На правах рукописи
Яковлева Юлия Олеговна
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
01.01.02 — дифференциальные уравнения,
динамические системы и оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Белгород — 2013
Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» феде рального государственного бюджетного образовательного учреждения высше го профессионального образования «Самарский государственный технический университет».
Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Андреев Александр Анатольевич
Официальные оппоненты: Зарубин Александр Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет», физико-математический фа культет, заведующий кафедрой «Математи ческий анализ и дифференциальные уравне ния»
Миронов Алексей Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Елабужский институт Ка занского федерального университета», физико-математический факультет, до цент кафедры «Математического анализа, алгебры и геометрии»
Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Воронежский государствен ный университет», факультет прикладной ма тематики, информатики и механики
Защита состоится 10 декабря 2013 г. в 15.00 часов на заседании диссертаци онного совета Д 212.015.08 при ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, БелГУ, корпус 1, ауд. 407.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет».
Автореферат разослан 30 октября 2013 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.015.08 Гриценко С.А.
Общая характеристика работы
Исследование краевых задач для гиперболических Актуальность темы.
уравнений и систем уравнений гиперболического типа является одним из важ ных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к этому типу уравнений объясняется как теоретиче ской значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями.
Гиперболические уравнения и системы уравнений гиперболического типа третьего и более высокого порядка являются математическими моделями разно образных процессов: флаттера свободнонесущего крыла; нестационарного пря молинейного течения несжимаемой жидкости второго порядка; течения жидко сти Навье-Стокса-Олдройта; колебаний упруговязкой нити; колебаний стержня при наличии релаксации и последействия простейшего типа.
Одним из основных вкладов в начало современной теории гиперболиче ских уравнений второго порядка в частных производных является получение Г. Риманом интегрального представления решения задачи Коши в форме, ана логичной представлениям решений краевых задач для эллиптических уравне ний второго порядка с помощью функций Грина.
Идею метода Римана многие математики пытались перенести на более ши рокий класс уравнений. В. Вольтерра, Ж. Адамар, С. Л. Соболев привели ана логичную форму представления решений задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка с числом независимых переменных больше двух.
А. Старков, Л. Бианки, О. Николетти предложили распространение метода ре шения задачи Коши, разработанного Риманом, на общий случай дифферен циального уравнения -го порядка в частных производных с независимыми переменными. Обобщение метода Римана на системы уравнений первого по рядка с двумя независимыми переменными было выполнено Э. Хольмгреном.
Различные аспекты исследования метода Римана для систем дифференциаль ных уравнений первого порядка приведены в работах Т. В. Чекмарева, а также Б. Н. Бурмистрова, где матрица Римана построена в замкнутом виде для одной системы частного вида.
В монографиях Бицадзе А. В. и Векуа И. Н. приведено применение метода Римана для одного класса гиперболических систем второго порядка с двумя независимыми переменными и кратными характеристиками. Решения краевых задач для систем гиперболических уравнений второго порядка методом Римана описаны в работах А. А. Андреева и многих других исследователей.
П. Бургатти и Ф. Реллих обобщили метод Римана решения задачи Коши для линейных уравнений порядка выше второго с числом независимых перемен ных равным двум. Дальнейшему развитию метода Римана для гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными выше второго порядка посвя щены работы А. П. Солдатова, М. Х. Шханукова, О. М. Джохадзе, В. И. Же галова, Е. А. Уткиной, В. А. Севастьянова, А. Н. Миронова, Б. Мидорашвили, О. С. Зикирова и других.
Исследование методов решения краевых задач для гиперболических урав нений и систем гиперболических уравнений, без вспомогательных функций (функций Римана, Римана-Адамара), рассмотрено в работах Ж. Адамара, Л. Берса, Ф. Джона, И. Г. Петровского, О. А. Олейник, А. В. Бицадзе, С. С. Ха рибегашвили.
Результаты А. В. Бицадзе, И. Г. Петровского, А. П. Солдатова, М. Х. Шха нукова, О. М. Джохадзе, В. И. Жегалова, А. Н. Миронова и А. А. Андреева яв ляются основой для исследования краевых задач для гиперболических уравне ний и систем уравнений гиперболического типа, рассматриваемых в настоящей работе.
Актуальность исследований таких краевых задач обоснована как внутрен ней логикой развития соответствующих разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных, базирующихся на идеях Римана, так и яс ными перспективами использования этих задач при математическом моделиро вании различных процессов.
Целью диссертационной работы является построение в явном виде решений краевых задач для систем уравнений гиперболического типа третье го и четвертого порядка частного вида с кратными характеристиками с двумя независимыми переменными; построение решений краевых задач для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей производ ных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками с двумя неза висимыми переменными в случае коммутирующих матричных коэффициентов.
Методы исследования. В настоящей диссертационной работе использо ваны аналитические методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, аналитические и алгебраические методы матричного исчисле ния, аппарат специальных функций.
Научная новизна данной работы заключается в том, что:
- в явном виде построены матрицы Римана задач Коши и Гурса для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка частного вида с кратными характеристиками с двумя независимыми переменными;
- получены в явном виде регулярные решения задач Коши и Гурса для си стем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка частного вида с кратными характеристиками с двумя независимыми переменными;
- исследованы условия корректности постановки характеристической зада чи для гиперболического уравнения с некратными характеристиками третьего порядка с двумя независимыми переменными;
- найдены регулярные решения характеристической задачи и задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа с некратными характеристика ми третьего порядка с двумя независимыми переменными в случае коммутиру ющих матричных коэффициентов.
Теоретическая ценность и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы для дальнейших исследований краевых задач для систем уравнений гиперболического типа высокого порядка. Кроме научного интереса для широкого круга математиков и специалистов, работающих в об ласти уравнений математической физики, полученные результаты могут быть полезными при решении прикладных задач, сводящихся к таким уравнениям.
Положения, выносимые на защиту:
1. Построение в явном виде матриц Римана и регулярных решений задач Коши и Гурса для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвер того порядка частного вида с кратными характеристиками.
2. Условия корректности постановки характеристической задачи для си стемы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей про изводных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками.
3. Получение в явном виде регулярных решений задачи Коши и харак теристической задачи для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей производных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками в случае коммутирующих матричных коэффициентов.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях и семинарах: восьмой и девятой Всерос сийских научных конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2011г., 2013г.); шестнадцатой Са ратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их при ложения» (г. Саратов, 2012г.); двадцатой международной конференции «Ма тематика. Экономика. Образование» (г. Ростов-на-Дону, 2012г.); втором меж дународном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2012г.); третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (г.
Самара, 2012г.); международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Белгород, 2013г.); научном семинаре «Неклассические задачи математической физики» кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н.
Л. С. Пулькина, 2013г.); научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета (руко водитель семинара — д.ф.-м.н. В. П. Радченко, 2012г., 2013г.).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 14 публика циях, из них 6 — в журналах из перечня ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата. Статьи [1, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 14] опубликованы в соавторстве с А. А. Андреевым и их результаты принадлежат авторам в равной мере.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографического списка, содержащего 118 наименований. Общий объем диссертации составляет 116 страниц.
Содержание работы приведен краткий обзор исследований, связанных с темой диссертационной работы, отображены ее содержание, постановка задач исследо вания, основные результаты и подход к исследованию, а также дополнительная информация о работе.
В первой главе для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка с кратными характеристиками частного вида рассмотрены и решены методом Римана задачи Коши и Гурса; с использованием аппарата гипергеометрических функций построены матрицы Римана в явном виде.
Для системы где (, ) — - мерная вектор-функция, — постоянная действительная ( ) матрица, поставлены и решены следующие задачи.
Задача Коши. Найти регулярное решение (, ) (R R) систе мы (1) в плоскости {(, ) : R, R}, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии = :
нормаль к нехарактеристической линии.
Задача Гурса. Найти регулярное решение (, ) () системы (1) в области = {(, ) : 0 < < 1, 0 < < 1} независимых переменных, удовлетворяющее условиям на характеристиках:
где (), (), () 1 (), = (0, 1) — заданные вектор-функции такие, что (0) = (0), (0) = (0).
В разделах 1.1, 1.2 приведены необходимые сведения об обобщенных гипер геометрических функциях, а также элементы классификации гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка, которые используются в дальнейших исследованиях.
В разделе 1.3 построены в явном виде решения задач (2), (3) для систе мы (1), результаты сформулированы в виде теорем.
Теорема 1.1. Если вектор-функции (), (), () (R), то суще ствует единственное регулярное решение (, ) 3 (R R) задачи Коши (2) для системы уравнений (1) в плоскости {(, ) : R, R}.
Решением задачи Коши является вектор-функция где =, 0 2 (, ; ) — обобщенная гипергеометрическая функция матричного аргумента, R, R.
Теорема 1.2. Если вектор-функции (), (), () (), = (0, 1), то в области = {(, ) : 0 < < 1, 0 < < 1} существует единственное регулярное решение (, ) 3 () задачи Гурса (3) для системы уравне ний (1).
Методом Римана построено регулярное решение задачи Гурса:
Матрица Римана задач Коши и Гурса для системы уравнений гиперболи ческого типа (1) вводится как решение некоторой специальной задачи Гурса и имеет вид:
В разделе 1.4 в явном виде получены решения задач Коши и Гурса методом Римана для системы где (, ) — искомая - мерная вектор-функция, — постоянная действи тельная ( ) матрица; с использованием аппарата обобщенных гипергео метрических функций построена матрица Римана. Основные результаты сфор мулированы в виде теорем.
Теорема 1.3. Если (), (), (), () (R), то существует единственное регулярное решение (, ) 4 (R R) задачи Коши для си стемы уравнений (4) в плоскости {(, ) : R, R}, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии = :
Регулярное решение задачи Коши имеет вид:
Теорема 1.4.
ствует единственное регулярное решение (, ) 4 () задачи Гурса для системы уравнений (4) в области = {(, ) : 0 < < 1, 0 < < 1}, удовлетворяющее условиям на характеристиках:
Методом Римана построено регулярное решение задачи Гурса:
Матрица Римана задач Коши и Гурса для системы уравнений гиперболи ческого типа (4) вводится как решение некоторой специальной задачи Гурса и имеет вид:
Во второй главе для системы уравнений гиперболического типа с некратными характеристика ми третьего порядка вида где,, – постоянные попарно коммутирующие матрицы второго порядка с различными собственными значениями, (, ) 3 (R R) — двумерная вектор-функция.
Для разделения исследуемой системы на отдельные уравнения в форму ле (5) выполнена замена = (при det = 0) и совершен переход к системе вида где – матрица преобразования, одновременно приводящая матрицы,, к диагональной форме,,.
В этом случае преобразованная система (6) распадается на два отдельных уравнения вида характеристическое уравнение каждого из которых имеет три различных отлич ных от нуля действительных корня 1 > 2 > 3 и 1 > 2 > 3 соответственно.
Раздел 2.1 содержит необходимые предварительные построения, включая решение задачи Коши для гиперболического уравнения третьего порядка, не содержащего производных меньше третьего порядка, где 0, 1, 2, 3 — некоторые действительные ненулевые постоянные, и решение задачи Коши для гиперболического уравнения Приведена известная теорема 2.1 Э. Хольмгрена существования и един ственности решения задачи Коши для линейной системы гиперболических урав нений с аналитическими коэффициентами. Построен аналог формулы Далам бера для уравнений (7), (8). Результаты сформулированы в виде лемм.
функций, и из класса 3 (R), где 1, 2, 3 — произвольные константы из R.
Лемма 2.2. Если (), (), () (R), то существует единствен ное регулярное решение (, ) 3 (R R) задачи Коши для уравнения (8) в плоскости {(, ) : R, R}, удовлетворяющее условиям на нехаракте ристической линии = :
где = — нормаль к нехарактеристической линии.
Регулярное решение задачи Коши построено в явном виде.
Лемма 2.3. Если (), (), () (R), то существует единствен ное регулярное решение задачи Коши (, ) 3 (R R) для уравнения (7) в плоскости {(, ) : R, R}, удовлетворяющее условиям на нехаракте ристической линии = 0:
где = (0, 1) — нормаль к нехарактеристической линии.
является регулярным решением задачи Коши. Формулу (9) будем называть ана логом формулы Даламбера.
В разделе 2.2 в явном виде построены решения задач Коши для системы уравнений гиперболического типа (5). Основные результаты изложены в теоре мах.
Теорема 2.2. Если (), (), () (R), то для системы уравнений (5) существует единственное регулярное решение (, ) 3 (RR) задачи Коши в плоскости {(, ) : R, R}, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии = 0:
где = (0, 1) — нормаль к нехарактеристической линии.
Доказательство теоремы носит конструктивный характер.
Теорема 2.3. Если (), (), () [0, ], то для системы уравне ний (5) существует единственное регулярное решение (, ) 3 () зада чи Коши, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии = 0:
где = (0, 1) — нормаль к нехарактеристической линии, область = 1 2, Регулярное решение приведенной задачи Коши построено в явном виде.
Для системы уравнений гиперболического типа с кратными характеристи ками где — квадратная матрица второго порядка, рассмотрена краевая задача. По сле некоторых преобразований система (10) распадается на два отдельных урав нения с некратными характеристиками. Справедлива теорема.
Теорема 2.4. Если (), (), () (R), = 1, 2, то для системы уравнений (10) в плоскости {(, ) : R, R} существует единственное регулярное решение (, ) 3 (R R) краевой задачи, удовлетворяющее условиям:
где ·, · — скалярное произведение, 1 = 2, 2, 2 = 2, 2 ;
1, 2 — векторы, зависящие от матричного коэффициента системы (10).
Регулярное решение краевой задачи построено в явном виде.
В разделе 2.3 решены некоторые корректные характеристические задачи в плоскости {(, ) : R, R} и в области, ограниченной характеристиками, для уравнения и в плоскости {(, ) : R, R} для уравнения где 0, 1, 2, 3 – некоторые действительные постоянные, отличные от нуля.
Установлены условия корректности постановки характеристической задачи для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристика ми. Приведен пример, демонстрирующий некорректность классической поста новки задачи Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка с некрат ными характеристиками. Результаты сформулированы в леммах.
Пусть (), (), (), (), (), () — нечетные и четные ча сти функций (), (), () 3 (R) соответственно.
характеристическая задача для уравнения (11) в плоскости {(, ) : R, R} корректна по Адамару.
Регулярное решение (, ) 3 (R R) характеристической задачи по строено в явном виде.
характеристическая задача для уравнения (11) в области = {(, ) : 0 1, 0 1} корректна по Адамару.
В явном виде получена функция (, ) 3 (), являющаяся регулярным решением характеристической задачи.
() 3 (R), то характеристическая задача для уравнения (12) в плоскости {(, ) : R, R} корректна по Адамару.
Регулярное решение (, ) 3 (R R) характеристической задачи по строено в явном виде:
Раздел 2.4 содержит решение характеристической задачи для системы уравнений гиперболического типа (5). Основные результаты изложены в тео ремах.
·, · — скалярное произведение, 1, 2 зависят от матричных коэффициентов системы (5), то характеристическая задача для системы (5) в плоскости {(, ) : R, R} корректна по Адамару.
() = ( 1 (), 2 ()) 3 (R), ·, · — скалярное произведение, – посто янная матрица второго порядка, зависящая от матричного коэффициента системы (10), то характеристическая задача в плоскости {(, ) : R, R} корректна по Адамару.
Регулярные решения характеристических задач построены в явном виде.
1. Для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого по рядка с кратными характеристиками частного вида получены регулярные реше ния задач Коши и Гурса методом Римана, решения указанных задач и матрица Римана для них получены в явном виде.
2. Сформулированы и исследованы условия корректности постановки ха рактеристической задачи типа Гурса для гиперболического уравнения и систе мы уравнений гиперболического типа третьего порядка с некратными характе ристиками.
3. Построено корректное решение характеристической задачи для систе мы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей произ водных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками в случае коммутирующих матричных коэффициентов.
4. Для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными харак теристиками, не содержащего производных меньше третьего порядка, построе но регулярное решение задачи Коши в виде, аналогичном формуле Даламбера.
5. В явном виде получено регулярное решение задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей производ ных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками в случае ком мутирующих матричных коэффициентов.
Основные публикации по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:
[1] Яковлева, Ю. О. Задача Гурса для одной системы гиперболических диф ференциальных уравнений третьего порядка с двумя независимыми пере менными / Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // Вестник Самарского госу дарственного технического университета. Серия: физ.-мат. науки. — 2011.
— № 3(24). — С. 35–41.
[2] Яковлева, Ю. О. Аналог формулы Даламбера для гиперболического урав нения третьего порядка с некратными характеристиками / Ю. О. Яковле ва // Вестник Самарского государственного технического университета.
Серия: физ.-мат. науки. — 2012. — № 1(26). — С. 247–250.
[3] Яковлева, Ю. О. Одна характеристическая задача для гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка общего вида с некрат ными характеристиками/ Ю. О. Яковлева // Вестник Самарского госу дарственного технического университета. Серия: физ.-мат. науки. — 2012.
— № 3 (28). — С. 180–183.
[4] Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача для одного гиперболическо го дифференциального уравнения третьего порядка с некратными харак теристиками/ Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информати [5] Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача для системы гиперболиче ских дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида с некрат ными характеристиками/ Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // Вестник Са марского государственного технического университета. Серия: физ.-мат.
науки. — 2013. — № 1(30). — С. 99–106.
[6] Яковлева, Ю. О. Задача Коши для гиперболического уравнения и си стемы гиперболических уравнений третьего порядка с некратными ха рактеристиками/ Ю. О. Яковлева // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. — 2013. — № 11(154). — С. 109–117.
Другие публикации:
[7] Яковлева, Ю. О. Об одной характеристической задаче для системы гипер болических уравнений третьего порядка/ Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и ин форматики. Материалы второго международного Российско-Узбекского симпозиума. Нальчик: Эльбрус, 2012. — С. 48.
[8] Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача на плоскости для одного ги перболического дифференциального уравнения третьего порядка / Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // В сб.: Современные проблемы теории функций и их приложения. Материалы 16-й Саратовской зимней школы.
Саратов: Научная книга, 2012. — С. 7–8.
Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача для системы гиперболиче ских уравнений третьего порядка на плоскости/ Ю. О. Яковлева, А. А. Ан дреев // В сб.: Материалы третьей международной конференции «Мате матическая физика и ее приложения». Самара: СамГТУ, 2012. — С. 36.
Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача для гиперболического диф [10] ференциального уравнения третьего порядка общего вида с некратными характеристиками / Ю. О. Яковлева // В сб.: Математика. Экономи ка. Образование. Материалы XX Международной конференции. Ростов н/Дону, 2012. С. 89–90.
Яковлева, Ю. О. Задача Коши для одной системы гиперболических диф [11] ференциальных уравнений третьего порядка с двумя независимыми пе ременными/ Ю. О. Яковлева // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. девятой Всероссийской научной конф. с международ ным участием. — Ч.3. Самара: СамГТУ, 2013. — С. 96–99.
Яковлева, Ю. О. Решение задачи Коши для одной системы гиперболиче [12] ских дифференциальных уравнений четвертого порядка с двумя независи мыми переменными методом Римана / Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. девятой Все российской научной конф. с международным участием. — Ч.3. Самара:
СамГТУ, 2013. — С. 7–10.
Яковлева, Ю. О. Задача Коши для системы гиперболических дифферен [13] циальных уравнений третьего порядка с некратными характеристиками / Ю. О. Яковлева // В сб. материалов международной конференции: Диф ференциальные уравнения и их приложения. — Белгород: БелГУ, 2013. — Яковлева, Ю. О. Краевые задачи для систем гиперболических дифферен [14] циальных уравнений порядка выше второго / Ю. О. Яковлева, А. А. Ан дреев // В сб. материалов международной конференции: Дифференциаль ные уравнения и их приложения. — Белгород: БелГУ, 2013. — С. 15.
Автореферат отпечатан с разрешения диссертационного совета Д 212.015. ФГАОУ ВПО НИУ «БелГУ» (протокол №11 от 16.10.2013г.) 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.