ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

им. М.В.Келдыша РАН

На правах рукописи

Ткачев Степан Сергеевич

Исследование управляемого углового движения аппаратов с

ротирующими элементами

Специальность 01.02.01 – теоретическая механика

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

профессор, д.ф.-м.н.

М.Ю.Овчинников Москва - 2011 Введение

Глава 1. Системы координат и уравнения движения

1.1. Системы координат

1.2. Уравнения движения

1.3. Методы исследования уравнений управляемого движения

Глава 2. Исследование динамики спутника с трехосной маховичной системой ориентации

2.1. Постановка задачи и уравнения движения

2.2. Исследование переходных процессов

2.3. Исследование процессов насыщения маховиков в установившемся режиме

2.4. Учет возмущений, действующих на аппарат

2.4.1. Влияние внешних возмущений

2.4.2. Влияние недиагональных элементов тензора инерции

2.4.3. Влияние отклонения оси маховика от заданного положения............. 2.5. Анализ углового движения микроспутника “Чибис-М”

2.6. Лабораторные испытания системы ориентации микроспутника “ЧибисМ”

Глава 3. Анализ динамики осесимметричного аппарата с трехосной маховичной системой ориентации без разгрузки

3.1. Постановка задача

3.2. Уравнения движения

3.3. Исследование переходных процессов

3.4. Исследование эволюции кинетических моментов маховиков в стационарном режиме

3.5. Снижение информационно-вычислительных требований алгоритма...... Глава 4. Динамика тела на вертикальной струне с управлением осевым вращением при помощи вентиляторов

4.1. Постановка задачи и уравнение движения

4.2. Исследование уравнений движения

4.3. Управление одноосным вращением тела

4.4. Лабораторные испытания макета

5. Заключение

Литература

Приложение 1. Лабораторный стенд для верификации маховичной системы управления и определения ориентации.

Описание макета

Имитатор геомагнитного поля

Имитатор Солнца

Аэродинамический подвес

Приложение 2. Лабораторный стенд для испытания макета воздушно-винтовой (вентиляторной) системы управления ориентацией.

Описание макета

Методика проведения испытаний

Введение Классификацию систем управления ориентацией космических аппаратов можно проводить по разным критериям. Наверное, наиболее используемым можно назвать разделение на пассивные и активные системы. К пассивным относятся гравитационные, магнитные, аэродинамические, солнечные системы.

К активным относятся маховичные системы, магнитные, где в качестве исполнительных элементов выступают токовые катушки, системы, использующие реактивные двигатели. Существует другое разделение – системы, использующие внешние поля и системы, не требующие наличия таких полей для своего функционирования. К первому типу относятся магнитные, гравитационные, аэродинамические, солнечные, ко второму – маховичные и системы ориентации с реактивными двигателями.

В настоящей работе рассматривается динамика и анализируются алгоритмы для двух типов активных систем ориентации.

Первый тип – маховичные системы ориентации космических аппаратов [1-5]. Они использовались, например, на спутнике “Электро (GOMS)”, спутниках серий “Метеор”, “Ресурс-О”, “Канопус”, спутнике “Татьяна-2”, поздних версиях “Meteosat”, малых спутниках “BIRD”, “SNAP”, “RapidEye” и других. Основным преимуществом маховичных систем является возможность использования в отсутствии внешних силовых полей или когда эти поля являются возмущающим фактором; также маховики не расходуют рабочее тело, как это делают реактивные двигатели. К недостаткам можно отнести более сложную динамику аппарата, а также насыщение маховиков (достижение предельной скорости собственного вращения или предельного кинетического момента), когда они не могут более разгоняться, а, следовательно, создавать требуемый управляющий момент. Обычно на космических аппаратах имеются механизмы разгрузки маховиков. Однако возникают ситуации, представляющие практический интерес, когда использование таких механизмов не представляется возможным (малые габариты аппарата, отсутствие или слабость полей). Поэтому необходимо тщательно разработать конфигурацию маховичной системы управления, чтобы достичь требуемой длительности работы системы без применения механизмов разгрузки.

Существует ряд работ, посвящённых маховичным системам, в которых они рассматриваются в аналогичном ракурсе. В основном в качестве закона управления используется PD-регулятор, основанный на парировании рассогласования по отклонению и скорости. Такой тип управления широко применяется при активном маховичном управлении [8-16]. В качестве параметров, описывающих угловое движение, могут выступать параметры Родрига-Гамильтона (например, [6-9]), направляющие косинусы. В работе [17] представлено несколько вариантов параметризации движения относительно центра масс и записан закон управления в каждом из них. В представляемой работе ориентация задаётся матрицей направляющих косинусов (для общего случая) и набором углов (для исследования движения вблизи положения равновесия).

Важным вопросом является выбор коэффициентов пропорциональности PD-регулятора. В конечном итоге они определяют время разворота, энергопотребление и многое другое. В настоящей работе критерием выбора параметров является скорость протекания переходных процессов. В большинстве работ, посвящённых алгоритмам маховичных систем, вопрос выбора параметров либо опускается [10,12,15] и приводится лишь несколько примеров работы алгоритма, либо для их определения используются численные методы [11]. В настоящей работе реализована методика выбора параметров PDрегулятора с помощью максимизации степени устойчивости [18] использовался в работах [19-21], но в представляемой работе в силу специфики систем он претерпел ряд изменений.

Ещё одним вопросом, о котором идёт речь в работе, является эволюция кинетического момента маховиков на длительном интервале времени.

Маховичные системы управления ориентацией, как правило, имеют механизмы разгрузки (токовые катушки [22], реактивные двигатели, использование гравитационного момента [23]). Как уже было сказано, использование таких механизмов не всегда возможно, поэтому возникает необходимость в получении эволюции кинетических моментов маховиков на протяжении всей жизни спутника, чтобы определить требуемый запас кинетического момента маховика.

В работе рассматриваются трехосные маховичные системы ориентации.

Несмотря на то, что в соответствующих главах говориться о трех маховиках, оси которых взаимно перпендикулярны, маховиков может быть больше и их расположение может отличаться от рассматриваемого в работе. В этом случае рассчитанный управляющий момент перераспределяется между маховиками.

Вопрос расположения осей маховиков и распределения между ними этого момента изучен в литературе [24-28] и в диссертации он не затрагивается.

Второй тип – система ориентации, использующая вентиляторные двигатели. Такая система ориентации может применяться для объектов, движущихся в атмосфере, например, для управления ориентацией полезной нагрузки на воздушном баллоне. Воздушные баллоны широко используются для проведения научных исследований [29]. С недавнего времени эксперименты на воздушных баллонах стали применяться в образовательных целях. Примером является Европейская образовательная программа BEXUS [30], в рамках которой молодые исследователи приобретают навыки проведения натурных экспериментов, участвуют в создании служебных модулей и полезной нагрузки. При выполнении отдельных задач, решаемых полезной нагрузкой, требуется наведение прибора в заданную точку или отслеживание осью прибора выделенного направления на поверхности Земли.

Для подобного рода объектов в качестве исполнительных органов системы ориентации используются маховики [31],[32]. Такие системы, хотя и являются довольно точными и надежными, обходятся недешево. В настоящей работе предлагается в качестве исполнительных органов системы управления ориентацией использовать воздушно-винтовые (вентиляторные) двигатели. В этом случае удается обеспечить необходимую ориентацию полезной нагрузки вокруг вертикали с помощью вентиляторов, а ориентацию прибора осуществлять в вертикальной плоскости основного блока полезной нагрузки.

Такие системы просты в эксплуатации и относительно дешевы, в то же время для небольших высот над поверхностью Земли (конкретные высоты зависят от параметров двигателя) эти двигатели достаточно эффективны [33].

Вентиляторные двигатели могут быть использованы как в качестве исполнительных органов системы управления ориентацией полезной нагрузки, подвешенной к воздушному баллону, так и для безопасной имитации реактивных двигателей в учебной лаборатории.

В первой главе вводятся системы координат и выводятся уравнения движения, так же описываются методы исследования, которые используются в последующих главах.

Вторая глава посвящена исследованию движения микроспутника с системой ориентации, обеспечивающей его трехосную ориентацию на орбите Земли. С использованием методов, описанных в первой главе, вводится управление, и определяются его параметры. Основное внимание уделено влиянию возмущений на точность ориентации. При этом в качестве возмущений рассматриваются влияние моментов внешних сил и ошибки, возникающие при изготовлении аппарата и установке актюаторов. Для каждого вида возмущений выводятся конечные соотношения оценки точности ориентации и минимальной угловой скорости.

вращающегося микроспутника с трехосной маховичной системой ориентации.

Здесь особенностью является отсутствие механизмов разгрузки. Связано это с тем, что классические механизмы разгрузки (например, токовые катушки, реактивные двигатели или гравитационный момент) по разным причинам использовать не представляется возможным. Так же номинальный (стационарный) режим движения предполагает ориентацию одной оси (оси симметрии) и вращение аппарата с относительно быстрой угловой скоростью вокруг этой оси. Здесь основное внимание уделено получению конечных отношений для параметров управления, обеспечивающих быстрое приведение в положение равновесия. Так же, аналогично, второй главе проведено исследование влияния возмущений на аппарат и предложен метод, позволяющий упростить вычисление управляющего момента на борту аппарата.

В четвертой главе согласно методу, описанному в первой главе, вводится закон управления для системы управления макета на вертикальной струне. В качестве актюаторов используются вентиляторные двигатели. В этой главе строится управление, обеспечивающее отслеживание некоторой траектории, исследуется динамика аппарата. Для подтверждения полученных результатов проводятся лабораторные исследования с использованием разработанного и созданного для этих целей макета.

Глава 1. Системы координат и уравнения движения 1.1. Системы координат В работе используются следующие системы координат:

перпендикулярно плоскости эклиптики, OY3 направлена в точку весеннего равноденствия, а OY1 дополняет эту систему до правой ортогональной системы координат, начало координат – центр масс спутника;

Ox1 x2 x3 – связанная система координат, оси которой являются главными центральными осями инерции аппарата;

Oz1 z2 z3 – полусвязанная система координат: одна из осей этой системы совпадает с осью системы Ox1 x2 x3, две другие вращаются относительно аппарата с некоторой угловой скоростью;

OS1S2 S3 – солнечная система координат: OS2 направлена перпендикулярно плоскости эклиптики, OS1 направлена на Солнце, ось OS3 дополняет эту систему до правой.

OX 1 X 2 X 3 – опорная система координат, которая строится в зависимости от поставленной задачи. В работе этой системой, в частности, является орбитальная система координат: ось OX 3 направлена по вектору местной вертикали, OX 2 – по нормали к плоскости орбиты, OX 1 дополняет систему до правой ортонормированной системы координат.

Связь между системами координат Ox1 x2 x3 и OX 1 X 2 X 3 задаётся двумя способами: набором углов,, (рис.1.1) (углы Крылова) и матрицей направляющих косинусов A.

В случае самолетных углов переход от системы OX 1 X 2 X 3 к системе Ox1 x2 x3 происходит с помощью трех последовательных поворотов (рис.1.1).

Первый поворот осуществляется относительно оси OX 2 на угол, второй – вокруг Ox3 (ось в которую после первого поворота переходит OX 3 ) на угол, третий – вокруг оси Ox1 на угол.

Матрица направляющих косинусов через углы Эйлера запишется в виде Матрица описывает переход из системы координат OX 1 X 2 X 3 в связанную систему координат Ox1 x2 x3.

Связь между OX 1 X 2 X 3 и инерциальной системой координат OYY2Y задаётся матрицей, которая описывает переход от OYY2Y3 к OX 1 X 2 X 3. Вид этой матрицы зависит от движения опорной системы координат и в дальнейшем в каждом конкретном случае она будет введена.

При последующем изложении вектор в определенной системе координат будем обозначать как aY, здесь индекс Y обозначает, что вектор записан в системе координат OY1Y2Y3.

1.2. Уравнения движения При создании математических моделей движения систем, исследуемых в работе, используется закон изменения кинетического момента (динамические уравнения Эйлера) и кинематические уравнения:

или Здесь K = J абс – кинетический момент аппарата; абс = отн + A 0 – вектор абсолютной угловой скорости; J – тензор инерции тела; M вш – момент внешних сил, M упр – управляющий момент, отн = (1 2 3 ) записанный в осях системы Ox1 x2 x3, 0 – абсолютная угловая скорость системы координат OX 1 X 2 X 3, матрица W имеет вид моделировании, а соотношения (1.3) – для проведения аналитических исследований, при этом набор углов выбирается таким образом, чтобы избежать вырождения в исследуемом положении равновесия.

Определим управление M упр в (1.1). Будем строить такое управление, которое совмещает системы координат Ox1 x2 x3 и OX 1 X 2 X 3. Таким образом, управляющий момент M упр должен создавать такое положение равновесия, в котором отн = 0, а матрица A – единичная (или, другими словами, = = = 0 ) и обеспечивать его асимптотическую устойчивость. Будем строить управление, используя функцию Ляпунова V. В качестве кандидата на эту функцию используем выражение Здесь aii – диагональные элементы матрицы направляющих косинусов Функция (1.4) удовлетворяет требованиям, которые накладываются на функцию Ляпунова, а именно:

V = 0 при отн = 0 и единичной матрице A ;

V > 0 при всех остальных значениях отн и A.

Запишем теперь V, для этого воспользуемся соотношениями K = J абс, Здесь 0 – угловая скорость, с которой движется опорная система координат OX 1 X 2 X 3. Итак, Используя (1.2), исключим из правой части этого выражения производные по времени элементов матрицы направляющих косинусов Для того чтобы гарантировать выполнение условия V = 0 при отн = 0 и единичной матрице A, V < 0 при всех остальных значениях отн и A, как того требует теорема Барбашина-Красовского, примем Здесь k > 0 – коэффициент пропорциональности, который является так же как и ka параметром управления ([k ] = Н м с ). Таким образом, управление, обеспечивающее асимптотическую устойчивость положения равновесия отн = 0 и A – единичная, имеет вид Подставляя полученное управление в (1.1), получим Дополняя это уравнения кинематическими уравнениями, получаем систему уравнений, описывающую управляемое движение системы, J отн + k отн + kaS = 0, A = WA.

При этом учитывается, что управление определяется соотношением (1.6). В работе во второй и третьей главе управляющий момент создается маховичной системой ориентации, в четвертой – используются вентиляторные двигатели.

Явные выражения для моментов получены в соответствующих главах.

1.3. Методы исследования уравнений управляемого движения Исследование уравнений производится двумя способами: аналитическое исследование и численное моделирование [34]. Причем большее внимание уделяется именно аналитическим исследованиям, а численное моделирование используется лишь для подтверждения полученных при таких исследованиях выводов.

Движение можно разбить на два этапа – переходные процессы и номинальный режим. Целью исследования переходных процессов является определение параметров управления ka и k. Параметры подбираются таким образом, чтобы обеспечить максимальную степень устойчивости характеристического полинома линеаризованной системы (1.7). Степенью устойчивости полинома [18] называется действительная часть самого правого корня, взятая с обратным знаком. Эта величина может служить мерой быстроты протекания переходных процессов, и чем она больше, тем быстрее система приходит в асимптотически устойчивое положение равновесия. Исследование динамики системы в номинальном режиме проводится с целью получения эволюции кинетических моментов маховиков и оценок точности ориентации.

Глава 2. Исследование динамики спутника с трехосной маховичной системой ориентации В настоящей главе исследуется движение спутника с активной маховичной системой ориентации. Примером такого спутника может являться аппарат “Чибис-М” [35]. Он относится к классу микроспутников, предназначен для детального исследования грозовых разрядов и требует трехосной ориентации в орбитальных осях.

В качестве исполнительных элементов ориентации спутника используются три взаимно ортогональные пары маховиков (для точной ориентации) и катушки (для предварительного успокоения и разгрузки маховиков). Задача системы ориентации – обеспечение “гравитационной ориентации”, то есть совмещение главных центральных осей инерции аппарата с соответствующими осями гравитационной системы координат (основной режим функционирования).

2.1. Постановка задачи и уравнения движения В настоящей главе решается задача ориентации аппарата с помощью маховичной системы. Опорной системой координат OX 1 X 2 X 3 здесь является орбитальная система координат. Таким образом, угловая скорость опорной системы координат будет 0 = ( 0 орб 0 ), где орб – угловая скорость орбитального движения.

Как уже было сказано, управляющий момент создается тремя взаимно ортогональными маховиками. В этом случае суммарный кинетический момент будет K = J абс + H, где H – вектор кинетического момента маховиков в связанной системе координат. Тогда из (1.1) можно найти управляющий момент Управление строится так же, как и в п.1.2. В точности повторив все шаги этого пункта [36], получим замкнутую систему, описывающую движение аппарата 2.2. Исследование переходных процессов Целью исследования является определение параметров закона управления характеристического полинома линеаризованной системы. Перейдём к безразмерным величинам. Для этого сначала введём обозначения Здесь H max и H max – характеристики маховиков – максимальный кинетический момент и максимальный реактивный момент, создаваемый маховиком, соответственно. Далее переходим к безразмерным величинам:

В безразмерных величинах первое уравнение системы (2.1) запишется следующим образом:

Линеаризуем уравнение (2.3) в окрестности положения равновесия соотношениями, получим систему Характеристический полином этой системы будет иметь вид:

Его корни Найдём такие соотношения параметров управления K a и K, чтобы самый правый корень характеристического полинома лежал как можно левее (достигалась максимальная степень устойчивости). Область параметров можно разделить на четыре части ( 2 > 1 > 1 ):

устойчивости определяется выражением выражением При 8 K а < K 8 2 K а степень устойчивости будет либо 1, либо 2.

Равенство 1 = 2 будет при условии устойчивости, пунктирная линия – указанная выше парабола.

Рис.2.1. Ломаные – изолинии с одинаковой степенью устойчивости;

прямая – ограничение на управление; пунктирная линия – парабола, на которой На рис.2.1 так же построена прямая, учитывающая ограничение по управляющему моменту H 0t Здесь max и max – максимальные отклонения по ориентации и угловой скорости. Все точки на плоскости ( K, K а ) должны лежать ниже (левее) этой прямой. Таким образом, искомые значения будут лежать на пересечении кривой K = K находится из выражения:

Таким образом, найдены параметры, обеспечивающие максимальную степень устойчивости.

2.3. Исследование процессов насыщения маховиков в установившемся режиме В режиме гравитационной ориентации (оси связанной и орбитальной систем координат совпадают) в качестве внешних возмущающих моментов будем рассматривать аэродинамический и магнитный моменты, исследуем их влияние. Так как в этом случае то кинематические и динамические уравнения обращаются в тождества.

Запишем уравнение, описывающее эволюцию кинетических моментов маховиков при удержании аппарата в положении равновесия при действии магнитного момента, вызванного остаточной намагниченностью, и аэродинамического момента В качестве моделей аэродинамического и магнитного моментов, примем следующие модели [37]:

Здесь M а, M м – аэродинамический и магнитный моменты соответственно; – плотность атмосферы; Сx – коэффициент сопротивления, S – характерная площадь поперечного сечения; – скорость орбитального движения; ra – радиус-вектор центра давления в связанной системе координат; L – остаточный магнитный момент аппарата; B – вектор индукции внешнего магнитного поля в связанной системе координат. Перепишем (2.5) в координатной форме.

H1 + 0 H 3 = 2 L2 B0 sin 0t sin i L3 B0 cos i, Решение этой системы запишется следующим образом:

Решение позволяет оценить время, за которое достигается насыщение маховичной системы (время, через которое надо производить разгрузку обусловленного остаточной намагниченностью:

Эти формулы используются для оценки времени насыщения, в то время как выражения (2.7) описывают точную (при принятой модели возмущений) эволюцию кинетических моментов маховиков во времени.

2.4. Учет возмущений, действующих на аппарат Запись закона управления (1.6) предполагает, что управляющий момент формируется с учетом величины момента внешних сил. Однако, как правило, этот момент либо неизвестен, либо его определение требует установки дополнительных датчиков и дополнительной нагрузки на бортовой компьютер.

Кроме того, на движение аппарата могут влиять и другие возмущения, например, естественные неточности при изготовлении аппарата. Перепишем выражение (1.5) в виде где M возм – возмущающий момент, появление которого может быть обусловлено как внешними воздействиями, так и внутренними факторами.

По аналогии с разделом 1.3 потребуем выполнения равенства тогда первое слагаемое будет меньше нуля. Отсюда управляющий момент В этом случае управление формируется только с учетом информации о движении опорной системы координат OX 1 X 2 X 3 и данных о движении связанной системы координат Ox1 x2 x3 относительно OX 1 X 2 X 3. Недостатком такого управления является то, что при приближении к положению равновесия уже не гарантируется V < 0, а значит и асимптотическая устойчивость требуемого положения. Можно получить оценку минимальной угловой скорости, при которой еще гарантированно выполняется условие V < 0.

Запишем (2.8) в виде Наихудший случай будет при ( отн, M возм ) = отн М возм, тогда k отн + отн М возм < 0.

Отсюда получаем оценку Здесь речь идет об абсолютных величинах, M возм максимальная величина критического значения, то можно либо продолжать использовать тот же закон управления (2.9), либо переходить в другой режим, который зависит от движения опорной системы координат. Для оценки точности ориентации докажем одно утверждение.

Пусть имеется возмущенная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

Здесь D0, D1, E0, E1, F0, F1 – матрицы с постоянными элементами, а Q – вектор с постоянными компонентами, 1 – малый параметр. Кроме этого, известно, что характеристический многочлен невозмущенной системы D0q + E0q + F0q = устойчив. Тогда многочлен и для возмущенной системы при достаточно малом будет устойчивым, а новое асимптотически устойчивое положение равновесия будет q 0 = ( F0 + F1 ) Q = F01Q + O( 2 ).

Докажем сначала устойчивость многочлена возмущенной системы. По условию многочлен невозмущенной системы устойчив. Многочлен возмущенной системы будет иметь вид Здесь fi – функция элементов матриц D1, E1, F1, а так же членов более высоких порядков малости по. Воспользуемся критерием Рауса-Гурвица для возмущенного многочлена. Главные миноры будут иметь вид i = 0i + 1i, где 0i – соответствующие главные миноры матрицы Гурвица невозмущенного многочлена. При достаточно малом знак i будет совпадать со знаком 0i, а значит, по критерию Рауса-Гурвица возмущенный многочлен будет устойчив.

алгебраической системы уравнений Выражая отсюда q 0, получим решение q 0 = F01Q + O( 2 ).

Рассмотрим влияние конкретных возмущений на точность ориентации.

2.4.1. Влияние внешних возмущений Сначала рассмотрим влияние внешних возмущений на точность системы ориентации. В этом случае оценка минимального значения модуля вектора относительной угловой скорости В качестве возмущающих моментов будем рассматривать те же моменты, что и максимальные значения обоих моментов, получим оценку минимальной угловой скорости Найдём теперь оценки точности ориентации. Движение системы описывается уравнениями Iотн K aS + K отн A = AW.

Линеаризуем эту систему в окрестности положения равновесия В качестве модели поля будем использовать постоянное поле. Величины доказанному в начале раздела утверждению, асимптотически устойчивым положением равновесия будет положение Значение минимальной угловой скорости будет Таким образом, получены конечные формулы, позволяющие оценить точность ориентации, а так же минимально достижимую величину угловой скорости.

2.4.2. Влияние недиагональных элементов тензора инерции Рассмотрим теперь случай, когда тензор инерции аппарата имеет недиагональные элементы. На практике такая ситуация возникает в силу того, что главные оси аппарата определяются с некоторой точностью, что приводит к ошибке при вычислении и реализации управления. В настоящем разделе рассматривается влияние такой ошибки на точность ориентации. Тензор инерции представим в виде недиагональные элементы много меньше главных моментов инерции то есть Здесь обозначения аналогичны безразмерным величинам в (2.2б). В этом случае В дальнейшем, для простоты выкладок, будем считать, что J12 J13 J Здесь 1. Уравнения движения в этом случае запишутся в виде A = WA.

По аналогии с предыдущим пунктом получим оценку точности по угловой скорости. Для этого запишем V :

Для того чтобы получить оценку сверху второго слагаемого, запишем цепочку неравенств:

отн0 J1I цб A 0 + отн0 J1I цб отн + J1I цб WA 0 + J1I цб отн + J1I цб A отнmax (02 + 2отн0 + отн max + 0 ).

Здесь max – максимальное по модулю собственное значение матрицы I цб.

Тогда, учитывая что а орбита круговая, получим Чтобы найти оценку точности ориентации при таком возмущении, перейдем к безразмерным величинам с помощью соотношений (2.2а, 2.2б), а затем линеаризуем систему (2.11) в окрестности положения равновесия. В итоге получим следующую систему:

Как и в предыдущем пункте, оценку точности ориентации определим из доказанного в начале утверждения. В итоге выражения для оценки примут вид:

или в размерных величинах Таким образом, получены конечные оценки точности ориентации в случае несовпадения конструкционных и главных осей инерции аппарата.

2.4.3. Влияние отклонения оси маховика от заданного положения положения на динамику углового движения аппарата. Пусть маховики отклонены от главных осей инерции тела. Для оценки будем считать, что углы эти малы (считаем, что величина ошибки установки невелика) и равны. Для определённости будем считать, что маховик, ось которого направлена по оси Ox1, отклонён в плоскости Ox1 x2, по Ox2 – в плоскости Ox2 x3, по Ox3 – в плоскости Ox1 x3. Тогда кинетический момент маховиков будет равен С учётом малости угла отклонения, можно переписать кинетический момент маховиков в виде:

В этом случае уравнения движения примут вид A = WA.

Используя рассуждения, изложенные выше, получим ограничение точности по угловой скорости Линеаризованные уравнения движения с учетом того, что компоненты отн и,, имеют порядок малости, примут вид Здесь в качестве правой части воспользуемся результатами пункта 2.3. Решение однородной системы описывает затухающие колебания, поэтому главную роль будет играть частное решение неоднородной системы, которое имеет вид Видно, что кроме зависимости точности ориентации от малого параметра, существует зависимость от значений кинетических моментов маховиков.

2.5. Анализ углового движения микроспутника “Чибис-М” Проиллюстрируем полученные результаты вычислениями для спутника “Чибис-М” [35, 36]. Тензор инерции аппарата J = diag (1.03 1.51 1.75) кг м 2.

Наклонение орбиты i = 56.7°, её высота h = 550 км. Так как производится предварительное успокоение, то на момент включения маховичной системы модуль начальной относительной угловой скорости не превышает 1 °.

Параметры маховиков H 0 = 0.072 Н м с, m = 0.00023 Н м.

Вычислим сначала параметры управления. Для оценки максимальной угловой скорости будем использовать следующее выражение:

max = 0 max + или в безразмерных параметрах Для малых скоростей и отклонений max = 0.1 рад, max = 0.001 c 1, что соответствует движению в окрестности положения равновесия K a 50.8, Эти параметры будут использованы для получения оценок. Для оценки точности примем следующие значения: Cx = 2.1, S = 0.1 м 2. Будем считать, что центр давления смещён от центра масс на 10% от характерного размера, плотности берём среднее значение плотности для орбиты высотой 550 км Напряжённость магнитного поля B = 5 105 Тл. Сначала оценим величины слагаемых, стоящих в правых частях уравнений системы (2.10) и содержащие Это существенно меньше слагаемых, стоящих в левых частях уравнений системы (2.10) и содержащих,, ( 2ka 1 103 Н м ). Вычислим оценки, полученные в п.2.4.1, Значение минимальной угловой скорости Рассчитаем теперь оценки, полученные в п.2.4.2 при значении = 0.01.

Для оценок, полученных в п.2.4.3, Для оценки точности ориентации будем считать, что где J max = 1.75 кг м 2, 01 = 0.017 с 1. В этом случае точность ориентации составляет величину порядка 5 104 радиан. Для расчетов использовалось значение = 0.01.

Найдем теперь время, за которое происходит насыщение маховиков из-за моментов внешних сил. С учетом того, что устанавливаемые маховики имеют максимальный кинетический момент H max = 0.072 Н м с, время насыщения будет t м 8 ч, ta 4.5 сут. На рис.2.2 приведены графики, иллюстрирующие эволюцию кинетических моментов маховиков (2.7) на длительном интервале времени.

Рис.2.2. Эволюция кинетических моментов маховиков в установившемся режиме под действием аэродинамического момента Ясно, что время достижения максимального кинетического момента маховиками мало, это связано со слишком большой величиной остаточного магнитного момента. Выйти из этой ситуации можно, например, скомпенсировав его моментом, создаваемым токовыми катушками.

2.6. Лабораторные испытания системы ориентации микроспутника “Чибис-М” Для верификации алгоритма проведены лабораторные испытания.

Описание лабораторной установки дано в Приложении 1. Здесь лишь отметим, что она представляется собой макет системы ориентации и имитатор внешней среды. Далее на рис.2.3-2.4 приведены результаты лабораторных испытаний.

На приведенных рисунках представлен поворот макета вокруг вертикали в требуемое положение (начальный угол 105° ).

Глава 3. Анализ динамики осесимметричного аппарата с трехосной маховичной системой ориентации без разгрузки В настоящей главе анализируется динамика аппарата с маховичной системой ориентации, состоящей из трёх маховиков, оси которых взаимно перпендикулярны (рис.3.1), без системы разгрузки. Количество маховиков может быть и больше. В этом случае нужно, зная вектор кинетического момента маховиков, перераспределить его между реальными маховиками [24Рис.3.1. Конфигурация маховиков Следует сказать несколько слов о том, как возникла рассматриваемая в настоящей работе постановка задачи, тогда станут понятными те специфические требования, которые предъявляются к системе. В 2007 году в Институте космической физики (г. Кируна, Швеция) прорабатывался проект марсианского микроспутника [38-42]. В качестве исполнительных органов системы ориентации этого аппарата рассматривались две системы: двигатели малой тяги и маховики. Это связано в первую очередь с тем, что Марс имеет очень слабое магнитное поле, и использовать активную магнитную систему ориентации не представляется возможным. Расчётное время активного автономного существования аппарата – один марсианский год. Из-за малых размеров и массы аппарата было необходимо сократить до минимума использование маховиков и двигателей малой тяги исключалось. Для обеспечения энергетических нужд аппарата планировалось использовать солнечные батареи. Кроме того, для функционирования полезной нагрузки требовалась его закрутка с постоянной угловой скоростью вокруг оси, направленной на Солнце. Величина этой угловой скорости Естественным было сделать аппарат осесимметричным. Система отделения незначительную закрутку в плоскости, лежащей перпендикулярно оси симметрии ( 0, Уравнение P ( ) = 0 можно переписать в виде Тогда его корнями будут две пары комплексно-сопряженных корней с отрицательными действительными частями Будем искать такие параметры, для которых степень устойчивости многочлена максимальна. Прежде чем перейти к поиску, нужно указать ещё одно ограничение на параметры K a и K, которое следует из закона управления (последнее уравнение 3.6) и свойств маховиков. Каждый маховик имеет предельное значение управляющего момента. Тогда можно записать следующее неравенство:

Здесь hmax и max – максимальный момент, создаваемый маховиком, и максимальная начальная угловая скорость, соответственно. Неравенство (3.15) задаёт полуплоскость, лежащую ниже прямой Действительные части его корней имеют вид Ясно, что первая пара корней лежит правее второй (для всех K > 0 ), действительной части от параметров управления первой пары корней характеристического уравнения (3.14а). На рис.3.3 представлена зависимость действительной части первой пары корней от параметров управления K a и K.

Прямая линия (3.15а) ограничивает область допустимых значений этих параметров (как уже было сказано K a и K – положительные числа, поэтому интересующая нас область лежит внутри треугольника, образованного прямой (3.15а) и прямыми K a = 0 и K = 0 ). Кривые – это изолинии с одинаковым значением действительной части первой пары корней характеристического уравнения.

Рис.3.3. Зависимость действительных частей первой пары корней характеристического уравнения от параметров управления (стрелкой показано направление уменьшения действительных частей) На рис.3.3 изолинии (линии одинаковых значений действительных частей) с уменьшением действительной части корней уравнения смещаются в направлении, указанном стрелкой. Поэтому параметрами, обеспечивающими максимальную степень устойчивости, будут те, которые находятся в точке касания кривых-изолиний и прямой (3.15а). Для того чтобы их определить, запишем уравнение кривых, изображённых на рис.3.3, Здесь – такое значение действительной части корня, при котором происходит касание. Так как прямая (3.15а) является касательной, то для нахождения K a, K, нужно решить следующую алгебраическую систему уравнений:

Решая эту систему численно относительно K, K a,, находим значения параметров.

Итак, были рассмотрены две пары комплексно-сопряженных корней уравнения (3.14а), теперь вернёмся к исходному уравнению пятой степени.

Может получиться так, что самым правым корнем окажется = K, тогда найденные выше параметры уже не будут обеспечивать максимальную степень устойчивости. Это произойдёт тогда, когда Решим это неравенство. Перепишем его в виде Для выполнения неравенства необходимо выполнение 1 2 0. Равенство = 12 при ограничениях, наложенных на параметры управления, не выполняется. Неравенство же < 1 противоречит условию физической реализуемости тела (неравенству треугольника для моментов инерции). То есть корень = K лежит левее самого правого корня уравнения четвёртой степени при всех допустимых значениях параметров системы.

Перейдём теперь к исходному уравнению. Его можно переписать в виде Здесь a0, a1, a2, a3, a4, a5 – коэффициенты исходного полинома. В общем случае параметры управления будут зависеть от кинетических моментов маховиков и, как следствие, от начальных условий, что потребует расчета этих параметров при отделении. Сделать это точно в условиях ограниченных вычислительных возможностей бортового компьютера и времени до включения системы ориентации проблематично. Однако, учитывая малость кинетического момента маховиков после протекания переходных процессов, можно сказать, что корни уравнения (3.14) будут мало отличаться от корней уравнения (3.14а) (все корни различные, поэтому, согласно [43], корни будут аналитичны по малому параметру). Следовательно, параметры управления для любых значений кинетических моментов маховиков будут близки к тем, что были получены выше. Например, при hs1 = 0.8 ( hs 2 = hs 3 = 0 ) – K a 0.68, K 1.18, а при hs1 = 0.8 ( hs 2 = hs 3 = 0.2 ) – K a 0.74, K 1.15. При этом степень устойчивости будет при этих параметрах = 0.5734, а при параметрах K a 0.68, K 1.18 – = 0.5704. Видно, что степень устойчивости незначительно отличается от максимальной.

продемонстрировало, какие параметры управления K a и K необходимо выбирать с точки зрения быстроты протекания переходных процессов, а вовторых, дало возможность получить зависимости конечных значений кинетических моментов маховиков от начальных условий.

3.4. Исследование эволюции кинетических моментов маховиков в стационарном режиме Для исследования насыщения маховиков в течение длительного времени исследуем стационарный режим. Запишем закон управления, описывающий изменение кинетических моментов маховиков в установившемся режиме. Ясно, что в этом случае тогда Перейдем в систему OS1S2 S3, матрица перехода от системы OS1S2 S3 к Oz1 z2 z3 имеет вид Переход в новую систему координат осуществляется по формулам После такой замены переменных уравнения (3.16) в скалярной форме будут иметь вид (как уже говорилось, в качестве момента внешних сил рассматривается только гравитационный момент) hs1 + hs 3 = 0, hs2 = 3 2 (1 + e cos )3 (1 )es1es 3, Здесь – истинная аномалия., es1, es 2, es 3 – компоненты вектора местной вертикали в осях OS1S2 S3 и они равны:

es1 sin( )cos u cos i cos( )sin u e sin( )sin u + cos( )cos i cos u Выражение для момента, стоящее в правой части (3.17), при подстановке в него компонент es1, es 2, es 3 и раскрытии скобок даст в решении резонансный член hs1 = f s1 (t ) + где f s1 (t ), f s 2 (t ), f s 3 (t ) – периодические функции. Тогда, переходя к системе Oz1 z2 z3, получим hz1 = f z1 (t ) + Видно, что в решении (3.18) имеются члены, пропорциональные времени, однако коэффициенты при них малы. Это позволяет избежать насыщения маховиков в течение длительного времени. Более того, коэффициенты в этих слагаемых содержат sin 2i, который обращается в нуль при значениях,. Если есть возможность выбора орбиты, то следует выбирать орбиту i = 0, спутника, либо лежащую в плоскости эклиптики, либо перпендикулярную ей.

Для определения требуемого запаса кинетического момента, перейдем в (3.18) к размерным величинам:

H z1 = Fz1 (t ) + H z 2 = Fz 2 (t ) + 02 ( J 2 J1 )sin 2i sin(01t )sin(02t )02t, H z 3 = Fz 3 (t ) + 0 ( J 2 J1 )sin 2i cos(01t )sin(02t )02t.

На рис.3.4 представлены графики зависимостей кинетических моментов маховиков от времени при параметрах орбиты T=24000c, e=0.57, a=8500км, i=77° (параметры орбиты, на которую должен быть выведен спутник).

Начальные значения кинетических моментов маховиков выбирались в соответствии с соотношениями (3.11).

Рис.3.4. Зависимость кинетических моментов маховиков от времени Из графиков видно, что для эффективного управления в течение марсианского года необходим запас кинетического момента каждого маховика порядка 0.2 H м с (например, для маховика массой 0.96 кг Microwheel 10SP-M фирмы SSTL эта величина составляет 0.42 H м с ).

3.5. Снижение информационно-вычислительных требований алгоритма Применим методику, описанную в п.2.4, для оценки минимальной угловой скорости, в случае, если исключить из управления (последнее уравнение 3.6) гравитационный момент. Повторив шаги, описанные в п.2.4, получим оценку минимальной относительной угловой скорости Как уже было не раз отмечено, в качестве внешнего момента рассматривается только гравитационный момент, поэтому оценка угловой скорости для отн 104 с 1. Если угловая скорость становится меньше, то предложенное управление уже не гарантирует асимптотическую устойчивость требуемого положения равновесия и даже может способствовать уходу аппарата из этого положения. По этой причине будем использовать следующий алгоритм:

hz1 = hz10, hz 2 = hz 20 cos + hz 30 sin, если отн < мин.

hz 3 = hz 30 sin + hz 30 cos, Последние три уравнения системы обеспечивают перераспределение кинетического момента между маховиками, находящимися в плоскости, перпендикулярной оси симметрии аппарата.

Как видно из условия переключения, вектор относительной угловой окрестности положения равновесия (аналогично п.3.3) Рассмотрим движение системы, когда управление выражается тремя последними уравнениями алгоритма (3.19). Перейдем в систему координат OS1S2 S3 по формулам Тогда уравнения запишутся в виде Здесь введено обозначение Первое уравнение системы (3.20) может быть рассмотрено после исследования остальных уравнений. Остальные уравнения (3.20) перепишем в виде условии = 0. В этом случае решение будет иметь вид Здесь 1,2 = Будем использовать это решение в качестве порождающего для возмущенной системы. Сделаем замену переменных по формулам В этом случае движение можно разделить на медленное и быстрое.

Интерес представляет эволюция амплитуд, которая после усреднения по 1 и принимает вид Эволюция истинной аномалии будет иметь вид То есть является быстрой по отношению к амплитудам переменной. После усреднения уравнений (3.21) по, получим Таким образом, эволюция будет медленной, порядка, что позволяет использовать рассматриваемый режим на значительных интервалах времени.

Все эти выводы верны для случая, когда 12 22 0. Используя явный Тогда уравнения со второго по пятое системы (3.20) представимы в виде В этом случае замена будет иметь вид Тогда уравнения запишутся в виде Здесь быстрая переменная одна –. Выпишем осредненные уравнения для переменных A1 и A2.

Умножая первое уравнение на A1, а второе на A2 и складывая результаты, получим:

A1A1 + A2 A2 = или A12 + A22 = const.

Таким образом, амплитуда колебаний не будет увеличиваться.

Далее представлены графики, иллюстрирующие эволюцию амплитуды в нерезонансном случае.

Рис.3.5. Изменение компонент вектора относительной угловой скорости Рис.3.6. Изменение ориентации аппарата (самолетные углы) Как видно из графиков, что происходит уход аппарата из требуемого положения, но этот уход медленный. Это позволяет спутнику значительное время находиться в режиме управления ориентацией, который задается тремя последними уравнениями (3.19).

Глава 4. Динамика тела на вертикальной струне с управлением осевым вращением при помощи вентиляторов В настоящей главе рассматривается вопрос управления макета на вертикальной струне с помощью вентиляторных двигателей [44]. Такая система может выступать в качестве системы управления ориентацией полезной нагрузки, подвешенной на воздушном баллоне. При выполнении отдельных задач, решаемых полезной нагрузкой, может потребоваться наведение прибора в заданную точку или отслеживание осью прибора выделенной траектории на поверхности Земли. Глава посвящена разработке алгоритма управления и анализу динамики твердого тела с системой одноосной ориентации, использующей вентиляторные двигатели в качестве исполнительных элементов, в лабораторных условиях.

4.1. Постановка задачи и уравнение движения Рассматривается твердое тело, подвешенное на вертикальной струне.

Верхний конец струны неподвижно закреплен. Управление его движением относительно центра масс осуществляется с помощью двух вентиляторных двигателей, реализующих разнонаправленные управляющие моменты вокруг вертикальной оси. Информация о текущей ориентации и угловой скорости поступает, соответственно, с фотодиодов и оптоволоконного датчика угловой скорости. Решаемые системой управления ориентацией задачи – это торможение осевого вращения, поворот на заданный угол вокруг вертикали, а также выход на заданное угловое движение вокруг вертикали, которое может задаваться как программное движение, так и зависеть от текущей ориентации тела. Рассматривается управляемое вращательное движение тела вокруг вертикали. Тело подвержено линейному по углу поворота моменту от упругости струны и линейному по угловой скорости моменту вязкого трения от сопротивления атмосферы. Считается, что вентиляторный двигатель мгновенно набирает номинальные обороты. Одновременно может работать только один двигатель. Влияние работающего двигателя на движение центра масс тела не учитывается и не рассматривается. Атмосфера считается однородной и неподвижной.

Получим выражение для управляющего момента, который создается двигателями. Сила, действующая на аппарат со стороны одного двигателя, F = S p, где S – площадь круга, заметаемого лопастями вентилятора, p – разность давлений воздуха на вентиляторе. Используя уравнение Бернулли для обоих состояний можно найти эту разность давлений. Здесь p1, p2 – соответственно давления воздуха до и после прохождения вентилятора, p0 – статическое давление, v – скорость воздуха до входа в вентилятор, ve – скорость воздуха после выхода из вентилятора, – плотность воздуха. Тогда управляющий момент M определяется выражением где R – расстояние от оси вращения тела вокруг вертикали до вентилятора.

Считаем, что размер лопастей вентилятора значительно меньше R. Уравнения, описывающие осевое вращение тела, имеют вид Здесь J момент инерции тела, относительно оси вращения; коэффициент вязкого трения тела о воздух; коэффициент упругости струны. Знак “+” или “–” выбирается в зависимости от того, положительный или отрицательный момент создается двигателями.

В силу предположения о неподвижности атмосферы v = R, поэтому первое уравнение системы (4.1) можно записать так:

Перейдем к безразмерным угловой скорости и времени по формулам = ve R, t = R v и введем безразмерные параметры Тогда уравнение (4.2) принимает вид Перейдем к решению уравнения (4.3) в частных случаях.

4.2. Исследование уравнений движения то есть в присутствии управления пренебрегаем моментом вязкого трения тела о воздух и моментом от скручивания струны. В этом случае уравнение (4.3) принимает вид Его решение записывается следующим образом:

Переходя обратно к размерным величинам и переменным, имеем времени, что может иметь место при исследовании динамики тела, закрепленного на меняющем высоту полета воздушном баллоне [45] (тогда плотность зависит от высоты и, в конечном итоге, от времени), то принимает вид Перейдем к другому частному случаю – отсутствию управляющего воздействия от вентилятора. Это предположение отвечает условию k = 0 в уравнении (4.3). Тогда его решение соответствует углу поворота тела при свободных затухающих колебаниях, выражение для которого имеет вид эволюция угловой скорости при этом задается выражением При переходе к размерной скорости, получим Введем следующие обозначения:

Обратный переход осуществляется по формулам В новых обозначениях выражение (4.8) принимает вид Это выражение дает связь между угловой скоростью и параметрами затухающих колебаний, которые можно определить, например, методом наименьших квадратов, обрабатывая результаты измерений.

4.3. Управление одноосным вращением тела Проинтегрируем (4.7), считая =, Выразим из (4.7) время t и подставим его в (4.10). Получим Выражение (4.11) дает два семейства кривых на фазовой плоскости (, ) : для отрицательного ( k < 0, B < 0 ).

Задача поворота на заданный угол и/или торможения – это переход из одной точки фазовой плоскости (, ) в другую. Пример задачи, в рамках которой осуществляется переход из точки 1 в точку 2, приведен на рис.4.1. На рисунке пунктирная кривая соответствует положительному значению параметра B, а сплошная – отрицательному.

Рис.4.1. Фазовые кривые в задаче о повороте тела на заданный угол (переход из На рис.4.1 видно, что сначала происходит движение по пунктирной кривой вверх до точки пересечения со сплошной линией, а затем по сплошной линии вниз до точки 2. Это значит, что сначала работает один двигатель, а когда достигается определенное начальными условиями и точкой на фазовой плоскости значение угловой скорости, происходит переключение, выключается первый двигатель и включается второй. Второй двигатель отключается при достижении нулевой скорости.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда двигатели не идентичны и величины параметров A и B различны. Введём тогда обозначения для двигателя, создающего положительный момент, A1, B1 > 0, а для двигателя, создающего отрицательный момент, A2, B2 < 0. Выражение для кривой переключения будет иметь вид Обе ветви получаются подстановкой в (4.11) = 0 и = 0 при разных значениях параметров A и B (график этой функции изображен на рис.4.2, пунктирная линия соответствует параметрам A1 и B1, сплошная – A2 и B2 ).

Рис.4.2. Кривая переключения. Пунктирная линия – часть кривой, соответствующая двигателю с B1 ( B1 > 0 ), а сплошная – двигателю с B2 ( B2 < 0 ) Алгоритм переключения работает так:

Определяется начальное фазовое состояние ( 0, 0 ), при этом выделяется ветвь кривой переключения:

Если же задана величина поворота, то A2, B2, а если f ( 0, 0 ) < 0, то работает двигатель с A1, B1.

f = f (, ) f 0 ; здесь f 0 – допустимое значение отклонения от расчетной кривой. При изменении знака f производится переключение двигателей.

4. Осуществляется движение вдоль кривой переключения. При этом проводится проверка < 1 ( 1 точность определения угловой скорости).

Если эта проверка проходится успешно, т.е. достигается малое значение угловой скорости, то проводится проверка f (, ) < 1 ( 1 точность по углу). Если и эта проверка оказывается успешной, то это значит, что система пришла в нужное положение и цикл управления заканчивается, если нет, то повторяются пункты 14.

Рассмотрим теперь задачу выхода на заданную фазовую траекторию углового движения. Пусть зависимости угла и угловой скорости от времени определяются выражениями Система управления должна осуществлять выход на эту фазовую траекторию и обеспечивать асимптотическую устойчивость движения вдоль этой траектории.

Будем строить управление с помощью функции Ляпунова, выбранной в следующем виде:

V = отн + ka отн.

Воспользовавшись соотношениями = отн + 0 и = отн + 0, уравнение движения (4.1) можно переписать так:

Считаем, что можно управлять скоростью вращения вентиляторов, т.е.

изменять ve, а, следовательно, параметр A. Кроме того, также можно переключать двигатели, т.е. осуществлять выбор между k > 0 и k < 0. Тогда, с учетом уравнений движения, V будет иметь вид Для асимптотической устойчивости движения отн = 0, отн = 0 потребуем выполнения условия где k > 0. Введем обозначение и выразим из этого условия Так как A должно быть вещественным, то условие переключения имеет вид Подставив (4.14) в (4.13), получим На практике, как правило A Amax, поэтому возникает ограничение на возможные траектории. Рассмотрим ситуацию, когда задача выхода на траекторию уже решена, т.е. отн = 0 и отн = 0. В этом случае, получаем ограничение на возможные траектории Для иллюстрации приведем пример выхода на траекторию 0 = cos(0.1t ), 0 = 0.1sin(0.1t ) (рис.4.3).

Рис.4.3. Пример выхода на заданную траекторию на фазовой плоскости Параметры k и k выберем таким образом, чтобы максимизировать степень устойчивости [18] корней характеристического полинома уравнения (15) Корни этого уравнения имеют вид Максимальная степень устойчивости будет достигаться в случае, когда подкоренное выражение равно нулю:

т.е. k = 4 Jka. В противном случае один из корней будет ближе к мнимой оси, и уже он будет определять степень устойчивости. Таким образом, остается один независимый параметр управления ka. Его нужно выбирать исходя из ограничений, наложенных на управляющий момент (например, в виде неравенства (4.16)).

4.4. Лабораторные испытания макета В рамках программы создания лабораторного практикума для студентов в Лаборатории “Управление и динамика сложных информационно-механических систем” МФТИ [46-48] проведены полунатурные испытания динамики макета для подтверждения правильности предположения (4.4), для определения параметров двигателей, струны и макета, а также для проверки работоспособности алгоритма.

аналитические (полученные по конечным формулам) и экспериментальные кривые в случае, когда работает один из двигателей. Разница в графиках связана с тем, что на рис.4.4 показаны результаты для двигателя, раскручивающего макет по часовой стрелке (отрицательный момент), а на рис.4.5. – против часовой стрелки (положительный момент). Рис.4.6 содержит экспериментальные данные и аналитический результат в случае свободных колебаний (4.9).

Рис.4.4. Экспериментальная и аналитическая зависимости угловой скорости от времени (аналитическая кривая построена с параметрами, найденными методом наименьших квадратов) с включенным двигателем, создающим отрицательный Рис.4.5. Экспериментальная и аналитическая зависимости угловой скорости от времени (аналитическая кривая построена с параметрами, найденными методом наименьших квадратов) с включенным двигателем, создающим положительный Рис.4.6. Экспериментальная зависимость угловой скорости от времени, а так же кривая, построенная по (4.8), с параметрами, найденными с помощью метода экспериментальных кривых, поэтому предложенная модель удовлетворительно описывает поведение системы.

В ходе испытаний была подтверждена достоверность предположения (4.4), а так же определены параметры двигателей, которые оказались следующими:

A1 = 3.30 c 1, B1 = 0.0385 c 1, k1 = 0.012;

A2 = 3.83 c 1, B2 = 0.0397 c 1, k2 = 0.010;

Видно, что параметры двигателей k1 и k2 на два порядка больше, чем 1 и 2, что соответствует предположению (4.4).

Далее приведены результаты работы алгоритма в случае поворота на методике, описанной выше. На рис.4.7 представлен пример разворота макета на угол 360°. Пунктирная и жирная сплошные линии – теоретические кривые, тонкая сплошная линия – реальное движение. На рис.4.8 и рис.4. представлены зависимости угла и угловой скорости во время разворота.

Рис.4.7. Фазовая траектория при развороте макета Рис.4.8. Зависимость угловой скорости от времени Рис.4.9. Зависимость угла от времени. Прямая линия – конечное значение угла, кривая – экспериментальная зависимость от времени Как видно на рис.4.7 из-за ошибок управления фазовая траектория отклоняется от расчетной, однако алгоритм построен таким образом, что если система не достигает заданной точки, то выполняется дополнительный цикл управления (на рисунке видно три таких цикла).

Алгоритм обработки измерений выбран аналогичным алгоритму, приведенному в [49].

5. Заключение В работе построен и реализован комплексный подход к исследованию динамики подвижных объектов с ротирующими элементами, входящими в состав систем управления ориентацией. Решены задачи синтеза алгоритма управления, реализующего программное движение и обеспечивающего его асимптотическую устойчивость, выбора параметров управления, оценки точности ориентации при действующих возмущениях. Подход применен к исследованию углового управляемого движения реальных систем.

маховичной системой ориентации синтезирован алгоритм управления, реализующий требуемое движение и его асимптотическую устойчивость;

получены параметры алгоритма; получены оценки точности ориентации в виде конечных формул при действии внешних возмущений, при наличии ошибок в установке исполнительных элементов и определении главных осей инерции аппарата. Проведена лабораторная верификация полученных результатов.

управлением синтезирован алгоритм управления; построена, обоснована и реализована методика определения параметров управления; найдены конечные соотношения, описывающие эволюцию кинетических моментов маховиков на длительных интервалах времени; предложена модификация алгоритма управления, снижающая требования к информационно-вычислительному обеспечению спутника.

Для воздушно-винтовой (вентиляторной) системы ориентации макета на вертикальной струне проведена верификация принятой модели управляющего момента, включая лабораторные испытания, экспериментально определены параметры управления, синтезирован алгоритм работы вентиляторных двигателей, реализующий требуемый программный режим разворота вокруг вертикальной оси.

Литература 1. Б.В.Раушенбах, Е.Н,Токарь. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974, 600с.

P.C.Hughes, Spacecraft attitude dynamics, Mineola, New York, Dover publications, Inc., 2004, 570p.

M.J.Sidi, Spacecraft dynamics and control, Cambridge Univercity Press, Cambridge, 2002, 409p.

J.R.Wertz, Spacecraft Attitude determination and control, Dordrecht/Boston, London, 1990, 863p.

B.Wie, Space vehicle dynamics and control, Reston, Virginia, American Institute of Aeronautics and Astronautics Inc., 1998, 661p.

В.Н.Бранец, И.П.Шмыглевский. Применение кватернионов в задачах ориентации твёрдого тела. М.: Наука, 1973, 320с.

В.Н.Бранец, И.П.Шмыглевский. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. М.: Наука, 1992, 280с.

B.Wie, J.Lu, Feedback control logic for spacecraft eigenaxis rotations under slew rate and control constraints, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol.18, №6, 1995, pp.1372-1379.

B.Wie, P.M.Barba, Quaternion feedback for spacecraft large angle maneuvers.

Journal of Guidance Control, and Dynamics, Vol.8, №3, 1985, pp.360-365.

S.Kim, Y.Kim, Spin-axis stabilization of a rigid spacecraft using two reaction 10.

wheels, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol.24, №5, 2001, pp.1046B.J.Kim, H.Lee, S.D.Choi, Three-axis reaction wheel attitude control system 11.

for Kitsat-3 microsatellite, http://satrec.kaist.ac.kr/english/res_kitsat3.html.

12. A.A.Zaher, Nonlinear control of systems with multiple equilibria and unknown sinusoidal disturbance, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 12, 2007, pp.1518-1533.

13. A.M.SiMohammed, M.Benyettou, Y.Bentoutou, A.Boudjemai, Y.Hashida, M.N.Sweeting, Three-axis active control system for gravity gradient stabilised microsatellite, Acta Astronautica, 64, 2009, pp.796-809.

S.Ding, S.Li, Stabilization of the attitude of a rigid spacecraft with external 14.

disturbances using finite-time control techniques, Aerospace Science and Technology, 13, 2009, pp.256-265.

M.A.Karami, F.Sassani, Spacecraft Momentum Dumping Using Fewer than 15.

Three External Control Torques, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol.32, №1, 2009, pp.242-247.

Y.Aoustin, A.Formal’sky, Yu.Martynenko, Stabilization of Unstable 16.

Equilibrium Postures of a Two-Link Pendulum Using a Flywheel, Journal of Computer and Systems Sciences International, Vol.45, №2, 2006, pp.204–211.

P.Tsitorias, New Control Laws for the Attitude Stabilization of Rigid Bodies, 17.

Proceedings of 14th IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace, Palo Alto, CA, 1994, pp.316-321.

Я.З.Цыпкин, П.В.Бромберг. О степени устойчивости линейных систем.

18.

Известия АН СССР. ОТН., №12, 1945, С.1163–1168.

19.

стабилизируемого вращением, с демпфером маятникового типа. Космические исследования, Т.35, №6, 1997, С.651–658.

В.А.Сарычев, В.И.Пеньков, Н.И.Яковлев. Оптимизация параметров 20.

линейных систем. Препринт Института прикладной математики АН СССР, 1975, №124.

В.А.Сарычев, В.В.Сазонов. Оптимальные параметры пассивных систем 21.

ориентации спутников. Космические исследования, Т.14, №2, 1976, С.198–208.

22.

летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1975, С.96-124.

23. А.И.Игнатов, В.В.Сазонов. Оценка остаточных микроускорений на борту ИСЗ в режиме одноосной солнечной ориентации. Препринт института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, 2009, №65,.

24.

стабилизаторов // Космические исследования. Т.16, №1, 1978, C.22-30.

Е.Н.Токарь, В.П.Легостаев, М.В.Михайлов, В.Н.Платонов. Управление 25.

избыточными гиросиловыми системами. Космические исследования. Т.18, №2, 1980, С.152-157.

А.Д.Беленький, В.Н.Васильев, М.Е.Семенов. Управление избыточной 26.

системой электродвигателей-маховиков. Труды ВНИИЭМ, М., Т.102, 2005, С.107-115.

Z.Ismail, R.Varatharajoo, A study of reaction wheel configurations for a 3-axis 27.

satellite attitude control, Advances in Space Research, 45, 2010, pp.750-759.

А.И.Игнатов, А.А.Давыдов, В.В.Сазонов. Анализ динамических 28.

возможностей систем управления малым космическим аппаратом, построенных на базе двигателей-маховиков. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2005, №47.

J.Esper, The Rocket Balloon (Rocketball): Applications to Science, and 29.

Education. Digest of the 7th International Symposium of IAA “Small Satellites for Earth Observation”, Berlin, Germany, Walter De Gruyter Publ., 2009, pp.517-520.

http://www.ssc.se/?id= 30.

31. M.B.Quadrelli, J.M.Cameron, V.Kerzhanovich, Multibody dynamics of parachute and balloon flight systems for planetary exploration. Journal of Guidance, Control and Dynamics. Vol.27, №4, 2004, pp.564-571.

J.E.White, J.R.Ettert, Linear-Quadratic-Regulator Pointing Control System for 32.

a High-Altitude Balloon Payload. Journal of Guidance, Control and Dynamics.

Vol.13, №4, 1990, pp.615-623.

33. J.Shin, S.Ji, W.Shon, H.Lee, K.Cho, S.Park, Indoor Hovering Control of Small Ducted-fan Type OAV Using Ultrasonic Positioning System, Journal of Intelligent and Robotic Systems, 61, 2011, pp.15-27.

С.С.Ткачев. Методика построения и исследования алгоритма управления 34.

ориентацией малых подвижных объектов. Труды 53-й научной конференции МФТИ “Современные проблемы фундаментальных наук”. Часть VII.

Управление и прикладная математика. М.: МФТИ, 2010, С.64-65.

http://chibis.cosmos.ru/ 35.

36. М.Ю.Овчинников, С.О.Карпенко, С.С.Ткачев. Исследование алгоритма трехосной маховичной системы управления ориентацией. Актуальные проблемы российской космонавтики: Труды XXXV Академических чтений по космонавтике. Москва, январь 2011г. Под общей редакцией А.К.Медведевой.

M.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства, 2011, С.142.

В.А.Сарычев. Вопросы ориентации искусственных спутников. Итоги 37.

науки и техники. Серия “Исследование космического пространства”. ВИНИТИ.

Т.11. 1978.

T.Ott, Technical Pre-Phase, A study of a spinning microsatellite for Martian 38.

missions, Master thesis report, Lulea University of Technology, Department of Space Science, Kiruna, 2007, 70p.

М.Ю.Овчинников, С.С.Ткачёв. Маховичная система управления для 39.

наноспутников. Труды XLII Чтений, посвященных разработке научного наследия и развитию идей К.Э.Циолковского. Секция “Проблемы ракетной и космической техники”. Калуга, сентябрь 2007, Казань: Издательство Казанского государственного технического университета, 2008, С.201-211.

Н.В.Куприянова, М.Ю.Овчинников, С.С.Ткачев. Алгоритмы управления 40.

ориентацией малых спутников с ограниченными энергетическими возможностями. Сборник трудов V Научно-практической конференции “Микротехнологии в авиации и космонавтике”, Москва, сентябрь 2007, М.:

РНИИ КП, 2007, 10с.

С.С.Ткачёв. Алгоритмы маховичной системы управления ориентацией 41.

для наноспутников. Труды 50-й научной конференции МФТИ “Современные проблемы фундаментальных наук”. Часть VII. Управление и прикладная математика. М.: МФТИ, 2007, С.48-50.

М.Ю.Овчинников, С.С.Ткачев. Исследование алгоритма трёхосной 42.

маховичной системы ориентации. Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, №25, 2010, 32с.

И.Г.Малкин. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М., 43.

Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956, 491c.

Д.С.Иванов, М.Ю.Овчинников, С.С.Ткачев. Управление ориентацией 44.

твердого тела, подвешенного на струне с использованием вентиляторных двигателей. Известия РАН. Теория и системы управления, №1, 2011, С.127-139.

В.Барабаш, Д.С.Иванов, М.Ю.Овчинников, С.С.Ткачев. Система 45.

ориентации полезной нагрузки на воздушном шаре. Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, №15, 2010, 26с.

М.Ю.Овчинников, С.С.Ткачёв. Компьютерное и полунатурное 46.

моделирование динамики управляемых систем. Препринт Института прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН, №50, 2008, 28с.

М.Ю.Овчинников, С.А.Мирер, А.А.Дегтярев, С.С.Ткачев. Полунатурное 47.

моделирование как элемент подготовки специалистов по механике и управлению. Сборник научно-методических статей “Теоретическая механика”, М.: Издательство Московского университета, №27, 2009, С.137-142.

М.Ю.Овчинников, Д.С.Иванов. Использование одноосного гироскопа для 48.

определения ориентации макета в лабораторных условиях. Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, №11, 2008, 32с.

49. М.Ю.Овчинников, С.С.Ткачев. Определение параметров относительного движения с помощью траекторных измерений. Космические исследования, Т.46, №6, 2008, С.553-558.

Приложение 1. Лабораторный стенд для верификации маховичной системы управления и определения ориентации.

Исследование работы алгоритмов определения ориентации на основе фильтра Калмана проводилось на лабораторном стенде, разработанном в ИТЦ «СканЭкс». Общий вид стенда изображен на рис.1. В состав стенда входят:

• макет системы ориентации космического аппарата (МКА);

• имитатор магнитного поля;

• имитатор Солнца;

• аэродинамический подвес.

Описание макета Макет системы ориентации МКА состоит из системы ориентации и стабилизации, одноплатного компьютера с беспроводным каналом связи, аккумуляторов, системы балансировки платформы, на которой установлены все системы.

Система ориентации и стабилизации состоит из датчиков определения ориентации, исполнительных органов и блока управления системой ориентации.

В качестве датчиков определения ориентации в составе макета используются магнитометр НМR 2300R (рис.3), солнечный датчик DSS3 (рис.4) и датчики угловой скорости ADIS 16130 (рис.5). Основные характеристики датчиков приведены в табл.№1.

Рис.3. Магнитометр HMR 2300R Рис.4. Солнечный датчик DSS Рис.5. Датчик угловой скорости ADIS Таблица № 1. Характеристики датчиков Характеристика \ датчик Магнитометр Солнечный Датчик В качестве исполнительных элементов системы управления ориентацией на макете используются электромагнитные катушки (рис.6) и управляющие двигатели-маховики (рис.7).

Токовые катушки индуцируют управляемый магнитный момент, который при взаимодействии с внешним магнитным полем создаёт управляющий механический момент. Катушки представляют собой соленоид с обмоткой из медной проволоки и пермаллоевым сердечником. Максимальный магнитный момент катушек составляет 3.2 А·м2.

Двигатели-маховики выполнены на основе бесконтактного двигателя постоянного тока с управляемым моментом (рис.7) и предназначены для использования в качестве исполнительного органа в системах ориентации и стабилизации малых космических аппаратов. Электродвигатель обеспечивает вращение ротора-маховика, его торможение. Величина создаваемого им вращающего (управляющего) момента может плавно меняться в заданном диапазоне в соответствии с сигналом управления, подаваемым на вход двигателя-маховика. Механический момент от управляющих двигателей маховиков создаётся при изменении скорости их вращения и изменяется в диапазоне [-0.030, +0.030] Н м с в лабораторных условиях. Скорость вращения маховиков при этом изменяется в диапазоне [-20000, +20000] об/мин в лабораторных условиях.

Рис.7. Управляющие двигатели-маховики Блок управления системой ориентации и стабилизации является связующим элементом между датчиками и органами управления, а также между системой ориентации и стабилизации и внешними устройствами управления. Основными функциями блока являются сбор и обработка показаний датчиков системы с помощью алгоритмов определения ориентации, выработка с помощью алгоритмов управления команд для элементов системы стабилизации, приём команд от внешнего бортового контроллера управления МКА, передача данных в каналы телеметрии спутника. Основной составной частью является бортовой компьютер, который основан на плате LPCH2294, содержащей процессор, внешнюю ОЗУ размером 1 Мб, энергонезависимую флэш-память емкостью 4 Мб.

Рис.8. Внешний вид блока управления системой ориентации Имитатор геомагнитного поля Для имитации магнитного поля в составе стенда используется система из трёх пар квадратных катушек установленных взаимно перпендикулярно (клетка Гельмгольца). Стороны квадратов катушек – 2м, 1,9м, 1,8м. Данная система способна создавать практически однородное магнитное поле в заданной области.

Имитатор Солнца Имитатор солнца создает постоянный параллельный световой поток на расстоянии до 1.5 м, мощностью не менее 80000 лк. В качестве имитатора Солнца был выбран прожектор PAR-64 с лампой Philips 1000W230V PAR CP61 EXD NSP (рис.10).

Аэродинамический подвес Аэродинамический подвес обеспечивает движению макета 3 степени свободы, а именно вращение вокруг трёх осей с минимальным трением. По одной оси (вертикальной) существует возможность поворота на 360°, по двум горизонтальным – на ±30°. Максимальная грузоподъемность подвеса – 25 кг.

Аэродинамический подвес состоит из пьедестала (рис.11) и подшипника в виде полусферы (рис.12). Подшипник крепится к макету МКА.

Рис.11. Аэродинамический подвес Рис.12. Подшипник Приложение 2. Лабораторный стенд для испытания макета воздушновинтовой (вентиляторной) системы управления ориентацией.

Описание макета Макет состоит из следующих элементов: бортовой компьютер (одноплатный компьютер JRex); два вентиляторных двигателя; система управления исполнительными элементами; плата питания; аккумуляторные батареи; одноосный оптоволоконный датчик вращения (VG-910D); набор фотодиодов; одноосный МЭМС датчик угловой скорости; Wi-Fi адаптер (рис.1).

При включении питания макета от аккумуляторных батарей подается ток на все его системы с помощью преобразователей напряжения, входящих в состав платы питания. С компакт-флеш-диска бортового вычислителя загружается операционная система Windows XP Embedded. Далее, с помощью утилиты Remote Desktop (Удаленный рабочий стол) персонального компьютера управления стендом осуществляется подключение к бортовому компьютеру макета через Wi-Fi. После этого можно приступать к проведению испытаний.

Схема макета представлена на рис.2.

Персональный компьютер Программное обеспечение макета. Программное обеспечение (ПО) – это программа, работающая на бортовом компьютере макета, осуществляющая считывание информации с датчиков, ее обработку, принятие решения об управлении и сохранение результатов в файл. Программа написана в среде C++ Builder 6. Система управления и определения ориентации работает следующим образом. С датчиков поступает цифровой сигнал, который преобразуется в угловую скорость и значение угла поворота (рис.3). Значения угловой скорости и угла поворота за несколько измерений суммируются, после чего эта сумма делится на количество измерений, таким образом, на выходе получаем среднеарифметические значения. Цель усреднения – снизить влияние шума измерений и уменьшить число вычислений программы в единицу времени.

Далее усредненная угловая скорость поступает на вход фильтра Калмана, построенного на модели движения тела, подвешенного на струне. На выходе фильтра получаем вектор состояния тела на фазовой плоскости. Зная начальное и текущее состояние тела, программа определяет ветвь кривой переключения (4.12), в результате чего принимается решение о включении того или иного двигателя. После включения двигателя, тело начинает вращаться под управлением одного из вентиляторов до тех пор, пока фазовая траектория не достигнет кривой переключения. После этого включается обратное управление, тело начинает тормозить до тех пор, пока не остановится. В это время управление выключается. Однако вследствие неточного определения параметров управления, шума датчиков, случайных факторов, неизбежны ошибки исполнения управления. Поэтому после окончания сеанса управления сравнивается требуемое положение с текущим. Если тело находится вне допустимой окрестности заданной точки, вычисляется величина отклонения и производится еще один корректировочный сеанс управления. Таким образом, программа реализует замкнутый цикл управления, который сохраняет свою работоспособность и в случае действия внешних возмущений. Общая схема работы системы ориентации изображена на рис.3. Главное окно программы содержит две области (рис.4):

Датчик угловой Заданное значение Определение ветви состояния Задание промаха Методика проведения испытаний Проводится калибровка двигателей, и определяются параметры макета и струны. Определение параметров каждого двигателя проводится независимо друг от друга по следующей схеме:

1. Макет приводится в положение покоя.

2. Производится включение двигателя на время около двух минут.

3. В модели движения (4.6) выбирается начальное условие 0 = 0.

4. Методом наименьших квадратов определяются параметры A, B.

Определение параметров макета и струны проводится по следующей схеме.

1. Закручивается струна на заданный угол.

2. Макет разарретируется и проводится серия измерений угловой скорости за период колебаний (~20 мин).

3. Находится момент прохождения положения равновесия, когда угловая скорость максимальна.

5. Находятся параметры, в модели (4.9) по методу наименьших В качестве начальных условий выбираются указанные значения в силу того, что модель (4.9) при 0 = 0, 0 = max имеет наиболее простую зависимость от искомых параметров,.