На правах рукописи

ИОСЕЛЕВИЧ Павел Алексеевич

Майорановские фермионы в сверхпроводящих гибридных

структурах

Специальность 01.04.02 Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Черноголовка – 2013

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук.

Научный руководитель: Фейгельман Михаил Викторович, доктор физ.-мат. наук., профессор

Официальные оппоненты: Воловик Григорий Ефимович, д. ф.-м. н., ФГБУН ИТФ им. Л. Д. Ландау РАН, г. Черноголовка, главный научный сотрудник Мирлин Александр Давидович, д. ф.-м. н., профессор Технологического Института г. Карлcруэ, Германия, глава теор. отдела

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт физики микроструктур Российской академии наук

Защита состоится 27 декабря 2013 года в 11 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 002.207.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук по адресу: 142432, Московская обл., г. Черноголовка, просп. Академика Семенова, д. 1-A, Институт теоретической физики им.

Л. Д. Ландау РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан 23 ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук Гриневич Петр Георгиевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В середине 2000х годов было предсказано существование топологических изоляторов,1–4 вскоре подтвержденное экспериментально.5–8 Эти материалы являются объемными изоляторами с металлической поверхностью. Поверхностные моды при этом топологически защищены и остаются проводящими при включении возмущений, например, примесного беспорядка. Топологические изоляторы существуют в разных измерениях.

Так, состояние квантового эффекта Холла является примером двумерного топологического изолятора. Двумерный объем такой системы не проводит, в то время как край обнаруживает квантованную проводимость, соответствующую одномерным модам на краю образца. Топологические фазы реализуются и в сверхпроводящих системах. Именуемые топологическими сверхпроводниками, эти фазы также характеризуются щелью в спектре объемных возбуждений и бесщелевыми поверхностными модами. В одномерном топологическом сверхпроводнике такая поверхностная мода является локализованным состоянием с нулевой энергией. Это состояние оказывается майорановский фермионом – квазичастицей не несущей энергии и заряда, и совпадающей со своей античастицей.

Майорановский фермион, прежде изучавшийся в контексте физики высоких энергий, возникает в сверхпроводящих системах в виде коллективного электронного возбуждения. Энергия локализованного майорановского состояния равна нулю и не меняется под воздействием внешних локальных возмущений. Благодаря этому качеству кубит, построенный на паре пространственно разведенных майорановских состояний, устойчив к дефазировке локальными возмущениями. Создание систем, содержащих майорановские состояния, и обнаружение этих состояний – актуальная задача, которой заняты многие теоретики и экспериментаторы. Теоретически майорановские состояния предсказаны в нанопроволоках с сильным спин-орбитальным взаимодействием в присутствии магнитного поля и сверхпроводимости,10, 11 в коре вихря на поверхности трехмерного топологического изолятора с наведенной сверхпроводимостью12 и некоторых других системах. В прошлом году нескольким экспериментальным группам удалось реализовать систему на базе нанопроволоки.13–15 Указанием на присутствие защищенной нулевой моды в этих экспериментах служит пик в проводимости при нулевом напряжении, устойчивый к изменению магнитного поля, напряжения затворов и других параметров. Измеренный пик соответствует резонансному андреевскому отражению электронов, вызванному присутствием в системе майорановского нулевого состояния. Степень разработанности темы. Физика топологических изоляторов и сверхпроводников – тема сравнительно молодая, и испытывающая в последние годы бурное развитие. Имеется большой ряд работ по наиболее простым вопросам, однако еще большее число задач пока не решено теоретически.

Экспериментальная наука достигла заметных успехов в работе с топологическими изоляторами, в то время как эксперименты с майорановскими состояниями в гибридных сверхпроводящих системах по большей части находятся в разработке, а число уже проведенных убедительных измерений невелико.

Целью работы являлось изучение майорановских фермионов в сверхпроводящих гибридных структурах и связанных с ними транспортных эффектов. Одной из задач являлось рассмотрение джозефсоновского тока в системе, содержащей майорановские фермионы. Цель состояла в предложении SNS-системы на основе топологического изолятора, и изучении возникающего в этой системе джозефсоновсого тока.

Мы также ставили перед собой задачу изучить туннельную проводимость сверхпроводящей гибридной системы, содержащей дискретные андреевские уровни, в частности, майорановские состояния.

Еще одной целью было исследование влияния беспорядка на систему с уединенным майорановским состоянием путем рассмотрения статистики дискретных уровней в такой системе в пределе сильного беспорядка.

Основные положения, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

1. Рассмотрена SNS-система, представляющая собой сэндвич из покрытого с двух сторон сверхпроводящей пленкой куска трехмерного топологического изолятора, в котором просверлен цилиндрический канал, соединяющий две поверхности. Через этот канал пропущен абрикосовский вихрь, приводящий к появлению майорановской моды в коре вихря на обеих поверхностях. Показано, что между поверхностями через канал протекает джозефсоновский ток, содержащий наряду с 2периодической по частью еще и аномальную 4-периодическую компоненту. Этот ток вычислен при разных параметрах системы и температуре. Установлена связь аномальной компоненты с сохранением фермионной четности в контакте, и получена характеристическая температура, при которой аномальный ток подавляется.

2. Рассмотрено андреевское отражение электрона, туннелирующего в сверхпроводящую систему с дискретным спектром андреевских состояний. Получены общие формулы для резонансного отражения при энергиях, близких к энергиям дискретного спектра системы. Исследована интерференция различных андреевских процессов и получена точная формула для одноканального контакта в терминах дискретных уровней системы. С помощью этой формулы рассмотрена система с парой почти неспаренных майорановских мод. В этой ситуации в проводимости имеется лорентцевский пик при нулевом напряжении высотой 2e2 /h, на фоне которого имеется параметрически узкий, топологически защищенный провал до нуля на самых низких энергиях.

3. Рассмотрен кор вихря на сверхпроводящей поверхности топологического изолятора в пределе сильного беспорядка. С помощью метода нелинейной суперсимметричной -модели найдена средняя локальная плотность состояний. Показано, что эта система относится к нульмерному классу симметрии B (также известному как D-odd) и имеет -пик в плотности состояний при нулевой энергии, описывающий майорановское состояние, и отталкивающий ближайшие уровни с конечной энергией. Вычислено уширение пика в ситуации, когда к поверхности топологического изолятора в области кора вихря подключен туннельный контакт, и получена проводимость в туннельном эксперименте для такой системы.

Методология и методы исследования. Исследования, составляющие диссертацию, проводились современными методами теоретической физики.

Сверхпроводящие системы изучались при помощи формализма Боголюбоваде Жена, электронный транспорт – на основе теории S-матриц и формул Лесовика-Левитова. Свойства неупорядоченных систем исследовались с помощью суперсимметричной нелинейной сигма-модели.

Научная новизна и достоверность. Результаты диссертационной работы получены впервые, достоверность ее выводов обеспечена надежностью применявшихся методов и подтверждается результатами апробации работы.

Научная и практическая значимость. Полученные новые результаты позволяют лучше понять физику топологических сверхпроводников и майорановских фермионов и могут быть применены как для дальнейших теоретических исследований, так и для планирования и анализа экспериментов.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных конференциях: MESO-12 (г. Черноголовка, 2012), Landau Days (г. Черноголовка, 2012, 2013), Topological materials for nanostructures, (Stuttgart, Germany, 2012), The Science of Microstructures: New Frontiers in the Physics of Quantum Dots (г. Черноголовка, 2012), Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук (г.

Долгопрудный, 2008, 2009), а также на научных семинарах в MIT (Cambridge, Massachusets), UC Berkeley (Berkeley, California), Weizmann Institute (Rehovot, Israel), NITech (Nagoya, Japan), Microsoft Station Q (Santa Barbara, California), Института Теоретической Физики им. Л. Д. Ландау РАН, МГУ и Института физики микроструктур РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научные работы, список которых приведен в конце реферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Основное содержание работы

Диссертационная работа начинается с введения, в котором дан краткий обзор физики топологических изоляторов и сверхпроводников и описан контекст решаемых в диссертации задач. Также во введении сформулированы цели диссертации и представлены ее основные результаты. Заканчивается введение кратким описанием содержания остальных глав.

Первая глава посвящена математике и общим свойствам майорановских фермионов. В диссертации сверхпроводимость рассматривается в приближении среднего поля, и электроны описываются уравнениями Боголюбова-де Жена. В стандартном базисе ( ) гамильтониан сверхпроводящей системы где H0 – одноэлектронный гамильтониан, а T = iy C – оператор обращения времени (C обозначает комплексное сопряжение). По построению HBdG антикоммутирует с оператором электрон-дырочной симметрии y y C, где матрица Паули действует на спин, а – в пространстве Намбу-Горькова.

Вместе с равенством 2 = 1 это коммутационное соотношение приводит к симметрии спектра HBdG – каждому уровню с энергией +E соответствует уровень с E, причем соответствующие волновые функции связаны соотношением +E = E. Спектр также может содержать состояние с E = и самосопряженной волновой функцией = – такое состояние является майорановской модой. На исходном языке операторов рождения и уничтожения электронов действие есть не что иное, как эрмитово сопряжение, так что = † – майорановский фермион является своей собственной античастицей. Электрон-дырочная симметрия обеспечивает топологическую защищенность уединенной майорановской моды от возмущений. Четность числа нулевых собственных значений HBdG – топологический инвариант, способный изменить свое значение только при закрытии щели в спектре системы.

Поскольку одна фермионная степень свободы, описываемая операторами c†, c, соответствует паре майорановских операторов в реальной конечной системе число нулевых майорановских мод всегда четно. Говоря об изолированной майорановской моде 1 с нулевой энергией, мы будем подразумевать, что где-то в системе есть вторая майорановская мода 2, пространственно удаленная от первой, так что расщепление по энергии между ними экспоненциально мало. Комбинация двух майорановских мод образует один полноценный фермионный уровень с малой, но не нулевой энергией. Волновая функция этого уровня существенно нелокальна и является равновзвешенной суперпозицией мод 1 и 2.

Рассмотрим туннельный контакт между двумя топологическими сверхпроводниками, содержащими моды 1 и 2. Низкоэнергетическая часть гамильтониана имеет вид H = iE()1 2 с энергией E(), зависящей от разности фаз. В простейшем случае E() = t cos(/2), в общем же случае E() является функцией, меняющей знак при адиабатическом изменении на 2.

Действительно, при повороте фазы в первом сверхпроводнике на, волновая функция 1 домножается слева на eiz /2, и при обороте фазы на меняет знак, за счет чего меняет знак и туннельный матричный элемент между 1 и 2. Из 4-периодичности E() следует, что и адиабатическая эволюция системы 4-периодическая. В частности, 4-периодическая зависимость энергии транслируется в 4-периодический стационарный джозефсоновский ток. Измерение такого аномального тока может служить экспериментальным свидетельством наличия майорановских фермионов в системе.

Вторая глава диссертации посвящена изучению аномального джозефсоновского тока в предложенной нами оригинальной системе, изображенной на Рисунке 1 и основанной на трехмерном топологическом изоляторе, покрытом сверхпроводником.

Рассмотрим сэндвич, изображенный на Рисунке 1, состоящий из относительно толстой пластины трехмерного топологического изолятора, например, Bi2 Se3, покрытой с двух сторон тонким слоем s-волнового сверхпроводника.

За счет эффекта близости электроны на поверхности топологического изоI Рис. 1: Изучаемая во второй главе система (вид в сечении вдоль линии вихря). Пластина топологического изолятора покрыта с двух сторон сверхпроводящей пленкой. В пластине вместе с пленками просверлено отверстие, через которое пропущен вихрь. Плоские поверхности топологического изолятора сверхпроводящие за счет эффекта близости, в то время как поверхность внутри цилиндрического отверстия – металлическая. Разность фаз между сверхпроводящими поверхностями регулируется потоком.

лятора описываются гамильтонианом (1) с наведенным параметром порядка (r) и одноэлектронным гамильтонианом Здесь v - скорость Дираковских электронов, Ef – энергия Ферми. Рассмотрим вихрь Абрикосова, пронизывающий поверхность топологического изолятора с наведенной сверхпроводимостью. В коре вихря имеются связанные электронные состояния типа Кароли-Матрикона-де Жена,17 характеризующиеся целым моментом. При pf, где = v/ – длина когерентности ( – сверхпроводящая щель вдали от кора), спектр эквидистантен, E = Состояние с = 0 является майорановской нулевой модой. Поскольку пластина топологического изолятора имеет две поверхности, мы имеем два кора с одинаковыми спектрами. Состояния с двух поверхностей гибридизуются за счет туннелирования сквозь толщу изолятора, и мы получаем ситуацию с 4-периодической низкоэнергетической динамикой, описанную выше. Ток в такой системе мал в меру вероятности туннелирования сквозь пластину. Чтобы получить аномальный джозефсоновский ток с заметной амплитудой, проделаем в пластине цилиндрическое отверстие радиуса R вдоль линии вихря. Электроны с угловым моментом pf R свободно проникают сквозь отверстие-трубку по металлическим стенкам, сильно гибридизуя состояния с двух поверхностей. Как мы покажем, аномальный член в токе I() за счет трубки вырастет до величины порядка e/h, при этом появится также и нормальная, 2-периодическая компонента порядка (pf R)e/h. Первым делом, однако, покажем, что ток в любом случае останется 4-периодичным, как при открытии отверстия, так и при любых других деформациях системы. Для гамильтониана с электрон-дырочной симметрией определен Пфаффиан.9 При обороте фазы на 2 Пфаффиан умножается на P = ±1 и этот множитель является топологическим инвариантом системы. Для системы iE()1 2 Пфаффиан равен E() и меняет знак при + 2. Поскольку открытие отверстия не закрывает щели в системе, а только меняет дискретную часть спектра, P остается равным 1 после открытия отверстия. Знак Пфаффиана связан с фермионной четностью системы – всякий раз, когда Pf(H()) меняет знак, меняется четность основного состояния системы.9 Поэтому в системе с P = 1 и сохраняющейся фермионной четностью эволюция является 4-периодичной. Это доказывает, что 4периодический ток – топологически защищенное явление. Отметим важность низкой симметрии нашей системы: если вместо поверхности топологического изолятора взять графен, электронные состояния в котором вырождены по спину и долине,18 получится четыре копии системы и тривиальный инвариант P = P1 P2 P3 P4 = (P1 )4 = +1. Точно так же, из-за вырождения по спину, аномальный ток не возникает, например, в обычном баллистическом SNS-контакте. Большая часть второй главы посвящена вычислению спектра и сверхтока в описанной выше SNS-системе. Вычисление производится в квазиклассическом пределе Ef. Также мы считаем sc R, и L <. Здесь sc – длина когерентности в сверхпроводящем покрытии, а L – длина трубки, совпадающая с толщиной пластины. Считая все поверхности топологического изолятора чистыми, мы находим волновые функции с заданной энергией E и моментом на поверхностях и в металлической трубке, а затем сшиваем их на границах отверстия. Ответ для спектра имеет вид где 1, а 0 /2, угловой момент || < pf R, а k Z. Формула (4) работает при k новесный сверхток выражается через спектр подщелевых состояний.19 Нам, однако, нужно получить ток в условиях сохраняющейся фермионной четности. Для этого мы вводим термодинамические потенциалы для четного и нечетного ансамблей o/e 20 и вычисляем 4-периодическую часть тока где F0 – четность основного состояния системы. В терминах дискретного спектра системы формула (5) переписывается как разность между током в четном и нечетном состоянии системы при температуре T. Отметим, что полный ток содержит также не зависящую от четности, 2-периодическую компонента In pf Re/h, пропорциональную числу каналов в трубке. Применяя общую формулу (6) к нашей системе со спектром (4), мы получаем несколько различных режимов, в зависимости от параметров системы и температуры. Типичные кривые Ia () приведены на Рисунке 2. Отметим, что экстремумы тока расположены при тех, в которых пара уровней системы пересекается в нуле энергий. При самых низких температурах Ia () оказывается порядка e/h. При более высоких температурах, когда среднее число квазичастиц в системе становится много больше единицы, аномальный ток экспоненциально подавляется с ростом температуры.

Характеристическая температура, при которой ток подавляется, есть Первый аргумент минимума – температура, при которой число квазичастиц, описываемых формулой (4), становится порядка единицы, Вторая величина соответствует негибридизованным уровням с || > pf R, не проникающим в трубку. Наконец, третья величина – классическая температура для эффекта четности,20 при этой температуре появляются квазичастицы непрерывного спектра. Зависимость Ia (T ) приведена на Рисунке 3. Ввиду быстрого затухания Ia (T ), экспериментальное обнаружение 4-периодического тока возможно только при температурах ниже T.

В третьей главе обсуждается в общем виде туннельный контакт между нормальным металлом и сверхпроводящей гибридной системой, содержащей подщелевые связанные состояния. При напряжениях меньше сверхпроводящей щели проводимость в такой системе определяется андреевским отражением.21 При этом андреевское отражение носит резонансный характер – пики в проводимости возникают при напряжениях, близких к одному из уровней дискретного спектра сверхпроводящей системы. Для изучения проводимости мы используем формулу Бюттикера-Тинкхама-Клапвайка где TA (E) есть вероятность андреевского отражения электрона с энергией E, просуммированная по всем каналам. Эту величину можно переписать в виде формулы Кубо Матрицы действуют в пространстве Намбу, v – оператор скорости электронов в металлическом проводе, v – сопряженный по времени оператор, действующий на дырки. GR(A) – точная запаздывающая (опережающая) функция Грина электронов в проводе (галка в G означает структуру в пространстве Намбу). Представим полную систему в виде провода с невозмущенной функцией Грина G0, сверхпроводящей структуры GS и туннельного гамильтониана HT, переносящего электроны из провода в сверхпроводник и обратно.

Точную функцию Грина полной системы в области провода запишем в терминах T -матрицы Выражение (13) содержит формальное суммирование по всем степеням туннельного гамильтониана HT. Техническое содержание третьей главы сводится к вычислению T -матрицы в двух общих случаях и последующему нахождению проводимости G(V, T ).

Первым общим случаем, когда удается получить компактный ответ для проводимости, является одноуровневый резонанс. Если энергия туннелирующего электрона близка только к одному дискретному уровню j0 сверхпроводника, мы можем удержать в GS только соответствующий полюс где |j0 обозначает резонансное состояние. В таком случае T -матрица равна где | = HT |j0. Подстановка в уравнения (12,11,10) дает при нулевой температуре где ширина резонансного пика W и параметры ne,h определяются как За g обозначены металлические функции Грина без структуры в пространстве Намбу. В частном случае точечного контакта ne, nh приобретают смысл электронной и дырочной компонент плотности вероятности |j0 в точке контакта, помноженных на обратное время туннелирования. W можно понимать как упругое уширение уровня |j0 за счет контакта с металлическим проводом. Структура TA такова, что андреевское отражение сильнее от уровней, электронная и дырочная компоненты которых близки по абсолютной величине. В частности, для майорановского состояния ne = nh и TA вследствие = †. Явление идеального резонансного отражения от уединенной майорановской моды в специального вида системе было рассмотрено в работе. Полученная нами формула (16) применима, когда |eV Ej0 | |eV Ej=j0 | и |eV Ej0 | |eV Ej=j0 |, то есть когда обратное время туннелирования W много меньше, чем расстояния между уровнями. Типичный профиль проводимости в такой ситуации представлен на Рисунке 4.

Формула (16) не работает, если энергия электрона близка сразу к двум или более резонансным уровням. Такая ситуация особенно актуальна в контексте физики майорановских фермионов – паре слабо спаренных майорановских мод соответствует уровень с малой энергией E0 и уровень-изображение с E0. Если E0 W, пользоваться формулой (16) нельзя. Ниже мы выводим точную формулу, позволяющую учесть сразу все уровни системы (в том числе пару майорановских состояний) для одноканального туннельного контакта HT. Одноканальный туннельный гамильтониан в общем виде можно записать как с некоторыми волновыми функциями | и | в щупе и сверхпроводнике, соответственно. Вычисляя T -матрицу и подставляя результат в формулу Кубо, мы получаем общий ответ:

где безразмерные величины e,h,A определены как Здесь N0 = Im |gE | – нормировочная константа (для точечного контакта N0 = ). Величина A имеет простой физический смысл – 2iA является амплитудой андреевского отражения в низшем порядке по HT. Поскольку в отсутствие уровней с Ej = 0 амплитуда A (0) равна нулю. Вклады в андреевское отражение от уровней Ej и Ej сокращают друг друга при E = 0.

Поскольку знаменатель в выражении (20) при этом остается конечным, получается G(0) = 0. Если же в системе есть нулевой майорановский уровень, то A имеет полюс в нуле. Легко показать, что знаменатель также будет иметь полюс при E = 0. Разрешив неопределенность, получим G(0) = 2e2 /h. Таким образом, в одноканальном контакте проводимость при нулевом напряжении квантуется – G(0) = 0 или G(0) = 2e2 /h. Такое квантование легко получить из соображений симметрии.24 S-матрица сверхпроводящей системы обладает электрон-дырочной симметрией, так что det S(E = 0) = ±1. Поскольку для одноканального контакта G = e2 /h(1 det S), мы немедленно получаем искомое квантование. Случай полного андреевского отражения (det S = 1) соответствует так называемому топологическому NS-контакту, на границе которого имеется квазистационарное майорановское состояние. В тривиальном NS-контакте (det S = +1), наоборот, отражение электронов полностью нормальное и проводимость равна нулю.

Особый интерес представляют системы, содержащие пару слабо спаренных майорановских мод. С одной стороны, в системе с единственной модой проводимость G(0) должна быть равна 2e2 /h. С другой стороны, в системе с двумя майорановскими модами мы сразу оказываемся в ситуации G(0) = 0.

Как непрерывным образом связать два случая? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим проводимость при самых низких энергиях, выкинув из формулы (20) все уровни, кроме пары наинизших, ±E0. Выражение для проводимости значительно упрощается:

где Эффективная резонансная энергия E0 чуть больше E0, но обычно эта разница мала по сравнению с E0 и ей можно пренебречь. При W E0 кривая G(V ) состоит из двух лорентцовских пиков, ширина W которых много меньше расстояния 2E0 между ними, см. серую кривую на Рисунке 5. По мере уменьшения E0 пики сближаются, причем внешние крылья набирают спектральный вес, а проводимость при |eV | < E0, наоборот, подавляется. Такое поведение соответствует структуре A – при |eV | < E0 интерференция вкладов от |j0 и |j0 деструктивная, а при |eV | > E0 – конструктивная. При E0 W кривая имеет вид одного лорентцевского пика ширины 2W с узким провалом ширины E0 /W при V = 0, обеспечивающим соблюдение условия G(0) = 0. Предел E0 0 соответствует процессу удаления одной майорановской моды из системы, и переходу в режим топологического NS-контакта.

G(0) = 0 при любом положительном E0, однако, при конечной температуре провал в G(V ) размывается, так что экспериментально обнаружить провал в пике возможно только при самых низких температурах. Отметим, что общий следующего энергетического уровня) остается неизменным при изменении E0.

На Рисунке 5 проводимость при нулевой температуре изображена для разных E0. На Рисунке 6 представлена проводимость при различных температурах.

Отметим, что полученные формулы (16,20) приложимы отнюдь не только к системам с майорановскими фермионами. Они годятся для любых туннельных экспериментов, температура в которых достаточно мала для разрешения отдельных андреевских уровней. Например, можно было бы наблюдать уровни Кароли-Матрикона-де Жена в графене с наведенной сверхпроводимостью.23 В трехмерном сверхпроводнике уровни Кароли-Матрикона-де Жена 2e2 h 2e2 h не являются дискретными за счет дисперсии вдоль линии вихря. Однако, это одномерное движение можно локализовать с помощью беспорядка. Так, в сильно анизотропных материалах вроде NbSe2 масса движения вдоль линии вихря очень велика, так что для локализации квазичастиц достаточно слабого беспорядка.

В четвертой главе рассматривается кор вихря на поверхности трехмерного топологического изолятора в пределе сильного беспорядка. Изучается система, изображенная на Рисунке 7 – в сверхпроводящей пленке, покрывающей топологичесий изолятор, проделано отверстие радиуса R, в которое помещен абрикосовский вихрь. Назначение отверстия трояко: во-первых, отверстие пиннингует вихрь – в эксперименте не придется искать вихрь; вовторых, оно позволяет подвести щуп туннельного микроскопа непосредственно к поверхности топологического изолятора и измерить туннельную плотность состояний; наконец, вырезав кружок, мы удаляем из сверхпроводящей пленки низколежащие состояния Кароли-Матрикона-де Жена,25 на фоне которых было бы трудно обнаружить электронные состояния с поверхности Рис. 7: Изучаемая система. Трехмерный топологический изолятор покрыт пленкой s-волнового сверхпроводника, в которой имеется отверh Tunneling probe 2e топологического изолятора. Мы предполагаем R больше или порядка vf / в сверхпроводящей пленке, что означает, что вырезана большая часть спектра Кароли-Матрикона-де Жена, и позволяет считать наведенный параметр порядка на поверхности топологического изолятора ступенчатой функцией, Полный гамильтониан, описывающий электроны на поверхности топологического изолятора, имеет вид Здесь µ – химический потенциал, V (r) – случайный потенциал, описывающий примесный беспорядок. Цель четвертой главы – вычислить локальную плотность состояний (E, r), усредненную по беспорядку. Для этого мы используем суперсимметричную нелинейную -модель.26 Электроны на поверхности топологического изолятора относятся к симплектическому классу симметрии AII, характеризующемуся симметрией по отношению к обращению времени с T 2 = 1. В нашей системе T -инвариантность нарушена вихрем, и, кроме того, имеется электрон-дырочная симметрия. Поэтому система относится к сверхпроводящему классу D. Эффективное действие сигма-модели для нашей системы = E + iGt (r r0 )/4 – сумма энергии и локального члена, опиЗдесь сывающего слабый туннельный контакт с металлом, имеющий нормальную проводимость Gt 1. За D обозначен коэффициент диффузии, – металлическая плотность состояний. S [Q] – топологический член типа Весса-ЗуминоВиттена, возникающий из-за Дираковской природы электронов на поверхности топологического изолятора. Суперматрица Q имеет размер 8 8 и ограничена условиями Q2 = 1 и Здесь действует в пространстве Намбу, а – во вспомогательном TRпространстве, введенном для равнозначного учета куперонов и диффузонов.

Поиск минимума действия (31) сводится к решению уравнению Узаделя и сужению эффективного многообразия до двух несвязанных чаcтей, на которых S принимает разные значения. Вычисляя суперинтеграл мы находим Здесь = Gt n(r0 )/2 1, а среднее межуровневое расстояние равно Выражение (36) в пределе 0, когда первый член превращается в (x), воспроизводит ответ для плотности состояний нульмерного класса D-odd (также Рис. 8: Полная плотность состояний при низких энергиях как функция энергии E. Сплошные линии изображают плотность состояний для различных Gt в единицах e2 /h. Майорановский уровень при E = 0 отталкивает низко-лежащие уровни с конечной энергией, как видно из провала вблизи майорановского пика. Осциллирующая пунктирная (серая) кривая демонстрирует плотность состояний в классе D, то есть в системе, не имеющей майорановского уровня. Пунктирная (красная) кривая – квазиклассический результат, не учитывающий корреляции уровней, и одинаковый для классов B и D.

обозначаемого B).27 Пик в нуле соответствует майорановскому состоянию в системе. В присутствии туннельного контакта -пик размывается. Кривые для интегральной плотности состояний N (E) = (r, E)dr для разных Gt представлены на Рисунке 8. Формула (36) применима при энергиях много меньше энергии Таулесса ET h = D/R2. При больших энергиях флуктуации подавляют осцилляции в (E). При E ET h плотность состояний можно считать квазиклассически: (r) = Re cos (r), где (r) – решение уравнения Узаделя. При энергиях ET h E решить его удается аналитически, при промежуточных энергиях E ET h мы решили его численно. Результаты представлены на Рисунке 9.

Результат (36) свидетельствует о том, что хотя майорановское состояние не сдвигается с нуля энергии за счет беспорядка, оно тем не менее оказывает влияние на статистику уровней – ближайшие уровни с ненулевой энергией отталкиваются от майорановского уровня – вероятность найти уровень с энерРис. 9: Полная плотность состояний как функция энергии E. Осциллирующая (синяя) кривая демонстрирует низкоэнергетический результат при Gt = 0.1e2 /h, пунктирная кривая высокоэнергетическая асимптотика, монотонная (красная) кривая численное решение, интерполирующее между двумя пределами.

гией много меньше 0 подавлена, в отличие от системы без майорановского состояния.

Согласно результатам третьей главы, при Gt 1 туннельная проводимость имеет вид набора резонансных пиков. При этом оказывается применимой формула если только в качестве плотности (E, r0 ) брать выражение (36), уже содержащее в себе уширение уровней за счет туннельного контакта. В результате мы находим G(0) = 2e2 /h, в согласии с формулой (16). Такой пик возможно обнаружить экспериментально, что и было сделано в системах на основе нанопроволок. Заканчивается четвертая глава вычислением шума в рассматриваемом контакте. В заключении сформулированы результаты диссертации, выносимые на защиту. В приложение вынесены громоздкие вычисления.

Заключение Результаты диссертационной работы можно разбить на три части. Первая касается аномального, 4-периодического джозефсоновского тока в SNSсистемах, содержащих майорановские фермионы. Мы получили общую формулу, выражающую такой ток через подщелевой спектр контакта при сохраняющейся фермионной четности в контакте. Предложив оригинальную SNSгеометрию, основанную на трехмерном топологическом изоляторе, покрытом s-волновым сверхпроводником, мы посчитали в ней спектр и получили отсюда аномальный джозефсоновский ток. Ответ был изучен, как функция параметров системы и температуры, откуда была получена характеристическая температура, при которой аномальный ток подавляется.

Во второй части диссертации был рассмотрен в общем виде туннельный контакт между нормальным металлом и сверхпроводником, содержащим дискретные подщелевые уровни. При напряжениях, меньших щели, туннельная проводимость определяется резонансным андреевским отражением, происходящим, когда энергия электрона близка к одному из дискретных уровней.

Мы получили общие выражения, описывающие соответствующие резонансные пики в проводимости. Кроме того, для случая одноканального контакта были получены общие выражения, позволяющие проанализировать роль интерференции в процессе андреевского отражения. Интерференция существенна, когда энергия электрона близка сразу к нескольким дискретным уровням, и определяет то, как именно ведут себя пики в проводимости, близко расположенные по энергии. В частности, при нулевом напряжении вклады от уровней с противоположными энергиями сокращают друг друга, что приводит к занулению проводимости. Для системы с двумя слабо спаренными майорановскими фермионами проводимость имеет вид лорентцевского пика высоты 2e2 /h в нуле, на фоне которого имеется параметрически узкий провал вплоть до нуля. Рассмотрен плавный переход от системы с парой спаренных майорановских мод к системе с одной майорановской модой. Показано. что провал в проводимости быстро замывается с ростом температуры, что не позволяет отличить систему с единственной майорановской модой от системы с двумя слабо спаренными модами.

В третьей главе мы изучали кор вихря на сверхпроводящей поверхности топологического изолятора в присутствии сильного беспорядка. Получена плотность состояний (r, E), усредненная по беспорядку. В пределе сильного беспорядка система описывается сигма-моделью класса симметрии D-odd (также обозначаемого B). При низких энергиях плотность состояний в системе обнаруживает -пик в плотности состояний, и осцилляции при отходе от нуля энергии. Хотя майорановская мода, соответствующая -пику, и защищена топологически (ее энергия остается на нуле при любой реализации беспорядка), она тем не менее существенно влияет на статистику остальных уровней – ближайший уровень с положительной энергией отталкивается от нее.

Полученные результаты способны служить руководством для экспериментальных исследований мы предложили конкретную SNS-систему для обнаружения аномального джозефсоновского тока. Результаты, полученные нами для туннельной проводимости, и выводы о влияния беспорядка на системы с майорановскими фермионами могут быть использованы для анализа существующих экспериментальных данных и для планирования новых измерений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Tunneling conductance due to a discrete spectrum of Andreev states / P. A.

Ioselevich, M. V. Feigel’man // New Journal of Physics. 2013. Vol. 15.

2. Anomalous Josephson Current via Majorana Bound States in Topological Insulators / P. A. Ioselevich and M. V. Feigel’man // Phys. Rev. Lett.

3. Majorana state on the surface of a disordered three-dimensional topological insulator / P. A. Ioselevich, P. M. Ostrovsky, and M. V. Feigel’man // Phys.

Цитируемая литература:

Topological Insulators in Three Dimensions / L. Fu, C. L. Kane and E. J. Mele Topological phases and the quantum spin Hall eect in three dimensions / R.

Quantum Spin Hall Eect and Topological Phase Transition in HgTe Quantum Topological insulators with inversion symmetry / L. Fu, C. L. Kane // Phys.

Quantum Spin Hall Insulator State in HgTe Quantum Wells / M. Knig, S.

A topological Dirac insulator in a quantum spin Hall phase / D. Hsieh, D. Qian, Observation of a large-gap topological-insulator class with a single Dirac cone Topological insulators in Bi2 Se3, Bi2 Te3 and Sb2 Te3 with a single Dirac cone on Unpaired Majorana fermions in quantum wires / A. Yu. Kitaev // PhysicsUspekhi. 2001. Vol. 44. Pp. 131-136.

Majorana Fermions and a Topological Phase Transition in SemiconductorSuperconductor Heterostructures / R. M. Lutchyn, J. D. Sau, and S. Das Sarma Helical Liquids and Majorana Bound States in Quantum Wires / Y. Oreg, G.

Superconducting Proximity Eect and Majorana Fermions at the Surface of a Signatures of Majorana Fermions in Hybrid Superconductor-Semiconductor Zero-bias peaks and splitting in an Al-InAs nanowire topological superconductor as a signature of Majorana fermions / A. Das, Y. Ronen, Y. Most, Y. Oreg, 887-895.

Observation of Majorana Fermions in a Nb-InSb Nanowire-Nb Hybrid Quantum Majorana Fermion Induced Resonant Andreev Reection / K. T. Law, P. A.

Bound Fermion states on a vortex line in a type II superconductor / C. Caroli, Graphene: carbon in two dimensions / M. I. Katsnelson // Materials Today.

Josephson current through a superconducting quantum point contact shorter than the coherence length / C. W. J. Beenakker and H. van Houten // Phys.

Experimental evidence for parity-based 2e periodicity in a superconducting single-electron tunneling transistor / M. T. Tuominen, J. M. Hergenrother, T.

Thermal conductivity of the intermediate state of superconductors / A. F.

microconstrictions: Excess current, charge imbalance, and supercurrent conversion / G. E. Blonder, M. Tinkham, and T. M. Klapwijk // Phys. Rev.

Vortex core states in superconducting graphene / I. M. Khaymovich, N. B.

Kopnin, A. S. Mel’nikov, I. A. Shereshevskii // Phys. Rev. B. 2009. Vol.

Quantized Conductance at the Majorana Phase Transition in a Disordered Superconducting Wire / A. R. Akhmerov, J. P. Dahlhaus, F. Hassler, et al Electronic structure of vortices pinned by columnar defects / A. S. Mel’nikov, K. B. Efetov, Supersymmetry in Disorder and Chaos / K. B. Efetov // New York: Cambridge University Press, 1997.

The supersymmetric technique for random-matrix ensembles with zero