На правах рукописи

Майер Александр Евгеньевич

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ГРАНИЦЫ МИШЕНИ

ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИНТЕНСИВНЫХ ПОТОКОВ

ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Челябинск - 2003

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Челябинского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Яловец Александр Павлович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Неуважаев Владимир Емельянович;

кандидат физико-математических наук Зубарев Николай Михайлович.

Ведущая организация: Институт физики металлов УрО РАН, Екатеринбург.

Защита состоится "" 2003 года в ч. м. на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 при Челябинском государственном университете по адресу: 454021, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан "" 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Л. Б. Соколинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время широкое распространение в исследованиях и технологических приложениях получили сильноточные импульсные ускорители заряженных частиц (электронов и ионов), обеспечивающие энергии частиц от нескольких КэВ до нескольких МэВ и плотности тока в диапазоне 10-104 А/см2 при длительности импульса 10-8-10-6 с. При воздействии на твердое тело интенсивных потоков заряженных частиц с плотностью мощности >107 Вт/см2 происходит интенсивный разогрев вещества и его плавление; образуется плазменный факел с температурой несколько тысяч Кельвин и сильно неоднородной концентрацией.

Особенно интенсивно в последние годы развиваются исследования по применению мощных пучков заряженных частиц для модификации материалов [1, 2]. При облучении металлов сильноточными электронными пучками (СЭП) и мощными ионными пучками (МИП) происходит генерация в приповерхностном слое структурных дефектов кристаллической решетки, на облученной поверхности образуются пленки с фазовым и химическим составом, отличным от материала мишени. Это приводит к повышению прочности, износостойкости и эрозионной устойчивости обработанных материалов [1, 2].

Несмотря на интенсивное исследование процессов взаимодействия мощных потоков заряженных частиц с веществом и, в частности, модификации материалов, в настоящее время не нашли теоретического объяснения и описания некоторые экспериментальные результаты. Среди таких результатов отметим следующие:

1) При воздействии интенсивных потоков заряженных частиц на поверхности мишени образуются кратеры [2, 3] с радиусами от единиц до сотен микрометров. Наличие кратеров огрубляет поверхность мишени и является нежелательным фактором. Существующие предположения о природе процесса кратерообразования (наличие легкоплавких включений в мишени [3]; неоднородность пучка [2]) не позволяют объяснить структуру и размеры кратеров. Известно, что кратеры образуются и на очень чистых материалах, а при многократном воздействии пучка плотность кратеров уменьшается. Таким образом, в настоящее время не найден окончательный ответ на вопрос о причинах и механизме образования кратеров на облученной поверхности.

2) В настоящее время отсутствуют результаты систематических исследований зависимости характеристик волн напряжения, генерируемых в веществе при облучении, от параметров пучка. Кроме того, нет единого мнения относительно величины максимальных напряжений возникающих в мишени при облучении. Прямые экспериментальные измерения вызывают трудности, обусловленные отсутствием надежных методов калибровки детектора для больших давлений [4]. Расчеты полей напряжения дают противоречивые результаты [1, 4], отличающиеся на порядок величины.

3) В настоящее время не ясен механизм структурных превращений в веществе мишени при облучении. Известно [1], что для МИП и низкоэнергетических СЭП глубина локализации структурных дефектов кристаллической решетки (от десятков до нескольких сотен микрометров) существенно больше, чем пробег частиц пучка в мишени, составляющий не более нескольких микрометров. Образование дефектов (дислокаций) обычно связывается с распространением вглубь мишени волн напряжения [1]. Как показывают экспериментальные и численные исследования [4], амплитуда волны напряжений существенно изменяется лишь на расстояниях в тысячи мкм, что значительно больше глубины локализации дефектов. Кроме того, из экспериментов по упрочнению металлов взрывом следует, что максимальное упрочнение металлов достигается при давлениях в ударной волне, превышающих 10 ГПа. Давление в волне напряжения, возникающей при облучении мишени типичным технологическим ионным пучком с энергией частиц 0.5МэВ и плотностью тока 200 А/см2составляет лишь несколько Кбар [4]. Исследование механизмов генерации структурных дефектов кристаллической решетки имеет принципиальное значение для решения вопросов модификации конструкционных материалов [1].

Теоретическое описание и исследование этих и других явлений актуально как с точки зрения решения фундаментальных вопросов физики высоких плотностей энергии при воздействии интенсивных потоков энергии, так и для разработки и оптимизации методов модификации материалов.

Цель работы направлена на построение теоретических моделей процессов взаимодействия интенсивных потоков заряженных частиц с веществом и, в том числе, на теоретическое описание и объяснение перечисленных выше экспериментальных результатов.

Задачей диссертационной работы является разработка методов описания нелинейной динамики контактной границы двух сред разной плотности; исследование нелинейной динамики поверхности облучаемой мишени и ее роли в формировании рельефа поверхности мишени и генерации полей напряжения в веществе.

Методика исследования. Нами были разработаны новые методы описания нелинейной динамики границы раздела двух сред в двумерной геометрии в приближении потенциального течения несжимаемой жидкости. Разработанные методы и реализующие их программы были использованы при проведении исследований нелинейной динамики границы мишени под действием интенсивных потоков заряженных частиц. При выполнении диссертационной работы для анализа условий на поверхности облучаемой мишени был использован пакет программ BETAIN1 [5].

Научная новизна и значимость результатов диссертационной работы заключается в том, что впервые детально исследована нелинейная динамика границы при облучении мишеней пучками заряженных частиц и ее роль в формировании полей напряжения и рельефа поверхности. Данное рассмотрение позволяет с единых позиций (развитие волн и неустойчивости тейлоровского типа на облучаемой поверхности) объяснить и построить теоретическую модель таких ранее не имевших удовлетворительного объяснения экспериментальных фактов, как образование кратеров на поверхности мишени, образование и отрыв с поверхности капель конденсированной фазы. Оно так же позволяет выдвинуть предположение о механизме генерации структурных дефектов кристаллической решетки и причинах их локализации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Новые методы расчета нелинейной динамики контактной границы в рамках модели потенциального течения несжимаемой жидкости, основанные на редукции гидродинамического течения в объеме жидкости к эволюции границы.

2) Физический механизм и математическая модель образования кратеров. Согласно предложенному механизму, кратеры образуются в результате поверхностных гравитационных волн и неустойчивости Рихтмайера-Мешкова свободной поверхности плазменного факела.

3) Результаты исследования сильно нелинейной стадии неустойчивости поверхности мишени. Показано, что развитие неустойчивости приводит к отрыву от мишени капель конденсированной фазы.

4) Показано существование механизмов, обеспечивающих преимущественный рост гармоник из определенного интервала спектра начального возмущения поверхности мишени. Эти механизмы имеют единую природу и для процесса кратерообразования и для процесса отрыва капель.

5) Результаты исследования механизмов генерации полей напряжений в мишени, облучаемой интенсивными потоками заряженных частиц. Высказано предположение, что поля напряжений, обусловленные нелинейной динамикой границы, играют ключевую роль в процессе генерации структурных дефектов кристаллической решетки.

Практическая ценность результатов работы заключается в возможности использования разработанных моделей и программ для решения вопросов модификации материалов пучками заряженных частиц.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались на межотраслевой конференции "Снежинск и наука" (Снежинск, 2000); на международных конференциях "5-th and 6-th Conference on Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows" (Tomsk, Russia, 2000, 2002); на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); на VI Забабахинских научных чтениях (Снежинск, 2001); на Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2001); на 19-й Всероссийской школе-семинаре "САМГОП-2002" (Снежинск, 2002); на XIII Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2003); на XVII Международной конференции по воздействию интенсивных потоков энергии на вещество (п. Эльбрус, Кабардино-Балкарская республика, 2003).

По теме диссертации опубликовано 3 статьи в центральной печати, 1 статья в сборнике "Физика экстремального состояния вещества-2003", 3 статьи в трудах международных конференций, 8 тезисов докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, изложена на 172 страницах, содержит 51 иллюстрацию. Библиографический список содержит 91 наименование.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследований, перечислены основные положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

Первая глава диссертации посвящена разработке методов исследования нелинейной динамики границы. Приведен обзор разработанных ранее методов описания нелинейной динамики границы. В большинстве рассмотренных методов используется приближение безвихревого течения несжимаемой жидкости [6, 7, 8]. Приближение несжимаемости применимо в том случае, если массовые скорости среды, связанные с развитием неустойчивости границы, много меньше скорости звука в среде. Приближение несжимаемости успешно используется и при исследовании классической неустойчивости Рихтмайера-Мешкова [8]. Отмечено, что разработанные ранее методы описания динамики границы либо не позволяют описывать сильно нелинейные стадии эволюции границы, либо требуют больших затрат машинного времени для решения задачи. Поэтому нами разработаны новые методы описания динамики контактной границы идеальных несжимаемых жидкостей в двумерной геометрии, основанные на редукции гидродинамического течения в объеме среды к эволюции контактной границы.

Для случая слабой нелинейности (раздел 1.1) редукция осуществляется введением эффективной зоны возмущения вблизи границы. Основным приближением является предположение о том, что граница эффективной возмущенной зоны со стороны жидкости представляет плоскость. Это предположение совместно с использованием условия несжимаемости позволяет записать уравнение связи между значениями функции тока и потенциала скорости на контактной границе. В результате получается замкнутая система уравнений для эволюции контактной границы, которая решалась нами численно. Сравнение с расчетами других авторов и экспериментальными данными свидетельствуют о применимости разработанного метода для описания слабонелинейных стадий эволюции малого начального возмущения.

В разделе 1.2 рассматривается использование для описания динамики контактной границы конформных отображений [6], переводящих занимаемый жидкостью домен в полуплоскость. Использование конформных отображений для исследования нелинейной динамики свободной поверхности известно в литературе [6]. В настоящей работе метод конформных отображений обобщен на случай контактной границы двух сред. Записана замкнутая система уравнений для контактной границы. Ее решение удается получить численно для ограниченного по времени интервала развития неустойчивости.

В разделе 1.3 рассматривается приближенный метод локальных преобразований координат. Конформное преобразование координат можно представить в виде двух этапов: 1) поворот и 2) растяжение базисных векторов. Локальные преобразования координат включают только первый этап. На основе локальных преобразований координат получено уравнение связи между значениями функции тока и потенциала скорости вдоль контура границы. Сформулированная замкнутая система уравнений позволяет достаточно просто и экономично исследовать существенно нелинейные стадии неустойчивости контактной границы, включая случай неоднозначной границы, вплоть до потери односвязности объемов жидкостей (образование и отрыв капель и вихрей). Проведено сравнение результатов расчетов по методу локального преобразования координат с расчетами по методу конформных отображений, а так же с расчетами других авторов [7]. Обнаружено соответствие результатов для случая контактной границы и расхождение для случая свободной поверхности. Последнее объясняется нарушением критерия применимости метода локальных преобразований при формировании острых струй жидкости. Полученные по данному методу результаты качественно и количественно согласуются с экспериментами, описанными в [8].

Вторая глава диссертации посвящена исследованию нелинейной динамики границы мишени при воздействии интенсивных потоков заряженных частиц. Нелинейная динамика границы мишени (волны и неустойчивость тейлоровского типа) рассматривается как основной механизм образования на поверхности мишени кратеров и образования капель конденсированной фазы.

Рис.1 Ускорение свободной поверхности мишени при облучении. Передний фронт пучка – 10 нс. При t90 нс переход к взрывному режиму ускорения.

В разделе 2.1 исследуется ускорение свободной поверхности мишени и контактной границы плазма - конденсированная фаза при различных режимах облучения, проводится анализ роста возмущений на этих границах. Для исследования ускорения свободной и контактной границ, а так же распределения массовой плотности в приповерхностном слое мишени использовался пакет программ BETAIN1 (BEAM TARGET INTERACTION) [5]. Отмечено существование двух режимов ускорения свободной поверхности мишени: термоупругого и взрывного. В термоупругом режиме ускорение поверхности связанно с прохождением переднего и заднего фронтов импульса тока и напряжения пучка (рис.1). Переход к взрывному режиму сопровождается резким, в течение нескольких наносекунд, ростом ускорения свободной поверхности мишени. Величина ускорения достигает при этом значения, на два-три порядка превосходящего величину ускорения в термоупругом режиме. Переход к взрывному режиму связан с накоплением в веществе мишени внутренней энергии, достаточной для формирования плазменного факела. Нами был получен аналитический критерий перехода системы к взрывному режиму ускорения.

Ускорение свободной поверхности преимущественно направлено таким образом, что оно вызывает стабилизацию возмущений и распространение по поверхности гравитационных волн (силы инерции направлены в мишень). После прекращения действия ускорения накопившаяся в веществе кинетическая энергия может привести к развитию неустойчивости Рихтмайера-Мешкова.

При воздействии интенсивных потоков заряженных частиц, приводящем к испарению поверхностного слоя мишени и образованию плазменного факела, существенную роль играют процессы на контактной границе плазмы и конденсированной фазы. После разлета плазменного факела именно контактная граница формирует рельеф поверхности мишени. Область вблизи контактной границы характеризуется наличием непрерывного градиента плотности. Динамика контактной границы обусловлена как развитием ее собственной неустойчивости, так и влиянием динамики свободной поверхности.

Рис.2 Экспериментальный [2] и рассчитанный профиль кратера. Смешанный пучок (70%-C; 30%-P) с параметрами Tb=250 КэВ, jb=200 А/см2 и =50 нс.

В разделе 2.2 предложен физический механизм и математическая модель образования кратеров на поверхности облучаемой мишени. Процесс образования кратера включает два этапа: распространение по поверхности гравитационных волн и развитие неустойчивости Рихтмайера-Мешкова. Представлены результаты вычислительного эксперимента и их анализ. Показано существование физического механизма фильтрации спектра начального возмущения, связанного с разлетом плазменного факела. Этот механизм обусловлен, с одной стороны, более быстрым ростом коротковолновых возмущений и, с другой стороны, их более быстрым затуханием с глубиной. Показано, что центрами (зародышами) образования кратера кроме геометрических неоднородностей формы поверхности могут быть также включения иной плотности. Такие включения в поле сил инерции либо "всплывают", либо "тонут". Обеднение приповерхностного слоя мишени инородными включениями может служить причиной уменьшения плотности кратеров на поверхности мишени при многократном облучении. Полученные размеры и форма кратеров согласуются (рис.2) с экспериментальными [2].

В разделе 2.3 приводятся результаты исследования сильнонелинейной стадии динамики контактной границы плазмы и конденсированной фазы. Показано, что в случае малых пробегов частиц (микрометры) происходит отрыв от поверхности капель конденсированной фазы (рис.3). Характерный диаметр капель составляет от единиц до десятков микрометров. Скорость разлета капель достигает нескольких десятков метров в секунду.

При больших пробегах частиц (десятки-сотни микрометров) происходит образование вихрей и перемешивание плазмы и конденсированной фазы.

Рис.3 Образование капель на контактной границе плазмы и конденсированной фазы.

Протонный пучок с параметрами Tb=500 КэВ, jb=2 KА/см2 и =30 нс. (a) - начальное возмущение с длиной волны, соответствующей максимальной скорости роста. (b) - начальное возмущение с меньшей длиной волны.

В третьей главе диссертации приведены результаты исследования напряжений, возникающих в мишени при облучении интенсивными потоками заряженных частиц. Известно [9], что под действием напряжений происходит генерация дефектов кристаллической решетки, которые определяют модификацию материала. Поэтому исследование возникающих в облучаемом веществе полей напряжения представляет научный и практический интерес.

В разделе 3.1 приведены результаты исследований характеристик волн напряжения, генерируемых в облучаемой мишени, в широком диапазоне параметров пучка частиц. Исследования проводились при помощи пакета программ BETAIN1 [5]. Согласно общепринятым представлениям генерация волн напряжения в облучаемой мишени обусловлена термоупругим и абляционным механизмами [1, 4]. Термоупругий механизм обусловлен расширением нагретого пучком слоя вещества и реализуется на начальном этапе облучения, или при малой интенсивности пучка (удельный энерговклад пучка меньше некоторой критической величины, поверхность мишени остается твердофазной или плавится, но без образования плазменного факела). Абляционный механизм обусловлен передачей импульса твердотельной части мишени от разлетающейся плазмы; он реализуется при превышении энерговклада критической величины и сопровождается образованием и интенсивным расширением плазменного факела. Напряжения, связанные с абляционным механизмом обычно существенно превышают термоупругие напряжения (рис.4).

Рис.4 Волна напряжения в мишени. (a) - термоупругий механизм генерации напряжений;

(b) - переход к абляционному механизму и распространение волны.

Проведены исследования зависимости максимальных напряжений в веществе от пробега частиц, определяемого (для заданного вещества) типом и энергией частиц. В термоупругом режиме уменьшение пробега (и ширины зоны энерговыделения) приводит к уменьшению напряжений, что связано с более быстрой разгрузкой нагретого слоя среды (рис.5). В то же время, при меньших пробегах частиц требуется меньшая плотность энерговклада для испарения нагреваемого пучком слоя и включения абляционного механизма генерации напряжений. Поэтому, в диапазоне средних плотностей энерговклада уменьшение пробега частиц приводит к росту амплитуды напряжений. Дальнейшее увеличение энерговклада вновь выдвигает на первый план фактор разгрузки среды, и при больших плотностях энерговклада уменьшение пробега частиц сопровождается падением амплитуды волны сжатия.

Рис.5 Зависимость максимальных напряжений от плотности потока энергии.

В разделе 3.2 исследована генерация полей напряжения, возникающих вследствие нелинейной динамики границы мишени при облучении. Развитие гравитационных волн и неустойчивости на поверхности мишени сопровождается деформацией приповерхностного слоя вещества и возникновением в нем полей напряжения (рис.6). Поле напряжений может быть представлено в виде суммы квазистационарной и динамической части. Квазистационарная часть определяется действием сил инерции, вызванных ускоренным движением поверхности мишени. Динамическая часть представляет собой волны Рэлея, которые существуют, в том числе, и после прекращения облучения. Колебания в волнах Рэлея будут продолжаться до тех пор, пока вся запасенная в них энергия не диссипирует.

Возможными механизмами диссипации энергии волн Рэлея являются переход в тепловую энергию среды, а так же образование дефектов кристаллической решетки.

Поля напряжения, связанные с нелинейной динамикой поверхности, являются локализованными, в отличие от рассмотренных ранее волн напряжений, обусловленных термоупругим и абляционным механизмами. Локализация означает, в первую очередь, локализацию по глубине. И квазистационарные напряжения и волны Рэлея затухают с глубиной по экспоненте. Они существенно отличны от нуля в слое порядка длины волны возмущения (от десятков до одной - двух сотен микрометров). Кроме того, поля напряжения максимальны в области под возмущением. Напряжения, возникающие при кратерообразовании, максимальны под кратером. Характерной особенностью полей напряжения, обусловленных нелинейной динамикой границы, является так же их сильная пространственная неоднородность, быстрые осцилляции во времени (частота волн Рэлея для рассматриваемых пространственных масштабов составляет до 108 с-1) и большая амплитуда напряжений (может на порядок превышать предел текучести).

Рассмотренные особенности позволяют нам сделать предположение, что нелинейная динамика границы мишени и связанные с ней напряжения играют важную роль в генерации структурных дефектов кристаллической решетки облучаемого материала. Как показано в [9], циклические пластические деформации металлов изменяют их микроструктуру. Экспериментальные исследования [1] показывают, что интенсивная модификация структуры дефектов кристаллической решетки под действием пучка происходит в слое того же порядка глубины, что и глубина локализации полей напряжения, обусловленных нелинейной динамикой границы. В экспериментах [2] отмечается повышенная плотность дислокационных дефектов решетки под кратерами.

Рис.6 Поле напряжений, обусловленное нелинейной динамикой границы. Смешанный пучок (70%-C; 30%-P) с параметрами Tb=250 КэВ, jb=200 А/см2 и =50 нс. Показана фаза, соответствующая максимальной величине напряжений.

Выводы. Разработаны новые экономичные методы описания нелинейной динамики контактной границы двух сред. Впервые проведено детальное исследование нелинейной динамики поверхности мишени при облучении интенсивным потоком заряженных частиц. Исследована роль нелинейной динамики в формировании профиля поверхности мишени и генерации полей напряжения в облучаемом веществе. Данное исследование позволило с единых позиций объяснить механизм кратерообразования и образования капель на облучаемой поверхности, а так же выдвинуть предположение о ключевой роли полей напряжения, обусловленных нелинейной динамикой границы мишени, в процессах модификации материалов при облучении. Наши исследования посвящены нелинейной динамике границы мишени под действием интенсивных потоков заряженных частиц. Но рассматриваемые здесь механизмы (неустойчивость границы мишени и генерируемые при этом поля напряжения) имеют более универсальный характер и присущи всем процессам взаимодействия с веществом интенсивных потоков энергии, включая случай лазерного облучения и взрывных воздействий.

В заключении, я выражаю благодарность коллективу кафедры теоретической физики Челябинского государственного университета за поддержку данной работы. Я благодарен моему научному руководителю Александру Павловичу Яловцу за постоянное внимание и помощь при проведении исследований. Особую благодарность я выражаю Николаю Борисовичу Волкову за предложенное направление исследований, за постоянное обсуждение результатов работы и замечания, роль которых трудно переоценить.

1. Волков Н.Б., Майер А.Е., Яловец А.П. Нелинейная динамика контактной границы сплошных сред с различной плотностью // ЖТФ. - 2003. -- Т. 73. В. 3. - С. 1 - 9.

Волков Н.Б., Майер А.Е., Яловец А.П. О механизме кратерообразования на поверхности твердых тел при воздействии интенсивных пучков заряженных частиц // 3. Волков Н.Б., Майер А.Е., Яловец А.П. Нелинейная динамика контактной границы сред с различной плотностью и симметрией // Письма в ЖТФ. - 2001. - Т. 27. В. 1. С. 47 - 57.

4. Майер А.Е., Волков Н.Б., Яловец А.П. О механизме явления кратерообразования на облучаемой поверхности // Proceedings of 6-th International Conference on Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows. Tomsk. 23-28 September 5. Яловец А.П., Майер А.Е. Пакет программ BETAIN (BEAM TARGET INTERACTION) // Proceedings of 6-th International Conference on Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows. Tomsk. 23 - 28 September 2002. P. 297 - 299.

6. Yalovets A.P., Volkov N.B., Mayer A.E. Tension Fields in Irradiated Target Generated by Instability of Plasma-Solid Boundary // Proceedings of 5-th Conference on Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows. Tomsk. 24-29 September 2000.

7. Волков Н.Б., Майер А.Е., Талала К.А., Яловец А.П. Нелинейная динамика поверхности мишени при воздействии интенсивных потоков энергии // Физика экстремального состояния вещества - 2003. ИПФХ РАН: Черноголовка, 2003. С. 48 - 49.

8. Волков Н.Б., Майер А.Е., Талала К.А., Яловец А.П. Нелинейная динамика поверхности мишени при воздействии интенсивных потоков энергии // Тезисы докладов XVIII Международной конференции "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество", Эльбрус - 2003. С. 42.

9. Волков Н.Б., Майер А.Е., Талала К.А., Яловец А.П. Нелинейная динамика контактной границы сплошных сред с различной плотностью // 13-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь. 24 февраля-1 марта 2003. Тезисы докладов. С.87.

10. Яловец А.П., Майер А.Е. Полуаналитический метод решения уравнений механики сплошных сред // 19-я Всероссийская школа-семинар САМГОП-2002. Снежинск.

5-12 июля 2002. Тезисы докладов. C. 41.

11. Майер А.Е., Волков Н.Б., Яловец А.П. Нелинейная динамика границы раздела двух сред // 19-я Всероссийская школа-семинар САМГОП-2002. Снежинск. 5- июля 2002. Тезисы докладов. C. 18.

12. Майер А.Е. Моделирование нелинейной динамики границы раздела жидкостей // Всероссийская конференция молодых ученых "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии". Новосибирск. 29-31 октября 2001. Тезисы докладов. C. 70-71.

13. Волков Н.Б., Майер А.Е., Яловец А.П. Роль неустойчивости Рихтмайера-Мешкова в явлении кратерообразования на поверхности твердого тела при облучении // VI Забабахинские научные чтения. Снежинск. 24 - 28 сентября 2001. Тезисы докладов. C. 95.

14. Яловец А.П., Майер А.Е. Генерация полей напряжений в твердом теле при облучении интенсивными потоками заряженных частиц // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь. 23 - 29 августа 2001. Тезисы докладов. C. 409.

15. Волков Н.Б., Майер А.Е., Яловец А.П. Расчет неустойчивостей Рэлея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова в несжимаемой жидкости // Межотраслевая научнопрактическая конференция "Снежинск и наука". Снежинск. 29 мая - 2 июня 2000.

Тезисы докладов. С. 42 - 44.

[1] Бойко В.И., Валяев А.Н., Погребняк А.Д. // УФН. - 1999. -Т.169. №11. - С.1243-1272.

[2] Korotaev A.D., Ovchinnikov S.V., Pochivalov Yu.I., et al. // Surface and Coatings Technology. - 1998. - V. 105. - P. 84 - 90.

[3] Shulov V.A., Nochovnaya N.A. // Nucl. Instr. and Meth. B: Beam Inter. with Mater. and Alloys. -- Elsever, 1999. - V.148. N.1-4. - P. 154 - 158.

[4] Чистяков С.А., Халиков С.В., Яловец А.П. // ЖТФ. -1993. -T.63. № 1. - C.31 -40.

[5] Яловец А.П. // ПМТФ. - 1997. - № 1. - C.~151 -166.

[6] Dyachenko A.I., Kuznetsov A.E., Spector M.D., Zakharov V.E. // Physics Letters A 221. P. 73 - 79.

[7] Neuvazhayev V.E., Parshukov I.E. // Math. Mod. and Appl. Math. - Elsevier, IMACS, 1992.

- P. 323 - 335.

[8] Неуважаев В.Е., Паршуков И.Э. // Мат. моделирование. - 1993. -Т. 5. 2. - С. 16-24.

[9] Введение в микромеханику. / Под ред. М.Онами. - М: Металлургия, 1987.