На правах рукописи

БАСИН МИХАИЛ ЕФИМОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПРОЦЕССА ТЕЧЕНИЯ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ И

ДЕФОРМИРОВАНИЯ МНОГОСЛОЙНОГО ИЗДЕЛИЯ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 2006

Работа выполнена на кафедре динамики и прочности машин Пермского государственного технического университета Научные руководители: доктор технических наук, профессор Колмогоров Герман Леонидович доктор технических наук, доцент Бояршинов Михаил Геннадьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Вильдеман Валерий Эрвинович доктор технических наук, профессор Славнов Евгений Владимирович

Ведущая организация: Институт машиноведения УрО РАН

Защита диссертации состоится «18» мая 2006 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 при Институте механики сплошных сред УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан « » апреля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Березин И. К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В промышленности широко применяется технология деформирования изделий в режиме гидродинамического трения, которая заключается в разделении инструмента и деформируемого изделия тонким смазочным слоем. В частности, по такой технологии производятся биметаллические изделия из дисперсноупрочненных композиционных материалов на основе порошковой меди.

Указанную технологию предполагается использовать при производстве сверхпроводящих кабелей.

Исследование характеристик состояния изделий при деформировании в режиме гидродинамического трения выполняется на основе методов механики твердого деформируемого тела, жидкости и газа. Проблемами анализа упругопластического деформирования металлов занимались А. А. Ильюшин, А. А. Поздеев, Г. Я. Гун, В. Л. Колмогоров, Ю. И. Няшин, П. В. Трусов, Р. Хилл и др. Методам решения уравнений Навье-Стокса посвящены работы О. М. Белоцерковского, О. А. Ладыженской, Л. Д. Ландау, Ф. Харлоу, Н. Н. Яненко и др. Над решением задач устойчивости течения тонкого смазочного слоя работали Г. Л. Колмогоров, Е. В. Славнов.

Для корректного описания процесса деформирования в режиме гидродинамического трения разработаны различные модели. Однако, их общим недостатком является разделение проблемы на две независимые задачи: деформирования изделия и течения смазочного слоя. Поэтому проблема построения математической модели совместной задачи является актуальной.

Цель работы заключается в создании математической модели совместного течения смазочного слоя и деформирования многослойного изделия для изучения процессов, происходящих в смазке и деформируемом изделии. Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:

1. Разработать математическую постановку совместной нестационарной неизотермической осесимметричной краевой задачи течения смазочного слоя и деформирования многослойного изделия;

2. Построить разрешающие соотношения для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих деформирование многослойного изделия;

3. Построить разрешающие соотношения для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих течение смазочного слоя;

4. Разработать методику совместного решения задачи деформирования многослойного изделия и течения смазочного слоя;

5. Реализовать методику решения в виде пакета прикладных программ;

6. Выполнить верификацию математической модели на задачах механики деформируемого твердого тела;

7. Выполнить верификацию математической модели на задачах механики жидкости;

8. С использованием разработанной математической модели получить решения прикладных задач деформирования многослойных изделий в режимах граничного и гидродинамического видов трения.

Научная новизна работы:

• предложена оригинальная математическая постановка динамической совместной краевой задачи течения смазочного слоя и деформирования изделия;

• разработана методика решения динамической краевой задачи упругопластического деформирования многослойного изделия;

• разработана методика решения динамической краевой задачи течения тонкого вязкого несжимаемого жидкого слоя;

• построена математическая модель совместного течения смазочного слоя и деформирования многослойного изделия;

• показана возможность применения разработанной математической модели к исследованию эволюции состояния деформируемого изделия и смазочного слоя для некоторых процессов осесимметричного формоизменения.

Практическая значимость работы заключается в создании на основе разработанной методики алгоритмов и пакета программ, которые использованы при исследовании процессов нестационарного осесимметричного упругопластического деформирования многослойных изделий в режимах граничного и гидродинамического видов трения.

';

Методики, алгоритмы и пакет программ используются в учебном процессе Пермского государственного технического университета при выполнении курсовых и дипломных работ.

Достоверность результатов. Справедливость применяемых гипотез, допущений и результатов, полученных с использованием разработанной методики и пакета программ, подтверждается удовлетворительным соответствием получаемых решений точным решениям известных задач и экспериментальным данным.

Положения, выносимые на защиту. Разработана математическая модель на основе уравнений движения сплошной среды с использованием теории пластического течения и определяющих соотношений вязкой несжимаемой жидкости. Математическая модель позволяет исследовать совместный процесс течения смазочного слоя и деформирования многослойного изделия, определять распределения температуры, векторов скорости и перемещений, тензоров деформаций и напряжений, зон упругости и пластичности, подвижные свободные и контактные границы.

Вычислительный эксперимент с использованием математической модели позволяет сравнивать характеристики состояния изделий при деформировании в режимах граничного, смешанного и гидродинамического видов трения, определять поля температуры, деформаций и напряжений биметаллического прутка при производстве электрода для контактной сварки и биметаллических сверхпроводниковых заготовок, дает возможность решения совместной задачи течения смазочного слоя и деформирования металлического изделия.

Аппробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на 10-й, 11-й, 12-й и 13-й Всероссийских конференциях молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» (г. Пермь, - 2004 гг.); Всероссийских научно-технических конференциях «Аэрокосмическая техника и высокие технологии» (г. Пермь, 2002, 2004 гг.); Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (г. Москва, 2002 г.); международной научно-технической конференции «Моделирование и развитие процессов обработки металлов давлением» (г. Магнитогорск, 2002 г.); областной научной конференции молодых ученых, студентов и аспирантов «Молодежная наука Прикамья» (г. Пермь, 2002 г.); 13-й и 14-й международных зимних школах по механике сплошных сред (г. Пермь, 2003, гг.); первой российской научно-технической конференции по трубному производству «Трубы России» (г. Екатеринбург, 2004 г.); пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, весенняя сессия (г. Кисловодск, г.); пятом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, осенняя сессия (г. Сочи, 2004 г.), научной конференции молодых ученых по механике сплошных сред «Поздеевские чтения» (г. Пермь, 2006 г.) и отражены в публикациях статей и тезисов конференций.

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 научная работа. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, списка литературы и приложений, содержит 136 страниц, включая 80 рисунков и 10 таблиц.

Во введении обосновывается актуальность проблемы моделирования процесса упругопластического деформирования многослойных изделий в режимах граничного и гидродинамического видов трения, формулируются цель и задачи работы, излагается краткое содержание глав диссертации.

Первая глава содержит обзор литературных источников, посвященных анализу пластического деформирования металлов, методам решения уравнений НавьеСтокса и исследования эффекта гидродинамического трения.

Во второй главе строится математическая модель нестационарного упругопластического деформирования многослойных изделий в режимах граничного и гидродинамического видов трения.

Метод гидродинамического ввода смазки заключается в создании в ней повышенного давления за счет возникновения гидродинамического эффекта при трении смазки о движущийся пруток (рис. 1). Свободно находящаяся в резервуаре 5 смазка 6 захватывается движущимся прутком 1 и вовлекается в микрозазор между трубкой - насадкой 3 и прутком 1. В результате давление смазки вблизи зоны деформации повышается до величины, обеспечивающей ее ввод в контактную область.

Рис. 1: Схема упругопластического деформирования с гидродинамическим вводом смазки Предполагается, что деформирование прутка является нестационарным, неизотермическим, осесимметричным; энергия пластического деформирования полностью диссипирует в тепло; смазка считается вязкой и несжимаемаемой; пруток состоит из отличающихся по своим свойствам изотропных материалов с первоначально известной границей раздела. Принимается теория пластического течения с линейным анизотропным упрочнением.

Пусть в некоторый момент времени t [0, ] многослойное изделие и смазочный слой занимают ограниченную область = 1 2 l R3 с границей и границами раздела материалов 1 между слоями 1 и 2 изделия и 2 между оболочкой 1 и смазочным слоем l. Обозначим через ep = 1 2 область упругопластического деформирования с границей ep, ep = ep ep.

Напряженно - деформированное состояние многослойного изделия и течение смазки описывается общей системой уравнений движения теплопроводности неразрывности зависимостью перемещений от скорости физическими и геометрическими соотношениями начальными условиями (t = 0) граничными силовыми кинематическими тепловыми условиями и условиями на границах раздела материалов где, — тензоры напряжений, деформаций; — интенсивности напряжений, скоростей пластических деформаций; v, u — векторы скорости, перемещений; T — температура; P — давление; c,,,, — коэффициенты удельной теплоемкости, теплопроводности, температурного расширения, плотности, кинематической вязкости; W — мощность внутренних источников тепла; W — мощность трения на границе; F — вектор силы трения на границе; n — единичный вектор внешней нормали; F, v, T, Tn — границы, на которых задаются значения силы, скорости, температуры и теплового потока; c = {1, 2 } — граница раздела материалов;

f r — контактная граница с трением.

влетворяющие системе (1) - (7e), определить контактные и свободные границы, а также границы раздела материалов.

Связь между приращениями тензоров напряжений и деформаций для упругопластического материала принимается в виде где D, R — тензоры упругопластических и температурных свойств, вид которых определен А. А. Поздеевым, Ю. И. Няшиным, П. В. Трусовым и приведен в тексте диссертации.

Для смазки зависимость тензора напряжений от вектора скорости имеет вид Третья глава посвящается построению разрешающих соотношений и описанию алгоритма решения задачи. При построении соотношений используется метод Галеркина с конечно - элементной аппроксимацией решения. Набор пробных векторных функций i, i = 1, 2,... строится на основе полной и замкнутой системы скалярных функций i, i = 1, 2,...

В работе показано, что набор вектор - функций (10) образует полную и замкнутую систему. Для упругопластического материала уравнения движения (1) с учетом (8) записываются в виде системы уравнений Для области со смазкой уравнения движения (1) с учетом (9) преобразуются к виду Разрешающее соотношение для определения температуры имеет вид Для определения давления в смазке используется подход О. М. Белоцерковского, согласно которому вводится дополнительное давление P, определяемое как решение дифференциального уравнения Найденное распределение P позволяет уточнить поле давления и компоненты вектора скорости удовлетворяющие в этом случае уравнению неразрывности. Разрешающее соотношение для определения поправки к давлению записывается в форме Для совместного решения задачи (4), (5), (11) - (13), (17) с краевыми условиями (6a - 7e) используется следующий численный алгоритм. Пусть для произвольного момента времени t известно напряженно - деформированное состояние материала.

Тогда для t + t при совместном использовании разрешающих соотношений (11), (12) определяются компоненты вектора скорости v для всей исследуемой области. По известному полю скорости определяются приращения компонент вектора перемещений, тензоров деформаций и напряжений в металле; для жидкости из уравнения (17) находится приращение давления P и корректируются компоненты полей скорости и давления; вычисляется мощность внутренних источников тепла.

Из соотношения (13), с учетом поверхностных и внутренних источников тепла, рассчитывается поле температуры T. Далее, для металла определяются упругие и пластические зоны. Это позволяет определить компоненты тензоров D и R для выполнения очередного шага расчетов. По найденному приращению u вычисляется положение границ изделия в пространстве, уточняются новые свободные и контактные границы, а также границы раздела материалов. Затем выполняется переход к следующему шагу вычислений. Вычисления продолжаются до достижения требуемого момента времени. Таким образом, алгоритм позволяет проследить эволюционное развитие напряженно - деформированного состояния изделия, полей скорости и давления в смазочном слое.

В четвертой главе выполняется верификация математической модели на следующих задачах: определение напряженно - деформированного состояния длинного цилиндра при термоупругом и пластическом деформировании (максимальная погрешность между численным и точным решением при упругом деформировании составила 1,88%; при термоупругом — 0,21%; при пластическом — 6,28%); определение поля вектора скорости и давления при течении жидкости в цилиндрическом канале (максимальная погрешность между численным и точным решением составила 1,84%) и цилиндрической каверне (выполнена оценка сходимости при вычислении давления с использованием базисных функций первого и второго порядка аппроксимации (рис. 2)).

Рис. 2: Сходимость решения уравнения неразрывности (x — линейные пробные функции, s — квадратичные пробные функции) Для оценки применимости теории пластического течения решается задача определения напряженно - деформированного состояния прутка, в различные моменты времени строятся траектории деформирования в пространстве А. А. Ильюшина и проверяется выполнение неравенства где — радиус кривизны траектории деформации, h – след запаздывания. Траектории деформирования удовлетворяют соотношениям малой кривизны (рис. 3).

-0. -0. -0. В пятой главе рассматриваются прикладные задачи пластического деформирования металлов. В первой части главы выполняется сравнение полей температуры, скорости и напряжений при деформировании изделия в режимах граничного, смешанного и гидродинамического видов трения (рис. 4, а). Скорость v1 принимается равной 0, 1 м/с; полуугол образующей конуса волоки = 6, начальный радиус r0 = 2, 94 мм, коэффициент вытяжки = 1, 2. Инструмент моделируется заданием соответствующих граничных условий. Рассматриваются коэффициенты трения, равные f = 0, 1, f = 0, 05, f = 0, 01, соответствующие режимам граничного, смешанного и гидродинамического трения. В задаче приняты начальные и граничные условия Существенные различия заметны для распределения температуры (рис. 5). Распределение температуры в режиме с f = 0, 01 показывает, что основное влияние Рис. 5: Распределение температуры при различных видах трения на разогрев в режиме гидродинамического трения оказывает энергия пластического деформирования. Поэтому пруток равномерно разогревается вдоль радиального сечения. Уменьшение величины коэффициента трения способствует снижению значений компонент тензора напряжений.

Во второй и третьей части главы исследуются процессы упругопластического деформирования биметаллической заготовки (рис. 4, б) электрода для контактной технической сварки (медная оболочка и сердечник из ДУКМ) и биметаллических сверхпроводящих заготовок (медная оболочка и ниобиевый или титановый сердечник). Принимается, что v1 = 1 м/с, = 6, f = 0, 1. Радиус сердечника заготовки электрода составляет 6 мм, начальный радиус оболочки — 9 мм, = 1, 1; начальный радиус сердечника сверхпроводящей заготовки — 2 мм, оболочки — 4 мм, = 1, 2. Инструмент моделируется соответствующими граничными условиями. В задачах приняты начальные и граничные условия Условия на границе между оболочкой и сердечником имеют вид Vz1 |GH = Vz2 |GH, Vr1 |GH = Vr2 |GH, F

GH GH GH GH

Значительный поверхностный разогрев оболочки происходит в местах контакта за счет контактного трения, (рис. 6, а). Внутренняя часть оболочки разогревается Рис. 6: Особенности напряженно - деформированного состояния ДУКМ - медного биметаллического прутка за счет теплопроводности и энергии пластического деформирования. Из расчетов следует, что температура сердечника остается практически неизменной. Повидимому, это обусловлено теплофизическими свойствами. Расчеты показывают, что пластически деформируется лишь медная оболочка (рис. 6, б).

Рис. 7: Особенности напряженно - деформированного состояния ниобий-медного прутка Напряженно - деформированные состояния ниобий-медного и титан-медного прутков (рис. 7, 8) качественно совпадают. Характер и значения полей температуры близки между собой. В титановом сердечнике компоненты тензора напряжений достигают более высоких значений, чем в ниобиевом.

В четвертой части главы решается совместная задача течения смазочного слоя и деформирования изделия в режиме гидродинамического трения (рис. 4, в). Принимается, что v1 = 5 м/с, = 6, = 1, 2. Начальный радиус равен 2,94 мм, длина трубки - насадки — 30 мм, толщина слоя смазки в зазоре h = 0, 05 мм. В качестве смазки взято минеральное масло МС-20. Выбранные параметры трубки - насадки обеспечивают высокое давление в смазке перед входом в зону деформации (рис.

9). В задаче приняты начальные и граничные условия Рис. 8: Особенности напряженно - деформированного состояния титан-медного прутка Рис. 9: Распределение давления в смазочном слое в зависимости от длины трубки - насадки и толщины слоя смазки (1, 2 — численное и аналитическое решение при h = 0, 05 мм; 3, 4 — численное и аналитическое решение при h = 0, 1 мм)

BC CD DE EH GH

Условия на границе между металлом и смазочным слоем задаются в виде Vz1 |GH = Vz2 |GH, Vr1 |GH = Vr2 |GH, F

GH GH GH GH

Разогрев в смазочном слое происходит за счет сил вязкого трения (рис. 10, а). Благодаря контактному теплообмену и энергии пластического деформирования разогревается поверхность изделия. В литературе указывается, что для аналогичной конфигурации разогрев поверхности изделия достигает 180 С (данные Рис. 10: Характеристики деформирования изделия в режиме гидродинамического определены Пальмовым Е. В.). Температура контактного слоя, полученная с помощью построенной модели, составляет от 160 C до 176 C, т. е. отклонение от экспериментального значения находится в пределах от 3% до 11%.

Определяющую роль в формоизменении металла играет давление. В свою очередь, физико - механические свойства изделия определяют характер деформирования и тем самым влияют на поведение смазочного слоя. Это говорит о необходимости решения совместной задачи течения смазочного слоя и формоизменения изделия для уточненного исследования процесса деформирования в режиме гидродинамического трения.

Полученные результаты (рис. 10) свидетельствуют о возможности решения совместной задачи течения смазочного слоя и упругопластического деформирования металлического изделия и применения построенной математической модели к исследованию влияния различных факторов (скорость, геометрия инструмента, типы материалов и смазок) на рассматриваемый процесс.

1. Разработана математическая постановка совместной нестационарной неизотермической осесимметричной краевой задачи течения смазочного слоя и деформирования многослойного изделия;

2. С использованием метода Галеркина построены разрешающие соотношения для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих деформирование многослойного изделия;

3. С использованием метода Галеркина построены разрешающие соотношения для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих течение смазочного слоя;

4. Разработана методика совместного решения задачи деформирования многослойного изделия и течения смазочного слоя;

5. Разработан пакет прикладных программ на языке программирования среды научных и инженерных расчетов MATLAB;

6. Выполнена верификация математической модели на задачах механики деформируемого твердого тела: определение напряженно - деформированного состояния длинного цилиндра при термоупругом и упругопластическом деформировании, медного прутка при упругопластическом деформировании;

7. Выполнена верификация математической модели на задачах механики жидкости: определение поля вектора скорости и давления при течении жидкости в цилиндрическом канале и цилиндрической каверне;

8. Получены решения прикладных задач:

— определено напряженно - деформированное состояние прутка при деформировании в режимах с различными видами трения, показано, что значение коэффициента трения главным образом влияет на распределение температуры и компонент тензора напряжений, снижение величины коэффициента трения способствует более равномерному распределению температуры с невысокими максимальными значениями;

— определено напряженно - деформированное состояние биметаллического прутка в процессе производства электрода для контактной технической сварки, выявлено, что особенностями напряженно - деформированного состояния биметаллической ДУКМ - медной заготовки при деформировании являются значительный перепад температур в направлении от оболочки к сердечнику и отсутствие зон пластичности в сердечнике из дисперсно - упрочненного композиционного материала;

— определены напряженно - деформированные состояния биметаллических заготовок в процессе производства сверхпроводящих одноволоконных модулей, обнаружено, что поле тензора напряжения ниобий - медного сверхпроводника более однородно и обладает сниженными максимальными значениями по сравнению с титан - медным изделием;

— определены напряженно - деформированное состояние прутка, поле скорости и давления в смазочном слое при деформировании в режиме гидродинамического трения, показана возможность решения совместной задачи течения смазочного слоя и деформирования металлического изделия и применения построенной математической модели к исследованию влияния различных факторов на рассматриваемый процесс.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях.

[1] Басин М. Е., Бояршинов М. Г., Колмогоров Г. Л. Постановка задачи моделирования процесса волочения прутка // Вестник ПГТУ. Динамика и прочность машин. – 2001. – № 3. – С. 122–127.

[2] Басин М. Е., Бояршинов М. Г., Колмогоров Г. Л. Моделирование процесса волочения прутка // Моделирование и развитие процессов обработки металлов давлением: Межрегиональный сборник научных трудов. – Магнитогорск:

МГТУ им. Г. И. Носова, 2002. – С. 15–20.

[3] Басин М. Е. Моделирование процесса волочения прутка в режиме гидродинамического трения // Молодежная наука Прикамья: Сборник научных трудов. – Пермь: ПГТУ, 2002. – № 2. – С. 113–118.

[4] Басин М. Е., Бояршинов М. Г., Колмогоров Г. Л. Моделирование процесса волочения прутка // Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB. – 2002. – С. 193–201.

[5] Басин М. Е., Бояршинов М. Г., Колмогоров Г. Л. Моделирование упругопластического деформирования осесимметричного биметаллического прутка // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика. – 2003. – [6] Басин М. Е., Бояршинов М. Г. Моделирование течения вязкой несжимаемой смазки при гидродинамическом волочении проволоки // Вычислительная механика. – 2003. – № 1. – С. 95–100.

[7] Басин М. Е., Бояршинов М. Г., Колмогоров Г. Л. Математическая модель обработки однородных и биметаллических изделий давлением // Обозрение прикладной и промышленной математики: Пятый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, весенняя сессия. – Т. 11, №1. – М.: ОПиПМ, 2004. – С. 95–96.

[8] Басин М. Е., Бояршинов М. Г., Колмогоров Г. Л. Математическая модель течения смазки в режиме гидродинамического трения // Обозрение прикладной и промышленной математики: Пятый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, осенняя сессия. – Т. 11, №4. – М.:

ОПиПМ, 2004. – С. 755–756.

[9] Басин М. Е., Бояршинов М. Г., Колмогоров Г. Л. Характеристики упругопластического деформирования биметаллических заготовок // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика. – 2005. – № 1. – С. 53–59.

[10] Басин М. Е., Бояршинов М. Г., Колмогоров Г. Л. Оценка применимости теории упруго-пластического течения при моделировании процесса волочения металла // Вычислительная механика. – 2005. – № 3. – С. 70–75.