На правах рукописи

ДЕМЧЕНКО Максим Николаевич

ДИНАМИЧЕСКАЯ ТРЕХМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

ДЛЯ СИСТЕМЫ МАКСВЕЛЛА

специальность 01.01.03 математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

Работа выполнена в лаборатории математических проблем геофизики Учреждения Российской академии наук Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук БЕЛИШЕВ Михаил Игоревич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ Александр Сергеевич, доктор физико-математических наук, доцент ПЕСТОВ Леонид Николаевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Защита состоится “ ” 2011 года в часов на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан “ ” 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук А.Ю. Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Тема диссертации – трехмерная обратная задача электродинамики в оптимальной по времени постановке. Задача представляет интерес с теоретической точки зрения, а также имеет ряд важных приложений в геоэлектрике, зондировании атмосферы (см. [1]).

Цель работы. В работе рассматривается система Максвелла на компактном ориентированном гладком римановом 3-многообразии со связным краем (символом обозначается внутренняя часть многообразия). Пусть, µ – гладкие положительные в функции, представляющие диэлектрическую и магнитную проницаемости среды. Начальнокраевая задача et = 1 rot h, ht = µ1 rot e, (x, t) (0, T ), e |t=0 = h |t=0 = 0, e |[0,T ] = f (1) (T > 0, (·) – касательная составляющая вектора на ) описывает электрическое и магнитное поля (соответственно, e(x, t) и h(x, t)) в, индуцированные граничным управлением f, которое представляет собой касательное поле на, зависящее от времени t (0, T ). При достаточно гладком f задача имеет единственное классическое решение {ef, hf }.

Целью работы является решение обратной задачи для системы Максвелла в двух постановках. В первой постановке предполагается, что = µ = 1, и требуется восстановить риманово многообразие с точностью до изометрии. Данными обратной задачи служит оператор реакции RT : f hf |[0,T ] ( – единичная внутренняя нормаль к границе), описывающий отклик системы на различные управления. Поскольку электромагнитные волны распространяются с конечной скоростью, речь идет о восстановлении некоторого подмножества, зависящего от времени граничных измерений (величина T в задаче (1)). Простые кинематические соображения приводят к тому, что оператор реакции R2T определяется приграничным слоем толщины T. В силу этого естественная (оптимальная по времени) постановка обратной задачи состоит в восстановлении этого слоя по R2T.

Во второй постановке обратной задачи будет заданной областью в R, а, µ – неизвестными функциями. Как и в первом случае, по граничным измерениям можно восстановить коэффициенты в приграничном слое оптической толщины T, при этом оптическая метрика определяется скоростью распространения электромагнитных волн:

c = (µ)1/2. (2) Методика исследований. Для решения обратной задачи электродинамики в работе используется BC-метод (Boundary Control Method;

М.И. Белишев, 1986 г.), основанный на связи обратных задач с теорией граничного управления. Используются результаты геометрии, асимптотических методов в теории распространения волн, теории управления.

В применении BC-метода первым шагом является построение модели исследуемой динамической системы по данным обратной задачи.

Эта модель включает в себя гильбертово пространство, заменяющее пространство состояний системы, и действующий в этом пространстве оператор, который в нашем случае является унитарно эквивалентным оператору Максвелла.

В случае обратной задачи в области используется следующая схема:

1. По данным обратной задачи строится модель динамической системы Максвелла.

2. Строятся изображения волн, описывающие внутренние состояния системы.

3. По изображениям волн определяется скорость, а затем раздельно коэффициенты, µ.

В обратной задаче на многообразии с помощью модели строится метрическое пространство, изометричное (недоступному в обратной задаче) исходному риманову многообразию. Точками этого пространства служат пары (, ), где R+, – точка края многообразия. Построенное пространство снабжается структурой гладкого многообразия с помощью функции расстояния: локальными координатами точки служат расстояния до трех фиксированных точек.

Научная новизна. Представленные в работе результаты получены в 2008–2011 годах; все они являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейшем для численного решения динамической обратной задачи для системы Максвелла.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по теории дифракции (руководитель В.М. Бабич) в Санкт-Петербургском отделении Математического Института РАН им. В.А. Стеклова, на городском семинаре по математической физике (руководитель Н.Н.

Уральцева), а также на конференциях: Дни дифракции (ПОМИ РАН, 2009), Международная конференция по спектральной теории (ММИ им. Эйлера, 2010), Дифференциальные уравнения и смежные вопросы (МГУ, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [6]–[8].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на разделы, приложения и списка литературы. Объем диссертации – 82 страницы. Список литературы содержит 26 наименований.

Основное содержание диссертации Введение содержит формулировку главного результата, обзор литературы по теме диссертации, а также общее описание BC-метода, используемого в работе для решения обратной задачи.

Глава 1. Геометрия и функциональные пространства. В главе даны вводные сведения. Символом обозначается компактное ориентированном гладкое риманово 3-многообразие с краем, – внутренняя часть многообразия. Край := предполагается связным. В разделе 1.1 определены векторные (поточечные и дифференциальные) операции на многообразии. В разделе 1.2 введен оптический метрический тензор h, связанный с исходным метрическим тензором g на римановом многообразии следующим образом Расстояние между двумя точками в этой метрике – это время, за которое электромагнитная волна от источника в одной точке дойдет до другой.

Также определен эйконал в Имеет место включение Lip(), так как является функцией расстояния до множества. Эйконал удовлетворяет известному уравнению Почти всюду в определено векторное поле удовлетворяющее равенству || = 1 п.в. в в силу (3).

Введем семейство подмножеств и эквидистант границы где s > 0. Положим Ясно, что при s > T множество s пусто.

Сформулируем предположение, при котором доказывается разрешимость обратной задачи в евклидовой области.

Условие 1. Ограниченная область R3 имеет гладкую границу, состоящую из одной компоненты связности. Положительное число T удовлетворяет неравенству T < T. При п.в. s (0, T ) выполнено s Lip. Кроме того, это условие выполнено для s = T.

Введем полугеодезические координаты в с базой на границе. Пусть l – геодезическая (относительно оптической метрики), выпущенная из ортогонально границе, а l [0, ] – ее сегмент оптической длины > 0 (не превосходящей длины l ), один из концов которого совпадает с. Другой конец l [0, ] мы обозначим x(, ). Здесь величина совпадает со значением эйконала в точке x(, ). Если на определены локальные координаты ( 1, 2 ), то набор ( 1 (), 2 (), ) называется полугеодезическими координатами точки x.

Однако, не для каждой точки пара (, ) определена однозначно (неоднозначным может быть выбор ). Чтобы описать такие точки определим множество раздела многообразия относительно следующим образом. Для каждого определена критическая величина (), такая что для любого < () точка является единственной ближайшей к x(, ) точкой границы, а при > () это не выполняется (функция непрерывна на ). Положим по определению Множество замкнуто и имеет нулевую меру, а отображение является гладким диффеоморфизмом, переводящим \ в множество которое называется выкройкой многообразия.

Отметим, что эйконал и поле являются гладкими вне. Поверхность s \ также является гладкой, будучи поверхностью уровня функции. При этом (x), x \, есть единичная нормаль к (x) (в метрике g) в точке x, внешняя по отношению к (x).

В разделе 1.3 введены пространства векторных полей, необходимые для описания электромагнитного поля и изображений. В работе (за исключением раздела 6.1) рассматриваются вещественные пространства.

Определим семейство подпространств соленоидальных полей J L2, (T ) для s (0, T ] следующим образом:

Вводится еще одно семейство подпространств L2, (T ):

Пространство U, вообще говоря, уже пространства J, что связано с возможными топологическими особенностями s.

Ортогональные проекторы на J, U и J U, действующие в J, обозначаются соответственно P, E и B. Проекторы P и E образуют спектральные семейства, сильно непрерывные слева.

Глава 2. Модель динамической системы Максвелла. В главе обсуждаются свойства системы Максвелла, необходимые нам для решения обратной задачи. В разделе 2.1 сформулированы две теоремы, составляющие главный результат работы.

Теорема 1. Пусть – связное компактное ориентированное гладкое риманово 3-многообразие со связным краем, = µ = 1. Для любого T (0, T ) оператор R2T определяет подобласть T с точностью до изометрии.

Теорема 2. Пусть область R3, скорость c и величина T > удовлетворяют Условию 1. Тогда данные однозначно определяют функции и µ в T.

Дано описание системы Максвелла с точки зрения теории управления. Через L2 () обозначим пространство квадратично суммируемых касательных полей на. Введем пространство управлений и класс F0 гладких управлений, равных нулю вблизи {t = 0}.

Также определяется класс управлений где H 1 () L2 () – векторное пространство Соболева, и оператор управления, связанный с системой (1), действующий из пространства управлений F T в пространство U. Этот оператор корректно определен в классе F+ и допускает замыкание.

Аналогично определяется магнитный оператор управления Для запаздывающих управлений сформулировано свойство приближенной управляемости С помощью связывающей формы на управлениях и равенства (S – оператор нечетного продолжения по времени управлений с интервала [0, T ] на интервал [0, 2T ]) показано, что оператор определяется оператором R2T.

В разделе 2.2 описана модель динамической системы Максвелла, которая может быть построена по данным обратной задачи. Здесь лучены по R2T. Мы считаем, что |W T | и |Wm | действуют из F T в U# и в Uµ# соответственно.

Введен оператор RT, действующий из U в Uµ как µ1 rot, и антиT T самосопряженный оператор Максвелла в пространстве U Uµ Показано, как с помощью модели (9) построить оператор в пространстве U# Uµ#, унитарно эквивалентный MT :

Здесь T и T – унитарные операторы в следующих полярных разлоm жениях:

Глава 3. Восстановление риманова многообразия по граничным данным. Глава 3 посвящена решению обратной задачи на римановом многообразии. Для этого используется метод, ранее применявшийся для решения обратной задачи для скалярного волнового уравнения. Этот метод использует приближенную управляемость задачи (1) (соотношение (8)) и геометрию областей влияния для управлений, сосредоточенных на разных частях границы и запаздывающих на разное время.

Управления из класса F0 порождают поля, сосредоточенные в s. При этом множество таких полей достаточно широкое: натянутое на них подпространство в U совпадает с U (если речь идет об электрических полях). Это и есть содержание свойства приближенной управляемости. Аналогичный факт верен для полей, порожденных управлениями класса действующимим на некоторой (открытой) части границы. Такие поля сосредоточены в и, более того, в [5] доказано, что подпространство содержит все поля из U, сосредоточенные в s []. В ситуации обратной задачи мы не можем получить непосредственно множества s, s [], однако, в рамках модели (9) могут быть получены модельные копии пространств U и (10):

Используя пространства U и (10), мы можем построить пространство полей, сосредоточенных в сколь угодно малой окрестности заданной точки (затем мы перейдем к их модельным копиям). Точку x мы параметризуем ее полугеодезическими координатами. Для заданной пары (, s) (0, T ) и > 0 вводится пространство где () – -окрестность точки на. В [5] доказывается, что поля из U (, s, ) сосредоточены в замыкании множества Искомое многообразие строится из точек выкройки T (а точнее, из некоторого пополнения T ). Для этого сначала нужно по данным обратной задачи определить форму выкройки, то есть график функции на (определение (5)). С этой целью устанавливается, что неравенство s () имеет место, если и только если для всех (сколь угодно малых) множество as, непусто или Действуя в рамках модели (9), вместо условия (11) следует проверять равносильное ему в котором пространства U# (, s, ) могут быть получены по формуле Далее пространства U (, s, ) и U# (, s, ) используются для определения функции расстояния. Пусть (, s) T. Рассмотрим следующую задачу на функции E(t), H(t) на интервале [0, T ] со значениями соответственно в U, Uµ :

где K L2 ([0, T ]; U (, s, )). Введем оператор управления для системы (12) и применим его к “запаздывающей” на время T r функции K. Мы получим пространство элементы которого сосредоточены в r-окрестности множества as,, если r достаточно мало (но не зависит от ); это следует из конечности скорости распространения волн, описываемых системой (12). С помощью пространств U (, s, ) можно для заданных (, s), (, s ) T опредеr лить оптическое расстояние между точками x = x(, s) и x = x(, s ), при условии, что они достаточно близки. Для этого достаточно проверять условие: для всех (малых) выполнено Это условие выполняется, если distc (x, x ) < r, и не выполняется, если distc (x, x ) > r. Причем (13), как и (11), можно заменить на эквивалентное условие для модельных пространств где пространство U# (, s, ) := (T ) U (, s, ) в модели может быть представлено как а оператор Wvol# может быть построен как оператор управления для задачи, аналогичной (12), с заменой MT на MT.

Таким образом, выкройка T превращается в метрическое пространство, изометричное T \. Затем, пополнение по метрике приводит к изометрической копии многообразия T, что заершает доказательство Теоремы 1.

Глава 4. Преобразование M T. В главе 4 описан оператор M T, необходимый для решения обратной задачи в евклидовой области. В этой главе предполагается, что – ограниченная область в R3 с гладкой связной границей, причем выполнено Условие 1. Буквой обозначен гладкий положительный вес в.

В разделе 4.1 определен ограниченный самосопряженный оператор : L2, (T ) L2, (T ), s (0, T ] через его билинейную форму:

Здесь X – операция умножения на характеристическую функцию множества. Показано, что можно расширить по непрерывности оператор K 1 rot с гладких полей C (T ) на все L2, (T ). Из этого (переходя к сопряженному оператору) извлекается Следствие 3. Для любого поля z L2, (T ) выполнено rot K z L2, (T ), причем В разделе 4.2 введен оператор M в L2, (T ):

Здесь, N – поточечные операторы Последний действует на вектор как ортогональный проектор на плоскость, касательную к (x) в точке x. В силу (15) оператор M ограниT чен.

Выделим в L2, (T ) подпространство поперечных полей L2, (T ), состоящее из полей v, для которых выполнено v(x), (x) = 0 при п.в.

x T. Для оператора M установлены включения:

которые дают повод перейти к сужению оператора M T на подпространT ство U :

Это сужение обозначается тем же символом. Далее получен следующий результат.

Теорема 3. Оператор M частично изометрический, причем Установлено также сплетающее свойство оператора M.

Теорема 4. Для любого s (0, T ] выполнены (эквивалентные) равенства Получен следующий результат о ядре оператора M.

Теорема 5. Пусть E, sing – сингулярная составляющая спектральноs го семейства E. Верно следующее включение Используя этот факт, можно построить пример, когда оператор M имеет ядро бесконечной размерности.

В разделе 4.3 получена формула, показывающая согласованность введенного определения M с определением, данным в работах [2]-[4].

Эта формула необходима для использования оператора M в решении обратной задачи.

Теорема 6. Пусть y C (T ) U. Тогда при почти всех s (0, T ] выполнено равенство В работах [2]-[4] формула (17) была взята за определение оператора M, поскольку в обратной задаче он возникает именно в таком виде. Однако, корректность этого определения очевидна только в случае, если в T регулярны полугеодезические координаты (это т.н. регулярная зона), тогда как для произвольных T становится нетривиальным даже тот факт, что поле M y, определенное с помощью (17), квадратично суммируемо. Причиной тому является негладкость эквидистант s (а также их нерегулярная зависимость от s), от которых зависит поведение проекторов E. Именно поэтому в работах [2], [3] обратная задача решалась в регулярной зоне. Имея цель снять это ограничение, мы используем представление (16), которое позволяет корректно опреT делить M как ограниченный линейный оператор для произвольного T (0, T ], а также установить его частичную изометричность и полT ноту образа. Заметим, что свойство унитарности M, доказанное в [3], [4] для регулярной зоны, не переносится на общий случай, поскольку, как отмечалось выше, M может иметь нетривиальное ядро.

В разделе 4.4 описывается оператор Показана корректность определения этого оператора на гладких финитных в T \ поперечных полях. Для формулировки главного результата раздела 4.4 введем семейство операторов {Qs }, действующих по следующему правилу. Пусть – ограниченная функция в T, гладкая вне любой окрестности множества, а для s (0, T ] выполнено s Lip. Тогда существует единственное решение ps H 1 (s ) краевой задачи в s :

Оператор Qs сопоставляет функции функцию в s следующим образом В работе получено следующее соотношение [c1 µ1 N Qs (c1 div (v)) + Qs (cµ1 div (c1 N v))] | s [c1 µ1 N B 1 rot (cN v) + Bµ µ1 rot v] |s (равенство выполняется при п.в. s (0, T ] п.в. на s ). Отсюда видно, что рассмотренный оператор имеет следующую особенность: в отличие от µ1 rot он не является локальным, что видно из (19). Свойство локальности нарушается из-за присутствия Qs и B s. Формула (19) обобщает представление, полученное в работе [2] для регулярной зоны, на случай произвольного T (0, T ].

Глава 5. Обратная задача в области. В главе 5, как и в главе 4, предполагается, что – ограниченная область в R3 с гладкой связной границей.

В разделе 5.1 вводятся изображения волн. Изображениями служат элементы подпространства L2 (T ) F T, состоящего из полей, сосредоточенных на выкройке:

Определена операция s как преобразование касательных полей на s \ в касательные поля на, действующее поточечно: ( s u)() есть результат параллельного переноса в оптической метрике вектора u(x(, s)) из точки x(, s) в точку вдоль соединяющей их геодезической. Также определена операция, действующая на поперечные векторные поля в T по правилу:

Для u L2 (T ) образ u принадлежит L2 (T ).

Введен оператор изображения I, действующий из U в L2 (T ):

где – некоторая гладкая положительная функция в \.

Из Теоремы 3 вытекает, что I – частично изометрический оператор, причем Далее в этом же разделе описано, как можно в условиях обратной заT T дачи получить модельные операторы изображения I#, Iµ# :

В разделе 5.2 рассматривается следующий оператор в L2 (T ) Показано, что RT корректно определен на гладких финитных полях на выкройке. Установлено равенство позволяющее получить RT по данным обратной задачи. Далее выясняe ется структура этого оператора. В Лемме 12 для п.в. s (0, T ) устанволено равенство в котором A(s) – семейство псевдодифференциальных операторов на касательных полях на (а точнее, на подмножествах границы { > s}). Лемма 13 устанавливает связь между главным символом оператора A(s) и компонентами оптического метрического тензора h:

Значений h достаточно для того, чтобы определить пересаженный на выкройку тензор h, поскольку для произвольных локальных координат ( 1, 2 ) на запись тензора h в соответствующих полугеодезических координатах ( 1, 2, ) имеет вид После восстановления h устанавливается соответствие между точками выкройки и точками области T \ и определяется скорость c в T.

В разделе 5.3 исследуется поведение ортогональных проекторов на подпространство -соленоидальных полей, локализованных в шаре оптического радиуса r с центром в фиксированной точке x, при r 0.

Если обозначить такой проектор через E r (x), то для y C ()U справедливо при r 0.

В разделе 5.4 решается задача раздельного восстановления, µ. Сначала определяется касательная часть градиента ln в T \, которая извлекается из главного символа псевдодифференциального оператора, являющегося модификацией RT. Далее с использованием форe мулы (21) определяется нормальная составляющая ln,, чего доT статочно для определения, а затем и µ = c2 в.

Список литературы [1] Романов В.Г., Кабанихин С.И. Обратные задачи геоэлектрики. Наука, М. 1991.

[2] М.И. Белишев, В.М. Исаков, Л.Н. Пестов, В.А. Шарафутдинов, К реконструкции метрики по внешним электромагнитным измерениям, Докл. РАН, 2000, 372(3), 298–300.

[3] М.И. Белишев, А.К. Гласман, Динамическая обратная задача для системы Максвелла: восстановление скорости в регулярной зоне (BCметод), Алгебра и анализ, 2000, 12(2), 279–316.

[4] М.И. Белишев, Об унитарном преобразовании в пространстве L2 (; R3 ), связанном с разложением Вейля, Зап. научн. семин. ПОМИ, 2001, 275, 25–40.

[5] M.I.Belishev, Recent progress in the boundary control method, Inverse Problems, 2007, 23(5), R1–R67.

[6] М.Н. Демченко, О частично изометрическом преобразовании соленоидальных векторных полей, Зап. научн. семин. ПОМИ, 2009, 370, 22–43.

[7] M.I. Belishev, M.N. Demchenko, Time-optimal reconstruction of Riemannian manifold via boundary electromagnetic measurements, J.

Inv. Ill-Posed Problems, 2011, 19, 167–188.

[8] М.Н. Демченко, Динамическая трехмерная обратная задача для системы Максвелла, Алгебра и анализ, 2011, 23(6), 31–78.