На правах рукописи

Королев Сергей Алексеевич

К исследованию маятниковых уравнений,

близких к нелинейным интегрируемым

01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Владимир – 2013

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математического анализа механико-математического факультета Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Морозов Альберт Дмитриевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Белых Владимир Николаевич, заведующий кафедрой математики Волжской государственной академии водного транспорта кандидат физико-математических наук, доцент Шутов Антон Владимирович, доцент кафедры информатики и информационных технологий в образовании Владимирского государственного университета

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится 27 июня 2013 года в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.025.08 при Владимирском государственном университете имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых по адресу: 600024, г. Владимир, пр. Строителей, д. 11, корпус 7 ВлГУ, ауд. 237.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых.

Автореферат разослан мая 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.025.08, кандидат физико-математических наук, доцент С.Б. Наумова

Общая характеристика работы

Предмет исследования. Диссертация посвящена актуальным вопросам исследования резонансов в маятниковых системах с 3/2 и двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым.

Актуальность темы. Данная работа относится к области качественного исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, малыми возмущениями отличающихся от консервативных нелинейных интегрируемых уравнений. Основными методами исследования подобных систем являются: метод малого параметра А. Пуанкаре, метод определения устойчивости А.М. Ляпунова, методы усреднения, развитые в работах Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем, разработанные А.А. Андроновым, Е.А. Леонтович, Л.П. Шильниковым и др.

До настоящего времени в нелинейной динамике (теории колебаний) наиболее популярны и разработаны методы исследования квазилинейных систем.

Разработке и обоснованию этих методов и приложению их к решению конкретных задач посвящена обширная литература. Укажем только основополагающие работы. Это фундаментальные работы по разработке асимптотических методов исследования нелинейных систем Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, работы Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси, А.А. Андронова, А.А. Витта, работы Б.В. Булгакова. В основе этих методов лежит гипотеза о наличии порождающего решения, за которое берется решение невозмущенной системы.

Нелинейные же системы (в том числе неконсервативные, близкие к нелинейным консервативным) освещены в литературе лишь частично. Значительная часть работ по исследованию существенно нелинейных систем посвящена вопросам существования и устойчивости периодических решений, инвариантных торов, наличию нерегулярной динамики и другим вопросам. Меньшая часть работ связана с исследованием глобального поведения решений и опирается в основном на численный анализ исходных систем.

Важную роль в исследовании некоторых классов динамических систем (например, квазигамильтоновых многочастотных систем) играют резонансы, возникающие при соизмеримости собственных частот системы. Исследования резонансных явлений берут свое начало от классических работ А. Пуанкаре.

Отметим здесь работы В.М. Волосова и Б.И. Моргунова, которые предложили методику нахождения стационарных резонансных режимов, а также определения их устойчивости. Дж. Гукенхеймер и Ф. Холмс рассматривали вопрос о нерегулярной динамике и бифуркациях в нелинейных системах. Тот же круг вопросов, включая исследование резонансов, рассматривал в своих работах S. Wiggins. Отметим также работы Е.А. Гребеникова и Ю.А. Рябова, Страбла.

Исторически резонансы в нелинейных динамических системах изучались в первую очередь в гамильтоновых системах, которые возникали в задачах небесной механики. В XX веке усилиями А.Н. Колмогорова, В.И. Арнольда, Ю. Мозера была развита теория малых возмущений в классе гамильтоновых систем, которая получила впоследствии название КАМ-теории. Вопросы интегрируемости и неинтегрируемости гамильтоновых систем, в том числе из-за наличия резонансов, изучались в работах В.В. Козлова.

В теории нелинейных колебаний можно выделить основные (эталонные) уравнения и системы, играющие фундаментальную роль. Их анализ крайне важен для построения общей теории. К ним относятся маятниковые уравнения, уравнения типа Дюффинга, системы лоренцевского типа. Особый интерес, с точки зрения теории нелинейного резонанса, представляют маятниковые уравнения, так как при исследовании резонанса в любой системе задача сводится к исследованию системы маятникового типа.

Несмотря на большую историю в исследовании маятниковых уравнений, мы еще далеки от полного понимания глобального поведения их решений.

Основные проблемы в исследовании маятниковых уравнений связаны с резонансами и возможностью существования гомоклинических структур Пуанкаре.

Простейшим маятниковым уравнением является уравнение колебаний математического маятника.

x + sin x = 0.

(1) К этому уравнению, а также его возмущениям приводят многие задачи гамильтоновой механики. Некоторые из них рассмотрены в работе В.В. Козлова[1] : плоские колебания спутника на эллиптической орбите, одномерное движение заряженной частицы в поле волнового пакета, ограниченная задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, ограниченная задача Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости.

[1] Козлов, В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике / В.В. Козлов. – Ижевск:

Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995.

К исследованию маятниковых уравнений приводят задачи фазовой синхронизации, которые интенсивно исследовались в 70-х годах XX века в работах В.Н. Белых[2] и Л.Н. Белюстиной.

Во многих работах рассматриваются лишь малые углы отклонения маятника от положения равновесия, в связи с чем синус приближенно заменяется своим аргументом, а уравнение (1) – простым линейным уравнением. В некоторых работах синус заменяется своим разложением до третьего порядка, и тогда уравнение (1) заменяется уравнением Дюффинга. Однако, если рассматривать немалые колебания маятника или его вращения, то необходимо обратиться к исходному уравнению (1).

Если говорить о неконсервативных автономных системах, то наиболее продвинуто исследование автономных уравнений с одной степенью свободы вида где малый параметр, n N. Основная проблема в исследовании таких уравнений – получение оценки максимально возможного числа предельных циклов в зависимости от n. Эта проблема является частным случаем ослабленной 16 проблемы Гильберта В работе А.Д. Морозова[3] доказано, что при a = 0 уравнение (2) имеет при достаточно малых = 0 ровно n грубых предельных циклов в области колебательных движений и не имеет предельных циклов (второго рода) в области вращательных движений. Если же параметр a = 0, то может существовать еще один предельный цикл в колебательной или вращательной области (в зависимости от значения параметра a). Таким образом, можно получить любое количество автоколебательных режимов, задавая соответствующее натуральное n. Уравнение (2) возникает в прикладных задачах, например, в задаче об индуцированных воздушным потоком колебаниях тел прямоугольной формы, подвешенных на тросах[4], а также в теории нелинейного резонанса при описании топологии резонансных зон.

Для двухчастотных систем с 3/2 степенями свободы наиболее полное описание теории нелинейного резонанса представлено в работе А.Д. Морозова[3].

Белых, В.Н. О моделях систем фазовой синхронизации и их исследовании / В.Н. Белых // Динамика систем. Межвуз. сб. № 11. – Горький: Изд-во ГГУ. – 1976. – С. 23-32.

Морозов, А.Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах / А.Д. Морозов. – М.– Ижевск: изд-во РХД, 2005.

Leech, C.M. Limit Cycle stability of aerodynamically induced yaw oscillations / C.M. Leech // Intern. J.

Mech. Sci. – 1970. – V. 21, № 9. – P. 517-525.

Резонансы и хаос в консервативных системах с 3/2 степенями свободы изучались в работах Г.М. Заславского, Б.В. Чирикова[5] (перекрытие резонансов, стохастическая паутина, перемешивание траекторий). В диссертации основное внимание уделяется невырожденным резонансам в неконсервативных системах с 3/2 степенями свободы, а также в неконсервативных системах с двумя степенями свободы.

В связи с исследованием уравнения (2) возникает задача о воздействии на него периодического по времени возмущения (получаем систему c 3/2 степенями свободы). До сих пор был детально рассмотрен[3] лишь случай n = (автономное уравнение имеет один предельный цикл). В диссертации рассматривается случай, когда автономное уравнение имеет пять предельных циклов в колебательной области, исследуются невырожденные резонансы, устанавливаются условия существования гомоклинической структуры Пуанкаре и перестройки фазовых портретов отображения Пуанкаре.

Вырожденные резонансы в системах с 3/2 степенями свободы и отображениях рассматривались в работах А.Д. Морозова[3], А.Д. Морозова и Дж. Ховарда[6], однако до настоящего времени не было работ, в которых приводились бы примеры маятниковых систем с доказанным существованием вырожденных уровней определенного порядка вырождения. В диссертации приводится пример такой системы с немонотонным вращением, доказывается существование вырожденных уровней, а также рассматриваются вырожденные резонансы для случая гамильтонового возмущения. Вырожденные резонансы в случае негамильтоновых возмущений в системах с 3/2 степенями свободы рассматривались в работе[7].

Несмотря на то что теория нелинейного резонанса хорошо развита для систем с 3/2 степенями свободы, исследованию нелинейных систем с двумя и более степенями свободы посвящено малое число работ. В то же время, имеется много работ, в которых рассматриваются квазилинейные системы с двумя степенями свободы. Также немало работ по численному исследованию систем с двумя степенями свободы, близких к нелинейным гамильтоновым, Заславский, Г.М. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний / Г.М. Заславский, Б.В. Чириков // УФН. – 1971. – Т. 105, вып. 1. – С. 3-39.

Howard, J.E. A Simple Reconnecting Map / J.E. Howard, A.D. Morozov // Regular and Chaotic Dynamics. – 2012. – V. 17, № 5. – P. 417–430.

Morozov, A.D. On investigation of the degenerate resonances / A.D. Morozov, S.A. Boykova // Regular and Chaotic Dynamics. – 1999. – V. 4, № 1. – P. 70–82.

например пионерская работа Хенона и Хейлеса[8] по численному изучению стохастичности для двух связанных осцилляторов.

Частным случаем систем с двумя степенями свободы являются системы двух слабосвязанных осцилляторов, к которым приводят многие прикладные задачи. А.А. Андронов и А.А. Витт в работе[9] рассматривали в общем виде квазилинейные системы двух слабосвязанных осцилляторов и дали математическую теорию периодических режимов в автономной автоколебательной системе с двумя степенями свободы, близкой к линейной консервативной системе. В качестве физического приложения в[9] рассмотрена система из двух индуктивно связанных контуров, из которых один возбужден катодной лампой, и дана строгая математическая теория затягивания частоты.

В работе Н.В. Бутенина, Ю.И. Неймарка, Н.Л. Фуфаева[10] рассмотрена задача об автоколебаниях двух связанных маятников, соединенных пружиной, а также задача о колебаниях плоского гироскопического маятника в предположении, что на кожух гироскопа действует специальный момент, создаваемый с помощью асинхронного мотора. Обе полученные динамические системы квазилинейны, поскольку рассматриваются лишь малые колебания маятников.

Общий подход к исследованию резонансов в системах двух слабосвязанных осцилляторов представлен в монографии А.Д. Морозова[3]. Если говорить о консервативных нелинейных системах двух слабосвязанных маятников, то следут отметить работы по исследованию резонансов в системе Фрёшле (Froeschl)[11].

В.Н. Белых и Е.В. Панкратова исследовали[12] систему, которая описывает динамику маятников (часов) на общей опоре (задача Гюйгенса). При этом нелинейность в виде синуса аппроксимировалась кубическим многочленом, что привело к уравнениям типа Дюффинга. Исследованию систем двух связанных нелинейных уравнений Дюффинга – Ван дер Поля в резонансных Henon, M. The Applicability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments / M. Henon, C. Heiles // The Astronomical Journal. – 1964. – V. 69, № 1. – P. 73-79.

Андронов, А.А. К математической теории автоколебательных систем с двумя степенями свободы / А.А. Андронов, А.А. Витт // Журнал технической физики. – 1934. – Т. 4, вып. 1. – С. 122-143.

[10] Бутенин, Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, Н.Л. Фуфаев. – М.: Наука, 1987.

[11] Froeschl, C. On the number of isolating integrals in systems with three degrees of freedom / C. Froeschl // Astrophysics and Space Science. – 1971. – V. 14, № 1. – P. 110-117.

[12] Belykh, V.N. Chaotic Dynamics of Two Van der Pol – Dung Oscillators with Huygens Coupling / V.N. Belykh, E.V. Pankratova // Regular and Chaotic Dynamics. – 2010. – V. 15, № 2-3. – P. 274-284.

зонах посвящены работы Р.Е. Кондрашова[13], [14]. Хаотизация колебаний двух связанных математических маятников исследуется в работе В.В. Козлова и Н.В. Денисовой[15].

Хотя имеется[3] общий подход к нахождению трехмерных усредненных систем для исследования поведения решений систем двух слабосвязанных осцилляторов в резонансных зонах, до настоящего времени не было примеров нелинейных маятниковых систем с двумя степенями свободы, для которых были бы найдены указанные трехмерные усредненные системы и проведено их исследование. В диссертации приводится пример четырехпараметрического семейства маятниковых систем, вычисляются и исследуются аналитически и численно трехмерные усредненные системы, описывающие поведение решений в резонансных зонах, расположенных как в колебательных, так и во вращательных областях.

Цель работы. Основной целью диссертации является изучение поведения решений маятниковых систем дифференциальных уравнений с 3/2 и двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым, в резонансных зонах. Это приводит к построению и исследованию двумерных и трехмерных усредненных систем.

Общие методы исследования. В работе используются методы усреднения, а также методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем.

Научная новизна. Все сформулированные в работе результаты являются новыми и получены автором самостоятельно. Перечислим их.

1. Исследована задача о воздействии периодического по времени возмущения на автоколебательное маятниковое уравнение с пятью предельными циклами: получены усредненные системы, описывающие поведение решений в невырожденных резонансных зонах, найдено условие существования гомоклинической структуры Пуанкаре, проведено численное исследование отображения Пуанкаре.

[13] Morozov, A.D. On resonances in systems of two weakly connected oscillators / A.D. Morozov, R.E. Kondrashov // Regular and Chaotic Dynamics. – 2009. – V. 14, № 2. – P. 237-247.

[14] Кондрашов, Р.Е. К исследованию резонансов в системе двух уравнений Дюффинга – Ван дер Поля / Р.Е. Кондрашов, А.Д. Морозов // Нелинейная динамика. – 2010. – Т. 6, № 2. – С. 241-254.

[15] Денисова, Н.В. О хаотизации колебаний связанных маятников / Н.В. Денисова, В.В. Козлов // ДАН. – 1999. – Т. 367, № 2. – С. 191-193.

2. Исследовано маятниковое уравнение с немонотонным вращением. Доказана теорема существования вырожденных уровней определенного порядка вырождения.

3. При наличии периодического по времени возмущения установлены возможные структуры вырожденных резонансных зон с максимальным порядком вырождения.

4. Для системы двух слабосвязанных маятниковых уравнений доказаны теоремы, устанавливающие конкретный вид трехмерных усредненных систем, описывающих поведение решений в резонансных зонах, расположенных в колебательных и вращательных областях.

5. Проведено аналитическое и численное исследование этих систем. Получены условия существования простых состояний равновесия.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории динамических систем, в теории колебаний. Развитая в диссертации техника может быть использована в дальнейшем при исследовании конкретных моделей.

Результаты диссертационной работы являются частью научно-исследовательских работ, проводимых при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 06-01-00270 на 2006-2008 годы, проект 09-01-00356 на 2009-2011 годы), Федеральной целевой программы Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009- годы (проект НК-13П/13 на 2009-2011 годы, проект № 14.В37.21.0361 на 2012годы).

В 2008-2009 г. исследования автора по теме диссертации были поддержаны аспирантской стипендией имени академика Г.А. Разуваева.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в Нижнем Новгороде (2006), Международной конференции И.Г. Петровского в Москве (2007), Международной конференции Л.С. Понтрягина в Москве (2008), Международной конференции, посвященной 70-летию В.А. Садовничего в Москве (2009), Международной конференции по математической теории управления и механике в Суздале (2009), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим система в Суздале (2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики в Нижнем Новгороде (2011), IX Всероссийской научной конференции им. Ю.И. Неймарка в Нижнем Новгороде (2012).

Также были сделаны доклады на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (руководители: профессор А.Д. Морозов, профессор Л.М. Лерман).

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в 18 работах, указанных в конце автореферата. Из них 3 статьи опубликованы в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций. Все основные результаты диссертации принадлежат автору. В работах, выполненных совместно с А.Д. Морозовым, Т.Н. Драгуновым автору принадлежат доказательства всех основных результатов, А.Д. Морозову принадлежат постановки задач, участие в обсуждении результатов и общее руководство работой, Т.Н. Драгунову принадлежит программная реализация построения функции периода движения по замкнутым фазовым кривым.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Главы разделены на параграфы, параграфы – на пункты. Объем диссертации составляет страницы. Диссертация содержит 35 иллюстраций и 95 наименований литературы.

Во введении содержатся краткие исторические сведения и обзор литературы, дается общая характеристика рассматриваемых задач и излагаются основные результаты диссертации.

Глава 1 носит технический характер и содержит вспомогательные преобразования для систем с одной, полутора и двумя степенями свободы общего вида. В § 1.1 описывается переход к переменным действие - угол, а также приводятся необходимые сведения для уравнения математического маятника. В § 1.2 приводятся известные результаты для автоколебательных маятниковых уравнений. В резонансных случаях в §§ 1.3, 1.4 приводятся двумерные и трехмерные усредненные системы, которые получаются в результате перехода к переменным действие - угол и дальнейших преобразований.

Глава 2 посвящена исследованию маятниковых уравнений с 3/2 степенями свободы. Рассмотрим систему с 3/2 степенями свободы, близкую к гамильтоновой: где функции g(x, y, t), f (x, y, t) непрерывные и периодические по t с периодом 2, параметр (частота возмущения), малый параметр. Предположим, что невозмущенная система имеет ячейку D, заполненную замкнутыми фазовыми кривыми, определяемыми интегралом энергии H(x, y) = h, h (h, h+ ). Для каждой замкнутой фазовой кривой (уровня) H(x, y) = h определена частота (h) движения фазовой точки по ней.

Определение 1. Будем говорить, что в системе (3) имеет место резонанс, если для некоторого уровня H(x, y) = hpq выполняется условие соизмеримости собственной частоты и частоты возмущения:

где p и q взаимно простые натуральные числа. Уровень H(x, y) = hpq будем называть при этом резонансным уровнем.

Уровень H(x, y) = h0 будем называть вырожденным, если выполняются соотношения:

при этом будем говорить, что порядок вырождения равен j. Если (h0 ) = 0, то уровень H(x, y) = h0 будем называть невырожденным.

Если резонансный уровень является невырожденным уровнем, то будем говорить о невырожденном резонансе. Если резонансный уровень является вырожденным уровнем, то будем говорить о вырожденном резонансе в системе (3).

Первая часть главы 2 (§ 2.1) посвящена исследованию невырожденных резонансов в маятниковых системах с 3/2 степенями свободы. Рассматриваются периодические по времени возмущения автоколебательного маятникового уравнения (2):

где a, b, c, параметры, малый параметр, n N. К этому уравнению приводит анализ следующей системы с двумя степенями свободы:

где параметр. Подставим в первое уравнение системы вместо y производную y(t) от периодического решения второго уравнения. Как известно, это периодическое решение выражается через эллиптические функции. Поэтому y(t) можно представить в виде известного ряда Фурье. Оставляя в этом ряду главную гармонику, придем к уравнению (4) с 3/2 степенями свободы.

Рассмотрение уравнения (4) представляет интерес, с одной стороны, для решения проблемы о воздействии периодического по времени возмущения на систему с любым наперед заданным числом предельных циклов, обобщающую известную задачу о захватывании в уравнении Ван дер Поля, а с другой стороны, для решения задачи о взаимодействии двух связанных маятников. Эти проблемы связаны с исследованием резонансов и, в частности, с проблемой синхронизации колебаний.

В п. 2.1.1 приводится структура усредненных систем, описывающих поведение решений исходного уравнения в резонансных зонах. В п. 2.1.2 исследован вопрос о предельных циклах в автономном (c = 0) уравнении (4) при n = 5. Доказаны предложения о виде порождающей функции Пуанкаре– Понтрягина и виде усредненных систем. В п. 2.1.3 доказано предложение об условии существования гомоклинической структуры Пуанкаре (опираясь на работу В.К. Мельникова[16] ). В п. 2.1.4 приводятся результаты численного счета в случае, когда у автономного уравнения существует 5 предельных циклов в колебательной области. При изменении частоты возмущения исследуются перестройки фазовых портретов отображения Пуанкаре, связанные с прохождением замкнутых инвариантных кривых через основной резонанс.

В результате исследованы новые свойства уравнения (4). Во-первых, иерархия бифуркаций и различных режимов, связанных с наличием предельных циклов у автономного уравнения. До сих пор был рассмотрен детально лишь случай, когда у автономного уравнения существует один предельный цикл[3].

Мы выбрали n = 5 для получения в резонансной зоне двух замкнутых инвариантных кривых.

[16] Мельников, В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях / В.К. Мельников // Труды Московского математического общества. – 1963. – Т. 12. – С. 3-52.

Во-вторых, исследована возможность существования устойчивых режимов биений в резонансной зоне основного резонанса при фиксированной величине параметра. Согласно теории, когда параметр является малым, такие режимы не могут существовать.

В-третьих, рассмотрен случай, когда неавтономный член в возмущении представим рядом Фурье, в котором определяющую роль играет основная гармоника, что типично для систем с двумя степенями свободы.

В-четвертых, установлено существование гомоклинической структуры Пуанкаре.

Вторая часть главы 2 (§ 2.2) посвящена исследованию вырожденных резонансов в системах с 3/2 степенями свободы. Рассматривается маятниковое уравнение с нелинейностью в виде тригонометрического полинома степени где pk параметры, p1 = 0, параметр (частота возмущения), малый неотрицательный параметр. Это уравнение эквивалентно гамильтоновой системе с функцией Гамильтона H(x, y) + H1 (x, ), где y = x, = t, Предположим, что невозмущенное уравнение ( = 0) имеет два состояния равновесия на периоде: в начале координат состояние равновесия типа центр, а в точке (, 0) (, 0) состояние равновесия типа седло. Две петли сепаратрис на фазовом цилиндре отделяют область колебательных движений от областей вращательных движений. Для любой замкнутой фазовой кривой в колебательной или во вращательных областях определен период T (h) движения фазовой точки по ней, зависящий от значения h интеграла энергии H(x, y) = h.

Используя определение 1, можно свести задачу о нахождении вырожденных уровней в невозмущенном уравнении к задаче о нахождении критических точек функции T (h) определенного порядка. Легко установить, что в областях вращательных движений функция T (h) строго монотонна, откуда следует отсутствие вырожденных уровней в этих областях. Непосредственное нахождение функции T (h) в области колебательных движений приводит к интегралу:

где P многочлен степени n, 1 < z0 (h) < 1, h + P (z0 (h)) 0. При n данный интеграл является гиперэллиптическим и имеет две особенности: в точках z = z0 (h) и z = 1 (подынтегральная функция стремится к +).

Непосредственное нахождение производных интеграла (7) как интеграла, зависящего от параметра h, приводит к гиперэллиптическим интегралам более сложного вида. Поэтому в п. 2.2.1 для исследования поведения функции периода в колебательной области были применены методы качественной теории динамических систем на плоскости. А именно, было установлено, что появление максимумов у функции периода связано с возникновением сложных состояний равновесия у невозмущенного уравнения. С использованием этих соображений были доказаны вспомогательные леммы о поведении функции T (h) и следующая теорема.

Теорема 1. Для 2 n 4 максимальный возможный порядок вырождения уровней в невозмущенном уравнении равен n.

Далее были исследованы вырожденные резонансы с максимальным порядком вырождения в возмущенной системе. Несмотря на то что аналитическое решение невозмущенного уравнения неизвестно (проблема обращения гиперэллиптических интегралов), в п. 2.2.2 удалось получить структурный вид усредненных систем. Путем исследования деформаций этих систем были получены возможные топологические структуры резонансных зон в зависимости от параметров деформации. В п. 2.2.3 проведен численный анализ отображения Пуанкаре вблизи вырожденных резонансных уровней.

Глава 3 посвящена исследованию невырожденных резонансов в маятниковых системах с двумя степенями свободы. Рассмотрим систему двух слабосвязанных нелинейных осцилляторов:

где все функции предполагаются достаточно гладкими, а функции f1, f нелинейными, малый неотрицательный параметр. Предположим, что в системе (8) несвязанные осцилляторы ( = 0) имеют ячейки D1, D2, заполненные замкнутыми фазовыми кривыми, функции 1 (h1 ), 2 (h2 ) частоты движения по замкнутым фазовым кривым первого и второго несвязанных осцилляторов соответственно, где h1, h2 значения интегралов энергии:

Определение 2. Будем говорить, что в системе (8) имеет место резонанс, если для некоторых уровней H1 (x, x) = h1pq, H2 (y, y) = h2pq выполнено условие соизмеримости собственных частот первого и второго осцилляторов:

где p, q взаимно простые натуральные числа. Уровни H1 (x, x) = h1pq, H2 (y, y) = h2pq будем называть при этом резонансными. Если выполняется условие (1 (h1pq ))2 + (2 (h2pq ))2 = 0, то уровни H1 (x, x) = h1pq, H2 (y, y) = h2pq будем называть невырожденными и, соответственно, резонанс невырожденным.

Рассмотрим следующую окрестность невырожденного резонансного уровня (индивидуальную резонансную зону):

где µ =, c1, c2 положительные постоянные. Общий вид частично усредненной системы, определяющей поведение решений в индивидуальной невырожденной резонансной зоне, для системы двух слабосвязанных нелинейных осцилляторов (8) получен в[3] :

u1 = A1 (v; I1pq, I2pq ) + µ[P11 (v; I1pq, I2pq )u1 + P12 (v; I1pq, I2pq )u2 ], u = A2 (v; I1pq, I2pq ) + µ[P21 (v; I1pq, I2pq )u1 + P22 (v; I1pq, I2pq )u2 ], где штрих означает производную по медленному времени = µt, а функции Ai, Pij, Q0 представляются в виде некоторых определенных интегралов и являются периодическими по v с наименьшим периодом 2/p (имеем систему на полнотории).

Дальнейшее исследование системы (11) в общем виде связано с проблемой нахождения функций, определяющих ее правые части. Поэтому в главе 3 рассматривается конкретная система двух слабосвязанных маятниковых уравнений вида (8):

где малый неотрицательный параметр, a, b,, параметры.

Ставится задача о структуре резонансных зон системы (12). Пусть мы имеем резонанс в системе (12) согласно определению 2 (в данной системе все резонансы являются невырожденными). Выделим три случая: оба уровня H1 (x, x) = h1pq, H2 (y, y) = h2pq лежат в колебательных областях невозмущенных маятников (условно назовем эту ситуацию колебательным случаем, он исследуется в § 3.2); оба уровня лежат во вращательных областях (вращательный случай, исследуется в § 3.3); один из уровней лежит в колебательной области, а другой во вращательной (колебательно-вращательный случай, исследуется в § 3.4).

С помощью вспомогательных лемм 3.1–3.5, устанавливающих различные новые соотношения для эллиптических функций, в каждом из трех указанных случаев была доказана (пп. 3.2.1, 3.3.1, 3.4.1) соответствующая основная теорема (теоремы 3.1–3.3), устанавливающая конкретный вид усредненной системы (11). Функции, определяющие правые части усредненных систем, получены в виде рядов Фурье, коэффициенты которых экспоненциально убывают с ростом номера гармоники. Учитывая в этих рядах только первую (основную) гармонику, приходим в каждом из трех случаев к (укороченной) усредненной системе.

Теорема 2. Усредненная система для случая колебательных областей при нечетных p и q имеет вид:

u =a10 + c10 cos pv + µ[(a11 + n3 cos pv)u + n4 cos pv w], где все коэффициенты вычисляются по определенным формулам, причем коэффициенты a30, m1, a22, a10, a11 линейно зависят от параметров a, b исходной системы (12). Если p или q четно, то правые части усредненной системы не зависят от переменной v, и система не имеет состояний равновесия.

Теорема 3. Усредненная система для случая вращательных областей имеет вид:

u =a10 + (d10 + c10 cos pv)+ где все коэффициенты вычисляются по определенным формулам, причем коэффициенты m00, m10, a22, a10, a11 линейно зависят от параметров a, b исходной системы (12).

Теорема 4. Усредненная система для колебательно-вращательного случая при нечетном p формально имеет вид (13), однако коэффициенты вычисляются по иным формулам, нежели в случае колебательных областей.

Коэффициенты a30, m1, a22, a10, a11 линейно зависят от параметров a, b исходной системы (12). Если p четно, то правые части усредненной системы не зависят от переменной v, и система не имеет состояний равновесия.

Каждая из полученных усредненных систем исследуются аналитически (пп. 3.2.2, 3.3.2, 3.4.2). Система первого приближения (µ = 0) консервативна, легко интегрируется и может иметь только неизолированные состояния равновесия. Поскольку исходная система (12) неконсервативна, далее рассматривается система второго приближения, в которой могут быть только изолированные состояния равновесия. В каждом из трех случаев были доказаны теоремы об условиях существования простых состояний равновесия в усредненных системах. Простому состоянию равновесия усредненной системы соответствует резонансное периодическое решение в исходной четырехмерной системе (12). Также была получена аналитически асимптотика характеристических корней состояний равновесия усредненных систем.

В пп. 3.2.3, 3.3.3, 3.4.3 для каждого из трех случаев была получена полностью усредненная система, описывающая динамику изменения переменных действия, что позволяет говорить о глобальном поведении решений вне окрестностей непроходимых и частично проходимых резонансов.

Также проведено численное исследование усредненных систем и исходной четырехмерной системы (12) (пп. 3.2.4, 3.3.4, 3.4.4).

В Заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

В Приложении приведены исходные коды программ для математического пакета Maple, позволяющих вычислить для системы (12) с двумя степенями свободы из главы 3 коэффициенты усредненных систем (13), (14), (13) для колебательно-вращательного случая.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Альберту Дмитриевичу Морозову за постановку задач, ценные замечания и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации Публикации в изданиях из перечня ВАК 1. Драгунов, Т.Н. О вырожденных резонансах в уравнениях маятникового типа / Т.Н. Драгунов, С.А. Королев, А.Д. Морозов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. – Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. – Вып. 1(4). – С. 18-28.

2. Королев, С.А. О периодических возмущениях автоколебательных маятниковых уравнений / С.А. Королев, А.Д. Морозов // Нелинейная динамика. – 2010. – Т. 6, № 1. – С. 79-89.

3. Королев, С.А. О резонансах в системе двух слабосвязанных маятников / С.А. Королев // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. – Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2010. – Вып. 5(1). – С. 149-157.

Публикации в прочих изданиях 4. Драгунов, Т.Н. О вырожденных резонансах в маятниковых системах / Т.Н. Драгунов, С.А. Королев, А.Д. Морозов // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород: 22-28 августа 2006 года). Аннотации докладов. – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2006. – Т. I. – 5. Королев, С.А. О вырожденных резонансах в маятниковых системах / С.А. Королев // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. – Казань: Издательство Казанского математического общества, 2006. – Т. 34 (Материалы Пятой молодежной научной школыконференции). – С. 129-131.

6. Кондрашов, Р.Е. К исследованию резонансов в системах с двумя степенями свободы / Р.Е. Кондрашов, С.А. Королев, А.Д. Морозов // Международная конференция, посвященная памяти И.Г. Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского): Тезисы докладов. – М.: Изд-во МГУ, 2007. – С. 148.

7. Kondrashov, R.E. On resonances in self-oscillating systems with two degrees of freedom / R.E. Kondrashov, S.A. Korolev, A.D. Morozov // Advanced Problems in Mechanics. Book of Abstracts. – St.-Petersburg, 2007. – P. 66.

8. Королев, С.А. О глобальном поведении решений системы двух маятниковых уравнений / С.А. Королев // Труды итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса Модели, методы и программные средства (Нижний Новгород, 27-30 ноября года). – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. – С. 213-214.

9. Королев, С.А. Об исследовании системы маятниковых уравнений с двумя степенями свободы / С.А. Королев // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. – Казань: Издательство Казанского математического общества, 2007. – Т. 36 (Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции). – С. 118-120.

10. Королев, С.А. К исследованию резонансных структур в системе двух связанных маятников / С.А. Королев // Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина: Тезисы докладов. – М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2008. – С. 146.

11. Королев, С.А. К исследованию резонансов в системе двух слабосвязанных маятников / С.А. Королев // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. – Казань: Издательство Казанского гос. университета, 2008. – Т. 37 (Материалы Седьмой молодежной научной школыконференции). – С. 92-94.

12. Королев, С.А. Об исследовании одной трехмерной системы из теории нелинейного резонанса / С.А. Королев // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. – М.: Издательство Университетская книга, 2009. – С. 161-162.

13. Королев, С.А. Об исследовании одной системы из теории резонанса / С.А. Королев // XIV нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. – Нижний Новгород, 2009. – 14. Королев, С.А. К исследованию одной системы с 2 степенями свободы / С.А. Королев // Международная конференция по математической теории управления и механике. Тезисы докладов. – М.: МИАН, 2009. – С. 99-100.

15. Королев, С.А. Об исследовании резонансов в одной системе с двумя степенями свободы / С.А. Королев // XV нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. – Нижний Новгород, 2010. – С. 31.

16. Королев, С.А. О неконсервативных системах с двумя степенями свободы, близких к интегрируемым / С.А. Королев, Р.Е. Кондрашов, А.Д. Морозов // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. – М.: МИАН, 2010. – 17. Королев, С.А. Об исследовании одной системы маятниковых уравнений во вращательной области / С.А. Королев // X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 года). Тезисы докладов. – Т. IV.

18. Королев, С.А. О резонансах в одной системе маятниковых уравнений в колебательно-вращательном случае / С.А. Королев // Нелинейные колебания механических систем (Нижний Новгород, 24-29 сентября года). Труды IX Всероссийской научной конференции им. Ю.И. Неймарка. – Нижний Новгород, 2012. – С. 540-541.