Московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова

факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

.

УДК 517.95

Амбарцумян Ваграм Эдвардович

Спектральные вопросы задачи Франкля для

уравнения смешанного типа и разрешимость

аналога этой задачи для уравнения

Гельмгольца Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и его применений факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, академик РАН Моисеев Евгений Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Зарубин Александр Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Макин Александр Сергеевич

Ведущая организация:

НИИ прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН.

Защита диссертации состоится „26“ мая 2010 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-ой учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

C диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан „ “ апреля 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001. доктор физико-математических наук, профессор Е В. Захаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Впервые задача для уравнения смешанного типа была рассмотрена С.А.Чаплыгиным приминительно к проблеме течения потока газа. В ней были изучены частные решения следующего уравнения 2 + K() 2 = 0, (1) 2 где коэффициент K() монотонно возрастает, положителен при > (дозвуковая скорость) и отрицателен при < 0 (сверхзвуковая скорость);

таким образом, при переходе из дозвуковой области в сверхзвуковую уравнение изменяет тип с эллиптического на гиперболический.

Фундаментальное значение для последующего развития теории уравнений смешанного типа имела опубликованная в 1923г. работа Ф.Трикоми1. В этой работе была поставлена краевая задача для уравнения yuxx + uyy = 0 (2) в области, ограниченной при y > 0 простой дугой Жордана с концами в точках A(0, 0) и B(1, 0), а при y < 0 - характеристиками уравнения (2), выходящими из точек A и B и пересекающимися в некоторой точке C, при этом граничные значения заданы на и на характеристике AC. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи.

Обобщение результатов Трикоми на случай уравнения было сделано Геллерстедтом; кроме того, им была построена функция Грина для решения задачи в эллиптической части области.

В 50-ых годах прошлого века А.В. Бицадзе и М.А. Лаврентьев предложили рассматривать модельное уравнение смешанного типа Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М., 1947.

Одним из преимуществ, которые возникают при рассмотрении модельного уравнения (4) вместо уравнения (3), является возможность применения теории функций комплексного переменного. Это позволяет рассматривать решения задач в терминах аналитических функций и использовать при построении решений хорошо разработанную теорию краевых задач для таких функций.

Ф. И. Франкль доказал единственнность решения краевой задачи для уравнения (1) при некоторых ограничениях на коэффициент K().

Франклем была поставлена задача для уравнения (1) в области, граница которой в гиперболической части отходит от характеристики внутрь области, причем граничные значения заданы на этом участке границы и на дуге, ограничивающей эллиптическую часть области. Франкль доказал единственность решения данной задачи, а также существование в случае, когда нехарактеристический участок границы достаточно близок к характеристике.

В 1956 году Ф. И. Франкль предложил смешанную задачу для уравнения Чаплыгина (1) с нелокальным условием Доказательство единственности и существования решения поставленной задачи можно найти в монографии А. В. Бицадзе2.

Новые краевые задачи для уравнений смешанного типа, в том числе задачи для неоднородного уравнения, задачи для уравнений смешанного типа второго рода, задачи со спектральным параметром, были поставлены и изучены в работах многих авторов К.И. Бабенко, В.Н. Врагова, И.М. Гельфанда, Т.Д. Джураева, А.Н. Зарубина, В.А. Ильина, Н.И. Ионкина, Т.Ш. Кальменова, Н.Ю. Капустина, А.С. Макина, Е.И. Моисеева, А.М. Нахушева, А.А. Полосина, А.В. Псху, К.Б. Сабитова, М.С. Салахитдинова, А.П. Солдатова, C.S. Morawetz, M.H. Protter.

Спектральный метод является одним из наиболее эффективных методов исследования задач математической физики. Изучение спектральным Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. Москва "Наука", методом нелокальных краевых задач математической физики позволяет исследовать корректность постановки задачи, выявить структурные свойства решений и дает возможность получения точных априорных оценок решений.

Спектральные свойства задач для уравнения смешанного типа активно изучались с 80-ых годов прошлого столетия. С.М. Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лавреньтева-Бицадзе (4) и доказал их полноту в эллиптической части области, являющейся круговым сектором. Е. И. Моисеев доказал базисность этой системы и, используя свойство базисности, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. В частности, для уравнения (4) решения удалось получить в виде ряда в некоторых специальных областях, также были получены интегральные представления решений. Для уравнения (4) решения были получены в виде ряда.

Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения Лавреньтева-Бицадзе была доказана К. Б. Сабитовым и А. Н. Кучкаровой.

Геллерстедта для уравнения была доказана Е. И. Моисеевым и Ф. Могими3 при условии m + 2q > 0.

Спектральные вопросы видоизмененной задачи Франкля для уравнений смешанного типа начали рассматриваться относительно недавно в работах Е. И. Моисеева и его учеников. В частности, вопросами полноты, базисности собственных функций в эллиптической части области видоизмененной задачи Франкля с условием сшивания первого рода занимался Н. Аббаси4.

Цель работы. Целью работы является исследование вопросов полноты, базисности и минимальности собственных функций видоизмененной задачи Франкля с условием сшивания второго рода в зависимости от Могими Ф. Мохаммад Багер. Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с ней двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа. Дисс. к. физ.-мат. наук. М., 2005.

Аббаси Н. Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа. Дисс. к. физ.мат. наук. М., 2009.

параметра задачи. Также целью является изучение свойств полноты и базисности систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах и, далее, доказательство единственности и существования путем построения аналитического решения нелокальных краевых задач в полукруге для операторов Лапласа и Гельмгольца, являющимися аналогами задачи Франкля.

Методы исследования. Собственные функции видоизменной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода выписываются с помощью метода разделения переменных с использованием функций Бесселя. Базисность Рисса, полнота, минимальность собственных функций задачи исследуются с помощью теорем о базисности систем синусов и косинусов в пространстве Lp, а также с использованием свойства ортонормированности системы функций Бесселя, являющейся решением соответствующей краевой задачи. Полнота и базисность в различных пространствах систем типа Самарского-Ионкина были изучены с привлечением свойств полноты и базисности синусов и косинусов в соответствующих пространствах. С помощью доказанных свойств систем типа Самарского-Ионкина было получено решение в явном аналитическом виде различных нелокальных краевых задач в полукруге для уравнений Лапласа и Гельмгольца. Единственность нелокальных краевых задач для уравнения Лапласа была доказана с помощью принципа максимума и принципа Зарембы-Жиро. Единственность нелокальных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полукруге была доказана построением функции Грина, применением второй формулы Грина и теории Гильберта-Шмидта для самосопряженных положительно определенных операторов.

Научная новизна. В первой главе построено решение видоизменной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода. Далее, при четном и нечетном условии сшивания изучен вопрос базисности Рисса, полноты, минимальности соответствующей системы собственных функций в пространстве L2 (D+ ) в эллиптической части области в зависимости от параметра (коэффициента зависимости) задачи. Показано также, что при нулевом коэффициенте зависимости в гиперболической части области решение становится тривиальным, а в эллиптической части полученные собственные функции образуют базис Рисса, что согласуется с общим результатом. Ранее была изучена видоизменная задача Франкля с нелокальным условием сшивания первого рода.

Во второй главе изучены полнота и базисность систем типа Самарскогоl Ионкина в пространствах C[0, ]; Lp [0, ] p 1; Wp [0, ], p > 1, l N. Ранее аналогичные системы были изучены в L2 [0, ] и Lp (K), p > 1, где Kлюбой компакт интервала (0, ). На основе полученных результатов получено в аналитическом виде классическое решение некоторых нелокальных краевых задач для оператора Лапласа в полукруге. Кроме того, была доказана единственность этих задач.

В третьей главе изучены различные нелокальные краевые задачи для уравнений Гельмгольца в полукруге. Были найдены условия единственности. На основе доказанных свойств систем типа СамарскогоИонкина и асимптотики производной по порядку функции Бесселя при больших значениях порядка построено в аналитическом виде классическое решение поставленных задач. Удалось доказать, что при четном нелокальном условии суммирование собственных и присоединенных функций можно произвести независимо друг от друга.

Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории нелокальных краевых задач для уравнений математической физики.

Апробация результатов работы. Основные pезультаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, а также на конференции "Тихоновские чтения"в октябре 2009 года.

Публикации. Основные результаты работы подготовлены и оформлены в трех статьях ([1]-[3]) в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на разделы, и списка литературы. В работе использована сквозная тройная нумерация теорем, лемм, замечаний, следствий, в которой первая часть номера соответствует номеру главы, вторая часть указывает на номер раздела в главе, а третья - на номер в разделе. В формулах использована сквозная двойная нумерация: номер главы, номер формулы. Список литературы состоит из 44 наименований.

Общий объем диссертации составляет 131 страниц.

После этого краткого обзора перейдем к изложению основных результатов настоящей работы.

Работа состоит из введения и трех глав. Во введении содержится обзор работ и литературы по теме диссертации, обосновывается актуальность исследований и излагаются основные результаты.

видоизмененной задачи Франкля“ рассматривается видоизмененная задача Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода. Глава состоит из трех разделов. В первом разделе поставлена задача в общем виде, то есть коэффициент зависимости, связывающий значение производных по x на интервалах (0, 1) и (1, 0) оси OY, и коэффициент сшивания производных по y на интервале (0, 1) оси OX являются не связанными между собой действительными числами. Методом разделения переменных найдены собственные значения и собственные функции поставленной задачи. Во втором разделе исследованы полнота и базисность собственных функций задачи в эллиптической части области при =, в третьем разделе – при =. Найдены при каких системы собственных функций в пространстве L2 (D+ ) в эллиптической части области образуют базис Рисса; при каких системы собственных функций не полны, но минимальны; при каких системы собственных функций полны, но не минимальны. В третьем разделе показано также, что при нулевом коэффициенте зависимости в гиперболической части области решение становится тривиальным, а в эллиптической части полученные собственные функции образуют базис Рисса, что согласуется с общим результатом.

Сформулируем теперь постановку задачи и основные полученные результаты первой главы.

Постановка видоизмененной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода.

Найти функцию удовлетворяющую в D+ D1 D2 уравнению где Теорема 1.1.1. Собственные функции и собственные значения задачи (6)- (10) можно представить в виде двух серий. В первой серии собственые значения µnk находятся из уравнений функции Бесселя.Собственные функции определяются формулой Во второй серии собственные значения µnk удовлетворяют уравнениям Jn (nk ) = 0, n = а соответствующие им собственные функции имеют вид unk (, ) = Ank Jn (nk ) sin При = и = теорема 1.1.1 упрощается.

Теорема 1.2.1. Собственные функции и собственные значения задачи (6)- (10) при = можно представить в виде двух серий. В первой серии собственные значения µnk находятся из уравнений J (z) - функции Бесселя, а собственные функции определяются формулой Во второй серии собственные значения µnk удовлетворяют уравнениям собственные функции имеют вид Теорема 1.3.1. Собственные функции и собственные значения задачи (6)- (10) при = можно представить в виде двух серий. В первой серии собственые значения µnk находятся из уравнений J (z) - функции Бесселя, а собственные функции определяются формулой Во второй серии собственные значения µnk удовлетворяют уравнениям J4(n) (nk ) = 0, собственные функции имеют вид Рассмотрим теперь вопрос полноты и базисности возникших в собственных функциях систем синусов. Справедливы следующие теоремы.

полна в пространстве Lp (0, ), p > 1 при > 2p, = 2 + k, k N, то есть если f () Lp (0, ), p > 1 и полна в пространстве Lp (0, ), p > 1 при > 2p, = 2 + k, k N, то есть если f () Lp (0, ), p > 1 и При > 4, = 1 + k, = 3 + k, k N система не минимальна, но полна.

полна.

L2 (0, ). В пространстве L2 (0, ) не полна.

При > 4, = 1 + k, = 3 + k, k N система не минимальна, но полна.

полна.

L2 (0, ), а в пространстве L2 (0, ) не полна.

ортогональный базис в пространстве L2 (0, ).

образует базис Рисса в L2 (0, ) и удовлетворяет соотношению тогда система функций При > 4, = 1 + k, = 3 + k, k N система не минимальна, но полна.

полна.

L2 (0, ). В пространстве L2 (0, ) не полна.

Сформулируем, наконец, теоремы о базисности Рисса, полноте и минимальности собственных функций задачи (6)- (10) при = и при Теорема 1.2.4. Система собственных функций unk (15), unk (17) видоизмененной задачи Франкля (6)- (10) при = образует базис Рисса собственных функций минимальна, но не полна.

Теорема 1.3.5. Система собственных функций unk (19), unk (21) видоизмененной задачи Франкля (6)- (10) при = образует базис Рисса в L2 (D+ ) при, 1 0, +. При 1, 0 система собственных функций полна, но не минимальна.

Замечание 1.3.3.

задачи (6)- (10) при = образует базис Рисса в L2 (D+ ), если из него убрать серию Исследование задачи (6)- (10) при = = 0.

При = = 0 условия (9) и (10) принимают, соответственно, вид гиперболической части области, а в эллиптической части собственные функции где n = 1, 2, 3 · · ·, k = 1, 2, 3 · · ·, J2n (µnk ) = 0 образуют базис Рисса в L2 (D+ ). Если в системе собственных функций unk (11), unk (13) устремить и к 0, то в гиперболической части области получим 0, а в эллиптической систему (26), что согласуется с полученными в этом пункте результатами.

Во второй главе „Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для гармонических функций в полукруге“ рассматривается нелокальная краевая задача для оператора Лапласа в круговом секторе противоположными потоками на радиусах (во втором разделе) и равенством нулю решения на одном из радиусов. Также рассматриваются сопряженные задачи. Доказана единственность решения этих задач, с помощью спектрального метода получен явный вид решения. При доказательстве разрешимости задач исследованы полнота и базисность в функций задач типа задачи Самарского-Ионкина, что может представлять самостоятельный интерес.

Сформулируем постановки задач и основные полученные результаты второй главы.

Постановка задач.

Найти функцию u(r, ) C 0 (D) C 2 (D), удовлетворяющую в D уравнению с граничными условиями где В задаче с противоположными потоками на радиусах вместо условия (30) рассматривается условие Справедливы следующие теоремы единственности и существования решения сформулированных задач.

Теорема 2.1.1. Задача (27)- (30) имеет единственное решение.

Теорема 2.2.1. Задача (27)- (29), (31) имеет единственное решение.

где Теорема 2.2.2. Решением задачи (27)- (29), (31) является ряд где выводятся суммированием соответствующих рядов.

Решение задачи (27)- (30) можно представить в интегральном виде Решение задачи (27)- (29), (31) можно представить в интегральном виде Далее, доказываются свойства полноты, базисности систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах.

Рассмотрим две системы функций Параллельно будем рассматривать еще две системы Лемма 2.1.1. Системы функций (35) и (36) биортонормированы на отрезке [0, ].

Лемма 2.2.1. Системы функций (37) и (38) биортонормированы на отрезке [0, ].

Lp (0, ), p 1, то есть если f () Lp (0, ), p 1 и Такая же теорема справедлива для системы (36).

Аналогично теореме 2.1.3 можно докозать более общую теорему Теорема 2.1.4. Пусть определенные на (0, ) функции h()+h() g(), g() имеют множество нулей меры 0 и, кроме того, определены входящие в (39) интегралы, тогда система функций полна в пространстве Lp (0, ), p 1, то есть если f () Lp (0, ), p 1, Замечание 2.1.1. Достаточным условием существования интегралов в (39) является ограниченность на [0, ] функций g(), h(), так как f () принадлежит Lp (0, ), p 1. В частности, этому условию удовлетворяют непрерывные на [0, ] функции.

Теорема 2.2.3. Система функций (37) полна в пространстве Lp (0, ), p 1, то есть если f () Lp (0, ), p 1 и Аналогичная теорема справедлива и для сопряженной системы (38) Теорема 2.1.6. Система функций образует базис в пространстве Lp (0, ) при p > 1.

Теорема 2.1.7. Система функций образует базис в пространстве Lp (0, ), p > 1.

Теорема 2.2.6. Система функций образует базис в пространстве Lp (0, ) при p > 1.

Теорема 2.2.7. Система функций образует базис в пространстве Lp (0, ), p > 1.

Теорема 2.1.8.

где An, Bn определяются формулой (33), сходится равномерно на [0, ].

Теорема 2.1.9.

ряд где сходится равномерно на [0, ].

Теорема 2.2.8.

где An, Bn определяются формулой (34), сходится равномерно на [0, ].

Теорема 2.2.9. Пусть функция f () C [0, ] и f (0) = f (), тогда ряд где сходится равномерно на [0, ].

Изучены базисные свойства систем (35), (37) и их сопряженных в соответствующих подпространствах пространства Соболева Wp [0, ], p > 1, l N. Возникающие подпространства являются естественными в силу теорем вложения.

состоящее из функций, принадлежащих пространству Wp [0, ], p > 1, l N и удовлетворяющих условию Система (35) образует базис в пространстве Wp [0, ], причем, если l = 2m разложение имеет вид если l = 2m 1 разложение имеет вид Теорема 2.1.12.

состоящее из функций, принадлежащих пространству Wp [0, ], p > 1, l N и удовлетворяющих условию Система (36) образует базис в пространстве Wp [0, ], причем, если l = 2m разложение имеет вид если l = 2m 1 разложение имеет вид Теорема 2.2.11.

состоящее из функций, принадлежащих пространству Wp [0, ], p > 1, l N и удовлетворяющих условию Система (37) образует базис в пространстве Wp [0, ], причем, если l = 2m разложение имеет вид если l = 2m 1 разложение имеет вид Теорема 2.2.12.

состоящее из функций, принадлежащих пространству Wp [0, ], p > 1, l N и удовлетворяющих условию Система (38) образует базис в пространстве Wp [0, ], причем, если l = 2m разложение имеет вид если l = 2m 1 разложение имеет вид существование решений.

удовлетворяющую уравнению с граничными условиями В задаче, сопряженной к (27)- (29), (31) условие (49) заменяется на условие Следствием условия (47) является требование f (0) = f (), а условия (50) f (0) = f ().

Сформулируем теоремы единственности и существования.

Теорема 2.1.13. Задача (46)- (49) имеет единственное решение.

Теорема 2.2.13. Задача (46)- (48), (50) имеет единственное решение.

Теорема 2.1.14. Решением задачи (46)- (49) является ряд где an, bn определяются формулой (42).

Теорема 2.2.14. Решением задачи (46)- (48), (50) является ряд где an, n определяются формулой (45).

Представим, наконец, решения сопряженных задач в интегральном виде.

Решение задачи (46)- (49) представимо в виде Решение задачи (46)- (48), (50) представимо в виде рассматривается нелокальная краевая задача для оператора Гельмгольца в круговом секторе с равенством потоков на радиусах (в первом разделе) либо с противоположными потоками на радиусах (во втором разделе) и равенством нулю решения на одном из радиусов. Также рассматриваются сопряженные задачи. С помощью функции Грина и теории ГильбертаШмидта найдены условия единственности решения поставленных задач.

Решения задач найдены в виде ряда с использованием свойств систем типа Самарского-Ионкина. Также удалось доказать, что при четном нелокальном условии суммирование собственных и присоединенных функций можно произвести независимо друг от друга.

Сформулируем постановки задач и основные полученные результаты третьей главы.

Постановка задач. Единственность, существование решений.

Найти функцию u(r, ) C 0 (D) C 2 (D) такую, что | grad u| < в окрестностях угловых точек (0, 0), (1, 0), (1, 0), (0, 1), удовлетворяющую в D уравнению с граничными условиями где В задаче с противоположными потоками на радиусах вместо условия (58) рассматривается условие Пусть µ не совпадает с µnk, являющимися корнями уравнения где J (z) - функции Бесселя, и градиент решения удовлетворяет условию (54), тогда задача (54)- (58) имеет единственное решение.

Теорема 3.2.1 единственность решения задачи (54)- (57), (59).

Пусть µ не совпадает с µnk, являющимися корнями уравнения где J (z) - функции Бесселя, и градиент решения удовлетворяет условию (54), тогда задача (54)- (57), (59) имеет единственное решение.

корнем уравнения (60), тогда решение задачи (54)- (58) существует и представимо в виде ряда где Лемма 3.1.1. Ряды где Bn определяются по (63), сходятся равномерно.

Лемма 3.1.2. Ряды где Bn определяются по (63), сходятся равномерно.

утверждать, что решение задачи (54)- (58) u(r, ) представимо в виде суммы рядов где An, Bn определяются по (63).

Теорема 3.2.2 существование решения задачи (54)- (57), (59).

Пусть f () C [0, ], (0, 1], f (0) = 0 и µ не является корнем уравнения (61), тогда решение задачи (54)- (57), (59) существует и представимо в виде ряда где An = существование решения.

Сформулируем теперь сопряженные к (54)- (58) и к (54)- (57), (59) задачи.

Найти функцию u(r, ) C 0 (D) C 2 (D) удовлетворяющую условию (54), уравнению в области D и граничным условиям где условие Следствием условия (71) является требование f (0) = f (), а условия (72) f (0) = f ().

Теорема 3.1.3 единственность решения задачи (54), (68)- (71).

Пусть µ не совпадает с µnk, являющимися корнями уравнения (60), и градиент решения удовлетворяет условию (54), тогда задача (54), (68)имеет единственное решение.

уравнения (61), и градиент решения удовлетворяет условию (54), тогда задача (54), (68)- (70), (72) имеет единственное решение.

Теорема 3.1.4 существование решения задачи (54), (68)- (71).

Пусть f () C [0, ], (0, 1], f (0) = f () и µ не является корнем уравнения (60), тогда решение задачи (54), (68)- (71) существует и представимо в виде ряда где Лемма 3.1.3. Ряды где an определяются по (74), сходятся равномерно.

Лемма 3.1.4. Ряды где an определяются по (74), сходятся равномерно.

в виде суммы рядов где an, bn определяются по (74).

(70), (72).

не является корнем уравнения (61), тогда решение задачи (54), (68)существует и представимо в виде ряда где сохраняются, если в уравнении u + µ2 u = 0 µ будет комплексным числом отличным от нуля.

Публикации автора по теме диссертации [1] Моисеев Е. И., Амбарцумян В. Э. О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности второго рода // Дифференциальные уравнения. 2009. Т.45, №12. C.1735-1740.

[2] Моисеев Е. И., Амбарцумян В. Э. О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и нечетности второго рода // Докл. РАН. 2010. Т.432 №4. C.1-5.

[3] Моисеев Е. И., Амбарцумян В. Э. О разрешимости нелокальной краевой задачи с равенством потоков на части границы и сопряженной к ней задачи // Дифференциальные уравнения. 2010. Т.46, №5. C.718-725.