На

На правах рукописи

правах рукописи

Квашнин Александр Юрьевич

Задачи скольжения для квантовых газов с

переменной частотой столкновений

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико–математических наук

Москва — 2011 : – :, –, : –, : – :, –, : –, –, –, –, : :

« » « »

:

« »

19 2012 16.00 19 2012 16. 212.155.07 диссертации состоится «» _2011 г. в часов

Защита 212.155. 19 2012 16. на заседании диссертационного совета Д.212.155.07 в Московском : 105005,.,. :,105005,..

. 10-,.,. 10-.

212.155. государственном областном университете по адресу: 105005, Москва, C : 105005,.,.,. 10-.

ул. Радио, д. 10а.

..

C

С диссертацией можно ознакомиться в. научной библиотеке Московского государственного областного университета. www.mgou.ru.

: www.mgou.ru. :

: www.mgou.ru.

Автореферат разослан «» 2011 г.

.07 212.155..,.-.,....

212.155..-.,..

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы. Кинетические явления в разреженных газах являются предметом исследования со времен Максвелла и Больцмана. При этом большая часть работ по данной тематике посвящена изучению поведения классических газов. Квантовые газы изучались, главным образом, в рамках рассмотрения кинетики электронов в полупроводниках и металлах, а также кинетики фононов в конденсированных средах.

Работа посвящена аналитическому решению граничных задач для случая изотермического скольжения квантовых ферми– и бозе– газов, заполняющих полупространство над плоской стенкой.

Задача о нахождении решений уравнения для квантовых газов имеет теоретическую значимость и актуальность в связи с возросшим практическим значением микроэлектроники, требующей, в частности, умения решать граничные задачи для электронного газа. Постановка и точное решение граничной задачи для кинетического уравнения представляет практическую важность, поскольку может быть применено к решению реальных физических задач.

Цель диссертационной работы заключается в постановке граничных задач для кинетических уравнений, описывающих квантовые ферми– и бозе–газы для случая, когда частота столкновений молекул пропорциональна модулю скорости молекул, и аналитическом решении задач об изотермическом скольжении с использованием модельного уравнения Больцмана в релаксационном приближении.

Научная новизна работы. Результаты работы относятся к теории аналитических решений граничных задач для кинетических уравнений.

В диссертации получены новые результаты, связанные с аналитическим решением кинетических уравнений, описывающих поведение квантовых бозе– и ферми–газов в полупространстве. Как основной результат, в диссертации получены точные решения линеаризованных задач об изотермическом скольжении квантовых бозе– и ферми–газов вдоль плоской твердой поверхности. В качестве граничных условий используется сначала диффузное, а затем и более общее зеркально–диффузное отражение молекул газа от поверхности. Решение позволило в явном виде определить физически важные параметры: коэффициент скольжения, массовую скорость газа и функцию распределения газовых молекул.

Научная и практическая ценность. Результаты работы относятся к теории аналитических решений кинетических уравнений. Отметим, по крайней мере, два направления проведенного исследования, имеющих прикладное значение:

1. Решение кинетических уравнений в слое Кнудсена позволяют корректно поставить граничные условия для уравнений сплошной среды (уравнений Навье — Стокса).

2. Использование полученных результатов в динамике аэрозолей при изучении сил, действующих на аэрозольную частицу.

Личное участие автора заключается в выводе уравнений, решении граничных задач, обработке и анализе полученных данных, участии в постановке задач.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях:

1. Ежегодная научная конференция профессорско–преподавательского состава МГОУ (Москва, 2007 – 2010 гг.);

2. XII научная конференции МГТУ "Станкин" и "Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ Станкин – ИММ РАН" по математическому моделированию и информатике.

(Москва, 2009 г.) 3. Международная конференция "Актуальные проблемы современной науки" Российской молодёжной академии наук (Самара, 2009 г.);

4. XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Секция физики. (Москва, РУДН 5. Международная научно–практическая конференция Поморского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Коряжма, Публикации. По теме диссертации опубликованы 10 работ, из них статей опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 116 страниц текста, в том числе 15 рисунков. Библиография включает в себя 107 наименований, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, содержится постановка целей исследования, формулируются основные результаты работы, а также дается краткий обзор литературы по теме диссертационного исследования.

В первой главе проводится постановка и вывод кинетического уравнения. В параграфе 1.1 выписывается квантовое уравнение Больцмана для ферми-газа (уравнение Юлинга — Уленбека).

В параграфе 1.2 приводятся виды граничных условий. Для решения различных граничных задач уравнение Больцмана нужно дополнить соответствующими граничными условиями, налагаемыми на функцию распределения на стенках объема, содержащего газ.

В параграфе 1.3 излагается физика скольжения простого газа вдоль плоской поверхности. Рассмотрен случай изотермического скольжения.

В параграфе 1.4 вводится нелинейное уравнение для квантовых ферми–газов в форме релаксационного приближения для случая, когда частота столкновений молекул газа пропорциональна модулю скорости молекул:

Здесь f = f (r, v, t) – функция распределения газовых молекул, (v) – частота столкновений, зависящая от модуля скорости молекул, (v) = n – числовая плотность (концентрация) молекул газа, |v u| – модуль скорости молекулы в системе отсчета, относительно которой газ в данной точке r покоится, т. е. имеет массовую скорость, равную нулю, v – молекулярная скорость газа в лабораторной системе отсчета, l – средняя длина свободного пробега молекул, m – масса молекулы, l = vT, – время релаксации, т. е. время между двумя последовательными столкновениями молекул газа, vT = 1/ – тепловая скорость молекул газа, = m/2kT, k – постоянная Больцмана, fF (r, v, t) – аналог локально равновесной функции распределения Ферми — Дирака, µ и T – химический потенциал газа и температура, считающиеся постоm янными, E = (v u )2, u = u (r, t) – параметр уравнения.

В параграфе 1.5 проводится линеаризация кинетического уравнения (1) по малому параметру u. Функция распределения ищется в виде:

где C = v – безразмерная скорость молекул, µ = Cx /C, x1 = x/l – безразмерная координата, = µ/kT – безразмерный (приведенный) химический потенциал, fF (C) = [1 + exp(C 2 )]1 – абсолютный фермиан.

Линеаризация с помощью (2) приводит к следующему уравнению:

В параграфе 1.6 производится постановка задачи Крамерса с диффузными граничными условиями. Пусть ферми–газ движется вдоль оси y с массовой скоростью uy (x) в полупространстве x > 0. Вдали от стенки задан градиент массовой скорости gv, Задание градиента массовой скорости gv означает, что вдали от стенки распределение массовой скорости в полупространстве имеет линейный рост uy (x) = usl + gv x, x +, где usl – неизвестная скорость скольжения.

Диффузное отражение ферми–частиц от поверхности означает, что последние отражаются от стенки, имея фермиевское распределение, т.е.

Учитывая, что функцию распределения для ферми–газов мы ищем в виде (2), из условия (4) получаем граничное условие на стенке:

Вторым граничным условием является граничное условие "вдали от стенки". Это условие означает, что вдали от стенки функция h(x1, µ) переходит в распределение Чепмена — Энскога has (x1, µ) = 2Usl +2Gv (x µ), Usl и Gv – безразмерная скорость скольжения и градиент. Таким образом, вторым граничным условием является условие:

Теперь задача Крамерса при условии диффузного отражения ферми– частиц от стенки сформулирована полностью и состоит в решении уравнения (3) с граничными условиями (5) и (6). При этом требуется определить безразмерную скорость скольжения Usl (), величина градиента Gv считается заданной. Кроме того, требуется построить функцию распределения в полупространстве x1 > 0, требуется построить профиль массовой скорости uy (x1 ) и найти значение массовой скорости газов непосрественно у стенки uy (0). В конце параграфа с помощью закона сохранения импульса показано, что в линейном приближении массовая скорость u совпадает с параметром u, а удвоенная безразмерная массовая скорость совпадает с правой частью уравнения (3):

Во второй главе получено точное решение задачи Крамерса для квантовых ферми–газов для случая диффузного отражения частиц от поверхности.

В параграфе 2.1 в общем виде получены собственные решения уравнений непрерывного и дискретного спектров, а также рассматриваются основные свойства дисперсионной функции.

В параграфе 2.2 представлена однородная краевая задача Римана, которая лежит в основе решения граничных задач кинетической теории.

В параграфе 2.3 доказывается, что граничная задача имеет единственное решение, представимое в виде разложения по собственным функциям характеристического уравнения. После этого вычисляется коэффициент вязкости квантового ферми–газа:

Данный коэффициент позволяет получить макропараметры задачи, а именно, скорость скольжения газа usl и массовую скорость газа в размерном виде.

В параграфе 2.4 найдена искомая скорость изотермического скольжения ферми–газа Kv () – коэффициент изотермического скольжения, отыскивается значение массовой скорости непосредственно у стенки:

Далее находятся профиль массовой скорости:

где (z) – дисперсионная функция задачи, Распределение функции распределения в полупространстве определяется равенством (2), в котором где + (µ) – характеристическая функция интервала (0, 1), т.е.

При, когда квантовый газ переходит в классический, формулы (8)–(11) переходят в соответствующие формулы для классических газов.

В третьей главе получено аналитическое решение задачи Крамерса для квантовых ферми–газов в случае зеркально–диффузного отражения молекул от стенки. Эта задача состоит в решении уравнения (3) с граничными условиями:

где q – коэффициент диффузности, 0 q 1.

В основе решения лежит идея включить граничное условие на функцию распределения в виде источника в кинетическое уравнение.

Для того, чтобы включить граничные условия в уравнение, продолжим функцию h(x, µ) на область x < 0 симметричным образом:

h(x, µ) = h(x, µ). Тем самым рассматривается еще одна задача (в области x < 0). Полагая далее h = has + hc, объединим граничные условия обеих задач следующим образом:

Вводится уравнение, содержащее оба граничные условия:

где (x) – дельта–функция Дирака, В результате решения уравнения (12) находим решение задачи Крамерса. Выпишем выражение для скорости скольжения ферми–газа:

В формуле (13) Kv – коэффициент скольжения, вычисляемый в виде ряда:

где Значение скорости скольжения в случае диффузного рассеяния таково: usl (1) = 1.0911lgv. Нетрудно проверить, что в нулевом (максвелловском) приближении usl (1) = 1lgv, т.е. нулевое приближение дает ошибку 8.34%. В первом приближении получаем usl (1) = (V0 + V1 )lgv = 1.0969Gv, это значит, что первое приближение дает ошибку 0.58%. Во втором приближении usl (1) = (V0 + V1 + V2 )lgv = 1.0912Gv, т.е. второе приближение дает ошибку 0.01%.

Далее строятся профили массовой скорости при различных значениях коэффициента диффузности (рис. 1 и 2).

На рис. 1 (q = 0.5) и рис. 2 (q = 0.25) представлен профиль массовой скорости ферми–газа в полупространстве, кривая 1 отвечает профилю массовой скорости, а кривая 2 – ее асимптотическому распределению.

В четвертой главе получено аналитическое решение задач изотермического скольжения для квантовых бозе–газов для случаев диффузного и зеркально–диффузного отражения молекул.

В параграфе 4.1 кинетическое уравнение для квантовых бозе–газов Здесь fB = [1 + exp ], µ < 0, остальные обозначения те же, что и ранее. Функция распределения ищется в виде где fB (C) = [1+exp(C 2 )]1. Линеаризация уравнения (14) приводит к уравнению (3).

В параграфе 4.2 приведено аналитическое решение задачи Крамерса для квантового бозе–газа с диффузными граничными условиями. Получены скорость изотермического скольжения, массовая скорость, ее значение непосредственно у стенки и функция распределения. Приведем формулу для вычисления скорости скольжения: usl = Kv ()lgv, где При, когда квантовый газ переходит в классический, отсюда получаем известный результат для классического газа: Kv () = 1.0911.

Если заменить ln () на bn () в формулах (9) и (10), то получим значение массовой скорости бозе–газа непосредственно у стенки и профиль этой скорсоти в полупространстве. Функция h(x1, µ) и для бозе–газов вычисляется согласно (11). Рассмотрим отношение y() = Kv ()/Kv (). Эта функция является монотонно возрастающей, приB B чем y(0) = 1.588. Это означает, что коэффициент изотермического скольжения бозе–газа при изменении химического потенциала от до 0 возрастает на 58.8%. На рис. 3 проводится сравнение коэффициентов изотермического скольжения; кривые 1 и 2 (3 и 4) отвечают бозе–газам (ферми–газам) с переменной и постоянной частотой столкновений.

В параграфе 4.3 представлено решение задачи Крамерса для квантового бозе–газа с зеркально-диффузным отражением молекул. Решение задачи ищется аналогично задаче для квантовых ферми–газов. Приведем скорость скольжения в размерном виде:

где l – длина свободного пробега молекул, Kv (, q) – коэффициент изотерB мического скольжения бозе–газа вдоль плоской поверхности. Коэффициенты Vn (n = 0, 1, 2, · · · ) те же самые, что и в случае ферми–газа.

Это обстоятельство приводит к тому, что точность последовательных приближений скорости скольжения для бозе–газов та же самая, что и в случае ферми–газов.

При q 1 коэффициент изотермического скольжения равен:

Kv (, 1)=, т.е. когда квантовый газ становится классическим, коэффициент Kv (, 1) переходит в значение коэффициента скольжения классического газа Kv (, 1) = 1.0911. Численные расчеты для второго приближения показывают, что это значение коэффициента достигается при = 7:

Kv (7, 1) = 1.091.

На рис. 4 представлена зависимость коэффициента изотермического скольжения от величины относительного химического потенциала, кривые 1, 2, 3 отвечают значениям коэффициента аккомодации q = 1, 0.5, 0.1. Логарифмический масштаб по по вертикальной оси. Зависимость коэффициента изотермического скольжения от коэффициента диффузности q изображена на рис. 5, кривые 1, 2, 3 отвечают значениям величины относительного химического потенциала = 0.001, 0.1, 5.

Логарифмический масштаб по по вертикальной оси.

Анализ графиков на рис. 4 показывает, что с уменьшением величины относительного химического потенциала величина коэффициента скольжения уменьшается во всем диапазоне изменения коэффициента диффузности q. При < 2 значение коэффициентов скольжения фактически является постоянным, их величина начинает возрастать при Графики на рис. 5 показывают, что с уменьшением коэффициента диффузности q величина коэффициента скольжения растет во всем диапазоне изменения относительного химического потенциала. При этом наибольшее изменение коэффициента скольжения происходит в диапазоне изменения от 1 до 0.

На рис. 6 и 7 рассматривается зависимость коэффициента изотермического скольжения от величины коэффициента диффузности q ферми– газов (кривые 1) и бозе–газов (кривые 2). На рис. 6 и 7 рассматриваются случаи = 0.0001 и = 1 соответственно. Если сравнить поведение коэффициентов скольжения ферми– и бозе–газов, то замечаем, что эти коэффициенты тем сильнее различаются по величине, чем больше значение относительного химического потенциала. Уже при = 1 эти коэффициенты практически совпадают (рис. 7), а при < 5 различие между коэффициентами скольжения ферми– и бозе–газов несущественно.

В заключение приводятся основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА

ЗАЩИТУ

1. Решение задачи об изотермическом скольжении для квантовых ферми–газов с диффузными граничными условиями вдоль плоской поверхности. Нахождение скорости изотермического скольжения.

2. Решение задачи об изотермическом скольжении для квантовых ферми–газов с зеркально–диффузными граничными условиями вдоль плоской поверхности. Нахождение скорости изотермического скольжения.

3. Построение профиля массовой скорости квантового ферми–газа в полупространстве. Нахождение массовой скорости ферми–газа непосредственно у поверхности.

4. Решение задачи об изотермическом для квантовых бозе–газов вдоль с диффузными граничными условиями плоской поверхности. Нахождение скорости изотермического скольжения.

5. Решение задачи об изотермическом скольжении для квантовых бозе–газов с зеркально–диффузными граничными условиями вдоль плоской поверхности. Нахождение скорости изотермического скольжения.

6. Построение профиля массовой скорости квантового бозе–газа в полупространстве. Нахождение массовой скорости непосредственно у поверхности.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю проф.

А.В. Латышеву и проф. А.А. Юшканову за постоянную поддержку.

1. Квашнин А.Ю., Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Крамерса в квантовых ферми – газах с частотой столкновений, пропорциональной модулю скорости молекул. // Труды института Системного анализа РАН. Сборник трудов "Динамика линейных и нелинейных систем". 2006. Том 25 (2). С. 69 – 73.

2. Квашнин А.Ю., Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Крамерса в квантовых бозе – газах с частотой столкновений, пропорциональной модулю скорости молекул// Сборник трудов "Фундаментальные физико – математические проблемы и моделирование технико-технологических систем". Издательство МГТУ "Станкин". 2008. Вып. 11. С. 74 – 79.

3. Квашнин А.Ю., Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Крамерса для ферми – газа с зеркально-диффузным граничным условием. // Труды института Системного анализа РАН. Сборник трудов "Динамика неоднородных систем".

2008. Том 32 (3). С. 101– 105.

4. Квашнин А.Ю., Латышев А.В., Юшканов А.А. Изотермическое скольжение ферми-газа с зеркально-диффузным отражением от границы // Известия высших учебных заведений. Физика. 2009. Т. 52. № 12. С. 3–7.

5. Квашнин А.Ю. Изотерическое скольжение квантового бозе-газа с диффузным отражением от границы// Вестник Московского государственного областного университета. Серия "Физика-математика". 2009. №3. С. 14–25.

6. Квашнин А.Ю., Латышев А.В., Юшканов А.А. Изотерическое скольжение квантового бозе-газа с зеркально-диффузным отражением от границы // Физика низких температур. 2010. Т. 36. No. 4. C. 413–417.

7. Квашнин А.Ю. Изотермическое скольжение ферми-газов с частотой столкновений, пропорциональной модулю скорости молекул, и с диффузным отражением от поверхности.// Материалы XII научной конференции МГТУ "Станкин" и "Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ Станкин – ИММ РАН" по математическому моделированию и информатике, 2009. С. 54– 8. Квашнин А.Ю. Изотермическое скольжение бозе-газа с зеркально-диффузным отражением от границы. // Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки. Части 4–6. Физика, астрономия, науки о земле. Труды 10-й Международной конференции Самара, 2009.

9. Квашнин А.Ю. Задача Крамерса для квантового бозе-газа с зеркально– диффузным отражение от границы. // XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секция физики. – М.: РУДН, 2010. – С. 31.

10. Квашнин А.Ю., Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Крамерса для бозе–газа с зеркально–диффузным отражением от границы// Материалы международной научно–практической конференции Поморский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Коряжма, 21–22 октября 2010 г. С. 431–437.