На правах рукописи

Половнев Антон Леонидович

Оптимизация плана эксперимента

в задаче определения координат места пробоя

гермооболочки пилотируемого космического аппарата

Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2011

Работа выполнена в открытом акционерном обществе «Ракетнокосмическая корпорация «Энергия» имени С.П.Королёва».

кандидат технических наук

Научный руководитель:

Дементьев В.К.

доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты:

Бурмин В.Ю.

кандидат технических наук Бирюков А.С.

Федеральное государственное унитарное

Ведущая организация:

предприятие «Центральный НаучноИсследовательский Институт Машиностроения» (г. Королёв, Московской области).

Защита состоится 13 апреля 2011 г. в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.156.08 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 140180, Московская обл., г. Жуковский, ул. Гагарина, д. 16, аудитория 314.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физикотехнического института (государственного университета).

Автореферат разослан “_” _ 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент Коновалов В.П.

I.

Общая характеристика работы

Рассматривается метод оперативного определения координат точки пробоя гермооболочки пилотируемого аппарата (модуля) высокоскоростной микрометеороидной или техногенной частицей. Метод основан на выявлении переднего фронта акустической волны, возникающей при пробое гермооболочки в воздушной среде модуля. Передний фронт определяется с помощью микрофонов, определенным образом расположенных во внутреннем объеме модуля, и алгоритма, заложенного в вычислительную технику, позволяющего в реальном масштабе времени выделять полезный сигнал на фоне шумов бортовой аппаратуры и вычислять взаимные задержки прихода волны «пробоя» к микрофонам. По этим задержкам рассчитываются координаты точки пробоя с отображением найденной точки непосредственно на проекциях модуля.

Степень засоренности околоземного космического пространства постоянно возрастает, в связи с чем при проектировании новых пилотируемых космических модулей и эксплуатации уже существующих должна учитываться возможность пробоя гермооболочки в результате столкновения с техногенной частицей или микрометеороидом. Вероятность непробоя гермооболочки МКС даже при усиленной экранной защите модулей оценивается величиной на уровне 0,85 в течении 15 лет эксплуатации.

В настоящее время на Российском сегменте МКС имеются течеискатели, позволяющие определять точку пробоя лишь при сканировании всей поверхности пилотируемого модуля. Опыт, полученный на станции «Мир»

при разгерметизации модуля «Спектр», показал необходимость повышения эффективности способов обеспечения живучести станции при её разгерметизации. Особенно это касается оперативности определения места пробоя.

Объектом исследования является звуковая волна, возникающая в воздушной среде пилотируемого модуля при пробое гермооболочки высокоскоростной частицей.

Предметом исследования является математическая модель распространения переднего фронта звуковой волны в воздушной среде модуля, на основании которой решается обратная задача нахождения источника звука в 3-хмерной постановке в ближнем поле источника методами оптимального планирования эксперимента. При этом используется модель сферической звуковой волны.

Устойчивость решения обратной задачи может быть существенно повышена за счет оптимального расположения датчиков во внутреннем пространстве модуля. Понятно, что чем больше датчиков будет размещено в гермоотсеке модуля, тем точнее будут определяться координаты точки пробоя. Ограничение сверху на число размещаемых датчиков накладывают реальные условия на борту действующего пилотируемого модуля и процедура сбора и обработки информации, которая должна осуществляться в реальном масштабе времени.

Основной целью исследования является разработка метода определения координат точки пробоя, позволяющего однозначно и устойчиво определять место пробоя на всей гермооболочке пилотируемого модуля с использованием минимального количества датчиков.

Актуальность работы состоит в важной практической потребности оперативного определения координат места пробоя в случае возникновения нештатной ситуации пробоя гермооболочки станции. В связи с постоянным ростом космического мусора участились случаи его столкновения с космическими аппаратами, в частности, беспилотный американский аппарат X-37B получил семь повреждений обшивки в результате столкновения с космическим мусором во время пребывания на орбите в течение 224 дней по программе OTV-1 в апреле – декабре 2010 года. В настоящее время на МКС при пробое за короткое время невозможно определить не только место пробоя, но и отсек, в котором произошел пробой. При наличии на борту каждого модуля разработанной оптимизированной схемы измерений, подключенных к автономным системам сбора и обработки информации, возможно по имеющейся на борту беспроводной сети WiFi оперативно передавать предварительно обработанную информацию на центральный компьютер, который в течение нескольких секунд определит, в каком отсеке и в какой зоне искать негерметичность обшивки станции с помощью имеющихся на борту течеискателей. Оперативность определения координат точки пробоя становится особенно актуальной при диаметре отверстия больше или равном 5 мм. За интервал времени ~ 30 минут падение давления в гермоотсеке объемом 80 м3 составит 10 %, что является критическим порогом для ухудшения самочувствия и потери сознания экипажем станции.

Особенно ситуация становится критичной при пробое гермооболочки Служебного модуля (СМ) МКС, так как он является базовым модулем по жизнеобеспечению экипажа и управлению МКС. Если в результате внезапной разгерметизации придется покинуть СМ, то переданные на центральный компьютер данные могут быть использованы для поиска пробоины с внешней стороны обшивки. Вероятность нахождения точки пробоя на гермооболочке модуля не может быть вычислена заранее, так как даже при известных параметрах метеороидных потоков станция может внезапно потерять ориентацию, что приведет к значительному повышению вероятности пробоя гермооболочки там, где до этого она была минимальна.

Поэтому при создании системы оперативного определения координат точки пробоя важно определить минимальное число датчиков и их размещение внутри модуля, при котором обеспечивается однозначное и устойчивое определение координат места пробоя при равновероятном расположении источника звука на всей поверхности гермооболочки модуля.

Научная новизна исследования заключается в:

• обоснованном переходе от исходной системы нелинейных гиперболических алгебраических уравнений распространения переднего фронта звуковой волны к линейным алгебраическим уравнениям для обеспечения однозначности решения;

• оптимизации размещения датчиков и нахождении минимального их числа, обеспечивающего устойчивое определение координат точки пробоя на всей поверхности цилиндрической модели пилотируемого модуля с аналитическим доказательством существования локального D-оптимального плана эксперимента в непрерывной постановке • введении и успешном использовании в исследованиях устойчивости измерительных планов нового С -критерия качества матрицы:

осредненного числа обусловленности по линейным комбинациям строк матриц, обладающего большей избирательной способностью по отделению более устойчивых схем измерений от менее устойчивых по сравнению с обычным числом обусловленности;

• обоснованном способе отсеивания заведомо неверных решений, основанном на двухпараметрическом критерии, включающем в себя критерий качества матрицы системы линейных уравнений и величину невязки найденного решения с исходной системой нелинейных уравнений.

Проведенная автором оптимизация отличается от других работ в этой области тем, что получен и обоснован локально-оптимальный план измерительной схемы для трехмерной задачи определения координат источника в ближнем поле источника сферической звуковой волны.

Областью применимости разработанного метода являются пилотируемые и непилотируемые космические объекты, имеющие на борту газовую среду с постоянным давлением > 0,1 атм. Метод может применяться, в том числе, для оперативного определения мест пробоя обшивки корпусов кораблей на флоте и в авиации.

Практическая значимость исследований подтверждается использованием разработанной оптимизированной схемы размещения датчиков при испытании образца системы оперативного определения координат точки пробоя в РКК «Энергия» на КС СМ и на стендах ЦНИИмаш.

Предложенная измерительная схема ранее в мировой практике не применялась. Устройство и способ определения координат источника импульсного звука оформлены в виде изобретения и получен патент РФ.

Совместно со специалистами ЦНИИмаш разработана программа по оперативному определению координат точки пробоя. Разработанная программа опубликована в бюллетене отраслевого фонда алгоритмов и программ. В результате был создан технологический образец системы оперативного определения координат точки пробоя, который прошел успешные испытания по определению координат источника звука как на комплексном стенде Служебного модуля МКС с имитацией звуковой волны пробоя, так и на стендах ЦНИИмаш с осуществлением реального пробоя фрагмента гермооболочки частицей, разогнанной с помощью газодинамической пушки до скорости сравнимой с первой космической скоростью.

Применение разработанной оптимизированной схемы размещения датчиков, предложенные алгоритмы отсеивания неверных решений по критериям осредненной обусловленности системы линейных уравнений и минимальной невязки с исходными нелинейными уравнениями, а также применение современных алгоритмов обработки сигналов, основанных на вейвлет-преобразовании сигналов для наиболее эффективного выделения полезного сигнала на фоне шумов работающего на борту оборудования, позволяют с достаточной для практики точностью определять координаты точки пробоя.

В настоящее время ведутся подготовительные работы по осуществлению космического эксперимента «Пробой» в 2012 – 2013гг. для подтверждения результатов разработанной методики и исследования факторов, не воспроизводимых на Земле.

В работе автором использованы результаты экспериментов, проведенные совместно специалистами ЦНИИмаш и РКК «Энергия» с участием автора на стендах ЦНИИмаш и РКК «Энергия». Для оценки уровней шума на борту Служебного модуля МКС использовалась программа спектрального и корреляционного анализа виброакустических процессов LoadSignal, разработанная автором.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием фундаментальных принципов механики сплошной среды, корректной постановкой краевых задач, теоретическим обоснованием корректности перехода от нелинейных алгебраических уравнений распространения переднего фронта звуковой волны к линейным, доказательством локальной оптимальности экспериментального плана в непрерывной постановке задачи, использованием нескольких критериев оптимальности для поиска оптимального плана эксперимента и метода Монте-Карло для оценки реальной устойчивости найденных локальнооптимальных планов экспериментов, сопоставлением с результатами экспериментальных исследований.

Апробация. Основные результаты работы представлены в докладах на конференциях:

• 2-я Международная конференция ЦАГИ «Проблемы аэрокосмической науки и техники», 2002г. (1 доклад) фундаментальных и прикладных наук» (3 доклада).

• Третья научно-техническая конференция «Перспективы использования новых технологий и научно-технических решений в изделиях ракетнокосмической техники разработки ГКНПЦ им. М.В.Хруничева», Москва, 2003г. (1 доклад).

• 8-я Международная конференция МАИ «Авиация и космонавтика» 26октября, 2009г. (1 доклад).

• Научная конференция МГУ «Современные проблемы газовой и волновой динамики», апрель 2009г, Москва (1 доклад).

Публикации. По теме работы опубликовано 12 работ, из них 2 в отечественных рецензируемых журналах, 7 в материалах российских и международных конференций, 2 патента РФ на изобретение и 1 программа в ФАП ЦНИИмаш.

Автор выносит на защиту:

1. Разработанные алгоритмы и программы оптимизации планирования экспериментов в задаче определения координат точки пробоя пилотируемого модуля;

2. Повышение точности определения моментов времени прихода переднего фронта звуковой волны на фоне шумов работающего на борту пилотируемого модуля оборудования за счет применения адаптивной вейвлет-фильтрации сигналов;

3. Оптимизированный план размещения микрофонов во внутреннем объеме пилотируемого модуля и способ определения координат места пробоя гермооболочки пилотируемого модуля высокоскоростной микрометеороидной или техногенной частицей;

4. Повышение точности определения координат точки пробоя для модуля, состоящего из нескольких гермоотсеков, соединенных между собой люковыми отверстиями, за счет введения 2-х дополнительных точек измерений в малом отсеке, синхронизованных с базовой системой измерений.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на страницах, содержит 55 рисунков, 15 таблиц и состоит из введения, четырёх глав, заключения, одного приложения, списка литературы из наименований.

II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе содержится математическая постановка задачи распространения сферической звуковой волны в воздушной среде модуля.

Для решения задачи оптимального размещения датчиков по определению координат точки пробоя на всей поверхности гермооблочки модуля была принята математическая модель идеальной газовой среды, позволяющая ввести потенциал скорости и перейти от системы уравнений механики сплошной среды к единственному волновому уравнению где c – скорость звука в воздушной среде модуля.

Звуковая волна, потенциал скорости которой зависит только от расстояния r и от времени t, называется сферической. Волновое уравнение в сферических координатах примет вид Решение этого уравнения представляет собой уравнение бегущей волны Малое отклонение давления P относительно постоянного давления P связано с потенциалом скорости соотношением где 0 – плотность воздуха.

С помощью размещенных во внутреннем объеме модуля микрофонов с заранее известными координатами можно зарегистрировать приход переднего фронта импульсной звуковой волны по характерному всплеску давления P. Разновременность прихода волны к микрофонам и гипотеза о сферичности звуковой волны позволяют восстановить координаты источника звука.

Из уравнений (3), (4) следует, что геометрическое место переднего фронта звуковой волны в декартовой системе координат определяется нелинейным алгебраическим уравнением гиперболического типа где с – скорость звука, t0 – эффективный момент времени возникновения звуковой волны, ti – момент времени прихода переднего фронта звуковой волны к i-му микрофону, x0, y0, z0 – координаты источника звука, xi, yi, zi – координаты i-го микрофона.

При взаимном вычитании уравнений (5), составленных для двух микрофонов i и j, квадраты неизвестных величин взаимно уничтожаются, что приводит к появлению линейных уравнений вида где (i)ij = (i) j (i)i - разностный оператор, E[(i)ij ] = ((i)i + (i) j ) / 2 - усредняющий оператор.

Выражение (6) представляет собой уравнение гиперплоскости в ni j = ( xij, yij, zij, с tij ), восстановленным из опорной точки Рис. 1 – Гиперплоскость в четырехмерном уравнение гиперплоскости На пересечении 4-х гиперплоскостей с линейно-независимыми векторами нормалей координаты искомой точки пробоя находятся однозначно. Для составления невырожденной системы линейных уравнений требуется разноместных измерений. Задача размещения микрофонов осложняется тем, что в качестве возможных источников звука могут выступать любые точки на гермооболочке модуля. Может оказаться так, что для одних возможных точек пробоя выбранная схема размещения будет вести себя устойчивым образом, а для других – приводить к вырождению системы линейных уравнений, когда гиперплоскости или их пересечения становятся почти параллельными друг другу, и малейшие погрешности в исходных данных будут приводить к значительным погрешностям в определении координат источника звука.

В этой же главе доказывается корректность перехода от исходной системы нелинейных алгебраических уравнений к разностной по отношению к исходной системе линейных алгебраических уравнений. В связи с этим рассматриваются понятия числа обусловленности системы линейных уравнений и функционала невязки разностной системы уравнений по отношению к исходной системе.

Рассмотрим систему произвольных уравнений {fi(X)=0}, для которой дадим следующее определение.

Определение. Разностной системой уравнений по отношению к исходной системе уравнений назовем систему, каждое уравнение которой представляет собой разность двух уравнений, принадлежащих исходной системе.

Для разностной и исходной систем уравнений справедлива следующая теорема о единственности решения.

Теорема 1. Если разностная система уравнений имеет единственное решение, то исходная система уравнений либо несовместна, либо имеет то же решение, причем единственное.

Исходные данные теоремы:

а. система (I) – исходная система из n уравнений.

б. система (II) – разностная система из (n – 1) уравнений, составленных, без потери общности, вычитанием первого уравнения исходной системы из всех остальных.

в. система (II) имеет единственное решение.

Доказательство:

Рассмотрим два случая: 0 и = 0.

1. Если 0 X ( I ), является ли при этом система (I) несовместной?

Отсюда X ( II ), но из условий теоремы X является единственным решением системы (II). Значит, X = X, но в рассматриваемом случае единственным решением системы (I)?

Отсюда X ( II ), но из условий теоремы X является единственным решением системы (II). Значит, X = X X ( I ). Отсюда X является единственным решением системы (I).

Теорема 1 доказана.

По определению система линейных уравнений является разностной по отношению к исходной системе нелинейных уравнений. Поэтому решение невырожденной системы линейных уравнений в случае совместности исходной системы нелинейных уравнений, по теореме 1, также является единственным решением исходной системы. Несовместность исходной, вообще говоря, переопределенной системы нелинейных уравнений (5) может быть вызвана лишь наличием погрешностей в исходных данных.

Рассмотрим влияние погрешностей в исходных данных на решение системы линейных уравнений. В матричном виде система линейных уравнений (6) запишется как где A – квадратная матрица, вектор-строки которой соответствуют нормальным векторам гиперплоскостей, X – вектор-столбец искомых величин, B – вектор-столбец с правой частью системы линейных уравнений.

Решение системы линейных алгебраических уравнений можно рассматривать в виде некоторой функции от определяющих его матрицы A и вектора B, при изменении которых претерпевает изменение и само решение.

В теории возмущений исследуется взаимосвязь этих изменений, которые иначе называются возмущениями.

Пусть матрица A – невырожденная и норма матрицы возмущений E < A1. Возмущения матрицы A и обратной ей матрицы A можно записать в виде Тогда имеет место неравенство для возмущения обратной матрицы где condA – число обусловленности матрицы A, которое определяется выражением Для любой нормы матрицы A всегда condA 1.

Допустим, что решаются точная система линейных уравнений AX = B и система с возмущениями ( A + E ) X = B +. Для возмущения решения системы линейных уравнений и его правой части, выраженных как имеет место следующее неравенство:

Неравенства (8), (9) дают количественные оценки возмущения обратной матрицы и решения системы линейных алгебраических уравнений в случае возмущения матрицы A и правой части B. Из этих неравенств следует, что в окрестности любой невырожденной матрицы обратная матрица и решение системы линейных уравнений являются непрерывными функциями входных данных. При этом непрерывность решения по правой части имеет место всюду. Как видно из неравенств, величина возмущения как обратной матрицы, так и решения системы существенно зависят от числа обусловленности матрицы.

Из теоремы 1 и неравенств (8), (9) следует, что в окрестности невырожденной матрицы A решение системы линейных уравнений (6) находится в окрестности искомой точки пробоя, размер которой определяется числом обусловленности матрицы A.

Впервые обоснованный переход от системы нелинейных алгебраических уравнений к линейным уравнениям был осуществлен В.Ю.Бурминым в задаче оптимального планирования эксперимента в задаче обнаружению эпицентра землетрясения с введением числа обусловленности матрицы в качестве критерия C-оптимальности плана эксперимента. Взаимосвязь числа обусловленности матрицы и её устойчивости к возмущениям в исходных данных приводится ещё в книге Форсайта и Молера по численным методам решения систем линейных уравнений. Формулы (8), (9) по оценке влияния возмущений в исходных данных на возмущения обратной матрицы и решения системы линейных уравнений взяты из справочника В.В.Воеводина и Ю.А.Кузнецова.

Заметим, что в соотношения (8), (9) входят нормы невозмущенных матриц А и А-1, которые неизвестны в случае E 0. В.Ю.Бурминым было показано, что для возмущенной матрицы A = ( A + E ) справедлива следующая оценка возмущения решения Если A1 существует, то оценка (10) может быть вычислена для любых согласованных норм матриц и векторов.

Выясним, как величина невязки = f i ( X ) из теоремы 1 связана с ошибкой в решении X. Внося возмущения X i в исходные данные X i и подставляя в (5), получим Считая измерения равноточными ( X i = X ), усредним правую часть выражения (10) по исходным данным в нескольких точках измерений, в результате получим следующее осредненное выражение Перейдя к нормам векторов, используя неравенство Коши-Буняковского, можно написать неравенство для модуля невязки Из выражения (13) следует, что при стремлении ошибок в решении X и в исходных данных к нулю стремится к нулю и значение невязки. Обратное, вообще говоря, неверно. Лишь для хорошо обусловленной системы линейных уравнений в силу однозначности и непрерывности решения в окрестности невырожденной матрицы A малая величина невязки может служить показателем верного решения и отсутствия ошибок в исходных данных. Поэтому использование невязки для оценки точности полученного результата возможно лишь совместно с критерием числа обусловленности матрицы или другим критерием оценки качества матрицы.

В мировой практике исследования устойчивости линейных операторов находит применение достаточно большое количество критериев, позволяющих получать на основании численного исследования матрицы некоторую скалярную величину, характеризующую качество матрицы. К таким критериям относятся определитель матрицы, число обусловленности матрицы, норма обратной матрицы, след матрицы и т.д.. В работе были использованы критерии по максимизации модуля определителя матрицы A по минимизации числа обусловленности где max, min - минимальное и максимальное числа сингулярности матрицы, и критерий по минимизации нормы обратной матрицы В критериях (15), (16), была использована спектральная норма матрицы.

Из литературы (В.В.Федоров, Д.Усински и др.) по оптимальному планированию эксперимента известно, что так называемый критерий Dоптимальности, основанный на максимизации определителя матрицы, минимизирует объем эллипсоида неопределенности для оценок решения.

Критерий E-оптимальности, основанный на максимизации наименьшего собственного значения матрицы, как и критерий C-оптимальности, основанный на минимизации числа обусловленности матрицы, минимизируют длину наибольшей оси того же эллипсоида. Критерий Aоптимальности, основанный на следе обратной матрицы, уменьшает среднюю дисперсию оценок. Важным преимуществом D-оптимальности состоит в том, что определитель матрицы инвариантен относительно линейных преобразований со строками матрицы (Д.Усински), в то время как A-оптимальность, E-оптимальность и C-оптимальность вариативны относительно неунитарных операций с матрицей.

Наиболее надежным, но и наиболее затратным по вычислительным ресурсам методом исследования устойчивости систем линейных уравнений является метод Монте-Карло. Его применение оправдано лишь на последнем этапе выбора оптимальной измерительной схемы, когда осуществлена оптимизация по нескольким скалярным критериям.

На основании критериев оптимальности линейных операторов, в нашем случае, матрицы системы линейных уравнений, сформулируем задачу оптимального планирования эксперимента. Построение оптимальных планов в задаче определения источника звука в трехмерном пространстве сводится к решению весьма сложной задачи нелинейного математического программирования, где области задания расположения возможных источников и приемников звука являются непрерывными областями, что не всегда позволяет доказать существование даже локально-оптимального плана только лишь численными методами.

В качестве геометрической модели гермооболочки космического модуля рассмотрим цилиндрическую поверхность, ограниченную с двух сторон плоскостями перпендикулярными оси цилиндра. Параметрами гермооболочки Г являются длина цилиндрической поверхности L и диаметр цилиндра D. В непрерывной постановке задачи считаем, что в любой точке гермооболочки Г может возникнуть точечный источник p сферической звуковой волны, вызванный пробоем гермооболочки высокоскоростной частицей. В дискретной постановке задачи на гермооболочке модуля Г будем сетки p = [ pk ], pk, для которых требуется решить обратную задачу по восстановлению координат источника.

Присутствие экипажа и наличие оборудования на борту накладывает ограничения на места размещения микрофонов во внутреннем объеме модуля. Жилое рабочее пространство пилотируемого модуля отделено от гермооболочки панелями интерьера, за которыми размещается большая часть оборудования и проложены кабельные трассы. С практической точки зрения единственно возможным местом размещения микрофонов являются панели интерьера. В этой связи в математической постановке задачи было рассмотрено оптимальное размещение датчиков d на поверхности параллелепипеда, вписанного в ограниченную цилиндрическую оболочку Введем в рассмотрение план измерений где d = [ d i ], d i, - набор векторов с координатами датчиков.

Рассмотрим задачу поиска оптимального плана измерений (14) при N N min, где N min - минимальное количество датчиков, при котором решение анализируемой обратной задачи поиска места пробоя определяется единственным образом.

Задача планирования эксперимента состоит в нахождении набора векторов или где M ( d* ) - выбранный показатель качества, в зависимости от которого применяется оптимизация (18) (по критерию максимизации определителя (14)) или (19) (по критериям минимизации числа обусловленности (15) и нормы обратной матрицы (16)).

Во второй главе приводятся данные о звуковой волне, возникающей при пробое гермооболочки модуля, в том числе, о возможности её имитации, и описание разработанного алгоритма распознавания переднего фронта звуковой волны на фоне шумов работающего на борту модуля оборудования.

Высокоскоростной удар небольшого материального объекта (частицы) техногенного или естественного происхождения по гермооболочке пилотируемого модуля может привести к повреждению или пробою гермооболочки, в результате чего внутрь модуля выбрасывается облако раздробленного или испаренного материала частицы и гермооболочки.

Мгновенные пластические деформации конструкции при образовании вмятины или облако раскаленного материала в случае пробоя конструкции вызывают в воздушной среде пилотируемого модуля образование ударной волны, по мере удаления от места удара вырождающейся в звуковую волну.

В.В.Лапыгиным, А.Н.Тихомировым и Г.А.Макаревичем было показано, что указанная акустическая волна является одним из стабильно повторяющихся факторов, сопровождающих высокоскоростной пробой гермооболочки, что дает возможность использовать ее для регистрации факта соударения и определения координат места пробоя.

Исследование акустических волн при пробое стенки гермоотсека высокоскоростной частицей проводилось в ЦНИИмаш на базе Рис.2 Амплитуды давлений на фронтах акустических волн при скоростном ударе частиц массой 0,1-0,25г в скоростном ударе частиц массой 0, диапазоне скоростей 1,5-3,5км/сек.

Пунктир – амплитуды давлений при точечном электровзрыве с энергией:

1 –W=9 дж, 2 – W=28 дж, 3 – W=56 дж, 4 – W=250 дж.

установке МБУ проводилась отработка противометеоритного защитного устройства (ПМЗУ). При ударе алюминиевого снаряда массой 1,3г при скорости U = 6,6 км/с по стенке через ПМЗУ стенка деформируется без пробоя, при этом в газгольдере возникает сильная акустическая волна с давлением на фронте в несколько сотен Па на расстоянии 1 м от точки соударения. При ослаблении защиты стенка пробивается и давление на фронте акустической волны лежит в диапазоне тысяч Па.

Формы импульсов в ближней зоне от точки пробоя во всех проведенных испытаниях подобны взрывным волнам. Поэтому при исследовании распространения акустических волн в гермоотсеке можно использовать имитаторы пробоя взрывного действия.

Наилучшее соответствие звуковой волне «пробоя» обеспечивается с помощью мембранного имитатора, импульсный звук из которого извлекается благодаря разрыву резиновой мембраны, находящейся под давлением.

Сжатый воздух подается к мембране по тонкому длинному гермошлангу, что позволяет размещать излучатель звука в запанельном пространстве модуля с достаточно плотно прикрытыми панелями интерьера.

(L = 1,34 м, Mч=0,2 г, Vч=5 км/с, материал - алюминий) P, Па - Рис. 3 – Воспроизведение звуковой волны пробоя гермооболочки На рис. 3 приводится сравнение формы звуковой волны при осуществлении реального пробоя фрагмента гермооблочки пилотируемого модуля, и звук при разрыве мембраны имитатора пробоя при измерении акустического давления на одном и том же расстоянии от источника звука.

Как видно из рисунка, форма звуковой волны от имитатора в среднем хорошо воспроизводит волну при реальном пробое, поэтому использование имитатора пробоя на Комплексном стенде позволяет обоснованно судить о характере распространения звуковой волны пробоя в натурных условиях.

Меняя толщину и диаметр резиновой мембраны имитатора, можно подбирать амплитуду и спектр сигнала звуковой волны, соответствующие натурным.

Основным фактором, мешающим распознаванию переднего фронта волны, является шум оборудования, работающего на борту модуля.

Дополнительным фактором является ослабление звуковой волны при прохождении панелей интерьера, отделяющих оборудование от рабочего объема модуля. Испытания многослойных панелей интерьера с имитатором звуковой волны пробоя показали, что затухание амплитуды переднего фронта волны при инерционном механизме прохождения составляет от 34 до 40 дБ в зависимости от толщины испытываемой панели в соответствии с законом масс. При этом инерционное прохождение звука не вызывало задержек в распространении сигнала волны, а даже, наоборот, волна испытывала небольшое ускорение (не более 20 мкс) за счет большей скорости звука в материале, из которого сделаны панели. С небольшой задержкой за передним фронтом волны следует волна, вызванная резонансным прохождением звука. Амплитуда такой волны оказалась всего на 20 дБ меньше амплитуды падающей волны, что помогает распознавать событие пробоя при относительно небольшой энергии взаимодействия частицы с гермооблочкой.

На рис. 4 приведены 1/3-октавные спектры стационарного акустического шума, наблюдающегося на борту Служебного модуля МКС, полученные с помощью разработанной автором программы LoadSignal. Программа LoadSignal применялась также при обработке нестационарных акустических процессов, наблюдающихся при старте и полете ракет.

Рис. 4 – Уровни акустического давления в 1/3-октавных может быть распознан полосах частот на борту Служебного модуля МКС лишь на расстоянии 1 м от источника. За счет резонансного прохождения звуком панелей интерьера и прохождения сквозь имеющиеся щели сигнал волны будет распознан на расстоянии до 10 м. Дополнительный эффект в плане улучшения распознавания сигнала на фоне шумов работающего оборудования дает согласованная фильтрация сигнала в нескольких полосах частот.

Наработанный задел при создании программы LoadSignal позволил разработать алгоритм автоматического определения моментов времени прихода переднего фронта звуковой волны, основанный на адаптивной вейвлетфильтрации сигналов.

Рис. 5 – Ортогональное вейвлет-преобразование где f – функция, интегрируемая с квадратом, - материнский вейвлет, s – масштаб, u – временной сдвиг.

На практике часто применяют ортогональное вейв-лет-преобразование, позволяющее без избыточности получать информацию о временном развитии исследуемого физического процесса в октавных полосах частот (рис. 5).

Алгоритм Малла позволяет осуществлять процедуру быстрого вейвлет-преобразования, что особенно важно при реализации вейвлет-фильтрации в реальном масштабе времени.

Для обнаружения события прихода переднего фронта волны используется тот факт, что, как показали Добеши, Малла и Хванг, информация о случайном выбросе сигнала отражается лишь на самом высокочастотном масштабе разложения сигнала, в то время как отклик на значимое, более регулярное, событие обнаруживается сразу в нескольких полосах частот. Для различения фронта волны на фоне шумов функция материнского вейвлета должна обладать определенными свойствами. Симметрия вейвлета позволяет -0. Рис. 6 – Функция материнского вейвлета Койфмана (coif1) который обладает приемлемой симметрией и регулярностью для выделения полезного сигнала на фоне шумов работающего на борту оборудования.

Третья глава содержит описание численных методов оптимизации плана эксперимента по различным критериям устойчивости.

Решение задачи методом Гаусса-Зейделя. Решение поставленной задачи в дискретной постановке осуществлялось численными методами. Ввиду достаточно сложных геометрических ограничений, введенных на размещение датчиков (поверхность параллелепипеда), был программно реализован метод покоординатного спуска Гаусса-Зейделя. В стандартных оптимизационных пакетах, таких как Optimus фирмы LMS, оказалось невозможным задать требуемую граничную область размещения датчиков (в пакете задаются интервалы изменения варьируемых переменных, из-за чего в 3-хмерной Рис. 7 – Расчетная сетка Поверхность цилиндра равномерно через каждые 0,1 м разбивалась сеткой, в узлах которой размещались источники. Всего было задано ~ источников на всей поверхности цилиндра, включая его торцы (см. рис. 7). В качестве критерия оптимизации был выбран критерий D-оптимальности по максимизации модулей определителей систем линейных уравнений, составленным по всем источникам на поверхности цилиндра.

При решении данной задачи оказалось, что при числе датчиков N=5 на поверхности цилиндра всегда находится источник, приводящий к Рис. 8 – D-оптимальный план задачи (17) для N>5 несколько усложняется где множество состоит из CN наборов по 5 векторов d*i, составленных всевозможными сочетаниями из имеющихся N датчиков. Аналогичным образом можно переформулировать (19).

В результате оптимизации методом Гаусса-Зейделя задачи (22) при N = 6 получили локально-оптимальный план размещения датчиков, показанный на рис. 8, согласно которому датчики расположены по три на двух скрещивающихся прямых.

i =1… Рис. 9 – Нормированная огибающая определителей по максимальные значения источникам на всей поверхности цилиндра области цилиндрической поверхности цилиндра, а минимальные – на торцах цилиндра. Найденная схема была проверена на устойчивость методом Монте-Карло при помещении источников в нескольких характерных точках на поверхности цилиндра.

В качестве возмущений в исходные данные привносились равномерно распределенные случайные величины со следующими интервалами отклонений:

Рис. 10 – Исследование устойчивости D-оптимальной цилиндра и в центре торца цилиндра. Как видно из рисунка 10, метод МонтеКарло подтвердил характерную особенность найденной схемы измерений с наибольшей её устойчивостью в центре цилиндра и с гораздо меньшей вблизи его торцов.

В таблице 1 представлены результаты моделирования случайных погрешностей, задаваемых в исходные данные. В качестве прямых погрешностей в таблице 1 представлены среднеквадратические отклонения координат расчетной точки от заданных координат источника.

В качестве погрешностей в проекциях в таблице 1 приведены среднеквадратические отклонения координат точки, являющейся проекцией на оболочку цилиндра расчетного источника, от заданных координат источника. Проекция расчетного источника находилась на пересечении луча, испускаемого из точки, получаемой усреднением координат точек измерений и проходящего через расчетную точку источника, с поверхностью цилиндра.

Проекции расчетного источника на поверхность цилиндра показаны на рисунке 10 черными точками.

Таблица 1 – Результаты моделирования случайных погрешностей в исходных данных Центральная Из таблицы 1 видно по комбинациям точек измерений с максимальными определителями, что в центральной области погрешность в определении координат источника не превышает 0,17 м, на кромке торца – 0,62 м и в центре торца – 1,07 м. В проекциях на цилиндрическую поверхность погрешности не превышают в центральной области – 0,12 м, на кромке торца – 0,35 м и в центре торца – 0,24 м.

Аналитическое доказательство локальной D-оптимальности схемы типа «крест». Для найденной схемы измерений типа «крест» было получено Рис. 11 – Непрерывная постановка задачи для D-оптимального плана эксперимента другую не становится сингулярной. Оказалось достаточным рассмотреть определители всего для двух комбинаций точек измерений {1, 2, 3, 5, 6} и {1, 2, 4, 5, 6}, так как они, переключаясь попеременно друг на друга, полностью определяют огибающую определителей на всей поверхности цилиндра, в том числе в точках достижения точной нижней грани огибающей, которыми являются центры торцов цилиндра (см. рис. 12).

Аналитически задача решалась в параметрическом виде с параметрами L – длиной цилиндра, H – высотой вписанного в цилиндр параллелепипеда и W – шириной параллелепипеда. Оказалось, что для найденной D-оптимальной схемы измерений определители в упомянутых выше комбинациях точек измерений имеют достаточно простой вид:

где A1 - определитель матрицы системы линейных уравнений (6), составленной для комбинации датчиков {1, 2, 3, 5, 6}, A2 - определитель для комбинации датчиков {1, 2, 4, 5, 6}, c – скорость звука, ri - расстояние от i-ой cLWHG положения источника на поверхности цилиндра двух скрещивающихся прямых, что гарантирует невозможность одновременного вырождения систем линейных уравнений (6), составленных для комбинаций точек {1, 2, 3, 5, 6} и {1, 2, 4, 5, 6}, в любой точке пространства. Тем не менее, из формул (24), (25) ясно, что при удалении источника от измерительной схемы оба определителя будут асимптотически стремиться к нулю.

Поэтому разработанная схема измерений практически пригодна для задачи локализации в ближнем поле источника, что соответствует поставленной задаче определения координат точки пробоя.

При доказательстве достижения точной нижней грани огибающей определителей было рассмотрено поведение определителей A1 и A2, которые сразу оба достигают точной нижней грани в двух точках на поверхности цилиндра, а именно, в точках пересечения торцов с осью симметрии цилиндра. На рис. 12 приводятся значения определителей A1, A2 и их огибающей, нормированные по величине cLWHG, где c – скорость звука, LWH = V – объем параллелепипеда, а G – длина наибольшей диагонали параллелепипеда.

Как видно из рис. 12, сами определители достигают своего минимума на кромке торца цилиндра, однако их огибающая принимает свое минимальное значение в упомянутых выше точках S1 и S2 в центрах торцов цилиндра.

Для общего понимания проблемы доказательства достижения точной нижней грани рассмотрим сначала дискретный вариант с параметрами L = м и D = 4,1 м, W = H = D / 2. Внесем последовательно малые изменения = мм в координаты точек измерений, наблюдая при этом за возмущениями определителей A1 и A2 в точках S1 и S2. В таблице 2 приводятся результаты такого исследования.

Приведенные в таблице 2 данные показывают, что малые последовательные возмущения координат точек измерений приводят к уменьшению значения огибающей, однако, при совместном изменении абсцисс датчиков 3 и 4 в противоположных направлениях происходит совместный рост огибающей определителей в точках S1 и S2. Сложность доказательства даже локального оптимума задачи планирования эксперимента заключается в том, что в дискретной постановке численными методами не всегда удается показать оптимальность найденного плана измерений.

В непрерывной постановке задачи было исследовано влияние бесконечно малых приращений координат датчиков на приращения определителей A1 и A2 в точках S1 и S2. Для этого была использована формула Тейлора для функции нескольких переменных в предположении непрерывности всех частных производных первых 3-х порядков определителей A1 и A2 в окрестности точек S1 и S Ai ( xi1, yi1, zi1,..., xi5, yi5, zi5 ) = dAi ( xi1,..., zi5 ) + где d j A - дифференциалы определителей j – го порядка.

Таблица 2. Возмущения определителей A1 и A2 в точках S1 и S2 достижения огибающей определителей точной нижней грани при внесении возмущений в координаты датчиков.

+x3-x -x3+x -x3-x В результате проведенных исследований выяснилось, что для точек измерений, расположенных в углах параллелепипеда (точки 1, 2, 3, 4) частные производные первого порядка по всем координатам не равны нулю для обоих определителей и при любых соотношениях L и H сохраняют свой знак так, что любые приращения этих координат, направленных вдоль стенок параллелепипеда, притом оставаясь в рамках параллелепипеда, приводят к отрицательному приращению определителей. Вторые частные производные для этих точек измерений не рассматривались, так как при ненулевых первых производных квадратичные приращения являются величинами второго порядка малости.

Более сложная ситуация оказалась при изучении приращений координат точек измерений 3 и 4, расположенных посередине скрещивающихся прямых. Частные производные первого порядка определителя A1 по координате z3 и A2 по координате z4 в точках S1 и S2 оказались равными нулю. При этом вторые частные производные по этим координатам оказались положительными при любых соотношениях L и H, так что любые приращения по этим координатам приводят к убыванию обоих равны нулю, в связи с чем отсутствует взаимное влияние на x4z приращение определителей при совместном приращении по координатам z и x для точек измерений 3 и 4.

Наиболее трудоемким вышло исследование влияния возмущений абсцисс точек измерений 3 и 4 на приращение точной нижней грани огибающей определителей. Выпишем, чему равны частные производные по этим координатам:

Как видно из формул (26, 27), частные производные по координатам x3 и x4 по модулю равны друг другу, но принимают противоположные по знаку значения в точках S1 и S2. Это позволяет при противоположных по знаку совместных приращениях координат x3 и x4, как это уже было показано раньше в численном эксперименте (см. таблицу 2), одновременно увеличить значение огибающей определителей сразу в двух точках S1 или S2. Вопрос, приведет ли это к повышению точной нижней грани огибающей определителей, и является схема «крест», действительно, локальным оптимальным планом, потребовал отдельного рассмотрения.

Вначале было проведено дополнительное численное исследование. Был построен отклик огибающей определителей на поверхности торца цилиндра Рис. 13 Огибающая определителей в окрестности точки S1 (x3 = x4 = 0 м) в окрестности точки S1, чтобы пронаблюдать за тем, как изменяется вид функции при внесении возмущений в координаты x3 и x4. Из рисунков 13, видно, что огибающая определителей в окрестности точки достижения точной нижней грани имеет разрыв производной и представляет собой узкий желоб, положение которого смещается при внесении согласованных возмущений в координаты x3 и x4. Аналитическое исследование показало, что положение желоба можно определить в малой окрестности точек S1 или S2 на плоскости торца (z, y) в виде уравнения прямой Прямая (28) соответствует линии равенства друг другу определителей A и A2 в окрестности точки S1 или S2. Подставляя выражение (26) в формулу одного из определителей, и разлагая полученное выражение в ряд Тейлора в окрестности точки S1 или S2, получим зависимость от возмущений x3, x положения минимума на линии равенства определителей Подставляя значение y0 в выражение (28), получим положение новой точной нижней грани ( y0, z0 ) огибающей определителей. Опять же подставляя найденные значения ( y0, z0 ) в формулу для одного из определителей, можно убедиться, что по отношению к возмущениям x3, x4 точки S1 и S2 являются точками достижения условных экстремумов определителей. Можно также показать, что определитель матрицы Гессе где A =