МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 511

Рочев Игорь Петрович

ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ЗНАЧЕНИЙ

НЕКОТОРЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2011

Работа выполнена на кафедре теории чисел Механико-математического фа­ культета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители: кандидат физико-математических наук, доцент Зудилин Вадим Валентинович доктор физико-математических наук, профессор Мощевитин Николай Германович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Салихов Владислав Хасанович доктор физико-математических наук, профессор Сорокин Владимир Николаевич

Ведущая организация: Московский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится 18 февраля 2011 г. в 16 ч. 45 м. на заседа­ нии диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Российская Федера­ ция, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 18 января 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена двум вопросам в теории трансцендентных чисел.

Один из них связан с обобщением классической теоремы Пойа о целознач­ ных целых функциях. Другой — с доказательством линейной независимости значений -рядов определённого вида.

Актуальность темы Для целой функции () будем обозначать через | | максимум | ()| на круге = { C | || }: | | = max | ()|.

В 1915 году Пойа1 доказал следующий результат.

Пусть () — целая трансцендентная функция. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если (Z 0 ) Z, то 1/2 | | lim sup > 0.

+ 2. Если (Z) Z, то 3/2 | | lim sup ( ) > 0.

+ 3+ ) ) ) (( ( 3+ 5 и в теореме Пойа нельзя улучшить.

Этот результат уточнялся и обобщался в работах Харди2 (см. также работу Ландау3 ), Пойа4, Карлсона5, Ицуми6, Сельберга7, Пизо8, Бака9, Ро­ G. Polya, Uber ganzwertige ganze Funktionen, Rend. Circ. Mat. Palermo 40:1 (1915), 1–16.

G. H. Hardy, On a theorem of Mr G. Plya, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 19 (1917), 60–63.

E. Landau, Note on Mr Hardy’s extension of a theorem of Mr Plya, Math. Proc. Cambridge Philos.

Soc. 20 (1920), 14–15.

G. Polya, Uber ganze ganzwertige Funktionen, Nachr. Ges. Wiss. Gttingen Math.-Phys. Kl. (1920), 1–10.

F. Carlson, Uber ganzwertige Funktionen, Math. Z. 11:1–2 (1921), 1–23.

Sh. Izumi, Uber die ganzwertige ganze Funktion, Jpn. J. Math. 5 (1928), 5–22.

A. Selberg, Uber ganzwertige ganze transzendente Funktionen. I, II, Arch. Math. Naturvid. 44 (1941), 45–52, 171–181.

Ch. Pisot, Uber ganzwertige ganze Funktionen, Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 52 (1942), 95–102.

Ch. Pisot, Sur les fonctions arithmtiques analytiques a croissance exponentielle, C. R. Acad. Sci. Paris 222 (1946), 988–990.

Ch. Pisot, Sur les fonctions analytiques arithmtiques et presque arithmtiques, C. R. Acad. Sci. Paris 222 (1946), 1027–1028.

R. C. Buck, A class of entire functions, Duke Math. J. 13:4 (1946), 541–559.

R. C. Buck, Integral valued entire functions, Duke Math. J. 15:4 (1948), 879–891.

бинсона10.

В литературе часто встречается более слабая формулировка теоремы Пойа: если () — целая трансцендентная функция с (Z 0 ) Z, то В 1929 году Гельфонд11 доказал следующее обобщение этой версии теоремы Пойа.

Пусть () — целая трансцендентная функция такая, что для неко­ торого Z>0 выполнено () (Z 0 ) Z при = 0, 1,..., 1. Тогда Результат Гельфонда улучшался в работах Сельберга12, Бундшу и Зуди­ лина13, Вельтера14. В работе Бундшу и Зудилина также было доказано, что для любого Z>0 существует трансцендентная целая функция () такая, где — некоторая абсолютная постоянная.

В 1978 году Вальдшмидт15 доказал следующее утверждение.

K — конечное расширение Q степени, 0. Допустим, что () — трансцендентная целая функция такая, что () K, причём для R. M. Robinson, Integer-valued entire functions, Trans. Amer. Math. Soc. 153 (1971), 451–468.

A. O. Gelfond, Sur un thor`me de M. G. Plya, Atti Accad. Naz. Lincei 10 (1929), 569–574.

A. Selberg, Uber einen Satz von A. Gelfond, Arch. Math. Naturvid. 44 (1941), 159–170.

P. Bundschuh, W. Zudilin, On theorems of Gelfond and Selberg concerning integral-valued entire functions, J. Approx. Theory 130:2 (2004), 162–176.

M. Welter, Sur un thor`me de Gel’fond–Selberg et une conjecture de Bundschuh–Shiokawa, Acta Arith. 116:4 (2005), 363–385.

';

M. Waldschmidt, Plya’s theorem by Schneider’s method, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 31:1– (1978), 21–25.

где — максимум модулей сопряжённых алгебраического числа, () — наименьшее Z>0 такое, что число целое алгебраическое. Тогда где 0 — некоторая (эффективная) положительная постоянная, зависящая только от,,.

В диссертации доказано обобщение теоремы Вальдшмидта, аналогичное обобщению Гельфонда теоремы Пойа.

Существует много работ об арифметических свойствах значений функций вида где () — непостоянный многочлен, а число C с || > 1 таково, что В работах Бернштайна и Саса16 и Саса17 была доказана иррациональность ограничениях на (а именно: если = 1 /2, где 1, 2 Z {0}, (1, 2 ) = 1, то отношение ln |2 |/ ln |1 | должно быть достаточно мало).

Обобщая метод Саса, Чакалов18 доказал для функции соответствующей многочлену () =, линейную независимость над Q чисел 1, (1 ),..., ( ) при определённых ограничениях на Q, где =. Функция () сегодня известна как функция (или ряд) Чакалова.

Впоследствии Сколем19 доказал аналогичное утверждение, содержащее также производные функции ().

Количественные версии результатов Чакалова и Сколема (с оценками снизу для линейных форм от рассматриваемых чисел) были получены в F. Bernstein, O. Szasz, Uber Irrationalitt unendlicher Kettenbrche mit einer Anwendung auf die Reihe 0, Math. Ann. 76:2–3 (1915), 295–300.

O. Szasz, Uber Irrationalitt gewisser unendlicher Reihen, Math. Ann. 76:4 (1915), 485–489.

L. Tschakaloff, Arithmetische Eigenschaften der unendlichen Reihe =0 2, Math. Ann.

80:1 (1919), 62–74.

L. Tschakaloff, Arithmetische Eigenschaften der unendlichen Reihe =0 2. (2. Abhandlung), Math. Ann. 84:1–2 (1921), 100–114.

Th. Skolem, Some theorems on irrationality and linear independence, Den 11te Skandinaviske Matematikerkongress, Trondheim (1949), 77–98.

работах Бундшу и Шиокавы20 и Катсурады21 соответственно; -адический аналог последнего результата был доказан Ваананеном и Валлиссером22.

Обобщение результата Бундшу–Шиокавы для функции (1) было получено Штилем23, который доказал в количественной форме линейную независимость над мнимым квадратичным полем K чисел при определённых ограничениях на K, где числа K* удовлетворяют тем же условиям, что и выше, а многочлен () K[] раскладывается на линейные множители над K, причём (0) = 0.

Поскольку функция () удовлетворяет -разностному уравнению порядка deg (), этот результат является в некотором смысле наилучшим возможным с качественной точки зрения.

Катсурада24 при тех же ограничениях, что у Штиля, доказал аналогичное утверждение, содержащее производные функции (). Обобщение последнего результата для произвольного конечного расширения поля Q, в том числе и в -адическом случае, было получено в работе Санкилампи и Ваананена25 (для функции Чакалова соответствующее обобщение чуть ранее доказали Коивула, Санкилампи и Ваананен26 ).

В случае, когда для многочлена () в (1) выполнено (0) = 0, первый результат был получен Лотоцким27, который рассматривал функцию (последнее равенство следует из уравнения () = (1 + ) ()), известную как -экспоненциальная функция. Лотоцкий доказал, что если — целое число P. Bundschuh, I. Shiokawa, A measure for the linear independence of certain numbers, Results Math.

7:2 (1984), 130–144.

M. Katsurada, Linear independence measures for certain numbers, Results Math. 14:3–4 (1988), 318–329.

K. Vaananen, R. Wallisser, Zu einem Satz von Skolem uber lineare Unabhngigkeit von Werten gewisser Thetareihen, Manuscripta Math. 65:2 (1989), 199–212.

Th. Stihl, Arithmetische Eigenschaften spezieller Heinescher Reihen, Math. Ann. 268:1 (1984), 21–41.

M. Katsurada, Linear independence measures for values of Heine series, Math. Ann. 284:3 (1989), 449–460.

O. Sankilampi, K. Vaananen, On the values of Heine series at algebraic points, Results Math. 50:1– (2007), 141–153.

L. Koivula, O. Sankilampi, K. Vaananen, A linear independence measure for the values of Tschakaloff function and an application, JP J. Algebra Number Theory Appl. 6:1 (2006), 85–101.

A. V. Lototsky, Sur l’irrationnalit d’un produit infini, Rec. Math. [Mat. Sbornik] N. S. 12(54): (1943), 262–272.

мнимого квадратичного поля K, || > 1, K*, Z>0, то () K.

(В работе Лотоцкого предполагалось, что K = Q(i), > 1, однако рассуж­ дения легко переносятся на общий случай28.) Количественная версия этого результата была получена Бундшу29.

В работах Безивана30 был предложен новый метод для доказательства линейной независимости значений функций вида где () — линейная рекуррентная последовательность. Результаты Безивана обобщались в работах Андре31, Амоу и Ваананена32.

В работах Дюверне33 было доказано, что при Z {0, ±1} числа не являются квадратичными иррациональностями. Безиван34, используя но­ вый вариант своего метода, значительно обобщил этот результат; в частности, ему удалось доказать неквадратичность значений функций Чакалова () при Z {0, ±1} (и даже при Q с определёнными ограничениями) и Q*. Дальнейшие улучшения были получены в работах Шуле35, Краттен­ талера, Рочева, Ваананена и Зудилина36.

Стоит отметить, что все упомянутые результаты, полученные с использо­ ванием того или иного варианта метода Безивана, являются качественными;

Н. И. Фельдман, Седьмая проблема Гильберта, изд-во МГУ, М., 1982, § 3.3.

P. Bundschuh, Arithmetische Untersuchungen unendlicher Produkte, Invent. Math. 6:4 (1969), 275–295.

J.-P. Bezivin, Indpendance linaire des valeurs des solutions transcendantes de certaines quations fonctionnelles, Manuscripta Math. 61:1 (1988), 103–129.

J.-P. Bezivin, Indpendance linaire des valeurs des solutions transcendantes de certaines quations fonctionnelles II, Acta Arith. 55:3 (1990), 233–240.

Y. Andre, Sries Gevrey de type arithmtique, II. Transcendance sans transcendance, Ann. of Math. (2) 151:2 (2000), 741–756.

M. Amou, K. Vaananen, Linear independence of the values of -hypergeometric series and related functions, Ramanujan J. 9:3 (2005), 317–339.

D. Duverney, Proprits arithmtiques d’une srie lie aux fonctions thta, Acta Arith. 64:2 (1993), 175–188.

D. Duverney, Sommes de deux carrs et irrationalit de valeurs de fonctions thta, C. R. Acad. Sci.

Paris Sr. I Math. 320:9 (1995), 1041–1044.

J.-P. Bezivin, Sur les proprits arithmtiques d’une fonction enti`re, Math. Nachr. 190:1 (1998), 31–42.

R. Choulet, Des rsultats d’irrationalit pour deux fonctions particuli`res, Collect. Math. 52:1 (2001), 1–20.

Ch. Krattenthaler, I. Rochev, K. Vaananen, W. Zudilin, On the non-quadraticity of values of the -exponential function and related -series, Acta Arith. 136:3 (2009), 243–269.

получить количественный вариант метода долгое время не удавалось. Мно­ жество работ различных авторов посвящено доказательству количественных результатов в разных частных случаях с помощью совершенно других мето­ дов; помимо указанных выше работ стоит упомянуть работы Ваананена37, Ваананена и Зудилина38.

В диссертации с помощью количественного варианта метода Безивана, разработанного автором, доказаны оценки снизу для линейных форм от значений функций вида (1) (а также функций чуть более общего вида) и их производных.

Цель работы Целью настоящей диссертации является изучение аналитических свойств целых функций с определёнными арифметическими ограничениями для их значений, а также получение оценок меры линейной независимости значений -рядов достаточно общего вида.

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Получено новое обобщение теоремы Пойа о целозначных целых функци­ 2. Доказана линейная независимость значений -рядов достаточно общего вида в количественной форме, причем оценка меры линейной независи­ мости в настолько общей ситуации получена впервые.

Методы исследования В диссертации используются методы теории функций действительного и комплексного переменного и теории трансцендентных чисел.

Теоретическая и практическая ценность Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение при изучении задач, связанных с оценками мер линейной независимости значений специальных функций.

K. Vaananen, On linear independence of the values of generalized Heine series, Math. Ann. 325: (2003), 123–136.

K. Vaananen, W. Zudilin, Baker-type estimates for linear forms in the values of -series, Canad.

Math. Bull. 48:1 (2005), 147–160.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на следующих научных семина­ рах и конференциях:

1. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством чл.-корр. РАН Ю. В. Нестеренко, проф. Н. Г. Мощевитина.

2. Семинар “Арифметика и геометрия” под руководством проф. Н. Г. Мо­ щевитина, доц. А. М. Райгородского, асс. О. Н. Германа.

3. Семинар “Аналитическая теория чисел” под руководством проф. А. А. Ка­ 4. Семинар по теории чисел Института прикладной математики ДВО РАН (г. Хабаровск) под руководством чл.-корр. РАН В. А. Быковского, д. ф.-м. н. А. В. Устинова.

5. Международная конференция “Диофантовы и аналитические пробле­ мы теории чисел”, посвященная 100-летию А. О. Гельфонда (Россия, г. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 29 января – 2 февраля 2007 г.).

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1–3].

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Полный объем диссертации — 119 страниц. Список литературы включает 69 наимено­ ваний.

Краткое содержание работы Во введении изложена краткая история исследуемых вопросов и сфор­ мулированы основные результаты диссертации.

В первой главе доказаны оценки для минимальной скорости роста транс­ цендентной целой функции при определённых ограничениях арифметического характера на её значения и значения её производных.

При 0 положим = { C | || }. Для целой функции () определим | | = max | ()|. Далее, для Z будем обозначать = Z>0, [0, +), K — конечное расширение Q, ZK — кольцо целых чисел Обозначим через (; K; ) точную нижнюю грань чисел > 0, для которых существует целая трансцендентная функция () со следующими свойствами.

1. При найдутся числа ZK {0}, удовлетворяющие условиям:

Первые два основных результата главы 1 содержат оценки снизу для величины (; K; ).

Теорема 1. Для любых,, K, справедливо неравенство Более того, В случае, когда = 1 (то есть K — мнимое квадратичное поле или Q), = 0, будем вместо (; K; 0) писать ().

Третий основной результат первой главы посвящён оценкам сверху для величины (; Q; ).

Теорема 3. Пусть множество Z таково, что существует предел Тогда для любых Z>0 и 0 справедливо неравенство Более того, если существуют равные пределы Вторая глава посвящена доказательству линейной независимости зна­ чений функций определённого вида.

Пусть K — конечное расширение поля Q степени = [K : Q], K — мно­ жество всех нетривиальных нормирований поля K. Для K нормируем абсолютное значение | · | следующим образом:

2. || = || при Q (где || означает модуль числа ), если |.

Тогда для любого K* имеет место формула произведения где = [K : Q ] — соответствующие локальные степени.

Для K будем обозначать через () абсолютную (мультипликатив­ ную) высоту числа, Далее, для произвольного вектора = (0,..., ) K1+ будем обозна­ чать (в частности, ((1, )) = ()).

Заметим, что 1, причём = 1 тогда и только тогда, когда для всех K {} выполняется неравенство || 1.

Пусть многочлены (, ) K[, ] и () K[] удовлетворяют услови­ ям := deg 1 и (, )() = 0 при = 1, 2, 3,.... Рассмотрим целую функцию где C — пополнение алгебраического замыкания K. Важный частный слу­ чай — -экспоненциальная функция Наконец, введём обозначение в частности, если, Z>0, то (, ) = ()2 (2, /), где (, ) = 0 ( + ) — дзета-функция Гурвица.

В первом основном результате второй главы рассматривается случай, когда deg (, ) = deg () = 0.

Теорема 4. Допустим, что многочлены (, ) = () и () = 1 не зависят от. Пусть числа 1,..., K* удовлетворяют следующим двум условиям:

(ii) (0) Z>0 при Далее, если (1) = 0, то обозначим если же 1 := ord=1 () > 0, то положим ((, ) определено в (4).) Тогда если выполнено где определено в (2), то числа линейно независимы над K. Более того, для любого > 0 существует (эффективная) постоянная 0 = 0 (,, 0,,,, ) > 0 такая, что для любого вектора = (0,,, ) K1+ { выполнено где = max{( ), 0 }, Для -экспоненциальной функции (3) получаем следующее следствие.

Следствие 2.1. Пусть = / Q, где, Z {0}, (, ) = 1, || > ||, Q*, Z>0. Обозначим = ln ||/ ln ||. Тогда если < 7/12, то чис­ ло () иррационально. Более того, для любого > 0 существует положи­ тельная постоянная 0 = 0 (,, ) такая, что для любого рационального числа / (где Z, Z>0 ) справедливо неравенство Кроме того, если < 1/6, то () не является квадратичной иррацио­ нальностью и для любого > 0 существует положительная постоянная 0 = 0 (,, ) такая, что для любого многочлена () Z[] второй степени справедливо неравенство где = max{(), 0 }, () — длина многочлена (сумма модулей коэф­ В качестве ещё одного следствия теоремы 4 для () получаем следую­ щий результат для так называемого -логарифма Следствие 2.2. Допустим, что где определено в (2). Тогда при любом K*, Z>0, имеем () K.

Более того, для любого > 0 существует положительная постоянная 0 = 0 (, 0,, ) такая, что для любого числа K справедливо неравенство где = max{(), 0 }, Следствие 2.2 даёт следующий результат для определённых рядов с линейными рекуррентными последовательностями.

Следствие 2.3. Пусть, Z {0} таковы, что := 2 + 4 > 0. Пусть последовательность является решением рекуррентного соотношения с начальными условиями 0 = 0, 1 = Q. Положим (здесь (, ) — наибольший общий делитель чисел, Z). Если для := ||/, := / выполнено неравенство Более того, для любого > 0 существуют положительные постоянные 0 = ( ) 0 (, ) и 0 = 0 (,,,,, ) такие, что для любого числа Q справедливо неравенство где = max{(), 0 }.

Предположим теперь, что max{deg (, ), deg ()} > 0. Пусть Введём обозначения = deg (), (степень нулевого многочлена считаем равной 0).

Теорема 5. Допустим, что = 1, где определено в (2), и многочлены (, ) и () удовлетворяют (по крайней мере) одному из следующих двух условий:

(а) () не зависит от, (б) () и 0 () не зависят от.

0 < 0 ) удовлетворяют следующим трём условиям:

(iii) если deg 0 () = deg (), то (/) Z>0 при 1, где и — старшие коэффициенты многочленов 0 () и () соответственно.

Тогда числа линейно независимы над K. Более того, если обозначить то для любого > 0 существует (эффективная) положительная постоян­ ная 0 = 0 (,,,, 0,,,, ) такая, что для произвольного вектора где = max{( ), 0 }.

В частности, для функции получаем следующий результат.

Следствие 2.4. Пусть — целое число мнимого квадратичного поля K, || > 1, 0 Z>0 и числа 1,..., K* удовлетворяют условию Тогда числа линейно независимы над K. Более того, для любого > 0 существует постоянная 0 = 0 (,,, 0, ) > 0 такая, что для любого вектора = (0,, ) Z1+0 { выполнено где = max{( ), 0 }, 0 = В последней теореме второй главы рассматривается целая функция Теорема 6. Пусть 1,..., K — различные числа, удовлетворяющие следующим двум условиям:

где (, ) определено в (4). Тогда если выполнено где определено в (2), то числа линейно независимы над K. Более того, для любого > 0 существует (эффективная) постоянная 0 = 0 (, 0,,,, ) > 0 такая, что для любого вектора = (0,, ) K1+ { выполнено где = max{( ), 0 }, В частности, для мероморфной функции получаем следующий результат.

Следствие 2.5. Допустим, что выполнено неравенство где определено в (2). Тогда для любого K такого, что при всех целых выполнено имеем () K. Более того, для любого > 0 существует положитель­ ная постоянная 0 = 0 (, 0,, ) такая, что для любого числа K справедливо неравенство где = max{(), 0 }, Автор выражает благодарность своим научным руководителям к. ф.-м. н., доц. В. В. Зудилину и д. ф.-м. н., проф. Н. Г. Мощевитину за постановки задач и помощь в подготовке диссертации, а также коллективу кафедры теории чисел во главе с чл.-корр. РАН, проф. Ю. В. Нестеренко за создание творческой атмосферы.

Список публикаций по теме диссертации [1] И. П. Рочев, Об одном обобщении теоремы Полиа, Матем. заметки 81:2 (2007), 280–293.

[2] Ch. Krattenthaler, I. Rochev, K. Vaananen, W. Zudilin, On the non-quadraticity of values of the -exponential function and related -series, Acta Arith. 136:3 (2009), 243–269. (И. Рочеву принадлежат доказательства лемм 1–3 и предложений 1–4.) [3] И. П. Рочев, О линейной независимости значений некоторых -рядов, Изв. РАН. Сер. матем. 75:1 (2011), 181–224.