«СЦЕНАРИИ СВЕРХУШИРЕНИЯ СПЕКТРА ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ ...»

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ

ТОЧНОЙ МЕХАНИКИ И ОПТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

Шполянский Юрий Александрович

СЦЕНАРИИ СВЕРХУШИРЕНИЯ СПЕКТРА

ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ

В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ

Специальность 01.04.05 - Оптика Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель Доктор физико-математических наук, профессор Козлов С.А.

Санкт-Петербург 2003 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

Цель работы

Задачи исследования

Структура и объем диссертации

Краткое содержание работы

Новые научные положения, выносимые на защиту

1. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ

§1. Модель поляризационного отклика среды. Спектральный аналог полного волнового уравнения.

§2. Вывод уравнения однонаправленной эволюции свершироких фемтосекундных спектров излучения в оптических волноводах с произвольным законом дисперсии.

§3. Уравнения однонаправленной эволюции свершироких фемтосекундных спектров излучения в оптических волноводах со слабой дисперсией эффективного показателя преломления.

Численные методы.

§4. Волноводная дисперсия. Представление показателя преломления в виде ряда по частотам. Полевые уравнения

§5. Сопоставление с известными моделями.

Выводы по главе

2. ДИНАМИКА СРЕДНИХ ПАРАМЕТРОВ ПРЕДЕЛЬНО

КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ

§1. Движение центра тяжести светового импульса

§2. Эволюция длительности светового импульса

§3. Спектральное представление полученных соотношений

§4. Сценарии эволюции длительности предельно коротких импульсов

Выводы по главе

3. СЦЕНАРИИ СВЕРХУШИРЕНИЯ СПЕКТРА

§1. Динамика ПКИ со спектром в области нормальной групповой дисперсии

§2. Сверхуширение спектра фемтосекундных импульсов в микроструктурированных волокнах

§3. Динамика ПКИ со спектром в области аномальной групповой дисперсии

§4. Сверхуширение спектра фемтосекундных импульсов в полых волноводах, заполненных комбинационно активными газами

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Апробация работы

Работы, опубликованные по теме диссертации

Благодарности

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ЛИТЕРАТУРА

РИСУНКИ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы После революционного события в оптике - создания лазеров совершенствование источников световых сигналов шло естественным путем освоения все новых и новых временных диапазонов. За четыре «лазерных»

десятилетия путь сокращения временных масштабов был пройден от получаемых в режиме свободной генерации микросекундных длительностей до, казавшегося еще недавно фантастичным, фемтосекундного диапазона (1 фс = 10-15 с) [1, 2]. В последние годы в целом ряде лабораторий научились устойчиво получать сигналы длительностью всего в несколько фемтосекунд [3-8], которые содержат в себе лишь 2–3 полных колебания светового поля, и само измерение длительности которых является весьма сложной технической задачей [9, 10]. Импульсы, состоящие не более, чем из десятка осцилляций поля, сейчас принято называть предельно короткими (ПКИ), тем самым выделяя их среди пико- и фемтосекундных импульсов, содержащих большое число колебаний поля, и для которых применяют термин “сверхкороткие импульсы”. Подчеркнем, что под предельно малым понимают количество осцилляций поля, но не саму длительность импульса. Т.е. к ПКИ относят и субпикосекундные импульсы из нескольких колебаний электромагнитного поля со спектром в ИК области [11, 12] и импульсы УФ спектра с длительностями аттосекундного диапазона, освоение которого уже происходит [7, 13, 14].

Распространение фемтосекундного излучения в оптических средах без разрушения вещества оказалось возможным при гораздо больших интенсивностях, чем для более длинных импульсов [15]. Это привело к возможности свободно наблюдать нелинейные явления, которые в поле импульсов больших длительностей наблюдаются редко. Например, достаточно необычное даже для пикосекундного диапазона явление сверхуширения временного спектра излучения, когда ширина спектра становится соизмеримой с его центральной частотой, в поле фемтосекундных импульсов наблюдается практически во всех прозрачных средах [16, 17]. Это явление, по-видимому, можно считать фундаментальным в фемтосекундной оптике. Оно сопровождает как самофокусировку импульсов в объемных средах [16-18], так и их распространение в различных волноводах [19-22].

Явление сверхуширения временного спектра называют также генерацией спектрального суперконтинуума (ССК).

Применение импульсов с континуумным спектром чрезвычайно перспективно для многих областей науки и техники. Именно сфазировкой фемтосекундного ССК можно получать импульсы, состоящие всего из двухтрех колебаний светового поля [3-6]. Длительность таких ПКИ, как уже было отмечено, фактически определяет новый масштаб временных измерений порядка 5 фемтосекунд в видимом и ближнем ИК диапазоне. Другой новый метрологический масштаб – спектральная ширина воспроизводимого когерентного излучения в несколько сотен терагерц – уже используется для измерения абсолютных значений частот с точностями на много порядков превосходящими достижимые ранее [23, 24]. Особо стоит отметить перспективы использования фемтосекундного суперконтинуума в современных информационных технологиях для сверхплотной передачи информации [25] и спектроскопии [26, 27]. Здесь напомним, что Нобелевская премия 1999 г. по химии была присуждена профессору Калифорнийского технологического института Ахмед Зевейлу за "изучение переходных состояний химических реакций с помощью фемтосекундной спектроскопии".

Впечатляющие результаты дает применение фемтосекундных импульсов с континуумным спектром в медицине, например, в томографии [28, 29] и микрохирургии глаза [30], а также в биологии [31].

международного научного сообщества проблемами фемтосекундной оптики может служить таблица 4 (перепечатка дана в Приложении 1) из статьи [32], посвященной 25-летию одного из самых рейтинговых научных журналов Optics Letters, издаваемого Оптическим Обществом Америки. Короткие сообщения о достижениях в самых различных областях современной оптики зачастую первым делом коротко публикуется именно в этом журнале.

Таблица 4 перечисляет наиболее цитируемые статьи Optics Letters по годам в период с 1991 по 2000 г. 8 из 10 приведенных статей (выделены жирным шрифтом в Приложении 1) посвящено или прямо связано с предельно короткими импульсами и генерацией ССК.

Неразрывно связанное с фемтосекундной оптикой явление генерации ССК представляет несомненный теоретический интерес. На момент начала работы автора по тематике последовательных теоретических исследований генерации фемтосекундного ССК в волноводах не было. Традиционными оговорками при обсуждении в научной литературе математических моделей распространения сверхкоротких импульсов, базирующиеся на приближении медленно меняющейся амплитуды (ММА), было ограничение снизу на длительность импульсов (порядка десяти колебаний светового поля) и условие квазимонохроматичности их спектра, лежащее в основе метода ММА (см., например, [2, 33]). Поэтому и была начата настоящая работа по развитию новых адекватных моделей генерации фемтосекундного ССК в волноводах и выявлению характерных черт этого явления в зависимости от свойств волноводов и распространяющихся импульсов.

Цель работы Разработка теоретической модели и описание основных сценариев генерации спектрального суперконтинуума при распространении фемтосекундных лазерных импульсов в волноводах Задачи исследования 1. Вывод уравнений динамики спектра интенсивных фемтосекундных лазерных импульсов при их распространении в оптических волноводах.

Разработка методов решения уравнений.

2. Вывод соотношений между входными параметрами импульса с широким спектром и характеристиками волновода (его материальной и волноводной дисперсии и нелинейности), определяющих начальный сценарий самовоздействия светового импульса.

3. Описание основных сценариев сверхуширения спектра импульсов из малого числа колебаний светового поля в волноводах, используя выведенные уравнения и соотношения.

4. Теоретическое описание генерации ССК при распространении импульсов длительностью 120-150 фс в капиллярах, заполненных комбинационно активными газами.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, 2 приложений и списка литературы, содержащего 122 наименования. Она изложена на 122 страницах, включая 43 иллюстрации и 1 таблицу.

Краткое содержание работы фемтосекундного ССК и методам их решения.

электромагнитного поля, распространяющегося в немагнитной оптической среде, может быть сведена к волновому уравнению общего вида для распространения линейно поляризованного оптического излучения с неизменной поперечной структурой, то применяется приближение плоских волн, и уравнение для электрического поля рассматривается скалярным.

Волновое уравнение дополняется материальными уравнениями для поляризационного отклика, выбор которых обосновывается. Вся система переписывается в обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка для временного спектра электрического поля импульса.

В §2 показывается, что постановка граничных условий для спектра излучения на входе в оптический волновод, включающая выбор начального направления распространения излучения (от входа к выходу), фактически фемтосекундных импульсов со второй производной по переменной z, вдоль которой распространяется излучение, к дифференциальному уравнению с первой производной. Возможность понижения порядка уравнения следует из малости нелинейного отклика сердцевины волновода по сравнению с линейным и не накладывает каких-либо дополнительных ограничений на свойства излучения или волновода. Полученное уравнение описывает динамику сверхшироких фемтосекундных спектров излучения, остающихся по мере эволюции в области прозрачности волновода вдали от резонансов составляющих его диэлектрических сред. Других ограничений на линейную частотную дисперсию не налагается, что делает уравнение применимым для любых волноводов, в том числе фотоннокристаллических с различными свойствами. Показывается, что уравнение является наиболее общим уравнением первого порядка, которое можно получить из полного волнового уравнения. Утверждается, что все известные уравнения однонаправленной эволюции оптических импульсов в волноводах, рассматривающие режимы распространения излучения, когда не происходит ионизации среды, являются его частными случаями.

В §3 уравнение, выведенное в §2, упрощается для случая волноводов со слабой дисперсией эффективного показателя преломления. Про большинство диэлектрических материалов, используемых в оптике, известно, что их показатель преломления в пределах очень широкого спектрального диапазона можно представить в виде n() = N 0 + n(), где - частота, N 0 - константа и n() в волноводах, т.е. зависимость от координаты z момента первого порядка от распределения квадрата электрического поля импульса по времени. Малость изменения профиля импульса по сравнению с его движением как целого позволяют указать длину волновода, на которой справедливо представление искомой зависимости в виде первых трех членов ее ряда Тейлора в точке z = 0 (на входе в волновод). Далее выписываются первая и вторая производные от центра тяжести импульса по z при z = 0.

Выражения для первой и второй производной содержат несколько интегральных параметров распределения поля импульса на входе в волновод с коэффициентами, представляющими собой комбинации дисперсионных и нелинейных констант волновода. Показывается, что для случая малых интенсивностей распространяющихся импульсов, когда нелинейностью можно пренебречь, закон изменения положения центра тяжести линеен по z.

Это же утверждение оказывается верным и для нелинейного случая, когда суммарный вклад волновода и фононной подсистемы материала его сердцевины в дисперсию эффективного показателя преломления малы по сравнению с вкладом электронной подсистемы.

В §2 выводится закон динамики среднеквадратической длительности импульса с континуумным спектром по мере его распространения в волноводе. Для этого используется та же техника, что и в §1: зависимость квадрата длительности от z на начальном отрезке волновода аппроксимируется первыми тремя членами ее ряда Тейлора в точке z = 0.

Математические выкладки и выражения для первой и второй производных становятся более громоздкими. Выведенные формулы позволяют по входным параметрам излучения и свойствам волновода определять начальный сценарий эволюции длительности импульса: его временное сжатие, уширение или квазистационарный характер распространения. В линейном режиме распространения выражение для квадрата среднеквадратической длительности в виде многочлена второй степени от z является точным.

В §3 дается спектральная трактовка полученных соотношений.

Начальный сценарий эволюции импульса с континуумным спектром определяется набором интегралов в бесконечных пределах от электрического поля импульса на входе в волновод, его производных и первообразных, а также соотношением воздействия различных механизмов дисперсии и нелинейности на импульс. Показывается, что часть интегралов представляет собой моменты распределения квадрата модуля спектральной плотности различного порядка и таким образом характеризуют средние параметры спектра импульса на входе в волновод. Все интегралы, фигурирующие в выражениях для коэффициентов при z2 законов динамики положения центра тяжести и длительности ПКИ, в линейном режиме допускают такую трактовку. Это, в частности, позволяет показать, что начальная спектральная фаза оказывает влияние только на коэффициент при первой степени z закона изменения квадрата длительности импульса в линейном режиме, т.е.

дисперсионное расплывание на больших расстояниях определяется только модулем исходной спектральной плотности. Показывается, что естественным параметром, определяющим влияние дисперсии на динамику импульса является соотношение начальной центральной частоты излучения и частоты нулевой групповой дисперсии волновода.

В §4 на основе выведенных приближенных законов динамики центра тяжести и длительности иллюстрируются возможные сценарии эволюции ПКИ. Параболическая зависимость, определяющая изменение квадрата среднеквадратической длительности t (z ) на начальном отрезке волновода, пересекает ось ординат в точке t (0) 2. Возможные сценарии начальной эволюции длительности определяются множеством различных парабол содержащих эту точку. Все множество парабол можно классифицировать по направлению ветвей (“вверх” или “вниз”) и положению точки экстремума относительно оси ординат (“слева” или “справа”), т.е. знаками коэффициентов при линейном и квадратичном слагаемом. Показывается, что теоретически выбором центральной частоты, формы, длительности и интенсивности ПКИ на входе в волновод можно добиться любых соотношений между знаками этих коэффициентов и иметь, таким образом, различные сценарии начального сжатия, уширения или квазистационарного закона изменения длительности импульса, которые иллюстрируются.

Сопоставлением с результатами численного решения уравнения эволюции поля и спектра импульсов в волноводах со слабой дисперсией показываются, что приближенные формулы адекватно описывают сценарии начальной эволюции, а точность их предсказания увеличивается при уменьшении центральной длины волны и при увеличении длительности изучаемого импульса.

волноводах изучаются методами численного моделирования.

В §1 рассматривается распространение интенсивных ПКИ со спектром в области нормальной групповой дисперсии волновода. В этом случае сверхуширение спектра сопровождается существенным нелинейным расплыванием импульса. Расплывание импульса вызывается фазовой самомодуляцией в кубически нелинейной среде и осуществляется за счет генерации новых световых колебаний. Спектр импульса уширяется неоднородно, сильнее в антистоксову область, а его максимум оказывается в стоксовой области. Постепенно из-за расплывания импульса его интенсивность уменьшается, нелинейные эффекты ослабляются, и на некотором расстоянии в волноводе спектральная плотность стабилизируется.

При этом ширина спектра по полувысоте может достигать 0.3–0.5 от центральной частоты импульса на входе в среду. Зависимость мгновенной частоты от времени в сформировавшемся континууме становится линейной, что может быть эффективно использовано при временной компрессии импульса. В кварцевых волокнах влияние Рамановской нелинейности на ПКИ со спектром в области нормальной групповой дисперсии оказывается малым и сводится к некоторому уменьшению центральной частоты формирующегося континуума, которое становится более заметным для более интенсивных импульсов.

В §2 адекватность развитого теоретического подхода для описания спектрального сверхуширения фемтосекундных импульсов иллюстрируется численным моделированием эксперимента по получению одного из самых широких из когда-либо наблюдаемых континуумных спектров [21].

Особенностью эксперимента было использование микроструктурированного используемыми в системах связи, микроструктурированные волокна демонстрируют заметно более сильные волноводные свойства за счет присутствия вокруг сердцевины волокна воздушных каналов. Большое различие показателей преломления кварцевого стекла и воздуха позволяет фокусировать оптическое поле в пятно диаметром 2 микрона и менее, что делает значительными нелинейные явления при распространении в волноводе излучения со сравнительно малой входной энергией. В рассматриваемом волноводе диаметры сердцевины и отдельного воздушного канала были соответственно 1.7 и 1.3 мкм, а точка нулевой групповой дисперсии попадала на длину волны 767 нм. Изучалось распространение импульсов длительностью 110 фс, центрированных на длине волны 770 нм.

Для примера было осуществлено моделирование генерации ССК, когда импульс на входе в волновод имел энергию 1.6 кВт. Рассчитанный численно сверхширокий спектр на выходе из волновода шириной более 500 нм не только качественно, но и количественно совпадал с обнаруженным экспериментально. Численное моделирование позволило кроме этого разрешить очень сложную внутреннюю структуру временного портрета поля импульса, свойственную области нулевой групповой дисперсии, которую трудно изучить в эксперименте.

В §3 рассматриваются режимы, когда спектр ПКИ в волноводе полностью или частично попадает в область с аномальной групповой дисперсией. В зависимости от начальных условий такой режим может иметь место либо уже на входе в волновод, либо сформироваться в процессе распространения ПКИ в результате его спектрального сверхуширения.

Показывается, что спектральные компоненты, попадающие в область аномальной групповой дисперсии, при достаточной интенсивности могут формировать солитоноподобные образования бризерного типа длительностью вплоть до 1.5 колебаний светового поля. При этом в процессе установления спектра уединенной волны происходит его самосдвиг в сторону более низких частот, где аномальная групповая дисперсия проявляется сильнее. Рамановская нелинейность приводит к модуляции спектра, потерям энергии и медленному расплыванию уединенных волн.

Показывается, что при распространении в волноводах ПКИ со спектром в области нулевой или малой аномальной групповой дисперсии возможно получить ССК с шириной, вдвое и более превышающей начальную центральную частоту. В этих режимах на первом этапе исходный спектр расщепляется на отчетливо выраженные низкочастотную и высокочастотную части. Во временном диапазоне это соответствует формированию и обрушению ударной волны на заднем фронте импульса. Низкочастотная часть, эволюционируя, распадается на уединенные волны, а высокочастотные компоненты, попадающие в область нормальной групповой дисперсии, сначала формируют хвост импульса, а потом постепенно отстают из-за разности групповых скоростей. Сложная фазовая структура электрического поля на выходе из волновода делает затруднительной компрессию суперконтинуума.

В §4 дается теоретическая трактовка эксперименту по генерации ССК распространении 150 фс импульсов с центральной длиной волны З90 нм и энергией 0.1 мДж в отрезке полого волновода длиной 50 см, заполненного сжатым дейтерием. Дейтерий представляет собой комбинационно-активный газ, и определяющую роль в формировании столь широкого спектра играет Рамановская нелинейность. Показывается, что численное моделирование позволило определить нелинейные константы Керровской и Рамановской нелинейности в дейтерии, воспроизвести обнаруженный в эксперименте суперконтинуум, и подробно описать процесс его формирования. Эволюция спектра импульса протекает следующим образом: сначала доминирует неоднородное уширение спектра накачки за счет фазовой модуляции. На расстоянии порядка 17 см от входа в капилляре появляются неоднородно уширенные спектральные компоненты, центрированные вблизи стоксовой и антистоксовой частот. Стоксовые компоненты начинают расти и уширяться, а антистоксовые почти не развиваются. К окончанию следующей трети длины капилляра ширина спектра вблизи частоты накачки увеличивается в 10–12 раз по сравнению с исходной. Компоненты вблизи первой стоксовой частоты становятся соизмеримы с компонентами накачки и самые интенсивные из них, в свою очередь генерируют излучение, смещенное на величину стоксового сдвига. К выходу из волновода все компоненты перекрываются и формируется сплошной сверхширокий спектр с множеством квазидискретных максимумов.

Новые научные положения, выносимые на защиту 1. Выведено уравнение эволюции спектра однонаправленного линейно поляризованного излучения в продольно однородной и изотропной среде с произвольной дисперсией линейного показателя преломления и кубичной нелинейностью электронной и электронно-колебательной природы.

Показано, что для частного случая среды со слабой дисперсией линейного показателя преломления полученное уравнение переходит в известное расширенное модифицированное уравнение Кортевега де Вриза для поля светового импульса, а для случая излучения с узким спектром – в известное расширенное кубическое уравнение Шредингера для огибающей импульса, являясь, т.о., обобщением последних на случай сред с произвольной дисперсией и излучения со сверхшироким спектром.

2. Выведено уравнение, описывающее изменение среднеквадратичной сверхшироким, в оптических волноводах, нелинейность материалов которых имеет нерезонансную электронную природу. Получено соотношение между интегральными входными параметрами импульса с широким спектром и характеристиками волновода (его материальной и волноводной дисперсии), которое позволяет по этим параметрам определить начальный сценарий самовоздействия светового импульса: его самоуширение, самосжатие или распространение с неизменяющейся длительностью.

3. Предсказано, что генерация фемтосекундного спектрального суперконтинуума, сопровождающая формирование солитонов из малого числа колебаний светового поля, более эффективна, чем генерация суперконтинуума, сопровождающая временное уширение фемтосекундного импульса. На примере моделирования сверхуширения спектра импульсов из одинакового числа колебаний поля и одной интенсивности, но с разной микроструктурированном кварцевом волокне показано, что различие в относительной ширине спектрального суперконтинуума может составлять 1.5–3 раза (по среднеквадратической ширине спектра).

квазидискретного спектрального суперконтинуума при распространении импульсов длительностью 120–150 фс в капиллярах, заполненных комбинационно активными газами. Эволюция спектра импульса протекает следующим образом: сначала доминирует неоднородное уширение спектра накачки за счет фазовой модуляции. Далее появляются неоднородно уширенные спектральные компоненты, центрированные вблизи стоксовой и антистоксовой частот. Стоксовые компоненты начинают расти и уширяться, а антистоксовые почти не развиваются. Постепенно, компоненты вблизи первой стоксовой частоты становятся соизмеримы с компонентами накачки и самые интенсивные из них, в свою очередь генерируют излучение, смещенное на величину стоксового сдвига, которые также усиливаются и уширяются. К выходу из волновода все компоненты перекрываются и формируется сплошной сверхширокий спектр с множеством квазидискретных максимумов.

1. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ

фемтосекундного ССК и методам их решения. При ее написании использован материал работ [34-37].

§1. Модель поляризационного отклика среды. Спектральный аналог полного волнового уравнения.

однородных диэлектрических средах, не проявляющих магнитных свойств, в системе единиц СГС можно записать в виде [38]:

где E ( x, y, z, t ) - вектор электрического поля, x, y, z - координаты точки в пространстве, t - время, c - скорость света в вакууме, PL и PNL - векторы линейной и нелинейной по полю частей поляризации.

Мы будем рассматривать распространение линейно поляризованных фемтосекундных импульсов в оптических волноводах, полагая, что поперечная структура поля и его поляризация не изменяются, т.е. используя приближение плоских скалярных волн. Необходимым условием для адекватности такого рассмотрения является отсутствие межмодового взаимодействия в волноводе. Свойства мод волноводов с различной структурой и условия для реализации одномодового режима подробно описаны в [39]. Такой режим характерен для многих экспериментов по волноводной генерации ССК. Например, в фотонно-кристаллических волокнах он может наблюдаться практически во всей области прозрачности существенно выше, чем в объемных средах.

Выбрав ось z в качестве направления распространения излучения, для скалярного поля E ( z, t ) вместо (1.1) имеем:

Дифференциальное уравнение в частных производных (1.2) должно быть дополнено начальными и граничными условиями. В работе мы будем изучать, как сигналы с заданным временным профилем на входе волновода z = 0 эволюционируют по мере распространения. Зависимость E (0, t ) будет представлять собой граничное условие на электрическое поле импульса.

Ограниченность импульсов по времени позволяет предположить равными нулю значения поля и его производных при t ± для любого z.

Физический смысл граничного условия на первую производную от Воздействие волновода на электрическое поле импульса определяются линейной и нелинейной поляризациями. В работе линейная поляризация вводится через зависимость эффективного линейного показателя преломления волновода n от частоты излучения, описывающую совместное воздействие материальной и волноводной дисперсии. Обзор, посвященный роли дисперсии в сверхбыстрой оптике, см. в [42].

Изучаемые режимы распространения фемтосекундных импульсов характеризуются интенсивностями, при которых не происходит ионизации среды. При таких интенсивностях нелинейный отклик изотропных материалов, составляющих оптические волноводы, остается количественно существенно более слабым, чем полный линейный (слагаемое в правой части уравнения (1.2) много меньше слагаемого со второй производной по времени в левой части (1.2)) [7].

Используемая в работе модель малоинерционной нелинейности включает два механизма [43-45]. Первый представляет собой кубичный по полю электронный отклик, который при нерезонансном взаимодействии сверхкоротких импульсов с диэлектриком является безынерционным даже для импульсов из одного колебания светового поля [43]:

где 3 - нелинейная восприимчивость третьего порядка электронной природы.

Второй малоинерционный механизм нелинейности - электронноколебательный. Одно из важных его проявлений это эффект вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР). Согласно модели Платоненко-Хохлова [46] вклад этого механизма нелинейности в поляризацию описывается как где R осуществляет нелинейно-параметрическую связь между электрическим полем импульса и колебаниями молекул среды; до появления импульса в характеризуют дисперсию электронно-колебательной нелинейности.

Дифференциальное уравнение в частных производных (1.2) с линейной PNL = PNL + PNL может быть переписано в обыкновенное дифференциальное уравнение для спектра электрического поля ограниченного по времени импульса G ( z, ) = F ( E ) = где F обозначает Фурье-преобразование, и F ( PNL ) для рассматриваемой модели нелинейности имеет вид:

Как и в уравнении (1.2), в (1.5) нелинейное слагаемое в правой части много меньше каждого из слагаемых в левой части. Граничными условиями для G( z, ) фемтосекундных спектров излучения в оптических волноводах с произвольным законом дисперсии.

В этом параграфе осуществляется вывод наиболее общего уравнения однонаправленной эволюции сверхшироких фемтосекундных спектров излучения, остающихся по мере эволюции в области прозрачности волновода вдали от резонансов составляющих его диэлектрических сред.

Введем новую переменную Для нее уравнение (1.5) после домножения на exp( izn / c ) переписывается где и введены обозначения:

Уравнение (1.8) может быть явно проинтегрировано от 0 до z:

При этом Домножая (1.12) на exp(2inz / c ), с учетом (1.13), (1.14) в результате имеем Интегро-дифференциальное уравнение (1.15) с производной по z первого порядка равносильно дифференциальному уравнению (1.5) второго порядка по z. Пусть т.е. первое слагаемое в правой части (1.15) обращается в 0. Тогда рекуррентное подставление g / z, определяемое (1.15), в выражение для g 3 / z в третьем слагаемом в правой части (1.15) позволяет убедиться в квадратичной малости третьего слагаемого по сравнению со вторым.

Пренебрегая третьим слагаемым и возвращаясь к переменной G ( z, ), в результате имеем уравнение с первой производной по координате распространения:

соответствующего заданию начального направления распространения излучения от входа волновода к выходу (в сторону значений z > 0) и учитывающего выбранные модели линейной модели и нелинейности среды.

Уравнение (1.17) является непрерывным продолжением этого граничного условия на значения z > 0. Адекватность (1.17) полному волновому уравнению определяется справедливостью предположения малости нелинейного поляризационного отклика по сравнению с полным линейным.

Уравнение (1.17) впервые было выведено в [47], а без учета электронноколебательной нелинейности - в [37]. Использованная в этих работах процедура вывода отличалась от изложенной выше и была основана на технике, предложенной в [48].

Уравнение (1.17) описывает динамику сверхшироких фемтосекундных спектров излучения, остающихся по мере эволюции в области прозрачности волновода вдали от резонансов составляющих его диэлектрических сред. Оно применимо для любых волноводов, в том числе фотоннокристаллических с различными свойствами. Уравнение (1.17) является наиболее общим уравнением первого порядка, которое можно получить из полного волнового уравнения, дополненного выбранными моделями поляризации среды. Все известные уравнения однонаправленной эволюции оптических импульсов в волноводах, рассматривающие режимы распространения излучения, когда не происходит ионизации среды, являются его частными случаями. Процедура вывода уравнения (1.17) может быть перенесена на модели малоинерционной нелинейности, отличные от (1.3), (1.4), при условии, что нелинейная поляризация не зависит явно от пространственных координат.

фемтосекундных спектров излучения в оптических волноводах со слабой дисперсией эффективного показателя преломления. Численные методы.

В этом параграфе уравнение (1.17) упрощается для случая волноводов со слабой дисперсией эффективного показателя преломления. Т.к.

рассматриваемые в работе режимы как раз и характеризуются слабой дисперсией, то далее приводится метод численного решения получаемого в этом параграфе уравнения.

Запишем закон дисперсии эффективного показателя преломления волновода в виде:

где N 0 - константа. Тогда знаменатель выражения под двойным интегралом в третьем слагаемом левой части (1.17) перепишется в Про большинство диэлектрических материалов, используемых в оптике, известно, что их показатель преломления в пределах очень широкого спектрального диапазона в области прозрачности представим в виде (1.18) так, что или Оценка второй производной дает:

(p - величина порядка длительности импульса), т.е. она квадратична малым параметрам (2.1'). Можно показать, что третья производная кубична этим параметрам и т.д. Из вышесказанного следует, что для определения времени пробега импульсом расстояний можно использовать формулу совместно с формулой (2.3), где < >0 – время, в которое центр тяжести соответствии с (2.5) и (2.8) через временные характеристики импульса при z = 0. Соотношение (2.9) обеспечивает малость следующих (начиная с кубичного) членов разложения < > в ряд Тейлора по степеням z по сравнению с квадратичным членом.

(уравнение (1.33') при g = 0 и q = 0) и модифицированного уравнения Кортевега де Вриза (уравнение (1.33') при b = 0 и q = 0) выражение в правой части (2.4) оказывается интегралом движения и формула (2.10) с нулевым квадратичным слагаемым в правой части является точной при любых z, т.е.

положение центра тяжести меняется по линейному закону.

§2. Эволюция длительности светового импульса континуумным спектром по мере его распространения в волноводе. Под длительностью импульса в данной работе будем понимать квадратный корень из центрального момента распределения поля излучения второго порядка Отметим, что динамика определенной таким образом длительности описывается лишь эволюцией формы импульса, поэтому естественно изучать в системе координат со “сдвинутым” временем (1.35) на основе уравнения (1.33').

Для квадрата длительности верно:

где Зависимость < > от z определяется выше выведенной формулой (2.10). Определим зависимость от z для < 2 >, продифференцировав по этой интегрируя по частям, а также, учитывая (1.36) и то, что 0 при | |, получаем Применяя ту же процедуру для соотношения (2.14), можно найти и вторую производную по координате от < 2 >:

где U = Выражения (2.14) и (2.15) не являются сохраняющимися при распространении импульса величинами, однако, можно показать, что третья производная от < 2 > кубична малым параметрам (2.1'), и поэтому при расстояниях z, удовлетворяющих (2.10), справедливо:

где индекс 0 означает, что зависящая от z величина определена при z = 0.

среднеквадратичной длительности импульса можно привести к виду:

где При получении (2.17) отбросили члены более высоких степеней по z, полагая выполняющимся (2.9), а также ввели обозначение для длительности импульса при z = 0 0 =< >0. Через параметры входного импульса и свойства волновода коэффициент (2.18) выражается по формуле а коэффициент (2.19) – по формуле В (2.20), (2.21) электрическое поле импульса E и его первообразная U берутся при z = 0.

Формула (2.17) показывает, что квадрат среднеквадратической длительности в нелинейном волноводе изменяется с расстоянием по квадратичному закону, т.е. по тому же закону, что и в линейном волноводе с произвольной дисперсией [84]. Однако для нелинейного волновода (интенсивного излучения) параболический закон становится приближенным.

§3. Спектральное представление полученных соотношений Формулы (2.17), (2.20), (2.21) позволяют, не решая уравнения в частных производных (1.33), по входному профилю электрического поля E (0,) и характеристикам волновода a, b, g определять динамику ПКИ.

Поведение импульса описывается ограниченным набором интегральных параметров, фигурирующих в правых частях выражений (2.5), (2.8), (2.20) и (2.21), и перечисленными константами. При этом следует отметить, что сценарий распространения импульса определяется не самими значениями констант, а их соотношениями: частотой нулевой групповой дисперсии волновода c, определяемой формулой (1.44), и отношением вкладов нелинейных и дисперсионных эффектов согласно (1.43). В нормированных координатах (1.41) при условии рассмотрения нормированных коэффициентов зависимости (2.17) в виде интегралы в правых частях (2.20), (2.21) определяются только формой импульса на входе в среду, а эффективные константы (1.43), заменяющие соответствующие им ( A a, B b, G g ) константы среды, количественно описывают воздействие среды на импульс данной формы.

Рассмотрим наглядное спектральное представление интегральных параметров в (2.5), (2.8), (2.20) и (2.21). Ряд интегралов, связанных с воздействием на импульс линейной дисперсии, может быть обобщенно описан как где m = 2K2. Отрицательные m обозначают взятие первообразной порядка | m |; m = 0 - единичный оператор: I = W. Рассматривая электрическое поле импульса E в виде интеграла Фурье E ( ) = G () exp(i)d, где можно показать, что В (2.24) < 2 m > - момент распределения квадрата спектральной плотности | G() | порядка 2m. В случае слабоинтенсивных импульсов, когда нелинейностью можно пренебречь (g = 0, q = 0), спектральная плотность не претерпевает изменений по мере распространения. Следовательно, интегралы I m являются сохраняющимися величинами и их значения определяются параметрами импульса на входе в среду. Дисперсионная часть коэффициента при первой степени z в (2.10) (выражение (2.5), g = 0) имеет вид g = 0) - вид где характеризуют ширину спектра импульса. Важно отметить, что выражения (2.25), (2.26) оказываются не зависимыми от спектральной фазы импульса на входе в волновод, т.е. в линейном случае в выведенных нами соотношениях начальная спектральная фаза влияет только на коэффициент при первой степени z в законе эволюции длительности импульса (2.17), а коэффициент при второй степени полностью определяется модулем спектральной плотности.

§4. Сценарии эволюции длительности предельно коротких импульсов Мы будем иллюстрировать сценарии эволюции предельно коротких импульсов на примере капилляра с радиусом полой сердцевины 100 мкм, заполненного аргоном при атмосферном давлении, однако с учетом нормировки (1.41) результаты переносимы и на другие типы волноводов или режимы генерации ССК, для которых применимо уравнение (1.31).

При теоретическом анализе сверхуширения спектра фемтосекундных импульсов в капилляре, заполненном аргоном, дисперсия показателя преломления во всем видимом диапазоне при нормальном давлении газа описывается с точностью до 10-7 константами N0 = 1 + A1, a = (A1 B1)/( 42 c3 ), где A1 · 10 5 = 27.92 и B1 · 10 5 = 5.6 см2 [52]. Коэффициент нелинейного показателя преломления при данном давлении P аргона может быть рассчитан по формуле n2 P = 9.8 10 м Вт бар [4].

Правая часть приближенного равенства (2.17), характеризующая закон изменения квадрата среднеквадратической длительности предельно короткого импульса в волноводе на положительных расстояниях, удовлетворяющих условию (2.9), представляет собой параболическую зависимость, пересекающую ось ординат в точке 0. Следовательно, возможные сценарии начальной эволюции длительности определяются множеством различных парабол содержащих эту точку. В нашем случае направлению ветвей (“вверх” или “вниз”) и положению точки экстремума коэффициентов P1, P2. Наши исследования формул (2.20), (2.21) показали, что теоретически выбором центральной частоты, формы, длительности и интенсивности предельно короткого импульса на входе в нелинейный волновод можно добиться любых соотношений между знаками P1, P2, т.е.

квазистационарного закона изменения длительности импульса, которые проиллюстрированы ниже.

Сначала рассмотрим динамику предельно коротких импульсов вида (1.42) без начальной частотной модуляции (0 = 0). При этом из-за симметрии электрического поля импульса коэффициент P1 обращается в ноль.

На Рис. 2а представлена динамика среднеквадратической длительности импульса с параметрами 0 = 2 с / 0= 780 нм (B = 1.734), p = 2T0 = 20c, I = 1013 Вт/см2 (G = 1.546), спектр которого лежит в области нормальной групповой дисперсии среды (B < 3). При этих параметрах нормированный коэффициент имеет значение 0.589 и формула (2.17) описывает монотонное уширение импульса (сплошная линия на Рис. 2а). Рис. 2б и в демонстрируют соответственно, эволюцию электрического поля и спектра импульса, рассчитанные прямым численным моделированием уравнения (1.31') при q = 0. Динамика среднеквадратической длительности импульса, соответствующая этому расчету, представлена на Рис. 2а пунктирной линией.

Из Рис. 2 видно, что формула (2.17) предсказывает закон изменения длительности с точностью до 5 % на отрезке капилляра длиной 30 см в условиях генерации спектрального суперконтинуума. Детали эволюции полей и спектров импульсов подробно обсуждаются в главе 3.

Рис. 3 демонстрирует распространение импульса с теми же параметрами, что и Рис. 2, но с большей входной длительностью: p = 6T0.

Коэффициент P2 принимает при этом значение 0.48. Динамика импульса аналогична рассмотренной выше, но предсказание длительности формулой (2.17) оказывается значительно более точным: порог ошибки в 5 % преодолевается лишь после прохождения импульсом отрезка капилляра длиной более 100 см, несмотря на более существенные изменения спектральной плотности импульса.

В зоне аномальной групповой дисперсии (B > 3) могут наблюдаться случаи квазистационарного (в смысле среднеквадратической длительности) начального распространения импульса. Так при 0 = 1000 нм (B = 4.684), p = 2T0, I = 7.7·1012 Вт/см2 (G = 1.956) P и P2 оказываются одновременно равными 0 и на протяжении расстояния порядка 30 см в капилляре длительность импульса почти не изменяется, а его профиль при этом претерпевает заметные изменения (см. Рис. 4). Численное решение уравнения (1.31') показывает, что детальный закон изменения длительности импульса (пунктирная линия на Рис. 4а) состоит в его слабом (не более 0.2 %) начальном сжатии на первых 5 см в капилляре с последующим уширением по мере распространения.

Для импульса из 6 колебаний поля с такой же центральной длинной волны начальный “квазистационарный” характер распространения имеет место при почти в три раза более высокой интенсивности I = 2.3·1013 Вт/см (G = 5.843), но, как и в случае нормальной групповой дисперсии, точность предсказания формулы (2.17) в пределах 5 % оказывается выше, чем для импульса из 2 колебаний светового поля и достигает 56 см (см. Рис. 5).

Изменения поля и спектра импульса из 6 колебаний поля, несмотря на квазистационарность его длительности, очень существенны (Рис. 5б, в).

Ширина спектрального суперконтинуума, сформированного на выходе капилляра, более чем в 1.5 раза превышает начальную центральную частоту.

Положение точки минимума длительности соответствует формированию широкого высокочастотного крыла в спектре импульса. Аналогичные, но более слабые эффекты могут быть обнаружены и на Рис. 4.

При дальнейшем увеличении центральной длины волны на входе в волновод формула (2.17) предсказывает возможность начального сжатия импульса. Так при 0 = 1050 нм (B = 5.69342), p = 2T0, I = 1.65·1013 Вт/см (G = 4.62128) коэффициент P2 принимает значение – 0.33. Зависимость среднеквадратической длительности импульса от пройденного расстояния в волноводе представлена на Рис. 6а. Численное решение (1.31') подтверждает сжатие импульса на протяжении первых 10 см в волноводе. Однако далее за счет нелинейного уширения спектра и расфазировки спектральных компонент (Рис. 6б, в) среднеквадратическая длительность импульса увеличивается. В случае импульсов с большим числом колебаний поля на входе в среду начальное сжатие импульса проявляется сильнее, а точность предсказания формулы (2.17), как и ранее, увеличивается.

Выше обсуждалась эволюция предельно коротких импульсов без начальной частотной модуляции (0 = 0 в (1.42)), когда коэффициент P1 был нерассмотренные комбинации знаков коэффициентов P1 и P2. Когда P1 и P имеют одинаковые знаки, среднеквадратическая длительность импульса ведет себя аналогично случаям, обсужденным выше, но скорость изменения длительности вблизи z = 0 возрастает (т.к. P1 0 ). Особого рассмотрения заслуживают случаи, когда P1 и P2 имеют разные знаки и параболическая зависимость (2.17) имеет экстремум.

I = 2·1013 Вт/см2 (G = 3.091) коэффициенты в (2.17) имеют значения:

P1 = 4.88, P2 = 1.12. Динамика длительности импульса представлена на Рис. 7. На первых 11 см происходит компрессия импульса. Достаточно уменьшается на начальном этапе распространения. Из-за начальной частотной модуляции спектральные компоненты, формирующие задний и низкочастотном и высокочастотном краях спектральной плотности.

Совместное воздействие линейной дисперсии и кубической нелинейности накладывает на импульс частотную модуляцию противоположного знака, и центральных, фазы которых одновременно выравниваются, укорачивая импульс. Далее происходит типичное (см. главу 3) для области нормальной групповой дисперсии одновременное увеличение длительности импульса и уширение его спектра. Предсказания формулы (2.17) обеспечивают точность 5 % на протяжении 45 см в капилляре. Положение и значение точки минимума длительности предсказывается точно. Подчеркнем, что описанный сценарий удалось обнаружить именно благодаря изучению временной и спектральной эволюции ПКИ, отталкиваясь от закона изменения их начальной длительности.

При 0 = 1050 нм (B = 5.693), p = 4T0, 0 = – 0.1, I = 2·1013 Вт/см (G = 5.602) коэффициент P становится положительным, а коэффициент P2 - отрицательным:

максимум. Из Рис. 8 видно, что начальная динамика длительности импульса и в этом случае описывается правильно. Предсказание имеет точность 5 % в пределах 40 см в волноводе. Численные расчеты демонстрируют, что среднеквадратическая длительность импульса увеличивается монотонно, а в спектре импульса формируется плоское высокочастотное крыло, ширина которого превышает исходную центральную частоту.

В заключение настоящего параграфа отметим, что проведенные расчеты подтверждают адекватность приближенной формулы (2.17) с коэффициентами (2.20), (2.21) и ее прикладную ценность для анализа особенностей нелинейного распространения ПКИ.

Выводы по главе Выведены простые формулы, позволяющие по характеристикам волноводов и входным параметрам излучения определять эволюцию длительности ПКИ. Дана наглядная спектральная трактовка этих формул для случая линейных волноводов. Формулы применены для изучения различных сценариев самовоздействия импульсов с континуумным спектром в волокне:

их самоуширения, самосжатия или распространения с неизменяющейся длительностью. Каждый режим проиллюстрирован типичными изменениями поля и спектра излучения. Описан сценарий одновременного уменьшения длительности импульса из нескольких колебаний светового поля с начальной частотной модуляцией и сужения его спектра.

3. СЦЕНАРИИ СВЕРХУШИРЕНИЯ СПЕКТРА

В настоящей главе сценарии генерации фемтосекундного ССК в волноводах изучаются посредством анализа численных решений уравнения (1.33). При ее написании использованы работы [34-37, 47, 50, 85-95].

§1. Динамика ПКИ со спектром в области нормальной групповой дисперсии В §1 рассмотрим распространение интенсивных ПКИ со спектром в области нормальной групповой дисперсии волновода, т.е. когда для всех спектральных компонент импульса на любом расстоянии от входа волновода положителен коэффициент где keff () - эффективная константа распространения излучения на частоте в волноводе. При 2 > 0 групповая скорость g () = [k eff ()/] уменьшается с ростом частоты. В волноводе, дисперсия эффективного показателя преломления которого описывается формулой (1.32), области нормальной групповой дисперсии соответствуют частоты, превышающие частоту нулевой групповой дисперсии (1.44). Ниже в этом параграфе рассмотрение ведется на примере оптического волокна из кварцевого стекла, однако в силу нормировки (1.40)–(1.43) картина сверхуширения спектра ПКИ в области нормальной групповой дисперсии переносима и на другие системы (см., например, иллюстрации из главы 2 для случая полых волноводов).

На Рис. 9 приведены результаты численного моделирования изменения временной и спектральной структуры импульса Ti : сапфирового лазера с энергией W = 8.5 нДж, центральной длиной волны 0 = 780 нм (область нормальной групповой дисперсии кварцевого стекла) и входной длительностью = 13 фс при его распространении в оптическом волокне с радиусом сердцевины R = 1.38 мкм из кварцевого стекла, характеризуемого N0 = 1.45, a = 4.04·10-44 с3/см, b = 0 (при этих значениях эффективный линейный показатель преломления волокна в диапазоне 550-1100 нм описывается с точностью до 10-3 [87]) и коэффициентом нелинейного показателя преломления n2 = 3·10-16 см2/Вт [33], который представляет собой сумму коэффициентов n2 и n2, связанных с константами g и q из (1.33) согласно формулам (1.45). При этом было учтено, что в кварцевом стекле имеет место соотношение осуществляется за счет генерации в среде новых световых колебаний, причем расплывание происходит так, что временные расстояния между нулями, характеризующие “мгновенный” период Tмгн, различны в начале и конце импульса. Рис. 9б иллюстрирует динамику “мгновенной” частоты мгн = 2 / Tмгн колебаний в течение импульса (его фазовую модуляцию) на различных расстояниях в среде.

На Рис. 9в показано, что временное расплывание импульса в волокне сопровождается сильным асимметричным уширением его спектра вплоть до диапазона от 450 до 1500 нм при прохождении импульсом расстояния z = 0.71 мм. Параметр = /0, где оценивается на полувысоте спектрального распределения, увеличивается в 5 раз и становится равным 0.3. На расстояниях больших, чем приведены на рисунках, уширения спектра уже не происходит. Это связано, по-видимому, с тем, что режим распространения импульса становится практически линейным из-за уменьшения его интенсивности вследствие значительного временного расплывания импульса. Из Рис. 9б видно, что в сформировавшемся спектральном континууме зависимость мгновенной частоты от времени становится линейной, что может быть эффективно использовано для временного сжатия импульса.

Используя устройства, осуществляющие сфазировку спектральных компонент светового импульса (временные компрессоры), можно получить импульс с длительностью порядка обратной ширины его спектра [33].

Параметры такого компрессора для рассмотренного в предыдущем разделе случая могут быть рассчитаны по зависимостям, приведенным на Рис.9а.

Результаты временного сжатия импульса с континуумным спектром, развитие которого представлено на Рис. 9б, идеальным компрессором, полностью фазирующим все компоненты спектра, приведены на Рис. 10. Из рисунков видно, что спектральный континуум, сформировавшийся при прохождении импульсом среды толщиной z = 0.7 мм, теоретически может быть сжат в спектрально ограниченный импульс, состоящий всего из одного полного колебания светового поля. При этом расчеты показывают, что форма и длительность сжатого импульса практически не меняется при изменении как формы, так и, в определенных пределах, длительности импульса на входе в среду. Установление такого однопериодного импульса происходит раньше, чем установление стационарного спектра, причем при увеличении энергии накачки, процесс установления становится более быстрым.

Важно отметить, что в силу (3.1) и (1.45) в кварцевом стекле электронно-колебательная часть нелинейности заметно слабее электронной.

В работе [36] был проведен анализ влияния электронно-колебательной нелинейности на распространение ПКИ со спектром в области нормальной групповой дисперсии. Было показано, что в этом диапазоне ее учет не вносит качественных изменений в картину эволюции поля и спетра ПКИ, а лишь ведет к появлению некоторых количественных особенностей. Нелинейное расплывание импульса при учете электронно-колебательной нелинейности оказывается несколько более слабым, чем когда она не рассматривается, а вся нелинейность полагается безынерционной. Оценки ширины спектра импульса в разных сечениях оптического волокна меньше аналогичных для случая, когда инерционность нелинейности не учитывается, и на выходе из среды разница достигает 10%.

На Рис. 11 приведен сдвиг в высокочастотную область центральной частоты ПКИ при его распространении в кварцевом стекле с учетом только электронной нелинейности (кривая а) и с учетом обоих видов нелинейности (кривая б). Из Рис. 11 видно, что с учетом электронно-колебательной нелинейности сдвиг частоты в высокочастотную область становится меньшим. Это связано, во-первых, с инерционностью электронноколебательного механизма нелинейности и, во-вторых, со стоксовым сдвигом из-за ВКР. С ростом интенсивности входных сигналов снос центральной частоты в область более низких частот из-за ВКР увеличивается.

микроструктурированных волокнах В §2 адекватность развитого теоретического подхода для описания спектрального сверхуширения фемтосекундных импульсов иллюстрируется численным моделированием эксперимента по получению одного из самых широких из когда-либо наблюдаемых континуумных спектров [21].

Особенностью эксперимента было использование оптического волновода нового типа - микроструктурированного волокна [96]. Такие волокна, называемые также дырчатыми или фотонно-кристаллическими, сейчас рассматривают как чрезвычайно перспективный объект для генерации спектрального суперконтинуума с различными характеристиками и многих других приложений (обзор см. в [40]). По сравнению с обычными микроструктурированные волокна демонстрируют заметно более сильные волноводные свойства за счет присутствия вокруг сердцевины волокна полых воздушных каналов (Рис. 12). Большое различие показателей преломления кварцевого стекла и воздуха позволяет фокусировать оптическое поле в пятно диаметром 2 микрона и менее, что делает значительными нелинейные явления при распространении в волноводе излучения со сравнительно малой интенсивностью на входе в среду.

Свойства микроструктурированного волокна определяются его поперечной структурой и заполнением воздушных отверстий оболочки. Это дает определенную свободу в создании волноводов с необходимыми характеристиками, прежде всего дисперсионными. Особую роль здесь играет теоретическое моделирование. В настоящее время существуют эффективные приближенные методы описания модовой структуры и, как следствие, дисперсии и нелинейности дырчатых волноводов [97-99].

Еще одной важной особенностью микроструктурированных волокон является их одномодовость в широком спектральном диапазоне. В обычных оптических волноводах спектральная область существования одномодового режима распространения излучения, как правило, относительно невелика.

При повышении частоты оптического излучения обычный волновод переходит в многомодовый режим, понижение же частоты излучения приводит к росту оптических потерь. Ситуация радикально улучшается в случае микроструктурированных волноводов, позволяющих существенно расширить спектральную область существования одномодового режима распространения излучения за счет зависимости эффективного показателя преломления оболочки от частоты излучения.

На настоящий момент созданы кварцевые микроструктурированные волокна c диаметром сердцевины в несколько микрон, демонстрирующие аномальную групповую дисперсию в ближней инфракрасной и видимой спектральных областях и характеризующиеся при этом одномодовым режимом распространения (см., например, [21, 100]). Совокупность всех этих качеств позволяет обеспечивать генерацию очень широкого спектрального суперконтинуума уже при сравнительно небольших входных энергиях фемтосекундных импульсов [21, 68, 69, 79]. В последнее время обнаружено, что похожие преимущества имеют и, т.н., сужающиеся волокна, получаемые вытягиванием кварцевых волокон [22, 101-104].

В связи с появлением микроструктурированных и сужающихся волокон, а также перестраиваемых фемтосекундных лазерных источников [105, 106] особую важность приобретает теоретическое исследование распространения фемтосекундных импульсов в волноводах с аномальной групповой дисперсией [47, 67-69, 78, 80] и их развитие.

Эксперимент [21] был одним из первых в серии исследований генерации фемтосекундного ССК в микроструктурированном волокне со сдвинутой дисперсионной кривой. Авторы использовали волокно с диаметрами сердцевины и отдельного воздушного 1.7 и 1.3 мкм, соответственно. Было проведено теоретическое и экспериментальное исследование дисперсии волновода, которое показало, что точка нулевой групповой дисперсии попадала на длину волны 767 нм. Доступные экспериментальные данные (отметим, что ширина полосы длин волн, в которой проводились измерения дисперсии, вообще говоря, не достаточна для аккуратного описания генерации спектрального суперконтинуума) могут быть хорошо описаны моделью (1.32) с параметрами a = 2.57510-44 с3см-1;

b = 2.8181018 с-1см-1 (Рис. 13). Параметр N0, не влияющий на эволюцию импульса, был взят равным 1.45. Коэффициент нелинейного показателя преломления n2 рассматривался таким же, как у кварцевого стекла, в соответствии с экспериментальными и теоретическими выводами авторов [21] о локализации электрического поля внутри кварцевой сердцевины.

В соответствии с условиями экспериментального наблюдения генерации спектрального суперконтинуума в микроструктурированном волокне нами изучалось распространение импульсов длительностью 110 фс, центрированных на длине волны 770 нм вблизи длины волны нулевой групповой дисперсии. Пример результатов моделирования на основе уравнения (1.33), соответствующих пиковой интенсивности импульса в 1.6 кВт, представлен на Рис. 14, 15. Из Рис. 14 видно, что численный расчет позволил количественно воспроизвести измеренный ССК во всем диапазоне от 500 до 1100 нм. Расхождение расчетной и экспериментальной кривых вблизи центральной частоты входного импульса может быть объяснено малой протечкой “накачки” через оболочку волокна, которое не может быть учтено при (1+1)-мерном моделировании.

На Рис. 15 приведена эволюция “огибающей” импульса. (В расчете фигурировало электрическое поле импульса. “Огибающая” достроена искусственно для наглядности.) Сложная структура электрического поля типична для области нулевой групповой дисперсии [33, 107], и, несмотря на огромную спектральную ширину излучения, его оптимальная компрессия в ПКИ затруднительна.

§3. Динамика ПКИ со спектром в области аномальной групповой дисперсии В §3 рассмотрим режимы, когда спектр интенсивного ПКИ в волноводе полностью или частично попадает в область с аномальной групповой дисперсией. В зависимости от начальных условий такой режим может иметь место либо уже на входе в волновод, либо сформироваться в процессе распространения ПКИ в результате его спектрального сверхуширения.

На Рис. 16 представлена эволюция ПКИ с центральной длиной волны длительностью p = 4T0 в описанном выше микроструктурированном волокне с длина волны нулевой групповой дисперсии 767 нм. На Рис. 16а изображено электрическое поле импульса E, а на Рис. 16б – его спектр G; 0 = 2с/0 – центральная частота. Расчет был осуществлен на основе модели (1.33) в пренебрежении электронно-колебательной нелинейности. В §1 настоящей главы было показано, что при распространении ПКИ со спектром в области нормальной групповой дисперсии волокна влияние этого вида нелинейности мало. Роль этого вида нелинейности для случая аномальной групповой дисперсии будет обсуждена ниже.

Распространение ПКИ в микроструктурированном волокне сопровождается очень сильными спектральными изменениями. Спектр расщепляется на высокочастотную и низкочастотную части и неоднородно модулируется. Момент образования высокочастотного крыла спектра соответствует обрушению ударной волны огибающей импульса, которая развивается на начальном этапе распространения. В рассматриваемом режиме это явление происходит на расстоянии порядка 0.2 мм и на Рис. 16 не изображено. Иллюстрациями могут служить Рис. 4-6 и рисунки из [89]. На выходе из волновода ширина спектра почти вдвое превышает начальную центральную частоту. Низкочастотные компоненты сдвигаются далеко в область аномальной групповой дисперсии и формируют солитоноподобное образование (уединенную волну) из 1.5 колебаний светового поля.

Возможность существования таких световых образований была предсказана в [55]. Детали процесса формирования уединенной волны хорошо видны на Рис. 16а. Формирующие задний фронт импульса высокочастотные компоненты попадают в область нормальной групповой дисперсии.

Автоматически учитываемая в модели генерация третьей гармоники видна на Рис. 16б. Электрическое поле импульса испытывает скачки фазы.

Согласно нашим расчетам формирование предельно коротких уединенных волн теоретически возможно даже в случаях, когда исходный спектр входного импульса полностью попадает в область нормальной групповой дисперсии вблизи точки нулевой групповой дисперсии. Это утверждение совпадает с теоретическим выводами [108], сделанными на основе метода огибающих для более длинных импульсов. Однако в [108] самосдвиг частоты солитона объяснялся влиянием четырехволнового взаимодействия, вызванного электронно-колебательной нелинейностью. Так же объясняется сдвиг спектральных компонент излучения в область более низких частот и в [101]. Наши расчеты показывают, что в случае ПКИ расщепление спектра и сдвиг спектральных компонент импульса в область аномальной групповой дисперсии вызвано прежде всего воздействием электронной нелинейности.

Изучению предельно коротких оптических солитонов посвящено очень большое число работ (см. например, монографию учебного плана [109] и библиографию в ней, а также более поздние работы [110-116] и обзор [51]).

Но в основной части этого пласта публикаций по оптике ПКИ используется приближение двухуровневой среды и изучаются различные решения уравнений Максвелла-Блоха и их модификаций. На неприменимость такой модели взаимодействия света с веществом для наиболее важного на практике случая прозрачных диэлектрических сред было указано в [44, 55]. В [55] было показано, что простейшей моделью, описывающей формирование солитонов из нескольких колебаний светового поля со спектром в диапазоне прозрачности изотропной диэлектрической среды, является уравнение (1.33) с q = 0. Аналитические солитонные решения этого уравнения до сих пор не найдены.

Нам удалось численными методами выделить солитоноподобное образование и исследовать его свойства. На Рис. 17 представлена динамика квадрата его электрического поля и спектра при прохождении расстояния 48 мкм в волокне. Из Рис. 17б видно, что спектральная плотность не претерпевает заметных изменений на таком сравнительно небольшом расстоянии. Однако внутренняя структура импульса (Рис. 17а) испытывает периодические колебания, которые соответствуют изменениям спектральной фазы. Такое поведение характерно для специального вида солитонов, называемых бризерами [109].

солитоноподобных образований требует надежных данных по дисперсии волновода для всего спектрального диапазона, куда попадает выходной спектр импульса. Экспериментальные данные [21], по которым определены дисперсионные константы (1.33), доступны только в заметно более узком спектральном диапазоне.

Проанализируем теперь роль электронно-колебательной нелинейности при распространении ПКИ со спектром в области аномальной групповой дисперсии. При тех же входных параметрах динамика электрического поля импульса качественно похожа на рассмотренную выше (Рис. 18а).

Солитоноподобное образование также формируется в процессе распространения, однако оно достигает минимума своей длительности при z 12 мм, после чего начинает уширяться. Уширение представлено более детально (через меньшие промежутки по оси z) на Рис. 18б. Эти отличия связаны с потерями энергии и изменениями спектральной плотности, вызываемыми малоинерционной электронно-колебательной нелинейностью (Рис. 19). Низкочастотная часть спектральной плотности импульса, соответствующая уединенной волне, испытывает модуляцию, которая увеличивается по мере распространения. Высокочастотная часть спектра, фактически не изменяется, что связано с меньшим влиянием электронноколебательной нелинейности в области нормальной групповой дисперсии.

Сценарии распространения ПКИ в волноводах, описанные в настоящей главе, согласуются с недавними экспериментальными наблюдениями, сделанными в [117] §4. Сверхуширение спектра фемтосекундных импульсов в полых волноводах, заполненных комбинационно активными газами В §4 дается теоретическая трактовка эксперименту по генерации ССК распространении 150 фс импульсов с центральной длиной волны З90 нм (вторая гармоника Ti:S лазера) и энергией 0.1 мДж в 50-сантиметровом отрезке волновода с полой сердцевиной радиуса 90 мкм, заполненного сжатым дейтерием под давлением 45 атм. Экспериментальная установка описана в [35, 118]. Дейтерий представляет собой комбинационно активный газ, и определяющую роль в формировании столь широкого спектра играет электронно-колебательная (Рамановская) нелинейность. Отметим, что генерация сверхшироких, но дискретных спектров в комбинационно активных средах возможна даже при распространении наносекундных импульсов [119]. Генерация квазидискретного ССК при распространении пикосекундных импульсов в микроструктурированных волокнах изучалась в [120]. Существуют также идеи использования Рамановского резонанса для получения последовательностей субфемтосекундных импульсов [121, 122].

Дисперсионные свойства дейтерия были взяты из [53]. Коэффициенты нелинейного показателя преломления электронной и электронноколебательной природы дейтерия определялись в процессе численного моделирования по наилучшему совпадению с экспериментальными данными.

При этом сопоставление экспериментальных и расчетных данных, соответствующих разным входным интенсивностям, осуществлялось совместно с одним из авторов эксперимента [118] В.Г. Беспаловым.

Константы были определены по характеристикам контура Рамановского усиления дейтерия. Удалось показать, что для математической модели (1.40)–(1.42) эксперименту [118] соответствуют параметры B = 0.22, G = 810-2, H = 510-3, p 0 = 7102, На рис. 20 отражена рассчитанная численно эволюция спектра импульса при его распространении в 50 сантиметровом капилляре. На начальном этапе развития генерации спектрального суперконтинуума доминирует неоднородное уширение спектра накачки (в 5–7 раз) за счет фазовой модуляции. (Спектральная плотность, сформированная на длине полулогарифмическом масштабе). Кроме того, на частотах вблизи стоксовой компоненты с интенсивностью 3–5% от максимальной спектральной компоненты уширенной накачки. На длине капилляра 33 см ширина спектра накачки по уровню половинной интенсивности увеличивается в 10–12 раз.

Вблизи частоты первого стоксового компонента появляются спектральные компоненты, соизмеримые по интенсивности с центральными компонентами накачки. Наиболее интенсивные компоненты неоднородно уширенного спектра вблизи первого стоксового компонента в свою очередь генерируют (компоненты вблизи 490 нм). На выходе капилляра спектр накачки и первого стоксового, а также первого антистоксового компонентов сливаются, образуя спектральный суперконтинуум, простирающийся от 350 нм до 470 нм (10000 см-1) по уровню 3% от максимальной спектральной компоненты, с множеством квазидискретных максимумов (Рис. 22, 23). Наблюдается также незначительная (~ 10-6) генерация третьей гармоники относительно несущей частоты и стоксовых компонент относительно самой третьей гармоники.

Полученный численно ССК не только качественно, но и количественно совпадает с измеренным экспериментально (Рис. 22, 23), что еще раз свидетельствует об адекватности используемой математической модели.

Пунктирная линия на Рис. 22 представляет результаты моделирования экспериментальных измерениях ССК регистрировался как результат усреднения более чем 1000 выстрелов, энергия которых колебалась в пределах ±10%. Аналогичное усреднение было осуществлено при получении расчетных данных, представленных на Рис. 23. Заметим, что попытка описания данного сценария развития ССК с использованием традиционного метода медленно меняющихся огибающих потребовала бы решения порядка десяти связанных нелинейных уравнений для огибающих импульсов, несущие частоты которых пришлось бы еще предугадывать.

Выводы по главе одновременном уширении импульса из нескольких колебаний светового поля и его спектра. Такой континуум теоретически может быть сжат в образование из одного колебания светового поля. Показано, что слабая по сравнению с электронной Рамановская нелинейность в кварцевых волокнах не вносит качественных особенностей указанного сценария, лишь уменьшая на несколько процентов центральную частоту формируемого континуума.

Показано, что распространение в кварцевом волокне ПКИ со спектром в модифицированным уравнением Кортевега де Вриза (уравнение (1.33) с Продемонстрировано, что модель (1.33) применима для описания микроструктурированных волокнах. Рассчитаны константы, аппроксимирующие линейную дисперсию показателя преломления волокна, использованного в эксперименте [21]. Численное моделирование позволило количественно воспроизвести измеренный ССК.

Описан сценарий генерации ССК, связанный с формированием солитоноподобных образований из нескольких колебаний светового поля в микроструктурированных волокнах. Предсказано, что ширина такого континуума может вдвое и более превышать центральную частоту, однако его оптимальная временная компрессия затруднительна.

Дана детальная теоретическая трактовка эксперимента [118] по генерации квазидискретного ССК шириной 10000 см-1 при распространении фемтосекундных импульсов в капилляре, заполненном сжатым дейтерием.

Продемонстрированы адекватность и удобство применения модели (1.33) для описания эффектов четырехволнового взаимодействия в комбинационно активных средах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе развита теория генерации ССК при распространении фемтосекундных лазерных импульсов в различных оптических волноводах.

Получены следующие основные результаты:

1. Выведено уравнение эволюции спектра однонаправленного линейно поляризованного излучения в оптическом волноводе с произвольной дисперсией линейного показателя преломления и кубичной нелинейностью электронной и электронно-колебательной природы.

2. Показано, что генерация ССК при распространении в кварцевом волокне ПКИ со спектром в области нормальной групповой дисперсии может быть описана модифицированным уравнением Кортевега де Вриза.

3. Показано, что в уравнениях динамики поля световой волны, распространяющейся в полом волноводе, заполненном сжатым газом, волноводная дисперсия учитывается аналогично материальной дисперсии колебательной природы.

4. Известное расширенное модифицированное уравнение Кортевега де Вриза для электрического поля импульса из нескольких колебаний светового поля обобщено на случай сред с малоинерционной электронноколебательной нелинейностью.

5. Рассчитаны константы, аппроксимирующие линейную дисперсию показателя преломления кварцевого стекла и постоянной распространения микроструктурированного волокна практически во всем диапазоне их прозрачности.

6. Построена схема численного решения уравнений динамики электрических полей и спектров интенсивных фемтосекундных световых импульсов в оптических волноводах. Схема базируется на методе расщепления Фурье и позволяет автоматически инкорпорировать дисперсию волновода произвольного вида, в том числе снятую экспериментально.

7. Выведено соотношение между интегральными входными параметрами импульса с широким спектром и характеристиками волновода (его материальной и волноводной дисперсии), которое позволяет по этим параметрам определить начальный сценарий самовоздействия светового импульса: его самоуширение, самосжатие или распространение с неизменяющейся длительностью.

одновременном уширении импульса из нескольких колебаний светового поля и его спектра. Показано, что такой континуум теоретически может быть сжат в образование из одного колебания светового поля. Показано, что слабая по сравнению с электронной Рамановская нелинейность в кварцевых волокнах не вносит качественных особенностей указанного сценария, лишь уменьшая на несколько процентов центральную частоту формируемого континуума.

9. Описан сценарий генерации ССК, связанный с формированием солитоноподобных образований из нескольких колебаний светового поля в волноводах. Предсказано, что ширина такого континуума может вдвое и более превышать его центральную частоту.

10. Описан сценарий одновременного уменьшения длительности импульса из нескольких колебаний светового поля с начальной частотной модуляцией и сужения его спектра.

11. Описан сценарий генерации сверхширокого квазидискретного ССК при распространении импульсов длительностью 120-150 фс в капиллярах, заполненных комбинационно-активными газами.

Апробация работы спектроскопии (Йошкар-Ола, 1997), Международных конференциях по лазерной физике и спектроскопии (Беларусь, Гродно, 1997, 1999), Международных конференциях по лазерной оптике (Санкт-Петербург, 1998, 2000, 2002), Международных конференциях по когерентной и нелинейной оптике (Москва, 1998; Минск, Беларусь, 2001), Международной конференции по сверхбыстрым явлениям (Мюнхен, ФРГ, 1998), Международном конгрессе по современной оптике (Будапешт, Венгрия, 1998), Международном конгрессе по высокоскоростной фотографии и фотонике (Москва, 1998), Международной конференция по лазерам LASE'99 (Квебек, Канада, 1999), Международных конференциях по мощным лазерам и их приложениям Photonics WEST (Сан-Хосе, Калифорния, США, 1999, 2003), Международной конференции по квантовой электронике и лазерной технике (Балтимор, Мэриленд, США, 1999), Международных конференциях Photonics Prague (Прага, Чешская Республика, 1999, 2002), Международной Конференции “Нелинейные науки на рубеже тысячелетий” (Санкт-Петербург, 1999), Международных конференциях молодых ученых и специалистов “Оптика” (Санкт-Петербург, 1999, 2001), VIII Международных Чтениях по квантовой оптике (Казань, 1999), Российской научно-практическая конференции «Оптика–ФЦП “Интеграция”» (Санкт-Петербург, 1999), Международных конференции по лазерной оптике для молодых ученых (Санкт-Петербург, 2000, 2002), Международной конференции по нерезонансному взаимодействию лазерного излучения с веществом (Санкт-Петербург, 2000), Европейской Международной конференции по лазерной и электро-оптике (Ницца, Франция, 2000; Мюнхен, ФРГ, 2001), Международных конференциях “Фундаментальные проблемы оптики” (Санкт-Петербург, 2000, 2002), Ежегодной конференции Оптического Общества Америки (Лонг Бич, Калифорния, США, 2001), Международной конференции “День дифракции” (Санкт-Петербург, 2002), 27 научной и учебно-методической конференция СПбГИТМО(ТУ) (Санкт-Петербург, 2003), научном семинаре в Международном лазерном центре МГУ (Москва, 2003).

Работы, опубликованные по теме диссертации Основное содержание работы

, результаты и выводы опубликованы в научных статьях:

1. Kozlov S.A., Oukrainski A.O., Shpolyanskiy Yu.A., Self-induced changes in the polarization of pulses of a few oscillations duration in isotropic dielectric media. - Proc. SPIE, 1997, v.3239, p.169-176.

2. Bespalov V.G., Kozlov S.A., Oukrainski A.O., Shpolyanskiy Yu.A., Nonlinear reflection of extremely short light pulses. - Proc. SPIE, 1998, v.3573, p.82-85.

3. Беспалов В.Г., Козлов С.А., Сутягин А.Н., Шполянский Ю.А., Сверхуширение спектра интенсивных фемтосекундных лазерных импульсов и их временное сжатие до одного колебания светового поля. Оптический журнал, 1998, т.65, N10, с.85-88.

4. Bespalov V.G., Kozlov S.A., Sazonov S.V., Oukrainski A.O., Shpolyanskiy Yu.A., Spectrum supercontinuum generation by temporal broadening in isotropic nonlinear media of femtosecond light pulses. - Physics of Vibrations, 1999, v.7, N1, p.19-28.

5. Bespalov V.G., Kozlov S.A., Oukrainski A.O., Sazonov S.V., Shpolyanskiy Yu.A., Self-action of continuum spectrum femtosecond pulses. Proc. SPIE, 1999, v.3735, p.43-54.

Shpolyanskiy Yu.A., Nonlinear optics problems of one and more cycles light pulses. - Proc. SPIE, 1999, v.3609, p.276-281.

7. Bespalov V.G., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Yu.A., Scenario of spectrum ultrabroadening of femtosecond laser pulse in transparent optical medium. Proc. of the Int. Conf. on Lasers’98, STS PRESS, Mc LEAN, VA, 1999, p.1087-1091.

8. Беспалов В.Г., Козлов С.А., Сутягин А.Н., Шполянский Ю.А., Метод анализа динамики распространения фемтосекундных импульсов с континуумным спектром в прозрачной оптической среде. - Оптический Журнал, 2000, т.67, N4, с.5-14.

фемтосекундных лазерных импульсов в среде с электронной и электронно-колебательной нелинейностями. - Вестник молодых ученых.

Сер. Физ., 2000, т.1, с.17-27.

10. Беспалов В.Г., Козлов С.А., Крылов В.Н., Шполянский Ю.А., Стаселько Д.И., Генерация спектрального суперконтинуума в среде с электронной и электронно-колебательной нелинейностями. – Известия РАН. Сер. Физ., 2000, т.64, N10, с.1938-1941.

11. Bakhtin M.A., Berkovsky A.N., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Yu.A., The paraxial (2+1)-dimensional self-focusing of extremely short pulses. - Proc SPIE, 2001, v. 4423, p.274-279.

12. Берковский А.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А., Самофокусировка импульсов с малым числом колебаний светового поля. - Оптический журнал, 2002, т.69, N3, с.11-23.

13. Shpolyanskiy Yu.A., Bespalov V.G., Kozlov S.A., Steinmeier G., The theory of spectral supercontinuum generation in microstructure fibers. - Proc. SPIE, 2002, v.4638, p.107-114.

14. Белов Д.Л., Козлов С.А., Шполянский Ю.А., Динамика фемтосекундных импульсов с континуумным спектром в нелинейных волноводах. Оптический Журнал, 2002, т.69, N7, с.46-53.

15. Bespalov V.G., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Yu.A., Walmsley I.A., Simplified field wave equations for the nonlinear propagation of extremely short light pulses. - Phys. Review A., 2002, v.66, 013811.

16. Shpolyanskiy Yu.A., Kozlov S.A., Bespalov V.G., Steinmeyer G., The theory of intensive ultrashort pulse propagation in a microstructure fiber. - In book:

Advances in optics and electromagnetics of photonic band gap structures. St.

Petersburg, 2001, p.39-41.

17. Шполянский Ю.А., Сценарии развития фемтосекундного спектрального суперконтинуума. - В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики, СПб, 2000, c.136-153.

18. Бахтин М.А., Шполянский Ю.А., О границах применимости метода медленно меняющейся огибающей в оптике сверхкоротких импульсов. – В кн.: Современные технологии. Труды молодых ученых ИТМО, СПб, 2001, c. 12-18.

19. Берковский А.Н., Шполянский Ю.А., Параксиальная (2+1)-мерная самофокусировка импульсов предельно коротких длительностей. – В кн.:

Современные технологии. Труды молодых ученых ИТМО, СПб, 2001, c.19-23.

20. Барсуков В.С., Карасев В.Б., Козлов С.А., Шполянский Ю.А., Дисперсионное расплывание фемтосекундных световых импульсов с континуумным спектром. – В кн.: Оптические и лазерные технологии, СПб, 2001, c.11-17.

21. Беспалов В.Г., Васильев В.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А., Использование фемтосекундного спектрального суперконтинуума в системах сверхплотной передачи информации. – В кн.: Оптические и лазерные технологии, СПб, 2001, c.214-219.

22. Бахтин М.А., Колесникова С.Ю., Шполянский Ю.А., Сравнение точности аппроксимации дисперсии кварцевого стекла в методах медленно меняющейся огибающей и медленно меняющегося профиля. - В кн.:

Современные технологии, СПб, 2001, с.196-203.

23. Берковский А.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А., Валмслей Я.А., Пространственно-временная динамика поля световых импульсов с малым числом колебаний в прозрачных нелинейных средах. – В кн.: Оптические технологии в фундаментальных и прикладных исследованиях, СПб, 2002, с. 94-108.

24. Белов Д.Л., Шполянский Ю.А., Сценарии эволюции импульсов из нескольких колебаний светового поля в волноводах. – В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики, СПб, 2002, с.223-235.

Благодарности Прежде всего автор благодарен своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Козлову С.А. за огромный идеологический вклад в развитие настоящей работы, за педагогические усилия, потраченные на образование и формирование научных взглядов автора с 1996 г., за искреннюю человеческую поддержку. Автор благодарен к.ф.-м.н., в.н.с.

“ВНЦ ГОИ им. Вавилова” Беспалову В.Г., который был инициатором начала работ по теоретическому исследованию фемтосекундного спектрального суперконтинуума и также повлиял на формирование научных взглядов автора. Автор признателен студенту бакалавратуры Белову Д.Л. за помощь в проведении расчетов сценариев изменения длительности ПКИ в волноводах, аспиранту Украинскому А.О., студентам магистратуры Бахтину М.А. и Берковскому А.Н. за ценные обсуждения. Отдельная благодарность семье автора за помощь и моральную поддержку.

Автор благодарен министерству образования РФ, администрации Санкт-Петербурга, Российскому Фонду Фундаментальных Исследований, федеральной целевой программе “Интеграция”, международным оптическим обществам SPIE, OSA, IEEE-LEOS, фонду CRDF, а также администрации СПбГИТМО(ТУ) за финансовую поддержку различных этапов работы.

Особая благодарность ректору СПбГИТМО(ТУ) Проф. Васильеву В.Н. за многочисленные рекомендации и помощь в получении финансирования.

ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица 4 из [32] (перевод с англ.). Наиболее цитируемые статьи журнала Optics Letters, издаваемого Оптическим Обществом Америки (OSA), по годам в период с 1991 по 2000 г.

Kerr-Lens Mode-Locked Ti:Sapphire 1992 Self-Lensing by Cascaded Second-Order DeSalvo et al. 17,28 11-fs Mode-Locked Ti:Sapphire Laser Pulse Evolution in Mode-Locked Ti:Sapphire Laser 1995 Frequency-Domain Diffusing-Photon O’Leary et al. 20,426 Photonic Crystal Fibers Compression of High-Energy Laser “Spider” Characterization of Ultrafast Semiconductor Saturable-Absorber Mirror-Assisted KLM Ti:Sapphire Visible Continuum Generation in Holey ПРИЛОЖЕНИЕ В работе [55] было показано, что в предельном случае “длинных” импульсов (длительностью более десяти периодов колебаний) уравнение (1.33) без учета электронно-колебательной нелинейности (т.е. при q = 0) Шредингера с учетом высоких порядков теории дисперсии. В настоящем приложении приведена аналогичная процедура для случая взаимодействия в компонента, впервые осуществленная С.А. Козловым в [37].

Полное электрическое поле в рассматриваемом случае может быть записано в виде где - комплексные медленно меняющиеся амплитуды импульсов накачки (индекс “p”) и Стокса (индекс “S”), p,S и kp,S - несущие частоты и волновые числа импульсов. Используя приближение двухфотонного резонансного условием

ЛИТЕРАТУРА

1. Spielman Ch., Curley P.F., Brabec Th., Krausz F. Ultrabroadband femtosecond lasers. – IEEE J. Quant. Electron., 1994, v.30, N 4, p.1100-1114.

2. Ахманов С.А., Выслоух В.А.. Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. - М.: Наука, 1988. - 312 с.

3. Baltuska A., Wei Z., Pshenichnikov M.S., Wiersma D.A. Optical pulse compression to 5 fs at a 1 MHz repetition rate. - Opt. Lett., 1997, v.22, N 2, p.102-104.

4. Nisovi M. et al. Compression of high-energy laser pulses below 5 fs. - Opt.

Lett., 1997, v.22, N 8, p.522-524.

5. Albert O., Mourou G. Single optical cycle laser pulse in the visible and nearinfrared spectral range. - Appl. Phys. B, 1999, v.69, N 1, p.207-209.

6. Gallmann L. et al. Pulse compression over a 170-THz bandwidth in the visible by use of only chirped mirrors. - Opt. Lett., 2001, v.26, N 15, p. 1155-1157.

7. Brabec Th., Krausz F. Intense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics. – Rev. Mod. Phys., 2000, v.72, N 2, p.545-591.

8. Steinmeyer G. et al., Frontiers in ultrashort pulse generation: Pushing the limits in linear and nonlinear optics, Science, 1999, v.286, N 19, p. 1507-1512.

9. Kane D. J., Trebino R. Characterization of arbitrary femtosecond pulses using frequency-resolved optical gating. - IEEE J. Quantum Electron., 1993, v.29, N 2, p. 571-579.

10. Walmsley J.A. Measuring ultrafast optical pulses using spectral interferometry. - Opt. and Phot. News, 1999, N 4, p.29-33.

11. Auston D.H., Cheung K.P., Valdmanis J.A., Kleinman D.A. Cherenkov radiation from femtosecond optical pulses in electro-optic media. - Phys.Rev.

Lett., 1984, v.53, N 16, p.1555-1558.

12. Jaroszynski D.A., Chaix P., Piovella N. Superradiance in a short-pulse freeelectron-laser oscillator. - Phys. Rev. Lett., 1997, v.78, N 9, p.1699-1702.

13. Ким А.В., Рябикин М.Ю., Сергеев А.М. От фемтосекундных к аттосекундным импульсам. – Успехи физических наук, 1999, т.169, N 1, с.85-103.

14. Scrinzi A., Geissler M., Brabec T. Attosecond cross correlation technique. Phys. Rev. Lett., 2001, v. 86, N 3, p.413-415.

15. Von der Linde D., Schuler H. Breakdown threshold and plasma formation in femtosecond laser–solid interaction. - J. Opt. Soc. Am. B, 1999, v.13, N 1, p.216-222.

16. Chin S.L. et al. Filamentation and supercontinuum generation during the propagation of powerful ultrashort laser pulses in optical media (white light laser). - J. Nonl. Opt. Phys. and Mater., 1999, v.8, N 1, p.121–146.

17. Brodeur A., Chin S.L. Ultrafast white-light continuum generation and selffocusing in transparent condensed media. - J.Opt. Soc. Am. B., 1999, v.16, N 4. p.637–650.

18. Nishioka H., Odajima W., Ueda K., Takuma H. Ultrabroadband flat continuum generation in multichannel propagation of terrawatt Ti:sapphire laser pulses. Opt. Lett., 1995, v.20, N24, p.2505-2507.

19. Karasawa N., Morita R, Shigekawa H., Yamashita M. Generation of intense ultrabroadband optical pulses by induced phase modulation in an argon-filled single-mode hollow waveguide. - Opt. Lett., 2000, v.25, N 3, p. 183-185.

20. Karasawa N. et al. Comparison between theory and experiment of nonlinear propagation for a-few-cycle and ultrabroadband optical pulses in a fused-silica fiber. - IEEE J. of Quant. Electron., 2001, v. 37, N 3, p. 398-404.

21. Ranka J.K., Windeler R.S., Stentz A.J. Visible continuum generation in airsilica microstructure optical fibers with anomalous dispersion at 800 nm. - Opt.

Lett., 2000, v.25, N 1, p. 25–27.

22. Birks T. A., Wadsworth W. J., and Russell P. St. J. Supercontinuum generation in tapered fibers. - Opt. Lett., 2000, v.25, N 19, p. 1415-1417.

23. Holzwarth R. et al. Optical frequency synthesizer for precision spectroscopy. Phys. Rev. Lett., 2000, v.85, N 11, p. 2264-2267.

24. Udem Th., Absolute frequency measurements of the Hg+ and Ca optical clock transitions with a femtosecond laser. - Phys. Rev. Lett., 2001, v.86, N 22, p.

4996-4999.

25. Sotobayashi H., Chujo W., Ozeki T. Wideband tunable wavelength conversion of 10-Gbit/s return-to-zero signals by optical time gating of a highly chirped rectangular supercontinuum light source. - Opt. Lett., 2001, v. 26, N 17, p.

1314-1316.

26. Roth T., Laenen R. Absorption of free carriers in diamond determined from the visible to the mid-infrared by femtosecond two-photon absorption spectroscopy. – Opt. Comm., 2001, v. 189, p. 289-296.

27. Yoshizawa M., Kurosawa M. Femtosecond time-resolved Raman spectroscopy using stimulated Raman scattering. - Phys. Rev. A, 1999, v.61, N1, p.

013808(1-6).

28. Hartl I. et al. Ultrahigh-resolution optical coherence tomography using continuum generation in an air–silica microstructure optical fiber. – Opt. Lett., 2001, v. 26, N 9, p. 608-610.

29. Povazay B. et al. Submicrometer axial resolution optical coherence tomography. – Opt. Lett., 2002, v.27, N 20, p. 1800-1802.

30. Juhasz T. et al. The femtosecond blade: Applications in corneal surgery. – Optics & Photonics News, 2002, v.13, N 1, p. 24-29.

31. Femtochemistry and femtobiology. Edited by Douhal A. & Santamaria J. – Singapore: World Scientific, 2002 – 852 p.

32. Campillo A.J., Johnson A.M. The Impact of Optics Letters on Science and Technology. - Optics & Photonics News, 2002, v.13, N 7, p. 34-42.

33. Агравал Г.П. Нелинейная волоконная оптика. - М.: Мир, 1996. - 328 с.

34. Bespalov V.G. et al. Spectrum supercontinuum generation by temporal broadening in isotropic nonlinear media of femtosecond light pulses. - Physics of Vibrations, 1999, v.7, N1, p.19-28.

35. Беспалов В.Г., Козлов С.А., Шполянский Ю.А., Метод анализа динамики распространения фемтосекундных импульсов с континуумным спектром в прозрачной оптической среде. - Оптический Журнал, 2000, т.67, N4, с.5Шполянский Ю.А., Сверхуширение спектра интенсивных фемтосекундных лазерных импульсов в среде с электронной и электронно-колебательной нелинейностями. - Вестник молодых ученых.

Сер. Физ., 2000, т.1, с.17-27.

37. Bespalov V.G., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Yu.A., Walmsley I.A., Simplified field wave equations for the nonlinear propagation of extremely short light pulses. - Phys. Review A., 2002, v.66, p. 013811(1-10).

38. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. - М.:

Наука, 1990. - 432с.

39. Marcateli E.A.J., Schmeltzer R.A.. Hollow metalic and dielectric wave-guides for long distance optical transmission and lasers. - Bell. Syst. Tech. J., 1964, v.43, p.1783-1809.

40. Желтиков А.М. Дырчатые волноводы. - УФН, 2000, т.170, N 11, с. 1203Tempea G., Brabec Th. Theory of self-focusing in a hollow waveguide. - Opt.

Lett., 1998, v.23, N 10, p. 762-764.

42. Walmsley I., Waxer L., Dorrer C. The role of dispersion in ultrafast optics. – Rev. Sci. Instrum., 2001, v.72, N 1, p. 1-29.

43. Азаренков А.Н., Альтшулер Г.Б., Козлов С.А. Нерезонансный нелинейный поляризационный отклик вещества в поле предельно коротких световых импульсов. - Опт. и спектр, 1991, т.71, N 2, с.334-339.

44. Азаренков А.Н., Альтшулер Г.Б., Белашенков Н.Р., Козлов С.А.

Нелинейность показателя преломления лазерных твердотельных диэлектрических сред (обзор). - Квант. Электрон., 1993, т.20, N 8, с.733Козлов С.А. О классической теории дисперсии высокоинтенсивного света.

- Опт. и спектр., 1995, т.79, N 2, с.290-292.

46. Платоненко В.Т., Хохлов В.Ю. О механике работы комбинационного лазера. - ЖЭТФ, 1964, т.46, N 2, с.555-559.

47. Shpolyanskiy Yu.A., Bespalov V.G., Kozlov S.A., Steinmeier G., The theory of spectral supercontinuum generation in microstructure fibers. - Proc. SPIE, 2002, v.4638, p.107-114.

48. Изъюров С.А., Козлов С.А. Динамика пространственного спектра световой волны при ее самофокусировке в нелинейной среде. – Письма в ЖЭТФ, т.71, в.11, с.666-670.

49. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Том 1. – М.:

Мир, 1991, 504 с.

50. Шполянский Ю.А., Сценарии развития фемтосекундного спектрального суперконтинуума. - В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики, СПб, 2000, c.136-153.

51. Маймистов А.И. Некоторые модели распространения предельно коротких электромагнитных импульсов в нелинейной среде. – Квантовая электроника, 2000, т.30, N 4, с.287-304.

52. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1973. - 720 с.

53. Schoulepnikoff L., Mitev V., Simeonov V., Calpini B. Experimental investigation of high-power single-pass Raman shifters in the ultraviolet with Nd:YAG and KrF lasers. - Appl. Opt. (LP), 1997, v.36, N 21, p. 5026-5043, 1997.

54. Физические величины. Справочник под ред. И.С. Григорьева, Е.З.

Мейлихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991, 1232 с.

55. Козлов С.А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах. - ЖЭТФ, 1997, т.111, в.2, с.404-418.

56. Беленов Э.М., Крюков П.Г., Назаркин А.В., Прокопович И.П. Динамика распространения мощных фемтосекундных импульсов в комбинационноактивных средах. – ЖЭТФ, 1994, т.105, в.1, с.28-42.

57. Беленов Э.М., Исаков В.А., Канавин А.П., Сметанин И.В., Трансформация поля мощного ультракороткого импульса в комбинационно-активной среде. - Письма в ЖЭТФ, 1994, т.60, N 11, с.762- 58. Brabec Th., Krausz F. Nonlinear optical pulse propagation in the single-cycle regime. - Phys. Rev. Lett., 1997, v.78, N 17, p. 3282-3285.

59. Porras M.A. Propagation of single-cycle pulsed light beams in dispersive media. - Phys. Rev. A, 1999, v.60, N 6, p. 5069-5073.

60. Gaeta A.L. Catastrophic collapse of ultrashort pulses. - Phys. Rev. Lett, 2000, v.84, N 16, p. 3582-3585.