На правах рукописи

НАЗАРЬЕВ Петр Павлович

УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ЖЕСТКИЕ

И ЛИНЕЙНО-УПРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

05.13.18 - математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Петрозаводск 2006

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования

ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Научный руководитель:

к. т. н., профессор Гольдштейн Юрий Борисович

Официальные оппоненты:

д. т. н., профессор Михайлов Борис Кузьмич к. т. н., доцент Питухин Евгений Александрович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита состоится ” ” 2006 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.190. при Петрозаводском государственном университете по адресу:

185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан ” ” 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Поляков В. В.

Общая характеристика работы

Актуальность. В инженерной практике и биомеханике встречаются задачи, решение которых традиционными методами затруднительно, а порой невозможно. Такие задачи возникают при расчете некоторых деревянных конструкций с металлическими элементами, анализе усилий и перемещений скелетно-мышечных систем, силовом расчете механизмов. Общим для таких систем является наличие в расчетной схеме элементов существенно различной жесткости, а также большое влияние на распределение усилий и перемещений податливостей узлов. Поэтому создание механо-математической модели систем указанного типа, получение на ее основе полной системы уравнений задачи и создание соответствующих вычислительных алгоритмов весьма актуально.

Цель исследования. В настоящей работе преследуются следующие цели:

1. построение математической модели систем, состоящих из абсолютно жестких стержневых элементов, соединяемых податливыми и жесткими связями;

2. вывод полной системы уравнений для указанной модели и получение разрешающих систем уравнений двух типов;

3. анализ условий разрешимости задачи;

4. разработка численных алгоритмов решения задачи и анализ ее вычислительной устойчивости;

5. создание компьютерной программы, реализующей указанные алгоритмы.

Научная новизна исследований. Для пространственных систем, представляющих собой набор бесконечно жестких стержневых элементов, произвольным образом соединяемых в узлах:

1. предложена механо-математическая модель, в которой, в отличие от традиционной модели, податливыми являются не стержневые элементы, а узловые соединения;

2. выведена полная система уравнений для указанной модели и на ее основе получены разрешающие уравнения;

3. разработаны вычислительные алгоритмы и предложен способ регуляризации и оценки точности решения в случае его неустойчивости;

4. показана возможность использования предложенной модели для решения ряда традиционных задач, решаемых другими способами (например, задачи о равновесной форме гибкой нити);

Методы исследования. При создании математической модели, построении алгоритмов решения задачи, анализе вычислительной устойчивости использовались методы линейной алгебры, теории графов, вариационного исчисления и строительной механики.

Практическая значимость. На практике могут быть использованы:

1. механо-математическая модель, в которой стержневые элементы обладают абсолютной жесткостью, а податливость сосредоточена 2. алгоритмы решения задач в линейной и геометрически нелинейной постановке с использованием указанной в п.1 модели;

3. рекомендации по двусторонним оценкам точности получаемого решения.

Кроме того, практическую ценность имеет разработанная методика построения решения задачи различными вариантами прямого метода, тогда как в промышленных программах предусматривается один вариант.

Основные научные положения, выносимые на защиту.

На защиту выносятся:

1. модель системы, состоящей из абсолютно жестких стержневых элементов, соединенных податливыми и жесткими связями в узлах;

2. полная система уравнений состояния модели и полученные на ее основе разрешающие уравнения;

3. алгоритмы решения задачи для систем указанного типа;

4. методика анализа вычислительной устойчивости и оценки точности решения задачи.

Достоверность и обоснованность положений, выводов и рекомендаций. Достоверность обеспечивается корректным последовательным применением методов механики твердого деформируемого тела и математических методов. Результаты моделирования, полученные с помощью численных экспериментов, согласуются с результатами, установленными другими методами при решении тестовых задач, а также с данными натурных измерений.

Апробация работы. Полученные в диссертации результаты были представлены в докладах на 50-й, 51-й, 52-й международной конференции молодых ученых и студентов, СПбГАСУ, Санкт-Петербург, 1996, 1997, 1998 гг., V юбилейной международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Переславль-Залесский, 1999 г., международной научно-технической конференции Вычислительная механика твердого деформируемого тела, Москва, 2006 г., на семинарах кафедры механики Петрозаводского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложений. Объем диссертационной работы составляет 170 страниц. Список литературы включает 147 наименования.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цели исследования и научные положения, выносимые на защиту. Рассмотрено развитие расчетных методов механики стержневых систем, в особенности тех, которые касаются конструкций, содержащих элементы со значительно отличающейся жесткостью и построения алгоритмов расчета, ориентированных на компьютерные вычисления. Приводится обзор литературы.

В первой главе рассматриваются отдельные абсолютно жесткие стержневые элементы, узлы и узловые связи трех типов: абсолютно жесткие, абсолютно податливые и упругие линейно-податливые.

Последовательно выводятся уравнения равновесия, кинематические уравнения и физические уравнения для каждого стержня.

Если стержень абсолютно жесткий, то очертание его оси не сказывается на перемещениях узлов конструкции и на усилиях по концам стержней. Это позволяет при выводе полной системы уравнений конструкции описать кинематическое состояние стержня вектором Lc, направленным из начала стержня в его конец (рис. 1 a). В качестве начального торца может быть выбран любой торец стержня. Кроме того, можно не обращать внимание на эксцентриситеты в местах прикрепления стержней к узлам и проводить вектор Lc не между центрами торцевых сечений стержня, а между узлами, к которым этот стержень крепится (рис. 1 б). Учесть же влияние эксцентриситета на распределение усилий в При абсолютно жестких стержнях не нужно вычислять геометрические характеристики поперечных сечений элементов, а потому не требуется вводить локальные базисы стержней (т. е. указывать, как ориентированы главные центральные оси инерции поперечных сечений). Глобальная система координат, конечно же, необходима. Будем считать, что ее оси OX, OY, OZ образуют левую тройку. Ориентация вектора Lc в этом базисе определяется направляющими косинусами lc, mc, nc. Длина вектора Lc будет обозначаться через Lc.

Перемещение стержня с номером c может быть охарактеризоваb) (e) но векторами перемещений Wc и Wc его торцов. Верхний индекс, помещенный в скобки, указывает на то, к какому торцу стержня (начальному или конечному) относятся перемещения. Компоненты Wc1, Wc2, Wc3 вектора Wc представляют собой линейные перемещения торца вдоль осей глобального базиса, а компоненты Wc4, Wc5, Wc являются поворотами торца относительно этих осей. Таким образом, На рис. 2 показаны положительные перемещения торцов стержня c. Векторы поворотов торцов имеют при своих изображениях две стрелки. Поворот считается положительным, если при взгляде с острия соответствующего вектора вращение осуществляется против часовой стрелки.

Поворот жесткого стержня в начале приведет к линейному перемещению конечного торца на величину = Lc (Wc5 nc Wc6 mc )iLc (Wc6 lc Wc4 nc )j Lc (Wc4 mc Wc5 lc )k, где i, j, k - орты глобального базиса, а lc, mc, nc - направляющие косинусы вектора стержня Lc в указанном базисе. Тогда в качестве кинематических уравнений недеформируемого стержня можно записать следующее равенство в матричной форме:

Здесь E - единичная матрица, Lc - матрица поворота. Ее элементами являются направляющие косинусы стержней.

Sc по работе, а потому матрицу статических уравнений стержня можно получить, транспонируя матрицу кинематических уравнений и заменяя в ней компоРис. 3.

Если же пролетная нагрузка имеется, то в левую часть только что записанного равенства вводится вектор Rc, компонентами которого являются составляющие Rc1, Rc2, Rc3 главного вектора и Rc4, Rc5, Rc главного момента заданного воздействия на стержень, отнесенные к его концу:

Именно это уравнение и является уравнением равновесия стержня.

Далее описывается присоединение стержня к узлам. Параметрами состояния узла с номером k являются перемещения, показанные на рис. 4. Они составляют вектор Uk. Прикрепление стержня k к узлу k описывается в локальных ортогональных базисах с осями При описании связей используются характеристические диагональные матрицы 6-го порядка Bkc, Bkc и B kc в начале стержня и Ekc, Ekc и E kc. Элемент, равный единице, записывается на главной диагонали в том случае, если прикрепление стержня к узлу осуществляется соответственно с помощью абсолютно жесткой, упруго Такие матрицы позволяют единообразно записывать уравнения задачи при любом прикреплении стержня к узлу. С их помощью можно также делать некоторые выводы о разрешимости задачи до Введем векторы pc и pc реакций связей, компоненты которых (реакции линейных и поворотных связей) вычисляются в базисах (4).

Соотношение устанавливает зависимость между реакциями связей в начале и в конце стержня с номером c. В абсолютно податливых связях реакции отсутствуют, т. е.

Число нетривиальных решений здесь будет равно числу связей, соединяющих торцы стержня с узлами. Остальные из 12 равенств (6) являются линейно зависимыми либо представляют из себя тождества типа 0 0. Их целесообразно исключить. Для этого используется оператор {...}, который удаляет в матрице, записанной между фигурными скобками, нулевые или линейно зависимые строки и запоминает их номера:

Верхней группе формул здесь отвечают связи в начале стержня, нижней - в его конце.

Пусть c и c - столбцы, содержащие интегральные деформации, т. е. полные удлинения c1, c2, c3 или абсолютные углы поворота c4, c5, c6 податливых связей, расположенных соответственно между начальным и конечным торцами стержня c и инцидентными к этим торцам узлами. Теперь можно записать кинематические уравнения задачи, представляющие условия совместности перемещений торцов стержней и перемещений инцидентных к ним узлов:

Для компактности записи здесь использованы обозначения:

Ack = (Bkc + Bkc )c, Acj = c (E Lc ) (Ejc + Ejc )c, Этому матричному равенству отвечают 6 скалярных соотношений.

Некоторые из них могут оказаться линейно зависимыми либо представлять собой тождества типа 0 0. Число же содержательных уравнений в системе (8) равно наибольшему из количества связей, примыкающих к одному из торцов стержня. Неизвестными являются векторы Uk и Uj. Исключим из уравнений (8) перемещения торцов стержня Wc, получая в итоге следующее равенство:

Помимо узловых перемещений Uk и Uj в них входят fc интегральных деформаций податливых связей, присоединяющих стержень c к узлам k и j. Матрица Fc удовлетворяет уравнению а потому она является фундаментальной матрицей для матрицы Acc.

Далее записываются уравнения равновесия узла конструкции. К любому неопорному узлу конструкции может быть приложено заданное воздействие, характеризуемое вектором силы и вектором момента с составляющими, отнесенными к осям главного (глобального) базиса. Индекс k отвечает номеру узла. Указанные компоненты образуют вектор Pk. Отделим узел k от конструкции, выполнив разрезы по связям, соединяющим узел с торцами примыкающих к нему стержней, и приложим по направлениям устраненных связей реактивные силы и моменты. Ясно, что интерес представляют те из реакций, которые отвечают существующим связям. Именно они и учитываются при записи условия равновесия узла k, образуя базисные решения p. Прийти к содержательным уравнениям можно, используя оператор {...}:

В уравнения (11) входят базисные компоненты векторов pc для тех стержней, которые инцидентны к узлу k.

В качестве физических уравнений запишем соотношения, связыb) (e) вающие реакции податливых связей rc и rc, присоединяющих стержень c к узлам k и j, и интегральными деформациями указанных связей. Величины rci для абсолютно жестких и абсолютно податливых связей принимаются равными нулю. Введем обозначения Тогда искомые физические уравнения имеют вид:

Во второй главе получена полная система уравнений для конструкции в целом. В эту систему входят:

a) уравнения равновесия узлов, которые получаются объединением уравнений (11) и имеет вид:

где - топологическая матрица размерности nm, n - число независимых уравнений равновесия, m - число независимых реакций связей, p - столбец независимых реакций связей, Q - столбец свободных членов, определяемый заданным воздействием.

б) кинематические уравнения, представляющие собой условия совместности перемещений неопорных узлов конструкции и торцов примыкающих к этим узлам стержней, получаемые объединением уравнений (9):

где - транспонированная по отношению к матрице, - столбец деформаций податливых связей, V - столбец заданных перемещений опорных узлов.

в) физические уравнения, связывающие деформации податливых связей и реакции в этих связях, получаемые объединением уравнений (13):

где D, D 0 - матрицы податливости, отвечающие соответственно независимым и зависимым реакциям связей p и p 0, D - матрица податливости, отвечающая заданному внешнему воздействию на стержень Полная система уравнений конструкции, состоящей из абсолютно жестких стержней, соединенных в узлах при помощи упруго податливых, абсолютно жестких и абсолютно податливых связей, получена.

Эту систему сразу же можно свести к двум группам уравнений, исключив из кинематического равенства (15) интегральные деформации податливых связей при помощи физического закона (16). Далее используется обычная для строительной механики идеология перехода от полной системы уравнений к разрешающей системе.

При решении задачи в перемещениях преобразование полной системы приводит к разрешающей системе вида:

где M - квадратная симметричная невырожденная матрица, порядок которой равен числу перемещений неопорных узлов. Однако преобразование, приводящее к виду (17), возможно лишь тогда, когда существует фундаментальное решение системы кинематических уравнений (15) (т. е. нетривиальное решение при нулевой правой части этих уравнений). Аналогично при помощи известных преобразований получена разрешающая система уравнений в силах:

где H - также квадратная симметричная невырожденная матрица, порядок которой равен числу линейно независимых реакций связей. Решение этой системы всегда существует, если ранг максимален или в частном случае, когда ранг не максимален, но ранг присоединенной матрицы такой же, как и у.

При любой схеме решения в дальнейшем определяются величины, не входящие в разрешающие уравнения. Важно отметить, что при формировании систем разрешающих уравнений могут встретиться такие конструкции, когда решение в перемещениях невозможно, а решение в силах может быть получено.

В третьей главе обсуждаются вопросы, связанные с оценкой точности решения задачи.

Решение в силах можно трактовать как задачу нахождения некоторого вектора a конечномерного эвклидова пространства размерностью n, метрика которого определяется заданием квадратичной формы, называемого функционалом Кастильяно K. Можно считать, что вектор a имеет разложение в ковариантном базисе рассматриваемого пространства. Уравнения Эйлера данного функционала представляют собой систему линейных алгебраических уравнений порядка n с коэффициентами, являющимися элементами определителя Грама. Тогда решение методом перемещений представляет собой задачу отыскания того же вектора a в сопряженном с указанным выше пространством. Квадратичная форма, определяющая метрику сопряженного пространства, называется функционалом Лагранжа L. Здесь искомый вектор раскладывается по ортам контравариантного базиса. Обе задачи имеют одно и то же решение, и это решение единственно.

Если же говорить о численной реализации методов сил и перемещений, то надо иметь в виду, что вектор a, найденный двумя разными методами, может оказаться различным. Объясняется это вычислительными погрешностями, величина которых зависит от исходного базиса соответствующего пространства. Чем более разведены его орты по норме Грама, тем решение точнее. Выбор хорошего базиса для конкретной задачи - дело достаточно сложное. При этом заранее нельзя сказать, решение с каким базисом (ко- или контравариантным) окажется лучшим. На точность решения влияют также вычислительные операции, выполняемые над свободными членами разрешающих уравнений.

Таким образом, возникает задача о решении систем линейных уравнений высокого порядка, матрицы которых могут оказаться плохо обусловленными. Обусловленность матрицы характеризуются различными мерами обусловленности. В задачах строительной механики обычно используются 2-3 различные меры. Но оценка обусловленности по любой мере довольно условна. Например, система уравнений с диагональной матрицей всегда имеет точное решение, хотя мера обусловленности, вычисленная по характеристическим числам, может говорить об обратном. Поэтому более надежна следующая оценка качества решения: выполняется несколько решений системы с возмущенными коэффициентами и свободными членами и результаты сопоставляются. Поскольку весь расчет стержневых конструкций занимает при использовании современной вычислительной техники сравнительно мало времени, то указанный выше анализ обусловленности не обременителен.

Решение считается удовлетворительным, а матрица A - хорошо обусловленной, если малые возмущения коэффициентов и свободных членов уравнений Эйлера приводят к малому же возмущению неизвестных. Если порядок относительной погрешности решения намного превышает порядок возмущения исходных данных, то надо принимать меры по обеспечению получения качественного решения. Возможны два подхода к решению этой проблемы. Первый - это переход к альтернативному методу расчета. Второй подход - это регуляризация.

Специалистам-прикладникам первый способ известен лучше, и потому он широко используется на практике, хотя удовлетворительный результат удается получить далеко не всегда. Кроме того, нет строгих доказательств принципиальной реализуемости этого подхода.

Второй подход менее популярен, хотя в специальной литературе он изложен подробно. В частности, возможна регуляризация при помощи малого параметра, добавляемого к элементам главной диагонали матрицы линейных уравнений (метод М. М. Лаврентьева). Основная сложность решения заключается в том, что параметр регуляризации, обеспечивающий приемлемое решение, можно подобрать лишь при наличии некоторой дополнительной информации о решаемой задаче. Но как раз для задач строительной механики такая информация имеется.

Дело в том, что по найденному вектору a можно вычислить энергетические функционалы, характеризующие метрики исходного и сопряженного пространств, которым этот вектор принадлежит. При этом на точном решении должно выполняться равенство K = L (равенство функционалов Лагранжа и Кастильяно). Кроме того, эти величины должны равняться потенциалу внешней нагрузки :

Функционал Лагранжа вычисляется по найденному в результате решения задачи вектору pc :

Известно, что на точном решении он достигает минимума. Достигающий на точном решении максимума функционал Кастильяно имеет вид:

В этих формулах интегралы вычисляются по осевому контуру конструкции S, матрица связана с физическими характеристиками системы, столбец содержит деформации податливых связей конструкции.

Потенциал внешних сил дается формулой:

в которой Pi - внешние силы, а Ui - отвечающие им перемещения.

Из сказанного выше следует, что величина L() может рассматриваться как верхняя оценка энергии системы, а K(pc ) - как нижняя оценка этой же энергии.

рис. 5b. Этот вектор принадлежит двухмерному пространству в разложении по ортогональному контравариантному базису.

Решение системы уравнений с матрицами A и B приводит в конечном счете к вектору p, приведенному на рис.5c. Вычисления выполнялись с удержанием 8 значащих цифр. При этом K = 0, 3592990, L = 0.1243597, = 0.2301428. Большая разница между этими числами говорит о необходимости выполнения регуляризации. Регуляризация проводится путем добавления малых чисел к диагональным элементам матрицы A. Ее результаты представлены в таблице. Оптимальным является решение при параметре = 3 · 108 (см. также рис. 5d).

Точное решение 0, 1666667 0, 1666667 0, Таким образом, идея, изложенная выше, может быть реализована в вычислительной программе следующим образом: рассматривается некоторая последовательность чисел, близких по величине к наименьшему характеристическому числу матрицы системы разрешающих уравнений. Для каждого из них вычисляются энергетические функции (101), входящие в формулы. Выбирается решение, наиболее сближающее указанные величины.

В четвертой главе рассматриваются примеры, иллюстрирующие работу с этой моделью при расчете конструкций, податливость которых сосредоточена в ее узлах. Кроме того, ставилась цель убедится в достоверности результатов, получаемых при помощи предложенной модели.

Первый пример посвящен расчету деревянной срубовой конструкции. Данная задача возникла при рассмотрении концепции реставрации Преображенской церкви на о. Кижи. Требовалось дать экспертную оценку проекту реставрации, разработанному научнопроизводственным центром строительных конструкций г. Кирова. Сотрудниками этого центра были экспериментально установлены коэффициенты податливости узлов. Проектировщиками был выполнен расчет несущих конструкций церкви методом конечных элементов. В ходе экспертизы выполнялся расчет одного из фрагментов расчета на основе предлагаемой в диссертации модели. Стержневые элементы в этой модели приняты бесконечно жесткими, а поворотные связи - податливыми. Бревна венцов считаются контактирующими друг с другом только по торцам. В качестве фиктивных элементов были включены абсолютно жесткие стойки.

Результаты решения качественно согласуются с решением Кировского научно-производственного центра (расхождение по перемещениям 20-30%, расхождение по усилиям 15-20%). Таким образом, подтверждается возможность использования предложенной модели для расчета деревянных срубов.

Второй пример иллюстрирует возможность применения данной модели для расчета весьма распространенных в инженерной практике вантовых конструкций, в частности, гибких нитей. Характерной особенностью этой задачи является геометрическая нелинейность, причем наибольшие вычислительные проблемы возникают при конечных перемещениях. Традиционные итерационные методы (например, Ньютона или его модификации) в последнем случае практически неприменимы, поскольку геометрически окончательная конфигурация конструкции может кардинально отличаться от принятой в качестве начального приближения. В этом случае сходимость итерационных методов будет отсутствовать. Альтернативой является использование шаговых методов, один из которых – а именно метод последовательного нагружения и используется. Кроме того, специфика нелинейной задачи при больших перемещениях затрудняет построение удобной для численного расчета модели в рамках метода конечных элементов. Именно поэтому в популярных промышленных программных комплексах возможности расчета гибкой нити ограничены.

Предлагается принципиально новая модель для расчета гибкой нити. Эта модель представляет собой шарнирную цепь, состоящую из абсолютно жестких звеньев-стержней, прикрепленных друг к другу при помощи линейно-податливых и идеальных связей - поворотных и линейных. Введением податливых линейных связей моделируется растяжимая нить. Все расчетные соотношения, необходимые при решении задачи следуют из уравнений, полученных в главах 1 и 2. Обсуждается специфика использования метода последовательного нагружения для решения этой существенно нелинейной задачи.

На рис. 6а рассчитываемая нить изображена в исходном состоянии. Точки ее закрепления и длина нити фиксированы. В качестве нагрузки принят собственный вес и горизонтальная сила, жестко связанная с одной из внутренних точек нити. Податливости всех поворотных связей заданы существенно превышающими осевые податливости.

На рис. 6b показаны положения нити после каждого шага расчета.

Окончательная форма нити приведена на рис. 6c. На рис. 7 приведены фотографии наблюдаемых форм нити в натурном эксперименте:

исходная и конечная. Видно очень хорошее совпадение с расчетными формами положений нити.

Данный пример иллюстрирует возможность расчета при сильной нелинейности.

Основные выводы и рекомендации.

1. Построена математическая модель для систем, состоящих из абсолютно жестких стержневых элементов, соединяемых податливыми и жесткими связями.

2. Получена полная и разрешающие системы уравнений для указанной модели, на их основе построены алгоритмы решения задачи.

3. Предложены средства для оценки вычислительной устойчивости.

4. Предложена схема расчета, с помощью которой на основе предварительного анализа можно установить принципиальную возможность применения того или иного метода (в силах или перемещениях) с последующим выбором наиболее подходящего с точки зрения точности для данной задачи метода решения.

5. Математическая модель апробирована на ряде задач, в том числе для расчета деревянных срубов и гибких нитей. При этом показана как принципиальная применимость указанной модели, так и адекватность традиционным моделям.

1. Назарьев П. П. Использование модели стержневой конструкции с бесконечно жесткими элементами при расчете деревянных срубов.

//Материалы 50-й международной конференции молодых ученых и студентов. ч. 1, СПб., 1996 г., с. 45-49.

2. Назарьев П. П. К определению спектра частот систем, состоящих из бесконечно жестких элементов. // Материалы 52-й международной конференции молодых ученых и студентов. СПб, ч. 1, 1998, с. 113-116.

3. Гольдштейн Ю. Б. Конструкция с абсолютно жесткими элементами. /Гольдштейн Ю. Б., Назарьев П. П.//Деп. в ВИНИТИ 17.06. № 1949-B99, с. 1-67.

4. Назарьев П. П. Шаговый метод расчета гибкой нити на произвольное статическое нагружение. // Труды международной научнотехнической конференции "Вычислительная механика твердого деформируемого тела". Москва, МИИТ, 2006, т.2, с.301-303.

5. Назарьев П. П. Полная система уравнений шарнирной цепи и ее решение. //Деп. В ВИНИТИ 10.05.06 №613-В2006, с. 1-37.

Тезисы докладов 1. Гольдштейн Ю. Б. Численная реализация расчета конструкций, состоящих из бесконечно жестких стержней и упруго-податливых связей. /Гольдштейн Ю. Б., Назарьев П. П.//V юбилейная международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Тезисы докладов.

Переславль-Залесский, 1999, с. 190-192.

Подписано в печать 18.06.2006. Формат 60 84 1/ Бумага офсетная. Печать офсетная.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Петрозаводский государственный университет Отпечатано в типографии Издательства ПетрГУ 185910, Петрозаводск, пр. Ленина,