На правах рукописи

Восков Алексей Леонидович

РАСЧЕТ ФАЗОВЫХ РАВНОВЕСИЙ

МЕТОДОМ ВЫПУКЛЫХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 02.00.04 – физическая химия

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата химических наук

Москва – 2010

Работа выполнена в лаборатории химической термодинамики на кафедре физической химии Химического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор химических наук, профессор Воронин Геннадий Федорович

Официальные оппоненты: доктор химических наук, профессор Алиханян Андрей Сосович кандидат химических наук, доцент Путляев Валерий Иванович

Ведущая организация: Уральский государственный университет им. А. М. Горького

Защита состоится « 24 » июня 2010 года в 15 часов 00 минут на заседании Диссертационного совета Д. 501.001.50 по химическим и физико-математическим наукам при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские Горы, д. 1, стр. 3, Химический факультет МГУ, аудитория 446.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Химического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Автореферат диссертации размещен на сайте Химического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова: www.chem.msu.ru Автореферат разослан « 24 » мая 2010 года

Ученый секретарь Диссертационного совета Д. 501.001.50, Матушкина Н. Н.

кандидат химических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Фазовые диаграммы являются одним из важнейших практических применений химической термодинамики в современном материаловедении. На них графически отображаются условия равновесия фаз гетерогенной системы в координатах независимых термодинамических переменных – давления p, температуры T, мольных долей компонентов xi. В последние десятилетия значительно возрос интерес к так называемым оптимизированным фазовым диаграммам, при построении которых учитываются как экспериментальные данные по фазовым равновесиям, так и термодинамические свойства веществ интересующей системы. Поэтому актуальной становится задача построения многокомпонентных фазовых диаграмм на основе термодинамических моделей фаз системы. Обычно для этой цели применяют методы, основанные на условной минимизации энергии Гиббса системы или на равенстве химических потенциалов компонентов равновесных фаз. Их серьёзный, хорошо известный и часто обсуждаемый недостаток – необходимость задавать для решения задачи начальные приближения. Особенно чувствительны к выбору начального приближения системы с расслаивающимися растворами. Сравнительно новый метод выпуклых оболочек обладает рядом важных преимуществ: применим к широкому кругу термодинамических моделей, позволяет рассчитывать сразу устойчивые равновесия, не требует задания начальных приближений. Для двухкомпонентных систем он реализован в программе PhDi, разработанной в лаборатории химической термодинамики химического факультета МГУ.

При расчете фазовых диаграмм трехкомпонентных систем методом выпуклых оболочек, в отличие от двойных систем, возникает проблема описания различий между двух- и трехфазными областями диаграммы и построения коннод в двухфазных областях. Общее решение этой задачи в рамках метода выпуклых оболочек ранее не рассматривалось, хотя имеются отдельные примеры расчета равновесий в тройных расслаивающихся растворах. Поэтому задача разработки универсального и эффективного алгоритма построения фазовых диаграмм трехкомпонентных систем, использующего метод выпуклых оболочек, остается актуальной.

Цель работы – создание универсального способа расчёта и построения фазовых диаграмм многокомпонентных систем в координатах мольных долей компонентов xi с возможностью распространения на иные обобщённые термодинамические координаты, например, мольные объемы или энтропии, на основе метода выпуклых оболочек и его применение к интересующим науку и практику термодинамическим системам. В ходе работы необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать универсальный метод расчёта фазовых диаграмм многокомпонентных систем в координатах мольных долей компонентов xi, основанный на методе выпуклых оболочек.

2. Реализовать разработанный метод в виде компьютерной программы и проверить его на ряде тестовых и реальных фазовых диаграмм.

3. Осуществить оптимизацию нескольких конкретных фазовых диаграмм тройных систем по имеющимся экспериментальным данным.

Научная новизна Предложен и реализован в виде компьютерной программы универсальный метод расчёта фазовых диаграмм тройных систем в координатах мольных долей компонентов xi, основанный на методе выпуклых оболочек, допускающий обобщение на системы с большим числом компонентов. Его важными преимуществами являются надёжное нахождение всех областей фазовой диаграммы (в том числе и «островных»

областей расслаивания), отсутствие ограничений на вид характеристических функций системы, отсутствие необходимости в задании начального приближения.

Впервые создана программная реализация метода выпуклых оболочек для случая тройных систем, допускающая одновременное присутствие нескольких фаз переменного состава, описывающихся произвольными термодинамическими моделями.

Практическая значимость работы Предложенный и развитый в данной работе метод расчёта фазовых диаграмм и его реализация в виде программы TernAPI могут быть использованы для расчёта фазовых диаграмм широкого круга тройных систем. Реализовано построение изобарноизотермических сечений, политермических фазовых диаграмм и их сечений, а также решение «обратной» задачи – оптимизации параметров модели по экспериментальным данным. Возможности метода и созданного программного обеспечения использованы для расчета и построения более 100 фазовых диаграмм тройных систем, которые, в частности, применялись при выполнении работ по проектам РФФИ № 09-03Термодинамические модели многокомпонентных растворов галогенидов щелочных и щелочноземельных металлов в водно-органических растворителях» и № 08а «Расчеты фазовых равновесий в многокомпонентных системах методом выпуклых оболочек», а также хоздоговоров с ОАО «ОХК «УРАЛХИМ»». В дальнейшем можно распространить этот метод на системы с большим числом компонентов.

Личный вклад автора Автором проведён обзор существующих аналитических и геометрических методов расчёта фазовых диаграмм, в том числе и существующей информации про метод выпуклых оболочек и программного обеспечения для расчёта фазовых диаграмм;

разработан новый метод расчёта фазовых диаграмм многокомпонентных систем, основанный на методе выпуклых оболочек и создано программное обеспечение, реализующее его для трёхкомпонентных систем; проведено тестирование метода и оценка его быстродействия на примере фазовых диаграмм модельных и реальных систем различной природы: металлических, солевых, водно-органических с добавками электролитов; проведена оптимизация фазовых диаграмм.

Публикации и апробация работы. По материалам диссертации опубликовано 3 статьи в российских периодических изданиях. Результаты были представлены на XII Российской конференции по теплофизическим свойствам веществ РКТС-12 (Москва, октябрь 2008 г.), 20-й Международной конференции по химической термодинамике ICCT-2008 (Варшава, август 2008 г.), XVII Международной конференции по химической термодинамике в России RCCT-2009 (Казань, июнь–июль 2009 г.), XVII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, апрель 2010 г.). Метод и его программная реализация были также опробованы в рамках других исследований, ведущихся в лаборатории химической термодинамики химического факультета МГУ.

Объём и структура работы. Диссертационная работа изложена на 147 страницах машинописного текста, иллюстрирована 73 рисунками и 27 таблицами. Список цитируемой литературы содержит 113 наименований. Работа состоит из введения, обзора литературы (посвящён геометрическим методам расчёта фазовых равновесий и оптимизации фазовых диаграмм в химической термодинамике), расчётной части, обсуждения результатов, выводов и списка цитируемой литературы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты № 08-03-00506а и № 09-03-01066.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показаны актуальность проблемы расчета и оптимизации фазовых диаграмм многокомпонентных систем и направление развития метода выпуклых оболочек, сформулированы цель и задачи данного исследования В первой главе рассмотрена классификация фазовых диаграмм по свойствам координат (экстенсивных или интенсивных) на их осях, а также приведен краткий обзор существующих методов построения фазовых диаграмм. Методы условно разделены на три группы: основанные на минимизации энергии Гиббса, равенстве химических потенциалов компонентов в сосуществующих фазах, и геометрические методы.

Основное внимание уделено геометрическим методам: методу выпуклых оболочек, методу касательных и методу площадей. Также проведён обзор существующих программных комплексов для построения фазовых диаграмм многокомпонентных систем: CaTCalc, FactSage, MTDATA, PANDAT, PhDi, ThermoCalc, ThermoSuite. Все эти программы, кроме PhDi, основаны на условной минимизации энергии Гиббса системы при фиксированном компонентном составе вдоль линий нулевой доли фазы (ZPF lines). Основной недостаток такого подхода – возможность попадания в локальный минимум, а также пропуск изолированных, «островных» областей расслаивания при движении вдоль линий ZPF из подсистем более низкого порядка. В PhDi для расчёта фазовых диаграмм двойных систем используется иной способ – метод выпуклых оболочек. В нем нет стадии расчёта отдельных фазовых равновесий, вся фазовая диаграмма строится сразу, поэтому упомянутые выше проблемы не возникают. Основным ограничением метода выпуклых оболочек является то, что на координатных осях фазовой диаграммы должны откладываться экстенсивные переменные или производные от них («обобщённые термодинамические координаты», такие как количества или мольных доли компонентов, объемы или мольные объемы, и др.), но не «обобщённые силы» (давление, температура и др.).

В заключении обзора литературы обосновывается целесообразность применения метода выпуклых оболочек для многокомпонентных систем ввиду его отмеченных выше преимуществ.

МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ФАЗОВЫХ ДИАГРАММ

Во второй главе рассмотрен разработанный способ расчёта фазовых диаграмм трёхкомпонентных систем в координатах мольных долей компонентов xi, основанный на методе выпуклых оболочек и его обобщение на более сложные системы.

Принципиальная возможность использования выпуклых оболочек для анализа фазовых диаграмм впервые показана Дж.Гиббсом [1]. В его работах рассматривается выпуклая огибающая одной или нескольких зависящих от состава функций G(k)(x(k)), которые в наше время называют энергиями Гиббса фаз гетерогенной системы (k = 1, 2,…,n). В однофазных областях эта огибающая совпадает с поверхностью G(k)(x(k)) одной из n возможных фаз системы, в двухфазных, согласно Гиббсу, она может быть получена качением касательной плоскости по однофазным поверхностям, которых в этом случае плоскость касается одновременно в двух точках. В трехфазной области огибающая имеет вид плоского треугольника, трижды касающегося поверхностей энергий Гиббса сосуществующих фаз. Обсуждаемые выпуклые огибающие энергий Гиббса представляют собой нижнюю часть выпуклой оболочки, соG(x), построенной на множестве этих функций (верхняя часть соG(x) включает в себя термодинамические состояния, заведомо неустойчивые относительно чистых компонентов системы).

В данной работе для расчета выпуклой огибающей энергий Гиббса трехкомпонентной системы в пространстве (G, x2, x3) при фиксированных температуре и давлении использовался алгоритм QuickHull, строящий выпуклую оболочку заданного множества точек в многомерном пространстве. Если система содержит только индивидуальные соединения, то нижняя часть оболочки coG(x), построенной на множестве n точек (G(k), x2(k), x3(k)), где xi( k ) – мольная доля i-го компонента в k–й фазе, является энергией Гиббса гетерогенной системы в целом, G(x). Каждой термодинамически устойчивой фазе при этом соответствует одна из вершин треугольника, из которых состоит поверхность G(x), а сторонам треугольников – границы равновесия двух или трех фаз (см. рис. 1а). Проектирование всех ребер и вершин G(x) на плоскость составов (x2, x3) дает непосредственно требуемое сечение диаграммы состояний (см. рис. 1б).

Чтобы воспользоваться существующими эффективными способами расчета выпуклых оболочек при наличии в системе фаз-растворов, поверхности G(k)(x2(k), x3(k)) аппроксимируются дискретными значениями этой функции на заданной сетке узлов.

В этом случае треугольники, образующие поверхность выпуклой оболочки, приближенно (с точностью до шага сетки) описывают касательные плоскости к поверхности G(x). Проектирование её нижней части на плоскость составов дает триангуляцию, каждый треугольник которой относится к одно-, двух- или трёхфазной области. Т.к. в точках касания плоскости и поверхности G(x) химические потенциалы компонентов равны, то проекции сторон треугольников двух- и трёхфазных областей являются приближенными коннодами. Проекция особенностей нижней части coG(x) на плоскость x даёт изобарно-изотермическое сечение фазовой диаграммы. Алгоритм расчета состоит из следующих шагов:

1. Задается двухмерная сетка точек в координатах мольных долей второго и третьего компонентов, (x2, x3), с фиксированным шагом x. В любой точке сетки выполняется условие x2 + x3 1. Типичные значения x от 0.01 до 0.0005, т.е. 100- точек на каждой из осей или 1·104 - 4·106 точек на всю сетку. Вычисляются энергии Гиббса всех возможных фаз в каждом из узлов сетки. Выбирается наименьшее из полученных значений, запоминаются координаты (составы) выбранных точек и индексы соответствующих им фаз. Энергия Гиббса расслаивающейся системы обычно описывается одним выражением, общим для всех образующихся фаз, поэтому разные фазы в этом случае имеют одинаковые обозначения (индексы).

2. Строится и проектируется на плоскость (x2, x3) нижняя часть выпуклой оболочки множества энергий Гиббса.

3. Для каждого треугольника сетки определяется число фаз в области составов, к которой он принадлежит. Поскольку разные фазы могут иметь одинаковые индексы (см. п. 1), необходимо последовательное применение следующих геометрических правил: если функция G(x) локально выпукла в области составов внутри треугольника, то область однофазная, если наименьшая из высот треугольника значительно больше шага сетки, то область трехфазная, все остальные треугольники относятся к двухфазным областям.

4. Для каждого треугольника сетки находятся граничащие с ним треугольники.

Чтобы исключить слияние разных областей диаграммы, считается, что кратчайшие стороны треугольников двухфазных областей и все стороны треугольников трехфазных областей не граничат со сторонами других треугольников.

5. На основе данных, полученных в п.4, выделяются одно-, двух- и трехфазные области фазовой диаграммы.

Рис. 1. Построение фазовой диаграммы тройной системы YO1.5-BaO-CuO-O2 (при T = 800 K и парциальном давлении кислорода 1 атм) методом выпуклых оболочек. (а) – значения G для фаз системы, их выпуклая оболочка и проекция её нижней части на треугольник Гиббса-Розебома, (б) – фазовая диаграмма, числами вида abc обозначены точечные фазы (соединения) состава YaBabCucOd Для повышения точности и производительности алгоритма можно применять сетку с переменным шагом, фрагмент которой показан на рис. 2. Ее построение начинается с расчета (x2, x3)- проекции диаграммы на сетке с разрешением в 5-15 раз меньше конечного. После выполнения операций, предусмотренных в п. 1-2, в область границ между одно- и многофазными областями добавляются дополнительные точки, повышающие разрешение сетки узлов до требуемого. Треугольники, у которых хотя бы одна вершина принадлежит области низкого разрешения или граничит с ней, рассматриваются, как принадлежащие к однофазным областям. В качестве x используется шаг между дополнительными узлами сетки.

Описанный алгоритм реализован в программе TernAPI на языке MATLAB, предназначенной для расчёта и построения фазовых диаграмм тройных систем, а также их сечений и проекций. Исходными данными является термодинамическая модель системы: выражения для энергий Гиббса всех существующих в ней фаз с указанием возможного диапазона их составов (точечная фаза, квазибинарный разрез, трёхкомпонентный раствор и др.). Возможно как задание новых выражений для энергии Гиббса фазы, так и использование известных моделей: полиномиальных (РедлихаКистера, Колера и Муггиани и др.), квазихимических (NRTL, eNRTL, UNIQUAC, eUNIQUAC и др.). Поддерживается также оптимизация параметров термодинамической модели по имеющимся экспериментальным данным.

Можно обобщить алгоритм на n-компонентный случай, при этом плоскость мольных долей (x2, x3) заменяется на (n-1)-мерную гиперплоскость (x2, x3, …, xn), поверхность энергии Гиббса – на n-мерную гиперповерхность, триангуляция – на сетку из (n-1) – мерных симплексов, состоящих при n = 2, 3, 4 из отрезков, треугольников и тетраэдров соответственно. При этом, если m = 1 (m – число фаз в симплексе), то симплекс является точкой, при m = 2 – отрезком, m = 3 – плоскостью многоугольника, m = 4 – объёмным многогранником. Примеры симплексов для различных сочетаний m и n приведены в таблице 1. Это обобщение было использовано для расчёта фазовых диаграмм четырёхкомпонентных систем.

Глава 3. РАСЧЁТ И ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ДИАГРАММ В третьей главе рассматривается применение разработанного метода для расчёта фазовых диаграмм трёх- и четырёхкомпонентных систем, а также примеры оптимизации термодинамических свойств веществ с использованием трёхкомпонентных фазовых диаграмм.

Таблица 1. Примеры симплексов в 2-х, 3-х и 4-хкомпонентных системах Системы с индивидуальными соединениями Простейшими из рассчитанных фазовых диаграмм являются тройные системы YO1.5-BaO-CuO-O2 (при p(O2)=1 бар) и Al2O3-CaO-SiO2, в которых присутствуют только точечные фазы. Значения G, соответствующие стабильным соединениям, располагаются на нижней части выпуклой оболочки, а нестабильным – внутри неё, каждый из треугольников проекции её нижней части на плоскость (x2, x3) соответствует трёхфазной области, что позволяет тестировать построение выпуклой оболочки независимо от анализа её проекции (триангуляции). Рассчитанные фазовые диаграммы при T = 800 K полностью соответствуют литературным данным (см. рис. 1б) [2, 3].

Системы с тройными растворами Более сложным случаем являются теоретические фазовые диаграммы типа «роза», в которых существует один вид раствора, образующий ряд симметричных областей расслаивания. Эта задача использована для тестирования разработанного метода, поскольку ее решение являться проблемным для большинства других методов, особенно при отсутствии расслаивания в двойных подсистемах. Энергия Гиббса смешения раствора в этом случае описывается полиномом:

где S id = R (x1 ln x1 + x 2 ln x 2 + x 3 ln x3 ) - энтропия смешения идеального раствора, A, aij и b – параметры модели (A – в Дж/моль, остальные – безразмерные). Были рассчитаны изобарно-изотермические сечения шести подобных диаграмм, почти все они воспроизводят ранее полученные результаты [4-6]. Четыре примера показаны в табл. 2 и на рис. 3-4, цифрами обозначено число фаз внутри области.

На рассчитанном изобарно-изотермическом сечении «розы» № 3 (см. рис. 4а) получаются три изолированные двухфазные области расслаивания, не замеченные ранее при расчётах с помощью программы PANDAT [6].

Таблица 2. Значения параметров в (1) принятые при построении фазовых диаграмм Другим интересным примером является изобарно-изотермическое сечение диаграммы типа «роза» № 4 с неоднозначным фазовым составом в центральной части треугольника (см. рис. 4б): её разбиение на четыре трехфазных области зависит от выбранного разрешения сетки [6].

Рис. 3. Рассчитанные фазовые диаграммы систем типа «роза»: (а) – № 1, (б) - № 2.

Рис. 4. Рассчитанные фазовые диаграммы систем типа «роза»: (а) - № 3, (б) - № 4.

В качестве тестовых примеров систем с одним расслаивающимся раствором использованы также модели реально существующих тройных систем Au-Pt-Pd и CdTe-HgTe-ZnTe, диаграммы которых уже рассчитывались ранее методом выпуклых оболочек [2]. В системе Au-Pt-Pd имеется купол расслаивания твёрдого раствора с верхней критической температурой, что осложняет применение традиционных методов из-за низкой термодинамической устойчивости системы и плохой обусловленности уравнений, описывающих ее состояние, вблизи критической точки расслаивания.

Энергия Гиббса смешения твёрдого раствора задаётся полиномиальной зависимостью:

mix H = 3036 x1 x2 x3 x1 x3 (11141x1 + 3065 x3 ) x2 x3 (5234 x3 + 3021x2 ) x1 x3 (634 x3 5691x1 ) Рассчитанный в TernAPI купол расслаивания в интервале температур 1000K и его проекция на треугольник Гиббса-Розебома показаны на рис. 5а и 5б.

Форма полученного купола, верхняя критическая температура и его сечение при T = 1000 K согласуются с литературными данными [2].

Рис. 5. (а) Купол расслаивания твёрдого раствора в системе Au-Pt-Pd и (б) его проекция на треугольник составов; линии – границы области расслаивания при заданной температуре, цифры – температуры в K.

Во всех рассмотренных выше примерах систем с растворами фигурировал лишь один тип раствора и одна поверхность энергии Гиббса. В реальных системах обычно сосуществуют несколько фаз. В качестве тестовых примеров с несколькими видами растворов были выбраны упрощённые термодинамические модели четырёх тройных металлических систем Os-W-Mo, Mo-Hf-Re, Ta-W-Re и W-Ta-Zr из монографии Кауфмана [7]. Все растворы в них описываются как регулярные без параметров тройного взаимодействия с помощью выражения для энергии Гиббса:

где – обозначение одной из фаз: L (жидкость), (о.ц.к.), (г.п.у.) или (г.ц.к.), f Gi L – параметры стабильности, aij – параметры модели. Фазы (Лавеса) и (структура AuCu3) описывались с помощью модели подрешёток, как AP(B,C)Q (P + Q = 1), энергия Гиббса образования из жидких компонентов в которой описывалась выражением (4):

где P и Q – ёмкости подрешёток, yB и yC – мольные доли компонентов B и C во второй подрешётке, f G L (A P XQ ) – энергия Гиббса образования соединений APXQ из жидких компонентов:

где C – параметр модели. В качестве примера на рис. 6 показаны рассчитанные в TernAPI изотермические сечения фазовых диаграмм систем диаграммы Mo-Hf-Re при T = 2273 K и W-Ta-Zr при T = 1873 K. Для всех рассчитанных диаграмм наблюдается хорошее согласование с литературными данными [7] при использовании значений параметров из этой книги, хотя случае системы Ta-W-Re пришлось увеличить параметр C на 5 %, чтобы избежать появление на диаграмме отсутствующей в [7] области растворов.

Рис. 6. Рассчитанные фазовые диаграммы: (а) система Mo-Hf-Re при T = 2273 K, (б) система W-Ta-Zr при T = 1873 K.

В рассмотренных выше тройных металлических системах одновременно присутствуют несколько типов растворов, но они, тем не менее, являются упрощёнными моделями реальных систем, поскольку в основу их расчета положены приближенные данные о термодинамических функциях веществ. В качестве примеров фазовых диаграмм, построенных с помощью более точных и сложных термодинамических моделей фаз, приводятся результаты расчёта фазовых диаграмм тройных систем Au-Bi-Sb и Al-Mg-Zn.

В системе Al-Mg-Zn образуется несколько типов растворов вместе с двойными и тройными соединениями: интерметаллиды -Al3Mg2, -Al0.56Mg0.44, -AlMg, Mg7Zn3, MgZn, Mg2Zn3, Mg2Zn11, Al2Mg5Zn2 (-фаза), твердые растворы, (фаза Лавеса), T, fcc, hcp и расплав [8]. Формулы фаз -Al3Mg2, -AlMg, Mg7Zn3 и MgZn являются приближенными. Для описания энергий Гиббса образования точечных фаз применялись соотношения с линейными зависимостями от температуры, для расплава и твердых растворов fcc и hcp – полиномы Редлиха-Кистера а для растворов, T и – модели подрешеток. Считалось, что в фазах T и имеются две подрешетки, и они могут быть представлены как (Al, Zn)P(Mg)Q (P + Q = 1), а раствор описывается с помощью трех подрешеток, как (Al, Mg)P(Al, Mg)Q(Mg)W (P + Q + W = 1, где P, Q и W – емкости первой, второй и третьей подрешеток соответственно). Рассчитанное при T = 608 K сечение фазовой диаграммы системы Al-Mg-Zn показано на рис. 7. Оно практически не отличается от данных [8].

Рис. 7. Рассчитанная фазовая диаграмма системы Al-Mg-Zn при T = 608 K Квазихимические модели Для описания систем с водными растворами часто используются квазихимические модели NRTL, eNRTL, UNIQUAC и eUNIQUAC, основанные на концепции локального состава. В этой концепции рассматривается молекула компонента и её ближайшее окружение, и считается, что при различии энергий взаимодействия одинаковых и разных молекул их мольные доли в окружении центральной молекулы должны отличаться от мольных долей в растворе. Помимо молекул в моделях также могут фигурировать другие частицы, например, сегменты молекул или ионы.

В модели NRTL, применяющейся для описания растворов неэлектролитов, избыточная энергия Гиббса многокомпонентного раствора записывается в виде:

ij = exp( aij / RT ) ), ji – параметр упорядоченности для бинарной системы из компонентов i и j. При описании растворов электролитов используют обобщение модели NRTL на случай электролитов – модель eNRTL (Electrolyte NRTL), в которой избыточная энергия Гиббса состоит из трёх вкладов:

где Glc – вклад близкодействующих сил, аналогичный таковому в модели NRTL, GPDH – вклад Питцера-Дебая-Хюккеля (кулоновское взаимодействие между ионаex ми), GBorn – борновский вклад (соответствует процессу переноса ионов из смешанного растворителя в воду):

где Ms, ds и s – молярная масса, плотность и абсолютная диэлектрическая проницаемость смешанного растворителя, = 14.9 – параметр модели, zi – заряд i-ой частицы, I x = 0.5 i xi zi2 – ионная сила, qe – заряд электрона, w – абсолютная диэлектрическая проницаемость воды, ri – радиус иона, k – постоянная Больцмана, Na – число Авогадро, A – параметр Дебая-Хюккеля. В модели eNRTL используется симметричная нормировка для молекул и асимметричная для ионов.

На основе имеющихся в литературе или экспериментально исследованных в лаборатории химической термодинамики параметров моделей NRTL и eNRTL были рассчитаны фазовые диаграммы тройных систем H2O–S–NaCl (S = этанол, бутанол-1, пентанол-3), только NRTL – H2O–ацетон–NaCl (см. рис. 8а), H2O–ДМСО–ТГФ (ДМСО=диметилсульфоксид, ТГФ=тетрагидрофуран) и CCl3COOH–антипирин–H2O, H2O–бутанол-1–LiCl, а также ещё 11 тройных систем; eNRTL – H2O–пропанол-1NaCl, H2O–бутанол-1–KCl и H2O–бутанон–KBr (см. рис. 8б). Результаты расчётов хорошо согласуются с литературными данными [9,10], за исключением фазовой диаграммы системы H2O-этанол-NaCl. Причины этого обсуждаются в тексте диссертации. Для системы H2O-ацетон-NaCl была обнаружена необычная триангуляция на проекции выпуклой оболочки (см. рис. 13 и ниже «обсуждение результатов») Рис. 8. Рассчитанные фазовые диаграммы систем (а) H2O–(CH3)2CO–NaCl (по осям – мольные доли) и (б) H2O-CH3COC2H5-KBr (по осям – массовые доли) при T = 298.15 K.

Символы – экспериментальные данные.

Модель UNIQUAC, как и модель NRTL, применяется для термодинамического описания многокомпонентных растворов неэлектролитов. Её преимуществом по сравнению с NRTL является явный учёт размеров частиц в растворе. Избыточная энергия Гиббса в UNIQUAC задаётся выражением:

где ri и qi – объём и площадь молекулы компонента i, i и i – поверхностная и объемная доля молекул сорта i, ji – энергетические параметры взаимодействия, z = 10 – координационное число молекулы. Обобщением UNIQUAC на случай электролитов является модель eUNIQUAC (Extended UNIQUAC), в которой к вкладу локального взаимодействия UNIQUAC добавляется вклад Дебая-Хюккеля GDH, т.е.

где I = 0.5 i mi zi2 – ионная сила, A и b – параметры Дебая-Хюккеля, w – обозначение растворителя - воды. С использованием модели UNIQUAC были рассчитаны фазовые диаграммы ацетонитрил-н-гептан-бензол, вода-ацетонитрил-этилацетат, н-гексанциклогексан-[omim][BF4] (omim = 1-октил-3-метилимидазолий) (см. рис. 9а), а с eUNIQUAC – H2O–2-метилпропанол-1–KCl и H2O–2-метилпропанол-2–Na2SO (см. рис. 9б). Результаты практически совпадают с имеющимися литературными данными [11,12]. На рис.9 L и S обозначают жидкую фазу и твёрдую соль соответственно.

Рис. 9. Рассчитанные фазовые диаграммы систем (а) н-гексан-циклогексан-[omim][BF4] (по осям – мольные доли) и (б) H2O–2-метилпропанол-2–Na2SO3 (по осям – массовые доли) при T = 298.15 K и T = 308.15 K. Символы – экспериментальные данные.

Построение поверхностей ликвидуса Помимо изобарно-изотермических сечений, с помощью рассмотренного алгоритма и его реализации в программе TernAPI возможен расчёт политермических фазовых диаграмм, в том числе поверхностей раздела фаз, например, поверхности ликвидус или купола расслаивания. Для построения такой диаграммы применяется тот же алгоритм, что и для построения p, T – сечений, но он вызывается многократно для каждого значения T, а затем полученные сечения объединяются в одну политермическую диаграмму. Правильность расчёта поверхности ликвидуса проверялась на двух системах с идеальным жидким раствором и тремя твёрдыми фазами, состоящими из одного компонента с линейно зависимой от температуры энергией Гиббса плавления, а также на тройных системах LiF-LiCl-LiI и CsNO3-KNO3-NaNO3, растворы в которых описываются полиномиальными моделями. Шаг между изотермическими сечениями составлял T = 0.5 K, а шаг сетки в координатах мольных долей – x = 0.002. В качестве примера на рис. 10 показана поверхность ликвидуса в системе CsNO3-KNO3NaNO3, рассчитанная на основе её термодинамической модели из работы [13]. Она согласуется с сечениями, приведенными в [13].

Рис. 10. Поверхность ликвидуса системы CsNO3-KNO3-NaNO3 и её проекция на плоскость мольных долей Оптимизация термодинамических свойств фаз с использованием экспериментальных данных о фазовых равновесиях Сравнительно высокая скорость расчёта изобарно-изотермических сечений фазовых диаграмм тройных систем в программе TernAPI (порядка нескольких секунд на современном компьютере) позволяет не только рассчитывать фазовые диаграммы по заданным термодинамическим свойствам, но и решать обратную задачу – находить параметры термодинамических моделей фаз, используя данные из экспериментально изученных фазовых диаграмм или их фрагментов. Благодаря отмеченным выше возможностям программы TernAPI, можно свести решение обратной задачи к решению серии прямых задач. В данной работе оптимизировались тройные системы H2O–ТГФ– XCl (X = Na, K) и H2O-бутанол-1-NaCl с моделями NRTL и eNRTL. При этом минимизировалась целевая функция вида:

где n – число экспериментально исследованных коннод в области расслаивания, x (ji ),k,calc и x (ji ),k,exp – рассчитанные и экспериментальные мольные доля j-го компонента в k-й фазе i-ой конноды, i – статистический вес i-й конноды.

В качестве примера на рис. 11а и рис. 11б показана фазовая диаграмма H2O– ТГФ–KCl до и после оптимизации параметров NRTL по имеющимся экспериментальным коннодам, полученным в лаборатории химической термодинамики МГУ, а в таблице 3 приведены значения этих параметров. Энергия Гиббса плавления KCl – модели NRTL для системы H2O–ТГФ–NaCl. В случае системы H2O–бутанол-1–NaCl оптимизация происходила несколько иначе: выражение (14) входило в состав более сложной целевой функции, включающей в себя данные по расслаиванию и давлению пара в двойных подсистемах.

Рис. 11. Фазовая диаграмма системы H2O-ТГФ-KCl при T = 298.15 K: (а) до оптимизации параметров NRTL, (б) – после оптимизации параметров модели NRTL. Символы – экспериментальные данные.

Таблица 3. Параметры aij (в K) в модели NRTL, системы H2O(1)-ТГФ(2)-KCl(3) Четырёхкомпонентные системы В четырёхкомпонентных системах вид фазовой диаграммы существенно усложняется, а время расчёта возрастает в сотни и больше раз по сравнению с тройными системами. Границы между областями изобарно-изотермического сечения фазовой диаграммы представляют собой поверхности сложной формы. В данной работе были рассчитаны фазовые диаграммы двух четырёхкомпонентных систем типа «роза»

с отсутствием расслаивания в тройных и двойных подсистемах. На рис. 12а-в показаны четырёх-, трёх- и двухфазные области изобарно-изотермического сечения одной из четырёхкомпонентных диаграмм при T = 1510 K, для которой энергия Гиббса смешения раствора задаётся выражением:

i< j 500, в перспективе возможно применение сеток с переменным шагом, учитывающих градиент поверхности свободной энергии.

Рис. 13. Фрагмент фазовой диаграммы системы H2O–ацетон–NaCl при T = 298.15 K (x = 1/200) (а) – диаграмма, (б) – исходная триангуляция.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Дан анализ существующих геометрических методов расчёта фазовых диаграмм и их сопоставление с другими использующимися для этого расчётными методами.

2. Создан универсальный метод расчёта фазовых диаграмм в координатах мольных долей компонентов xi, основанный на методе выпуклых оболочек. Его можно распространить на случай других обобщённых термодинамических координат (мольные объемы, энтропии и др.) 3. На этой основе разработано программное обеспечение для расчёта фазовых диаграмм тройных систем и оптимизации их термодинамических свойств по имеющимся экспериментальным данным о фазовых равновесиях.

4. Проведена успешная проверка новой программы: построено более 100 фазовых диаграмм модельных и реальных тройных систем, представляющих интерес для научных и технологических применений.

5. Исследована зависимость эффективности расчёта изобарно-изотермических сечений фазовых диаграмм тройных систем от используемого приближения и топологических свойств фазовой диаграммы.

6. Предложен экспериментальный вариант программного обеспечения расчётов изобарно-изотермических сечений фазовых диаграмм четырёхкомпонентных систем, с помощью которого получены p,T-сечения двух фазовых диаграмм типа «роза» с областями расслаивания сложной формы.

ВЫВОДЫ

1. Тестирование разработанного метода расчёта фазовых диаграмм показало его практическую применимость и надёжность при построении фазовых диаграмм тройных систем с большим числом фаз, с изолированными «островными» областями расслаивания сложной формы, а также при описании термодинамических свойств систем различными, в том числе и специальными моделями, такими, как квазихимические модели eNRTL, eUNIQUAC и др.

2. Время расчёта p,T-сечения диаграммы тройной системы возрастает с увеличением разрешения сетки, содержащей N узлов, как N2lgN при фиксированном шаге и как N4/3lgN при переменном шаге этой сетки, а с увеличением доли однофазных областей – линейно. Оно слабо зависит от числа фаз и сложности модели и при использовании современного персонального компьютера составляет 5-30 с.

3. Для широкого использования разработанного метода в системах с числом компонентов больше трёх необходимо подробнее исследовать свойства проекции выпуклой оболочки на плоскость составов вблизи фазовых границ, а также улучшить производительность алгоритма её построения.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика. М.: Наука, 1982. – 584 с.

[2] Воронин Г.Ф. Новые возможности термодинамического расчета и построения диаграмм состояний гетерогенных систем // Журн. физ. химии. – 2003. – Т. 77. – № 10. – С. 1874-1883.

[3] Vonka P., Leither J. TERDIA: Computer Program for Calculation of Ternary Phase Diagrams for Systems of Stoichiometric Phases Using a Nonstoichiometric Method // J. Phase Equilib. – 1999. – V. 20. – № 4. – P.399- [4] Lee D.D., Choy J.H. et al. Computer generation of binary and ternary phase diagrams via a convex hull method // J. Phase Equilib. – 1992. – V. 13. – № 4. – P. 365-372.

[5] Morral J.E., Gupta H. Thermodynamics of isolated miscibility gaps // J. Chim. Phys. – 1997. – V. 94. – № 5. – P. 861-868.

[6] Chen, S.-L., Zhang J.-Y. et al. Calculation of rose diagrams // Acta Mater. – 2007. – V. 55. – № 1. – P. 243-250.

[7] Кауфман Л., Бернстейн Х. Расчет диаграмм состояния с помощью ЭВМ. М.: Мир, 1972. – 326 c.

[8] Liang H., Chen S.-L. et al. A thermodynamic description of the Al-Mg-Zn system // Metall. Mater. Trans. A. – 1997. – V. 28A. – № 9. – P. 1725-1734.

[9] Olaya M.M., Marcilla A. et al. Simultaneous correlation of liquid-liquid, liquid-solid, and liquid-liquid-solid equilibrium data for water + organic solvent + salt ternary systems.

Anhydrous solid phase // Ind. Eng. Chem. Res. – 2007. – V. 46. – № 21. – P. 7030-7037.

[10] van Bochove G.H., Krooshof G.J.P. et al. Modelling of liquid-liquid equilibria of mixed solvent electrolyte systems using the extended electrolyte NRTL // Fluid Phase Equilib. – 2000. – V. 171. – № 1-2. – P. 45-58.

[11] Santiago R.S., Santos G.R. et al. UNIQUAC correlation of liquid-liquid equilibrium in systems involving ionic liquids: the DFT-PCM approach // Fluid Phase Equilib. – 2009. – V. 278. – № 1-2. – P. 54-61.

[12] Thomsen K., Iliuta M.C. et al. Extended UNIQUAC model for correlation and prediction of vapor-liquid-liquid-liquid equilibria in aqueous salt systems containing nonelectrolytes. Part B. Alcohol (ethanol, propanols, butanols) – water – salt systems // Chem.

Eng. Sci. – 2004. – V. 59. – № 17. – P. 3631-3647.

[13] Jriri T., Rogez J. et al. Thermodynamic Analysis of the CsNO3-KNO3-NaNO3 System // J. Phase Equilib. – 1999. – V. 20. – № 5. – P. 515-525.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1) Восков А.Л., Воронин Г.Ф. Универсальный метод расчета изобарноизотермических сечений фазовых диаграмм тройных систем // Журн. физ.

химии. – 2010. Т. 84. – № 4. – С. 605- 2) Восков А.Л., Шишин Д.И., Простакова В.А., Успенская И.А., Воронин Г.Ф.

Программа TernAPI для расчета и построения фазовых диаграмм тройных систем // Вестник Казан. технол. ун-та. – 2010. – № 1. – С. 110-114.

Термодинамические свойства и фазовые равновесия в системе вода – 1-бутанол – хлорид натрия // Вестник Казан. технол. ун-та. – 2010. – № 2. – С. 23-27.

4) Восков А.Л. Расчёт n-компонентных фазовых диаграмм методом выпуклых оболочек // XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010». – Москва. Электронный ресурс, ISBN 978-5-317-03197-8.

5) Voskov A.L., Shishin D.I., Prostakova V.A., Uspenskaya I.A., Voronin G.F.

TernAPI program for calculation and construction of phase diagrams of ternary systems // XVII Int. Conf. Chem. Thermodyn. in Russia. Abstracts. - Kazan, Russia. 2009. – V.1. – P.67.

6) Buryak I.A., Bogachev A.G., Voskov A.L., Uspenskaya I.A. Phase diagrams of systems water-THF-sodium chloride (potassium chloride) at 298.15 K // XVII Int. Conf.

Chem. Thermodyn. in Russia. Abstracts. - Kazan, Russia. – 2009. – V. 1. – P. 136.

7) Shishin D.I., Igumnov S.N., Voskov A.L., Uspenskaya I.A. Calculation of phase equilibria of the ternary systems water-alcohol-salt by means of eNRTL // XVII Int. Conf.

Chem. Thermodyn. in Russia. Abstracts. - Kazan, Russia. – 2009. – V. 1. – P. 141.

8) Igumnov S., Kovalenko N., Buriak I., Bogachev A., Voskov A., Shishin D., Uspenskaya I.A. Phase diagrams of ternary systems salt-water-organic solvent // Proc. 20th Int. Conf. Chem. Thermodyn. – Warsaw, 2008. – P. 320.

9) Восков А.Л., Шишин Д.И., Успенская И.А., Воронин Г.Ф. Расчет фазовых диаграмм тройных систем 1,1-электролит-спирт-вода с использованием метода выпуклых оболочек // Тезисы докл. XII Росс. конф. по теплофизич. св-вам вещ-в. – М.: 2008. – С.264-265.