Московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 512.542 + 512.547.21

Федоров Сергей Николаевич

МОНОМИАЛЬНОСТЬ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

КОНЕЧНЫХ ГРУПП

(01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Игорь Андреевич Чубаров.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Сергей Петрович Струнков;

доктор физико-математических наук, профессор Виссарион Викторович Беляев.

Ведущая организация: Ярославский государственный университет имени П. Г. Демидова.

Защита диссертации состоится 6 июня 2008 г. в 16 ч. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Российская Федерация, г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, ауд. 1408.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 6 мая 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы В теории конечных групп существует область исследований, направленных на получение абстрактных свойств групп исходя из информации об их представлениях или характерах. Изучением структуры конечной группы в зависимости от свойств их характеров занимались такие математики, как Р. Брауэр, У. Бернсайд, М. Судзуки, Б. Хупперт, М. Айзекс, Л. Дорнхофф и др. Примером применения соответствующих методов являются доказательства теорем Фробениуса, Бернсайда (о разрешимости {p, q}-групп), Фейта Томпсона (о разрешимости групп нечетного порядка) и т. д.

В этой области можно выделить исследования, посвященные мономиальным группам (или M-группам), определяемым как группы, каждое линейное представление которых в некотором базисе пространства представления для всех элементов группы имеет только мономиальные матрицы, т. е.

матрицы с единственным ненулевым элементом в каждой строке и каждом столбце. Это условие равносильно тому, что все неприводимые характеры группы индуцированы характерами степени 1 некоторых подгрупп (не обязательно собственных) 1.

Сам термин мономиальная группа появился благодаря Генриху Машке 2 в конце XIX века, правда, применительно к подстановочным группам специального вида. Исторически первым подходом к изучению мономиальных групп (в нашем понимании этого термина), по-видимому, следует счиКэртис, Ч., Райнер, И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М. :

Наука, 1969. С. 292, 322.

Maschke, H. On ternary substitution-groups of nite order which leave a triangle unchanged // Amer. J. Math. 1895. Vol. 17, no. 2. P. 168 184.

тать работу Ганса Фредерика Блихфельдта 3 1904 года, где, по сути, было доказано, что примарные группы мономиальны. Основополагающим же в этой теории стал опубликованный двадцатью шестью годами позже результат Киси Такеты 4, утверждающий, что M-группы разрешимы. С тех е пор началось более или менее активное изучение M-групп, особенно в том направлении, которое связано с определением свойств группы, влекущих ее мономиальность. С середины 30-х и до конца 60-х годов XX века несколькими математиками был найден ряд достаточных признаков мономиальности группы 5, при этом следующие утверждения обобщали предыдущие и, таким образом, постепенно приближались к критерию. Однако подобные исследования столкнулись с определенными сложностями. Еще в 1952 году Нобору Ито 6 показал, что подгруппы M-групп не обязаны быть мономиальными.

А в конце 1960-х годов в период, пожалуй, наиболее интенсивного изучения M-групп Эвереттом Дейдом было доказано, что любая конечная разрешимая группа может быть вложена в M-группу той же производной длины (доказательство этого утверждения можно найти в работе Г. М. Зейца 7 ).

Этот результат показывает, насколько велик класс мономиальных групп и как трудно отделить их от других разрешимых групп и получить их общую теоретико-групповую характеризацию.

Кроме попыток приблизиться к теоретико-групповой характеризации M-групп, проводились исследования и в таких направлениях, как поиск условий мономиальности тех или иных подгрупп M-групп, изучение минимальных не-M-групп, различные обобщения понятия M-групп и т. д.

Blichfeldt, H. F. On the order of linear homogeneous groups. II // Trans. Am. Math. Soc. 1904.

Vol. 5. P. 310 325.

Taketa, K. Uber die Gruppen, deren Darstellungen sich smtlich auf monomiale Gestalt transa formieren lassen // Proc. Jap. Imp. Acad. 1930. Bd. 6. S. 31 33.

См.: Zassenhaus, H. Uber endliche Fastkrper // Abh. math. Seminar Hamburg. Univ. 1935/36.

Bd. 11. S. 187 220; Huppert, B. Monomiale Darstellung endlicher Gruppen // Nagoya Math. J.

1953. Vol. 6. P. 93 94; Dornhoff, L. M -groups and 2-groups // Math. Z. 1967. Vol. 100, no. 3.

P. 226 256; Seitz, G. M. M -Groups and the supersolvable residual // Math. Z. 1969. Vol. 110, no. 2. P. 101 122.

It, N. Note on A-groups // Nagoya Math. J. 1952. Vol. 4. P. 79 81.

Seitz, G. M. Op. cit.

Среди авторов, много занимавшихся данной тематикой, кроме уже упомянутых, И. М. Айзекс, Я. Г. Беркович, С. Д. Берман, Й. К. Бьох, Р. В. ван дер Ваалл, М. Лукаки, М. Л. Льюис, А. Паркс, Д. Т. Прайс, В. К. Туркин, Э. Хорват, Б. Хупперт и И. А. Чубаров.

Цель работы Цель диссертации исследование мономиальных групп, получение условий (в основном арифметического характера), при которых конечная группа имеет только мономиальные неприводимые обыкновенные характеры.

Методы исследования В работе использованы методы теории конечных групп и теории характеров конечных групп, а также элементарной теории чисел. Кроме того, использовались подходы, разработанные в рамках теории графов.

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1) получены критерии мономиальности групп Фробениуса в терминах принадлежности дополнения группы Фробениуса некоторым классам конечных групп;

2) найдены условия мономиальности конечной группы (и всех ее подгрупп), имеющей не более трех классов сопряженных элементов, лежащих вне некоторой нормальной подгруппы;

3) доказана мономиальность конечных групп с определенными ограничениями на числовые характеристики множества классов сопряженных элементов;

4) доказана теорема о мономиальности конечной группы со свободными от квадратов степенями неприводимых характеров и некоторыми дополнительными условиями.

Теоретическая и практическая ценность Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории конечных групп, их представлений и характеров.

В частности, они могут быть использованы в исследованиях свойств линейных представлений и характеров конечных групп, удовлетворяющих определенным числовым условиям, а также при изучении свойств и структуры самих групп.

Апробация результатов Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре Механико-математического факультета МГУ Избранные вопросы алгебры под руководством профессора М. В. Зайцева, профессора А. А. Михалва, доцента И. А. Чубарова, ассистента А. Э. Гутермана в ноябре 2006 г.

и сентябре 2007 г.; на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры Механико-математического факультета МГУ в декабре 2007 г.;

на Международной конференции Алгебра и ее приложения, посвященной 75-летию В. П. Шункова (Красноярск, 12 18 августа 2007 г.).

Публикации Основное содержание диссертации опубликовано в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата [1 4].

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и приложения. Общий объем работы 81 страница. Список цитированной литературы включает 48 наименований.

Краткое содержание работы Во введении затронута история вопроса. Представлены ключевые этапы и проблемы развития теории M-групп. Кроме того, в этом разделе описана структура диссертации и сформулированы основные результаты. Далее приведены используемые обозначения и предварительные сведения общего характера.

В первой главе, посвященной общим вопросам, представлены основные направления развития теории M-групп, систематизирована информация о каждом из них, приведены примеры. Эти сведения даны в том объеме, который требуется для обоснования рассуждений в последующих главах диссертации, а также для составления общей картины развития данной теории.

Исследования в теории M-групп распадаются на следующие основные ветви: поиск необходимых и достаточных условий мономиальности группы, характеризация класса M-групп; поиск условий мономиальности тех или иных подгрупп M-групп; изучение минимальных не-M-групп; различные обобщения и аналоги понятия M-групп (и, в частности, попытки доказать для них утверждения, подобные известным результатам об M-группах).

Что касается определения места мономиальных групп среди различных классов конечных групп, то известны следующие вложения: сверхразрешимые и метабелевы группы 8, а также разрешимые группы, все силовские подгруппы которых абелевы (т. н. A-группы) 9, мономиальны, а M-группы, как уже говорилось, разрешимы.

Минимальными не-M-группами называют немономиальные разрешимые Zassenhaus, H. Op. cit.

группы, все собственные подгруппы и гомоморфные образы которых являются M-группами. Среди них следует выделить группу G = SL(2, 3), состоящую из всех 22 -матриц с определителем 1 над полем из трех элементов.

Она является минимальным по порядку (|G| = 24) примером немономиальной группы. В данной главе более или менее подробно описана ее структура, поскольку эта группа часто служит контрпримером к различным предположениям в дальнейших рассуждениях.

Во второй главе диссертации исследуются квазифробениусовы группы обобщение понятия групп Фробениуса конечные группы, имеющие фробениусову факторгруппу по центру. Потребность в изучении именно этого класса конечных групп объясняется тем, что квазифробениусовы и, в частности, фробениусовы группы довольно часто выступают в качестве одного из вариантов строения группы, возникающих при попытках классификации групп с определенными ограничениями (в том числе числовыми) на множество классов сопряженных элементов. Таким образом, результаты второй главы носят вспомогательный характер, хотя полученный критерий мономиальности группы Фробениуса может представлять интерес и сам по себе как решение задачи теоретико-групповой характеризации, суженной на отдельно взятый класс конечных групп.

Теорема 2.3.2. Пусть G группа Фробениуса с дополнением H. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) G M-группа;

(2) G M-группа;

(3) H M-группа;

(4) H сверхразрешима;

(5) H метабелева.

Простейшие следствия из этой теоремы представляют собой набор условий, в том числе и арифметических, накладываемых на ядро и дополнение, которые влекут мономиальность группы Фробениуса. При распространении этого критерия на квазифробениусовы группы часть импликаций перестает быть верной, тем не менее, некоторые необходимые и достаточные признаки мономиальности для таких групп получить можно.

Исследования в третьей главе посвящены собственно арифметическим условиям мономиальности конечных групп. Выбор условий именно такого типа можно объяснить тем, что подобный подход к M-группам практиковался крайне мало, тогда как, по-видимому, он способен внести некоторый вклад в развитие теории данного класса групп и помочь еще приблизиться к решению вопроса его теоретико-групповой характеризации.

Следующие три утверждения представляют достаточные условия мономиальности группы, обладающей нормальной подгруппой, вне которой лежит не более трех классов сопряженных элементов (kG (X) здесь обозначает количество классов сопряженности, пересечение которых с множеством X непусто).

Теорема 3.1.4. Пусть G конечная группа, имеющая такую нормальную подгруппу N, что kG (G N ) = 1. Тогда G M-группа.

В формулировке следующей теоремы фигурирует понятие Hp -свободной группы (p простое число), которое обозначает группу, не имеющую сечений (т. е. гомоморфных образов подгрупп), являющихся экстраспециальными группами порядка p3 экспоненты p для нечетных p и кватернионными группами порядка 8 для p = 2. Наличие подобных сечений имеет зачастую определяющее значение в теории M-групп 10.

Теорема 3.1.5. Пусть G конечная группа, содержащая нормальную подгруппу N с условием kG (G N ) = 2. Тогда G M-группа, если выполнено одно из условий:

Hp -свободная группа для любого нечетного простого p.

Теорема 3.1.6. Пусть G конечная разрешимая группа, имеющая нормальную подгруппу N, удовлетворяющую двум условиям: |G/N | = 2 и Несколько иной взгляд на множество классов сопряженных элементов, точнее на выбор его числовых характеристик, позволяет сформулиPrice, D. T. Character ramication and M -groups // Math. Z. 1973. Vol. 130. P. 325 337.

ровать следующую теорему о мономиальности группы, имеющей ограничения на количество классов сопряженности и наибольшую из их мощностей. Основным инструментом, использованным при доказательстве этого утверждения, является граф классов сопряженных элементов группы, идея которого была предложена Л. С. Казариным в работе 1981 года 11.

Теорема 3.2.10. Пусть для количества k(G) классов сопряженных элементов группы G и наибольшей из их мощностей bcs(G) справедливо одно из утверждений:

(2) bcs(G) 9 и 6 cs(G) (cs(G) множество мощностей классов сопряженности группы G);

(3) k(G) 6, кроме случаев k(G), bcs(G) = (5, 20) и (6, 56).

Тогда G M-группа.

Ослабить числовые ограничения в этой теореме, не накладывая дополнительных условий на группу, затруднительно существуют примеры немономиальных групп с небольшими значениями k(G) и bcs(G).

Далее в работе рассматривается множество cd(G) степеней неприводимых (обыкновенных) характеров. Известный параллелизм результатов, в основе которых лежат, с одной стороны, мощности классов сопряженных элементов, а с другой степени неприводимых характеров, дает основания полагать, что для степеней характеров можно получить некоторые аналоги признаков мономиальности, сформулированных в терминах мощностей классов сопряженности. Однако оказывается, что в случае характеров для получения тех же выводов требуются более жесткие ограничения. Например, в то время как условие мощности всех классов сопряженных элементов группы свободны от квадратов (т. е. не делятся на квадрат никакого простого числа) влечет сверхразрешимость группы 12, для степеней неприводимых характеров группы G справедлива лишь следующая теорема.

Казарин, Л. С. О группах с изолированными классами сопряженных элементов // Изв. вузов.

Математика. 1981. № 7 (230). С. 40 45.

Chillag, D., Herzog, M. On the length of the conjugacy classes of nite groups // J. Algebra.

1990. Vol. 131, no. 1. P. 110 125.

Теорема 3.3.2. Пусть G конечная группа. Предположим, что силовские p-подгруппы подгруппы Фиттинга F (G) Hp -свободны. Если элементы множества cd(G) свободны от квадратов, то либо (1) G мономиальна;

(т. е. cd(G) содержит все возможные произведения пар различных чисел из множества {2, 3, 5, 7}).

В приведенной теореме от условия на подгруппу Фиттинга отказаться нельзя, как показывает пример немономиальной группы SL(2, 3), имеющей во всех отношениях хороший набор степеней неприводимых характеров:

cd(SL(2, 3)) = {1, 2, 3}.

Одним из аргументов в пользу изучения множества cd(G) может быть то, что, имея в своем распоряжении некоторые условия на это множество, влекущие мономиальность группы G, мы сможем на основе только информации о степенях неприводимых характеров ограничить производную длину dl(G) (ступень разрешимости) этой группы. Это соображение основывается на том факте, что для M-группы G справедливо неравенство dl(G) |cd(G)| (кстати, пока не известно, выполняется ли оно для произвольной разрешимой группы) 13.

В приложении представлен перечень работ, полностью или частично посвященных различным вопросам, касающимся мономиальности конечных групп или отдельных представлений и характеров. Всего собраны ссылки на более чем 120 статей и 8 диссертаций. К некоторым работам даны краткие комментарии.

Huppert, B. Character theory of nite groups. Berlin ; New York : Walter de Gruyter, 1998.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Игорю Андреевичу Чубарову за постановку задачи, всестороннюю помощь и внимание к работе над диссертацией, а также всем сотрудникам кафедры высшей алгебры за доброжелательное отношение и творческую атмосферу.

Публикации автора по теме диссертации [1] Федоров, С. Н. Признаки мономиальности группы Фробениуса / С. Н. Федоров // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика.

[2] Федоров, С. Н. О мономиальности конечной группы с небольшим числом классов сопряженных элементов вне нормальной подгруппы / С. Н. Федоров // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2008.

[3] Федоров, С. Н. Мономиальность конечных групп с некоторыми условиями на классы сопряженных элементов / С. Н. Федоров // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, № 5. С. 201 212.

[4] Федоров, С. Н. О квазифробениусовых M -группах / С. Н. Федоров // Международная конференция Алгебра и ее приложения : Тезисы докладов. Красноярск, 2007. С. 138 139.