/4b2d2 и равно b = [D/(D 4d)]1/2. Так как по-прежнему bz = 1, то окончательно объемная концентрация, согласно формуле (5.7), равна Но кроме начальных, или структурных, необходимо учесть и граничные условия, запретив шарам, центры которых попадают на кромку, падать в отверстие. Тогда для больших отверстий (D/d >> 1) их безразмерную площадь с достаточной точностью можно уменьшить на половину того количества зерен, которое укладывается по периметру большой окружности (рис. 5.4, г):

В то же время Равенство выражений (5.10) и (5.11) позволяет составить квадратное уравнение, а его решение с учетом физических соображений – однозначно определить ширину пустого кольца или величину k:

и, следовательно, истинный диаметр Dо = D – kd:

Из уравнения (5.12) следует, что k = 1, когда D/d =, и k = D/d, когда D/d = 2. В последнем случае истечение невозможно. Сводообразование, способное в 2–3 раза увеличить этот критический диаметр (Dmin = 2d), сейчас не рассматривается. Но внимания заслуживает значение Dmin = 2d, полученное из уравнения (5.12) и полностью соответствующее опыту: просеяв сыпучие материалы сквозь сита, удалить застрявшие в круглых отверстиях сферические частицы с d D/2, бывает довольно трудно. Это происходит тогда, когда три частицы попадают в отверстие так, что их центры располагаются в вершинах равностороннего треугольника, а сами они оказываются вписанными в большую окружность (рис. 5.5).

Что касается минимальной ширины пустого кольца, то k = 1 ощутимо меньше значений, приведенных в табл. 5.5, так как предполагается существование зависимости между плотностью среды и диаметром D/d. Если же плотность принять постоянной и определять, как, например, в работе [324], по результатам осаждения материала в восходящем воздушном потоке, то для идеального сыпучего тела (1 n) = /6.

Тогда поправку на кривизну круглого отверстия из формулы (5.10) надо ввести в фиктивную ширину пустого кольца. Следует ожидать, что полученные при этом значения k будут лежать в интервале наиболее распространенных значений (табл. 5.5). Если D/d < 57, то принятый учет граничных условий становится слишком грубым, так как площадь части зерна, нависающей над отверстием, очевидно, меньше s/2 (см. рис. 5.4, г).

Рис. 5.5. К определению минимального диаметра выпускного отверстия Dmin: d – диаметр частиц.

Подводя итоги, запишем уравнение для весовой скорости истечения в виде где s = gs удельный вес. На рис. 5.6 показаны графики зависимости угла от величины D/d.

экспериментальных данных о среднем весовом расходе Q (см. табл. 5.2 и 5.4) по формуле = arctg(W/Q)2. В опытах с дробью (рис. 5.6, а), начиная с D/d = 8, график имеет вид горизонтальной прямой с постоянным значением угла 25°, близким к среднему значению угла откоса (о)ср = 26.0° (см. табл. 5.1). Резкое уменьшение при D/d 7, на наш взгляд, обусловлено вышеупомянутыми погрешностями в определении безразмерной площади действующего отверстия.

Рис. 5.6. Зависимость полуугла при вершине зоны свободного падения (конической поверхности кинематического разрыва) от безразмерного диаметра отверстия D/d для дроби (а) и песка (б): 1 – d50 = 0.25 мм, 2 – d50 = 0.20 мм.

В опытах с песками (рис. 5.6, б) кривая 1 стремится к постоянной величине 24°, начиная с D/d 25, а кривая 2 – к 26°, начиная с D/d 35. Крутой подъем графиков при D/d < 25, D/d < 35, очевидно, вызван ростом влияния восходящего потока воздуха, сильно уменьшающего измеряемый расход в области малых отверстий, что и приводит к мнимому увеличению угла. А расхождение в ширине малых отверстий (D/d = 25, 35), вероятно, обусловлено разными значениями среднего диаметра d50 и коэффициента неоднородности Kн этих песков (см. табл. 5.1, 5.3). Но даже если при большом диаметре D/d влияние встречного потока воздуха невелико, асимптота в 24° (1 на рис. 5.6, б) существенно меньше среднего значения о = 29.2° (см. табл. 5.1). Этому есть как минимум два разумных объяснения. В соответствии с первым надо признать справедливость главного вывода работы [123] о независимости скорости истечения, выраженной в безразмерной форме, от индивидуальных физико-механических свойств сыпучего тела. Тогда, судя по результатам опытов (рис. 5.6), угол 25° ± 1°, а вернее, котангенс этого угла должен быть некоторой генеральной константой в уравнениях течения (5.4) и (5.14).

Второе объяснение традиционнее и понятнее с геологической точки зрения. Оно предполагает наличие зависимости между кинематикой процесса и углом естественного откоса песка как комплексной характеристикой слагающих его зерен. Известно [45], что при прочих равных условиях плотность несвязных грунтов, в том числе и сыпучих материалов в канале течения, возрастает с увеличением их неоднородности. Повидимому, модель идеальной дискретной среды и полученная с ее помощью величина исходной объемной концентрации (1 n = 0.524) дают неплохое приближение к действительности для округлых и выдержанных по размеру частиц. Так, для дроби (Kн = 1.25, табл. 5.1) значения углов (о)ср и = arctg(W/Q)2 совпадут, если вместо /6 0.524 в выражение (5.9) подставить 0.533. Учитывая большой разброс размеров частиц по фракциям для песка с d50 = 0.25 мм (Кн = 1.59, табл. 5.1), можно ожидать увеличения его исходной плотности на 5–6 %. Тогда для больших (D/d > 25) отверстий (о)ср 29°.

Таким образом, объемная концентрация падающих в отверстие частиц (5.9), ширина пустого кольца или коэффициент k (5.12) и действующий диаметр (5.13) являются функциями D/d. Полученные решения (5.4), (5.14) автомодельны, то есть в отсутствие установившегося движения не зависит от диаметра отверстия и определяется только величиной угла при вершине конической зоны свободного падения частиц (2).

При истечении воздушно-сухих сыпучих материалов мощностью h/D > 2.5 из отверстий диаметром D/d > 25 35 угол близок к углу естественного откоса и не меняется в процессе выпуска. При этом их расход пропорционален диаметру отверстия в степени 2.5, а скорость истечения – в степени 0.5.

В гидростатических условиях, напротив, скорость истечения песков из больших отверстий (D 1.2 см, D/d 60) является величиной постоянной и не зависит от их диаметра (раздел 5.1, табл. 5.4). Следовательно, расход пропорционален площади отверстия. Проще всего это объясняется, как и в случае сухих сыпучих материалов, существованием динамического свода и его нижней зоны свободного падения зерен песка.

Отличие состоит лишь в том, что ускоренное падение мелких частиц в воде в силу ее большой, по сравнению с воздухом, вязкости быстро (практически сразу) сменяется равномерным движением. Поэтому для определения скорости частицы в момент прохождения отверстия можно воспользоваться известной формулой Стокса:

где – динамическая вязкость воды. Значения этой скорости приведены в табл. 5.6. Для получения q = Q/S (S = D2/4 – площадь отверстия) скорость отдельной частицы v надо умножить на объемный вес песка в плоскости выпускного отверстия (d)o, который, вообще говоря, не известен. Его можно принять равным среднему весу скелета d, учитывая рыхлое сложение грунта при его отсыпке в воду, или воспользоваться зависимостью (5.9), в соответствии с которой Значения весовой скорости q для этих двух вариантов, приведенные в табл. 5.6, несколько отличаются, но в целом близки к ее экспериментальным значениям (q2, табл. 5.4).

Таблица 5.6. Результаты определения скорости истечения песка (q) в гидростатических условиях Примечания: Do – истинный (расчетный) диаметр выпускного отверстия (5.13); d – средняя плотность скелета; T°C – температура (град. Цельсия);, w – динамическая вязкость и плотность воды; v – установившаяся скорость свободного падения частиц в воде (5.15); d – средний объемный вес скелета песка; (d)o – расчетный вес скелета (5.16); Q2 – средний расход в табл. 5.4;

Sо = (Dо)2/4 – истинная площадь выпускного отверстия; Г – грамм силы, г – грамм массы.

Нет никаких оснований утверждать, что в отличие от воздушно-сухих сыпучих материалов водонасыщенный песок при выпуске занимает всю площадь отверстия.

Экспериментальные значения скорости истечения с поправкой на ширину пустого краевого кольца согласно выражениям (5.12), (5.13) посчитаны в последнем столбце табл. 5.6. Видно, что за исключением наименьшего отверстия совпадение значений q = dv и q = Q/Sо (Sо = Dо2/4) практически полное. Этот результат далеко не очевиден.

Следовало бы ожидать уменьшения плотности песка в зоне свободного падения по сравнению с исходной плотностью засыпки (d) и, как следствие, наибольшей близости значений q = (d)ov и q = Q/So. Этот вопрос, несомненно, требует дальнейшего анализа и дополнительных экспериментальных исследований.

Таким образом, полученные результаты свидетельствуют, что в гидростатических условиях объемный расход мелкозернистых несвязных грунтов с достаточной для практических оценок точностью равен произведению площади ослабленного участка на установившуюся скорость свободного падения зерен в воде. Этот вывод позволяет непосредственно оценивать время образования и скорость роста суффозионных воронок на поверхности песчаной толщи при одинаковом положении уровней грунтовых и трещинно-карстовых вод. Кроме того появляется возможность прогнозировать скорость массовой суффозии в общем случае нисходящей или восходящей фильтрации на основе общего дифференциального уравнения движения тела в среде, сопротивление которой пропорционально его скорости.

5.3. Моделирование полей скорости и плотности потока сыпучих тел Теоретические основы имитационного компьютерного моделирования на клеточных самостоятельного математического объекта исследований и как эффективной среды воспроизведения самоорганизующихся процессов подробно изложены в монографии В.З. Аладьева (2009). Их возможные применения в инженерной геологии и преимущества или недостатки по сравнению с другими методами математического моделирования рассмотрены в работах [131, 299].

Карстово-суффозионный процесс исследовался на моделях прямоугольных бункеров, аналогичных тем, которые показаны на рис. 4.3–4.5 раздела 4.1. Плотность виртуальной засыпки варьировалась в интервале 30–70 % от суммарного количества узлов модели, что соответствовало исходной пористости материала 70–30 %. Ширина и высота моделей составляли 100–300 узлов, пролет центрального донного отверстия – 10–40 узлов, относительная мощность – h/D = 4–30. В ходе каждого эксперимента велись наблюдения за динамикой процесса на экране монитора и фиксировались различные фазы его развития в виде изображений и количественных характеристик плотности, скорости и дивергенции по всему полю модели. Дальнейшее осреднение и обработка этих данных позволили получить представления о макроскопическом поведении сыпучих тел во времени.

Гравитационное истечение частиц имело место в результате создания вертикального градиента давления, направленного на них сверху вниз. При этом на микроскопическом уровне частицы динамической среды, имитирующей сыпучий материал, взаимодействовали при столкновениях как упругие несжимаемые тела без трения. При переходе к макроскопическому объему динамическая среда приобретала новые свойства – кинематическую вязкость за счет обмена импульсами энергии соударяющихся частиц, сжимаемость и переменную скорость деформирования.

В CA-моделях выделяются четыре стадии выпуска несвязных грунтов. Стадия первоначального уплотнения начинается сразу же после создания донного отверстия. В течение короткого промежутка времени сыпучий материал перемещается сверху вниз и уплотняется. При этом векторы скорости частиц по всему полю модели направлены строго вертикально. Продолжительность начальной стадии зависит от исходной плотности материала и величины приложенного градиента давления – с их увеличением она сокращается.

С появлением застойной зоны в основании бункера по обе стороны от выпускного отверстия область вертикального движения уменьшается в размерах, и начинается переходная стадия истечения. Она характеризуется плоскопараллельным опусканием поверхности засыпки, которая имеет горизонтальный или слегка вогнутый профиль, и перестройкой структуры всего насыпного массива. Вблизи отверстия начинается перераспределение плотности материала и скорости его перемещения. Структурные деформации постепенно распространяются вверх по потоку вплоть до дневной поверхности. На рис. 5.7 (а) хорошо видно, что в нижней части массива (до отметок 100– 120) формируется центральной канал, или труба течения с относительно низкой плотностью среды и высокой вертикальной скоростью частиц. Примерно такие же значения плотности и скорости наблюдаются в узких зонах возле стенок бункера, где имеет место проскальзывание материала.

По обе стороны от трубы течения материал отличается большей плотностью, повышенными значениями горизонтальной скорости и пониженными значениями вертикальной. Здесь формируются пересекающиеся крестообразные структуры, или полосы, в которых только и имеет место горизонтальное движение частиц (рис. 5.7, б). Им отвечают чередующиеся зоны положительной и отрицательной дивергенции, внутри которых материал испытывает соответственно растяжение и сжатие. Продвигаясь от выпускного отверстия вверх и в стороны, они постепенно распространяются по всему объему бункера (рис. 5.8).

Рис. 5.7. Изолинии вертикальной (а) и горизонтальной (б) компонент скорости движения частиц (в условных единицах) на конец стадии первоначального уплотнения – начало переходной стадии. Прямые линии – направление полос, или зон локализации горизонтальных перемещений среды.

Рис. 5.8. Поле дивергенции (в условных единицах) на конец переходной стадии – начало стадии развитого течения (жирной изолинией оконтурена ближайшая к отверстию область отрицательной дивергенции, сформировавшаяся в начале переходной стадии).

В нижней части массива, где крестообразные структуры уже сформировались, картина распределения плотности и скорости не изменяется во времени. Другими словами, уже на переходной стадии около устья выпускного отверстия возникает стационарный режим движения, после чего расход потока остается постоянным почти до конца эксперимента. Расход не зависит и от исходной пористости, так как на первоначальной стадии материал уплотняется до некоторой постоянной величины. Об этом свидетельствуют и изолинии кинетической энергии (mv2/2) в основании бункера, одинаковые для моделей с разной начальной плотностью (рис. 5.9).

Рис. 5.9. Распределение кинетической энергии (условные единицы) в момент, предшествующий возникновению воронки, для моделей с исходной плотностью 70 % (а), 50 % (б) и 30 % (в).

Стадия массового истечения начинается после перестройки структуры всего насыпного массива при появлении на дневной поверхности воронки с осыпающимися бортами и пристеночной канавки (рис. 5.10, а). Когда опускающаяся поверхность засыпки проходит узлы пересечения полос положительной и отрицательной дивергенции, отмечаются слабые скачкообразные изменения рельефа. Однако они практически не сказываются на форме воронки. Достаточно сложная динамика потока на этой стадии определяется одновременным функционированием зон локализации горизонтальных перемещений (рис. 5.10, б) и трех вертикальных зон – центральной трубы течения, промежуточной области и зоны проскальзывания по стенкам бункера (рис. 5.10, а).

На рис. 5.11 видно, что движение материала в центральной и пограничной зонах в основном происходит в вертикальном направлении с различной скоростью в разных по высоте сечениях бункера. Изменение скорости носит циклический, пульсирующий характер. Это связано с особенностями течения материала в промежуточной области, где траектории перемещения имеют форму, близкую к синусоиде, и наблюдается последовательное чередование сходящихся и расходящихся потоков. В местах их пересечения с центральным каналом происходит пережим последнего, который выражается в появлении у скорости горизонтальной компоненты по краям “трубы” и в резком увеличении вертикальной скорости по оси симметрии. В местах, где “синусоида” отклоняется от центрального канала, вертикальная скорость перемещения материала в нем уменьшается. Похожую картину можно видеть и в зоне проскальзывания.

Рис. 5.10. Изолинии вертикальной (а) и горизонтальной (б) составляющих скорости движения частиц (в условных единицах) на стадии массового истечения. Прямые линии – направление зон локализации горизонтальных деформаций, пунктирная – форма поверхности СА-модели.

Рис. 5.11. Векторная картина поля скорости на стадии массового течения: пунктирной линией показано исходное положение дневной поверхности, сплошной – поверхность после осыпания стенок воронки и образования краевых канавок.

В устье выпускного отверстия горизонтальная составляющая перемещений равна нулю, вертикальная скорость достигает абсолютного максимума, а ее распределение по сечению отверстия соответствует равномерному закону (рис. 5.12, а). В сечении, расположенном непосредственно над отверстием в зоне сходящегося движения, профиль вертикальной скорости имеет форму седла: относительные максимумы скорости фиксируются в краевых частях трубы течения, а минимум – в середине (180 на рис. 5.12, б). Несколько выше в той же зоне сходящегося движения “седло” становится уже и выражено намного слабее.

Рис. 5.12. Характерные профили вертикальной скорости (условные единицы) в сечениях с условными отметками 195 (а), 180 и 135 (б), 110 и 80 (в), 50 и 38 (г): 195, 38 – отметки дна и зафиксированной в данный момент времени поверхности модели.

По обе стороны от границы центрального канала вертикальные составляющие скорости падают вплоть до нуля, и движение здесь происходит только в горизонтальном направлении (135 на рис. 5.12, б). Такие же зоны отсутствия вертикальной скорости фиксируются на всех более высоких отметках, за исключением отметки опускающейся дневной поверхности 38 (рис. 5.12, в, г).

Завершающий этап, как и первоначальная стадия, крайне непродолжителен. Он начинается, когда мощность засыпки уменьшается до величины, близкой к величине пролета отверстия. При этом исчезают деформационные структуры, профиль воронки изменяется, и она приобретает конические очертания.

5.4. Сравнительный анализ данных физического и математического моделирования, основные закономерности процесса Из результатов, изложенных в разделе 5.1, следует, что при прочих равных условиях морфология проявлений карста на земной поверхности определяется мощностью покровной толщи. В моделях несвязных грунтов плотного сложения, где изменение формы воронок наиболее заметно, мульды сдвижения регистрируются при относительной мощности h/D < 1.5–2, провальные воронки – h/D = 1.5–6, суффозионные – h/D = 4–12 и блюдца оседания – h/D > 10–12. Как отмечалось (раздел 2.4), в строении и мульд сдвижения, и провальных воронок выделяются центральный собственно провальный участок с плоским или слегка вогнутым дном, связанный с каналом течения грунтов или непосредственно с отверстием, и периферийная часть прогиба и среза поверхности в границах боковых клиньев (рис. 5.13, а). Другими словами, механизм образования этих поверхностных форм один и тот же, поэтому морфологических отличий между ними нет.

На заключительной стадии выпуска “параболический” профиль воронки, условно названной мульдой сдвижения, объясняется малой мощностью слоя, большой скоростью истечения, определяющейся скоростью свободного падения, и тем, что песок у отверстия становится рыхлым, независимо от способа его укладки. При сочетании этих условий происходит практически одномоментное смещение центрального и боковых клиньев, и стенки воронки до ее осыпания совпадают с нижней частью границы эллипсоида выпуска (рис. 5.13, б). Кстати, именно давлением боковых клиньев помимо давления центрального блока на заслонку выреза обусловлен парадокс М.М. Протодьяконова (1933), рассмотренный в разделе 3.2. А увеличение уклона стенок суффозионной воронки к ее центру, появление клюва или поноры (раздел 5.1) свидетельствуют о близости выпускного отверстия, вернее – динамического свода, образованного тремя нижними зонами области влияния (рис. 2.18, раздел 2.4), речь о котором шла в начале раздела 5.2.

Рис. 5.13. Строение провальной воронки в общем случае несимметричного деформирования (а) и формирование ее параболического профиля на заключительной стадии выпуска (б). Условные обозначения: 1 – центральный блок, свод обрушения, зона полных сдвижений, или собственно провал поверхности; 1а – канал течения, или область видимых деформаций; 2 – опережающий клин, скользящий блок, или область заметного оседания; 3 – запаздывающий клин, или область плавного прогиба; 4 – поверхность грунтовой толщи после осыпания стенок воронки; 4а – форма поверхности суффозионной воронки; 5 – граница нижней части области влияния отверстия на рис. 2.18. Тонкими стрелками показано направление сдвигов, толстыми – общего движения грунта.

Похожие результаты получены и на имитационных моделях, хотя начальная форма движения в них вызвана не разрыхлением, а уплотнением материала (раздел 5.3). Так, на рисунке 5.14 хорошо видны внешний и внутренний диаметры воронки. Мощность слоя, при которой последняя появляется на поверхности, уменьшается с уменьшением исходной плотности виртуальной среды (рис. 5.9, 5.14). В слоях малой мощности воронка становится шире и приобретает округлые (“параболические”) очертания (рис. 5.14, в).

Появление блюдцеобразных понижений обусловлено просадкой грунта над областью разуплотнения, границы которой совпадают с границами будущего канала течения песков (Dв Dк). В моделях плотного сложения не очень большой мощности формируется вертикальный канал шириной Lк L, и такой же ширины достигают первоначальный прогиб поверхности и свежая воронка Lв L (раздел 4.1, рис. 4.3.8, 4.3.9).

В мощных слоях канал расширяется вблизи выпускного отверстия, а вертикальным становится на некотором удалении от него. Ширина канала на стадиях подготовки и образования провала составляет Lк/L = 3–5 (раздел 4.1, рис. 4.4.1, 4.4.2, 4.5.1, 4.5.2). Таких же значений достигает диаметр блюдец оседания (Dв/D = 3–5, раздел 5.1) и диаметр области влияния карстовой полости (D0/D = 3–5, раздел 2.2). Возникает вопрос, каковы принципиальные отличия провалов от локальных оседаний, или согласно [113, 114, 127, 128, 174, 265] воронок провала от воронок оседания?

Рис. 5.14. Появление воронки ее форма в CA-моделях с начальной плотностью в условных единицах 70 % (а), 50 % (б) и 30 % (в).

Мульды оседания обычно образуются при посадке кровли протяженных выработок небольшой высоты [2, 114, 150, 213, 315]. Известно их формирование и над пластами каменной соли [4]. В последнем случае имеет место не локализованное, а площадное растворение, поэтому с позиций геомеханики мульды, описанные в работе [4], ничем не отличаются от классических горно-геологических форм, процесс образования которых легко воспроизводится путем малого опускания достаточно широкого поршня в основании физических моделей (h/h = 0.064, L/h = 0.64, рис. 5.15).

На рис. 5.15 видно, что мульда, или воронка оседания глубиной hв/L = 0. образовалась при смещении поршня на величину h/L = 0.1. В разрезе она имеет форму вазы, стенки которой вплоть до верхнего маркирующего горизонта наклонены к горизонту под углом 1 = 78°–79°. У поверхности они расходятся, и 1 = 126°–132° (1ср = 129°).

Провести единую границу, выделяющую зону блокового смещения, как и на рисунках 4.3.5–4.3.7 (раздел 4.1), не удается. Ее отрезки, выделяемые по горизонтальным частям маркирующих горизонтов, наклонены к плоскости выпускного отверстия под углом 2 = 63° у его кромок и – 2 = 54°–59° у дневной поверхности. Соответственно дополняющий угол 90° 2, отвечающий половине угла при вершине конической зоны обрушения (раздел 4.2), изменяется от 27° до 31°–36°, то есть близок к углу откоса (о = 32°).

Рис. 5.15. Мульда оседания в воздушно-сухой толще мелких песков средней плотности (d50 = 0.18 мм, d = 1.62 г/см3, n = 0.39, о = 32°) мощностью h/L = 1.56: 1 – граница области видимых деформаций; 2 – границы блокового смещения; 3 – воронка оседания; – маркирующие прослои; 1, 1, 2 – углы наклона границ 1, 2 к горизонту.

Таким образом, строение блюдец оседания качественно практически не отличается от строения воронок провала. Различия заключаются лишь в ведущей роли одного из двух совместно действующих механизмов формирования канала: в первом случае – это разуплотнение песков, во втором – их срез и блоковое перемещение по хорошо выраженным поверхностям локализации деформаций. Отсюда и существенные количественные отличия абсолютной величины перемещения центрального и боковых “клиньев”, а также их размеров в плане (рис. 5.13, а; рис. 5.15). Заметим кстати, что даже в рассмотренных выше условиях – малая мощность слоя, его воздушно-сухое состояние и не самая плотная укладка – разрыхление, приводящее к оседанию земной поверхности, вносит заметный вклад в увеличение устойчивости массива и снижение опасности провалообразования. Помимо качественной картины об этом свидетельствует тот факт, что объем воронки, показанной на рис. 5.15, практически в три раза меньше объема песка, поступившего в полость-приемник с размерами hL: Vв/Vп = 0.303.

В насыпных слоях ширина канала течения сильно увеличивается вверх по потоку и при большой мощности засыпки, грубо говоря, достигает горизонтальных размеров емкости, после чего наблюдается плоскопараллельное опускание дневной поверхности.

На самом деле на стенки выходят пересекающиеся поверхности сдвига, аналогичные кривым AD и DB на рис. 2.18 (раздел 2.4). Они хорошо видны как границы области разрыхления плотноупакованного песка (раздел 4.1, рис. 4.3). Причем в мощных утрамбованных моделях плоскопараллельное движение начинается после прекращения роста блюдцеобразной воронки (раздел 5.1, рис. 5.1), то есть также по достижении дилатансионная, по выражению С.Б. Стажевского [260–262], компонента прочности грунта вдоль стенок не работает (см. также пояснения к рис. 2.7 в разделе 2.2), то здесь формируется кольцевая канавка (раздел 5.1). В насыпных же грунтах воронка появляется в слоях небольшой мощности (h/D 14 ± 2, раздел 5.1). Это объясняется тем, что при такой мощности дневная поверхность проходит вблизи границы динамического свода ADB (см. рис. 2.18, раздел 2.4). Прослеживается очевидная связь увеличения глубины воронки в исходно плотных материалах при h/D 11 ± 1 и ее возникновения – в рыхлых при той же мощности: h/D 11 ± 1.

Таким образом, в зависимости от плотности и относительных размеров физических моделей, а также стадии процесса наблюдаются все три формы движения сыпучей среды, о которых говорилось в разделе 4.1. С помощью клеточных автоматов по сути дела воспроизводится только вторая форма движения, которая имеет место даже в период формирования центрального канала (раздел 5.3, рис. 5.7). Примечательно, что как и в реальных засыпках (раздел 4.1, рис. 4.5.3–4.5.8,), на фоне полей плотности (рис. 5.14, б) и скорости (рис. 5.10, а; 5.11) выделяется “столб”, соединяющий выпускное отверстие с воронкой на поверхности. Плотность внутри него существенно меньше, а вертикальная компонента скорости больше, чем за его пределами.

Более того, данные имитационного моделирования помогают объяснить некоторые наблюдавшиеся в физических опытах явления. Так, на рис. 5.16 видно, что, осыпаясь на дно воронки, подкрашенный песок маркирующих горизонтов как бы растаскивается в стороны на небольшой глубине, образуя темное пятно х-образной формы. Происходит это, вероятно, в месте пересечения центрального канала с верхней парой полос локализации деформаций сдвига, в которых направление и скорость движения зерен резко меняются (раздел 5.3, рис. 5.10, б; 5.11).

Становится понятной и природа крестообразных сдвиговых структур типа DA и DB на рис. 2.18 (раздел 2.4), которые возникают в движущемся сыпучем материале, причем не только над выпускным отверстием, но и во всей области развитого течения (раздел 5.3, рис. 5.7, б; 5.10, б; 5.11). Формирование этих структур и соответствующих им узких чередующихся зон растяжения и сжатия (рис. 5.8), очевидно, обусловлено появлением у частиц горизонтальной скорости. Образование относительно рыхлых и плотных полос зарегистрировано и в процессе выпуска песков из бункеров со сходящимися стенками [259, 261, 344]. Автор работы [344] считает полосы локализации сдвиговых деформаций зонами кинематического разрыва, отвечающими за флуктуацию скорости и давления в потоке сыпучего.

Рис. 5.16. Приповерхностный участок трубообразного канала течения песков: 1 – воронка;

2 – маркирующие горизонты; 3 – граница между темным и светлым песком.

Выходом на боковые стенки емкости наклонных зон горизонтального движения частиц, можно объяснить появление вакансий в пограничном слое и другие краевые эффекты, упоминавшиеся в разделе 5.1. В частности, согласно данным раздела 5. периферийная канавка образуется в узкой пристеночной зоне повышенной вертикальной скорости движения частиц, которая тесно связана с крестообразными структурами (рис.

5.10, а; 5.11). Однако в имитационных моделях частицы скользят по всей высоте стенок за исключением самой нижней их части, попадающей в застойную зону, и изменение скорости носит периодический характер. В физических же моделях проскальзывание постепенно развивается сверху вниз (раздел 4.1, рис. 4.5), и его скорость в этом направлении убывает (раздел 5.1), так как верхние пары полос локализации деформаций сдвига выходят на боковые стенки раньше нижних, и скольжение зерен распространяется все глубже вплоть до застойной зоны. Вероятно, это вызвано снижением давления от веса материала при уменьшении мощности слоя.

Как показано в [365], истинные границы установившегося массового истечения – параболические, стенки же бункера в зависимости от его ширины просто отсекают ту или иную часть истинного канала (рис. 5.17, а). При этом бункер разделяется на четыре области [125, 180, 349, 351]. В его нижней части течение сходится в направлении отверстия между застойными зонами, внутри которых скорость частиц настолько мала (v d50/с), что они считаются неподвижными [351, 364]. В зоне сходящегося движения профили вертикальной скорости имеют вид вытянутых языков, тем более узких и длинных, чем ближе к отверстию расположено сечение профиля. В переходной зоне они выполаживаются (рис. 5.17, б), и на больших расстояниях от дна емкости, в зоне поршневого течения скорости постоянны за исключением тонкого – (5–6)·d50 – пограничного слоя [350]. Зоны 2, 3, 4 на рис. 5.17, как правило, постепенно переходят одна в другую, поэтому границы между ними определяются плохо.

Рис. 5.17. Горизонтальные зоны в потоке сыпучего материала (а) и характерные для них профили вертикальной скорости (б): 1 – застойная зона, 2 – зона сходящегося движения, 3 – переходная зона, 4 – зона поршневого течения, 5 – параболическая граница канала течения полностью дилатированного материала (по данным работ [349–351, 364, 365]).

В имитационных моделях область массового течения также состоит из трех горизонтальных зон (см. рис. 5.12, раздел 5.3). Зона поршневого течения на рис. 5.12 (г) находится вблизи дневной поверхности у отметки 38, а на отметке 50 уже виден хорошо выраженный центральный пик вертикальной скорости, свидетельствующий об окончании переходной зоны и начале зоны сходящегося движения. Вместе с тем экспериментальные значения скорости поршневого движения в несколько раз меньше вертикальной скорости, зарегистрированной в зоне сходящегося движения [325, 344, 351, 364], тогда как клеточные автоматы показывают их незначительное расхождение. Сильно отличается и форма профилей на рис. 5.12, 5.17. В частности, боковые пики скорости, полученные в ходе компьютерного моделирования, в потоках реальных сыпучих тел отсутствуют.

Граница между зоной сходящегося движения несвязных грунтов и застойными зонами вогнутая или параболическая для второй формы течения. Средний угол ее наклона в песках среднего и плотного сложения по нашим данным и данным многих других исследователей [114, 125, 150, 213, 259–261 и др.] составляет 57°–60°, а на рис. 5.7, 5. она практически прямая и образует с горизонтом угол, близкий к 30°.

Представляется, что все эти различия связаны со свойствами “сыпучего материала” имитационных моделей и с механизмом формирования макроскопических свойств потока.

Имеется в виду отсутствие у идеальных частиц формы и объема и, следовательно, зацепления, а также обмен импульсами в результате столкновений при отсутствии сухого кулоновского трения. Отличия поэтому не вызывают удивления, внимания заслуживает качественное совпадение многих сторон реального и виртуального процессов.

Анализ данных физического и математического моделирования, дает дополнительные аргументы в пользу новой трактовки динамического свода. На рис. 5. раздела 5.3 жирной линией показана область, ограниченная нулевой изолинией дивергенции. Похожую форму имеет область, состоящая из сводообразной зоны строго вертикального движения частиц непосредственно над отверстием и примыкающих к ней боковых зон сходящегося течения (рис. 5.11). Нетрудно увидеть их морфологическое сходство с областью AADBB, образованной тремя нижними зонами области влияния на рис. 2.18 (раздел 2.4). Убедительные, на наш взгляд, доказательства справедливости этого предположения содержатся и в работе [123], хотя ее автор, как отмечалось в разделе 5.2, иначе представлял себе строение динамического свода.

Ф.Е. Кенеман (1960) провел несколько серий замечательных по простоте и эффективности опытов. Они свидетельствуют, например, о том, что с увеличением угла наклона стенок емкости от 0° (плоскодонный сосуд) до 75° расход сначала несколько уменьшается, а возрастает, начиная только с 42°–45°, и при 54°–60° достигает величины расхода из плоскодонного бункера. Показано также, что на расход влияет форма лишь небольшой части наклонных стенок высотой до h/D = 0.5–0.9.

Рис. 5.18. Зависимость относительного расхода Q/Q0 сыпучего материала от высоты h/D закрепления стержней над отверстием: Q0 – расход в отсутствие стержней, о – угол откоса (по Ф.Е. Кенеману, 1960).

В одной из серий этих опытов над отверстием закреплялись цилиндрические стержни разного диаметра Dст, и фиксировалось расстояние h/D, выше которого они не сказывались на расходе сыпучего (рис. 5.18). При этом установлено, что граница области влияния стержней близка к конической поверхности, составляющей с горизонтом угол, близкий к углу естественного откоса. Ее вершина отстоит от отверстия на расстояние h0 = D. На наш взгляд, поверхность этого конуса слегка выпуклая и в разрезе следует линии ADB на рис. 2.18 (раздел 2.4).

Если истечение дискретной среды не сопровождается ее разуплотнением, то она называется полностью дилатированной [180, 325, 347, 365]. Заметим, что в природных условиях такая среда может сформироваться как в трубообразном, так и заметно расширяющемся каналах течения, но только после образования воронки на земной поверхности. Поведение полностью дилатированной среды рассматривается в рамках теории быстрых – порядка 1 м/с и более [62], – движений зернистой среды. Именно такой скоростью обычно обладают частицы, падающие в отверстие. В отличие от режима медленного, или пластического, течения, когда напряжения сдвига возникают в результате действия сухого трения, режим быстрого движения реализуется в телах с заметно меньшей плотностью и характеризуется зависимостью напряжений от скорости деформирования. Существование такой зависимости обусловлено обменом импульсами между сталкивающимися или перемещающимися из слоя в слой частицами при большей или меньшей их концентрации соответственно. Эти два, а по сути дела три механизма формирования напряжений – кулоновское трение и перенос импульса (последний имеет две разновидности) могут работать одновременно. Однако чаще всего один из них играет решающую роль в деформировании сыпучих тел [62].

Полагаем, что при свободном истечении три первые зоны области влияния отверстия в статике по физическому смыслу отвечают трем механизмам формирования напряжений в режиме быстрого движения. В первой зоне (ACB на рис. 2.18, раздел 2.4), как установлено в разделе 5.2, частицы падают свободно без трения с начальной нулевой скоростью. Во второй (ADB) – вследствие сходящегося движения и сдавливающего влияния кромок отверстия скорость частиц или, по крайней мере, ее вертикальная составляющая гасится в результате соударений. В третьей зоне, внешняя граница которой (AADBB, рис. 2.18) является и границей динамического свода, течение материала с высокими скоростями остается пластическим. В четвертой – вытянутые языки профилей скорости становятся все более пологими, и выше области влияния движение становится поршневым, а профили скорости имеют вид горизонтальных прямых (см. рис. 5.17).

Известно, что любая научная гипотеза должна отвечать следующим требованиям: не противоречить имеющимся данным, объяснять новые факты и стороны явления, а также позволять прогнозировать возможные последствия процесса. Именно это и происходит, если мы принимаем рассмотренное выше строение “эллипсоида” выпуска.

Во-первых, становится понятным происхождение трех горизонтальных зон в канале течения (2, 3, 4 на рис. 5.17). Во-вторых, устраняется противоречие между кинематическим и динамическим подходами к анализу процесса, которое заключается в следующем. Согласно первому подходу поле скоростей связано с полем напряжений, которые рассчитываются от дневной поверхности, сверху вниз по потоку. Второй же подход базируется на предположении о том, что веса каждой частицы вполне достаточно, чтобы вызвать движение, не зависящее от градиентов напряжений. Получается [62, 325, 347], что в динамических моделях распределение скорости в выбранном сечении определяется условиями, сложившимися выше, а в кинематических ниже по течению.

В-третьих, скорость истечения, как установлено в разделе 5.2, определяется аналитически без привлечения эмпирических коэффициентов, кинематических констант и других трудно находимых и неоднозначно трактуемых величин. И, наконец, как будет показано в разделах 5.5, 5.6, легко оцениваются форма и размеры воронок на земной поверхности, а также возможность их образования.

5.5. Строение области влияния подземной полости Результаты, полученные в этой и в трех предыдущих главах, свидетельствуют о том, что размеры эллиптической области влияния, существующей и в статике, и в динамике истечения несвязных грунтов, зависят от угла их откоса или трения, который служит комплексной характеристикой, учитывающей форму, размеры, шероховатость и состав частиц. Видимо, из-за сходства решаемых проблем автор разделяет позиции Новосибирской школы геомехаников и горных инженеров [144, 231, 233, 260, 262, 263], согласно которым угол внутреннего трения является мобилизованным и равен где µ – угол контактного, или эффективного трения такого сыпучего материала, который не изменяется в объеме и для которого связанный с упаковкой угол дилатансии = 0. Для песчаных грунтов по данным [262, 328, 355] µ 23°, а угол дилатансии возрастает от min при остаточном сопротивлении сдвигу до max для пиковой прочности. Соответственно в условиях сжатия “прочность” сыпучих тел находится в пределах min max.

Для основных минералов, слагающих песчаные грунты, угол трения между отдельными частицами по данным В.В. Охотина и В.А. Приклонского лежит в интервале т = µ = 6°–12° [71, 205], то есть в 2–3 раза меньше угла µ. Угол внутреннего трения в традиционном его понимании равен min = µ + min [148]. В несвязных грунтах он обычно составляет min = 28°–34°. Принимая µ 23°, видим, что min = 5°–11°, то есть, несмотря на разную природу min и т = µ, величина их практически одинакова.

При обработке результатов определения пиковой прочности кварцевого песка плотного и среднего сложения выяснилось, что max = max = 14° ± 0.5° в широком диапазоне вертикального давления: = 10–200 кПа (рис. 5.19). Отсюда: max = max + min = 19°–25°, и максимальная “прочность” песка может достигать значений max = µ + max = 42°–48° и более. Этот вывод согласуется с результатами не только наших прямых испытаний (max = 39°–52°, рис. 5.19, а), но и обратных расчетов с использованием критерия Кулона-Мора (max = 40°–52°), выполненных в работе [233] по результатам экспериментального изучения выпуска.

При свободном истечении сыпучих тел их прочность непосредственно над отверстием определялась бы нулевым трением, а на удалении от него – трением между частицами (min = µ), если бы самоорганизация массива не препятствовала такому “катастрофическому” для него развитию событий. Формирование зональной области влияния (динамического свода) приводит к тому, что даже в режиме быстрого движения нулевая прочность песков имеет место только в нижней конической зоне, размеры которой определяются углом их откоса (см. раздел 5.2), несколько большим, хотя и близким к углу контактного трения (min µ, = 0).

Рис. 5.19. Результаты определения сдвиговой прочности сухого мелкого кварцевого песка на приборе плоского среза П10-С (а) и зависимость максимального угла внутреннего трения max = arctg(/) от нормального давления (б): 1, 2 – при плотности песка 1.68 г/см3 и 1.57 г/см3 соответственно.

Переходя к строению области влияния, полагаем, что ее граница в разрезе представляет собой гладкую кривую, описывающую комбинацию ломаных линий.

Последние состоят из линий активного ( = /4 + /2) и пассивного ( = /4 /2) давления, а также отрезков прямых типа AC, AD (рис. 2.18, 5.20), вдоль которых происходит локализация сдвиговых деформаций на стадиях подготовки провала. Углы их наклона, тоже являются функциями угла трения (5.17). Формирование “эллипсоида” в толще несвязных грунтов представляется следующим.

Рис. 5.20. Формирование расширяющегося (а, б, г) и трубообразного (в) каналов течения несвязных грунтов в начальный момент времени (а), на стадиях неустановившегося (б), переходного и установившегося (в, г) движения: АВ – ослабленный участок в жестком основании; АСВ – зона полных сдвижений, отрыва, блокового обрушения в статическом и квазистатическом состояниях или зона свободного падения частиц в режиме свободного истечения сыпучих тел; ADB – зона интенсивной разгрузки напряжений, разуплотнения, повышенной трещиноватости и потенциального обрушения в статике или зона преимущественного столкновения частиц в динамике; AADBBDA – статическая или квазистатическая зона опорного давления и возможного скольжения или динамическая зона пластического течения; AADBB – динамический «свод»; DACBD – зона перехода от аномально низких и высоких напряжений к литостатическим (зона возможного прогиба и разуплотнения) в статике и зона перехода от сходящегося движения к поршневому в динамике; AACBB – область влияния ослабленного участка или эллипсоид выпуска;

1, 2 – границы области видимого деформирования и максимально широкого канала течения соответственно; = /4 /2, = /4 + /2, =, /2, = + (– угол трения между зернами песка, – связанный с упаковкой угол дилатансии, изменяющийся при разуплотнении от max до min). Маленькими стрелками показано направление максимальных касательных напряжений, большими – общее направление движения сыпучего или раздробленного грунта.

В момент появления отверстия пески пытаются сместиться в него по поверхности, составляющей с горизонтом угол = /4 + /2. Это приводит к сжатию слоя над полостью и образованию клиньев, размеры которых определяются шириной полости и углом наклона - и -линий (рис. 5.20, а). При этом центральный клин, образованный -линиями и расположенный прямо над отверстием, оказывается не зажатым и поступает в полость [19]. В экспериментах он не регистрируется из-за малых размеров, а в этот момент наблюдается некоторое разуплотнение и изгиб толщи в области AEFB, наиболее заметные внутри параболической области (рис. 4.3.1, раздел 4.1), близкой по форме к полуокружности (1, рис. 5.20, а), где перемещения частиц достигают максимальных значений. Вслед за этим в отверстие смещается конус АСВ (рис. 5.20, б), четко фиксирующийся в опытах (рис. 4.3.2). Его высота предопределена размерами AEFB, точнее – высотой подъема первичных боковых клиньев, ограниченных - и -линиями.

Нетрудно показать, что при этом АСB = 2 и, следовательно, В разделе 4.2 отмечалось, что именно такой высотой характеризовались своды обрушения в классических опытах М.М. Протодьяконова [228], тогда как теоретический анализ устойчивости параболического свода в опорах под действием равномерно распределенного по поверхности свода давления дает высоту, в два раза меньшую (z0 = R/2tg). В том же разделе, но иным способом получено идентичное равенству (5.18) выражение (4.2).

Таким образом, на стадии неустановившегося движения в результате взаимодействия областей активного и пассивного состояния грунтов в отверстие выпадает конический блок с углом (/2 + ) при вершине. Зона АСВ выполняет функцию разгружающего свода, к которому примыкают “пластические клинья” AGC, BHC (рис.

5.20, б), аналогичные тем, что сформировались в начальный момент времени (рис. 5.20, а).

Они определяют максимально возможную ширину области влияния отверстия, а значит, и ширину канала течения на этой стадии (2х1, рис. 5.20, б). Но вначале область видимых деформаций ограничена конусом с выпуклой боковой поверхностью ADB (1, рис. 5.20, б).

На переходной стадии и стадии установившегося движения сводом обрушения является конус ACB, а блок ADB играет роль разгружающего свода. Причем в зависимости от мощности слоя, плотности грунтов, шероховатости основания и условий на выходе – свободный выпуск, стесненное деформирование – процесс может развиваться по схеме первой (рис. 5.20, в) или второй (рис. 5.20, г) форм истечения, которые могут быть проиллюстрированы моделями идеальных дискретных тел.

На фотографиях 1 рисунка 5.21 видно, что независимо от начальных и граничных условий процесс начинается с образования замкового блока (АСВ, рис. 5.20, в, г). Его поступление в полость, по выражению С.Б. Стажевского [263], открывает дорогу сыпучим грунтам, характер движения которых теперь оказывается тесно связанным с их плотностью и, на наш взгляд, со скоростью выпуска и шероховатостью основания. Если, например, имеет место проскальзывание частиц на кромках отверстия, то поверхность сдвига образуется вдоль нижней границы пластических клиньев (АА, ВВ, рис. 5.20, г; 2, 3, рис. 5.21, б). Дальше процесс “выпадение свода – сдвиг по наклонным поверхностям” повторяется (4, 5, рис. 5.21б), что и приводит к появлению расширяющегося канала.

Защемление грунта на кромках или его плотная упаковка запрещают такое развитие провалообразования. В этих случаях скольжение приурочено к вершине замкового блока и происходит у верхней границы зоны опорного давления (DA, DB, рис. 5.20, в; 1, 2, рис.

5.21, а) по -линиям. Разуплотнение сменяется срезом по вертикальным поверхностям, и в итоге возникает труба течения (3, 4, рис. 5.21, а), стенки которой в реальных грунтах можно рассматривать как поверхность вынужденного смещения. За ней деформации, как и в застойной зоне (см. раздел 5.4), настолько малы, что их можно не принимать во внимание.

Рис. 5.21. Начальные стадии образования цилиндрического (а) и расширяющегося (б) каналов, или первая и вторая формы движения идеальных дискретных тел в плоских моделях толщиной в один диаметр частиц (d = 2.0 ± 0.02 мм), уложенных из свинцовых шариков (L – ширина опускающегося поршня).

На рис. 5.20 (в, г) видно, что на переходной стадии и стадии установившегося движения диаметр трубообразного канала находится в интервале 2R Dк 2x0, а эллиптического (расширяющегося) – 2х1 Dк 2х2. Из геометрических построений следует [19], что Для грунтов, угол трения которых находится в пределах = 24°31°, с достаточной точностью можно принять, что = /2, и упростить вычисления.

Учитывая, что в предельном состоянии sin = (1 2)/(1 + 2), и коэффициент бокового распора = tg2, где tg = tg(/4 /2) = cos/(1 + sin), максимальную ширину канала течения (5.21) можно представить в виде Строго говоря, равенство sin = (1 2)/(1 + 2) справедливо только для плоской задачи.

Тем не менее, зная о близости многих двумерных и осесимметричных (2 = 3) решений, полагаем, что выполненная при получении (5.21а) подстановка достаточно корректна. Как отмечалось в разделе 3.2, tg = 0.19, поэтому выражение (5.21а) заметно упрощается:

Уравнения (5.21, а, б) объясняют, почему вверх по потоку канал течения несвязных грунтов расширяется, даже если угол их трения не изменяется, как, например, в полностью дилатированной среде (см. раздел 5.4). Снизу вверх главные напряжения 1, небольшие вблизи ослабленного участка, увеличиваются, а достаточно высокие значения 2 уменьшаются. Как следствие, растет диаметр канала, но кривизна расходящихся границ уменьшается по мере приближения значений главных нормальных напряжений к литостатическим. Выше динамического “свода” (z > z2, рис. 5.20, г) 1 z, 2 x, и отношение (1 + 2)/(1 2) становится практически инвариантом, а Dк = 2х2 const.

На практике далеко не всегда удается рассчитать напряженное состояние массива пород вблизи карстовой полости, а тем более его изменение в процессе деформирования.

Рассмотренная выше концепция области влияния учитывает этот аспект проблемы и, кроме того, базируется на представлениях о взаимодействии зон активного и пассивного давления, локализации деформаций и формировании блоковой структуры массива в процессе деформирования. Уравнения (5.18)(5.24), отражающие эту концепцию, легко использовать для прогноза диаметра воронок внутри и на поверхности покровной толщи, если предварительно оценить, например, по данным геофизических или спелеологических исследований, размеры карстовых полостей. Можно решить и обратную задачу: зная диаметр свежих провалов, рассчитать пролет ослабленных участков.

Мысленно увеличивая на рис. 5.20 (г) мощность песков среднего или плотного сложения, видим, что сначала, в тонком слое (h z0), эффекты дилатации не играют заметной роли. Обрушение свода ACB и смещение боковых призм по линиям скольжения семейства вблизи граничных поверхностей AE, BF кажутся одновременными, и диаметр воронки (оседания или провала в зависимости от высоты карстовой полости) близок к максимально возможному пролету 2x0.

Если z0 < h z1 (рис. 5.20, г), то образование замкового блока ACB сопровождается разрыхлением грунта и возникновением сдвигов, параллельных AC и BC, внутри криволинейного треугольника ADB. У дневной поверхности эти сдвиги отделяют плоское дно мульды оседания или сдвижения от ее периферийной части (см. также рис. 5.15).

По мере выноса грунта дно воронки опускается, увеличивается прогиб ее крыльев, и последовательно от центра к периферии реализуются сначала -, затем -линии скольжения. При этом диаметр провала приближается к 2x1 (рис. 5.20, г). Таким образом, деформирование песчаного слоя небольшой мощности (h z1), как отмечалось, аналогично сдвижению подработанных массивов пород. С ростом h роль дилатации возрастает, а площадь первичной мульды (сдвижения или оседания) уменьшается.

Когда z1 < h z2, вокруг зоны разгрузки формируется зона опорного давления AADBB (рис. 2.18, 5.20, г). Скольжение грунта вдоль -линий в ней невозможно, а развитие -линий способствует расширению канала течения на отметках z0 z z1 вплоть до значений 2R. Выше точки D возникают разрывы типа AC, BC, приуроченные к граничным линиям скольжения DA, DB. Из-за близости дневной поверхности они проявятся на ней в виде воронки, скорее всего – провальной, которая сообщается с отверстием АВ трубообразной и даже сужающейся кверху областью деформирования.

В интервале z2 < h z3 связанные с отверстием зоны разгрузки и опорного давления полностью сформированы, и движение песка в них определяет характер деформирования вышележащих грунтов. Если песок свободно падает в отверстие, то разуплотнение слоя в зоне AADBB (-сдвиги) быстро сменяется скольжением грунта по -поверхностям. В то же время выше появляются поверхности отрыва, аналогичные АС и ВС, и область видимых деформаций становится похожей на эллипсоид. Его малая полуось меньше x2, так как песок поступает в зону АСВ не только с боков, но и сверху, а мощность слоя все еще невелика. Влияние границ DA и DB, у которых направление и скорость движения меняются, сказывается на форме оседания поверхности. Обнаружив такую воронку в полевых условиях, мы назвали бы ее “суффозионной” из-за характерного треугольного профиля. Если же, как это чаще всего бывает в районах покрытого карста, песок постепенно, отдельными порциями поступает в трещинно-поровое пространство растворимых пород, то канал течения будет трубообразным с диаметром, примерно равным 2R.