САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Колоницкий Сергей Борисович

МНОЖЕСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2010

Работа выполнена на кафедре математической физики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, доцент Назаров Александр Ильич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор Ивочкина Нина Михайловна (Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет) доктор физико-математических наук Коньков Андрей Александрович (Московский государственный университет)

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Математический институт РАН им. В.А. Стеклова (Москва)

Защита состоится 2011 года в ч. на заседании диссертационного совета Д 212.232.49 по защите кандидатских и докторских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199178, СанктПетербург, 14-я линия В.О., д. 29, ауд. 22.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор А. А. Архипова

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Качественные свойства решений дифференциальных уравнений в частных производных активно исследуются в последние полвека. Разнообразным аспектам качественной теории посвящены работы Похожаева, Серрина, Ниренберга, Кондратьева, Верона, Скрыпника, Конькова, Каволя и многие другие.

Диссертация посвящена эффекту возникновения множественных положительных решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений вариационной структуры. Впервые этот эффект был открыт в 1984 году С. Коффманом [11], который показал, что при n = 2 задача u = uq1 в, u| = 0, (1) в кольце = BR+1 \ BR Rn имеет любое наперед заданное количество неэквивалентных (то есть не получающихся друг из друга при помощи поворотов) положительных решений при q > 2, если R достаточно велико.

В 1990 году Я.-Я. Ли [14] этот результат был обобщен на случай n 4, 2 < q < 2 2n, а также построены нерадиальные решения задачи (1) в достаточно n 2. Отметим, что в коротком замечании в конце ратонком слое при некоторых q боты Коффмана была сделана попытка обобщения основного результата на случай произвольного четного n, но, как указано в работе А.И. Назарова [2], это замечание нельзя считать обоснованным.

В 1993 С.-С. Лин [15] предпринял попытку усилить результаты Ли и, в частности, получить соответствующее утверждение при n = 3. Однако в доказательствах имеются серьезные пробелы. Более того, как показал в 1997 году Ж. Бьен [5] с использованием результатов Н. Мизогучи и Т. Сузуки [16], грубый метод, который использовали Я.-Я. Ли и С.-С. Лин, вообще не может дать при n = 3 более пяти неэквивалентных нерадиальных решений.

В 1997 году трехмерная задача была решена Ж. Бьеном [5] с помощью существенно более деликатной техники минимизации функционала энергии для задачи (1) при специальных дополнительных ограничениях, с использованием принципа концентрации Лионса и тонких поточечных оценок решений. В 1999 Ф. Катрина и Ж.-К. Ванг [9] предложили несколько иной метод, основанный на той же идее, который позволяет строить решения (1) при любом n 2 с предписанной группой симметрий.

Заметим, что авторы перечисленных работ рассматривают лишь уравнения с оператором Лапласа в главной части. В то же время, как показал в 2004 году А.И. Назаров [2], при n = 3 грубая техника дает возможность не только усилить результаты [14], но и распространить их на задачу где p u = div | u|p2 u – p-лапласиан, при произвольных 1 < p < и p < q < p (при q < p положительное решение задачи (2) единственно). Также в А.И. Назаровым был обнаружен "двойственный" эффект множественности при четных n и p n – для фиксированного R и достаточно больших q. Кроме того, А.И. Назаровым были построены нерадиальные решения задачи (2) для произвольного 1 < p <, при всех R > R0 существует как минимум два неэквивалентных решения. Решения, построенные в этой работе, концентрировались не в окрестности точек, а в окрестности некоторых многообразий. При [(n + 1)/2] + 1 p < n нерадиальное решение существует для любых q (p, ), в то время как радиальные решения существуют при всех p и всех q <.

В 2005 году А.П. Щегловой [4] была установлена множественность положительных решений для задачи Неймана также в двух случаях: при фиксированном q > p и достаточно больших R или (для четных n и p n) при фиксированном R и достаточно больших q.

В статье [3] изучались положительные решения задачи Дирихле а также задач для уравнения с радиальным весом более общего вида. В частности, была изучена потеря симметрии решения (4) с минимальной энергией при фиксированном q > p и достаточно больших или при фиксированном и достаточно больших q. При p = 2 (в этом случае уравнение (4) именуют уравнением Хенона, см.

[12]) часть результатов [3] была получена также в [18]. Еще один пример задачи, в которой "центробежный" вес приводит к потере симметрии решения, – задача о точной константе в неравенстве Каффарелли – Кона – Ниренберга ([10], [19]). Отметим еще работы, в которых (также при p = 2) исследуются асимптотические профили решений задачи (4) с минимальной энергией: в [19, 6, 7] для заданного 2 < q < 2 и В качестве следствия основных теорем в [3] были выявлен эффект множественности положительных решений задачи (4) в двумерном случае.

Цель работы.

1. Исследование эффекта множественности решений задачи Дирихле для уравнения обобщенного уравнения Хенона (краевая задача (4)).

2. Исследование эффекта множественности решений задачи Дирихле для модельного уравнения с p-лапласианом (краевая задача (2)) в трехмерном сферическом слое.

3. Исследование эффекта множественности решений задачи Дирихле для модельного уравнения с p-лапласианом (краевая задача (2)) с q > p.

Методы исследования.

В диссертационной работе используются классические методы функционального анализа и вариационного исчисления, метод априорных оценок и принцип концентрации-компактности.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:

2. Доказана множественность решений задачи (4) при фиксированном q (p, p ) 3. Доказана множественность решений задачи (4) при фиксированном , p > n 4. Доказана множественность решений задачи (2) при n = 3, q (p, p ) и больших 5. Доказана множественность решений задачи (2) при четном n 4, некоторых Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории дифференциальных уравнений в частных производных и ее приложениях в геометрии и математической физике.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинаре им. В.И. Смирнова по математической физике в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А.Стеклова РАН (2007-2010), на семинаре по нелинейным дифференциальным уравнениям в Московском Государственном Университете (2008, 2010), на семинаре отдела теории функций Математического института им. В.А.Стеклова РАН (2010), на конференции NPDE-2007 (Алушта, 2007), на конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008, 2010), на конференции Spring School in PDE (Лувен-ла-Нев, Бельгия, 2008).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах автора (две из них в соавторстве). Работа [1*] опубликована в журнале из перечня ВАК. Pабота [2*] опубликована в журнале, удовлетворяющем достаточному условию для включения в перечень ВАК (переводная версия этого журнала “Journal of Mathematical Sciences” входит в системы цитирования Springer и Scopus) в соответствии с решением Президиума ВАК № 9/11 от 07.03.2008.

В работах [2*] и [3*] научному руководителю А.И. Назарову принадлежит постановка задачи и общее руководство работой, а диссертанту - доказательство основных теорем.

Работа поддержана грантами РФФИ № 08 – 01 – 00748 и НШ – 4210.2010.1.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трех глав, включающих 7 параграфов, и списка литературы из 58 наименований. Общий объем диссертации составляет 103 страницы.

При 1 < p < обозначим p предельный показатель в теореме вложения Собоm в Rn.

Для произвольной замкнутой подгруппы G группы вращений O(n) обозначим LG пространство G-инвариантных функций из Wp ().

В диссертации исследуется эффект множественности решений задач (2) и (4).

Под решением краевой задачи понимается обобщенное решение из пространства Соболева W 1 (). Норму функции u в пространстве Lp () будем в дальнейшем обоp значать u p.

Доказательство множественности решений в модельных случаях обычно происходит по следующему плану:

Краевая задача зависит от некоторого параметра T.

1) Строится набор групп Gk O(n), зависящих от параметра k N.

2) Рассмотрим LGk пространство функций из Wp (R ) с группой симметрий Gk. Докажем, что LGk компактно вкладывается в некоторое (возможно, весовое) пространство Lq. Иногда (если, например, группа дискретная), достаточно обычной теоремы вложения Соболева. Если группа непрерывная, то фактически функция u LGk зависит от меньшего количества переменных и поэтому в некоторых случаях Lk Sk = {v LGk | v = 1}. Так как вложение LGk в Lq компактно, минимум достигается. Легко показать, что минимайзер (обозначим его uT,k ) неотрицателен.

4) Докажем, что при достаточно больших T минимум достигается во внутренней (с точки зрения топологии на Sk ) точке Lk (Если Lk = Sk, то этот шаг тривиален).

Таким образом, uT,k точка локального минимума на Sk.

5) По принципу симметричной критичности (см. [17]) uT,k критическая точка функционала J. Отсюда с использованием неравенства Харнака для p-гармонических функций получаем, что после подходящей перенормировки функция uT,k будет положительным решением краевой задачи.

6) Докажем, что при достаточно больших T (т.е. T > T0 (k1, k2 )) функции uT,k и uT,k2 различны (не эквивалентны).

7) Заметим, что, задавшись произвольным числом N, мы можем подобрать такой набор k1,..., kN и такое число T0 (N, k1,..., kN ), что при T > T0 функции uT,k1,..., uT,kN различны.

Наибольшую сложность представляют шаги 1, 4, 6.

В главе 1 рассматривается краевая задача (4). Основные результаты главы следующие:

существует 0 = N (n, m, p, q), такое, что при любом > 0 существует не менее двух неэквивалентных положительных решений задачи (4).

Теорема 2. Пусть 1 < p <, n = 2 или n N N существует N = N (n, p, q), такое, что при любом > N существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (4).

Теорема 3. Пусть n qN = qN (n, p, ), такое, что при любом q > qN существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (4).

Решение задачи (4) при подходящей перенормировке будет критической точкой для функционала Пусть пара чисел m N, k N {0} удовлетворяет условиям Тогда разложение пространства Rn = (Rm ) Rk будем называть (m, k)-разложением. Отметим, что если m < n, то (6) влечет n 4.

Пусть G замкнутая подгруппа O(m). Введем группы Функцию u будем называть – m-радиальной, если она инвариантна относительно Hm,k,O(m), – (m, k)-симметричной, если она инвариантна относительно K(m,k), – (m, k)-радиальной, если она инвариантна относительно Gm,k,O(m).

В §1.1 вводятся группы симметрий Gm,k,O(m), указанным образом доказываются пункты 3, 4, 5 для произвольной группы симметрий G O(n), и доказывается оценка для (m, k)-радиального решения:

При больших эти оценки дают возможность отличить друг от друга (m, k)-радиальные решения при разных m, что доказывает теорему 1. Аналогичные оценки на порядок роста дают возможность отличить друг от друга (m, k)-радиальные решения при одинаковых m и различных k, за одним исключением: решения с k = 0 и с k = m различить не удалось.

В §1.2 вводится группа G2,k,Gt, где группа Gt порождена поворотом на. В пункте 2 для них используется обычная теорема вложения. Далее доказывается оценка Таким образом, эти решения при больших не (2, k)-радиальны. Затем доказывается, что если решения с группой симметрий G(2,k,Gt ) и различными t совпадают при всех, то они (2, k)-радиальны, что противоречит предыдущей оценке. Таким образом, решения с различными t различны, что доказывает теорему 2. Различить решения при различных k удается в силу того, что решения концентрируются в окрестности подпространства размерности n k. Единственный случай, в котором не удалось доказать различие решений с такими симметриями, таков: t1 = 2, t2 = и 2k2 k1 = n. Таким образом, пункт 6 доказан.

В §1.3 исследуется эффект множественности решений при четных n, p > n и больших q. В качестве групп Gk выберем группы G2,k,Gt. Пункты 2 – 5 уже доказаны в предыдущих параграфах. Далее, решения с различными t могут совпадать только в том случае, если они (2, k)-радиальны. Доказывается, что вторая вариация функционала J на минимайзере в классе (2, k)-радиальных функций не знакоопределена, и, следовательно,этот минимайзер не может быть минимайзером в классе (2, k, t)-инвариантных функций, а значит, для различных t (2, k, t)-инвариантные минимайзеры различны при больших q, что доказывает теорему 3.

Отметим, что в работе [2*] результаты теорем 1 и 2 распространяются на более общие краевые задачи.

В главе 2 рассматривается краевая задача (2) в трехмерном пространстве. Основной результат этой главы следующий:

Теорема 4. Пусть 1 < p <, n = 3 и p < q < p. Тогда для любого N N существует RN = RN (n, p, q), такое, что при любом R > RN существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (2).

В §2.1 собраны некоторые вспомогательные утверждения. Множественность решений задачи (2) при n = 3 и p < q < p доказывается по описанному алгоритму с использованием техники концентрации в §2.2.

Пусть группа Gk порождена вращениями на угол в плоскости (x1, x2 ) и отраk жением относительно плоскости (x1, x2 ). У этой группы есть выделенные орбиты, порожденные, например, точками NR = (0, 0, R) и MR = (R, 0, 0). Орбиту точки NR будем называть полярной орбитой, орбиту MR экваториальной (так же мы будем называть орбиты всех точек, для которых x3 = 0). Отметим, что полярная орбита имеет кратность 2, экваториальная орбита имеет кратность k, и орбиты всех остальu p на ных точек сферы имеют кратность 2k. Минимизируем функционал J[u] = p множество, содержащее MR. В пункте 2 используется обычная теорема вложения Соболева. Пункт 3 доказывается стандартно. Пункт 4 доказывается следующим образом: сначала мы устанавливаем, что последовательность функций, ограниченная в Wp (R ) и отделенная от нуля в Lq (R ), обязательно имеет точки концентрации.

Затем мы доказываем, что последовательность минимайзеров функционала J на множестве Lk имеет не более чем одну последовательность концентрации в каждом из множеств IntA, ExtA и A. После этого доказывается, что ни для какой послеRq довательности минимайзеров не может быть выполнено условие ким образом, пункт 4 доказан. Попутно доказывается, что минимайзеры при разных k имеют разное количество точек концентрации, что доказывает пункт 6. Пункты и 7 доказываются стандартно.

В главе 3 рассматривается краевая задача (2) при четном n 4. Основной результат этой главы следующий:

N N существует RN = RN (n, p, q), такое, что при любом R > RN существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (2).

Решения, которые строятся в теореме 5, даже при p (p, p ) отличаются от решений, построенных в [2], тем, что они концентрируются в окрестности не дискретного множества точек, а в окрестности некоторых кривых.

В §3.1 подробно рассматривается случай n = 4, в §3.2 рассматривается случай четного n 6.

Именно, вводится некоторое семейство групп Gk, для каждой из которых орбита любой точки, кроме начала координат, имеет размерность 1. Выбираются исключительные орбиты этих групп, для которых длина квалифицированно меньше длины любой орбиты в некоторой окрестности, и Gk -инвариантное множество A, содержащее некоторую исключительную орбиту. Далее на множестве Lk = {v LGk | v q = рантируют для Gk -инвариантных функций необходимую в пункте 2 компактность вложения LGk в Lq (R ) при p < q < p. Пункт 3 доказывается стандартно. Затем мы доказываем, что последовательность минимайзеров функционала J на множестве Lk имеет не более чем одну последовательность орбит концентрации в каждом из множеств IntA, ExtA и A. После этого доказывается, что ни для какой поRq следовательности минимайзеров не может быть выполнено условие Таким образом, пункт 4 доказан. Попутно доказывается, что минимайзеры при разных k имеют разное количество компонент связности множества концентрации, что доказывает пункт 6. Пункты 5 и 7 доказываются стандартно.

Список литературы [1] С.В. Иванов, А.И. Назаров. О теоремах вложения Соболева с весом для функций с симметриями // Алгебра и анализ, Т.18 (2006), N1, С.108-123.

[2] А.И. Назаров. О решениях задачи Дирихле уравнения, содержащего pлапласиан, в сферическом слое // Труды СПбМО, Т.10 (2004), С.33-62.

[3] А.И. Назаров. О симметричности экстремали в весовой теореме вложения // Пробл. мат. ан. Т.23 (2001), С.50-75.

[4] А.П. Щеглова. Множественность решений для краевой задачи с нелинейным условием Неймана // Пробл. мат. ан., Т.30 (2005), С.121-144.

[5] J. Byeon. Existence of many nonequivalent nonradial positive solutions of semilinear elliptic equations on three-dimensional annuli // J. Di. Eq., V.136 (1997), P.136J. Byeon, Z.-Q. Wang. On the Hnon equation: asymptotic prole of ground states.

I // Ann. Inst. H.Poincar. Anal. Nonlin., V.23 (2006), P.803-828.

[7] J. Byeon, Z.-Q. Wang. On the Hnon equation: asymptotic prole of ground states.

II // J. Di. Eq., V.216 (2005), P.78-108.

[8] D. Cao, S. Peng. The asymptotic behavior of the ground state solutions for Hnon equation // J. Math. Anal. Appl., V.278 (2003), P.1-17.

[9] F. Catrina, Z.-Q. Wang. Nonlinear elliptic equations on expanding symmetric domains // J. Di. Eq., V.156 (1999), P.153-181.

[10] F. Catrina, Z.-Q. Wang. On the Caarelli – Kohn – Nirenberg inequalities: sharp constants, existence (and nonexistence), and symmetry of extremal functions // Comm. Pure Appl. Math., V.54 (2001), P.229-258.

[11] C.V. Coman. A non-linear boundary value problem with many positive solutions // J. Di. Eq., V.54 (1984), P.429-437.

[12] M. Hnon. Numerical experiments on the stability of spherical stellar systems // Astronomy & Astrophysics, V.24 (1973), P.229-238.

[13] E. Hebey, M. Vaugon. Sobolev spaces in the presence of symmetries // J. Math.

Pures Appl., V.76, Issue 9 (1997), 859– [14] Y.Y. Li. Existence of many positive solutions of semilinear elliptic equations on annulus // J. Di. Eq., V.83 (1990), P.348-367.

[15] S.-S. Lin. Existence of many positive nonradial solutions for nonlinear elliptic equations on an annulus // J. Di. Eq., V.103 (1993), P.338-349.

[16] N. Mizoguchi, T. Suzuki. Semilinear elliptic equations on annuli in three and higher dimensions // Houston J. Math., V.1 (1996), P.199-215.

[17] R.S.Palais. The principle of symmetric criticality //Comm. in Math. Phys. V. (1979), P.19-30.

[18] D. Smets, J. Su, M. Willem. Non radial ground states for the Hnon equation // Comm. Contemp. Math., V.4 (2002), P.467-480.

[19] D. Smets, M. Willem. Partial symmetry and asymptotic behavior for some elliptic variational problems // Calc. Var., V.18 (2003), P.57-75.

[20] J. Wei, S. Yan. Innitely many solutions for the prescribed scalar curvature problem on SN // Journal of Functional Analysis, V.258 (2010), P.3048-3081.

[Работы автора по теме диссертации] [Статьи в журналах, рекомендованных ВАК] [1*] С.Б.Колоницкий. Множественность решений задачи Дирихле для уравнения с p-лапласианом в трехмерном сферическом слое // Алгебра и анализ, Т.22, выпуск 3 (2010), С.206-221.

[Другие публикации] [2*] С.Б. Колоницкий, А.И. Назаров. Множественность решений задачи Дирихле для обобщенного уравнения Хенона // Проблемы математического анализа, Т.

35. (2007) С.91-110.

[3*] S.B. Kolonitskii, A.I. Nazarov. The multiplicity of positive solutions for the Dirichlet problem to the generalized Henon equation // Int. Conf. "NPDE-2007"dedic. to the memory of I.V. Skrypnik. Book of abstracts. Donetsk (2007) P.39.

[4*] S.B. Kolonitskii. Multiplicity of solutions to the Dirichlet problem for generalized Henon equation // Summer School in Nonlinear Partial Dierential Equations, Universite catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve (2008) P.43–44.

[5*] С.Б.Колоницкий. Множественность решений задачи Дирихле для уравнения с p-лапласианом в трехмерном сферическом слое // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Владимир (2008) С.135-136.

[6*] С.Б.Колоницкий. Множественность решений задачи Дирихле для уравнения с p-лапласианом с суперкритическим показателем // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. М. (2010) С.103.