«Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр ...»

Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 514.7

Никонов Игорь Михайлович

Характеристические классы

аппроксимативно конечных алгебр

01.01.04 – геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата

физико-математических наук

Научный руководитель:

Профессор, доктор физикоматематических наук Ю. П. Соловьёв Москва 2003 1 Введение Характеристические классы возникают в качестве гомологических инвариантов при изучении различного рода структур на геометрическом объекте. Исследование и использование таких инвариантов стоит в ряду основных задач алгебраической топологии. Впрочем, в самой алгебраической топологии под характеристическими классами чаще всего понимают классы векторных расслоений. За семьдесят лет, прошедших после доклада Е. Штифеля на знаменитой Московской топологической конференции в 1935 году точки отсчта своей истории, теория характеристических е классов пережила свою зрелость, дав множество приложений, касающихся классификации многообразий, и оставив след в теории кобордизмов, теории индекса и, конечно же, K-теории, пока неожиданно она вновь не оказалась в самом центре современной математической жизни в связи с развитием некоммутативной геометрии.

Появление конструкции некоммутативных характеристических классов в начале 80-х гг. прошлого века стало одним из первых крупных достижений зарождающейся некоммутативной геометрии. Из многочисленных определений характеристических классов векторных расслоений наиболее полезной оказался дифференциально-геометрический подход ЧернаВейля, который допускал простую переформулировку на языке алгебры с заменой геометрических объектов (многообразие, расслоение) на алгебраические (соответственно, алгебра функций, проективный модуль сечений расслоения). Первая конструкция в духе такого подхода была предложена А. Конном в связи с его исследованиями C -динамических систем.

Характеристические классы, построенные Конном, принимали значения в когомологиях алгебры Ли векторных полей, задающих динамическую систему и не покрывали классический случай. Развитие идей Конна нашло сво выражение в конструкции А.С. Мищенко, Ю.П. Соловьва, Ю.Й.

е е Жураева и, в полной общности, в конструкции М. Каруби. Обе конструкции различаются в определении некоммутативных дифференциальных форм, в чьих когомологиях должны лежать характеристические классы.

Определение характеристических классов Жураева-Мищенко-Соловьва е исходит из того, что аналогом векторных полей на многообразии в некоммутативном случае может служить алгебра Ли дифференцирований на алгебре "функций", далее формы де Рама, как и в дифференциальной геометрии, определяются как кососимметричные полилинейные функции на некоммутативных векторных полях. Конструкция Каруби опирается на достаточно размытое понятие дифференциального исчисления. Носителем характеристических классов в этом случае являются когомологии абелинизации дифференциального исчисления.

Может показаться удивительным, что за двадцать лет существования некоммутативных характеристических классов накопилось не так много методов и самих примеров их вычисления (см. [16]). Настоящая диссертация вслед за работой [6] призвана заполнить этот пробел. С этой целью для изучения выбран класс аппроксимативно конечных C -алгебр, определнный О. Браттели в 1972 году. Этот класс алгебр является довольно е многочисленным и содержит многие (хотя и не все) примеры и контрпримеры к различным утверждениям теории C -алгебр. Определяемые как прямые пределы конечномерных C -алгебр, эти алгебры близки к полупростым алгебрам, чь изучение начато в работе [6]. Среди других е фактов, свидетельствующих в пользу выбора аппроксимативно конечных алгебр, является удобное комбинаторное описание (с помощью диаграмм Браттели) и наличие полной классификации, полученной Эллиоттом.

Перейдм к изложению содержания диссертации, состоящей из чее тырх глав.

е Первая глава посвящена описанию основной используемой в работе конструкции конструкции некоммутативных характеристических классов. Содержание этой главы, в целом, является известным (см. [2, 12, 16, 19, 22]), за исключением параграфа 1.3, где строится отображение характеристических классов Каруби в характеристические классы ЖураеваМищенко-Соловьва, и последнего параграфа главы, в котором доказые вается единственность характеристических классов.

В первом параграфе вводится понятие дифференциального исчисления (определение 1.1), которое в некоммутативной геометрии служит аналогом форм де Рама. Далее приводятся примеры двух известных семейств дифференциальных исчислений (примеры 1.1-1.4). Первым среди них является универсальное дифференциальное исчисление (пример 1.1), подтверждающее предложением 1.1 свои права на такое название. Завершается параграф предложением 1.3, в котором показано, как морфизмы связывают между собой введнные ранее дифференциальные исчисления.

е Второй параграф содержит описание конструкции характеристических классов Каруби, изложению которого (см. [22]) мы следуем. Эта конструкция, по-существу, повторяет известные в дифференциальной геометрии построения Черна-Вейля: от связности (определение 1.3) через понятие кривизны (определение 1.4) с помощью следа (определение 1.5) мы приходим к определению характеристических классов (определение 1.6).

Ввиду той особой роли, которую играет последнее определение в настоящей работе, теорема 1.8 и вспомогательные утверждения о корректности и существовании характеристических классов даны с доказательством. В параграф включены предложения 1.9, 1.10, описывающие некоторые простые свойства определнных характеристических классов cn (E, ): аддие тивность и приведнность по первому аргументу и функториальность по е второму. Последнее свойство позволяет закрепить доминирующую роль за универсальными характеристическими классами (предложение 1.11 и определение 1.7). В замечании 1.4, завершающем параграф 1.2, вводится нулевой характеристический класс c0 (E, ).

В параграфе 1.3 мы рассматриваем альтернативную конструкцию характеристических классов, предложенную Мищенко А. С., Соловьвым Ю. П. и Жураевым Ю. Й. в [2, 3, 4]. Е построение (см. опрее е деления 1.8, 1.9, 1.10, 1.11) развртывается параллельно рассуждениям предыдущего параграфа, и на каждом этапе мы устанавливаем связь между этими двумя конструкциями. На уровне связности и кривизны эта связь заключена в предложении 1.16, где строится биекция между связностями (кривизнами) в смысле Жураева-Мищенко-Соловьва и связностяе ми (кривизнами) Каруби для дифференциального исчисления (D, A);

на уровне цепных комплексов, в чьих когомологиях лежат характеристические классы в лемме 1.18. Установленное соответствие позволяет доказать корректность определения 1.11 (теорема 1.14) и построить отображение, переводящее характеристические классы Каруби в классы Жураева-Мищенко-Соловьва (теорема 1.19).

Основной целью параграфа 1.4 является построение отображения периодичности S, понижающего порядок универсального характеристического класса на единицу. Для этого мы определяем хохшильдовы и приведнные циклические гомологии ассоциативной алгебры с единицей (определения 1.13, 1.14), строим операторы S, B, I, образующие последовательность Конна, и доказываем е точность (теорема 1.25). Далее приводится прямое доказательство теоремы Каруби (теорема 1.26), позволяющей перенести оператор периодичности S на универсальные характеристические классы (предложение 1.28). В доказательстве этих теорем мы следуем Конну [16]. Итогом параграфа 1.4 является предложение 1.29, которое осуществляет вторую редукцию в изучении характеристических классов сведение старших классов к младшим (первая редукция заключалась в переходе от произвольного дифференциального исчисления к универсальному).

Завершающий первую главу параграф 1.5 содержит утверждения, касающиеся единственности характеристических классов (теоремы 1.35, 1.37). При этом характеристические классы (определения 1.16, 1.17) трактуются как естественные преобразования из K-функтора в когомологический функтор, сопоставляющий алгебре е циклические гомологии (опрее деление 1.15), либо, во втором случае, когомологии абелинизации зафиксированного дифференциального исчисления. Теорема 1.35 утверждает, что характер Конна-Черна (пример 1.8) является единственным характером со значениями в циклических гомологиях алгебры. Согласно второй теореме (теорема 1.37), для дифференциальных исчислений на алгебре нельзя определить другие характеристические классы, кроме введнных в параграфе 1.2 классов Каруби.

Вторая глава открывает последовательность вычислительных глав, в которых основные усилия направлены на выяснение того, чему равны характеристические классы, определнные в первой главе для той или иной конкретной алгебры. При этом в качестве главного ставится вопрос о том, насколько сильным инвариантом являются характеристические классы, в связи с чем универсальные классы, как наиболее сильные (согласно следствию 1.11), оказываются в центре нашего внимания. В главе 2 рассматриваются конечномерные полупростые ассоциативные унитальные алгебры.

В первом параграфе главы мы находим точный ответ на вопрос о том, когда универсальные характеристические классы конечнопорожднного проективного модуля равны нулю (теорема 2.1). Оказываете ся, что универсальные характеристические классы осуществляют мономорфизм приведнной K-теории алгебры по модулю кручения в когомое логиии H (univ (A)). Тем удивительней, для других дифференциальных исчислений, определнных в параграфе 1.1, равно как и для характерие стических классов Жураева-Мищенко-Соловьва ответом служит тождее ственный нуль (предложение 2.5). Заметим, что тривиальность характеристических классов Жураева-Мищенко-Соловьва для комплексных пое лупростых алгебр была доказана в работе [6]. Завершает параграф пример 2.1 дифференциального исчисления групповой алгебры диэдральной группы C [Dn ], не являющегося центральным, в котором, однако, все характеристические классы тривиальны.

Второй параграф главы посвящн рассмотрению случая, когда хараке теристика поля не равна нулю. Хотя все построения предыдущей главы проводились в предположении, что характеристика основного поля равна нулю, при ненулевой характеристике поля также возможно с некоторыми ограничениями определить характеристические классы конечнопорожднного проективного модуля. Эти ограничения касаются размерное сти определяемых классов: она должна быть меньше, чем характеристика поля. Пример 2.2 показывает, что при нарушении этого условия выбор связности начинает оказывать влияние на характеристический класс, так что определение 1.6 становится некорректным. Мы рассматриваем характеристические классы cn (E, ) в "стабильной"размерности 2n < char k и доказываем теоремы, аналогичные теоремам параграфа 2.1. Как и ранее, универсальные характеристические классы оказываются в определнноме смысле мономорфными (теорема 2.6). Новой по сравнению со случаем нулевой характеристики является необходимость учитывать индексы алгебр с делением (определение 2.1), отвечающих простым компонентам изучаемой алгебры A, и рассматривать только регулярную часть алгебры и модуля. Характеристические классы, соответствующие другим дифференциальным исчислениям, неожиданно оказываются не равными нулю тождественно (предложения 2.8, 2.9).

Начиная с третьей главы в игру вступает топология. С этого момента мы имеем дело с банаховыми алгебрами (точнее говоря, с C -алгебрами) и рассматриваем конструкции главы 1 в рамках категории банаховых пространств, учитывая топологию алгебры. Замена категории никак не влияет на определения и факты развитой теории и производится автоматически. В главе 3 изучаются универсальные характеристические классы аппроксимативно конечных C -алгебр.

Открывающий главу параграф касается общей теории характеристических классов C -алгебр. Следуя [14], мы вводим понятие аменабельной алгебры (определение 3.2). С точки зрения теории характеристических классов, аменабельные алгебры выделяются тем, что отображение периодичности S из параграфа 1.4 является изоморфизмом (теорема 3.2) и, таким образом, все универсальные характеристические классы совпадают между собой. Далее мы приводим без доказательства фундаментальный результат Конна и Хаагерупа (теорема 3.1), который заключается в том, что класс аменабельных C -алгебр совпадает с классом ядерных C -алгебр. Это означает, что аменабельных алгебр очень много. В частности, все аппроксимативно конечные или же коммутативные алгебры аменабельны. В примере 3.1 мы рассматриваем последний случай и показываем, что единственным инвариантом, который доставляют характеристические классы проективного модуля над коммутативной C -алгеброй, является размерность соответствующего ему по теореме Cерра-Суона векторного расслоения.

В параграфе 3.2 мы определяем аппроксимативно конечные алгебры, или AF-алгебры (определение 3.6) и описываем распространнный коме бинаторный способ задания AF-алгебр диаграммы Браттели (определение 3.7). Завершают параграф несколько примеров аппроксимативно конечных алгебр. Материал этого параграфа взят нами из [7, 15].

Параграф 3.3 открывает пример вычисления K-группы с помощью теоремы о непрерывности K-функтора (пример 3.5). Далее следуют два основных результата K-теории аппроксимативно конечных алгебр: классификационная теорема Эллиотта (теорема 3.11), которая утверждает, что AF-алгебра однозначно восстанавливается по своей K-группе, рассматриваемой вместе с естественным частичным порядком на ней; и теорема Хандельмана-Шена-Эффроса (теорема 3.9), которая описывает класс частично упорядоченных групп, получающихся как K-группы AFалгебр. В качестве иллюстрации к классификационной теореме мы показываем в предложении 3.8, как свойство простоты алгебры выражается на уровне е K-группы. В примере 3.6 для каждого иррационального чисе ла на отрезке [0, 1] строится алгебра A с K-группой Z Z, которая используется в следующей главе.

Главный результат главы заключн в параграфе 3.4. Это теорема 3.11, в которой вычисляются универсальные характеристические классы аппроксимативно конечной алгебры. В отличие от конечномерной ситуации главы 2 в случае AF-алгебр у характера Конна-Черна появляется ядро бесконечно малая часть Kinf (A) группы K0 (A) (определение 3.10). В качестве следствия к теореме мы показываем, что характеристические классы Каруби и Жураева-Мищенко-Соловьва бесконечномерной алгебе ры Клиффорда, а также алгебры A из примера 3.6 равны нулю (пример 3.9). Вторым следствием является факт, что проективные модули над унитализацией групповой алгебры компактной топологической группы различаются с помощью универсальных характеристических классов (пример 3.10).

В последней главе работы рассматриваются характеристические классы алгебр фон Неймана. Появляющиеся при этом теоремы оказываются очень похожими на теоремы главы 2. Утверждения из общей теории алгебр фон Неймана, довольно многочисленные в главе 4, приводятся без доказательства, мы отсылаем читателя к [18].

Параграф 4.1 включает некоторые известные факты из теории операторных алгебр и начинается определением алгебры фон Неймана (определение 4.2). Затем определяются типы алгебр фон Неймана (определение 4.4), для чего вводится понятие следа (определение 4.3). Далее мы формулируем структурные теоремы об алгебрах фон Неймана (теоремы 4.1, 4.2, 4.3). Завершают параграф несколько утверждений (теоремы 4.4, 4.5 и утверждение 4.6), касающихся гиперфинитного фактора R типа II1 (определение 4.7). В примере 4.1, где мы следуем [7], строится вложение в гиперфинитный фактор алгебры Клиффорда и AF-алгебры Основное содержание параграфа 4.2 составляют теоремы 4.9 и 4.11, в которых вычисляется K-группа алгебр фон Неймана. Этот результат, без сомнения, известный каждому специалисту в теории операторных алгебр, почему-то не нашл своего отражения в доступной литературе, пое этому мы его доказываем, в значительной степени опираясь на [18]. Во втором параграфе также определяется понятие операторного следа (определение 4.10), который используется при вычислении K-теории конечных алгебр фон Неймана.

Третий, и заключительный параграф главы нест в себе теоремы о характеристических классах алгебр фон Неймана. Универсальные характеристические классы описываются теоремами 4.13 (для случая факторов) и 4.15. Заметим, что при доказательстве используется вложение AF-алгебры A в гиперфинитный фактор, построенное в примере 4.1. Теорема 4.17 покрывает случай характеристических классов, отвечающих другим дифференциальным исчислениям, определнным в пае раграфе 1.1, а также характеристических классов Жураева-МищенкоСоловьва. Результат схож с тем, что дают теоремы 2.1 и 2.5: характер Конна-Черна инъективен, а классы Жураева-Мищенко-Соловьва (топое логически) равны нулю.

Автор выражает сожаление в связи с безвременной кончиной своего научного руководителя профессора Юрия Петровича Соловьва, вдохе новляющее влияние которого при написании данной работы невозможно переоценить. Автор благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений во главе с академиком А. Т. Фоменко за творческий климат, сложившийся на кафедре, и поддержку.

Оглавление 2.2 Случай char k = 0: стабильные характеристические классы. Ядерные и аменабельные C -алгебры......

Глава Основные определения В первой главе мы дам определение характеристических классов, кое торые являются объектом изучения в данной работе. В изложении конструкции характеристических классов, занимающем параграфы 1.1 и 1.2, мы следуем работе М. Каруби [22]. Универсальным характеристическим классам, определяемым в конце параграфа 1.2, отводится центральная роль в последующих, вычислительных главах. В пункте 1.3 разбирается другая конструкция, принадлежащая А. С. Мищенко, Ю. П. Соловьву е и Ю. Й. Жураеву, и анализируется е связь с построениями параграе фа 1.2. Параграф 1.4 посвящн теореме Каруби, связывающей его коне струкцию характеристических классов с циклическими гомологиями. Основным следствием этой теоремы оказывается периодичность универсальных характеристических классов. В параграфе 1.5, завершающем данную главу, мы показываем, что никаких других классов, кроме классов Каруби, не существует.

1.1 Дифференциальные исчисления Пусть A – ассоциативная алгебра с единицей над полем k характеристики нуль.

Введм понятие, которое в настоящее время играет в некоммутативной геометрии роль обычных дифференциальных форм де Рама.

Определение 1.1. Дифференциальным исчислением над алгеброй A называется дифференциальная градуированная алгебра = n=0 n, такая что 0 = A.

Видно, что определение предъявляет к дифференциальному исчислению самые умеренные требования, что позволяет применять его в самом широком контексте. Однако из-за этого у подавляющего большинства алгебр, с которыми приходится иметь дело, обнаруживается слишком много дифференциальных исчислений, так что выбор наиболее подходящего из них становится проблемой. Другой особенностью определения, отчасти вытекающей из его всеобщности, является неконструктивность, и это соображение упрощает ситуацию. На сегодняшний день известны, по сути, всего две конструкции дифференциальных исчислений (см. [19]), не требующих от алгебры A никаких специальных свойств: универсальное исчисление и комплекс Кошуля, строящийся на основе дифференцирований алгебры. Начнм с универсального исчисления, которое, в основном, и будет использоваться ниже.

Пример 1.1. (универсальное дифференциальное исчисление) Рассмотрим градуированное линейное пространство (A) = n=0 n (A):

Для элементов пространства n (A) мы будем использовать следующее распространнное обозначение Формулы для умножения и дифференциала du имеют следующий вид Заметим, что выражение для умножения получается формальным применением тождества Лейбница.

Дифференциальное исчисление (A) с точностью до изоморфизма характеризуется следующим универсальным свойством:

Предложение 1.1. Пусть (, d) – некоторое дифференциальное исчисление над алгеброй A. Тогда существует единственный морфизм дифференциальных исчислений : (A), т.е. гомоморuniv физм дифференциальных градуированных алгебр, такой что отображение 0 : 0 (A) 0 есть тождественное отображение алгебры Доказательство. Определим линейное отображение : An+1 n формулой Так как d1 = 0, то (a) = 0, если в элементе a = a0 a1 an один из множителей ai, i = 1,..., n, равен 1. Поэтому отображение пропускается через отображение : A An n. Остатся проверить, что определнное таким образом : univ (A) является гомоморфизе мом дифференциальных алгебр. Но это немедленно следует из (1.1), (1.2) и тождества Лейбница. Условие 0 = idA очевидно выполнено.

Замечание 1.1. Универсальное дифференциальное исчисление (A) univ можно определить иным способом. Для каждого натурального числа n рассмотрим отображения mi : An+1 An, i = 1,..., n, заданные формулой и положим Произведение и дифференциал определяют на (A) = n n (A) структуру дифференциальной градуu u ированной алгебры. Отображения : (A) (A) и : (A) u (A), являются взаимно обратными гомоморфизмами дифференциальных алгебр, поэтому (A) и (A) изоморфны.

Кроме (A), существуют и другие дифференциальные исчислеuniv ния, обладающие тем или иным универсальным свойством [19]. Приведм ещ один пример подобного исчисления.

Определение 1.2. Назовм дифференциальное исчисление цене тральным, если для каждого элемента c Z (A) из центра алгебры A и произвольной формы коммутатор [c, ] = c c равен нулю.

Пример 1.2. (универсальное центральное исчисление) Определим дифференциальное исчисление (A) как д.г.а., получающуюся при фактоZ ризации (A) по дифференциальному идеалу, порожднному коммуе таторами с элементами центра алгебры A:

Из предложения 1.1 непосредственно следует Предложение 1.2. Пусть (, d) – некоторое центральное дифференциальное исчисление над алгеброй A. Тогда существует единственный морфизм дифференциальных исчислений : (A).

Вторая серия известных дифференциальных исчислений определяется с помощью дифференцирований алгебры A. Эти исчисления, как будет показано в разделе 1.3, находятся в тесной связи с характеристическими классами Жураева-Мищенко-Соловьва. е Пример 1.3. (дифференциальное исчисление (D, A)) Обозначим буквой D множество дифференцирований Der (A) алгебры A, т.е. совокупность линейных отображений X : A A со свойством Лейбница для всех a, b A. Тогда D есть алгебра Ли относительно коммутатора дифференцирований, а алгебра A оказывается модулем над этой алгеброй Ли. Рассмотрим соответствующий коцепной комплекс Кошуля [13] (D, A) = n n (D, A), где 0 (D, A) = A и пространство всех кососимметричных n-линейных отображений из D в A.

Дифференциал формы n (D, A) имеет вид Последнее утверждение в дальнейшем будет применяться очень часто.

1.5 Характеристические классы с точки зрения функтора В этом пункте мы обращаем внимание на категорное описание характеристических классов как серии естественных преобразований между K-функтором и функтором циклических гомологий и показываем, что других характеристических классов в этом смысле не имеется.

Пусть A ассоциативная алгебра с единицей над полем k. Пусть P(A) обозначает множество классов эквивалентности конечнопорожднных проективных A-модулей. Операция суммы E, F E F задат на P(A) структуру моноида (коммутативной полугруппы с единицей). Напомним, что группа K(A) алгебры A определяется как множество пар (E, F ), E, F P(A), факторизованное по отношению эквивалентности Множество K(A) с операцией сложения становится коммутативной группой. Группа K(A) является симметризацией полугруппы P(A), т.е. любой гомоморфизм f : P(A) G в абелеву группу G однозначно представляется в виде композиции f = f s, где f : K(A) G гомоморфизм групп, а s : P(A) K(A) каноническое отображение. Приведнной K-группой алгебры A называется группа где K() индуцировано вложением единицы : k A, 1.

Из универсального свойства группы K(A) и предложения 1.9 следует, что характеристические классы cn ( ·, ), введнные в параграфе 1.2, однозначно определяют гомоморфизмы cn ( ·, ) : K(A) H 2n ( ), для которых мы используем то же обозначение.

Следующее предложение описывает некоторые свойства группы K(A), которые нам понадобятся в дальнейшем. Его доказательство можно найти в книге [8].

Предложение 1.30. Пусть A1, A2 ассоциативные алгебры с единицей. Тогда 1. K(A1 A2 ) = K(A1 ) K(A2 );

2. K(Mn (A1 )) = K(A1 ) для любого n N;

3. K(k) = Z.

Дадим определение (неприведнных) циклических гомологий алгебры A. Рассмотрим циклический оператор tn, действующий на пространстве A(n+1), и обозначим Cn = A(n+1) /Im (1tn ). Оказывается, что хохшильдов дифференциал b : A(n+1) An, допускает корректное действие на C (см. [24]). Поэтому можно дать следующее определение (ср. замечание 1.7).

Определение 1.15. Гомологии HC (A) комплекса (C, b) называются циклическими гомологиями алгебры A.

Связь между приведнными и неприведнными циклическими гомое е логиями описывается следующим утверждением (см. [24]).

Предложение 1.31. Пусть A ассоциативная алгебра с единицей и :kA вложение единицы алгебры. Тогда С другой стороны, HC (A) = HC (A k).

Циклические гомологии обладают рядом свойств, сближающих их с K-группой алгебры.

Предложение 1.32 (см. [24]). Пусть A1, A2 ассоциативные алгебры с единицей. Тогда 2. для каждого r N отображение Tr : Mr (A1 )n An, определнное формулой изоморфизм 3. HCn (k) = Заметим (см. [24],[8]), что соответствия A K(A) и A HCn (A) представляют собой (ковариантные) функторы из категории ассоциативных унитальных алгебр в категорию абелевых групп (последний, на самом деле, в категорию k-линейных пространств). Тогда мы можем дать такое определение характеристического класса.

Определение 1.16. Характеристическим классом степени n называется естественное преобразование c : K HCn функторов из категории Algk алгебр над полем k в категорию абелевых групп.

Оправданием определения, которое было дано только что, служит следующий пример.

Пример 1.8 (характер Конна-Черна). Пусть A ассоциативная алгебра с единицей. Рассмотрим произвольный конечнопорожднный проективный модуль E на ней. Пусть этот модуль определяется проектором P = (pij ) Mr (A). Возьмм элемент n (P ) A(2n+1), Справедливо утверждение, аналогичное теоремам 1.8, 1.14.

Теорема 1.33. Пусть E конечнопорожднный проективный A-модуль и пусть E Im P A для некоторого проектора P Mr (A). Тогда 1. элемент n (P ) является циклическим 2n-циклом;

2. класс когомологий [n (P )] HC2n (A) не зависит от выбора проектора P.

Элемент chn (E) = [n (P )] HC2n (A) называется n-ым характеристическим классом Конна-Черна. Отображение chn оказывается аддитивным (см. [24]), т.е. chn (E F ) = chn (E) + chn (F ) для любых конечных проективных модулей E, F, и таким образом, индуцирует гомоморфизм который называется характером Конна-Черна. Естественность отображения chn следует из определения, так что характер Конна-Черна дат серию характеристических классов чтных порядков.

Замечание 1.8. Из естественности характера Конна-Черна, определения приведнной K-группы и предложения 1.31 следует, что имеется отобрае жение chn : K(A) HC 2n (A), дополняющее до коммутативной диаграмму где K, HC естественные проекции. Отображение chn называется приведнным характером Конна-Черна. Из его определения следует, что коограничение приведнного характера Конна-Черна на подпростране ство H (univ (A)) совпадает с n-ым универсальным характеристическим классом Каруби. В дальнейшем мы не будем делать различия между этими двумя понятиями.

При доказательстве теоремы 1.35 мы будем использовать Моритаинвариантность характера Конна-Черна, которая выражается следующим утверждением.

Предложение 1.34. Пусть A ассоциативная алгебра с единицей. Тогда 1. для любого натурального r коммутативна диаграмма где горизонтальные стрелки существуют благодаря предложениям 1.30, 1.32;

2. отображение chn : K(k) HC2n (k) есть мономорфизм при каждом n N.

Сформулируем один из двух главных результатов этого параграфа.

Теорема 1.35. Пусть c есть характеристический класс порядка n. Тогда c = 0, если n нечтно, и c = chk для некоторого k, если n = 2k чтно.

Доказательство. Рассмотрим алгебру U = k2, являющуюся суммой двух экземпляров одномерной алгебры k, и пусть e1, e2 стандартный базис алгебры U. Из предложений 1.30 и 1.32 следует, что Кроме того, согласно второму пункту предложения 1.34 и первому утверждению предложений 1.30, 1.32, chk отображает K(U ) на рештку пол- е ного ранга в HC 2k (U ).

Пусть c есть некоторый характеристический класс порядка n. Тогда найдутся, µ k, такие что c(e1 ) = chk (e1 ) + µ chk (e2 ). Здесь n = 2k и мы полагаем chk = 0 для полуцелого k.

Пусть теперь A есть некоторая алгебра над полем k и p A, p2 = p есть проектор. Он определяет проективный подмодуль E = Im p в свободном регулярном модуле A. Отображение задает гомоморфизм алгебры U в A. В силу естественности Покажем, что коэффициент µ равен нулю (когда n чтно). Пусть B = M2 (k) и B = E1 E2 разложение на неприводимые модули. Тогда по свойству аддитивности c(B) = c(E1 ) + c(E2 ), откуда chk (B) = ( µ)chk (B) + µchk (B) = c(B) = c(E1 ) + c(E2 ) = так что µ = 0, поскольку chk (B) = 0 по предложению 1.34.

Таким образом, уравнение (1.23) переписывается в виде для произвольной алгебры A и е проектора p.

Пускай теперь проективный модуль E задатся проектором p Mr (A), r > 1. Рассмотрим гомоморфизм : A Mr (A), Гомоморфизм индуцирует отображение : A(n+1) Mr (A)(n+1), композиция которого с отображением Tr из предложения 1.32 равна для любого a0 · · · an A(n+1), так что Tr = r id. Следовательно, Im p Mr (A). Поэтому, в соответствии с (1.24), где последнее равенство вытекает из предложения 1.34. Следовательно, c(E) = chk (E) для любого E K(A) и для любой алгебры A.

Рассмотрим приведнную версию доказанного утверждения.

Определение 1.17. Назовм характеристическим классом степени n с коэффициентами в дифференциальных исчислениях алгебры естественное преобразование c : K Hn, где приведнный K-функтор K : A K(A) и функтор Hn : H n ( /[, ]) рассматриваются как функторы из категории с объектами (A, ), A унитальная ассоциативная алгебра над полем k, дифференциальное исчисление на A, и естественными морфизмами.

Замечание 1.9. Предложения 1.9 и 1.10 показывают, что классы Каруби являются характеристическими классами в только что определнном смысле.

Сформулируем вспомогательное предложение, аналогичное предложению 1.34.

Предложение 1.36. Пусть A ассоциативная алгебра с единицей. Тогда для любого натурального r коммутативна диаграмма Теорема 1.37. Любой n-мерный характеристический класс c с коэф- фициентами в дифференциальных исчислениях алгебры имеет вид c = cn/2 ( ·, ·) для некоторого k, где cn/2 ( ·, ·) характеристический класс Каруби, определнный в параграфе 1.2.

Доказательство. Характеристический класс с коэффициентами в дифференциальных исчислениях c определяется значениями на универсальных дифференциальных исчислениях. Теорема Каруби 1.26 утверждает, что Так как последовательность Конна естественна, то и вложение H ( (A)) HC (A) является естественным. Поэтому c задат естее ственное преобразование c : K(A) HC n (A). Остатся лишь повторить рассуждения теоремы 1.35, заменяя предложение 1.34 на 1.36 и учитывая тот факт, что для U = k k и chn : K(U ) HC 2n (U ) мономорфизм, согласно предложению 1.31 и рассуждениям предыдущей теоремы.

Глава Конечномерные полупростые алгебры В этой главе, равно как и в следующих за ней главах 3, 4 теория характеристических классов, описанная выше, рассматривается применительно к конкретным классам алгебр. Ниже изучаются характеристические классы конечномерных полупростых алгебр. В этом случае удатся получить полную классификацию характеристических классов проективных модулей (теорема 2.1 и предложение 2.5). Во втором параграфе аналогичные результаты получены для полупростых алгебр над полем ненулевой характеристики (теорема 2.6, предложения 2.8, 2.9).

2.1 Случай char k = С этого момента мы будем считать, что A является конечномерной полупростой алгеброй над полем k нулевой характеристики, тогда по структурной теореме Веддебарна-Артина она представляется в виде прямой суммы матричных алгебр: A = i=1 Mni (Fi ), где Fi алгебра с делением над k. Нас будет интересовать вопрос о существовании нетривиальных характеристических классов е конечнопорожднных проективных модулей. В силу полупростоты алгебры A любой е конечнопорожднный модуль E проективен и имеет вид E = i=1 µi Ei, где для каждого i µi целое неотрицательное число, а Ei = Fini неприводимый модуль, соответствующий i-той матричной компоненте. Ответ на поставленный вопрос дат следующая Теорема 2.1. Пусть A = i=1 Mni (Fi ) полупростая алгебра, E = i=1 µi Ei конечномерный A-модуль. Тогда, если модуль E пропорционален свободному (E = A), т.е. существует, вообще говоря, рациональное число, такое что µi = ni, i = 1,..., N, то все характеристические классы cn (E) равны нулю. В противном случае, cn (E) = 0 для всех n.

Доказательство. 1. Пусть E пропорционален свободному модулю. Это означает, что существует натуральное k, такое что модуль kE изоморфен свободному модулю, скажем, lA. Тогда в силу аддитивности характеристических классов откуда cn (E) = 0 для любого n.

2. Пусть E не пропорционален свободному. Тогда найдтся пара ине дексов i, j, например, i = 1, j = 2, таких что µi nj = µj ni. Благодаря предложению 1.29 достаточно показать, что нетривиален нулевой характеристический класс где P Mr (A) проектор, определяющий проективный модуль, изоморфный E. В качестве P в данном случае можно взять элемент i=1 (e11 ), где ekl, i = 1,..., N, k, l = 1,..., ni суть матричные единицы алгебры A.

Рассмотрим функционал : A k, заданный формулой где Tr i : Mni (Fi ) k есть композиция обычного матричного следа Tr :

Mni (Fi ) Fi и отображения нормированного следа tri : Fi k, tri (1) = 1, конечного расширения Fi поля k. Тогда (ab) = (ba) для всех a, b A, согласно свойству цикличности следа. Кроме того, Следовательно, определяет отображение : A k. Посмотрим, чему равно значение на элементе c0 (E):

Таким образом, характеристический класс c0 (E) не равен нулю в A, а значит и все остальные характеристические классы модуля E отличны от нуля.

Повторение рассуждений первой части теоремы в случае простой алгебры немедленно приводит к такому результату.

Следствие 2.2. Если A простая конечномерная алгебра, т.е. A = Mn (F ), где F конечномерное тело над k, то для любого конечнопорожднного модуля E и любого дифференциального исчисления все характеристические классы cn (E, ) равны нулю.

Прямым следствием теоремы 2.1 является также следующее Предложение 2.3. Пусть G – конечная группа, A = k[G] е групповая алгебра над полем k характеристики 0. Тогда любой конечномерный Aмодуль, не являющийся свободным, имеет нетривиальные универсальные характеристические классы.

Доказательство. По теореме Машке алгебра A является полупростой.

Она содержит одномерный неприводимый модуль E1 = k gG g A, соответствующий тривиальному представлению группы G. Кратность представления E1 в разложении регулярного представления на неприводимые равна dim k E1 = 1. Поэтому, если модуль E = i µi Ei пропорционален свободному, т.е. E = A, то = µ1 – целое неотрицательное число и E является свободным модулем. Следовательно, любой несвободный модуль не пропорционален свободному и, согласно доказанной выше теореме, имеет нетривиальные характеристические классы.

Замечание 2.1. Первый пример ненулевого характеристического класса для групповой алгебры был построен в работе [10].

Теперь рассмотрим характеристические классы для других дифференциальных исчислений, определнных в параграфе 1.1. Нам потребуется следующее вспомогательное утверждение, которое, впрочем, представляет самостоятельный интерес.

Предложение 2.4. Пусть A1, A2 ассоциативные алгебры с единицей и A = A1 A2. Пусть даны также центральное дифференциальное исчисление на алгебре A и E конечнопорожднный проективный Aе модуль. Тогда 1. раскладывается в прямую суммы дифференциальных градуированных алгебр =, где есть дифференциальное исчисi ление на алгебре Ai ;

2. модуль E представляется в виде прямой суммы E = E1 E2, где Ei есть конечный проективный Ai -модуль;

Доказательство. Обозначим ek единицу подалгебры Ak в A. Тогда Положим = ek, k = 1, 2. Из (2.1) следует, что как линейное проk странство =. Из центральности исчисления вытекает, что k является градуированной подалгеброй. Кроме того, в силу той же центральности, аналогично, de2 = 0, так что и суть дифференциальные подалгебры. То, что есть дифференциальное исчисление на Ak, следует из равенства ek A = Ak.

Положим Ek = Eek. Тогда, как и ранее, E = E1 E2. Так как e1 e2 = 0, то E1 A2 = 0, аналогично, E2 A1 = 0. Поэтому Ek есть Ak -модуль. Проективность и конечнопорожднность модуля Ek есть очевидное следствие аналогичных свойств модуля E.

Пусть модуль E задатся проектором P Mr (A). Тогда P = P1 + P2, где Pk Mr (Ak ) также является проектором. Заметим, что Ek Im Pk.

P2 (dP2 )2n. С другой стороны, имеем разложение комплексов так что H ( ) = H ( ) H ( ). Следовательно, по формуле 1. получаем cn (E, ) = [P (dP )2n ] = [P1 (dP1 )2n ] + [P2 (dP2 )2n ] = Предложение 2.5. Пусть A конечномерная полупростая алгебра одно из дифференциальных исчислений (A), (D, A) или (D, A). Тогда для любого конечнопорожднного модуля E характерие стические классы cn (E, ) равны нулю при всех n N. Как следствие, все характеристические классы Жураева-Мищенко-Соловьва тривиалье ны.

Доказательство. В силу предложений 1.3, 1.10 и теоремы 1.19 достаточно показать, что cn (E, (A)) = 0 для любого конечного проективного модуля E и любого n.

Пусть A = k=1 Ak, Ak = Mnk (Fk ) разложение алгебры A в пряN мую сумму простых алгебр и E = k=1 Ek соответствующее разложение модуля E. Поскольку Z (A) есть центральное дифференциальное исчисление, то по предложению 2. Но cn (Ek, (Ak )) = 0 при всех k, согласно следствию 2.2. Следовательно, cn (E, (A)) = 0.

Замечание 2.2. Предложение 2.5 обобщает результат диссертации [6] о тривиальности характеристических классов Жураева-МищенкоСоловьва конечномерных комплексных полупростых алгебр на случай произвольных полей нулевой характеристики.

Пример 2.1. Центральные дифференциальные исчисления могут не исчерпывать множество всех дифференциальных исчислений, в которых все характеристические классы тривиальны. Возьмм, например, в качее стве алгебры A групповую алгебру C [Dn ] диэдральной группы и дифференциальное исчисление Вороновича (A) на ней (см. [9]). Это исчисление определяется следующим образом:

где inv линейное пространство, имеющее базис g, e = g Dn, и произведение с дифференциалом задаются формулами для любых g, h Dn. Оно не является центральным, так как, например, если h = e.

Пусть неприводимое представление алгебры A и его характер.

Тогда входит в регулярное представление с кратностью dim = (e) и соответствующая изотипическая компонента выделяется с помощью центрального проектора где = dim |Dn |1 нормирующий множитель (см. [1, Глава 10]). Следовательно, грассманова кривизна в данном случае имеет вид Группа Dn имеет одномерные и двумерные неприводимые представления (см. [9]). Если представление одномерно, т.е. характер, то для любых g, h, k Dn имеем (k 1 )(kh1 )(hg 1 ) = (k)1 (k)(h)1 (h)(g)1 = (g)1, откуда Следовательно, все характеристические классы одномерных представлений равны 0.

Предположим теперь, что двумерное представление. Тогда в некотором базисе матрицы генераторов имеют вид где = e2m/n, 1 m n 1 и = 1. Следовательно, для любого 1ln где = e. Отсюда видно, что произведение может быть не равно 0, только когда g = ar, h = as, k = at для некоторых r, s, t. В этом случае (k 1 )(kh1 )(hg 1 ) = 8 cos t cos(t s) cos(s r) = так что Квадрат кривизны равен где Cr,r,s,s,t,t = 4 sin r sin r sin 2(s t) sin 2(s t ) = S3 = 0. Наконец, так как функция cos 2(s t s + t ), входящая в последнюю формулу для коэффициента Cr,r,s,s,t,t, симметрична по паре индексов (s, t ), а cos 2(s t + s t ) по паре индексов (s, s ). Следовательно, R = 0, и все характеристические классы модуля E = dim · с коэффициентами в исчислении Вороновича равны нулю, начиная со второго.

Покажем, что c1 (E, (A)) = 0. Коммутатор 1-форм gh и k равен причм последнее слагаемое есть кограница d(g h ). Поэтому с точностью до коммутаторов и кограниц грассманова кривизна равна так как если r = или 2, то sin r = 0, в противном случае Таким образом, класс элемента R в H 2 ( (A)), т.е. характеристический класс c1 (E, (A)) есть 0.

Значит, для всех натуральных n и всех неприводимых представлений, и поэтому все характеристические классы с коэффициентами в дифференциальном исчислении Вороновича (A) равны нулю.

2.2 Случай char k = 0: стабильные характеристические классы В пределах данного параграфа и только здесь предполагается, что основное поле имеет ненулевую характеристику char k = p = 0.

Все конструкции, рассмотренные в параграфах 1.1,1.2, без изменений переносятся на случай ненулевой характеристики основного поля k. Единственное препятствие для построения теории характеристических классов при char k = p = 0 возникает при доказательстве независимости классов от выбора связности. Доказательство Каруби для n-го характеристического класса сводится к тождеству и, таким образом, предполагает возможность деления на числа 2, 3,..., 2n 1. Тем не менее в "стабильном"случае 2n < p элементы cn (E, ) корректно определены и имеет смысл говорить о характеристических классах в малых размерностях. Заметим, что рассуждения теорем 1.25, 1.26 остаются корректными в размерности меньшей характеристики поля. Поэтому, как и в предыдущем параграфе, можно проводить редукцию к младшим характеристическим классам.

Следующий пример показывает, что ограничение на размерность является существенным.

Пример 2.2. Рассмотрим поле из трх элементов k = F3 и алгебру мате риц A = M2 (k) с матричными единицами eij, i, j = 1, 2. Пусть E = A свободный модуль. Тогда 0 = d : A 1 (A) есть связность на E с нулевой кривизной и, следовательно, нулевыми характеристическими классами. С другой стороны, рассмотрим связность = d +, где = e11 de11 + e21 de12, и покажем, что второй характеристический класс свободного модуля, вычисленный по формуле (1.12), отличен от нуля.

Из равенств d = (de11 )2 + de21 de12 и 2 = e11 de11 e11 de11 + e11 de11 e21 de12 + e21 de12 e11 de11 + e21 de12 e21 de12 = 0 e11 de21 de12 e22 de11 de11 + (e21 de11 de12 e22 de21 de12 ) = R = e11 de11 de11 + e21 e11 de12 = e11 de11 de11 e11 + e21 de11 de11 e12.

В последнем равенстве мы воспользовались тождествами de12 = e11 de12 + de11 e12 и Следовательно, R2 = e11 (de11 )2 e11 e11 (de11 )2 e11 + e11 (de11 )2 e11 e21 (de11 )2 e12 + e21 (de11 )2 e12 e11 (de11 )2 e11 + e21 (de11 )2 e12 e21 (de11 )2 e11 = Заметим, что e21 (de11 )4 e12 = e11 (de11 )4 e11 + [e21 (de11 )4 e11, e12 ], поэтому достаточно проверить, что элемент e11 (de11 )4 не является кограницей в 4 (A). Воспользуемся представлением (A) как подпространства в тензорной алгебры T A = n=0 A (см. замечание 1.1). Вложение univ (A) T A является гомоморфизмом дифференциальных алгебр, отображающим e11 (de11 )4 в элемент Достаточно показать, что этот элемент не является кограницей в комплексе T A = T A/[T A, T A]. Из формулы (1.3) для произведения в T A следует, что пространство [T A, T A]n порождено коммутаторами двух типов: во-первых, формами, у которых не совпадают концы во-вторых, суммами вида Следовательно, T A можно отождествить со множеством линейных комбинаций форм (с точностью до коммутаторов форма не зависит от выбора p), которые связаны между собой циклическими соотношениями Учитывая, что в формуле дифференциала (1.4) первый и последний члены образуют коммутатор дифференцируемой формы с элементом 1 1 и что 1 = k=1 ekk, мы получаем такое выражение для d в новых обозначениях Заметим, что "цикличные"элементы вида (i0 i1 |i1 i2 |... |in1 i0 ) выделяются как прямое слагаемое T Acycl в T A. Мы будем использовать для них сокращнное обозначение (i0 i1... in1 ), в частности, элемент (2.2) буе дет записываться как (1212). Кроме того, из формулы (2.3) следует, что T Acycl выделяется прямым слагаемым как подкомплекс.

В размерности 3 пространство T Acycl линейно порождается четырьмя формами: (111), (112), (122), (222). Посмотрим, какие граничные формы они могут дать:

((1k|k1|11|11) + (11|1k|k1|11) (11|11|1k|k1)) = Отсюда ясно, что элемент (1212) не может быть кограницей, и следовательно, второй характеристический класс свободного модуля, вычисленный по связности, нетривиален.

Вернмся к общему случаю конечномерных полупростых алгебр. Теое рема Веддебарна-Артина остатся справедливой и для поля простой хае рактеристики, значит, как и ранее, любая полупростая алгебра A предN ставима в виде суммы A = k=1 Ak, Ak = Mnk (Fk ), где Fk алгебра с делением над полем k. Точно так же любой конечнопорожднный Aе модуль E проективен и разлагается в прямую сумму простых модулей E = k=1 µk Ek, Ek = Fk k.

Определение 2.1. Пусть F конечномерная алгебра с делением над k. Число d называется индексом алгебры с делением F и обозначается ind (F ).

Когда char (k) = p = 0, алгебра A распадается по отношению к индексу в прямую сумму двух подалгебр:

которые мы соответственно называем вырожденной и невырожденной частью алгебры A. Аналогично, имеем разложение E = Edeg Ereg для A-модуля E.

Сформулируем теорему, аналогичную теореме 2.1, для случая поля простой характеристики.

Теорема 2.6. Пусть A = i=1 Mni (Fi ) полупростая алгебра, E= i=1 µi Ei конечномерный A-модуль. Тогда, если невырожденная часть модуля E пропорциональна невырожденной части регулярного модуля A :

то все характеристические классы cn (E), 2n < p равны нулю. В противном случае, cn (E) = 0 для всех n p1.

Доказательство. Доказательство того, что из условия Ereg Areg следует равенство нулю всех характеристических классов, ничем не отличается от случая нулевой характеристики поля.

Пусть Ereg Areg. Предположим сначала, что поле k алгебраически замкнуто. Тогда Fk = k для всех k и Areg = A, Ereg = E. В этом случае мы можем повторить рассуждения теоремы 2.1.

Рассмотрим случай незамкнутого поля. Пусть k алгебраическое A в новом поле. Тогда по определению индекса алгебры с делением A= k=1 Mk nk (k), где k = ind (Fk ). Аналогично, E = E k k = ренциального исчисления следует, что (A|k) = (A) k и, таким образом, H ( (A|k)) = H ( (A)) k. С другой стороны, если E Im P для некоторого проектора P Mr (A), то E Im (P 1), где P Mr (A) = Mr (A) k. Поэтому cn (E, (A|k)) = cn (E, (A)) 1. В сильны. Отсюда для каждого n < 2 получаем цепь эквивалентностей Теорема доказана.

Замечание 2.3. В отличие от случая char k = 0, простая конечномерная алгебра может иметь нетривиальные характеристические классы. Например, если E есть неприводимый модуль алгебры A = Mp (k), то условие n (E) = 0 эквивалентно равенству 1 p mod p для некоторого, которое, очевидно, не может быть выполнено. Поэтому стабильные характеристические классы модуля E отличны от нуля.

Заметим, что по теореме Веддерберна всякое конечное тело коммутативно и, стало быть, имеет индекс 1. Поэтому, если основное поле конечно, то Areg = A и мы получаем следующее утверждение.

Следствие 2.7. Пусть k = Fq, q = pl поле Галуа. Пусть A = i=1 Mni (Fi ) полупростая алгебра, E = i=1 µi Ei конечномерный A-модуль. Тогда, если модуль E пропорционален свободному: E A mod p для некоторого Fp, то все характеристические классы cn (E) равны нулю. В противном случае, cn (E) = 0 для всех n p1.

Для характеристических классов дифференциального исчисления (A)имеем такое утверждение.

Предложение 2.8. Пусть A = i=1 Mni (Fi ) полупростая алгебN ра, E = i=1 µi Ei конечномерный A-модуль. Тогда, если существует k, такое что p|nk, p ind (Fk ) и p µk, то все характеристические классы cn (E, (A)), 2n < p не равны нулю. В противном случае, cn (E, Z (A)) = 0 для всех натуральных n p1.

Доказательство. Пусть k алгебраическое замыкание поля k. Так как центр алгебры A = Ak k равен Z (A) = Z (A) k, то (A|k) = (A) k и cn (E, (A)) = cn (E, (A)) 1 для любого n, так что вс сводится к случаю алгебраически замкнутого поля.

Если k алгебраически замкнуто, то A = k=1 Mnk (k). В этом случае доказываемое утверждение следует из предложения 2.4, теоремы 2.6 и того факта, что для простой алгебры Ak = Mnk (k) выполнено (Ak ) = (Ak ).

univ Утверждение, касающееся характеристических классов дифференциальных исчислений (D, A), (D, A), звучит так.

Предложение 2.9. Пусть A = i=1 Mni (Fi ) полупростая алгебра, E = i=1 µi Ei конечномерный A-модуль и одно из дифференциальных исчислений (D, A) или Z (D, A). Тогда, если существует k, такое что p|nk, p ind (Fk ) и p µk, то первый характеристический класс c1 (E, ) не равен нулю. В противном случае, cn (E, (A)) = для всех натуральных n 2.

Доказательство. Вторая часть предложения об обнулении характеристических классов следует из предложений 1.3 и 2.8.

Пускай, напротив, существует индекс k, удовлетворяющий условиям предложения. Пусть k снова обозначает алгебраическое замыкание поля k и A = A k k. Тождества Der (A) = Der (A) k, Z (A) = Z (A) k и, следовательно, (D, A) = (D, A) k и (D, A) = (D, A) k позволяют свести ситуацию к случаю алгебраически замкнутого поля.

Итак, пусть k алгебраически замкнуто, так что A = i=1 Ai, Ai = Mni (k). Естественная проекция алгебры pk : A Ak является гомоморN физмом унитальных алгебр. Поскольку Der (A) = i=1 Der (Ai ), то проекция pk продолжается до гомоморфизмов (pk ) : (D, A) (Dk, Ak ) и (pk ) : (D, A) (Dk, Ak ) дифференциальных алгебр. ПоэтоZ Z му, вспоминая об естественности характеристических классов, мы можем ещ более упростить ситуацию и считать A = Mn (k), p | n и E = лу аддитивности характеристических классов достаточно показать, что c1 (E0, (D, A)) = 0 для простого модуля E0 = kn. Модуль E0 можно отождествить с образом проектора e11 A, где eij, i, j = 1,..., n обозначение для матричных единиц алгебры A. Тогда Обозначим ij = ad eij D внутреннее дифференцирование алгебры A. Рассмотрим элемент = 2 j=1 1j j1 2 D. Тогда для любого С другой стороны, Tr (e11 de11 de11 )() = Таким образом, элемент Tr (e11 de11 de11 ) не является кограницей в (D, k), т.е. характеристический класс c1 (E0, (D, A)) не равен нулю.

Следствие 2.10. Пусть A = i=1 Mni (Fi ) полупростая алгебра, A = A/[A, A] универсальный следовой модуль и E = i=1 µi Ei конечномерный A-модуль. Если существует k, такое что p|nk, p ind (Fk ) иp µk, то первый характеристический класс Жураева-МищенкоСоловьва Ch1 (E, A) не равен нулю. В противном случае, Chn (E, A) = для всех натуральных n p1.

Замечание 2.4. Предыдущее утверждение показывает, что группа когомологий H 2 (sln, k) алгебры Ли sln не равна нулю, когда характеристика поля p делит n. Можно показать, что в этом случае H 2 (sln, k) = k. Заметим, что если характеристика поля нулевая, то H 2 (sln, k) = 0.

Глава Аппроксимативно конечные алгебры Начиная с этой главы мы рассматриваем алгебры с дополнительной, топологической структурой, а именно, C -алгебры. В этой главе изучаются универсальные характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр (или, сокращнно, AF-алгебр). Главу открывает параграф, посвящнный аменабельным C -алгебрам, которые характеризуются тем свойством, что отображение периодичности S для них оказывается изоморфизмом (теорема 3.2). Это позволяет ограничиться изучением нулевого характеристического класса, что и производится в параграфе 3.4 для C -алгебр, являющихся прямым пределом конечномерных алгебр, т.е. аппроксимативно конечных алгебр. Основным результатом этого параграфа, как и всей главы является теорема 3.11, дающая полное описание характера Конна-Черна для этого класса алгебр. Пункт 3.4 предваряют параграфы 3.2 и 3.3, в которых приводится определение аппроксимативно конечных алгебр и некоторые известные утверждения, касающиеся K-теории алгебр этого типа. Основным источником здесь нам служит [7].

Ядерные и аменабельные C -алгебры 3. Основное поле здесь и всюду далее поле комплексных чисел C.

Пусть A банахова алгебра с единицей, т.е. на унитальной алгебре A имеется полная норма ·, такая что Теория характеристических классов, которая учитывала бы топологию алгебры A, получается простым повторением конструкций первой главы с заменой объектов линейной алгебры на соответствующие объекты категории полных нормированных пространств. То есть все отображения предполагаются непрерывными отображениями банаховых пространств, а тензорные произведения рассматриваются как проективные произведения банаховых пространств. Несложно убедиться в том, что все возникающие в главе 1 отображения ограничены, так что такое перенесение конструкций будет корректно. В частности, определены (топологические) гомологии Хохшильда алгебры A. Ниже нам потребуется обобщение этого понятия.

Пусть дан банахов бимодуль над алгеброй A, т.е. некоторое банахово пространство E вместе с ограниченными билинейными отображениями ml : A E E, mr : E A E, которые задают на E структуру алгебраического A-бимодуля. Рассмотрим комплекс с дифференциалом b, определнным равенством Определение 3.1. Гомологии HH (A, E) комплекса (E An, b) называются гомологиями Хохшильда алгебры A с коэффициентами в банаховом бимодуле E.

Замечание 3.1. Если E = A, то мы получаем хохшильдовы гомологии из определения 1.13.

По отношению к хохшильдовым гомологиям с коэффициентами естественно выделяется следующий класс алгебр.

Определение 3.2. Банахова алгебра A с единицей называется аменабельной алгеброй, если для каждого банахова A-бимодуля X 1. пространство HH0 (A, X) является хаусдорфовым;

2. HHn (A, X) = 0 для всех n 1.

Замечание 3.2. Изначальное определение аменабельной банаховой алгебры, которое можно найти, например, в монографии [14], отличается от данного выше, однако эквивалентно ему (см. теорему VII.2.17 в [14]).

Напомним определение C -алгебры (см. [7]).

Определение 3.3. Пусть A есть ассоциативная *-алгебра. C -нормой на алгебре A называется любая норма p на A, такая что для любых a, b A. Если алгебра A является полной относительно некоторой фиксированной C -нормы p, то она называется C -алгеброй.

В случае, когда A есть C -алгебра, свойство аменабельности оказывается эквивалентным другому замечательному свойству ядерности.

Определение 3.4. C -алгебра A называется ядерной, если для произвольной C -алгебры B на алгебраическом тензорном произведении A B (которое является *-алгеброй) имеется единственная C -норма.

Замечание 3.3. Класс ядерных C -алгебр обладает рядом хороших свойств (см. [7]). Любая конечномерная или коммутативная C алгебра ядерна. Любой идеал и факторалгебра ядерной алгебры ядерны. Множество ядерных алгебр замкнуто относительно расширения. Прямой предел ядерных алгебр (см. определение 3.5) также ядерная алгебра.

Следующей теоремой мы обязаны Конну [17] и Хаагерупу [21].

ядерная.

Соединяя вместе результаты теорем 1.25, 1.26, 3.1, мы получим следующее утверждение.

Теорема 3.2. Пусть A есть ядерная C -алгебра. Тогда все отображения A/([A, A] + C 1) = HH 0 (A) HC 0 (A) HC 2n (A) H 2n ( (A)) суть изоморфизмы полных преднормированных пространств и все пространства хаусдорфовы, а значит банаховы.

Замечание 3.4. Сопряжнное пространство к A/[A, A] отождествляется с пространством функционалов типа следа, т.е. таких функционалов :

A C, что (ab) = (ba) для любых a, b A. Таким образом, характер Черна в случае, когда алгебра является аменабельной, показывает, какие проективные модули можно различить с помощью следов.

Пример 3.1 (характеристические классы коммутативных C -алгебр).

сепарабельная коммутативная C -алгебра с единицей. Тогда Пусть A A = C(X) алгебра непрерывных функций на компактном топологическом пространстве X. По теореме Такесаки (см. [7]) алгебра A ядерна, и мы можем применить теорему 3.2. Так как A коммутативна, то HH0 (A) = A. Посмотрим, чему равен нулевой характеристический класс конечнопорожднного проективного модуля E. По теореме Серра-Суона, E = () модуль сечений некоторого локально тривиального векторного расслоения. Тогда ch0 (E) = Tr () является локально постоянной функцией, принимающей значения в N {0}, которая равна размерности слоя расслоения в конкретной точке. Предположим, что X связно. Тогда ch0 (E) = dim постоянная функция. В этом случае приведнный характер Черна ch0 (E) нулевой, следовательно, все универсальные характеристические классы, а вместе с ними и все харклассы Каруби и Жураева-Мищенко-Соловьва, равны нулю.

Замечание 3.5. Если A = C (M, C ) алгебра Фреше гладких функций на многообразии M, то, как показал Конн [16], группа гомологий H n ( (A)) изоморфна прямой сумме k0 H n2k (M, C ). При этом n-й универсальный характеристический класс проективного модуля E = () совпадает с точностью до скалярного множителя с суммой первых n членов обычного характера Черна расслоения.

3.2 Определение аппроксимативно конечных Напомним определение прямого предела последовательности C -алгебр (см. [7]). Пусть дана последовательность C -алгебр (An ) n=1 и *гомоморфизмов n : An An+1, n N. Рассмотрим множество A, состоящее из последовательностей a = (an ) в n=1 An, таких что an+1 = n (an ) для всех n, начиная с некоторого натурального числа N. A является *-подалгеброй в An. Функционал p : A R+, есть C -преднорма на A. Пусть B = p1 (0) A. Тогда B идеал и p определяет C -норму p на факторалгебре A /B.

Определение 3.5. Пополнение A *-алгебры A /B относительно p яв- ляется C -алгеброй и называется прямым пределом последовательности C -алгебр (An, n ). Общепринятое обозначение для прямого предела A = limn An.

Замечание 3.6. Мы будем использовать обозначение l : Al A для канонического *-гомоморфизма, отображающего элемент a Al в последовательность (ln (a)), где Из определения следует коммутативность диаграммы Определение 3.6. Аппроксимативно конечной алгеброй (или AFалгеброй) называется C -алгебра, которая является прямым пределом последовательности конечномерных C -алгебр.

Замечание 3.7. Пусть A = limn An, где An для каждого n. Обозначим An = n (An ) A. Тогда An является конечномерной C -подалгеброй в A, An An+1 и A = n=1 An замыкание возрастающего семейства конечномерных алгебр. Последовательность алгебр (An ) с отображениями включения является прямой и A = limn An. Поэтому можно считать, что AF-алгебра A является пределом последовательности, в которой все отображения мономорфны, т.е. являются вложениями.

Воспользуемся следующим простым утверждением (см. [15]) для получения более конкретного комбинаторного описания AF-алгебры как прямого предела конечномерных подалгебр.

ры и : A B инъективный унитальный *-гомоморфизм. Тогда существует базис eij, k = 1,..., N, i, j = 1,..., nk алгебры A и базис fij, l = 1,..., N, i, j = 1,..., nl алгебры B, а также неотрицательные целые числа [kl], k = 1,..., N, l = 1,..., N, такие где dkl = s=1 [sl]. Иными словами, с точностью до замены координат гомоморфизм определн кратностями вложения [kl] k-той матричной компоненты алгебры A в l-тую компоненту алгебры B.

причм гомоморфизмы p : Ap Ap+1 сохраняют единицу. Тогда пряе мую систему (Ap, p ) можно задать с помощью графа D(A), построенного следующим образом. Вершины графа D(A) индексируются множеством пар (p, k), p N, k = 1,..., np. Рбра могут соединять только пару вере шин вида (p, k), (p + 1, l), причм количество рбер, соединяющих эти две вершины, равно кратности вложения [p, k; p + 1, l] соответствующих матричных компонент при отображении p : Ap Ap+1. Вершина (p, k) помечена числом [p, k], равным размеру соответствующей матричной компоненты. Утверждение 3.3 показывает, что помеченный граф D(A) полностью определяет прямую систему (An, n ) и, таким образом, алгебру Определение 3.7. Помеченный граф D(A) называется диаграммой Браттели алгебры A.

Заметим, что алгебра может описываться несколькими диаграммами.

Приведм несколько примеров AF-алгебр, заданных диаграммами Браттели.

Пример 3.2 (конечномерная AF-алгебра). Пусть алгебра A = k=1 Mnk конечномерная C -алгебра. Тогда A можно представить в виде прямого предела последовательности (An, n ), An = A, n = idA. Диаграмма D(A) имеет вид Пример 3.3 (равномерно гиперфинитные алгебры). Прямой предел последовательности конечномерных простых C алгебр называется равномерно гиперфинитной алгеброй, или же UHF-алгеброй. Пусть A унитальная UHF-алгебра. Тогда A = n=1 An, An конечномерная простая алгебра, т.е., как следует из предложения 3.3, An = Mqn. Пусть sn = [n1, n], n > кратность вложения An1 в An и s1 = q1. Тогда легко увидеть, что qn = s1 s2... sn. В результате получаем диаграмму Мы будем использовать для UHF-алгебры A с такой диаграммой обозначение Ms, s = (sn ). В частном случае, когда все sn равны 2, мы полуn= чаем бесконечномерную алгебру Клиффорда C l, поскольку Cl2n = M2n.

Пример 3.4. Рассмотрим диаграмму AF-алгебра, которая ей соответствует, есть K(H) унитализация алгебры компактных операторов на сепарабельном гильбертовом пространстве.

Следующее утверждение (см. [15])показывает, что любой идеал в AFалгебре сам является AF-алгеброй.

Утверждение 3.4. Пусть A = n=1 An унитальная AF-алгебра и IA идеал. Обозначим In = I An. Тогда I = i=1 In.

Замечание 3.8. Предыдущее утверждение предоставляет комбинаторное описание идеалов в аппроксимативно конечной алгебре. Именно, проnp странство Ip является идеалом в Ap = k=1 M[p,k], следовательно, Ip = kJp M[p,k], Jp {1,..., np }. Тогда идеалу I можно сопоставить полную поддиаграмму DI в диаграмме Браттели D(A), вершины которой составляют множество = p=1 {(p, k) | k Jp }. При этом диаграмма DI будет обладать следующими свойствами:

1. из k Jp и [p, k; p + 1, l] > 0 следует, что l Jp+1 ;

2. если для всех l, таких что [p, k; p + 1, l] > 0, выполнено l Jp+1, то Обратно, любая поддиаграмма, обладающая перечисленными выше свойствами, определяет некоторый идеал в A. Соответствие I DI является биекцией (см. [15]).

3.3 K-теория AF-алгебр Вычисление K-группы AF-алгебры не представляет труда в виду следующих двух фактов (см. [7, теоремы 7.2.4 и 7.3.12]).

Тогда K0 (A) = ZN.

Теорема 3.6 (непрерывность K-функтора). Пусть (An, n ) прямая последовательность C -алгебр и A = limn An. Тогда K0 (A) = limn K0 (An ) прямой предел последовательности групп (K0 (An ), (n ) ).

Пример 3.5. Пусть A = n=1 An, An = Mqn равномерно гиперфинитная алгебра из примера 3.3. Тогда группа K0 (A) является пределом последовательности групп и, таким образом, изоморфна Z(s), где группа Z(s) состоит из рациональных чисел вида В частности, K-группа бесконечномерной алгебры Клиффорда равна группе двоично-рациональных чисел: K0 (C l) = Z[ 1 ].

Замечание 3.9. Пусть A унитальная AF-алгебра. Обозначим K0 (A)+ множество классов стабильной эквивалентности конечных проективных модулей над A. Тогда K0 (A)+ является конусом в K0 (A). Частичный порядок, определяемый положительным конусом K0 (A)+, задат на K0 (A) структуру частично упорядоченной группы.

Основным результатом K-теории аппроксимативно конечных алгебр является классификационная теорема Эллиотта [7, теорема 7.2.10].

Теорема 3.7. Пусть A, B унитальные AF-алгебры и : K0 (A) K0 (B) изоморфизм порядковых групп, являющийся унитальным, т.е.

[1A ] = [1B ]. Тогда существует *-изоморфизм : A B, такой что Таким образом, (унитальные) AF-алгебры однозначно задаются своей K-теорией. Следовательно, любые свойства AF-алгебры A проявляются тем или иным образом в группе K0 (A). Примером может служить следующее предложение.

Предложение 3.8. Пусть A унитальная AF-алгебра. Тогда A простая для любых K0 (A)+, = 0, K0 (A) найдтся n N, такое что n.

Доказательство. Из комбинаторного описания идеалов, данного в замечании 3.8, вытекает следующий критерий простоты алгебры (см. [15]):

A проста тогда и только тогда, когда для каждой вершины (p, k) в диаграмме Браттели D(A) найдтся q p, такое что любая вершина (q, l), l {1,..., nq } соединена с (p, k) монотонно возрастающим путм е в D(A).

Пусть A = p=1 Ap простая алгебра, K0 (A)+, K0 (A). Достаточно рассмотреть случай = [1A ], = [e(pk) ], где e(pk) единица компоненты M( pk) в алгебре Ap A. Так как A проста, то существует q > p, удовлетворяющее условию предыдущего абзаца. Это значит, что M(pk) вкладывается во все матричные компоненты алгебры Aq, так что кратность вложения [p, k; q, l] 1 при всех l {1,..., nq }. Тогда индуцированное вложением отображение K-групп (pq ) : K(Ap ) K(Aq ) переводит класс [e(pk) ] в l=1 [q, l] [p, k; q, l]·[e(ql) ]. Пусть N = max{[q, 1],..., [q, nq ]}.

Тогда N [e(pk) ] = N Пусть выполнено условие в правой части утверждения. Рассмотрим произвольный ненулевой идеал I A. Тогда I соответствует непустая поддиаграмма DI. Пусть (p, k) DI. Положим = [e(pk) ], = [1A ].

Тогда найдтся n, такое что = n 0 в K0 (A). Так как K0 (A) = limn K0 (An ), то можно считать, что K0 (Aq )+, q > p. Тогда имеем неравенство откуда [p, k; q, l] > 0. Следовательно, все вершины (q, l), l = 1,..., nq лежат в DI. Это значит, что Iq = Aq, так что 1 I. Тогда I = A, так как I идеал. Таким образом, A не имеет нетривиальных собственных идеалов, т.е. A проста.

Определение 3.8. Пусть G частично упорядоченная группа. Элемент u G+ называется порядковой единицей группы G, если для каждого g G+ существует n N, такое что g nu.

Таким образом, критерий простоты алгебры в предложении 3.8 может быть сформулирован так: каждый положительный элемент K-группы является порядковой единицей.

Вопрос о том, какие частично упорядоченные абелевы группы могут быть реализованы как K0 (A) для некоторой AF-алгебры A, был решне Эффросом, Хандельманом и Шеном.

Определение 3.9. Счтная частично упорядоченная группа G называе ется группой Рисса, если 2. для любых x1, x2, y1, y2, таких что xi yj при всех i и j, существует Имеем следующую теорему [20].

Теорема 3.9. Если A унитальная AF-алгебра, то K0 (A) группа Рисса, обладающая порядковой единицей. Обратно, если G группа Рисса, имеющая порядковую единицу u, то существует унитальная AF-алгебра A, чья K-группа K0 (A) изоморфна G как порядковая группа, причм u при этом изоморфизме соответствует классу [1A ] единичного проектора алгебры A.

AF-алгебра из следующего примера понадобится нам в главе 4 при рассмотрении алгебр фон Неймана.

Пример 3.6. Возьмм произвольное иррациональное число (0, 1). Расе смотрим абелеву группу с порядком, индуцируемым вложением G R. Тогда G группа Рисса с порядковой единицей 1. Поэтому существует единственная с точностью до изоморфизма AF-алгебра A, такая что K0 (A ) = G. Приведм явную конструкцию алгебры A.

Рассмотрим разложение числа в цепную дробь:

и определим A = limn An как AF-алгебру, соответствующую диаграмме Браттели Тогда K0 (An ) = Z Z и отображение (n ) : K0 (An ) K0 (An+1 ) задатся матрицей в каноническом базисе Так как Tn GL(2, Z), то (n ) изоморфизм при всех n, так что K0 (A ) = limn K0 (An ) = Z Z. Выделим теперь элементы, принадлежащие положительному конусу K0 (A )+. Изоморфизм в канонических координатах (x1, y1 ) и (xn, yn ) имеет вид где Sn = Tn1... T2 T1, S1 = I. Заметим, что An = Mpn +qn (C ) Mrn +sn (C ). Так как K0 (A )+ = n K0 (An )+, то при отождествлении K0 (A ) и K0 (A1 ) с помощью изоморфизма 1 положительный конус K0 (A )+ перейдт в n=1 (n )1 K0 (An )+. Множество (n )1 K0 (An )+ задатся неравенствами В силу равенства Sn+1 = Tn Sn имеем рекуррентные соотношения с начальными условиями p1 = 1, q1 = 0, r1 = 0, s1 = 1. Покажем, что rn = pn + pn1 при n > 1. Равенство r2 = a1 = (a1 1) + 1 = p2 + p составляет базу индукции. Пусть rn = pn + pn1. Тогда Следовательно, равенство rn = pn + pn1 имеет место при всех n. Аналогично, rn = qn + qn1, n > 1. Отсюда следует, что формулы (3.2) можно переписать в виде Известные формулы из теории цепных дробей показывают:

где Поэтому неравенства (3.1) эквивалентны паре неравенств Так как limn qn = limn n = 1, то также limn sn = limn pn +pn1 = 1. Следовательно, в пределе оба неравенства дают одно условие y1 + ( 1)x1 0. Заметим, что на прямой y1 + ( 1)x1 = лежит только одна точка с целочисленными координатами (0, 0). Поэтому Рассмотрим гомоморфизм абелевых групп : Z2 R, (x, y) = ( )x + y. Тогда (1A ) = (1, 1) = 1 и порядок на K0 (A ) совпадает с порядком, индуцированным вложением. Поэтому мы можем считать, что K0 (A ) = Z + Z R с естественным порядком, т.е. K0 (A ) = G.

3.4 Характеристические классы AF-алгебр Основное свойство AF-алгебр, позволяющее полностью описать е хараке теристические классы, заключено в следующем утверждении (см. [7, теорема 6.3.11]).

Теорема 3.10. Все AF-алгебры принадлежат классу сепарабельных ядерных C -алгебр.

Определение 3.10. Пусть дана некоторая AF-алгебра A. Элемент K0 (A) называется бесконечно малым, если 1+n K0 (A) для всех целых n. Бесконечно малые элементы образуют подгруппу Kinf (A) в K0 (A).

Элемент K0 (A) называется приближнно скалярным, если для любого натурального n существуют рациональное число p и натуральное l, такие что pl Z и l(1 ± n( r · 1)) 0. Приближнно скалярные элее менты также образуют подгруппу, которую мы будем обозначать Kas (A).

Образ Kas (A) при проекции на K0 (A) будет обозначаться Kas (A). Смысл введнных понятий станет ясен ниже.

Пример 3.7. Пусть A = K(H) алгебра компактных операторов с добавленной единицей из примера 3.4. Тогда K0 (A) = Z Z. Конус положительных элементов вычисляется точно так же,как и в примере 3.6 и равен K0 (A)+ = (x, y) Z2 | x 0. Тогда множество бесконечно малых элементов есть Kinf (A) = {(0, y) | y Z}. Оно порождается классами эквивалентности конечномерных проекторов p K(H) A. Заметим, что для любого функционала A типа следа, т.е. обладающего свойством (ab) = (ba) для всех a, b A, и конечного проектора p K(H) (p) = 0.

Подгруппа Kas (A) в данном случае совпадает со всей группой K0 (A).

Пример 3.8. Пусть A = A, [0, 1]\Q алгебра из примера 3.6. Тогда K0 (A) = Z Z, Kinf (A) = {0} и Kas (A) = K0 (A).

Сформулируем основной результат этой главы.

Теорема 3.11. Пусть A есть некоторая унитальная AF-алгебра и chn :

K0 (A) HC2n (A) есть е характер Черна. Тогда для каждого n 1. ker chn = Kinf (A);

2. линейное пространство, порожднное Im chn, плотно в HC2n (A).

ладает аналогичными свойствами 1’. ker chn = Kas (A);

2’. линейное пространство, порожднное Доказательство. Согласно теореме 3.10 достаточно рассмотреть только случай n = 0, т.е. убедиться в том, что отображение обладает нужными свойствами.

Пусть A = limn An, An An+1 плотное семейство конечномерных подалгебр. Тогда имеем K0 (A) = lim K0 (An ). Обозначим n :

K0 (An ) K0 (A) отображение, индуцированное вложением An A.

Рассмотрим отображения следа Tr n : K0 (An ) An /[An, An ]. Легко увидеть, что след Tr n инъективен и порожднное его образом линейное пространство совпадает со всем An = An /[An, An ].

Введм на множествах K0 (A) и K0 (An ) ряд норм: "алгебраические"и "топологические"(со штрихом) где K0 (A). Заметим, что Kinf (A) = 0, а S(A) является замыканием в K0 (A) множества скаляров ·1, Q относительно нормы Покажем, что · = limn · n = limn · n = ·. Тогда, в силу хаусдорфовости HCn (A), что доказывает первую часть теоремы.

1. Проверим равенство · = limn · n. Пусть K0 (An ). Если как n (K0 (An )) K0 (A). Поэтому n () n, откуда Обратно, пусть K0 (A) и l ± lr 0, r Q+. Тогда найдтся нае туральное число n и элементы n K0 (An ), n K0 (An ), такие что n (n ) =, n (n ) = l ± lr. Так как n (l ± lrn ) = n (n ), то существует m n, т.ч. элементы m = nm (n ) K0 (Am ) и m = nm (n ) K0 (Am ) связаны соотношением 1 ± rm = m. Тогда m m r1, так что limm m = limm nm (n ) m r1. Отсюда следует обратное неравенство · limn · n.

2. Рассмотрим конечномерную алгебру An. Тогда An = k=1 Mnk (C ).

Пусть a = k ak, ak Mnk (C ), есть некоторый элемент из An. C -норма a равна a = maxk (a ak ), где (·) спектральный радиус. Пускай n : An An = An /[An, An ] естественная проекция.

Лемма 3.12. Пусть A = Mm (C ), · A/[A, A] проекция. Тогда для любого a A (a) A = m |Tr (a)|.

Доказательство леммы. Пусть a A. Ясно, что для элемента a = m1 Tr (a) · 1A выполнено a a [A, A], так что (A) A a = m1 |Tr (A)|. В силу компактности существует b A, т.ч. b a [A, A], b = (a) A. Покажем, что b = a. В жордановом базисе элеn мент b распадается в сумму жордановых клеток b = k=1 Jnk (k ). Тогда b 2 равно максимальному собственному значению матрицы b b. Так как с другой стороны, b a. Следовательно, b = a и все неравенства в формуле (3.3) являются равенствами. Из второго неравенства в (3.3) получаем, что все nk равны 0, т.е. b диагональная матрица. Обращение в равенство третьего неравенства (Коши-Буняковского) означает, что вектора (1,..., m ) и (1,..., 1) пропорциональны, иначе говоря, b = · 1A, где = m Tr (a). Таким образом, a = b и (a) A = a = m1 |Tr (a)|.

бильной эквивалентности матричной единицы e11 Mnk, поскольку K0 (An ) = Zp1 · · · ZpN и K0 (An ) = Np1 · · · NpN. В результате применения следа получаем элемент Tr n () = k µk n (e11 ), откуда С другой стороны, имеем цепь эквивалентных условий:

Условие целочисленности можно снять подходящим выбором l N. Поэтому получаем равенство Переход к пределу дат второе доказываемое тождество limn · n = limn · n.

3. Пусть x An для некоторого n. Так как n An плотно в A, то n [An, An ] плотно в [A, A]. Поэтому где третье равенство следует из изометричности вложения Am A, а четвртое вытекает из изометричности гомоморфизма An Am и влое жения [An, An ] [Am, Am ], в силу чего последовательность x Am монотонно убывает. Таким образом, оказывается справедливым последнее равенство для норм · = limn · n.

Для завершения доказательства остатся показать плотность прое странства, порожднного образом отображения Tr. Но это следует плоте ности пространства n An в A и того факта, что для конечномерной алN гебры An = k=1 Mnk (C ) образ Tr n есть рештка максимального ранга в An = C и, таким образом, содержит некоторый базис пространства Пример 3.9. Пусть A есть алгебра K(H), или равномерно гиперфинитная алгебра Ms, или A. В любом случае имеем Kas (A) = K0 (A), так что приведнный характер Черна, а значит, и все характеристические классы Кае руби и Жураева-Мищенко-Соловьва тривиальны. Из второго утверждее ния теоремы следует, что HC 0 (A) = 0, так что A/[A, A] = HC0 (A) = C.

Согласно замечанию 3.4, предыдущее равенство означает, что на алгебре A имеется единственный нормированный след, который индуцирует вложение K0 (A) в R. Поскольку при этом классы проекторов переходят в положительные вещественные числа и алгебра A линейно порождается проекторами, то положительный функционал на A. Этот факт будет использован в главе 4 (см. пример 4.1).

алгебра C(G) является AF-алгеброй, поскольку содержит плотное семейство конечномерных подалгебр, составленных из матричных элементов неприводимых представлений. В этом случае K0 (C(G)) совпадает с кольцом представлений R(G). Рассмотрим унитализацию A = C(G).

Тогда A унитальная AF-алгебра и K0 (A) = K0 (C(G)) Z, так что K0 (A) = K0 (C(G)). Так как в K0 (A) нет приближнно скалярных элее ментов, отличных от нуля, (приведнный) характер Черна инъективен, т.е. различает все проективные модули. Этот результат есть переформулировка известного утверждения о том, что представление компактной группы однозначно определяется своим характером.

Глава Алгебры фон Неймана В этой главе мы рассматриваем такой класс C -алгебр, как алгебры фон Неймана, или операторные алгебры. Теория алгебр фон Неймана, в отличие от общей теории C -алгебр, оказывается более простой. В первом параграфе мы перечисляем некоторые факты из теории операторных алгебр, включая классификацию алгебр фон Неймана и две структурные теоремы, касающиеся дискретных операторных алгебр. Третья группа результатов, излагаемых в этом параграфе, описывает основные свойства гиперфинитного фактора типа II1. Второй параграф посвящн вычислее нию K-теории операторных алгебр (теоремы 4.9 и 4.11). Поведение характеристических классов алгебр фон Неймана, разбираемое в параграфе 4.3, во многом похоже на случай полупростых алгебр из главы 2. Аналогом теоремы 2.1 об универсальных характеристических классах здесь служат теоремы 4.13 и 4.15, предложению 2.5 соответствует теорема 4.17.

4.1 Классификация алгебр фон Неймана Напомним некоторые факты из теории алгебр фон Неймана.

Определение 4.1. Пусть ch гильбертово пространство и L(H) алгебра ограниченных линейных операторов на ch. Топология на L(H), определяемая системой полунорм · x, T x = T x, x ch, называется сильной топологией. Система полунорм · x,y, x, y ch, T x,y = | < T x, y > | задат слабую топологию на L(H).

Пусть A L(H) *-подалгебра. Коммутантом алгебры A называется множество Коммутант A является *-подалгеброй в L(H).

Определение 4.2. *-алгебра A L(H) называется алгеброй фон Неймана, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

1. A слабо замкнута;

2. A сильно замкнута.

Если A содержит единичный оператор 1H, то перечисленным выше условиям эквивалентно следующее 3. A совпадает со своим бикоммутантом A = (A ).

Определение 4.3. Пусть A алгебра фон Неймана. Следом на множестве положительных элементов A+ алгебры A называется отображение : A+ [0, +], обладающее такими свойствами:

1. для любых a, b A+ (a + b) = (a) + (b);

2. (a) = (a) для любого a A+ и [0, +);

3. если a A+ и u U (A) унитарный элемент, то (uau1 ) = (a).

След называется верным, если равенство (a) = 0 влечт a = 0;

конечным, если (a) < + для всех a A+ ;

полуконечным, если для любого a A+ нормальным, если для любой возрастающей направленности (a ) в A+, имеющей точную верхнюю грань a = sup a A+, (a) = Определение 4.4. Алгебра фон Неймана A называется конечной (полуконечной), если для любого a A+, a = 0 существует конечный (полуконечный) нормальный след на A+, такой что (a) = 0. Если единственным нормальным конечным (полуконечным) следом на A+ является тождественное отображение в 0, то алгебра A называется собственно бесконечной (соотв. типа III).

Алгебра фон Неймана A называется дискретной или типа I, если она изоморфна алгебре фон Неймана B, коммутант которой B коммутативен. Алгебра A называется непрерывной, если для любого проектора p из центра алгебры A алгебра pAp не является дискретной. Дискретная алгебра фон Неймана является полуконечной.

Говорят, что алгебра фон Неймана A имеет тип II1, если она непрерывна и конечна, и тип II, если она собственно бесконечна, полуконечна и непрерывна.

Замечательной особенностью теории алгебр фон Неймана оказывается наличие ряда структурных теорем.

Теорема 4.1 (см. [18]). Пусть A есть алгебра фон Неймана. Тогда имеем разложение где A1 алгебра фон Неймана типа I, A2 имеет тип II1, A3 тип II, A4 тип III.

Теорема 4.2 (см. [18]). Пусть A алгебра фон Неймана типа I. Тогда A представима в виде произведения алгебр фон Неймана где Bi абелева алгебра фон Неймана и кардинальные числа ni = dim chi все различны. При этом произведение Af = i: ni = (a b), a, b A. Она неотрицательная и даже положительно определена в силу простоты A. Действительно, множество N = {a A | (a a) = 0} является левым идеалом в A, а значит и правым идеалом, поскольку функционал типа следа. Так как 1 N, то N собственный идеал, следовательно, N = 0. Пополнение H пространства A относительно формы является гильбертовым пространством и умножение в A индуцирует действие алгебры A на H. В силу простоты алгебры является точным представлением, поэтому мы будем отождествлять алгебры A и (A). По теореме Рисса существует элемент x H, x = 1, такой что (a) =< ax, x > для всех Пусть M есть сильное замыкание алгебры (A) L(H ). Тогда M бесконечномерная алгебра фон Неймана и : M C, (b) = < bx, x >, b M есть конечный нормальный след на M в смысле опреверный след. Пусть b M + и (b) = 0.

деления 4.3. Покажем, что Тогда cx = 0, где c = b1/2. Тогда для любого самосопряжнного элемента Отсюда по линейности получаем, что cax = 0 для любого a A. Так как множество {ax | a A} плотно в H, то c = 0, следовательно, b = 0. Из верности следа получаем, что M конечная алгебра фон Неймана.

проектор. Тогда (b) = (pb), b M является конечным нормальным следом на M. След, ограниченный на A, пропорционален, так как единственный (нормированный) след на A. Тогда из сильной непрерывности и следует, что = на M. Так как (p) = (p2 ) = (p) = 0, то = 1. Следовательно, (1 p) = (1 p) = (p(1 p)) = 0, откуда 1p = 0 и p = 1. Так как алгебра фон Неймана Z(M ) порождается своими проекторами (см. [18]), то Z(M ) = C 1, т.е. M (конечный) фактор. M бесконечномерно, значит, является непрерывным конечным фактором.

Наконец, фактор M гиперфинитный, так как порождается возрастающим семейством конечномерных подалгебр, определяющих AF-алгебру A.

В монографии [18] доказывается следующее полезное свойство гиперфинитного фактора.

Теорема 4.5. Пусть A алгебра фон Неймана типа II1. Тогда существует (унитальное) вложение гиперфинитного фактора R в A.

Последняя теорема вместе с нижеследующим утверждением характеризует R как минимальный конечный непрерывный фактор.

Утверждение 4.6 (см. [18]). Любой подфактор гиперфинитного фактора является гиперфинитным фактором.

4.2 K-теория алгебр фон Неймана Конус положительных элементов C -алгебры определяет частичный порядок, однако для целей K-теории более подходит следующее более инвариантное определение.

Определение 4.8. Пусть A C -алгебра и p, q A проекторы. Проекторы p и q называются эквивалентными по Мюррею-фон Нейману, если существует u A, такое что p = u u, q = uu. Для эквивалентных проекторов используется обозначение p q. Отношение p q означает, что существует проектор p p, такой что p q.

Следующее утверждение будет использовано ниже в теореме 4.11.

Утверждение 4.7 (см. [18]). Пусть p, q проекторы в алгебре фон Неймана A. Тогда существует центральный проектор g Z(A), такой что pg qg и q(1 g) p(1 g).

Определение 4.9. Пусть A алгебра фон Неймана и p A называется конечным(собственно бесконечным), если алгебра Ap = pAp является конечной (собственно бесконечной).

Замечание 4.2. Пусть A конечная алгебра фон Неймана. Из определения конечной алгебры следует, что любая подалгебра в A является конечной. Таким образом, любой проектор в A является конечным.

Пусть p проектор в некоторой алгебре фон Неймана B. Согласно теореме о разложении 4.1, применнной к алгебре Bp = pBp, проектор p является собственно бесконечным тогда и только тогда, когда не существует ненулевого проектора g из центра алгебры Bp, такого что gBp g конечная алгебра фон Неймана.

Перейдм к рассмотрению K-теории алгебр фон Неймана. В силу структурной теоремы 4.1 и предложения 1.30, достаточно рассматривать случай, когда алгебра относится к некоторому определнному типу. Разе берм сначала случай собственно бесконечных алгебр фон Неймана (типы I, II, III). Воспользуемся следующим вспомогательным утверждением.

Утверждение 4.8 (см. [18]). Пусть p собственно бесконечный проектор в алгебре фон Неймана A. Тогда существуют проекторы p1, p2 A, такие что p1 p, p2 p и p1 + p2 = p.

Теорема 4.9. Пусть A собственно бесконечная алгебра фон Неймана.

Тогда K0 (A) = 0.

Доказательство. Так как алгебра Mn (A) также является собственно бесконечной, то достаточно проверить, что любой проектор в A стабильно эквивалентен нулю. Итак, пусть p A проектор. Рассмотрим проектор 1 p M2 (A) и положим B = M2 (A)1p. Покажем, что проектор 1 p собственно бесконечен. Предположим, что это не так. Тогда, согласно замечанию 4.2, существует ненулевой проектор такой что gBg конечная алгебра фон Неймана. Проектор g комx мутирует с элементами вида B, x A. Следовательно, b = c = 0 и a Z(A) центральный проектор в A. Алгебра B1 = | x aAa gBg конечная по замечанию 4.2. Следовательно, алгебра aAa является конечной. Но A собственно бесконечная алгебра, так что a = 0. Таким образом, g имеет вид g =.

Коммутирование проектора g с элементом B дат равенство dp = pd = 0. Остатся заметить, что g B, так что что приводит к противоречию. Следовательно, 1 p собственно бесконечный проектор. Воспользуемся предложением 4.8 и получим, что где q1, q2 M2 (A). Тогда имеем равенство в K0 (M2 (A)) = K0 (A) откуда [1 p] = 0 и [p] = [1] для любого проектора p A. Повторяя предыдущие рассуждения для случая p = 0, мы получим, что [1] = [0] = 0. Следовательно, для любого проектора p выполнено [p] = 0, поэтому K0 (A) = 0.

Пусть теперь A есть конечная алгебра фон Неймана. Ключом к вычислению группы K0 (A) является понятие операторного следа. Пусть Z Z(A) подалгебра фон Неймана в центре алгебры A. Тогда по теоL (Z, ) для некоторых Z и. Обозначим Z + множество реме 4.3 Z измеримых функций из Z в R+ {}.

Определение 4.10. Следом, ассоциированным с алгеброй Z, или Zследом на A+ называется отображение : A+ Z +, такое что 1. (a + b) = (a) + (b) для любых a, b A+ ;

2. (za) = z(a) для любого a A+ и z Z + ;

Замечание 4.3. Понятия конечного, полуконечного, нормального и верного Z-следа вводятся так же, как и в определении 4.3.

Теорема 4.10 (см. [18]). Пусть A конечная алгебра фон Неймана и Z = Z(A) е центр. Тогда существует единственный нормальный Zе след на A, такой что (z) = z для любого z Z +. След является конечным и верным.

Определение 4.11. След из теоремы 4.10 называется каноническим Z-следом конечной алгебры A.

Замечание 4.4. Канонический след продолжается по линейности до отображения : A Z, обладающего свойствами 1. (ab) = (ba) для любых a, b A;

Сформулируем вторую основную теорему этого параграфа.

Пусть A конечная алгебра фон Неймана. Пусть A = A0 n=1 An, где A0 имеет тип II1, An тип In, е разложение по типам и Z = Z0 n=1 Zn соответствующее разложение е центра. Пусть : A Z е канонический Z-след. Отождествим, согласно теореме 4.3, Zn с LC (Zn, n ), а Z с L ( n=0 Zn, n=0 n ).

Теорема 4.11. Канонический след индуцирует изоморфизм K0 (A) на подмножество Доказательство. 1. Проверим, что отображение : K0 (A) Z, индуцированное следом, инъективно. Поскольку для любого натурального n тензорное произведение A на Mn (C ) сохраняет разложение по типам и не меняет центра алгебры, а канонический след на Mn (A), в силу его единственности, равен n Tr, где Tr обычный матричный след, то достаточно проверить, что два проектора p, q A, такие что (p) = (q), стабильно эквивалентны. Согласно предложению 4.7 существует проектор g Z, такой что pg qg, q(1 g) p(1 g). Так как аналогично, (q(1 g)) = (p(1 g)), то можно рассматривать только случай, когда p q. По определению отношения порядка, существует проектор p, такой что p p q, т.е. p = u u, p = uu для некоторого откуда (r) = (q) (p ) = 0. Так как верный след, то r = 0 и p = q.

Следовательно, p и q эквивалентны, а значит, и стабильно эквивалентны.

2. Проверим сюръективность. Мы покажем, что любая функция f M, f 0, f 1 является образом некоторого проектора p A. В силу разложения f = (fn ) n=0 Zn достаточно для каждого n построить проектор pn An, такой что (pn ) = fn.

Рассмотрим сначала случай n > 0. Тогда An = Mn (C ) L (Zn, n ).

Согласно определению множества M функция fn имеет вид Пусть qk Mn (C ), 0 k n проектор ранга k. Рассмотрим проектор т.е. pn искомый проектор.

(gl ) монотонно возрастающая последовательность измеримых функl= ций на Z0, таких что для каждого l и x Z0 gl (x) {0, 2l,..., 2l ·2l = 1} и liml gl = f0. Согласно теореме 4.5 в A0 вкладывается гиперфинитный фактор R. В свою очередь в R есть плотная C -подалгебра, изоморфная C l (см. пример 4.1). Пусть P = (p ), Z[ 2 ] [0, 1] семейство проекторов в C l, такое что (p ) = и p < pµ при < µ. Такое семейство легко построить индуктивно, исходя из определения C l как предела возрастающей последовательности матричных алгебр. По аналогии с предыдущим тогда (ql ) = gl и (ql )l=1 возрастающая последовательность проекторов. Пусть p = liml ql относительно сильной сходимости. Тогда в силу нормальности канонического следа получаем Таким образом, множество M1 = M Z1, где Z1 положительная часть единичного шара в Z, лежит в образе следа. Так как M аддитивно порождается множеством M1, то M Im.

3. Проверим, наконец, что для любого K0 (A) выполнено () M. Достаточно рассмотреть случай, когда A = An = Mn (C ) L (Z, ) и = [p], p A проектор. Алгебру A можно отождествить с алгеброй существенно ограниченных функций на Z, принимающих значения в матрицах n n. При этом отождествлении канонический след вычисляется как (a) = n Tr a, a Ln (C ) (Z, ), где Tr обыкновенный матричM ный след на Mn (C ), а проектор p представляется как измеримое поле проекторов в Mn (C ) на Z. Так как след проектора равен его рангу, т.е.

есть целое число, то для почти всех x Z Tr (p(x)) Z, следовательно, Следствие 4.12. Пусть A фактор. Тогда 4.3 Характеристические классы алгебр фон Теперь, когда известна K-теория алгебр фон Неймана, вычисление соответствующих характеристических классов не представляет труда. Рассмотрим сперва случай, когда алгебра является фактором.

Теорема 4.13. Пусть A есть некоторый фактор. Тогда 1. характер Черна chn : K0 (A) HC2n (A) инъективен;

2. приведнный характер Черна chn : K0 (A) HC 2n (A) равен нулю.

Доказательство. Достаточно рассматривать только конечные факторы In, II1, поскольку бесконечные факторы I, II, III имеют тривиальную K-теорию. Случай In разобран выше (см. теорему 2.1). Поэтому перейдм е сразу к факторам типа II1.

Итак пусть A непрерывный конечный фактор. Канонический след осуществляет биективное отображение K0 (M ) на R. Так как, являясь следом, пропускается через отображение ch0 : A A/[A, A], то нулевой характер Черна, а стало быть, в силу периодичности Конна, и все остальные инъективны. Первая часть теоремы доказана.

Заметим, что вложение гиперфинитного фактора R в A индуцирует изоморфизм их K-групп. Поэтому можно считать, что A = R. Пусть K0 (R) = R. Покажем, что chn () = 0. Предположим, что = r Q.

Тогда (ср. с теоремой 2.1) Пусть теперь Q. Можно считать, что [0, 1], поскольку chn (1) = 0.

Рассмотрим AF-алгебру A, построенную в примере 3.6. Тогда имеется вложение j : A R на сильно плотную подалгебру (см. пример 4.1). Так как на A имеется единственный след, который совпадает с ограничением канонического следа на R, то отображение j : K0 (A ) K0 (R) является вложением Z + Z R. Таким образом, элемент есть образ некоторого элемента K0 (A ). Тогда, в силу естественности приведнного хараке тера Черна chn () = j chn ( ). Но приведнный характер Черна на A тождественно равен нулю по теореме 3.11 и примеру 3.9. Следовательно, chn () = 0. Таким образом, chn тождественный нуль для любого n.

Следствие 4.14. Пусть A является фактором. Тогда для любого дифференциального исчисления и любого проективного конечнопорожднного модуля E характеристический класс cn (E, ) равен нуе лю. Характеристические классы Жураева-Мищенко-Соловьва также все равны нулю.

Перейдм к общему случаю.

Определение 4.12. Пусть A конечная алгебра фон Неймана. Назовм е элемент K0 (A) скалярным, если образ при действии канонического следа есть скалярный оператор. Множество всех скалярных элементов обозначим как Ksc (A).

Сформулируем центральную теорему этой главы.

Теорема 4.15. Пусть A алгебра фон Неймана. Тогда 1. характер Черна chn : K0 (A) HC2n (A) инъективен;

2. ker chn : K0 (A) HC 2n (A) = Ksc (A).

Доказательство. В силу предложений 1.30, 1.32 и теорем 4.1, 4.9 можно ограничиться рассмотрением случая, когда A конечна.

Пусть K0 (A), = 0. По теореме 4.11 () = 0 в Z = Z(A), где канонический Z-след. По теореме Хана-Банаха существует непрерывный функционал Z, такой что ( ()) = 0. Отображение является следом на A, поэтому представляется в виде композиции Следовательно, ch0 () = 0. Таким образом, ch0, а вместе с ним и все chn, n N, суть инъективные отображения. Отсюда также следует, что ker chn Sc(A). Покажем обратное включение.

Пусть Sc(A). Если A не является непрерывной, т.е. е разложение содержит блоки типа In, то, как следует из теоремы 4.11, () = 1, где Q. Отсюда получаем Предположим, что A непрерывна. Тогда по теореме 4.5 имеется вложение j : R A гиперфинитного фактора в A, которое, как нетрудно заметить, отображает K0 (R) на Ksc (A). Остатся воспользоваться естественностью приведнного характера Черна и теоремой 4.13.

Посмотрим, как обстоит дело с неуниверсальными характеристическими классами. Нам пригодится следующая лемма.

Лемма 4.16. Пусть A ассоциативная алгебра с единицей и центральное дифференциальное исчисление на A. Пусть E проективный конечнопорожднный модуль, определяемый проектором p A, лежае щим в центре алгебры. Тогда для всех n cn (E, ) = 0.

Доказательство. Вычисляя характеристический класс с помощью грассмановой связности, получим равенство cn (E, ) = [p(dp)2n ] = [p2 dp(dp)2n1 ] = [pdp p(dp)2n1 ] = 0, где мы воспользовались центральностью проектора p и тождеством pdp p = 0.

K0 (A) cn (, ) = 0, где · индуцированная (полу)норма на проn странстве H ( ).

Доказательство. Можно считать, что A конечная алгебра и = [p], где p A проектор. Пусть Z = Z(A) LC (Z, ) центр алгебры A и :AZ канонический Z-след.