На правах рукописи

Парфёнова Юлия Алексеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ

ПОЛЕЙ МЕТОДОМ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ

ОБЛАСТЕЙ СО СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ

05.13.18 – математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара – 2013

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет»

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Яремко Олег Эмануилович

Официальные оппоненты:

Осипов Олег Владимирович, доктор физико-математических наук, ФГОБУ ВПО «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики», профессор кафедры основ конструирования и технологии радиотехнических систем;

Никишов Виктор Николаевич, кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет», доцент кафедры математики и бизнес-информатики

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московский государственный областной университет»

Защита состоится 20 марта 2013 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.218.08 при ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет» по адресу:

443011, г. Самара, ул. акад. Павлова,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СамГУ Автореферат разослан «_» 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.218.08 В.В. Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования Однородные и неоднородные задачи математического моделирования потенциальных полей в областях со сферической симметрией представляют большой теоретический и практический интерес. Этими задачами в разное время занимались Лаврентьев М.М., Мусхелишвили Н.И., Страхов В.Н., Уфлянд Я.С. Для их решения Лаврентьевым М.М. и Уфляндом Я.С.

разработан метод интегральных преобразований. Методы теории функций комплексного переменного успешно использовал Мусхелишвили Н.И..

Моделирование процессов граничного управления методом конечных элементов описано в работах Сергиенко И.В., Дейнека В.С.

В диссертационной работе предлагается метод векторных операторов преобразования, который дополняет классические методы и дает ряд преимуществ, в частности, позволяет найти решение задачи в замкнутом виде. Замкнутый вид решений открывает новые возможности в исследовании моделей потенциальных полей и процессов граничного управления. Применение разработанного нами нового метода моделирования позволило найти в замкнутой форме структуру потенциальных полей неоднородных сред со сферической симметрией, интерпретировать гравитационные и магнитные аномалии полей. Наличие замкнутого выражения для решения модельной задачи важно с теоретической и практической точек зрения, так как возникает возможность сравнить в модельном случае теоретическое значение потенциала со значением, полученным с помощью численных методов.

Метод операторов преобразования позволяет также:

– упростить вычислительные схемы итерации и регуляризации при решении задач кусочно-однородных сред;

– редуцировать исследование неоднородных потенциальных полей к однородным;

– получить решение в удобном виде, допускающем простую физическую интерпретацию: слагаемые интерпретируются как последовательные отражения от экранов;

– изучать асимптотические свойства решения.

Целью работы является построение моделей потенциальных полей в сферически-симметричных областях. Для ее достижения были поставлены следующие задачи:

– построить векторные операторы преобразования;

– найти в замкнутой форме структуру потенциальных полей кусочнонеоднородных сред со сферической симметрией;

– найти математическую интерпретацию гравитационных и магнитных аномалий полей;

– разработать вычислительные алгоритмы, основанные на полученных аналитических формулах, реализовать алгоритмы в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для моделирования потенциальных полей.

Методы исследования Поставленные задачи решались разработанным автором методом векторных операторов преобразования. Наряду с ним использовался аппарат действительного и комплексного анализа: гармонический анализ; интегралы, зависящие от параметра; регуляризирующие алгоритмы.

Научная новизна Основные результаты диссертации получены впервые:

– для моделирования потенциальных полей в однородных и неоднородных средах сконструированы векторные операторы преобразования в круге и в шаре;

– сконструированы граничные операторы преобразования – новое средство для интерпретации граничных наблюдений потенциальных полей в однородных и неоднородных средах;

– предложены регуляризирующие алгоритмы в математическом моделировании потенциальных полей;

– разработан новый единый подход к математическому моделированию кусочно-однородных потенциальных полей, заключающийся в интерпретации этих полей как возмущений однородных полей с аналитическим представлением этих возмущений.

Теоретическая и практическая значимость работы Теоретическая ценность работы заключается в создании векторного варианта метода операторов преобразования для математического моделирования неоднородных потенциальных полей: полей напряжений в твердом теле, гравитационных и магнитных полей аномалий, фильтрационных течений.

Практическая ценность работы заключается в применении найденных формул для исследования математических моделей неоднородных сред при создании регуляризирующих операторов, позволяющих интерпретировать результаты граничных наблюдений полей напряжений, гравитационных и магнитных полей аномалий, фильтрационных течений.

Обоснованность результатов диссертационной работы состоит в использовании аппарата классического действительного и комплексного анализа. Достоверность научных положений, результатов и выводов диссертации подтверждается сравнением полученных результатов с ранее известными.

Положения, выносимые на защиту На защиту выносятся:

– векторные операторы преобразования для областей c круговой симметрией;

– модели фильтрационных течений и доказательство фильтрационной теоремы об окружностях;

– аналитическое представление граничного управления в шаре и его реализация в среде MatLab;

– новые выражения для скалярных потенциалов и их нормальных градиентов в моделях гравитационных и магнитных аномалий;

– аналитическое выражение для интерпретации полей напряжений в круглой пластине.

Апробация работы Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:

1. III, IV и V Международные научно-технические конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» – Пенза, 2009–2011.

2. XVII Международная конференция «Математика. Образование» – Чебоксары, 2009.

3. XVIII Международная конференция «Математика. Экономика.

Образование» – Ростов на Дону, 2010.

4. II Международная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» – Москва, 2011.

5. Международная научно-практическая конференция «Математика и ее приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы» – Орел, 6. III Международная конференция «Математическая физика и ее приложения» – Самара, Публикации По материалам диссертации опубликованы в 22 работы, в том числе статей в изданиях из Перечня ВАК. Получено свидетельство о регистрации электронного ресурса.

Личный вклад автора Основные результаты диссертации получены лично автором. В работах, выполненных совместно с научным руководителем, Яремко О.Э.

принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов. Использованные материалы других авторов помечены ссылками.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованных источников из 138 наименований и приложения. Работа без библиографического списка содержит 117 страниц текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационных исследований, сформулированы их цель и задачи, определена научная новизна и практическая значимость результатов работы, представлены основные положения, выносимые на защиту, дан краткий обзор литературных источников, имеющих наиболее близкое отношение к теме диссертации.

В первой главе введены векторные операторы преобразования в круге, в шаре и внешности шара из 3 для вектор-функций, гармонических в сферически симметричных областях.

В шаре BR = ( x1, x2, x3 ) x12 + x2 + x3 < R 2 рассмотрена вектор-функция гармоническая в BR. Векторный оператор L в шаре определен равенством:

где = ( ij ) заданная квадратная матрица.

В работе построен оператор L1, обратный к L. Если все собственные числа матрицы имеют положительные действительные части, то есть Re i > 0, i = 1, n, то обратный оператор действует по формуле:

В п. 1.2 показано, что математическое моделирование полей напряжений для круглой пластины приводит к третьей векторной краевой задаче. Тогда для описания полей напряжения становится возможным применить формулу (1). Рассмотрен модельный пример.

Для векторного уравнения Лапласа в круге с граничными условиями третьего рода точное решение задачи на окружности r = 0,5 получим по формуле (1):

Для численного решения применена формула, в которой интеграл из (1) заменен частной суммой ряда Фурье:

где fick, fisk, i = 1, 2 коэффициенты ряда Фурье вектор-функции:

= 104 -погрешность, - случайное число от -1 до 1, а число слагаемых выбиралось равным 2 N 0 = 20.

Вид полученного решения позволяет проводить эксперименты в системе MatLab.

Во второй главе метод векторных операторов преобразования применен для математического моделирования фильтрационных течений, описания полей напряжений в плоской круглой пластине, решения прямой задачи магниторазведки.

В п. 2.1 работы с использованием метода изображений О.В. Голубевой получена фильтрационная теорема для случая двух концентрических сфер или окружностей. Приведен пример, иллюстрирующий фильтрационную теорему: построены линии равных потенциалов для единичного источника в случае источника мощности m, сосредоточенного в точке a = 2.

Потенциал, описывающий фильтрационное течение постоянной проницаемости среды k1, равен Построены линии равных потенциалов для невозмущенного поля:

На основе обобщенной фильтрационной теоремы при изменении проницаемости среды на k0 внутри круга радиусом r0 = 1 имеем потенциалы возмущенного поля:

Для сравнения потенциалов невозмущенного и возмущенного полей построены линии равных потенциалов при значениях радиуса внутренней окружности r, 0.5 r 6 :

В результате исследования видно, что линии возмущенных потенциалов вытягиваются в сторону окружности сопряжения.

В п. 2.2 работы найдена замкнутая форма для структуры полей напряжений в кусочно-однородной круглой пластине. Метод интегральных преобразований Фурье и методы теории функций были рассмотрены Уфляндом Я.С. и Мусхелишвили Н.И. для математического моделирования полей напряжений, при этом решение получается в виде ряда Фурье.

Применение метода операторов преобразования позволило найти в замкнутом виде выражения для компонент вектора перемещений u, v в любой внутренней точке области по известным на границе радиальным, окружным, нормальным напряжениям: r,, r.

В п. 2.3 работы метод операторов преобразования применен для исследования математической модели магниторазведки. Ранее эта задача решалась Уфляндом Я.С. и его учениками методом интегральных преобразований. Применение метода операторов преобразования позволило получить выражение для потенциала в замкнутой форме в виде, удобном для анализа асимптотических свойств и допускающем использование пакета символьной математики MathCAD.

Математическая модель магниторазведки приводит к решению сепаратной системы уравнений Лапласа с известным значением скалярного магнитного потенциала u1, заданным на границе шара S1 и условиями сопряжения на внутренней сфере Sr Первое условие в (3) означает непрерывность тангенциальной компоненты напряженности магнитного поля, а второе условие вытекает из непрерывности нормальной компоненты вектора индукции, µ = 1 + k, здесь k -безразмерная преобразования позволил найти аналитические выражения для скалярного магнитного потенциала в виде:

где u ( r, ) значение скалярного магнитного потенциала невозмущенного магнитного поля при µ = 1 с нулевой магнитной восприимчивостью k.

Формулы (4) послужили основой для численного решения задачи (2), (3):

Каждое слагаемое вычислялось по формуле Пуассона. При этом Погрешность вычислений можно оценить по формуле:

В третьей главе операторы преобразования применяются для интерпретации результатов наблюдений гравитационных и магнитных потенциалов. Изучена задача Коши для уравнения Лапласа, имеющая важное приложение в гравиразведке в связи с вопросами продолжения потенциальных полей. Классический пример Адамара показывает, что задача Коши для уравнения Лапласа – некорректная задача. Теоретической основой для применения математических методов гравиразведки послужили работы академика Лаврентьева М.М., связанные с проблемой аналитического продолжения и задачей Коши для уравнений эллиптического типа.

В п. 3.1 предложена формула, восстанавливающая гармоническую в единичном шаре функцию по её значениям на внутренней сфере:

Указанная формула применяется в работе для аналитического продолжения полей внутрь и вне шара. На основании (5) предложен регуляризирующий алгоритм:

Выбрано модельное значение потенциала в шаре, не зависящее от долготы: u ( r,, ) = r sin r 3 sin 3, тогда точное значение потенциала на границе шара r = 1 имеет вид:

По наблюдаемым на внутренней сфере r0 = 0.5 значениям потенциала при помощи формулы (6) восстановим значения потенциала u (1,, ) на границе. Расчетная формула была получена из (6):

где n = На рис. 1, 2 представлены графики наблюдаемого и теоретического значений потенциала в разных масштабах.

В п. 3.2 рассмотрено аналитическое описание математической модели граничного управления. Пусть в единичном шаре B1 3 определено уравнение Лапласа:

На границе S1 задано третье краевое условие:

где g L2 ( S1 ), h > 0. Для каждого управления u L2 ( S1 ) определено состояние y = y ( u ) как решение краевой задачи, заданной уравнением (7) и краевым условием Наблюдение зададим в виде Оптимальное управление определяется условием минимальности уклонения в некоторой метрике решения y от заданного наблюдения z g.

Как показано в работах Сергиенко И.В., Дейнека В.С. для нахождения оптимального управления u ( x ) имеем третью векторную краевую задачу для системы уравнений Лапласа:

с граничным условием третьего рода:

Окончательно оптимальное управление задается формулой:

Ранее данная задача управления решалась Сергиенко И.В., Дейнека В.С.

методом конечных элементов (МКЭ) численно. В п. 3.2 получено аналитическое выражение для управления на основе применения оператора преобразования (1):

= 2, a0 - параметр регуляризации.

где В п. 3.2 вычислено граничное управление u, которое дает постоянную температуру на границе z g = 10o. Выбирая параметр регуляризации a0 = 102, найдем неизвестное управление u согласно формуле (1): u =.

нерегуляризированного управлений в зависимости от коэффициента теплопроводности h.

В п. 3.3 с помощью формулы (5) интерпретируются поля напряжений в круглой пластине: по результатам наблюдений значений тензоров напряжений r,, r на внутренней окружности восстанавливают их значения на граничной окружности.

В п. 3.4 развиты аналитические методы интерпретации результатов граничных наблюдений, когда по одним граничным данным нужно найти другие граничные данные. Подобного рода задачи встречаются в гравиразведке, когда расчет нормального градиента наблюдаемого поля применяется для выделения локальных аномалий. В работе мы предлагаем использовать так называемые граничные операторы преобразования, введенные нами в п. 3.4. При этом удается получить выражения для градиентов в замкнутом виде, позволяющие использовать в расчетах пакет MatLab. Граничный оператор преобразования задается формулой:

Оператор (9) позволяет по одним известным характеристикам потенциального поля вычислить другие неизвестные характеристики.

Рассмотрены два модельных примера, в первом по значениям потенциала u на границе восстановить нормальный градиент поля un на границе; во втором по известным значениям нормального градиента на границе определим потенциал поля u на границе.

Для первого примера взято значение потенциала u = sin sin 3.

f ( ) = sin sin 3 (1 + ). Теоретическое значение потока задается формулой:

Найдем расчетное значение нормального градиента по формуле (9). Для этого по значениям наблюдаемой функции f ( ) находим коэффициенты ряда Фурье f cn, f sn. Расчетная формула следует из (9). На рис. 4, представлены графики наблюдаемой и расчетной зависимости от угла нормального градиента потенциала un в разных масштабах.

Во втором примере взято поле с нормальным градиентом un = sin sin 3. С точностью до произвольной постоянной C теоретическое значение потенциала будет иметь вид:

По значениям наблюдаемого нормального градиента определяется расчетное значение потенциала. Для этого находятся коэффициенты ряда Фурье для функции f ( ) : f cn, f sn. Расчетная формула следует из (9) и отличается от последней тем, что внешний интеграл берется по конечному промежутку [ 0, N 0 ], N 0 параметр регуляризации.

На рис. 6 представлены графики наблюдаемой и расчетной зависимости от угла потенциала u.

Указанная картина подтверждает, что решение во втором примере определяется однозначно с точностью до произвольной постоянной C.

В п. 3.5 предложен новый регуляризирующий алгоритм решения задачи Коши для уравнения Лапласа: по известной величине поля и его нормального градиента на сфере определяется аналитическое продолжение гравитационного или магнитного поля вне шара. Аналитический характер использованной формулы позволяет применить пакет MatLab.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Приложение содержит комплекс программ моделирования потенциальных полей в областях со сферической симметрией.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Сконструированы векторные операторы преобразования в круге и в шаре для моделирования потенциальных полей в однородных и неоднородных средах.

2. Найдено замкнутое описание возмущенных фильтрационных течений в шаре, замкнутое описание полей напряжений в плоской круглой пластине, аналитическое представление для управляющих воздействий в граничной задаче управления.

3. Сконструированы граничные операторы преобразования – новое средство для интерпретации граничных наблюдений потенциальных полей в однородных и неоднородных средах.

4. Разработана техника применения метода граничных операторов преобразования для интерпретации гравитационных и магнитных полей аномалий и полей напряжений в плоской круглой пластине.

5. Предложены регуляризирующие алгоритмы в математическом моделировании фильтрационных течений, потенциалов полей напряжений в твердом теле, управляющих воздействий граничной задачи теории управления, гравитационных и магнитных полей аномалий.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Парфёнова Ю.А. Векторные операторы преобразования функций, гармонических в шаре // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2010.

№2(76). С. 48-56.

2. Парфёнова Ю.А. Векторные парные сумматорные уравнения // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки.

2010. №18(22). С. 21-25.

3. Парфёнова Ю.А. Оптимальное граничное управление в третьей краевой задаче для уравнения Лапласа в шаре // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского.

Физико-математические и технические науки. 2010. №18(22) С. 46-50.

4. Яремко О.Э., Парфёнова Ю.А. Задача продолжения функции, гармонической в шаре // Вестник МГОУ. 2010. Вып. 3. С. 3-9.

5. Парфёнова Ю.А. Моделирование полей напряжений в кусочнооднородном теле вращения // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физикоматематические и технические науки. 2011. №26. С. 160-166.

6. Парфёнова Ю.А. Математическое моделирование фильтрационных течений методом операторов преобразования // Известия ПГПУ им.

В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2012. №30.

С. 116-122.

7. Парфенова Ю.А. Математическое моделирование потенциальных полей методом граничных операторов преобразования // Вестник СамГУ.

Естественнонаучная серия. 2012. №9(100). С. 130-135.

8. Парфёнова Ю.А. Неоднородные краевые задачи для функций, гармонических в кусочно-однородном шаре // Известия ПГПУ им.

В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2008. №8(12).

С. 45-49.

9. Яремко О.Э., Парфенова Ю.А. Дифракция скалярной волны на кусочнооднородных решетках. Задача Дирихле для уравнения Гельмгольца // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2008. №8(12). С. 70-74.

10. Парфёнова Ю.А. Продолжение функции аналитическим образом в единичный круг по значениям на внутренней окружности // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем:

сборник статей III Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. Пенза: Приволжский Дом знаний, 2009. С. 36-39.

11. Парфёнова Ю.А. Формула для аналитического продолжения в круге с внутренней окружности // Математика. Образование: материалы XVII Международной конференции. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2009. С. 297.

12. Парфёнова Ю.А. Векторные операторы для функций, гармонических в шаре // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2009. №13(17). С. 28-34.

13. Яремко О.Э., Парфёнова Ю.А. Метод операторных преобразований для функций, бигармонических в шаре // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского.

Физико-математические и технические науки.2009. №13(17), С. 53-57.

14. Парфёнова Ю.А. Метод операторов преобразования для определения оптимального граничного управления для уравнения Лапласа в шаре // Журнал СВМО. 2010. Т. 12. №.2. С. 92-105.

15. Парфёнова Ю.А., Малышев А.А. Распараллеливание вычислительных алгоритмов в методе операторов преобразования // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем:

сборник статей IV Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. Пенза: Приволжский Дом знаний, 2010. С. 36-39.

16. Парфёнова Ю.А. Векторные парные сумматорные уравнения // Математика. Экономика. Образование: тезисы докладов XVIII Международной конференции. Ростов на Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2010.

С. 57.

17. Парфёнова Ю.А. Моделирование полей напряжений в задачах теории упругости для круга // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Вып. 14. Москва, 2011.

С. 252-258.

18. Парфёнова Ю.А. Обратная задача теории упругости в круге // Моделирование нелинейных процессов и систем: тезисы II Международной конференции. М.: Янус, 2011. С. 279-280.

19. Парфёнова Ю.А., Малышев А.А. Граничные операторы преобразования и их применения в моделировании потенциальных полей // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем:

сборник статей V Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. Пенза: Приволжский Дом знаний, 2011. С. 224-227.

20. Парфёнова Ю.А. Моделирование статических полей напряжений // Математика и ее приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы международной научно-практической конференции.

Орел, 2011. С. 81-83.

21. Парфёнова Ю.А. Моделирование потенциальных полей методом операторов преобразования // Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании: сборник научных трудов. Ульяновск:

УлГТУ, 2011. С. 203- 22. Парфёнова Ю.А. Метод операторов преобразования для математического моделирования потенциальных полей в сферическисимметричных средах // Математическая физика и ее приложения: тезисы докладов III Международной конференции. Самара, 2012. С. 224.

23. Свидетельство о регистрации электронного ресурса «Моделирование потенциальных полей в MatLab» №17164, выданное ИНИМ РАО ОФЭРНиО 07 июня 2011 года.

Гарнитура Times New Roman. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная.

Усл.-печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,91. Тираж 100 экз. Заказ №