На правах рукописи

Романова Ирина Андреевна

СУЩЕСТВОВАНИЕ ГЛОБАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

ОДНОГО КЛАССА

КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.01 Вещественный, комплексный

и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 2012

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций ФГБОУ ВПО Волгоградский государственный университет

Научный руководитель доктор физико-математических наук, доцент Ткачев Владимир Геннадьевич.

Научный консультант доктор физико-математических наук, доцент Клячин Алексей Александрович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент Лобода Александр Васильевич;

доктор физико-математических наук, профессор Авхадиев Фарит Габидинович.

Ведущая организация ФГБУН Институт Математики им. С. Л. Соболева Сибирского Отделения РАН, г. Новосибирск.

Защита состоится 17 мая 2012 года в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, д. 1/37, НИИММ, ауд. 337.

С текстом диссертации можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан апреля 2012 г. и размещен на официальном сайте Казанского (Приволжского) федерального университета www.ksu.ru.

Учёный секретарь Е.К. Липачв е Совета Д 212.081. к.ф.м.-н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию вопроса существования целых решений квазилинейного уравнения специального вида L, [u] = uxx 2 + ( + 1) u2 + ( 1)u2 + 4uxy ux uy + x y (1) + uyy 2 + ( + 1) u2 + ( 1) u2 = 0, y x где || 1, = 0, 1 или 1. Рассматриваемый круг задач и используемые методы большей частью принадлежат теории специальных трансцендентных функций, теории функций комплексного переменного и теории уравнений в частных производных.

Актуальность темы. Степень разработанности проблемы.

Многие задачи анализа и геометрии в целом приводят к квазилинейным уравнениям, которые обладают квадратичной нелинейностью по отношению к первым производным. Особое место в изучении решений таких уравнений занимают так называемые глобальные (целые) решения или решения с минимальным набором особых точек. Данный класс решений, в том случае если он не пуст, описывает внутренний характер соответствующего уравнения, а также его симметричные и структурные свойства.

Задача о тривиальности целых решений квазилинейных уравнений в частных производных имеет обширную историю и фактически является одной из классических задач. Хорошо известная теорема С. Н. Бернштейна утверждает, что целыми решениями уравнения минимальных поверхностей (1 + u2 ) uxx 2ux uy uxy + (1 + u2 ) uyy = y x Глубокие обобщения данного феномена как для многомерного случая, так и для более широкого класса квазилинейных уравнений были получены в 60 80-е гг. О. А. Ладыженской, В. М. Миклюковым, Дж.Дж. Ниче, Л. Саймоном, Дж. Серрином, Дж. Симонсом, Р. Финном и многими Bernstein S.N. Sur un thor`me de gometrie et ses application aux quations aux drives partielles du type elliptiqe / S. N. Bernstein // Comm. Soc. Math. Kharkov. 1915. N 15. P. 38 45.

другими математиками. Подробную библиографию по данному вопросу можно найти, например, в работе В. М. Миклюкова2.

Тем не менее, в недавнем обзоре по целым решениям3 показано, что основную трудность исследований составляют как проблема унификации и слабая изученность вопросов строения целых решений в тех случаях, когда они существуют. При этом особый интерес представляют уравнения, не являющиеся обобщением уравнения минимальных поверхностей (так требуется разработка новых и переосмысление известных методов.

В том же обзоре Л. Саймон приводит пример довольно широкого класса уравнений вариационного типа 4, для которых выполняется свойство Бернштейна. Данный класс, с одной стороны, содержит уравнение минимальных поверхностей как частный случай, а с другой стороны, включает и уравнения, не относящиеся к уравнениям типа минимальных поверхностей.

Г. Аронссоном в рамках проблемы продолжения липшицевых функций.

В 1964 г. он показал, что уравнение обладает, в терминологии работы Саймона, свойством Бернштейна, т.е. его C 2 -гладкие решения линейные функции5. Однако позже, в 1984 г., для того же уравнения Г. Аронссон получает дискретное семейство нетривиальных квазирадиальных решений, имеющих гельдерову особенность в начале координат6, то есть решений класса C 1,, где 0 < < 1.

Миклюков, В.М. Об одном новом подходе к теореме Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальных поверхностей / В.М. Миклюков // Матем. сб. Т. 108(150):2. 1979. С. 263 289.

Simon L., Asymptotics for exterior solutions of quasilinear elliptic equations/ L. Simon // Geometry from Pac. Rim. Berlin ; New York: de Gruyter. 1997. P. 343 362.

Термин взят из упомянутого обзора Л. Саймона.

Aronsson, G. On the partial dierential equation uxx u2 + 2uxy ux uy + uyy u2 = 0/ G. Aronsson// Ark. Mat.

1968. N 69. P. 395 425.

Aronsson, G. On certain singular solutions of the partial dierential equation uxx u2 + 2uxy ux uy + uyy u2 = = 0/G. Aronsson// Manuscripta Math. 1984. N 47. P. 133 151.

Применяя тот же метод для исследования уравнения uxx [( + 1)u2 + ( 1)u2 ] + 4uxy ux uy + uyy [( + 1)u2 + ( 1)u2 ] = 0, (2) где || > 1, Аронссон также установил наличие нелинейных целых решений вида u = rkN fN () в полярных координатах для некоторой 2-периодической функции fN (), где N произвольное натуральное число.

Однако полученное им параметрическое представление решений имеет сложный и неявный характер, а нахождение явного вида функции fN () даже при N = 2 вызывает значительные трудности.

Используя альтернативный подход к исследованию уравнения (2), В. Г. Ткачев получил явный вид квазирадиальных N -решений в форме специальной алгебраической параметризации7 :

Здесь означает комплексное сопряжение, k = k(N, ) – наибольший корень уравнения следствие доказано, что особенности квазирадиальных решений имеют алгебраический характер (что уточняет хорошо известный гельдеров характер особенностей p-гармонических функций). Кроме того, описаны все значения, при которых уравнение (2) допускает нетривиальные (т.е. отличные от линейных) алгебраические N -решения и доказана конечность множества соответствующих индексов N при каждом фиксированном || > 1. При = 1 доказано, что все N -решения – алгебраические функции.

Целью работы является исследование вопроса существования целых решений квазилинейного уравнения (1) при условии эллиптичности типа уравнения и его неоднородности, а также исследование свойств полученных решений.

Tkachev, V.G. Algebraic structure of -harmonic functions/V.G. Tkachev// Pacic Journal Math. 2006.

N 1. V. 226. P. 179 200.

Методы исследования относятся к методам теории специальных трансцендентных функций, комплексного анализа, уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии. В частности, применяются методы, развитые в недавних работах Г. Аронссона, В. А. Клячина, В. М. Миклюкова, Л. Саймона, В. Г. Ткачева, С. Т. Яу.

существования нетривиальных целых решений широко исследована для уравнений нулевой средней кривизны и уравнений типа минимальных поверхностей. Среди уравнений других типов этот вопрос изучен не так детально, что связано преимущественно с отсутствием наработанных исследуемого уравнения особенно интересна, тем более что оно является обобщением как уравнения минимальных поверхностей, так и уравнения (2): у первого все целые решения линейны, а второе имеет счетное семейство нетривиальных решений.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся изучением решений эллиптических дифференциальных уравнений, приложениями теории специальных трансцендентных функций, а также может найти применение в специальных курсах по математическому анализу.

Основные результаты исследования, выносимые на защиту:

1. Получено явное параметрическое представление семейства решений уравнения (1) в терминах гипергеометрической функции Гаусса при || > 1 и в терминах вырожденной гипергеометрической функции при 2. Показано, что построенные решения уравнения (1) являются C 2 -гладкими целыми функциями, а это означает невыполнение свойства Бернштейна.

3. Исследовано поведение построенных решений на бесконечности, в частности, установлен степенной характер роста.

4. Выявлена структурная связь между полученными решениями и гармоническими полиномами.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из трех глав и библиографического списка из 31 наименования. Объем диссертации страниц.

докладывались на российских и международных конференциях: X международной Казанской летней научной школе-конференции Теория функций, ее приложения и смежные вопросы (2011 г.), семинаре-совещании Сети в анизотропных пространствах (Волгоград, 21 23 апреля 2011 г.), VIII международной Казанской летней научной школе-конференции VII международной Казанской летней научной школе-конференции Международной школе-конференции по Анализу и Геометрии (Новосибирск, 2004 г.), Международной конференции Алгебра и Анализ 2004 (Казань, 2004 г.), Международной школе-конференции Геометрический анализ и его приложения (Волгоград, 2004 г.), а также на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2002–2005 гг.) и конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ (2002–2006 гг.).

Кроме того, все результаты докладывались в разное время на научном семинаре Геометрический анализ и его приложения кафедры МАТФ ВолГУ (рук. д.ф.-м.н. В.М. Миклюков), на семинаре Эллиптические дифференциальные уравнения на римановых многообразиях (рук. д.ф.-м.н.

А.Г. Лосев), на семинаре кафедры математического анализа Саратовского государственного университета (рук. д.ф.-м.н. Д.В. Прохоров).

Исследовательская работа Новые примеры поверхностей нулевой средней кривизны в пространстве Лоренца R4, представленная на XL Международную научную студенческую конференцию Студент и научно-технический прогресс (Новосибирск, 2002 г.) отмечена дипломом III степени.

РФФИ № 03-01-00304, грантом Федерального агентства по образованию для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов № А04-2.8-932, грантом математического факультета ВолГУ.

автора общим объемом 3,48 п.л. Одна из них опубликована в издании, рекомендованном Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований.

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. В совместных работах [1], [3] и [8] постановка задачи принадлежит научному руководителю В. Г. Ткачеву.

Пользуясь случаем, автор хотел бы выразить глубокую благодарность за полезные обсуждения, замечания и постоянное внимание к работе научному руководителю д.ф.-м.н. В. Г. Ткачеву, а также д.ф.-м.н. А. А. Клячину, к.ф.-м.н. А. Н. Кондрашову и к.ф.-м.н. Е. А. Мазепе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Все утверждения и определения сохраняют принятую в основном тексте нумерацию. В работе рассматриваются проблема существования целых решений уравнения (1).

используются в работе, и напоминаются некоторые понятия теории специальных трансцендентных функций. В частности, дается определение эллиптичности типа квазилинейного уравнения, понятие преобразования Лежандра, определения и некоторые сведения о гипергеометрической функции Гаусса и вырожденной гипергеометрической функции Куммера.

Кроме того, в первом параграфе приводятся вспомогательные результаты, касающиеся монотонности гипергеометрических функций и их композиций специального вида, некоторые числовые оценки, а также показано, что требование эллиптичности типа уравнения (1) равносильно условию sgn = sgn.

Во втором параграфе первой главы излагается метод построения семейства решений уравнения (1) в случае || > 1. Опишем кратко его суть.

плоскости с помощью преобразования Лежандра Осуществив переход к фазовой плоскости, мы ищем решение полученного линейного уравнения среди функций специального вида, а именно где, полярные координаты в плоскости (, ).

С помощью непосредственных вычислений убеждаемся, что решение имеет вид с параметрами (Точные формулы для параметров приведены ниже в формулировке Теоремы 1.) Параметрическое представление решения уравнения (1) получим, учитывая тот факт, что преобразование Лежандра обратно само к себе, т.е. переход от координат касательных плоскостей к координатам точек осуществляется с помощью соотношений При этом необходимо отметить, что преобразование Лежандра (3) задает, вообще говоря, многозначную функцию, поскольку является однозначно определенным лишь локально, т.е. в окрестностях точек с невырожденным якобианом v v v (далее такие точки будем называть неособыми). Таким образом, однозначность и глобальность доказательства.

предельного случая уравнения (1) уравнения Саймона отвечающего значениям параметров = = 1. В частности, показано, что уравнение (1) является непрерывным по в точке = 1 и решение может быть получено предельным переходом 1 + 0 в параметрическом представлении.

Основным результатом первой главы являются следующие утверждения.

Теорема 1.1. Пусть || > 1, N 2 – произвольное натуральное число, ская функция Гаусса c параметрами Тогда параметрическое представление уравнения (1) в окрестности неособых точек (, ). Здесь уравнения (1), соответствующего = 1.

функция Куммера c параметрами Тогда параметризация (6) (7) задает непрерывную функцию uN (x, y), являющуюся решением уравнения (4) в окрестности неособых точек (, ).

N -решениями.

уравнения (4).

Результаты первой главы опубликованы в работах [3], [7], [8], [9].

посвящена доказательству того факта, что построенные в первой главе аргументов x и y.

Отметим, что в этой и следующей главах предельный случай = отдельно не рассматривается, а полученные результаты справедливы в силу непрерывности параметризации N -решений по параметру.

При доказательстве основных результатов второй главы существенную роль играет исследование поведения отображения специального вида.

Определение 2.1. Отображение где x(, ), y(, ) заданы (6), будем называть градиентным.

отображения. Получим где A(), B() заданы соотношениями а параметры a, b, c заданы соотношениями (5).

Для функциональных коэффициентов A() и B() градиентного отображения W справедливы следующие утверждения.

N 2. Пусть также параметры a, b, c удовлетворяют (5), а A() и B() определены равенствами (7). Тогда (i) функция положительна, возрастает при > 1 (или отрицательB() на и убывает при < 1), и имеет место соотношение (ii) функция B() положительна при всех > 0, а A() сохраняет знак, число. Пусть также параметры a, b, c удовлетворяют (5), а A() и B() неравенства причем равенства в неравенствах пункта (ii) достигаются только при Опираясь на эти леммы, получим следующие свойства градиентного отображения.

Лемма 2.3. Градиентное отображение W инъективно переводит каждую окружность радиуса > 0 в жорданову кривую, не проходящую через начало координат.

Лемма 2.4. Якобиан градиентного отображения W () отрицателен при Две последние леммы позволяют установить инъективность градиентного отображения, т.е. доказать, что полученные N -решения определяют графики.

Проводя при допустимых оценку |W | с учетом свойств A() и B(), можно установить, что некоторая ненулевая постоянная, = sgn и k 1 a(1 ) > 0.

где C Отсюда следует сюръективный характер отображения W, а значит, будет справедлива теорема.

Теорема 2.1. Градиентное отображение W (), заданное формулами (8), является гомеоморфизмом плоскости на себя.

Таким образом, теперь можно утверждать, что N -решения являются целыми непрерывными однозначными функциями. Чтобы оценить их гладкость, достаточно проверить существование и непрерывность производных в начале координат, поскольку вне этой особой точки параметризация (5) – (7) задает аналитическую функцию. Непосредственными вычислениями можно установить, что построенные функции uN являются C 2 -гладкими в начале координат.

Таким образом, N -решения уравнения (1) являются нетривиальными целыми функциями, т.е. для исследуемого уравнения не выполнено свойство Бернштейна.

Основным результатом второй главы является теорема.

Теорема 2.2. Пусть || 1, = 1 и = sgn. Для любого натурального N существует целое C 2 -гладкое решение uN (x, y) уравнения которое имеет на бесконечности степенной рост Отметим, что в формулировку теоремы также включен случай N = 1, соответствующий тривиальным решениям и не рассматривавшийся самостоятельно.

Оценка роста решения на бесконечности получена классическими средствами математического анализа. Отметим также, что постоянная C в формулировке теоремы определяется соотношением Результаты главы 2 опубликованы в работах [1], [6].

Глава 3 Связь N -решений и гармонических полиномов.

Данная глава посвящена изучению структурной связи гармонических полиномов и N -решений.

Отметим, что гармонические многочлены вида формально являются N -решениями уравнения (1) для несобственного значения параметра =. В этом легко убедиться, воспользовавшись представлением уравнения (1) в операторном виде и N -решением рассмотрим вспомогательную функцию и исследуем ее поведение на кривых специального вида.

Определение 3.1. Пусть отображение W формулой (8). Множество будем называть окружностью в фазовой плоскости радиуса R.

Во-первых, будет справедлива следующая лемма.

Лемма 3.2. Функция Q, определенная соотношением (9), положительна при > 0.

Во-вторых, функция Q удовлетворяет неравенствам где Q0 и Q значения Q в точках на окружностях фазовой плоскости радиуса R, в которых = 0 и = /2.

Опираясь на последнюю оценку, можно доказать справедливость следующей теоремы.

Теорема 3.1. Пусть || > 1 и = sgn, N 2 произвольное натуральное число, а uN (z) = uN (x, y) решение уравнения (1), задаваемое параметризацией (5) (7).

Тогда имеет место разложение где UN (z) некоторая положительная непрерывная функция, причем, UN (z) ограничена сверху при > 1:

При < 1 эта функция удовлетворяет неравенству Отметим, что в данной теореме подразумевается, что z = x + iy и x, y, uN определяются параметрическим представлением (5) (7). Тогда функция UN может быть представлена в виде что позволяет использовать свойства Q.

Конец третьей главы посвящен применению используемой методики к исследованию уравнений минимальных поверхностей. Было построено счетное семейство функций, имеющих структуру, аналогичную структуре N -решений уравнения (1). Кроме того, показано, что полученные N -решения уравнения минимальных поверхностей заключены в цилиндр, т.е.

справедливо неравенство Результаты третьей главы опубликованы в работах [2], [5], [11].

СПИСОК РАБОТ,

ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ 1. Зорина, И.А. О целых решениях квазилинейных уравнений с квадратичной главной частью/ И.А. Зорина, В.Г. Ткачев // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2008. № 3.

С. 108 123 (0,94 п.л.).

2. Зорина, И.А. О связи целых решений уравнения Саймона и гармонических полиномов / И.А. Зорина // Избранные труды молодых ученых математического факультета ВолГУ, апрель 2005 г.

Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2006. С. 16 19 (0,24 п.л.).

3. Зорина, И.А. Целые решения уравнения Саймона / И.А. Зорина, В.Г. Ткачев //Геометрический анализ и его приложения : труды международной школы-конференции, г. Волгоград, 24 30 мая 2004 г.

Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2005. С.55 74 (1,17 п.л.).

4. Зорина, И.А. Примеры максимальных периодических поверхностей в R2 / И.А. Зорина // Вестник ВолГУ. Серия 9: исследования молодых ученых.

2003. № 1. C. 17 20 (0,24 п.л.).

5. Романова, И.А. N -решения уравнения минимальных поверхностей / И.А. Романова // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского : материалы X международной Казанской летней научной школы-конференции Казань : Изд-во Казанского математического общества; Изд-во Казанского государственного университета, 2011.

Т. 43. C. 308 309 (0,12 п.л.).

6. Зорина, И.А. О целых решениях одного класса квазилинейных уравнений / И.А. Зорина // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского : материалы VIII международной Казанской летней научной школы-конференции Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2007. Т. 35. C. 112 113 (0,12 п.л.).

7. Зорина, И.А. О связи целых решений уравнения Саймона и гармонических полиномов / И.А. Зорина // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского : материалы VII международной Казанской летней научной школы-конференции Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2005. Т. 30. C. (0,12 п.л.).

8. Зорина, И.А. Строение целых решений уравнения Саймона / И.А. Зорина, В.Г. Ткачев // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика Ю. Г. Решетняка. Новосибирск: Институт математики имени С. Л. Соболева СО РАН, 2004. C. 105 106 (0,12 п.л.).

9. Зорина, И.А. Вырожденная гипергеометрическая функция и решения квазилинейных уравнений / И.А. Зорина // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского : материалы международной конференции Казань: Издательство Казанского математического общества, 2004.

Т.23 C.94 95 (0,12 п.л.).

10. Зорина, И.А. Новые примеры поверхностей нулевой средней кривизны в пространстве Лоренца / И.А. Зорина // Материалы XL международной научной студенческой конференции Студент и научно-технический прогресс : Математика. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2002. С. (0,17 п.л.).

11. Зорина, И.А. Некоторые максимальные периодические поверхности в пространстве Лоренца / И.А. Зорина // Материалы VII межвузовской конференции студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области, г.Волгоград, 12 15 ноября 2002 г. Вып.4: Физика и математика.

Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2002. С. 49 50 (0,12 п.л.).