«СОСТОЯНИЯ МОСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ГРУЗОВЫХ ПОЕЗДОВ ...»

Днепропетровский национальный университет железнодорожного

транспорта имени академика В. Лазаряна

На правах рукописи

Артемов Виталий Евгеньевич

УДК 624.01:624.07

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ РАСЧЕТА

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

МОСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ДИНАМИЧЕСКОГО

ВОЗДЕЙСТВИЯ ГРУЗОВЫХ ПОЕЗДОВ

05.23.01 – Строительные конструкции, здания и сооружения Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель Распопов Александр Сергеевич, доктор технических наук, профессор Днепропетровск –

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

РАЗДЕЛ 1. СОВРЕМЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

ДИНАМИКИ БАЛОЧНЫХ МОСТОВ

1.1. Пролетные строения мостов как класс строительных конструкций... 1.2. Проблемы и перспективы исследований в области динамики балочных мостов

1.3. Роль искусственных сооружений в сети скоростных железных дорог Украины

1.4. Системы автоматизированного проектирования строительных конструкций

Выводы по разделу 1

РАЗДЕЛ 2. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРОЛЕТНОГО СТРОЕНИЯ

МОСТА

2.1. Составление динамической расчетной модели пролетного строения

2.2. Применение метода конечных элементов для определения напряженно-деформированного состояния пролетного строения

2.3. Учет произвольной ориентации элементов пролетного строения...... 2.4. Моделирование подвижных нагрузок

2.5. Определение контактных сил взаимодействия между пролетным строением и подвижным составом

2.6. Учет диссипации энергии в элементах конструкции пролетного строения. Влияние эксцентриситета рельсового пути

2.7. Разработка программного комплекса для динамического расчета балочных мостов

Выводы по разделу 2

РАЗДЕЛ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ РАБОТЫ БАЛОЧНЫХ

ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ МОСТОВ

3.1. Определение рациональных параметров модели балочного пролетного строения

3.2. Учет состояния опорных частей пролетного строения

3.3. Учет влияния сил предварительного напряжения арматуры............... 3.4. Учет сил сухого трения в опорных частях

3.5. Учет влияния эксцентриситета рельсового пути

3.6. Исследование динамической работы пролетного строения при движении грузового поезда. Определение коэффициентов учета скорости.. 3.7. Анализ динамической работы железобетонного пролетного строения длиной 11,5 м

Выводы по разделу 3

РАЗДЕЛ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ МОСТОВ

4.1. Анализ вертикальных колебаний металлического пролетного строения со сплошной стенкой

4.2. Построение пространственной расчетной модели пролетного строения со сквозными фермами

4.3. Анализ динамических усилий и напряжений в поясах главных ферм

4.4. Анализ динамических усилий и напряжений в раскосах и стойках... 4.5. Анализ динамических усилий и напряжений в балочной клетке........ 4.6. Анализ вертикальных колебаний пролетного строения длиной 66,0 м

Выводы по разделу 4

ВЫВОДЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Акты внедрения результатов

ВВЕДЕНИЕ

Общая характеристика диссертационной работы складывается из следующих положений.

Актуальность темы. Искусственные сооружения являются неотъемлемой и важной составляющей транспортной системы страны. В настоящее время в Украине отсутствуют четкие рекомендации по определению скоростных режимов движения поездов на мостах. Более 10% железнодорожных мостов Украины изза наличия дефектов являются «барьерными» объектами, что вынуждает эксплуатационные службы вводить соответствующие ограничения скорости, существенно снижая тем самым объемы грузовых и пассажирских перевозок. Особенно остро данная проблема касается средних и больших мостов.

Вместе с тем, в Украине действует целый ряд государственных программ и проектов, направленных на повышение скорости движения поездов. Согласно этим проектам, до 2015 г. планируется создание сети скоростных железнодорожных магистралей для соединения областных центров страны с крупными торговыми и промышленными центрами стран СНГ и Европы. Реализация проектов предполагает реконструкцию и строительство новых мостовых переходов с учетом высоких скоростей движения поездов, близких к мировым аналогам (до 350 км/ч).

Эффективность решения задач, связанных с организацией скоростного движения поездов, во многом определяется развитием методов динамического расчета мостов. Многочисленные исследования в области динамики мостов указывают на то, что традиционный «квазидинамический» расчет с использованием нормативных динамических коэффициентов нуждается в существенном пересмотре. Экспериментально и теоретически доказано, что динамическая работа пролетного строения во многом зависит от скорости движения нагрузки, ее жесткостных, диссипативных параметров, состояния железнодорожного пути на искусственном сооружении и подходах к нему. В связи с этим, дальнейшее совершенствование расчетных моделей «пролетное строение – нагрузка» с применением комплексных подходов, основанных, в частности, на синтезе метода конечных элементов и нелинейных уравнений динамики твердого тела, приобретает значительную актуальность.

Прикладное проектирование мостов на высокоскоростных железнодорожных магистралях связано с целым рядом специфических трудностей. Так, одной из основных проблем является отсутствие среди инженерного программного обеспечения профильной системы автоматизированного проектирования, способной выполнить комплексный динамический расчет мостовой конструкции с учетом скорости движения нагрузки и ее характерных особенностей. Создание расчетного комплекса такого класса, по мнению автора, позволит использовать компьютерное моделирование для решения не только сложных задач взаимодействия пролетных строений мостов и высокоскоростных железнодорожных экипажей, но и многих других актуальных задач динамики стержневых систем.

Связь работы с научными программами, планами, темами. Диссертация выполнялась в соответствии с госбюджетной тематикой Министерства транспорта и связи Украины, хоздоговорной тематикой Государственного предприятия «Приднепровская железная дорога», Министерства регионального развития и строительства Украины по темам: «Разработка программного вычислительного комплекса для динамического расчета пролетных строений железнодорожных мостов» (2007) № госрегистрации 0107U001824, «Разработка рекомендаций по определению скоростного режима для балластных пролетных строений с эксцентриситетом пути и сверхнормативной балластной призмой» (2007) № госрегистрации 0107U006733, «Определение динамических свойств балочных металлических пролетных строений при совместных пространственных колебаниях моста и поезда» (2008) № госрегистрации 0108U001843, «Натурные испытания мостовых сооружений, анализ и оценка их работы в связи с введением скоростного режима движения поездов» (2008) № госрегистрации 0108U010677, «Проект ДБН В.2.3-…-2009 «Мосты и трубы. Правила проектирования. Стальные конструкции» (2009) № госрегистрации 0109U009018. По указанным темам автор является исполнителем.

Цель работы – совершенствование методов анализа напряженнодеформированного состояния балочных железнодорожных мостов с учетом динамического воздействия поездов.

Основные задачи исследования:

- провести системный анализ существующих методов динамического расчета балочных пролетных строений мостов;

- разработать математическую модель взаимодействия пролетного строения моста и железнодорожного подвижного состава с учетом скорости движения нагрузки, демпфирования, неровностей пути;

- разработать программный комплекс для анализа напряженнодеформированного состояния мостовых конструкций с учетом подвижных нагрузок;

- выполнить анализ напряженно-деформированного состояния железобетонного пролетного строения моста с учетом скорости движения поезда, состояния опорных частей, сил сухого трения, предварительного напряжения арматуры, эксцентриситета рельсового пути;

- провести оценку динамических процессов взаимодействия скоростных поездов с металлическими пролетными строениями со сплошной стенкой и сквозными фермами.

Объект исследования – процесс пространственных колебаний мостовых конструкций в условиях скоростного режима движения поездов.

Предмет исследования – железобетонные и металлические пролетные строения железнодорожных мостов.

Методы исследования. Для решения задачи динамики стержневой системы используются нелинейные уравнения пространственного движения твердого тела в форме Ньютона-Эйлера, интегрируемые методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Определение параметров напряженно-деформированного состояния в элементах пролетного строения проводится с применением метода конечных элементов.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

- впервые для описания пространственных колебаний пролетного строения моста применены методы прямого интегрирования в форме нелинейных уравнений Ньютона-Эйлера в сочетании с методом конечных элементов;

- усовершенствована математическая модель пространственного движения пролетного строения моста на основе динамических уравнений Эйлера с учетом полного тензора инерции вращения, взаимного влияния вертикальных, поперечных, продольных и крутильных колебаний;

- получил дальнейшее развитие численный метод анализа напряженнодеформированного состояния пролетного строения моста с учетом скорости движения нагрузки, сил сухого трения в опорных частях конструкции, предварительного напряжения в арматуре железобетонных пролетных строений, эксцентриситета рельсового пути;

- с помощью аппарата компьютерной алгебры получены соотношения между реакциями балочного конечного элемента и пространственного силового фактора для различных сочетаний граничных условий, реализованные в специализированном программном комплексе;

- сформулированы критерии выбора рациональных параметров дискретной стержневой системы, моделирующей динамическую работу пролетного строения моста при движении поезда;

- для учета динамического воздействия подвижного состава на конструкции мостов предложено использовать уточненные модели в виде групп постоянных и гармонических контактных сил, параметры которых определены на основе натурных испытаний.

Практическое значение полученных результатов.

Разработанная математическая модель, а также программный комплекс на ее основе позволяют выполнить расчет напряженно-деформированного состояния балочного пролетного строения железнодорожного моста с учетом воздействия подвижных нагрузок. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в различных проектных организациях и конструкторских отделах, связанных с проектированием транспортных сооружений. Алгоритмы и функциональность разработанной системы автоматизированного расчета позволяют применять ее также в области проектирования объектов промышленного и гражданского строительства, работающих в условиях различных динамических нагрузок.

Результаты исследований внедрены в практику работы Управления инженерных сооружений Укрзализныци, а также мостового отдела Днепропетровского филиала государственного предприятия «Укргипродор» – «Днепрогипродор».

Обоснованность и достоверность результатов, полученных на основе численного моделирования в программном комплексе, подтверждается серией тестовых задач, решенных с помощью известных аналитических методов строительной механики, теории колебаний балочных конструкций, а также в известных программных комплексах, реализующих метод конечных элементов. Результаты динамических расчетов для конструкций, рассмотренных в диссертационной работе, согласуются с данными натурных экспериментов с удовлетворительной точностью.

Личный вклад соискателя. Все научные положения, разработки и результаты исследований, которые выносятся на защиту, получены автором. Личный вклад соискателя в работы, опубликованные в соавторстве: [113, 114] – составление расчетной схемы «пролетное строение – нагрузка», преобразование уравнений движения узлов конструкции; [107, 111, 112] – разработка дискретных моделей пролетного строения железнодорожного моста; [115, 116, 121, 178] – реализация модулей программного комплекса для моделирования, расчета, визуализации; преобразование разрешающих уравнений метода конечных элементов, оптимизация алгоритмов комплекса для работы с матрицами жесткости, податливости; [108, 110, 118, 119] – проведение расчета вынужденных колебаний пролетных строений мостов при движении поезда; [4, 106, 109] – частотный анализ балочных мостов. Работы [5, 6] подготовлены без соавторов.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты исследований, изложенные в диссертации, докладывались на Международных научнопрактических конференциях «Мосты и тоннели: теория, исследования, практика» (Днепропетровск, 2007, 2010), 67, 70 Международных научно-практических конференциях «Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» (Днепропетровск, 2007, 2010), Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды и прочности конструкций» (Днепропетровск, 2007), Международной конференции «Современные проблемы проектирования, строительства и эксплуатации сооружений на путях сообщения» (Киев, 2007), 12 Международной конференции «Проблемы механики железнодорожного транспорта» (Днепропетровск, 2008), 8 Международном симпозиуме «Механика и физика разрушения строительных материалов и конструкций» (Ивано-Франковск, 2009), 8 научно-практическом семинаре «Диагностика, долговечность и реконструкция мостов и строительных конструкций» (Днепропетровск, 2009).

В полном объеме диссертационная работа докладывалась в декабре 2010 г. на межкафедральном научном семинаре по строительным конструкциям Днепропетровского национального университета железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна (руководитель проф. В. Д. Петренко), а также в январе 2011 г. на расширенном заседании кафедры металлических, деревянных и пластмассовых конструкций Приднепровской государственной академии строительства и архитектуры (председатель проф. Е. А. Егоров).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 18 научных трудах, в том числе 11 публикаций в специализированных научных изданиях, включенных в утвержденный список ВАК Украины, 6 – в материалах и тезисах докладов научных конференций, 1 – в специализированном научном издании другого государства; 2 работы издано без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, выводов, списка использованных источников из 180 наименований и приложения, содержит 111 страниц основного текста, 51 рисунок, 14 таблиц. Полный объем диссертации составляет 142 страницы.

СОВРЕМЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

ДИНАМИКИ БАЛОЧНЫХ МОСТОВ

1.1. Пролетные строения мостов как класс строительных конструкций В практике отечественного и зарубежного промышленного, гражданского и транспортного строительства широкое распространение получили конструкции с несущими элементами в виде пространственных стержневых систем. К ним относят системы одиночных, перекрестных, решетчатых балок, плоские и пространственные фермы, блочно-балочные конструкции покрытий, структурные висячие покрытия овального и многоугольного контуров, в том числе со шпренгелями, предварительно напряженные конструкции с затяжками, решетчатые оболочки, рамные каркасы, пролетные строения мостов балочных, решетчатых, рамных, арочных, комбинированных систем и др. [17, 20, 83, 97, 143, 148, 149, 152, 165, 167, 174, 175]. Стержневые элементы в таких системах воспринимают постоянную и временную нагрузку и работают, в общем случае, в условиях сложного напряженно-деформированного состояния, в зависимости от геометрических, жесткостных, динамических, диссипативных параметров сооружения и внешней нагрузки [126].

Промышленные здания с несущими конструкциями в виде стального каркаса представляют собой системы стержневых элементов, объединенных в плоские или пространственные рамы, при этом жесткость сооружения достигается устройством поперечных, продольных или наклонных диагональных связей.

Стержневые элементы каркаса непосредственно воспринимают усилия от постоянной и временной нагрузок, а также выполняют функции распределения усилий в стальных складчатых конструкциях при использовании профилированных настилов [6].

Конструкции производственных сельскохозяйственных зданий также во многом выполнены из стержневых элементов и могут быть бескаркасными, со смешанным или цельнометаллическим каркасами [90]. В бескаркасных зданиях несущими конструкциями являются металлические балки, фермы-прогоны, стропильные фермы, арки с затяжкой треугольного очертания. Здания со смешанным каркасом могут содержать, помимо указанных выше элементов, металлические фермы с параллельными поясами. Цельнометаллический каркас зданий предполагает решение в виде плоских рам со сплошным или сквозным ригелем и пространственных систем типа структур и складок [17, 20, 28].

Классическим примером стержневых систем являются конструкции со сквозными фермами, в которых решетка прямолинейных стержней образует геометрически неизменяемую систему с узловой передачей нагрузки. Такие системы отражены в конструкциях пролетных строений мостов, стропильных и подстропильных ферм, ферм подъемных кранов, опор линий электропередач и других объектов инженерной деятельности. По конструктивным признакам фермы разделяют на балочные (разрезные, неразрезные, консольные), распорные арочные, одностенчатые легкие, двустенчатые тяжелые фермы и др., которые в зависимости от ориентации и схемы соединения стержней могут быть плоскими или пространственными. Одностенчатые легкие фермы применяются, как правило, при устройстве кровельных покрытий в качестве стропильных ферм, а тяжелые фермы с двухстенчатыми сечениями элементов устраивают в конструкциях пролетных строений мостов, в помещениях авиасборочных цехов, судостроительных эллингов и т. п. Наиболее распространенными по типу решетки являются фермы с параллельными или полигональными поясами, односкатные, трапецеидальные, треугольного очертания [91, 167].

Наряду с фермами традиционной конструкции применяются облегченные фермы из открытого профиля (тавров, двутавров, одиночных уголков), у которых число фасонок сведено к минимуму или полностью отсутствует, а крепление элементов ферм осуществлено непосредственно сваркой или с помощью болтов [20]. Применение круглых или прямоугольных труб в решетках стропильных ферм обусловлено высокими жесткостными характеристиками и конструктивной коррозионной устойчивостью, что позволяет применять их для создания тонкостенных решетчатых систем. При строительстве сельскохозяйственных производственных зданий иногда применяют особо легкие стальные конструкции, расход металла на которые находится на уровне расхода арматуры железобетонных конструкций [90].

Вопросам проектирования, расчета и оптимизации предварительнонапряженных металлических конструкций посвящено достаточно много работ, например [17, 20, 83, 94]. Для создания предварительного напряжения в проектируемой конструкции, в общем случае, статически неопределимой, применяют высокопрочные элементы или устраивают смещения опор, что позволяет достичь более экономичного результата. В работе [83] рассмотрены вопросы оптимизации разрезных и неразрезных предварительно напряженных балок и ферм, причем в случае ферм, предварительному напряжению могут быть подвергнуты как отдельные растянутые стержни (при небольших пролетах), так и вся ферма в целом. В работе [94] предварительно-напряженные фермы классифицированы по группам: фермы из жестких стержней, воспринимающих как растяжение, так и сжатие; фермы из жестких стержней с гибкими напрягающими элементами (затяжками, шпренгелями, вантами); фермы из гибких высокопрочных элементов (вантовые системы).

Отличительной особенностью пространственных стержневых систем является способ восприятия и распределения внешней нагрузки. Большое количество связей в таких системах позволяет включить в совместную работу не только ближайшие к точке приложения нагрузки элементы, но и отдаленные, обеспечивая тем самым большую пространственную жесткость системы и снижение расхода материала [20]. При рассмотрении пространственных систем больших пролетов отдельного внимания заслуживают так называемые структурные конструкции, возводимые при строительстве разнообразных сооружений культурномассовой сферы, сферы развлечений, торговли, транспорта, производства [86, 149, 150, 152, 174]. Это всевозможные перекрестно-стержневые системы, образуемые пересечением плоских ферм в нескольких направлениях, называемых стержневыми «плитами» [149], сетчатые стержневые оболочки и производные от них по форме сетчатые своды, складки, цилиндрические оболочки, купола, пологие оболочки, гипары. В конструкциях висячих покрытий в качестве основных несущих элементов используются гибкие стальные нити или тонколистовые металлические мембраны, что позволяет эффективно использовать площадь сечения и снижается расход стали. Автор [149] предлагает классифицировать висячие покрытия на висячие оболочки, вантовые покрытия, висячие балки и фермы, мембраны, комбинированные системы, подвесные конструкции. Однако, почти все они в своей основе имеют растянутые стержневые элементы, которые служат для передачи нагрузки с покрытия. По способу конструктивного решения в этой же работе к отдельным группам отнесены покрытия с параллельными и радиальными вантами. Подчеркивается, что сложность и трудоемкость статического расчета таких систем в первую очередь связана с нелинейной зависимостью усилий в вантах от расчетной нагрузки; для динамического анализа висячих покрытий исчерпывающей методики пока не разработано.

Основные концепции расчета и проектирования современных стержневых металлоконструкций рассмотрены W. B. Bing [165]. Особое внимание автор уделяет вантово-балочным и висячим системам, которые находят отражение в конструкциях висячих покрытий, а также вопросам поиска рациональных геометрически неизменяемых систем. Группа иностранных ученых, возглавляемая D. Lam, в работе [174] отмечает достоинства методики предельных состояний при расчете всех типов стержневых металлических конструкций, а авторы [179] указывают на необходимость учета ряда специфических свойств при расчете стержневых конструкций с портальными рамами.

Пролетные строения мостов практически всех систем содержат в своей основе стержневые элементы. Это балочные пролетные строения со сплошной стенкой, решетчатыми фермами, арочные, комбинированные, рамные, пролетные строения вантовых и висячих мостов и др. Вопросам проектирования и расчета металлических, железобетонных, сталежелезобетонных пролетных строений посвящены труды Н. Г. Бондаря, Г. Н. Яковлева, Е. Е. Гибшмана, А. А. Петропавловского, И. И. Казея, Н. Н. Богданова, Б. Ф. Лесохина, Г. К. Евграфова, С. А. Ильясевича, Н. Н. Стрелецкого, Е. О. Патона, К. Г. Протасова, П. М. Саламахина, М. М. Корнеева, Г. Б. Фукса, А. И. Лантуха-Лященко и многих других ученых [24, 51, 62, 70, 80, 96, 97, 103, 104, 134, 138, 143, 164]. Среди работ иностранных авторов следует выделить труды C. O’Connel, W.-F. Chen, S. Chatterjee и др. [167, 168, 176].

Теория статического расчета мостов, как отдельных стержневых элементов, так и состоящих из них сложных пространственных конструкций, к настоящему времени разработана достаточно хорошо [9, 29, 41, 105, 126, 127, 135, 136, 153, 161]. Детально проработаны и изложены различные методы определения напряженно-деформированного состояния системы (методы сил, перемещений, смешанный, метод конечных (МКЭ) и граничных (МГЭ) элементов) [8, 18, 27, 37, 63, 127, 172]. Рассмотрены вопросы работы системы в упругой и пластической стадиях, разработаны нормативные документы и практические рекомендации по прочностному анализу конструкций мостов с учетом различных факторов [52, 55, 61, 85].

Однако, несмотря на обширный круг публикаций в области динамики стержневых систем, например [31, 39, 66, 68, 73, 137, 139, 141, 154 и др.], для отдельных типов конструкций вопросы динамической работы продолжают оставаться актуальными. Как подчеркивают многие ученые, комплексный анализ сложной системы возможен только с привлечением различных научных методов и подходов, как аналитических, так и численных [166]. Поэтому все чаще встречаются исследования, в которых при расчете колебаний успешно совмещаются методы механики твердого деформируемого и абсолютно твердого тела [2, 23, 74, 75], элементы системного анализа, математической логики, теорий групп, графов, автоматов и др. [113, 117].

Пролетные строения мостов работают в условиях постоянного динамического нагружения. Для этого класса конструкций еще не полностью исследован характер вынужденных пространственных колебаний, вызванных воздействием железнодорожных экипажей, особенно на скоростных и высокоскоростных магистралях. Для оценки влияния неоднородности состава, ускоренного и скоростного режимов его движения, эксцентриситета пути и других факторов требуется проведение дополнительных теоретических и экспериментальных исследований.

Несмотря на значительные успехи науки в области компьютерного моделирования, продолжает оставаться проблемной задача построения уточненной пространственной модели взаимодействия системы «мост–поезд», возможности которой позволили бы комплексно оценить надежность искусственного сооружения и безопасность движения по нему транспортных средств.

Детальный обзор актуальных проблем современной динамики сооружений выполнен М. И. Казакевичем и В. В. Кулябко [59]. Авторы отмечают важность развития нетрадиционных подходов к моделированию динамических процессов в сложных составных моделях, в том числе моделях мостов, взаимодействующих с подвижным составом при высоких скоростях движения. Особое внимание уделено рассмотрению динамических систем, подсистемы которых имеют различные физико-механические, инерционные, диссипативные свойства. Авторы подчеркивают, что для дальнейшего качественного исследования нелинейных колебаний механических систем необходимо совершенствовать существующие математические и компьютерные модели.

Многолетние исследования ученых советской школы мостостроения, в частности, кафедры мостов и отраслевой научно-исследовательской лаборатории динамики мостов ДИИТа, МИИТа, ЛИИЖТа, ВНИИЖТа отражен в работах [25, 26, 45, 60, 65, 97]. Начиная с середины прошлого века, Н. Г. Бондарем и его коллегами проводится большой комплекс работ по теоретическому и экспериментальному исследованию статической и динамической работы пролетных строений мостов практически всех систем, результаты которых нашли применение в нормах проектирования мостов [42, 144]. Н. Г. Бондарь, В. П. Тарасенко, З. Г. Ройтбурд, К. И. Солдатов, Г. Н. Эйхе и др. в своих научных трудах неоднократно подчеркивают, что моделирование процессов взаимодействия подвижного состава с пролетными строениями невозможно без применения вычислительной техники. Далее изложены некоторые результаты исследований в области динамики балочных мостов и основные перспективы этого научного направления.

1.2. Проблемы и перспективы исследований в области динамики балочных мостов Основой для развития динамики мостов послужили научные исследования, связанные с моделированием процессов взаимодействия подвижной нагрузки и упругой стержневой системы. Обобщая результаты этих исследований, условно можно выделить четыре группы динамических моделей. В моделях первой группы стержневая система и нагрузка принимаются безынерционными, т. е.

учитываются только упругие свойства основания. В моделях второй группы стержневая система не обладает инерцией, но инерционные свойства имеет объект, моделирующий внешнее воздействие (в простом случае – масса движется по балке). Модели третьей группы описывают динамическую работу стержневой системы, обладающей инерцией, при взаимодействии с группой силовых факторов. В моделях четвертой группы все взаимодействующие элементы обладают инерцией. В общем случае, вопрос выбора той или иной динамической модели зависит от соотношения масс ее элементов, а также целей исследования. Динамические модели взаимодействия железнодорожного подвижного состава с балочными пролетными строениями, принятые в данной работе, соответствуют моделям третьей группы.

Первые попытки уточнить расчетную модель пролетного строения моста с учетом подвижной нагрузки были предприняты в середине XIX века. В 1863 г. в проекте железнодорожного моста через р. Рейн (г. Майнц) статические прогибы пролетного строения были умножены на коэффициент (1 + ), который впоследствии получил название динамического. Величина динамической добавки носила условный характер, но в 1887 г. английский ученый Фидлер впервые предложил учитывать ее зависимость от длины пролета и с незначительными уточнениями эта методика используется и в современном проектировании мостов.

Зависимость динамического коэффициента от скорости нагрузки отмечена в [131], однако подчеркивается, что этот эффект наиболее заметен при моделировании нагрузки в виде одной сосредоточенной силы и снижается с увеличением количества нагрузок.

Задачей динамического воздействия подвижной нагрузки на балочные системы занимались Ф. Виллис, Д. Стокс, позднее – А. Н. Крылов, С. П. Тимошенко и др. Существенно новые результаты в этой области представили В. В. Болотин, Н. Г. Бондарь, И. И. Казей, Ю. Г. Козьмин, С. И. Конашенко, С. С. Кохманюк, А. П. Филиппов, Л. Фрыба, А. Б. Моргаевский, Я. Г. Пановко, Н. К. Снитко, Е. С. Сорокин. Значительные успехи динамики мостов в 60–80-е гг. прошлого столетия в СССР послужили научной основой для проектирования и возведения ряда уникальных искусственных сооружений. Проводя общий анализ современной научной литературы по динамике мостов в СНГ (в основном, Украине и России), можно отметить преобладание традиционных подходов к моделированию колебаний. В большинстве случаев основным видом анализа является гармонический, а система «мост–поезд» реализуется в виде плоской расчетной схемы [88, 99, 100, 109, 146, 162]. Ситуация практически не изменилась с появлением современных персональных компьютеров, так как программное обеспечение для расчета и проектирования мостов не содержит принципиально новых методов расчета.

В монографиях [25, 26] основными факторами динамического воздействия подвижной нагрузки на конструкции мостов считаются эффект скорости, неуравновешенность локомотивов, удары колес в стыках рельсов и других неровностях пути на мостах, колебания надрессорного строения подвижного состава, горизонтальные виляния. Показано, что проявление эффекта скорости возможно только при движении поезда по криволинейной в вертикальной плоскости траектории, что практически не имеет места на пролетных строениях железнодорожных мостов. Конструкции современных локомотивов принципиально отличаются от своих предшественников почти полным отсутствием неуравновешенных элементов, поэтому этот фактор также сегодня неактуален. Таким образом, основными факторами следует считать совместные пространственные колебания системы «мост–поезд», неровности и эксцентриситеты рельсового пути, скоростные режимы движения подвижного состава.

В европейских нормах проектирования мостов выделены следующие важнейшие факторы [169]. Это скорость движения нагрузки по мосту, длина пролета, масса сооружения, частоты собственных колебаний конструкции, число осей в нагрузках и расстояния между ними, демпфирование конструкции, вертикальные неровности пути, подрессоренные и неподрессоренные элементы конструкции подвижного состава и их несовершенства, изменение жесткости сооружения по длине (например, «балочный эффект»), динамические свойства рельсового пути. Основными критериями для проведения динамического анализа сооружения в [169] является максимально допустимая скорость движения экипажей на участке и тип пролетного строения моста. Отмечено, что для неразрезных пролетных строений при скорости движения поезда v 200 км/ч проводить динамический расчет необязательно. При скорости движения поезда v > 200 км/ч для мостов всех систем, кроме простых балочных, рекомендуется применять гармонический анализ по собственным формам изгибных и иногда крутильных колебаний. В остальных случаях рекомендуется использовать эмпирические данные, в том числе динамические коэффициенты.

Вопросам динамического расчета металлических пролетных строений со сквозными фермами посвящены работы [21, 67]. В [67] показано, что при скорости движения грузовых поездов от 60 до 100 км/ч напряжения в раскосах пролетных строений возрастают в 1,5–2,5 раза. Основной причиной такого увеличения напряжений автор считает динамические силы, проявляющиеся при взаимодействии неподрессоренных частей железнодорожных экипажей и конструкции мостового полотна. При этом расчетная модель системы «мост–поезд» представляет собой дискретную плоскую стержневую систему с упруго-вязкими связями.

Следуя результатам [38], влияние кривизны пролетного строения в плане следует учитывать при радиусе R 1000 м. Влиянию различных неровностей пути на динамику системы «нагрузка–сооружение» посвящены также работы [46, 120]. Как показали результаты экспериментальных исследований, горизонтальные смещения оси рельсового пути относительно оси пролетного строения характерны не только для железобетонных балластных пролетных строений, но и металлических безбалластных, при этом значения эксцентриситета на пролетных строениях со сквозными фермами могут достигать 25 мм [120, 129].

Предлагаемая в работе [170] Л. Фрыбой уточненная модель вагона, движущегося по пролетному строению моста, представляет собой механическую систему с конечным числом степеней свободы, жесткие элементы которой соединены между собой посредством упругих элементов, а процесс движения описывается с помощью уравнения Бернулли–Эйлера при заданных начальных условиях.

В работе [171] рассмотрены вопросы колебаний плоских и пространственных балочных систем под движущейся нагрузкой с учетом различных аспектов взаимодействия: изменчивость скорости движения нагрузки и достижение ею высоких скоростей, влияние усилий сдвига и инерции вращения, нелинейность свойств материала конструкции, стохастичность нагружения и др.

Среди фундаментальных работ иностранных авторов последних лет, посвященных вопросам динамики мостов, следует выделить монографию Y. B. Yang [180], в которой подведены итоги развития динамики мостов как отдельной области науки и детально рассмотрены существующие подходы к моделированию свободных и вынужденных колебаний пролетных строений железнодорожных мостов, в том числе расположенных на высокоскоростных линиях. Выделены характерные динамические свойства элементов конструкций и подвижного состава, приведены экспериментальные данные, подтверждающие теоретические исследования. В частности, авторы [180] рассматривают влияние на динамику системы «мост–поезд» таких факторов, как различные модели трения, неровности пути, демпфирующие свойства балласта, переходные режимы движения нагрузки и др. В большинстве представленных численных экспериментов используется анализ системы во временной области.

Систематизация временных подвижных нагрузок на мосты с учетом нормативов различных стран проведена C. O’Connel в работе [176]. Рассмотрены подходы к моделированию эквивалентных нагрузок на автодорожные, железнодорожные и пешеходные мосты Англии, Америки, Канады, Австралии, проведено сравнение национальных стандартов (кодов) некоторых европейских стран с общими положениями Еврокодов, кодами Австралии, Америки, Южной Африки. Подробно изучены такие факторы влияния на совместную динамику системы «нагрузка–мост», как ударные силы, неровности и дефекты мостового полотна, аэродинамические эффекты, влияние температуры, колебания земной коры и др.

В [130] выполнен систематизированный подбор публикаций зарубежных ученых, касающихся вопросов проектирования и расчета металлических пролетных строений мостов, основанных на положениях британских норм проектирования BS 5400, которые впоследствии использовались для подготовки Еврокодов. В частности, Дж. Б. Двайт и М. А. Кларк обращают внимание на необходимость учета жестких узлов в расчетах ферм на устойчивость. На эту же особенность указывает и Г. Шульц, приводя результаты экспериментальных исследований. Как отмечает М. Х. Огле, для пролетных строений мостов с поперечными балками последняя балка наиболее подвержена динамическому воздействию, а наличие деформационных швов на автодорожных мостах усиливает это воздействие, что подтверждается натурными экспериментами.

Один из примеров использования метода конечных элементов в динамических расчетах на подвижную нагрузку показан в [87]. Континуальная балка, для которой исследуются изгибные и продольные колебания, заменяется дискретной стержневой системой. Интегрирование уравнений движения узловых масс проводится с помощью метода Ньюмарка. Показана эффективность предложенного метода для динамического расчета многоступенчатых балок, дана оценка влияния скорости движения груза на величину максимального прогиба в центральной части балки. Обращается внимание на существенное различие между статическими и динамическими прогибами балки (в 1,5–1,8 раза).

В [132] рассмотрено применение уравнений Пуанкаре и Четаева для решения задач динамики голономных и неголономных механических систем, в частности, указывается на связь данной формы уравнений классической механики с уравнениями Больцмана–Гамеля в квазикоординатах. Эффективность использования этих и других кинематических параметров в уравнениях относительного движения (Эйлера–Лагранжа) для описания широкого класса динамических задач отметил также Ю. М. Андреев [2, 3].

Отдельной задачей при моделировании динамических процессов является описание ориентации движущихся объектов в пространстве [159]. Статика сооружений, как правило, оперирует малыми величинами линейных перемещений и углов поворота элементов конструкций, что во многих случаях позволяет ограничиться применением простых тригонометрических функций. Однако, в динамических расчетах даже на компьютерах с современной вычислительной архитектурой могут потребоваться десятки и сотни тысяч промежуточных действий, что может снизить скорость расчета до неприемлемого порога. Поэтому, с целью сокращения значительного объема вычислений, а также более полного описания геометрии пространственного движения, например, транспортного средства по мосту, в [160] в качестве основных параметров ориентации предлагается использовать кватернионы.

Детальное моделирование процессов взаимодействия пролетного строения автодорожного моста и автомобильной нагрузки проводилось известным ученым А. Г. Барченковым [12, 13]. Аналитическая форма записи дифференциальных уравнений свободных и вынужденных колебаний пролетного строения в этих исследованиях сопровождается матричным представлением и алгоритмическими схемами с последующей их реализацией на ЭВМ в виде расчетной программы. Автор [163] проводит пространственный расчет пролетного строения малого автодорожного моста на основе вариационных принципов в частных производных.

Обстоятельно задача динамического взаимодействия подвижной нагрузки и пролетного строения моста рассмотрена в [50], где подвижной состав заменен системой масс, соединенных упруго-вязкими связями, а параметры колебательного процесса определяются с привлечением метода конечных элементов и интегральных уравнений. В работе [45] для определения силовых факторов в сечениях балочных пролетных строений автодорожных мостов автором предложено использовать метод конечных разностей.

Уточненная динамическая модель взаимодействия балочного пролетного строения и подвижной нагрузки представлена в работе [173]. Элемент, моделирующий транспортное средство, обладает массой и оказывает на балку упруговязкое воздействие. Как отмечает Г. М. Кадисов [56], ширина области параметрического резонанса существенно зависит от соотношения пролета к шагу системы движущихся грузов, что также подтверждается в [26].

Применению нелинейных математических моделей для расчета автодорожных висячих мостов с использованием модифицированного метода Ньютона посвящена работа [47], в которой особое внимание уделено критериям эффективности и устойчивости численных методов расчета. Показана высокая эффективность неявных методов пошагового интегрирования Ньюмарка и Хауболта. В работе [19] для анализа динамической работы сталежелезобетонных пролетных строений автодорожных мостов применены методы разложения по собственным формам и пространственно-временной дискретизации.

Важность рассмотрения совместных колебаний пролетного строения моста и подвижной нагрузки отмечена в [95]. В [72] показано, что для типовых балочных автодорожных мостов длиной до 50 м динамические прогибы пролетного строения превышают прогибы, вычисленные с учетом совместной работы системы «мост–автомобиль», не более чем на 3%. Г. П. Арясов указывает на влияние кручения балок на параметры изгибных колебаний [7]. О связи между компонентами деформаций и их взаимном влиянии также изложено в [69].

Вопросами, смежными с динамикой мостов и теорией колебаний, занимались М. И. Казакевич, В. В. Кулябко (аэродинамика, виброэкология) [57, 58]; исследованиями колебаний железнодорожного подвижного состава и его взаимодействием с рельсовым путем – В. А. Лазарян, В. Ф. Ушкалов, Е. П. Блохин, У. Дж. Харрис и др. [79, 151, 155]. Некоторые результаты экспериментальных исследований динамической работы мостовых конструкций опубликованы в работах [64, 123].

1.3. Роль искусственных сооружений в сети скоростных железных дорог Украины На железных дорогах Украины эксплуатируется около 20 тыс. искусственных сооружений общей протяженностью более 600 км, основная часть из которых сосредоточена на Львовской, Юго-Западной и Одесской железных дорогах.

Однако, более чем на 1000 железнодорожных мостов в Украине обнаружены различные дефекты. Количество пролетных строений, эксплуатируемых от 50 до 100 лет, на 2010 г. превысило 5000 шт. Ежегодно Укрзализныця выдает до предупреждений об ограничениях скорости движения поездов по тем или иным искусственным сооружениям, вынужденно снижая экономические показатели грузоперевозок.

Максимально разрешенная скорость движения пассажирских поездов на железных дорогах Украины – 120 км/ч, на отдельных участках – 140 км/ч. Согласно общепринятой в мировой практике классификации пассажирских перевозок по критерию скорости, перевозки по обычным дорогам осуществляют на скорости до 160 км/ч, скоростному движению соответствует диапазон 160–250 км/ч, высокоскоростному – свыше 250 км/ч [71]. В Украине, как правило, соответствующие показатели снижены на 50 км/ч. Следуя «Концепции Государственной целевой программы внедрения на железных дорогах скоростного движения пассажирских поездов на 2005–2015 гг.», в скором времени предполагается создание сети скоростных железнодорожных магистралей для соединения столицы Украины с крупными областными и промышленными центрами Украины и странами Западной Европы и СНГ [71, 128]. Реализация данной программы напрямую связана с улучшением и развитием существующей инфраструктуры, в том числе реконструкцией искусственных сооружений и строительством новых железнодорожных мостов с учетом новых скоростей движения экипажей, близких к мировым аналогам (до 350 км/ч). В процессе реализации программы предполагается обновление парка пассажирского подвижного состава (например, электровозами типа ДС) и существенная модернизация железнодорожного пути.

В частности, на участках со скоростью движения пассажирских поездов до 140 км/ч считается допустимым также пропуск грузовых экипажей, однако участки железной дороги со скоростью движения свыше 160 км/ч должны освобождаться от грузового подвижного состава с целью снижения нагрузки на путь и обеспечения более длительного срока его эксплуатации. В некоторых случаях это потребует строительства дополнительных специализированных главных путей, выпрямления старого пути, увеличения радиусов кривых, ремонта земляного полотна, мостов, путепроводов, восстановления водопропускных сооружений, устройства путей эстакадного типа на новой оси и др.

Подобные изменения в системе транспортного строительства страны невозможны без пересмотра традиционных подходов к проектированию мостов. Эта задача является комплексной, и ее решение зависит от многих факторов, например, совершенствования отечественных норм проектирования с учетом новейших критериев и требований, регламентированных в Еврокодах [169]. Важнейшим аспектом является использование в процессе разработки проектов современных систем автоматизированного проектирования, а также тесная интеграция инженерных решений с научными методами расчета мостовых конструкций.

На основе анализа различных научных работ, результатов теоретических и экспериментальных исследований в области динамики мостов можно сделать вывод, что добиться дальнейшего качественного улучшения моделей взаимодействующей системы «мост–поезд» возможно, в первую очередь, уточняя параметры нагрузки. Так, влияние на пространственную динамику подвижного состава некоторых особенностей его конструкции, нелинейных фрикционных демпфирующих устройств, неровностей рельсового пути, характерных дефектов неоднократно рассматривалось в трудах отечественных ученых В. А. Лазаряна, С. И. Конашенко, В. Ф. Ушкалова, Е. П. Блохина, В. В. Кулябко и др. [77, 79, 151]. Некоторые важные результаты этих исследований, например, амплитудночастотные характеристики колебаний подвижного состава при различных режимах и скоростях его движения, в данной работе интегрированы в расчетную динамическую модель «пролетное строение – силовая нагрузка».

1.4. Системы автоматизированного проектирования строительных конструкций Внедрение компьютерных технологий в сферу научной, инженерной и производственной деятельности человека стало революционным решением ряда проблем, связанных с автоматизацией вычислительных процессов. На современном рынке программного обеспечения позиционируется множество различных программ, от сравнительно небольших до сложных и дорогостоящих программных комплексов, удовлетворяющих практически любым потребностям конечного пользователя. С уверенностью можно утверждать, что возможности программного обеспечения сегодня в полной мере соответствуют мощностям компьютерной техники, открывая новые перспективы для моделирования, расчета и анализа различных физических процессов и явлений.

В области расчета строительных конструкций применяется специализированное программное обеспечение – системы автоматизированного проектирования (САПР) [49, 82], для которых существует разделение на три основных типа:

CAD (computer-aided design), CAM (computer-aided manufacturing) и CAE (computer-aided engineering). Программы, реализующие CAD-технологию, служат для подготовки проектной документации (как правило, чертежей) в замкнутом цикле, от создания в графической среде до вывода на печать. Технология CAM предназначена для автоматизированного управления производственными процессами на предприятиях. Технология CAE реализуется в пакетах для автоматизированного конструирования и расчета различных инженерных объектов.

Отметим, что в отечественной терминологии все три системы объединены общим понятием «САПР».

На практике часто возникает необходимость в совмещении указанных технологий. Так, инженер-проектировщик, связанный с проектированием мостовых конструкций, зачастую нуждается в наличии не только системы автоматизированной разработки чертежей (CAD), но и системы, с помощью которой для элементов этой конструкции может быть установлено напряженно-деформированное состояние (CAE). Таким образом, становится обоснованным появление гибридных систем автоматизированного проектирования, имеющих в наличии не только развитые средства визуализации, но и высокий расчетный потенциал (Ansys, Nastran, Adams, UM).

Тем не менее, многие задачи, с которыми в повседневной работе сталкивается инженер, имеют узкую специализацию и не требуют для своего решения привлечения универсальных расчетных комплексов. В этих случаях инженер вполне может воспользоваться либо небольшими профильными пакетами программ, либо прибегнуть к математическому моделированию в доступном математическом пакете или среде программирования.

Функционально профильные САПР значительно проще универсальных расчетных комплексов, однако они более гибко учитывают особенности моделирования, в которых может нуждаться пользователь. Так, расчетные САПР после определения параметров напряженно-деформированного состояния могут предлагать пользователю некоторые готовые (библиотечные) решения, имея в наличии разнообразные сортаментные данные, рекомендации по монтажу и т. п. При этом пользователю нет необходимости проходить длительную подготовку на специализированных курсах или изучать языки программирования, так как интерфейс профильных программ, как правило, максимально адаптирован для применения в конкретной технической области и оперирует характерными для этой области терминами и понятиями [145]. Примерами могут служить расчетные пакеты как отечественной разработки (SCAD, Лира, Мономах, Сапфир), так и зарубежных авторов (Abacus, Robot, Catia и др.).

Стоит отметить тот факт, что, несмотря на широкое распространение САПР за рубежом, в отечественной инженерной практике подобные технологии применяются достаточно редко, подчас для решения тривиально простых задач. Появление новых строительных материалов, машин и механизмов, методов монтажа конструкций открывает перспективы возведения принципиально новых уникальных сооружений, проекты которых должны быть составлены с использованием современных систем автоматизированного проектирования. Не является исключением и сфера эксплуатации строительных объектов, многие из которых нуждаются в проведении комплексного моделирования и численного эксперимента.

Однако, сравнительный анализ профильных САПР показывает, что метод конечных элементов, реализованный в их абсолютном большинстве, по сути представляет собой решатель (Solver) статических задач, а его интерпретация для решения задач динамики является гармоническим анализом конструкции.

Это обстоятельство существенно сужает область применимости САПР в динамических расчетах сооружений, в частности, динамике мостов, когда расчет взаимодействующей системы «мост–нагрузка» должен проводиться во временной области с учетом скорости движения нагрузки и различных нелинейностей.

С уверенностью можно сказать, что профильные системы автоматизированного проектирования такого класса сегодня малодоступны, поэтому их создание является актуальной и востребованной задачей.

В работах [40, 49, 122] подробно рассматриваются основополагающие подходы к созданию систем автоматизированного проектирования CAE с использованием геометрического моделирования и численных методов расчета. Оригинальный подход к реализации САПР для определения напряженнодеформированного состояния транспортного сооружения изложен авторами в работе [40], где в основу расчета положен метод конечных элементов. Базовые предпосылки к созданию САПР для расчета транспортных сооружений опубликованы в [124], применительно к мостам – в [140].

Неотъемлемой частью современной САПР является модуль геометрического моделирования, осуществляющий визуализацию геометрии проектируемого объекта. В работе [177] подробно рассмотрены важные аспекты и принципы построения модулей геометрического моделирования на основе параметрических кривых, поверхностей, тел, статических и динамических моделей. М. С. Барабаш неоднократно подчеркивает важность наличия в расчетной программе специализированного интерфейса или проблемно-ориентированного языка [11], а также его тесной интеграции с другими комплексами через информационнологические модели [10].

Роль компьютерного моделирования в расчетах строительных конструкций определяется сегодня не только сложными конструктивными формами их элементов, но также и количеством нагрузок. Даже для простой расчетной схемы (например, однопролетной балки) с внешними силами в количестве, равном числу вагонов в реальном подвижном составе, ручной счет существенно затрудняется. Кроме того, в последнее время в области компьютерных технологий установилась тенденция к использованию многоядерных процессоров, позволяющих проводить отдельные блоки расчетов одновременно в виде системы параллельных вычислений.

Архитектура современной компьютерной техники позволяет совершенствовать численные методы решения задач динамики сооружений. В [36] сказано, что численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих колебания балки, малоэффективно при малых скоростях движения нагрузки. Такое обстоятельство имело место, когда вычислительный потенциал компьютеров был невелик по сравнению с современной техникой, и компьютерное моделирование динамических процессов требовало рационального распределения ресурсов оперативной памяти и процессора. Сегодня ситуация кардинально изменилась и область варьирования параметров численного расчета, в частности, шага интегрирования дифференциальных уравнений, существенно расширена.

Выводы по разделу 1. Многие современные инженерные сооружения, различные по назначению, конструктивным решениям, условиям эксплуатации состоят из элементов в виде стержневых и балочных конструкций. В области транспортного строительства стержневые системы нашли применение, в первую очередь, в составе балочных пролетных строений мостов.

2. Результаты обработки многочисленных экспериментальных и теоретических данных, выполненные учеными на территории нашей страны и за рубежом, представленные, в том числе, в Еврокоде [169], указывают на необходимость учета в расчетных динамических моделях таких основных факторов, как неровности пути, дефекты и несовершенства конструкций моста и подвижного состава, скорость движения нагрузки, динамические и диссипативные свойства мостового полотна.

3. На железных дорогах Украины наблюдается объективная тенденция к старению и накоплению дефектов в эксплуатируемых пролетных строениях мостов.

При этом, реализация ряда государственных программ, направленных на увеличение пропускной способности железных дорог и введение скоростного движения поездов, напрямую связана с расширением, реконструкцией и модернизацией объектов транспортной инфраструктуры, в частности, мостов. Эти и другие обстоятельства приводят к необходимости дальнейшего развития методов статического и динамического анализа мостовых конструкций, совершенствования расчетных моделей, в том числе нелинейных, применения комплексного компьютерного моделирования процессов взаимодействия системы «мост–поезд» с учетом скорости движения нагрузки.

4. Большая часть материалов по динамике сооружений, подвергнутых анализу, содержит плоские или упрощенные расчетные схемы. Часто авторы не учитывают продольную динамику сооружения, инерцию вращения, силы сухого трения в опорных частях, предварительное напряжение арматуры в железобетонных пролетных строениях. Существенным упрощением в расчетах напряженно-деформированного состояния мостовых конструкций является также использование динамических коэффициентов.

5. Современные программные комплексы, применяемые в области проектирования мостовых конструкций, основаны, как правило, на методе конечных элементов; для решения задач динамики они реализуют методы разложения по собственным формам. Следует отметить, что такой подход не является достаточным для комплексной оценки динамической работы пролетного строения моста под движущейся нагрузкой, поэтому разработка новых алгоритмов расчета, в том числе с применением методов прямого интегрирования и их последующей компьютерной реализацией, является актуальной задачей.

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

КОЛЕБАНИЙ ПРОЛЕТНОГО СТРОЕНИЯ МОСТА

2.1. Составление динамической расчетной модели пролетного строения Методы динамического расчета стержневых конструкций можно разделить на два класса: методы, основанные на прямом интегрировании уравнений движения (методы центральных разностей, Хаболта, -метод Вилсона, Ньюмарка и др.) и методы разложения по собственным формам (гармонический анализ) [14].

Методы второго класса имеют существенное преимущество по количеству вычислительных операций, скорости расчета, объему потребляемой оперативной памяти компьютера и простоте алгоритма. Кроме того, на большинство строительных конструкций, зданий и сооружений оказывают влияние только постоянные или длительно действующие нагрузки, которые могут быть учтены в модели в виде присоединенных масс. Это объясняет причину преимущественной реализации методов разложения по собственным формам во многих современных расчетных комплексах.

Однако для конструкций, работающих в условиях сложного динамического нагружения, особенно под воздействием подвижных нагрузок, применение гармонического анализа вызывает существенные трудности, а в некоторых случаях вообще не представляется возможным [14]. Для динамического расчета таких систем (например, пролетных строений мостов на скоростных железнодорожных магистралях), более эффективными являются методы прямого интегрирования, позволяющие определить не только основные параметры напряженнодеформированного состояния сооружения в заданный момент времени, но и установить «критические» скорости движения нагрузки [25, 26, 43, 78]. В ряде научных работ данный метод получил название расчета во временной области [14, 151].

В дискретной стержневой системе все распределенные силовые факторы приводятся к характерным узловым точкам, а силовые и кинематические параметры передаются от одного узла другому посредством связующих элементов – стержней. Для выполнения расчета такой системы сначала определяют усилия и деформации в концевых сечениях отдельных стержней (первый этап), после чего решают совместную систему уравнений движения инерционных элементов (второй этап). При этом первый этап, по сути, является статическим расчетом, а динамическая система – мгновенно неподвижной. Схематично последовательность такого расчета изображена на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Алгоритм численного расчета дискретной стержневой системы С точки зрения вычислительной математики численный расчет динамики дискретной стержневой системы становится итерационным процессом, который выполняется по начальным условиям с установленным шагом t, а текущее время в расчете составляет На каждом k -м шаге полученные из статического расчета силовые факторы передаются в систему уравнений движения инерционных элементов. Результатом решения таких уравнений (как правило, дифференциальных) являются геометрические и кинематические параметры, которые, с одной стороны, описывают движение самих инерционных элементов (положение, ориентацию, скорость), а с другой – формируют кинематическое возмущение стержней, вызывая в них новые усилия для передачи в расчет на следующем шаге. Такой подход легко реализуется практически в любом современном математическом пакете.

Параметры напряженно-деформированного состояния конструкции могут быть определены, например, с помощью одного из универсальных методов строительной механики – метода конечных элементов (МКЭ) в форме метода перемещений, который для дискретной упругой стержневой системы дает точное решение [126, 127].

В качестве примера рассмотрим модель балочного пролетного строения однопутного железнодорожного моста со сквозными фермами [97], которую представим в виде упругой стержневой системы с жесткими узловыми соединениями (рис. 2.2). В отличие от других типов балочных пролетных строений данная система является наиболее сложной и универсальной с точки зрения пространственной ориентации стержневых элементов.

Рис. 2.2. Стержневая модель пролетного строения моста:

Проведем сквозную нумерацию элементов системы, присвоив каждому узлу номер i = 1, 2, K, n, а каждому стержню – j = 1, 2, K, nb. Введем три правосторонние декартовы системы координат: глобальную инерциальную систему O, начало которой положим в середине первой поперечной балки; локальную неинерциальную систему Oe, i, определяющую эллипсоид инерции i -го узла с осями 1, 2, 3 (на рис. 2.2 каждая сосредоточенная масса показана кубиком); локальную неинерциальную систему Oc, j, определяющую направление осевой линии и главных осей инерции поперечного сечения j -го стержня.

Для построения интегральных кривых, представляющих собой формы колебаний пролетного строения во времени, будем исходить из дифференциальных уравнений движения его дискретных узловых масс в форме второго закона Ньютона [114]:

где mi, ai – соответственно масса и вектор ускорения массы i -го узла; Pi, Ri – главные вектора соответственно внешних (активных) сил и реакций связей, наложенных на i -й узел системы.

Для исключения реакций Ri из уравнения (2.1) в механике твердого тела применяют принцип освобождаемости от связей [84, 114]. В нашем случае расчетная схема представляет собой стержневую систему, в которой узловые реакции можно определить, используя один из универсальных методов строительной механики – метод конечных элементов (п. 2.2).

Уравнения (2.1) характеризуют поступательное движение узла системы как материальной точки, несущей сосредоточенную массу. Для моделирования его вращательного движения применим динамические уравнения Эйлера, описывающие вращение твердого недеформируемого тела вокруг неподвижной точки [84]:

где J1, i, J 2, i, J 3, i – главные моменты инерции массы, сосредоточенной в i -м узле; 1, i, 2, i, 3, i – проекции угловой скорости i -го узла; 1, i, 2, i, 3, i – проекции углового ускорения i -го узла; M1, i, M 2, i, M 3, i – проекции вектора главного момента сил, приложенных к узлу, на главные оси инерции.

Здесь и далее точкой принято обозначение производной параметра по времени. Уравнения (2.2) являются нелинейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, которые также называют гироскопическими уравнениями Эйлера [157]. Вращение узла рассматривается в системе координат Oe, i, геометрически представляемой эллипсоидом инерции (рис. 2.3); индексы 1, 2, 3 в параметрах (2.2) определяют направление соответствующих главных осей инерции.

Рис. 2.3. Эллипсоид инерции узла пролетного строения Распределение массы в твердом теле при рассмотрении вращательного движения описывается матрицей 3-го порядка – тензором инерции [93]. Относительно глобальной системы координат O для i -го узла пролетного строения имеем где J xx, i, J yy, i, J zz, i – осевые моменты инерции массы; J xy, i K J zy, i – центробежные моменты инерции массы, которые принимаются в расчетах со знаком «минус».

В пролетных строениях мостов, обладающих сложной пространственной конфигурацией, тензоры инерции узлов (2.3), в общем случае, не будут содержать нулевых элементов. Чтобы отыскать главные моменты инерции узла, удовлетворяющие уравнению (2.2), необходимо решить кубическое уравнение собственных значений тензора инерции [93]:

где J i* – один из трех искомых главных моментов инерции (корень уравнения).

Решая уравнение (2.4), находим величины J1, i, J 2, i, J 3, i. Этот процесс также называется диагонализацией матрицы. Новый тензор, содержащий только главные моменты инерции, будет иметь вид [5]:

или, для краткости, в виде вектора Величины J1, i, J 2, i, J 3, i геометрически являются сопряженными диаметрами эллипсоида инерции узла пролетного строения (рис. 2.3). Для определения направления соответствующих им векторов следует решить систему однородных алгебраических уравнений:

где смысл величины J i* остается таким же, как в (2.4).

Последовательно подставляя в (2.7) вместо J i* найденные ранее значения главных моментов инерции J1, i, J 2, i, J 3, i, получим три группы координат x, y, z точек, лежащих на главных осях инерции. Из рис. 2.3 видно, что, в общем случае, эти оси не совпадут по направлению с осями глобальной системы координат O. Если рассматривать вращение узла в системе координат его эллипсоида инерции Oe, i, то угловые скорости, ускорения и моменты M в уравнениях (2.2) также следует преобразовать в систему координат Oe, i. Однако более удобно рассматривать эти величины в глобальной системе координат O, а преобразовать вектор (2.6). Тогда система уравнений (2.2) примет вид:

где J x, i J y, i J z, i – главные моменты инерции узла, вычисленные относительно осей глобальной системы координат с использованием соответствующей матрицы поворота (п. 2.3).

Для составления общей системы уравнений движения i -го узла в координатной форме заменим сумму внешних сил и реакций связей, приложенных к узлу, главным вектором Fi, а также введем понятие соответствующего ему главного момента сил M i :

В общем случае, главный вектор Fi и главный момент M i являются функциями времени t и кинематических параметров системы. Положение i -го узла в глобальной системе координат O определяет вектор ri = { xi yi zi }. Тогда, следуя (2.1), (2.8), раздельно для линейных и угловых перемещений узла имеем систему уравнений:

В дальнейшем полученную систему дифференциальных уравнений второго порядка (2.10) понадобится интегрировать численными методами. Как известно, для нахождения решения такой системы ее порядок необходимо понизить, преобразовав каждое из уравнений в уравнение первого порядка [15]. С этой целью заменим вторые дифференциалы линейных и угловых перемещений узлов пролетного строения (2.10) первыми дифференциалами их скоростей, а к исходной системе уравнений добавим первые дифференциалы перемещений:

В канонической форме Коши данная система примет вид:

Полученная система уравнений (2.12) имеет первый порядок и удобна для интегрирования стандартными численными методами, например, методом Рунге–Кутта четвертого порядка точности [12, 15, 89]:

где t0 – дискретный момент времени, характеризующий начало участка поиска решения на временной оси; h – шаг интегрирования; y0 – начальное значение искомого решения; коэффициенты k определяются формулами где f – функция, возвращающая результат аппроксимации производных правых частей (2.12), которая в матричной форме имеет вид Устойчивость решения системы уравнений (2.12) напрямую зависит от шага интегрирования h, который для каждой конкретной системы должен определяться на основе визуального контроля решения [14]. Следуя рекомендациям [151], шаг интегрирования может быть задан через максимальную частоту собственных колебаний рассматриваемой линеаризованной системы.

При рассмотрении процесса колебаний простой балки с дискретными параметрами в аналитической форме уравнение линии ее прогиба, как правило, аппроксимируют синусоидой [25, 26]. В предлагаемой математической модели эта операция заменена непосредственным интегрированием уравнений движения узлов, что является ее основным отличием. Единый подход к формированию уравнений движения в виде блочных матриц позволяет установить форму всех видов колебаний с учетом их взаимного влияния и распределения энергии между отдельными элементами системы, что подтверждается исследованиями Т. Н. Азизова [1]. Как отмечает В. Ф. Ушкалов, непосредственное численное интегрирование уравнений движения (расчет во временной области) для систем с большим числом нелинейностей, в том числе с разрывными характеристиками, дает существенные преимущества по сравнению с частотными методами анализа [151].

2.2. Применение метода конечных элементов для определения напряженно-деформированного состояния пролетного строения Предполагается, что в рассматриваемой системе все стержни геометрически и физически линейны, выполняются гипотеза Бернулли и принцип Сен-Венана.

В пространственной постановке свободный от кинематических закреплений i -й узел конструкции обладает шестью степенями свободы. Его положение в глобальной системе координат O в любой момент времени можно описать вектором с шестью компонентами Z (i ). В направлении этих перемещений формируется главный вектор узловых усилий R (i ) :

Для определения перемещений и усилий в концевых сечениях отдельно взятого j -го стержня, соединяющего i -й и (i + 1)-й узлы, введем соответствующие блочные матрицы где индекс i соответствует номеру узла, индекс j – номеру стержня.

Каждая из матриц (2.17) строится путем объединения двух соответствующих матриц (2.16) и имеет порядок 12 1. Связь между перемещениями i -го конца стержня и усилиями в этом сечении описывается линейным уравнением где C (ji ) – квадратная матрица жесткости размером 6 6 для i -го сечения стержня.

Для обоих концов стержня имеем где матрица жесткости C j представляет собой блочную квадратную матрицу размером 12 12 вида Каждая из четырех вложенных матриц (2.20) содержит реакции на единичные перемещения конца j -го стержня в локальной системе координат Oc, j. Эта матрица в [161] называется матрицей жесткости совместного элемента и для стержня, работающего на изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, растяжение–сжатие и кручение относительно продольной оси она имеет вид Каждый элемент общей матрицы жесткости C системы вычисляется как алгебраическая сумма жесткостей отдельных стержней, стыкующихся в данном узле (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Схема к вычислению элемента общей матрицы жесткости Так, для i -го узла, смежного двум соседним стержням 1, 2, соответствующий элемент общей матрицы жесткости будет иметь вид В канонических уравнениях метода перемещений сосредоточенные в узлах внешние обобщенные силы считаются известными, однако система может перейти в напряженно-деформированное состояние и под влиянием таких факторов, как вынужденные перемещения ее узлов (вертикальные, горизонтальные смещения, повороты сечений) [41, 105, 161]. Для данной математической модели будем разделять кинематические параметры на две группы – параметры, определяемые решением системы канонических уравнений метода перемещений (искомые) и параметры, определяемые решением системы уравнений движения или начальными условиями (заданные). Параметры первой группы получают в результате статического расчета системы, второй – в результате прямого интегрирования системы уравнений движения узлов.

Узловые перемещения второй группы относятся к факторам кинематического возмущения и их воздействие моделируется эквивалентными узловыми силами. Используя зависимость (2.19) и учитывая, что главный вектор узловых реакций равен по абсолютному значению главному вектору сил от внешней нагрузки и противоположен ему по знаку (условие статического равновесия), для j -го стержня имеем где j – вектор-столбец вынужденных перемещений обоих концов j -го стержня в глобальной системе координат O.

Для всей стержневой системы имеем Далее силы F, эквивалентные воздействию вынужденных перемещений, прикладываются к узлам конструкции вместе с остальными внешними нагрузками и воздействиями F0, и система канонических уравнений метода перемещений в матричной форме примет вид где L – матрица податливости.

Обозначим вектор суммарных узловых нагрузок:

тогда уравнение (2.25) примет вид Порядок матриц Z, C, L, F зависит от количества узлов n. Чтобы система уравнений перестала быть вырожденной, обнулим в матрицах C, F строки и столбцы, соответствующие кинематическим закреплениям узлов, а элементы на их пересечении в матрице C установим равными единице. Используя соотношения (2.19), (2.27), найдем значения внутренних реакций в узлах системы:

2.3. Учет произвольной ориентации элементов пролетного строения Матрица жесткости C j при расчете пролетного строения со сквозными фермами может быть использована в форме (2.20) только для продольных балок, элементов нижнего и верхнего поясов. В этих элементах локальные системы координат Oc, j ориентированы как глобальная система координат O. Для остальных элементов (поперечных балок, раскосов, связей) локальные матрицы жесткости C j перед объединением в общую матрицу C, а также тензоры инерции J j необходимо преобразовать с помощью соответствующей матрицы поворота:

где T – унитарная изометричная матрица поворота размером 3 3 [142, 156];

T12 – блочная матрица размером 12 12, состоящая из блоков в виде матриц T :

Элементы матрицы T описывают ориентацию локальной системы координат стержня Oc, j в глобальной системе координат O и представляют собой направляющие косинусы углов между их осями [84, 159, 160]. В общем случае, при произвольной пространственной ориентации стержня координаты его вектора в глобальной системе O заданы (это разность координат узлов, соединяемых стержнем), однако определение направляющих косинусов требует дополнительных операций. Эта особенность мало освещена в научной и справочной литературе, в которой, как правило, приводятся примеры с плоскими расчетными схемами, а стержни располагаются либо по направлению осей глобальной системы координат, либо в ее плоскостях [41, 126].

Рассмотрим стержневой элемент, соединяющий узлы конструкции A, B и занимающий произвольное положение в глобальной системе координат (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Ориентация стержня в глобальной системе координат Согласно ранее принятой схеме, продольная ось стержня x направлена вдоль вектора AB. Условимся считать, что плоскость изгиба стержня, образованная его локальной осью x и осью z глобальной системы координат, является вертикальной. Тогда, используя векторное произведение, можно получить вектор, перпендикулярный данной вертикальной плоскости:

Здесь x представляет собой проекцию вектора x на плоскость xy глобальxy ной системы координат, а сам вектор x перед использованием в формуле (2.31) должен быть нормализован.

Полученный вектор y определяет положительное направление одной из главных центральных осей сечения стержня. Повторным векторным произведением находим недостающую ось триэдра локальной системы координат:

Формула (2.31) справедлива во всех случаях, кроме одного, когда продольная ось стержня x параллельна оси z глобальной системы координат («карданов подвес»). В этом случае в формулу (2.32) вместо вектора y необходимо подставить единичный вектор y1 :

Далее, записывая последовательно 9 косинусов углов между векторами x, y, z (осями стержня) и векторами x1, y1, z1 (осями глобальной системы координат), получим искомую матрицу поворота Отметим, что применение матриц поворота при расчете пространственных стержневых систем необходимо не только для формирования разрешающей системы уравнений. Для построения, например, эпюр внутренних усилий в стержневом элементе необходимо вернуться к рассмотрению параметров в локальной системе координат. Этот переход легко осуществим через обратную матрицу:

2.4. Моделирование подвижных нагрузок При расчете пролетного строения моста различают нагрузку двух типов – постоянную от собственного веса конструкции, мостового полотна и коммуникаций, и временную. Как правило, собственный вес моделируется набором прикладываемых к конструкции распределенных или сосредоточенных сил, не меняющих своего направления при деформировании системы («мертвых» сил) [135]. Величина этих сил определяется геометрией и материалом конструкции.

Временная нагрузка крайне разнообразна и зависит, в первую очередь, от типа подвижного состава, движущегося по мосту. В общем случае, временная нагрузка вызывает сложное напряженно-деформированное состояние пролетного строения, особенно при наличии эксцентриситетов, которые могут быть прогнозированными (например, на автодорожных мостах) или формироваться в результате неправильной эксплуатации мостового полотна (на железнодорожных мостах). Последнее обстоятельство нередко приводит к повреждениям и деформациям несущих элементов.

На железных дорогах Украины эксплуатируются различные единицы подвижного состава, конструкция которого постоянно совершенствуется, увеличиваются грузовые и скоростные характеристики [53]. Как показывает опыт, эти тенденции не всегда находят адекватное отражение в действующих нормативных документах по определению временной нагрузки на мостах. В итоге, изменение динамических характеристик подвижного состава зачастую трактуется как однозначное увеличение только его весовых характеристик, закладываемых в интенсивность статической равномерно распределенной нагрузки. Между тем, детальное изучение вопросов взаимодействия системы «подвижная нагрузка – пролетное строение» с привлечением методов нелинейного динамического расчета и компьютерного моделирования позволяет существенно повысить точность и достоверность получаемых результатов.

Статические модели временных нагрузок на пролетные строения мостов в нормативных документах представлены, как правило, в виде комбинаций вертикальной равномерно распределенной нагрузки и групп сосредоточенных сил. В отечественных нормах [42] железнодорожная нагрузка моделируется эквивалентной равномерно распределенной нагрузкой, интенсивность которой зависит от формы линии влияния рассматриваемого фактора (рис. 2.6, в).

а – реальная схема; б – предлагаемая модель; в – ДБН В.2.3.14-2006; г – Еврокод Динамические свойства подвижного состава при этом учитываются умножением интенсивности на динамический коэффициент 1 +, зависящий от типа конструкции, ее материала, формы линии влияния. Например, для разрезных железобетонных и соответственно металлических пролетных строений формула динамического коэффициента имеет вид где – длина загружения линии влияния эквивалентной нагрузкой, м (для однопролетных балочных мостов – длина пролета [42]).

На рис. 2.6, г показана модель железнодорожной нагрузки, принятая в европейских нормах проектирования строительных конструкций [169]. Эта модель отличается от модели отечественных норм [42] наличием групп сосредоточенных сил Q в разрывах между участками равномерно распределенной нагрузки. Учет динамических свойств экипажей в Еврокоде 1 также обеспечивается введением динамических коэффициентов.

Предлагаемая в данной работе уточненная модель подвижной нагрузки представляет собой группу сосредоточенных сил P (рис. 2.6, б), расстояние между которыми определяется конструкцией конкретного типа подвижного состава [53], а ее величина имеет постоянное значение (модели I группы) или меняется по гармоническому закону (модели II группы). При этом, кроме вертикальной составляющей Pz, в точке контакта прикладываются также поперечная Py и продольная Px составляющие силы. Количество внешних возмущающих факторов принимается равным числу осей подвижного состава в плоской схеме нагружения и числу его колес – в пространственной, что особенно важно при исследовании динамики мостов длиной до 20 м [162].

Таким образом, динамическое воздействие подвижного состава на пролетное строение моста сводится к задаче расчета стержневого элемента, нагруженного в точке контакта пространственной сосредоточенной силой [107]. Как правило, решение данной задачи приводится в справочной литературе для наиболее распространенных систем [126, 161], однако полная ее постановка требует рассмотрения всех возможных комбинаций граничных условий стержня при условии, что компоненты пространственного силового фактора F, M заданы.

Наиболее простым способом решения данной задачи является составление фиктивной 3-узловой подконструкции (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Модель стержня в виде фиктивной подконструкции:

а – исходная система; б – стержень разделен на два элемента Пусть к j -му стержню длиной l в исходной системе приложена обобщенная пространственная сила F, M (рис. 2.7, а). Фиктивная подконструкция в этом случае представляет собой аналогичную систему, но в точке приложения силы j -й стержень разделяется на два стержня j, j, а сама точка трансформируется в узел i (рис. 2.7, б). Данная модель позволяет автоматически определить все узловые реакции, что является ее алгоритмическим преимуществом. Однако, как показывает численный эксперимент, такой подход может считаться эффективным, если на всю стержневую систему действует только один силовой фактор.

Уже при количестве сил nF > 1, даже неподвижных, скорость динамического расчета снижается до абсолютно неприемлемого порога. Существенные затраты времени влекут за собой, в первую очередь, операции обращения матриц жесткости.

Альтернативный подход заключается в предварительном анализе граничных условий стержня и применении готовых расчетных формул для определения узловых реакций. С этой целью составим конечно-элементную модель 3-узловой стержневой системы в матричной форме, используя математический пакет Mathcad [16]. Для учета условий закрепления стержня введем булевы константы 0, 1.

Как известно, жесткостные характеристики однопролетного стержня не влияют на функциональную зависимость его опорной реакции от нагрузки, поэтому примем в качестве неизвестных расстояния a, b от крайних узлов стержня до точки приложения нагрузки (рис. 2.7, б). Модуль компьютерной алгебры пакета Mathcad с помощью функций simplify (упростить), substitute (подставить) позволяет получить матрицу узловых реакций стержня для конкретных граничных условий в аналитическом виде. Характерно, что из всего многообразия сочетаний граничных условий однопролетного стержня только некоторые из них могут соответствовать реальной системе и приводить к невырожденной матрице податливости. Так, например, узловые реакции R1, R2 в любом элементе продольных балок (рис. 2.2) от воздействия пространственного силового фактора, примут следующий вид:

В общем виде имеем Аналитические зависимости (2.38), как показано далее, удобно реализовать в модуле расчетной программы (п. 2.7). Максимальное количество действий по отысканию комбинации граничных условий при изгибе стержня в одной плоскости равно 10, при растяжении-сжатии и кручении – 3. Это практически не сказывается на производительности современных компьютеров даже при достаточно большом числе повторений и свидетельствует об эффективности алгоритма.

Согласно нормативной методике учета временной нагрузки на конструкции мостов (п. 2.4), величина динамического коэффициента 1 + зависит от длины загружения линии влияния эквивалентной равномерно распределенной нагрузкой и уменьшается с увеличением длины пролетного строения (2.36). Очевидно, что при этом он отражает только весовую вертикальную составляющую поездной нагрузки и не учитывает скорости ее движения [42, 144]. Кроме того, динамический коэффициент к временным горизонтальным нагрузкам в отечественных нормах проектирования составляет 1,0 и также не зависит от скорости;

для временных нагрузок, вызывающих в конструкциях мостов кручение, динамический коэффициент не нормируется.

Для практических целей при проектировании мостов скорость движения железнодорожных экипажей может быть учтена приближенно, без применения комплексных методов анализа и численного моделирования. Результаты многочисленных теоретических и экспериментальных исследований [21, 26, 45, 170, 180] подтверждают, что несущие элементы пролетных строений мостов при движении по ним железнодорожных экипажей работают в условиях сложного напряженно-деформированного состояния. Наиболее доминирующими для разрезных балочных пролетных строений являются изгибные и продольные колебания. Исходя из этого, введем понятие коэффициента учета скорости 1, 0, который наряду с динамическим коэффициентом 1 + и коэффициентом надежности f может использоваться при определении расчетной интенсивности вертикальной равномерно распределенной нагрузки от подвижного состава, движение которого предполагается на заданной скорости. Соответствующие компоненты x, y, z, учитывают работу элементов балочных пролетных строений на растяжение-сжатие, изгиб в горизонтальной и вертикальной плоскостях, кручение.

Величина коэффициента составляет 1,0 для диапазона скоростей движения нагрузки, в котором наблюдаются максимальные показатели напряженнодеформированного состояния пролетного строения. Например, если элемент разрезного балочного пролетного строения работает в условиях растяжениясжатия, = 1,0 при v = 300 км/ч (п. 3.6). Как показано далее, в общем случае внутренние усилия, напряжения, деформации в элементах пролетных строений железнодорожных мостов нелинейно зависят от скорости движения временной нагрузки, поэтому формулы для определения коэффициентов различны для каждого диапазона скоростей.

2.5. Определение контактных сил взаимодействия между пролетным строением и подвижным составом Выражение узловых реакций стержня как функции нагрузки и координат (2.38) позволяет представить железнодорожный подвижной состав в виде группы сосредоточенных силовых факторов, приложенных к балочному пролетному строению моста. Наибольшее вертикальное давление на рельсовый путь производит грузовой подвижной состав, формируемый из цистерн, крытых вагонов, полувагонов, платформ, бункерных вагонов, вагонов-самосвалов и др., приводимых в движение магистральными локомотивами.

Схемы формирования и скорость движения подвижного состава по пролетному строению моста в общем случае могут быть самыми различными, что определяет характер вынужденных колебаний взаимодействующей системы «пролетное строение – нагрузка». При этом интерес также представляет задача исследования колебаний, вызванных проходом по пролетному строению одиночного локомотива [79].

Рассмотрим конструкцию восьмиосного двухсекционного магистрального электровоза постоянного тока ВЛ8 [32, 147]. Электровоз имеет сочлененные тележки (осевая формула 2о + 2о + 2о + 2о ) и используется для формирования грузового подвижного состава нормальной колеи 1520 мм. Сцепной вес Ploc, z = 1840 кН, осевая нагрузка на рельс P z = 230 кН. Сила тяги часового режима составляет Ploc, x = 352,6 кН, конструкционная скорость vmax = 100 км/ч.

Кузов электровоза не охватывающего типа, автосцепное устройство установлено на раме тележки. Рессорное подвешивание одноступенчатое, выполнено из листовых рессор и комплектов витых цилиндрических пружин. Длина по осям автосцепок 27520 мм, ширина кузова – 3105 мм, высота от головки рельса до опущенного токоприемника – 5100 мм, радиус колес R = 600 мм (рис. 2.8).

В моделях I группы (п. 2.4) величина вертикальных сил, воздействующих на пролетное строение, принимается равной осевой нагрузке локомотива F1, z = P z, II группы – определяется формулой где A1, z, A2, z – амплитудные коэффициенты соответственно первой и второй гармонических составляющих полного вертикального давления на колесную пару; 1, z, 2, z – линейные частоты соответственно первой и второй гармоник вертикальных колебаний подвижного состава при его движении по прямолинейному участку пути, Гц; t – время, с.

Рис. 2.8. Схема движения электровоза ВЛ8 по пролетному строению Локомотив перемещается по пролетному строению моста со скоростью vx под действием силы тяги, возникающей при сцеплении колес с рельсами. Если не учитывать упругости материала бандажа и рельса и считать их абсолютно жесткими, то A является точкой опирания колеса на рельс (рис. 2.9).

Представим вращающий момент M tr, приложенный к колесу локомотива от тягового двигателя, в виде пары сил Ftr, одна из которых приложена в точке B через буксы к раме тележки, другая – в точке A к рельсу. Сила сцепления Frf имеет природу силы трения и препятствует проскальзыванию опорной точки колеса при движении локомотива; она определяется формулой где – коэффициент сцепления, принимаемый в тяговых расчетах электровозов постоянного тока в виде где vx – линейная скорость движения локомотива, км/ч.

Нормальное движение локомотива в режиме тяги без боксования колес считается обеспеченным при условии Силы Ftr, Frf зависят от различных факторов, в том числе от скорости движения локомотива по мосту. В табл. 2.1 приведены характеристики локомотива ВЛ8 для скоростей, принятых далее в расчетах вынужденных колебаний пролетного строения (разделы 3, 4). Значение силы Ftr получено с помощью графиков соответствующих тяговых характеристик [147].

Мостовое полотно жестко соединяется с несущими элементами пролетного строения, поэтому можно принять, что точка передачи контактного усилия A (рис. 2.9) условно находится на осевой линии балки, расположенной под рельсовой нитью. В таком случае, суммарное значение продольной горизонтальной силы, прикладываемой к пролетному строению, представлено в последней строке табл. 2.1 и составляет где v – скорость движения локомотива, км/ч.

Отметим, что продольное воздействие подвижного состава определяется не только усилиями (2.43). Например, существенное влияние на конструкции моста при взаимодействии с подвижным составом оказывают также условия изменения температуры, свойства закрепления рельсового пути и т. п. [158].

В зависимости от особенностей конструкции, аэродинамических условий, состояния мостового полотна и пр. локомотив во время движения по пролетному строению может также совершать колебания в горизонтальной плоскости (эффект «виляния»). Проявляющиеся при этом поперечные контактные силы крипа [155] возбуждают изгибные колебания пролетного строения в плоскости xy глобальной системы координат O (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Поперечные контактные силы в системе «пролетное строение – локомотив»

Пусть с локомотивом связана неинерциальная система координат Oloc, начало которой совпадает с его центром тяжести. Ось xloc соединяет центры тяжести тележек локомотива 1, 2. Предполагается, что при входе локомотива на пролетное строение ориентация системы координат Oloc совпадает с ориентацией глобальной системы координат O. Соответствующие контактные силы определяются следующими формулами:

где 1, y, 2, y – фазы горизонтальных колебаний соответственно первой и второй тележек локомотива (рис. 2.10).

Согласно данным натурных экспериментов, амплитуда горизонтальных колебаний локомотива при движении по прямолинейному участку пути составляет a y = 5 мм, линейная частота y = 6,3 Гц. Сила вертикального давления в области контакта колеса с рельсом превышает горизонтальную в 6–8 раз [180]. Для проведения дальнейших расчетов принимаем следующие параметры моделирования: P y = 0,1P z = 23 кН ; 1, y = 2, y = 0.

Таким образом, динамическое воздействие одиночного локомотива на пролетное строение моста может быть смоделировано группой подвижных пространственных сил F. Для каждой силы величина вертикальной F1, z и поперечной F1, y составляющих принимается постоянной (I группа) или гармонической (II группа). Во втором случае закон изменения усилия содержит параметры свободных колебаний локомотива, полученных экспериментально при его движении по прямолинейному участку пути. Величина продольной F1, x составляющей силы зависит от тяговых характеристик локомотива и принимается постоянной.

2.6. Учет диссипации энергии в элементах конструкции пролетного строения. Влияние эксцентриситета рельсового пути Принятая расчетная модель пролетного строения относится к классу консервативных механических систем. В реальной конструкции часть энергии колебаний будет рассеиваться во внешнюю среду за счет сил вязкого трения в материале конструкции и сил сухого трения в ее опорных частях [26, 81, 170]. Для учета диссипативных свойств материала конструкции введем в расчет соответствующую силу вязкого трения, пропорциональную скорости перемещения i -го узла пролетного строения и направленную в противоположную его перемещению сторону, согласно гипотезе Фойхта [25]:

где x, i, y, i, z, i – значения коэффициента вязкого трения в направлении линейных перемещений xi, yi, zi узла; x, i, y, i, z, i – то же, угловых перемещений Сила вязкого трения, характеризуемая вектором F (2.45), линейно зависит от скорости перемещения узла и прикладывается на каждом k -м шаге интегрирования уравнений движения, при этом значение скорости vi соответствует предыдущему шагу расчета k 1.

При расчете колебаний строительных конструкций вместо коэффициента вязкого трения иногда удобнее пользоваться значением эквивалентного коэффициента сопротивления eq, который определяется по формуле [34]:

где = 2 – коэффициент поглощения энергии; – логарифмический декремент колебаний (для металлических балочных пролетных строений железнодорожных мостов составляет 0,08 [170]); c – жесткость узла конструкции; – частота колебаний конструкции, Гц.

Диссипация энергии колебаний пролетного строения происходит также за счет сил сухого трения в опорных частях при продольных и угловых перемещениях опорных узлов конструкции. Как известно, силы кулоновского сухого трения, которые возникают при движении одного тела по поверхности другого, пропорциональны нормальной реакции поверхности с учетом коэффициента трения скольжения [93]. В координатной форме выражение силы сухого трения для i -го узла конструкции может быть представлено следующим обобщенным силовым фактором:

где x, i, y, i, z, i – коэффициенты трения в направлении линейных перемещений i -го узла; x, i, y, i, z, i – то же, угловых перемещений; N x, i, N y, i, N z, i – компоненты реакции в i -м опорном узле конструкции (усилия), перпендикулярные соответствующим осям x, y, z глобальной системы координат O ;

M x, i, M y, i, M z, i – то же, для угловых перемещений (моменты).