На правах рукописи

Коннова Лариса Петровна

Преемственность между предпрофильной и профильной

школой в элективном обучении

математическому моделированию с помощью графов

13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания

(математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата педагогических наук

Москва-2009 2

Работа выполнена на кафедре высшей математики и информатики Самарского филиала Московского городского педагогического университета кандидат физико-математических наук, Научный руководоцент Г.А. Клековкин дитель:

доктор физико-математических наук, Официальные оппрофессор П.В. Семенов поненты:

кандидат педагогических наук Е.А. Седова Московский педагогический государственный Ведущая организауниверситет ция:

Защита состоится 22 апреля 2009 года в 12.00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 850.007.03 при Московском городском педагогическом университете и Тульском государственном педагогическом университете им.

Л.Н. Толстого по адресу: 127512, г. Москва, ул. Шереметьевская, д. 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГПУ по адресу:

129226, г. Москва, 2-ой Сельскохозяйственный пр., д. 4.

Автореферат разослан: «» марта 2009 года

Ученый секретарь диссертационного совета д.п.н., профессор В.В. Гриншкун

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Быстродействие и объем памяти современных компьютеров позволили значительно расширить масштабы использования дискретных математических моделей. В настоящее время стираются прежние границы между непрерывной и дискретной математикой; и в самой математике и в ее приложениях все чаще встречаются задачи, при решении которых одновременно используются как непрерывные, так и дискретные модели. Сказанное стало причиной включения элементов дискретной математики в содержание математического образования студентов самых разных направлений обучения в системе высшего и среднего профессионального образования. Школьные же базовые математические курсы по-прежнему нацелены на преимущественное изучение непрерывной математики. Вместе с тем, как показывает практика, у студентов нередко возникают серьезные затруднения в изучении новых для них дискретных объектов, особенно при решении практических и прикладных задач.

Одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов дискретной математики является теория графов. Существует огромное число практических и чисто математических задач, решение которых сводится к изучению больших совокупностей объектов, существенные свойства которых описываются связями и отношениями между этими объектами. Графы помогают наглядно представить подобные связи и отношения, поэтому многие задачи и проблемы теоретического и прикладного характера могут быть сформулированы в терминах графовых моделей. Благодаря современному компьютеру графовые модели находят все новые и новые приложения в информатике, программировании, физике, химии, биологии, экономике, социологии, лингвистике и пр.

Обширный и разнообразный спектр приложений графов приводит к необходимости знакомства с ними специалистов, занятых в самых различных сферах профессиональной деятельности. Поэтому элементы теории графов вошли в учебные планы и программы подготовки будущих специалистов на математических, технических, экономических и многих других специальностях. Изучение графов в профессиональной школе нередко сопряжено у студентов с дополнительными трудностями, возникающими из-за обилия новых специальных терминов. При этом, как опять же показывает практика, у школьников принятие и осознанное усвоение специфической графовой терминологии не вызывает затруднений.

Важным связующим звеном в системе непрерывного общего и профессионального образования может и должен стать вариативный компонент предпрофильного и профильного обучения. Предпрофильные элективные курсы призваны помочь выпускнику основной школы в предварительном самоопределении относительно дальнейшего обучения в старшей профильной школе и обеспечить пропедевтику дисциплин, которые затем будут изучаться в выбранном им направлении обучения. Играя ведущую роль в построении индивидуальных образовательных траекторий, элективные курсы на этапе профильного обучения могут дополнять и углублять базовые и профильные курсы, обеспечивать межпредметные связи, служить основой внутрипрофильной специализации обучения и его преемственности в системе «профильная школа – вуз».

Анализ содержания реализуемого в школе элективного обучения математике показывает: 1) достаточно случайный выбор тематики предлагаемых учащимся элективов (учителя чаще всего ориентируются либо на темы, с которыми сами хорошо знакомы, либо на имеющиеся в наличии учебные пособия); 2) доминирование предметных элективов, углубляющих и расширяющих программы базовых курсов алгебры (алгебры и начал анализа) и геометрии, и, в конечном итоге, направленных на подготовку учащихся к итоговой аттестации;

3) отсутствие преемственности между ориентационными курсами в предпрофильной и профильной школе. Вместе с тем, именно постановка на разных ступенях школьного обучения содержательно взаимосвязанных ориентационных элективных курсов поможет более эффективно подготовить выпускников средней школы к освоению образовательных программ высшего профессионального образования и, в конечном итоге, обеспечить действенную преемственность между профильным и профессиональным образованием.

Из сказанного следует, что возрастает актуальность исследований, посвященных обновлению школьного математического образования с учетом современных тенденций развития математики и расширения ее приложений на основе использования новых информационных технологий. Отмеченные противоречия и недостатки в системе элективного обучения математике в профильной школе и неудовлетворяемые сегодня потребности высшей школы в пропедевтике графовых понятий на этапе школьного обучения составляют проблему исследования и обусловливают ее актуальность.

Объект исследования – вариативный компонент математического образования в предпрофильной и профильной школе.

Предмет исследования – преемственность в элективном обучении математическому моделированию с помощью графов между предпрофильной и профильной школой в условиях многопрофильного обучения на старшей ступени.

Цель диссертационного исследования – выявить потребности вузов, интересы и возрастные возможности учащихся основной и средней школы в изучении элементов теории графов; разработать и теоретически обосновать двухуровневую систему элективного обучения математическому моделированию с помощью графов в предпрофильной и профильной (математическое, информационно-технологическое и социально-экономическое направления) школе.

Гипотеза исследования: тематически взаимосвязанные элективные курсы, представляющие в школьном математическом образовании область математики, богатую разнообразными практическими приложениями (каковой, например, является теория графов), при соответствующем содержательном наполнении и методической реализации позволят:

– на этапе предпрофильного обучения познакомить девятиклассников с ролью и некоторыми конкретными применениями методов избранного раздела математики в разных сферах профессиональной деятельности, ориентировать его сразу на несколько направлений профильного обучения и, тем самым, помочь выпускнику основной школы в предварительном самоопределении относительно дальнейшего направления обучения в старшей профильной школе, а также заложить фундамент для последующего вариативного изучения понятий и методов этого раздела математики в профильных элективных курсах;

– на этапе профильного обучения с учетом специфики направления углубить знания о функциях и месте математического аппарата изучаемого раздела в предполагаемой области профессиональной деятельности, усовершенствовать умения во владении этим аппаратом и, в конечном итоге, более эффективно подготовить выпускников средней школы к освоению образовательных программ высшего профессионального образования.

Исходя из сформулированной гипотезы, для достижения цели исследования были определены следующие задачи:

1. Проанализировать:

– философскую, психолого-педагогическую и методическую литературу, посвященную генезису научных понятий, моделированию как методу познания, профильной дифференциации обучения, преемственности в обучении, обновлению школьного и вузовского математического образования;

– концепцию, нормативные материалы и методические рекомендации по профильному обучению на старшей ступени общего образования;

– потребность высшей профессиональной школы в изучении элементов теории графов на этапе школьного обучения;

– адресованную школьникам учебную и научно-популярную литературу по теории графов, методические рекомендации по ее использованию.

2. На основе проведенного анализа обосновать целесообразность непрерывного двухуровневого элективного изучения графов на этапе школьного математического образования и разработать соответствующую методическую модель обучения, отвечающую задачам, стоящим перед предпрофильной и профильной школой.

3. Выделить и сформулировать цели и задачи элективного изучения графов и графового моделирования в предпрофильной школе, выполнить отбор соответствующего учебного материала, разработать его учебно-тематическое планирование и методику изучения.

4. Обосновать цели и задачи элективного изучения графов в математическом, информационно-технологическом и социально-экономическом направлениях профильной школы; для каждого из этих направлений провести отбор учебного материала, разработать учебно-тематическое планирование и выявить специфические особенности методики его изучения.

5. Экспериментально проверить эффективность и продуктивность разработанной двухуровневой модели элективного обучения математическому моделированию с помощью графов в предпрофильной и профильной школе.

Проблемы, цели и задачи обусловили выбор методов исследования: анализ философской, педагогической, психологической и методической литературы по теме исследования; анализ нормативных материалов по внедрению предпрофильного и профильного обучения; беседы с преподавателями вузов и школьными учителями математики, информатики и экономики; проведение педагогического эксперимента, включающее наблюдение уроков в контрольном и экспериментальном классах, их анализ, анкетирование и опросы школьников, тестирование учащихся по результатам обучения; обработка результатов эксперимента, их описание и теоретическое обобщение; экспертиза разработанных элективных куров.

Методологической основой исследования являются теория познания, основные положения деятельностного подхода к обучению, концептуальные положения методики обучения математике, концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования.

Этапы исследования. Основной констатирующий, поисковый и формирующий эксперимент проводился на базах гимназии №1 г. Самары и школы №1970 г. Москвы.

На первом этапе (1997-1999 гг.) проходил констатирующий эксперимент:

анализировались развитие и использование навыков графического моделирования у учащихся основной школы, изучалась и анализировалась научная, психологопедагогическая и методическая литература, посвященная различным аспектам обучения моделированию, определялась проблематика и актуальность исследования, уточнялась его тема.

Второй этап (2000-2003 г.) включал поисковый и формирующий эксперимент, состоящий: в определении наиболее оптимального возраста для начального знакомства школьников с элементами теории графов; в отборе учебного материала по теории графов, адаптивного возрастным возможностям учащихся 5-6, 7-9 и 10-11 классов; в проведении кружковой (5-6 классы), факультативной и индивидуальной научной работы со школьниками; в создании учебнометодических разработок для учащихся различных возрастных групп. В связи с изменениями, обусловленными концепцией модернизации российского образования и концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования, в 2003 году была скорректирована тема исследования.

На третьем этапе (2004-2008 гг.) изучались и анализировались нормативные документы по внедрению профильного обучения, корректировались разработанные учебные материалы по теории графов для использования в системе элективного обучения, разрабатывалась модель двухуровневого изучения графов в многопрофильной школе, экспериментально проверялась ее эффективность и проводился количественный и качественный анализ результатов эксперимента.

Научная новизна диссертационного исследования:

1. Разработана и теоретически обоснована двухуровневая модель элективного изучения в профильной школе раздела математики, имеющего широкие практические приложения, которая обеспечивает преемственность между предпрофильными и профильными ориентационными курсами.

2. На примере элективного обучения математическому моделированию с помощью графов разработано учебно-методическое обеспечение для практической реализации указанной модели, позволяющее решать ориентационные и пропедевтические задачи, стоящие перед предпрофильной и профильной школой, и подготовить выпускника к дальнейшему изучению теории графов в вузе соответствующего профиля.

Теоретическая значимость диссертационного исследования состоит в психолого-педагогическом и методическом осмыслении теоретических основ двухуровневого изучения математического моделирования с помощью графов в профильной школе; в обосновании потребности включения различных вопросов теории графов в тематику элективных ориентационных и межпредметных курсов математического, информационно-технологического и социальноэкономического направлений профильного обучения.

Практическая значимость исследования заключается в отборе содержания элективных курсов по теории графов для разных этапов и направлений профильного обучения, в разработке соответствующих учебно-тематических планов и методических рекомендаций к ним, в создании учебных пособий для учащихся по теории графов. Предлагаемая в работе модель двухуровневого элективного изучения графов может также служить основой для разработки подобных курсов по другим разделам математики и другим учебным дисциплинам.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечены применением комплекса методов, адекватных его проблеме, объекту, предмету, целям и задачам; внутренней согласованностью выдвигаемых теоретических положений, их опорой на фундаментальные работы математиков, методистов, философов, педагогов, психологов; характером и итоговыми результатами экспериментальной работы.

Личный вклад автора заключается в разработке и обосновании модели двухуровневого элективного обучения математике и соответствующей методики формирования готовности выпускников профильной школы к изучению математики в предполагаемом направлении дальнейшего профессионального образования, в интерпретации построенной модели на примере теории графов и проведении опытно-экспериментальной работы.

Апробация результатов исследования проводилась в виде выступлений и обсуждений на заседаниях лаборатории математического образования Самарского областного института повышения квалификации и переподготовки работников образования, на кафедре высшей математики и информатики Самарского филиала МГПУ, на научных и научно-практических конференциях и семинарах (Брянск, Киров, Пермь, Самара, Саранск, Тольятти).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Двухуровневая модель элективного изучения графов, включающая предпрофильный курс, содержащий базовые понятия теории графов, и преемственно продолжающие его профильные курсы для математического, информационно-технологического и социально-экономического профилей, позволяет подготовить выпускников профильной школы к дальнейшему успешному изучению графов на соответствующих специальностях высшего профессионального образования.

2. Наиболее продуктивная методика знакомства школьников с графами и моделированием с помощью графов должна основываться на генетическом подходе, построенном на конкретных демонстрациях происхождения и становления графовых понятий, а наиболее естественным способом реализации такого подхода является обучение через решение занимательных и прикладных задач.

3. Цели и задачи профильных элективных курсов должны учитывать требования к математической подготовке специалиста в соответствующей сфере профессиональной деятельности, а в основу отбора их тематического содержания могут быть положены важнейшие теоретические и прикладные задачи из этой сферы деятельности.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка и приложений. Основное содержание изложено на 169 страницах машинописного текста; список литературы составляет 171 наименование.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 19 работ, из них 6 статей (2 статьи в соавторстве), 11 тезисов докладов, 2 учебных пособия (1 в соавторстве).

Во введении обосновывается актуальность исследования, формулируются проблема, цель, объект, предмет исследования, гипотеза и задачи исследования, показываются теоретическая и практическая значимость, научная новизна работы, выделяются этапы исследования, формулируются основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе «Профильная школа и преемственность обучения» приведены основные нормативные положения профильного обучения; функции и задачи элективных курсов, описаны их виды; дан краткий анализ развития отечественной теории и практики профильной дифференциации обучения и организации профориентационной работы; а также анализируются теоретические подходы к решению проблемы преемственности в обучении и практика ее реализации.

В разное время исследованию дифференциации обучения, в частности профилирования старшей школы, были посвящены работы Б.Г.Ананьева, Ю.К.Бабанского, Е.Н.Кабановой-Меллер, А.Н.Леонтьева, Н.А.Менчинской, М.В.Рыжакова, А.В.Хуторского и др. Исторический обзор практики организации профильной дифференциации школьного обучения можно найти в работах Т.П.Афанасьевой, Н.В.Немовой, И.М.Осмоловской и др. Важное место в отечественной педагогической науке всегда занимали проблемы связи школы с жизнью, с производственным трудом, в частности вопросы профориентации и преемственности общего и профессионального образования. Проблеме преемственности школьного и вузовского образования посвящены работы А.В.Батаршева, С.М.Годника, Ю.А.Кустова и др.

Методические особенности дифференцированного обучения математике рассматривались в работах Н.Я.Виленкина, В.А.Гусева, Г.В.Дорофеева, Ю.М.Колягина, В.М.Монахова, И.М.Смирновой, С.Б.Суворовой, М.В.Ткачёвой, Р.А.Утеевой, В.В.Фирсова и др. Проблемы преемственности в З.А.Магомеддибировой, А.М.Пышкало, В.А.Тестова, В.М.Туркиной. Основным предметом частных методических исследований были преемственность в обучении математике между начальной школой и 5-6 классами (Г.В.Воителева, Н.Б.Истомина, К.И.Нешков, М.Н.Сизова, Н.А.Цирулик и др.), между школой и вузами разных профилей (С.Г.Григорьев, Е.А.Добрина, Л.Ю.Нестерова, Ю.В.Сидоров, Т.С.Смирнова и др.). Гораздо реже рассматривались вопросы преемственности между курсом математики 5-6 классов и систематическими курсами алгебры и геометрии (Г.В.Дорофеев, В.Л.Карклиня и др.), почти не рассматривалась преемственность между средним и старшим звеном школьного обучения.

В 70-80-е годы и в начале 90-х годов профильная дифференциация обучения математике в школе осуществлялась в форме факультативов, спецшкол, спецклассов и классов с углубленным изучением математики. Нельзя также не отметить большое внимание к кружковой и, вообще, внеклассной работе по математике в 5-6 классах. Это отражало общую тенденцию школьного обучения в указанный период – раннюю специализацию учащихся.

Анализ практических путей решения проблемы профориентации учащихся средней школы, формирования у них осознанного выбора направления дальнейшего обучения показывает, что имевшие место решения всегда носили конкретно-исторический характер, но, к сожалению, далеко не всегда были эффективными. Существовавшая в эти годы профильная дифференциация обучения математике была в основном направлена на подготовку выпускников общеобразовательной школы к поступлению в вузы, поэтому содержательных задач преемственности между школой и вузом должным образом не решала.

Вместе с изменением социально-экономических условий в 90-е годы значительные изменения происходят и в системе образования. Проблемы преемственности между различными этапами школьного образования, преемственности между школой и вузом и пр. особенно остро проявляются при реформировании и модернизации сложившейся системы образования. Свидетелями чего мы являемся в настоящее время. Современная действительность потребовала поиска новых подходов к проблемам профессиональной ориентации школьников и самореализации личности в профессиональной деятельности. Ключевыми положениями новой образовательной парадигмы стали положения о гуманизации образования и формировании у учащихся готовности к непрерывному образованию в течение всей жизни. Одним из руководящих документов модернизации образования стала «Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования».

Решение проблемы преемственности между школой и вузом во многом зависит от содержания профориентационной и пропедевтической работы среди учащихся. Невозможно добиться каких-либо качественных улучшений, если профориентационная деятельность будет носить лозунговый характер, а у выпускника школы не будут сформированы разносторонние предметные представления о выбираемой им профессии и способности, необходимые для ее освоения.

Вариативный компонент предпрофильного и профильного обучения предоставляет широкие возможности для начального профессиональнонаправленного обучения. Сделать более осознанный выбор направления профессионального обучения может помочь выпускнику средней школы модель двухуровневого элективного изучения избранных разделов математики. Реализуя содержательную преемственность между предпрофильными и профильными элективными курсами, такая модель позволяет подготовить выпускника профильной школы к полноценному продолжению математического образования в вузе.

Вузовские математические курсы как правило сразу строятся на дедуктивной основе, это – наиболее экономный и рациональный способ подачи учебного материала. Поэтому неудивительно, что у студентов зачастую возникают серьезные затруднения при использовании изученного теоретического материала при решении практических и прикладных задач. Вместе с тем, хорошо известно, что любое математическое понятие обычно проходит в своем развитии три стадии:

интуитивного представления, функционального использования и формализации. На первых двух стадиях происходит становление понятия, оно формируется как средство описания и решения определенного класса задач; лишь после этого понятие получает строгое формальное определение. Включение в учебные планы предпрофильной и профильной школы двухуровневых элективных курсов, в которых вузовские понятия будут изучаться на интуитивном и функциональном уровнях, позволит вернуться в обучении к естественному ходу их развития и, тем самым, снять или, по крайней мере, минимизировать отмеченные трудности. Заметим, что именно такой подход является важной концептуальной основой нового комплекта учебников А.Г.Мордковича для основной и старшей школы.

Элективный курс, реализуемый на первом уровне (в предпрофильной школе) – ориентационный, его основная цель – помочь девятикласснику сделать осознанный выбор направления обучения в профильной школе. В то же время, этот курс – пропедевтический, во время его изучения у учащихся должна быть сформирована готовность к дальнейшему изучению предмета на профильном уровне. По завершению курса у ученика на интуитивно-эмпирической основе складывается определенное целостное системное представление об изучаемом разделе математики и его приложениях.

На втором уровне (в профильной школе) происходит фуркация изучения предмета, формирование его содержания осуществляется с учетом направления обучения. Вместе с тем, каждый из предлагаемых для изучения элективных профильных курсов опять же имеет профориентационные и пропедевтические цели. С одной стороны, по завершению любого из этих курсов учащийся должен получить определенное целостное представление о месте и роли изученного материала в предполагаемой сфере будущей профессиональной деятельности. С другой стороны, изучение предмета на профильно-ориентированном функциональном уровне призвано сформировать у него готовность к дальнейшему изучению рассмотренного материала в вузе.

Сформулируем основные критерии выбора предмета элективного изучения:

1) избранный раздел математики должен представлять область математики, которая включена в состав математического образования подготовки специалиста в вузе, но пока не изучается или почти не изучается в школьных базовых и профильных курсах математики;

2) этот раздел должен иметь широкие приложения в самой математике и в различных сферах человеческой практики;

3) знания и умения в области математики, полученные учащимися к девятому классу, должны обеспечивать содержательную готовность к изучению нового раздела.

Подобную двухуровневую модель можно рекомендовать многопрофильным школам и межшкольным объединениям, реализующим различные варианты сетевого элективного обучения.

В первой части второй главы «Графы и графовое моделирование как предмет изучения в школе и вузе» рассматриваются сущность математического моделирования, некоторые тенденции развития современной математики, графы и графовое моделирование. Вторая часть посвящена теоретическим основам введения элементов математического моделирования в школьное обучение, графам в современном вузовском и школьном образовании и проблеме преемственности в изучении теории графов.

Показано, что создание компьютера и современного программного обеспечения полностью изменило взгляды на роль и место в познании дискретной математики. Компьютер позволил «заглянуть на микроскопический уровень реальности» и значительно расширить масштабы использования дискретных математических моделей.

Формированию деятельности моделирования в обучении посвящены исследования В.В.Давыдова, Н.Г.Салминой, И.С.Якиманской и др. О необходимости введения элементов математического моделирования в школьное и вузовское образование пишут А.Я.Блох, Г.В.Дорофеев, А.Н.Колмогоров, Ю.М.Колягин, Л.Д.Кудрявцев, О.И.Мельников, В.М.Монахов, А.Г.Мордкович, А.Д.Мышкис, Е.А.Перминов, Е.И.Смирнов, Л.М.Фридман и др. Вопросы изучения графов и графового моделирования рассматриваются М.П.Барболиным, Л.Ю.Березиной, В.Ф.Волгиной, Н.А.Волковой, Т.А.Дебольской, О.И.Мельниковым и др.

В 2000-2005 гг. в учебные планы большинства специальностей высшего профессионального образования включена дискретная математика, включающая в качестве своего раздела теорию графов. В результате анализа Государственных образовательных стандартов по дискретной математике для разных специальностей было выявлено, что в них теоретическое ядро раздела «Теория графов» достаточно инвариантно, а основные методические особенности его изучения обусловливаются прежде всего характером рассматриваемых прикладных задач.

Трудности, возникающие у студентов при изучении нового курса, свидетельствуют о нарушении принципа преемственности в постановке изучения дискретной математики в системе «школа-вуз»; этот «разрыв» обусловлен обновлением содержания только в верхнем звене этой системы. «Непрерывное видение мира», которое дает школьный курс математики, не обеспечивает как содержательной пропедевтики изучения дискретной математики в высшей школе, так и формирования компонентов «математического мышления», необходимых для ее изучения. Графы в математическом образовании современного школьника являются, в лучшем случае, приятным эпизодом.

Обучение на любом его этапе должно носить опережающий, перспективный характер, поэтому содержательное обновление школьного математического образования тоже неизбежно. Как известно, революционные преобразования в системе школьного образования никогда еще не приносили ожидаемых результатов, школа должна меняться эволюционно. Нужно создать новые учебники, подготовить учителей и т.д. Чтобы разработать хорошие учебники, прошедшие экспериментальную проверку в массовой школе, нужны годы. Убедиться в целесообразности предлагаемых изменений, без спешки разработать и апробировать необходимое учебно-методическое обеспечение позволяют элективные курсы вариативного компонента предпрофильного и профильного обучения.

Практика покажет, какие изменения действительно необходимо внести в базовые и профильные курсы, а какие из вновь предлагаемых элементов содержания оставить для элективного изучения. При этом одновременно будут решаться насущные проблемы преемственности между средней и высшей профессиональной школой.

Теория графов при этом может стать одним из разделов математики для конкретной реализации предложенного варианта обновления школьного математического образования. Эта теория является одним из наиболее ярких и убедительных примеров использования математического моделирования при решении самых разнообразных задач. Минимальность используемого при графовом моделировании «алфавита» (вершины и ребра) значительно упрощает кодирование и обработку имеющейся информации. Это позволяет достаточно просто задавать графовые понятия аналитически с помощью списков и матриц и столь же просто представить их геометрически; что, в свою очередь, позволяет рассматривать графы как уникальное средство гармоничного развития образного и словесно-логического мышления.

Анализ показывает наличие разнообразной и доступной школьникам учебной и научно-популярной литературы, которую с успехом можно адаптировать для постановки элективных курсов в предпрофильной и профильной школе.

Вместе с тем, приходиться констатировать, что пока графы не стали предметом широких методических исследований в рамках концепции перехода на профильное обучение.

В третьей главе «Двухуровневая модель элективного изучения графов в предпрофильной и профильной школе и ее реализация» дается обоснование целесообразности двухуровневого элективного изучения графов в профильной школе; для каждого уровня и направления профилирования формулируются цели и задачи изучения, разрабатываются программы, учебно-тематическое планирование и соответствующие методические рекомендации; описывается экспериментальная проверка предлагаемой модели обучения и ее результаты.

Графы и графовое моделирование нашли широкое применение во многих сферах научной и практической деятельности человека. Сегодня теория графов является одним из разделов курса дискретной математики, включенного в учебные планы большинства специальностей высшего профессионального образования. Однако в школьных учебниках математики встречаются лишь отдельные элементы теории графов, что свидетельствует об отсутствии пропедевтики изучения этого раздела математики. Вместе с тем, знания и умения в области математики, полученные учащимися к девятому классу, обеспечивают содержательную и процессуальную готовность к изучению элементов теории графов в предпрофильном элективном курсе. Сказанное свидетельствует, что теория графов соответствует всем трем параметрам отбора курса для двухуровневого элективного изучения.

Наиболее широко и многогранно элементы теории графов представлены в учебных планах и программах подготовки будущих специалистов на математических, информационно-технологических и социально-экономических специальностях вузов. Эти же направления обучения являются наиболее популярными в профильной школе. Поэтому именно они выбраны в предлагаемой двухуровневой модели элективного изучения графов на профильном уровне.

Предпрофильный элективный курс может, с одной стороны, дать представления о возможных применениях графового моделирования в трех указанных сферах человеческой деятельности и, тем самым, будет способствовать более осознанному подходу к выбору девятиклассниками дальнейшего направления профильного обучения. С другой стороны, полученный ими познавательный опыт обеспечит формирование готовности к дальнейшему изучению понятий и методов теории в профильных элективных курсах. На этом этапе при введении графовых понятий, при рассмотрении их свойств и при обучении графовому моделированию предпочтение отдается индуктивно-эмпирическому подходу и решению занимательных задач; нередко строгие математические доказательства заменяются апелляцией к разобранным примерам, а прикладные задачи служат лишь для иллюстрации перспектив применения теории графов в разных сферах науки и практики.

В основу содержания элективных курсов на этапе профильного обучения могут быть положены классические вопросы теории графов и прикладные задачи из соответствующей сферы профессиональной деятельности. Методическая интерпретация теории графов в каждом из трех элективных профильных курсов, представляет собой качественно новый и более высокий (по сравнению с предпрофильным) этап в отражении графов и графового моделирования в обучении. Так, в курсе математического направления дедуктивные рассуждения занимают равноценное положение с индуктивно-эмпирическими, а многие изученные ранее понятия получают формальные определения. В информационнотехнологическом и социально-экономическом профилях ведущее место занимают прикладные, а не занимательные задачи, т.е. происходит переход к ярко выраженному функциональному (рабочему) уровню рассмотрения графовых понятий.

Два этапа элективного изучения графов принципиально не противопоставляются друг другу; наоборот второй этап непрерывно и логически непротиворечиво «вырастает» из первого. Это характеризует как содержательную, так и процессуальную сторону обучения. В содержательном плане все понятия, рассмотренные в предпрофильном элективе, получают дальнейшее развитие; что выражается либо в переходе к более абстрактному уровню их описания, либо в расширении масштабов функционального применения. Процессуальная непрерывность проявляется прежде всего в постепенном переходе от фронтальных форм организации обучения к групповым и индивидуальным, от словесноописательных и репродуктивных методов к частично-поисковым и исследовательским.

В каждом из профильных курсов обучение опирается на уровень содержательной готовности, достигнутый на предыдущем этапе. Принцип профессиональной направленности, выбранный при разработке двухуровневой модели в качестве ведущего, обеспечивает реализацию ее ориентационных функций. Задача, помочь девятикласснику в выборе направления обучения в профильной школе, которую решал предпрофильный курс, в элективах на старшей ступени естественным образом трансформируется в задачу, помочь выпускнику школы в осмысленном выборе направления дальнейшего профессионального образования.

Предлагаемые программы и учебно-тематическое планирование предпрофильного и профильных элективных курсов и методические комментарии к ним позволяют обеспечить последовательность и систематичность обучения в каждом их этих курсов.

Разработанные в ходе формирующего эксперимента содержание каждого элективного курса, учебно-тематическое планирование и его методическое сопровождение прошли дальнейшую проверку при проведении элективов в предпрофильной школе и в разных направлениях профильной школы учителями математики гг. Москвы и Самары, которая показала их эффективность.

С целью выявления отношения учителей математики к специальному изучению понятия «математическая модель» и к обучению учащихся деятельности графического моделирования при решении задач на констатирующем этапе эксперимента было проведено анкетирование слушателей курсов повышения квалификации на базе СИПКРО. Для анкетирования наудачу были выбраны чеДиаграмма тыре группы учителей математики, работающих в 7-11 классах. Две группы составили учителя математики г. Самары, а две другие – городов и районов Самарской области. Выборка составила 101 чел. Результаты анкетирования представлены на диаграмме 1; в частности, выяснилось, что только 11% учителей используют при решении задач дискретного типа графические модели.

Для определения степени знакомства школьников с различными видами знаково-символического моделирования и умения пользоваться ими при решении нестандартных задач ученикам двух 9-ых классов гимназии №1 г. Самары в конце учебного года была предложена самостоятельная работа, которая включала шесть задач логического и комбинаторного характера. Все задачи не требовали специальных математических знаний, а использование нагляднографических средств позволяло значительно упростить их решение. В выполнении работы приняли участие 58 человек. Работа оценивалась по пятибалльной шкале, а полученная отметка выставлялась в журнал только по желанию учащихся. Процент успеваемости по данной работе составил 72%, а процент качества – 29%. Оба результата достаточно низкие. При выполнении самостоятельных и контрольных работ по стандартному курсу алгебры проценты успеваемости и качества в этих классах составляют в среднем 90% и 70% соответственно. Проверка также показала, что наиболее успешно справились с заданиями те учащиеся, которые графически изобразили объекты и связи между ними.

Некоторые школьники, несправившиеся с заданиями, интуитивно также пытались использовать графические модели.

На основании полученных результатов был сделан вывод о том, что выпускники основной школы не подготовлены к решению такого рода простых и достаточно часто встречающихся в жизни задач. Умения работать с графическими знаково-символическими средствами развиты слабо даже у хорошо успевающих школьников. В результате проведенных экспериментальных исследований был сформирован вывод о необходимости целенаправленного обучения школьников графическому моделированию, в частности, с помощью графов.

Поисковый этап эксперимента также проходил на базе гимназии № г.Самары, где проводилась активная кружковая, факультативная и индивидуальная научная работа со школьниками по графовой тематике. В это же время слушателям курсов повышения квалификации и курсов высшего педагогического мастерства в СИПКРО были прочитаны лекции по теории графов и методике обучения школьников решению задач с помощью графов. В результате был подобран адаптированный к возрастным особенностям школьников материал по теории графов, продуманы и сформированы формы и методы обучения.

На базе созданных курсов были изданы учебные пособия [3] и [4].

Поисковый эксперимент показал, что теория графов является великолепной базой для дальнейшего углубления и развития представлений школьников о способах математического моделирования, в частности, – для знакомства с дискретными моделями. Разнообразие доступных прикладных задач, решаемых с помощью графов, позволило в последующем сделать вывод о целесообразности использования графов в качестве материала для элективного изучения сначала в предпрофильной, а затем и в профильной школе.

В рамках формирующего этапа эксперимента была разработана и реализована двухуровневая модель изучения графов в рамках вариативного компонента предпрофильного и профильного обучения. Для учащихся, прошедших предпрофильный элективный курс по теории графов была проведена самостоятельная работа по задачам логического и комбинаторного характера. Процент выполнения работы составил 93%, а процент качества – 73%; что свидетельствует о том, что школьники научились использовать графовые модели для решения занимательных и практических задач.

Поскольку в процессе решения задач с помощью графов использовались основные приемы моделирования, была выдвинута гипотеза, что изучение предпрофильного элективного курса оказывает положительное влияние на познавательную активность учащихся, умение переносить полученные знания в новую ситуацию, способствует формированию общих умений графического моделирования при решении задач. Для проверки этой гипотезы в 9-х классах была проведена контрольная работа по стандартным текстовым задачам из сборника задач к выпускному экзамену. Все задачи работы решались путем составления аналитической модели – уравнения, но при этом, применив нагляднографические средства, можно было упростить процесс построения этой модели.

Работа была предложена 57 учащимся экспериментальных классов, для которых проводились занятия по обучению графическому моделированию с помощью графов и 52 учащимся контрольных классов. Результаты выполнения работы (таблица 1) свидетельствуют, что учащиеся, прошедшие предпрофильный курс по теории графов, справились с контрольной работой значительно лучше.

Этот вывод подтверждается также с помощью критерия Пирсона (Т = 8,12 > Ткрит.= 7,82).

Экспериментальные Показателем того, что предпрофильный элективный курс наряду с другими курсами выполнил свою ориентационную функцию, является тот факт, что все посещавшие его школьники, выбрали для дальнейшего обучения математический, информационно-технологический и социально-экономический профили.

С целью проверки продуктивности проведенного в предпрофиле элективного курса и определения уровня готовности учащихся к изучению профильных элективов по теории графов на одном из первых занятий (профильная школа) в гимназии № 1 г. Самары была проведена контрольная работа срез остаточных знаний. В контрольной работе приняли участие только те учащиеся, которые посещали предпрофильный курс. Работу выполняли 27 человек, удовлетворительная оценка ставилась если ученик решил не менее трех задач из пяти предложенных задач. Результаты контрольной работы представлены в таблице 2.

В целом, процент успеваемости по данной работе составил 92,6%, а процент качества – 66,6%. На основании этого был сделан вывод о том, что школьники подтвердили содержательную и процессуальную готовность к дальнейшему вариативному изучению элементов теории графов.

В заключении сформулированы основные результаты работы, сделаны выводы о степени решения поставленных задач.

Приложение содержит аннотированную программу предпрофильного элективного курса; образец структурно-логических схем, применяемых при постановке элективов; список статей журнала «Квант», посвященных графам, которые использовались при разработке содержания элективных курсов.

1. Выполненное исследование имеет теоретико-экспериментальный характер. В нем проанализирован, обобщен и экспериментально обоснован опыт элективного изучения избранного раздела математики, реализующий такие критерии принципа преемственности как многоэтапность, непрерывность, доступность, систематичность, учет возрастных особенностей и перспективность.

2. Именно, разработана и обоснована модель непрерывного двухуровневого элективного обучения математическому моделированию с помощью графов, обеспечивающая реализацию преемственности между предпрофильной и профильной школой. Модель включает предпрофильный элективный курс и логически продолжающие его профильные элективные курсы. Построенная модель обеспечивает содержательную и процессуальную преемственность между курсами.

3. Выделены и сформулированы цели и задачи элективного изучения графов в предпрофильной школе, выполнен отбор соответствующего учебного материала, разработано его учебно-тематическое планирование и учебнометодическое сопровождение. Предпрофильный электив представляет целостный учебный курс, который способствует формированию начальных навыков графового моделирования и обеспечивает готовность к дальнейшему изучению графов в профильной школе.

4. Обоснованы цели и задачи элективного изучения графов в математическом, информационно-технологическом и социально-экономическом направлениях профильной школы, разработаны принципы отбора содержания. Для каждого из названных направлений проведен отбор учебного материала, разработано учебно-тематическое планирование, выявлены и описаны некоторые специфические особенности методики изучения графов в разных профилях. Системность профильных курсов достигается за счет четко выраженной профессиональной ориентации их содержания. Такой подход обеспечивает полноценную пропедевтику последующего изучения графов в высшей школе.

5. Экспериментальная проверка показала эффективность и продуктивность разработанной двухуровневой модели элективного обучения математическому моделированию с помощью графов в предпрофильной и профильной школе.

Задачи, поставленные в исследовании, решены полностью. Полученные результаты подтвердили справедливость выдвинутой гипотезы.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК 1. О развитии навыков кодирования информации с помощью графических схем // Известия Самарского научного центра Российской академии наук, специальный выпуск «Актуальные проблемы гуманитарных исследований», т. 1. – Самара: Изд-во Самарского научного центра РАН, 2006. – С. 202-209.

2. Преемственность в элективном обучении математике между предпрофильной и профильной школой // Профильная школа. – М., №1, 2009. – С. 50авт. 50%, соавтор – Г.А.Клековкин).

3. Геометрическая теория графов. – М.: Народное образование, 1999. – с. (авт. 30%, соавторы – В.В.Коннов, Г.А.Клековкин).

4. Знакомьтесь, графы. – Самара: Изд-во Самарского ин-та повышения квалификации переподготовки работников образования (СИПКРО), 2001. – 107 с.

5. О пособии для учителей математики «Геометрическая теория графов» // Преемственность в обучении математике между начальной и средней школой:

тезисы Всерос. науч.-практ. конф. – Самара: СИПКРО, 1997. – С. 90-91 (авт.

30%, соавторы – В.В.Коннов, Г.А.Клековкин).

6. О преподавании теории графов в средней школе // Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России: тезисы межрегион.

науч. конф. – Киров: Вятский ГПУ, 1998. – С. 107-108.

7. К вопросу о развитии визуального мышления школьников // Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе: материалы Всерос. науч. конф. – Саранск: Мордовский ГПИ, 1998. – С. 75-77.

8. Теория графов – перспективное направление в математической подготовке учащихся средней школы // Непрерывное образование: традиции и реформы:

тезисы межрегион. науч.-практ. конф., посвящ. 60-летию образования СИПКРО. – Самара: СИПКРО, 1998. – С. 165-166.

9. Логика индуктивного доказательства на языке ориентированных графов // Школьное математическое образование на пороге XXI века: тезисы Международ. науч.-практ. конф. – Самара: СИПКРО,1999. – С. 100-102.

10. Графическое моделирование как элемент культуры современного человека // Педагогический процесс как культурная деятельность: материалы и тезисы 2-ой Международ. науч.-практ. конф. – Самара: СИПКРО, 1999. – С. 79Элементы теории графов на занятиях математического кружка в 5- классах // Содержание и методы обучения математике в школе и вузе на рубеже столетий: исторический и методологический аспекты: тезисы XVIII Всерос. семинара препод. математики ун-тов и пед. вузов – Брянск: БГПУ, 1999. – С. 71Воображение и наглядно-образное обучение математике // Содержание и методы обучения математике в школе и вузе на рубеже столетий: исторический и методологический аспекты: тезисы XVIII Всерос. семинара препод. математики ун-тов и пед. вузов – Брянск: БГПУ, 1999. – С. 69-71 (авт. 50%, соавтор – Г.А.Клековкин).

13. Воображение и наглядно-образное обучение математике // Математика.

Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября». – М., №41, ноябрь 1999 (авт. 50%, соавтор – Г.А.Клековкин).

14. Элементы теории графов как элективный курс в основной школе // Проблемы математического образования и культуры: тезисы Международ. науч.

конф. – Тольятти: ТГУ, 2003. – С. 67-68.

15. Психолого-методические основания введения элементов теории графов в школьное обучение // Модернизация содержания математического образования и новые средства обучения математике: сб. трудов, представленных на обл.

науч.-практ. конф. – Самара: СИПКРО, 2003. – С. 52-56.

16. Обучение деятельности моделирования на материале теории графов / // Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее: материалы I-ой Международ. науч.-практ. конф. памяти Б.М.Бредихина. – М.; Самара: СГПУ, 2006. – С. 176-179.

17. Элективный курс «Элементы теории графов» для учащихся 10-11 классов социально-экономического профиля // Интегративный характер современного математического образования: материалы Всерос. науч.-практ. конф. – Самара: СГПУ, 2007. – С. 25-28.

18. О перспективах изучения теории графов в 10-11 классах профильной школы // Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе:

материалы XXVI Всерос. семинара препод. математики ун-тов и пед. вузов. – Самара, М.: СФ МГПУ; МГПУ, 2007. – С. 194-196.

19. Преемственность в элективном обучении математике // Проблемы многоуровневой подготовки учителей математики для современной школы: материалы XXVII Всерос. семинара препод. математики ун-тов и пед. вузов. – Пермь: ПГПУ, 2008. – С. 190-191 (авт. 50%, соавтор – Г.А.Клековкин).